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EI telefono celular ha revolucionado las co-rnunicaciones personales para millones depersonas en todo el mundo. Al igual quecualquier radio m6vil, un telefono celulartransmite y recibe ondas electromagneticas,Casi todos los sistemas de telefonia celularutil izan frecuencias de onda de 806 a 902MHz; lo s telefonos de sistema de cornuni-caciones pe rsona le s (PCS;personal com-munications system) emplean frecuenciasde 1850 a 1990 i\1Hz.

,Par que a veces l a r ecepci en delos telefonos celu lares es m ala en el in,

- terio r de los edificios de ofici n as que ti e-nen estructura de acero?

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ONDASELECTROMAGNETICAS

; Que es la luz? Esta pregunta ha sido formulada por los seres humanos a 1 0 lar-L..j go de muchisimos siglos, pew no hubo una respuesta hasta que se unifico laelectricidad con el magnetismo en la disciplina (mica del electromagnetismo, des-crita por las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones muestran que un campomagnetico que varia can el tiempo acnia como fuente de campo electrico, y que uncampo electrico que varia eon el tiempo actua como fuente de campo magnetico.Estos campos if y B se sustentan mutuamente y forman una onda electromagneti-ca que se propaga a traves del espacio. La luz visible que emite el filamento in-candescente de un foco es un ejemplo de onda electrornagnetica; fuentes talescomo las estaciones de radio y de television, los osciladores de microondas parahomos y radar, las maquinas de rayos X y los uucleos radiactivos producen otrasclases de ondas electromagnetic as.En este capitulo utilizaremos las ecuaciones de Maxwell como base teorica paracornprender las ondas electromagneticas, Veremos que estas ondas transportan tan-to energia COlTI.O cantidad de movimiento, En las ondas electromagneticas sinusoi-dales, los campos if y B son funciones sinusoidales del t iempo y la posicion, canfrecuencia y longitud de and a definidas. I.JQsdiversos tipos de ondas electromagne-ticas (1uz visible, radio, rayos X y otras) difieren solo en cuanto a su frecuencia ylongitud de onda. Nuestro estudio de 1aoptic a en los capitulos que siguen se basa enparte en 1anaturaleza electromagnetica de 1aluz,A diferencia de las ondas en una cuerda 0 las ondas senoras en un fluido, las on-

das electrornagneticas no requieren un medio material; la luz de las estrellas que

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32.1 I Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnetic as

vemos pOTla neche ha recorrido sin dificultad decenas Q cientos de aiios luz de es-pacio (casi) vacio, No obstante, las ondas electrornagneticas y las ondas mecanicastienen mucho en comun y se describen en un lenguaje muy parecido. Antes de con-tinuar leyendo este capitulo, Ierecomendarnos repasar las propiedades de las ondasmecanicas expuestas en 108 capitulos 15 y 16 del vo lum en 1.32.1 I E cu acio nes d e MaxweUy ondas e lec tromagnet icasEn varios capitulos anteriores estudiamos divers os aspectos de los campos electri-cos y magneticos. Aprendimos que, cuando los campos no varian con el tiempo,como en el caso de un campo electrico creado por cargas en reposo 0 eJ campomagnetico de una corriente estable, podemos analizar los campos electricos ymagneticos de forma independiente, Sill considerar las interaeciones entre elias.Pero cuando los campos varian can el tiempo, dejan de ser independientes. La leyde Faraday (seccion 29.2) nos dice que un campo magnetico que varia can el tiem-po acnia C01110 Fuente de campo electrico, como 1 0 demuestran las fern inducidasen los inductores y transformadores, La ley deAmpere, con la inclusion de la co-rriente de desplazamiento descubierta por Maxwell (seccion 29.7), demuestra queun campo electrico que Valia con el tiempo aetna como fuente de campo magne-tico. Esta interaccion mutua entre los dos campos se resume en las ecuaciones deMaxwell, las cuales se presentaron en la seccion 29.7.En estos terrninos, cuando un campo ya seaelectrico 0 magnetico cambia can

el tiempo, se induce un campo de otra clase en regiones adyacentes delespacio,Nos vernos orillados (como le ocurri6 a Maxwell) a considerar lacposibilidad deuna perturbacion electromagnetica, que consiste en campos electricos y_magneti-cos que varian can el tiempo, capaz de propagarse a traves del espacio de una re-gion a otra, aun cuando no exista materia en la region interrnedia. Tal perturbacion,en caso de existir, tendra las propiedades de una onda, y un terrnino apropiado esel de onda electromagnetica.Tales ondas existen; las transmisiones de radio y de television, la luz, los rayos

X y much as otras c1ases de radiacion son ejemplos de ondas electrornagneticas.Nuestra meta en este capitulo es ver como explican estas ondas los principios delelectromagnetismo que hemos estudiado hasta aqui, y tambien examinar las pro-piedades de estas ondas, >Como suele ocurrir en el desarrollo de la ciencia, Ia comprension teorica de las

ondas electromagneticas evoluciono a 1 0 largo de un camino considerablementemas tortuoso que el descrito en los parrafos preeedentes. En los primeros dins dela teoria electromagnetica (en los inicios del siglo XIX) se utilizaban dos unidadesdiferentes de carga electrica: una para la electrostatics y la otra para los fenome-nos magneticos en los que intervenian corrientes, En el sistema de unidades quese ernpleaba en aquella epoca, estas dos unidades de carga tenian dimensiones fi-sicas diferentes, Su relacion tenia unidades de velocidad, y las medicioues mos-traban que esa relacion tenia un valor numerico que era precisamente igual a larapidez de la luz: 3.00 X 108 m/s. En ese tiempo, los fisicos consideraron esto co-mo una coincidencia extraordinaria, y no tenian idea de como explicarla.Buscando comprender este resultado, Maxwell (Fig. 32.1) probo en 1865 que

una perturbacion electromagnetica debe pro~agarse en el espacio libre con rapidezigual a Ja de la lu z y, por tanto, que las ondas luminosas eran probablemente de na -turaleza electromagnetica. Al mismo tiempo, Maxwell descubrio que los principiosbasicos del electromagnetismo se pueden expresar en terminos de las cuatro ecua-

32.1 James C I e rk Maxwel I (1 8 3 1-18fue la primera persona que comprendi6verdaderamente la naturaleza fundamde la luz . Tarnbien realize importantisiaportaciones a la tennodinamica, la ola astronornia y la fotografla en color.bert Einstein describio los logros de Mwell como "los mas profundos yfructiferos que la fisica ha experimentadesde la epoca de Newton".

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1216 CAP IT U L 0 32 I Ondas electromagneticas

ciones que hoy conocemos como Jas ecuaciones de Maxwell, las cuales estudia-mas en Ia seccion 29.7. Estas cuatro ecuaciones son (a) la ley de Gauss de los cam-pos electricos; (2) la ley de Gauss de los campos magnetic os, que demuestra laausencia de monopclcs magneticos; (3) la ley de Ampere, con la inclusion de la co-rriente de desplazamiento y (4) la ley de Faraday. Las ecuaciones de Maxwell sonf . , . - . Q e n t EdA =-EO

fB.dA =0f " " " " " " " ". d 1>E )B . dl = / - L a Ie+ Eo-_dt encf - - d1>sEdl =--dt

(ley de Gauss) (29.18)

(ley de Gauss del electromagnetismo ) (29.19)

(ley de Ampere) (29.20)

(ley de Faraday) (29.21)Estas ecuaciones se aplican a los campos electricos y magnetic os en un. vacio,

Si esta presente un material, la permitividad E O y la permeabilidad f . L o del espaciolibre se sustituyen por la perrnitividad E y la permeabilidad J .L del material. Si losval ores de E y J .L son diferentes en distintos puntos de la region de integracion, en.tal easoes preciso transferir E y J .L al lado izquierdo de las ecuaeiones (29.18) y(29.20), respectivamente, y colocarlas dentro de las integrales. Tambien es nece-sario incluir la E de Ia ecuacion (29.20) en la integral cuyo resultado es d

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32.2 I Ondas electrornagneticas planas y rapidez de la luz

(a) I=0 (b ) I; 11 4

(d) I=3TI4 (e) I=T

tromagneticas estacionarias y midi6 la distancia entre nodos adyacentes (medialongitud de onda) para establecer la longitud de onda. Dado que conocia la fre-cuencia resonante de sus circuitos, de esta manera Hertz encontr6 1arapidez de lasondas a partir de la relaci6n entre longitud de onda y frecuencia v = V ; y estable-ci6 que era igual a la rapidez de la luz; esto comprobaba directamente la predic-cion te6rica de Maxwell. El nombre de la unidad Sl de frecuencia honra lamemoria de Hertz: un hertz (1 Hz) es iguaJ a un ciclo por segundo.Parece ser que el posible uso de las ondas electromagneticas para la comunicacion

a larga distancia no se le ocurri6 a Hertz. Qued6 en manes de Marconi y otros ha-cer de 1acomunicacion por radio una experiencia ordinaria en el hogar. En un trans-misor de radiosse hac en oscilar cargas electricas a 1 0 largo de la antena eonductora,can 10cual se generan pertubaciones oscilatorias de campo como las que semuestranen la figura 32.2 . Dado que SOl1 muchas las cargas que oscilan juntas en la antena, lasperturbaciones ;lon mucho mas intensas que las de una sola carga oscilante y se de-tectan a una distancia mucho mayor. En un receptor de radio la antena tambien es unconductor; los campos de Ia onda que emana desde till transmisor distante ejercenfuerzas sobre la s cargas libres del-interior de la antena receptora, y producen una co-rriente oscilanteque es detectada y amplificada por los circuitos del receptor.A 10 largo del res to de este capitulo nos ocuparemos de las ondas electromag-

neticas mismas.no del complejo problema de c6mo se generan.

(,Es posible que 'una onda puramente electrica, es decir, una onda cornpuesta de uncampo electrico pero ningun campo magnetico, se propague a traves del espaciovacio? (,Y una onda puramente magnetica, can un campo magnetico pero ninguncampo electrico?32.2 I Ondas electromagnetlcas planasy rap idez de la luzAhara estamos preparados para fOI1f1ularlas ideas basicas de las ondas electromag-neticas y su relacion con los principios del electromagnetismo, Nuestro procedi-miento consistira en postular una configuracion de campo simple can un

(c) 1= TI2

32.2 Lineas de campo electrico de ucarga puntual que oscila con movimiearrnonico simple, vistas en cinco instdurante un periodo de oscilacion T. Lyectoria de la carga esta en el plano ddibujos. En t= la carga puntual seencuentra en su maximo desplazamienascendente, La flecha muestra comopropaga una "vue Ita" de las lineas decia afuera a partir- de la carga puntual.campo magnetico (no se muestra) conde circulos que yacen en pIanos perpeculares a estas figuras y son concentriCall el ej e de oscilacion.

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. E = = 0B = = O

32.3 Frente de una onda elecrromagnetica.EI plano que representa 1 0 1 frente de ondase traslada bacia la derecha con rapidez c.Los campos E y j j son uniformes en todala region detras del frente de onda, peroson cera en todos los puntos delante de el.

'"'-'

32.4 Superficie gaussiana para una ondaelectrornagnetica plana. Tanto el flujo elec-trico total como el flujo magnetico total atraves de la superficie SOil cero,

CAP f r UL 0 32 I Ondas e l ec rr omagne ti ca s~comportarniento ondulatorio. Supondremos un campo electrico E con s610

una cornponente y y un campo magnetico B e a n s610 una componente z, y supon-drernos ademas que ambos campos se desplazan juntos en la direccion + x can unarapidez c que inicialrnente desconocemos, (A medida que avancemos, se aclararapor que elegimos que E y B sean perpendiculares a la direcci6n de propagaci6n ytambien uno al otro.) Por esto evaluaremos si estos campos SOlI fisicamente posi-bles al preguntarnos si son congruentes con las ecuaciones de Maxwell, en particu-lar con las leyes deAmpere y de Faraday. Hallaremos que la respuesta es afirmativa,siernpre y cuando c tenga un valor determinado, Ademas, demostraremos que lae cu acio n d e o nd a , que encontramos durante el estudio de las ondas rnecanicas enel capi tulo 15, se deduce de las ecuaciones de Maxwell.Una onda electromaqnetica plana simpleTomando como base un sistema de coordenadas xyz (Fig. 32.3), suponemos quetodo el espacio esta dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje de[as x (paralelo al plano yz). En c ada pun to ala izquierda de este plano hay un cam-po electrico urriforme E en la direcci6n +y y un campo magnetico uniforme B e nla direcci6n +Z , como se muestra. Ademas, supongamos que el plano Iimitrofe, alque llamaremosfrente de onda, se traslada hacia la derecha en la direccion +xcan rapidez constante c, que aun desconocernos. De este modo los campos E y Bviajan hacia la derecha ypenetran en regiones hasta ahora libres de campos conrapidez definida. En pocas palabras, la situacion describe una onda electromagne-tica rudimentaria. Una onda como esta, en Ia que en todo momenta los camposson uniformes en toda Ia extens ion de cualquier plano perpendicular a la direccionde propagaci6n, se llama onda plana. En el caso que se ilustra en la figura 32.3,los campos son cero en los pianos ala derecha del frente de onda, y tienen los mis-mos valores en todos los planes ala izquierda del frente de onda; mas adelanteconsideraremos ondas planas mas complejas.No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuraci6nde campos de esta indole. En cambio, preguntaremos simplemente si es congruen-

te can las leyes del e le ct romagn et ismo , e st o es, con las ecuaciones de Maxweil.Consideraremos sucesivamente cada una de estas cuatro ecuaciones.Verifiquemos en primer Iugar que nues tr a onda sat is f ac e la primera y la segunda

de las ecuaciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos electricos ymagneticos, Para ello, tornaremos como superficie gaussiana una caja rectangularcon lados paralelos a los planos de coordenadas xy, xz y yz (Fig. 32.4). La caja no ell-c ie rr a car ga e le ct ri ca a lguna , y usted debe pcder demostrar que eI flujo electrico y elflujo magnet ic o t o ta le s a traves de la caja son ambos cero; esto se cumple inclusosi una parte de la caja esta en la regi6n donde E = B = O.Este no s eria e l caso siE o B tuvieran una componente x , paralela a Ia direcci6n de propagacion, Dejare-m os la prueba como problema (v eas e el problema 32.33). POl 'esto , para satisfa-cer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los campos electrico ymagnetico deben ser perpendiculares a la direcci6n de propagaci6n; es decir, 1aonda debe ser transversal.La siguiente ecuaeion de Maxwell pOl ' considerar es la ley de Faraday:

I E ' d T = _ d.BJ dt (32.1)Para saber si nuestra onda satiface la ley de Faraday, apliquemos esta ley a un rectan-guio e J i ! ; h p ar al el o a l pla~ xy (Fig. 32.5a). Como se muestra en la figura 32.5b, uncorte transversal en el plano xy , este rectangulo tiene una altura a y u na a n c hu ra Sx.

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32.2 I Ondas electromagneticas planas y rapidez de la luz

j' 32.5 (a) Aplicacion de la ley de FaraI una onda plana. (b) En un tiempo dtjo magnetico a traves del rectangulodo en el plano A)' aumenta d C ( J s - Esteincremento equivale al flujo a travesrectangulo sombreado de area ac d t;cir, d< P B=B ae d t. Poreso, d

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1 " 2 2 0

yI

(a) En el t iempo dt, el frente deonda se traslada una distancia

c dt en la direccion +x

z(b) Vista aerea de la siruacion de (a)

32.6 (a) Aplicacion de la ley de Ampere auna onda plana, (Comparese con la Fig,32.5a). (b) En un tiempo d t, el flujo electri-co a traves del rectangulo situado en el pla-no xz aumenta d < l J E' Este incrementoequivale al flujo a traves del rectangulosombreado de area ac d t; es decir, d t f Je =Eac di. Por 10tanto, dWE/d t= Eac.

CAP Ir U L 0 32 I Ondas electromagneticas

Por ultimo, llevamos a cabo un calculo similar con la ley de Ampere, el miembrorestante de las ecuaeiones de Maxwell. No hay corriente de conduccion (ic =0); partanto, 1aley.de Ampere es

(32.5)Para comprobar si nuestra onda es congruente can la ley de Ampere, trasladarnosnuestro rectangulo de modo que se localice en elplano XZ, como se muestra en Iafigura 32.6, y examinamos una vet. mas la situacionen un memento en que el fren-te de onda ha atravesado en parte el rectangulo. Asignamos al area vectorial d fi ladireccion +y, y asi Ia regla de la mano derecha demanda que integremos B d 7 ensentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del rectangulo. EI campo B escera en todos los puntos a 10 largo dellado ef, y en cada punto de los lados fg y hees 0 bien cero 0 perpendicular a dt. Solo el lado gh, donde B y dt son paralelos,c on trib uy e a Iii integral, y encontramos que

(32.6)Por consiguiente, elladoizquierdo de la ley deAmpere [ecuacion 32.5)J es diferen-te de cero; ellado derecho tambien debe ser diferente de cero. Por esto, E debe te-ner una componente y (perpendicular a 1 h para que el flujo electrico WE a naves delrectangulo y Ia derivada con respecto al tiempo dw i t puedan ser diferentes de ce-ro. Llegamos a la misma conclusion que inferimos a partir de la ley de Faraday: enuna onda electromagnetica, E y B deben ser mutuamente perpendiculares,En un intervale de tiempo d t el flujo electrico WE a traves del rectangulo au-

menta dW E = E (ac d t) . Dado que a signamos la direccion +y adA, este cambio deflujo es positive; la rapidez de cambio del campo electrico esdW E- = Eac (32.7)d t

Sustituyendo las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampere [ecuacion (32.5)Jhallamos que

Ba = E o f L o E a c(onda electromagneticaen un vacio) (32.8)

De esta manera, la onda que hemos supuesto obedece Ia ley de Ampere solo si larelation entre B , eyE es la que describe la ecuaci6n (32.8).Nuestra onda electromagnetica debe obedecer tanto la ley de Ampere como la

ley de Faraday; asi que tambien se deben satisfacer las ecuaciones (32.4) y (32.8).E8tO solo es posible si E o f J . o C = 1 / c , 0

1c.= < ,,-. (rapidez de Ias.ondaselectromagneticas en un vacio) (32.9)v EofLo

Insertando los valores numericos de estas magnitudes, encontramos que1c = ~ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =v'(8.85 X 1O-12C2 /Nm2 ) (47T X 1O -7N/A 2)

= 3.00 X lO s m /sLa onda que hernos supuesto es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell,siempre y cuando el frente de onda se traslade con 1arapidez sefialada, [Ia cual re-conocemos de inmediato como la rapidez de la luz! Dese cuenta que el valor exac-

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32.2 I Ondas electromagneticas planas y rapidez de la luz

to de c es por definicion 299,792,458 m/s; para nuestros fines, c = 3.00 X 108 m/ses suficientemente exacto.Elegirnos para nuestro estudio una onda simple a fin de evitar complicaciones

matematicas, pero este caso especial ilustra varias caracteristicas importantes detodas las ondas electromagneticas:

1. La onda es transversal; tanto E como B son perpendiculares a la direccionde propagacion de la onda. Los campos electrico y magnetico tambien sonperpendiculares entre si. La direcci6n de propagaci6n es la direcci6n delproducto vectorial E x B .

2. Hay una relacion definida entre las magnitudes de E y B : E = cB.3. La onda viaja en e1vacio con una rapidez definida y constante.4. A diferencia de las ondas mecanicas, que necesitan las particulas oscilantesde un media como el agua a el aire para transmitirse, las ondas electromag-neticas no requieren un medic, Lo que "ondula" en una and a electromagne-tica son los campos electricos y magneticos.

Podemos generalizar este analisis aplicandolo a una situacion mas realista. Su-ponga que tenemos varios frentes de onda en forma de pIanos paralelos perpendicu-lares al eje de las x, todos los cuales se desplazan hacia la derecha con rapidez C.Supongase que los campos E y B son iguales en todos los puntos de una sola regioncomprendida entre dos pianos, pero que los campos difieren de una region a otra. Laonda en conjunto es una onda plana, pero en ella los campos varian par etapas a 1 0largo del eje de las x, Se podria construir una onda de este tipo sobreponiendo variasde las ondas de etapa sencilla que hernos analizado (y que se muestran en la Fig.32.3). Esto es posible porque los campos E y B obedecen el principia de sobreposi-cion en las ondas del mismomodo que en las situaciones estaticas: cuando se sobre-ponen dos ondas, el campo E total en cada PW1toes la suma vectorial de los camposE de las ondas individuales, y de modo analogo en el caso del campo B total._ Podemos ampliar 1 0 antes expuesto para -demostrar que una onda con camposque varian par etapas tambien es congruente can las leyes de Ampere y de Faraday,siempre y cuando todos los frentes de onda se trasladen con la rapidez c dada porla ecuacion (32.9). En el limite donde las etapas individuales se hac en infinitarnen-te pequefias tenemos una onda en 1a que, en cualquier instante, los campos E y Bvarian de forma continua a 1 0 largo del eje de las X. La distribucion de campos setraslada en su totalidad hacia la derecha can rapidez c. En la seccion 32.3 conside-rarernos ondas en las que E y B son funciones sinusoidales de x y t. Puesto que encada punto la relacion entre las magnitudes de E y B es E = cB, en toda onda pe-ricdica viajera las variaciones peri6dicas de los dos campos deben estar enfase.Las ondas electromagneticas tienen Ia propiedad de polarlzacion. En el analisis

precedente Ia asignacion de la direccion v a E fue arbitaria. De igua1 manera podria-mos haber especificado para E el eje z; en tal caso B habria tenido la direccion -y. DeLmaonda en la que E es siempre paralelo a Ull eje determinado se dice que esta l ineal-mente polarizada a 1 0 largo de ese eje, En terminos mas generales, cualquier ondaque viaja en la direcci6n x se puede representar como una sobreposicion de ondas li-nealmente po1arizadas en las direcciones y y Z. En el capitulo 33 estudiaremos la po-larizaci6n con mas detenimiento, con especial atencion a la polarizacion de la luz,*Deducc ion de la ecuacion de ondaA continuaci6n expondremos otra deduccion de la ecuacion (32.9) que describe larapidez de las ondas electromagneticas, Este tratamiento es de caracter mas mate-matico que el anterior, pero incluye una deducci6n de la ecuacion de onda. de lasondas electromagneticas. Se puede omitir esta parte de la seccion, sin perdida decontinuidad en el capitulo.

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z

y

C a )y

e

(b)Vista lateral de la sitnacion de (a)- o ~ - - - - - - - - - - - - - - - x

CAP f T U L 0 32 I Ondas electromagneticas

Durante nuestro analisis de las ondas mecanicas en la secci6n 15.3, dernostra-rnos que una funci6n y (x, t) que representa el desplazamiento de cualquier puntode una onda mecanica que viaj a a 10largo del eje de las x debe satisfacer una ecua-cion diferencial, In ecuacion (15.12):

(32.10)

x

ax2 v2 a t ' 1Esta ecuacion se conoce como la ecuaclon de onda, yves la rapidez de propaga-cion de la onda.Para deducir la ecuaci6n correspondiente a una onda electromagnetica, consi-

deremos una vez mas una onda plana. Es decir, suponemos que en todo momentaE; y B, son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje de lasx, la direcci6n de propagaci6n. Pero ahara permitimos que E; y B, varien de for-ma continua al avanzar a 10largo del eje de las x ; en estas condiciones ambas sonfunciones de x y t.Consideremos los valores de E y yB, en dos pianos perpendicu-lares a! eje de las x: uno en x y el otro en x + Lll:.Siguiendo el mismo procedimiento que antes, aplicamos la ley de Faraday a un

rectangulo que yace paralelo al plano .:t)', como en la figura 32.7. Esta figura es si-milar a la figura 32.5. EI extrema izquierdo gh del rectangulo esta en la posici6n x,y el extremo derecbo ef , en la posicion (x + Lll:). En el tiempo t, los valores de E yen estes dos lados son E / . x . , t) y E /x + fu:, t) , Tespectiva~ente. Al aplicar la ley deFaraday a este rectangulo, hallamos que, en vez de j E . e l l = ~E a como en el ca-so anterior, tenemos 10 siguiente:

fE.cd = -Ey(x, t)a + Ey(x + 6.x, t) a= a [ E, (x + 6.x, t) ~ Ey ( x, t) )

32.7 Aplicacion de la ley de Faraday a unrectangulo de altura a y anchura Ii}.; parale-1 0 al plano xy.

,Iy

o

~1- ~~ x

z(b) Vista latera l de Ia sitnacion de (a)

(32.11)

Para determinar el flujo magnetico C P B a traves de este rectangulo, suponemosque Lll: es 10 suficientemente pequefio para que B, sea casi uniforme en todo elrectangulo. E n ese caso, C P B = B .(x, t)A =B zC x, t )a fu: y

e l < P B aBz(x,t)--- = a 6. xdt a tSe utiliza la notacion de derivadas parciales porque B, es funcien tanto de x como

x de t. Al sustituir esta expresi6n y la ecuaci6n (32.11) en la ley de Faraday [ecua-ci6n (32.1)] se obtiene

a [ E ; (x + 6.x, t) - E ; (x, t) J =Ey(x + 6.x, t) - Ey(x, t)

6. x

es ,--a6. xa ten ,a t

Por ultimo; imaginernos que el rectangulo se encoge hasta quedar como una asti-lla, de modo que 6.x tiende a cero, Cuando se toma el limite de esta ecuaci6n co-mo Lll: --70, se obtiene

(32.12)

32.8 Aplicaci6n de la ley de Ampere a unrectangulo de altura a y anchura Lll parale-10 al plano xz,

.Esta ecuaci6n demuestra que, si hay una componente B " de campo magnetico quevaria con el tiempo, debe haber tambien una componente E y de campo electricoque varia can x, y viceversa. Guardemos por ahara esta relacion en nuestros archi-vos; pronto volveremos a ella.

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32.2 I Ondas electromagnetic as planas y rapidez de la luz

A continuaci6n_,apl~amos la ley de Ampere al rectangulo de la figura 32.8. Laintegral de linea pB . dl se convierte en 't i l ' d I = ~Bz(x + .6..x,t)a + B ,(x, t)a (32.13)Suponiendo una vez mas que el rectangulo es estrecho, tomamos como aproxima-cion del flujo electrico < D E a traves de el la expresi6n (1)= = Ey(x, t) A =Ey(x, t) a Llx.La rapidez de cambio de < 1 ) , que necesitamos para la ley de Ampere, es por 10tanto

d C D aE y (x , t)-- = aS:xd t atAhora sustituimos esta expresi6n y la ecuaci6n (32.13) en la ley de Ampere [ecua-ci6n 325)]:

aE y(x, t)-B, (x + .6..x,t)a + B ,(x, t)a = c o / - k o a S x- - a t 'Dividiendo una vez mas ambos lados entre a . 6 . . x y tomando el limite como . 6 . . x --1< 0se obtiene

ax (32.14)aBz(x, t)

Viene ahora la etapa final. Se obtienen las derivadas parciales can respecto a xde ambos lados de 1aecuacion (32.12), y las derivadas parciales con respecto a t deambos lados de la ecuaci6n (32.14). Los resultados sona 2E y ( x , t) a 2BJx , t)

ax1a 2B, (x , t) axata 2Ey(x, t)= E o / - k o(JxatCombinando estas dos ecuaciones para eJiminar B, se obtiene fina1mente

a 2Ey(x, t) a 2Ey(x, t)ax2 =o J . L o at 2(ecuacion de onda electromagnetica en un vacio)

Esta expresion tiene Ia misma forma que la ecuaci6n general de onda [ecuaci6n(32.10)]. Dado que el campo electrico E; debe satisfacer esta ecuaci6n, se cornpor-ta como una onda con una distribucion que viaja a traves del espacio con rapidezdefinida. Mas aun, la comparaci6n de las ecuaciones (32.15) y(32.l0) muestra quela rapidez de onda vesta dada par

1 1 '"2 = E o J .L o 0 v = ---v ~

(32.15)

Esto concuerda conla ecuaci6n (32.9) de la rapidez c de las ondas electromagneticas,Podemos demostrar que B, tambien debe satisfacer la misma 'ecuaci6n de onda

que EY ' la ecuaci6n (32.15). Para probarlo, obtenemos la derivada parcial de laecuaci6n (32.12) con respecto a t y la derivada parcial de la ecuaci6n (32.14) conrespecto a x, y combinamos los resultados. Dej amos esta derivaci6n como proble-rna (vease el problema 3235).

En una onda de la clase que se representa en Iafigura 32.3, la magnitud del campoelectrico detras del frente de onda es de 4.50 X 102 Vim. I',Cwiles la magnitud delcampo magnetico?. . .

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A d - I VP h y s c s10 .1 P ropied ades de las midas

meranicasLas ondas que pasan a traves de un areapequefia se pro pagan todas casi en lamisma direcci6n; podernos tratarlas comoondas planas

/Fuente de# ondas ~~ electrornagneticas

~~Ondas que se propagan en diferentes direcciones32.9 Las ondas que pasan a traves de unarea pequefia a una distancia suficiente-mente grande de la Fuente se pueden tratarcomo ondas planas.

y

zIi

IiE : s610 cornponente yii : s610 componente z

32.10 Representacion en funcion de x delos campos electricos y magneticos corres-pondientes a una onda electrornagnetica si-nusoidal plana linealmente polarizada. Se .muestra una longitud de onda de la ondaen el tiempo t =O.La onda viaja en la di-~cci6Jl x positiva, I a misma del productoEx B.

CAP i T U L 0 32 I Dudas electromagneticas

32.3 I Ondas electromagneticas s inuso ida lesLas ondas electrornagneticas sinusoidales son directamente analogas a las ondasmecanicas transversales sinusoidales que se forman en una cuerda estirada, lascuales estudiamos en la secci6n 15.3. En una onda electromagnetica sinusoidal, Ey j j SOIl funciones sinusoid ales del tiempo en cualquier punta del espacio, y en to-do memento la variacion espacial de los campos tambien es sinusoidal.Ciertas ondas electromagneticas sinusoidales son ondas planas; comparten

can las ondas descritas en la seccion 32.2 la propiedad de que en todo memento ;los campos son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular a la di-reccion de propagacion, La distribuci6n en conjunto viaja en la direccion de pro-pagaci6n con una rapidez c. Las direcciones de E y j j son perpendiculares a ladirecci6n de propagaci6n (y uno respecto al otro), por Io que la onda es transver-sal. Las ondas electromagneticas generadas por una carga puntual oscilante (Fig.32.2) son un ejemplo de ondas sinusoidales que no son ondas planas. Pero si res-tringimos nuestras observaciones a una r eg ion r el at iv a rnent e peque fi a del espacioa una distancia 1 0 bastante grande respecto a la fuente, las ondas planas son unabuena aproxirnaci6n aun de estas ondas (Fig. 32..9). Del mismo modo, la superfi-cie curva de la Tierra (cas i) esferica nos parece plana debido a nuestro tamafio re-lativamente pequeiio en comparaci6n con el radio del plan eta. En esta seccionrestringiremos nuestro analisis a las ondas planas.La frecuenciaj; la longitud de onda A y la rapidez de propagacion c de cual-

quier and a periodica guardan entre S 1 la conocida relacion entre longitud de onday frecuencia c = A l Si la frecuenciaj es la frecuencia de linea de energia elecrri-ca de 60 Hz, la longitud de onda es

c 3 X 10 8 mlsA = - = = 5 X 10 6 m = 50 00 kmf 60Hzjque es del orden del radio terrestre! En el caso de una onda con esta frecuencia, in-".cluso una distancia de rnuchos kilometres comprende s610una pequefia fraction deuna longitud de onda. En cam bio , s i la frecuencia es de 10 8 Hz (l00 MHz), repre-sentativa de las transmisiones comerciales de radio en FM , la longitud de onda es

3 X 108 m/sA= =3m108Hzy una distancia moderada incluye muchas ondas completas.La figura 32.10 rnuestra una onda electromagnetic a sinuseidal linealrnente po-

Iarizada que viaja en la direcci6n + X . Se muestran los vectores E y B correspon-dientes a s610 unos pocos puntos sabre el eje de las x positivas. Dese cuenta quelos campos electrico y mazn et ic o o s cil an en fase: E es maximo donde jj es maxi-mo y E es cero donde jj e; cero. Dese cuenta adernas que, donde E tiene la direc-cion +y, jj tiene 1adirecci6n +z; donde E tiene la direccion-y, jj tiene 1adirecci6n-z. En todos los puntos 1adireccion del prcducto vectorial E X j j es la de propaga-cion de la onda (la direcci6n +x). Ya mencionamos esto en la secci6n 32.2, en lalista de caracteristicas de las ondas electrornagneticas.

Esposible que la figura 32.10 Ie haya dado la impresi6n err6nea deque los eampos electrlcos y rnaqnetlcos existen unicamente a 10 largo del ejede lasx. De hecho, en una onda plana sinusoidal hay campos electricos en todoslos puntas del espacio. Supongamos un plano perpendicular al eje de las x (estoes,paralelo al plano yz) en un punta en particular yen un momenta determina-do; los campos tienen los mismos valores en todos los puntas de ese plano. Losvalores son diferentes en los distintos planes.

x

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32.3 I Ondas electromagneticas sinusoid ales

Podemos describir las ondas electromagnetic as por media de funciones de 01'1-da, tal como 1 0 hicimos en la secci6n 15.3 en el caso delas ondas en una cuerda.Una forma de la funcion de onda de una onda transversal que viaja en la direccion+x a 10 largo de una cuerda estirada es la ecuaci6n (15.7):

y(x, t) = A cos(kx - wt)donde )leX, t) es el desplazamiento transversal respecto ala posicion de equilibriaen el tiempo t de un punta can coordenada x sabre la cuerda, La magnitud A es eldesplazamiento maximo, 0 amplitud, de la onda; w es siifrecuencia angular, iguala 2"lTveces Ia frecuenciaf y k es el numero de onda, igual a 2n" lA , donde Aes lalongitud de onda.Sea Ey(x:. t ) y Bix , t) Ia representacion de los valores instantaneos de la compo-

nente y de E y de la componente z de B, respectivamente, en la figura 32.10, Ysean Emil>YBm!lX los val ores maximos, 0 amplitudes, de estos campos. De esta ma-nera las funciones de onda de la onda sonEy(x, r) = Em., cos(kx - wt) Bz(x, t) = Emw. cos(kx - wt) (32.16)(onda electromagnetica plana sinusoidal que se propaga en la direcci6n +x)Tarnbien podemos escribir las funciones de onda de forma vectorial:

E(x, r) :::::Emw.cos.(kx -wt)B(x, t ) : : : : : k E m , ; x cos (kx - wt) (32.17)

cu D A b l i J Dese cuenta que las dos k son diferentes: el vecto run itar i0 k en ladirecci6n z y el numero de onda k. iNo confunda estes conceptoslLas curvas sinusoidales de la figura3 2.10 representan valores instantaneos de

los campos electrico y magnetico en funci6n de x en el tiempo t = 0, es decir, E(x, r = 0) y jj (x, t = 0). Conforme transcurre el tiempo, la onda viaja hacia la de-recha con rapidez c. Las ecuaciones (32.16) y (32.17) muestran que en todos lospuntos las oscilaciones sinusoidales de E y B estan en fase. De acuerdo con laecuacion (32.4), la relacion entre las amplitudes debe ser

(onda electromagnetica en el vacio) (32 .18)Estas relaciones de amplitud y fase tambien son un requisite pam que E(x , t) yB(x , t) satisfagan tas ecuaciones (32.12) y (32.14), derivadas de la ley de Faradayy de la ley de Ampere, respectivamente. l.Puede usted verificar esta aseveracion?(Vease el problema 32.34).La figura 32.11 muestra los campos electrico y magnetico de una onda que via-

ja en ia direccion x negativa. En los puntos donde E tiene la direcci6n y positiva,B tiene la direccion z negativa; donde E tiene la direcci6n y negativa, j j tiene la di-reccion zpositiva. Las funciones de onda correspondientes a esta onda son

BAx, t) = ~Bma , c os( kx + wt) (32.19)(ondaelectrornagnetica plana sinusoidal que se propagaen la direcci6n -x)Como en el easo de la onda que viaja en la direcci6n +x, en todos los puntos lasoscilaciones sinusoidales delos campos E y B estan enfase, y el producto vecto-rial j J ; X B apunta en la direcci6n de propagaci6n.Las ondas sinusoidales que se muestran en las figuras 32.10 Y32.11 estan ambas

linealmente po\arizadas en la direccion y; el campo E siempre es paralelo al eje delas y. E I ejemplo 32.1 se refiere a una onda linealmente polarizada en la direcci6n z.

y

z

iiE : s610 componente yjj. s610 componente z

3.2.11 Representacion de una longituonda de una onda electromagnetica ssoidal plana Iinealmente polarizada qviaja en la direccion x.negativa en t =Solo se muestran los campos correspodientes a puntos a lo largo del eje x.(Cornparese con la Fig. 32.10.)

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1226 CAP f T U L 0 32 I Ondaselectromagneticas

Es tr at eg ia parareso lver prob lemas Ondas electromagnet icas

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Muchas de las ideasaplicables a las ondas mecanicas (estudiadas en los capttnlos 15y 16) tambien 10son a las ondas eleotromagneticas, La caracte-ristica rievedosa es que la onda queda descrita por dos .cantida-des, el campo electrico jJ ; y el campo magnetico 8 , en vez deuna sola cantidad, como el desplazamiento de una cuerda,PlANTEAR elproblema segUn las etapas siguientes:1. Dibuje un diagrarna que muestre Ia direccion de propaga-

cion de la onda y las direcciones de E y B .2. Halle las variables objetivo.

EJECUTAR lasoluci6n como sigue:I. Ell los problemas relacionados con ondas electromagneti-

cas, la mejor estrategia consiste en concentrarse.en las re-I ac iones bas ic as , como, por ejemplo, la relacion entre E yB (tanto de magnitud como de direcci6n), cornose.deter-rnina la rapidez de la cnda, la naturaleza transversal de lasondas, etcetera. Tenga en mente estas relaciones al resol-ver los detalles matematieos,

2. En el caso de ondas electrornagneticas sinusoidales, es ne-cesario utilizar el Ienguaje formulado para las ondas rneca-nicas sinusoidales en los capitulos 15 y 16_No dude envo l v er a tz as para r ep as ar e l.m at er ia l, i nc lu s o l as estrategiaspara resolver pr-oblemas que s e s ugi er en en esos capi tu los.

3. 'Iengaen mente l as r el ae io n e s ba si ca s de la s ondas periodi-cas: u =A f y w =uk . En el caso de la s ondaselectromagne-ticas en un vacio, (J =c. Distinga con todo cuidado entre lafrecuencia ordinaria! quenormalmentese expresa en hertz,y la f re eu e nc ia a ng u la r 0)= 21ff , que se express e nr ad /s , R e-euerde asirnismo que el mimero de onda lO S k =2771A.

EVALUAR l a r es pues ta . .Compruebe que au resultado searazona-ble. En el caso de las ondas electro magnetic as en un vacio, Iarnagnitud del campo-magnetico en tesla es mucho menor (per CUlfactor de 3.0 0 x 10 1) que lamagnitud del campo electrico en voltpor metro. Si su-respuesta sugiere otra cosa, esprobable que hayacometido unerrotal utilizar la relaoion E = cB. (Mas adelante ve-remos en esta seccion que Iarelacion entre E yB es diferente enel case de ondas electromagneticas en un medio material).

Ejemplo32.1 C ampos de un ray o laserUn laser de dioxide de carbone ernite una ondaelectrornagneticaSill usoidal qlle viaja en UJ J vaoio en la direceion x negativa, La Ion-gitud de onda es de 10.6 pm y el campo electrico E es paralelo aleje de [as z, con una magnitud maxima de 1,5 MVIm. Escriba ecua-ciones vectoriales de E y B en funcion del tiempo y la posicion.

y

xEE : s610 cornponen tezii : solocomponeute y

3 2 . 1 Z Representacion de una longitud de onda de una onda elec-rromagnetica sinusoidal plana que viaja en la direccion x negativay esta l inealmente polarizada a 10largo del eje z. S610 se rnues-tran los campos correspondientes a puntos a 10 largo del eje de lasx en t=O.(Ccmparese con la figura 32,11, donde se muestra unaonda que viaja en la misma direccion pero esta linealrnente polari-zada a 10largo del eje y) .

11.j'i'3M~1.ID EN tIF lC AR Y P LANTEAR : Las ecuaciones (32.19) deseriben unaonda que viaj a en Ia direccion x negativa con E a 10largo del eje y;esto es, una onda Iinealmente polarizada a 10 largo del eje y. PorJTIostrardiferencias, la onda de este ejemplo e s ~ alinealmen~e polari-zada a 10largo deke je z. En los puntos donde E tiene 1adireccion zpositiva, B debe tener la direccionj- positiva para que elproducto vec-torial E x B tenga la direccion x negativa (la direccionde propaga-cion). La figura 32.12 muestra una qnda que satisface estes requisites.EJECUTAR: Un posible par de funciones de onda que describen laonda de la figura 32, 12 son

E (x, t) "" kEmi~ cos(kx + wt) B(x, t) = .: eos(kx + wt )EI signo mas de los argumentos de las funciones coseno indica quela onda se propagaen la direccionx negativa, como debe ser, La leyde Faraday exige que Emilx =cB m ix [ecuacion (32 _18)1 ; por tanto,

Em~ 1.5 X 106 VImB " =- = = 5,0 X 10-3 Tma x C 3.0 X 10 8 m/sPara comprobar la consistencia de las unidades, advierta que 1V= I Wb/s Y 1 W b /m 2 =1 T .'Ienemos A= 10.6 X IO---{i; aS1que el numero de onda y la fre-

cuencia angular son

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32.3 i Ondas eleetromagneticas sinusoidales 1k=hi A = (217 cad) I( 10.6 X 10 -6 ill) = 5.93 X 10 5 rad/mw = ck = (3.00 X 108 m/s] (5.93 X 105rad/m)= 1.78 X 1014 rad/s

Sustiruyendo estas variables en las funciones de onda antes citadasse obtieneE(x , t) = i C ( 1.5 x 106Y/m) cos [(1.78 X .1014 rad/s)+ (5.93 x 10 5cad/m)xlB (x,t) =j(S.O X 1O -3T) cos [(1.78 X 1014rad/s)t

+ (5.93 X 105 rad/m)x]Con estas tres ecuaciones podemos hallar los campos del rayo Hiseren cualquier posici6n y momenta en particular sustituyendo valoresespecificos de x y t.

EVALUAR: Como es de esperar, Jamagnitud de Bini , en tesla eeho menor que [a magnitud de Em "-, en voltpor metro. Para corbar l a s direcciones de E y B , advierta que E X B tiene In direde k x j = - i. Esto es 10correcto respecto a una onda que spaga en la direccion x negativa,. Nuestras expresiones de E e x , t) y B e x , t) no son las unicaIuciones posibles. Siempre es posib1e agregar una fase a losmentes de la funcicn coseno, con 10que kx + wt se ccnvertirkx + wt + . Para determinar el valor de seria necesario coE y B ya sea en funci6n de x en un tiempo t deterrninado 0 encion de t en una coordenada x dada. Sin embargo, el enunciadoproblema no incluye esta informacion.

O nd as electrom a gnetica s en la m ateriaHasta este punto, nuestro analisis de las ondas electromagnetic as se ha restringi-do a ondas en un vacio. Pero las ondas electromagneticas tambien viajan en la ma-teria; piense en Ia luz que viaja a traves de aire, agua 0 vidrio. En esta subseccionampliaremos nuestro analisis para abarcar las ondas electromagnetic as en mate-riales no eonduetores, esto es, en dielectricos.En un dielectrico la rapidez de las ondas no es Ia misma que en un vacio, y la de-

notamos con u en vez de c. La ley de Faraday permanece intaeta, pero en la ecua-cion (32.4), deducida de la ley de Faraday, se sustituye la rapidez c por v. En la leyde Ampere la corriente de desplazamiento viene dada no por E O d 'PE ld t , donde 'P Ees el flujo de E a traves de una superficie, sino par E d 'PE ld t = KEo dcDddt, dondeK es la constante dielectrica y E es la permitividad del dielectrico, (presentamos es-tasmagnitudes en la seccion 24.4). Ademas, es preciso sustituir la constante J . L o dela ley de Ampere por u. = K m f - L o , donde K r n es la permeabilidad relativa del dielec-trico y 0 es su permeabilidad (vease la secci6n 28.8). Par esto, las ecuaciones (32.4)y (32.8) se sustituyen pOl'

E = = vB Y B = EJ.LvE (32.20)Siguiendo el mismo procedimiento que en el caw de ondas en un vacio, hallamosqu e la rapidez de onda v es

1- _1 .._. 1- =cC ~ , V =c - _ - = ------ =----- _ = z : ~ - vK1C:~~v 'K--._ ~ _ ~ . __nl ~ . m ~ ._

::.__(iapide;z:.de _ 1 ~ S - ? p d a s electfom~gn:~tica~n un dielectrrco)En casi todos los dielectricos la penneabilidad reIativa K m se aproxima mucho a la uni-dad (salvo en el caso de los materiales ferromagneticos aislantes). Cuando K m = = 1,

liev =-----=--vK~ V KDebido a que K es siempre mayor que la unidad, 1 a rapidez v de las ondas electro-magneticas en un dielectrico siempre es menor que la rapidez c en un vacio por unfactor de 1tVK. La proporci6n de la rapidez c en un vacfo respeeto a la rapidezv en un material se conoce en optica como el indice de refraccion ndel material.Cuando K I 1 1 = = 1,

(32.22)

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1228 CAPITULO 32 I Ondas eleetromagneticasPor regla general no podemos emplear los valores de K de la tabla 24.1 en esta ecua-cion porque esos valores se rniden can base en campos eleetricos constantes. CUaJ.l-do los campos oscilan rapidamente, norrnalmente no hay tiempo para que ocurrala reorientacion de los dipoles electricos que tiene lugar con los campos estables.Los valores de K con campos que varian rapidamente son por 10 general muchomas pequeiios que los valores de la tabla. Par ejemplo, laK del agua es de 80.4 cancampos estables, pem es solo de 1.8 en eI intervalo de frecuencias de la luz visi-ble. Asi pues, la "constante" dielectrics K es en real idad una funcion de la frecuen-cia, yes llamada lafunci6n dielectrica en los tratamientos mas avanzados,

. E jem plo. 32.2 Ondas e lect romagne ticas en mate ria les d ife ren tesa) Cierta neche, durante una visira a una joyeria, usted sostiene undiamante contra la luz de una lampara de alumbrado publico. EI va-por de sodio caliente de la larnpara emite luz amarilla con un a fre-cuencia de 5.09 x 1014 Hz. Halle la longitud de onda en el vacio, larapidez de propagacion de las ondas en el diamante y la longirud deonda en el. A esta frecuencia, las propiedades del diamante son K =5.84 YKm = 1.00. b) Una onda de radio con una frecuencia de 90.0MHz (de Ia banda de difusion de radio FM) pasa de un vacio a unaferrita aislante (un material ferromaguetico que se util iza en los ca-bles de computadora para eliminar la interferencia de radio). En-cuentre la longitud de onda en eJ vacio, -larapidez de propagacionde las ondas en la ferrita y la longitud de onda en la ferrita. A estafrecuencia, las propiedades de Iaferrita son K = 10.0 YKm = = 1000.11.llili t i l ~IIDEN TIF IC A R V P LA N TEA R : En ambos casos se proporciona lalongitud de onda util izando Is relacion c = A f La rapidez deondavesta dada en terrninos de c, la constante dtelectrica x y la permea-bilidad relativa K m por la ecuacion (32.21). Una vez conocido eJ va-lor de !J , ap licamos v =Afpara determinar la longitud de onda delmaterial en cuestion.E J E C U T A R : a) La longitud de onda de Ia I uz de sodio en el vacio es

c 3.00 X 108 mlsAV"oiQ =- = = 5.89 X 10-7 m = 589 nIDf 5.09 X 1014 Hz

La rapidez de ouda en el diarnante esc 3.00 X 108 mls

Vd;,m""'" =~ = V(5.84)(1.00)

Esto equivale aproxirnadamente ados quintas partes de la rapidezen el vacio. La longitud de onda es proporeional a la rapidez de on-da y, por esto, se reduce por el mismo factor:

A - v d ; " n , , , ' e 1.24 X 1O~m/sdl aruan te - f 5.09 X 1014 H z

= 2.44 X 10-7 m = 244 nmb) Siguiendo las rnisrnas etapas que en el incise (a), hallamos quela longitud de onda de la onda de radio en el vacio es

c 3.00 X lOs rn/s,\.v,,[o =- = {; = 3.33 TIlf 90.0XIOHz

La rapidez de onda en la ferrita esc 3.00 X lOs m/sv - = 3.00 X 106misferrtr =V K K ; " - V ( 10.0)( 1000)

Esto es tan s610 el 1% de la rapidez de la luz en un vacio; asl, la lon-gitud de onda equivale igualrnente aI 1% de la longitud de onda enun vacio:

.!Jreni'" 3.00 X 109 m/s, - _. - '"'33 X 10-2 m = 3.33 em}'f"crita - T-0.0 X 106Hz - .;J.EVALUAR : La rapidezde Ia luz en materiales transparentes como eldiarnante flucrua tipicamente entre c y algunos puntos porcenrualesde c. Como 10 indica nuestro resultado del incise (b), la rapidez delas ondas electromagnetic as en materiales densos como la ferri tapuedeser mucho rnenor que en el vacio.

Una onda electrornagnetica sinusoidal viaja en la direccion z negativa, ,,:,CuaJesson las posibles funciones de onda de E y B si Ia onda esta linealrnente polariza-da en Ia direccion x?32.4 Energia y can tidad de movim ientode las ondas e lectromagneticasEs un hecho muy conocido que hay energia asociada can las ondas electromagne-ticas; piensese en la energia de la radiacion solar. Las aplicacicnes practicas de lasondas electrornagneticas, como los homos de microondas, los transmisores de ra-

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32.41 Energia y cantidad de movirniento de las cndas electromagnetic as

dio y los laseres para cirugia ocular, utilizan la energia que estas ondas transpor-tan. Para comprender c6mo se utiliza esta energia, resulta uti I deducir relacionespormenorizadas de la energia de una onda electromagnetica,

Tornarernos como punto de partida las expresicnes deducidas en las secciones24.3 y 30.3 de las densidades de energia en campos electricos y magneticos; Iesugerimos repasar ahora esas deducciones. Las ecuaciones 24.11 y 30.10 mues-tran que, en una region de espacio vacio donde estan presentes campos E y jj, ladensidad de energia total u esta dada por

It "" . ! _ E o E 2 + _ 1 _ B 2 (32.23)2 2/-Lodon de E O Y / - L o son, respectivamente, la permitividad y la permeabilidad del espa-cio libre. En el caso de las ondas electromagneticas en un vacio, la relaci6n entrelas magnitudes de E y B es

B = _ _ = ~Ec (32.24)Combinando las ecuaciones (32.23) y (32.24), podemos expresar tambien la den-sidad de energia u de Ullaonda electromagnetica simple en un vacio como

U "" . ! _ E o E 2 + _ 1 _ ( ~ E ) 2 = E o E 2 (32.25)2 2 / - L oEsto demuestra que, en un vacio, la densidad de energia asociada c~n el campo Een nuestra onda simple es igual a I l l . densidad de energta del campo B. En general,la magnitud del campo electrico E es funci6n de In posici6n y del tiempo, comoen el caso de la onda sinusoidal descrita par las ecuaciones (32.16); en estos ter-minos, la densidad de energia u de una onda electrornagnetica, dada pOI la ecua-cion (32.25), tambien depende en general de l a pos ic ion y del tiempo.F I .u jo de ene rgJa electromaqnetlea yel vector de PoyntingLas ondas electromagnetic as como las que hemos descrito son ondas viajeras quetransportan energia de una regi6n a otra, Par ejem p lo , en la onda descrita en la sec-cion 32.2 los campos E y B avanzan con el tiempo hacia regiones donde original-mente no habia campos, y llevan cousigo la densidad de energia u a medida queavanzan, Podemos deseribir esta transferencia de energia en tenninos de la ener-gia transferida por unidad de tiempo y por unidad de area de seccion transversal,o potencia por unidad de area, respecto a un area perpendicular a la direccion derecorrido de la onda.Para ver la relaci6n entre el flujo de energia y los campos, considere un plano

estacionario, perpendicular al eje de las x, que coincide con el frente de onda enun memento determinado. En un tiempo dt despues de esto, el frente de ondaavanza una distancia dx = c dt hacia la derecha del plano. Si considerarnos un areaA sobre este plano estacionario (Fig. 32.13), advertimos que la energia del espa-cio a la derecha de esta area debi6 haber pasado a traves del area para llegar a lanueva ubicacion. El volumen dV de la regi6n en cuestion es el producto del areade la base A por la longitud edt, y la energia dU de esta regi6n es el producto dela densidad de energia 1.1 par este volumen.

dU= udV= ( E o E 2 ) ( A C ' d t )Esta energia pasa a traves del area A en el tiempo dt. El flujo de energia por uni-dad de tiempo y por unidad de area, al que llamaremos S, es

1 dU ,0S = - - = E o c E " " (en un vacio) (32.26)A dt

y

oz

Planoestacionari 0 Frente de onda ellel tiempo dt poster

32.13 Frenle de onda en un tiernpo dpues de atravesar el plano estacionarioarea A. El volumen comprendido entrplano y el frente de onda contiene untidad de energia electromagnetica uA

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32.14 Estes paneles solares de techo estaninelinados de modo que rniren de cam alsol, esto es, de cara al vector de Poyntingde las ondas electrornagneticas provenien-res del Sol, a fin de que absorban la maxi-ma cantidad de energia ondulatoria.

CAP iT U L 0 32 I Ondas electrornagneticasA partir de las ecuaciones (32.15) y (32.25) podemos deducir las formas equivalentes

EO ., r ; ; ; 0 EES = = ~E- = = \j~E- = fL o (en un vacio) (32.27)Se deja como problema 1adeduccion de la ecuacion (32.27) a partir de la ecuacion(32.26) (vease el ejercicio 32.23). Las unidades de S son de energia por unidad detiempo y por unidad de area, 0 de potencia por unidad de area. La unidad SI de Ses IJls m2 01 W/m2 .Podemos definir una cantidad vectorial que descri be tanto Iarnagnitud como la

direccion de 1arapidez de flujo de energia:-!; 1 . . . . - ~S'='-E x-B", .. (vector-de Poynting en un vacio)fLo - . .

EJ vector S recibe el nornbre de vector de Poynting; fue introducido por el fisicobritanico John Poynting (1852-1914). Su direccion coincide conla de propaga-cio~ de 1a onda (Fig. 32.14). Puesto que E y B son perpendiculares, Ia magnitudde S es S = E E l fLo; de acuerdo con lasecuaciones (32.26) y (32.27), este es el flu-jo de energia par unidad de area y por unidad de tiernpo a traves de un area de sec-ei6n transversal perpendicular a la direccion de propagacion, El flujo total deenergia por unidad de tiempo (potencia, P) hacia afuera de cualquier superficiecerrada es la integral de S sabre la superficie:

0 2 . 2 8 ) " .

P = = fS'dAEn el caso de las ondas sinusoidales estudiadas en 1 1 : 1 seccion 32.3, asi como en

el de otras ondas mas complejas, los campos electricos y magnetic as en un puntocualquiera varian con el tiempo, par 10 que el vector de Poynting tambien es fun-cion del tiempo, Ya que las frecuencias de las ondas electromagneticas tipicas sonmuy altas, la variacion del vector de Poynting can el tiempo es tan rapida que 10mas apropiado es examinar su valor promedio. La magnitud del valor promedio deS en un punto se conoce como ia intensidad de la radiacion en ese punto. La uni-dad de intensidad es la misma que la de S: I W/m2 (watt por metro cuadrado).Veamos cual es Ia intensidad de la onda sinusoidal que describen las ecuacio-

ne s (32. J 7). Prirnero susti tuirnos E y B en Ia ecuacion (32.28):-+ 1 ~ ~S(x, t) = = -E(x, t) X B(x, t)fL o

= l_[jEUd x cos(kx - w t ) ] X [ k B m a x co~(kx - w t ) ] 'fL o o El producto vectorial de los vectores unitarios j X k = = i y cos2(kx - w t) nunca esnegative, par 1 0 que S (x, t) siernpre apunta en la direccion x positiva (la direcci6nde propagacion de la onda), La componente x del vect_slrde Poynting es

( ) E m o x B m a x ~ ( ) E m " " B m a x [ ( ) JS y x, t =.... ..cos- kx - wt = . 1 + cos 2 kx - to tfLo 2fJ.oEl valor promedio en el tiempo de cos 2(kx - wt) es cere pOl'que,en cualquier pun-to, es positivo durante media ciclo y negativo durante la otra mitad, Por tanto, el va-lor promedio del vector de Poynting en un ciclo completo es Sprom = iS prom, donde

S ~ E o , " x B m , xprom 2fLn

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32.4 I Energfa y cantidad de movimiento de las ondas electromagneticas

es decir, la magnirud del valor promedio de S en el easo de una onda sinusoidal (laintensidad 1 de la onda) es 1 1 2 del valor maximo. Can base en las relaciones E m i l ' =B m " X c Y E o f . L o = = lIc2 , podemos expresar la intensidad en varias formas equivalentes:

1= S = Em5xBmax =_Ema } = ! J E E O E .2 =. E cE 2 (32,29)prom -2 .2 2 II. max 2 0 max.-; fLo fLoC ,.-0(intensidad de una onda sinusoidalen el vacio)

La invitamos a verificar que todas estas expresiones son equivalentes,En el caso de una onda que viaja en la direcci6n -x, representada par las ecuacio-

nes (32. I 9) , el vector de Poynting tiene la direccion -x en todos los puntos, pero sumagnitud es la misma que en el caso de una onda que viaja en la direccion +x. Ledejamos a usted la verificacion de estas aseveraciones (vease el ejercicio 32.20).-=~ .......D""O.. En cualquier punto x, la magnitud del vector de Poynting varia conel tiempo. Enconsecuencia, la rapidez instentene con la que lIega a una super-ficie la energfa electromagnetica de una onda plana sinusoidal no es constante.Esto pareceria eontradecir la experienda ordinaria; la luz solar, un foco 0 el la-ser de un lector de una caja del supermereado, parece estable y de intensidadinvariable. De hecho, el vector de Poynting de estas fuentes varia en el tiempo,pero la variaci6n no es perceptible por ser tan grande la freeuencia de oscila-cion (alrededor de 5 x W! 4 Hz en el caso de la luz visible). Lo unico que percibi-mos es la rapidez promedio con la que Ilega energia al ojo, yes por ello quecornunmente empleamos la intensidad (el valor promedio de S) para describir elvigor de la radiacion electrornaqnetica,

En todo este analisis hemos considerado s610 ondas electromagneticas que sepropagan en un vacio, De cualquier modo, si las ondas viajan en un rnedio dielec-trico es necesario modificar las expresiones de la densidad de energia [ecuacion(32.23)], el vector de Poynting [ecuaci6n 32.28)] y la intensidad de una onda sinu-soidal [ecuaci6n (32.29)]. Resulta que las modificaciones que se requieren sonmuy simples: basta can sustituir E O par la permitividad E del dielectrico, fJ.opor Iapermeabilidad f J . del dielectrico, y c par la rapidez v de las ondas electromagneti-cas en el dielectrico, Sorprendentemente, las densidades de energia de los eamposE y ii son iguales incluso en un dielectrico. -------

Ejemplo32.3 Energia d e un a ond a no sin usoid alCon respecto a la onda no sinusoidal descrita en la seccion 32.2, su-ponga que E = = 100V/m =100 N/C. Encuentre el valor deB, la den-sidad de energia y la rapidez de flujo de energia por unidad de areaS,

'N!Il[RlDENT IF IC AR Y P LAN TEAR : En Ia onda descrita en la seccicn32.2, los campos electrico y magnetico son uniformes detras delfrente de onda. Dado el valor de la magnitud E, la magnitud de B secalcula mediante la ecuacion (32.4), la densidad de energia U, conbase en la ecuacion (32.25), y la rapidez de flujo de energia por uni-dad de area S, a partir de la ecuacion (32.27). (Adviertase que no sepuede utilizar la ecuacion (32.29), que solo es aplicable a las ondassinusoidales) ,

EJECUTAR: De acuerdo can la ecuacicn (32.4),B = _ = 100 V1m = 3.33 X 10-7 T

C 3.00 X 108 n1/sSegun la ecuacion (32.25),

II = "vEl = (8.85 X 10-12 C 2 /N ' m~)( 100 N/C)2= 8.85 X 10-8 N /m 1 = 8.85 X 10-8 J /m 3

La magnitud del vector de Poynting esEB (100 Vim) (3.33 X 10-7 T)S =- =_:__--_:___:__~---_:__fL o 41l'XI07TmJA

= 6.5 V . A /m2 = 2 6.5 W 1m 2

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1232 CAPiT UL0 32 I Ondas electromagneticasEVALUAR: Podemos cornprobar nuestro resultado de S aplicandoorra formula de la ecuaci6n (32.26):S = "lIcE2

= = (8.85 X 10 -12 C2/N m2 )(3.00 X 10 8 mls)( 100 NIC)"= 26.5 W/m2

Dado.que E y B tie ne n lo s m is m os v alo res en to do s lo s p un to sdetras del frente de onda, de modo analcgo la densidad de energia11 y la magnitnd del vector de Poynting S tienen el mismo valor entoda la region detras del frente de onda. Delante del frente de onda,E = 0 y B = 0 y , por tanto, u =0 y S =0; donde no hay campos, nobay energia de campo.

Ejemplo32 .4 . Energ ia d e una onda sinuso id alCierta estacion de radio situada en la superficie terrestre irradia unaonda sinusoidal con una potencia total promedio de 50 kW (Fig.32.15). Suponiendo que el transmisor irradia por igual en todas di-recciones arriba del suelo (poco probable en situaciones reales),proporcione las amplitudes E O l i ' y B m ! J > : que detects un satelite a unadistancia de 100 km de la antena,

" 1 1 I n !!~a!IDENTIF ICAR: Se trata de una onda sinusoidal; par tanto, se aplicata icea de que\a mtensinac esiguai ala magnitud del valor prome-dio del vector de Poynting. No conocemos eI valor de 1aintensidad,perc si la potencia total promedio del transrnisor. Aplicaremos laidea de que la intensidad es equivalents a la potencia prornedio parunidad de area.PLANTEAR: La figura 32. I5 muestra un hemisferio de 100 km de ra-dio centrado en el rransrnisor. Se divide la potencia promedio deltransmisor entre el area total de este hernisferio para.ballar la inten-sidad 1a esta distancia del transmisor, Despues se aplica la ecua-

32.15 Unaestacion de radio' irradia ondas hacia el interior del he-m i sf er io q ue s e mu es tra ,

cion (32.29) para determinar la magnitud del campo electrico y laecuacion (32.4) para encontrar la magnitud del campo magnetico.EJECUTAR.:EI area de la superficie de un hemisferio de radio r =100 km = 1.00 X 103 Illes

A = 2rrR2 = 2 rr (1.00 X 105 my = = 6.28 X Wll m2Tcda la potencia irradiada pasa a traves de esra superficie; de talmanera que la potencia promedio pOI unidad de a r e a (es decir, laintensidad] es

P P 5.00 X 104 W ,1= - =-- = = 7.96 X 10-7 W/m~.A 2rrR2 6.28 X 1010 m "De acuerdo con las ecuaciones (32.29), 1= Sprom=Em;x212!4Jc;. poreso,e.: =V2MoCSprQrn=Y2(4r. X 1O-7TmIA)(3.00 X lOSm/s)(7.96 X 1O-7W/mn= 2.45 X 10-2 V 1mSegun la ecuacicn (32.4),

EB =_m;'=817XlO-11TI n a ; : ; : : . CEVALUAR: Dese cuenta que la magnitud de Emix es comparable ala de los campos que se observan comunmente en el laboratorio,pero Bm, es extremadamente pequeiiaen comparacion con loscampos B que vimos en capitulos anteriores. Por esta razon, cas!todos los detectores de radiacicn electrornagnetica responden alefecto del campo electrico, no del campo magnetico. Las antenasd e r ad io de espira son una excepcion,

F lu jo d e can tid ad de movim iento e le ctromagne tic ay p res ion de radlacienA partir d e la observacion d e q ue se req uiere energia para es tablecer cam po s electri-co s y m agneticos, h em os dem ostrado que las ondas electromagneticas transportanenergia, A dem as se puede dem ostrar q ue las ondas electrom agneticas transportan unacantidad de movimiento p,. can una d ensid ad d e can tid ad d e rno vim ien to C01TeSpOn-diente (cantidad de movimiento dp par volumen dVJ de magnitud

dp EE S (32 .30 )dV

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32.4 I Energta y cantidad de movimiento de las ondas electrornagneticas

Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no esta asociada con lamasa de una partlcula en movimiento en e! sentido habitual.Existe ademas una rapidez de flujode cantidad de movimiento correspondien-

teoEl volumen dVocupado par una onda electromagnetica (rapidez c) que pasa atraves de un area A en un tiempo dt es dV = A edt. Cuando se sustituye esto en laecuacion (32.30) y se reordena, se encuentra que Ja rapidez de flujo de cantidad dernovimiento por unidad de area es

ldP.""S= E B -(rapidez de flujo de cantidad de movimiento) (32.3J)A - dt cEsto representa la cantidad de movimiento que se transfiere por unidad de area y por 'unidad de tiempo. Se obtiene la rapidez promedio de transferenciade cantidad demovirni ento par unidad de area sustituyendo Spar Sprom = J en la ecuacion (32.31).A esta cantidad de movimiento se debe el fen6meno de la presion de radiacion.

Cuando una onda electromagnetica es absorbida en su totalidad por UTIasuperficie,tambien se transfiere a esta la cantidad de movimiento de la onda. Para simplificarconsideraremos una superficie perpendicular a la direccion de propagaci6n. Conbase en las ideas expu estas en Ia sec cion 8.1, vemos q ll e la rapidez d p/ d t con la quese transfiere cantidad de movirniento a la superficie absorbente es igual a lafuerzaejercida sabre la superficie, La fuerza promedio por unidad de areadebida ala. on-da, 0 presion. de radiacion PrJd, es e1cociente del valor promedio de dpldt entre elarea absorbente A. (Utilizamos e1 subindice "rad" para distinguir la presi6n de 1acantidad de movimiento, que tambien se representa mediante e1 simbolo p). Deacuerdo can laecuaciou (32.31.), la presion de radiacion es

Sprom I .Prad "" --'=-(presion de radiacion, absorci6n total de la onda)c c (32.32)

Si la onda se refleja en su totalidad, e1carnbio de cantidad de movimiento es dosveces mas grande, y la presion es2S pw!tJ 21P",d = - = ~ (presion de radiacion, reflexi6n total de la onda) (32.33)C' c

Por ejemplo, el.valor de 1(0 SpronJ correspondiente a la luz solar directa, antes deatravesar la atm6sfera terrestre, eS'de aproxirnadamente 1.4 kW 1m 2 . De acuerdocon la ecuaci6n-(32.32) la presion promedio correspondiente sobre una superficietotalmente absorbente es ,

1 1.4 X 103 W/m2P - - ~~~~~- = = 4.7 X 10-6 PaTad - ~ - 3:0 X 108 m/sSegun la ecuacion (32.33), la presion promedio sobre una superficie totalmentereflejante es e1doble de esto: 2 1 ! C a 9.4 X 10 -6Pa. Estas presiones son muy pe-quefias, del orden de 10-1 0 arm, pero se pueden medir con instrurnentos sensibles,La presion de radiacion de la luz solar es mucho mayor en el interior del Sol

que en la Tierra (vease e1problema 32.41). Adentro de las estrellas de masa rnu-cho mayor que la del Sol y mas luminosas que.este, Ia presion de radiaci6n es tangrande que aumenta considerablemente Ia presion gaseosa en el interior de la es-trella y de este modo contribuye a evitar que la estrella se colapse bajo el efecto desu propia gravedad. En ciertos cases la presi6n de radiaci6n proyecta efectivamen-te una parte del material de la estrella hacia el espacio (Fig. 32.16).

32.16 De tiempo en tiempo, la brillade ]a estrella fuera de 10 cornun quece en el centro de esta imagen sufremente espectacular, Cuando esto sucpresion de radiacion en la superficieestrella 5e intensifica a tal grado, quparte de las capas externas es expulsaespacio. Una fraccion de este materiapulsado se observa como manchas indes centes alrededor de la estrella,

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1234 CAP i UL 0 32 I O nd as electro magnetic asEjemplo32.5 Potencia y p resio n de la Iuz. solar

Un satelite en orbita alrededor de la Tierra tiene paneles recolectoresde energia solar con un area total de 4.0 m ' (Fig. 32.17). Si Ia radia-cion del Sol es perpendicular a los paneles y se absorbe totalmente,h alle la p oten cia s ola r p ro m cd io ab so rb id a y l a f ue rz a p rom ed ioasociada con la presion de radiacion.'1u.iI3u8IDENTIF ICAR Y PLANTEAR: En el analisis precedents calcularnosla intensidad J (poteuciapor unidad de area) de la luz solar y tam-bien la presion de radiacicn Prod ( fu e rz a p ar unidad de area) de laluz solar sobre una superficie absorbents. (Calculamos estos valo-res con respecto a puntos situados mas alia de la atmosfera, dondeel satelite gira en orbita), Multiplicando cada valor par el area delos paneles solares se obtiene la potencia promedio absorbida y laf u er za n et a de la rad iac icn sabre l o s pane l es .E J ECUTAR : La intensidad J (p ote nc ia p ar u nid ad d e area) es de 1 .4 x10 3 W 1m 2 . Aunq u e l a l uz p ro v en ie nt e del Sol uo es u na o nd a sinusoi-dal simple, podemos aplicar no obstante la re la cio n s eg un la cu al Iapalencia promedio P es el producto de la intensidad I par el area A :

P = fA"" (1.4 X 103 W/m:)(4.0 m2 )= 5.6 X 103W = 5.6 kW

La presion de radiacion de la lU2 solar sobre una superficie ab-s or be nt e e s P e a " =4.7 X 10-6 Pa = 4.7 X 10-6 N/ml. La fuerza to-tal F es el producto de la presion Prod por el area A :

Sensor solar (para s mantener los paneles ~siempre de cara al Sol)- .

Pane le s s o la re s32.17 Paneles solares de un sateli te,

F = = PradA"" (4.7 X 10-6 N/m2) (4.0 m ) = '= 1.9 X 10-5 NEVALUAR: La potencia ab so rb id a e s considerable. Una parte deella puede servir para alirnentar los equipos a bordo del satelite; elresto calienta los paneles, ya sea directamente a debido a ineficien-cias de las fotoceldas presentesen los paneles,La fuerza total de la radiacion lO S comparable al peso (en Ia Tie-

rra) de un grano de sal. De cualquier modo, con e1 tiempo esta pe-quefia fuerza puede tener Ull afecto apreciable en la orbita de unsate lite como el de la figura 31.27, por 10 que es necesario tener encuenta la presion de radiacion.

"Eva!ue su coLa figura 32.10 muestra una longitud de onda de una onda eleetromagnetica sinu-soidal en el t iempo t = o. L.Enque valores de x entre x = 0 y x = A a lc an za u n ma-x im o la d en sid ad de energia? L.Enque valores a lc an za u n minima? L.Enque valoresde x alcanza un maximo 1a magnitud instantanea (no promedio) del vector dePoynting? l,En que valores alcanza un minimo?32.5 I Ondas electromaqneticas estacionariasLas ondas electromagneticas se pueden reflejar; la superficie de till conductor(como una lamina metalica pulida) 0 de un dielectrico (como una hoja de vidrio)puede servir como reflector. EI principio de sobreposici6n es aplicable a las ondaselectrornagneticas del mismo modo que 1 0 es a los campos e le ctric os y magneti-cos. La sobreposicion de una onda incidente y una onda reflejada forma una OR-da estacionaria. La situacion es analoga a las ondas estacionarias en una cuerdaestirada, que se estudiaron en la seccion 15.7; es conveniente repasar ese analisis,Suponga que se coloca tina lamina de un conductor perfecto (resistividad cero) -

en el plano yz de la figura 32.18, y que incide en ella una onda electromagneticalinealmente polarizada que viaja en la direccion x negativa. Como explicamos enla seccion 23.4 , E no puede tener una componente paralela a Ia superficie de unconductor perfecto. En consecuencia, en la situacion que nos ocupa if ; debe ser ce-ra en todas partes del plano yz. EI campo electrico de la onda electromagnetica in-cidente no es cera en todo momenta en el plano yz . Pero esta onda incidente

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y

32.5 I Ondas electromagneticas estacionarias

Conductor

z

.x

x=A:

induce corrientes oscilantes en la superficie del conductor, y estas corrientes danorigen a un campo electrico adicionaI. EI campo electrico neto, que es la s umavectorial de este campo y del E incidente, es cera en todas partes, tanto en el inte-rior como en la superficie del conductor.Las corrientes inducidas en la superficie del conductor prcducen tambien una

onda reflejada que viaja del plano hacia afuera en la direccion +x. Suponga quela onda incidente queda descrita por las funciones de onda de las ecuaciones(32.19) (una onda sinusoidal que viaja enia direccion -x) y la onda reflejada me-diante e1negativo de las ecuaciones (32.16) (una onda sinusoidal que viaja en ladirecci6n +x). T ornam o s el negative de la onda dada por las ecuaciones (32.16)tal que los campos electricos incidente y reflejado se cancelen en x = = 0 (el planodel conductor, don de el campo electrico total debe ser cero). EJ principia de sobre-posicion establece que el campo E total en cualquier punta es 1asuma vectorial delos campos E de las ondas incidente y reflejada, y de modo analogo respecto alcampo B. Por consiguiente, las funciones de onda correspondientes ala sobrepo-sicion de las dos ondas son

plano antincdal de ifplano nodal de B

Ey(x, t) = EmaJcos(kx + wt) - cos(kx - wt) 1Bz(x, t) = Bmd J -cos(kx + wt) - cos(kx - wt) J

Podemos expandir y simplifiear estas expresiones con ayuda de las identidadescos(A B ) = = cos A cos B = + = sen A sen B

Los resultados sonE)/(x, t) = - 2Ernax sen kx sen wtBz(x,t) = : : : -2Brnaxcoskxcoswt

(32.34)(32.35)

La ecuaci6n (32.34) es analoga a 1aecuacion (15.28) referente a una cuerda esti-rada. Vernos que en x = = el campo electrico Ey(x = 0, t) siempre es cere; esto 10 exi-ge la naturaleza del conductor ideal, el cual desernpeiia el mismo papel que el puntafijo en el extremo de una cuerda. Ademas, Ey(x , t) es cera en todo momenta en lospuntas de aquellos planos perpendiculares al eje de las x en los cuales sen kx = = 0;es decir, kx = = 0, To, 2 1 T , . . . . Puesto que k = 2 1 T / A , las posiciones de estos planes SOl1

A 3A 4x = = 0, 2 " ' A , 2 ' ... (planos nodales de E) (32.36)Estos pianos se conocen como los pianos nodales del eampo E ; son el equivalente delos nodos, 0puntas nodales, de una onda estacionaria en una cuerda. A medic camino

32.18 Representacion de los camtricos y magneticos de una onda emagnetics estacionaria linealmentepolarizada cuando w t = 371/4 rad.quier plano perpendicular al eje xmaxima (antinodo) donde B es cey viceversa, Conforme transcurrepo, la distribucion no se traslada adel eje x ; en cambio, los vectoressimplernente oscilan ell todos los

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1'236

32.19 Un homo de microondas estableceuna onda electrcmagnetica estacicnariacon A = 1 2 c 2 em, una iongitud de ondaque el agua de los alimentos absorbe inten-samente. Debido a que la onda tiene nodosa intervalos de A /2 = 6.1 em, es necesariohacer girar los alimentos mieutras se coci-nan. De 10contrario, las partes que estanen till nodo, donde la amplitud del campoelectrico es cera, permanecerian frias,

CAP Ir U L a 32 I Ondas electrornagneticas

entre dos planos nodales adyacentes cualesquiera hay un plano en el que sen kx =1;en todos los planos con es ta carac teri s tica, la magnitud de E(x , t) alcanza el valor ma-ximo posible de 2Emi;< dos veces ell cada ciclo de oscilacion, Estes son los pianos an-tinodales de E , correspondientes a los antinodos de las ondas en una cuerda,EI campo magnetico total es cero en todo momento en los puntas de los planos

en los que cos kx = O . Esto ocurre dondeA 3 A S A ~x = 4'4' 4' .._.planes nodales de B) (32.37)

Estes son los planos nodales del campo B ; hay un plano antinodal de j j a mediocamino entre dos pianos nodales adyacentes cualesquiera,

La figura 32.18 muestra un patron de onda estacionaria en un in stante determi-nado. El campo magnetic a no es cero en la superficie conductora (x =0), y no hayrazon poria que= debiera serlo. Las corrientes superficiales que deben estar pre-sentes para que E sea exactamente cero en la superficie originan campos magne-ticos en la superficie. Entre los planos nodales de cada campo hay una separaci6nde media longitud de onda. Los planes nodales de un campo estan a rnedio cami-no entre los del otro; por tanto, los nodos de E coinciden con los antinodos de 8 ,y viceversa. Cornparese esta situacion con la distincion entre nodos de presion ynodos de desplazamiento en l a s ec ci on 16.4.

El campo electrico total es una funci6n seno de t, y el campo magnetico total esuna funcion coseno de t. En consecuencia, las variaciones sinusoidales de los doscampos estan 90 fuera de fase en cada punto. En los momentos en que sen wt = 0,elcampo electrico es cera en todas partes y el campo rnagnetico es maximo. Cuan-do cos wt = = 0, el campo magnetico es cero en todas partes y el campo electrico esmaximo. Esto contrasta can 10 que ocurre en una onda que viaja en una direccion,como 10 describen las ecuaciones (32.16) 0 (32.19) par separado, en la cuallas va-riaciones sinusoidales de E y 8en cualquier punta en particular estan enfase . Es in-teresante comprobar que las ecuaciones (32.34) y (32.35) satisfacen la ecuacion deonda [ecuacion 32.15). Tambien satisfacen 1as ecuaciones (32.12) y (32.14) (losequivalentes de las leyes de Faraday y de Ampere); dejamos las pruebas de estosenunciados como problemas.

Prosiguiendo con la analogia de la cuerda estirada, ahora podemos insertar unsegundo plano conductor, paralelo al primero y a una distancia L de el , a 1 0 largodel ej ex. Esto es analogo a una cuerda estirada suj eta en los puntos x= 0 y x = L.Ambos pianos conductores deben ser planes nodales de E ; s610 puede existir unaonda estacionaria euando el segundo plano se encuentra en una de las posicionesdonde E (x, t) = O. Es decir, para que exista una onda estacionaria, L debe ser unm u ltip le e ntero de JJ2. Las longitudes de onda que satisfacen esta condicion son

2 LA" = - (n -= 1,2 ,3 , ... ) (32.38)nLas frecuencias correspondientes son

c c. t " = A = n2 L" ( 1 1 = 1,2,3, ... ) (32.39)De este modo, existe un conjunto de mod os n ormale s, cada uno con una frecuen-cia, f0D11a de onda y distribucion nodal caractcristicas (Fig. 32.19). Midiendo lasposiciones nodales podemos medir la longitud de onda. Si se conoce la frecuen-cia, se puede calcular la rapidez de onda, Esta tecnica fue utilizada pOl' primeravez por Hertz en Ia dec ada de 1880a 1890, en sus investigaciones pioneras sobrelas ondas electromagneticas,

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32.5 I Ondas electromagneticas estacionarias

Un Hiser tiene dos espejos; se establece una onda estacionaria en la cavidadcomprendida entre los espejos. Uno de estes tiene una pequeiia abertura, parcial-mente transrnisora, que pennite que las ondas escapen por este extremo del laser,Las superficies conductoras no son las unicas que reflejan las ondas electro-

magneticas, Tambien se producen reflexiones en una interfaz entre dos materialesaislantes con diferentes propiedades dielectricas 0 magneticas, El analogo meca-nico es la union de dos cuerdas con la misma tensi6n pero diferente densidad demasa lineal. En general, una onda que incide sobre una superficie lirnitrofe de es-ta naturaleza se transmite en parte al segundo material y en parte se refleja de re-greso hacia el prirnero. Por ejemplo, la luz se transmite a traves de una ventana devidrio, pero las superficies de esta tambien reflejan la luz.

Ejemplo32.6 I ntens idad de una onda estaciona ria

Calcule la intensidad de la onda estacionaria analizada en esta seccion."Nllij[lltIIDEN TIF IC AR Y P LA NT EA R: La intensidad I de la onda es el valorpromedio.Spn)m de la magnitud del vector de Poynting. Primero de-bemos hallar el valor instantaneo del vector de Poynting, y en se-guida promedi arl 0 respecto a un numero entero de ciclos de 1a ondapara determinar 1.EJECUTAR : Utilizando las funciones de onda de las ecuaciones(32.34) y (32.35) en la expresion del vector de Poynting S,[ecua-

_ cion (32.28)], encontramos que- 1 - -S(x, t} = -E(x, /) x B(x, t);.to1 A A= = - [ ~2JEmax sen kx cos w t] x [-2kB"'b COS kx se n w t]fko

Ae:; ( )( )I .. 2 sen lex cos kx 2 sen cot cos wi;.to= i8.,(x, J)

Can base en la identidad sen 2A =2 sen A cos A, podemola r Six, t) como

E m a . , B m n x sen 2kx sen 2 w ts,(x, r ) =-----~--f L o

EI valor prornedio de una funcicn sene respecto a cualquro entero de ciclos es cero. Pot esto, el promedio deS rtiempo en cualquier punta es cero; J = = Sprom = o .EVALUAR: E st o e s e xa ct am e nt e 10 que debernos esperamos nuestra onda estacionaria sobreponiendo dos ondasma frecuencia y amplitud que viajan en direcciones opuela energia que una de las ondas transfiere es cancelada edad por una cantidad iguaI transfer ida en d i re cci on opuotra onda. Cua nd o s e u tiliz an o nd as para transmitir potencportante evitar reflexiones que den origen a ondas estacio

Ejem plo .32.7 Ondas estaciona rias en una cav idad

Se establecen ondas electrornagneticas estacionarias en una cavi-dad COil dos paredes paralelas altamente conductoras, separadaspor una distancia de 1.50 em, a) Calcule la longitud de onda maslarga y la frecuencia mas baja de las ondas electrornagneticas esta-cionarias entre las paredes. b) Con esta onda estacionaria de lopgi-tu d de onda mas larga, i.en que par~e de 121cavidad alc~nza E sumagnitud maxima? l,D6nde es cera E ? I.D611dealcanza B su mag-nitud maxima? l,D6nde es cero in, , 1 1 1 1 ( 3 (Ill'IDEN TIF IC AR Y P LA NT EA R: La longitud de onda mas larga y 1afrecuencia mas baja posibles corresponden al modo It = 1 de lasecuaciones (32.38) y (32.39). Can estas ecuaciones podemos hallar

los valores de Ay fA continuacion, las ecuaciones 132.~6)nos indican 12 1ubicacion de los pianos nodales de E y B ;antinodales de cada campo estan a medio camino entre losdales adyacentes.EJECUTAR : De acuerdo con Ia ecuacion (32.28), Ia longida de n =1 es

A I = 2L =2( 1.50 cm) = 3.00 cmLa ecuaci on (32.29), con n = 1,proporciona la frecuencpondiente:f = = E. = . 3.00 X 108 1 1 1 / s = 1.00 x 1010 Hz =I 2L 2(1.50 X 10-2 m]

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1238 CAP f T U L 0 32 I Ondas electromagneticas

b) Con It= I h ay u na so la.m ed ia lo ng itu d d e o nd a entre las pare-des. EI campo electrico tiene planos nodales ( E =0) en las paredesy u n p la no a nt in od al (donde s e p re se nt s l a m a gn it ud maxima de ihe q ui di st an te d e ambas, El campo magn et ic o tie ne p ia no s antinoda-le s en las pared es y u n p lano no dal eq uid istante d e ambas,

EVALUAR : Una aplicacion de las ondas estacionarias d e e st e tipo esla g en er ac i6 n d e un campo E oscilante de frecuencia definida, elcual, a su vez, se u tiliza para explorar el com portam iento de unam u es tra p eq ue iia d e material co lo ca da e n e l in te rio r d e la c av id ad .P ara s om e te r la m u es tra a l c a m po mas in te ns e p os ib le , s e d eb e c ol o-c ar la rn ue stra c erca d el c en tro d e la ca vid ad , en el an tin od o d e E ,

En la onda estacionaria descrita en el ejernplo 32 .7 , l.existe algun punto donde ladensidad de energia sea cero en todo m om ento? De ser asi, l.d6nde? En caso con-trario , wor que?32.6 I E I espectro electromaqnetice

,, t"

Las ondas electrom agneticas abarcan un espectro extrem adam ente am pU o de longi-tud de onda y frecu encia. Este espectro electro magnetico co m prend e la transm isio nde rad io y telev ision, la luz v isib le, la rad iacion infrarro ja y u ltrav io leta, los ray os Xy lo s ray os gam m a. Se han detectado o ndas electrom agneticas con frecuencias desdeal m enos 1 h asta 10 24 Hz; la parte del espeetro que encontram os m as com unm ente esla qu e se m uestra enla figura 32 .2 0, en la cual se ind ican los intervalo s aproxim adosde longitud de onda y frecuencia de los d iv ersos segmentos , P ese a las enorm es di-ferencias en cuanto a sus u sos y m ed io s de generacion, todo s son ondas electro -magneticas con las caracteristicas generales que se han descrito en las seccionesprecedentes, entre elIas la rapidez d e propagacion (en el vacio) c =2 99 ,792 ,4 58 m /s.L as o nd as electrornagneticas pueden diferir en terrninos de frecuenciafy longitud deonda A , pero la relacion c = ~ len el vacio se cum ple en todos los casos.

Por m edio de nuestro sentido de la v ista podem os detectar directamente so lo unsegm ento m uy pequefio de este espectro . Llamamos a es te in terv ale Iu z visible.Sus longitudes de onda fluctuan entre 40 0 y 70 0 urn (40 0 y 70 0 X 10 -9 rn) , co n fre-cuencias co rrespondien tes de aproxim adam ente 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 X 10 14Hz). Las d iferen tes partes del espeetro v isible evocan en lo s seres hum anos las

Longitudes de onda en m

i f

3 2.2 0 E sp ee tro electromagnetico, Las frecuencias y lo ng itu des d e o nd a p res en te e e n lan atu ra lez a ab area n u n in terv alo tan g ra nd e q ue es n ec es ario e m plea r u na e sca la lo garitm i-ca p ara m o stra r to da s las b an da s importantes, Los l im i te s e ntr e la s b an da s s on a rb it ra rio se n e ie rt a m e did a.

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32.6 I E1espectro electromagnetico

sensaciones de distintos colores. En la tabla 32.1 se presentan (de forma muyaproximada) las longitudes de onda de los colores del espectro visible.La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles, Sin embar-

go, mediante el uso de fuentes 0 filtros especiales podemos seleccionar una bandaestrecha de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos pocos nm. Esta luzes aproximadamente monocromatica (de un solo color). La luz absolutarnente mo-nocrornatica con una sola longitud de onda es una idealizacion imposible de lograr.Cuando se ernpleala expresion "luz monocromatica de A = 550 run" can referen-cia a un experimento de laboratorio, en realidad se quiere decir una banda pequefiade longitudes de onda e n t or no a 550 nm. La luz de un laser es monocrornatica conuna aproximacion mucho mayor que la luz que es posible obtener por cualquierotro medio.Las formas invisibles de radiacion electrornagnetica no son menos importantes

que la luz visible. Nuestro sistema de comunicacion global, por ejemplo, dependede las ondas de radio: la radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 a 105 Hz a1.6 X 106 Hz, en tanto que las transmisiones de radio FM se efectuan a frecuen-cias de 8.8 X 107 Hz a 1.08 X lOs Hz. (Las transmisiones de televisi6n utilizanfrecuencias que incluyen la banda de FM). Tambienlas micrcondas se usan en lacomunicacion (par ejemplo, por telefono celular; vease la fotografia inicial de es-te capitulo) y en el radar meteorol6gico (a frecuencias cercanas a 3 X 109 Hz).Muchas camaras tienen un dispositivo que emite un haz de radiaci6n infrarroja; apartir del analisis de las propiedades de la radiacion infrarroja que se refleja en eIsujeto, la carnara calcula la distancia al sujeto y ajusta autornaticamente el enfo-que. La radiaci6n ultravioleta tiene longitudes de onda mas cortas que la luz visi-ble; como veremos en el capitulo 36, esta propiedad permite enfocarla en hacesrnuy estrechos para aplicaciones de alta precision como la cirugia ocular LASIK.Los rayos X penetran el tejido muscular; par esta razon, son valiosisimos en odon-tologia y medicina. Los rnateriales radiactivos producen en la naturaleza la radia-cion electromagnetic a de longitud de onda mas corta, los rayos gamma; se producenen la naturaleza mediante materiales radiactivos, los cuales son de muy alta energiayse utilizan en medicina para destruir celulas cancerosas.

1T ab la 32.1 L ongitudes de onda de la

visible40 0 to 44 0 nm44 0 to 48 0 nrn480 to 560 nm560 to 590 nm590 to 630 1 1 m63 0 to 70 0 11m

VioletaAzulVerde

Amaril loNaranjaRojo

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1240 CAP f T U L 0 32 I Ondas elecrromagnericas

R E S U M E N 'Las ecuaciones deMaxwell predicen la-exi~tencia deondas electromagueticasque se propagan en el vacio con la rapi-dezde Ia luz c. Enuna op.daplana,-EyB son uniformes en Ia totalidaddecualquier plano-perpendicular a Ia di-reccion de propagacion, La ley de Fara-day y laley de Ampere proporcionanrelacicnesentre lasmagnitudes "de'E yB ; Ia exigencia de que se satisfaganes-tas des relacicnes permite obtener una'expres] onde ,c ell terminosde EOY / - L a ,

Las ondaselectromagneticas son trans-versales; loscampos E y B sOl1perp~n-dicnlares a I adi re cci on dep ropagac iony uno respeeto al otro, La direccion depropagacion es la direccion de E X B .Las ecuaciones (32.17) Y(32.18) des-criben una ondaelectrornagneticaplanasinusoidal que viaja en el vacio en la

-' direccion +x. (Vease el ejemplo 32.1).

Cuando una cnda electrornagnetica via-j a,a traves de un dielectrics, la rapidezde.onda v es menor que Ia rapidez de laluz en un vacio c. (Vease el ejemplo32.2).,

EI vector de Poynting S proporcionaIarapidez de flujode energia (energia porunidad de area) de una ondaelectro-magnetica en un vacio. La magnitud delvalor prornediado enel tiempo del vec-tor de Poynting es la intensidad Ide laonda, Las ondas electromagneticas tarn=bien transportan cantidad de rnovimien-to . Cuando una onda electromagnetic aincidererrtina sLiperficie;ejerce tina pre'si611de radiacion Prado Si la superficie esperpendicular ala direccion de propaga-cion de Ia onda y es totalmente-absor-bente, P " , d = 1!c;. si la superficie es unreflector perfecto,p",(] =)Ilc. eVeanse;los ejemplos del 32.3 al 32.5).

E=(;B

1(,=---~

- Ij11j

E(x, t) "" ,~jE'" i l 'cos(kx - w t)B{x,t) = kBm~cos(kx - wt)

111v =--,;" ------~ V K K :n ~c~ JIL

4 1 _ _S = -E x BJ . l . . o

Emt}2 / - L o c

1 dp_= SA dt c

EB

(3:4.4)(32.8)(32.9)

(32.i7) f(32.18) 1

_ j

(rapidez de flujo de cantidadde movimiento'electromagnetica) .

y

zx

- ., .

(32.28)'

Ftente deoifda en eltiernpodtposterior

y

zPlano,

(32.29)

(32.31)

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Si"se colcca una superficie perfectarnente reflejante en x =0, l as o n da s inci-dente y reflejada forman una onda estacioriaria. S~ presentan pianos nodales deE enb: = 0,m,2r., ... , y'plallosnodales de B e n kx = 7 [ /2 , 3 7 f/ 2, 57f/2, .... int od os l eis puntos, Lis variaciones-sinusoidales de E y fj co n e l tie rn po e stan 9 0fuera de fase. (V~ lfns~ fO:s-~ jef11plos32 .6 y 32 .7) . -

HI espectro e lect ronragnetico abarca un intervalo de frecuencias desde al menos1 hasta 1024.Hz y In intervale de amplitud'ccrrespondiente de longitudes de 011-

_. da, La luz visible-.consti tuye s610 una' parte muy pequefia d e es te espectro, can- longitudes de ' onda de 400 a 700 1 1m . -

Termincs clave

Netas 1

y

z

X'" A :plano nodal de Eplano antinodal de/'

plano antinodal de Eplano nodal de jj ,

densidad de energia, 1229ecuaci6n de onda, 1222ecuaciones de Maxwell, 1216espectro electromagnetlco, 1238Iodice de refracclon, 1227intensidad, 1230

linealmente polarizada, 1221lnz visible, 1238onda electromagnetica, 1215onda estaclonarfa, 1234onda plana, 1218onda transversal, 1218

Notas

plano antinodal, 1236plano nodal, 1235polarlzacion, 1221presion de radiaclon, 1233radiacien electromagnetica, 1216vector de Poynting, 1230

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1242son siempre cera. Par consiguiente, la densidad de euergia en cual-quier punta de la onda estacionaria siempre es diferente de cero.

CAP f T U L 0 3 2 I O nd as e le ctro rn ag ne tic as

R esp uesta a la pregunta inicialdel cap itu loLas ondas elect