Segnali trattati sino ad ora: continui, durata infinita, ..Su essi sono stati sviluppati strumenti per analizzare output dicircuiti e caratteristiche del segnale:Risposta all’impulso, prodotto di convoluzione, trasformata di Fourier, autocorrelazione....

In realtà i segnali con i quali dobbiamo confrontarci più frequentemente sono limitati nel tempo

e spesso sono segnali acquisiti e digitalizzati (campionamento del segnale)

Cosa cambia?

Si possono trattare i segnali discreti e limitati nel tempo comemoltiplicazione di segnali di durata infinita per “finestre” temporali e treni di impulsi

Segnale di durata infinita

Finestra rettangolare

Treno di impulsi

Segnale campionato

Il prodotto di segnali nel dominio del tempo diventa un prodotto di convoluzione nel dominio della frequenza

Campionamento dei segnali

Le variazioni del segnale proveniente dal mondo fisico sono trasformate in segnali elettrici da opportuni trasduttori.Tali segnali hanno variazioni continue nel tempo, ma le misurazioni vengono effettuate solo in istanti precisi.Un fenomeno continuo viene quindi rappresentato come una sequenza discreta nel tempo.

Campionare un segnale a tempo continuo significa rilevare le ampiezze del segnale su un insieme discreto di tempi.

Esempio: dato un segnale f(t) (figura sopra) definito un intervallo di campionamento τ, campionare il segnale significa acquisirne il valore ai tempi nτ con

Il segnale campionato può essere interpretato come il segnale a tempo discreto f(nτ)

∞<<∞− n

Problema:Quando un segnale campionato f(nt) contiene le stesse informazioni di f(t)?

Ovvero:Quando possiamo ricostruire f(t) da un segnale campionato f(nt) ?

Segnali a banda limitata

La banda occupata da un segnale è la regione di frequenze al di fuori della quale non vi sono componenti energetiche; la sua misura in Hz è indicata come larghezza di banda. Per segnali reali l'occupazione di banda è espressa in termini del solo contenuto a frequenze positive; dato che in tal caso lo spettro di potenza è una funzione pari di f, la banda totale è doppia.

NOTA:Se un segnale è strettamente limitato in banda, deve avere durata infinita, e viceversa. E' pratica comune, invece, parlare di limitazione in banda anche per segnali di durata finita. Nel fare questo, siconsidera un X(f) pari a zero per le frequenze f tali che ovvero considerare anziché X (f) a banda illimitata, una sua finestra in frequenza XW (f)= X(f)W(f) a banda limitata.

ε<)(fX

Un segnale f(t) è detto a banda limitata con langhezza di banda W se

0)( =ωF per W>ω

Teorema del campionamento (Teorema di Shannon 1949)

Un segnale con spettro nullo a frequenze maggiori di W, è univocamente definito a partire dai valori che assume agli istanti t = , con n intero

ovvero

Segnale campionato = segnale originario x treno impulsi

Dato un segnale x(t) a banda limitata con larghezza di banda W, può essere univocamente ricostruito dai suoi campioni x(nτ) presi ad

intervalli di campionamento

ovvero ad una frequenza di campionamento Fs ≥ 2WW

TS 21

≤

2W è detta anche frequenza di Nyquist

L'approccio che conviene seguire è di pensare a come ad un segnale periodico, e svilupparlo in serie di Fourier. I coefficienti si calcolano allora come:

)(tTπ

Trasformata di un treno di impulsi

in quanto, tra tutti gli impulsi della sommatoria, ne resta solo uno, quello centrato in zero, dato che gli altri sono tutti esterni ai limiti di integrazione; pertanto, tutti i coefficienti risultano avere lo stesso valore, pari ad 1/T , e possiamo dunque scrivere

Prodotto nello spazio reale = convoluzione nello spazio delle frequenze

La convoluzione ci restituisce una serie di immagini di X(f) traslate di± n/T con T periodo di campionamento

Le immagini non saranno sovrapposte solo se T ≤ 1/2W

Con un filtro passa-basso ritrovo lo spettro del segnale originario

X

Passa-basso

Aliasing

Fenomeno che avviene quando non si rispettano i criteri del teorema di campionamento

Se T>1/2W le copie degli spettri della funzione originaria non sono più distinti tra loro

Il filtro passa basso in uscita non è più in grado di restituire lo spettro originario. Alla sua uscita è presente y (t) ≠ x (t) , che si differenzia da x (t) in particolar modo per i contenuti energetici nella regione delle frequenze più elevate. In un segnale audio, ad esempio, ci si accorge che c'è aliasingquando è udibile una distorsione (rumore) congiuntamente ai passaggi con maggior contenuto di alte frequenze.

Esempio: onda sinusoidale con fcrescente campionata sempre alla stessa frequenza

60ωω =S

62 0ωω =S

64 0ωω =S

65 0ωω =S

Il fenomeno dell'aliasing può insorgere, oltre che nel caso in cui si commetta il banale errore di adottare Tc > 1/2W, anche a causa di una imperfetta limitazione in banda di x (t) (che viene in genere filtrato proprio per accertarsi che sia X(f)~ 0 con > W). f

Altri problemi possono essere causati dal filtro di restituzione H(f), che difficilmente si riesce a realizzare ideale. Questo può presentare infatti una regione di transizione tra banda passante e banda soppressa di larghezza non nulla. In questo caso occorre sovracampionare con periodo

in modo che le repliche spettrali siano più distanziate tra loro, e quindi il filtro di ricostruzione possa isolare la replica centrale.

WWTc

21

'21

<=

In opportune condizioni un segnale discreto (campionato) può contenere tutte le informazioni del segnale originario e quest’ultimo può essere ricavato utilizzando un filtro passa-basso.

Su un segnale discreto possono essere fatte molte operazioni: • può essere convertito in un segnale digitale e memorizzato• può essere manipolato da algoritmi software• .....

Quali degli strumenti sviluppati per segnali continui possono essere utilizzati per segnali discreti e nel caso che modifiche bisognaapportare?

Risposta all’impulso discreto e convoluzioneDati xn sequenza in input e yn sequenza di output e assunto che il sistema discreto sia LTI si può caratterizzare tramite la risposta all’impulso come nel caso continuo.

Sistema discreto LTI:Dati x1n e x2n (due input separati) e y1n e y2n (rispettive uscite) allora se xn= x1n + x2n → yn= y1n + y2n (linearità)se xn-m segnale di ingresso ritardato → il sistema genera yn-m (uscita ritardata)

Dato xn=δn,0 (delta di Kronecker) e la risposta del sistema hn alloraogni segnale generico in ingresso darà in uscita:

∑∞

−∞=−=

jjnjn hxy Analogo discreto dell’integrale

di convoluzione

o sostituendo m=n-j

∑∞

−∞=−=

mmmnn hxy

Nel caso di sistemi continui abbiamo trovato che est è autofunzione

per il sistema con autovalore

Per un sistema discreto est → zn con -∞< n <∞

Se xn=zn allora

ττ τ∫∞

∞−

−= dehsH s)()(

)(zHzhzzhzy n

mm

mn

mm

mnn === ∑∑

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

con ∑∞

−∞=

−=m

mmhzzH )(

∑∞

−∞=

−=m

mmxzzX )( è definita trasformata z

Trasformata discreta di Fourier (DFT) e Fast Fourier Transform (FFT)

Il calcolo della trasformata discreta di Fourier richiede di moltiplicare un vettore a N componenti [f(0),....f(N-1)] per una matrice NxN la cui componente alla riga n e colonna k è

Nnki

eπ2

−

Tale calcolo richiede un numero di operazioni di somma e prodotto dell’ordine di N2 → richiede troppo tempoEs. se per una operazione si impiega un microsecondo con 1000 campioni si impiegherà 1 secondo a calcolare la DFT.

Esistono alcuni algoritmi che semplificano i conti riducendo a N log(N) il numero di operazioni (nel caso dell’esempio sopra si impiega un tempo 100 volte minore)

FAST FOURIER TRASFORM

Quindi posso calcolare la trasformata di un vettore a N componenti sommando le trasformate di 2 vettori a N/2 componenti

Utilizzabile quando il numero di elementi del vettore è una potenza di 2