semelhanças ebi / ji de santa catarina ano lectivo 2010/2011 7º ano

SemelhançasSemelhanças

EBI / JI de Santa CatarinaAno lectivo 2010/2011

7º ano

7º ano Unidade 7 - Semelhanças

Diz-se que duas figuras F1 e F2 têm a mesma forma, ou que são

semelhantessemelhantes, se são geometricamente iguais (congruentes) ou se uma

delas é uma ampliação da outra.

original

redução

Ampliação

Noção de semelhançaNoção de semelhança


Página 95 – ex. 2Página 95 – ex. 2

I e VII

IV e V VIII e XI

VIII e X e X e XI

Numa ampliação ou numa redução há

uma razãorazão entre os comprimentos dos

lados correspondentes.

Por exemplo de I para VII existe uma

redução e a razão é 0,5 pois:

2

2

2 10,5

4 21

0,52

razão entre as bases

razão entre as altura

Ampliação e reduçãoAmpliação e reduçãode um polígonode um polígono


Página 95 – Tarefa 1Página 95 – Tarefa 1

11..

22..

33..

4.14.1 . .

4.24.2..

4.34.3..

55..

66..

1,5c h

A, B e E

50 x 1,5 = 75cm

51, (6)

3

31,5

2

Não, porque de A para C a altura não aumenta à mesma proporção que o

comprimento.7 4

3,5 42 1

razão entre comprimentos razão entre alturas

Não, porque a razão entre comprimentos é diferente da razão entre alturas.91,5

6razão


SínteseSíntese::

Numa ampliação ou numa redução há proporcionalidade directa entre os

comprimentos dos lados correspondentes.

À constante de proporcionalidade dá-se o nome de razão de semelhança.

Esta obtém-se tomando a razão entre um comprimento da nova figura e o

comprimento respectivo da figura original .

•Numa ampliação, a razão de semelhança é maior que 1. r >

1

•Numa redução, a razão de semelhança é menor que 1. r < 1

•Se os polígonos são geometricamente iguais, a razão de r = 1

semelhança é igual a 1.


Construção de uma ampliação a partir Construção de uma ampliação a partir de grelhas quadriculadasde grelhas quadriculadas

Como desenhar uma figura semelhante

a A, de razão de semelhança 2?

1 2 2

2

1

3 2 6 3

64

2 2 2 4

2

1

2



Exercício 1Exercício 11.21.2..

1.11.1..



Exercício 2Exercício 2

2.1.2.1.

2.2. 2.2.

2 10,5

4 2r

31,5 1,5

2r

2 0,5 1

4 0,5 2

2 1,5 3

4 1,5 6


Construção de ampliações e reduções a partir Construção de ampliações e reduções a partir de um pontode um ponto

Para construir uma ampliação de razão 2, da figura apresentada, a

partir de um ponto, são necessários os seguintes procedimentos:

11 22 33

44


Página 97 – ex. 5

Página 97 – ex. 5


Página 99 – ex. 7Página 99 – ex. 7

7.17.1..

7.27.2..

7.37.3..

7.47.4..

6 33 3 3

2 1ou r

2 1 1 1

4 2 2 2ou r

6 3 3 3

4 2 2 2ou r

2 1 1 1

6 3 3 3ou r


Página 100 – Tarefa 3 – ex.1Página 100 – Tarefa 3 – ex.1

1.11.1..

1.21.2..

1.31.3..

1.41.4..

dim 1

dim 150

ensão plantar r

ensão real

dim 150150

dim 1

ensão realr r

ensão planta

arg 2,4 240

240

l ura m cm

r

3 300

300

comprimento m cm

r

1

300150

300

2150

cm

1240

150 240

1,6150

cm

R: As dimensões da cozinha são: 1,6cm de

largura e 2cm de comprimento.

arg 2,5

2,5

l ura cm

r 2,5 150 375 3,75cm m

3,3

3,3

comprimento cm

r 3,3 150 495 4,95cm m

23,75 4,95 18,6Área da suite m m m


Página 100 – Tarefa 3 – ex.2Página 100 – Tarefa 3 – ex.2

2.12.1..

2.22.2..

200

200

2000,03 200 6 0,6x mm cm

1,2 200 0,006 0,06y cm mm

2 200 0,01 0,1z cm mm


Polígonos semelhantesPolígonos semelhantesDois polígonos P1 e P2 são semelhantes se e só se:

- os comprimentos dos lados são, dois a dois, directamente proporcionais;

- os ângulos correspondentes são iguais.

Os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes?

Sim, os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes

porque têm:

- comprimentos dos lados correspondentes

directamente proporcionais

- ângulos correspondentes iguais


Página 101 – exercício 10Página 101 – exercício 10

10.110.1

10.210.2

7,51,5

5

Resposta – A constante de proporcionalidade

é 1,5.

3 1,5 4,5HG cm

3 1,5 4,5HE cm

7 1,5 10,5EF cm

4,5 4,5 10,5 7,5 27P cm

Resposta – O perímetro do polígono EFGH é 27 cm.


Página 102– tarefa 4Página 102– tarefa 4

2.12.1

2.22.2

3.13.1

3.23.2

3.33.3

(1,1)A

(7,1)B

(7,3)C

(3,7)D

(1,5)E

90ºA B D

135ºE C

´ (9, 2)A ´ (12,2)B ´ (12,3)C ´ (10,5)D ´ (9, 4)E

´ ´ ´ 90ºA B D 135ºE C

30,5

6

62

33.43.4


Observa os seguintes rectângulos semelhantes:

A razão de semelhança do 1º para o 2º

rectângulo é 2 ( 4 2 = 2 ).

A área do 1º rectângulo é 2 cm ² ( 2 1 = 2 cm ²).

O perímetro do 2º rectângulo é 12 cm ( 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm ).

A razão de perímetros do 1º para o

2º rectângulo é 2 ( 12 6 = 2 ).

A razão de perímetros é igual à

razão de semelhança. ( rp = r )

O perímetro do 1º rectângulo é 6 cm ( 2 + 1 + 2 + 1 = 6 cm ).

A área do 2º rectângulo é 8 cm ² ( 4 2 = 8 cm ²).

A razão de áreas do 1º para o 2º

rectângulo é 4 ( 8 2 = 4 ).

A razão de áreas é igual à razão de

semelhança ao quadrado. ( ra = r²)


No caso geralNo caso geral::

Dados dois polígonos semelhantes P1 e P2 , em que P2 é uma ampliação de P1

de razão r, em relação aos perímetros e às áreas destes dois polígonos tem-

se:

-O perímetro de P2 é r vezes o perímetro de P1;

-A área de P2 é r² vezes a área de P1 .Página 103 – exercício 15Página 103 – exercício 15

15.115.1

15.215.2

15.315.3

1log 2 8 2 16p R Rr r o P P cm

1

2 2 2 2log 2 3 2 12a R Rr r o A A cm

1log 3 8 3 24p R Rr r o P P cm

1

2 2 2 2log 3 3 3 27a R Rr r o A A cm

1

1 1 8log 8 4

2 2 2p R Rr r o P P cm

1

22 21 1 3log 3 0,75

2 4 4a R Rr r o A A cm


Semelhança de triângulosSemelhança de triângulosNo caso dos triângulos, são apresentadas a seguir critérios mais simples para

que se possa concluir que são semelhantes. Esses critérios são conhecidos por

critérios de semelhança de triângulos.

Critério AA

Dois triângulos são semelhantes se e só se, de

um para o outro, tiverem dois ângulos congruentes.

Notação - Se dois triângulos ABC e DEF são semelhantes, escreve-se:

Critério LAL

Dois triângulos são semelhantes se e só se de um

para o outro, tiverem um ângulo igual e os lados que

o formam directamente proporcionais.



17.117.1

17.217.2

Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm dois ângulos iguais:

90ºB E e C C 12 4

15 5r 4 32

8 6,45 5

BC cm

Página 106 – exercício 18Página 106 – exercício 1818.118.1

18.218.2 18.2.118.2.1

18.2.218.2.2

8,1 cmOs triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm um ângulo igual e os lados que o formam proporcionais.

,BA CA

DAE BACAD EA

15 10 5

9 6 3r

5 40,58,1 13,5

3 3BC cm

10 6 4 15 9 6DB cm CE cm 4 6 8,1 13,5 31,6P cm


Critério LLL

Dois triângulos são semelhantes se e só

se, de um para o outro, tiverem os três

lados directamente proporcionais.


Os triângulos são semelhantes porque, de um

para o outro, têm os três lados directamente

proporcionais.

3,75 4,5 31,5

2,5 3 2

AE DE AD

ABAC BC

2,5 1,25 3,75AE cm

2 1 3AD cm



180º (120º 35º ) 180º 155º 25ºABC

ABC RPQ

Logo,

Porque de um para o outro têm dois ângulos congruentes.

A P e B Q

20,5

43

0,563,5

0,57

MNO GHI

Porque de um para o outro têm os três lados directamente proporcionais.



84

2r

Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais,


logo:

1,5 4 6m Altura do poste:

Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro

têm dois ângulos iguais, logo:

168

2r

Altura da torre: 3,5 8 28m


Página 111 – tarefa 13 – ex.1Página 111 – tarefa 13 – ex.1

Página 112 – tarefa 14 – ex.1Página 112 – tarefa 14 – ex.1

Os triângulos são semelhantes porque de

um para o outro têm dois ângulos iguais,

logo:2,75

3,43750,8

r

Altura da casa:

2 3,4375 6,875 6,9 (1 . .)m m c d

6 + 2 = 8 m

Os triângulos são semelhantes porque

de um para o outro têm dois ângulos

iguais, logo:8

42

r

Altura do prédio: 5 4 20m

semelhanças ebi / ji de santa catarina ano lectivo 2010/2011 7º ano

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