seminario de matemático "superficies de guimard"
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UNIVERSIDAD NACIONAL
“PEDRO RUIZ GALLO”
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA
SEMINARIOS DE MATEMATICA APLICADA
“Sinusoides Cilındricas y las Superficies deGuimard”
Presentado por:
Morales Tineo Nolbert Yonel
LAMBAYEQUE − PERU
2013
1
Agradecimiento
Al finalizar el presente seminario debo agradecer
a nuestros profesores de la Escuela Profesional de
Matematica en especial a mi asesora Dra. Ortiz
Basauri Gloria quien con mucha paciencia acepto
mis errores, criticas, dando a cambio su tiempo,
sus conocimientos y sobre todo su experiencia que
servirıa para lograr el exito personal, profesional y
social.
Reiterar mi agradecimiento a quienes sin su ayuda
hubiera sido imposible concretar este trabajo:
Al divino hacedor y a mis padres.
Al primero por iluminar mi mente y a los segundos
por su incondicional apoyo.
Dedicatoria
Dedico el presente seminario: A Dios por ser principio
de todo.
A mis Padres cuyos consejos y apoyo constante en
mi formacion personal, profesional, y social, me per-
miten actuar con transparencia y justicia.
A mis hermanos que por su apoyo me permitieron
culminar del presente seminario.
Indice general
Introduccion III
1. PRELIMINARES 1
1.1. Sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Perıodo (T ) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Amplitud (A) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4. Fase inicial (ϕ) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5. Sinusoide y cosinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Teoria de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Superficie Parametrizada Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Plano Tangente y Vector Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3. Primera Forma Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4. Segunda Forma Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5. Curvatura Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.6. Curvaturas Principales; Curvatura de Gauss, Curvatura Media . . . . 9
1.2.7. Clasificacion de Puntos de una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas. . . . . . . . . . . 10
2. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DEGUIMARD 13
2.1. Superficie de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Superficie Parametrizada Regular de Guimard . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie de Guimard . . . . . 16
2.1.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard . . . . . . . . 17
2.1.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard . . . . . . . . 18
2.1.5. Curvatura Normal de la Superficie de Guimard . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6. Curvaturas Principales de la Superficie de Guimard; Curvatura de
Gauss, Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie de Guimard . . . . . . . . . . 19
2.1.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la Superficie
de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Superficie Generalizada de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I
2.2.1. Superficie Generalizada Parametrizada Regular de Guimard . . . . . . 22
2.2.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie Generalizada de
Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de Guimard 26
2.2.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de Guimard 27
2.2.5. Curvatura Normal de la Superficie Generalizada de Guimard . . . . . 28
2.2.6. Curvaturas Principales de la Superficie Generalizada de Guimard; Cur-
vatura de Gauss, Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie Generalizada de Guimard . . . 28
2.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la Superficie
Generalizada de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA 32
3.1. Aplicacion en la Arquitectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Conclusiones 37
Appendices 39
A. Hector Guimard 40
Bibliografia y Webgrafia 43
II
Introduccion
Haciendo un recuento de las cosas que siempre han atraıdo de la geometrıa, se viene a la
mente su capacidad unificadora de distintas disciplinas, como la construccion, las estructuras,
la acustica y por supuesto el arte. Esta ultima, es quizas, una de las labores que mas tienen
presente los ingenieros y arquitectos, y para ello han de tener en cuenta las leyes geometricas
de sus proyectos para hacerlos estables, utiles y bellos.
Dadas muchas razones se puede asegurar que la Geometrıa, y mas generalmente la Matematica,
ha estado presente en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesi-
dad de construir un hogar donde guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar
o mantenerse alejado de sus enemigos, ya sea excavando en cuevas, construyendo chozas o
montando tiendas, y siente ademas la necesidad de construir lugares especiales para enterrar
y venerar a los muertos o adorar a los dioses. Es por eso que parece evidente para cualquiera
que siendo la forma y la estructura tan importantes en el diseno de las obras arquitectonicas,
la Geometrıa y las Matematicas sean una parte fundamental de la Arquitectura.
Ademas desde hace tiempo se viene detectando la aparicion de formas poco justificadas en la
arquitectura contemporanea, en este sentido se estan alzando voces de reconocido prestigio,
que argumentan a favor de una aplicacion de la geometrıa en los disenos que racionalice el
proceso de diseno. Este trabajo de investigacion, pretende dar a conocer el uso y aplicaciones
de una familia de superficies geometrıas que podrıan ser utiles para desarrollo del patrimonio
arquitectonico e ingenieril.
Se comenzara estudiando una superficie en especial llamada Superficie de Guimard, para luego
generalizarla a partir de la variacion de un parametro n, en donde se analizara sus principales
caracterısticas. Una vez desarrolladas las superficies, se procede a estudiar la aplicacion que
de las mismas en el patrimonio arquitectonico, mostrando algunos ejemplos relevantes de su
proyeccion internacional, o por la innovadora aportacion que supone su realizacion.
Las invenciones de muchos grandes arquitectos estan implıcitamente reguladas por la ge-
ometrıa, pero en las obras de algunos de ellos el predominio de esta es muy explıcito y
notorio. La Geometrıa Diferencial ademas de facilita la comprension de algunos elementos de
la arquitectura, permite no solo entenderlos y analizarlos sino tambien poder generalizarlos,
estableciendo modelos que pueden ser utilizados como nuevos objetos arquitectonicos.
Este trabajo permitira estudiar una familia de superficies a partir de la generalizacion de la
Superficies de Guimard, analizando las caracterısticas y propiedades de dichas superficies,
las cuales tendran un uso aplicativo en la rama de la arquitectura.
III
Capıtulo 1
PRELIMINARES
1.1. Sinusoide
Definicion 1.1. En matematicas, se llama sinusoide la curva que representa graficamente
la funcion seno y tambien a dicha funcion en sı.
1.1.1. Caracterısticas
La sinusoide puede ser descrita por las siguientes expresiones matematicas:
y(x) = A sen(x+ ϕ)
y(x) = A sen(ωx+ ϕ)
y(x) = A sen( 2πT x+ ϕ)
La forma representada es:
1
�� ��2 PRELIMINARES
donde
A es la amplitud de oscilacion.
ω es la velocidad angular; ω = 2πf .
T es el perıodo de oscilacion; T = 1f
f es la frecuencia de oscilacion.
ωx+ ϕ es la fase de oscilacion.
ϕ es la fase inicial.
1.1.2. Perıodo (T ) en una sinusoide
Es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de
la funcion; en este sentido toda funcion de una variable que repite sus valores en un ciclo
completo es una funcion periodica, seno o no sinusoidal. En las graficas de las funciones
seno-coseno, secante-cosecante el perıodo es 2π, mientras que para la tangente y cotangente
el perıodo es π .
1.1.3. Amplitud (A) en una sinusoide
Es el maximo alejamiento en el valor absoluto de la curva medida desde el eje x.
1.1.4. Fase inicial (ϕ) en una sinusoide
La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen
la misma frecuencia e igual fase, se dice que estan en fase. Si dos sinusoides tienen la misma
frecuencia y distinta fase, se dice que estan en desfase, y una de las sinusoides esta adelantada
o atrasada con respecto de la otra. Carece de sentido comparar la fase de dos sinusoides con
distinta frecuencia, puesto que estas entran en fase y en desfase periodicamente.
2
�� ��3 PRELIMINARES
1.1.5. Sinusoide y cosinusoide
Observese que la cosinusoide (coseno), o cualquier combinacion lineal de seno y coseno con
la misma frecuencia, se pueden transformar en una sinusoide y viceversa, ya que:
A sen(ωx+ ϕ) = M sen(ωx) + cos(ωx)
siendo
A2 = M2 +N2.
ϕ = arctan(NM ).
1.2. Teoria de Superficies
En este capıtulo se mencionara las propiedades geometricas de superficies en un espacio
euclidiano R3. Se introducira un concepto de superficie parametrizada. De igual manera
asumiremos que tenemos un sistema de coordenadas cartesianas x, y, z en R3 y se consider-
ara la funcion
S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
de dos variables u, v que varıan en un conjunto abierto U ⊂ R2. Para cada (u, v) ∈ U , S(u, v)
determina un punto en R3. Se denotara por S a un subconjunto de R3 formado por los
puntos S(u, v). A fin de poder utilizar las tecnicas del calculo diferencial en el estudio de las
superficies se exigira la diferenciabilidad de la funcion S(u, v)
1.2.1. Superficie Parametrizada Regular
Definicion 1.2. Una superficie parametrizada regular es una aplicacion S : U ⊂ R2 → R3
, donde U es un abierto de R2 , tal que
1. S es diferenciable de clase C∞.
2. Para todo q = (u, v) ∈ U a diferenciable la diferencial de S en q, dSq : R2 → R3, es
inyectiva.
Las variables u, v son los parametros de la superficie. Un subconjunto S de R3 obtenido de
la imagen de la aplicacion S(u, v), es denominado traza de S(u, v).
Observacion 1.
1. La aplicacion S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) es diferenciable de clase C∞ cuando
las funciones x, y, z tienen derivadas parciales de todos los ordenes continuas.
2. La condicion 2. de la definicion anterior garantizara la existencia de un plano tan-
gente en cada punto de la superficie. Existen otras formas equivalentes de expresar esta
condicion. Sean e1, e2 bases canonıcas de R2 y e1, e2, e3 una base canonıca de R3.
3
�� ��4 PRELIMINARES
Para cada q = (u0, v0) ∈ U se sabe que la matriz asociada a dSq en las bases canonıcas
es la matriz Jacobiana
J(u0, v0) =
∂x∂u (u0, v0) ∂x
∂v (u0, v0)
∂y∂u (u0, v0) ∂y
∂v (u0, v0)
∂z∂u (u0, v0) ∂z
∂v (u0, v0)
porque
dSq(e1) = (∂x
∂u(u0, v0),
∂y
∂u(u0, v0),
∂z
∂u(u0, v0))
dSq(e2) = (∂x
∂v(u0, v0),
∂y
∂v(u0, v0),
∂z
∂v(u0, v0))
Denotando estos dos vectores por Su(u0, v0) y Sv(u0, v0) respectivamente, observamos
que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) dSq es inyectiva.
b) La matriz J(u0, v0) tiene rango 2.
c) Los vectores Su(u0, v0), Sv(u0, v0) son linealmente independientes.
d) Su(u0, v0)× Sv(u0, v0) 6= 0
Si S : U ⊂ R2 → R3 es una superficie parametrizada, entonces fijado (u0, v0) ∈ U , las
superficies
u −→ S(u, v0)
y
v −→ S(u0, v)
son llamadas curvas coordenadas de S en (u0, v0). Los vectores Su(u0, v0) y Sv(u0, v0)
son los vectores tangentes a las curvas coordenadas
1.2.2. Plano Tangente y Vector Normal
Sea S(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ R2 una superficie parametrizada regular. Si se considera u y v
como funciones diferenciables de una parametro t, t ∈ R, obtenemos una curva diferenciable
α(t) = S(u(t), v(t)) cuya traza esta contenida en la superficie descrita por S. Se dice que
α es una curva de superficie. Definamos un vector tangente a la superficie como un vector
tangente a una curva de la superficie. Mas precisamente
Definicion 1.3. Si S(u, v) es una superficie parametrizada regular, decimos que un vector
w de R3 es un vector tangente a S en q(u0, v0) si w = α′(t0), donde α(t) = S(u(t), v(t)) es
una curva de superficie, tal que (u(t0), v(t0)) = (u0, v0).
4
�� ��5 PRELIMINARES
Los vectores Su(u0, v0) y Sv(u0, v0) son vectores tangentes a S en (u0, v0), puesto que son
tangentes a las curvas coordenadas de S.
Definicion 1.4. Un plano tangente a S en (u0, v0) es un conjunto de todos los vectores
tangentes a S en (u0, v0), que denotamos por TqS donde q = (u0, v0).
Observamos que los conceptos de vector tangente y plano tangente son definidos en un punto
(u0, v0) del dominio de S y no en un punto p = S(u0, v0), ya que la superficie S puede tener
auto interseccion.
A continuacion se vera que un plano tangente TqS es un plano de R3 generado por Su(q) y
Sv(q).
Proposicion 1.1. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular y q = (u0, v0). Entonces
TqS es un conjunto de vectores obtenidos como combinacion lineal de Su(q) y Sv(q).
Demostracion.- Si w ∈ TqS, entonces w = α′(t0) donde α(t) = S(u(t), v(t)) y (u(t0), v(t0)) =
(u0, v0). Por lo tanto
w = α′(t0) = ddt (S(u(t), v(t)))|t=t0
w = Su(u0, v0)u′(t0) + Sv(u0, v0)v′(t0)
es decir, w es una combinacion lineal de los vectores Su y Sv en (u0, v0)
Recıprocamente, suponemos que
w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0)
entonces existe una curva α(t) de superficie, tal que (u′(0), v′(0)) = (u0, v0) y α′(0) = w. De
hecho, basta considerar
α(t) = S(u(t), v(t))
donde u(t) = u0 + at y v(t) = v0 + bt.
Definicion 1.5. Si S(u, v) es una superficie y q = (u0, v0), decimos que un vector de R3 es
normal a S en q es ortogonal a TqS, es decir, es ortogonal a todos los vectores tangentes a
S en q.
Dado un plano tangente TqS, existe una unica direccion normal a este plano y por lo tanto
existen exactamente dos vectores unitarios normales a S en q. En lo sucesivo, se fijara un
vector unitario normal a S en q, como el vector
N(q) =Su × Sv|Su × Sv|
(q)
Si el dominio de la superficie S es un abierto U ⊂ R2 entonces, variando (u, v) ∈ U tenemos
una aplicacion diferenciable N : U → R3 denominada aplicacion normal de Gauss, definida
por
N(u, v) =Su × Sv|Su × Sv|
(u, v)
cuya imagen esta contenida en la esfera unitaria, centrada en el origen.
5
�� ��6 PRELIMINARES
1.2.3. Primera Forma Cuadratica
Para desenvolver la teorıa local de superficies se introducira dos formas cuadraticas. La
primera que se vera esta relacionada con el comportamiento de las curvas en una superfi-
cie, angulo entre vectores tangentes y el area de regiones de superficie. La segunda que se
vera esta relacionada con curvaturas de las curvas de superficie.
Definicion 1.6. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular, ∀ q ∈ U la
aplicacion
Iq : TqS −→ R
w −→ Iq(w) = < w,w > = |w|2
se denomina primera forma cuadratica de S en q
Consideremos una superficie dada por S(u, v) y un punto q = (u0, v0). Entonces un vector
w ∈ TqS de la forma
w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0)
, donde a, b ∈ R. Por lo tanto
Iq(w) = a2 < Su, Su > (u0, v0) + 2ab < Su, Sv > (u0, v0) + b < Sv, Sv > (u0, v0)
Usando la notacionE(u0, v0) = < Su, Su > (u0, v0)
F (u0, v0) = < Su, Sv > (u0, v0)
G(u0, v0) = < Sv, Sv > (u0, v0)
por consiguiente
Iq(w) = a2E(u0, v0) + 2abF (u0, v0) + bG(u0, v0)
Variando (u, v) tenemos funciones E(u0, v0), F (u0, v0), y G(u0, v0) diferenciables, que son
denominadas coeficientes de la primera forma cuadratica. Las funciones E, f y G satisfacen
las siguientes propiedades:
1. E(u0, v0) > 0 y G(u0, v0) > 0 para todo (u, v), puesto que los vectores Su y Sv son
no nulos.
2. E(u0, v0)G(u0, v0)− F 2(u0, v0) > 0. En efecto, como
|Su × Sv|2+ < Su, Sv >2= |Su|2|Sv|2
tenemos que
EG− F 2 = |Su|2|Sv|2− < Su, Sv >2= |Su × Sv|2 > 0
Ademas si w1 y w2 son vectores no nulos tangentes a S en q = (u, v), entonces el angulo
0 ≤ θ ≤ π formado por w1 y w2 esta dado por
cos θ =< w1, w2 >
|w1||w2|
6
�� ��7 PRELIMINARES
Para expresar cos θ en terminos de la primera forma cuadratica, observamos que w1 +w2 es
un vector tangente a S en q y
< w1 + w2, w1 + w2 >= |w1|2 + 2 < w1, w2 > +|w2|2
. por lo tanto
cos θ =Iq(w1 + w2)− Iq(w1)− Iq(w2)
2√Iq(w1)Iq(w2)
Si dos curvas de superficie α(t) = S(u(t), v(t)) y β(t) = S(u(r), v(r)) son tal que (u(t0), v(t0)) =
(u(r0), v(r0)), entonces el angulo θ con el que las curvas se interceptan esta dado por
cos θ =< α′(t0), β′(t0) >
|α′(t0)||β′(t0)|
En particular, el angulo formado por las curvas coordenadas de S(u, v) en (u0, v0) esta dado
por
cos θ =< w1, w2 >
|w1||w2|=
F (u0, v0)√E(u0, v0)G(u0, v0)
Donde concluimos que las curvas coordenadas de una superficie S(u, v) se interceptan ortog-
onalmente , si y solo si, F (u, v) = 0 para todo (u, v).
Definicion 1.7. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y D ⊂ U una
region de R2, tal que S restringida al interior de D es inyectiva. El area de la region S(D)
esta dada por
An(S(D)) =∫ ∫
D
√EnGn − Fn2dudv
donde E,F,G son los coeficientes de la primera forma cuadratica de S
1.2.4. Segunda Forma Cuadratica
El estudio de las propiedades geometricas locales de una superficie regular depende de dos
formas cuadraticas, de las cuales ya se definio la primera. A continuacion se introducira la
segunda forma cuadratica y se vera que esta relacionada con el estudio de las curvaturas de
curvas de superficie
Definicion 1.8. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular. Fijando
q = (u0, v0) ∈ U , la segunda forma cuadratica de S en q es una aplicacion IIq : TqS → R,
que para cada vector w ∈ TqS asocia IIq(w) de la siguiente forma: si α(t) = S(u(t), v(t))
es una curva diferenciable de superficie, tal que (u(t0), v(t0)) = q y α′(t0) = w, entonces
definimos IIq(w) =< α′′(t0), N(u0, v0) >, donde N es el vector normal a S.
Se verificara que IIq(w) no depende de la curva escogida. Sea w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0),
consideremos la curva α(t) = S(u(t), v(t)) tal que (u(t0), v(t0)) = q y α′(t0) = w, esto decir
(u(t0), v(t0)) = (u0, v0) ; (u′(t0), v′(t0)) = (a, b).
Como
α′(t) = u′(t)Su(u(t), v(t)) + v′(t)Sv(u(t), v(t))
7
�� ��8 PRELIMINARES
y
α′′(t) = u′′(t)Su(u(t), v(t)) + (u′(t))2Suu(u(t), v(t)) + 2u′(t)v′(t)Suv(u(t), v(t))+
+(v′(t))2Svv(u(t), v(t)) + v′′(t)Sv(u(t), v(t))
tenemos que
IIq(w) = < α′′(t0), N(u0, v0) >
= a2 < Suu, N > (u0, v0) + 2ab < Suv, N > (u0, v0) + b2 < Svv, N > (u0, v0)
donde la ultima expresion no depende de la curva α.
usando la notacione(u0, v0) = < Suu, N > (u0, v0),
f(u0, v0) = < Suv, N > (u0, v0),
g(u0, v0) = < Svv, N > (u0, v0)
se tiene que
IIq(W ) = a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0) + b2g(u0, v0)
.
Variando (u, v) tenemos funciones diferenciables e(u0, v0), f(u0, v0), g(u0, v0), que son denom-
inadas coeficientes de la segunda forma cuadratica de la superficie parametrizada S.
1.2.5. Curvatura Normal
Definicion 1.9. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular y q = (u0, v0). Una funcion
curvatura normal en q es una aplicacion kn : TqS − 0 → R que para cada vector w ∈ TqSno nulo, le asocia
kn(w) =IIq(w)Iq(w)
Observacion 2. Sea w ∈ TqS, w 6= 0, entonces kn(λw) = kn(w) para todo numero real
λ 6= 0. En efecto, sea w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0) donde (a, b) 6= (0, 0). Denotamos por
e0, f0, g0 a los coeficientes de la segunda forma cuadratica en (u0, v0), tenemos
kn(λw) =IIq(λw)Iq(λw) = λ2a2e0+2λ2abf0+λ
2b2g0λ2<w,w>
kn(λw) = a2e0+abf0+b2g0
<w,w> =IIq(w)Iq(w)
kn(λw) = kn(w)
Como consecuencia de este hecho, podemos hablar en la curvatura normal en q de acuerdo
con una direccion tangente a la superficie.
8
�� ��9 PRELIMINARES
1.2.6. Curvaturas Principales; Curvatura de Gauss, Curvatura Me-
dia
Se llamara a w1 y w2 vectores principales de S en q = (u0, v0), si k1 = kn(w1) y
k2 = kn(w2) son los valores mınimos y maximos respectivamente de la funcion kn, ademas
k1 y k2 son denominados curvaturas principales de S. Las direcciones de TqS determinadas
por los vectores principales son llamadas direcciones principales.
El producto de las curvaturas principales K(q) = k1k2, se denomina Curvatura Gaussiana
de S en q y la semisuma de k1 y k2, H(q) = k1+k22 es llamada Curvatura Media de S en q.
Proposicion 1.2. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Si q = (u0, v0) entonces
H(q) = 12e0g0−2f0F0+E0g0
E0G0−F 20
K(q) =e0g0−f2
0
E0G0−f20
Demostracion.- Sea un numero real k0 y una curvatura principal en q, en direccion de w =
a0Su(q) + b0Sv(v), entonces
(e0 − k0E0)a0 + (f0 − k0F0)b0 = 0
(f0 − k0F0)a0 + (g0 − k0G0)b0 = 0
De hecho, como k0 es un valor mınimo o maximo de la funcion
a2e0+2abf0+b2g0
a2E0+2abF0+b2G0; (a, b) ∈ R2 − {(0, 0)}
en (a0, b0), calculando las derivadas parciales en (a0, b0) obtenemos el sistema de ecuaciones
de arriba.
Siguiendo del hecho que (a0, b0) es una solucion no trivial del sistema, el siguiente determi-
nante ∣∣∣∣∣ e0 − k0E0 f0 − k0F0
f0 − k0F0 g0 − k0G0
∣∣∣∣∣ = 0
es decir, k0 satisface la ecuacion
x2 − e0G0 − 2f0F0 + E0g0E0G0 − F 2
0
x+e0g0 − f20E0G0 − F 2
0
= 0
Por la relacion entre los coeficientes de una ecuacion de segundo grado y las raıces de la
ecuacion concluimos que
H(q) = 12e0g0−2f0F0+E0g0
E0G0−F 20
K(q) =e0g0−f2
0
E0G0−f20
�
De entre las superficies de R3 destacan lasque tienen curvatura Gaussiana constante, y las
que tienen curvatura media nula. Una superficie que tiene una curvatura media identicamente
nula es denominada Superficie Mınima. Decimos que una superficie tiene curvatura Gaussiana
constante si la funcion K es contante.
9
�� ��10 PRELIMINARES
1.2.7. Clasificacion de Puntos de una Superficie
Definicion 1.10. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Se dira que q = (u, v) es
un punto
1. eliptico si K(q) > 0;
2. hiperbolico si K(q) < 0
3. parabolico si K(q) = 0 y H(q) 6= 0
4. planar si K(q) = 0 y H(q) = 0
1.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas.
Si S(u, v), (u, v) ∈ U , es una superficie parametrizada regular de R3 , u y v son funciones
diferenciables de un parametro t, t ∈ R, entonces una curva diferenciable α(t) = S(u(t), v(t))
es una curva de superficie S. Si α es regular diremos que α es una curva parametrizada regular
de superficie. De entre las diversas curvas regulares de una superficie, se presentara tres tipos
de curvas que merecen un estudie especial. Estas son las llamadas Lıneas de Curvatura,
Lıneas Asintoticas, Geodesicas.
Definicion 1.11. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Una curva regular α(t) =
S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R es una Lıneas de Curvatura de la superficie S, si para todo t ∈ I el
vector α′(t) es una direccion principal de S en (u(t), v(t)).
A continuacion vamos a obtener las ecuaciones diferenciales que permitiran determinar las
lıneas de curvatura de una superficie.
Proposicion 1.3. Sea α(t) = S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R una curva regular de superficie
parametrizada regular S(u, v). Entonces α es una lınea de curvatura de S, si y solo si,
u(t) y v(t) satisfacen ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(v′)2 −u′v′ (u′)2
E F G
e f g
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
donde E, F, G, e, f, g son los coeficientes de la primera y segunda forma cuadratica de S
en (u(t), v(t)).
Demostracion.- Sabiendo que el vector no nulo
α′(t) = u′(t)Su(u(t), v(t)), v(t) + v′(t)Sv(u(t), v(t))
es una direccion principal, si y solo si
(e− kn(α′(t))E)u′(t) + (f − kn(α′(t))F )v′(t) = 0
(f − kn(α′(t))F )u′(t) + (g − kn(α′(t))G)v′(t) = 0
10
�� ��11 PRELIMINARES
donde los coeficientes de las formas cuadraticas estan siendo considerados en (u(t), v(t)).
Eliminando kn(α′(t)) en las ecuaciones de arriba, obtenemos que α es una lınea de curvatura,
si y solo si, las funciones u(t) y v(t) satisfacen∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(v′)2 −u′v′ (u′)2
E F G
e f g
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
�
Definicion 1.12. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y q un punto
de U . Una direccion tangente a S en q, para el cual la curvatura normal se anula, es llamada
direccion asintotica de S en q.
Podemos determinar las cantidades de direcciones asintoticas de q en terminos de la curvatura
Gaussiana y la curvatura Media en q.
Proposicion 1.4. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y q un punto
de U
1. Se q es un punto elıptico, entonces no existen direcciones asintoticas en q.
2. Se q es un punto hiperbolico, entonces existen exactamente dos direcciones asintoticas
en q.
3. Se q es un punto parabolico, entonces existe exactamente una unica direcciones asintoticas
en q, que tambien es principal.
4. Se q es un punto planar, entonces todas las direcciones son asintoticas en q.
Demostracion.- Todos los casos son derivados de la formula de Euler, que dice
kn(w) = k1 cos2 θ + k2 sen2 θ,
donde k1 y k2 son las curvaturas principales en q, w = w1 cos2 θ + w2 sen2 θ es un vector
unitario tangente en q y w1,w2 son los vectores principales. Las direccion asintotica son
determinadas por los valores de θ que anulan de expresion de arriba a kn(w).
1. Si K(q) > 0, entonces k1 y k2 tienen el mismo signo por tanto kn(q) 6= 0, ∀ w 6= 0.
2. Si K(q) < 0, entonces k1 y k2 tienen signos opuestos. por lo tanto podemos resolver
las ecuaciones en θ, k1 cos2 θ + k2 sen2 θ = 0 obteniendo las dos direcciones asintoticas.
3. Si q es parabolico, supongamos que k1 = 0 y k2 6= 0. Resolviendo la ecuacion k2 sen2 θ =
0 obtenemos una direccion asintotica determinada por el vector principal w1.
4. Si q es planar, entonces k1 = k2 = 0. Por lo tanto, para w 6= 0, kn(w) = 0
11
�� ��12 PRELIMINARES
�
Definicion 1.13. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Una curva regular α(t) =
S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R es una lınea asintotica de S, si para todo t ∈ I, α′(t) es una direccion
asintotica de S en (u(t), v(t)).
Ejemplo 1. 1. Siguiendo del item 4 de la proposicion anterior, toda curva regular de un
plano es una lınea de asintotica.
2. Si S(u, v) es una superficie parametrizada regular y α(t) = S(u(t), v(t)) es una recta,
entonces α es una lınea asintotica de S.
A continuacion vamos a obtener las lıneas asintoticas de una superficie.
Proposicion 1.5. Sea α(t) = S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R una curva regular de una superficie
S(u, v). Entonces α es una lınea de curvatura de S, si y solo si, las funciones u(t), v(t)
satisfacen la siguiente ecuacion
e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0
donde e, f, g son los coeficientes de la segunda forma cuadratica de S en (u(t), v(t)).
Demostracion.- Se desprende de esta definicion que α es una lınea asintotica de S cuando
kn(α′(t)) = 0, para todo t, es decir, las funciones u(t) y v(t) satisfacen
e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0
�
Definicion 1.14. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Una curva regular α(t) =
S(u(t), v(t)) es una geodesica de la superficie S si , para todo t ∈ I, α′′(t) es un vector normal
a S en (u(t), v(t)).
12
Capıtulo 2
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE
GUIMARD
2.1. Superficie de Guimard
Definicion 2.1. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 y q > r, ademas el conjunto
U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1]. La superficie S : U ⊂ R2 → R3, generada por los segmentos de
rectas que unen los puntos de la curva τ(u) = (r cosu, 0, 0) menos lo puntos extremos, con
la sinusoide cilındrica ζ(u) = (p cosu, q senu, h2 (1− cosu)) menos dos puntos, definida por
S(u, v) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h
2v(1− cosu))
13
�� ��14 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
se llama ”Superficie de Guimard”.
2.1.1. Superficie Parametrizada Regular de Guimard
Las curvas coordenadas de la Superficie de Guimard en el punto d = (u0, v0) son
S(u0, v) = (r cosu0 + (p− r)v cosu0, qv cosu0,h2 v(1− cosu0))
S(u, v0) = (r cosu+ (p− r)v0 cosu, qv0 cosu, h2 v0(1− cosu))
14
�� ��15 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
Ahora para empezar a analizar esta superficie, se empezara tomando la siguiente notacion
S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), donde:
x(u, v) = r cosu+ (p− r)v cosu
y(u, v) = qv cosu
z(u, v) = h2 v(1− cosu))
por lo tanto∂x∂u = −(r + (p− r)v) senu ∂x
∂v = (p− r) cosu
∂y∂u = qv cosu ∂y
∂v = q senu
∂z∂u = h
2 v senu ∂z∂v = h
2 (1− cosu)
con lo cual se obtiene la matriz jacobiana:
J(u, v) =
−(r + (p− r)v) senu (p− r) cosu
qv cosu q senu
h2 v senu h
2 (1− cosu)
donde la matriz J(u, v) tiene rango 2, pues se puede encontrar una sub matrices de 2× 2 tal
que det[ ] 6= 0, por ejemplo
det
qv cosu q senu
h2 v senu h
2 (1− cosu)
= qv cosuh2 (1− cosu)− h2 qv sen2 u
= qv h2 cosu− qv h2 cos2 u− h2 qv sen2 u
= h2 qv cosu− qv h2
= h2 qv[cosu− 1]
6= 0⇐⇒ v 6= 0
15
�� ��16 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
y en el caso que v = 0 podemos tomar el siguiente determinante la sub matriz de 2× 2
det
−(r + (p− r)v) senu (p− r) cosu
qv cosu q senu
= −q(r + (p− r)v) sen2 u− qv(p− r) cos2 u
= −qv(p− r) sen2 u− qv(p− r) cos2 u− qr sen2 u
= −qv(p− r)− qr sen2 u
= −q[v(p− r) + r sen2 u]
= −qr sen2 u; si v = 0
6= 0
por lo tanto la superficie es regular.
2.1.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie de Guimard
Luego para calcular el plano tangente en el punto d = (u0, v0) obtenemos los siguientes
resultados
Su =(∂x∂u ,
∂y∂u ,
∂z∂u
)=
(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu, h2 v senu
)Sv =
(∂x∂v ,
∂y∂v ,
∂z∂v
)=
((p− r) cosu, q senu, h2 (1− cosu)
)por lo tanto el espacio tangente en el punto d = (u0, v0) es el que esta generado por {Su, Sv}.Entonces si w ∈ TdS, entonces
w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0) : a, b ∈ R
Ahora se desea encontrar el vector normal unitario a la superficie S en el punto d = (u0, v0),
dicho vector se escribe de la siguiente forma
N(u0, v0) = Su×Sv
|Su×Sv|
N(u0, v0) =(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,
h2 v senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,
h2 (1−cosu0)
|(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,h2 v0 senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,
h2 (1−cosu0)|
N(u0, v0) =(−hqv0 sen2(
u02 ),−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0),−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0))
|(−hqv0 sen2(u02 ),−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0),−qv(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u))|
En general, el vector normal unitario en un punto cualquiera d = (u0, v0) esta dado por
N(u0, v0) =(−hqv0 sen2(
u02 ),−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0),−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0))√[−hqv0 sen2(
u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
16
�� ��17 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
2.1.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard
A continuacion se calculara la primera forma cuadratica de la superficie en el punto d =
(u0, v0). Para ello se determinaran sus coeficientes, los cuales son calculados de la siguiente
forma:
E(u0, v0) = < Su, Su > (u0, v0)
=
⟨(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,
h
2v senu
),
(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,
h
2v senu
)⟩(u0, v0)
E(u0, v0) = qv02 cos2 u0 + 1
4h2v0
2 sen2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0
F (u0, v0) = < Su, Sv > (u0, v0)
=
⟨(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,
h
2v senu
),
((p− r) cosu, q senu,
h
2(1− cosu)
)⟩(u0, v0)
F (u0, v0) = 14 [−h2v0(−1 + cosu0) + 4q2v0 cosu0 − 4(p− r)(r + (p− r)v0) cosu0] senu0
G(u0, v0) = < Sv, Sv > (u0, v0)
=
⟨((p− r) cosu, q senu,
h
2(1− cosu)
),
((p− r) cosu, q senu,
h
2(1− cosu)
)⟩(u0, v0)
G(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + q2 sen2 u0 + h2
4 (1− cosu0)2
Con lo cual la Primera forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma
Id(w) = a2E(u0, v0) + 2abF (u0, v0) + b2G(u0, v0)
donde
E(u0, v0) = qv02 cos2 u0 + 1
4h2v0
2 sen2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0
F (u0, v0) = 14 [−h2v0(−1 + cosu0) + 4q2v0 cosu0 − 4(p− r)(r + (p− r)v0) cosu0]
G(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + q2 sen2 u0 + h2
4 (1− cosu0)2
Ademas el angulo formado por dos curvas coordenadas de S satisface la siguiente igualdad:
cos θ =< Su, Sv >
|Su||Sv|=
F (u0, v0)√E(u0, v0)G(u0, v0)
Ademas el area de la superficie en una subconjunto D ⊂ U se calcula mediante
A(S(D)) =∫ ∫
D
√EG− F 2dudv
17
�� ��18 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
2.1.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard
A continuacion se calculara la segunda forma cuadratica de la superficie en el punto d =
(u0, v0). Para ello se busca cuales son sus coeficientes. Para esto se necesita calcular lo sigu-
iente:
Suu = ∂2S∂u2 = (−(r + (p− r)v) cosu,−qv senu, hv2 cosu)
Suv = ∂2S∂u∂v = (−(p− r) senu, q cosu, h2 senu)
Svv = ∂2S∂v2 = (0, 0, 0)
Con estos valores se obtendra los coeficientes de la segunda forma cuadratica de la siguiente
manera
e(u0, v0) = < Suu, N > (u0, v0)
= −hqv2
cosu0((r+(p−r)v0)(cosu0−1)+r sen2 u0+v0(p−r))+sen2 u(r(1−cosu0)+v0(p−r))√[−hqv0 sen2(
u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
= hqv(r(−1+v)−pv+r cosu)2√
[−hqv0 sen2(u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
f(u0, v0) = < Suv, N > (u0, v0)
= −hqv2
(p−r) senu(cosu−1)+hq2 cosu senu(r(1−cosu)+v(p−r))−hq
2 senu(r sen2 u+v(p−r))√[−hqv0 sen2(
u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
=−hqr sen2(u
2 ) senu√[−hqv0 sen2(
u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
g(u0, v0) = < Svv, N > (u0, v0) = 0
Con lo cual la Segunda forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma
IId(w) = a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0) + b2g(u0, v0)
donde
e(u0, v0) = hqv0(r(−1+v0)−pv0+r cosu0)
2√
[−hqv0 sen2(u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
f(u0, v0) =−hqr sen2(
u02 ) senu0√
[−hqv0 sen2(u02 )]2+[−h
2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2
g(u0, v0) = 0
entonces
IId(w) = a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0)
18
�� ��19 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
2.1.5. Curvatura Normal de la Superficie de Guimard
Luego de haber calculado la Primera forma Cuadratica y la Segunda forma Cuadratica,
se calculara la funcion curvatura normal en un punto d = (u0, v0) determinada por km :
TdS − {0} → R tal que para cada vector w ∈ TdS − {0} le corresponde
km(w) =IId(w)
Id(w)=
a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0)
a2E(u0, v0) + 2abF (u0, v0) + b2G(u0, v0)
2.1.6. Curvaturas Principales de la Superficie de Guimard; Cur-
vatura de Gauss, Curvatura Media
Ademas tambien podemos obtener la Curvatura Media y la Curvatura de Gauss en el punto
d, las cuales quedan expresadas respectivamente de la siguiente manera
H(d) =1
2
e0G0 − 2f0F0 + E0g0
E0G0 − F02 =
1
2
e0G0 − 2f0F0
E0G0 − F02
K(d) =e0g0 − f02
E0G0 − F02 =
−f02
E0G0 − F02
2.1.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie de Guimard
Luego de esto si u = 0 y u = π, el coeficiente de la segunda forma cuadratica f(u0, v0) = 0,
por tanto la curvatura media
K(u0, v0) =e0g0 − f20E0G0 − F 2
0
=e0(0)− (0)2
E0G0 − F 20
= 0
Por lo tanto si u = 0 o u = π y ∀ v ∈ [0, 1] todos los puntos son puntos parabolicos, pero
u 6= 0 y u 6= π, por tanto la superficie no tiene puntos parabolicos. Tambien se asegura
que la superficie no es una Superficie Mınima,pues la curvatura Media no es nula en toda la
superficie.
Tambien, dado que
K(d) =−f02
E0G0 − F02
, f(u0, v0) 6= 0 y E0G0 − F02 > 0 entonces d = (u0, v0) es un punto Hiperbolico. Por lo
tanto todos los puntos de la superficie son Hiperbolicos.
2.1.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la
Superficie de Guimard
Para encontrar las lıneas de curvatura, haremos uso de la Proposicion 1.3. Por lo tanto
teniendo en cuenta los siguientes valores :
E(u, v) = qv2 cos2 u+ 14h
2v2 sen2 u+ (−r − (p− r)v)2 sen2 u
F (u, v) = 14 [−h2v(−1 + cosu) + 4q2v cosu− 4(p− r)(r + (p− r)v) cosu]
G(u, v) = (p− r)2 cos2 u+ q2 sen2 u+ h2
4 (1− cosu)2
19
�� ��20 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
e(u, v) = hqv(r(−1+v)−pv+r cosu)2√
[−hqv sen2(u2 )]2+[−h
2 (r(−1+v)−pv+r cos(u)) sen(u)]2+[−qv(p−r) cos2(u)+q(r(−1+v)−pv) sen2(u)]2
f(u, v) =−hqr sen2(u
2 ) senu√[−hqv sen2(u
2 )]2+[−h2 (r(−1+v)−pv+r cos(u)) sen(u)]2+[−qv(p−r) cos2(u)+q(r(−1+v)−pv) sen2(u)]2
g(u, v) = 0
los reemplazamos en el determinante y lo calculamos, obteniendo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(v′)2 −u′v′ (u′)2
E F G
e f g
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
obteniendo
hqv(t)[r cos(u(t)) + r(−1 + v(t))− pv(t)][−( 14 )(−h2(−1 + cos(u(t)))v(t) + 4q2 cos(u(t))v(t)−
4(p−r) cos(u(t))(r+(p−r)v(t)))u′(t)2−( 14h
2(1−cos(u(t)))2+(p−r)2 cos2(u(t))+q2 sen2(u(t)))u′(t)v′(t)]+
hqr sen2(u(t)2 ) sen(u(t))[−(q cos2(u(t))v(t)2+ 14h
2 sen2(u(t))v(t)2+sen2(u(t))(−r−(p−r)v(t))2)u′(t)2+
( 14h
2(1− cos2(u(t))) + (p− r)2 cos2(u(t)) + q2 sen2(u(t)))v′(t)2] = 0
calculamos las soluciones de la ecuacion en funcion de v′[t], se obtiene :
v′(t) =
{1
[2r((p−r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))]
}·{csc2(u(t)2 ) csc(u(t))[−p2r cos2(u(t))v(t)u′(t)+
2pr2(cos2(u(t)))v(t)u′(t)−r3(cos2(u(t)))v(t)u′(t)+p2r(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−2pr2(cos3(u(t)))v(t)u′(t)+
r3(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−h2r sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)+h2r cos(u(t)) sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)−q2r(sen2(u(t)))v(t)u′(t)+
q2r cos(u(t)) sen2(u(t))v(t)u′(t)−p3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)+3p2r(cos2(u(t)))(v(t)2)u′(t)−3pr2(cos2(u(t)))v[t]2u′[t]+
r3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)−h2p(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)+h2r(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)−pq2(sen2(u(t)))v(t)2u′(t)+
q2r(sen2(u(t)))v(t)2u′(t) + 18 [((3h2 + 4p2 + 4q2− 8pr+ 4r2− 4h2 cos(u(t)) + (h2 + 4(p2− q2−
2pr + r2)) cos(2u(t)))2v(t)2(r(−1 + cos(u(t))) + (−p + r)v(t))264r sen2(u(t)2 ) sen(u(t))((p −r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))(4r3 sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))+8(p−r)r2 sen2(u(t)2 )(Cos(u(t))+
sen3(u(t)))v(t)+r(−h2+2(h2+4p2−2q2−8pr+4r2) cos(u(t))+(h2+4(p−r)2) sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))−cos2(u(t))(h2 +4p2−4q2−8pr+4r2−2q sen(u(t))+ q sen(2u(t))))v(t)2 +(p− r)(−h2 +(h2 +
4(p2 − q2 − 2pr + r2)) cos(u(t)))v(t)3))u′(t)2]12 ]}
v′(t) =
{1
[2r((p−r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))]
}·{csc2(u(t)2 ) csc(u(t))[−p2r cos2(u(t))v(t)u′(t)+
2pr2(cos2(u(t)))v(t)u′(t)−r3(cos2(u(t)))v(t)u′(t)+p2r(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−2pr2(cos3(u(t)))v(t)u′(t)+
r3(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−h2r sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)+h2r cos(u(t)) sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)−q2r(sen2(u(t)))v(t)u′(t)+
q2r cos(u(t)) sen2(u(t))v(t)u′(t)−p3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)+3p2r(cos2(u(t)))(v(t)2)u′(t)−3pr2(cos2(u(t)))v[t]2u′[t]+
r3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)−h2p(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)+h2r(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)−pq2(sen2(u(t)))v(t)2u′(t)+
q2r(sen2(u(t)))v(t)2u′(t)− 18 [((3h2 + 4p2 + 4q2− 8pr+ 4r2− 4h2 cos(u(t)) + (h2 + 4(p2− q2−
2pr + r2)) cos(2u(t)))2v(t)2(r(−1 + cos(u(t))) + (−p + r)v(t))264r sen2(u(t)2 ) sen(u(t))((p −r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))(4r3 sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))+8(p−r)r2 sen2(u(t)2 )(Cos(u(t))+
sen3(u(t)))v(t)+r(−h2+2(h2+4p2−2q2−8pr+4r2) cos(u(t))+(h2+4(p−r)2) sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))−cos2(u(t))(h2 +4p2−4q2−8pr+4r2−2q sen(u(t))+ q sen(2u(t))))v(t)2 +(p− r)(−h2 +(h2 +
4(p2 − q2 − 2pr + r2)) cos(u(t)))v(t)3))u′(t)2]12 ]}
20
�� ��21 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
Las soluciones obtenidas llegarıan a formar ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones, como
menciona la proposicion, vendrıa a ser las lıneas de curvatura, por lo tanto al calcular dichas
soluciones obtenemos
u(t) = c1 v(t) = c2
donde c1 y c2 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas de curvatura son
las curvas coordenadas.
De la misma manera para calcular las lıneas asintoticas utilizamos la Proposicion 1.5, por
lo tanto teniendo en cuenta los valores de la segunda forma cuadratica y remplazandolos en
la siguiente ecuacion
e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0
Calculando las soluciones de dicha ecuacion en funcion de u′[t] obtenemos las siguientes
ecuaciones diferenciales
u′(t) = 0 u′(t) =2r cos(
u(t)2 ) sen3(
u(t)2 )v′(t)
v(t)(−r+r cos(u(t))−pv(t)+rv(t))
luego de resolver las ecuaciones diferenciales se obtiene
u(t) = c3 v(t) = c4
donde c3 y c4 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas asintoticas son las
curvas coordenadas.
2.2. Superficie Generalizada de Guimard
Ahora se generalizara la superficie de Guimard para lo cual se debe tener en cuenta que resulta
imprescindible situar perfectamente los puntos de mınimos de las sinusoides cilındricas sobre
su proyeccion circular con el fin de introducir la correccion necesaria que alinee el segmento
directriz con una de las generatrices formando la lima-hoya de desague como ocurre en la
superficie de la Porte Dauphine. El calculo de los maximos y mınimos puede simplificarse,
buscando sobre la curva alabeada los puntos de torsion nula, lo que implica anular el producto
mixto de las tres primeras derivadas de la funcion vectorial de la curva sinusoidal que nos
sirve de representacion parametrica.
Definiendo la superficie de la siguiente forma
S(u, v) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h
2v(1− cosnu))
se puede evitar tener que corregir la parametrizacion de la superficie para cada valor de n
pues de esta manera el segmento directriz esta sobre el eje 0X la cual es la posicion correcta
de la sinusoide cilındrica por estar alineada el segmento con una de las generatrices y con la
que obtenemos una parametrizacion adecuada de la superficie de Guimard que nos sirva para
describir vectorialmente las caracterısticas de forma de tal superficie. Por lo tanto damos la
siguiente definicion.
21
�� ��22 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
Definicion 2.2. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 , q > r y n ∈ Z+, ademas
el conjunto U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1] . La superficie S : U ⊂ R2 → R3, generada por los
segmentos de rectas que unen los puntos de la curva τ(u) = (r cosu, 0, 0) menos los puntos
extremos con la sinusoıde cilındrica ζn(u) = (p cosu, q senu, h2 (1−cosnu)) menos dos puntos,
definida por
S((u, v), n) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h
2v(1− cosnu))
se llama ”Superficie Generalizada de Guimard”.
2.2.1. Superficie Generalizada Parametrizada Regular de Guimard
Las curvas coordenadas de la Superficie Generalizada de Guimard en el punto k0 = (u0, v0)
sonS((u0, v), n) = (r cosu0 + (p− r)v cosu0, qv cosu0,
h2 v(1− cosnu0))
S((u,v0), n) = (r cosu+ (p− r)v0 cosu, qv0 cosu, h2 v0(1− cosnu))
22
�� ��23 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5...
......
n = 10...
......
23
�� ��24 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
Ahora para empezar a analizar esta superficie, se empezara tomando la siguiente notacion
S((u, v), n) = (x((u, v), n), y(u, v), n), z((u, v), n)), donde:
x((u, v), n) = r cosu+ (p− r)v cosu
y((u, v), n) = qv cosu
z((u, v), n) = h2 v(1− cosnu))
por lo tanto
∂x((u,v),n)∂u = −(r + (p− r)v) senu ∂xn
∂v = (p− r) cosu
∂y((u,v),n)∂u = qv cosu ∂yn
∂v = q senu
∂z((u,v),n)∂u = hn
2 v sennu ∂zn
∂v = h2 (1− cosnu)
con lo cual se obtiene la matriz jacobiana:
J((u, v), n) =
−(r + (p− r)v) senu (p− r) cosu
qv cosu q senu
h2 v senu h
2 (1− cosnu)
donde la matriz J((u, v), n) tiene rango 2, pues se puede encontrar sub matrices de 2× 2 tal
que det[ ] 6= 0, por ejemplo
det
qv cosu q senu
h2 v senu h
2 (1− cosnu)
= qv cosuh2 (1− cosnu)− h2 qv sen2 u
= qv h2 cosu− qv h2 cosu cosnu− h2 qv sen2 u
= −qv[h2 cosu+ h2 cosu cosnu+ h
2 sen2 u]
6= 0⇐⇒ v 6= 0
y en el caso que v = 0 podemos tomar el siguiente determinante la sub matriz de 2× 2
24
�� ��25 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
det
−(r + (p− r)v) senu (p− r) cosu
qv cosu q senu
= −q(r + (p− r)v) sen2 u− qv(p− r) cos2 u
= −qv(p− r) sen2 u− qv(p− r) cos2 u− qr sen2 u
= −qv(p− r)− qr sen2 u
= −q[v(p− r) + r sen2 u]
= −qr sen2 u; si v = 0
6= 0
por lo tanto la superficie es regular.
2.2.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie Generaliza-
da de Guimard
Luego para calcular el plano tangente en el punto k0 = (u0, v0) obtenemos los siguientes
resultados
Su((u, v), n) =(∂x((u,v),n)
∂u , ∂y((u,v),n)∂u , ∂z((u,v),n)∂u
)=
(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu, hn2 v sennu
)Sv((u, v), n) =
(∂x((u,v),n)
∂v , ∂y((u,v),n)∂v , ∂z((u,v),n)∂v
)=
((p− r) cosu, q senu, h2 (1− cosnu)
)por lo tanto el espacio tangente en el punto d = (u0, v0) es el que esta generado por
{Su((u, v), n), Sv((u, v), n)}. Entonces si w ∈ TdS((u, v), n)
w = anSu((u, v), n)(u0, v0) + bnSv((u, v), n)(u0, v0) : an, bn ∈ R
Ahora se desea encontrar el vector normal unitario a la superficie S((u, v), n) en el punto
k0 = (u0, v0), dicho vector se escribe de la siguiente forma
N((u0, v0), n)) = Su((u,v),n)×Sv((u,v),n)|Su((u,v),n)×Sv((u,v),n)|
N((u0, v0), n)) =(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,
h2 v senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,
h2 (1−cosnu0)
|(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,h2 v0 senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,
h2 (1−cosnu0)|
En general, el vector normal unitario en un punto cualquiera d = (u0, v0) esta dado por
N((u0, v0), n)) = (N((u0, v0), n))x, N((u0, v0), n))y, N((u0, v0), n))z)
N((u0, v0), n))x =
25
�� ��26 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
−hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2(
nu02
)+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
N((u0, v0), n))y =
h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu02
+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2(
nu02
)+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
N((u0, v0), n))z =
−q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2(
nu02
)+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
2.2.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de
Guimard
A continuacion se calculara la primera forma cuadratica de la superficie en el punto d =
(u0, v0). Para ello se determinaran sus coeficientes, los cuales son calculados de la siguiente
forma:
En(u0, v0) = 〈Su((u, v), n), Su((u, v), n)〉(u0, v0)
=
⟨(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,
hn
2v sennu
),
(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,
hn
2v sennu
)⟩(u0, v0)
En(u0, v0) = q2v02 cos2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0 + h2n2v0
2
4 sen2(nu0)
Fn(u0, v0) = 〈Su((u, v), n), Sv((u, v), n)〉(u0, v0)
=
⟨(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,
hn
2v sennu
),
((p− r) cosu, q senu,
h
2(1− cosnu)
)⟩(u0, v0)
Fn(u0, v0) = q02v cosu0 senu0 + (p− r)(−r − (p− r)v0) cosu0 senu0 + h2nv0
4 (1− cos(nu0)) sen(nu0)
Gn(u0, v0) = 〈Sv((u, v), n), Sv((u, v), n)〉(u0, v0)
=
⟨((p− r) cosu, q senu,
h
2(1− cosnu)
),
((p− r) cosu, q senu,
h
2(1− cosnu)
)⟩(u0, v0)
Gn(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + h2
4 (1− cos2(nu0)) + q2 sen2 u0
Con lo cual la Primera forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma
Ind(w) = a2En(u0, v0) + 2abFn(u0, v0) + b2Gn(u0, v0)
donde
En(u0, v0) = q2v02 cos2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0 + h2n2v0
2
4 sen2(nu0)
Fn(u0, v0) = q02v cosu0 senu0 + (p− r)(−r − (p− r)v0) cosu0 senu0 + h2nv0
4 (1− cos(nu0)) sen(nu0)
Gn(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + h2
4 (1− cos2(nu0)) + q2 sen2 u0
Ademas el angulo formado por dos curvas coordenadas de S satisface la siguiente igualdad:
26
�� ��27 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
cos θ =〈Su((u, v), n), Sv((u, v), n)〉|Su((u, v), n)||Sv((u, v), n)|
=Fn(u0, v0)√
En(u0, v0)Gn(u0, v0)
Ademas el area de la superficie en una subconjunto D ⊂ U se calcula mediante
An(S(D)) =∫ ∫
D
√EnGn − Fn2dudv
2.2.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de
Guimard
A continuacion se calculara la segunda forma cuadratica de la superficie en el punto d =
(u0, v0). Para ello se busca cuales son sus coeficientes. Para esto se necesita calcular lo sigu-
iente:
Suu((u, v), n) = ∂2S((u,v),n)∂u2 = (−r − (p− r)v0) cosu0,−qv0 senu0,
hn2v02 cos(nu0)
Suv((u, v), n) = ∂2S((u,v),n)∂u∂v = (−p+ r) senu0, q cosu0,
hn2 sen(nu0)
Svv((u, v), n) = ∂2S((u,v),n)∂v2 = (0, 0, 0)
Con estos valores se obtendra los coeficientes de la segunda forma cuadratica de la siguiente
manera
en(u0, v0) = 〈Suu((u, v), n), N((u0, v0), n))〉(u0, v0) =
hqv02
(−2(r+pv0−rv0)+(−2(−1+n2)pv0+r(2−2v0+n2(−1+2v0))+n2r cos(2u0)) cos(nu0)+nr sen(2u0) sen(nu0))√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0
2+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
fn(u0, v0) = 〈Suv((u, v), n), N((u0, v0), n))〉(u0, v0) =
2hqr senu0 sen(nu02
)[−n cos(nu02
) senu0+cosu0 sen(nu02
)]√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0
2+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
gn(u0, v0) = 〈Svv((u, v), n), N((u0, v0), n))〉(u0, v0) = 0
Con lo cual la Segunda forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma
IInd(w) = a2en(u0, v0) + 2abfn(u0, v0) + b2gn(u0, v0)
dondeen(u0, v0) =
hqv02
(−2(r+pv0−rv0)+(−2(−1+n2)pv0+r(2−2v0+n2(−1+2v0))+n2r cos(2u0)) cos(nu0)+nr sen(2u0) sen(nu0))√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0
2+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
27
�� ��28 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
fn(u0, v0) =
2hqr senu0 sen(nu02
)[−n cos(nu02
) senu0+cosu0 sen(nu02
)]√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0
2+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2
gn(u0, v0) = 0
entonces
IInd(w) = a2en(u0, v0) + 2abfn(u0, v0)
2.2.5. Curvatura Normal de la Superficie Generalizada de Guimard
Luego de haber calculado la Primera forma Cuadratica y la Segunda forma Cuadratica, se
calculara la funcion curvatura normal en un punto d = (u0, v0) determinada por
knm : TdS((u, v), n) − {0} → R tal que para cada vector w ∈ TdS((u, v), n) − {0} le corre-
sponde
knm(w) =IInd(w)
Ind(w)=
a2en(u0, v0) + 2abfn(u0, v0)
a2En(u0, v0) + 2abFn(u0, v0) + b2Gn(u0, v0)
2.2.6. Curvaturas Principales de la Superficie Generalizada de Guimard;
Curvatura de Gauss, Curvatura Media
Ademas tambien podemos obtener la Curvatura Media y la Curvatura de Gauss en el punto
d, las cuales quedan expresadas respectivamente de la siguiente manera
H(d) =1
2
en0Gn0 − 2fn0Fn0 + En0gn0En0Gn0 − F 2
n0
=1
2
en0Gn0 − 2fn0Fn0En0Gn0 − F 2
n0
K(d) =en0gn0 − f2n0E0nGn0 − F 2
n0
=−f2n0
En0Gn0 − F 2n0
2.2.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie Generalizada de Guimard
Luego de esto si u = 2iπn con i = 1, n y v = 0, el coeficiente de la segunda forma cuadratica
fn(u0, v0) = 0 y en(u0, v0) = 0 , por tanto
H(d) =1
2
en0Gn0 − 2fn0Fn0En0Gn0 − F 2
n0
= 0
K(d) =−f2n0
En0Gn0 − F 2n0
= 0
Por lo tanto si u = 2iπn ∈ U con i = 1, n y v = 0 dichos puntos son planares.
De igual manera si u = 2iπn con i = 1, n, el coeficiente de la segunda forma cuadratica
fn0(u0, v0) = 0, por tanto la curvatura Gaussiana
K(u0, v0) =en0gn0 − f2n0En0Gn0 − F 2
n0
=en0(0)− (0)2
En0Gn0 − F 2n0
= 0
28
�� ��29 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
Por lo tanto si u = 2iπn ∈ U con i = 1, n y ∀ v ∈ [0, 1] y v 6= 0 dichos puntos son parabolicos.
Tambien se puede asegurar que la superficie no es una Superficie Mınima, pues la curvatura
media no es nula en toda la superficie.
Ademas dado que
K(d) =−f2n0
En0Gn0 − F 2n0
y En0Gn0 − F 2n0 > 0 entonces d = (u0, v0) es un punto Hiperbolico si fn0(u0, v0) 6= 0.
2.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la
Superficie Generalizada de Guimard
Para encontrar las lıneas de curvatura, haremos uso de la Proposicion 1.3. Por lo tanto
teniendo en cuenta los siguientes valores :
En(u, v) = q2v2 cos2 u+ (−r − (p− r)v)2 sen2 u+ h2n2v2
4 sen2(nu)
Fn(u, v) = q02v cosu senu+ (p− r)(−r − (p− r)v) cosu senu+ h2nv
4 (1− cos(nu)) sen(nu)
Gn(u, v) = (p− r)2 cos2 u+ h2
4 (1− cos2(nu)) + q2 sen2 u
en(u, v) =
hqv2
(−2(r+pv−rv)+(−2(−1+n2)pv+r(2−2v+n2(−1+2v))+n2r cos(2u)) cos(nu)+nr sen(2u) sen(nu))√[hqv(− cosu+cosu cos(nu)+n senu sen(nu))]2+[h(−2(r(−1+v)−pv) senu sen2 nu
2+n(p−r)v0 cosu sen(nu))]2+[q(r+2pv−2rv−r cos(2u))]2
fn(u, v) =
2hqr senu sen(nu2
)[−n cos(nu2
) senu+cosu sen(nu2
)]√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu)+n senu sen(nu))]2+[h(−2(r(−1+v)−pv) senu sen2 nu
2+n(p−r)v cosu sen(nu))]2+[q(r+2pv−2rv−r cos(2u))]2
gn(u, v) = 0
los reemplazamos en el determinante y lo calculamos, obteniendo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(v′)2 −u′v′ (u′)2
En Fn Gn
en fn gn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
obteniendo
12hq{
14v(t)(r(−2 + (2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t)) +n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p− r)(1 +
(−1 + n2) cos(nu(t)))v(t))u′(t)[ 12 (4(p − r)r sen(2u(t)) + [4(p2 − q2 − 2pr + r2) sen(2u(t)) +
29
�� ��30 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
h2n(−2 sen(nu(t)) + sen(2nu(t)))]v(t))u′(t) − (h2 + 4(p − r)2 cos2(u(t)) − 2h2 cos(nu(t)) +
h2(cos2(nu(t)))+4q2(sen2(u(t)))v′(t))]−4r sen(u(t)) sen( 12nu(t))(−n cos( 1
2nu(t)) sen(u(t))+
cos(u(t)) sen( 12nu(t)))((−q2 cos2(u(t))v(t)2 − 1
4h2n2 sen2(nu(t))v(t)2 − sen2(u(t))(r + (p −
r)v(t))2)u′(t)2 + ((p− r)2 cos2(u(t)) + q2 sen2(u(t)) + h2 sen( 12nu(t))4)v′(t)2)} = 0
calculamos las soluciones de la ecuacion en funcion de v′[t], se obtiene :
v′(t) = − 164{r(3h
2 +4p2 +4q2−8pr+4r2 +4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+
h2 cos(2nu(t))) sen(u(t)) sen( 12nu(t))(2n cos( 1
2nu(t)) sen(u(t))−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t)))}−1[3h2+
4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))]v(t)[−2r(−2+
(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t)]u′(t)−{[3h2+4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))][(3h2+
4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t)))v(t)2(r(−2+
(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t))2−8r sen(u(t)) sen( 1
2nu(t))(2n cos( 12nu(t)) sen(u(t)) − 2 cos(u(t)) sen( 1
2nu(t)))(−16r3 sen(u(t))3
(−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t))2+n sen(u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)r2 sen(u(t))(cos(u(t))3(−2+(2+
n2) cos(nu(t)))− cos(u(t))(−1 + 3 cos(2u(t)) + cos(nu(t))(−2 + n2 + 3(2 + n2) sen(u(t))2)) +
9n cos(u(t))2 sen(u(t)) sen(nu(t))−n sen(u(t))(5 + 3 sen(u(t))2) sen(nu(t)))v(t) + r(−4(4p2−2q2−8pr+4r2+((−4+3n2)p2−(−2+n2)q2+(8−6n2)pr+(−4+3n2)r2) cos(nu(t))) sen(2u(t))+
2n2(p2−q2−2pr+r2) cos[nu[t]] sen(4u(t))+32q2 cos(u(t))3 sen(u(t)) sen( 12nu(t))2+32p2 cos(u(t)) sen(u(t))3
sen( 12nu(t))2−64pr cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 1
2nu(t))2+32r2 cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 12nu(t))2+
4h2n sen(nu(t))+2h2n(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))2 sen(nu(t))−16np2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+
32npr sen(u(t))4 sen(nu(t))−16nr2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+4n(p2−2q2−2pr+r2) sen(2u(t))2 sen(nu(t))−4h2n3 sen(u(t))2 sen(nu(t))3−4h2n sen(2nu(t))+h2n3 sen(2nu(t))−h2n3 cos(2u(t)) sen(2nu(t)))v(t)2−2(p − r)(1 + (−1 + n2) cos(nu(t)))(4(p2 − q2 − 2pr + r2) sen(2u(t)) + h2n(−2 sen(nu(t)) +
sen(2nu(t))))v(t)3)]u′(t)2} 12
v′(t) = − 164{r(3h
2 +4p2 +4q2−8pr+4r2 +4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+
h2 cos(2nu(t))) sen(u(t)) sen( 12nu(t))(2n cos( 1
2nu(t)) sen(u(t))−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t)))}−1[3h2+
4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))]v(t)[−2r(−2+
(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t)]u′(t)+
{[3h2+4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))][(3h2+
4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t)))v(t)2(r(−2+
(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t))2−8r sen(u(t)) sen( 1
2nu(t))(2n cos( 12nu(t)) sen(u(t)) − 2 cos(u(t)) sen( 1
2nu(t)))(−16r3 sen(u(t))3
(−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t))2+n sen(u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)r2 sen(u(t))(cos(u(t))3(−2+(2+
n2) cos(nu(t)))− cos(u(t))(−1 + 3 cos(2u(t)) + cos(nu(t))(−2 + n2 + 3(2 + n2) sen(u(t))2)) +
9n cos(u(t))2 sen(u(t)) sen(nu(t))−n sen(u(t))(5 + 3 sen(u(t))2) sen(nu(t)))v(t) + r(−4(4p2−2q2−8pr+4r2+((−4+3n2)p2−(−2+n2)q2+(8−6n2)pr+(−4+3n2)r2) cos(nu(t))) sen(2u(t))+
2n2(p2−q2−2pr+r2) cos[nu[t]] sen(4u(t))+32q2 cos(u(t))3 sen(u(t)) sen( 12nu(t))2+32p2 cos(u(t)) sen(u(t))3
sen( 12nu(t))2−64pr cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 1
2nu(t))2+32r2 cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 12nu(t))2+
4h2n sen(nu(t))+2h2n(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))2 sen(nu(t))−16np2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+
32npr sen(u(t))4 sen(nu(t))−16nr2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+4n(p2−2q2−2pr+r2) sen(2u(t))2 sen(nu(t))−
30
�� ��31 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD
4h2n3 sen(u(t))2 sen(nu(t))3−4h2n sen(2nu(t))+h2n3 sen(2nu(t))−h2n3 cos(2u(t)) sen(2nu(t)))v(t)2−2(p − r)(1 + (−1 + n2) cos(nu(t)))(4(p2 − q2 − 2pr + r2) sen(2u(t)) + h2n(−2 sen(nu(t)) +
sen(2nu(t))))v(t)3)]u′(t)2} 12
Las soluciones obtenidas llegarıan a formar ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones, como
menciona la proposicion, vendrıa a ser las lıneas de curvatura, por lo tanto al calcular dichas
soluciones obtenemos
u(t) = c1 v(t) = c2
donde c1 y c2 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas de curvatura son
las curvas coordenadas.
De la misma manera para calcular las lıneas asintoticas utilizamos la Proposicion 1.5, por
lo tanto teniendo en cuenta los valores de la segunda forma cuadratica y remplazandolos en
la siguiente ecuacion
e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0
Calculando las soluciones de dicha ecuacion en funcion de u′[t] obtenemos las siguientes
ecuaciones diferenciales
u′(t) = 0
u′(t) = {8(nr cos( 12nu(t)) sen2(u(t)) sen( 1
2nu(t))v′(t)−r cos(u(t)) sen(u(t)) sen2( 12nu(t))v′(t))}{(−2rv(t)+
2r cos(nu(t))v(t)−n2r cos(nu(t))v(t)+n2r cos(2u(t)) cos(nu(t))v(t)+nr sen(2u(t)) sen(nu(t))v(t)−2pv(t)2+2rv(t)2+2p cos(nu(t))v(t)2−2n2p cos(nu(t))v(t)2−2r cos(nu(t))v(t)2+2n2r cos(nu(t))v(t)2)}−1
luego de resolver las ecuaciones diferenciales se obtiene
u(t) = c3 v(t) = c4
donde c3 y c4 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas asintoticas son las
curvas coordenadas.
31
Capıtulo 3
APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA
3.1. Aplicacion en la Arquitectura
Dado que al estudiar las Superficies de Guimard, se ha demostrado que casi en su totalidad sus
puntos son hiperbolicos, y puesto que las Superficies de Guimard no son aun muy aplicadas,
podemos valernos de estudios de superficies cuyos puntos en su mayorıa o en su totalidad
sean puntos hiperbolicos, para hacer el analisis respectivo de sus aplicaciones al momento de
utilizarlas en construcciones arquitectonicas.
Es por eso que hablaremos de la superficie mas semejante posible la cuan es el paraboloide
hiperbolico el cual es una superficie reglada formada por las rectas que se apoyan, de forma
ordenada, en dos rectas que se cruzan en el espacio (esto que hace que las rectas generadoras
sean todas paralelas a un plano dado perpendicular a una de las rectas generatrices, en el
caso de la las Superficies de Guimard las dos rectas las deformarıamos y las unirıamos en
sus extremos formando la sinusoide cilındrica). El paraboloide es una superficie doblemente
reglada, luego como en el caso del hiperboloide de una hoja genera una estructura de malla
que le da fuerza a la construccion. Tambien es una superficie cuadratica, es decir, solucion
de una ecuacion polinomica de segundo grado y se puede utilizar en arquitectura, aparte de
para otras cuestiones, para realizar cubiertas de doble curvatura del segundo tipo, es decir,
el caso de la curvatura de Gauss negativa. Uno de los aspectos novedosos y que le hace
ser una forma destacada para su utilizacion en arquitectura (en combinacion con las otras
propiedades que presenta) es el hecho de que es una superficie muy cercana a una superficie
minimal (exactamente la superficie de Schwartz), con lo cual es estable y al ser de area
mınima ahorra material. De hecho, el paraboloide hiperbolico ha sido, y sigue siendo, una de
las superficies mas utilizadas en la Arquitectura del siglo XX, en particular en el diseno de
cubiertas (recordemos superficie de doble curvatura, estable y de area mınima, doblemente
reglada).
El paraboloide hiperbolico es una de las superficies mas originales e importantes utilizadas
por Gaudı. Por supuesto que era una superficie bien conocida por los matematicos, pero no
tanto por los arquitectos e ingenieros. Al igual que para el hiperboloide de una hoja, el que
fuera doblemente reglada le permitıa hacer facilmente y de forma natural modelos de hilo,
32
�� ��33 APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA
alambre y yeso para que utilizaran los trabajadores de sus construcciones.
Siendo superficies como estas beneficiosas al momento de edificar algunas construcciones,
muchos arquitectos las utilizaron, uno de los mas importantes es el arquitecto madrileno,
pero que vivio tras la guerra civil espanola en Mexico, Felix Candela, que vino a ser conocido
como el principal disenador de cascarones en el mundo, puede que sea una de las personas
que mejor haya comprendido el mecanismo resistente de las estructuras en general y de las
de hormigon en particular. Fue ademas mundialmente conocido por sus cubiertas con formas
obtenidas a partir del paraboloide hiperbolico. El mismo llego a decir que todas las obras
que envıo estan hechas de paraboloides hiperbolicos, y la posibilidad de combinaciones que
den apariencias muy diversas es bastante grande, aunque no inagotable. Entre sus obras mas
grandiosas, podemos mencionar su obra postuma en la cual Candela colaboro con Santiago
Calatrava en la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia, en particular, es indudable
que el Parque Oceanografico es su canto del cisne (dicha obra es semejante a la de la Superficie
de Guimard, para n = 3 o n = 6).
33
�� ��34 APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA
Como se menciono lo importante de estas superficies son sus propiedades, una de las cuales
son las propiedades estructurales las que inicialmente los disenadores de estas estructuras
tuvieron que desarrollar tecnicas para la verificacion de sus disenos como por ejemplo el uso
de maquetas, que se probaban bajo carga para probar su seguridad.
Pero, la superficie funicular para las cargas muertas no es la misma que para determinadas
cargas puntuales como la carga de viento o nieve. Esta falta de un metodo realmente se-
guro, obligaba a los disenadores a desarrollar una intuicion estructural a la hora de proponer
una forma inicial, esta intuicion se basaba fundamentalmente en un amplio conocimiento
de las superficies geometricas de trabajo. Hoy en dıa, los metodos de analisis por elementos
finitos con la ayuda de los ordenadores, se han impuesto en el calculo de superficies lam-
inares. El modelizado de las superficies de doble curvatura suele hacerse por triangulacion
o cuadrilateros. Con los primeros, se puede modelizar cualquier superficie ya que siempre se
pueden contener 3 puntos en la superficie.
Ademas de las benificosas propiedades de estas superficies, tambien bien brindan hoy en
dia facilidades el momento de la construccion, para la cual se tiene en cuenta los siguientes
aspectos de construcion como el encofrado y el moldeo, que ha sido siempre una unidad
de obra de alto coste. Algunos metodos, como el prefabricado, el proyectado de hormigon
sobre elementos hinchables o jaulas de acero reforzado, se han utilizado para minimizar este
inconveniente. El hecho de 10 que las superficies tratadas en esta investigacion sean regladas,
ayuda a rebajar el coste, con respecto a otras superficies doblemente curvadas, ademas ofrece
la posibilidad de un doble pretensado de las armaduras en las direcciones de las familias de
rectas, ventaja esta, que ha sido utilizada con frecuencia para lograr la estanqueidad en los
depositos, como el de Eduardo Torroja en Marruecos en 1956 (Garcıa Reig, 1999). Encofrados
y moldeo del hormigon.
Estas superficies, tal y se comentaba con anterioridad, tiene la dificultad de su moldeo y
conformacion cuando son construidas con hormigon armado. Esta dificultad, podrıa ser sol-
ventada con las nuevas tecnicas de produccion de elementos por control numerico (Kolarevic,
2003). Ejemplo del uso de esta tecnologıa en la fabricacion de elementos de hormigon con
34
�� ��35 APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA
doble curvatura, lo tenemos en el edificio de oficinas de Gehry en Dusseldorf, Alemania. Pero
estos intentos de mejora, parecen no haber encontrado su aplicacion en los grandes edificios,
teniendo por ejemplo el caso del Edificio de Santiago Calatrava que realizo junto 11 con
Felix Candela para el Oceanografico de Valencia, en donde se puede apreciar la similitud del
proceso de encofrado con otros edificios realizados por candela cincuenta anos antes.
Otra aplicacion de una de las Superficies de Guimard, es cuando n = 2, del cual se hizo el
siguiente proyecto:
PABELLON DE CINE EN UNIVERSIDAD BAUHAUS DE WEIMAR.- Profe-
sores Jurgen Ruth y Rainer Gumpp, junto con los estudiantes de la universidad en el ano 2009.
El proyecto resuelve el diseno de una carpa temporal para la organizacion de proyecciones
cinematograficas y otras actividades culturales al aire libre. Este proyecto, se ha seleccionado,
por representar la plasmacion de la idea subyacente en esta investigacion que la geometrıa ha
de estar presente en la formacion de todo arquitecto o ingeniero, sirviendo como disciplina
organizadora y articuladora de procesos creativos.
Con este trabajo arquitectonico, se pretende demostrar como la arquitectura y la ingenierıa
civil pueden interactuar con las energıas renovables y ofrecer funcionalidad, y soluciones
35
�� ��36 APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA
sostenibles. Uno de los condicionantes de la estructura, era que tenıa que ser resistente y
facil de montar con una longitud de 13 metros, por lo que se escogio una geometrıa de su-
perficie cuadratica reglada, facil de generar y de construir. La estructura toma la forma de
un paraboloide hiperbolico construido con listones de madera y estabilizada con tensores de
acero. Esta cascara estructural queda revestida interiormente por una membrana imperme-
able de color rojo. El pavimento esta compuesto por una tarima de madera y el suministro
de la energıa electrica necesaria se obtiene mediante la instalacion de paneles fotovoltaicos
flexibles dispuestos en la cara exterior.
En este caso, el uso de la geometrıa de superficies de doble curvatura, no solo no ha encarecido
el proyecto, sino que lo ha abaratado y simplificado en su ejecucion, aportandole belleza y
resistencia.
Una de las cosas que mas impresionan de este proyecto, es que se consiguen dimensiones
relativamente grandes casi sin necesidad de una estructura auxiliar, ya que los operarios
pueden ir fijando las lıneas de la madera usando la propia estructura.
Como se menciona las aplicaciones de las Superficies de Guimard podrıan ser enumerables,
pero aun pocos arquitectos o ingenieros se aventuran a utilizarlas por el poco conocimiento
que se tiene de estas superficies, debido a la poca informacion que se tiene al respecto, pero
como se ha demostrado, estas superficies son como un tesoro escondido esperando a ser
descubierto y revelado al mundo entero.
36
Conclusiones
Despues de analizar a detalle la familia de superficies denominadas Superficies de Guimard,
podemos reconocer que a pesar de la forma simple de expresarla, es interesante por su belleza
y por las propiedades de su forma y estructura, y aunque hoy en dıa no comun utilizarlas,
notamos que brinda muchas facilidades en tu construccion, aparte de de belleza y apariencia
futurıstica, es por ello que finalizaremos mencionando algunas conclusiones extraıdas del
trabajo que se a desarrollado.
Luego de construir la Superficie de Guimard, se ha podido llegar a la conclusion de que
una familia de superficies puede ser generara a partir de la variacion de un parametro
n, el cual es nada mas que la variacion de la sinusoide cilındrica, y continuando con los
pasos siguientes de las misma forma en todas las superficies, es por tanto que podemos
concluir que dicha familia de superficies viene a ser generada de la siguiente manera
Definicion 3.1. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 , q > r y n ∈ Z+,
ademas el conjunto U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1] . La superficie S : U ⊂ R2 → R3, generada
por los segmentos de rectas que unen los puntos de la curva τ(u) = (r cosu, 0, 0) menos
los puntos extremos con la sinusoıde cilındrica ζn(u) = (p cosu, q senu, h2 (1 − cosnu))
menos dos puntos, definida por
S((u, v), n) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h
2v(1− cosnu))
37
�� ��38 Conclusiones
Como se noto, una de las caracterısticas mas importantes al aplicar una superficie
como esta, es que en el uso de la geometrıa de superficies de doble curvatura, no solo
no ha encarecido el proyecto, sino que lo ha abaratado y simplificado en su ejecucion,
aportandole belleza y resistencia. Ademas al momento de desarrollar algun proyecto
utilizando alguna superficie de Guimard, se puede conseguir dimensiones relativamente
grandes casi sin necesidad de una estructura auxiliar, ya que los operarios pueden ir
construyendo la superficie usando la propia estructura como apoyo, lo cual resulta en
ahorros economicos.
Finalmente dado que hoy en dıa se puede apreciar que las superficies de curvas regladas
estan interesando a la nueva generacion de arquitectos e ingenieros, es provechoso dar
a conocer nuevas formas de como utilizar superficies geometricas de las cuales hoy en
dıa poco se conocen, pero aun ası muy valiosas al momento de utilizarlas para construir
edificaciones, las cuales sin duda seran reconocidas y valoradas por su belleza y fortaleza.
Se deseara que trabajos como este, animen a los futuros arquitectos e ingenieros a seguir
usando geometrıas que dan belleza y eficiencia a la arquitectura e ingenierıa.
38
Apendice A
Hector Guimard
Hector Guimard (Lyon,1867 - Nueva York, 1942)
Figura A.1: Puerta principal del Castel
Beranguer
es el representante mas significativo y personal del
Art Nouveau frances. Si bien es verdad que siem-
pre se valoraron los elementos decorativos de sus
obras, este arquitecto innovador, curioso, brillante
y sorprendente fue olvidado despues de su muerte y
redescubierto a partir de la segunda mitad del siglo
pasado. Como no es nuestro interes entrar a valorar
ahora lo estrictamente arquitectonico de sus traba-
jos, hemos seleccionado solamente dos fragmentos
significativos de algunas de sus obras mas represen-
tativas para mostrar su personalidad y el contexto
estilıstico en el que se desarrollaron. Unos de el-
los es el fascinante diseno de la puerta principal
del Castel Beranguer, en Parıs, obra terminada en
1898 y la primera que le dio fama aunque una fama
no exenta de polemica. La segunda pertenece a la
maison Coilliot en Lille, acabada en 1900 sobre la
que puede observarse tambien el diseno de las letras con una geometrıa peculiar que despues
se convertira tambien en representativa de un estilo.
Pero la obra que hizo famoso el nombre de Guimard fue el diseno completo y la decoracion
de las entradas y edıculos del metro de Paris. Desde 1890 se habıan presentado numerosas
ideas a la Societe Centrale des Architectes, pero fueron finalmente estos disenos de Guimard
completamente innovadores y personalısimos los que fueron aceptados. Guimard diseno ınte-
gramente estas entradas con una decoracion distinta para cada estacion: lıneas curvas, tallos
nervados, motivos florales, mastiles, faros flexibles y en general una exuberante explosion
de formas que supuso el triunfo del llamado .ornamento estructural”. Estos accesos que se
convertirıan en sımbolo del .estilo Guimard”, se convertiran tambien, de alguna manera, en
sımbolo del Paris de final de siglo y de la Belle Epoque o de su preludio. Estas entradas,
40
�� ��41 Conclusiones
Figura A.3: Abbesses y Porte Dauphine
muchas de ellas perdidas, fueron en su dıa muy admiradas por la mayor parte de los artistas
innovadores y vanguardistas.
Entre las entradas de Guimard que, mas o menos,
Figura A.2: Puerta de la maison Coil-
liot en Lille
de una u otra manera han sobrevivido, hay basica-
mente 11 tipos distintos de los que tres son pa-
bellones cubiertos. Teniendo en cuenta que el te-
jado del edıculo de Chatelet fue reconstruido en el
2000 siguiendo otro modelo, destacamos aquı so-
lamente dos tipos de accesos cubiertos: Abbesses
y Porte Dauphine. Este ultimo, que es monumen-
to historico desde 1978, posee la cubierta invertida
que puede ser objeto de analisis y generalizacion.
Se puede reconstruir circunstancialmente la cubier-
ta invertida de la Porte Dauphine con mejor o peor
fortuna pero lo importante no es tratar de imitarla
sino captar su estructura basica y analizar cuales son las caracterısticas fundamentales de tal
superficie. El resultado del primer analisis nos muestra que puede asimilarse a unasuperficie
reglada generada con dos directrices una de las cuales es un segmento rectilıneo y la otra
una curva que podemos situar en un cilindro recto de seccion elıptica de manera que una
de las generatrices que une un extremo de la directriz recta se alinee con ella, en tanto la
directriz del extremo opuesto marque una lınea de cumbrera. Todo ello es consecuencia de
su funcionalidad ya que es un recipiente que dispone de una lima-hoya corrida para permitir
la salida de las aguas.
Pero a pesar de este fuego artificial de innovaciones y demostraciones en todos los ambitos, la
prensa y el publico se desvıan rapidamente de Guimard: menos que la obra, es el hombre que
irrita. Y en digno representante del Art Nouveau, el mismo es vıctima de las contradicciones
inherentes a los ideales del movimiento: sus creaciones mas perfectas son financieramente
inaccesibles a la mayor parte de la gente, y al reves sus tentativas de standardizacion corre-
41
�� ��42 Bibliografia y Webgrafia
sponden mal con su vocabulario muy personal. Es finalmente completamente olvidado cuando
muere en Nueva York en 1942, donde el temor de la guerra lo hacıa exiliarse (su mujer era
judıa).
Tras demasiado numerosas destrucciones, exploradores aislados (los primeros hectorologos )
van a redescubrimiento del artista y su universo hacia los anos 1960-1970 y reconstituyen
pacientemente su historia. Si lo mas importante se hizo en este ambito, sin embargo, ciento
anos despues del ”gesto magnıfico”del Art Nouveau (Le Corbusier), la mayorıa de los edificios
de Hector Guimard siguen siendo inaccesibles al publico, y aun no se inauguro un Museo
Guimard en Francia.
42
Bibliografia y Webgrafia
B. o Julca Cordova Pedro, Huancas Suarez Fernando, Damian Sandoval Leonardo,
Santamaria Santisteban Oscar, Introduccion a la geometrıa diferencial de curvas y
superficies”, 2008-02-15
@ http://www.rodrigocadiz.com/imc/html/Sinusoides.html
@ http://www.epdlp.com/arquitecto.php?id=55
@ http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/maic/index.html
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@ http://www.unirioja.es/cu/luhernan/gdfolder/gd.pdf
@ mat.uab.es/ret/sites/default/files/.../Poster Catiana 2010.pdf
@ http://imarrero.webs.ull.es/sctm04/modulo1/10/ribanez.pdf
43