septiembre de 2007 - materias.fi.uba.ar

Física 1 - Facultad de Ingeniería

Propagación de errores

Autor: Ing. Ricardo Minniti 1

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ÍÍnnddiiccee

MEDICIÓN 3

FUENTES DE ERROR Y CLASIFICACIÓN 4

REDONDEO 5

UTILIZACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS 7

CALIBRES 7 CUIDADOS 9 ERROR DE PARALAJE 9 MICRÓMETROS 9 ERROR DE PARALAJE 9 CUIDADOS 10

MEDICIONES INDIRECTAS 14

ESTIMACIÓN DEL ERROR EN UN PROCESO DE MEDICIÓN INDIRECTA 18

EL DIFERENCIAL 18

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ERRORES 22

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 23

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES 24 INCREMENTO PARCIAL Y TOTAL DE UNA FUNCIÓN 28 DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES 30 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 32 APLICACIÓN DEL DIFERENCIAL TOTAL PARA EL CÁLCULO APROXIMADO 35 UTILIZACIÓN DEL DIFERENCIAL PARA EVALUAR EL ERROR DE CÁLCULO 36

CONSIDERACIONES ESTADÍSTICAS 38




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Medición Medir es comparar. Cuando uno efectúa una medición compara un patrón conocido, metro, kilogramo, litro, etc. con un objeto desconocido y determina cuantas veces entra el patrón en el objeto. Esto da un número al que llamaremos "medida" del objeto. Pero esa medida no es exacta, se concluye, que toda medición tiene una cierta incerteza o incertidumbre, que es el rango dentro del cual estará el valor verdadero de la medición, el cual siempre nos será desconocido.

Ilustración 1 – juego de bloques patrones que se utilizan

como elementos de comparación Todo lo que podemos decir del resultado de una medición es aquel valor que se repite más veces que otro luego de medir varias veces mediante un determinado procedimiento al cual llamaremos "Valor representativo" y que alrededor de este valor existe un intervalo de incertidumbre, también llamado error absoluto de la medición. Así que, al medir, siempre vamos a tener un valor representativo de la medición y un margen de error, más o menos chico, dentro del cual estimaremos que estará, con bastante probabilidad, el valor verdadero de la dimensión del objeto. Entonces, nosotros no podemos afirmar que el resultado de medir la longitud de una mesa con un metro sea de, por ejemplo, 850 mm. Tendremos que dar, además, el intervalo de incertidumbre de la medición, por ejemplo:

L=650 ± 1 mm A 650 se lo llama "valor representativo" de la medición y al 1 mm "incerteza", incertidumbre de la medición o error absoluto y se simboliza con ΔL (Delta ele). La expresión de la medida anterior quiere decir que tenemos una gran probabilidad de encontrar el valor verdadero de la longitud de la mesa en el intervalo que va de 649 a 651 mm




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¿Por qué pusimos 1 mm, y no 2 o 3 o 0,5 mm? Eso depende de la forma en que midamos, o sea del proceso involucrado en la medición y del instrumento utilizado. En el proceso de medición incluyen a un gran número de factores que afectan la amplitud del intervalo de incertidumbre de la medición. Entre estos factores están, como ya hemos dicho el tipo de instrumento de medición, el modelo o método utilizado, los vicios o problemas inherentes al observador y las condiciones ambientales, entre otras cosas. Todos estos factores se llaman fuentes de error, y el personal que efectúa una medición, por lo general, tratará de obtener la cota más chica posible. Decimos por lo general, porqué en muchos casos, y sobretodo en mediciones industriales, no se justifica la reducción progresiva de la incertidumbre de una medición desde el punto de vista técnico y/o económico.

Fuentes de error y clasificación Las fuentes de error pueden clasificarse como se muestra en el siguiente esquema

Fuentes de error Groseros Sistemáticos Casuales

Son los provocados por un golpe o una anomalía muy brusca en algún punto del proceso de medición. El valor es fácilmente detectable ya que discrepa en gran medida con respecto al resto de los valores medidos

Se cometen en forma sistemática. Entre estos están, la exactitud del instrumento (clase, corrimientos de cero, etc.). El método o modelo matemático de medición utilizado. El observador (error de paralaje, error en utilización del instrumento, etc.). La alteración o modificación de la pieza por el hecho mismo de medir.

Son los más difíciles de detectar y acotar. Tienen que ver con el medio ambiente, cansancio del observador y todo tipo de variación accidental en el proceso de medición. El más importante es el de apreciación sobre una escala graduada. Se reducen en forma estadística

En general, los más importantes son los errores sistemáticos, ya que los groseros son fáciles de detectar y eliminar y los casuales son pequeños frente a los sistemáticos. Por esto, en mediciones sencillas, se suele tomar como error total de la medición el error sistemático correspondiente a la mínima lectura posible del instrumento de medida (depende del tipo de instrumento de medición), en algunos casos se suele tomar la mitad1 de la mínima lectura posible pero esto no es conveniente porque

1 No es coherente especificar una lectura con una cantidad de decimales menor que la propia del instrumento con la que se realiza la medición motivo por el cual se descarta este criterio aunque muchos operadores lo toman como válido, pero nosotros lo consideraremos un vicio profesional




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depende mucho de la buena visión del operador, lo más acertado es tomar la menor lectura posible. A la luz de lo que hemos comentado hasta ahora concluimos que dos lecturas sobre la misma pieza (dimensión) seguramente no serán iguales, por lo que nos debemos preguntar ¿cómo hacemos para obtener el valor representativo de la dimensión a medir?. No hay un único procedimiento para determinar el valor representativo, pero si podemos citar un criterio muy acertado, esto es establecer por lo menos tres mediciones y no más de diez de la misma dimensión. El valor representativo de la medida se obtiene realizando el promedio de las medidas aisladas, pero habiendo descartado primero aquellas lecturas que se encuentran muy lejos por exceso o defecto de aquellas lecturas que se repiten. Por esto se deduce fácilmente que no pueden realizarse menos de tres mediciones. En cuanto al error o incerteza de la medición lo demostraremos más adelante por medio del análisis matemático, donde utilizaremos la diferencial de una función para desarrollar un método de evaluación de error en el cálculo de una función (método de propagación de errores).

Ilustración 2 – Pie de rey o calibre de bolsillo

Redondeo Es importante que el "valor representativo" al cual se arriba sea coherente con el instrumento de medición, es decir, si la apreciación de nuestro instrumento es de dos centésimas de milímetro, jamás podremos indicar como último dígito del "valor representativo" un número impar y menos aún un valor con tres decimales cuando el instrumento trabaja con dos. Dado que aquí se presentan dos criterios una vez hecho el promedio de las lecturas para obtener el "valor representativo" nos podemos preguntar ¿cómo se determina el número decimal más apropiado?. Una alternativa es el truncamiento es decir al




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promedio quitarle todas aquellas cifras que se encuentren por debajo de los dos decimales (en nuestro ejemplo), este criterio presenta la dificultad que la mantisa del "valor representativo" pueda resultar impar.

L= 650,375 → se descarta el 5 pero el último dígito resulta impar. La segunda opción es trabajar con el redondeo, es decir aproximar el número a la cantidad de dos decimales en nuestro caso cuyo último dígito sea par, tomando como criterio que el redondeo se realizará al número más cercano.

L= 650,375 .→ 650,38 ⇒ L = 650,38 ± 0,02 mm

Ilustración 3 – calibre de altura

Ilustración 4 – micrómetro de exteriores




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Ilustración 5 – Micrómetro milesimal

Utilización de los instrumentos

Calibres Se define apreciación de un instrumento a trazos al cociente de la menor división de la regla fija dividido el número de divisiones del vernier

Figura 1

En el caso anterior la lectura realizada por medio de un calibre es de 61,3mm ya que los números de la regla superior (fija) se encuentran expresados en centímetros.

Figura 2

Por ejemplo en las figuras siguientes las lecturas son




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L=50,6mm

L=71,4mm

L=1"+2/16"+5/128"=1,164"

Algunos calibres permiten medir escalones, para esto, ellos están diseñados de la siguiente manera, esto permite mayor estabilidad al momento de realizar la medición

Figura 3




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Cuidados

Figura 4

Error de paralaje

Figura 5

Micrómetros Al igual que el calibre se define apreciación como el cociente de la menor división de la regla fija (que en este caso es de 0,5mm) sobre el número de divisiones del vernier que en los micrómetros convencionales es de 50, lo que da como resultado 0,01mm

L=4,99mm

L=10,13mm

Figura 6

Error de paralaje Al igual que en el calibre como en cualquier otro instrumento de trazo, se produce el error de paralaje cuando el camino óptico no es perpendicular a la superficie graduada, por esto valen las mismas recomendaciones que para el calibre.




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Figura 7

Cuidados




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Evaluación

Indicar cual es la lectura del instrumento

L= mm± mm




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Error relativo y error porcentual de una magnitud física El error relativo y el error porcentual son simplemente definiciones: Error relativo de una magnitud física “X” es

xxxr

Δ=)(ε

Ecuación 1 Error porcentual es

xxx Δ

=)(%ε .100

Ecuación 2 Generalmente cuando se tiene un error inferior al 5% se considera que se ha realizado una medición de la magnitud aceptable. Cuando esto no ocurre se debe replantear el método o los instrumentos de medición utilizados. El método de medición influye en la ecuación y evidentemente en sus derivadas parciales que darán origen al cálculo del error, y los instrumentos de medición son los que proveen los errores de incertidumbre de los instrumentos. Cuantos más groseros sean estos errores mayor será también el error relativo y por ende el error porcentual. Cuando son mediciones directas o indirectas (pero con cálculos elementales) es posible aplicar las definiciones anteriores e inclusive definir que

yxyxyx Δ+Δ=Δ+Δ=±Δ )()()(

yy

xxyxyx rrr

Δ+

Δ=+=× )()()( εεε

Si por ejemplo se pretende determinar la superficie de un rectángulo donde se mide cada lado con una regla de 1 mm de apreciación y los lados miden 50 mm y 80 mm el error con el cual se determina la superficie es

yxS ×=




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0325,0801

501)()()()( =+=+=×=

mmmm

mmmmyxyxS rrrr εεεε

Esto permite determinar que se ha trabajado con un error porcentual del orden del 3,25; por lo tanto se ha trabajado con un error absoluto en la determinación de la superficie de

22 13040000325,00325,0)( mmmmSSSSr =×=Δ⇒=

Δ=ε

Por lo tanto

22 1304000 mmmmS ±= Hasta aquí vemos que es un cálculo simple la determinación del error, pero ¿qué sucede si se quiere medir un ángulo de un triángulo rectángulo conociendo su hipotenusa (L) y el cateto opuesto al ángulo (h)? Tendremos como ecuación que

)(Lharcseno=α

Ya no resulta tan fácil aplicar las definiciones que hemos visto hasta ahora y debemos caer en un método más sofisticado como explicaremos más adelante.




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Mediciones indirectas Muchas son las variables que se deben medir en un proceso tecnológico, algunas de estas son:

1. Presión 2. Humedad 3. Nivel 4. Temperatura 5. Cauda volumétrico 6. Caudal masico 7. Fuerza

Y así se podría seguir enumerando variables, pero existen dos tipos de mediciones, las directas y las indirectas. Las directas son aquellas donde el instrumento utilizado mide la variable a evaluar y las indirectas necesitan una operación matemática para determinar la variable que se pretende medir, por ejemplo es el caso de un diseño de medidor de nivel (nivel de presión diferencial), por ejemplo

Ilustración 6

Para determinar el nivel de líquido “H” se pueden utilizar dos manómetros de precisión a determinar, en donde el peso específico del líquido encima no es conocido, y aplicando leyes físicas (el teorema general de la hidrostática) podemos encontrar




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cuando vale “H” conociendo perfectamente “h” y midiendo Pi y Ps, esto permite determinar el nivel pero realizando cálculos, lo que denominaremos medición indirecta. En nuestro caso

ρ∗+= hPsPi

Ecuación 3

ρ=−h

PsPi

Ecuación 4 Pero también

ρ∗+= HPPi aatmosféric

Ecuación 5

H

hPsPi

PPi aatmosféric =−

−

Ecuación 6

Ahora bien, ¿con que error estamos realizando la determinación del nivel?, esto es lo importante a determinar porque si el error es del 1% no es un problema pero si el error es del 20% y lo que estamos midiendo es nafta, la indeterminación e incertidumbre del costo total del volumen de combustible que hay en el tanque es importante. Por ejemplo en el caso de medición de caudal, existen distintos tipos de instrumentos de medición cada uno responde a un principio físico distintos y cada uno también tiene un error asociado distinto, estos se pueden apreciar a continuación (Ilustración 7)




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Ilustración 7

Como podemos ver en la columna de la izquierda (Ilustración 7) los medidores de presión diferencial (DP) están en un rango menos del 1% al 11% según las características del mismo. Otros instrumentos para medir por ejemplo caudal donde uno de los métodos es por diferencia de presión antes y después de una estrangulación, para esto se puede utilizar una placa orificio (Ilustración 8) o una tobera (Ilustración 9). Como el caudal es sección por velocidad y por el teorema de Bernoulli podemos determinar la velocidad

21 * QVSQ ==

Ecuación 7 Ecuación de la continuidad

ρρ2

2

221

1

21

22p

hg

vph

gv

++=++

Ecuación 8 – Teorema de Bernoulli para fluidos ideales A la luz de esta información también nos debemos dar cuenta que existe un error propio del modelo físico-matemático que se está tomando, este será tanto menor cuanto más se aproxime el modelo a la realidad, generalmente esto trae como consecuencia un modelo matemático más complejo.




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Ilustración 8

Ilustración 9

Existen además de los errores propios del modelo físico los errores




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1. de los instrumentos de medición 2. los casuales 3. sistemáticos 4. de paralaje

Muchos de estos errores como los errores casuales no se pueden evaluar pero si minimizar, como por ejemplo el error de paralaje en donde a algunos instrumentos de medición (analógicos) se les coloca un espejo en la escala de manera tal que cuando la imagen de la aguja se superpone con esta, el observador está mirando en forma perpendicular al instrumento y el error se minimiza, también un instrumento de lectura digital anula este error, pero la incertidumbre está en la última cifra significativa del equipo.

Estimación del error en un proceso de medición indirecta Ya hemos visto que la determinación de una variable en forma indirecta deriva en una función, que por lo general es de varias variables (ej Ecuación 6, ver también “Comentarios Adicionales” página 39). Es nuestra intención a continuación comprender como se realiza el estudio de la incertidumbre o propagación de error en una medición indirecta a través del incremento de una función de una o varias variables.

El diferencial Supongamos que la función

y f x= ( )

Ecuación 9 es derivable sobre el segmento [a,b], la derivada de esta función queda definida por la igualdad

lim yx

f xxΔ

ΔΔ→

=0

' ( )

Ecuación 10 cuando Δx→ 0 , la razón

ΔΔ

yx

Ecuación 11




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tiende a un número determinado f x' ( ) , pero dicha razón se diferencia de la derivada

f x' ( ) en una magnitud infinitamente pequeña:

ΔΔ

yx

f x= +' ( ) α

Ecuación 12 donde α → 0 , cuando Δx→ 0. Multiplicando todos los términos de la última igualdad por Δx , obtenemos:

Δ Δ Δy f x x x= +' ( ). .α Ecuación 13

El producto f x x' ( ).Δ es una magnitud infinitamente pequeña de primer orden con

respecto a Δx . El producto α .Δx es siempre una magnitud infinitamente pequeña de orden superior a Δx . Ejemplo: ¿Qué significa una magnitud infinitamente pequeña de orden Δx ? Supongamos tener la función

y f x x= =( )

Ecuación 14 su derivada

y f x' '( )= =1

Ecuación 15 y el producto

f x x x x'( ). .Δ Δ Δ= =1

Ecuación 16 si Δx adopta distintos valores como los indicados en la tabla el producto f x x'( ).Δ es:

Δx f x x'( ).Δ 1 1

0,1 0,1 0,01 0,01

0,001 0,001 0,0001 0,0001

0,00001 0,00001 Tabla 1




El m

ater

ial n

o es

def

initi

vo

Est

e m

ater

ial e

stá

suje

to a

revi

sión

(co

nten

ido,

orto

graf

ía y

reda

cció

n)

PP aarr aa

uu ss oo

ee xx cc

ll uu ssii vv oo

dd ee nn

tt rr oo dd e

e llaa F

F aacc uu

ll tt aadd d

d ee II nn

gg eenn ii ee

rr íí aa dd e

e llaa U

U nnii vv ee

rr ss ii dd aa

dd dd ee

BBuu ee

nn ooss AA

ii rr eess

pero el producto α .Δx es de orden superior cuando α es una magnitud pequeña de primer orden y Δx también lo es, para entender esto observemos la siguiente tabla:

α Δx α .Δx 1 1 1

0,1 0,1 0,01 0,01 0,01 0,001

0,001 0,001 0,00001 0,0001 0,0001 0,0000001

Tabla 2 Se observa que un infinitésimo de orden superior tiende más rápido a cero que un infinitésimo de primer orden cuando se calcula el límite, lo que nos permite deducir que

lim xx

limx xΔ Δ

ΔΔ→ →

= =0 0

0α α.

Ecuación 17 Así pues, el incremento Δy de la función se compone de dos sumandos, de los cuales

el primero recibe el nombre parte principal del incremento, que es lineal con relación a Δx . De esta manera el producto f x x'( ).Δ se denomina diferencial de la función y

se designa por dy o df x( ) .

De modo que, si la función y f x= ( )

Ecuación 18

tiene derivada f x' ( ) en el punto “ x ”, el producto f x x'( ).Δ se llama diferencial y se

denota dy f x x= '( ).Δ

Ecuación 19 si hallamos el diferencial de la función y x= . En este caso y x' ( )'= =1 y por tanto,

dy dx x= = Δ o dx x= Δ . De este modo, la diferencial dx de la variable

independiente “x” coincide con el incremento Δx . La igualdad dx x= Δ podría ser considerada como definición de la diferencial de una variable independiente, y en este caso, el ejemplo examinado demostraría que ello no contradice a la definición de diferencial de la función. En cualquier caso la función diferencial se escribe:




El m

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graf

ía y

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ll uu ssii vv oo

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gg eenn ii ee

rr íí aa dd e

e llaa U

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rr ss ii dd aa

dd dd ee

BBuu ee

nn ooss AA

ii rr eess

dy f x x= '( ).Δ

Ecuación 20 de esto se desprende que

f x dydx

'( ) =

Ecuación 21 reemplazando en la ecuación (Ecuación 13)

Δ Δ Δy f x x x= +' ( ). .α

Ecuación 22 queda

Δ Δ Δy dydx

x x= +. .α

Ecuación 23

dado que hemos aceptado que dx x= Δ , simplificando llegamos a Δ Δy dy x= + α .

así, púes, el incremento de la función difiere de la diferencial de ésta en una magnitud infinitamente pequeña, de orden superior respecto a Δx . Esto nos permite, a veces, utilizar en los cálculos aproximados la igualdad aproximada

Δy dy≈

Ecuación 24 o, en su forma desarrollada,

f x x f x f x x( ) ( ) '( ).+ − ≈Δ Δ

Ecuación 25 con lo cual se abrevian los cálculos. Ejemplo:

Calcular el diferencial dy y el incremento Δy de la función y x= 2

1. Para valores arbitrarios de x yΔx 2. Para x = 20 y Δx =0,1 Solución

Δ Δ Δ Δy x x x x x x= + − = +( ) .2 2 22

Ecuación 26




El m

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BBuu ee

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ii rr eess

dy x x x x= =( )'. .2 2Δ Δ

Ecuación 27 Sí x = 20 y Δx =0,1 entonces

00,41,0.20.201,4)1,0(1,0.20.2 2

===+=Δ

dyy

el error que resulta de la sustitución de Δy por dy es de 0,01, en muchos casos se lo

puede despreciar por considerarlo pequeño en comparación a Δy =4,01.

Introducción al cálculo de errores

En la sección anterior hemos determinado que Δ Δ Δy f x x x= +' ( ). .α si tomamos

módulos a ambos lados de la igualdad, esta se sigue manteniendo.

Δ Δ Δy f x x x= +' ( ). .α

Ecuación 28 pero Δx puede ser un número positivo o negativo, si en el miembro izquierdo tomamos módulos a cada uno de los sumandos, nos queda

Δ Δ Δy f x x x≤ +' ( ). .α

Ecuación 29 como el producto de α .Δx es un infinitésimo de orden superior este puede despreciarse, quedando la estimación del incremento de la función

xxfy Δ≤Δ ).(' lo que es lo mismo a Δ Δy f x x≤ '( ) .

Ecuación 30 Ejemplo de aplicación: Supongamos que queremos determinar el volumen de un cubo cuyo lado x = 30 cm y el instrumento de medición utilizado tiene una aproximación de 0,01 mm. Calcular su volumen y estimar el error máximo cometido. Solución




El m

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En nuestro caso el volumen (la función) es y x= 3 , se conoce la indeterminación de la

variable “ x ” y se debe calcular el error de cálculo de la variable “ y ”, para ello se

calcula la derivada de la función siendo esta:

y f x x' '( )= = 3 2

el error cometido en el cálculo del volumen será

Δ Δy f x x≤ ' ( ) . = 3 2x x.Δ

en nuestro caso

Δy mm mm≤ 3 300 0 012.( ) . ,

Δy mm≤ 2700 3 = 2 7 3, cm

el volumen será

Volumen y mm cm= = =27000000 270003 3

finalmente el volumen se expresa

Volumen y cm= = ±( , )27000 2 7 3

Funciones de varias variables El estudio de diferentes fenómenos obliga a utilizar las funciones de dos y más variables independientes. Demos algunos ejemplos. Ejemplo 1. El área “S” de un rectángulo de lados x e y, se da por la fórmula:

S x y= .

A cada par de valores de x e y, corresponde un valor determinado del área S; S es una función de varias variables.

Ilustración 10




El m

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Ejemplo 2: El volumen V de un paralelepípedo recto, en que las aristas tienen longitudes x,y,z, se da la formula:

zyxV ..=

Ecuación 31

Ilustración 11

aquí el volumen es una función de tres variables. Definición si a cada par (x,z) de valores de dos variables, x e z , independientes una de otra, tomadas del dominio de la función, le corresponde un valor determinado de la magnitud “y”, se dice que “y” es una función de dos variables independientes x e z, definidas en el dominio “D”. La forma simbólica de una función de dos variables se representa así:

y f x z= ( , )

Ecuación 32 Si la función fuese de más variables su representación sería

y f r s t w x z= ( , , ,......., , , )

Ecuación 33

Representación geométrica de una función de dos variables Ya hemos visto que la representación de una función de una variable




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)(xfy = x

y

x1

y1

Ilustración 12 es la que se observa en la figura siguiente esta función de una sola variable puede interpretarse como la intersección de una superficie (chapa doblada) con un plano perpendicular a la superficie (plano de la pared), observar las figuras siguientes:

Ilustración 13




El m

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Estrictamente hablando una función de dos variables como la recién mostrada es

y f x z= ( , )

Ecuación 34 definida en el dominio del plano x-z. El lugar geométrico de los puntos “P”, cuyas coordenadas satisfacen la Ecuación 34 determina una superficie en el espacio. Así la gráfica de una función de dos variables es una superficie cuya proyección sobre el plano x-z, es el dominio de definición de la función. Cada perpendicular al plano x-z corta a la superficie

y f x z= ( , )

Ecuación 35 no más que en un solo punto.

x

y

z

x1

z1

y1

z2

x2 y2

Dominio

P2P1

Ilustración 14

Ejemplo:

Representar geométricamente la función y z x= +2 2

Ilustración 15




El m

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si realizamos un corte a la figura recién mostrada por un plano paralelo al x-y, por ejemplo y que pase por z=5

x

z

y

z=5

Ilustración 16

La representación en el plano es

Ilustración 17




El m

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Incremento parcial y total de una función Examinemos la curva que se encuentra sobre la superficie que se muestra a continuación:

x

y

z

x1

z1

y1

z2

x2 y2

Ilustración 18

x

y

z

x1

z1

y1

z2

x2 y2

Ilustración 19

donde y f x z= ( , ) con el plano “x” constante, paralelo al plano “yOz”.

Puesto que “x” es constante en todos los puntos del plano indicado, “y” variará a lo largo de la curva solo en función de “z”. Demos a la variable independiente “z” un incremento Δz , entonces el incremento de y f x z= ( , ) recibirá el nombre de

incremento parcial de “y" respecto a “z” que designaremos con el símbolo

Δ z y

Ecuación 36 en nuestro caso




El m

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Δ Δz y f x z z f x z= + −( , ) ( , )

Ecuación 37 análogamente, si “z” es constante y damos a “x” un incremento Δx , el incremento correspondiente a “y” recibirá el nombre de incremento parcial de “y” respecto a “x” y lo designaremos

Δ Δx y f x x z f x z= + −( , ) ( , )

Ecuación 38 la función recibe el incremento Δ x y “a lo largo de la curva” de intersección de la

superficie y f x z= ( , ) con el plano “z” constante paralelo al plano “yOx”

x

z

x1

z1

y1

z2

x2

y2

Δ y x

Δ y z

Ilustración 20

Por último, si damos simultáneamente un incremento Δx a la variable “x” y Δz a la variable “z” obtenemos el correspondiente incremento de la variable “y”, Δy que se

llama incremento total de la función y queda determinado por la fórmula:




El m

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Δ Δ Δy f x x z z f x z= + + −( , ) ( , )

Ecuación 39

x

z

x1

z1

y1

z2

x2

y2

Δy

Ilustración 21

Derivadas parciales de la función de varias variables El límite del cociente incremental

lim yxxx

Δ

ΔΔ→0

Ecuación 40 se llama derivada parcial respecto a x de la función y f x z= ( , ) . Nosotros

denotaremos a esta derivada parcial como

∂∂

yx

o también ∂∂

fx

Ecuación 41 de tal modo, según la definición




El m

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∂∂

yx= =

+ −→ →

lim yx

lim f x x z f x zxx

xxΔ Δ

ΔΔ

ΔΔ0 0

( , ) ( , )

Ecuación 42 análogamente la derivada parcial respecto a “z” de la función se determina como el límite del cociente incremental

∂∂

yz= =

+ −→ →

limyz

lim f x z z f x zzz

zzΔ Δ

ΔΔ

ΔΔ0 0

( , ) ( , )

Ecuación 43

Observemos que ∂∂

yx

se calcula manteniendo invariable “z” y ∂∂

yz

manteniendo

invariable “x”. De las definiciones formuladas se deduce que las reglas para calcular las derivadas parciales son las mismas que se utilizan para calcular la derivada de las funciones de una variable; es preciso, solamente, tener en cuenta, respecto a qué variable se busca la derivada. Ejemplo:

Hallar las derivadas parciales ∂∂

yx

y ∂∂

yz

de la función y x z= 2 sen( )

Solución: ∂∂

yx

=2x z.sen( )

∂∂

yz= x z2 .sen( )




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Interpretación geométrica de la derivada Sea

y f x z= ( , )

Ecuación 44

x

z

y

Ilustración 22

una ecuación de la superficie representada en la figura. Tracemos el plano “Z=constante”. La intersección de este plano con la superficie determina una curva

x

z

y

P

T

Ecuación 45

P-T. Examinemos el plano con el cual hemos cortado a la superficie, esta curva está contenida en el plano por lo que se puede hacer el mismo análisis que se ha realizado




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en funciones de una sola variable. Tracemos por el punto “A” una recta tangente a la curva, obviamente debe estar contenida en el plano de corte.

x

z

y

P

T

M(x1, z1)z1

x1

A

Ilustración 23

Esta recta tangente formará un ángulo con el plano “xOz” que denominaremos “�”

x

z

y

β

Ilustración 24

En el plano de corte como se mantiene invariable “z” podemos dar un incremente a “x” igual a Δx la función sufrirá un incremento Δ x y que determinará en la superficie el




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punto “B”. De esta manera se obtiene una recta secante A - B que forma un ángulo “β” con el segmento A - C, paralelo al plano “xOz”.

x

z

y

β

A

ϕ

B

M(x1, z1)

Δx

Δ y x

c

Ilustración 25

al aplicar el limite del cociente incremental

lim yx

lim f x x z f x zxx

xxΔ Δ

ΔΔ

ΔΔ→ →

=+ −

0 0

( , ) ( , )

Ecuación 46

el ángulo “ϕ” tiende al ángulo “ß”, es decir que

∂∂

βyx= tg( )

Ecuación 47

por lo tanto el valor número de la derivada parcial ∂∂

yx

es igual a la tangente del ángulo

de inclinación de la línea tangente a la curva definida por la intersección de la superficie y f x z= ( , ) con el plano Z=constante.




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De modo semejante el valor numérico de la derivada parcial ∂∂

yz

es igual a la tangente

del ángulo � formado por la línea tangente a la curva definida por la intersección de la superficie y f x z= ( , ) con el plano x=constante.

x

z

y

δ

Ecuación 48

Aplicación del diferencial total para el cálculo aproximado Supongamos la función

),( zxfy = es derivable en el punto (x,z). Hallamos el incremento total de esta función

),(),( zxfzzxxfy −Δ+Δ+=Δ de donde f x x z z f x z y( , ) ( , )+ + = +Δ Δ Δ . Ya hemos deducido para una variable y

generalizando para varias variables ocurre lo mismo que Δy dy≈ , de donde

dy fx

x fz

z= +∂∂

∂∂

Δ Δ




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reemplazando se obtiene f x x z z f x z( , ) ( , )+ + ≈ +Δ Δ∂∂

∂∂

f x zx

x f x zz

z( , ) ( , )Δ Δ+

realizando pasaje de términos

Δy = f x x z z f x z( , ) ( , )+ + − ≈Δ Δ∂∂

∂∂

f x zx

x f x zz

z( , ) ( , )Δ Δ+

Ecuación 49

Utilización del diferencial para evaluar el error de cálculo Sea

u f x y z t= ( , , ,...., )

Ecuación 50 una función de las variables x y z t, , ,...., .

Supongamos que la evaluación de los valores numéricos de las magnitudes x y z t, , ,...., se hace con cierto error correspondiente a Δ Δ Δx y t, ,......, , estos pueden

ser los errores que se comenten en las lecturas de las variables debidas a los instrumentos de medición utilizados. En este caso, el valor de u , calculado a base de los valores leídos, será también determinado con cierto error Δu .

Δu = + + + −f x x y y t t f x y t( , ,...., ) ( , ,..., )Δ Δ Δ

Ecuación 51 cuando los errores con los que se mide cada variable son conocidos podemos evaluar el error de la función Δu .

Δu ≈ + + +∂∂

∂∂

∂∂

fx

x fy

y ft

tΔ Δ Δ.......

Ecuación 52 aquí los valores de las derivadas parciales como los de los incrementos pueden ser tanto positivos como negativos. Sustituyéndolos por valores absolutos, obtenemos la desigualdad:

Δu ttfy

yfx

xf

Δ++Δ+Δ≤∂∂

∂∂

∂∂ .......

Ecuación 53




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Ejemplo: En un circuito eléctrico se puede medir solo la resistencia del mismo con un instrumento que tiene una indeterminación de 2 Ohm y la corriente que circula por los conductores con un error de 0,5 Ampere. Sabiendo que el valor de resistencia leído es 20 Ohms y el de corriente 4 Ampere. Determinar la caída de tensión en la resistencia y con que error se la calculó. La ley de Ohm dice

U I R= . Ecuación 54

por lo tanto el error con que se calcula la caída de tensión en el circuito es

Δ Δ Δ Δ Δ Ω ΩU UR

R UI

I I R R I A A Volt= + = + = + =∂∂

∂∂

4 2 20 0 5 18. . ,

Ecuación 55 y la tensión es U R I A Volt= = =. .20 4 80Ω por lo tanto la tensión es U Volt= ±80 18 Error relativo y error porcentual El error relativo y el error porcentual lo hemos definido como: Error relativo

ε r u uu

( ) = Δ

Ecuación 56 Error porcentual es

ε% ( )u uu

=Δ

.100

Ecuación 57 en el ejercicio anterior el error relativo que se ha cometido en el cálculo del error es

ε r u VoltVolt

( ) ,= =1880

0 225




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se observa que este error es un número adimensional y el error relativo es

ε% ( )u uu

=Δ

.100 = 22,5%

cabe la pena aclarar que cuando se tiene un error inferior al 5% se considera que se ha realizado una medición de la magnitud aceptable. Cuando esto no ocurre se debe replantear el método o los instrumentos de medición utilizados. El método de medición influye en la ecuación y evidentemente en sus derivadas parciales que darán origen al cálculo del error, y los instrumentos de medición son los que proveen los errores de incertidumbre de los instrumentos. Cuantos más groseros sean estos errores mayor será también el error relativo y por ende el error porcentual.

Consideraciones estadísticas Un mejor opción para determinar el error de una medición es realizarlo por medio de conceptos estadísticos, la explicación escapa al alcance del curso de Física 1, pero es importante que los alumnos sepan que lo visto hasta el momento no es la única forma de evaluar el error, entonces tendremos

2uΔ 22

22

22

.......... ttfy

yfx

xf

Δ++Δ+Δ≤∂∂

∂∂

∂∂

Ilustración 26

uΔ 22

22

22

.......... ttfy

yfx

xf

Δ++Δ+Δ+≤∂∂

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∂∂

Ilustración 27




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Comentarios Adicionales Si se mide una magnitud mecánica2 o física3 ya sea en forma directa o indirecta, debemos hacernos una pregunta, ¿cuál es el valor más probable o representativo de dicha medición?, cuando las mediciones que se realizan son pocas, se define al valor más probable como el promedio de las mediciones, por ejemplo, si se tiene un cilindro el valor más probable del diámetro resultará del promedio de las mediciones realizadas

Medición n° Valor de la magnitud medida1 23,34 mm 2 23,36 mm 3 23,36 mm 4 23,36 mm 5 23,36 mm

Promedio 23,352 mm Tabla 3

Es evidente que no podemos tomar como valor representativo 23,352mm porque resultaría que como consecuencia de una operación matemática el valor representativo4 tiene más precisión que los valores medidos. ¡Esto no es correcto!, por lo tanto un criterio a seguir cuando es que la cantidad de decimales no puede superar a la de las propias mediciones, es decir que en nuestro caso la lectura debería ser 23,35 mm, pero todavía tenemos un problema que hemos tratado en la página 5, en nuestro ejemplo (Tabla 3) el instrumento de medición tiene como último digito un valor par, por lo tanto el valor más probable no puede ser de otra manera, como resultado, entonces, nuestro valor más probable es 23,36mm que es el valor más próximo a 23,352mm que puede leerse con el instrumento. Cabe mencionar, que hemos definido un criterio, como tal puede haber más de uno que sea valido, por lo que es necesario definir el mismo al momento de realizar un protocolo de medición5.

Es lo mismo precisión y exactitud En ingeniería, ciencia, industria y estadística, exactitud y precisión no son equivalentes. Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella.

2 Por ejemplo, diámetros, alturas, ángulos, etc. 3 Por ejemplo, temperatura, presión, calor, etc. 4 Es una medición indirecta 5 Protocolo de medición, ¿Para qué se mide? Objetivo de la medición. ¿Qué se mide? Elección de las magnitudes involucradas en acuerdo al objetivo. ¿Con qué se mide? Selección del o de los instrumentos. ¿Cómo se mide? Pasos a seguir para la determinación de la magnitud correspondiente.¿Cuántas veces se mide? No se medirá una sola vez ya que pueden deslizarse errores groseros. ¿Cómo se expresa el resultado de la medición?--------�Expresar físicamente�




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Exactitud se refiere a que tan cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación. Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.

Ilustración 28

En la (Ilustración 28), la exactitud (accuracy en el dibujo) indica los resultados de la proximidad de la medición con respecto al valor verdadero, mientras que la precisión con respecto a la repetibilidad o reproductibilidad de la medida, un conjunto de mediciones más precisa haría que esta campana sea más delgada, y una medición más exacta haría que el valor más probable se aproxime al valor verdadero, es decir que la zona “accuracy” tiende a cero. Otro ejemplo, sería cuando varias medidas son como disparadas hacia un objetivo. La exactitud describe la proximidad de las flechas al centro del objetivo. Las flechas que impactaron más cerca del centro se consideran más exactas. Cuanto más cerca están las medidas a un valor aceptado, más exacto es un sistema. La precisión, en este ejemplo, es el tamaño del grupo de flechas. Cuanto más cercanas entre sí estén las flechas que impactaron el objetivo, más preciso será el sistema. Hay que notar que el hecho de que las flechas estén muy cercanas entre sí es independiente al hecho que esté cerca del centro del objetivo. En sí, se puede decir que la precisión es el grado de repetitividad del resultado. Se podría resumir que exactitud es el grado de veracidad, mientras que precisión es el grado de reproductibilidad. De la misma manera podemos definir una máquina precisa y/o exacta.




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Ilustración 29 - Alta exactitud, pero baja precisión

Ilustración 30 - Alta precisión pero baja exactitud

Otro ejemplo que permitiría aclarar la idea sería, un reloj analógico, de manecillas, desplaza su minutero "sólo de minuto en minuto", si bien lo hace en absoluta sincronía con el horario oficial o "real" (que es el objetivo). Un segundo reloj utiliza minutero, segundero, incluso está dotado de un sistema de medición de décimas de segundo. Si observamos que su horario, no coincide plenamente con el horario oficial o real (que sigue siendo el objetivo de todo reloj), concluiremos que el primer reloj es altamente exacto, aunque no sea preciso, mientras que el segundo, es altamente preciso, aunque no se muestra exacto...al menos en nuestro ejemplo.

Mediciones comparables Se dicen que son comparables cuando al representar sus bandas de incertezas tienen una franja de intersección común.

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septiembre de 2007 - materias.fi.uba.ar

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