SERBEST ELEKTRON FERM GAZIMetallerin fiziksel zelliklerinin byk bir blm a klan r. serbest Bu elektron gre modeliyle atomlar n modele

valans elektronlar , kristal ortam ndaki iletkenlik elektronlar na dn r ve metal ierisinde serbeste hareket edebilirler. Yani atomlar n de erlik elektronlar iletim elektronlar haline geer.

letim elektronlar ile iyon gbekleri aras ndaki etkile me kuvvetleri tamamen ihmal edilir. Btn hesaplamalar iletim elektronlar sanki kat ierisinde her yerde serbeste hareket ediyor gibi yap l r. Toplam enerji tamamen kinetik enerjidir ve potansiyel enerji s f r seilir.

En basit metaller, Li, K, Na, Cs, Rb gibi elementlerden olu an alkali metallerdir. Basit metallerdeki iletim elektronlar , bile en atomlar n de erlik elektronlar ndan olu ur. rnek olarak Na elementini ele alal m. Serbest sodyum atomlar n n bir toplulu u olan Na gaz ndaki her atom kendi ekirde i etraf nda yrngelenen 11 elektrona sahiptir.

Serbest sodyum iyonunun gbe inin yar ap 0.98 angstrom, serbest sodyumun nc kabu unun ap ise 3.8 angstrom dr. yon gbekleri bir sodyum kristalinin hacminin sadece % 15 doldurur. Na atomlar Bcc yap dad r. Bu yap da en yak n kom ular aras ndaki uzakl k 3.66 angstrom dur. Bu durumda kristal yap daki sodyum atomlar n n nc kabuklar (3s) k smen st ste gelmelidir.

Bu elektronlar n n 10 u Na+ iyonu gbe indeki ilk 1s ile ikinci 2s ve 2p kabu unu doldurur. Sodyumun nc kabuktaki 3s elektronu zay f ba l de erlik elektronudur ve kimyasal zellikleri belirler. nk bu elektron kom u iyonlar n ortak elektronudur. Bu durum kom udan kom uya do ru ilerleyerek elektron btn kristali dola r. Yani serbest atomdaki de erlik elektronu, kristalin iletim elektronu olur.

SOMMERFELD SERBEST ELEKTRON MODEL Sommerfeld, bir metalin kare potansiyel ukuru ile temsil edilece ini kabul etmi tir. Bu durum, iyonlardan ileri gelen gerek potansiyeli ve elektronlar n birbirleri ile olan etkile imleri ihmal etmek anlam na gelir. Bylece, verilen bir elektronun, di er btn elektronlar n ve iyonlar n ortak etkisi ile olu an sabit bir potansiyel iinde hareket etti i kabul edilmi olur.

ekildeki EF potansiyeline FERM

ENERJ S

denir. Fermi enerjisi, N elektronlu sistemin taban durumundan en yksekteki dolu olan yrngenin potansiyeli, i enerjisi olarak tan mlan r.U fonksiyonunu gstermektedir. metalin yzeyine

Bu potansiyel, bir elektronu dolu olan en yksek enerji durumundan karmak iin yap lmas eder. gereken i i temsil

ENERJ SEV YELER Yukar daki potansiyel ukuru ile temsil edilen bir metalin, iletim elektronlar n n enerji seviyelerini tayin edebilmek iin, bir boyutlu serbest elektron gaz ele alal m. m ktleli bir elektron geni li i L ve derinli i sonsuz olan bir ukurda bulunsun. Bu durumda elektronu temsil eden ]n(x) dalga fonksiyonu, zamans z schrdinger denkleminin H ]n(x) = E ]n(x) bir zm olmal d r.

N tane elektronu metalin ierisinde bir do ru zerine yerle tirmek istersek, Pauli d arlama ilkesine uymak zorunday z. Pauli d arlama ilkesi, herhangi iki elektronun tm kuantum say lar n n ayn olamayaca n syler. Buna gre her yrnge bir tek elektron taraf ndan doldurulabilir. Bir iletkenlik elektronlar n n quantum say lar , n (herhangi bir pozitif tamsay ) ve ms dir (magnetik quantum say s , spin ynne gre s de erleri alabilir).

n ile belirtilen yrngede biri yukar spinli, biri a a spinli olmak zere iki elektron yer al r. Alt elektronlu bir sistemde, taban durumunda dolu olan yrngeler unlard r.

Birden ok yrnge ayn katl l k (dejenere) denir. N tane elektronu (n=1) do ru en

enerjiye sahip

olabilir. Ayn enerjili yrngeler say s na

d k

enerjili yukar yksekte nF

yrngeden enerjilere s ras yla olsun.

itibaren en

kararak, yrngeleri

doldurdu umuzda

kalan dolu yrngenin kuantum say s

N elektron say s n ift almak kolayl k sa lar. Bu durumda 2.nF=N ko ulu en yksek enerjili yrngenin kuantum say s n belirler. FERM ENERJ S ;

Serbest Elektron Gaz n n Fermi-Dirac Da l m Taban durumu mutlak s f r s cakl ndaki durumdur. S cakl k ykseldi inde ne olur? Daha nce inceledi imiz fonon da l m ile imdi inceledi imiz elektron da l m aras nda fark vard r. Fononlar BoseEinstein da l m na uyarlar (ay rt edilemezler, Pauli d arlama ilkesine uymazlar), Elektronlar ise Pauli d arlama ilkesine uymak zorundad r. Bu yzden s cakl k ykseldi inde serbest elektron gaz n n nas l davranaca Fermi-Dirac da l m kullan larak bulunur.

S cakl k artt r ld nda elektron gaz n n kinetik enerjisi artar. Mutlak s f rda bo olan baz enerji dzeyleri dolmaya, dolu olanlar ise bo almaya ba lar. Fermi- Dirac da l m , s sal dengedeki ideal bir elektron gaz nda, enerjisi I olan bir yrngenin dolu olma olas l n verir.

Burada Q, s cakl a ba l de i en kimyasal potansiyeldir.

olarak

Boyutlu Serbest Elektron Gaz

Fermi YzeyiN serbest elektronlu bir sistemin taban durumunda i gal edilen yrngeler , kuzay ndaki bir krenin iindeki noktalarla temsil edilebilirler. Krenin yzeyindeki enerjiye FERM ENERJ S ad verilir. Krenin yzeyi ise FERM YZEY olarak adland r l r.