series y productos construccion

8/16/2019 Series y Productos Construccion

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Series y Productos.

1.0 Series. Definición 1: Sea A un conjunto de números (Racional, Real, Complejo, etc.)

| |

definimos una sucesión de números como la permutación : ⟶ , donde1,2,3,…,} ⊆ ℤAl término de la sucesión puede estar definido por una regla. Toda sucesión puede ser infinita ofinita dependiendo de la cardinalidad de .

Definición 2: Una sucesión es limitada, si existe un número positivo K tal que para cada

término de la sucesión satisface la desigualdad ‖‖ ≤ ∀ ∈ . El numero K esllamado el límite de la sucesión

Una sucesión puede estar ordenado, o no. Si esta ordenado, entonces existe 2 tipos de

ordenaciones:

1.

La sucesión se llama monótona creciente si se cumple : ≤ + 2.

La sucesión se llama monótona decreciente si se cumple: ≥ + Ambos tipos también se conoce como secuencia monótona.

Definición 3: A la suma de una sucesión se le llama Serie de la sucesión Empezaremos a analizar unas importantes series finitas básicas. Llamadas aritméticas y

geométricas.

1.1 Progresiones Aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos seobtiene sumándole una constante al término anterior. Dicha constante se llama diferencia de la

progresión. Definimos formalmente como:

Definición 4: Sea un número ∈ y una constante ∈ ℝ. Una progresión aritmética esla permutación : ⟶ donde cumple:

o

1 Ahora bien, el punto interesante y principal de este texto es calcular la serie de una sucesión, en

este caso el de la progresión aritmética. Por notación cuando hablamos de una serie lo

escribiremos como ∑ . Entonces tenemos la serie de una progresión aritmética cualesquiera: =

1=

2 ⋯ 1 Si permutamos cada elemento de la progresión aritmética, de tal manera que el primero es el

último, el segundo es el penúltimo y así sucesivamente tenemos:


2/22

= 1

= 1 2 3 ⋯

A estas dos series las sumamos:

1= 2 ⋯ 1

1

= 1 2 3 ⋯

2 1

= 2 1 2 1 2 1 ⋯ 2 1

2 1

= 2 1 Por lo tanto tenemos

1

= 2 12 2

Eh aquí el primer teorema:

Teorema 1.1: Sea una progresión aritmética de la forma a a n 1d , entonces la serie detal progresión está dada por la fórmula:

1=

2 12 2

A simple vista no se ve tanta utilidad pero esta progresión aritmética y la geométrica son

herramientas tan útiles que resuelven la mayoría de los problemas. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1: Calcular la suma de los primeros n números naturales.

Por el Teorema 1.1 tenemos que el primer elemento será

1 y el ultimo

, con n

términos a diferencia de 1 cada uno. Entonces tenemos:

(1 1)

=

= 12

Esta fórmula es útil, posiblemente muy conocida. Pero ahora ya demostrada.

Colorario 1: La suma de los n primeros números es igual a+


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1.1.1 Propiedades del operador suma.

El símbolo ∑ es llamado operador suma, Donde es útil en muchas ramas de las matemáticas.Ahora definiremos sus propiedades del operador suma.

Lema 1: La serie de dos sucesiones es igual a la serie de la primera sucesión más la serie de la

segunda sucesión.

Demostración: Sean dos sucesiones definimos una nueva sucesión entoncesla serie de la tercera sucesión está definida como:

⋯ ⋯ Con las propiedades de asociatividad y conmutatividad podemos reordenar la serie de la siguiente

manera:

⋯ ⋯ Los términos del primer paréntesis pertenece a la serie de la primera sucesión y los del segundo

paréntesis a la segunda sucesión entonces podemos escribirlo como:

Por lo tanto obtenemos la igualdad del lema anterior

Lema 2: La suma de n veces de una constante equivale a c*n

Demostración: Sea la progresión aritmética

, este es un caso especial de progresión

aritmética en la cual su diferencia es igual a 0. Esto implica que el primer término es c. Por el

Teorema 1.1 tenemos:

10

=

= 2 22

Lema 3: Para toda sucesión de la forma ∗ se cumple ∗

=

=

Demostración: Por el lema 1 tenemos 1 equivalente a 1 Repitiendo para 1 , c-1 veces obtenemos:

⋯


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La suma tiene límite inferior y límite superior que indica desde que término hasta que término de

la sucesión. Por ahora no hemos manipulado en ese lado pero para algunos ejemplos es necesario

tener en cuenta desde que termino hasta que termino sumaremos de la sucesión.

Con estas propiedades básicas podemos seguir en el estudio de series. Veamos algunos ejemplos

de más.

Ahora aplicamos el colorario 1, para la suma de m números desde p hasta n. Esto implica que,

descompondremos en 2 sumas. Tenemos:

=

−

=

=

12 12

=

= 12 12 2 14 142

12 12

2

12 12 12 122 1 2

Por lo tanto el resultado de esta serie es:

= 1

2

Demostrar que ∑ 2 1= Por lemas de 1 a 3 tenemos:

2 1

= 2

= 1

= 2

=

Por colorario 1 obtenemos:

2 1

= 2 ∗ 12 1 1 1 ∗ Ejercicio 1.0

Demostrar las siguientes series.

1.


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2.

3.

4.

∑ log= log! Demostrar la siguiente propiedad.Propiedad Telescópica: Si una sucesión se puede escribir de forma + entonces, lasiguiente igualdad es válida.

+ + 1.1.2 Propiedad Telescópica

Con el ejercicio anterior, la propiedad telescópica, podemos trabajar unas series curiosas que no

son progresiones aritméticas.

Sea la serie ∑ , usando la propiedad telescópica. 1

= 1 1

3 3 1

= 3 3

3

=

3

=

1

=

3 3

3 =

3 ∗ 12 3 3

3

= 3 2 3 ∗ 12

= 3 23 12 2

3 6

= 12 16


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1.2 Progresiones geométricas.

Otra sucesión muy útil es la geométrica. Que en vez de sumar una constante, se multiplica por una

constante. Se define formalmente como sigue:

Definición 5: Sea un número ∈ y una constante r∈ ℝ. Una progresión geométrica esla permutación

: ⟶ donde cumple:

o − Calcularemos la serie geométrica. Como sigue, tenemos:

−

= −

=

Por lo tanto nos dedicaremos a calcular ∑ −= para poder calcular ∑ −= −

=

1 ⋯ − Multiplicamos r a la serie anterior, obtenemos:

−

= ⋯ −

Restamos la primera serie con la segunda

−

= −

= 1

1 −= 1

−

= 1 1

Multiplicando esto por obtenemos la suma general para progresiones geométricas, así comoestá escrito en el teorema 2.1

Teorema 2.1: Sea una progresión geométrica de la forma a − , entonces la serie de talprogresión está dada por la fórmula:

−= 1 1 1

Veamos algunas aplicaciones interesantes.

Hallar la suma de 1 2 3 4 ⋯ 1


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Este ejemplo es una aplicación de Series geométricas, la cual da un poder bastante fuerte para

resolverlo. Después en unos capítulos posteriores, con el uso del teorema del binomio se puede

generar más aplicaciones a funciones más complejas. Tenemos:

1 2 3

4

⋯ 1

1

=

Entonces:

1

= 1

= 1 ⋯ 1+

1 1

=

= 1+

Por el teorema 2.1 tenemos

=

−+=

1 +1 Por lo tanto tenemos

1 1

= 1 +1 1+

1

= 1 +

1 1+

1 El lector puede encontrar otro camino aplicando las propiedades de las sumas y el teorema 2.1.

Que de resultado será el mismo aplicado a este. Si aplicamos x= 1 a la suma anterior obtenemos:

1

= 1 22

1.2.1 Serie geométrica-aritmética

Si observamos esta serie calculada, la sucesión era un producto de una serie aritmética con inicio

en 1, con diferencia de 1 por una serie geométrica con

1 y razón de x. Hagamos más general

a esta serie “mixta”. Sea la sucesión 1− y calculemos su serie: 1−

= ∗ ∗ ⋯ 1−

Eso implica


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1−

= 1−

=

Si realizamos una resta de la misma serie multiplicada por r, esa serie seria

1−= ∗ ∗ ⋯ 1 Por lo tanto

1−

= 1−

= ⋯ − 1 1 1−

=

−

=

1

1−= (∑ −= ) 11

Por teorema 2.1 tenemos que

−

= 1 −

= 1 1

Por lo tanto

−= 1 −1 Por lo tanto

1−

= 1 −1

11 Lo que nos lleva al siguiente teorema

Teorema 2.2: Sea la serie ∗ donde 1 es una progresión geométrica,y

− es una progresión aritmética. Entonces su serie está dada por:

1−

= 1 −1

11

= 1 1


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Si observamos la serie “geométrica-aritmética”, observamos que también es una serie geométrica

donde y −, haciendo estas sustituciones a la igualdad del Teorema 2.2 nos saldráel teorema 2.1 así que intuitivamente el Teorema 2.2 es una “extensión” hacia productos con

cualquier progresión aritmética.

Como se ve la importancia de estas dos progresiones, sería muy útil preguntarse si estas a su vez

se pueden “expandir” hacia el producto de cualquier sucesión. Pero antes daremos una pausa a

esto para analizar el comportamiento de los índices de cualquier serie.

1.2.2 Propiedades acerca de los índices del operador suma

Como se ha visto en algunos ejemplos, la variación del índice inferior o superior de una serie hace

que muchas veces sufra unos cambios al resultado. Por ejemplo a la serie geométrica:

−

= 1 1

−

=

Pero

=

1 1 Y también sabemos:

= 1

−

= 1 1 1 1

1 A primera vista los resultados pueden ser un poco no convincentes. Es por eso la importancia de

los índices superior e inferior.

Lema 4: ∀ < ≤ se cumple que:

=

=

=+

Demostración:

= + ⋯ + ⋯

Esto implica

= + ⋯ + ⋯

Por lo tanto


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=

=

=+

Lema 5: Para toda serie se cumple que:

= −+=+ Lema 6: Para toda serie se cumple que:

/∗

=∗

=

1.2.3 Expansión de la serie geométrica

Ahora sea − una progresión geométrica y una sucesión cualesquiera. Construimosuna sucesión

. Por lo tanto tenemos la serie:

= −

=

Tenemos

−

= −

= ⋯ −−

1 −

= −−

=

Por lo tanto:

1

= −

= 1

Lo que hemos logrado con la relación (1) es que expandimos la serie geométrica con la

multiplicación de cualquier sucesión . Denotado en este teorema:Teorema 2.3: (Teorema de la expansión geométrica) Sea − una sucesión geométricacualesquiera y una sucesión distinta de la geométrica. Construimos una “extensión” de lasucesión geométrica de modo ∗ por lo tanto. Su serie viene dado por la relación.1

= −

=

O bien


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1

= + +

−

=

Veamos algunas aplicaciones del Teorema 2.3, sea , la multiplicación de dos seriesgeométricas. Entonces tenemos como

− y

−. Entonces por el teorema de

expansión geométrica obtenemos:

1

= + +

−

=

Pero + − − 1 1 Entonces:1

= 1 +

−

=

Pero + Entonces1

= 1

−

=

1

= 1

−

= 1 −

Pero

−

= −

= −

=

=

= Eso implica

1 −

= 1

= 1

= 1

1

= 1

= 1 1 −

1

= 1 1 −

1

= 1 1 −


12/22

= 1 1 −1

−1 1 −1

= − 1 −

1 1 ∗

1

Lo que nos lleva al siguiente colorario

Colorario 2.3.1: Sean 2 series geométricas − y − Entonces la serie delproducto de dos sucesiones geométricas viene dado por:

∗ −

= 1 ∗ 1

Generalizado por:

= = −

= ∏ = 1 ∏ = 1 ∏ =

Otro ejemplo. Calculemos la siguiente serie:

2

=

Por simple inspección tenemos 2 ∗ 2− una progresión geométrica y una sucesiónde cuadrados. Sabemos que por separado sus valores son 2

= 22 1 2.1

= 12 16

Pero por teorema 2.3 y sabiendo que 1 2 1

1 2= 2+ 2 12+−= 2 Nos basta calcular ∑ 2 12+−= 2 ∑ 2 12−= , sabiendo que 2 1 1 2 1 2 Entonces por teorema 2.3 tenemos:

2 12

= 2+2 1 2


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Eso implica que:

2 12

= 2 12

−

= 2 12 2+2 1 2

2 12−= 22 3 2 Por lo tanto

1 2

= 2+ 2 12+

−

= 2 ⇒ 1 2

= 2+

222 3 2 2 1 2

=

2+ 2+2 3 6

1 2=

2+2 3 6 2+

1 2

= 2+2 3 6

2

= 2+2 3 6 2+ 1 2 6

Por lo tanto la solución de la serie es

2

= 2+ 1 2 6

Ejercicios:

Calcular las siguientes series:

1.

∑ = 2.

∑ = 3.

∑ =

4. ∑ = 5.

∑ += Ahora veamos un poco de series alternadas, cosa que será estudiado en capítulos más adelante.

Una serie alternada es aquella donde los signos de cada termino varían, generalmente uno a uno,

que es el caso que estudiaremos ahora. Tenemos:

1 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1


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Esto es igual a

1

= 11111 1

12 2.1

Si n es par entonces 2 , ∑ 1= − 0 Si n es impar entonces 2 1,∑ 1+= −− 1Ahora bien si Aplicamos el teorema 2.3, Sea 1 y una serie cualesquiera, entoncestenemos:

1 1 1

= 1+ + 1+

−

=

Por lo tanto, para una serie alternada del tipo 1 multiplicado por una serie cualesquieratenemos:

1

= ∑ + 1+−= 1+ 2

Colorario 2.3.2: Para toda serie multiplicada por una serie alternada del tipo 1 se cumple lasiguiente relación:

1

= ∑ + 1+−= 1+ 2


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2.0 Una Introducción a series hacia el infinito.Hasta por ahora hemos visto series de sucesiones con un número finito de términos.

Extenderemos este concepto al infinito.

Definición 5: Sea A un conjunto de números (Racional, Real, Complejo, etc.) | | ≅ ℕ definimosuna sucesión de números al infinito como la permutación : ℕ ⟶ .De acuerdo con la definición 2, está dicha sucesión puede estar limitada o no. Si existe en el límitede la sucesión al infinito diremos que esta Converge, en caso contrario que no exista limite,

entonces se dirá que Diverge.

Unos ejemplos de series divergentes seria la sucesión1 , → ∞ es divergente. Ya que puedetomar 2 valores dependiendo la condición de si es par o impar, pero al llevarlo al infinito no existe.

Otro ejemplo de sucesión divergente, es la sucesión de los números naturales, intuitivamente

existe una correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales, lo que hace que

esta sucesión también sea infinita y no este acotada.

Definición 6: Sea una serie de la sucesión , diremos que esta serie es infinita si el número detérminos son ilimitados. O bien dicho cuando → ∞. Expresado matemáticamente.

= lim→

=

Al igual que las sucesiones dicha serie converge si existe límite, en caso contrario diremos que la

serie diverge.

Analizaremos las series vistas en el capítulo 1.0, primero la progresión aritmética definida como:

1, lim→ 1 ∞

Vemos que esta crecerá o decrecerá (dependiendo de valor de d) crecerá hacia el más infinito o

menos infinito. Por lo tanto esta sucesión diverge. Viendo la serie geométrica definida como:

2 12

= ∞

Tiende al infinito, porque al igual que la sucesión, la serie aumentara gradualmente, hasta el punto

que no tenga limite. Es claro pensar que si la sucesión diverge por lo tanto la serie también

diverge, y viceversa, pero no siempre es así, existen casos como la serie armónica que más

adelante lo estudiaremos donde la sucesión converge hacia 0 pero la serie diverge.

2.1 Progresiones geométricas Infinitas

Las progresiones geométricas a diferencia de las aritméticas, estas si divergen en algunos casos.

Puesto que

− , lim→(−) { 0 || < 1 1∞ || > 1


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El punto interesante de las series infinitas es cuando estas convergen, así que para las

progresiones geométricas infinitas ocuparemos. Analizamos la serie geometría, tenemos:

−

=

lim→ 1 1 1 || < 1

Cuando 1 es claro que la serie geométrica al infinito diverge puesto que es equivalente a lasuma de infinita veces el número . Este resultado es simplemente muy útil, cuando estudiamosprogresiones geométricas finitas veíamos una gran utilidad y era simple hasta para poder

expandirse al producto de cualquier serie, incluso ayudo al cálculo de series alternadas.

Teorema 2.1: Sea una progresión geométrica con || < 1 entonces su serie converge a: −

= 1

Veamos algunos ejemplos, Calculemos la siguiente serie

12

=

Está claro que es divergente puesto que es una serie geométrica con , < 1 por lotanto es convergente, aplicando el teorema 2.1 obtenemos.

12

=

121 12

1

Si se consideraría el término 0 ⇒ 1 por lo tanto 12

= 2

Simplemente si generalizáramos el caso con 2 → ∉ [1,1] ⟹ < 1 Entonces tenemos

1

=

1

1 1 1

1

Por lo tanto

1

= 1

Colorario 2.1: Para toda ∉ [1,1] ⟹ < 1 entonces se cumple que ∑ = −


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2.2 Un tratado sobre los números periódicos.

Otra aplicación de las series geométricas infinitas, es hacia los números, en específico a los

números periódicos. Un numero periódico es un numero donde la parte decimal es infinita pero se

cumple una regla. Es decir, sea el numero . … … … en este caso la regla es

… . Usando desarrollo en potencias de 10 (por ser base de nuestro sistema numérico

ordinario) Obtenemos que:

. … … … … ∗ 10− … ∗ 10− ⋯ Esto implica que:

. … … … … 110 110 ⋯ … 110

=

Por el colorario 2.1 obtenemos

. … … … … 110 1 Por lo tanto obtenemos:

. … … … … 10 1 Teorema 2.2: Sea un número infinito . … … … llamado periódico, entonces lopodemos expresar como:

. … … … … 10 1

Hemos expresado un número “infinito” en una fracción, esto implica que los números periódicos

no son números irracionales sino pertenecen al conjunto de los números racionales. La parte

interesante aquí es poder convertir de decimal a fracción. Empezaremos con un número base el

Entonces tenemos:

0.11111111111 Esto implica que por el teorema 2.2

0.11111111111… 1

1 0 1 19

Este número lo denominamos como la base de todos los números periódicos ya que el resto es un

múltiplo de este número. A partir del 1/9 obtenemos.

0.222… 29 0.3333… 39 13


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Ahora bien, no solo ese tipo de números podemos desarrollar. También podemos generar

números periódicos, también números periódicos donde implique una serie que no sea

geométrica. Por ejemplo desearíamos generar el número 0.1234567890123456789… Por el

teorema 2.2 obtendríamos una fracción muy grande y difícil de simplificar es por eso que a partir

de lo ya obtenido podemos generar una nueva técnica. Veamos el ejemplo

0.123456789 … 0.1111 … . 0.01111.. 0.0011111 ⋯ Esto implica

0.123456789… 19 19 ∗ 10− 19 ∗ 10− ⋯ 19 1 1 0− 10− ⋯ 19 110

=

19 101 0 1 19 109 109 1081 Esta fracción obtenida es mucho más cómodo y fácil de recordar. Uno de los aspectos

matemáticos es que de los resultados obtenidos se trabaja para generar nuevos y así

sucesivamente, sin repetir el inicio. Esto genera la facilidad de obtener cálculos más rápidos.

Veamos más ejemplos. Se desea calcular en términos de fracciones el siguiente número

0.12321232123212321…

0.12321232123212321… 0.111…0.01010101…0.00200020002… Calculando por partes

0.010101010… 10− 10− 10− 10− ⋯ 110

= 199

0.00200020002… 0.000200020002…∗10 20∗ 110= 209999 Por lo tanto

0.12321232123212321 … 19 199 209999 112909 Ahora bien tenemos que 10 1 99 …9 donde hay n nueves entonces para escribir unacantidad de muchos unos obtenemos 111 … 11 10 1. Esto hallaría a resolver unproblema que diría. Hallar la suma de 1+11+111+1111+…+1111…111 si el ultimo sumando es un

numero de n cifras. Con la notación dada podemos convertir a esto

1 11 111 ⋯ 1111 … 11 19 10 1 19 10 1 ⋯ 19 10 1 Esto es igual a

19 10 10 ⋯ 10 19 1010 19 19 10∗111. .1


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Está claro que si lo llevamos al infinito esta serie seria divergente.

Viendo más números periódicos nos damos cuenta que no todo los múltiplos de dan como

resultado un número periódico. Observamos por ejemplo .142857 ….

Pero esto implica que si desarrolláramos la parte decimal para transformarlo en parte fraccionariaseria:

142857∗ 110

= 14285710 1 142857999999 17

Lo que nos lleva a la siguiente deducción

1.

142857|999999 pero 999999 3 ∗ 111111 2.

∗ 7 ⇒ 142857 ∗ 7 3 ∗ 111111

Viendo más general, Tenemos 999…99 con m nueves esto equivale a

10

1, y sabemos que un

número periódico es de la forma …− por teorema 2.2. Si deseamos calcular el inverso de unnúmero > 1 esto equivale a que, si es un número periódico, entonces solo debemos encontrar … que es el patrón del número periódico, por lo tanto tenemos:

… 10 1 1 ⇒ … ∗ 10 1 Estamos hablando que existen enteros que son proporcionales a 10 1 y su constante deproporcionalidad pertenece a los números enteros. Por el teorema fundamental de la aritmética,

Cada entero se pude descomponer en números primos. Es por ejemplo:

31 0 1 13 ⇒ 3 ∗ 3 10 1 9 ∗ 1 3 ∗ 1 142857999999 17 ⇒ 142857 ∗ 7 3 ∗ 111111 ⟹ 9 ∗ 15873 ∗ 7 3 ∗ 11111 ⟹ 15873 ∗ 7 111111 999 111 ⇒ 9 ∗ 11 99 ⇒ 11 11

Con esto nos lleva a una hipótesis. Todo número 11…1 con n unos donde > 2 es un número noprimo. Antes de analizarlo. Veamos los inversos de los números primos. Analizando la relación

anterior, donde todos son números enteros, vemos que:

… ∗ 10 1 9 19 10 1 9 ∗ 111. .1 Nos da las siguientes observaciones

1.

… ∗ es divisible por 92.

3 ⇒ … 3 ⇒ 3 ∗ 3 9 ∗ 1 3.

9 ⇒ … 1 ⟹ 1 ∗ 9 9 ∗ 1


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Por las observaciones dadas, obtenemos que c no es 3 ni 9, Puede que c sea múltiplo de 3,

pero para evitarnos complicaciones, estudiaremos c que no es múltiplo de 3, en general que

son primos.

2.2.1NúmerosPrimos.

Definición 7: Todo número que cumple la siguiente propiedad:

∄, ∈ ℕ\1,} , ∈ ℕ A estos se les llama número primo.

Después de haber definido que es un numero primo demostraremos el siguiente teorema. Como

observación extra a los números periódicos y por el Teorema Fundamental de la Aritmética, los

números primos son la base de la construcción de enteros. Es por eso la importancia de

estudiarlos en su inverso. Lo que nos lleva al siguiente teorema:

Teorema 2.2.1: ∀ ∈ ℕ\2,5} ⇒ 1/ .Demostración: Suponemos que no es periódico ⇒ ∃ ∈ ℕ 0. Esto se puedeexpresar como ∗ 10− donde n es el número de cifras. Entonces ∗ 10− ⇒ ,por lo tanto 10 ∗ , pero 10 2 ∗ 5 esto implica 2 ∗ 5 ∗ , por TFA sabemos quetiene una factorización única, así pues, p por ser primo puede ser un 2 o un 5 pero ∈ ℕ\2,5} por lo que lleva a una contradicción ∴ . A partir del Teorema 2.2.1 obtenemos la siguiente observación

será un numero decimal finito si

es múltiplo de 2 y/o 5. Si nos pusiéramos a observar todos los números que tienen no son

periódicos desde el 1 a 10 , por Principio de Inclusión-Exclusión (Ver Apéndice) Obtenemos: ∈ ℕ| 2 , ∈ ℕ, ≤ 10}, ∈ ℕ| 5 ∗ 5− , ∈ ℕ, ≤ 10} ∩ 1}

Por lo tanto

| | max= 1 log 2 1 , || max= 1 log 5 1 , | ∩ | 1

| ∪ | | | || | ∩ | log 2 log 5 1

Simplifiquemos, La función piso E, esto equivale a

∗ 3.321928 … (3 ∗ 0.321928…) 3 ∗ 0.321928… log 5 ∗1.430676558… ∗0.430676558…

Por lo tanto | ∪ | 4 1 ∗ 0.321928 … ∗0.430676558… Sea \1} \1} ⇒ | | ||


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Sea ∈ [1,10]| ∗ , ∈ , ∈ ′} Por Apéndice 2 y | | > || Obtenemos

|| | ′| 1

||

= ||| | | | || 1

2 ||2| | || 1

2

La unión de ∪ ∪ es el conjunto de todos los c naturales tal que es finito. Como ∪ ∩ }, Entonces:| ∪ ∪ | | ∪ | || 4 1 ∗0.321928… ∗0.430676558…

||2| | || 12 Regresando al análisis para demostrar que 111…1 es un no primo, tenemos la relación siguiente:

… ∗ 9 ∗ 111. .1

Donde c no es un 3,9 ni 11. Por el teorema 2.2.1 sabemos que tampoco puede ser ni 2 ni 5. El

análisis está definido para c igual a números primos. Ahora bien c>11. Entonces por ser c un

número primo implica que … es divisible por 9, sea “d” el resultado de tal división. Por lotanto obtenemos:

∗ 111 … 1 19 10 1 Eso implica que

9 1 10

2

∗ 5

Pero c>11 eso implica que 11 para algún entero tal que la suma forme otro primo.Entonces:91 1 1 99 1 9 2 ∗ 5 100 9 1

9 2 ∗ 5 2 ∗ 5 2 ∗ 52− ∗ 5− 1 9 10010− 1 1009 ∗ 1 1 … 1 2

100 ∗ 111 … 1 11 100 ∗ 1111. .1 100 ∗ 111… 1 11

De la relación anterior tenemos que 1 100 ∗ 111 … 1 11

Por lo tanto ∗ 111 … 1 es equivalente a100 ∗ 111 …1 11 111 …1

10 ∗ 19 ∗ 10− 1 11 19 10 1


22/22

10 ∗ 19 ∗ 10− 1 19 10 1 19 10 1 10 ∗ 10− 1 10 1 10 1

10 10 10 1 10 1 1 0 1 0 0 10 10

Lo cual esto es falso, entonces ≠ 1 , Tomando la negación de la definición 7entonces Existe un numero diferente de 1 tal que al ser multiplicado dará 111…1 con m unos lo

que dice la negación de la definición 7 es que 111…1 es un no primo, lo que se quería demostrar.

Teorema 2.2.2: Sea el número 111…1 con m unos, donde m>2, entonces dicho número no es un

numero primo.

2.3 Criterios de Convergencia de series al infinito.

series y productos construccion

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