signaltransformationen (1 vo + 1 ue) teil 2: fourier-analyse · konvergenz der fourier-reihe (fr)...

$: Signaltransformationen (1 VO + 1 UE) Teil 2: Fourier-Analyse · Konvergenz der Fourier-Reihe (FR) (cont’d): Dirichlet Bedingungen: Das Signal I ist \absolut Integrierbar" Z T jx(t)jdt$
TU Graz - SPSC – Signal Processing and Speech Communication Lab

Signaltransformationen (1 VO + 1 UE)Teil 2: Fourier-Analyse

Klaus Witrisal

Technische Universitat GrazInstitut fur Signalverarbeitung und Sprachkommunikation

http://spsc.tugraz.at

Uberblick der VorlesungsthemenMay 12, 2017

Klaus Witrisal May 12, 2017 Slide 1/44


Konzept der Fourier-Analyse

I Diskussion von “Signaltransformationen” aus der Sicht derSignalverarbeitung und Nachrichtentechnik

I Idee: Darstellung von Signalen als Linearkombination von“Standard”-Signalen (Basis- bzw. Eigensignale)

I Fourier-Analyse: gewahlt werden komplexe Exponential-funktionen

I Bsp.: (Fourier Reihe)

x(t) =

∞∑k=−∞

akejkω0t

ak . . . Gewichtsfaktorenejkω0t . . . komplexe Exponentialfunktionen



Bsp: Diskussion der komplexen Exponentialfunktion

I geg.: x(t) = Ceat, wobei C und a komplexwertig sein konnen

I Fall 1:I C, a ∈ R (reellwertig)I wir erhalten reelwertige, exponentiell anwachsende (r > 0)

bzw. abfallende (r < 0) Funktionen

I Fall 2: (Verwendung in der Fourier-Analyse!)I a = jω (rein imaginaerwertig)I C ∈ C (komplexwertig); C = |C|ejϕI wir erhalten komplexwertige, periodische Funktionen mit

konstantem Betrag (Bsp.: Beweise dieser Eigenschaften)I in der komplexen Ebene: Zeiger, der mit konstanter

Geschwindigkeit (ω) rotiert (Bsp.: Illustration)

I Fall 3:I a ∈ C (a = jω + σ) und C ∈ C (beide komplexwertig)I bedampfte, komplexe Exponentialfunktionen



Bedeutung der Signaldarstellung durch komplexeExponentialfunktionen

1. Interpretation des Frequenzgehalts von SignalenI durch Frequenzen und Amplituden der Exponential-

schwingungenI dazu ist es wichtig, dass eine “breite Klasse” von

Signalen darstellbar ist!

2. Betrachtung von linearen, zeitinvarianten (LZI) SystemenI Antwort eines LZI Systems auf eine komplexe Exponential-

funktion ist wieder eine komplexe Exponentialfunktion mit derselben Frequenz aber mit geanderter Amplitude

I komplexe Exponentialfunktionen sind “Eigenfunktionen”von LZI Systemen



Unterscheidung von Signalklassen (Themen diesesVL-Teils)

I verschiedene Signalklassen benotigen verschiedene Variantender Fourier-Analyse

I Einteilung in:I periodische / nichtperiodische SignaleI zeitkontinuierliche / zeitdiskrete Signale

daraus resultieren vier Formen der Fourier-Analyse, die indiesem VL-Teil behandelt werden

I Und eine funfte Form:I zeitbeschrankte, zeitdiskrete Signale

(vgl. eine Periode der periodischen, zeitdiskreten Form)

(wichtig fur numerische Berechnung durch Computer (DFT))



1. Form: Fourier Reihe zur Darstellung periodischer,zeitkontinuierlicher Signale

I periodisches Signal x(t) ∈ C:

es gilt x(t) = x(t+ T ) fur alle t ∈ RT . . . Periode (T > 0)

I Fourier Reihe:

x(t) =

∞∑k=−∞

akejkω0t

ak ∈ C . . . Fourier-Koeffizienten; k ∈ Zω0 . . . Frequenz der Grundschwingung; ω0 = 2π/Tkω0 . . . Frequenz der k-ten harmonischen Komponente;

der (k − 1)-ten Oberschwingung



Beispiele

1. Beispiel

I geg.: x(t) = sinω0t periodisch mit T = 2π/ω0I ges.: Fourier Reihe

I Methode: KoeffizientenvergleichI Lernziel: Zerlegung der reelwertigen Funktion sinω0t in

komplexe Exponentialfunktionen

2. BeispielI geg.: x(t) = 1 + 2 cosω0t+ sinω0t+ cos(2ω0t+ π/4)

periodisch mit T = 2π/ω0I ges.: Fourier Reihe

I Methode: Koeffizientenvergleich



Berechnung der Fourier-Koeffizienten

I Umformung der Fourier-Reihe

x(t) =

∞∑k=−∞

akejkω0t

ergibt

ak =1

T

∫ t0+T

t0

x(t)e−jkω0tdt

t0 ∈ R . . . beliebiger Startpunkt des Integrationsintervalls



Beispiel

3. Beispiel:

I geg.: periodisches Rechtecksignal x(t) = x(t+ T ),

x(t) =

{1 |t| ≤ T10 T1 < |t| ≤ T/2

I ges.: Fourier Reihe; graphische Darstellung der Koeffizientenfur T1 = T/4

I Methode/Lernziel: Berechung der Fourier-Koeffizienten mitHilfe der Analysegleichung



Beispiel 3 (cont’d)

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

coefficient index k

Re{a

k}

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−1

−0.5

0

0.5

1

coefficient index k

Im{a

k}



Konvergenz der Fourier-Reihe (FR):Ist ein periodisches Signal x(t) tatsachlich als Fourier-Reihedarstellbar?

I sind alle Koeffizienten endlich, also |ak| <∞ fur alle k?

I ist die FR-Darstellung endlich?

I ist die FR-Darstellung gleich dem Originalsignal x(t)?

Kriterium der endlichen Energie:∫T|x(t)|2dt <∞

Wenn dieses Kriterium erfullt ist, dann sind

I alle |ak| <∞ (Beispiel: Beweis)

I Die Energie des Darstellungsfehlers geht gegen Null(Konvergenz im Sinne des quadratischen Fehlers)



Konvergenz der Fourier-Reihe (FR) (cont’d):Dirichlet Bedingungen: Das Signal

I ist “absolut Integrierbar”∫T|x(t)|dt <∞

I hat endlich viele Schwingungen innerhalb einer Periode T

I hat endlich viele Sprunge innerhalb einer Periode T

Dann ist die FR identisch dem Signal x(t) fur alle t,

Ausnahme:

I An Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) konvergiert die FRzum Mittelwert der rechts- und linksseitigen Grenzwerte

I Gibbs-Phanomen: Uberschwinger an Sprungstellen bei derSynthese mittels abgebrochener FR (Beispiel: Rechtecksignal)




−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 1

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 5

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 20

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 3

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 7

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 80

time t



Beispiel

4. Beispiel:

I geg.: periodisches Rechtecksignal (wie in Bsp. 3)x(t) = x(t+ T ),

x(t) =

{1 |t| ≤ T10 T1 < |t| ≤ T/2

Die Koeffizienten {ak} sind bekannt; es sei T1 = T/4.I Das Signal wird durch ein RC-Tiefpassfilter geschickt, mit

H(jω) =1

1 + jωRC

I ges.: Fourier Reihe des Ausgangssignals y(t)I Methode/Lernziel: Berechung der Systemantwort einers LZI

Systems mittels Fourier-Reihendarstellung und FrequenzgangI Konvergenz der FR des Ein- bzw. Ausgangssignals;

Symmetrie-Eigenschaften




−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

coefficient index k

Re{b

k}

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

coefficient index k

Im{b

k}




−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 1

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 5

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 20

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 3

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 7

time t

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

N = 80

time t



Zusammenfassung: Fourier Reihe fur periodische,zeitkontinuierliche Signale

I Fur ein periodisches Signal x(t) = x(t+ T ) ∈ C gilt

x(t) =

∞∑k=−∞

akejkω0t (Synthesegleichung)

ak =1

T

∫Tx(t)e−jkω0tdt (Analysegleichung)

ak ∈ C . . . Fourier-Koeffizienten; k ∈ Zω0 . . . Frequenz der Grundschwingung; ω0 = 2π/T

I Kurzschreibweise

x(t) = x(t+ T )FR←→ {ak}



Eigenschaften der FRGeg: Zwei periodische Signale und deren Fourier-Koeffizienten:

x(t) = x(t+ T )FR←→ {ak}

y(t) = y(t+ T )FR←→ {bk}

Linearitat:

I es gilt fur eine Linearkombination der Signale:

z(t) = Ax(t) +By(t)FR←→ ck = Aak +Bbk

Zeitverschiebung:

I es gilt fur eine verschobene Version des Signals x(t): (Beweis)

y(t) = x(t− t0)FR←→ bk = ake

−jkω0t0 = ake−j2πkt0/T

I weitere Eigenschaften siehe Tabelle!



Beispiel

5. Beispiel:

I geg.: periodisches Rechtecksignal (wie in Bsp. 3)x(t) = x(t+ T ),

x(t) =

{1 |t| ≤ T10 T1 < |t| ≤ T/2

Die Koeffizienten {ak} sind bekannt; es sei T1 = T/4.I ges.: Fourier Reihe des verschobenen Signals

g(t) = x(t− T/4)− 1/2

I Methode/Lernziel: Anwendung der Eigenschaften der FR;Auswirkung auf die Reihendarstellung; Diskussion derSymmetrie-Eigenschaften



Fourier-Reihe fur reelwertige SignaleHermitesche Symmetrie der Koeffizienten:

I es gilt fur x(t) = x(t+ T ) ∈ R

x(t)FR←→ {ak} mit ak = a∗−k hermitesch

|ak| = |a−k| gerade

∠ak = −∠a−k ungerade

Re(ak) = Re(a−k) gerade

Im(ak) = −Im(a−k) ungerade

I Beweis ergibt harmonische Form der FR:

x(t) = a0 +∞∑k=1

Ak cos(kω0t+ ϕk)

mitAk = 2|ak| . . . Amplitude der k. Harmonischenϕk = ∠ak . . . Phase der k. Harmonischen



Fourier-Reihe fur reelwertige Signale (cont’d)eine weitere Form der FR fur x(t) = x(t+ T ) ∈ R:

I Trigonometrische Form der FR:

x(t) = a0 +

∞∑k=1

αk cos(kω0t) + βk sin(kω0t)

αk = 2Re(ak) . . . Koeffiz. der geraden Funktionsteileβk = −2Im(ak) . . . Koeffiz. der ungeraden Funktionsteile

I direkte Berechnung der Koeffizienten:

αk =2

T

∫Tx(t) cos(kω0t)dt

βk =2

T

∫Tx(t) sin(kω0t)dt



2. Form: Fourier-TransformationI nicht-periodisches Signal x(t) ∈ C

I Analyse heißt Fourier-TransformationI Synthese heißt inverse Fourier-Transformation

I Erklarungsansatz: Fourier-Reihe, wobei die Periode T →∞bzw. die Frequenz der Grundschwingung ω0 → 0

Beispiel:

I geg.: periodisches Rechtecksignal x(t) = x(t+ T ),

x(t) =

{1 |t| ≤ T10 T1 < |t| ≤ T/2

I ges.: Fourier-Koeffizienten fur z.B. T = 4T1, 16T1, . . . ;Einhullende der Fourier Koeffizienten Tak

I Lernziel: Auswirkung der steigenden Periode bzw. fallendenGrundfrequenz auf die Fourier-Koeffizienten



Fourier-Transformation: fur nicht-periodische Signale

Herleitung mittels Grenzubergang T →∞ bzw. ω0 → 0:

x(t) =1

2π

∞∑k=−∞

X(jkω0)ejkω0tω0 → x(t) =

1

2π

∫ ∞−∞

X(jω)ejωtdω

x(t) . . . periodisch fortgesetzte Version des Signals x(t)X(jω) . . . Einhullende der FR-Koeffizienten Takω . . . kontinuierliche Frequenzvariable

I Die Einhullende X(jω) wird Fourier-Transformierte genannt

X(jω) =

∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdt



Beispiele

6. Beispiel:

I geg.: Rechteckpuls

x(t) =

{1 |t| ≤ T10 |t| > T1

I ges.: Fourier Transformierte X(jω)I Methode: Berechnung der FT mittels Analysegleichung

7. Beispiel:I geg.: Rechtsseitige, reellwertige Exponentialfunktion

x(t) = e−atu(t); a > 0, a ∈ R

u(t) . . . SprungfunktionI ges.: Fourier Transformierte X(jω); Diskussion von X(jω)

I Methode: Berechnung der FT mittels Analysegleichung



Konvergenz der Fourier-Transformation (FT):Ist ein Signal x(t) tatsachlich als FT darstellbar?

I ist die Transformierte endlich, also |X(jω)| <∞ fur alle ω?

I ist die inverse FT endlich?

I ist die inverse FT gleich dem Originalsignal x(t)?

Kriterium der endlichen Energie:∫ ∞−∞|x(t)|2dt <∞

Wenn dieses Kriterium erfullt ist, dann gilt

I |X(jω)| <∞ fur alle ω (Beispiel: Beweis)

I Die Energie des Darstellungsfehlers geht gegen Null(Konvergenz im Sinne des quadratischen Fehlers)



Konvergenz der Fourier-Transformation (FT) (cont’d):

Dirichlet Bedingungen: Das Signal x(t)

I ist “absolut Integrierbar”∫ ∞−∞|x(t)|dt <∞

I hat endlich viele Schwingungen in einem endlichen Intervall

I hat endlich viele, endlich hohe Sprunge in einem endl. Intervall

Dann ist die inverse FT identisch dem Signal x(t) fur alle t,

Ausnahme:

I An Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) konvergiert die FTzum Mittelwert der rechts- und linksseitigen Grenzwerte



Beispiel8. Beispiel:

I geg.: periodische, komplexe Exponentialfunktion

x(t) = ejω0t

I ges.: Fourier Transformierte X(jω)I Methode/Lernziel: Diskussion der Konvergenzbedingungen;

Definition des Dirac-Pulses

Definition des Dirac-Pulses δ(t) (Dirac-Verteilung)∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1; δ(t) = 0 fur t 6= 0

I Ausblendeeigenschaft:∫ ∞−∞

x(t)δ(t− t0)dt = x(t0)

∫ ∞−∞

δ(t− t0)dt = x(t0)

fur x(t) stetig an der Stelle t = t0



Beispiele

9. Beispiel:

I geg.: Dirac-Puls bei t = 0

x(t) = δ(t)

I ges.: Fourier Transformierte X(jω)I Methode: Berechnung der FT mittels Analysegleichung und

Ausblendeeigenschaft

10. Beispiel:I geg.: Dirac-Puls im Frequenzbereich

X(jω) = 2πδ(ω − ω0)

I ges.: inverse Fourier Transformierte x(t)I Methode: Berechnung der inversen FT mittels

Synthesegleichung und AusblendeeigenschaftI Lernziel: Fourier-Transformation periodischer Funktionen

mittels Dirac-Puls (vgl. Bsp. 8)



Zusammenfassung: Fourier Transformation furnicht-periodische, kontinuierliche Signale

I Fur ein nicht-periodisches Signal x(t) ∈ C gilt

X(jω) =

∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdtFourier Transformation(Analysegleichung)

x(t) =1

2π

∫ ∞−∞

X(jω)ejωtdωinverse Fourier Transf.(Synthesegleichung)

X(jω) . . . Fourier Transformierte

I Kurzschreibweise

x(t)FT←→ X(jω)



Eigenschaften der Fourier TransformationGeg: Zwei Signale und deren Fourier-Transformierte:

x(t)FT←→ X(jω)

y(t)FT←→ Y (jω)

Linearitat:

I es gilt fur eine Linearkombination der Signale:

z(t) = Ax(t) +By(t)FT←→ Z(jω) = AX(jω) +BY (jω)

Zeitverschiebung:

I es gilt fur eine verschobene Version des Signals x(t): (Beweis)

y(t) = x(t− t0)FT←→ Y (jω) = e−jωt0X(jω)

I weitere Eigenschaften siehe Tabelle!



Beispiel

11. Beispiel:

I geg.: Periodische Funktion

x(t) = cos(ω0t)

I ges.: Fourier Transformierte X(jω)I Methode: Berechnung der FT mittels Transformationspaar

ejω0t FT←→ 2πδ(ω − ω0) (merken!); Linearitatseigenschaft



3. Form: Fourier-Reihe zur Darstellung periodischer,zeitdiskreter Signale

I zeitdisktretes Signal x[n]; n ∈ Z ist ganzzahligI z.B. abgetastetes kontinuierliches Signal x[n] = x(nTs) mit

Abtastperiode TsI periodisches, zeitdisktretes Signal x[n] ∈ C:

es gilt x[n] = x[n+N ] fur alle n ∈ ZN . . . Periode (N ∈ N, also N > 0)

I Fourier-Reihe:

x[n] =∑k=〈N〉

akejkθ0n =

∑k=〈N〉

akejk 2π

Nn

ak ∈ C . . . Fourier-Koeffizienten; k ∈ Zθ0 . . . Grundfrequenz θ0 = 2π/N〈N〉 . . . Indexmenge der Reihenglieder



Diskussion: Zeitdiskrete, komplexe Exponentialfunktionenmit Periode N

I Die zeitdiskrete (ZD) Exponentialfunktion

x[n] = ejθn

ist periodisch mit der Periode N , wenn θ = k 2πN , k ∈ Z also

x[n] = ejk2πNn = ejkθ0n

mit θ0 = 2π/NI Bsp.: Beweis der PeriodizitatI Bsp.: Illustration in der komplexen Ebene

I Beachte: es gibt genau N verschiedene ZD, komplexeExponentialfunktionen mit Periode N



Fourier-Reihe fur zeitdiskrete Signale (cont’d)

daraus folgt fur die Fourier-Reihe:

I es genugt, genau N verschiedene Reihenglieder zubetrachten

x[n] =

k0+N−1∑k=k0

akejk 2π

Nn =

∑k=〈N〉

akejk 2π

Nn

k0 ∈ Z . . . beliebiger Startindex〈N〉 . . . allg. Indexmenge der Reihenglieder;

z.B.: 〈N〉 = {k0, k0 + 1, . . . , k0 +N − 1}

I kein Konvergenzproblem: wegen endlicher Anzahl vonReihengliedern



Berechnung der Fourier-Koeffizienten

I Umformung der Fourier-Reihe

x[n] =

N−1∑k=0

akejk 2π

Nn

ergibt

ak = ak±N = ak±2N = · · · = 1

N

n0+N−1∑n=n0

x[n]e−jk2πNn

n0 ∈ Z . . . beliebiger Startindex der Summe



Zusammenfassung: Fourier-Reihe fur periodische,zeitdiskrete Signale

I Fur ein periodisches Signal x[n] = x[n+N ] ∈ C, n ∈ Z gilt

x[n] =∑k=〈N〉

akejk 2π

Nn =

∑k=〈N〉

akejkθ0n (Syntheseglg.)

ak =1

N

∑n=〈N〉

x[n]e−jk2πNn =

1

N

∑n=〈N〉

x[n]e−jkθ0n (Analyseglg.)

ak ∈ C . . . Fourier-Koeffizienten; k ∈ Zak = ak+N . . . Periodizitat der Koeffizienten (∀k ∈ Z)θ0 . . . Frequenz der Grundschwingung; θ0 = 2π/N



Beispiele (ZD-FR)

12. Beispiel:

I geg.: N -periodisches ZD Signal

x[n] = sin(θ0n), θ0 =2π

N

I ges.: Koeffizienten der Fourier-Reihe {ak}; DarstellungI Methode/Lernziel: Berechnung der Fourier-Koeffizienten

mittels Koeffizientenvergleich; Illustration der Periodizitat

13. Beispiel:I geg.: ZD periodisches Rechtecksignal x[n] = x[n+N ],∀n ∈ Z

x[n] =

{1 −N1 ≤ n ≤ N1; N1 ∈ N0 sonst

I ges.: ZD Fourier-ReiheI Methode: Berechnung der Fourier-Koeffizienten mittels

Analyseglg.; Verwendung der endlichen geometrischen Reihe



5. Form: Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

I Fur endliche ZD Signale x[n] ∈ C der Lange N ,n = {0, 1, . . . , N − 1}

I gedachte N -periodische Fortsetzung; Verwendung der ZD FR

I Schreibweise (N -Punkt DFT):

x[n] =1

N

N−1∑k=0

X[k]ejk2πNn inverse DFT (Syntheseglg.)

X[k] =

N−1∑n=0

x[n]e−jk2πNn DFT (Analyseglg.)

X[k] . . . DFT von x[n], k = {0, 1, . . . , N − 1}X[k] = Nak . . . Definition durch Koeffizienten der ZD FR



Beispiel (DFT)

14. Beispiel:

I geg.: ZD Signal der Lange N

x[n] =

{1 n = 1, n = N − 10 n = 0, 2, 3, . . . , N − 2

I ges.: N -Punkt DFTI Methode/Lernziel: Berechnung der DFT; Modulo-N

Symmetrie



4. Form: Zeitdiskrete Fourier-TransformationI nicht-periodisches Signal x[n] ∈ CI Ansatz: ZD Fourier-Reihe; Periode N →∞ bzw. Frequenz

der Grundschwingung θ0 → 0

x[n] =1

2π

∑k=〈N〉

X(ejkθ0)ejkθ0nθ0 → x[n] =1

2π

∫2πX(ejθ)ejθndθ

x[n] . . . periodisch fortgesetzte Version des Signals x[n]X(ejθ) . . . Einhullende der FR-Koeffizienten Nakθ . . . kontinuierliche Frequenzvariable

I Die Einhullende X(ejθ) wird zeitdiskrete Fourier-Transformierte (DTFT) genannt

X(ejθ) =∞∑−∞

x[n]e−jθn



Beispiele (DTFT)

15. Beispiel:I geg.: ZD Rechteckpuls

x[n] =

{1 |n| ≤ N1

0 |n| > N1

I ges.: DTFTI Methode: Berechnung der DTFT mittels Analyseglg.;

Verwendung der endlichen geometrischen Reihe

16. Beispiel:I geg.: ZD, rechtsseitige Exponentialfunktion

x[n] = anu[n]; 0 < a < 1; a ∈ R

u[n] . . . ZD SprungfunktionI ges.: DTFT

I Methode/Lehrziel: Berechnung der DTFT mittels Analyseglg.;Diskussion von Betrag und Phase; graphische Darstellung



Zusammenfassung: DTFT fur nicht-periodische,zeitdiskrete Signale

I Fur ein nicht-periodisches Signal x[n] ∈ C, n ∈ Z gilt

X(ejθ) =

∞∑−∞

x[n]e−jθnZDFT bzw. DTFT(Analysegleichung)

x[n] =1

2π


inverse ZDFT (IDTFT)(Synthesegleichung)

X(ejθ) . . . zeitdiskrete Fourier-Transformierte (DTFT);DTFT ist periodisch mit 2π; θ ∈ R



Uberblick: 5 Formen der Fourier-AnalyseZeitbereich Frequenzbereich

Fourier- x(t) =∑∞k=−∞ ake

jkω0t FR←→ ak = 1T

∫Tx(t)e−jkω0tdt

Reihe periodisch diskretzeitkontinuierlich aperiodisch

Fourier- x(t) = 12π

∫∞−∞X(jω)ejωtdω

FT←→ X(jω) =∫∞−∞ x(t)e−jωtdt

Transf. aperiodisch kontinuierlichzeitkontinuierlich aperiodisch

Fourier- x[n] =∑k=〈N〉 ake

jk 2πN n FR←→ ak = 1

N

∑n=〈N〉 x[n]e

−jk 2πN n

Reihe periodisch diskret(ZD-FR) zeitdiskret periodisch

Fourier- x[n] = 12π


FT←→ X(ejθ) =∑∞−∞ x[n]e−jθn

Transf. aperiodisch kontinuierlich(DTFT) zeitdiskret periodisch

N -Punkt x[n] = 1N

∑N−1k=0 X[k]ejk

2πN n N←→ X[k] =

∑N−1n=0 x[n]e

−jk 2πN n

DFT zeitdiskret, endlich diskret, endlich



Literatur und Ressourcen

Bucher

I A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S.H. Nawab: Signals andSystems. Prentice-Hall, 1996 (2nd ed.)

I A. Papoulis: Circuits and Systems. Oxford Univ. Press, 1979.

I O. Follinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation.Huethig, 2003 (8th ed.)

Vorlesungsunterlagen: (online)

I dieser Foliensatz

I Tabelle der Transformationseigenschaften

I Unterlagen zu den Zusatzubungen

I Prufungsbeispiele und Losungen

http://www.spsc.tugraz.at/courses/signaltransformationen


signaltransformationen (1 vo + 1 ue) teil 2: fourier-analyse · konvergenz der fourier-reihe (fr)...

Documents