sisällysluettelo - edita publishing · muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä...

Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja

2

Sisällysluettelo

1 Laskutoimituksia 3

Peruslaskutoimitukset luvuilla 3

Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5

Prosentti 7

Prosenteilla vertaaminen 9

Kuvaaminen koordinaatistossa 11

2 Lausekkeesta yhtälöksi 13

Lineaarinen riippuvuus 13

Yhtälö 15

Ongelmasta yhtälöksi 17

Suhde ja verranto 19

Verrannollisuus 21

3 Toisen asteen yhtälö 23

Toisen asteen polynomifunktio 23

Ratkaisukaava 25

Toisen asteen yhtälön sovelluksia 28


3

1 Laskutoimituksia

Peruslaskutoimitukset luvuilla

Luvun tavoitteet

Tavoitteena on kerrata kokonaislukujen ja murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku

sekä laskujärjestys. Lisäksi kerrataan laskutoimitusten yksinkertaistamiseen liittyvät vastaluvun ja

käänteisluvun käsitteet.

Ehdotus ajankäytöksi

• 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min



Tehtäväsarjat

Sarja 1 on jaettu väliotsikoilla kahteen osaan. Otsikon peruslaskutoimitukset ja laskujärjestys alla

olevissa tehtävissä kerrataan kokonaislukujen peruslaskutoimituksia. Näiden yhteydessä

harjoitellaan myös sulkeiden sekä pitkän murtoviivan vaikutusta laskujärjestykseen. Murtoluvut-

otsikon alla olevat tehtävät harjoittavat peruslaskutoimituksia murtoluvuilla, ensin mekaanisilla ja

lopuksi sanallisilla tehtävillä. Viimeinen tehtävä harjoittaa vastaluvun ja käänteisluvun käsitteitä.

Sarjan 2 tehtävissä on sekoitettu kokonaislukuja murtolukulaskuja. Tehtävissä 19, 20 ja 22

esiintyy kokonaislukuja ja tehtävissä 17, 18, 21, 23, 25 ja 26 murtolukuja. Sanallinen tehtävä 24

tavanomaisesti ratkaistuna ei oikeastaan kuulu puhtaasti kumpaankaan luokkaan.

Oheismateriaali

Oheismateriaalissa on esimerkkitehtävä laskujärjestyksen kertaamisesta (vastaa kirjan esimerkkiä

2b), merkkisäännöistä, murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskusta sekä murtolukujen kerto- ja

jakolaskusta.

Laskujärjestyksestä ja merkkisäännöistä on esimerkkien jälkeen vastaavat yhteenvedot kuin

kirjassa.

Murtolukuesimerkit vastaavat sisällöltään kirjan esimerkkejä 4, 5, 6 ja 7. Niitä ei kuitenkaan ole

tehty sanallisiksi erotuksena kirjan vastaaviin esimerkkeihin.


4

Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta

Luvun sisällöt kertaavat laskutoimitusten perusteita, joten niihin kannattaa käyttää aikaa. Erityisesti

murtolukujen laskutoimitukset tulevat seuraavan kerran vastaan vasta kertauskurssin kirjassa.

Tehtäväsarjan 1 väliotsikointi on tehty niin, että yhteisen opetuksen voi luontevasti jakaa kahteen

osaan: kokonaislukujen laskutoimitusten ja laskujärjestyksen kertaamiseen sekä murtolukujen

laskutoimitusten kertaamiseen.

Oheismateriaalissa olevat esimerkit murtolukujen laskutoimituksista eivät ole sanallisia toisin kuin

kirjan vastaavat esimerkit. Kirjan esimerkkien ajatuksena on, että ne toimisivat paitsi murtolukujen

laskutoimitusten kertaamisen myös sanallisten tehtävien ratkaisemisen apuna. Oppitunnilla tällainen

käsittely vaatisi kuitenkin enemmän aikaa kuin lukuun tässä kohdassa on ajateltu käytettävän.

Murtolukujen jakolasku on sekä kirjassa että oheismateriaalin esimerkissä otettu kahdella eri

tavalla: sekä perinteisesti että ensin samannimisiksi laventamalla. Tapa saattaa tuntua oudolta. Sen

ajatus on tulkita lasku sisältöjaoksi, jolloin laskussa voi pitää paremmin ymmärryksen mukana.

Tämä saattaa auttaa heikompia oppilaita, joille erilaiset mekaaniset ulkoa opetellut laskutemput

menevät helposti sekaisin.

Jos ryhmässä on paljon lähtötasoltaan heikkoja opiskelijoita, sanalliset murtolukutehtävät sekä

käänteisluvun ja vastaluvun käsitteen voi hyvin jättää pois yhteisestä opetuksesta.


5

Peruslaskutoimitukset polynomeilla

Luvun tavoitteet

Tavoitteena on kerrata polynomien peruslaskutoimitukset sekä polynomeihin liittyviä nimityksiä.





Tehtäväsarjat

Sarjan 1 tehtävät on jaettu väliotsikoilla kahteen osaan: monomien peruslaskutoimituksiin ja

polynomien peruslaskutoimituksiin. Sarjan alussa on kaksi on kaksi yksireikäisellä napilla

merkittyä helppoa tehtävää, jotka pohjatiedoiltaan paremmat opiskelijat voivat hypätä yli.

Sarjan 2 tehtävissä ainoastaan tehtävässä 43 esiintyy pelkkiä monomeja. Tehtävissä 44, 45, 46, 49,

51, 52 ja 53 esiintyy polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja joko yhdistettynä tai sitten

erillisinä alakohtina. Tehtävä 48 on pelkkää kertolaskua. Jakolaskua tarvitaan ainoastaan tehtävissä

47 ja 50.

Oheismateriaali

Oheismateriaalissa on esimerkkitehtävät, jotka vastaavat kirjan esimerkkejä 3, 2, 5, 6 ja 7b. Lisäksi

siinä on polynomien nimityksiä kertaava dia.


Polynomien laskutoimituksia osataan peruskoulusta tultaessa kovin kirjavasti. Eri oppikirjasarjat

painottavat aihepiiriä eri tavoin. Joissain peruskoulun oppikirjoissa kahden polynomin tulo on

merkitty ylikurssiksi. Siksi on mahdollista, että osalle opiskelijoista asia on ihan uusi. Tästä syystä

oheismateriaalissa on myös kirjan esimerkin 6 tilanne, jossa laskusääntö ”johdetaan” pinta-

alamallin avulla.

Oheismateriaalin ensimmäinen esimerkki sopii hyvin monomien laskutoimitusten kertaamisen

aloittamiseen. Siinä havainnollistetaan pituus- ja pinta-alamallin avulla monomien yhteenlaskua ja

kertolaskua. Koska esimerkit ovat lyhyitä, opetuksessa kannattanee kerrata kaikki tilanteet kerralla.


6

Kirjan kummassakin tehtäväsarjassa esiintyy pituus-, pinta-ala- ja tilavuusmalliin liittyviä tehtäviä.

Tehtävät kiinnittävät kirjainlaskentaa konkretiaan ja pohjustavat lisäksi geometrian sanallisten

tehtävien mallintamiseen tarvittavia taitoja, joita tässä kirjassa tarvitaan luvuissa Ongelmasta

yhtälöksi ja Toisen asteen yhtälön sovelluksia.

Kirjassa on karsittu terminologiaa niin, että nimityksiä binomi ja trinomi ei kerrata. Ne eivät ole

lyhyessä matematiikassa mitenkään keskeisiä. Muistikaavoja ei myöskään käytetä, vaan tyyppiä (4x

– 1)2 olevat laskut puretaan ensin kertolaskuksi. Joku opiskelijoista on saattanut käyttää

muistikaavoja peruskoulussa, mutta lyhyessä matematiikassa ne eivät ole mitenkään tarpeellisia.

Muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä tilanteisiin, joissa jokin polynomi pitää tulkita

binomin neliöksi. Tällaiset tilanteet – lähinnä ympyrän yhtälöt ja funktioiden raja-arvotarkastelut –

eivät kuulu oppimäärään. Itse asiassa opiskelijat tarjoavat huomattavasti harvemmin tyyppiä (a +

b)2 olevan laskuun virheellistä vastausta a

2 + b

2, jos he tottuvat systemaattisesti purkamaan kaikki

binomin neliöt tuloiksi.


7

Prosentti

Luvun tavoitteet

Tavoitteena on kerrata prosenttilaskennan kaksi perustilannetta: kuinka paljon on p prosenttia

luvusta a ja kuinka monta prosenttia a on b:stä. Lisäksi kerrataan lyhyesti muuttuneen arvon

laskemista suoraan prosenttikertoimen avulla ja opetellaan promillen käsite.

Muutos- ja vertailuprosentti sekä prosenttiyksikkö kerrataan seuraavassa luvussa Prosenteilla

vertaaminen. Tuntemattoman perusarvon ratkaiseminen kerrataan yhtälönratkaisun

sovellustilanteena luvussa Ongelmasta yhtälöksi. Prosenttilausekkeita, joissa lähtöarvoja merkitään

kirjaimilla, harjoitellaan enemmän vasta kurssissa 3.





Tehtäväsarjat

Tehtäväsarjan 1 alussa on kolme tukitehtävää, jotka on tarkoitettu aivan heikoimmille opiskelijoille.

Sarjan 1 perustehtävät on jaettu kahden väliotsikon alle: perustapaukset ja promille.

Perustapauksissa on sekoitettu tilanteet p prosenttia luvusta a ja kuinka monta prosenttia a on b:stä

niin, että niitä esiintyy vuorotellen. Seassa on myös muutama tehtävä, joissa harjoitellaan

muuttuneen arvon laskemista suoraan prosenttikertoimen avulla. Promillen käsite on oppilaille

arkikielestä tuttu, mutta matemaattisena käsitteenä se ei kuulu peruskoulun opetussuunnitelman

keskeisiin sisältöihin. Siksi tehtävät alkavat promillejen muuttamisesta desimaaliluvuksi ja toisin

päin. Sovellustilanteissa promillea käytetään paitsi veren alkoholipitoisuuden mittaamiseen myös

korujen arvometallipitoisuuden ilmoittamiseen. Veren alkoholipitoisuutta mittavaa esimerkkiä 5 on

yksinkertaistettu niin, että siinä ei huomioida alkoholin vettä pienempää tiheyttä 0,79 g/cm3.

Vastaavissa tehtävissä 75, 76 ja 84 ongelma on kierretty ilmaisemalla nautitun alkoholin määrä 12

g:n ravintola-annoksina. Alkoholilaskujen on ajateltu toimivan valistustarkoituksessa: kun tietää

veren alkoholipitoisuuden ja alkoholin palamisen takana olevaa matematiikkaa, alkoholin käytön

rajoja on helpompi hahmottaa. Metin ja Marvin sukupuolet tehtävissä 75 ja 76 näkee esimerkistä 5.

Tehtäväsarjassa 2 tilannetta p prosenttia luvusta a harjoittavat tehtävät 78, 79 ja 82. Kuinka monta

prosenttia a on b:stä –tehtäviä ovat 77, 80, 81 ja 85. Tehtävä 84 on ainoa promilletehtävä.

Oheismateriaali


8

Luvun kustakin kolmesta tilanteesta on opettajan materiaalin esimerkkitehtävät, joita voi

halutessaan käyttää yhteisesti käytävinä esimerkkeinä. Ensimmäinen tehtävä vastaa oppikirjan

esimerkkiä 1, toinen tehtävä esimerkkejä 3 ja 4 ja kolmas tehtävä esimerkkiä 5.


Tehtäväsarjan 1 otsikointi mahdollistaa yhteisen opetuksen jakamisen luontevasti kahteen palaan:

prosenttilaskennan perustapauksiin ja promilleen.

Perustapaukset on sekoitettu jo sarjassa 1 siksi, että opiskelijat harjaantuisivat tunnistamaan,

kummasta tilanteesta on kysymys.

Jos ryhmässä on paljon pohjatiedoiltaan heikkoja opiskelijoita, promillen käsitteen ja veren

alkoholipitoisuuden laskemisen voi hyvin jättää pois yhteisestä opetuksesta ja ohjata nopeammat

tutustumaan aiheeseen kirjan tekstin ja esimerkin avulla.


9


10

Sisällysluettelo

1 Laskutoimituksia 3

Peruslaskutoimitukset luvuilla 3

Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7

Prosentti 11

Prosenteilla vertaaminen 17

Kuvaaminen koordinaatistossa 22

Kertaustehtäviä 28

2 Lausekkeesta yhtälöön 31

Lineaarinen riippuvuus 31

Yhtälö 36

Ongelmasta yhtälöksi 49

Suhde ja verranto 55

Verrannollisuus 63

Kertaustehtäviä 69

3 Toisen asteen yhtälö 72

Toisen asteen polynomifunktio 72

Ratkaisukaava 80

Toisen asteen yhtälön sovelluksia 99

Kertaustehtäviä


11

2 Lausekkeesta yhtälöön

Lineaarinen riippuvuus

146. a) 30 km

b) 45 km

c) 10 min

147. a) 2 000 €

b) 2 800 €

c) 7,5 vuoden kuluttua

d) 2 000 €

148. a) 2,40 €

b) 7,20 €

c) 0,96 €

d) 1,20x €

e) y = 1,20x

149. a) 70 € f)

b) 90 €

c) 130 €

d) (0,40x + 50) €

e) y = 0,40x + 50


12

150. a) y = 1,94x + 5,08 b)

c) 34 €/kk

d) 23 m3

e) Suora leikkaa y-akselin perusmaksua

vastaavassa kohdassa

y = 5,08.

151. a) y = 0,70x + 5 000

b)

152. a) T(x) = 110x c)

b) K(x) = 60x + 15 000

d) 110x = 60x + 15 000 | –60x

50x = 15 000 | : 50

x = 300 (kpl)

e) 55 000 – 45 000 = 10 000 (€)

153. a) f(5) = 20 · 5 + 600 = 700

b) f(6) = 20 · 6 + 600 = 720

c) f(7) = 20 · 7 + 600 = 740

d) Funktion arvo kasvaa 20:llä.


13


14

Sisällysluettelo

1 Lähtötasotestit 3

Lähtötasotesti 3

Kysely matematiikan opiskelusta 8

2 Muita testejä ja lisäharjoituksia 9

Testi 1 Prosenttilaskenta 9

Testi 2 Yhtälöt 12

Testi 3 Ratkaisukaava 16

Lisäharjoituksia: Toisen asteen yhtälöitä 19

3 Koetehtäviä 25

Polynomi- ja yhtälötehtäviä 25

Prosenttilaskennan perustapauksia 26

Funktiot ja kuvaajat 27

Sanallisia yhtälötehtäviä 28

4 Koetehtävien ratkaisut 29

Polynomi- ja yhtälötehtäviä 29

Prosenttilaskennan perustapauksia xx

Funktiot ja kuvaajat xx

Sanallisia yhtälötehtäviä xx


15

1 Lähtötasotestit

Lähtötasotesti Nimi:_______________________________

1. Laske.

a) =−−− )5(:)50(100

b) =−−

23

115

2. Laske.

a) =−+

5

2

10

11

b) =⋅

3

2

4

7

c) =4:5

1

3. Sievennä.

a) =++ 742 aa

b) =+ )74(2 a

c) =⋅ aa 42

4. a) Laske, kuinka paljon on 15 % luvusta 2000.

b) Laske, kuinka monta prosenttia luku 50 on luvusta 2000.

c) Laske, kuinka monta prosenttia 2500 € on suurempi kuin 2000 €.

Summa 1 • Opettajan materiaali • Arviointi

16

5. Piirrä koordinaatisto ja merkitse sinne pisteet A = (–1, 2) ja B = (2, –1). Yhdistä pisteet janalla.

Onko origo (0, 0) janalla AB?

6. Piirrä suora y = –2x + 1.

7. a) Ratkaise yhtälö.

17395 +=+ xx

b) Ratkaise x verrannosta.

8

15

320=

x


17

Lähtötasotestin ratkaisut

1.

a) =−−− )5(:)50(100

90

10100 =−

b) =−−

23

115

4

22

23

6

−

=−−

=−−

2.

a) =−+

5

2

10

11

)2

10

7

10

4110

10

4

10

1

10

10

=−+

=−+

b) =⋅

3

2

4

7

6

7

32

7

34

27 2(

=

⋅

=

⋅

⋅

c) =4:5

1

20

1

4

1

5

1=⋅

3. a) 76742 +=++ aaa

b) 148)74(2 +=+ aa

c) 2842 aaa =⋅

4. a) Lasketaan, kuinka paljon 15 % on luvusta 2000.

1 % luvusta 2000 on .20100

2000=

15 % luvusta 2000 on 15 · 20 = 300.

b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia luku 50 on luvusta 2000.

025,02000

50=

0,025 = 2,5 %


18

c) Lasketaan, kuinka monta prosenttia 2500 € on suurempi kuin 2000 €.

2500 – 2000 = 500

25,02000

500=

0,25 = 25 %

5. Piirretään koordinaatisto ja merkitään sinne pisteet A = (–1, 2) ja B = (2, –1). Kun pisteet

yhdistetään janalla, huomataan, että origo ei ole janalla AB.

6. Piirretään suora y = –2x + 1.


19

7. a)

17395 +=+ xx | –3x – 9

91735 −=− xx

82 =x | : 2

4=x

b)

8

15

320=

x

Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin.

153208 ⋅=x | : 8

600

1540

8

15320

=

⋅=

⋅=

x

x

x

3 Koetehtäviä

Polynomi- ja yhtälötehtäviä

1. Laske. a) )54(3 +−− aa , b) )7)(2( +− xx , c) 35

3 xx−

2. a) Kumpi luvuista on suurempi 7

2 vai

10

3?

b) Laske funktion arvo f(5), kun f(x) = –x2 + 3x + 4.

c) Ratkaise yhtälö 4x – 2 = 1 – 5x

3. a) Laske (3x – 5)2.

b) Laske lausekkeen x2 – 4x arvo, kun x = –5.

c) Ratkaise yhtälö 2x + 15 = 5x – 8.

4. Muodosta ja sievennä suorakulmion a) piirin, b) pinta-alan lauseke.

5. Ratkaise yhtälöt.

a) 5x – (x + 4) = 3 + x

b) 232

=−−xx

x


a) 4(2x – 1) = 8x + 4

b) 12

5

3

2=

−x


a) 068302 2=−− xx

b) 0144 2=+ xx


a) 025010 2=−x

b) xx 49920 2=+

9. Ratkaise yhtälöt

x – 1

2x + 2

Summa 1 • Opettajan materiaali • Tuntisuunnitelmat 21

a) x2 – x – 6 = 0

b) 3x2 + 1 = 2x


a) (4x + 2)(x – 11) = 0

b) 532=+ xx

11. Laske lukujen 5

3 ja

3

4 a) osamäärä, b) vastalukujen erotus, c) käänteislukujen summa.

12. a) Ratkaise yhtälö 2x(x + 3) – 3(2x – 1) = 9 – 4x.

b) Laske lausekkeen 422 2)32)(( aaaaa −+− arvo, kun 3

1=a .

13. a) Millä k:n arvolla yhtälön 3(x + k) = 5 + k ratkaisu on x = –3?

b) Sievennä lauseke x

x

x

x

2

2:

36 ++.

Prosenttilaskennan perustapauksia

14. a) Vapaa-ajan kengistä saa 20 %:n alennuksen. Laske 87,50 € maksavien kenkien

alennettu hinta.

b) Suomessa syntyy 106 poikaa kohti 100 tyttöä. Kuinka monta prosenttia syntyvistä lapsista

on tyttöjä?

15. Vuoden 2006 Euroviisuissa Suomi voitti ja sai 292 pistettä, toisena oli Venäjä 248

pisteellä ja kolmantena Bosnia-Hertsegovina 229 pisteellä.

a) Kuinka monta prosenttia enemmän pisteitä Suomi sai kuin Venäjä?

b) Kuinka monta prosenttia vähemmän pisteitä Bosnia-Hertsegovina sai kuin Suomi?

16. a) Junalipun hintaa 6,30 € nostettiin 4,8 %. Mikä oli lipun uusi hinta?

b) Pelikonsolin hinta oli 15 prosentin alennuksen jälkeen 237,15 €. Mikä oli konsolin

alkuperäinen hinta?

17. a) Sisu Pastilli maksoi 6,95 €:n hampurilaisateriasta 5,45 €. Kuinka monta prosenttia

alennus oli?

b) Opettaja valmisti liuoksen, johon tuli 11,0 g suolaa ja 78,0 g vettä. Mikä oli liuoksen

suolapitoisuus?

sisällysluettelo - edita publishing · muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä...

Documents