sistema de ecuaciones con dos...
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
LECCIÓN Nº SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Observa las dos ecuaciones siguientes: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 1) Método gráfico de resolución de sistemas.
Los sistemas de ecuaciones, por el número de sus soluciones, pueden ser compatibles o incompatibles.
Ejemplo 1 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones:
13242
yxyx
Solución: TABULANDO x – 2y = 4 2x + 3y = 1
Este sistema tiene una única solución que es: x = 2; y = 1 Porque se determinan dos rectas y que se cortan en el punto de coordenadas (2; 1)
3=yx37=y+x2
Este sistema formado por las ecuaciones I y II se llama sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. En este caso las variables son x e y. Un par ordenado de números reales es solución de un sistema de ecuaciones, si al sustituir las variables por dichos números, los dos miembros de cada ecuación tienen el mismo valor.
x - 1 0 1 2 y
x - 1 0 1 2 y
321 xy
2
4x=y
13
)2(21
...333,03
)1(21
...333,03
)0(21
132(-1)-1
y
y
y
y
1=2
42=y
5,1=2
41=y
2=2
40=y
5,2=2
41=y
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
Entonces: Cuando tiene una única solución el sistema es compatible determinado.
Ejemplo 2 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones:
4222yx
yx
Solución: TABULANDO x – y = 2 2x 2y = 4
Entonces: Cuando tiene infinitas soluciones el sistema es Compatible indeterminado
Ejemplo 3 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones: Solución: TABULANDO x +y = 4 – 2x – 2y = 0
El sistema que no tiene ninguna solución se le llama sistema incompatible
X .... 0 1 2 y
X .... 0 1 2 y
2x=y2
4x2=y
0=4)2(2
=y
1=2
4)1(2=y
2=2
=y
2
4-2(0)
0=22=y1=21=y2=20=y
{ 0224
yx
yx
x .... 0 1 2 y
x .... 0 1 2 y
x4=y x=y
2=24=y3=14=y4=04=y
2=y1=y
0=y
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
2) Métodos analíticos de resolución de sistemas. A) Método de reducción: En este método se hacen iguales los coeficientes y con signos distintos
de una de las incógnitas del sistema. ( I )
( II ) Vamos a igualar los coeficientes de una de las variables en ambas ecuaciones. Escogemos y por tener signos diferentes. Multiplicamos por 2 la ecuación ( II ). Obtenemos: Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:
13x = – 26 2=1326
=x
Reemplazamos x = – 2 en la ecuación ( I ) o en ( II ), para hallar el valor de y, por ejemplo en ( I ), se tiene: 5(– 2 ) + 6y = 20 –10 + 6y = 20
6y = 30 5=6
30=y y = 5
Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(– 2; 5)}
B) Método de sustitución: Consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra con la finalidad de encontrar la nueva ecuación con una sola variable.
( I ) ( II ) Despejamos x en la primera ecuación y obtenemos.
3x + 2y = 8 3
y28=x
Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación
4x – 3y = 5 5=y3)3
y28(4
Multiplicamos por tres la ecuación para eliminar el denominador. 4(8 – 2y) – (3).3y = 3.5 32 – 8y – 9y = 15
23=y3x420=y6+x5{
{ 46=y6x820=y6+x5
46=y6x820=y6+x5
“Sigue practicando, tu esfuerzo será compensado con el éxito,” ja, ja, ja, ...
{ 5=y3x48=y2+x3
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
Transponemos términos y reducimos los semejantes: – 8y – 9y = 15 – 32 – 17y = – 17 y = 1 Reemplazamos y en ( I ) por el valor obtenido para hallar el valor de x:
3x + 2y = 8 3x + 2(1) = 8 3x = 8 – 2 3x = 6 x = 2
Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(2; 1)}
C) Método de igualación: Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones e igualar las expresiones que resultan, logrando una ecuación de una sola variable. Analiza cómo resolvemos el sistema por este método: ( I )
( II )
Despejamos x en ambas ecuaciones: 3
y28=x ( I )
4y3+5
=x ( II )
Igualamos ambas expresiones correspondientes a x:
4
y3+5=
3y28
Multiplicamos por el m.c.m. de (3 y 4) =12 y hallamos los productos: 4(8 – 2y) = 3(5 + 3y) 32 – 8y = 15 + 9y
Transponemos términos y reducimos los semejantes: – 8y – 9y = 15 – 32 – 17y = – 17 y = 1
Reemplazamos y = 1 en cualquiera de las ecuaciones, para hallar el valor de x. 3x + 2y = 8 3x + 2(1) = 8 3x + 2 = 8 3x = 8 – 2 3x = 6 x = 2
Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(2; 1)} SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER
Ejemplo 1 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones por el método de determinantes
13242
yxyx
1º Se halla el determinante del sistema d(s):
534823
yxyx
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743)2)(2()3).(1(3221
)(
sd
2º Se halla el determinante que corresponde a la variable x:
14212)1).(2()3).(4(3124
)(
xd
3º Se halla el determinante que corresponde a la variable y :
781)2)(4()1).(1(12
41)(
yd
4º El valor de la variable “x” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “x” entre el determinante del sistema:
X = )()(sdxd X=
714 X = 2
5º El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “y” entre el determinante del sistema.
Y = )()(sdyd y =
77 X = – 1
RESPUESTA: El conjunto solución del sistema es: C.S. = {- 1; 2} RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
1)
937276
yxyx
18614276
yxyx
15x = 45
31545
x
Reemplazando x = 3 en ( I ):
4624
32762763
y
yy
Respuesta:
4
3
y
x
2)
6085223
yxyx
3)
42753
yxyx
4)
1389547
yxyx
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
5)
0437169
yxyx
6)
27512871115
yxyx
7)
30138291114
yxyx
8)
410124297
yxyx
9)
7104554
yxyx
10)
2443175
yxyx
11)
11516132532
yxyx
12)
1334
956yxyx
13)
861157
yxyx
14)
345614119
yxyx
15)
45236310
yxyx
16)
476114143
yxyx
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17)
215132911
yxyx
18)
9478
1631311yxyx
19)
481311479
yxyx
20)
31111211518
yxyx
21)
191214201412
yxyx
22)
43022
yxyx
23)
84319
yxyx
24)
2368194015
yxyx
25)
43532
yxyx
26)
42753
yxyx
27)
643452
yxyx
28)
101724
141136yxyx
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29)
1684258
yxyx
30)
162
232yxyx
31)
729218
yxyx
32)
393
935yx
yx
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
33)
937276
yxyx
SOLUCIÓN: Despejando x ( I ):
yx 627
Sustituir en (II): 936277 y)y(
445
180189945
9342189
y
yyy
Reemplazando y = 4 en ( I ):
32427
2746
xx
)(x
Respuesta:
4
3
y
x
34)
6085223
yxyx
35)
42753
yxyx
36)
1389547
yxyx
37)
0437169
yxyx
38)
27512871115
yxyx
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39)
30138291114
yxyx
40)
410124297
yxyx
41)
7104554
yxyx
42)
2443175
yxyx
43)
11516132532
yxyx
44)
1334
956yxyx
45)
861157
yxyx
46)
345614119
yxyx
47)
45236310
yxyx
48)
476114143
yxyx
49)
215132911
yxyx
50)
9478
1631311yxyx
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
51)
481311479
yxyx
52)
31111211518
yxyx
53)
191214201412
yxyx
54)
43022
yxyx
55)
84319
yxyx
56)
2368194015
yxyx
57)
43532
yxyx
58)
42753
yxyx
59)
643452
yxyx
60)
101724
141136yxyx
61)
1684258
yxyx
62)
162
232yxyx
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63)
729218
yxyx
64)
393
935yx
yx
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
65)
937276
yxyx
SOLUCIÓN: Despejando x ( I ):
yx 627
Despejando x en (II):
739 yx
Igualando(I) y (II):
739627 yy
445
1801899342
3942189
y
yyyy
Reemplazando: 34627 )(x
Respuesta:
4
3
y
x
66)
6085223
yxyx
67)
42753
yxyx
68)
1389547
yxyx
69)
0437169
yxyx
70)
27512871115
yxyx
71)
30138291114
yxyx
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
72)
410124297
yxyx
73)
7104554
yxyx
74)
2443175
yxyx
75)
11516132532
yxyx
76)
1334
956yxyx
77)
861157
yxyx
78)
345614119
yxyx
79)
45236310
yxyx
80)
476114143
yxyx
81)
215132911
yxyx
82)
9478
1631311yxyx
83)
481311479
yxyx
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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
84)
31111211518
yxyx
85)
191214201412
yxyx
86)
43022
yxyx
87)
84319
yxyx
88)
2368194015
yxyx
89)
43532
yxyx
90)
42753
yxyx
91)
643452
yxyx
92)
101724
141136yxyx
93)
1684258
yxyx
94)
162
232yxyx
95)
729218
yxyx
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96)
393
935yx
yx
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER
Ejemplo 1 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones por el método de determinantes
13242
yxyx
1º Se halla el determinante del sistema d(s):
743)2)(2()3).(1(3221
)(
sd
2º Se halla el determinante que corresponde a la variable x:
14212)1).(2()3).(4(3124
)(
xd
3º Se halla el determinante que corresponde a la variable y :
781)2)(4()1).(1(12
41)(
yd
4º El valor de la variable “x” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “x” entre el determinante del sistema:
X = )()(sdxd X=
714 X = 2
5º El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “y” entre el determinante del sistema.
Y = )()(sdyd y =
77 X = – 1
RESPUESTA: El conjunto solución del sistema es: C.S. = {- 1; 2}
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JUGANDO CON LOS SISTEMAS RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMA POR EL MÉTODO DE CRAMER 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
30138291114
yxyx
410124297
yxyx
7798843
yxyx
7104554yx
yx
2443175
yxyx
11516132532
yxyx
1334
956yxyx
861157
yxyx
345614119
yxyx
45236310
yxyx
476114143
yxyx
215132911
yxyx
9478
1631311yxyx
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rkzhygxqfzeydxpczbyax
14) 15)
Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas forman un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones de primer grado con tres variables (incógnitas) puede ser resuelto por los siguientes métodos:
a) Por Reducción b) Por sustitución c) Por igualación d) Por determinantes o por el método de Cramer
Observa cómo resolvemos el sistema:
266142
42
zyxzyxzyx
SOLUCIÓN: 1) Determinante del sistema
141428)4624()12124(642
621
166142121
)(
sd
481311479
yxyx
31111211518
yxyx
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2) Determinante de la variable x
281414)2248()6416(642
214
162141124
)(
xd
3) Determinante de la variable y
21021)826()4241(214
621
126112141
)(
yd
4) Determinante de la variable z
148268)8696()48128(642
621
266142421
)(
zd
5) El valor de x: 21428
)()(
sdxdx
6) El valor de y: 23
1421
)()(
sdydy
7) El valor de z: 11414
)()(
sdzdz
Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es:
1;
23;2S
JUGANDO CON LOS SISTEMA DE TRES VARIABLES Resolver los siguientes sistemas por el método de Cramer:
1)
026
zyxzyxzyx
2)
11317362925
zyxzyxzyx
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3)
64
623
zyxzxyx
4)
185251332322
zyxzyxzyx