SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR

GERARDO ALLENDE CRUZ

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE HUAUCHINANGO

sonido_proyecto_6@hotmail.com

LETICIA HERNANDEZ ESLAVA

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE HUAUCHINANGO

lety_hdez_ea@hotmail.com

I. INTRODUCCION

Considere el sistema que se ilustra en la figura, el cual está constituido por una masa m que está unida a un resort e y a un amortiguador , los cuales tienen como coeficiente es a k y b, respectivamente. La ent rada es aplicada directamente a la masa en la dirección derecha y está denotada por u(t ). La salida de interes es el desplazamiento o que tiene la masa a partir del reposo y se denota por x(t ). Tenemos que la ecuación diferencial que describe al sistema es

m x' ' (t ) + b x' (t ) + k x(t ) = u(t )

donde x' ' (t ) es la aceleración de la masa y x' (t ) es su velocidad. Dado que es un sistema de segundo orden, tendremos dos condiciones iniciales, la primerareferent e a la posición de la masa y la segunda a su velocidad; La notación empleada es x (0) y x’ (0).Observe que la ecuación diferencial que describe al sistema masa-resorte-amortiguador puede ser comparada con la vista en la sección sistemas de segundo orden. Es fácil identificar que solamente han cambiado los nombres de las constantes, por lo que las respuestas serán las mismas que se han analizado anteriormente ante sus respectivas entradas (impulso: polos reales distintos, polos reales iguales, polos complejos conjugados; Escalón: polos reales distintos, polos reales iguales, polos complejos conjugados; Escalón desfasado, nula: polos reales iguales; Pulso, senoidal, tren de pulsos, rampa, escalonada, et c.), pero con las nuevas constantes. También se acostubra hablar del caso subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado.

MOVIMIENTOOSCILATORIO Sin duda alguna, uno de los fenómenos de la cinemática más frecuentes en la naturaleza consiste en el movimiento oscilatorio o de vibración. Ejemplos de ello son la esfera de un péndulo soltada desde un ángulo inicial, o la vibración de un resorte al ser liberado después de una acción de compresión o de estiramiento. Al observar estos fenómenos, pareciera que los cuerpos anteriormente descritos siguieran un desplazamiento repetitivo, bastante predecible, el cual

recibe el nombre de oscilación. Realizando un diagrama de cuerpo libre de este tipo de sistemas se obtiene la representación de la figura 1, en la cual se han etiquetado 3 posiciones básicas. La posición a) corresponde a la sujeción del resorte de una base, teniendo en cuenta que la masa de estos materiales es despreciable, por lo cual no se observa desplazamiento del resorte debido a su propio peso. La situación b) ilustra las fuerzas que aparecen al colocar la masa m. Se observa una fuerza Woriginada por el peso de la masa, la cual genera un desplazamiento del resorte, creando una fuerza reconstructiva FRS. Como el sistema queda en equilibrio, es obvio que el peso y la fuerza reconstructiva se contrarrestan. En c), el sistema es analizado una vez cierta fuerza externa no especificada ha llevado la masa m a una posición y. Allí, el sistema pierde el equilibrio y aparecen el peso W, una fuerza reconstructiva FRK, y la fuerza del movimiento dada por la expresión f=m.a Realizando una descripción matemática, para el caso b), se tendrá:

Frs-W=0 Ks-mg=0

Fig_1_Analisis del sistema masa-resorte

Frk-W=-ma Ks+ky-mg=-ma (ks-mg)+ky=-ma

Ky=-ma ma+ky=0

SISTEMAS AMORTIGUADOS Considérese el sistema mostrado en la figura 2, el cual es el mismo de la figura 1, solo que ahora se agrega un

amortiguador de constante b. Realizando un análisis matemático similar al del numeral anterior:

Fr+Fb=ma (8)

Fig_2_Sistema masa-resote-amortiguador

II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

PROBLEMA

Fig_3_Sistema masa-resote-amortiguador.Problema.

Fig_4_Sistema masa-resote-amortiguador.Problema.

Deacuerdo con la imegne tenemos que encontrar las siguientes actividades.-

a) Valores de k y b.

b) Ecuación de movimiento.

c) Que tipo de sistema es.

d) Resolver analiticamente.

e) Graficar la solucion.

f) Graficar en simulink.

III. METODOLOGIA

Para resolver los inciso como primer punto es encontrar k que es la constante del resorte que se calculara con la ley de hook y b es el amortiguamiento.

Datos:

Masa=m=775g

Longitud=l=41.5cm

Longitud con la masa ya puesta en el resorte=44.4cm

Una vez teniendo los datos nos encargamos de convertir la masa en kilogramos, y la longitud en metros quedándonos

de la siguiente manera:

m=

l=

Gravedad=g=9.81

F=w=mg=0.775kg (9.81

K=

9.81

Usando la formula general

Δ=-17 subamortiguado

IV. ANALISIS DE RESULTADOS

A) Valores de k y b.

K=

B) Ecuación de movimiento.

C) Que tipo de sistema es.

Δ=-17 subamortiguado

Fig_5_Problema representado en simulink..

Fig_6_Grafica del problema..

V. CONCLUSION Se obtuvo los datos deseados. Coincidió en el software como en físico.

REFERENCES

[1] J A. P. Maiztegui - J. A. Sabato "Introducción a la física"Editorial Kapelus Microsoft Corporation ® "Encarta 2000"