sistema resorte masa
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MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial
5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado
5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre
5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado
5.1.4 Sistemas
5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera
5.3 Ecuaciones no lineales
Ejercicios de repaso
Hemos visto que una sola ecuacin diferencial puede servir como modelo matemtico
de distintos fenmenos. Por este motivo, en la seccin 5.1 examinaremos con mayor de-
talle una aplicacin, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la
terminologa y las interpretaciones fsicas de los cuatro trminos de la ecuacin lineal
+ + = g(t), veremos que los procedimientos matemticos para manejar, por
ejemplo, un circuito elctrico en serie son idnticos a los que se emplean en un sistema
vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuacin diferencial de segundo orden
surgen en el anlisis de problemas en muchas y diversas reas de la ciencia y la
ingeniera. En la seccin 5.1 slo estudiaremos problemas inicial. En la seccin
5.2 examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera,
adems de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores
propios y funciones propias. La seccin 5.3 se inicia con una descripcin de las
diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra cmo el pndulo
simple y un alambre suspendido nos llevan a modelos no lineales.
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196 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
n Sistema lineal dinmico Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento Sistema de resorte y masa Movimiento libre no amortiguado Movimiento armnico simplen Ecuacin del movimiento Amplitud n ngulo de n Resorte desgastable
Movimiento libre amortiguado Movimiento forzado Trminos transitorios y de estado estable Resonancia pura Circuitos en serie
En esta seccin revisaremos varios sistemas lineales (pg. 127) en donde cada
modelo matemtico es una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes
+ + = g(t).
No olvidemos que la funcin g es la entrada (funcin de entrada o funcin forzada) del
sistema. La salida o respuesta del sistema es una solucin de la ecuacin diferencial en
un intervalo que contiene a que satisface las condiciones iniciales prescritas
Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado
Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura una masa est unida a unresorte flexible colgado de un soporte rgido. Cuando se reemplaza con una masa distinta
el estiramiento, elongacin o alargamiento del resorte cambiar.
soporte
resortesin estirar
en reposo
F IGURA 5.1
Segn la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin, F, opuesta a ladireccin del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento En concreto, F =
donde es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las
masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, est caracterizado
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Seccin 5.1 Ecuaciones l ineoles: problemas de valor inicial 197
esencialmente por su numero por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira pie un
resorte, entonces 10 = implica que = 20 Entonces, necesariamente, una masa cuyo
peso sea de 8 libras estirar el resorte de pie.
Segunda ley de Newton Despus de unir una masa a un resorte, sta lo estira unalongitud y llega a una posicin de equilibrio, en la que su peso, est equilibrado por la
fuerza de restauracin Recurdese que el peso se define por = mg, donde la masa se
expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 9.8 o 980 respectivamente.
Como se aprecia en la figura la condicin de equilibrio es mg = o mg = 0. Si la
masa se desplaza una distancia x respecto de su posicin de equilibrio, la fuerza de restitucin
del resorte es + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que acten sobre el sistema
y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos
igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitucin y
el peso:
mg= -kx.
c e r o
El signo negativo de la ecuacin (1) indica que la fuerza de restitucin del resorte acta en la
direccin opuesta del movimiento. Adems, podemos adoptar la convencin que los desplaza-
mientos medidos abajo de la posicin de equilibrio son positivos (Fig. 5.3).
sin estirar
m
posicinde equilibrio
movimiento
- - - -
FIGURA 5.2 FIGURA 5.3
Ecuacin diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos laecuacin (1) por la masa m, obtendremos la ecuacin diferencial de segundo orden +
0, 0 sea
+ = 0
donde = Se dice que la ecuacin (2) describe el movimiento armnico simple o
movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son
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198 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
x(O) = la cantidad de desplazamiento inicial, y x(O) la velocidad inicial de la masa. Por
ejemplo, si 0, 0, la masa parte de un punto de la posicin de equilibrio con una
velocidad hacia arriba. Si 0, = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto
ubicado unidades arriba de la posicin de equilibrio, etctera.
Solucin y ecuacin del movimiento Para resolver la ecuacin (2) observemos quelas soluciones de la ecuacin auxiliar = 0 son los nmeros complejos = wi,
As, segn (8) de la seccin 4.3, la solucin general de (2) es
x(t) + sen
El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = y la frecuencia es f = =
Por ejemplo, para = 2 3t 4 sen el periodo es y la frecuencia es
El nmero anterior indica que la grfica de x(t) se repite cada unidades y el ultimo numero
indica que hay tres ciclos de la grfica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa
pasa por vibraciones completas por unidad de tiempo. Adems, se puede demostrar que
el periodo es el intervalo entre dos mximos sucesivos de x(t). Tngase en mente que un
mximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia abajo
de la posicin de equilibrio, mientras que un mnimo de x(t) es el desplazamiento negativo
cuando la masa llega a la altura mxima arriba de esa posicin. Ambos casos se denominan
desplazamiento extremo de la masa. Por ltimo, cuando se emplean las condiciones iniciales
para determinar las constantes y en la ecuacin se dice que la solucin particular que
resulta es la ecuacin del movimiento.
Interpretacin de un problema de valor inicial
Resuelva e interprete el problema de valor inicial
+ = 0, = 10, x(O) = 0.
SOLUCIN El problema equivale a tirar hacia masa unida a un resorte 10unidades de longitud respecto de la posicin de equilibrio, sujetarla hasta que = 0 y soltarla
desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la solucin
x(t) = 4t + sen 4t
se obtiene x(O) = 10 = + . 0, y entonces 10; por consiguiente
x(t) = 10 4t + sen
Como x(t) -40 sen + entonces x (0) 0 . 1, as que = 0; por
consiguiente, la ecuacin del movimiento es = 10 4t.
Est claro que la solucin indica que el sistema permanece en movimiento una vez
puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posicin de
equilibrio = 0. Como se advierte en la figura el periodo de oscilacin es =
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Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 199
X masa abajo de la posicin de equilibrio
masa de la de equilibrio
FIGURA 5.4
Movimiento libre no amortiguado
Una masa que pesa 2 hace que un resorte se estire 6 Cuando = 0, la masa se suelta
desde un punto a 8 abajo de la posicin de equilibrio con una velocidad inicial, hacia
arriba, de Deduzca la ecuacin del movimiento libre.
SOLUCIN Como empleamos el sistema tcnico de unidades inglesas, las medidasexpresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 6 n = ft; 8 = ft. Adems, debemos
convertir las unidades de peso, que estn en libras, en unidades de masa. Partimos de m
y, en este caso, m = = slug. Tambin, segn la ley de Hooke, 2 = implican que
la constante del resorte es 4 por lo tanto, la ecuacin (1) se transforma en
0 + = 0.
El desplazamiento y la velocidad iniciales son x(O) x(O) donde el signo negativo
en la ltima condicin es consecuencia de que la masa recibe una velocidad inicial en
direccin negativa o hacia arriba.
Entonces, 64, o sea, = 8, de modo que la solucin general de la ecuacin
diferencial es
x(t) sen
Al condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtienen y As, la ecuacin
del movimiento es
x(t) = sen n
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5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cuando 0 y 0, la amplitud de las vibraciones
libres no se puede conocer de inmediato examinando la ecuacin (3). Esto es, aunque la masa
tiene un desplazamiento inicial de de pie respecto a la posicin de equilibrio en el ejemplo 2,
la amplitud de las vibraciones es mayor de por lo anterior, a menudo conviene pasar una
solucin de la forma (3) a la forma ms simple
x(t) = A
donde y es un ngulo de fase definido por
(7)
Para comprobarlo, desarrollamos la ecuacin (6) aplicando la frmula del seno de la suma:
A + A sen = (A sen + (A sen
En la figura 5.5 tenemos que si definimos mediante
la ecuacin (8) se transforma en
F IGURA 5.5
Forma alternativa de solucin de (5)
En vista de lo que acabamos de explicar, podemos escribir la solucin (5) del ejemplo 2
como sigue:
sen 0, lo que es lo mismo, x(t) +
La amplitud est definida por
-
Seccin 5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial 2 0 1
El lector debe tener cuidado al calcular el ngulo de fase definido por (7). Cuando =
y = resulta que tan -4 y con una calculadora obtenemos tan-(-4) = -1.326 rad.*
Pero este ngulo est en el cuarto cuadrante y, por consiguiente, contraviene el hecho que
sen 0 y 0 (recordemos que 0 y 0). Entonces, debemos suponer que es
un ngulo que est en el segundo cuadrante, = + (-1.326) = 1.8 16 rad. As llegamos a
+ 1.816). .
La forma (6) es til porque con ella es fcil determinar valores del tiempo para los cuales
la grfica de x(t) cruza el eje positivo de las (la lnea x = 0). Observamos que + = 0
cuando wt + donde n es un entero no negativo.
Sistemas con constantes de resorte variables
un mundo ideal, en que las caractersticas fsicas del resorte no cambian con el tiempo. Sin
embargo, en el mundo real es lgico esperar que cuando un sistema resorte y masa ha estado
en movimiento durante largo tiempo, el resorte se debilite (o pierda bro); en otras palabras,
la constante de resorte va a variar o, ms concretamente, decaer a travs del tiempo. En el
modelo del resorte desgastable, la funcin decreciente K(t) = k 0, 0 sustituye a la
constante de resorte k en (1). La ecuacin diferencial mx + = 0 no se puede resolver con
los mtodos que vimos en el captulo 4; sin embargo, podemos obtener dos soluciones
linealmente independientes con los mtodos del captulo 6. Vanse los problemas 15, ejercicios
5.1; el ejemplo 3, seccin 6.4, y los problemas 39 y 40, ejercicios 6.4.
Cuando un sistema de masa y resorte se somete a un ambiente en que la temperatura es
rpidamente decreciente, la constante k se podr cambiar con K(t) k 0, funcin que crece
con el tiempo. El modelo resultante, + = 0 es una forma de la ecuacin diferencial de
Airy. Al igual que la ecuacin de un resorte envejecido, la de Airy se puede resolver con los
mtodos del captulo 6. Vanse el problema 16, en los ejercicios 5.1; el ejemplo 4, en la seccin
6.2, y los problemas 41 a 43, en los ejercicios 6.4.
51.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre
El concepto del movimiento armnico libre no es realista porque el movimiento que describe
la ecuacin (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actan sobre la masa en movimiento.
A menos que la masa est colgada en un vaco perfecto, cuando menos habr una fuerza de
resistencia debida al medio que rodea al objeto. Segn se advierte en la figura 5.6, la masa
podra estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.
Ecuacin diferencial del movimiento amortiguado libre
sidera que las fuerzas de amortiguamiento que actan sobre un cuerpo son proporcionales a
alguna potencia de la velocidad instantnea. En particular, supondremos en el resto de la
descripcin que esta fuerza est expresada por un mltiplo constante de Cuando no hay
otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:
*La imagen de la tangente inversa es
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MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
FIGURA 5.6
donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del
hecho de que la fuerza amortiguadora acta en direccin opuesta a la del movimiento.
Al dividir la ecuacin (10) por la masa m, la diferencial del movimiento
amortiguado libre es d + 0, o sea
+ + = 0,
m
El smbolo slo se usa por comodidad algebraica, porque as la ecuacin auxiliar queda
+ + 0 y las races correspondientes son
Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de
Puesto que cada solucin contiene al factor de amortiguamiento 0, los
desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.
CASO 0. Aqu, se dice que el sistema est sobreamortiguado porque elcoeficiente de amortiguamiento, es grande comparado con la constante de resorte, k. La
solucin correspondiente de (11) es x(t) = + o bien
-
xt
FIGURA 5.7 FIGURA 5.8
Seccin 5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial 203
Esta ecuacin representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos
grficas posibles de x(t).
CASO II: 0. que el sistema est crticamente amortiguado puesto quecualquier pequea de la fuerza de amortiguamiento originara un movimiento
oscilatorio. La solucin general de la ecuacin (ll) es x(t) = + es decir,
x(t) +
En la figura 5.8 vemos dos tpicos grficos de este movimiento. Obsrvese que se parecen
mucho a los de sistema sobreamortiguado. Tambin se aprecia, segn la ecuacin que
la masa puede pasar por la posicin de equilibrio, a lo ms una vez.
CASO 0. Se dice que el sistema est subamortiguado porque el coeficientede amortiguamiento es pequeo en comparacin con la constante del resorte. Ahora las races
y son complejas:
Entonces, la solucin general de la ecuacin (ll) es
+ sen
Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe (15) es oscilatorio pero, a causa
del coeficiente las amplitudes de vibracin tienden a cero cuando
FIGURA 5.9
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204 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Movimiento sobreamortiguado
Se comprueba fcilmente que la solucin del problema de valor inicial
es
= 1, x(O) = 1
El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de
una masa unida a un resorte. La masa comienza desde una posicin 1 unidad de la
posicin de equilibrio con una velocidad hacia de 1
Para x(t), se calcula el valor de donde la funcin tiene un extremo; esto es, el
valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuacin
(16) se llega a x(t) = + as que x(t) 0 implica que = o sea = = 0.157.
De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuicin fsica, ~(0.157) 1.069 ft
es, en realidad, un mximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo
de 1.069 abajo de la posicin de equilibrio.
Tambin debemos comprobar si la grfica cruza al eje esto es, si la masa pasa por la
posicin de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuacin x(t) 0, o
= tiene la solucin = -0.305 que es fsicamente irrelevante.
En la figura 5.10 mostramos la grfica de x(t) y algunos de sus valores. n
1 0.6011.5 0.3702 0.225
2 . 5 0.137
3 0.083
FIGURA 5.10
Movimiento crticamente amortiguado
Una masa de 8 de peso estira 2 un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numri-
camente igual a 2 veces la velocidad instantnea acta sobre el contrapeso, deduzca la
ecuacin del movimiento si la masa se suelta de la posicin de equilibrio con una velocidad
hacia arriba de 3
-
Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial
SOLUCIN De acuerdo con la ley de 8 = da 4 Entonces mg dam slug. Entonces la ecuacin diferencial del movimiento es
1
4 d t
La ecuacin auxiliar de (17) es + 8m + 16 = (m + = 0, de forma que = = -4.
Luego el sistema es crticamente amortiguado y
x(t) = +
Al aplicar las condiciones iniciales x(O) 0 y x(O) = -3 vemos, a su vez, que = 0 y = -3.
As, la ecuacin del movimiento es
x(t) =
Para procedemos igual que en el ejemplo 4. De x(t) 1 4t) tenemos
que = 0 cuando = El desplazamierito extremo correspondiente es = =
-0.276 En la figura 5. ll vemos que interpretar este valor como el punto en que
el contrapeso alcanza una altura mxima de 0.276 ft sobre su posicin de equilibrio.
mxima sobrela posicin de equilibrio
FIGURA 5.11
Movimiento subamortiguado
Un objeto que pesa 16 se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posicin de equilibrio,
el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 arriba de
la posicin de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que
rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numricamente igual a la velocidad
instantnea.
SOLUCIN El alargamiento del resorte, despus de unir el peso, es 8.2 5 = 3.2 ft, demodo que, segn la ley de Hooke, 16 = o sea = 5 Adems, m = slug y
la ecuacin diferencial es
1
2- -
d t
Las races de + 2m + 10 = 0 son = -1 + 3i y = lo cual implica que el sistema
es subamortiguado y que
x(t) 3t + 3t).
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206 5 CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por ltimo, las condiciones iniciales -2 y x(O) 0 determinan las constantes -2
y = as que la ecuacin de movimiento es
.
Forma alternativa de De manera idntica al procedimiento que empleamos en lapgina 200, podemos escribir cualquier solucin
+ sen
en la forma alternativa
x(t) = sen + (23)
en donde el ngulo de fase queda determinado por las ecuaciones
En ocasiones, el coeficiente se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones.
Dado que la ecuacin 23) no es una funcin peridica, el se llama
cuasiperiodo y es la cuasifrecuencia. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo
entre dos mximos sucesivos de x(t). El lector debe comprobar que en la ecuacin de movi-
miento del ejemplo 6, A = 2 y 4.391. En consecuencia, una forma equivalente de
(22) es
x(t) = 4.391).
Sistemas de resorte y masa: movimiento forrado
Ecuacin diferencial del movimiento forzado con amortiguamientotomaremos en cuenta una fuerza externa, que acta sobre una masa oscilatoria en un
resorte; por podra representar una fuerza de impulsin que causara un movimien-
to oscilatorio vertical del soporte del resorte 5.12). La inclusin en la formulacin
de la segunda ley de Newton da la ecuacin diferencial del movimiento forzado:
+
Al dividir esta ecuacin por m se obtiene
+ = (25)
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5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial
FIGURA 5.12
donde F(t) y, al igual que en la seccin anterior, = = Para resolver esta
ecuacin no homognea tenemos el mtodo de los coeficientes indeterminados o el de la
variacin de parmetros.
Interpretacin de un problema de valor inicial
Interprete y resuelva el problema de valor inicial
= x(O) = 0.
S O L U C I N Podemos ver el problema como la representacin de un sistema vibratorio
formado por una masa (m = slug o kg) unida aun resorte = 2 o La masa parte
del reposo a unidad (ft o m) abajo de su posicin de equilibrio. El movimiento es
amortiguado = 1.2) y est impulsado por una fuerza externa peridica (T s) que se
inicia cuando = 0. Cabra esperar, intuitivamente, que aun con amortiguamiento el sistema
permanecer en movimiento hasta el momento en que la funcin forzada se desconectara
y en adelante las amplitudes disminuyeran; sin embargo, tal como est enunciado el
5 4t permanecer conectada por siempre.
Primero multiplicamos por 5 la ecuacin diferencial (26)
y la resolvemos con los mtodos acostumbrados. Dado que = -3 + i, -3 i, entonces
x,(t) = t + sen
Aplicamos el de los coeficientes indeterminados, suponiendo que una solucin
particular tiene la forma = 4t + B sen 4t. Entonces
= -4A + 4B = -16A
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5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
de modo que
El sistema resultante de ecuaciones
-6A 24B = 25. -24A 6B = 0
tiene las soluciones = y B = En consecuencia
x(t) = + 4t51
Cuando hacemos 0 en la de arriba obtenemos Si diferenciamos
la expresin y hacemos = 0, obtenemos = por consiguiente, la ecuacin de
movimiento es
x(t) = 38 86t -sen t5 1 5 1
n
Trminos transitorio de estado establetaria
=
en la ecuacin (28) tiene la propiedad de que 0. Como se vuelve insignifi-
cante (es decir, 0) cuando se dice que es un trmino transitorio o solucin
transitoria. As, cuando el tiempo es grande, los desplazamientos de la masa del problema
anterior son muy bien aproximados por la solucin particular Esta ltima funcin se
llama tambin solucin de estado estable, de estado estacionario o de estado permanente.
Cuando F es una funcin peridica, como F(t) = sen o F(t) = la solucin general
de la ecuacin (25) esta formada por
x(t) parte transitoria parte estable.
Soluciones transitorias y de estado estable
Se demuestra con facilidad que la solucin del problema de valor inicial
= 0, x(O) = 3
e s = + = t + 2 sen t.
transitorio estado estable
Al examinar la figura 5.13 vemos que el efecto del trmino transitorio en la solucin es
insignificante en este caso, cuando t n
-
Seccin 5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial 209
(b)
FIGURA 5.13
Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamientoCuando se ejerce una fuerza peridica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte
transitoria en la solucin de un problema. Veremos tambin que si se ejerce una fuerza peridica
cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede
originar un grave problema en un sistema mecnico oscilatorio.
Movimiento forzado no amortiguado
Resuelva el problema de valor inicial
+ = sen = 0, x(O) = 0,
en donde es constante y w.
S O L U C I N La funcin complementaria es = wt + sen wt. Para obtener unasolucin particular supondremos que = + sen de modo que
+ = + sen =
Al igualar los coeficientes obtenemos de = 0 y B = por consiguiente
= - s e n
Aplicamos las condiciones iniciales del problema a la solucin general
sen
-
5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y obtenemos = 0 y = por lo tanto, la solucin es
x(t) = (-ysenot + osenyt), n
Resonancia pura Aunque la ecuacin (30) no est definida cuando w, es interesante
observar que su valor lmite, cuando w, se puede obtener aplicando la regla de
Este proceso al lmite equivale a una sintonizacin de la frecuencia de la fuerza impulso-
ra con la de las vibraciones libres Esperamos intuitivamente que al paso del
tiempo podamos aumentar sustancialmente las ampitudes de vibracin. Para w, la solucin
se define como
sen + sen
x ( t ) = + osenyt F
0
=-sen +
=-sen +
Como lo esperbamos, cuando los desplazamientos crecen; de hecho, cuando
. . El fenmeno que acabamos de describir se llama resonancia pura. La
grfica de la figura 5.14 muestra un movimiento caracterstico de este caso.
En conclusin, se debe notar que no hay una necesidad real de emplear un proceso al lmite
en (30) para llegar a la solucin para w. Tambin, la ecuacin (31) es consecuencia de
resolver el problema de valor inicial
+ = sen = 0, x(O) = 0
directamente por los mtodos convencionales.
Si una fuerza como la (31) representa en realidad los desplazamientos de un sistema de
resorte y masa, este sistema se destruira. En ltimo trmino, las oscilaciones grandes de la
masa forzaran al resorte a rebasar su lmite elstico. Tambin se podra decir que el modelo
FIGURA 5.14