sistemas automรกticos anรกlisis de sistemas...sistemas de segundo orden โข dada una fdt...
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Sistemas Automรกticos
D. Tardioli, E. MontijanoCentro Universitario de la DefensaAcademia General MilitarA. A. 2015/2016
Anรกlisis de sistemas de primer y segundo orden
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Proceso de control de un sistemaโข Modelado
โข Anรกlisis๐๐ ๐ก๐ก = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ(๐ก๐ก) + ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)
โข Control
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
2
๐ต๐ต
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก)๐๐
๐พ๐พ
๐๐ ๐ก๐ก = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ(๐ก๐ก) + ๐ต๐ต๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ(๐ก๐ก) + ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)
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รndiceโข Elementos de interรฉs en el anรกlisis de sistemas
โข Entrada y funciรณn de transferenciaโข Rรฉgimen transitorio y permanente
โข Anรกlisis de sistemas de primer y segundo ordenโข Influencia de polos y ceros adicionalesโข Obtenciรณn empรญrica de la FdTโข Estabilidadโข Criterio de Routh-Hurwitz
3
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Auto
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Objetivos del temaโข Partiendo de un modelado correctoโข ยฟCuรกl es la salida de un sistema ante una
entrada dada?
Ejemplo: entrada constanteฮฉ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐
=๐พ๐พ๐๐
๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ ๐ 2 + ๐ ๐ ๐ฟ๐ฟ + ๐ฟ๐ฟ๐ต๐ต ๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ต๐ต + ๐พ๐พ๐๐๐พ๐พ๐๐
4
? Sist
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ยฟDe quรฉ depende la salida?โข La salida depende de
โข La entrada al sistemaโข La funciรณn de transferencia
๐๐ ๐ ๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ ๐บ๐บ(๐ ๐ )
Sist
emas
Aut
omรกt
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5
๐บ๐บ(๐ ๐ )๐ ๐ (๐ ๐ ) ๐๐(๐ ๐ )
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Entrada al sistemaโข Entrada general a un sistema
โข Modelo matemรกtico complejo o desconocidoโข El anรกlisis se lleva a cabo usando entradas
normalizadas โข Aperiรณdicas para el anรกlisis temporal
โข Impulso, escalรณn, rampa, parรกbolaโข Periรณdicas para el anรกlisis frecuencial
โข Sinusoidesโข Modelan comportamientos generales
6
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Entradas estรกndarโข Impulso / Delta de Dirac
โข ๐๐ ๐ก๐ก = ๐ฟ๐ฟ ๐ก๐ก = โ | 0โ < ๐ก๐ก < 0+
โข Duraciรณn instantรกneaโข Valor infinito
โข Escalรณnโข Entrada constanteโข ๐๐ ๐ก๐ก = ๐ข๐ข ๐ก๐ก = 1 โ ๐ก๐ก > 0+
7
๐๐(๐ก๐ก)
๐๐(๐ก๐ก)
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Entradas estรกndarโข Rampa
โข Velocidad constanteโข ๐๐ ๐ก๐ก = ๐ก๐ก โ ๐ก๐ก > 0
โข Parรกbolaโข Aceleraciรณn constante
โข ๐๐(๐ก๐ก) = 12๐ก๐ก2 โ ๐ก๐ก > 0
โข Sinusoideโข Variaciรณn de amplitud y faseโข ๐๐ ๐ก๐ก = ๐ด๐ด sin(๐๐๐ก๐ก + ๐๐0)
8
๐๐(๐ก๐ก)
๐๐(๐ก๐ก)
๐๐(๐ก๐ก)
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Entrada al sistemaโข ยฟQuรฉ representa un escalรณn?
โข Orientaciรณn deseada de la torreta del LEGOpardoโข Voltaje aplicado al circuito โข Aplicaciรณn de una fuerza constanteโข Temperatura deseada en el aulaโข Cualquier constante
๐๐๐๐
0ยฐ 9
G = tf([3],[1 4]);step(G)step(G,0:0.1:1);
ยฟY una rampa?
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Caracterรญsticas de la respuesta
โข Depende de
โข Nรบmero de polos y ceros
โข Posiciรณn de los polos y de los ceros en el plano complejo
๐บ๐บ ๐ ๐ =๐๐ ๐ ๐ ๐ท๐ท ๐ ๐
=๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ + โฏ+ ๐๐0๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ + โฏ๐๐0
= ๐๐โ ๐ ๐ + ๐ง๐ง๐๐โ ๐ ๐ + ๐๐๐๐
10
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Respuesta temporal
โข Ejemplo
๐บ๐บ ๐ ๐ = 10.04๐ ๐ 2+0.2๐ ๐ +1
๐ ๐ ๐ ๐ = 1๐ ๐
11
๐ต๐ต
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก)๐๐
๐พ๐พ
Quรฉ pasa siโฆยฟ๐๐ = 0?ยฟ๐ต๐ต = 0?ยฟ๐ต๐ต = 2?ยฟ๐พ๐พ = 0?
๐๐ = 0.04,๐ต๐ต = 0.2,๐พ๐พ = 1
G(s) := 1/(0.04*s^2 + 0.2*s + 1);allroots(0.04*s^2+0.2*s+1=0);R(s) := 1/s;Y(s) := G(s)*R(s);ilt(Y(s), s, t);plot2d(%,[t, 0, 5]);
s = tf(โsโ)G = tf(1/(0.04*s^2 + 0.2*s + 1));step(G);
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Respuesta temporal al escalรณnโข Dada ๐ ๐ ๐ ๐ = 1/๐ ๐
โข Respuesta: ๐๐ ๐ ๐ = ๐บ๐บ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐๐
โ ๐ ๐ + ๐ง๐ง๐๐โ ๐ ๐ + ๐๐๐๐
โ 1๐ ๐
โข Descomposiciรณn en fracciones simples:
๐๐ ๐ ๐ =๐๐๐ ๐
+ ๏ฟฝ๐๐=1
๐๐๐๐๐๐
๐ ๐ + ๐๐๐๐+ ๏ฟฝ
๐๐=1
๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐๐
(๐ ๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐)(๐ ๐ + ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐)
โข Transformada inversa:
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = ๐๐ + ๏ฟฝ๐๐=1
๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก + ๏ฟฝ๐๐=1
๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก cos๐๐๐๐๐ก๐ก + ๏ฟฝ๐๐=1
๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก sin๐๐๐๐๐ก๐ก 12
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Clasificaciรณn de las respuestas al escalรณnโข Las respuestas se clasifican segรบn
1. Orden del sistema2. Tipo de la respuesta
โข Ejemplo:1. Orden: segundo2. Tipo: subamortiguada
13
๐ต๐ต
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก)๐๐
๐พ๐พ
๐๐ = 0.04,๐ต๐ต = 0.2,๐พ๐พ = 1
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Comportamiento del sistema
โข Respuesta en funciรณn del orden de la FdT
โข Primer orden (un polo)
โข Segundo orden (dos polos)
โข Orden superior (tres o mรกs polos)
โข Presencia de ceros en la FdT
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Sistemas de primer ordenโข Formas estรกndar
๐บ๐บ ๐ ๐ = ๐๐1
๐๐๐ ๐ + 1= ๐๐
๐๐๐ ๐ + ๐๐
โข ๐๐ (mu) se llama ganancia estรกticaโข ๐๐ (tau) se llama constante de tiempoโข Respuesta ๐๐ ๐ ๐
๐๐ ๐ ๐ = ๐บ๐บ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐บ๐บ ๐ ๐ ยท1๐ ๐
โข Respuesta ๐ฆ๐ฆ(๐ก๐ก) ante entrada escalรณn unitario
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = ๐๐(1 โ ๐๐โ๐ก๐ก๐๐) = ๐๐(1 โ ๐๐โ๐๐๐ก๐ก)
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Caracterรญsticas de la respuestaโข Ganancia estรกtica ๐๐ (Gain)
โข Valor final ante entrada escalรณn unitario
๐๐ = lim๐ก๐กโโ
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = lim๐ ๐ โ0
๐ ๐ ๐๐(๐ ๐ )
โข Error en el permanente ๐๐ (Steady-state error)
โข Diferencia entre el valor de la entrada y el valor final de la salida
๐๐ โ = 1 โ ๐๐
โข Si ๐๐ = 1 entonces el error es nulo
ยกPrimer orden!16
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Sistemas de primer ordenโข Respuesta al escalรณn unitario
โข Caracterรญsticas del permanente
17s = tf(โsโ)G = tf(5/6 * 1/(s + 1));step(G);
Error enpermanente
0
๐ข๐ข(๐ก๐ก)๐๐
Valor enpermanente
Referencia
0 Sist
emas
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Caracterรญsticas de la respuesta de 1er ordenโข Rรฉgimen transitorio (Transient response)
โข Respuesta inmediata del sistemaโข Tiempo de respuesta (Settling time)โข Tiempo de subida (Rise time)
โข Rรฉgimen permanente (Steady-state response)โข Respuesta en ๐๐ = โ del sistemaโข Ganancia (Gain)โข Error en el permanente (Steady-state error) 18
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Sistemas de primer ordenโข Respuesta al escalรณn unitario
โข Ganancia estรกtica / constante de tiempo
19s = tf(โsโ)G = tf(5/6 * 1/(s + 1));step(G);
0 ๐๐
0,63๐๐
0
๐๐
Rรฉgimenpermanente
Rรฉgimentransitorio
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Caracterรญsticas de la respuestaโข Tiempo de respuesta ๐ป๐ป๐๐ (Settling time)
โข Tiempo que tarda la salida en encontrarse dentrode un porcentaje del valor final (ej. 98%)
โข Marca el final del transitorio
๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ 4๐๐, ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ 3๐๐
โข Tiempo de subida ๐ป๐ป๐๐ (Rise time)
โข Tiempo que transcurre entre el paso por el ๐๐๐๐๐ y el ๐๐๐๐๐ del valor final de la salida
๐๐๐๐ โ 2,2๐๐20
Sist
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Sistemas de primer ordenโข Respuesta al escalรณn unitario
โข Tiempos
21s = tf(โsโ)G = tf(5/6 * 1/(s + 1));step(G);
0 3๐๐ 4๐๐
0,1๐๐0
๐๐0,98๐๐0,95๐๐
0,9๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐ ๐
Sist
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Sistemas de primer ordenโข Respuesta al escalรณn unitario
22s = tf(โsโ)G = tf(5/6 * 1/(s + 1));step(G);
Error enpermanente
0 ๐๐ 3๐๐ 4๐๐
๐๐0,98๐๐0,95๐๐
0,9๐๐Valor en
permanente
๐๐๐๐
๐๐๐ ๐
Referencia๐ข๐ข(๐ก๐ก)
Sist
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Sistemas de segundo ordenโข Dada una FdT
๐บ๐บ(๐ ๐ ) =๐๐
(๐ ๐ + ๐๐1)(๐ ๐ + ๐๐2)
โข Su forma estรกndar se define como
๐บ๐บ(๐ ๐ ) = ๐๐๐๐๐๐2
๐ ๐ 2 + 2๐๐๐๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐2
โข Ganancia estรกtica, ๐๐โข Coeficiente de amortiguamiento, ๐๐ (zeta)โข Frecuencia natural, ๐๐๐๐ (omega ene)โข Reescribir siempre el sistema en forma estรกndar 23
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Ejemplo de sistema de 2ยบ orden bรกsico
24
๐น๐น ๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ 2๐๐ ๐ ๐ + ๐ต๐ต๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ + ๐พ๐พ๐๐ ๐ ๐
๐บ๐บ ๐ ๐ =1
๐๐๐ ๐ 2 + ๐ต๐ต๐ ๐ + ๐พ๐พ= ๐๐
๐๐๐๐2
๐ ๐ 2 + 2๐๐๐๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐2
๐๐๐๐ = ๐พ๐พ/๐๐, ๐๐ =๐ต๐ต
2 ๐พ๐พ๐๐, ๐๐ =
1๐พ๐พ
๐ต๐ต
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก)๐๐
๐พ๐พ
Sist
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mรกt
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Parรกmetros de la forma estรกndarโข Estos parรกmetros determinan
โข La forma de la respuestaโข Los tiempos del transitorioโข El valor final de la salida
โข Tienen significado fรญsico โข ๐๐ determina el tipo de respuestaโข ๐๐๐๐ es la frecuencia de oscilaciรณn sin rozamientoโข ๐๐ es el valor final de la salida ante entrada
escalรณn unitario (como en primer orden)
25
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Configuraciรณn de los polos del sistemaโข La respuesta depende de los polosโข En la forma estรกndar de segundo orden รฉstos son
๐๐1,2 en ๐ ๐ = โ๐๐๐๐๐๐ ยฑ ๐๐๐๐ ๐๐2 โ 1
โข En funciรณn de ๐๐โข ๐๐ > 1 : polos reales y distintosโข ๐๐ = 1 : polos reales y coincidentesโข 0 < ๐๐ < 1 : polos complejos y conjugados
โข Se puede escribir ๐ ๐ = โ๐๐๐๐๐๐ ยฑ ๐๐๐๐๐๐
โข ๐๐ = 0 : polos imaginarios purosโข Se puede escribir ๐ ๐ = ยฑ๐๐๐๐๐๐
26
Sist
emas
Auto
mรกt
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Interpretaciรณn grรกfica de parรกmetros
27
๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐
cos ๐๐ = ๐๐
๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐
๐บ๐บ ๐ ๐ = ๐๐๐๐๐๐2
(๐ ๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐)(๐ ๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐)
ยกSolo para polos complejos y conjugados!
โ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuestas temporales al escalรณnโข Reales y distintos ๐๐ > 1
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก =๐๐
๐๐1๐๐2+
๐๐๐๐2 โ ๐๐1
๐๐โ๐๐2๐ก๐ก
๐๐2โ๐๐โ๐๐1๐ก๐ก
๐๐1
โข Reales y coincidentes (๐๐ = 1)๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = 1 โ ๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก(1 + ๐๐๐๐๐ก๐ก)
โข Subamortiguado (0 < ๐๐ < 1; ๐๐๐๐ < ๐๐๐๐)
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = 1 โ๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
1 โ ๐๐2cos ๐๐๐๐๐ก๐ก โ ๐๐
โข No amortiguado (๐๐ = 0; ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐)๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = 1 โ cos(๐๐๐๐๐ก๐ก)
28
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Ejemplo de sistema de 2ยบ orden bรกsico
29
๐น๐น ๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ 2๐๐ ๐ ๐ + ๐ต๐ต๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ + ๐พ๐พ๐๐ ๐ ๐
๐บ๐บ ๐ ๐ =1
๐๐๐ ๐ 2 + ๐ต๐ต๐ ๐ + ๐พ๐พ= ๐๐
๐๐๐๐2
๐ ๐ 2 + 2๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ + ๐๐๐๐2
๐๐๐๐ = ๐พ๐พ/๐๐, ๐๐ =๐ต๐ต
2 ๐พ๐พ๐๐, ๐๐ =
1๐พ๐พ
๐ต๐ต
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก
๐๐(๐ก๐ก)๐๐
๐พ๐พ
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuesta sobreamortiguadaโข Polos reales y distintos ๐๐ > 1โข No oscila ni sobrepasa el valor en permanente
โข Ejemplo Masa-muelle-amortiguador
โข ๐๐ = 1,๐ต๐ต = 2.1,๐พ๐พ = 1 โ ๐๐ = ๐ต๐ต2 ๐พ๐พ๐พ๐พ
= 1.05 30
Forma de S
G = tf([1],[1 2.1 1]);step(G,0:0.1:10);
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuesta crรญticamente amortiguadaโข Polos reales y coincidentes (๐๐ = 1)โข No oscila ni sobrepasa el valor en permanente
โข Ejemplo Masa-muelle-amortiguador
โข ๐๐ = 1,๐ต๐ต = 2,๐พ๐พ = 1 โ ๐๐ = ๐ต๐ต2 ๐พ๐พ๐พ๐พ
= 1 31
G = tf([1],[1 2 1]);step(G,0:0.1:10);
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
Forma de S
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuesta subamortiguadaโข Polos complejos y conjugados (๐๐ < 1)โข Hay sobreoscilaciรณn
โข Ejemplo Masa-muelle-amortiguador
โข ๐๐ = 1,๐ต๐ต = 1,๐พ๐พ = 1 โ ๐๐ = ๐ต๐ต2 ๐พ๐พ๐พ๐พ
= 0.5 32
G = tf([1],[1 1 1]);step(G,0:0.1:10);
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
Forma de ๐๐
Sobreoscilaciรณn
Periodo
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuesta no amortiguadaโข Polos imaginarios puros (๐๐ = 0)โข Oscila permanentemente, marginalmente estable
โข Ejemplo Masa-muelle-amortiguador
โข ๐๐ = 1,๐ต๐ต = 0,๐พ๐พ = 1 โ ๐๐ = ๐ต๐ต2 ๐พ๐พ๐พ๐พ
= 0 33
G = tf([1],[1 0 1]);step(G,0:0.1:10);
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
Periodo
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuestas al escalรณn de 2ยบ ordenโข Sobreamortiguado
โข Similar a 1er orden
โข Crรญticamente amortiguadoโข El mรกs rรกpido sin
sobreoscilaciรณnโข Subamortiguado
โข Se excede el valor final
โข No amortiguadoโข Oscilaciรณn perpetua
Sist
emas
Aut
omรกt
icos
34
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
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Caracterรญsticas de la respuestaโข Sobreoscilaciรณn ๐บ๐บ (Overshoot)
โข Frecuencia de oscilaciรณn constanteโข Porcentaje de superaciรณn sobre el valor final
๐๐% = 100 โ max ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก โ lim
๐ก๐กโโ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก
lim๐ก๐กโโ
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก
โข Tiempo de pico ๐ป๐ป๐๐ (Peak time)โข Tiempo que tarda la salida en alcanzar el valor
mรกximo cuando hay sobreoscilaciรณn
๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐๐
35
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Caracterรญsticas de la respuesta
36
Referencia
Tiempo de pico ๐๐๐๐
Sobreoscilaciรณn ๐๐
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Componentes de la respuesta
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = 1 โ๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
1 โ ๐๐2๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก โ ๐๐
37
Decaimiento exponencial causado por la parte real de los polos conjugados
Sinusoide causada por la parte imaginaria de los polos conjugados
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Resumen respuestas FdT de 2ยบ ordenโข LEGOpardo 2E
Sist
emas
Aut
omรกt
icos
38
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Ecuaciones segundo ordenโข Porcentaje de sobreoscilaciรณn
๐๐% = 100 โ ๐๐โ ๐๐๐๐
1โ๐๐2 , ๐๐ =โ ln ๐๐%
100
๐๐2 + ln2 ๐๐%100
โข Tiempo de pico
๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐๐
โข Tiempo de respuesta (caso subamortiguado)
๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ4๐๐๐๐๐๐
, ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ3๐๐๐๐๐๐
โข Frecuencia amortiguada
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ 1 โ ๐๐239
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Respuesta subamortiguada: resumen
40
๐๐% = 100๐๐โ๐๐๐๐/ 1โ๐๐2
1๐๐๐๐๐๐
2๐๐๐๐๐๐
3๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐ ๐
1,02๐๐
0,98๐๐
๐๐
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Observaciones finalesโข Cambios en la respuesta subamortiguada
โข Con ๐๐ constanteโข Con ๐๐๐๐๐๐ constanteโข Con ๐๐๐๐ constante
41
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Caracterรญsticas comunes
โข Pendiente inicial๐ฆ๐ฆ๐ฆ 0+ = lim
๐ ๐ โโ๐ ๐ 2๐บ๐บ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐ ๐ )
โข Valor inicial๐ฆ๐ฆ 0+ = lim
๐ ๐ โโ๐ ๐ ๐บ๐บ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐ ๐ )
โข Valor final de un sistema estable๐ฆ๐ฆ โ = lim
๐ก๐กโโ๐ฆ๐ฆ(๐ก๐ก) = lim
๐ ๐ โ0๐ ๐ ๐บ๐บ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐ ๐ )
42
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Sistemas de orden superiorโข Aquรฉllos que tienen mรกs de dos polosโข Su respuesta al escalรณn es una combinaciรณn de
respuestas de primer y segundo orden
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = ๐๐ + ๏ฟฝ๐๐=1
๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก + ๏ฟฝ
๐๐=1
๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก cos๐๐๐๐๐ก๐ก + ๏ฟฝ
๐๐=1
๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก sin๐๐๐๐๐ก๐ก
43
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Sistemas de orden superior
44
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
โ๐ผ๐ผ
โ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐
โ๐ฝ๐ฝ
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Aproximaciรณn a sistemas de 2ยบ ordenโข Polo adicional mรกs cercano en ๐ ๐ = โ๐ผ๐ผโข Si la relaciรณn entre las parte reales
๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐
โฅ 5
โข Se puede hablar de (pareja de) polos dominantes y despreciar la aportaciรณn de los otros polos โข Comportamiento similar a segundo ordenโข Cambio en la ganancia no despreciable
โข Antes de aproximar, comprobar siempre la dominancia de los polos mรกs prรณximos al origen
45
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Aproximaciรณn a sistemas de 2ยบ orden
๐บ๐บ ๐ ๐ =10
(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)(๐ ๐ + 10)โ
1(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)
Tenemos:โข Polos complejos
con parte real โ๐๐๐๐๐๐ = โ0.5โข Polo real con parte real โ๐ผ๐ผ = โ10
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
46
G = tf([1],[1 1 1]);[y,time] = step(G,0:0.01:10);G2 = tf([10],[1 11 11 10]);[y2,time] = step(G2,0:0.01:10);figure(1)axes('FontSize',24)plot(time,y,'LineWidth',3)hold onplot(time,y2,'r','LineWidth',3)title('Posiciรณn de la masa')xlabel('Tiempo (s)')ylabel('Posiciรณn (m)')
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
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Aproximaciรณn a sistemas de 2ยบ orden
๐บ๐บ ๐ ๐ =1
(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)(๐ ๐ + 1)โ
1(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)
Tenemos:โข Polos complejos
con parte real โ๐๐๐๐๐๐ = โ0.5โข Polo real con parte real โ๐ผ๐ผ = โ1
Sist
emas
Aut
omรกt
icos
47
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
G = tf([1],[1 1 1]);[y,time] = step(G,0:0.01:10);G2 = tf([1],[1 2 2 1]);[y2,time] = step(G2,0:0.01:10);figure(1)axes('FontSize',24)plot(time,y,'LineWidth',3)hold onplot(time,y2,โg','LineWidth',3)title('Posiciรณn de la masa')xlabel('Tiempo (s)')ylabel('Posiciรณn (m)')
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Cambio en la gananciaโข La aproximaciรณn a segundo orden puede
conllevar cambios drรกsticos de gananciaโข Ejemplo:
๐บ๐บ ๐ ๐ =1
(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)(๐ ๐ + 10)โ
1(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)
48
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Influencia de los ceros
49
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐
โ๐ผ๐ผ
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Influencia de ceros en la FdT
โข Si aรฑadimos un cero a una ๐บ๐บ ๐ ๐ se puede escribir:
๐บ๐บ๐ง๐ง ๐ ๐ = ๐ ๐ + ๐ผ๐ผ โ ๐บ๐บ ๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐บ๐บ ๐ ๐ + ๐ผ๐ผ โ ๐บ๐บ ๐ ๐
๐๐๐ง๐ง ๐ ๐ = ๐บ๐บ๐ง๐ง ๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐บ๐บ ๐ ๐ + ๐ผ๐ผ โ ๐บ๐บ ๐ ๐ โ ๐ ๐ (๐ ๐ )
Efecto derivativo
โข Afecta el transitorioโข Puede aparecer sobrepasamiento
โข Efecto amplificativoโข Afecta al permanenteโข Cambia la ganancia del sistema 50
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Influencia de los ceros en la FdT
๐บ๐บ ๐ ๐ =1
(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)โ
๐ ๐ + 1.1(๐ ๐ 2+๐ ๐ + 1)
Tenemos:โข Polos complejos
con parte real โ๐๐๐๐๐๐ = โ0.5โข Cero real con parte real โ๐ผ๐ผ = โ1.1
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
51
G = tf([1],[1 1 1]);[y,time] = step(G,0:0.01:10);G2 = tf([1 1.1],[1 1 1]);[y2,time] = step(G2,0:0.01:10);figure(1)axes('FontSize',24)plot(time,y,'LineWidth',3)hold onplot(time,y2,'r','LineWidth',3)title('Posiciรณn de la masa')xlabel('Tiempo (s)')ylabel('Posiciรณn (m)')
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐
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Influencia de los ceros en la FdT
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
52
โข ยฟCuรกnto influye un cero?โข Dada la FdT
๐บ๐บ ๐ ๐ =๐ ๐ + ๐ง๐ง
(๐ ๐ + ๐๐1)(๐ ๐ + ๐๐2)โข Su respuesta ante escalรณn en el dominio del
tiempo es:
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก = ๐๐โ๐๐2๐ก๐ก ๐ง๐งโ๐๐2๐๐22โ๐๐1๐๐2
โ ๐๐โ๐๐1๐ก๐ก ๐ง๐งโ๐๐1๐๐1๐๐2โ๐๐12
+ ๐ง๐ง๐๐1๐๐2
โข Si el cero esta cerca de uno de los polos, el influjode รฉste รบltimo en la salida se verรก reducido
โข La posiciรณn del cero con respecto al origentambiรฉn condiciona la respuesta
G(s):=(s+z)/s/(s+p1)/(s+p2);partfrac(G(s),s);ilt(G(s),s,t);
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Posiciรณn de los ceros con respecto al origen
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
53
โข Dado que๐๐2 ๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ + ๐ง๐ง ๐๐1 ๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ ๐๐1 ๐ ๐ + ๐ง๐ง๐๐1(๐ ๐ )
โข Si ๐๐ โ 0 โ Efecto derivativo despreciableโข Si ๐ง๐ง โ 1 โ Efecto amplificativo despreciable
e.g.: 1๐ ๐ 2+0.๐ ๐ ๐ +1
, ๐ ๐ +1๐ ๐ 2+0.๐ ๐ ๐ +1
, 110
ยท ๐ ๐ +10๐ ๐ 2+0.๐ ๐ ๐ +1
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Obtenciรณn empรญrica de la FdTโข Dada una grรกfica de salida
โข Identificar el tipo de respuestaโข Identificar los parรกmetros
โข Aproximaciรณn FdT de segundo orden
54
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Sist
emas
Aut
omรกt
icos
55
Estabilidadโข La estabilidad es la especificaciรณn mรกs importante
de cualquier sistemaโข Si un sistema es inestable, el transitorio y el valor
final del permanente no se pueden definirโข Hasta ahora sรณlo hemos visto propiedades de
sistemas estables
7๐ ๐ ๐ ๐ +1 ๐ ๐ +2
๐ ๐ (๐ ๐ ) ๐๐(๐ ๐ )
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Definiciones de estabilidadโข Estabilidad BIBO (bounded-input bounded-output)
โข Sistema cuya salida es acotada paracualquier entrada acotada
โข Estabilidad asintรณticaโข Sistema cuya salida tiende a un valor finito
cuando la entrada es constanteโข Estabilidad marginal
โข Sistema cuya salida oscila de forma acotada sin converger
โข Inestabilidadโข Un sistema no estable BIBO
Sist
emas
Aut
omรกt
icos
56
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Estabilidad
57
Estabilidad BIBO
InestabilidadEstabilidad asintรณtica
Estabilidadmarginal
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Estabilidad y polos del sistemaโข La estabilidad la determinan los polos de la FdT
โข Todos en el semiplano izquierdo โข Parte real negativa
58
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ
Sistema estableSistema marginalmente estableSistema inestable
๐ ๐ ๐๐
๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก =๐๐
๐๐1๐๐2+
๐๐๐๐2 โ ๐๐1
๐๐โ๐๐2๐ก๐ก
๐๐2โ๐๐โ๐๐1๐ก๐ก
๐๐1
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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ยฟCรณmo determinar si un sistema es estable?
โข Partiendo de ๐บ๐บ ๐ ๐ = ๐๐(๐ ๐ )/๐ท๐ท ๐ ๐ โข ๐ท๐ท ๐ ๐ = ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐โ1 ๐ ๐ ๐๐โ1 + โฏ+ ๐๐1 ๐ ๐ + ๐๐0โข Condiciรณn necesaria (no suficiente)
โข ๐๐๐๐ > 0, para todo ๐๐ = 1, . . ,๐๐โข Aplicar el criterio de Routh-Hurwitz
โข Permite saber โข El nรบmero de polos en cada semiplanoโข El nรบmero de polos en el eje imaginario
โข Permite verificar la estabilidad al variar un parรกmetro
โข No proporciona la ubicaciรณn exacta 59
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Generaciรณn de la tabla de Routh
60
๐๐(๐ ๐ )๐๐4๐ ๐ 4+๐๐3๐ ๐ 3+๐๐2๐ ๐ 2+๐๐1๐ ๐ +๐๐0
๐ ๐ (๐ ๐ ) ๐๐(๐ ๐ )
๐ ๐ 4 ๐๐4 ๐๐2 ๐๐0๐ ๐ 3 ๐๐3 ๐๐1 0
๐ ๐ 2 โ
๐๐4 ๐๐2๐๐3 ๐๐1๐๐3
= ๐๐1 โ
๐๐4 ๐๐0๐๐3 0๐๐3
= ๐๐2 โ
๐๐4 0๐๐3 0๐๐3
= 0
๐ ๐ 1 โ
๐๐3 ๐๐1๐๐1 ๐๐2๐๐1
= ๐๐1 โ
๐๐3 0๐๐1 0๐๐1
= 0 โ
๐๐3 0๐๐1 0๐๐1
= 0
๐ ๐ 0 โ
๐๐1 ๐๐2๐๐1 0๐๐1
= ๐๐1 โ
๐๐1 0๐๐1 0๐๐1
= 0 โ
๐๐1 0๐๐1 0๐๐1
= 0
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Interpretaciรณn de la tabla de Routhโข El nรบmero de polos de la FdT en el semiplano
derecho es igual al nรบmero de cambios de signo que se producen en la primera columna de la tabla
โข Estabilidad de un sistemaโข La primera columna de la tabla de Routh no
tiene cambios de signo
61
Sist
emas
Auto
mรกt
icos
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Generaciรณn de la tabla de Routh
62
1000๐ ๐ 3+10๐ ๐ 2+31๐ ๐ +1030
๐ ๐ (๐ ๐ ) ๐๐(๐ ๐ )
Sist
emas
Auto
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Diseรฑo de estabilidad usando Routhโข Calcular la tabla de Routh del siguiente sistema
realimentadoโข Analizar los valores de ๐พ๐พ para los que es estable
63
๐พ๐พ๐ ๐ ๐ ๐ +7 ๐ ๐ +11
๐ ๐ (๐ ๐ ) ๐๐(๐ ๐ )
Sist
emas
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Resumenโข Anรกlisis de respuesta de sistemas
โข Depende de la entrada y la FdTโข Entradas estรกndar
โข Anรกlisis para un escalรณn unitarioโข Caracterรญsticas de la respuestaโข Primer y segundo ordenโข Forma estรกndar y tipo de la respuestaโข Influencia de polos y ceros adicionalesโข Obtenciรณn empรญrica de la FdT
โข Estabilidad de sistemasโข Criterio de Routh-Hurwitz
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Sist
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