SISTEMAS LINEALES

TABLAS

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Propiedad Señal Transformada ROC

( )tx

( )tx1

( )tx2

X s( )

( )sX1

( )sX2

R

R1

R2

Linealidad ( ) ( )ax t bx t1 2+ ( ) ( )aX s bX s1 2+ Al menos R R1 2∩

Desplazamiento en el tiempo ( )x t t− 0 e X sst− 0 ( ) R

Desplazamiento en el dominio s ( )e x ts t0 X s s( )− 0 Versión desplazada de R ( es decir, s está en la ROC

si s-s0 está en R)

Escalado en el tiempo ( )x at 1a

X sa

ROC escalada (es decir, s está en la ROC si s/a está

en R)

Conjugación ( )tx* ( )** sX R

Convolución ( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X s X s1 2 Al menos R R1 2∩

Diferenciación en el dominio del tiempo.

( )d x tdt

sX s( ) Al menos R

Diferenciación en el dominio s ( )−tx t ( )dds

X s R

Integración en el dominio del tiempo. ( )x d

tτ τ

−∞∫ ( )1s

X s Al menos

R s∩ >Re 0

Teoremas del valor inicial y final.

Si para t < 0 y no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en ( ) 0tx = ( )tx0t = , entonces

( ) ( )ssXLim0xx ∞→

+ =

( ) ( )ssXLimtxLim0st →∞→

=

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES

SEÑAL TRANSFORMADA ROC

( )δ t 1 Todo s

( )u t 1s

Re s > 0

( )− −u t 1s

Re s < 0

( ) ( )tn

u tn−

−

1

1 !

1sn Re s > 0

( ) ( )−−

−−t

nu t

n 1

1 !

1sn Re s < 0

( )e u tt−α 1s + α

Re s > −α

( )− −−e u ttα 1s + α

Re s < −α

( ) ( )tn

e u tn

t−

−−

1

1 !α ( )

1

s n+ α Re s > −α

( ) ( )−−

−−

−tn

e u tn

t1

1 !α ( )

1

s n+ α Re s < −α

( )δ t T− e sT− Para todo s

[ ] ( )cosω0t u t ss2

02+ ω

Re s > 0

[ ] ( )senω0t u t ω

ω0

202s +

Re s > 0

[ ] ( )e tt−α ωcos 0 u t ( )

s

s

+

+ +

α

α ω202

Re s > −α

[ ] ( )e tt−α ωsen 0 u t ( )

ω

α ω0

202s + +

Re s > −α

( ) ( )n

n

n dttdtu δ

= ns Para todo s

( ) ( ) ( )vecesn

n tu**tutu =− ns1

Res > 0

PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER

Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie

( )( )

tytx

Periódicas de periodo T y

frecuencia fundamental T20 π=ω

ak

bk

( ) tjk

kkT

0eatx ω∞

−∞=∑= ( )∫ ω−=

Ttjk

k dtetxT1a 0

x(t) Señal par ( ) ( )∫ ω=2T

0 0k dttkcostxT2a

Obtención de coeficientes

x(t) Señal impar ( ) ( )∫ ω−=2T

0 0k dttksentxT

j2a

Linealidad ( ) ( )tyBtxA + kk bBaA +

Desplazamiento en el tiempo ( )0ttx − 00tjkk ea ω−

Desplazamiento en frecuencia ( ) tjM 0etx ω Mka −

Conjugación ( )tx* ∗−ka

Inversión de tiempo ( )tx − ka −

Escalamiento en el tiempo ( ) 0,tx >αα (Periódica de periodo T/α) ka

Convolución periódica ( ) ( )∫ ττ−τT

dtyx kk baT

Multiplicación ( ) ( )tytx ∑∞

−∞=−

ppkpba

Diferenciación ( )dt

tdx k0 ajkω

Integración ( )∫ ∞−ττ

tdx (de valor finito y periódica

solo si a 00 = ) k0

ajk

1ω

Simetría conjugada para señales reales.

( )tx Señal real

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

ϕ−=ϕ

=

−==

=

−

−

−

−

∗−

kk

kk

kmkm

keke

kk

aaaa

aIaIaRaR

aa

Señal real y par x(t) real y par ak real y par Señal real e impar x(t) real e impar ak imaginaria e impar

Relación de Parseval para señales periódicas

( )[ ] ( ) ∑∫∞

−∞=

==k

2kT

2m adttx

T1txP

COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS

SEÑAL PERIÓDICA COEFICIENTES

( ) tjk

kk

0eatx ω+∞

−∞=∑= a k

( ) tj 0etx ω=

≠∀=∀

=1k01k1

a k

tcos 0ω 1k,0a;21aa k11 ≠∀=== −

tsen 0ω 1k,0a;j2

1aa k11 ≠∀==−= −

( ) 1tx = 0k,0a;1a k0 ≠∀==

( ) ( )∑∞

−∞=

−δ=n

nTttx kT1a k ∀=

Onda cuadrada periódica

( ) ( )pulsodelanchuramTtAtxm

τ

τ−

∏= ∑∞

−∞=

ó

( ) ( ) (txTtxy2Tt2,0

2t,Atx =+

<<τ

τ<= )

( )

πτωτ

=π

τω=

2k

csinTA

k2/ksen

Aa 00k

Onda triangular periódica

( ) ( )pulsodelanchura2mTtAtxm

τ

τ−

∆= ∑∞

−∞=

πτωτ

=2

kcsin

TAa 02

k

( ) tcosmTtAtx pω⋅

τ−

∏= ∑∞

∞−

τ

π

ω+ωτ+

τ

π

ω−ωτ=

2k

csinT2

A2

kcsin

T2Aa p0p0

k

TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES Propiedad Señal Transformada de Fourier

x(t) ( )ty

X(ω) ( )ωY

( ) ( )∫∞

∞−ω ωω

π= deX

21tx tj ( ) ( )∫

∞

∞−ω−=ω dtetxX tj

x(t) Par ( ) ( )∫∞

ω=ω0

dttcostx2X

Ecuaciones

x(t) Impar ( ) ( )∫∞

ω−=ω0

dttsentxj2X

Linealidad a x(t) + b y(t) a X(ω) + b Y(ω) Desplazamiento en el tiempo x(t-t0) ( ) 0tjeX ω−ω Desplazamiento en frecuencia ( ) tj 0etx ω X(ω-ω0)

Conjugación x*(t) X*(-ω) Inversión de tiempo x(-t) X(-ω)

Escalado de tiempo y frecuencia

x(at)

ω

aX

a1

Convolución x(t)∗y(t) X(ω) Y(ω)

Multiplicación x(t) y(t) ( ) ( )[ ]12π

ω ωX Y∗

Diferenciación en el tiempo ( )dt

txd ( )j Xω ω

Integración ( )∫ ∞−ττ

tdx ( ) ( ) ( )ωδπ+ω

ω0XX

j1

Simetría conjugada para señales reales

x(t) Señal real

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

ω−ϕ−=ωϕ

ω−=ω

ω−−=ωω−=ω

ω−=ω ∗

XXXX

XIXIXRXR

XX

mm

ee

Simetría para señales reales y pares

x(t) Señal real y par ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]X R X

X R X

Xe

e

ω ω

ω ω

ϕ ωπ

=

=

=±

0

Simetría para señales reales y pares

x(t) Señal real e impar ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]X j I X

X I X

Xm

mω ω

ω ω

ϕ ωπ=

=

= ±

2Descomposición par e impar de señales reales

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]realtxtxpImtx

realtxtxPartx

I

p

=

=

( ) ( ) ωω

XImjXRe

( ) ( )( ) ( )

f t GG t f

DUALIDAD↔

↔ −

ω

π ω2

Relación de Parseval para señales no periódicas ( )[ ] ( ) ( )∫∫

∞

∞−

∞

∞−ωω

π== dX

21dttxtxE 22

EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL TRANSFORMADA

( ) tjk

kkT

0

0eatx ω

∞

−∞=∑= ( )∑

∞

−∞=

ω−ωδπk

0k ka2

x(t) = A ( )2π δ ωA

( ) tj 0Aetx ω= ( )0A2 ω−ωδπ

x(t) = A cos ω0 t ( ) ( )[ ]00A ω+ωδ+ω−ωδπ

x(t) = A sen ω0 t ( ) ([ ]00Aj

ω+ωδ−ω−ωδ )π

Pulso rectangular

( ) ( )x t At

anchura del pulso= ∏

ττ

ó

( )

τ>

τ<=

2t,0

2t,Atx

( ) ( )

πωτ

τ=ω

τω=ω

2csinA2senA2X

Pulso triangular

( ) ( )pulsodelanchura22tAtx τ

τ∆=

( )X A sincω τωτπ

=

2

2

( ) ( )∑∞

−∞=

−δ=n

nTttx ∑∞

∞−

π

−ωδπ

Tk2

T2

( )tWtsentx

π= ( )

>ω

<ω=ω

W,0

W,1X

x(t) = A δ(t) A

x(t) = A δ(t-t0) 0tjeA ω−

u(t) ( )ωπδ+ωj1

( ) ( ) 0aRe,tuetx at >= − ω+ ja

1

( ) ( ) 0aRe,tutetx at >= − ( )2ja

1

ω+

( ) ( ) ( ) 0aRe,tue!1n

ttx at1n

>−

= −−

( )nja1ω+

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z

Propiedad Señal Transformada z ROC [ ]

[ ][ ]nxnx

nx

2

1 ( )( )( )zXzX

zX

2

1

2

1

RRR

Expresión x[n] ( ) [ ]∑∞

−∞=

−=k

nznxzX

R

Linealidad [ ] [ ]nxbnxa 21 + ( ) ( )zXbzXa 21 + Al menos la intersección de R1 y R2

Desplazamiento en el tiempo

[ ]0nnx − ( )zXz 0n− R, excepto para la posible adición o supresión del origen

Escalado en el dominio z

[ ][ ][ ]nxa

nxz

nxe

n

n0

nj 0ω

( )( )( )zaX

zzXzeX

10

j 0

−

ω−

RzR

0

Versión escalada de R (es decir, |a|R = el conjunto de puntos|a|z para z en R

Inversión en el tiempo [ ]nx − ( )1zX − R invertida (es decir, R-1= el conjunto de

puntos z-1, donde z está en R

Expansión en el tiempo ( )[ ] [ ]

≠=

=rkn,0rkn,rx

nx k

para algún entero r

( )kzX

k1R es decir, el conjunto de puntos k1z donde z está en R

Conjugación [ ]nx* ( )** zX R Convolución [ ] [ ]nx*nx 21 ( ) ( )zXzX 21 Al menos la intersección de R1 y R2

Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )zXz1 1−− Al menos la intersección de R y |z|>0

Acumulación [ ]∑−∞=

n

kkx

( )( )1z1

zX−−

Al menos la intersección de R y |z|>1

Diferenciación en el dominio z

[ ]nnx ( )dz

zXdz− R

Teorema del valor inicial Si x[n] = 0 para n < 0, entonces,

[ ] ( )zXLim0xz ∞→

=

TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES

Secuencia x[n] Transformada z X(z) ROC

[ ]nδ 1 Todo z

[ ]mn −δ mz− Para todo z excepto 0 (si m > 0) o infinito (si m < 0)

[ ]nu 1z1

1−−

1z >

[ ]1nu −−− 1z1

1−−

1z <

[ ]nua n 1az1

1−−

az >

[ ]1nua n −−− 1az1

1−−

az <

[ ]nuna n ( )21

1

az1

az−

−

−

az >

[ ]1nuna n −−− ( )21

1

az1

az−

−

−

az <

( )[ ] nuncos 0Ω [ ] 2

01

01

zcosz21cosz1

−−

−

+Ω−Ω−

1z >

( )[ ] nunsen 0Ω [ ] 2

01

01

zcosz21senz

−−

−

+Ω−Ω

1z >

( )[ ] [ ]nuncosr 0n Ω [ ]

[ ] 2210

10

zrzcosr21zcosr1

−−

−

+Ω−Ω−

rz >

( )[ ] [ ]nunsenr 0n Ω [ ]

[ ] 2210

10

zrzcosr21zsenr

−−

−

+Ω−Ω

rz >

SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

Propiedad Señal periódica Coeficiente [ ]

[ ]

nynx

Periódicas con periodo N y

frecuencia fundamental Ω0=2π/N

k

k

ba

Periódicas de periodo N

Ecuaciones [ ] ∑=

π

=Nk

njkk

N2

eanx [ ]∑=

− π

=Nn

njkk

N2

enxN1a

Linealidad [ ] [ ]nxBnxA 21 + kk bBaA + Desplazamiento de tiempo [ ]x n n− 0 0N

2 njkk ea

π− Desplazamiento en frecuencia [ ] njM N

2

enxπ

Mka −

Conjugación [ ]nx ∗ ∗−ka

Inversión en el tiempo [ ]nx − ka − Escalado en el tiempo

( )[ ] [ ]

=valoresderesto

mdemultiplon

,0,mnx

nx m

(periódica de periodo mN)

1m

ak (vistas como periódicas de periodo

mN) Convolución periódica [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑

=

−=⊗=Nr

rnyrxnynxnz kk baN

Multiplicación [ ] [ ]nynx ∑=

−Nr

rkr ba

Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( )( ) kN2jk ae1 π−−

Suma consecutiva [ ]∑−∞=

n

kkx (de valor finito y periódica sólo

si a0=0) ( )( )N2jk

k

e1a

π−−

Simetría conjugada para señales reales.

[ ] alRenx

[ ] [ ][ ] [ ]

kk aa

kk

kk

kk

kk

aaaImaIm

aReaReaa

−ϕ−=ϕ

=

−==

=

−

−

−

∗−

Señales reales y pares [ ]x n REAL y PAR ak real y par Señales reales e impares [ ]x n REAL e IMPAR ak imaginaria e impar Descomposición par e impar de señales reales

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]realnxnxparImnx

realnxnxParnx

I

p

=

= [ ][ ]k

k

aImjaRe

Relación de Parseval para señales periódicas

[ ] ∑∑==

==Nk

2k

Nn

2m anx

N1P

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS

SEÑAL COEFICIENTES

nN2jk

Nkk ea

π

=∑ a k

nj 0e Ω

aperiódicaseñalirracional2

)b(

valorotro,0,N2m,Nm,mk,1

a

Nm2)a(

0

k

0

⇒π

Ω ±±=

=

π=Ω

ncos 0Ω

aperiódicaseñalirracional2

)b(

valorotro,0,N2m,Nm,mk,2/1

a

Nm2)a(

0

k

0

⇒π

Ω ±±±±±=

=

π=Ω

nsen 0Ω

aperiódicaseñalirracional2

)b(

valorotro,0,N2m,Nm,mk,j2/1

,N2m,Nm,mk,j2/1a

Nm2)a(

0

k

0

⇒π

Ω

±−±−−=−

±±==

π=Ω

[ ] 1nx = ±±=

=valorotrocon,0

N2,N,0k,1a k

[ ] ( )∑∞

−∞=

−δ=k

kNnnx kN1a k ∀=

Onda cuadrada periódica

[ ] [ ] [nxNnxy2NnN,0

Nn,1nx

1

1 =+

≤<

≤= ]

( )( )[ ]( )[ ]

,N2,N,0k,N

1N2a

,N2,N,0k,N2k2senN

NNk2sena

1k

21

1k

±±=+

=

±±≠π

+π=

TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

Propiedad Señal Transformada [ ]

[ ]

nynx

( )( )

ΩΩ

YX

Periódicas de periodo 2π

Ecuación [ ] ( )∫π

Ω ΩΩπ

=2

nj deX21nx ( ) [ ]∑

∞

−∞=

Ω−=Ωn

njenxX

Señal periódica [ ] ∑=

π

=Nk

njkk

N2

eanx (señal periódica, N) ( ) ( )∑∞

−∞=

π−Ωδπ=Ωk

N2

k ka2X

Señal periódica [ ] [ ]Nnxnx += (señal periódica) ( )0k kXN1

N2kX

N1a Ω=

π

=

Linealidad [ ] [ ]nybnxa + ( ) (Ω+ )Ω YbXa Desplazamiento en el tiempo

[ ]0nnx − ( ) 0njeX Ω−Ω

Desplazamiento en frecuencia

[ ] nj 0enx Ω ( )0X Ω−Ω

Conjugación [ ]nx ∗ ( )Ω−∗X Inversión en tiempo [ ]nx − ( )Ω−X Expansión en tiempo

( ) [ ] [ ]

=valoresderesto

kdemultiplon

,0,knx

nx k ( )ΩkX

Convolución [ ] [ ]nynx ∗ ( ) (Ω⋅ )Ω YX

Multiplicación [ ] [ ]x n y n⋅ ( ) ( )∫π

θθ−Ωθπ 2

dYX21

Diferenciación en tiempo [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )Ω− Ω− Xe1 j Acumulación [ ]∑

−∞=

n

mmx ( ) ( ) ( )∑

∞

−∞=Ω−

π−Ωδπ+−Ω

kj k20X

e1X

Diferenciación en frecuencia

[ ]nnx ( )ΩΩ

ddXj

Simetría conjugada para señales reales

[ ] REALnx

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )Ω−Ω

∗

ϕ−=ϕ

Ω−=Ω

Ω−−=ΩΩ−=Ω

Ω−=Ω

XX

XXXImXIm

XReXReXX

Simetría para señales reales pares

[ ]x n REAL y PAR ( )ΩX real y par

Simetría para señales reales impares

[ ]x n REAL e IMPAR ( )ΩX imaginaria pura e impar

Descomposición par e impar de señales reales

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]realnxnxparImnx

realnxnxParnx

I

p

=

= ( )[ ]( )[ ]ΩΩ

XImjXRe

Relación de Parseval para señales aperiódicas

[ ] ( )∫∑ π

∞

−∞=

ΩΩπ

==2

2

n

2 dX21

nxE

[ ] ( )[ ] ( )[ ]

Ω=−Ω→←

XanxXnxDUALIDAD

k

TF

EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS

SEÑAL COEFICIENTES

nN2jk

Nkk ea

π

=∑ ∑

∞

−∞=

π

−Ωδπk

k Nk2a2

nj 0e Ω ( )∑∞

−∞=

π−Ω−Ωδπk

0 k22

ncos 0Ω ( ) ([ ]∑∞

−∞=

π−Ω+Ωδ+π−Ω−Ωδπk

00 k2k2 )

nsen 0Ω ( ) ([ ]∑∞

−∞=

π−Ω+Ωδ−π−Ω−Ωδπ

k00 k2k2

j)

[ ] 1nx = ( )∑∞

−∞=

π−Ωδπk

k22

[ ] ( )∑∞

−∞=

−δ=k

kNnnx ∑∞

−∞=

π

−Ωδπ

k Nk2

N2

[ ] 1anua n < Ω−− jae1

1

[ ]

>

≤=

1

1

Nn,0

Nn,1nx ( )[ ]

( )2senNsen 2

11

Ω

+Ω

π<<

ππ

=π

W0WncsinWnWnsen ( ) ( ) πΩ

π≤Ω≤

≤Ω≤=Ω 2periododeperiódicaX

W,0

W0,1X

[ ]nδ 1

[ ]nu ( )∑∞

−∞=Ω−

π−Ωδπ+− k

j k2e11

[ ]0nn −δ 0nje Ω−

( ) [ ] 1anua1n n <+ ( )2jae1

1Ω−−

( )( ) [ ] 1anua

!1r!n!1rn n <

−−+

( )rjae1

1Ω−−