sistemi lineari sistemi non lineari - diee.unica.it · infinità non numerabile non in un sistema...
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1
Sistemi bidimensionali
Sistemi lineariSistemi non lineari
Cicli limiteTori
2
Sistemi lineari
3
I sistemi monodimensionali hanno traiettorie che si muovono monotonicamente o rimangono costanti.
I sistemi di ordine più elevato presentano un comportamento dinamico più complesso.I più semplici sono i sistemi linearilineari bidimensionali:
dycxy
byaxx
+=
+=.
.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
yx
dcba
xA Axx.
=
Il sistema è lineare:
22
11
Axx
Axx.
.
=
=
2211333 xxxAxx.
cc +==⇒
Il punto x*= 0 è un punto fisso per qualunque scelta di A
4
Esempi
Circuito LC/RLC
Sistema massa-molla
Reattore CSTR non isotermo – reazione a b
5
Esempio 1
+∞<<∞⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
== aa
- 10
0AAxx
.
yy
axx
−=
=.
.
t
at
eyyexx
−=
=
0
0Equazioni disaccoppiate caso semplice
y decresce esponenzialmente per qualunque valore di a
x decresce esponenzialmente per a < 0
Gli assi x e y giocano un ruolo particolare: una traiettoria che parte su uno di essi vi rimane per sempre e mostra semplice decadimento/crescita esponenziale.
6
1. a < -1x decade più rapidamente di y le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (y)
x*=0 è un nodo stabile t
at
eyyexx
−=
=
0
0
2. a = -1
x*=0 è un nodo simmetrico o stella
3. -1< a < 0y decade più rapidamente di x le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (x)
x*=0 è un nodo stabile
7
4. a = 0x(t)=x0 linea di punti fissi lungo l’asse xLe traiettorie si avvicinano all’origine lungo linee verticali
5. a > 0x*= 0 diventa instabile e le traiettorie si muovono verso l’infinito, a meno che la traiettoria non parta sull’asse y
x*=0 è un punto sella
L’asse y è la varietà stabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che x(t) x* per t ∞L’asse x è la varietà instabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che x(t) x* per t -∞.
8
nodo stabilelinea di punti fissi stabili
nodo simmetrico o stellainstabile sella
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Definizioni legate alla stabilitDefinizioni legate alla stabilitààx* è un punto fisso attrattore se tutte le traiettorie che partono vicino a x* finiscono in x* per
Se x* attrae tutte le traiettorie, è detto globalmente attrattore
∞→t t ∞
x* è un punto fisso stabile secondo Lyapunov se tutte le traiettorie che partono vicino a x* rimangono vicine a x* per ∀t.
Un punto fisso x* stabile ma non attrattore è dettoneutralmente stabile
Un punto fisso x* stabile attrattore è detto stabile o asintoticamente stabile.
Un punto fisso x* non stabile e non attrattore è detto instabile
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StabilitStabilitàà di di sistemi linearisistemi lineari
Limitato per ogni x(0) sistema STABILE
Illimitato per qualche x(0) sistema INSTABILE
x(t)
Sistema stabile
x(t) 0 per qualche x(0) SEMPLICEMENTE STABILE
x(t) 0 per ogni x(0) ASINTOTICAMENTE STABILE
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Autovalori ed autovettoriCerchiamo particolari traiettorie rettilinee della forma
vx tet λ=)( Moto esponenziale lungo la linea individuata dal vettore v
,Axx.
=Sostituendo in
AvvAvv =→= λλ λλ tt ee
La traiettoria esiste se v è un autovettore di A con autovalore λ
vx tet λ=)( è detta autosoluzioneLa soluzione
12
xx
AxAxx è un autovettore con λ<0x non è un autovettore
In generale, l’azione della matrice A su x produce una rotazione per cui x e Ax non sono allineati
Se x è un autovettore l’azione di A si traduce in un allungamento/accorciamento del vettore ed eventualmente in un cambio di verso.
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RichiamoGli autovalori di una matrice A sono dati dall’equazione caratteristica
0)det( =− IλA
Per una matrice 2*2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
dcba
A
l’equazione caratteristica diventa
24
)det(
0det
2
2,1
∆−±=
−==∆+==
=∆+−→=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
ττλ
τ
τλλλ
λ
Allora
;)traccia( con
0 2
bcaddaAdc
ba
A
Il sistema è asintoticamente stabile se Re(λi)<0 per ogni i
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Sottospazi invarianti
ΧΧ, AAn
∈∀∈ℜ⊂Χ
xxse sotto invariante è osottospazi Un
.instannodiitrasformatiovvero, Χx
Teorema Il sottospazio descritto da un autovettore è un sottospazio invariante.Dim. Infatti Ax=λx
Allora la traiettoria che parte da uno stato x(0) che èun autovettore rimane nel sottospazio descritto dall’autovettore
x2
x1
x0x1x2
x1
x0x1
λ1<0
x0 è un autovettore associato a λ1
λ1>0
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Nodo: Autovalori reali e concordi in segno
Sella: Autovalori reali e discordi in segno
Centro: Autovalori immaginari puri:
Fuoco: Autovalori complessi coniugati
16
Ritratto delle fasiAUTOVALORI DISTINTI
21
021021
vvx
xvvxvv
tt ecect
cc
21
21
2121
)(
,
λλ
λλ
+=
∀+=→⇒≠forma la avrà generale soluzione La
tiindipendenelinearment e
E’ una soluzione generale perché
•è una combinazione lineare di (auto) soluzioni e quindi è una soluzione.
•soddisfa le condizioni iniziali
quindi per il teorema di esistenza ed unicità è la sola soluzione.
17
y
x
Per disegnare le traiettorie nello spazio delle fasi è però sufficiente conoscere gli autovalori
leesponenzia odecadiment con oneautosoluzi leesponenzia crescitacononeautosoluzi
λ λ
⇒−=⇒=
32
2
1
L’origine è un punto sellaLa linea individuata da v1 è la varietà instabile, quella individuata dav2 è la varietà stabile.
v2(più ripida)
v1;32 21 −== ; λ λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
41
11
2
12
2
1
vv
vv
v
v1
yCosa accade se λ2 < λ1 <0
λ2Direzione lenta
x
18
λ1Direzione veloce
•Entrambe le autosoluzioni decadono esponenzialmente•Il punto fisso è un nodo stabile•Le traiettorie convergono verso il punto fisso tipicamente lungo la direzione dell’autovettore col più piccolo |λ| (λ2)•Invertendo le frecce otteniamo il ritratto delle fasi per un nodo instabile
19
Cosa accade se
Il punto fisso è un centro o una spirale (fuoco)
C∈21,λλ
(oscillatore armonicosmorzato)(oscillatore armonico)
221
2
2
2,1
421
2;04
24
τ∆ ω;ταjωαλ , −==±=⇒<∆−
∆−±=
τ
ττλ
)]()()cos()[(2
)()(Re2)()(
)(
1111
11
)(11
)(11
*1
*11
*11
tsencctccejejcce
ejccejccecect
irirt
irtj
irt
tjir
tjir
tt
ωωα
ωα
ωαωα
λλ
1r1i1i1r
11
*11
1
vvvvvv
vvvvx
+−−
=++=
=−++=
+=−+
Punto fisso circondato da una famiglia di orbite chiuse
20
)()cos(
tsenete
t
t
ωω
α
α
Oscillazioni modulate da un esponenziale
instabile ocospirale/fustabileocospirale/fu
fisso Punto 0 se crescenti0sesmorzate
niOscillazio⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
><
αα
0≠α
0=αOscillazioni di ampiezza fissa Punto fisso: centroSoluzioni periodiche di periodo 2π/ω
21
AUTOVALORI COINCIDENTI
λλλ == 21
Esistono 2 autovettori indipendenti:Consideriamo un vettore arbitrario xg
g2121g21 xvvvvAAxvvx λλλ =+=+=+= 212121 )(;)( cccccctg a
Ovvero xg (ogni vettore) è un autovettore con autovalore λ. Poiché la moltiplicazione per A moltiplica qualunque vettore per λ, Α deve essere del tipo
⎟⎠
⎞⎜⎛
=λ
⎝ λ00≠
0A
λ
originel' attraverso rette lineeat
oet λxx =)(
nodo stella
00 ===⇒= xxx.
λλ A
Ogni punto è un punto fisso
22
Esiste un solo autovettore
Il punto fisso è un nodo degenerato
autodirezioneone.autodirezi
unicaall' parallele diventanoetraiettorile tutte t Per ∞→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
λλ0
bA
nodo degenerato: nodo proveniente dalla deformazione di un nodo ordinario con 2 autovettori (autodirezioni) indipendenti in cui tutte la traiettorie sono parallele alla direzione lenta come
lenta
veloce.∞→t
Classificazione dei punti fissi
∆
τ
∆<0 autovalori reali con segni opposti punto sella
242
2,1∆−±
=ττλ
Punt
i sel
la04 =∆−2τ
∆=0 un autovalore nullo intera linea di punti fissi o intero piano (se A=0)
Nodi instabili
Spirali instabili
Spirali stabili
Nodi stabiliPunti fissi non isolati Stelle, nodi
degenerati
centri
23stabile teneutralmen (centro) fisso punto0)( 0
instabile fisso punto0)( 0 stabile fisso punto0)( 0
centri) o (spirali coniugati complessi (nodi) segno stesso lo con reali
autovalori
1,2
1,2
1,2
2
2
⇒=ℜ→=
⇒>ℜ→>
⇒<ℜ→<⎩⎨⎧
<∆−>∆−
>∆
λτλτλτ
ττ
0404
0
24
Sistemi non lineariSistemi non lineari
25
Il piano delle fasi Il piano delle fasi La forma generale è
),(
),(
2122
.
2111
.
xxfx
xxfx
=
=)(xfx
.
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2
1
2
1
)()(
)(xx
ff
xxx
xf
x è un punto nel piano delle fasi e il vettore velocità in quel punto. Durante l’evoluzione del sistema la soluzione x rappresenta la traiettoria nel piano delle fasi.
.
x
.
x)(tx
Ogni punto può essere un punto iniziale Le traiettorie riempiono l’intero piano
delle fasi
Tipicamente non è possibile trovare a soluzione analitica ci occuperemo di comportamento qualitativo delle soluzioni.
26
Caratteristiche principali
I punti fissi come A, B, C; f(x*)=0
Le orbite chiuse come D
Le traiettorie vicino ai punti fissi ed alle orbite chiuse
La stabilità (D) e l’instabilità (A, B, C) dei punti fissi e delle orbite chiuse
Trovare il ritratto delle fasi direttamente dalle proprietàdi f(x)
27
Molteplicità degli equilibri
0 21
Infinità numerabile Infinità non numerabile
NON in un sistema lineare
28
Esistenza, unicitEsistenza, unicitàà e conseguenze topologiche e conseguenze topologiche
unica. è soluzione tale e ) ,(- temporale intervallo un in soluzione una esiste D per allora ,D connesso
aperto insieme un in continue sono n, 1,....,ji, ,xf parziali
derivate sue le e continua è f se sistema il Dato
j
i
ττ)(
0
0
0
t
, ,
n xx
x)x(f(x)x .
∈ℜ⊂
=∂∂
==
Teorema
f continuamente differenziabile una ed una sola soluzione
CorollarioTraiettorie diverse non si intersecano mai
2 soluzioni che partono dallo stesso punto viola l’unicità
29
Conseguenze (negli spazi bidimensionali )
Ogni traiettoria che parte dentro un’orbita chiusa vi è intrappolata per sempre.
Se all’interno vi sono punti fissi può convergere verso di loro. Se non vi sono punti fissi deve convergere verso l’orbita (vedremo Teorema di Bendixon-Poincaré).
30
Stabilità degli equilibriUn equilibrio x* è stabile (LOCALMENTE) se per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che
t, ||||δ||)- (|| 00 ** ≥∀∀<⇒< x(0)x -x(t)xx ε
x*x(0)
ε δ
Una piccola perturbazione non porta il sistema lontano dall’equilibrio
Un equilibrio x* è asintoticamente stabile se è stabile e se x(0)xx(t) ∀∞→→ ,* t
Una piccola perturbazione viene asintoticamente riassorbita
31
Un equilibrio x* è instabile se non è stabile
** :)( x)x(x(0)x →= tBDato un equilibrio x* asintoticamente stabile, l’insieme
è detto bacino di attrazione di x*
Un equilibrio x* asintoticamente stabile è detto globalmente stabile se
nB ℜ=)( *x
con l’eccezione al più di un insieme di misura nulla
32
N.B.N.B.
Nei sistemi non lineari, la stabilitNei sistemi non lineari, la stabilitàà èè una proprietuna proprietàà
delldell’’equilibrio, non del sistema: lo stesso sistema puòequilibrio, non del sistema: lo stesso sistema può
possedere equilibri stabili e instabili.possedere equilibri stabili e instabili.
33
Punti fissi e Punti fissi e linearizzazionelinearizzazioneObiettivo: approssimare l’evoluzione del sistema vicino ad un punto fisso col corrispondente sistema lineare.
),(),(
yxgyyxfx
==&
& ;
00
fisso; punto un è ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛),(),(
),(**
****
yxgyxf
yx
Dato il disturbo che allontana dal punto fisso vediamo se cresce o si smorza
),,(
),,(),(
),(
22
)*,*()*,*(
22
)*,*()*,*(
**
**
uvvuOyfv
xfu
uvvuOyfv
xfuyxf
vyuxfxu
yxyx
yxyx
+∂∂
+∂∂
=
=+∂∂
+∂∂
+=
=++== &&
y-y* v y x-x* , u x ==∂==∂
34
)( fisso punto nel Jacobiana matrice
quadratici termini
),,(
),,(
)*,*(
)*,*(
22
)*,*()*,*(
22
)*,*()*,*(
**
yx
yx
yxyx
yxyx
,yx
yg
xg
yf
xf
J
vu
yg
xg
yf
xf
vu
uvvuOygv
xguv
uvvuOyfv
xfuu
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+∂∂
+∂∂
=
+∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
&
&
&
&
(analogo di f’(x*))
35
)(
tolinearizza sistema
quadratici terminii oTrascurand
)*,*(
xxx *.
∂=∂
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
J
vu
yg
xg
yf
xf
vu
yx
&
&
Il sistema Il sistema linearizzatolinearizzato rispecchia qualitativamente il rispecchia qualitativamente il comportamento del sistema non lineare vicino a (comportamento del sistema non lineare vicino a (xx*,*,yy**)?)?
36
Se il punto fisso per il sistema linearizzato è
una sella, un nodo o una spirale,
allora il punto fisso è realmente una sella, un nodo o una spirale per il sistema non lineare
Se il punto fisso per il sistema linearizzato è
un centro, un nodo degenere, una stella o punto fisso non isolato
i piccoli termini trascurati possono alterarne il comportamentoEx. il sistema linearizzato predice un centro mentre si tratta di una spirale
37
? ?
Re
Im Im Im Im Im
Reautovaloridi J Re Re Re
xxx * ∂=∂ )(.
J
)(.
xx f=
38
? ?
Re
Im Im Im Im Im
ReRe Reautovaloridi J Re
xxx * ∂=∂ )(.
J
)(.
xx f=
39
Esempio 1
)()()(
fissi Punti 010100
0020
10
00
2
3
3
,- , ,
y yy
xx
xxx
yyxxx
.
.
.
.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−→=
⎩⎨⎧
±==
=+−→=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+−=
; ;
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=±
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
2002
)0,1(
2001
)0,0(
20031 2
..
..
J
Jx
yy
xy
yx
xx
J
nodo stabile
punti sella
I punti fissi del sistema non lineare sono stati predetti correttamente (poiché si tratta di nodo stabile e sella).
40
Anche stelle e nodi degeneri possono essere alterati dalla non linearità, ma la loro stabilità non cambia.
Se siamo interessati alla stabilità e non alla geometria della traiettoria, possiamo classificare i punti fissi in
Casi robustiRepulsori (sorgenti) Re(λ1,2)>0
Attrattori (pozzi) Re(λ1,2)<0
Selle λ1<0 λ2>0
Casi marginaliCentri Re(λ1,2)=0
Punti fissi di ordine λ1=0superiore e non isolati
41
Punti fissi iperbolici
La stabilità non è influenzata dai termini non lineari0)( 2,1 ≠ℜ λ
Teorema di Hartman-GrobmanIl ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è‘topologicamente equivalente’ al ritratto delle fasi della linerizzazione.
In particolare la stabilità del punto fisso è individuata dalla linearizzazione.
Topologicamente equivalente esiste un omeomorfismo* che mappa un ritratto nell’altro, tale che traiettorie sono mappate in traiettorie ed il verso del tempo è preservato.
*deformazione continua con inversa continua
42
Stabilità strutturale
Il ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è‘strutturalmente stabile’.
Strutturalmente stabile la sua topologia non è cambiata da una perturbazione arbitrariamente piccola del campo vettoriale.
Il ritratto delle fasi di un punto sella è strutturalmente stabile, ma quello di un centro no: una piccola perturbazione trasforma un centro in una spirale.
43
Il modello di competizione Lotka –Volterra
Conigli e pecore competono per l’erba che è disponibile in quantità limitata.
Si trascurano predatori, effetti stagionali, ed altre fonti di cibo.
Ogni specie, in assenza dell’altra, cresce secondo la sua capacità di carico (crescita logistica).
I conigli hanno un tasso di crescita più alto.
Conigli e pecore entrano in conflitto quando si incontrano.
I conflitti riducono il tasso di crescita per ogni specie, con effetti più drammatici per i conigli.
44
)2(
)23(.
.
yxyy
yxxx
−−=
−−=Il modello
x(t) popolazione dei conigliy(t) popolazione delle pecore
0, ≥yx
Classificazione dei punti fissi
)1,1(),0,3(),2,0(),0,0(
110130
020
0
0)2(0
0)23(0.
.
:fissi Punti
;xy -yxx
yyy
x
yxyy
yxxx
==→=⎩⎨⎧
==
=⎩⎨⎧
==
=
=−−=
=−−=
45
; (0,0)
;
; λλJP
yxyxyx
yy
xy
yx
xx
J
;232003
222223
211
..
..
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−
−−−=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
> nodo instabile
)(asse 02 y v == 11λ
y Nel nodo, la traiettoria è tangente all’autodirezione piùlenta
x
46
;2122
01212 −=−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−= ; λλJP ; (0,2) > nodo stabiley
- )2,1(021 211 −→=−= vv λx
;131063
213 −=−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−
= ; λλJP ; (3,0) > nodo stabiley
- )1,3(0621 211 −→=−−= vv λ
x
;21211121
214 −−=+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−−
= ; λλJP ; (1,1) > nodo sellay
x
47
y pecore
varietàstabile
xconigli
Una specie generalmente porta l’altra all’estinzione
Traiettorie che partono sotto la varietà stabile portano all’estinzione delle pecore, mentre quelle che partono sopra portano all’estinzione dei conigli (Principio di competizione esclusiva).
48
pecore
Bacino di attrazione per (3,0)
conigli(3,0)
limite del bacino
Dato un punto fisso x*, il suo bacino di attrazione èl’insieme delle condizioni iniziali x0, tali che x(t) x*, per t inf.
(0,2)
La varietà stabile separa i bacini dei 2 nodi la varietà stabile è detta limite del bacinole traiettorie che comprendono la varietà stabile sono dette
separatrici
I bacini ed i loro limiti dividono lo spazio di stato in regionicon un diverso comportamento a lungo termine.
49
Cicli limiteCicli limiteUn ciclo limite è una traiettoria chiusa isolata.
Isolata le traiettorie vicine non sono chiuse; esse spiralanoverso il ciclo limite o lontano da esso.
Ciclo limite stabile o attrattore tutte le traiettorie vicine tendono verso il ciclo limite.Ciò significa che se il sistema è leggermente disturbato dall’oscillazione standard, torna poi nel ciclo limite.Altrimenti ciclo limite instabile o semi-stabile.
I cicli limite stabili modellano sistemi con oscillazioni autosostenute, (oscillanti anche in assenza di sollecitazione periodica esterna).Ex., battito cardiaco, ritmi quotidiani di temaperatura corporea o livelli ormonali, pericolose vibrazioni autosostenute nei ponti o nelle ali degli aerei,etc.
50
Ciclo limite stabile Ciclo limite instabile Ciclo limite semi stabile
51
Un ciclo limite è un fenomeno non lineare.
Un sistema lineare può avere orbite chiuse ma non isolate.
cx(t)x(t)
Se x è una soluzione periodica, lo è anche cx(t).
x è circondata da una famiglia di orbite chiuse. .
Quindi l’ampiezza dell’oscillazione lineare dipende interamente dalle condizioni iniziali; ogni leggero disturbo persisterà per sempre.
Invece in un ciclo limite le oscillazioni sono determinate dalla struttura del sistema stesso.
52
Esempio: il più semplice ciclo limite
. a limiteciclo il verso menteasintotica spiralano etraiettori le costante, angolare velocità
con rotazione una è direzione nella moto il Poiché . a nicamentemonoto tendono (eccetto etraiettori le tutte fasi delle piano Nel
cartesiane coordinate Instabile fisso punto
instabile fisso punto linea. sulla vettoriale campo un come Trattiamo
.
1
1)0
cos
10
)1(
01
)1(
2.
2.
=
=
=⎩⎨⎧
==
=
=
−=
≥
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
*
*
*
*
*
r
rr
(t)r(t)seny(t)(t)r(t)x(t)
rr
rrr
r
rrr
ϑ
ϑϑ
ϑ
.r
r1
Crescita logistica
y
x1
53
Oscillatore di Van der Pol
Un semplice oscillatore armonico ma con un termine di smorzamento non lineareIl termine non lineare agisce come uno smorzamento per |x|>1 Decadimento for grandi x, y;uno smorzamento negativo per |x|<1 Crescita for grandi x, y;
-xdtdx) - x b(
dtxd2
2
= 21Circuiti delle prime radio
Un resistore passivo dissipa energia per qualunque livello di corrente; un semiconduttore opera come se stesse pompando energia nel circuito a basse correnti, e assorbendo energia per altre correnti. Lo scambio tra iniezione ed assorbimento di energia si traduce in un’oscillazione periodica di tensioni e correnti.
54
x(t)
Il ciclo limite non è un cerchio
55
Teorema di Bendixon (condizione di non esistenza)
.(
)(
2
2
2
1
1
2
Ω⇒ℜ⊂Ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
ℜ=
in cicli sono ci nonlinee) delle su annulla si più al o limitato e chiuso
insieme un in segno cambia non divergenza la se
in , vettoriale campo un Dato
xf
xf
xfx.
Teorema di Poincaré (condizione di esistenza)
ciclo. un almeno contiene A A in (escono) entrano etraiettori
le e equilibri sono ci non Aanulare regione una in se in , vettoriale campo un Dato
⇒
ℜ⊂
ℜ=2
2)(xfx.
56
Il Teorema di Bendixon-Poincaré è uno dei risultati centrali della dinamica non lineare. Afferma che le possibilità dinamiche nel piano delle fasi sono molto limitate. Se una traiettoria èconfinata in una regione chiusa, limitata che non contiene puntifissi, allora la traiettoria deve tendere ad un’orbita chiusa.Ciò è conseguenza delle bidimensionalità del piano.
In sistemi di ordine maggiore di 2 il teorema non è più valido e le traiettorie possono vivere per sempre in una regione limitatasenza tendere ad un punto fisso o ad un’orbita chiusa. In alcuni casi le traiettorie sono attratte da un complesso oggetto geometrico detto strano attrattore, un set frattale nel quale ilmoto è aperiodico e sensibile alle condizioni iniziali. Tale sensibilità rende il moto impredicibile a lungo termine; è il CAOS.Il Teorema di Bendixon-Poincaré esclude che il caos possa verificarsi in sistemi di ordine 2.
57
Metodi per escludere orbite chiuseMetodi per escludere orbite chiuse
Teoria dell’indice
Sistemi gradiente
Funzioni di Lyapunov
Criterio di Dulac
Metodi per stabilire lMetodi per stabilire l’’esistenza di orbite chiuseesistenza di orbite chiuse
Teorema di Bendixson-Poincaré
58
Sistemi conservativiUna particella di massa m si muove lungo l’asse x soggetta ad una forza non lineare F(x) (nessun attrito o dipendenza dal tempo).
)(xFxm =&& equazione del motoSotto queste assunzioni l’energia si conserva:
Definiamo l’energia potenziale V(x) tale che
0)(210 per ndoMoltiplica
0 )()(
2 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +→=+
=+⇒−=
xVxmdtdx
dxdV(x)xxmx
dxdV(x)x m
dxxdVxF
&&&&&&
&&
)(21 2 xVxmE += &L’energia totale E è costante nel tempo.
59
L’energia è spesso chiamata una quantità conservata, una costante del moto o un’integrale primo.
I sistemi per i quali esiste una quantità conservata sono detti sistemi conservativi.
In generale, dato un sistema, una quantità conservata E è una funzione continua a valori reali
costante lungo le traiettorie (dE/dt =0).E(x), non costante in ogni insieme aperto
f(x)x =&
60
Un sistema conservativo non può avere punti fissi attrattori
se x* fosse un punto fisso attrattore, tutti i punti nel suo bacino di attrazione dovrebbero essere alla stessa energia E(x*) perché l’energia è costante lungo le traiettorie e tutte le traiettorie nel bacino vanno verso x*.
Quindi E(x)=costante nel bacino.
Ma questo contraddice la definizione di sistema conservativo che richiede E(x) non costante in tutti gli insiemi aperti.
(Generalmente i punti fissi sono selle e centri)
Teorema
Sia x* un punto fisso isolato per un sistema conservativo continuamente differenziabile. Se x*è un minimo locale di E, tutte le traiettorie sufficientemente vicine a x* sono curve chiuse.
61
Il pendolo
In assenza di smorzamento e forzante esterna, il moto ègovernato dalla
lineare centro (0,0) 0110
,0)(),( :fissi Punti
0
e Posto
0
)0,0(
**
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
=⎩⎨⎧
−==
=+
==
=+
A
kπ
senv
sen
g/Lt
senLg
dtd
νϑ
ϑνϑ
ϑϑ
ωωτ
ϑϑ
&
&
&&
L
θ
mg
62
In realtà l’origine è un centro non lineare. Infatti:
Il sistema è reversibile
Il sistema è conservativo
( )
( ) ( ). piccoliper 1- 21 poichè (0,0)in locale minimoun ha
cos21
energia funzione La
costante;cos21 0)(
integrando e per ndoMoltiplica
22
2
2
.
,ννE
ν,νE
sen
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑϑϑϑ
ϑ
+≅
−=
=−=+ &&&&
63
)1,1()1,1(
1,1;01;0110
)0,(
=−=
→=−==−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
21
212
v v :iAutovettor
sella punto λλλπA
ν
θ
Per riempire il piano del fasi è sufficiente introdurre i contorniE=1/2 ν2 - cosθ per diversi valori di E .
64
ν
θ
Interpretazione fisicaCentro: equilibrio neutralmente stabile col pendolo a
riposo dritto. E’ lo stato di minima energia, E=-1.Orbite intorno ai centri: piccole oscillazioni intorno
all’equilibrio (librazioni); le orbite aumentano al crescere di E.
Selle: il pendolo capovolto a riposoTraiettorie eterocline: il pendolo rallenta per fermarsi
precisamente nella posizione capovolta.Traiettorie oltre le eterocline: il pendolo ruota
ripetutamente facendo giri completi, E>1.
65
Smorzamento
In presenza di smorzamento il moto è governato dalla
selle. restano selle le e stabili spirali diventano centri I0.b osmorzament ,0 >=++ ϑϑϑ senb &&&
ν
θ
66
Quasi periodicità
Il toro è un importante spazio delle fasi bidimensionale. E’lo spazio naturale per descrivere i sistemi della forma
),(
),(
2122
2111
ϑϑϑ
ϑϑϑ
f
f
=
=&
&con f1 e f2 periodiche in θ1 e θ2
( )
( )12222
.12111
.
ϑϑωϑ
ϑϑωϑ
−+=
−+=
senK
senK θ1 e θ2 sono le fasiω1 e ω2 sono le frequenze naturaliK1, K2 sono le costanti di accoppiamento
67
θ1, Τ1
θ2,Τ2
Esempio: 2 corridori amici (K1,2>0) che corrono in cerchio
θ1 e θ2 sono le posizioniω1 e ω2 sono le velocità ‘preferite’
( )
( )12222
.12111
.
ϑϑωϑ
ϑϑωϑ
−+=
−+=
senK
senK
2 punti che corrono intorno al cerchio con velocità1 punto sul toro con coordinate θ1 e θ2
2
.
1
.ϑϑ e
θ1, Τ1
θ2, Τ2× =
θ1
θ2
Il loro prodotto
68
Un modo equivalente di costruire un torotopologico è quello di considerare un quadratoe "incollare" i lati opposti. θ2
2π
0 2πθ1
θ1, Τ1
θ2,Τ2
22
.
11
.
ωϑ
ωϑ
=
=
Esempio 1: 2 corridori che non si conoscono (K=0)
oscillatori disaccoppiati
69
ω1/ω2 = p/q razionale ω1/ω2 irrazionale
212121
22 qT pTqpqp===
ωπ
ωπ
ωω
Il corridore 1 completerà p giri quando ilcorridore 2 ne completerà q. Dopo T=pT1=qT2 i 2 corridori saranno nella stesse condizioni.L’attrattore è un ciclo
Il flusso è detto quasiperiodico. La traiettoria non si chiude mai su se stessa coprendo più densamente la superficie del toro.La traiettoria è densa nel toro (passa arbitrariamente vicino ad ogni punto del toro).
p=3, q=2
70
p=3, q=2
p=5, q=2
71
Una traiettoria periodica di un sistema può essere governata da più di unafrequenza. Se due di queste frequenze sono in rapporto IRRAZIONALE (cioè sonoincommensurabili), la traiettoria non sarà più chiusa, e il ciclo limite diventa un TORO limite.
Due traiettorie che partono da punti vicini sul toro rimangono vicine indefinitamente, cioè non convergono né divergono l’una dall’altra.Si parla di N-toro se sono presenti N frequenze incommensurabili.
Una successione temporale che corrisponde a questo tipo di attrattore viene dettasuccessione quasiperiodica: un campionamento discreto di una somma di Nfunzioni periodiche (non necessariamente sinusoidali) con frequenzeincommensurabili.
Una successione di questo tipo non possiede una vera periodicità, ma il suospettro di potenza è composto soltanto da linee verticali.
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Esempio: 2 corridori amici (K≠0) (aggancio in fase)
θ1, Τ1
θ2,Τ2
ϕωωϑϑϕ
ϑϑϕϑϑωϑ
ϑϑωϑ
senkk
senk
senk
)(
)(
)(
21212
.
1
..
21
21222
.
12111
.
+−−=−=
−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+=
−+=
corridori i tra distanza
*21
*.
2
.
1
2121
21
21*
|
0
ϕϑϑωϑϑ
ωω
ωωϕϕ
ϕ
=−
==
+<−+−
=⇔=
fissa fase di differenza con correre a tendono corridori I
| Se
?equilibrio ammette .
kkkk
sen
Ciclo su toro
La soluzione è periodica
73
21
1221*222
.
1
.*
kkkksenk
++
=+===ωωϕωϑϑω pulsazione di
compromesso
ω1 ω∗ ω2
Sono oscillatori accoppiati
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Equazioni non autonome
•Compare t a destra
•Esempio: sistema massa-molla forzatomd2x/dt2 = -kx + A sin ωt per semplicità m = k = 1dv/dt = -x + A sin ωt dx/dt = v
Posto ωt = fdx/dt = v dv/dt = -x + A sin f df/dt = ω
•Posso sempre eliminare t aggiungendo una variabile•f è periodica (periodo 2π) •Il moto è un toro
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Esempio: sistema di Van der Pol forzato
( )taxddxxb
dxd
Ω+−−= cos)1( 22
2
ττ
LC
LC
IAa
10
0
0
=
=Ω
=
ω
ωω
Acos(ωt)
La soluzione può sincronizzarsi con qualche multiplo del periodo dell’ingresso (ciclo su toro).
Oppure nessun periodo emerge e si ha un moto quasi periodico (le traiettorie riempiono densamente il toro).
76
Mappe di Poincarè
Consideriamo un sistema n-dimensionale
f(x)x =&
S superficie n-1 dimensionale trasversa al flussoxk kma intersezione
La mappa di Poincarè è un mappaggio da S a S stessa ottenuto seguendo le traiettorie da un’intersezione con S alla successiva.
)(xx kk P=+1
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Se x* è un punto fisso di P, P(x*)=x*, la traiettoria del sistema originale èun’orbita chiusa. Si può studiare la stabilità dell’orbita studiando la mappa nell’intorno del punto fisso.
Problemi di orbite chiuse problemi su punti fissi
f(x)x =&Dato il sistema con un’orbita chiusa, come posso dire se l’orbita e’ stabile?Si analizza il corrispondente punto fisso della mappa di Poincarè.Sia v0 una perturbazione tale che x*+ v0 sia in S.x*+ v1= P(x*+ v0)= P(x*)+ DP(x*) v0+O(|| v0
2||)Trascurando i termini di ordine superiorev1= DP(x*) v0
L’orbita chiusa è linearmente stabile solo se |λj|<1 j=1,…,n-1
λj moltiplicatori caratteristici o di Floquet