circuiti non lineari

Sergio Graffi, Riccardo Rovatti

Introduzione allo studio dei

CIRCUITI ELETTRONICI NON LINEARI

per corsi di laurea dell’ingegneria dell’informazione

7 aprile 2005

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Questi appunti riguardano i circuiti elettronici analogici non lineari.Si potrebbe obiettare che nessun circuito elettronico e lineare perche il progetto non puoprescindere totalmente dall’uso di modelli non lineari. Tuttavia, per i circuiti non autono-mi destinati all’elaborazione lineare di segnali, le nonlinearita dei dispositivi elettronicirappresentano un inevitabile inconveniente di cui il progettista deve tenere conto al solofine di limitarne gli indesiderati effetti. Per i circuiti non autonomi destinati all’elabo-razione non lineare di segnali e per i circuiti autonomi, invece, soltanto l’uso di modellinonlineari consente la corretta interpretazione del loro modo di operare perche esso di-pende in modo essenziale dalla presenza di opportune nonlinearita. Con circuiti ”nonlineari” si vogliono appunto indicare tali circuiti.

Indice

I CIRCUITI AUTONOMI 7I.1 Oscillazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2 Oscillatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.2.a Modelli di oscillatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2.b Esempi di soluzioni periodiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.2.c Sintesi di resistori a resistenza differenziale negativa mediante componenti tripolari. . . . . . 18

I.3 Calcolo approssimato delle oscillazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.3.a Oscillazioni sinusoidali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.3.b Oscillazioni di rilassamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

I.4 Esempi di oscillatori sinusoidali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.4.a Oscillatore a ponte di Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.4.b Oscillatori sinusoidali di ordine superiore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

I.5 Esempi di oscillatori di rilassamento (multivibratori astabili). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.5.a da fare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Circuiti non autonomi 37II.0.b Multivibratori monostabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.0.c Multivibratori bistabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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4 INDICE

Elenco delle figure

I.1 Due esempi di oscilla.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2 Un’oscillazione periodica (a) e il suo spettro (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3 Un’oscillazione multiperiodica (a) e il suo spettro (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.4 Oscillazioni caotiche(a) e il loro spettro (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5 Un circuito lineare di 2o ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.6 Esempi di campi di velocita e traiettorie: in a) il ritratto di un circuito del tipo I.5 (µ1 e µ2 positivi; in

b) cio che avverrebbe con µ1 = µ2 = 0; in c) un esempio di cio che deve fare un circuito oscillatore inprossimita del suo stato di riposo instabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.7 Modelli di oscillatori a resistenza negativa derivati dal circuito di figura I.5. . . . . . . . . . . . . . . 11I.8 Modello di oscillatore a resistenza negativa (a) e suo circuito equivalente a riposo (b). . . . . . . . . . 12I.9 La retta di carico e la caratteristica S possono dare luogo: a) a 3 punti di riposo dei quali 2 sui rami

a pendenza positivo e uno nell’arco a pendenza negativa, b) a un solo punto di riposo in un ramo apendenza positiva, c) a un solo punto di riposo nell’arco pendenza negativa. . . . . . . . . . . . . . . 12

I.10 Il circuito di figura I.8(a) linearizzato nell’intorno di uno stato di riposo. . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.11 (a) Modello di oscillatore a retroazione corrispondente alle (I.16) e (b) un piu generale modello a

retroazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.13 Grafici delle funzioni (I.27) e della corrispondente F(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.14 Soluzione periodica della (I.18) con la (I.27) e a1 = a2 = 10, A = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.15 (a) Soluzione periodica della (I.18) con la (I.27) e a1 = a2 = 0.2, A = 2; (b) spettro di (a). . . . . . . . 17I.16 Grafici delle funzioni (I.31) e della corrispondente F(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.17 Soluzioni della(I.18) con la (I.31). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.18 Grafici delle funzioni (I.32) e della corrispondente F(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.19 Soluzioni della(I.18) con la (I.32) (A = 1; µ = 0.2 e µ = 20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.20 Un amplificatore senza effetti reattivi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.21 Equivalente per i piccoli segnali dell’amplificatore di Fig.I.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.22 Uso del componente tripolare di figura I.20 per ottenere un resistore che si vorrebbe a resistenza

differenziale negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.23 Equivalente per i piccoli segnali del resistore di Fig.I.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.24 Altra configurazione che usa il componente tripolare di figura I.20 per ottenere un resistore che si

vorrebbe a resistenza differenziale negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.25 Equivalente per i piccoli segnali del resistore di Fig.I.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.26 Caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore operazionale ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.27 a) Amplificatore non invertente dal quale si puo derivare un resistore di tipo S; b) il corrispondente

resistore S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.28 Caratteristica del resistore di figura I.27(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.29 a) Amplificatore non invertente dal quale si puo derivare un resistore di tipo N; b) il corrispondente

resistore N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.30 Caratteristica del resistore di figura I.29(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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6 ELENCO DELLE FIGURE

I.31 Un circuito che puo essere suddiviso in 2 bipoli in 4 diversi modi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.32 Il circuito di figura I.31 ha 3 punti di riposo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.33 Un altro resistore a resistenza differenziale negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.34 Un quarto resistore a resistenza differenziale negativa realizzabile con un amplificatore operazionale. . 26I.35 Un resistore S ottenuto dalla cascata di un primo stadio con base o gate comune e un secondo stadio

con collettore o drain comune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.36 Esempi di caratteristiche V-I ottenute con simulazioni PSpice per bipoli del tipo di figura I.35 utiliz-

zando modelli di BJT (a) e di MOST (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.37 Un resistore S ottenuto dalla cascata di un primo stadio con collettore comune e un secondo stadio

con base comune (a) e un esempio di caratteristica ottenuta da simulazione con modelli di BJT (b). . . 28I.38 (a) Un resistore S ottenuto dalla cascata di due stadi a emettitore o source comune; (b) esempi di

caratteristiche ottenute da simulazioni con modelli di BJT (linea continua) e MOST (tratteggiata) . . . 29I.39 Struttura di un possibile oscillatore sinusoidale a retroazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I.40 Equivalente per piccole variazioni dello schema di figura I.11(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.41 Oscillatore a ponte di Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.42 Esempi di oscillazioni ricavati dal modello di Fig. I.41; le linee a tratteggio indicano l’ampiezza

approssimata ottenuta risolvendo la (I.61): Vy1app ' 0.4VM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.43 Oscillatore a ponte di Wien modificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.44 Spettri simulati di Vx(t) per un oscillatore del tipo I.41 rosso e del tipo I.43 (blu); si noti anche la

dipendenza della frequenza di oscillazione dalla nonlinearita: in entrambi i casi essa e minore della(I.86c) ma nel secondo le e piu prossima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Capitolo I - CIRCUITI AUTONOMII.1 Oscillazioni.

Fig. I.1 - Due esempi di oscilla..

Una funzione del tempo che rappresenti l’andamento di una grandezza fisica e necessariamente limitata. Saradetta oscillazione se possiede almeno un massimo e un minimo. Se al tendere del tempo all’infinito essa tende aun valore costante, sara detta oscillazione transitoria; quando cio non avvenga e cioe quando il numero di massimie di minimi e infinito, si dira oscillazione permanente o semplicemente ”oscillazione” qualora il contesto indichichiaramente che e permanente. Nel seguito ci occuperemo essenzialmente di questo caso. Un’oscillazione permanentepuo essere periodica o aperiodica e in quest’ultimo caso puo essere multiperiodica oppure caotica. Si rammentiinfatti che la somma di n funzioni periodiche di diversi periodi T1, T2, ...,Tn e a sua volta periodica di periodo T solo serisulta T = k1T1 = k2T2 = ... = knTn con i ki tutti interi; pertanto i rapporti fra i periodi debbono essere tutti razionali:se cio non e, la funzione somma e aperiodica e si dice multiperiodica. Il suo spettro di Fourier e ovviamente a righe.

(a) (b)

Fig. I.2 - Un’oscillazione periodica (a) e il suo spettro (b).

Le oscillazioni caotiche, invece, sono caratterizzate da spettri distribuiti, non a righe, e da un’infinita sensibilitaalle condizioni iniziali cosicche la conoscenza di una traiettoria non fornisce alcuna informazione sull’evoluzione diun’altra traiettoria anche se le due traiettorie sono comunque vicine in certi intervalli di tempo.

I.2 Oscillatori.

Diremo oscillatore un sistema dinamico autonomo che possa essere sede di oscillazioni permanenti. Vogliamodare risposta alle seguenti domande: quali sono i circuiti oscillatori piu facilmente e affidabilmente progettabili e

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8 CAPITOLO I. CIRCUITI AUTONOMI

(a) (b)

Fig. I.3 - Un’oscillazione multiperiodica (a) e il suo spettro (b).

(a) (b)

Fig. I.4 - Oscillazioni caotiche(a) e il loro spettro (b).

realizzabili? Quali criteri di progetto e bene seguire? A tale scopo si adottera un metodo essenzialmente euristico,facendo ampio ricorso all’intuizione e alla verifica pseudo-sperimentale rappresentata dalle simulazioni numeriche.

Le seguenti considerazioni, derivate da nozioni che il lettore deve gia aver acquisito in precedenza, sono utili perorientare le scelte di progetto relative a circuiti oscillatori.

1. In un circuito fisicamente realizzabile, un’oscillazione permanente implica una permanente dissipazione dienergia all’interno del circuito stesso e una permanente cessione di energia, auspicabilmente piccola ma nonnulla, al circuito utilizzatore dell’oscillazione. Dunque, l’oscillazione permanente sara possibile soltanto se nelcircuito sono presenti fonti di energia, cioe se il circuito e attivo.

2. Un circuito dinamico autonomo lineare puo produrre soltanto forme d’onda che siano combinazioni lineari ditermini del tipo tnieσite jωit le quali, per t → ∞, tendono all’infinito se almeno una σi e positiva oppure se ni > 0in corrispondenza di σi = 0, e tendono a zero se tutte le σi sono negative. Si potrebbe pensare di ottenereun’oscillazione permanente sinusoidale nel caso in cui fosse ni = 0 in corrispondenza di una σi = 0 essendonegative tutte le altre σi; ma cio non e in pratica ottenibile perche le ineliminabili imprecisioni e variazioni neltempo dei parametri del circuito rendono infinitesima la probabilita di ottenere una σi esattamente nulla. Diconseguenza un circuito oscillatore deve essere non lineare.

3. Un sistema dinamico non lineare ammette, in generale, una molteplicita di stati di equilibrio che possono esserestabili o instabili, a ciascuno dei quali e associato un bacino di attrazione o, rispettivamente, di repulsione delletraiettorie, cioe un insieme di stati a partire dai quali il sistema converge verso lo stato di equilibrio stabileo si allontana dallo stato di equilibrio instabile: nel caso di equilibrio stabile l’oscillazione evidentemente siestingue. Sebbene l’instaurarsi di un’oscillazione periodica non sia precluso dall’esistenza di stati di equilibriodi varia natura, il caso piu semplice da prendere in considerazione, e quello di un solo stato di equilibrio che,per quanto sopra detto, deve essere necessariamente instabile.Occorrera quindi che l’equazione caratteristica del circuito linearizzato nell’intorno del suo unico stato di ri-poso e abbia almeno una radice reale positiva o almeno una coppia di radici complesse coniugate a parte reale

I.2. OSCILLATORI. 9

positiva.Se le radici con parte reale positiva hanno tutte parte immaginaria nulla, le oscillazioni si innescano con an-damento esponenziale e vengono allora dette (come pure l’oscillatore) di rilassamento; se invece la parteimmaginaria e sensibilmente maggiore della parte reale(1), le forme d’onda all’innesco assomigliano a sinusoi-di con ampiezza lentamente crescente e le oscillazioni permanenti ottenute a regime vengono dette (come purel’oscillatore) sinusoidali, anche se sarebbe piu corretto chiamarle ”quasi-sinusoidali”.

4. In un sistema dinamico autonomo del primo ordine

X(t) = F [X(t)]

con X(t) e F(X) continue e derivabili quante volte si vuole come sempre supporremo, l’unica variabile di statoX(t) non puo essere un’oscillazione perche non puo avere massimi o minimi. Infatti, in corrispondenza diun massimo o di un minimo di valore XM che si verifichi all’istante t = tM si deve avere X(tM) = 0 ma poicheX(t) = F ′[X(t)]X(t) risulta anche X(tM) = 0 e cosı avviene anche per tutte le derivate successive, il che dimostrache i valori di X che soddisfano l’equazione F [X ] = X = 0 sono, come e noto, i valori di equilibrio (o di riposo)del circuito e non possono essere contemporaneamente valori di massimo o di minimo. Pertanto, un circuitodel primo ordine non puo essere un oscillatore.

Per realizzare oscillatori elettronici nel modo piu semplice e affidabile dovremo dunque prendere in considerazionedei circuiti dinamici autonomi attivi non lineari almeno del secondo ordine dotati di un solo stato di riposo chesia instabile.

I.2.a Modelli di oscillatori.

I(t)

V(t)R1

C

L

R2

Fig. I.5 - Un circuito lineare di 2o ordine.

Consideriamo preliminarmente il semplice circuito RLC rappresentato nella figura I.5; esso e descritto dalleequazioni differenziali

L dIdt = V −R1I

C dVdt =−I−V/R2

(I.1)

che ci conviene, per maggior generalita, normalizzare al fine di operare con parametri e variabili adimensionali; indi-chiamo allora con tN la costante di normalizzazione del tempo, con IN la costante di normalizzazione della corrente,con VN la costante di normalizzazione della tensione, poniamo

ω0 = 1/√

LC, Q1 = ω0L/R1, Q2 = ω0R2C,

tN = 1/ω0 =√

LC, VN/IN =√

L/C, µ1 = 1/Q1, µ2 = 1/Q2

(I.2)

1Nei casi intermedi, cioe con parti reale e immaginaria di valore comparabile, si ottengono a regime delle forme d’onda generalmente discarso interesse.


e indichiamo con un punto le derivate rispetto al tempo, ottenendo cosı il sistema dinamico di 2o ordinex =−µ1x+ y

y =−x−µ2y(I.3)

ove x e y rappresentano ora la corrente e la tensione normalizzate, ma e ovvio che le conseguenze ricavate dallostudio di tale sistema si possono applicare a tutti i circuiti ottenibili dalle medesime equazioni interpretando in altromodo le due variabili x, y che sono le variabili di stato del sistema dinamico. La coppia (x,y) e lo stato, il pianocartesiano ortogonale con coordinate x e y e lo spazio degli stati e in esso, durante l’evoluzione del sistema, si muove,descrivendo una traiettoria, il punto rappresentativo dello stato P[x(t),y(t)] che d’ora in poi chiameremo brevemente”stato”.

Cio rammentato, notiamo anche che l’energia E = 12CV 2 + 1

2 LI2 risulta normalizzata rispetto a EN = CV 2N = LI2

N ,e rappresentata da

η =x2 + y2

2(I.4)

ed e proporzionale (con fattore 1/2), al quadrato della distanza di P dall’origine O del piano degli stati, che rappresentalo stato di equilibrio del sistema (o, se si preferisce, lo stato di riposo del circuito) perche le (I.3) a x = 0,y = 0 fannocorrispondere x = 0, y = 0.

La derivata di η rispetto al tempo eη = xx+ yy =−(µ1x2 +µ2y2) (I.5)

avendo usato le (I.3). Poiche per il circuito di Fig. I.5 la quantita entro parentesi e positiva, le (I.4) e (I.5) dimostranoche l’energia tende a zero e le traiettorie tendono all’origine, cioe il sistema tende allo stato di equilibrio (stabile,ovviamente). Un ritratto qualitativo della dinamica del sistema si puo ottenere osservando che la velocita~v del puntoP(x,y), che e notoriamente tangente alla traiettoria, e il vettore

~v = x~i+ y~j (I.6)

(avendo indicato con~i il versore dell’asse x e con ~j il versore dell’asse y) e tracciando nel piano degli stati alcunetraiettorie sovrapposte a una rappresentazione del campo della velocita. Un esempio appare nella figura I.6 a); in b)

-1 -0.5 0 0.5 1

aL

-1

-0.5

0

0.5

1

80.5, 0.1<

-1 -0.5 0 0.5 1

bL

-1

-0.5

0

0.5

1

80, 0<

-1 -0.5 0 0.5 1

cL

-1

-0.5

0

0.5

1

8−0.5, 0.1<

Fig. I.6 - Esempi di campi di velocita e traiettorie: in a) il ritratto di un circuito del tipo I.5 (µ1 e µ2 positivi; in b) cioche avverrebbe con µ1 = µ2 = 0; in c) un esempio di cio che deve fare un circuito oscillatore in prossimita del suostato di riposo instabile.

si vede invece cio che accadrebbe nel caso di un circuito L-C privo di perdite (oscillatore armonico): µ1 = µ2 = 0,η = 0, l’energia e costante e le traiettorie sono circolari; in c) e infine illustrata la situazione che si deve verificare perun oscillatore in prossimita del suo stato di riposo instabile: per ottenere un tale risultato e necessario che almeno uno

I.2. OSCILLATORI. 11

dei parametri µ1,µ2 sia negativo, cioe almeno una delle resistenze R1,R2 in Fig. I.5 sia negativa. Infatti il polinomiocaratteristico del sistema (I.3) e:

(s+µ1)(s+µ2)+1 = s2 +(µ1 +µ2)s+µ1µ2 +1 (I.7)

i cui zeri sono

p1,2 =−(µ1 +µ2)2

±√

(µ1 +µ2)2

4−µ1µ2−1 =−(µ1 +µ2)

2±

√(µ1−µ2)2

4−1 (I.8)

e quindi per l’instabilita si richiede (µ1 +µ2) < 0 (per l’innesco oscillante si richiede inoltre |µ1−µ2|< 2).

Modelli a resistenza negativa.

Un resistore lineare con resistenza negativa non e fisicamente realizzabile perche non e asintoticamente passivo;dunque per ottenere un circuito oscillatore si puo pensare di sostituire almeno uno dei resistori lineari del circuito I.5con un resistore non lineare asintoticamente passivo che sia dotato di resistenza differenziale negativa nell’intornodello stato di riposo.

Per esempio si puo supporre che il resistore lineare R1 sia sostituito con un resistore non lineare a controllo dicorrente, oppure che il resistore R2 sia sostituito con un resistore non lineare a controllo di tensione. (Naturalmentesi puo anche immaginare di usare due resistori non lineari, ma si complica senza necessita la struttura dei circuiti); ilcircuito equivalente linearizzato nell’intorno dello stato di riposo sara ancora del tipo I.5.

Si noti che se la caratteristica tensione-corrente di un resistore controllato in corrente presenta un solo arco apendenza negativa compreso fra due rami a pendenza positiva, la caratteristica ha necessariamente una forma similea quella della lettera S; se invece il resistore e a controllo di tensione, la caratteristica ha forma simile alla lettera N.Come si vedra prossimamente, resistori di tal genere, che sono detti, rispettivamente, di tipo S e di tipo N, si possonoeffettivamente realizzare con circuiti elettronici e ha quindi senso proporsi di studiare modelli dei tipi indicati nellafigura I.7, ottenuti sostituendo uno dei resistori lineari di Fig. I.5 con il corrispondente resistore non lineare. Essi

I(t)

V(t)

S C

L

R2

(a)

I(t)

V(t)C

L

R1 N

(b)

Fig. I.7 - Modelli di oscillatori a resistenza negativa derivati dal circuito di figura I.5.

soddisfano, rispettivamente, alle equazioniL dI

dt = V −VS(I)

C dVdt =−I−V/R2

C dV

dt = I− IN(V )

L dIdt =−V −R1I

(I.9)

una coppia delle quali e evidentemente la duale dell’altra. A riprova di cio, la solita normalizzazione produce (useremosimboli maiuscoli per le variabili dei sistemi non lineari):

X = Y −F(X)

Y =−X −µ2Y

Y = X −F(Y )

X =−Y −µ1X(I.10)

nelle quali la funzione F(·) ha almeno un massimo e un minimo. I due sistemi differiscono soltanto per uno scambio


S BL

Ix

Vy

(a)

S Vy

Ix R

E

(b)

Fig. I.8 - Modello di oscillatore a resistenza negativa (a) e suo circuito equivalente a riposo (b).

di simboli e rappresentano quindi il medesimo sistema dinamico. In seguito sara quindi sufficiente studiare soltantomodelli del tipo di Fig. I.7(a) che chiameremo SLCR e ricavare per dualita le proprieta dell’altro; faremo quindiriferimento essenzialmente alle equazioni

X = Y −F(X) Y =−X −µ2Y (I.11)

Volendo generalizzare tali modelli, possiamo allora considerare una struttura del tipo di figura I.8(a) nella qualesi suppone che il resistore abbia una generica caratteristica di tipo S e che il bipolo lineare BL sia un qualunquebipolo costituito di resistori, induttori, condensatori (tutti lineari) e generatori indipendenti di tensione e/o di correntecostante. In condizioni di riposo tale circuito si presenta come in figura I.8(b) e la posizione relativa della caratteristicaS e della retta di carico di equazione Vy = E−RIx puo dar luogo, in generale, a una qualunque delle situazioni riportatenella figura I.9 Si dovra quindi scegliere i valori numerici dei parametri in modo che il punto di riposo sia unico e einoltre collocato sull’arco a pendenza negativa. Infatti il circuito equivalente per piccole variazioni si presenta comein figura I.10dalla quale si ricava facilmente l’equazione caratteristica

rs +Z(s) = 0 (I.12)

nella quale Z(s), in quanto impedenza di un bipolo RLC, e una funzione reale positiva, cioe e reale se s e reale e haparte reale positiva se lo e la parte reale di s. Se rs > 0, detta s = p una radice della (I.12): Z(p) =−rs e reale negativae quindi non puo essere positiva la parte reale di p, cioe lo stato di riposo e stabile. Risulta quindi dimostrato ancheper questa via che per ottenere l’instabilita e quindi le oscillazioni, e necessario che la pendenza della caratteristicain corrispondenza dello stato di riposo sia negativa o, viceversa, che gli stati di riposo sui rami a pendenza positivasono sempre stabili.

Fig. I.9 - La retta di carico e la caratteristica S possono dare luogo: a) a 3 punti di riposo dei quali 2 sui rami apendenza positivo e uno nell’arco a pendenza negativa, b) a un solo punto di riposo in un ramo a pendenza positiva,c) a un solo punto di riposo nell’arco pendenza negativa.


Z(s)

ix

vyrs

Fig. I.10 - Il circuito di figura I.8(a) linearizzato nell’intorno di uno stato di riposo.

Modelli a retroazione.

X(t)

X(s)

W(t)

W(s)G(X)

2

2

21

s

s s

µ

µ

+

+ +

(a)

X(t)

X(s)

W(t)

W(s)G(X) H(s)

(b)

Fig. I.11 - (a) Modello di oscillatore a retroazione corrispondente alle (I.16) e (b) un piu generale modello aretroazione.

Se nelle prime delle (I.11) si pone W (t) = G[X(t)] =−F [X(t)] si puo ricavare

X = Y +W =−X −µ2Y +W =−X −µ2(X −W )+W (I.13)

e quindiX +µ2X +X = W +µ2W (I.14)

Supponendo poi che X(t) ammetta trasformata di Laplace X(s) e W (t) ammetta trasformata di Laplace W (s) dallaprecedente deriva

(s2 +µ2s+1)X(s) = (s+µ2)W (s) (I.15)

e pertanto lo stesso sistema dinamico realizzabile con circuiti del tipo I.7 puo essere rappresentato con le relazioniW (t) = G[X(t)]

X(s) = s+µ2s2+µ2s+1W (s)

(I.16)

le quali descrivono lo schema a blocchi in retroazione di figura I.11(a) e suggeriscono quindi di considerare i modellidel tipo di figura I.11(b), costituiti da un anello in cui un blocco non lineare ma non reattivo e un blocco lineare mareattivo sono posti in retroazione; si noti che G′(0) =−F ′(0) > 0 e alla funzione G(·) non si richiede di avere almenoun massimo e un minimo come per la funzione F(·) del modello a resistenza negativa.

I diversi circuiti rappresentabili in tal modo dipendono dal significato che vogliamo attribuire alle variabili X e W :

• se i blocchi rappresentano doppi bipoli e le variabili X e W sono entrambe tensioni, si tratta di un anellodi retroazione nel quale un doppio bipolo lineare reattivo con guadagno di tensione Vx(s)/Vw(s) = H(s) eposto in cascata a un amplificatore di tensione non lineare e non reattivo la cui relazione ingresso → uscita eVx →Vw = G(Vx);

• se i blocchi rappresentano doppi bipoli e le variabili X e W sono entrambe correnti, si tratta di un anello diretroazione nel quale un doppio bipolo lineare reattivo con guadagno di corrente Ix(s)/Iw(s) = H(s) e posto incascata a un amplificatore di correntenon lineare e non reattivo la cui relazione ingresso → uscita e Ix → Iw =G(Ix);


• se i blocchi rappresentano doppi bipoli, X rappresenta una tensione Vx e W una corrente Iw, si tratta di unanello di retroazione nel quale un doppio bipolo lineare reattivo con transimpedenza Vx(s)/Iw(s) = H(s) e postoin cascata a un amplificatore a transconduttanza non lineare e non reattivo con relazione ingresso → uscitaVx → Iw = G(Vx);

• se i blocchi rappresentano doppi bipoli, X rappresenta una corrente Ix e W una tensione Vw, si tratta di unanello di retroazione nel quale un doppio bipolo lineare reattivo con transammettenza Ix(s)/Vw(s) = H(s) eposto in cascata a un amplificatore a transresistenza non lineare e non reattivo con relazione ingresso → uscitaIx →Vw = G(Ix);

• se i blocchi rappresentano due bipoli, si rutrovano i modelli a resistenza negativa.

I.2.b Esempi di soluzioni periodiche.

I modelli sopra individuati includono alcuni condizioni necessarie ma non garantiscono affatto l’esistenza di so-luzioni periodiche stabili. Si puo tuttavia acquisire una certa confidenza sulla possibilita di produrre oscillazionipermanenti esaminando alcuni casi particolari derivati dall’ipotesi che il valore del parametro µ2 sia abbastanza pic-colo da poter porre µ2 = 0 nelle (I.11). Cio evidentemente significa assumere R2 →∞ nel modello a resistenza negativaSLCR o supporre puramente reattivo il blocco lineare del modello di figura I.11(a).

Le (I.11) diventano in tal casoX = Y −F(X) Y =−X (I.17)

che equivalgono all’equazione differenziale di secondo ordine

X + f (X)X +X = 0 (I.18)

nella quale si e posto f (X) = dF(X)/dX . Ponendo f (0) = F ′(0) =−µ < 0, il polinomio caratteristico e s2−µs+1,i suoi zeri sono

p1,2 =µ2±

√µ2

4−1 (I.19)

e quindi le radici dell’equazione caratteristica sono complesse solo per µ < 2, in caso contrario l’innesco e esponen-ziale.

Le (I.17), con la semplice trasformazione di variabili di stato

X1 = X X2 = Y −F(X) (I.20)

si possono riscrivere comeX1 = X2 X2 =−X1− f (X1)X2 (I.21)

che equivalgono cmunque alla (I.18). Nel piano {X1,X2}, pero, la derivata rispetto al tempo del quadrato della distanzadello stato dall’origine ρ = X2

1 +X22 assume la forma

ρ =−2 f (X1)X22 =−2 f (X)X2 (I.22)

che consente le seguenti osservazioni

• ρ ha sempre segno opposto a f (X);

• ricordando che f (0) = F ′(0) < 0, cio significa che gli stati appartenenti a un intorno dell’origine in cui f (X)sia continua tendono ad allontanarsene, come si desidera che avvenga;

• poiche ρ deve mantenersi limitata, a grandi valori di ρ debbono corrispondere valori negativi di ρ e quindi valoripositivi di f (X);


• le condizioni precedenti potrebbero essere soddisfatte facilmente se f fosse funzione anche di X2, scegliendo(con µ > 0) f (X1,X2) = µ(ρ−1) = µ(X2

1 +X22 −1) = µ(X2 + X2−1), infatti l’equazione X +µ(X2 + X2−1)X +

X = 0 e soddisfatta da X(t) = cos(t +φ)

A proposito di quest’ultima osservazione, bisogna obiettare che e in pratica impossibile realizzare sistemi fisici in cuii coefficienti di X2

1 e X22 siano esattamente uguali; un obiettivo piu sensato sarebbe di ottenere f (X1,X2) = µ(X2

1 +bX2

2 −1) con b non necessariamente unitario. Sebbene la realizzazione di un siffatto circuito sia comunque piuttostocomplessa, il caso presenta alcuni aspetti interessanti, soprattutto in riguardo agli oscillatori sinusoidali: se

X +µ(X2 +bX2−1)X +X = 0 (I.23a)

ρ =−2µ(X21 +bX2

2 −1)X22 (I.23b)

si riconosce che ρ > 0 all’interno della curva di equazione X21 + bX2

2 − 1 = 0 che e un’ellisse del tipo rapprsentatonella figura I.12(a) e, viceversa, ρ < 0 all’esterno. Ne segue che tutti gli stati che distano da quello di equilibrio menodel semiasse minore, cioe tutti gli stati interni al cerchio inscritto nell’ellisse, debbono evolvere in modo che, primao poi, usciranno da tale cerchio mentre tutti gli stati che distano dall’origine piu del semiasse maggiore, cioe tutti glistati esterni al cerchio circoscritto all’ellisse, debbono evolvere in modo che, prima o poi, entreranno in tale cerchio:in sintesi, tutte le traiettorie prima poi entrano nella corona circolare compresa fra la circonferenza circoscritta e lacirconferenza inscritta e da lı non escono piu. Entro tale corona deve pertanto esistere almeno un insieme limiteche ”attrae” tutte le traiettorie. Quando, come nei casi che stiamo considerando, lo spazio degli stati e piano, sisa (teorema di Poincare-Bendixon) che tali insiemi sono curve chiuse dette cicli limite. Un esempio, ottenuto conMathematica mediante integrazioni numeriche dell’equazione differenziale, appare in Fig. I.12(b). Se b e prossimo

1

1

b

X1

X2

0ρ >�

0ρ <�

(a)

−1 −0.5 0 0.5 1

X1

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X2

µ = 1.5 b=4

(b)

Fig. I.12 - .

all’unita, l’ellisse e prossima a una circonferenza, la corona circolare e molto stretta e quindi anche il ciclo limite inessa contenuto deve essere presoche circolare. Vale allora la pena di vedere se una funzione sinusoidale del tempopossa rappresentare una soluzione approssimata della (I.23a) e in effetti si trova che

X(t) =2√

1+3bcos(t) (I.24)


riduce il primo membro della (I.23a) a

2µ1b−1√

(1+3b)3sin(3t) (I.25)

che puo essere trascurabile se µ e piccolo e b e prossimo all’unita. Come si e gia osservato, se b = 1, qualunque sia ilvalore di µ, la (I.24) diviene X(t) = cos(t) e soddisfa esattamente la (I.23a); se invece b = 0, la (I.23a) diviene

X +µ(X2−1)X +X = 0 (I.26)

che e la ben nota equazione di van der Pol, illustre esempio della classe di equazioni differenziali del tipo della(I.18). Vediamo ora qualche altro caso.

1. Sia f (X) una semplice funzione costante a tratti:

f (X) ={−a1, |X |< Aa2, |X | ≥ A

(I.27)

con a1 > 0,a2 > 0,A > 0 Il grafico e riportato nella figura I.13 insieme con quello della corrispondente funzioneF(X). La (I.18) equivale allora a una coppia di equazioni lineari:

X −a1X +X = 0, |X |< A (I.28a)

X +a2X +X = 0, |X | ≥ A (I.28b)

i cui intgrali generali sono ovviamente noti e alle quali corrispondono, rispettivamente

ρ = a1X2, |X |< A (I.29)

ρ =−a2X2, |X | ≥ A (I.30)

Pertanto il grafico di una soluzione periodica deve essere costituito da una successione di archi ricavati alter-nativamente dalle due equazioni differenziali lineari. In particolare ne consegue che, se a1 e a2 sono entrambimaggiori di 2, gli archi sono tutti di tipo esponenziale e l’oscillazione e quindi del tipo che viene detta di ri-lassamente; se si desidera invece un’oscillazione quasi sinusoidale, occorre che a1 e a2 siano minori di 2 e,preferibilmente, molto minori, come si intuisce dal fatto che quanto piu piccoli sono i due parametri, tanto piule due equazioni approssimano quella dell’oscillatore armonico. Si vedano gli esempi delle figure I.14 e I.15.

Esercizio.

Lo spettro della figura I.15(b) e stato ricavato simulando con PSpice il circuito descritto dalla seguente netlist:dimostrare che l’equazione differenziale di tale circuito e quella voluta.

-a1

a2

X

f(X)

-A A

X

F(X)

A

-A

a2-a

1

Fig. I.13 - Grafici delle funzioni (I.27) e della corrispondente F(X).


10 20 30 40

t

-6

-4

-2

2

4

6

x@tD

Fig. I.14 - Soluzione periodica della (I.18) con la (I.27) e a1 = a2 = 10, A = 2.

2 4 6 8 10 12t

-4

-2

2

4

x[t]

(a)

0dB

-60dB

-30dB

(b)

Fig. I.15 - (a) Soluzione periodica della (I.18) con la (I.27) e a1 = a2 = 0.2, A = 2; (b) spettro di (a).

XOPAMP p m u OPAMPR1 m 0 1R2 m u 1R4 p u 5

*.SUBCKT OPAMP PIU MENO OUTGout 0 OUT TABLE={V(PIU,MENO)} (-5,-4k)(-10u,-4k)(10U,4k)(5,4k)Rout OUT 0 1m.ENDSC p 0 1 ic=5L p 0 1

2. Sia f (X) una semplice funzione lineare a tratti:

f (X) =aA|X |−A (I.31)

Il grafico e riportato nella figura I.16 insieme con quello della corrispondente funzione F(X) e nella figuraI.17 sono riportati i grafici di due esempi di soluzioni periodiche ottenute mediante integrazione numerica della(I.18); essi mostrano che le soluzioni si comportano qualitativamente come nel caso precedente.

-a

A-A

X

f(X) F(X)

X

-a 2A

-2A



85 90 95 100

-4

-2

2

4

20 40 60 80 100 120

-4

-2

2

4

a=0.2, A=2 a=40, A=2

Fig. I.17 - Soluzioni della(I.18) con la (I.31).

3. Sia f (X) una semplice funzione quadratica:

f (X) = µ(X2−A2) (I.32)

Il grafico e riportato nella figura I.18 insieme con quello della corrispondente funzione F(X). La (I.18) divienel’equazione di van der Pol per la quale e noto da tempo che le soluzioni si comportano qualitativamente come neicasi precedenti; nella figura I.19 sono riportati i grafici di due esempi di soluzioni periodiche ottenute medianteintegrazione numerica.

4. Sperimentando numericamente, ad esempio con Mathematica, si puo verificare che analoghi risultati si ot-tengono con f (X) = 1− 8/(4 + X2) (che e una versiera di Gaetana Agnesi), f (X) = cosh(X)− 2, f (X) =1− 2/cosh(X) e molte altre funzioni; si puo quindi supporre che le relazioni fra la corrente e la tensionedei resistori effettivamente realizzabili con circuiti elettronici consentano di ottenere oscillazioni sinusoidali eoscillazioni di rilassamento anche se non corrispondono esattamente a una specifica funzione f (X) prefissata.

-A A

-µA2

X

f(X) F(X)

X

A◊3

-A◊3

-µA2


85 90 95 100

-2

-1

1

2

20 40 60 80 100 120

-2

-1

1

2

Fig. I.19 - Soluzioni della(I.18) con la (I.32) (A = 1; µ = 0.2 e µ = 20).

I.2.c Sintesi di resistori a resistenza differenziale negativa mediante componenti tripolari.

E noto, ad esempio, che la caratteristica tensione-corrente della scarica elettrica in un gas rarefatto utilizzata inmolte lampade e di tipo S, come pure e noto che i dispositivi a due terminali denominati diodi ad effetto tunnelsono dotati di una caratteristica di tipo N. La disponibilita di bipoli elettronici che si comportano, trascurandonegli effetti reattivi, come resistori a resistenza differenziale negativa e pero assai piu ampia, come ora verra mostrato.Consideriamo infatti la figura I.20 nella quale si intende rappresentare uno stadio amplificatore privo di effetti reattivi


Fig. I.20 - Un amplificatore senza effetti reattivi.

e realizzato mediante un componente tripolare. Il suo equivalente per piccoli segnali puo rappresentarsi come nellafigura I.21. Ricordiamo che il guadagno di tensione si esprime piu semplicemente con i parametri g e che il guadagnodi corrente si esprime in modo duale con i parametri r:

Av =−g f

go +Gc; Ai =−

r f

ro +Rc(I.33)

Ricordiamo inoltre che la resistenza di ingresso e la resistenza di uscita si possono esprimere nei modi seguenti:

Rin = ri−r f rr

ro +RC=

riro− r f rr + riRC

ro +RC=

Dr + riRC

ro +RC(I.34)

Rout = ro−r f rr

ri +RG=

riro− r f rr + roRG

ri +RG=

Dr + roRG

ri +RG(I.35)

Fig. I.21 - Equivalente per i piccoli segnali dell’amplificatore di Fig.I.20.

e assumiamo che sia Rin > 0 ∀RC e Rout > 0 ∀RG, non solo perche e il caso piu consueto ma anche perche, se cosı nonfosse, avremmo gia la resistenza negativa che stiamo cercando di ottenere. In particolare, se RC →∞, Rin → ri e quindideve essere ri > 0, se RG →∞, Rout → ro e quindi deve essere ro > 0, se invece RC = 0, risulta Rin = Dr

ro, pertanto anche

il determinante della matrice di resistenze Dr deve essere positivo. In modo duale oppure da questi stessi risultati sipuo dimostrare che gi > 0, go > 0, Dg > 0. Supponiamo ora che il medesimo componente tripolare, invece di essereusato assieme alla resistenza di carico Rc per ottenere uno stadio amplificatore, venga inserito in un circuito che lovincola a comportarsi come un bipolo del tipo indicato nelle figure I.22 e I.23. I vincoli sono, evidentemente

v = v1− v2 (I.36a)

i = i1 =−i2 (I.36b)

e pertanto la resistenza differenziale v/i del bipolo, che indicheremo con rS, si esprime facilmente usando i parametriresistenze:

rS =vi

=v1− v2

i=

ri i+ rr(−i)− r f i− ro(−i)i

= ri− rr− r f + ro (I.37)


Fig. I.22 - Uso del componente tripolare di figura I.20 per ottenere un resistore che si vorrebbe a resistenzadifferenziale negativa.

Fig. I.23 - Equivalente per i piccoli segnali del resistore di Fig.I.22.

Prima di discutere in quali casi risulti rS < 0, consideriamo un’altra possibile configurazione per usare come bipoloil componente tripolare. Essa e indicata nelle figure I.24 e I.25 e corrisponde ai vincoli

Fig. I.24 - Altra configurazione che usa il componente tripolare di figura I.20 per ottenere un resistore che si vorrebbea resistenza differenziale negativa.

v = v1 = v2 (I.38a)

i = i1 + i2 (I.38b)

dai quali si puo facilmente ricavare, usando i parametri conduttanze, la conduttanza differenziale i/v del bipolo, cheindicheremo con gN :

gN =iv

=i1 + i2

v=

gi v+gr v+g f v+go vv

= gi +gr +g f +go (I.39)

Conviene osservare subito che, siccome le matrici di ammettenze e di impedenze sono l’una l’inversa dell’altra,


Fig. I.25 - Equivalente per i piccoli segnali del resistore di Fig.I.24.

valgono le seguenti relazioni [zi zr

z f zo

]=

[yo

/Dz −yr

/Dz

−y f/

Dz yi/

Dz

]; Dy = yiyo− y f yr (I.40a)

[yi yr

y f yo

]=

[zo

/Dz −zr

/Dz

−z f/

Dz zi/

Dz

]; Dz = zizo− z f zr (I.40b)

applicando le quali si riconosce subito che

rS =go +gr +g f +gi

Dg=

gN

Dg= gN Dr (I.41)

la quale mostra che rS e gN hanno sempre lo stesso segno. Dunque, se il componente tripolare e tale da dare luogo aun resistore a resistenza differenziale negativa quando viene usato come nella figura I.22, esso da luogo sicuramentea un resistore a resistenza differenziale negativa anche quando venga usato come nella figura I.24; in caso contrario,nessuna delle due configurazioni dara luogo a resistenze negative. In altri termini, la proprieta di poter essere impie-gato come resistore a resistenza differenziale negativa appartiene al componente tripolare e non alla configurazioneusata.

Per riconoscere allora quali tipi di amplificatori vale la pena di prendere in considerazione, riscriviamo le (I.37) e(I.39) nel seguente modo:

rS = (ri + ro)(

1−r f + rr

ri + ro

)(I.42a)

gN = (gi +go)(

1−−(g f +gr)

gi +go

)(I.42b)

e osserviamo che, usando le (I.40a), risulta

r f + rr

ri + ro=

−g fDg

+ −grDg

goDg

+ giDg

=−(g f +gr)

gi +go= A∗ (I.43)

cosicche in luogo delle (I.37), (I.39) si possono usare le sequenti espressioni:

rS = (ri + ro)(1−A∗) (I.44)

gN = (gi +go)(1−A∗) (I.45)

nelle quali appare un nuovo parametro, caratteristico del componente tripolare, che e stato indicato con A∗.Nel caso particolarmente significativo in cui il doppio bipolo di figura I.21 sia unilaterale, cioe sia rr e gr siano

nulle e quindi Rin = 1/Gin = ri = 1/gi, Rout = 1/Gout = ro = 1/go, risulta

A∗ =−g f

go +Gin=−

−r f

ro +Rin(I.46a)


rS = (Rin +Rout)(1−A∗) (I.46b)

gN = (Gin +Gout)(1−A∗) (I.46c)

e dunque, nel caso di unilateralita(2), confrontando le espressioni di A∗ con le (I.33):

• A∗ e il guadagno di corrente che si otterrebbe nell’amplificatore di figura I.21 se la resistenza di carico RC fosseuguale alla resistenza di ingresso Rin,

• A∗ e il guadagno di tensione che si otterrebbe nell’amplificatore di figura I.21 se la conduttanza di carico GC

fosse uguale alla conduttanza di ingresso Gin,

• una resistenza negativa si puo ottenere soltanto se A∗ > 1.

Se una resistenza differenziale negativa e stata ottenuta, i bipoli delle figure I.22 e I.24 sono resistori a resistenzanegativa fisicamente realizzabili e quindi asintoticamente passivi, cioe i rami a pendenza positiva della caratteristicagiacciono, per valori sufficientemente grandi della corrente e della tensione, nel primo e nel terzo quadrante del pianoV-I; inoltre, come si ricordera, essi sono connessi all’arco a pendenza negativa (che supporremo unico, come avvienenei casi piu semplici e frequenti) nei punti in cui si annulla la resistenza differenziale se si tratta di un resistore S o neipunti in cui si annulla la conduttanza differenziale se si tratta di un resistore N; se si ricorda poi che tutti i parametridifferenziali, e quindi anche A∗, sono funzioni dei valori di riposo e si osservano le relazioni (I.44) e (I.45), si concludefacilmente che rS e gN si annullano in corrispondenza dei punti di riposo nei quali A∗ = 1, fatta eccezione per i casiassai particolari in cui, nel medesimo punto di riposo, l’altro fattore sia infinito. Di norma, quindi, il resistore conentrambi i terminali ”fuori massa” rappresentato nella figura I.22 e di tipo S e il resistore con un terminale ”a massa”rappresentato nella figura I.24 e di tipo N; se dunque il componente tripolare di partenza e ”giusto” cioe ha A∗ > 1 suun certo insieme di punti di riposo, con esso si puo realizzare. a piacere, sia un resistore S fuori massa che un resistoreN con un capo a massa.

Esempi con amplificatori operazionali.

Gli esempi piu semplici da analizzare sono quelli che utilizzano il modello ideale di un amplificatore operazionale,e da questi appunto si comincera, ma si noti subito che l’unica proprieta che e essenziale consiste nella caratteri-stica ingresso-uscita di tipo sigmoidale, assimilabile a un gradino come indicato nella figura I.26, pertanto circuitisostanzialmente identici a quelli che verranno presentati si possono ottenere anche con altri dispositivi, per esempioutilizzando degli invertitori o altre porte logiche. Poiche A∗ puo essere interpretato come un guadagno di tensione edeve essere maggiore di 1, si dovrannp considerare degli amplificatori di tipo non invertente. Nella figura I.27(a)

Vd

Vu

VM

-VM

Fig. I.26 - Caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore operazionale ideale.

e appunto rappresentato un amplificatore di tal genere che fa uso di un amplificatore operazionale supposto ideale,tale cioe da avere la caratteristica ingresso-uscita di figura I.26 nonche correnti di ingresso nulle, tensione di uscitaindipendente dalla corrente di uscita, CMRR infinito ed effetti reattivi nulli. Rispetto alla configurazione elementare

2E anche, approssimativamente, nel caso in cui il doppio bipolo, pur non essendo rigorosamente unilaterale, e pero fortemente non reciproco,cioe |gr| � |g f |, |rr| � |r f |.


ben nota e stato aggiunto il resistore R3 al fine di rendere finito il primo fattore della (I.46b). E noto che, in tutti ipunti di riposo nei quali l’amplificatore operazionale non e in saturazione, il guadagno di tensione vale 1 + R2

R1ed e

indipendente dalla resistenza di carico perche la resistenza di uscita e nulla; esso pertanto coincide sempre con A∗. Sisa inoltre che l’amplificatore e unilaterale e si riconosce subito che la resistenza di ingresso e Rin = R3. Risulta quindi

rS = R3

[1−

(1+

R2

R1

)]=−R2R3

R1(I.47)

certamente negativa. Deve quindi essere un resistore di tipo S il bipolo di figura I.27(b) che corrisponde alla confi-gurazione di figura I.22: vediamo dunque di determinarne la caratteristica. L’operazionale si trova in saturazione

R1

R2

R3

Vout = VuVd

V+ = Vin

(a)

R1

R2

R3

VuVd

I

V

(b)

Fig. I.27 - a) Amplificatore non invertente dal quale si puo derivare un resistore di tipo S; b) il corrispondente resistoreS.

positiva (Vu = VM) se V + ≥V− cioe se VM +V ≥ VMR1(R1+R2)

, da cui

V ≥VL =−VMR2

R1 +R2(I.48a)

e in tal caso si ha, ovviamenteV = R3 I−VM (I.48b)

e quindi

I ≥ IH = VMR1

R3(R1 +R2)(I.48c)

Le (I.48) definiscono, nel piano {V − I}, una semiretta appartenente al quadrante {V ≥VL, I ≥ IH}, avente pendenza1

R3e origine nel punto A di coordinate {VL, IH}.Analogamente, l’operazionale si trova in saturazione negativa (Vu =−VM) se V + ≤V− cioe se−VM +V ≤ −VMR1

(R1+R2),

da cuiV ≤VH = VM

R2

R1 +R2(I.49a)

e in tal caso si ha, ovviamenteV = R3I +VM (I.49b)

e quindi

I ≤ IL =−VMR1

R3(R1 +R2)(I.49c)

Le (I.49) definiscono, nel piano {V − I}, una semiretta appartenente al quadrante {V ≤VH , I ≤ IL}, avente pendenzaancora 1/R3 e origine nel punto B di coordinate {VH , IL}. Si puo infine facilmente verificare che il segmento di


V

I

A

B

O

Vu=VM

Vu=-VM

Fig. I.28 - Caratteristica del resistore di figura I.27(b).

estremi A e B appartiene alla retta di equazione

V =−R2R3

R1I (I.50)

e corrisponde alla regione di grande guadagno dell’amplificatore operazionale che nei precedenti calcoli e stata trattatacon l’approssimazione del cortocircuito virtuale; il risultato complessivo e mostrato nella figura I.28. Un altro

R1

R2

Vin

R4

Vout

Vd

Vu

(a)

R4

Vu

V

I

R1

R2

Vd

(b)

Fig. I.29 - a) Amplificatore non invertente dal quale si puo derivare un resistore di tipo N; b) il corrispondente resistoreN.

amplificatore non invertente e rappresentato nella figura I.29(a). Rispetto alla configurazione elementare ben nota estato aggiunto il resistore R4 al fine di rendere finito il primo fattore della (I.46c): risulta infatti Gout = 1/R4 e Gin = 0.In virtu di quest’ultima, A∗ e interpretabile come il guadagno di tensione a vuoto dell’amplificatore, che sappiamoessere 1+ R2

R1. Dalla (I.46c) risulta allora

gN =1

R4

[1− t(1+

R2

R1)]

=− R2

R1R4(I.51)

certamente negativa. Deve quindi essere un resistore di tipo N il bipolo di figura I.29(b) che corrisponde alla configu-razione di figura I.24. La caratteristica e mostrata nella figura I.30 e puo essere determinata in modo simile a quantosi e visto per il precedente resistore S utilizzando le relazioni

I =V −Vu

R4(I.52a)

V = VM se V ≥VMR1

R1 +R2(I.52b)


V =−VM se V ≤−VMR1

R1 +R2(I.52b)

Si consideri ora il circuito di figura I.31: esso si puo pensare ottenuto collegando il resistore S di figura I.27(b) con il

V

I

A

B

O

Vu=-V

M

Vu=VM

Fig. I.30 - Caratteristica del resistore di figura I.29(b).

resistore R4 e,se la resistenza di quest’ultimo e minore del valore assoluto della resistenza rS data dalla (I.47), cioe se

R1R4 < R2R3 (I.53)

si verifica la situazione di figura I.32, cioe il circuito ha 3 punti di riposo: due con l’operazionale in saturazione euno con tensioni e correnti tutte nulle. Il medesimo circuito, d’altra parte, puo considerarsi costituito dal resistoreN di figura I.29(b) chiuso sul resistore R3 e i medesimi tre punti di riposo sono rappresentati dalle intersezioni dellacaratteristica di figura I.30 con la retta di carico V =−R3I.

R1

R2

R3

R4

Fig. I.31 - Un circuito che puo essere suddiviso in 2 bipoli in 4 diversi modi.

V

I

Vu = VM

Vu = -VM V = -R4 I

Fig. I.32 - Il circuito di figura I.31 ha 3 punti di riposo.


Ma e lecito anche pensare che il circuito di figura I.31 sia costituito dal resistore R1 e dal bipolo rappresentato nellafigura I.33 e, dal momento che i punti di riposo sono ovviamente sempre gli stessi, ci sono certamente 3 intersezionidella caratteristica di tale bipolo con la retta V = −R1I, il che significa che tale caratteristica o e di tipo S o e di tipoN. Per decidere quale caso si verifica si puo analizzare il bipolo in modo analogo ai casi precedenti, ma cio vienelasciato come esercizio per il lettore. Piu rapidamente si puo osservare che esistono tre punti di intersezione dellacaratteristica con l’asse delle correnti (V = 0) e una sola con l’asse delle tensioni (I = 0), infatti se V = V− = 0,Vd = V + = VuR3

(R3+R4), quindi i punti di riposo possono essere rappresentati nel piano {Vd ,Vu} come intersezioni della

caratteristica ingresso-uscita dell’operazionale (v. figura I.26) con la retta di equazione Vu = (1 + R4R3

)Vd la quale,avendo pendenza positiva, interseca la caratteristica dell’operazionale sia nell’origine che in due punti in saturazione.In corrispondenza a V = 0 sono quindi possibili i 3 valori di corrente I = 0 e I = ∓VM

R2; invece da I = 0 consegue

V = V− = Vu, Vd = VuR3(R3+R4)

−Vu da cui Vu =−(1+ R4R3

)Vd che e l’equazione di una retta a pendenza negativa nel piano{Vd ,Vu}, l’intersezione con la caratteristica Vu(Vd) dell’operazione e quindi unica, nell’origine del piano {Vd ,Vu} eil punto di riposo del resistore e pure unico, nell’origine del piano {V, I}. Si tratta dunque di un resistore di tipo S,cioe a controllo di corrente, che non sarebbe stato facilmente deducibile dal metodo di sintesi di resistori a resistenzadifferenziale negativa precedentemente esposto. Si noti, in particolare, che si tratta di un resistore S con un terminalea massa. C’e, infine, un quarto bipolo da esaminare: quello che si ottiene dal circuito di figura I.31 asportandone il

R2

R3

R4

V

I

Vu

Fig. I.33 - Un altro resistore a resistenza differenziale negativa.

resistore R2. Anche questo deve essere ovviamente un resistore S o N: lo riconosca il lettore.

R1

Vu

R3

R4

I V

Fig. I.34 - Un quarto resistore a resistenza differenziale negativa realizzabile con un amplificatore operazionale.

Esempi con transistori.

Non e possibile ottenere un resistore a resistenza differenziale negativa utilizzando un solo stadio amplificatorea transistor perche gli stadi con emettitore o source comune sono invertenti, gli stadi con collettore o drain comunehanno guadagno di tensione < 1 e gli stadi con base o gate comune hanno il modulo del guadagno di corrente ≤ 1;bisogna quindi ricorrere ad amplificatori con (almeno) 2 stadi.

Le configurazioni non invertenti di due stadi amplificatori a transistor che possono avere A∗ > 1 sono tre:

• uno stadio con base o gate comune seguito da uno stadio con collettore o drain comune,


• uno stadio con collettore o drain comune seguito da uno stadio con base o gate comune,

• due stadi con emettitore o source comune.

I01

I02

I

V

R

Vcc

1 2

Fig. I.35 - Un resistore S ottenuto dalla cascata di un primo stadio con base o gate comune e un secondo stadio concollettore o drain comune.

Applicando la configurazione di Fig. I.22 e utilizzando i modelli quanto piu semplici possibile per tutti i compo-nenti, nel primo caso si ottiene il bipolo rappresentato nella figura I.35; l’amplificatore e unilaterale con Rin = 1/gm1,Rout = 1/gm2 e

A∗ =gm2Rin

1+gm2Rin·gm1R =

gm1gm2Rgm1 +gm2

(I.54a)

rs =gm1 +gm2

gm1 ·gm2−R (I.54b)

Le correnti nei transistori sono I1 = I01− I e I2 = I02 + I: e evidentemente agevole ottenere rs < 0 in un certo intervallodi valori di I includente il valore nullo ed avere cosı una caratteristica S con l’arco a resistenza negativa che intersecal’asse I = 0; in tale intersezione, poi, la tensione al nodo di emetttitore o source del transistore 2 risulta maggiore dellacorrispondente tensione del transistore 1 di una quantita circa uguale allatensione collettore-emettitore o drain-sorcedi quest’ultimo, quindi V (0) < 0. La corrente I puo assumere al massimo il valore I01 con 1 interdetto e al minimo ilvalore −I02 con 2 interdetto, come illustrato negli esempi numerici di Fig. I.36.

V

I

1mA

-1mA

0

-5V -4V -3V

(a)

200µA

-200µA

-400µA

0

-5V -4V -3V -2V

V

I

(b)

Fig. I.36 - Esempi di caratteristiche V-I ottenute con simulazioni PSpice per bipoli del tipo di figura I.35 utilizzandomodelli di BJT (a) e di MOST (b).

Un semplice modello di resistore S ottenuto dalla cascata di un primo stadio con collettrore comune e un secondostadio con base comune, che si suppone utilizzino transistori uguali, appare in Fig. I.37(a); posto Rb = R1||R2, si


calcola facilmente Rin = Rb, Rout = R,

A∗ = gm2RRb

R+Rb· gm1/gm2

1+gm1/gm2=

gm1gm2

gm1 +gm2

RRb

R+Rb(I.55a)

rs = R+Rb−gm1 gm2

gm1 +gm2RRb (I.55b)

Essendo poi

V = VccRb

R1+RbI− [Vcc−R(I + I2)] =−Vcc

Rb

R2+(R+Rb)I +RI2 (I.56)

il ramo a pendenza positiva che corrisponde all’interdizione del transistor 2 (I2 = 0) ha pendenza 1/(R+Rb) e intersecal’asse I = 0 in V = −Vcc

R1R1+R2

; il ramo a pendenza positiva che corrisponde all’interdizione del transistor 1 (I2 = I0)ha la stessa pendenza e interseca l’asse I = 0 in V =−Vcc

R1R1+R2

+RI0.In corrispondeza del valore di I che rende uguali le correnti nei transistori (I1 = I2 = I0/2) deve essere nulla la

tensione V1 al nodo di base o gate del transistor 1 e la resistenza differenziale deve essere negativa. Poiche V1 =Rb(Vcc/R1 + I), tale valore della corrente e sicuramente negativo. Se ne conclude che l’arco della caratteristica apendenza negativa giace nel semipiano I < 0.

IV

I0

R

Vcc

2 1

R2

R1

(a)

I-6V -5V -4V -3V

V

200µA

-200µA

-400µA

0

I

(b)

Fig. I.37 - Un resistore S ottenuto dalla cascata di un primo stadio con collettore comune e un secondo stadio con basecomune (a) e un esempio di caratteristica ottenuta da simulazione con modelli di BJT (b).

Il caso di due stadi con emetttitore o source comune e esemplificato nella figura ??; con i BJT e facile ottenere A>1anche in presenza dei partitori resistivi(3) fra gli stadi che sono generalmente necessari per consentire alle tensioni dicollettore valori maggiori della tensione di base, le resistenze sugli emettitori possono anche essere nulle. A causa ditali possibili varianti, i criteri di progetto si ricavano piu agevolmente analizzando di volta in volta lo specifico circuitoche utilizza un tale resistore.

3Talvolta connessi a una alimentazione negativa invece che a massa; con i MOST e generalmente possibile connettere direttamente i draincon i gate

I.3. CALCOLO APPROSSIMATO DELLE OSCILLAZIONI. 29

+

VI

(a)

V

I

0-1V 1V

100µA

200µA

0A

(b)

Fig. I.38 - (a) Un resistore S ottenuto dalla cascata di due stadi a emettitore o source comune; (b) esempi dicaratteristiche ottenute da simulazioni con modelli di BJT (linea continua) e MOST (tratteggiata) .

I.3 Calcolo approssimato delle oscillazioni.

I.3.a Oscillazioni sinusoidali.

Nel caso della (I.18) con la (I.27), un’approssimazione sinusoidale della soluzione periodica si puo ottenere osser-vando innanzitutto che, con X(t) = X1 cos(t)(4), si ha X +X = 0 ∀X1, e la (I.18) si riduce a f [X1 cos(t)]sin(t) = 0. Ma,essendo f [X1 cos(t)] una funzione periodica pari di t, la si puo approssimare con un polinomio di Fo sono nulliienti diordine dispari:

f [X1 cos(t)]sin(t)' [ f0 + f2 cos(2t)+ . . . ]sin(t) =

= f0 sin(t)− f2

2sin(t)+

f2

2sin(3t)+ termini in kt con k ≥ 3 (I.57)

ove si vede che la miglior approssimazione ottenibile consiste nell’annullare i termini in sin(t) imponendo f2 = 2 f0.Come e noto, si ha

f0 = f0(X1) = 1π

Rπ

0 f [X1 cos(t)]dt = 1π

(a2

R arccos( AX1

)0 dt−

−a1R π−arccos( A

X1)

arccos( AX1

)dt +a2

Rπ

π−arccos( AX1

) dt)

=−a1 + 2π(a1 +a2)arccos( A

X1)

(I.58)

f2 = f2(X1) = 2π

Rπ

0 f [X1 cos(t)]cos(2t)dt =

= 2π

(a2

R arccos( AX1

)0 cos(2t)dt−a1

R π−arccos( AX1

)

arccos( AX1

)cos(2t)dt +a2

Rπ

π−arccos( AX1

) cos(2t)dt)

=

= 4AπX1

(a1 +a2)√

1− A2

X21

(I.59)

da cui, imponendof2(X1) = 2 f0(X1) (I.60)

si ricava l’equazione non lineare che determina l’ampiezza X1 della soluzione approssimata:

arccos(AX1

)− AX1

√1− A2

X21

=πa1

2(a1 +a2)(I.61)

4Dovra essere, ovviamente, X1 > A.


e, nel caso in cui sia a1 = a2 = a,

arccos(AX1

)− AX1

√1− A2

X21

=π

4(I.62)

che non dipende da a e la cui risoluzione numerica fornisce

X1 ' 2.475A (I.63)

Procedendo allo stesso modo con la (I.31) e con la (I.32) , si ottiene rispettivamente:

f0 =−a+2aX1

πA(I.64a)

f2 =4aX1

3πA(I.64b)

X1 =3πA

4(I.64c)

e

f0 =−µA2 +µX2

12

(I.65a)

f2 =µX2

12

(I.65b)

X1 = 2A (I.65c)

Bilancio della fondamentale o metodo della funzione descrittiva.

La individuazione di una sinusoide che approssima la forma d’onda generata da un oscillatore sinusoidale, effet-tuata finora con riferimento a equazioni differenziali del 2o ordine, puo essere generalizzata al caso degli oscillatoririconducibili allo schema di figura I.11(b), il che avviene, come vedremo, se la struttura dell’oscillatore si puo rappre-sentare come nella figura I.39, cioe con un blocco amplificatore non lineare e non reattivo e un blocco reattivo che sia”lineare”, non escludendo pero con tale termine che possa eventualmente essere affine cioe tale produrre una grandez-za di uscita Sx(t) dotata di una componente costante non dovuta soltanto al valor medio di Sw(t); questo blocco ha,come vedremo, la funzione di filtro. Ricordando quanto osservato in occasioni precedenti dovremo dunque far sı che

Sx(t) S

w(t)Non lineare e

non reattivo:

Sw

(t) = Sw

[Sx(t)]

Sx(t)Lineare (o affine)

e reattivo

(filtro)

Fig. I.39 - Struttura di un possibile oscillatore sinusoidale a retroazione.

1. il circuito, e quindi il filtro, abbia almeno 2 componenti reattivi,

2. il circuito abbia un solo stato di riposo,

3. tale stato sia instabile con innesco oscillante.


Cio fatto, si cerchera di calcolare, almeno approssimativamente, la frequenza e l’ampiezza di oscillazione, ed even-tualmente la purezza spettrale, la dipendenza di tali parametri dai parametri del circuito, ecc. . . . Per quanto concerneil punto 1 non c’e nulla da aggiungere. Per quanto concerne il punto 2, indicando col pedice OP i valori di riposo,deve essere

SwOP = G(SINOP) (I.66a)

SxOP = c1 SwOP + c2 (I.66b)

Le (I.66) hanno come incognite SxOP e SwOP e debbono avere un’unica soluzione la cui conoscenza consente poi diutilizzare come variabili gli scostamenti dai rispettivi valori di riposo:

X(t) = Sx(t)−SxOP (I.67a)

W (t) = Sw(t)−SwOP = Sw[SxOP +X(t)]−SwOP = G[X(t)] (I.67b)

riconducendoci cosı allo schema di figura I.11(b) che e il circuito equivalente per i segnali (non ”piccoli”) di quello difigura I.11(b). Per verificare il punto 3 occorre considerare il circuito equivalente per piccoli segnali da cui ricavarel’equazione caratteristica associata all’unico punto di riposo esistente.

Indicando le piccole variazioni con x(t), w(t), le loro trasformate di Laplace con W (s), X(s) e linearizzando la(I.67b) si ha:

w(t) = G′(0)x(t) (I.68a)

X(s) = H(s)W (s) =NH(s)DH(s)

W (s) (I.68b)

nell’ultima della quali sono stati messi in evidenza i polinomi in s NH(s) e DH(s), numeratore e denominatore,rispettivamente, della funzione di trasferimento del filtro.

x(t)

X(s)

w(t)

W(s)G’(0) H(s)

Fig. I.40 - Equivalente per piccole variazioni dello schema di figura I.11(b).

Le (I.68) si interpretano con lo schema a blocchi di figura I.40, equivalente per i piccoli segnali nell’intorno dellostato di riposo di quello di figura I.11(b); da esse si ricava

W (s) = G′(0)X(s) = G′(0)NH(s)DH(s)

W (s)

e quindi l’equazione caratteristica cercata e

G′(0)NH(s)−DH(s) = 0 (I.69a)

facilmente ricavabile dall’espressione piu compatta

G′(0)H(s) = 1 (I.69b)

Una volta appurato che tale equazione assicura un innesco oscillante, e possibile che il circuito si comporti daoscillatore sinusoidale, cioe che si instauri un regime periodico tale che la X(t) contenga un’armonica fondamentaledecisamente prevalente sulle armoniche superiori.

Supponiamo allora che la grandezza di ingresso al blocco non lineare, X(t) sia rappresentata con buona approssi-mazione dall’espressione

X(t) = X0 +X1cos(ω t), X1 > 0 (I.70)


nella quale non deve meravigliare la presenza di un termine costante anche se X rappresenta uno scostamento dalvalore di riposo perche la nonlinearita del circuito implica in generale la presenza di armoniche di ogni ordine, equindi anche di ordine zero, ne deve meravigliare che la fase iniziale della fondamentale sia nulla perche l’origine deitempi t puo sempre essere scelta in modo che cio avvenga. Ne segue che

W (t) = G[X(t)] = G[X0 +X1cos(ω t)] (I.71)

e una funzione periodica del tempo t con periodo T = 2π

ωed e inoltre una funzione pari del tempo (W (−t) = W (t)).

Si potra quindi approssimare W (t) con un polinomio di Fourier di soli coseni:

W (t) =n

∑k=0

Wk (X0,X)cos(k ω t) (I.72)

essendo, come e noto:

W0(X0,X1) =1π

πZ

0

G [X0 +X1 cosα]dα (I.73a)

Wk (X0,X1) =2π

πZ

0

G [X0 +X1 cosα]cos(k α)dα, k ≥ 1 (I.73b)

Il blocco lineare, avendo in ingresso una somma di funzioni sinusoidali, produce in uscita una analoga somma chesi sa calcolare, e cioe

X(t) =n

∑k=0

Wk(X0,X1) · |H( j k ω)|cos[k ω t +∠H( j k ω)] (I.74)

Il bilanciamento armonico consiste nell’approssimare quest’ultima espressione con la (I.70) e a tale scopo occorreinnanzi tutto che nella (I.74) le armoniche superiori abbiano ampiezza trascurabile, cioe che sia

|Wk(X0,X1)| · |H( j k ω)| � |W1(X0,X1)| · |H( j ω)| ∀k ≥ 2 (I.75)

e questo evidentemente dipende sia dalla funzione non lineare G(X) che dalla funzione di trasferimento H( jω) delfiltro. Data G(X), occorrera progettare un filtro abbastanza efficiente da realizzare l’approssimazione desiderata, maun’opportuna scelta della funzione non lineare puo facilitare notevolmente il risultato.

Supposto che le condizioni (I.75) siano soddisfatte, rimane da confrontare X0 +X1cos(ω t) con

W0(X0,X1)H( j 0)+W1(X0,X1) |H( j ω)|cos[ω t +∠H( j ω)]

Poiche X1 > 0, per la loro identificazione occorre innanzi tutto che sia ∠H( jω)= 2kπ se W1(X0,X)> 0 e ∠H( jω)=(2k +1)π se W1(X0,X1) < 0 (k intero). In ogni caso, quindi, la funzione di trasferimento del filtro deve essere reale ecio puo avvenire soltanto in corrispondenza delle pulsazioni che siano radici reali positive dell’equazione

Im{H ( jω)}= 0 (I.76)

Detta allora ω0 una tale radice e supponendo che sia l’unica radice reale positiva della (I.76), il bilanciamentoarmonico da luogo alle equazioni seguenti:

W0(X0,X1)H(0) = X0 (I.77a)

W1(X0,X1)H( jω0) = X1 (I.77b)

Si tratta di due equazioni non lineari nelle incognite X0 e X1 la cui risoluzione, insieme con la conoscenza dellapulsazione di oscillazione ω0 ricavata dalla (I.76), definisce l’oscillazione generata dall’oscillatore, nei limiti dell’ap-prossimazione di bilanciare la sola fondamentale. Consideriamo dapprima un caso particolare ma molto significativodelle (I.77), e cioe il caso in cui sia X0 = 0 e quindi esse si semplifichino in:

W0(X1)H(0) = 0 (I.78a)


W1(X1)H( jω0) = X1 (I.78b)

a prima delle quali risulta soddisfatta se W0(X) = 0 e/o H(0) = 0. Si ricade quindi in questo caso particolare ogni qualvolta si sceglie di realizzare una funzione di trasferimento H( jω) di tipo passa-banda, ma si puo anche ricordare chese la funzione G(X) e dispari, cioe G(−X) =−G(X) risultano nulli tutti i coefficienti di Fourier di ordine pari di W (t)(W0 = W2 = W4 = · · ·= 0) e quindi non solo la (I.78a) e soddisfatta anche con una funzione di trasferimento H( jω) ditipo passa-basso, ma le specifiche di progetto del filtro diventano meno restrittive perche e sufficiente attenuare quantobasta le armoniche di ordine ≥ 3 anziche di ordine ≥ 2. Rimane allora un’unica equazione non lineare (la (I.78b)) chedetermina l’ampiezza X1 dell’oscillazione, la quale si puo porre nella forma

W1(X1)X1

H( jω0) = K(X1)H( jω0) = 1 (I.79)

avendo definito la funzione K(X1) che viene detta funzione descrittiva della nonlinearita. Si noti che la (I.79) ela (I.76) si possono fondere nell’unica equazione seguente.

K(X1)H( jω) = 1 (I.80)

Essa infatti puo essere soddisfatta soltanto se H( jω) e reale, essendo reale K(X1)(5).

Complementi.

• La definizione di funzione descrittiva di un blocco non lineare si puo estendere anche al caso in cui in esso sianopresenti anche elementi reattivi: basta pensare a una definizione sperimentale e cioe di applicare all’ingressodel blocco grandezze sinusoidali con diversi valori delle ampiezze e delle frequenze e di misurare ampiezza efase della fondamentale in uscita. Da ogni misura si deduce il rapporto fra i fasori rappresentativi delle duegrandezze sinusoidali e quindi, per punti, si ottiene una rappresentazione di una funzione descrittiva complessa.In tal caso la (I.80) non richiede piu che l’argomento di H( jω) sia un multiplo di π, ma che sia multipla di 2π

la somma degli argomenti della funzione descrittiva del blocco non lineare e della funzione di trasferimentodel blocco lineare. Ne consegue che la frequenza di oscillazione dipende anche dall’amplificatore e non piusoltanto dal filtro: cio non e favorevole al progetto di un buon oscillatore perche il filtro puo essere passivoe quindi realizzato con componenti assai piu precisi e stabili nel tempo di quanto non lo siano i parametridei dispositivi elettronici necessariamente presenti nell’amplificatore. L’uso di amplificatori con effetti reattivitrascurabili almeno nell’intorno della frequenza di oscillazione e dunque favorevole alla stabilita della frequenzastessa.

• Per gli oscillatori descritti dalla (I.18) si ha

G(X) =−Z X

0f (u)du H(s) =

ss2 +1

H(0) = 0 (I.81a)

pertanto il bilanciamento

K(X1) =1

H( jω)= jω+

1jω

= j(

ω− 1ω

)(I.81b)

si soddisfa conω = 1 K(X1) = 0 (I.81c)

Ma

K(X1) =1X1· 2

π

Zπ

0G[X1 cos(t)]cos(t)dt (I.81d)

5Tale proprieta della funzione descrittiva deriva dall’aver assunto che il blocco amplificatore attivo non lineare sia privo di effetti reattivi.


e, integrando per parti,

K(X1) =2

πX1

{[G[X1 cos(t)]sin(t)]π0 −

Zπ

0sin(t)G′[X1 cos(t)][−X1 sin(t)]dt

}=

=−2π

Zπ

0f [X1 cos(t)]

1− cos(2t)2

dt =12

f1(X1)− f0(X1) (I.81e)

e quindi la seconda delle (I.81c) coincide con la (I.60),cioe la soluzione approssimata X(t) ' X1 cos(t) e lastessa.

I.3.b Oscillazioni di rilassamento.

da fare

I.4 Esempi di oscillatori sinusoidali.

I.4.a Oscillatore a ponte di Wien.

+

_

C4

R4

Vy

C3

R3

R1

R2

Vx

Fig. I.41 - Oscillatore a ponte di Wien.

E un oscillatore ”RC”, cioe senza induttori; con riferimento al modello di Fig. I.41(6), la funzione Vy = F(Vx) equella ben nota di un operazionale che satura a ±VM in configurazione non invertente cioe, ponendo G0 = F ′(0) =1+R2/R1:

Vy =|G0Vx +VM|− |G0Vx−VM|

2=

G0Vx se |Vx| ≤VM/G0

VM se |Vx| ≥VM/G0

(I.82)

mentre la funzione di trasferimento del 2-porte lineare e

H(s) =Vx(s)Vy(s)

=sR3C4

(R3C3R4C4)s2 +(R3C3 +R4C4 +R3C4)s+1(I.83)

dalla cui restrizione all’asse immaginario

H( jω) =jωR3C4

1−ω2(R3C3R4C4)+ jω(R3C3 +R4C4 +R3C4)(I.84)

si ricava che la frequenza di oscillazione e

f0 =1

2π√

R3C3R4C4(I.85)

6I resistori e i condensatori costituiscono un ponte di impedenze con gli ingressi dell’opamp sulla diagonale di rivelazione mentre l’uscita ela massa rappresentano la diagonale di alimentazione: di qui il nome.

I.4. ESEMPI DI OSCILLATORI SINUSOIDALI. 35

Per trattare formule piu semplici, senza peraltro rinunciare ai concetti fondamentali, consideriamo d’ora in poi il casoparticolare in cui R3 = R4 = R, C3 = C4 = C e quindi

H(s) =sRC

R2C2s2 +3RCs+1(I.86a)

H( jω) =jωRC

1−ω2R2C2 + j3ωRC(I.86b)

f0 =1

2πRC(I.86c)

Dalla (I.86a) si puo riconoscere che l’equazione differenziale del circuito in esame e

R2C2Vx +RC[3−F ′(Vx)]Vx +Vx = 0 (I.87)

nella quale F ′(Vx) = dF(Vx)/dVx si ricava dalla (I.82). Normalizzando il tempo rispetto a tN = RC e ponendo X =Vx/VM, la (I.87) diviene

X + f (X)X +X = 0 (I.88)

ove

f (X) =

3−G0 se |X |< 1/G0

3 se |X |> 1/G0

(I.89)

che e la (I.27) con i parametri a1 = G0−3 = R2/R1−2, a2 = 3 e A = 1/G0. Ricordando quanto fu allora osservato sideduce che

• se G<3 lo stato di riposo e stabile,

• se G>5 l’innesco delle oscillazioni e esponenziale,

• per l’innesco sinusoidale occorre 3 < G0 < 5,

• poiche il valore di a2 = 3 e maggiore di 2 e non e modificabile, la forma d’onda dell’oscillazione nell’intornodei suoi massimi e dei suoi minimi e costituita da archi di tipo esponenziale, il che compromette la somiglianzadella forma d’onda con una sinusoide.

G0=3.01

15 20 25 30

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

G0=4.99

15 20 25 30

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Fig. I.42 - Esempi di oscillazioni ricavati dal modello di Fig. I.41; le linee a tratteggio indicano l’ampiezzaapprossimata ottenuta risolvendo la (I.61): Vy1app ' 0.4VM.

A quest’ultimo difetto si puo ovviare introducendo nel circuito una nonlinearita progettabile in modo che l’am-piezza dell’oscillazione non faccia saturare l’operazionale. Un esempio appare nella figura I.43: utilizzando l’ap-prossimazione del cortocircuito virtuale e ponendo R2a + R2b = R2, si riconosce facilmente che il guadagno F ′(Vx)vale 1 + R2/R1 per Vx = 0 e mantiene praticamente il medesimo valore fintanto che le correnti nei diodi sono tra-scurabili rispetto alla corrente in R2b, il che avviene per |Vx| sufficientemente piccolo; viceversa, se |Vx| e abbastanzagrande da rendere prevalente la corrente in uno dei due diodi, il valore del guadagno si avvicina a 1 + R2a/R1. Ap-prossimando allora (grossolanamente) la funzione f (X) della (I.88) con una funzione del tipo (I.27), risulta ancoraa1 = R2/R1 − 2 ma a2 = 2−R2a/R1 ≤ 2. A titolo di esempio, il circuito di figura I.41 simulato con R2/R1 = 2.5e quindi a1 = 0.5, a2 = 3 produce una Vx(t) con distorsione totale di circa il 12%, mentre il circuito di figura I.43simulato con R2a/R1 = 1.5, R2b/R1 = 1 e quindi a1 = a2 = 0.5 produce una Vx(t) con distorsione totale di circa il5.4%; i due spettri di Vx(t) sono confrontati nella figura I.44.


+

_

C4

R4

Vy

C3

R3

R1

R2a

Vx

R2b

Fig. I.43 - Oscillatore a ponte di Wien modificato.

0dB

-20dB

-40dB

-60dB

2πf0=1 3 5 7 9

Fig. I.44 - Spettri simulati di Vx(t) per un oscillatore del tipo I.41 rosso e del tipo I.43 (blu); si noti anche la dipendenzadella frequenza di oscillazione dalla nonlinearita: in entrambi i casi essa e minore della (I.86c) ma nel secondo le epiu prossima.

I.4.b Oscillatori sinusoidali di ordine superiore.

da fare

I.5 Esempi di oscillatori di rilassamento (multivibratori astabili).

I.5.a da fare.

da fare

Capitolo II - Circuiti non autonomiII.1 Multivibratori monostabili.

da fare

II.2 Multivibratori bistabili.

da fare

37

Indice analitico

Bilancio della fondamentale o metodo della funzione de-scrittiva, 30

Calcolo approssimato delle oscillazioni, 29Complementi, 33

da fare, 36

Esempi con amplificatori operazionali, 22Esempi con transistori, 26Esempi di oscillatori di rilassamento (multivibratori asta-

bili), 36Esempi di oscillatori sinusoidali, 34Esempi di soluzioni periodiche, 14Esercizio, 16

Modelli a resistenza negativa, 11Modelli a retroazione, 13Modelli di oscillatori, 9Multivibratori bistabili, 37Multivibratori monostabili, 37

Oscillatore a ponte di Wien, 34Oscillatori, 7Oscillatori sinusoidali di ordine superiore, 36Oscillazioni di rilassamento, 34Oscillazioni sinusoidali, 29

Sintesi di resistori a resistenza differenziale negativa me-diante componenti tripolari, 18

38

circuiti non lineari

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