sistemi vibranti 1

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SISTEMI VIBRANTI

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Indice 1 Introduzione: i sistemi vibranti......................................................................................... 3 2 Sistemi vibranti lineari ad 1 grado di libert.................................................................... 5

2.1 Sistema non smorzato e non forzato................................................................................... 6 2.2 Sistema smorzato non forzato............................................................................................. 9

2.2.1 Smorzamento adimensionale 1 ................................................................................................... 11 2.2.4 Riepilogo....................................................................................................................................... 11

2.3 Sistema forzato ................................................................................................................... 14 2.3.1 Forzante statica.............................................................................................................................. 14 2.3.2 Forzante armonica......................................................................................................................... 16

2.4 Funzione di trasferimento armonica ................................................................................ 20 2.4.1 Approfondimento .......................................................................................................................... 25

3 Sistemi non lineari ad 1 gdl ............................................................................................ 28 3.1 Equazione di moto di un sistema non lineare .................................................................. 29

3.1.1 Scrittura dellenergia cinetica........................................................................................................ 30 3.1.2 Scrittura della funzione di dissipazione......................................................................................... 32 3.1.3 Scrittura dellenergia potenziale.................................................................................................... 33 3.1.4 Scrittura dellequazione di moto ................................................................................................... 34

3.2 Linearizzazione dellequazione non lineare di moto....................................................... 35 3.2.1 Ricerca della posizione di equilibrio statico.................................................................................. 36 3.2.2 Linearizzazione dellequazione di moto........................................................................................ 36

3.3 Analisi della stabilit nellintorno dellequilibrio statico ............................................... 37 3.3.1 Caso generale ................................................................................................................................ 38 3.3.2 Sistema linearizzato nellintorno di =0 ....................................................................................... 39 3.3.3 Sistema linearizzato nellintorno di = ....................................................................................... 40

3.4 Limite di validit dellequazione linearizzata ................................................................. 40 4 Sistemi lineari a 2-n gradi di libert ............................................................................... 42

4.1 Scrittura dellequazione di moto ...................................................................................... 42 4.2 Moto libero non smorzato ................................................................................................. 45

4.2.1 Frequenze proprie e modi di vibrare ............................................................................................. 45 4.2.2 Soluzione analitica del moto libero non smorzato......................................................................... 49

4.3 Moto libero smorzato......................................................................................................... 51 4.4 Sistema forzato ................................................................................................................... 51

4.4.1 Forzamento statico ........................................................................................................................ 52 4.4.2 Forzamento armonico.................................................................................................................... 53 4.4.3 Matrice delle funzioni di trasferimento armoniche ....................................................................... 57

4.5 Sistemi a n-gdl .................................................................................................................... 58

0BIntroduzione: i sistemi vibranti

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1 Introduzione: i sistemi vibranti Nella tecnica si presentano diversi problemi nei quali non possibile trascurare la deformabilit dei corpi; in alcuni casi la deformabilit viene introdotta intenzionalmente inserendo nel sistema meccanico delle cedevolezze, caratterizzate da una rigidezza nota con differenti finalit. La sospensione (Figura 1.1a) costituisce un elemento cedevole tra la cassa di un veicolo (detta appunto massa sospesa) e le ruote (che insieme a agli elementi della sospensione costituiscono le masse non sospese) impiegato per isolare la cassa dalle vibrazioni trasmesse dalle irregolarit stradali o anche per consentire alla ruota di variare la sua posizione rispetto alla cassa e mantenere unimpronta a terra ottimale ad esempio nelle fasi di appoggio in curva.

(a)

(b)

Figura 1.1: sospensione per autovettura da competizione (a), movimentazione di una valvola a fungo

attraverso una camma (b).

Nel dispositivo di Figura 1.1b, viene introdotta una molla precaricata per consentire alla valvola di seguire il profilo dalla camma, realizzando quindi la legge di alzata desiderata, e per evitare che la valvola stessa si distacchi dalla camma durante la fase di risalita.. Pensando ancora ad applicazioni veicolistiche, il motore di un autoveicolo viene montato su supporti elastici (tasselli in elastomero) in modo da filtrare le vibrazioni del motore indotte dalle forze dinerzia variabili che nascono sugli organi in moto alternativo, in modo che vengano trasmesse solo in modo attenuato al telaio del veicolo stesso.

(a)

(b)

Figura 1.2: respingente ferroviario (a), pantografo su cui montato lo strisciante per la captazione di

potenza elettrica (b).

0BIntroduzione: i sistemi vibranti

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Un aspetto caratteristico dellambito ferroviario dato dallimpiego dei respingenti (Figura 1.2a): questi dispositivi vengono montati tra due vagoni contigui sia per mantenere le distanze che per assorbire eventuali urti tra gli stessi: di fatto una molla, reagendo in modo proporzionale alla sua deformazione, consente uno scambio di forze molto pi graduale rispetto a quanto avviene nel caso di un impatto. Sempre in ambito ferroviario, il trasferimento di potenza elettrica dalla linea aerea al veicolo avviene tramite uno strisciante (in rame o in carbonio) montato sopra un dispositivo denominato pantografo (Figura 1.2b); il pantografo dotato di un elemento di richiamo elastico pre-caricato che consente di premere lo strisciante contro la linea aerea per evitarne il distacco. Accanto alle cedevolezze volute, i sistemi meccanici presentano anche cedevolezze legate allelasticit dei materiali impiegati; nel caso di Figura 1.3 ad esempio, lalbero di trasmissione che collega il cambio al differenziale potrebbe torcersi per effetto della coppia trasmessa e quindi comportarsi come una molla torsionale di rigidezza kt (stimabile a partire dalla geometria della sezione, dalla lunghezza dellalbero e dalle caratteristiche del materiale) e non come corpo rigido. Tornando al caso dellinterazione tra pantografo e linea aerea, questultima presenta una cedevolezza non trascurabile sotto effetto delle forze scambiate con lo strisciante; in particolare la rigidezza verticale della linea massima in corrispondenza di un palo di sospensione e minima invece a centro campata. Analogamente le forze che un telaio di un veicolo scambia attraverso le sospensioni possono indurre deformazioni elastiche di torsione non trascurabili; gli stessi braccetti delle sospensioni possono flettersi per effetto dei carichi esterni, divenendo cos delle molle in serie rispetto alle molle vere e proprie delle sospensioni.

Cambio

Ponte

L

LGJ

k pt =

Figura 1.3: deformabilit di un albero di trasmissione (b).

Nel momento in cui si introduce una capacit di richiamo elastico in un sistema dotato di inerzia, la risposta del sistema stesso viene caratterizzata da vibrazioni; in una vibrazione il sistema continua a trasformare lenergia potenziale accumulata negli elementi elastici (per compressione o estensione) in energia cinetica e viceversa. Lapplicazione di forze o coppie sul sistema vibrante comporta linnesco di transitori in cui il sistema risponde con moti oscillatori definiti da frequenze caratteristiche del sistema stesso, dette frequenze proprie. Lapplicazione di forzanti periodiche su sistemi vibranti pu produrre sollecitazioni molto gravose su un sistema meccanico qualora la frequenza della forzante (o una delle frequenze che compongono la forzante, se scomponibile in serie di Fourier) coincida con una delle frequenze proprie del sistema. Nei capitoli seguenti verranno mostrati dei modelli per schematizzare e descrivere il moto di sistemi vibranti ad uno o pi gradi di libert.

Capitolo 2: 1BSistemi vibranti lineari ad 1 grado di libert

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2 Sistemi vibranti lineari ad 1 grado di libert La Figura 2.1 riporta la schematizzazione pi semplice di un sistema vibrante ad un grado di libert (gdl); il sistema dotato dei due elementi caratteristici di un sistema vibrante: uninerzia, rappresentata dalla massa m del carrello e una forza di richiamo, fornita dalla molla di caratteristica k. Lunica possibilit di movimento del carrello la traslazione sullasse orizzontale, pertanto la coordinata x mostrata in figura costituisce il grado di libert del sistema.

mF(t)

k

r

x

Figura 2.1: Sistema vibrante lineare ad 1 gdl.

Sempre riferendosi alla Figura 2.1 si osserva come il carrello sia collegato alla parete verticale anche tramite un elemento dissipativo, uno smorzatore viscoso di costante caratteristica r; sul carrello inoltre applicata una forza genericamente dipendente dal tempo F(t). Lequazione di moto del sistema pu essere ottenuta facilmente ricorrendo agli equilibri dinamici; isolando la massa m e mettendo in evidenza le forze agenti sulla stessa includendo la forza dinerzia si ottiene la situazione mostrata in Figura 2.2.

mkxxr&

xm && )(tF

Figura 2.2: Forze agenti sulla massa m in direzione orizzontale.

Si ricorda che la forza esercitata dalla molla proporzionale alla sua deformazione x mentre quella dello smorzatore viscoso risulta proporzionale alla velocit di deformazione attraverso la costante caratteristica r; lo spostamento del carrello assunto positivo verso destra (Figura 2.1) e quindi la molla esercita una forza di richiamo kx diretta in direzione opposta. Analogamente lo smorzatore viscoso agisce in direzione opposta rispetto al verso positivo della velocit. Scrivendo lequilibrio dinamico in direzione orizzontale si deriva lequazione di moto (1.1): ( )tFkxxrxm =++ &&& (2.1) La (2.1) rappresenta lequazione di moto di un sistema vibrante lineare a coefficienti costanti ad 1 gdl forzato con una forzante dipendente dal tempo; analizziamo nel seguito la soluzione dellequazione in alcuni casi particolari.


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2.1 Sistema non smorzato e non forzato Eliminando il forzamento dipendente dal tempo ed eliminando lo smorzatore viscoso1 si ottiene lequazione (2.2):

0=+ kxxm && (2.2) Si tratta di unequazione di moto libero (ossia non forzato) e non smorzato; il sistema descritto dallequazione 1.2 un sistema conservativo. Cerchiamo ora di risolvere lequazione di moto in forma chiusa; la soluzione dellequazione (2.2) del tipo:

= ,; AAex t C (2.3) Assumendo quindi una soluzione nella forma della (2.3) e sostituendola nellequazione di moto (2.2) si ha: ( ) 0;0 22 =+=+ ttt AekmkAeAem (2.4) La (2.4) pu essere soddisfatta solo dalla soluzione banale A=0, oppure dallannullamento del termine tra parentesi (lesponenziale ovviamente non pu annullarsi); seguendo questa seconda ipotesi si ottiene:

02,122 ;;0 i

mki

mkkm =====+ (2.5)

Il parametro pu dunque assumere due valori complessi coniugati 0i . Avendo ottenuto due valori di ammissibili, la soluzione dellequazione di moto (2.2) diviene: ( ) titi eAeAtx 00 21 += (2.6) Dato che x(t) una quantit reale, anche il secondo membro della (2.6) deve essere un numero reale; questo possibile solo se le costanti A1e A2 sono complesse coniugate ovvero se:

ibaAibaA =+= 21 ; (2.7) Infatti, utilizzando la formula di Eulero e sostituendo la (2.7) nella (2.6) si ottiene: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

tbtabiabiatibaibat

titibatitibatitibatitibatx

00

00

0000

0000

sin2cos2sincos

sincossincossincossincos

=+++

=+++=++++=

(2.8)

1 Nei sistemi reali sempre presente un meccanismo di dissipazione di energia; anche in assenza di un componente espressamente introdotto per dissipare energia, come un ammortizzatore vero e proprio, attriti interni e non idealit dei vincoli (ad esempio: le rotelle del carrello presentano resistenza al rotolamento e attrito nei cuscinetti) portano sempre a sistemi non conservativi.


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In altri termini la soluzione dellequazione di moto libero non smorzato (2.2) risulta essere del tipo: ( ) tBtAtx 00 sincos += (2.9)

La (2.9) pu essere riscritta nella forma equivalente (2.10): ( ) ( ) += tCtx 0cos (2.10)

Dove:

=+=

AB

BACarctan

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(2.11) La soluzione dellequazione di moto di un sistema ad 1 gdl non smorzato e non forzato dunque quella di un moto armonico di pulsazione 0, caratterizzato da due costanti (rispettivamente A e B oppure C e per le due formulazioni) che si possono ottenere dalle condizioni iniziali. La quantit mk=0 [rad/s] viene definita come pulsazione propria del sistema non smorzato, mentre 200 =f [Hz] rappresenta la frequenza propria dello stesso. I due termini contengono esattamente la stessa informazione (di fatto sono spesso utilizzati in modo equivalente nella pratica), ovvero la rapidit con la quale si compiono le oscillazioni del sistema libero. Il termine propria deriva dal fatto che una propriet del sistema, indipendente dal tipo di forzamento applicato. Considerata la definizione di 0, la frequenza delloscillazione crescer se il rapporto tra la capacit di richiamo elastico e linerzia del sistema sale; in altri termini abbinare molle ad elevata rigidezza con inerzie contenute porta in genere ad ottenere frequenze di oscillazione elevate. Viceversa, impiegando molle lasche abbinate ad inerzie importanti, si ottengono frequenze di oscillazione basse. Esempio: supponiamo di allontanare il carrello di Figura 2.1 dalla posizione di molla indeformata e di mantenerlo fermo in una posizione spostata verso destra di una quantit x0, come mostrato in Figura 2.3.

k

x0

Figura 2.3: sistema lineare non smorzato non forzato con spostamento iniziale x0

In questa configurazione la molla viene deformata di una quantit pari ad x0, pertanto per mantenere il carrello in questa posizione necessario esercitare sul corpo una forza esterna pari a kx0 diretta verso destra. Se il corpo viene rilasciato, quindi se la forza esterna cessa di essere applicata, la forza della molla richiamer verso sinistra il corpo innescando quindi il moto libero dello stesso (nessuna forza esterna applicata ad eccezione di quella di richiamo


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elastico). possibile utilizzare lequazione (2.9) per descrivere il moto del sistema una volta che la forza esterna stata rilasciata. Le condizioni iniziali del moto sono: ( )

( )

==

000 0

xxx

& (2.12)

Con queste possibile ottenere le costanti A e B della (2.9):

=+==+=

BBAABAx

0cos0sin00sin0cos

00

0

(2.13) Landamento della coordinata libera del sistema (grado di libert x) in funzione del tempo quindi espresso dalla seguente relazione: ( ) txtx 00 cos= (2.14) La Figura 2.4 mostra landamento nel tempo della posizione della massa m con i dati riportati nella didascalia:

Figura 2.4: risposta nel tempo del sistema non smorzato e non forzato: m=1 kg, k=100 N/m, 0x =0.1 m,

0x& =0 m/s.

la posizione iniziale coincide ovviamente con x0 e la pendenza della curva nulla nellistante iniziale, ovvero nella posizione iniziale la massa ha velocit nulla. Il moto della massa armonico nellintorno della posizione di zero con un periodo T pari a:

0

2=T (2.15)

Il periodo inversamente proporzionale alla pulsazione propria del sistema non smorzato.


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Lampiezza delloscillazione risulta costante, come atteso dato che il sistema conservativo. Di fatto nel moto armonico si realizza una continua trasformazione da energia potenziale a cinetica e viceversa: negli istanti in cui lo spostamento raggiunge il massimo (in valore assoluto) lenergia potenziale immagazzinata dalla molla massima; negli stessi istanti la velocit nulla (tangente orizzontale) cos come lenergia cinetica. Negli istanti di spostamento pari a zero la velocit invece massima (in modulo): lenergia potenziale nulla (la molla indeformata e quindi non ha immagazzinato energia) mentre lenergia cinetica risulta massima.

2.2 Sistema smorzato non forzato Se si considera la presenza di uno smorzatore viscoso, lequazione (2.2) cambia come mostrato nel seguito:

0=++ kxxrxm &&& (2.16) Lo smorzatore viscoso costituisce un elemento di dissipazione di energia; il sistema pertanto cessa di essere conservativo. Anche in questo caso la soluzione della (2.16) del tipo

= ,; AAex t C (2.17) Quindi, sostituendo nellequazione di moto si ottiene: ( ) 0;0 22 =++=++ tttt AekrmkAerAeAem (2.18) Cercando soluzioni non banali allequazione (1.18) si pu annullare il termine tra parentesi tonde e quindi risolvere lequazione di secondo grado in .

0;0 22 =++=++mk

mrkrm (2.19)

Ponendo mra 2= e ricordando che abbiamo definito mk=0 , la (2.19) si pu riscrivere come:

02 202 =++ a (2.20)

Si ottengono quindi le radici dellequazione:

20

22,1 = aa (2.21)

Il tipo di radici dipende dal segno del radicando; in particolare se il radicando risulta minore di zero si hanno due radici complesse coniugate con parte reale negativa. Se il radicando risulta uguale a zero si hanno due radici reali negative coincidenti, mentre se il radicando risulta positivo si ottengono due radici reali negative distinte. Prima di analizzare in dettaglio le soluzioni dimostriamo come il segno del radicando sia in realt in relazione con il livello di smorzamento del sistema. Il segno del radicando pu essere analizzato come segue: ( )( ) 0;0 00202 + aaa (2.22)


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Considerando che sia a che 0 sono quantit sempre positive, il segno del radicando dipender solo dal primo termine tra parentesi, quindi:

( ) ;12

;2

;;00

000 mr

mraa (2.23)

La quantit 02 mr un numero puro e viene denominata smorzamento adimensionale; lo smorzamento dimensionale, nel seguito indicato con h, rappresenta sinteticamente le propriet smorzanti del sistema nel suo complesso, ovvero consente di valutare il peso della costante di smorzamento rispetto allinerzia ed alla rigidezza presenti. Il termine 02 m ha le dimensioni di una costante di smorzamento [Ns/m] e viene denominato smorzamento critico. Si pu esprimere h anche nel seguente modo:

kmr

mrh

22 0== (2.24)

Tornando alla soluzione del sistema libero smorzato, la (2.23) dimostra come il segno del radicando della (2.21) dipenda dal segno dello smorzamento adimensionale h; a questo punto quindi possibile procedere con unanalisi pi dettagliata dei tre casi in cui h sia minore, uguale o maggiore di 1.

2.2.1 Smorzamento adimensionale


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2.2.2 Smorzamento adimensionale =1 In questo caso in cui lo smorzamento coincide con lo smorzamento critico, il radicando della (1.21) si annulla e quindi si ottengono due radici reali negative coincidenti.

a=2,1 (2.28) In questo caso la soluzione dellequazione di moto diviene: ( ) atat teAeAtx += 21 (2.29) Per h=1 la soluzione non risulta pi oscillatoria ma presenta due termini entrambi moltiplicati per esponenziali decrescenti nel tempo; indipendentemente dal valore della costante A2 il termine t moltiplicato per e-at andr a zero per t tendente ad infinito. La forma della (2.29) quella di unesponenziale decrescente con al pi un passaggio per zero. In questo caso non ha senso definire una frequenza propria del sistema, dato che la sua risposta non descritta da un moto oscillatorio.

2.2.3 Smorzamento adimensionale >1 Il radicando della (2.21) presenta due radici reali negative distinte:

== aaa 2022,1 (2.30) Il termine dato dalla radice di a2 diminuita di una quantit positiva ( 20 ); complessivamente quindi positivo e minore di a ed entrambe le radici (anche quella con il segno +) sono negative. La soluzione risulta essere: ( ) tt eAeAtx 21 21 += (2.31) Quindi anche in questo caso non si ha un moto oscillatorio e non ha senso parlare di frequenza propria del sistema smorzato.

2.2.4 Riepilogo La Tabella 2.1 riassume le caratteristiche della risposta del sistema libero smorzato in funzione del valore del parametro h.

h Soluzione Risposta oscillatoria Frequenza

propria sistema Andamento nel

tempo

1 ( ) tt eAeAtx 21 21 += No: nessun

passaggio per lo zero

-

t

Tabella 2.1: riassunto delle caratteristiche della risposta libera del sistema smorzato al variare di h.


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Esempio: ritornando allesempio precedente, esaminiamo come cambia la risposta del sistema considerando differenti livelli di smorzamento. Ricordiamo che, a causa di attriti interni o non idealit dei vincoli, qualsiasi sistema presenta sempre uno smorzamento strutturale differente da zero. La Figura 2.5 mostra un confronto tra la risposta del sistema non smorzato e quella del sistema con h pari al 10%; si osserva come, con questo livello di smorzamento adimensionale, le ampiezze di oscillazione gradualmente decrescano tendendo a 0 in un tempo, almeno teoricamente, infinito. Lo smorzatore viscoso dissipa energia e, pertanto, il sistema cessa di essere conservativo; lenergia immagazzinata inizialmente nella molla viene gradualmente dissipata e quindi le ampiezze di oscillazione si riducono nel tempo. La pulsazione propria passa da 10 rad/s per il sistema non smorzato a 9.95 rad/s per quello smorzato cui corrispondono periodi di oscillazione rispettivamente di 0.628 s e 0.632 s. La risposta analitica del sistema, considerando la condizione iniziale di 0x =0.1 m, 0x& =0 m/s risulta essere:

( )

+= taxtxetx d

dd

at sincos0

0 (2.32)

Figura 2.5: risposta nel tempo del sistema libero non smorzato e con h=0.1;

m=1 kg, k=100 N/m, 0x =0.1 m, 0x& =0 m/s.

Figura 2.6: risposta nel tempo del sistema libero con h=0.1, h=0.5 e h=1;

m=1 kg, k=100 N/m, 0x =0.1 m, 0x& =0 m/s.


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Se il livello di smorzamento adimensionale viene incrementato al 50%, la risposta del sistema cambia come mostrato nella linea tratteggiata di Figura 2.6: si osserva come lampiezza di oscillazione si riduca molto pi rapidamente e si pu notare anche lincremento del periodo di oscillazione che, in queste condizioni, diviene pari a 0.725 s (corrispondente ad una pulsazione di 8.66 rad/s). Dal confronto tra le risposte del sistema con h=10% e con h=50% si rileva come nel secondo caso la sovraelongazione, ovvero il primo punto di minimo, sia molto pi prossima a zero; per contro in questa condizione il primo passaggio per lo zero avviene pi tardi rispetto al sistema con h=10%; Quando h viene portato a 1, ovvero se lo smorzamento diviene pari allo smorzamento critico, la risposta del sistema cambia come mostrato dalla linea punteggiata in Figura 2.6: la storia temporale dello spostamento non presenta oscillazioni e viene descritta da una legge di tipo esponenziale che tende a zero per un tempo infinito; in questo caso quindi il sistema non presenta un passaggio per lo zero e, di conseguenza, non mostra sovraelongazioni. La risposta in forma analitica, con le condizioni iniziali considerate, diviene: ( ) atat teaxextx += 00 (2.33) Ovviamente il valore di a nella (2.33) differente da quello della (2.32); infatti si ricorda che:

00

0

22

hmr

mra === (2.34)

E pertanto il valore di a cresce linearmente con h. Di fatto il caso di smorzamento adimensionale pari a 1 rappresenta il caso limite per il quale la risposta libera del sistema non pi caratterizzata da oscillazioni.

Figura 2.7: risposta nel tempo del sistema libero con h=1, h=2 e h=3;

m=1 kg, k=100 N/m, 0x =0.1 m, 0x& =0 m/s. Se il livello di smorzamento viene incrementato ulteriormente la risposta del sistema resta non oscillatoria e cambia come mostrato in Figura 2.7: il sistema ritorna alla posizione di zero senza presentare oscillazioni con pendenze sempre pi basse (in valore assoluto) allaumentare dello smorzamento. Lincremento di smorzamento nel complesso porta ad una risposta pi morbida del sistema ma complessivamente lo rende meno reattivo; in altri termini se convenzionalmente si fissa una soglia (es: 0.1 mm) al di sotto della quale si pu


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ritenere che il sistema sia tornato alla posizione di zero, questa soglia viene attraversata in un tempo sempre pi lungo con laumentare del fattore di smorzamento del sistema.

2.3 Sistema forzato Vediamo ora di analizzare la risposta di un sistema lineare soggetto ad una forzante esterna, ovvero risolviamo lequazione di moto completa, riportata di seguito: ( )tFkxxrxm =++ &&& (1.1) La soluzione dellequazione (1.1) si ottiene come somma di due termini: lintegrale dellequazione omogenea associata, detto integrale generale, e lintegrale particolare. ( ) ( ) ( )txtxtx pg += (2.35) Lequazione omogenea associata rappresentata dalla (2.1) privata del termine di forzamento; per quanto visto in precedenza, questa equazione coincide con quella che descrive il moto libero del sistema, ovvero lequazione (2.16) del Paragrafo 2.2, la cui soluzione gi stata esaminata in dettaglio. Lintegrale particolare dipende invece dal particolare tipo di forzamento cui soggetto il sistema; due casi notevoli, che verranno descritti in dettaglio nel seguito, sono rappresentati dalla forzante statica e da quella armonica. Prima di procedere bene osservare che, indipendentemente dal valore di smorzamento adimensionale, per un sistema lineare smorzato lintegrale generale tende a zero per un tempo infinito; in altri termini il moto libero del sistema tende ad esaurirsi nel tempo, come stato mostrato nei paragrafi precedenti. Per questa ragione, per un tempo t sufficientemente lungo, lunico termine della (2.35) non trascurabile lintegrale particolare che, di conseguenza, viene anche indicato come soluzione a regime, ovvero come risposta del sistema quando il transitorio risulta esaurito.

2.3.1 Forzante statica In questo caso il sistema risulta soggetto ad una forza esterna costante, quindi:

0Fkxxrxm =++ &&& (2.36) Dalla teoria delle equazioni differenziali, noto che lintegrale particolare della (2.36) nella forma: ( ) ( ) ( ) 0costante;0 ==== txtxxtx pppp &&& (2.37) In altri termini per una forzante costante, lintegrale particolare una costante e, di conseguenza, la velocit e laccelerazione del solo integrale particolare sono nulle. Sostituendo la (2.37) nella (2.36) si ottiene:

kFxFkx pp 0000 ; == (2.38)

La soluzione completa della (2.36) pu assumere forme differenti a seconda del valore di smorzamento adimensionale h; se si ipotizza h


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )kFtBtAetxtxtxtx dd

atpg

0sincos ++=+== (2.39) N.B. Le condizioni iniziali necessarie per determinare le costanti A e B devono essere imposte alla soluzione complessiva dellequazione di moto quindi, in presenza di una forzante esterna diversa da zero, alla somma di integrale generale e particolare e non al solo integrale generale. Esempio: consideriamo il sistema rappresentato in Figura 2.8, composto da una massa m vincolata a traslare in direzione verticale, vincolata a terra da uno smorzatore di caratteristica r e da una molla di rigidezza k. In questa condizione il corpo risulta soggetto anche alla forza di gravit, ovvero ad una forzante di tipo costante.

m

kr

xm

mg mg

xm &&kxxr&

Figura 2.8: sistema lineare ad 1 gdl soggetto alla forza peso

Se la coordinata x, che descrive la traslazione lungo lasse verticale, viene assunta positiva verso lalto e il suo zero coincide con la condizione di molla scarica, lequazione di moto si pu scrivere come:

mgkxxrxm =++ &&& (2.40) Supponendo che il sistema abbia uno smorzamento adimensionale


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E quindi la soluzione della (1.40) diviene:

( )

+= 1sincos tate

kmgtx d

dd

at (2.43) Se si ipotizza di impiegare i dati dellesempio precedente (m=1 kg, k=100 N/m, h=0.1), si pu graficare landamento della coordinata libera nel tempo, come mostrato in Figura 2.9; il valore dellintegrale particolare risulta essere -0.0981 m e corrisponde ad una deformazione della molla tale da equilibrare la forza peso del carrello. Osservando la Figura 2.9 si nota come il sistema parta dalla posizione di zero nella quale la molla indeformata; per effetto della forza peso il sistema si muove verso valori negativi della coordinata libera (ovvero verso il basso) e oltrepassa il valore dellintegrale particolare. Al di sotto di questa quota la molla esercita una forza di richiamo verso lalto superiore rispetto alla forza peso e quindi la massa inizia a rallentare fino a raggiungere un punto di minimo; oltre questo il sistema risale per effetto del richiamo elastico della molla ed inizia una serie di oscillazioni nellintorno dellintegrale particolare. Dopo circa 5-6 secondi si pu ritenere che il transitorio di oscillazioni sia esaurito e sia stata raggiunta la condizione di regime data dal solo integrale particolare; nel caso esaminato la soluzione di regime coincide con la posizione di equilibrio statico nella quale la forza peso equilibrata dalla forza di richiamo elastico della molla.

Figura 2.9: risposta nel tempo del sistema soggetto alla sola forza peso con h=0.1;

m=1 kg, k=100 N/m, 0x =0 m, 0x& =0 m/s.

2.3.2 Forzante armonica Il caso di sistema lineare soggetto a forzante armonica risulta di particolare interesse dato che pu essere facilmente esteso al caso di una forzante periodica generica; ogni forzante periodica pu essere infatti scomposta in una somma di armoniche tramite lo sviluppo in serie di Fourier e, trattandosi di un sistema lineare, possibile sovrapporre gli effetti dovuti ad ogni singola armonica in cui scomposta la forzante. La (2.44) rappresenta lequazione di moto di un sistema lineare smorzato soggetto ad una forzante armonica, di ampiezza F0 costante e pulsazione .


17

( )tFkxxrxm =++ cos0&&& (2.44) Anche in questo caso la soluzione dellequazione di moto rappresentata dallintegrale generale sommato allintegrale particolare. Per determinare lintegrale particolare conveniente ricorrere ad una generalizzazione della forzante armonica applicata al sistema; supponiamo che sul sistema siano applicate in realt due forzanti, come mostrato nella (2.45). ( ) ( )tiFtFkxxrxm +=++ sincos 00&&& (2.45) Il sistema viene quindi forzato con la componente reale ( )tF cos0 e con una forzante immaginaria ( )tseniF 0 ; dato che il sistema lineare e vale il principio di sovrapposizione degli effetti si otterranno quindi due integrali particolari, ovvero lintegrale particolare sar del tipo:

)()()( 1 tixtxtx ppptot += (2.46)Di cui il primo termine associato alla forzante reale, mentre il secondo alla forzante immaginaria; dato che la risposta del sistema reale, al termine della trattazione si considera il solo effetto prodotto dalla forzante reale. Vediamo comunque come laggiunta di una forzante immaginaria possa facilitare la determinazione dellintegrale particolare; ricordando la formula di Eulero, la forzante complessiva pu essere riscritta come:

tieFkxxrxm =++ 0&&& (2.47) Il forzamento diviene quindi di tipo esponenziale; in questo caso lintegrale particolare del tipo: ( )

( ) ( ) tititi

ptot

extxexitx

extx

===

02

0

0

;

;

&&& (2.48)

Dove x0 una costante complessa da determinare; sostituendo le relazioni della (2.48) nella (2.47) si ottiene: ( ) tititititi eFexikexexirexm =++ 000002 (2.49) La (2.49) pu essere riscritta come: [ ] titi eFexkrim =++ 002 (2.50) Semplificando lesponenziale si pu ricavare il valore di x0:

[ ]krim Fx ++= 2 00 (2.51) x0 una costante complessa e quindi caratterizzata da un modulo e da una fase:


18

( ) mkr

rmk

Fx x 202222

00 arctan;

=+

= (2.52) Lintergrale particolare complessivo diviene quindi: ( ) ( )00 000 xx titiitiptot exeexextx + === (2.53) La (2.53) si pu riscrivere come: ( ) ( ) ( ) ( )00001 sincos)( xxppptot txitxtixtxtx +++=+= (2.54) Considerando la sola componente della risposta dovuta alla forzante reale si ottiene, ( ) ( )00 cos xp txtx += (2.55) Quindi lintegrale particolare dovuto ad una forzante armonica una funzione armonica con la stessa pulsazione della forzante sfasata rispetto alla forzante di un angolo pari a 0x ; lo sfasamento angolare si riflette in un anticipo (x0>0) o ritardo (x0


19

( )( )

++=+=====

d

xxxd

xx

vxxaBxBaAvx

xAxAx

00000

000

0000

sincos;sin0

cos;cos00

& (2.58)

Se si utilizzano i dati: m=1 kg, k=100 N/m, h=5%, F0=1 N, =2 rad/s v0=0.1m/s, e si disegna landamento temporale della risposta si ottiene il risultato mostrato in Figura 2.11. Si osserva come nei primi istanti di moto (0-5 s) la risposta sia caratterizzata dalla presenza due armoniche sovrapposte: una a bassa frequenza con un periodo di circa 3 s, ed una a pi alta frequenza che compie oscillazioni complete in poco pi di mezzo secondo. La frequenza pi bassa associabile alla forzante armonica: la pulsazione di 2 rad/s corrisponde infatti ad un periodo di oscillazione = 21T pari a 3.14 secondi; la seconda pulsazione legata alla pulsazione propria del sistema smorzato: con i dati utilizzati d risulta pari a 9.99 rad/s corrispondenti ad un periodo di oscillazione di 0.63 s. Si nota come nel tempo le ampiezze delle oscillazioni ad alta frequenza si esauriscano, in particolare dopo 8 s landamento nel tempo del segnale praticamente monoarmonico con una pulsazione pari a quella della forzante. Il sistema presenta quindi un transitorio iniziale in cui sono presenti sia lintegrale generale associato alla risposta libera del sistema che lintegrale particolare dovuto al forzamento armonico; un volta esaurito il transitorio rimane solo leffetto dellintegrale particolare, detto anche soluzione di regime.

Figura 2.11: risposta nel tempo del sistema soggetto a forzante armonica con h=0.05;

m=1 kg, k=100 N/m, F0=1 N, =2 rad/s; 0x =0 m, 0x& =0.1 m/s.

Per un ulteriore approfondimento si pu considerare la Figura 2.12: la Figura 2.12a mostra il solo integrale generale, quindi la sola risposta libera del sistema: il moto libero si esaurisce per la dissipazione dello smorzatore e diviene praticamente trascurabile a circa 8 s. Nella Figura 2.12b si mostra la soluzione complessiva (linea tratteggiata) sovrapposta allintegrale particolare (linea continua); si pu osservare come la fase di transitorio sia data dallintegrale generale (Figura 2.12a) modulato dallintegrale particolare. Dopo circa 8 secondi le due curve sono praticamente sovrapposte.


20

(a)

(b)

Figura 2.12: integrale generale (a) e integrale complessivo sovrapposto allintegrale particolare (b);

h=0.05, m=1 kg, k=100 N/m, F0=1 N, =2 rad/s; 0x =0 m, 0x& =0.1 m/s.

Analizziamo ora in dettaglio il solo integrale particolare: con i dati ipotizzati il modulo e la fase di x0 calcolati in accordo con la (2.52) valgono rispettivamente 0.014 m e -1.19; lampiezza dello spostamento quindi circa 1/100 di quella della forzante, mentre i due segnali sono praticamente in fase: il valore -1.19 indica solo un piccolo ritardo dello spostamento rispetto alla forzante, ovvero il segnale di spostamento raggiunge i picchi di massimo e minimo circa 1/100 di secondo dopo quelli della forzante. Se si osserva il confronto tra la storia temporale dello spostamento (Figura 2.13a) e della forzante armonica applicata (Figura 2.13b), si nota infatti come nella fase di regime i punti di massimo e minimo cadano praticamente nello stesso istante per entrambe le quantit.

(a)

(b)

Figura 2.13: andamento nel tempo dello spostamento della massa (a) e della forza armonica applicata (b);

h=0.05, m=1 kg, k=100 N/m, F0=1 N, =2 rad/s; 0x =0 m, 0x& =0.1 m/s.

2.4 Funzione di trasferimento armonica Concentriamo ora lattenzione sul solo integrale particolare della risposta a forzante armonica; nella (2.59) viene riportato il valore della costante complessa x0 che consente di determinare lintegrale particolare:

[ ]krim Fx ++= 2 00 (2.59)


21

Se entrambi i membri della vengono divisi per F0, si ottiene il valore di x0 per unit di forza, ossia il valore che assume x0 quando al sistema viene applicata una forza di 1 N.

[ ]krimFx ++= 200 1 (2.60) La quantit al secondo membro della viene definita funzione di trasferimento armonica tra la forzante applicata e lo spostamento; la funzione di trasferimento armonica, come sar mostrato nel seguito, consente di stabilire quale sar lampiezza dello spostamento ed il suo sfasamento rispetto ad una forzante armonica di modulo unitario (1 N) e pulsazione . Per capire il significato fisico della funzione di trasferimento armonica utile provare a graficarla, ovvero tracciare landamento di modulo e fase in funzione della pulsazione . Il modulo della funzione di trasferimento si ottiene come:

( ) ;1

22220

0

rmkFx

+= (2.61)

Per la funzione (2.61) valgono le seguenti relazioni:

0lim

1

;1

0

0

00

0

00

0

0

=

=

=

=

=

Fx

rFx

kFx

(2.62)

Landamento del modulo della funzione di trasferimento mostrato in Figura 2.14.

k1

0 0

[m/N]

[rad/s] Figura 2.14: andamento del modulo della funzione di trasferimento armonica in funzione tra forza e

spostamento della pulsazione della forzante. Convenzionalmente si divide il grafico in figura in tre zone:


22

1. zona quasi-statica: questa zona si ha per pulsazioni prossime a zero; la pulsazione nulla rappresenta un caso limite della forzante armonica, in particolare coincide con il caso statico (una pulsazione nulla corrisponde ad un periodo infinito). Il modulo della funzione di trasferimento armonica per =0 pari ad 1/k; questo significa che se si applica una forza F0 statica al sistema il suo spostamento sar F0/k, in accordo a quanto visto nella (2.38). Se la pulsazione della forzante si mantiene vicina allo zero, le ampiezze di oscillazione del sistema sono poco pi elevate dello spostamento prodotto dalla forzante statica.

2. zona di risonanza: questa zona si trova nellintorno del punto di massimo in Figura 2.14; quando la pulsazione della forzante in prossimit o, al limite, coincide con la pulsazione propria del sistema, viene massimizzata lenergia introdotta sul sistema dalla forzante e si registrano le ampiezze di oscillazione pi elevate. Il modulo della funzione di trasferimento armonica vale 1/(0r), quindi lincremento di smorzamento riesce ad abbassare lamplificazione dinamica in risonanza; viceversa un valore di smorzamento molto basso, comporta ampiezze di vibrazione elevata, al limite tendenti ad infinito per r tendente a 0.

3. zona sismografica: se la pulsazione della forzante sensibilmente superiore rispetto alla pulsazione propria del sistema (indicativamente 23 volte superiore) le ampiezze di oscillazione tendono a zero;

Complessivamente il modulo della funzione di trasferimento armonica consente di determinare il modulo dello spostamento dellintegrale particolare conseguente allapplicazione di una forza unitaria ad una data pulsazione; per conoscere il modulo spostamento dellintegrale particolare per una forzante armonica di ampiezza F0 sufficiente moltiplicare il valore del modulo della funzione di trasferimento armonica per F0. Per quanto concerne invece la fase della funzione di trasferimento, il calcolo si pu effettuare come mostrato di seguito:

mkr

x 20 arctan = (2.63)

In questo caso valgono le relazioni:

==

=

=

=

0

0

00

lim2

;0

0

x

x

x

(2.64)

Landamento della fase della funzione di trasferimento mostrato in Figura 2.15.


23

0 0

[]

[rad/s]

Figura 2.15: andamento della fase della funzione di trasferimento armonica in funzione tra forza e spostamento della pulsazione della forzante.

1. Nella zona quasi statica la fase della funzione di trasferimento circa zero, ovvero

forza e spostamento sono sostanzialmente in fase. 2. Allontanandosi dalla zona quasi statica ed andando verso la risonanza, la fase

diminuisce assumendo valori negativi, ovvero lo spostamento in ritardo rispetto alla forza. In corrispondenza della risonanza la fase vale /2 quindi lo spostamento in quadratura in ritardo rispetto alla forza: il massimo (minimo) dello spostamento viene raggiunto 90 dopo il corrispondente massimo (minimo) della forza.

3. Nella zona sismografica la fase tende a -, quindi forza e spostamento sono in controfase: il massimo della forza corrisponde al minimo dello spostamento e viceversa.

Esempio: riprendiamo lesempio precedente e grafichiamo la funzione di trasferimento armonica (Figura 2.16); il sistema presenta una pulsazione propria non smorzata pari a 10 rad/s ed una smorzata pari a 9.98 rad/s (un valore di h pari al 5% non abbassa in modo significativo la frequenza propria del sistema smorzato rispetto a quello non smorzato). Landamento del modulo della funzione di trasferimento mostrato in Figura 2.16a mostra quindi un picco in corrispondenza di 10 rad/s e, congruentemente, la fase (Figura 2.16b) passa per -90 in corrispondenza di questa pulsazione.

(a)

(b)

Figura 2.16: modulo (a) e fase (b) della funzione di trasferimento armonica per il sistema con h=0.05, m=1

kg, k=100 N/m.


24

Nellesempio precedente sul sistema ad 1 gdl veniva imposta una forzante armonica pari ad 1 N con una pulsazione di 2 rad/s; la pulsazione sensibilmente al di sotto della frequenza propria del sistema e, pertanto, questo viene sollecitato in zona quasi statica. Il modulo della funzione di trasferimento per =0 (forzante statica) vale 0.01 m/N. La Figura 2.17 simile alla Figura 2.13 e mostra la risposta nel tempo del sistema quando la pulsazione della forzante vale 2 rad/s: a regime, ossia per t>8s, lampiezza dello spostamento vale circa 0.014 m, mentre la fase pari a -1.19; lampiezza dello spostamento dunque di poco pi elevata di quella statica e la fase prossima a zero gradi, quindi forza e spostamento sono in fase.

(a)

(b)

Figura 2.17: andamento nel tempo dello spostamento della massa (a); confronto tra andamento di

spostamento e forza armonica applicata (b); h=0.05, m=1 kg, k=100 N/m, F0=1 N, =2 rad/s; 0x =0 m, 0x& =0.1 m/s.

(a)

(b)



Se ora portiamo la pulsazione della forzante a 10 rad/s, quindi praticamente coincidente con la risonanza, otteniamo il risultato di Figura 2.18; nella Figura 2.18a, si riporta landamento dello spostamento nel tempo: si osserva un transitorio di circa 8 secondi nel quale compare una sola armonica (10 rad/s) che porta ad una progressiva espansione delle oscillazioni fino


25

ad un valore di regime di circa 0.1m, coincidente con il massimo della funzione di trasferimento mostrata in Figura 2.16a. Per quanto concerne la fase tra forza e spostamento, la Figura 2.18b mostra un dettaglio degli andamenti forza e spostamento tra 8 e 10 secondi: si osserva come lo spostamento sia in ritardo, ossia i massimi ed i minimi vengano raggiunti 90 dopo rispetto alla forzante; i due segnali sono quindi in quadratura e al massimo (minimo) della forza corrisponde uno zero dello spostamento e viceversa. Se la pulsazione della forzante viene ulteriormente incrementata, ad esempio a 30 rad/s, ci si porta a 3 volte la pulsazione propria del sistema e si arriva in zona sismografica. Landamento del tempo dello spostamento, mostrato in Figura 2.19a rivela la presenza di due armoniche nel transitorio iniziale: quella a pi bassa frequenza corrisponde con la frequenza propria del sistema e tende ad esaurirsi nel tempo. A transitorio esaurito il segnale monofrequente e presenta oscillazioni con ampiezza di 1.25e-3 m a 30 rad/s. Il modulo della funzione di trasferimento armonica a 30 rad/s vale 1.25 m/N, mentre la sua fase corrisponde a circa 178. Se si confrontano gli andamenti di forza e spostamento nel tempo riportati in Figura 2.19b, si osserva come i massimi (minimi) della forza corrispondano ai minimi (massimi) dello spostamento, ovvero i segnali sono in controfase.

(a)

(b)



2.4.1 Approfondimento Cercando una spiegazione fisica al cambiamento della risposta del sistema soggetto a forzante armonica in si consideri la soluzione a regime per un sistema lineare forzato con forzante armonica di equazione ( )tFF = cos0 : ( ) ( )00 cos xp txtx += (2.65) Derivando lintegrale particolare rispetto al tempo, si ottengono gli andamenti di velocit e accelerazione del sistema a regime: ( ) ( ) ( ) ( )00200 cos;sin xpxp txtxtxtx +=+= &&& (2.66) Nelle condizioni di regime si pu quindi scrivere:


26

( )( ) ( ) ( ) ( )tFktxrtxmtx

tFkxxrxm

xxx =++++=++

coscossincos

;cos

00000002

0

&&&

(2.67)

La (2.67) si pu riscrivere come: [ ] ( ) ( ) ( );cossincos 00002 tFtxrtkm xx =+++ (2.68) Nella zona quasi statica, di risonanza e sismografica, possibile effettuare alcune approssimazioni nella (2.68):

1. Nella zona quasi statica 0 e quindi, in prima approssimazione, i termini inerziali e smorzanti si possono ritenere trascurabili rispetto al termine elastico; la fase tra forza e spostamento circa nulla, quindi lequazione (2.68) diviene:

( ) ( )kFxtFktx 0000 ;coscos (2.69)

Nella zona quasi statica quindi la forza esterna viene bilanciata quasi esclusivamente dalla forza elastica della molla; questo avviene se lo spostamento in fase con la forza e, di conseguenza, la deformazione della molla si oppone alla forza stessa.

2. Nella zona di risonanza 0 e quindi, per definizione di pulsazione propria (2.5),

mk 2 ; in questo caso il termine tra parentesi quadre della (2.68) tende a zero e lunico termine non trascurabile diviene quello legato alla forza smorzante; in questa zona la fase tra forza e spostamento pari a /2, quindi la (2.68) si approssima in questo modo:

( ) ( )

rFx

tFtxrtxr

=

0

000 ;coscos2sin

(2.70)

Nella zona di risonanza la forza viene quindi equilibrata dalla sola azione dello smorzatore; in corrispondenza della pulsazione propria del sistema non smorzato, la forza elastica e quella dinerzia si bilanciano reciprocamente: la vibrazione libera del sistema non smorzato corrisponde infatti ad una continua trasformazione di energia cinetica della massa in energia potenziale della molla e viceversa. In queste condizioni, in assenza di smorzamento, la forzante pu introdurre continuamente energia nel sistema perch non bilanciata da azioni uguali e contrarie e, teoricamente, le ampiezze di vibrazione possono crescere allinfinito. Lo smorzatore in grado di equilibrare la forza esterna e quindi dissipare lenergia introdotta dalla forzante portando il sistema a vibrare con ampiezze finite. Affinch la forza dello smorzatore sia uguale e contraria alla forza esterna, la velocit deve essere in fase con la forza e questo accade se lo spostamento in ritardo di /2 rispetto alla stessa.


27

3. Nella zona sismografica la frequenza di eccitazione 0>> ; con molto elevato, le forze elastiche e smorzanti sono trascurabili rispetto alla forza dinerzia. Considerando che la fase tra forza e spostamento vale circa , la (2.68) diviene:

( ) ( ) ( )20

002

02 ;coscoscos

=

mFx

tFtxmtxm (2.71)

In questa zona la forza viene equilibrata prevalentemente dalla forza dinerzia; in altri termini la forza produce unaccelerazione della massa; dato il valore elevato di , lo spostamento ottenuto dalla (2.71) ridotto. Di fatto quando si cerca di azionare un sistema ad un grado di libert con una forzante armonica con frequenza molto elevata rispetto a quella propria del sistema, questultimo non in grado di seguire le variazioni di forza; la forza produce solo unaccelerazione del sistema ma non uno spostamento. In queste condizioni laccelerazione deve trovarsi in fase con la forzante, in modo che la forza dinerzia possa equilibrarla. Di conseguenza, dato che accelerazione e spostamento sono in controfase in un moto armonico, lo spostamento in controfasce rispetto alla forza.

Come ultima osservazione viene mostrato leffetto dello smorzamento sulla forma della funzione di trasferimento armonica: la (2.71) mostra landamento del modulo (a) e della fase (b) della funzione di trasferimento in funzione del rapporto tra pulsazione della forzante e pulsazione propria del sistema non smorzato. Lincremento di smorzamento adimensionale tende ad abbassare il picco di risonanza del sistema, al limite annullandolo per valori maggiori di 0.7; nello stesso tempo lincremento di smorzamento tende ad ammorbidire il passaggio di fase da 0 a quando W passa per la zona di risonanza.

(a)

/0

[m/N]

h=0.7

h=0.5

h=0.2

h=0.01

h=0.1

h=0.15

(b)

/0

[]

h=0.7 h=0.5

h=0.2

h=0.01

h=0.1

h=0.15

Figura 2.20: effetto dello smorzamento adimensionale sul modulo (a) e sulla fase (b) della funzione di trasferimento

Capitolo 3: 2BSistemi non lineari

28

3 Sistemi non lineari ad 1 gdl La quasi totalit dei sistemi meccanici non-lineare, ovvero non pu essere descritta attraverso il modello esaminato nel Capitolo 1. In particolare i parametri che caratterizzano il sistema meccanico, inerzia, smorzamento, rigidezza in generale non sono costanti ma si possono ritenere tali solo in prima approssimazione.

Lapprossimazione pi forte relativa a considerare la forza di uno smorzatore come direttamente proporzionale alla velocit di deformazione, mentre su un ammortizzatore reale il parametro r (considerato costante sinora) dipende dalla velocit stessa ed anche dalla frequenza con la quale viene sollecitato lammortizzatore. Un ammortizzatore idraulico ad esempio tende a diminuire le sue capacit dissipative con lincremento della frequenza di eccitazione, esibendo anche una risposta elastica, simile a quella di una molla; in pratica un ammortizzatore dovrebbe essere rappresentato con uno smorzatore viscoso in parallelo ad una molla i cui parametri dovrebbero variare con la frequenza di eccitazione2.

Le molle non possono comprimersi o estendersi in modo indefinito; se nellintorno di una posizione di equilibrio possibile ritenere lineare la risposta di una molla per oscillazioni limitate, quando si considerano grandi spostamenti la molla reagisce in modo non lineare: in una molla ad elica le spire possono entrare in contatto luna con laltra in compressione oppure, in estensione, si pu raggiungere il limite di snervamento del materiale. Nella pratica, inoltre, si applicano dei tamponi di fine corsa in modo da limitare il moto dei corpi ed evitare urti tra gli stessi; per grandi spostamenti quindi gli elementi elastici applicati ad un sistema non si possono ritenere lineari

Alcuni materiali come gli elastomeri possono essere schematizzati come molle lineari solo in prima approssimazione, mentre nella realt la loro risposta non-lineare e dipende da ampiezza e frequenza delleccitazione (gli elastomeri in genere divengono pi rigidi con lincremento della frequenza di eccitazione).

(a)

mp

d

(b)

F

x

Figura 3.1: manovellismo ordinario centrato (a), sospensione automobilistica (b)

La cinematica del sistema pu generare delle non linearit: ad esempio linerzia di un

sistema potrebbe dipendere dalla configurazione come accade nel manovellismo di Figura 3.1a dove il momento dinerzia visto allalbero cambia perch la distanza d del

2 Esistono modelli, denominati reologici, che consentono di riprodurre queste caratteristiche.


29

pistone dallasse di rotazione varia con la coordinata angolare. Analogamente anche se nella sospensione di Figura 3.1b viene montata una molla lineare (con i limiti evidenziati sopra), il cinematismo fa si che landamento della forza a terra F in funzione dellinnalzamento del centro ruota x sia non lineare; in particolare nelle sospensioni si tende in genere a creare con il cinematismo una caratteristica irrigidente con lincremento di spostamento.

Accanto a questi elementi, le forze che agiscono sul sistema non sono in generale funzione solo del tempo, ma anche di spostamento, velocit ed accelerazione del sistema stesso (forze di campo). Un esempio di forza posizionale (dipendente dalla posizione del sistema) dato dalla forza peso, mentre un esempio di forza dipendente dalla velocit dato dalle forze aerodinamiche che dipendono dalla velocit relativa tra sistema e fluido. Le tecniche di scrittura di moto di un sistema non lineare sono le stesse impiegate per un sistema lineare, tuttavia lequazione di moto non in generale risolvibile in forma chiusa. Si pu pervenire ad una soluzione attraverso metodi di integrazione numerica. In molte applicazioni utile riuscire ad approssimare il moto di un sistema non lineare attraverso un sistema lineare. Nei casi di nostro interesse questo avviene nello studio delle oscillazioni di un sistema nellintorno della posizione di equilibrio statico (spostamento costante) o della configurazione di regime (velocit costante); nel seguito del Capitolo approfondiremo lanalisi del primo caso. La soluzione in forma chiusa dellequazione di moto, ottenibile con un sistema lineare, consente di evidenziare in modo pi immediato alcune dipendenze di analizzare la stabilit delle oscillazioni del sistema stesso.

3.1 Equazione di moto di un sistema non lineare Consideriamo un esempio di sistema non lineare e, per evidenziarne le differenze rispetto ad un sistema lineare, proviamo a scriverne lequazione di moto. La Figura 3.2 mostra un disco di raggio R posto in un piano verticale che rotola senza strisciare su un piano orizzontale; il baricentro del disco G eccentrico e si trova ad una distanza h dal centro geometrico O. Il disco ha una massa complessiva m ed un momento dinerzia baricentrico J. Si ammette che le resistenze al rotolamento sul disco siano schematizzabili con uno smorzatore torsionale equivalente di caratteristica r. Dato che la distanza del centro del disco dal piano orizzontale resta sempre pari ad R (quindi la traslazione verticale impedita) e che rotazione e traslazione orizzontale sono legate dal vincolo di rotolamento senza strisciamento, il sistema ha un solo grado di libert: utilizziamo ad esempio la rotazione per descrivere il moto del sistema.

G

O

P

m, J, R

h r .

Figura 3.2: Esempio di sistema non lineare


30

Per la scrittura dellequazione di moto possibile ricorrere allequazione di Lagrange:

QVDTT

dtd =

++

&& (3.1) Nella (3.1) T rappresenta lenergia cinetica del sistema, D la funzione di dissipazione e V lenergia potenziale e Q la componente lagrangiana della sollecitazione attiva.

3.1.1 Scrittura dellenergia cinetica Lenergia cinetica del sistema si pu scrivere come somma dellenergia cinetica di traslazione del baricentro e dellenergia cinetica di rotazione attorno al baricentro, ovvero:

22

21

21 JmvT G += (3.2)

Per determinare lenergia cinetica dobbiamo quindi ricavare il valore della velocit del baricentro e della velocit angolare del disco. Dato che il vettore velocit angolare unico per un corpo rigido e che il problema piano3, la velocit angolare coincide con la derivata temporale dellangolo , assunto come coordinata libera. La scrittura della velocit del baricentro meno immediata e pu essere effettuata in diversi modi, ad esempio sapendo la posizione del centro di istantanea rotazione (Figura 3.3a; dal teorema di Carnot si ottiene: cos222 RhhRPG += ) oppure impiegando delle terne di trascinamento e relative; in questo caso particolare conviene impiegare una terna di trascinamento traslante in O ed una relativa rotante attorno ad O per descrivere il moto del baricentro Figura 3.3b.

(a)

G

O

P

vG=(G-P)

(b)

G

O

P vtra=v0=R

Vrel= h

Figura 3.3: determinazione grafica della velocit del baricentro: impiego del centro di istantanea

rotazione (a); impiego di una terna di trascinamento in O e di una terna relativa rotante attorno ad O.

3 Lenergia cinetica di rotazione attorno al baricentro assume una forma pi complessa nel caso di un moto nello spazio; in questo caso, il vettore velocit angolare avrebbe 3 componenti non nulle e lenergia cinetica di rotazione di un corpo rigido dovrebbe scriversi come:

{ }zyxz

y

xT

rot

JJ

JT =

= ;

000000

21

dove Jx Jy e Jz sono i momenti dinerzia baricentrici nella terna principale dinerzia e x, y e z sono le componenti del vettore velocit angolare nella stessa terna.


31

Di seguito viene descritto in dettaglio un metodo probabilmente meno elegante ma applicabile nella totalit dei casi, anche quando la posizione del c.i.r. non risulti particolarmente evidente o la scelta delle terne di trascinamento e relative non sia cos ovvia. Il metodo proposto si basa sulla scrittura della posizione del punto in coordinate cartesiane (o polari, se il problema si adatta meglio a questa formulazione) e quindi di derivare nel tempo le coordinate stesse per ottenere le componenti di velocit.

G

O

h

G

y

x

R

Figura 3.4: determinazione della posizione del baricentro in seguito ad una rotazione Per la scelta del sistema di riferimento si consideri la parte di sinistra della Figura 3.4, dove viene rappresentato il disco nella posizione =0; assumiamo come riferimento un asse x orizzontale alla quota del piano di appoggio e un asse y verticale passante per il centro del disco quando la rotazione nulla. Se si considera una rotazione finita 0 e si scrivono le coordinate del baricentro si ottiene:

==

cossin

hRPhRP

Gy

Gx (3.3)

Per determinare la posizione lungo x si deve tenere conto che una rotazione comporta una traslazione del centro del disco pari a R; derivando la (3.3) si ottengono le componenti del vettore velocit del baricentro.

=

=

&&

&&&sin

coshP

hRP

Gy

Gx (3.4)

La velocit del baricentro si ottiene calcolando il modulo del vettore velocit:

cos2

sincos2cos22

22222222222

RhhR

hRhhRPPv GyGxG

+=++=+=

&

&&&&&& (3.5)

Lenergia cinetica del sistema diviene quindi:


32

( ) ( )[ ] 2222222 cos221

21cos2

21 &&& JRhhRmJRhhRmT ++=++= (3.6)

Il termine tra parentesi quadre della (3.6) rappresenta il momento dinerzia del disco attorno al suo asse di rotazione istantaneo (ovvero attorno al centro di istantanea rotazione); dato che lasse di rotazione cambia in funzione della posizione angolare la distanza del baricentro dallasse di rotazione cambia e il sistema presenta un momento dinerzia variabile con la posizione angolare. Per capire questa affermazione utile considerare due casi particolarmente immediati: la Figura 3.5a mostra la configurazione in cui =0, in questo caso il baricentro del disco dista (R-h) dal centro di istantanea rotazione; se si calcola lenergia cinetica in corrispondenza di =0 si ottiene:

( )[ ] ( )[ ] 222220 2

1221 && JhRmJRhhRmT +=++== (3.7)

Quindi il momento dinerzia attorno al centro di istantanea rotazione in questa configurazione pari al momento dinerzia baricentrico J cui si somma il termine di trasporto pari al prodotto della massa m per la distanza dallasse di rotazione al quadrato.

(a)

G

O

R h

(b)

G

O

R h

Figura 3.5: configurazione con =0 (a) e con = (b).

Se si considera ora la configurazione con =, riportata in Figura 3.5b, si ha che la distanza del baricentro dallasse di rotazione pari a R+h. Se ora si calcola lenergia cinetica in = si ha:

( )[ ] ( )[ ] 22222212

21 && JhRmJRhhRmT ++=+++== (3.8)

In modo congruente si ottiene quindi un momento dinerzia attorno allasse di rotazione dato dalla somma di momento dinerzia baricentrico e il termine di trasporto; in questo caso il momento dinerzia massimo, dato che per = massima la distanza del baricentro dallasse di rotazione.

3.1.2 Scrittura della funzione di dissipazione Se su un sistema agiscono n smorzatori lineari e m smorzatori torsionali, la funzione di dissipazione viene definita come:


33

==

+=m

km

n

ii rlrD

1

2

1

2

21

21 && (3.9)

Dove ri la caratteristica delli-esimo smorzatore caratterizzato da una velocit di allungamento lineare 2l& mentre rk e la caratteristica del k-esimo smorzatore torsionale con velocit angolare di deformazione & . Nel caso in esame il sistema presenta un solo smorzatore torsionale che agisce direttamente sulla velocit angolare del disco; la funzione di dissipazione diviene pertanto:

2

21 = &mrD (3.10)

3.1.3 Scrittura dellenergia potenziale Lenergia potenziale del sistema legata al campo gravitazionale; ricordiamo che, per definizione, la variazione di energia potenziale pari al lavoro svolto dal campo conservativo cambiato di segno; quindi, nel caso dellenergia potenziale gravitazionale, spostandosi da un punto A ad un punto B, lenergia potenziale si calcola come:

sg dmVVB

AAB = (3.11)

Dato che il vettore g si mantiene sempre verticale e diretto verso il basso, lunica componente di spostamento che interviene nel lavoro della forza peso quella verticale; definendo la posizione verticale della massa m tramite una coordinata y positiva diretta verso lalto, la (3.11) pu essere riscritta come:

AB

y

y

y

y

y

yAB mgymgydymgdymgdmVV

B

A

B

A

B

A

==== yg (3.12) Il cambio di segno nellintegrale dovuto al fatto che lasse y positivo verso lalto, mentre la forza peso diretta verso il basso; nel prodotto scalare langolo tra i vettori vale dunque . La variazione di energia potenziale si pu quindi ottenere considerando la variazione di quota del baricentro del corpo in esame rispetto ad una quota di riferimento nella quale si pu attribuire allenergia potenziale un valore pari a zero. In particolare per il problema in esame si pu assumere come quota di riferimento il punto pi basso occupato dal baricentro, ovvero la posizione con =0.


34

G

O

P

m, J, R

h

hcos G

Figura 3.6: quota del baricentro per una rotazione generica

Dallesame della Figura 3.6, dove si indica con G il baricentro nella posizione pi bassa e con G la posizione nello stesso per una rotazione generica, si ottiene per differenza la quota del baricentro rispetto al livello di zero.

coshhyG = (3.13) Da cui possibile ricavare lenergia potenziale del sistema ( )coshhmgV = (3.14)

3.1.4 Scrittura dellequazione di moto Applicando la (2.1) si ottiene lequazione di moto; calcolando i singoli termini dellequazione di Lagrange si ha:

( )[ ] 222 sin2cos2 &&&& mRhJRhhRmTdtd +++= (3.15)

2sin &mRhT =

(3.16)

&& rD =

(3.17)

sinmghV =

(3.18) Quindi, assemblando le relazioni precedenti: ( )[ ] 0sinsincos2 222 =+++++ mghrmRhJRhhRm &&&& (3.19)


35

La (3.19) rappresenta lequazione di moto non lineare del sistema, valida per descrivere il moto in grande, ossia con valori qualsiasi della rotazione ; lunico termine lineare presente dato dalla coppia smorzante. La soluzione dellequazione differenziale di moto pu essere ottenuta per via numerica. A titolo desempio la Figura 3.7a mostra landamento nel tempo della rotazione del disco e della velocit angolare per le condizioni iniziali =135 e velocit iniziale di 0 rad/s; dallandamento temporale della rotazione si nota una oscillazione attorno allo zero con ampiezze progressivamente decrescenti. Landamento delloscillazione non descritto da una sinusoide smorzata; questo particolarmente evidente osservando il segnale di velocit angolare, ossia la derivata prima della rotazione. Il segnale dunque periodico ma non monoarmonico e, pertanto, non pu essere descritto da una frequenza caratteristica, ossia da un parametro equivalente alla frequenza propria di un sistema vibrante lineare. In altre parole unanalisi dello spettro dei segnali di rotazione e velocit di rotazione evidenzierebbe come il segnale sia ricostruibile in serie di Fourier come somma di pi armoniche, in genere multiple dellarmonica fondamentale. Un altro aspetto interessante, caratteristico di un sistema non lineare, dato dalla variazione del periodo di oscillazione con lampiezza delloscillazione stessa: lesame della Figura 3.7a mostra chiaramente come per ampiezze maggiori il periodo sia maggiore, mentre il periodo di oscillazione si riduce (frequenze di oscillazioni pi alte) con ampiezze ridotte.

(a) (b)

Figura 3.7: andamento nel tempo di rotazione e velocit di rotazione per ( ) ( ) 00;430 == & rad/s (a) e per ( ) ( ) 5.30;430 == & rad/s (b).

La Figura 3.7b mostra il risultato dellintegrazione numerica dellequazione di moto con rotazione iniziale di 135, quindi la stessa del caso precedente, e velocit iniziale di 3.5 rad/s. In questo caso la velocit iniziale sufficiente per spingere il baricentro del sistema oltre i 180 e quindi innescare una rotazione del disco lungo il piano orizzontale; il sistema compie una rotazione completa (arriva a 495), il baricentro supera di nuovo la posizione pi elevata (540) e inizia ad oscillare attorno alla posizione con baricentro pi basso (720). Landamento della velocit di rotazione si mantiene inizialmente positivo, ossia la rotazione aumenta, fino a che si innesca il moto oscillatorio smorzato.

3.2 Linearizzazione dellequazione non lineare di moto Per quanto sia possibile scrivere e risolvere numericamente unequazione di moto non lineare, in molte applicazioni pratiche riuscire ad approssimare il moto di un sistema non lineare attraverso un modello lineare consente di trarre utili e immediate indicazioni sui parametri che influenzano la risposta del sistema.


36

Sotto certe condizioni possibile linearizzare unequazione di moto non lineare nellintorno di una posizione e ricondursi ad unequazione del tipo: ( )tFkxxrxm =++ &&& (3.20) Nel nostro caso risulta interessante capire se sia possibile linearizzare lequazione di moto di un sistema che oscilla nellintorno di una posizione di equilibrio statico. Questo in genere possibile se le oscillazioni nellintorno della posizione di equilibrio sono piccole, tali da potere ritenere trascurabili le non linearit del sistema.

3.2.1 Ricerca della posizione di equilibrio statico La ricerca della posizione di equilibrio statico pu essere effettuata con diverse tecniche, utilizzando il principio dei lavori virtuali, imponendo la stazionariet dellenergia potenziale (in presenza di campi conservativi), oppure cercando una soluzione stazionaria allequazione di moto. Tornando allesempio del paragrafo precedente, cercare una soluzione stazionaria significa imporre:

====

0;0cos0

&&&t

(3.21)

Imponendo questa soluzione nellequazione di moto si ottiene: ( )[ ] 0sin0sin00cos2 0022 =+++++ mghmRhrJRhhRm (3.22) E quindi:

nkkmgh ...2,1;0sin 00 === (3.23) Sebbene da un punto di vista matematico esistano infinite posizioni di equilibrio, al lato pratico le posizioni di equilibrio sono due: 0 e , quindi con il baricentro collocato rispettivamente nella posizione pi bassa e pi alta.

3.2.2 Linearizzazione dellequazione di moto Una volta determinata la posizione di equilibrio statico possibile procedere alla linearizzazione dellequazione di moto. In primo luogo comodo eseguire un cambio di variabile, utilizzando al posto della posizione/rotazione assoluta, la posizione/rotazione rispetto alla posizione di equilibrio statico. Nel caso di una rotazione la nuova variabile diviene:

&&&&&& ===

;0 (3.24)

A questo punto necessario approssimare i termini non lineari presenti nellequazione di moto con il loro sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine; in altre parole, con la linearizzazione, le funzioni non lineari presenti nellequazione di moto vengono approssimate con la loro tangente valutata in corrispondenza del punto di equilibrio statico. Nellequazione di moto (3.19) sono presenti due funzioni non lineari: sin e cos.


37

Consideriamo la prima posizione di equilibrio statico, quella corrispondente a =0; nellintorno di 0 le funzioni seno e coseno si approssimano come segue:

( ) 1sincoscoscoscos 00000

==+

=

(3.25)

( )

=+=

+=

0000 cossinsinsinsin

0

(3.26)

Lequazione di moto nellintorno della posizione =0 pu quindi essere approssimata come: ( )[ ]

( )[ ] 0 ;02 22222

=++++=+++++

mghrmRhJhRm

mghrmRhJRhhRm&&&&

&&&& (3.27)

Lequazione (3.27) non ancora lineare per via del termine 2& ; nellipotesi di piccole oscillazioni nellintorno di una posizione di equilibrio statico la rotazione e le sue derivate sono ritenute piccole appunto e sono assimilate ad infinitesimi. Il termine 2& dunque un infinitesimo del secondo ordine e quindi viene trascurato rispetto agli altri. Sotto questa ipotesi lequazione di moto linearizzata nellintorno di =0 diviene:

( )[ ] 02 =+++ mghrJhRm &&& (3.28) Se si considera la posizione = invece si ha:

1cos (3.29)

sin (3.30) E quindi lequazione di moto si approssima come:

( )[ ] 02 =+++ mghrJhRm &&& (3.31)

3.3 Analisi della stabilit nellintorno dellequilibrio statico La linearizzazione dellequazione di moto nellintorno della posizione di equilibrio statico consente di trarre informazioni sulla stabilit del moto del sistema nellintorno della posizione di equilibrio stessa. Prima di procedere forniamo una definizione di stabilit:

Si ha stabilit asintotica se il sistema, in seguito ad una perturbazione, ritorna nella posizione di equilibrio in un tempo infinito, con o senza oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio.

Si ha stabilit non asintotica se il sistema, in seguito ad una perturbazione, oscilla nellintorno dellequilibrio statico con ampiezza di oscillazione costante.

Si ha instabilit se il sistema, in seguito ad una perturbazione, si allontana indefinitamente dalla posizione di equilibrio.


38

Consideriamo lequazione linearizzata nellintorno di =0:

( )[ ] 02 =+++ mghrJhRm &&& (3.32) Il momento dinerzia equivalente, come osservato in precedenza, corrisponde al momento dinerzia del sistema attorno al c.i.r. nella configurazione in cui il baricentro del disco occupa la posizione pi bassa possibile. Il termine di rigidezza equivalente rappresentato dalleffetto di richiamo elastico del peso che, per piccole oscillazioni, si pu ritenere lineare. La (3.32) pu essere riscritta come:

0=++ eqeqeq krJ &&& (3.33) La (3.33) lequazione di moto di un sistema lineare non forzato; lesempio utilizzato volutamente semplice ed in generale comunque possibile che, linearizzando lequazione di moto, compaia un termine di forzamento dipendente dal tempo.

3.3.1 Caso generale Per analizzare la stabilit del sistema necessario analizzare la sua risposta libera, ovvero senza considerare eventuali termini di forzamento, in quanto la stabilit una caratteristica propria del sistema. Si deve quindi risolvere la (3.33) che, come noto, ammette soluzioni del tipo

;tAex = (3.34) Con A e costanti da determinare in genere complesse; come vedremo tra breve, per lanalisi di stabilit sufficiente determinare . Assumendo quindi una soluzione nella forma della (3.34) e sostituendola nellequazione di moto (2.2) si ha: ( ) 0;0 22 =++=++ teqeqeqteqteqteq AekrJAekAerAeJ (3.35) Escludendo la soluzione banale A=0, e annullando il termine tra parentesi si ottiene:

02 =++ eqeqeq krJ (3.36) Le radici dellequazione caratteristica , dette autovalori, consentono di valutare la stabilit del sistema; infatti, dato che la soluzione dellequazione di moto data dalla combinazione lineare di soluzioni del tipo (3.34), se uno degli autovalori ha parte reale positiva, lesponenziale della 2.31 diverge nel tempo e quindi il sistema si allontana dalla posizione di equilibrio. Nel caso generale si ottiene:

eq

eq

eq

eq

eq

eq

Jk

Jr

Jr = 2

2

2,1 42 (3.37)

Le soluzioni della (3.37) variano a seconda dei valori assunti dai parametri dellequazione di moto (Jeq, req e keq). In particolare i termini req e keq possono essere positivi o negativi.


39

Se tutti i parametri del sistema linearizzato sono positivi (quindi Jeq, req e keq>0) la risposta del sistema presenta, come visto nel Capitolo 1, o due radici reali negative distinte, o due radici reali negative coincidenti o radici complesse coniugate con parte reale negativa. In tutti i casi le soluzioni riportano il sistema nella posizione di equilibrio per un tempo infinito e quindi il sistema risulta stabile.

1. se la rigidezza equivalente keq negativa e lo smorzamento equivalente positivo, il sistema presenta almeno un autovalore con parte reale positiva: il termine sotto radice della (3.37) infatti diviene reale positivo e, in modulo, maggiore del termine al di fuori della radice stessa; la soluzione con il segno + pertanto reale positiva. Il sistema dunque instabile (divergenza statica)

2. se la rigidezza equivalente keq negativa e lo smorzamento equivalente req negativo: il termine sotto radice della (3.37) diviene reale positivo e, in modulo, maggiore del termine al di fuori della radice stessa; una soluzione risulta reale positiva ed il sistema instabile (divergenza statica)

3. se lo smorzamento equivalente req negativo e rigidezza equivalente keq positiva: se

il termine sotto radice positivo il sistema presenta due radici reali positive ed dunque instabile; se il termine sotto radice negativo il sistema presenta due radici complesse coniugate con parte reale positiva: in questo caso una soluzione espansiva (dunque instabile) oscillante

Complessivamente se la rigidezza e/o lo smorzamento equivalenti sono negativi il sistema risulta instabile. Riassumendo si pu affermare che:

Se gli autovalori hanno parte reale negativa il sistema asintoticamente stabile; il sistema torna nella posizione di equilibrio statico in un tempo t con o senza oscillazioni

Se almeno uno degli autovalori ha parte reale positiva il sistema instabile; linstabilit pu essere o meno caratterizzata da oscillazioni

Se uno degli autovalori del sistema ha parte reale nulla (ad esempio se non ci fosse smorzamento) si ha stabilit non asintotica, ovvero il sistema oscilla con ampiezze costanti nellintorno dellequilibrio statico

3.3.2 Sistema linearizzato nellintorno di =0 Quando il sistema viene linearizzato nellintorno di =0, ossia nella posizione pi bassa che pu occupare il baricentro, si ottiene:

( )[ ] 02 =+++ mghrJhRm &&& (3.38) I parametri di inerzia equivalente, smorzamento equivalente e rigidezza equivalente sono positivi e, pertanto, dallanalisi di stabilit del sistema si otterranno autovalori con parte reale positiva. Il sistema dunque stabile e, perturbato a partire della posizione di equilibrio ritorner in questa posizione.


40

3.3.3 Sistema linearizzato nellintorno di = Quando il sistema viene linearizzato nellintorno di =, ossia nella posizione pi alta che pu occupare il baricentro, si ottiene:

( )[ ] 02 =+++ mghrJhRm &&& (3.39) I parametri di inerzia equivalente, smorzamento equivalente sono positivi, mentre la rigidezza equivalente diviene negativa e quindi il sistema instabile. In questa condizione leffetto gravitazionale quello di una coppia negativa, quindi di una coppia che allontana il sistema dallo zero, che cresce quanto pi il sistema si scosta dalla posizione di equilibrio. Da un punto di vista energetico, si pu considerare che ogni sistema tende a portarsi verso il livello minimo di energia; in questo caso lenergia potenziale gravitazionale si stazionaria ma in punto di massimo in quanto il baricentro occupa la posizione pi alta possibile.

3.4 Limite di validit dellequazione linearizzata Come specificato in precedenza, nella linearizzazione le funzioni non lineari presenti nellequazione di moto vengono approssimate con la tangente nel punto corrispondente alla posizione di equilibrio statico; ovviamente la validit di questa approssimazione dipende da quanto il sistema si scosta dalla posizione di equilibrio statico. Nelle figure seguenti vengono riportate le storie temporali di spostamento angolare e velocit angolare per oscillazioni del sistema nellintorno di =0, confrontando la risposta ottenuta dallintegrazione dellequazione non lineare di moto con quella ottenibile risolvendo in forma chiusa lequazione lineare di moto. Se si impone come condizione iniziale una rotazione di 5 ed una velocit angolare nulla, si ottiene il risultato di Figura 3.8a: in questo caso loscillazione sufficiente piccola da poter ritenere lequazione linearizzata adeguata per la descrizione del moto del sistema.

(a) (b)

Figura 3.8: confronto tra storie temporali della rotazione con ( ) ( ) 00;3210 == & rad/s (a) e per ( ) ( ) 00;810 == & rad/s (b).

Se lampiezza iniziale viene portata a 10, come si osserva in Figura 3.8b iniziano a comparire alcuni scostamenti tra gli andamenti temporali, non tanto in termini di forma quanto in termini di sfasamento temporale; questi sono dovuti ad una variazione della frequenza di oscillazione del sistema con lampiezza delle oscillazioni (per il sistema non lineare).


41

Nel sistema non lineare infatti, sia il momento dinerzia che il momento di richiamo generato dalla forza peso cambiano con la rotazione, in particolare:

Il momento dinerzia nel sistema non lineare aumenta con la rotazione perch aumenta la distanza del baricentro dallasse di rotazione; nel sistema lineare il momento dinerzia viene quindi sottostimato;

il braccio della forza peso per il sistema lineare vale hsin, mentre per il sistema linearizzato questo valore semplicemente h. Nel sistema lineare la coppia di richiamo viene quindi sovrastimata.

Complessivamente, se si considera che la frequenza di oscillazione dipende dal rapporto tra le propriet di richiamo verso la posizione di equilibrio e linerzia complessiva, il sistema lineare presenta una frequenza di oscillazione indipendente dallampiezza di rotazione ed, in generale, pi elevata rispetto a quella del sistema non lineare. Lesame della Figura 3.9 mostra le differenze nelle storie temporali quando si considerano ampiezze di oscillazione iniziali di 45 (Figura 3.9a) e di 90 (Figura 3.9b); in questi casi diviene ancora pi evidente la differenza nel periodo di oscillazione stimato attraverso il modello non lineare e quello lineare e si nota, soprattutto nella Figura 3.9b, la variazione del periodo di oscillazione con lampiezza di oscillazione stessa (i picchi si avvicinano per rotazioni pi piccole). Un ulteriore aspetto evidenziato nella Figura 3.9, in particolare dal segnale di velocit, relativo alla presenza di armoniche di ordine superiore rispetto a quella fondamentale nel sistema non lineare: loscillazione libera non pu essere descritta attraverso una sola frequenza come nel caso del sistema lineare.

(a) (b)

Figura 3.9: confronto tra storie temporali della rotazione con ( ) ( ) 00;410 == & rad/s (a) e per ( ) ( ) 00;210 == & rad/s (b).

Capitolo 4: 3BSistemi lineari a 2-n gradi di libert

42

4 Sistemi lineari a 2-n gradi di libert In diverse applicazioni ingegneristiche necessario schematizzare la risposta di un sistema attraverso un numero di gradi di libert superiore ad 1; si pensi ad esempio al moto della cassa di unautovettura nello spazio rispetto alle masse non sospese (ruote ed assi): le oscillazioni della cassa dovute alla presenza delle sospensioni sono in genere piccole, e questo consente di scrivere equazioni lineari, sono caratterizzate da un moto verticale del baricentro e dalle rotazioni di beccheggio (rotazione attorno ad un asse laterale) e di rollio (rotazione attorno allasse longitudinale). Un sistema di questo tipo descritto quindi da 3 gradi di libert. Come ulteriore esempio possibile analizzare la dinamica longitudinale di un convoglio ferroviario come un sistema di n corpi, pari al numero di vagoni, collegati tra loro da molle e smorzatori che schematizzano leffetto dei respingenti e del gancio di trazione. necessario dunque estendere la trattazione della risposta di sistemi vibranti considerando la presenza di n coordinate libere. Nel seguito si concentrer lattenzione sui sistemi a 2 gdl, analizzandone il moto libero e la risposta a forzamento; i risultati ottenuti potranno poi essere facilmente estesi al caso di un sistema con un numero di gradi di libert qualsiasi.

4.1 Scrittura dellequazione di moto La Figura 4.1a mostra un sistema vibrante a due gradi di libert: il sistema composto da due corpi rigidi, di rispettivamente di massa m1 e m2, che possono traslare in direzione verticale; il corpo di massa m1 vincolato a terra con una molla di rigidezza k1 ed uno smorzatore di caratteristica r1. La massa m2 vincolata a terra da una molla di rigidezza k3 ed uno smorzatore di caratteristica r3, mentre i corpi sono collegati tra loro da una molla di rigidezza k2 ed uno smorzatore di caratteristica r2.

m1

F(t)

k2

x2 m2

r2

r1 k1

k3 r3

x1

m1

x2

m2

x1

F0ei(t)

1lk

22 lk 22 lr &

11xm &&

22 lk 22 lr &

33 lk 33 lr &22xm &&

gm1

gm2 Figura 4.1: sistema vibrante lineare a 2 gdl (a); forze agenti sulle due masse (b).

Lequazione di moto pu essere ottenuta ad esempio utilizzando gli equilibri dinamici; dallesame della Figura 4.1b, che mostra le forze agenti su entrambe le masse, possibile scrivere le seguenti equazioni:

Capitolo 4: 3BSistemi lineari a 2-n gradi di libert

43

=+++=+++

00

023333222222

12222111111tieFgmlrlklrlkxm

gmlrlklrlkxm&&&&

&&&& (4.1)

Le forze di molle e smorzatori sono state assunte positive se conseguenti a deformazioni di trazione delle molle ed a velocit di deformazione degli smorzatori di estensione. Per scrivere lequazione di moto necessario esplicitare il legame tra le deformazioni/velocit di deformazione di molle e smorzatori e le variabili indipendenti del sistema. In particolare, assumendo molle indeformate quando il valore delle coordinate libere pari a zero, per le convenzioni assunte si ha:

23

212

11

;;

xlxxl

xl

==

= (4.2)

Le espressioni nella (4.2) si spiegano come segue: uno spostamento positivo della massa m1 produce una compressione della molla di rigidezza k1 e, di conseguenza, lallungamento della

sistemi vibranti 1

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