skriptum diﬀerentialgeometrie mit professor t. grundh¨ofer · gilt nach der kettenregel (ϕ−1)...

Skriptum

Differentialgeometriemit Professor T. Grundhofer

Wurzburg, 2001c©by ME

Vorwort: To be or not to be

So, noch eine kleine Bemerkung vorneweg: Fur Hinweise auf Fehler, Verbesserungsvorschlage,mogliche Erganzungen und ahnliches ware ich sehr dankbar. Solche Dinge konnen mir jederzeit perTelefon (0931/8041200), e-mail ([email protected]) oder auf normalem Postweg (Zeppelinstrasse 56a,97074 Wurzburg) mitgeteilt werden.

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Marcel Schuster

Version: 0.27 Last typeset: 28. Juli 2004Copyright (c) 2001-2004 by Marcel Schuster. This material may be distributed only subject

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iii

Inhaltsverzeichnis

I Kurventheorie 31 Kurven im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Definition (Umparametrisierung, Kurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Definition (Lange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Parametrisierung nach der Bogenlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.11 Satz (Frenet-Gleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.13 Hauptsatz der lokalen Kurventheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1 Begleitendes 2-Bein und Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Satz (Kennzeichnung von Kreis und Gerade) . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Interpretationen der Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Rekonstruktion einer ebenen Kurve aus ihrer Krummung . . . . . . . . . . 13

3 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1 Erinnerung an das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Frenet-Kurven in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Lokale Normaldarstellung von Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Satzchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Randbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Die Schmiegschraubenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Satz (uber Boschungslinien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Definition (Beruhren zwischen Kurve und Kugel) . . . . . . . . . . . . . . . 193.9 Satz (Schmiegkugeln und spharische Kurven) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Aus der globalen Kurventheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Vierscheitelsatz (Mukhopadhyaya 1909) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Satz (Isoperimetrische Ungleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6 Ovale und Kurven konstanter Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.7 Satz von Barbier (1860) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8 Beispiele von Kurven konstanter Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.9 Umlaufzahl und Totalkrummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.10 Totalkrummung von Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v

4.11 Bemerkung uber affine Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II Lokale Flachentheorie 315 Flachenstucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1 Aus der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Definition (Flachenstuck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5 Definition: Tangentialraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.7 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.8 Erinnerung an Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.9 Definition (1. Fundamentalform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.10 Beispiel von 1. Fundamentalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.11 Bedeutung der 1. Fundamentalform (fur Kurvenlange und Flacheninhalt) . 365.12 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.13 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.14 Beispiel (Zylinder und Ebene) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Hyperflachenstucke und ihre Krummungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.1 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Definition (Gauß-Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 Definition (Weingarten-Abbildung, Formoperator) . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.5 Definition (Krummungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.7 Weitere Fundamentalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.8 Zur Berechnung der Weingarten Abbildung La . . . . . . . . . . . . . . . . 416.9 Randbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.10 Definition (Spezielle Kurven auf Hyperflachenstucken) . . . . . . . . . . . . 41

7 Flachenstucke im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.1 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.3 Typen von Punkten in Monge-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 Spezielle Flachentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.6 Lemma (Gauß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.7 Korollar (Theorema egregium von Gauß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Der Hauptsatz der lokalen Flachentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Hauptsatz der lokalen Hyperflachentheorie (Bonnet 1867) . . . . . . . . . . 478.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

III(Zufallig) Ausgewahlte Ubungsaufgaben 491 Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Aufgabe 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Aufgabe 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Aufgabe 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

vi

6 Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Aufgabe 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Aufgabe 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.1 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

vii

1

Notation im Rn

Wir fassen Rn als euklidischen Vektorraum auf: Fur x, y ∈ Rn sei 〈x, y〉 =∑n

i=1 xiyi das euklidischeSkalarprodukt, und ‖x‖ =

√〈x, x〉 die euklidische Norm.

Eine Abbildung f : R → Rn heißt (stetig) differenzierbar, falls jede der n Koordinatenfunk-tionen f1, . . . , fn von f (stetig) differenzierbar ist (diese sind Abbildungen fi : R → R). Fur dieAbleitung schreiben wir f(t) = d

dtf(t) =(f ′1(t), . . . , f

′n(t)

)= limh→0

1h

(f(t + h)− f(t)

)∈ Rn, das

heißt wir differenzieren koordinatenweise.Eine stetig differenzierbare Abbildung wird oft als C1-Abbildung bezeichnet, und eine beliebig

oft differenzierbare Abbildung heißt glatt (oder C∞, manchmal auch nur ”differenzierbar“).

Kapitel I

Kurventheorie

1 Kurven im Rn

Topologischer Kurvenbegriff: Eine Kurve in einem topologischen Raum X ist eine stetige Abbil-dung c : I → X, wobei I ⊆ R ein Intervall ist. Dies ist ein relativ schwacher Begriff, es treten Patho-logien auf, zum Beispiel ”raumfullende Kurven“, das heißt stetige Surjektionen c : [0, 1] → [0, 1]n

fur alle n > 1, vergleiche H. Sagan, Space-Filling Curves, Springer 1994.Fur die Differentialgeometrie benotigen wir eine starkere Forderung, namlich

1.1 Definition Eine parametrisierte Kurve in Rn ist eine stetig differenzierbare Abbildungc : I → Rn, wobei I ⊆ R ein Intervall ist. Man nennt c regular , falls der Tangentenvektor (Ge-schwindigkeitsvektor) c(t) nirgends verschwindet, das heißt c(t) 6= 0 fur alle t ∈ I.

I Bemerkung: Manche Leute verlangen, dass c glatt ist. Die Differenzierbarkeit von c besagt,dass c sich an jeder Stelle linear approximieren lasst. Die Regularitat besagt, dass die Bildmengec(I) sich in jedem Punkt c(t) durch eine Gerade approximieren lasst, namlich durch die Tangentec(t) + Rc(t).

Manchmal lasst man nur offene Intervalle zua. . .

1.2 Beispiele

(i) Ebene Kurven (mit einem beliebigen Intervall I)

• c(t) = (at, bt): Gerade durch den Nullpunkt (0, 0), mit a, b ∈ R fest.

• c(t) = (at3, bt3): ”gleiche“ Gerade. Diese ist aber nicht regular bei t = 0.

• c(t) = (t, t2): Parabel

• c(t) = (t2, t3): Neilsche (semikubische) Parabel. Sie ist nicht regular bei t = 0.

• c(t) = (cos t, sin t): Einheitskreis

• c(t) =(cos t, sin(2t)

): eine Lissajous-Figur

-1

-1

0 1

1

aGrund: Die Definition von Differenzierbarkeit in nicht-offenen Intervallen ist etwas problematisch.

3

4 KAPITEL I. KURVENTHEORIE

• c(t) = (et cos t, et sin t): logarithmische Spirale

x

y

(ii) Raumkurven

• c(t) = (cos t, sin t, t): Schraubenliniez

x y

• c(t) = (at + b, a′t + b′, a′′t + b′′), wobei a, b, a′, b, a′′, b′′ ∈ R fest: Gerade

(iii) Allgemein im Rn:

• c(t) = a + tb: Gerade, wobei a, b ∈ Rn, b 6= 0

• c(t) = (t, t2, t3, . . . , tn): rationale Normkurve

1.3 Definition (Umparametrisierung, Kurve) Eine Parametertransformation zwischenzwei parametrisierten Kurven c : I → Rn und d : J → Rn ist eine stetig differenzierbare Bijek-tion ϕ : I → J mit c = d ◦ ϕ und ϕ′(t) > 0 fur alle t ∈ I. Man nennt c und d aquivalent , falls einesolche Paramtertransformation ϕ existiert.

Eine (regulare) Kurve γ ist eine Aquivalenzklasse von (regular) parametrisierten Kurven c, undman nennt c eine Parametrisierung von γ.

Kommentare: Fur stetig differenzierbare Bijektionen ϕ mit differenzierbarer Umkehrung ϕ−1

gilt nach der Kettenregel (ϕ−1)′(ϕ(t)) · ϕ′(t) = 1, also ϕ′(t) 6= 0 fur alle t. Also ist stets ϕ′ > 0(das heißt ϕ monoton steigend), oder ϕ′ < 0 (das heißt ϕ monoton fallend, verboten).

Der Satz uber die Umkehrabbildung liefert, dass auch ϕ−1 stetig differenzierbar ist, also aucheine Parametertransformation. Die Transitivitat gilt auch, also hat man eine Aquivalenzrelation.(Eine Parametertransformation beschreibt sozusagen das Durchlaufen der Kurve mit verschiedenenGeschwindigkeiten.)

Aufgabe der Kurventheorie: Studiere Eigenschaften von Kurven als Aquivalenzklassen, dasheißt Eigenschaften von parametrisierten Kurven, die sich nicht andern (invariant sind) bei Para-metertransformation.

Erstes Beispiel:

1.4 Definition (Lange) Fur eine Kurve γ mit Parametrisierung c : I → Rn definieren wir dieLange (auch Bogenlange) durch

L(γ) = L(c) = sup

{k−1∑i=1

‖c(ti+1)− c(ti)‖ : k ∈ N, t1 < t2 < · · · < tk und alle ti ∈ I

}∈ R∪{+∞}.

1. KURVEN IM RN 5

Die Lange L(γ) ist wohldefiniert, das heißt L(γ) = L(c) fur jede Parametrisierung c von γ, weildie Menge aller ”einbeschriebenen Polygone“

(c(t1), . . . , c(tn)

)nur vom Bild c(I) und damit von

der Aquivalenzklasse γ abhangt.

1.5 Satz Fur jede parametrisierte Kurve c : I → Rn gilt

L(c) =∫

I

‖c(t)‖ dt.

Konvention: Fur unbeschrankte I ist∫

I· = supn∈N

∫I∩[−n,n]

·.

Beweis 1 Es genugt die Behauptung fur kompakte Intervalle [a, b] zu beweisen, wegen L(c) =sup{L(c|[a,b]) | [a, b] ⊆ I} und

∫I· = sup

{∫ b

a· | [a, b] ⊆ I

}. Sei daher jetzt I = [a, b] kompakt.

Sei ε > 0. Nach Definition des Integrals (mit Hilfe von Riemann-Summen) existiert ein δ > 0,so dass fur alle Zerlegungen a = t1 < t2 < · · · < tk = b von [a, b] mit |ti+1 − ti| < δ gilt

(I.1)

∣∣∣∣∣∫ b

a

‖c(t)‖ dt−k−1∑i=1

‖c(ti+1)‖(ti+1 − ti)

∣∣∣∣∣ ≤ ε.

Weil c auf dem kompakten Intervall [a, b] gleichmaßig stetig ist, gilt auch ‖c(t) − c(ti+1)‖ ≤ εfur alle t ∈ [ti, ti+1] (eventuell durch Verkleinern von δ). Fur jedes i ∈ {1, 2, . . . , k − 1} und jedeKoordinate j ∈ {1, 2, . . . , n} gilt nach dem Mittelwertsatz cj(ti+1)− cj(ti) = cj(τi,j)(ti+1− ti) miteinem geeigneten τi,j ∈ [ti, ti+1], das wir schnell wieder loswerden:

∣∣‖c(ti+1)− c(ti)‖ − ‖c(ti+1)‖(ti+1 − ti)∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥∥

c1(τi,1)c2(τi,2)

...cn(τi,n)

∥∥∥∥∥∥∥− ‖c(ti+1)‖

∣∣∣∣∣∣∣ (ti+1 − ti)

≤

∣∣∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥∥

c1(τi,1)c(τi,2)

...cn(τi,n)

− c(ti+1)

∥∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣∣ (ti+1 − ti)

=

√√√√ n∑j=1

(cj(τi,j)− cj(ti+1))2 · (ti+1 − ti) ≤√

nε2(ti+1 − ti)

fur jedes i. Summation uber i (und Dreiecksungleichung) liefert:∣∣∣∣∣k−1∑i=1

‖c(ti+1)− c(ti)‖ −k−1∑i=1

‖c(ti+1)‖(ti+1 − ti)

∣∣∣∣∣ ≤k−1∑i=1

∣∣‖c(ti+1 − c(ti)‖ − ‖c(ti+1)(ti+1 − ti)‖∣∣

≤√

nεk−1∑i=1

(ti+1 − t) =√

nε(b− a).

Mit der fruheren Abschatzung mit dem Integral (I.1) erhalt man∣∣∣∣∣k−1∑i=1

‖c(ti+1)− c(ti)‖ −∫ b

a

‖c(t)‖

∣∣∣∣∣ ≤ √nε(b− a) + ε

fur alle Zerlegungen t1, . . . , tk mit |ti+1 − ti| < δ. Bei der Bildung von L(c) = sup{· · · } wie in 1.4darf man sich auf solche Zerlegungen beschranken (weil beim Einfugen von Zwischenpunkten dieLange eines Polygonzugs hochstens vergroßert wird, nach der Dreiecksungleichung). Also gilt:∣∣∣∣∣L(c)−

∫ b

a

‖c(t)‖ dt

∣∣∣∣∣ ≤ √nε(b− a) + ε

fur jedes ε > 0, daher L(c) =∫ b

a‖c(t)‖ dt. �


1.6 Bemerkung Nach 1.4 und 1.5 hat das Integral∫

I‖c(t)‖ dt fur alle Parametrisierungen

c : I → Rn einer festen Kurve γ den gleichen Wert; dies kann man auch direkt nachrechnen. Istc = c ◦ ϕ : J → Rn mit einer Umparametrisierung ϕ : J → I, so gilt∫

J

‖c(t)‖ dt =∫

J

‖c(ϕ(t)) · ϕ′(t)‖ dt (nach der Kettenregel)

=∫

ϕ−1(I)

‖c(ϕ(t))‖ϕ′(t) dt =∫

I

‖c(t)‖ dt (nach Substitutionsregel).

Viele Autoren nehmen daher das Integral als Definition der Lange (und ersparen sich dadurchden Beweis von 1.5).

1.7 Parametrisierung nach der Bogenlange Fur jede parametrisierte Kurve c : I → Rn

sind die beiden folgenden Bedingungen aquivalent:

(i) Fur alle a, b ∈ I mit a ≤ b gilt L(c|[a,b]) = b− a.

(ii) Fur alle t ∈ I gilt ‖c(t)‖ = 1.

Gilt dies, so heißt c nach der Bogenlange parametrisiert.

Beweis 2 (ii) ⇒ (i): L(c|[a,b]) =1.5

∫ b

a‖c(t)‖ dt =

∫ b

a1 dt = b− a.

(i) ⇒ (ii): Wahle a ∈ I. Dann gilt fur alle t ∈ I: ‖c(t)‖ = ddt

∫ t

a‖c(τ)‖ dτ =

1.5

ddtL(c|[a,t]) =

(i)ddt (t− a) = 1. �

1.8 Satz Eine Kurve γ hat genau dann eine Parametrisierung nach der Bogenlange, wenn γregular ist. Jede regulare Kurve hat bis auf Umparametrisierungen der Form t 7→ t + const genaueine Parametrisierung nach der Bogenlange.

Beweis 3 Sei γ regular und c : I → Rn eine regulare Parametrisierung von γ. Wahle t0 ∈ I unddefiniere s : I → R durch s(t) =

∫ t

t0‖c(τ)‖ dτ fur alle t ∈ I; dies ist die Lange von c|[t0,t] fur

t ≥ t0 beziehungsweise die negative Lange von c|[t,t0] fur t ≤ t0. Laut Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung ist s differenzierbar (weil c und ‖ · ‖ stetig), und fur alle t ∈ I gilt s′(t) =ddt

∫ t

t0‖c(τ)‖ dτ = ‖c(t)‖ > 0 wegen der Regularitat. Daher ist s : I → s(I) streng monoton

steigend, hat also eine Umkehrfunktion ϕ = s−1 : s(I) → I. Nach der Kettenregel ist ϕ′(t) =1

s′(ϕ(t)) = 1‖c(ϕ(t))‖ fur alle t ∈ I. Daher ist ϕ′ > 0, das heißt ϕ ist eine Parametertransformation.

Fur die Umparametrisierung d = c◦ϕ gilt nach der Kettenregel d(t) = c(ϕ(t))·ϕ′(t) = c(ϕ(t))‖c(ϕ(t))‖ ,

also ‖d(t)‖ = 1 fur alle t ∈ I, das heißt d ist eine Parametrisierung nach der Bogenlange.Umgekehrt: Hat γ eine Parametrisierung c : I → Rn nach der Bogenlange, so gilt nach 1.7,

dass ‖c(t)‖ = 1 fur alle t ∈ I, also c(t) 6= 0 fur alle t ∈ I, das heißt γ ist regular.Zur Eindeutigkeit: Sei ϕ eine Parametertransformation und c und c ◦ ϕ beide nach der Bo-

genlange parametrisiert. Dann gilt: ‖c(t)‖ = 1 und ‖ ddt (c◦ϕ)‖ = 1 fur alle t, also 1 = ‖ d

dt (c◦ϕ)‖ =‖c(ϕ(t)) · ϕ′(t)‖ = ‖c(ϕ(t))‖︸︷︷︸

=1

·ϕ′(t), das heißt ϕ′(t) = 1 fur alle t, daher ϕ(t) = t + const wie

behauptet. �

Die Parametrisierung nach der Bogenlange einer Kurve γ liefert in der Aquivalenzklasse γ einenim Wesentlichen eindeutigen Reprasentanten.

Beispiel 1 Fur die Gerade c(t) = (at, bt) gilt c(t) = (a, b), daher ist diese Gerade genau dannnach der Bogenlange parametrisiert, wenn a2 + b2 = 1. Insbesondere ist t 7→

(a√

a2+b2t, b√

a2+b2t)

stets nach der Bogenlange parametrisiert.Der Kreis t 7→ (cos t, sin t) ist nach der Bogenlange parametrisiert.

1. KURVEN IM RN 7

Kuhnel verwendet die folgende Konvention: c(t) fur beliebige regulare Parametrisierungen, c(s)fur ”die“ Parametrisierung nach der Bogenlange, c = d

dtc fur den Tangentenvektor, c′ = ddsc fur

den Tangenten-Einheitsvektor. Dem wollen wir nicht folgen.Ist die Kurve c : I → Rn nach der Bogenlange parametrisiert und 2-mal differenzierbar, so gilt

1 = 〈c(t), c(t)〉 fur alle t ∈ I (nach 1.7), also

0 =d

dt〈c(t), c(t)〉 = 〈c(t), c(t)〉+ 〈c(t), c(t)〉 = 2〈c(t), c(t)〉

nach der Produktregel, das heißt der Beschleunigungsvektor c(t) ist immer orthogonal zum Ge-schwindigkeitsvektor c(t). Man kann c, c zu einem Orthogonalsystem erweitern.

1.9 Satz Sei c : I → Rn eine n-mal stetig differenzierbare parametrisierte Kurve, so dass furjedes t ∈ I die n − 1 Vektoren c(t), c(t), . . . , c(n−1)(t) linear unabhangig sind. Dann existiereneindeutig bestimmte parametrisierte Kurven ei : I → Rn, 1 ≤ i ≤ n mit folgenden Eigenschaften:

(a) Fur jedes t ∈ I ist e1(t), . . . , en(t) ein positiv orientiertes Orthonormalsystem von Rn (dasheißt 〈ei(t), ej(t)〉 = δij und det

(e1(t), e2(t), . . . , en(t)

)> 0).

(b) Fur jedes t ∈ I und jedes k ∈ {1, 2, . . . , n − 1} gilt Spann{e1(t), . . . , ek(t)} =Spann{c(t), c(t), . . . , c(k)(t)} sowie 〈ek(t), c(k)(t)〉 > 0.

Man bezeichnet die Folge e1, . . . , en als das begleitende n-Bein von c.Im Spezialfall n = 2 verlangt 1.9, dass c regular ist, ist c nach der Bogenlange parametrisiert,

so ist e1 = c und e2 = ± c(t)‖c‖ .

Beweis 4 Durch Orthogonalisierung nach Gram-Schmidt.Setze e1(t) := c

‖c(t)‖ , ferner induktiv:

fk(t) := c(k)(t)−k−1∑j=1

〈c(k)(t), e(t)j 〉ej(t)

fur 2 ≤ k ≤ n − 1 und ek(t) = fk(t)‖fk(t)‖ fur 2 ≤ k ≤ n − 1. Dabei ist fk(t) 6= 0, wegen

c(k)(t) /∈ Spann{c(t), . . . , c(k−1)(t)} = Spann{e1(t), . . . , ek−1(t)}. Ferner wahle en(t) in dem (ein-dimensionalen) orthogonalen Komplement von Spann{e1(t), . . . , en−1(t)} so, dass ‖en(t)‖ = 1 unddet(e1(t), . . . , en(t)

)> 0 ist.

Nach Gram-Schmidt erhalt man so ein (positiv orientiertes) Orthonormalsystem, wie in (a)verlangt.

Fur jedes k < n gilt c(k)(t) =∑k

j=1〈c(k)(t), ej(t)〉ej(t), also fk(t) = 〈c(k)(t), ek(t)〉ek(t). Daher

〈ek(t), c(k)(t)〉 =1

‖fk(t)‖〈fk(t), c(k)(t)〉 =

1‖fk(t)‖

〈c(k)(t), ek(t)〉〈ek(t), c(k)(t)〉

=1

‖fk(t)‖〈c(k)(t), ek(t)〉2 ≥ 0,

sogar > 0 wegen fk(t) 6= 0.Die Abbildungen e1, . . . , en−1 sind stetig differenzierbar wegen obiger Formel. Die Abbildung

en ist stetig differenzierbar, denn fur die Matrix M =(e1(t), e2(t), . . . , en(t)

)gelten nach (a) die

Beziehungen MM tr = I und det M = 1, also M = (M tr)−1 = (M tr)kompl, die ”komplementare“Matrix zu M tr (vgl. Fischer 3.3...), daher sind die Eintrage in der letzten Spalte von M , also dieKoordinaten von en, gewisse Determinanten von quadratischen Untermatrizen der rechteckigenMatrix

(e1(t), . . . , en−1(t)

), also polynomiale Funktionen der Koordinaten von e1, . . . , en−1, und

daher stetig differenzierbar.


Zur Eindeutigkeit: Seien e1, . . . , en weitere Abbildungen von I in Rn mit (a) und (b). Aus (b)folgt mit k = 1, dass e1(t) = c(t)

‖c(t)‖ = e1(t) fur alle t ∈ I, also e1 = e1. Induktiv liefert (b) dannek = ek fur 1 ≤ k ≤ n. Teil (a) liefert dann en = en. �

Die Menge aller (positiv orientierten) Orthonormalsysteme von Rn, aufgefasst als (n × n)-Matrizen, ist die orthogonale Gruppe OnR (bzw. SOnR). Nach 1.9 liefert ”jede“ Kurve c im Rn

eine Kurve t 7→(e1(t), . . . , en(t)

)in dieser orthogonalen Gruppe SOnR.

1.10 Definition Eine parametrisierte Kurve c : I → Rn heißt Frenet-Kurve im Rn, falls gilt:

(i) c ist n-mal stetig differenzierbar

(ii) fur jedes t ∈ I ist c(t), . . . , c(n−1)(t) linear unabhangig.

Bemerkung uber Schmiegeraume Ist c : Rn hinreichend oft differenzierbar, so bezeichnetman den affinen Teilraum

c(t) + Spann{c(t), c(t), . . . , c(k)(t)}

als den k-ten Schmiegraum von c in t (fur k = 1: Tangente).

In 1.10(ii) wird verlangt, dass der k-te Schmiegraum fur k ≤ n−1 immer (fur alle t ∈ I) ”nichtdegeneriert“ ist, das heißt die maximale Dimension k hat.

Eine Gerade in Rn ist nur fur n ≤ 2 eine Frenet-Kurve.Zur Vereinfachung der Notation sei 0 ein innerer Punkt von I. Dann liefert die Taylorentwick-

lung (fur jede Koordinate von c) die Darstellung

c(t) = c(0) + tc(0) +t2

2c(0) +

t3

6...c (0) + . . .

Abbrechen nach k + 1 Summanden liefert eine polynomiale Kurve vom Grad k im k-ten Schmie-graum (k = 1: Tangente, k = 2: sogenannte Schmiegparabel), welche die gegebene Kurve c ”vonder Ordnung k beruhrt“ (das heißt mit c den Wert bei t = 0 und alle Ableitungen bis zur Ordnungk gemeinsam hat).

1.11 Satz (Frenet-Gleichungen) Sei c : I → Rn eine Frenet-Kurve in Rn mit begleitendemn-Bein e1, . . . , en wie in 1.9. Dann gelten mit den Funktionen ωi : I → R, ωi(t) = 〈ei(t), ei+1(t)〉fur 1 ≤ i ≤ n− 1 die sogenannten Frenet-Gleichungen:

e1

e2

...

...

...en

=

0 ω1 0 · · · · · ·−ω1 0 ω2 0 · · ·

0 −ω2 0 ω3 0 · · ·

0 0 −ω3. . . . . .

ωn−1

−ωn−1 0

e1

e2

...

...

...en

Die Funktion κi : I → R, κi(t) = ωi(t)

‖c(t)‖ heißt die i-te Frenet-Krummung (und ist (n − 1 − i)-malstetig differenzierbar, fur i < n. Fur 1 ≤ i ≤ n− 2 gilt κi > 0.

Die obige Matrixschreibweise ist symbolisch zu verstehen, fur n Gleichungen zwischen Vek-toren (oder ωi als ωiIn interpretieren), und man muss uberall ein Argument t ∈ I einsetzen,also e1(t) = ω1e2(t), e2(t) = −ω1(t)e1(t) + ω2(t)e3(t), e3(t) = −ω2(t)e2(t) + ω3(t)e4(t), . . . ,en(t) = −ωn−1(t)en−1(t).

Ist c nach der Bogenlange parametrisiert, so gilt κi = ωi = 〈ei, ei+1〉 fur 1 ≤ i ≤ n − 1. Dieletzte Frenet-Krummung wird auch als Torsion bezeichnet.

1. KURVEN IM RN 9

Beweis 5 Zunachst eine Erinnerung an die lineare Algebra: ist b1, . . . , bn eine Orthonormal-basis von Rn, so gilt x =

∑nj=1〈x, bj〉bj fur jedes x ∈ Rn. Insbesondere gilt daher ei(t) =∑n

j=1〈ei(t), ej(t)〉ej(t) fur jedes t ∈ I, 1 ≤ i ≤ n. Ab jetzt unterdrucken wir den Parametert ∈ I.

Wegen ei ∈ Spann{c, c, . . . , c(i)} fur i < n folgt mit der Produktregel (die Koeffizienten konnenvon t abhangen), dass ei ∈ Spann{c, c, . . . , c(i+1)} = Spann{e1, . . . , ei+1}, also 〈ei, ej〉 = 0 furj > i + 1.

Weil 〈ei, ej〉 = δij unabhangig von t ist, folgt 0 = ddt 〈ei, ej〉 = 〈ei, ej〉 + 〈ei, ej〉, also die

Schiefsymmetrie 〈ei, ej〉 = −〈ej , ei〉 fur alle i, j, insbesondere 〈ei, ei〉 = 0 fur alle i. Wegen 〈ei, ej〉 =0 fur j > i + 1 folgt auch 〈ei, ei+1〉 = 0 fur j < i− 1. Mit der Definition ωi = 〈ei, ei+1〉 liefert diesbereits die Frenet-Gleichungen.

Nach den Formeln fur ei, i ≤ n− 1, in 1.9 ist ei mindestens (n− i)-mal stetig differenzierbar,daher sind ei, ωi, κi noch (n− i− 1)-mal stetig differenzierbar.

Jetzt zeigen wir κi > 0, das heißt ωi > 0 fur 1 ≤ i ≤ n− 2. Es giltei = 1

‖fi‖c(i) +

∑j<i · · · ej = 1

‖fi‖c(i) +

∑j<i · · · c(j),

also ei = 1‖fi‖c

(i+1) +∑j≤i

· · · c(j)

︸︷︷︸∈Spann{e1,...,ei}, orthogonal zu ei+1

, daher

〈ei, ei+1〉 = 〈 1‖fi‖c

(i+1), ei+1〉 = 1‖fi‖ 〈c

(i+1), ei+1〉 > 0nach 1.9. �

Zur Interpretation von κn−1 und en:

1.12 Korollar Sei n ≥ 2 (wie immer) und c : I → Rn eine Frenetkurve mit begleitendemn-Bein e1, . . . , en und Frenet-Krummungen κ1, . . . , κn−1. Dann sind aquivalent:

(i) Das Bild c(I) ist in einer affinen Hyperebene enthalten (welche dann auf en senkrecht steht).

(ii) Die Funktion en(t) ist konstant.

(iii) Es gilt κn−1 ≡ 0.

Beweis 6 Nach 1.11 ist en = −ωn−1en−1 = −κn−1‖c‖en−1, und daher ist (ii) ⇐⇒ (iii).Ist en konstant, also en = 0, so folgt d

dt 〈c, en〉 = 〈c, en〉 + 〈c, en〉 = 〈c, en〉 = 0, da c ∈ Re1

orthogonal zu en nach Definition der ei (wegen n ≥ 2). Also hat 〈c, en〉 einen konstanten Wertr ∈ R, das heißt c(I) ⊆ {x ∈ Rn | 〈x, en〉 = r} = c(t0) + e⊥n fur jedes t0 ∈ I; dies ist eine affineHyperebene senkrecht zu en.

Ist umgekehrt c(I) ⊆ a + U fur einen Vektor a ∈ Rn und einen Unterraum U von Rn derDimension n − 1, so folgt c(t) ∈ U fur jedes t ∈ I (wegen c(t) = lim · · · ), und dann weiterc(i)(t) ∈ U fur alle i < n, t ∈ I, also Spann{c, . . . , c(n−1)} ⊆ U . Aus Dimensionsgrunden folgtsogar Gleichheit. Daher ist Spann{e1, . . . , en−1} = Spann{c, . . . , c(n−1)} = U konstant in t, alsoauch en (wegen en ∈ U⊥ und der Normierung).

1.13 Hauptsatz der lokalen Kurventheorie Sei I ⊆ R ein offenes Intervall, und seienκ1, . . . , κn−1 : I → R glatte Funktionen mit κ1, . . . , κn−2 > 0. Ferner sei t0 ∈ I, a ∈ Rn, undb1, . . . , bn ein positiv orientiertes ONS von Rn. Dann existiert genau eine nach der Bogenlangeparametrisierte Frenet-Kurve c : I → Rn (welche sogar glatt ist) mit

(i) c(t0) = a;

(ii) b1, . . . , bn ist das begleitende n-Bein von c bei t0;

(iii) κ1, . . . , κn−1 sind die Frenet-Krummungen von c.


Beweis 7 Wir konstruieren zunachst das begleitende n-Bein e1, . . . , en fur die gesuchte Kurve c(mit Hilfe der Frenet-Gleichungen und (ii),(iii)), und danach die Kurve c selbst (mit Hilfe von e1

und (i)).

Schritt 1: Mit der (n × n)-Matrix K(t) =

(0 κ1(t) 0

...

−κ1(t) 0 κ2...

0 −κ2(t) 0...

...··· ··· ··· 0

)lauten die Frenet-

Gleichungen 1.11 fur die gesuchte (n× n)-Matrix f(t) =(

e1(t)...en(t)

)so (Vektoren als Zeilen):

f(t) = K(t)f(t).Dieses homogene lineare Differentialgleichungssystem hat nach dem Existenz- und Eindeutig-

keitssatz genau eine Losung f : I → Rn2mit f(t0) =

(b1...bn

), vergleiche etwa Forster, Analysis

2, 12.Aus f = Kf folgt, dass f und dann auch e1, . . . , en glatt sind. Wir zeigen jetzt, dass

e1(t), e2(t), . . . , en(t) fur alle t ∈ I ein positiv orientiertes ONS ist. Aus f = Kf folgtddt (f(t)f(t)tr) = f(t)f(t)tr + f(t)(f tr) = K(f(t)f(t)tr) + (f(t)f(t)tr)K(t)tr, das heißt ff tr istLosung des linearen homogenen Differentialgleichungssystems y(t) = K(t)y(t) + y(t)K(t)tr mit

f(t0)f(t0)tr =(

b1...bn

)(b1, . . . , bn) = In. Aber die konstante Funktion y(t) = In ist auch eine

Losung mit y(t0) = In, wegen y(t) = 0 = K(t) +K(t)tr fur alle t ∈ I (Schiefsymmetrie von K(t)).Wegen der Eindeutigkeit dieser Losung (siehe oben) folgt f(t)f(t)tr = In fur alle t ∈ In, dasheißt e1(t), . . . , en(t) ist fur alle t ∈ I ein ONS. Wegen det f(t) ∈ {1,−1} und der Stetigkeit derDeterminante folgt f(t) = f(t0) = 1 fur alle t ∈ I, das heißt unsere ONS sind positiv orientiert.Schritt 2: Das Differentialgleichungs-System c = e1 hat genau eine Losung c mit c(t0) = a,namlich c(t) = a +

∫ t

t0e1(τ) dτ .

Wegen c = e1 ist c nach der Bogenlange parametrisiert, und glatt. Ferner folgt c = e1 = κ1e2,...c = κ1e2 + κ1e2 = κ1(κ2e3 − κ1e1) + κ1e2 ∈ κ1κ2e3 + Spann{e1, e2}, per Induktion dannc(i) ∈ κ1κ2 · · ·κi−1ei + Spann{e1, . . . , ei−1} fur i ≤ n − 1. Wegen κ1, κ2, . . . , κn−2 > 0 giltSpann{c, c, . . . , c(i)} = Spann{e1, . . . , ei} und 〈c(i), ei〉 > 0 fur i ≤ n − 1, das heißt e1, . . . , en

ist das begleitende n-Bein zu c.Wegen f = Kf gilt 〈ei, ei+1〉 = κi fur i ≤ n−1, also sind κ1, . . . , κn−1 die Frenet-Krummungen

von c.Zur Eindeutigkeit von c: Nach Schritt 1 liegt insbesondere e1 eindeutig fest. Wegen c = e1,

c(t0) = a liegt dann auch c eindeutig fest. �

I Bemerkung: Die Voraussetzung, dass jedes κi glatt ist, lasst sich so abschwachen: κi ist(n− 1− i)-mal stetig differenzierbar; dann wird c n-mal stetig differenzierbar.

Fur die praktische Bestimmung von c aus gegebenen Krummungen eignet sich 1.13 nur bedingt(nur fur n = 2, vergleiche Abschnitt 2). Setzt man voraus, dass alle Krummungen κi konstantsind, so erhalt man ”Produkte“ von Kreislinien und Schraubenlinien (vergleiche Kuhnel Seite 22).Der Hauptsatz 1.13 impliziert, dass keine Relationen zwischen den Frenet-Krummungen gelten.

1.14 Korollar Seien c, c : I → Rn nach der Bogenlange parametrisierte Frenet-Kurven. Genaudann haben c und c die gleichen Frenet-Krummungen, wenn eine eigentliche Bewegung f von Rn

existiert mit c = f ◦ c (und dann ist f auch eindeutig bestimmt) [Eine eigentliche Bewegung isteine Abbildung der Form f(x) = Ax + a mit a ∈ Rn, A orthogonal und detA = 1].

Beweis 8 Aus c = f ◦ c folgt die Gleichheit der Frenet-Krummungen von c, c, siehe Ubungsauf-gabe 8.

Umgekehrt seien κ1, . . . , κn−1 die gemeinsamen Frenet-Krummungen von c und c, unde1, . . . , en beziehungsweise e1, . . . , en die begleitenden n-Beine von c beziehungsweise c. Wahlet0 ∈ I. Weiter sei A diejenige n×n-Matrix mit Aei(t0) = ei(t0) fur 1 ≤ i ≤ n. Dann ist A orthogo-nal und detA = 1 (weil die ei(t0) und auch die ei(t0) jeweils ein positiv orientiertes ONS bilden).

2. EBENE KURVEN 11

Aus den Frenet-Gleichungen (1.11) ei = −κi−1ei−1 + κiei+1 folgt Aei = −κi−1Aei−1 + κiAei+1,

das heißt sowohl(

e1...en

)als auch

(Ae1...Aen

)sind Losungen der Frenet-Gleichungen (1.11) mit ωi = κi,

welche bei t0 ubereinstimmen. Wegen der Eindeutigkeit der Losungen solcher Differentialgleichun-gen folgt Aei(t) = ei(t) fur alle t ∈ I, 1 ≤ i ≤ n. Insbesondere folgt Ac(t) = Ae1(t) = e1(t) = c(t)fur alle t ∈ I, also auch

Ac(t)−Ac(t0) =∫ t

t0

Ac(τ) dτ =∫ t

t0

c(τ) dτ = c(t)− c(t0)

fur alle t ∈ I. Mit dem konstanten Vektor a := c(t0) − Ac(t0) gilt also c(t) = Ac(t) + a fur allet ∈ I, also c = f ◦ c mit der eigentlichen Bewegung f(x) = Ax + a.

Zur Eindeutigkeit von f : Ist f : x 7→ Mx + b eine eigentliche Bewegung mit c = f ◦ c, so folgtMei(t) = ei(t) fur alle t ∈ I (wegen der Eindeutigkeit in 1.9), insbesondere fur t = t0, und daherM = A wie oben. Wegen c(t0) = f(c(t0)) = Ac(t0) + b folgt auch b = a wie oben. �

Nach 1.13 und 1.14 bilden die Frenet-Krummungen ein vollstandiges System von unabhangigenInvarianten fur Frenet-Kurven im Rn (das heißt die Frenet-Krummungen legen die Kurve bis aufeigentliche Bewegungen fest, und man kann die Krummungen willkurlich wahlen).

2 Ebene Kurven

2.1 Begleitendes 2-Bein und Krummung Sei c : I → R2 eine Frenet-Kurve (das heißt cist zweimal stetig differenzierbar, und c 6= 0 fur alle t ∈ I). Dann ist das begleitende 2-Bein e1, e2

gegeben durch

e1(t) =c(t)‖c(t)‖

,

den sogenannten Tangenteneinheitsvektor und

e2(t) =(

0 −11 0

)e1(t),

den sogenannten Normalenvektor (dieser entsteht aus e1(t) durch Drehen um 90◦ nach links).Die Krummung κ = κ1 : I → R von c ist nach 1.11 definiert durch

κ(t) =ω1(t)‖c(t)‖

=〈e1(t), e2(t)〉‖c(t)‖

,

und dann gilt e1(t) = ω1e1 = ‖c‖κe2, e2 = −ω1e1 = −‖c‖κe1. Man kann zeigen, dass κ(t) =det(c(t), c(t)

)‖c(t)‖−3 fur alle t ∈ I ist, siehe Ubungsaufgabe 10.

Ist c : I → R2 nach der Bogenlange parametrisiert, so vereinfachen sich diese Formeln. Dannist e1 = c, e2 =

(0 −11 0

)e1 und κ = 〈e1, e2〉.

Ferner folgt aus 1 = 〈c, c〉 durch Ableiten nach t, dass 0 = 2〈c, c〉; das heißt c ist orthogonal zuc = e1, also ist c ein Vielfaches von e2, daher

c = 〈c, e2〉e2 = 〈e1, e2〉e2 = κe2,

insbesondere |κ(t)| = ‖c(t)‖ fur alle t ∈ I.Wegen c = e1 ist e1 = c = κe2 die erste Frenet-Gleichung; Anwenden der konstanten Drehung(

0 −11 0

)auf beiden Seiten liefert

e2 =(

0 −11 0

)e1 = κ

(0 −11 0

)e2 = κ

(0 −11 0

)2

e1 = −κe1,

also die zweite Frenet-Gleichung.


Das Vorzeichen der Krummung κ lasst sich interpretieren: Ist κ(t) > 0, so krummt sich dieKurve bei t in Richtung ihres Normalenvektors e2, das heißt in Durchlaufrichtung nach links, undfur κ(t) < 0 nach rechts.

e1

e2

k=0

k>0

k<0

e2

e1

konvex

konkav

c2

c2

(Ist κ(t) = 0, κ(t) 6= 0, so spricht man von einem Wendepunkt bei t.)

2.2 Satz (Kennzeichnung von Kreis und Gerade) Eine Frenet-Kurve c im R2 hat genaudann konstante Krummung κ, wenn c entweder Teil einer Gerade ist (fur κ ≡ 0) oder Teil eines

Kreises mit Radius1|κ|

(fur κ 6= 0).

Beweis 9 Fur den Fall κ ≡ 0 vergleiche 1.12.Sei jetzt c Teil eines Kreises um m ∈ R2 mit Radius r > 0. Dann ist ‖c(t)−m‖2 = r2 konstant,

also nach der Produktregel 2〈c(t), c(t) −m〉 = 0, das heißt fur alle t ∈ I ist c(t) −m orthogonalzu Rc(t) = Re1(t), also c(t) −m = ±re2(t). Ableiten liefert c = ±re2, also ‖c‖e1 = c = ±re2 =±r‖c‖κe1, also ist κ = ± 1

r .Umgekehrt sei κ konstant und nicht 0, also κ = ± 1

r mit geeignetem r > 0. Mit den Gleichungenc = ‖c‖e1, e1 = ±‖c‖ 1

r e2, e2 = ∓‖c‖ 1r e1 berechnen wir

ddt

(c(t)± re2(t)

)= c± re2 = ‖c‖e1 − ‖c‖e1 ≡ 0,

also ist c(t)± re2(t) = m ∈ R2 konstant, ferner ist auch ‖c(t)−m‖ = ‖∓ re2(t)‖ = r konstant.Daher ist c Teil des Kreises um m mit Radius r. �

2.3 Interpretationen der Krummung

(a) Sei c : I → R2 eine nach der Bogenlange parametrisierte Frenet-Kurve, und sei t0 ∈ I mitκ(t0) 6= 0. Dann heißt der Kreis mit Mittelpunkt c(t0) + 1

κ(t0)e2(t0) und Radius 1

|κ(t0)| derSchmiegkreis (oder Krummungskreis) an c in t0. Dieser Kreis geht durch c(t0) und hat mitc bei t0 die Tangente und den Absolutbetrag der Krummung gemeinsam.

Parametrisiert man den Schmiegkreis nach der Bogenlange in geeignetem Durchlaufsinn, soberuhrt der Schmiegkreis die Kurve c von 2.Ordnung. Gilt κ(t) 6= 0 fur alle t ∈ I, so heißtdie Kurve t 7→ c(t) + 1

κ(t)e2(t), die von den Krummungsmittelpunkten beschrieben wird, dieEvolute (Brennkurve) von c. Die Evolute ist genau dort regular, wo κ 6= 0 gilt.

(b) Sei c(t) = (t, f(t)) eine Frenet-Kurve im R2 mit c(0) = (0, 0), e1(0) = c(0) = (1, 0) unde2(0) = (0, 1). Die Schmiegparabel (vergleiche Bemerkung zu 1.10) hat dann die Form

t 7→ (0, 0) + t(1, 0) +t2

2(0, f(0)

)= (t,

12t2f(0))

2. EBENE KURVEN 13

e2

e1

c

Wegen c(0) = (0, f(0)) erhalt man κ(0) = det(c(0),c(0)‖c(0)‖3 = det

(1 00 f(0)

)= f(0), das heißt die

Krummung κ(0) ist die ”Offnung“ f(0) dieser Schmiegparabel.

(c) Sei c : I → R2 nach der Bogenlange parametrisiert, und sei ϑ(t) fur t ∈ I der Winkel zwischendem Geschwindigkeitsvektor c(t) und der x-Achse (in Formeln: c(t) = (cos ϑ(t), sinϑ(t)).Der Winkel ϑ(t) ist nur bis auf Vielfache von 2π eindeutig, also kann man die Funktion ϑdifferenzierbar wahlen (vergleiche Bar Seite 42, Kuhnel Seite 26). Dann ist e1(t) = c(t) =ϑ(t)

(− sin ϑ(t)cos ϑ(t)

); wegen e1 = κe2 und e2(t) =

(0 −11 0

)e1(t) =

(− sin ϑ(t)cos ϑ(t)

)folgt κ(t) = ϑ(t),

das heißt die Krummung κ ist die Ableitung der ”Winkelgeschwindigkeit“ ϑ.

2.4 Rekonstruktion einer ebenen Kurve aus ihrer Krummung Sei κ : I → R vorge-geben; wir suchen eine nach der Bogenlange parametrisierte Frenet-Kurve c : I → R2 mit derKrummung κ. Dazu setzt man e1(t) =

(cos α(t), sinα(t)

), e2 =

(− sinα(t), cos α(t)

)mit einer

unbekannten Funktion α. Die Frenetgleichungen liefern κe2 = e1 = αe2, also α = κ. Mit denharmlosen Annahmen c(0) = (0, 0), e1(0) = (1, 0), also α(0) = 0, folgt dann

α(t) =∫ t

0

κ(τ) dτ.

Wegen c = e1 folgt dann weiter

c(t) =(∫ t

0

cos α(τ) dτ,

∫ t

0

sinα(τ) dτ

)

fur alle t ∈ I.

Fur konstantes κ wird α linear, und man erhalt noch einmal Kreis und Gerade wie in 2.2.Ist κ linear, das heißt κ(t)

t konstant, so erhalt man sogenannte Spinnkurven (auch als Klothoidebezeichnet)b:

bWegen ihres linearen Krummungsverlaufs haben Spinnkurven im Straßenbau eine gewissen Bedeutung als Ver-bindungsstucke zwischen geraden Strecken und Kurven (Kreisen)


x

y

3 Raumkurven

3.1 Erinnerung an das Kreuzprodukt Zu x, y ∈ R3 existiert genau ein Vektor x× y ∈ R3

mit 〈x× y, z〉 = det(x, y, z) fur alle z ∈ R3. Durch Entwicklung der Determinante nach der letztenSpalte z erhalt man namlich die folgende Formel

x× y =(

det(

x2 y2

x3 y3

),−det

(x1 y1

x3 y3

),det

(x1 y1

x2 y2

))= (x2y3 − x3y2,−x1y3 + x3y1, x1y2 − x2y1).

Man bezeichnet x× y als das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) von x und y.Aus der Definition folgen schnell die folgenden Eigenschaften: Fur alle x, y ∈ R3 gilt

• x× y = −y × x,

• 〈x× y, x〉 = 0 = 〈x× y, y〉, das heißt x× y ist orthogonal zu x und y,

• es ist genau dann x× y = 0, wenn x, y linear abhangig sind.

Geometrische Interpretation: Sind x, y linear unabhangig, so steht x × y senkrecht auf derEbene Spann{x, y}; ferner ist ‖x × y‖ die Flache des von x, y erzeugten Parallelogramms, unddie Basis x, y, x × y von R3 ist positiv orientiert (das heißt det(x, y, x × y) > 0, dies gilt wegendet(x, y, x× y) = 〈x× y, x× y〉 = ‖x× y‖2 > 0, da x× y 6= 0).

x

y

x#y

Ubungsaufgabe: Zeige (x× y)× z = 〈x, z〉y − 〈y, z〉x.Randbemerkung: Das Kreuzprodukt ist eine Besonderheit von R3. Allgemeiner hat man das

(2-fache) außere Produkt Rn × Rn → R(n2) : (x, y) 7→ x ∧ y =

(±det

(xi xj

yi yj

)i<j

), vergleiche

3. RAUMKURVEN 15

Multilineare Algebra (z. B. Zieschang, Lineare Algebra und Geometrie, Kapitel 9). Genau danngilt

(n2

)= n, wenn n = 3.

3.2 Frenet-Kurven in R3 Sei c : I → R3 eine Frenet-Kurve, das heißt 3-mal stetig differen-zierbar, und c, c seien an jeder Stelle linear unabhangig. Fur das begleitende 3-Bein e1, e2, e3 unddie Frenet-Krummungen κ1, κ2 trifft man die folgenden konventionellen Bezeichnungen:

• t = e1 = c‖c‖ : Tangenteneinheitsvektor,

• n = e2: (Haupt-)Normalenvektor (entsteht aus c− 〈c, e1〉e1 durch Normieren),

• b = e3 = e1 × e2 = t× n: Binormalenvektor,

• κ = κ1 = 〈e1,e2〉‖c‖ : Krummung,

• τ = κ2 = 〈e2,e3〉‖c‖ : Torsion (Windung).

Man kann zeigen, dass fur alle t ∈ I gilt (Ubungsaufgabe 12):

κ(t) =‖c(t)× c(t)‖‖c(t)‖3

und

τ(t) =det(c(t), c(t),

...c (t)

)‖c(t)× c(t)‖2

.

Wegen ωi = ‖c‖κi in 1.11 lauten die Frenet-Gleichungen dann

e1 = ‖c‖κe2,

e2 = −‖c‖κe1 + ‖c‖τe3,

e3 = −‖c‖τe2.

Variante zu den Formeln fur t = e1, n = e2 und b = e3: Setze e1 = c‖c‖ , e3 = c×c

‖c×c‖ sowiee2 = e3× e1 = −e1× e3. (Dann ist e1, e3, e2 negativ orientiert, also ist e1, e2, e3 positiv orientiert).

Ist c : I → R3 nach der Bogenlange parametrisiert, dann vereinfachen sich diese Formeln:e1 = c, e2 = c

‖c‖ , e3 = e1 × e2, κ = ‖c‖, τ = 〈e2, e3〉, und man kann die Frenet-Gleichungen (nocheinmal) so herleiten:

Es ist e1 = c = κe2, fernere2 = 〈e2, e1〉e1 + 〈e2, e2〉e2 + 〈e2, e3〉e3 = −〈e2, e1〉e1 + 0 + τe3, wegen der Konstanz von

〈e2, e1〉 = 0 und 〈e2, e2〉 = 1 (dann noch Ableiten), also e2 = −κe1 + τe3, unde3 = 〈e3, e1〉e1 + 〈e3, e2〉e2 + 〈e3, e3〉e3 = −〈e3, e1〉e1 − 〈e3, e2〉e2 + 0 = 0 − τe2, wegen e1 ∈

Re2 ⊥ e3.

Der sogenannte Darboux-Vektor D := τe1 + κe3 erfullt die GleichungenD × e1 = κe3 × e1 = κe2,

D × e2 = τe1 × e2 + κe3 × e2 = τe3 − κe1,

D × e3 = τe1 × e3 = −τe2.

(wegen e3× e1 = e2, e3× e2 = −e1, außerdem haben wir die Abhangigkeit von t ∈ I unterdruckt).Daher kann man die Frenet-Gleichungen auch so schreiben:

ei = D × ei fur i = 1, 2, 3.


3.3 Lokale Normaldarstellung von Raumkurven Sei c : I → R3 glatt und nach der Bo-genlange parametrisiert, ferner 0 ∈ I. Eine Taylorentwicklung liefert

c(t) = c(0) + t · c(0) +t2

2c(0) +

t3

6...c (0) + R(t),

wobei fur den Rest R : I → R3 die Beziehung limt→0 R(t)/t3 = 0 gilt (man schreibt dafur oft dassogenannte Landausche o-Symbol o(t3)). Mit Hilfe der Frenet-Gleichungen kann man c, c,

...c durch

das begleitende 3-Bein e1, e2, e3 von c ausdrucken:c = e1, c = e1 = κe2,

...c = e1 = κe2 + κe2 = κe2 + κ(−κe1 + τe3) = −κ2e1 + κe2 + κτe3.

Nach Einsetzen von t = 0 kann man damit die Taylorentwicklung umschreiben:

c(t) = c(0) +(

t− κ(0)2

6t3)

e1(0) +(

κ(0)2

2t2 +

κ(0)6

t3)

e2(0) +κ(0)τ(0)

6t3e3(0) + R(t).

Diese Formel bezeichnet man als die lokale Normaldarstellung von c. Sie liefert eine Beschreibungvon c in einem Koordinatensystem, das passend zur Kurve c gewahlt wurde. Die Orthogonalpro-jektionen von c in eine Ebene Spann{ei(0), ej(0)} mit i 6= j lassen sich dann so angeben (zurVereinfachung sei c(0) = 0):

• Schmiegebene Spann{e1(0), e2(0)}:

t 7→ te1(0) + κ(0)2 t2e2(0) + o(t2), die Schmiegparabel in der Schmiegebene, bis auf o(t2), falls

κ(0) 6= 0.

• Normalebene Spann{e2(0), e3(0)}:

t 7→(

κ(0)2 t2 + κ(0)

6 t3)

e2(0) + κ(0)τ(0)6 t3e3(0) + o(t3), also eine Kurve vom Typ der Neilschen

Parabel (bis auf o(t3)), falls τ(0) 6= 0 und κ(0) 6= 0.

• Rektifizierende Ebene Spann{e1(0), e3(0)}:

t 7→(t− κ(0)2

6 t3)

e1(0) + κ(0)τ(0)6 t3e3(0) + o(t3), also eine Kurve vom Typ einer kubischen

Parabel (bis auf o(t3)), falls τ(0) 6= 0 und κ(0) 6= 0.

e1

e2

e2

e3

e1

e3

3. RAUMKURVEN 17

Folgerungen:

(a) Vorzeichen der Torsion τ : Wir durchlaufen die Kurve mit wachsendem t (das heißt in Rich-tung wachsender Bogenlange). Ist τ(0) > 0, so wachst dabei auch die 3.Koordinate κ(0)τ(0)

6 t3

(lokal) bei e3(0) von c(t), das heißt die Kurve kreuzt die Schmiegebene bei t = 0 und lauftdann weiter in den Halbraum bezuglich der Schmiegebene, der e3(0) enthalt (sogenannterpositiver Halbraum).

Ist τ(0) < 0, so verlauft die Kurve nach Kreuzen der Schmiegebene zunachst im negativenHalbraum bezuglich der Schmiegebene. (Rechtsschraube bzw. Linksschraube, bzw. hopfen-wendig oder weinwendig).

(b) Wegen κ(0) > 0 gilt κ(0)2 t2 + κ(0)

6 t3 ≥ 0 fur hinreichend kleine t und Gleichheit gilt nur furt = 0 (lokal). Daher existiert eine Nullumgebung J ⊆ I, so dass α(J) auf derjenigen Seiteder rektifizierenden Ebene liegt, welche e2(0) von 0 enthalt.

Bedingungen an Krummung und Torsion

Ist c eine Frenet-Kurve in R3 mit konstanter Krummung κ und Torsion τ ≡ 0, so ist c Teil einerKreislinie (nach 1.12 eine ebene Kurve, dann 2.2).

3.4 Satzchen Eine Frenet-Kurve c : I → R3 hat genau dann konstante Krummung κ und kon-stante Torsion τ , wenn c Teil einer Schraubenlinie ist (das heißt nach Anwenden einer geeignetenBewegung gilt c(I) ⊆ {(a cos t, a sin t, bt) | t ∈ R} mit a > 0, b ∈ R).

Beweis 10 Die Abbildung t 7→ (a cos t, a sin t, bt) hat die Ableitung t 7→ (−a sin t, a cos t, b) mitder konstanten Lange

√a2 + b2; daher ist d(t) =

(a cos t√

a2+b2, a sin t√

a2+b2, b t√

a2+b2

)eine Pa-

rametrisierung der Schraubenlinie nach der Bogenlange. Damit berechnet man Krummung undTorsion der Schraubenlinie:

κ(t) = ‖d(t)‖ = aa2+b2 , konstant und

τ(t) =det(d(t),d(t),

...d (t))

κ(t)2 = · · · = ba2+b2 , konstant.

Sei jetzt umgekehrt c : I → R3 eine Frenet-Kurve mit konstanter Krummung κ und konstanterTorsion τ .

1. Argumentation: Dann existieren a > 0, b ∈ R mit κ = aa2+b2 , τ = b

a2+b2 (namlich a := κκ2+τ2 ,

b := τκ2+τ2 ), das heißt c hat die gleiche Krummung und die gleiche Torsion wie die Schraubenlinie

I → R3, t 7→ (a cos t, a sin t, bt). Nach 1.14 entsteht c aus dieser Schraubenlinie durch Anwendeneiner Bewegung.

2.Argumentation: Ohne Einschrankung sei c nach der Bogenlange parametrisiert. Wegen

c = e1 versuchen wir, das Differentialgleichungssystem

e1

e2

e3

= K

e1

e2

e3

mit der kon-

stanten Koeffizientenmatrix K =

0 κ 0−κ 0 τ0 −τ 0

zu losen (vergleiche Beweis zu 1.13). Die

Losung lasst sich schreiben als

e1(t)e2(t)e3(t)

= exp(tK)

e1(0)e2(0)e3(0)

und man kann die Matrix

exp(tK) :=∑

j≥0tj

j! Kj berechnen. Die Matrix K hat das charakteristische Polynom X3 +

(κ2 + τ2)X, also in C die drei verschiedenen Eigenwerte 0,±i√

κ2 + τ2 (verschieden wegen

κ > 0). Daher ist K ahnlich zu der Matrix

0√

κ2 + τ2 0−√

κ2 + τ2 0 00 0 0

, und exp(tK) ist ahn-


lich zu∑

j≥0tj

j!

0√

κ2 + τ2 0−√

κ2 + τ2 0 00 0 0

j

=

∑j≥0tj

j!

(0

√κ2 + τ2

−√

κ2 + τ2 0

)1

= cos(t√

κ2 + τ2) sin(t√

κ2 + τ2) 0− sin(t

√κ2 + τ2) cos(t

√κ2 + τ2) 0

0 0 1

.

Daher entsteht c = e1 aus cos(t√

κ2 + τ2)e1(0) + sin(t√

κ2 + τ2)e2(0) + e3(0) durch Anwendeneiner (von t unabhangigen) linearen Abbildung. Deshalb ist c Teil einer Schraubenlinie. �

3.5 Randbemerkung Die in 3.4 angegebene Schraubenlinie besteht aus den Punktencos t − sin t 0sin t cos t 00 0 1

a00

+

00bt

mit t ∈ R,

das heißt die Schraubenlinie ist Bahn (Menge aller Bilder) des festen Vektors

a00

unter der

Gruppe aller ”Schraubungen“

R3 → R3 : x 7→

cos t − sin t 0sin t cos t 00 0 1

x +

00bt

mit t ∈ R. Diese Schraubungen bilden eine ”Einparametergruppe“ eigentlicher Bewegungen.

Jede Bahn einer Einparametergruppe von eigentlichen Bewegungen ist eine Kurve mit kon-stanten Krummungen (in Rn, falls die Kurve eine Frenet-Kurve ist, vergleiche Ubungsaufgabe8(b)).

3.6 Die Schmiegschraubenlinie Zu jeder Frenet-Kurve c : I → R3 und jedem t0 ∈ I gibtes genau eine Schraubenlinie, welche durch c(t0) geht, bei t0 das gleiche begleitende 3-Beine1(t0), e2(t0), e3(t0), die gleiche Krummung κ(t0) und die gleiche Torsion τ(t0) wie c hat; diesfolgt aus 3.4 und 1.13. Man nennt diese Schraubenlinie die Schmiegschraubenlinie von c bei t0.Der Darboux-Vektor D(t0) = τ(t0)e1(t0) + κ(t0)e3(t0) zeigt in die Richtung der Achse dieserSchraubenlinie (R(0, 0, 1) in 3.4, Achse der ”momentanen Rotation“).

3.7 Satz (uber Boschungslinien) Fur eine Frenet-Kurve c : I → R3 mit Krummung κ undTorsion τ sind aquivalent:

(i) Der Quotient τκ ist konstant.

(ii) Es existiert ein v ∈ R3 \ {0} mit: 〈e1(t), v〉 ist konstant (das heißt der Winkel zwischen Rvund der Tangentenrichtung Rc(t) = Re1(t) ist konstant).

(iii) Es existiert ein v ∈ R3 \ {0} mit: 〈e2(t), v〉 ≡ 0.

Ist τ(t) 6= 0 fur alle t ∈ I, so ist jede dieser Bedingungen auch aquivalent zu

(iv) Es existiert ein v ∈ R3 \ {0} mit: 〈e3(t), v〉 ist konstant.

Solche Kurven heißen Boschungslinien (falls sie keine ebenen Kurven sind, das heißt τ 6= 0 uberall).

Beweis 11 Ohne Einschrankung sei c nach der Bogenlange parametrisiert. Es gilt ddt 〈e1(t), v〉 =

〈e1(t), v〉 = κ(t)〈e2(t), v〉. Wegen κ > 0 folgt hiermit bereits (ii) ⇐⇒ (iii).Weiterhin gilt d

dt 〈e3(t), v〉 = 〈e3, v〉 = τ〈e2(t), v〉, daher (iii) ⇒ (iv), und mit τ(t) 6= 0 fur allet ∈ I folgt auch (iv) ⇒ (iii).

3. RAUMKURVEN 19

Sei jetzt (i) richtig. Dann ist der Vektor v := τκe1 + e3 (= 1

κD) konstant, wegen v = τκ e1 + e3 =

τκκe2 − τe2 = 0, und fur die Skalarprodukte gilt: 〈e1, v〉 = τ

κ konstant; 〈e2, v〉 = 0, 〈e3, v〉 = 1, dasheißt (ii), (iii), (iv) sind erfullt.

Wir zeigen jetzt (ii) ⇒ (i). Aus (ii) folgt (iii) und (iv), jeweils mit demselben konstanten Vektorv, wie wir gezeigt haben, also v = 〈v, e1〉e1 + 〈v, e3〉e3 mit konstanten Funktionen 〈v, e1〉, 〈v, e3〉.Ableiten liefert 0 = v = 〈v, e1〉e1 + 〈v, e3〉e3 = (〈v, e1〉κ−〈v, e3〉τ)e2, also 〈v, e1〉κ = 〈v, e3〉τ . Ware〈v, e3〉 = 0, dann auch 〈v, e1〉 = 0 wegen κ > 0, also v = 0, Widerspruch! Also ist 〈v, e3〉 6= 0 undτκ = 〈v,e1〉

〈v,e3〉 konstant. �

3.8 Definition (Beruhren zwischen Kurve und Kugel) Die Kugel {x : ‖x−m‖ = r} mitMittelpunkt m und Radius r > 0 (in R3, oder Rn) beruhrt eine Kurve c an der Stelle t0 von derOrdnung k ∈ N0, falls fur die Funktion f(t) = ‖m− c(t)‖2 − r2 gilt f (i)(t0) = 0 fur 0 ≤ i ≤ k.

Beruhren von der Ordnung 0 heißt f(t0) = 0 ⇐⇒ ‖m − c(t0)‖ = r ⇐⇒ c(t0) liegt auf derKugel.

Beruhren von der Ordnung 1 bedeutet zusatzlich f(t0) = 0 ⇐⇒ 2〈m− c(t0), c(t0)〉 = 0 ⇐⇒c(t0) liegt in der Tangentialebene der Kugel bei c(t0).

m

c(t0)

3.9 Satz (Schmiegkugeln und spharische Kurven)

(a) Sei c : I → R3 eine nach der Bogenlange parametrisierte Frenet-Kurve mit Krummung κ,Torsion τ und begleitendem 3-Bein e1, e2, e3; ferner t0 ∈ I und τ(t0) 6= 0. Dann existiertgenau eine Kugel, die sogenannte Schmiegkugel , welche c bei t0 von der Ordnung 3 beruhrt.Diese Kugel hat den Mittelpunkt

c(t0) +1

κ(t0)e2(t0)−

κ(t0)τ(t0)κ(t0)2

e3(t0)

(und daher den Radius (κ(t0)−2 + κ(t0)2τ(t0)−2κ(t0)−4)12 ).

(b) Sei c : I → R3 eine nach der Bogenlange parametrisierte Frenet-Kurve mit Krummung κ undTorsion τ , und sei τ 6= 0 uberall.

Genau dann ist das Bild c(I) in einer Kugel enthalten, wenn die Differentialgleichung

τ

κ=(

κ′

τκ2

)′gilt; solche Kurven heißen spharisch.

(c) Jede 3-mal stetig differenzierbare regular parametrisierte Kurve c : I → R3, deren Bild c(I)in der Kugel S2 = {x ∈ R3 : ‖x‖ = 1} liegt, ist eine Frenet-Kurve. Ist eine solche Kurve nachder Bogenlange parametrisiert, so sind Krummung κ und Torsion τ von c gegeben durch

κ =√

1 + J2 und τ =J

1 + J2

wobei J := det(c, c, c).

Die Teile von Großkreisen von S2 sind durch J ≡ 0 gekennzeichnet, Teile von beliebigenKreisen auf S2 durch konstantes J .


Beweis 12 (a) Die Kugel um m ∈ R3 mit Radius r beruhrt c bei t0 von der Ordnung 3 istgleichbedeutend mit ‖m − c(t0)‖ = r, und die ersten 3 Ableitungen der Funktion f(t) =〈m− c(t),m− c(t)〉 − r2 verschwinden bei t0. Wir berechnen

f(t) = −2〈m− c(t), c(t)〉;f(t) = −2〈m− c(t), c〉+ 2 〈c(t), c(t)〉︸︷︷︸

=1

= −2〈m− c(t), c〉+ 2;

...f (t) = −2〈m− c(t),

...c (t)〉+ 2 〈c(t), c(t)〉︸︷︷︸

=0, weil 〈c,c〉=1

= −2〈m− c(t),...c (t)〉.

Hiermit ergibt sich

f(t0) = 0 ⇐⇒ 〈m− c(t0), e1(t0)〉 = 0,

f(t0) = 0 ⇐⇒ 1 = 〈m− c(t0), c(t0)〉 = 〈m− c(t0), e2(t0)〉κ(t0),...f (t0) = 0 ⇐⇒ 0 = 〈m − c(t0),

...c (t0)〉 = 〈m − c(t0),−κ(t0)2e1(t0) + κ(t0)e2(t0) +

κ(t0)τ(t0)e3(t0)〉, wegen...c = e1 = d

dt (κe2) = κe2 + κe2 = κe2 + κ(−κe1 + τe3) =−κ2e1 + κe2 + κτe3,

also...f (t0) = 0 ⇐⇒ κ(t0)− τ(t0)〈m− c(t0), e3(t0)〉 = −κ(t0)〈m− c(t0), e2(t0)〉.Aus m − c(t0) =

∑3i=1〈m − c(t0), ei(t0)〉ei(t0) erhalt man m − c(t0) = 1

κ(t0)e2(t0) −

κ(t0)κ(t0)2τ(t0)

e3(t0).

Daher ist der Mittelpunkt m eindeutig bestimmt (wie behauptet), und damit dann auchr = ‖m− c(t0)‖.

(b) Sei m(t) wie in (a) angegeben der Mittelpunkt der Schmiegkugel an c in t, und sei r(t)2 =〈m(t)− c(t),m(t)− c(t)〉 ihr (quadrierter) Radius. Liegt c(I) in einer Kugel um M ∈ R3 mitRadius R, so ist 〈M − c(t),M − c(t)〉 konstant (= R2), also verschwinden alle Ableitungendieses Skalarprodukts, insbesondere die ersten drei. Also ist die Kugel um M mit Radius Rdie Schmiegkugel, insbesondere ist m(t) = M konstant.

Umgekehrt, ist m(t) konstant, so sind auch r(t)2 und r(t) konstant, wegen ddt (r(t)

2) =−2〈m(t) − c(t), c(t)〉 = 0, das heißt die Schmiegkugel ist konstant, und enthalt c(I). Alsoerhalten wir:c

c(I) ⊆ Kugel ⇐⇒ m(t) konstant ⇐⇒ 0 = m′(t) =d

dt

[c(t) +

1κ(t)

e2(t)−κ(t)

τ(t)κ(t)2e3(t)

]= e1 −

κ′

κ2e2 +

1κ

e′2 −(

κ′

τκ

)′e3 −

κ′

τκ2e′3

= e1 −κ′

κ2e2 +

1κ

(−κe1 + τe3)−(

κ′

τκ2

)′e3 +

κ′

τκ2τe2 =

(τ

κ−(

κ′

τκ2

)′)e3

⇐⇒ τ

κ=(

κ′

τκ2

)′,

wie behauptet.

(c) Sei c(I) ⊆ S2 wie in (c). Um zu zeigen, dass c eine Frenet-Kurve ist, durfen wir annehmen,dass c nach der Bogenlange parametrisiert ist. Dann ist 〈c, c〉 ≡ 1 konstant, also 2〈c, c〉 = 0,und daher 0 = 〈c, c〉+ 〈c, c〉 = 1 + 〈c, c〉. Also it c(t) /∈ Rc(t) fur alle t ∈ I, also c, c(t) linearunabhangig fur alle t ∈ I, das heißt c ist eine Frenet-Kurve.

Sei c(I) ⊆ S2 und c nach der Bogenlange parametrisiert. c, c, c× c ist ein Orthonormalsystem(fur jedes t ∈ I), also c = 〈c, c〉c + 〈c, c〉c + 〈c, c× c〉c× c. Wegen 〈c, c〉 = −〈c, c〉 = −1 folgtdurch Ableiten 2〈c, c〉 = 0, also c = −c + Jc× c.

cAus typographischen Grunden schreiben wir ausnahmsweise ′ statt ˙ als Differentialoperator.

4. AUS DER GLOBALEN KURVENTHEORIE 21

Dies liefert κ = ‖c‖ =√

1 + J2. Wegen τ = det(c,c,...c )

κ2 = det(c,c,...c )

1+J2 folgt die behaupteteFormel fur τ , wenn wir det(c, c,

...c ) = J nachweisen, etwa so:

det(c, c,...c ) = det(

...c , c, c) = 〈...c × c, c〉 = 〈(−c + Jc× c + J c× c︸︷︷︸

=0

+Jc× c)× c, c〉

= 〈J (c× c)× c︸︷︷︸−c, da c,c,c×c ein pos. or.ONS

+J (c× c)︸︷︷︸∈Rc nach Formel fur c, daher (c×c)×c=0

×c, c〉

= 〈J(−c), c〉 = −J 〈c, c〉︸︷︷︸=−1

= J .

Schließlich gilt: J konstant ⇐⇒ J = 0 ⇐⇒ τ ≡ 0 ⇐⇒ c(I) liegt in einer Ebene, ist alsoTeil eines Kreises. J ≡ 0 bedeutet zusatzlich, dass κ ≡ 1, das heißt c(I) liegt in einem Kreisvom Radius 1 (vergleiche 2.2), das heißt in einem Großkreis. �

I Bemerkung:

(i) Die Gleichung in (b) erlaubt es, spharische Kurven zu erkennen, ohne die Lage der betreffen-den Kugel zu kennen.

(ii) Beispiel von spharischen Kurven: e1, e2, e3 zu jeder Frenet-Kurve in R3.(iii) Interpretation von J : bei spharischen, nach Bogenlange parametrisierten Kurven c ist c × c

ein Einheitsvektor, der orthogonal zur Kurve und tangential zur Sphare (da orthogonal zu c);daher ist J = 〈c× c, c〉 der Anteil von c, der tangential zur Sphare ist (sogenannte geodatischeKrummung der spharischen Kurve). Nach den Formeln in (a) kann man κ, τ explizit durchdie Funktion J ausdrucken

Ruckblick (auf Raumkurven vom lokalen Standpunkt aus): Alle geometrischen Eigenschafteneiner Raumkurve sind allein durch ihre Krummung κ und ihre Torsion τ bestimmt. Die meisen

”lokalen“ Aufgaben uber Raumkurven lassen sich so losen: man schreibt die Voraussetzungen auf,und druckt alle vorkommenenden Vektoren durch das begleitende 3-Bein e1, e2, e3 aus, und schaffeAbleitungen ei (auch hohere Ableitungen) mit Hilfe der Frenet-Gleichungen weg. Damit erhaltman die Voraussetzungen in einer Formulierung, in der nur e1, e2, e3 sowie κ, τ und Ableitungenvon κ, τ auftreten. Koordinatenvergleich liefert ein Differentialgleichungssystem fur κ, τ , das manhoffentlich losen kann.

4 Aus der globalen Kurventheorie

4.1 Definition Eine (regulare) parametrisierte Kurve c : [a, b] → Rn heißt geschlossen, fallseine (regulare) Parametrisierung c : R → Rn existiert mit c|[a,b] = c und c(t + b − a) = c(t) furalle t ∈ R (das heißt c ist periodisch mit der Periode b− a, insbesondere c(a) = c(b), entsprechendfur Ableitungen. . . ). Man nennt eine geschlossene Kurve c : [a, b] → Rn einfach geschlossen, fallsc|[a,b) injektiv ist.

4.2 Definition Eine Frenet-Kurve c : I → R2 heißt konvex, falls fur alle t ∈ I die Bildmengec(I) ganz auf einer Seite der Tangente an c in t liegt, das Skalarprodukt 〈c(t′)− c(t), e2(t)〉 hat furalle t′ ∈ I das gleiche Vorzeichen.

c(t)

c(t1)

konvex nicht konvex


Ist c eine Frenet-Kurve, so folgt aus der Konvexitat, dass κ ≥ 0 auf I oder κ ≤ 0 auf I, denn:Ohne Einschrankung sei c nach der Bogenlange parametrisiert, dann die Taylorentwicklung (mitc = e1, c = e1 = κe2):

c(t′)− c(t) = (t′ − t)c(t) +(t′ − t)2

2κ(t)e2(t) + o

((t′ − t)2

),

also 〈c(t′) − c(t), e2(t)〉 = (t′−t)2

2 κ(t) + o((t′ − t)2

), und daher hat κ auf I das gleiche Vorzeichen

wie das Skalarprodukt.Ist c eine einfach geschlossene Frenet-Kurve im R2, so folgt aus κ ≥ 0 oder κ ≤ 0, dass c konvex

ist (vergleiche Bar Seite 53, Klingenberg Seite 21), aber fur beliebige (nicht einfach) geschlosseneKurven ist dies falsch, zum Beispiel bei einer Bretzelkurve:

k>0,nicht konvex

4.3 Vierscheitelsatz (Mukhopadhyaya 1909) Jede einfach geschlossene konvexe Frenet-Kurve c : [a, b] → R2 hat mindestens 4 Scheitel, das heißt κ hat mindestens 4 Nullstellen.

Beweis 13 (nach Herglotz) Die stetige Funktion κ hat auf dem kompakten Intervall [a, b] einMinimum und Maximum, also hat c mindestens zwei Scheitel. Wegen der Periodizitat in 4.1 istdie Anzahl der Nullstellen der periodischen Funktion κ in [a, b) gerade. Deshalb genugt es, einedritte Nullstelle von κ zu finden. Die Behauptung gilt trivialerweise, wenn c[a, b] eine Streckeenthalt.

Ohne Einschrankung sei c nach der Bogenlange parametrisiert, c : [0, L] → R2, also L die Langevon c, und das Minimum von κ werde bei t = 0 angenommen, das Maximum bei t = t0 ∈ [0, L).Nach Anwendung einer Bewegung kann man zusatzlich annehmen, dass c(0) und c(t0) auf derx-Achse liegen.

Aus c(0) = c(t0) folgt wegen der Injektivitat t0 = 0, also ist κ konstant, κ ≡ 0 (lauter Scheitel,Kreis). Sei also c(0) 6= c(t0).

x

y

c(t0)c(0)

Falls c die x-Achse in einem weiteren Punkt c(t1) trifft, dann liegt c(t1) zwischen c(0) und c(t0)(denn nach 4.2 liegt c(t1) rechts von der Tangente durch c(0) und links von der Tangente durchc(t0)). Ferner ist die x-Achse die Tangente im Punkt c(t1), weil jede andere Gerade durch c(t1) dieKurve in zwei Teile zerlegt. Weil c konvex ist, gehort die Verbindungsstrecke zwischen c(0) undc(t0) zu c, und wir sind fertig.


Wir schreiben c(t) =(x(t), y(t)

)mit geeigneten Funktionen x, y : [0, L] → R, und durfen jetzt

annehmen, dass 0 und t0 die einzigen Nullstellen von y sind. Angenommen c hat nur die Scheitelc(0) und c(t0). Dann ist ohne Einschrankung κ ≥ 0 auf [0, t0] und κ ≤ 0 auf [t0, L] und dieFunktion κ · y wechselt ihr Vorzeichen nicht. Es gilt e1 = (x, y), e2 = (−y, x), e1 = (x, y) = κe2,insbesondere x = −κy. Partielle Integration liefert∫ L

0

κ(t)y(t) dt = κ · y|L0 −∫ L

0

κ(t)y(t) dt = 0 +∫ L

0

x(t) dt = x(L)− x(0) = 0.

Da κy keinen Vorzeichenwechsel hat, folgt κy ≡ 0, also κ = 0 fur alle t 6= 0, t0, viele Scheitel. �

4.4 Bemerkungen Nach A. Kneser (1912) gilt dieser Satz allgemeiner auch fur nicht kon-vex einfach geschlossene ebene Kurven (vergleiche Barner-Flohr, Der Vierscheitelsatz und seineVerallgemeinerungen, Der Mathematikunterricht4(1958) Heft 4).

Nach Gericke (1937) gibt es Raumkurven mit nur zwei Scheiteln (Nullstellen von κ), zumBeispiel hat die Kurve

c : [0, 4π] → R, t 7→((

a− sint

2

)cos t,

(a− sin

t

2

)sin t, cos

t

2

)fur hinreichend großes a > 1 nur an den beiden Stellen t = π und t = 3π einen Scheitel.

Jede einfach geschlossene regular parametrisierte Kurve c : [a, b] → R2 ist eine Jordan-Kurve.Nach dem Jordanschen Kurvensatz hat R2 \c(I) genau zwei Zusammenhangskomponenten, wovongenau eine beschrankt ist, das Innere von c.

Isoperimetrisches Problem: Fur welche einfach geschlossenenen Kurven c mit fester LangeL(c) hat das Innere von c den großten Flacheninhalt?

4.5 Satz (Isoperimetrische Ungleichung) Fur jede einfach geschlossene regular parame-trisierte Kurve c : [a, b] → R2 gilt

4πA ≤ L(c)2

wobei A der Flacheninhalt (das Lebesguemaß) des Inneren von c ist. Gleichheit gilt genau dann,wenn c ein Kreis ist.

Beweis 14 (nach E.Schmidt 1938) Wir durfen annehmen, dass c : [0, L] → R2, t 7→(x(t), y(t)

)nach der Bogenlange parametrisiert ist, also L = L(c), und dass c das Innere im mathematischpositiven Sinn umlauft (gegen den Uhrzeigersinn). Dann gilt

A =∫ L

0

x(t)y(t) dt = −∫ L

0

x(t)y(t) dt =12

∫ L

0

[x(t)y(t)− x(t)y(t)] dt,

denn nach dem Integralsatz von Gauß (oder Green) gilt fur alle glatten Abbildungen P,Q : R2 → Rdie folgende Formel∫

Inneres

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy =

∫c

P dx + Qdy =∫ L

0

(Px + Qy) dt,

mit der Spezialisierung P (x, y) = −y, Q(x, y) = x folgt

2A =∫

Inneres

(1 + 1) dx dy =∫ L

0

(−yx + xy) dt.

Partielle Integration und L-Periodizitat von x, y zeigt, dass dieses Integral mit 2∫ L

0xy dt und mit

−2∫ L

0xy dt ubereinstimmt (vergleiche Heuser, Lehrbuch der Analysis III, 207.2 oder Bar S. 61

oder Apostol, Mathematical Analysis).


Die Funktion x nehme ihr Minimum bei t0 an und ihr Maximum bei t1, ohne Einschrankung seit0 < t1 und (ohne Einschrankung, nach Translation) sei −r das Minimum und +r das Maximumfur ein r > 0. Dann ist

d : [0, L] → R2, t 7→

(x(t),

√r2 − x(t)2

)fur t ∈ [t0, t1](

x(t),−√

r2 − x(t)2)

fur t ∈ [0, t0] ∪ [t1, L]

ein Kreis mit Radius r (und Flacheninhalt πr2), im Allgemeinen nicht regular parametrisiert.

c(t0)

c(t1)

r-r

Es gilt

A + πr2 =∫ L

0

xy dt−∫ L

0

x√

r2 − x2 dt =∫ L

0

(xy − x√

r2 − x2) dt.

Wegen

xy − x√

r2 − x2 ≤√

(xy − x√

r2 − x2)2 ≤√

(xy − x√

r2 − x2)2 + (xx + y√

r2 − x2)2

=

√√√√(x2 +√

r2 − x22)(x2 + y2︸︷︷︸

=1

) =√

r2 · 1 = r

folgt weiter

A + πr2 ≤∫ L

0

r dt = r · L.

Die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel besagt, dass√

ab ≤ a+b2 , mit

Gleichheit nur fur a = b. Damit erhalten wir√

A · πr2 ≤ 12(A + πr2) ≤ 1

2rL,

also 4πA ≤ L2, wie behauptet.Gleichheit kann nur gelten, wenn bei allen vorgenommenen Abschatzungen Gleichheit herrscht,

das heißt, wenn A = πr2 und xx + y√

r2 − x2 = 0. Dies impliziert x2x2 = y2(r2 − x2), alsox2 (x2 + y2)︸︷︷︸

=1

= y2r2, daher x = ±yr. Wegen A = πr2 ist r unabhangig vom gewahlten Koordina-

tensystem, wir durfen insbesondere x und y vertauschen, und erhalten dann y = ±xr. Damit folgtx2 +y2 = (x2 + y2)r2 = r2. Daher ist c ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt 0. Fur jeden Kreisc mit Radius r gilt A = πr2 und L(c) = 2πr, also 4πA = 4π2r2 = L(c)2. �

Literatur: Blaschke, Kreis und Kugel; Hadwiger


4.6 Ovale und Kurven konstanter Breite Ein Oval (oder Eilinie) ist eine einfach geschlos-sene konvexe Frenet-Kurve in R2 mit κ > 0 (die Konvexitat folgt aus κ > 0, aber das haben wirnicht bewiesen; κ > 0 besagt, dass die Kurve sich standig nach links krummt). Jedes Oval hat eineperiodische Parametrisierung c : R → R2 nach der Bogenlange; die Lange L des Ovals ist dannauch die kleinste positive Periode von c. Fur ϑ(t) :=

∫ t

0κ(x) dx gilt ϑ = κ, und ϑ(t) ist der Winkel

zwischen c(t) (Tangente bei t) und c(0) (Tangente bei 0, oBdA die x-Achse, vergleiche 2.3(c)).

c(t)

x-Achse

c(0)

e1(t)e1(ts)

o(t)

Wegen ϑ = κ > 0 und der Periodizitat von κ ist ϑ : R → R bijektiv. Fur das begleitende 2-Beine1, e2 von c gilt (wegen der Interpretation von ϑ als Winkel) ϑ(t)+π = ϑ(t′) ⇐⇒ e1(t) = −e1(t′)fur alle t, t′ ∈ R und zu jedem t ∈ [0, L) existiert genau ein t′ ∈ [0, L) mit e1(t) = −e1(t′) (oderaquivalent dazu: e2(t) = −e2(t′)).

Die Breite des Ovals c in Richtung Re2(t) = Re2(t′) ist der Abstand der beiden parallelenTangenten in t und t′, also 〈c(t), e2(t)〉−〈c(t′), e2(t′)〉 (weil −〈c(t), e2(t)〉 der Abstand der Tangentebei t vom Nullpunkt ist; wir legen dabei den Nullpunkt ins Innere des Ovals.)

Man nennt das Oval c eine Kurve konstanter Breite b, falls diese Breite den konstanten Wertb hat (also von t und damit von der Richtung Re2(t) unabhangig ist). Neben den Kreisen gibt esnoch viele weitere Beispiele von Kurven konstanter Breite, siehe 4.8.

4.7 Satz von Barbier (1860) Jede Kurve von konstanter Breite b hat die Lange πb.

Beweis 15 Sei c ein Oval wie in 4.6. Wir betrachten die Umparametrisierung c = c◦ϑ−1 : [0, 2π] →R2 mit dem begleitenden 2-Bein e1 = e1 ◦ ϑ−1, e2 = e2 ◦ ϑ−1. Die Breite in Richtung Re2(t) istgegeben durch h(t) + h(t + π), wobei h = −〈c, e2〉 = −〈c ◦ ϑ−1, e2 ◦ ϑ−1〉 (wegen ϑ(t′) = ϑ(t) + π).

Man berechnet h = −〈c, e2〉−〈c, e2〉 = −〈c, e2〉, da c ein Vielfaches von e1 und daher orthogonalzu e2. Wegen e1 = (cos ◦ϑ, sin ◦ϑ), e2 = (− sin ◦ϑ, cos ◦ϑ), vergleiche 2.3(c), gilt e1 = (cos, sin),e2 = (− sin, cos) und daher e2 = −e1 sowie e2 = −e1 = −e2. Dies liefert c = 〈c, e1〉e1 + 〈c, e2〉e2 =〈c, e2〉e2 − he2 = −he2 − he2, also c = −he2−he2︸︷︷︸

+he2

−e2 − he2 = −(h + h)e2.

Wegen c = ‖c‖e1 folgt ‖c‖ = h + h, und die Lange des Ovals ist daher∫ 2π

0

‖c(t)‖ dt =∫ 2π

0

(h(t) + h(t)

)dt

=∫ 2π

0

h(t) dt (weil∫ 2π

0h dt = h(2π)− h(0) = 0 aufgrund der Periodizitat)

=∫ π

0

(h(t) + h(t + π)

)dt.

Dies gilt fur alle Ovale. Bei konstanter Breite b = h(t) + h(t + π) erhalt man als Lange∫ π

0b dt = πb. �

4.8 Beispiele von Kurven konstanter Breite Das einfachste Beispiel, abgesehen vomKreis, ist das sogenannte Reuleaux-Dreieck, das aus drei Kreisbogen uber einem gleichseitigenDreieck besteht (jeweils mit dem gegenuberliegenden Eckpunkt als Mittelpunkt):


dd

dd d

d

Allerdings hat diese Kurve drei Ecken, in welchen sie nicht differenzierbar ist, aber man kann

”glatten“, indem man zur Parallelkurve im Abstand d > 0 ubergeht.Reuleaux hat 1875 entdeckt, dass man sein Dreieck in einem Quadrat (mit der Breite als

Seitenlange) ohne Spielraum umdrehen kann.

Variationen: Man kann das Dreieck ersetzen durch ein (2n+1)-Eck, das auch nicht regelmassigsein muss (engl. 50-Penie-Munze: 7-Eck). Es gibt auch Kurven konstanter Breite, welche keinenKreisbogen positiver Lange enthalten (siehe Ubungsaufgabe 19).

Literatur: Euler 1778; Bonnesen-Fenschel, Theorie der konvexen Korper, 1934; Rademacher-Toeplitz, Von Zahlen und Figuren, 1930 [Kapitel 20b]

Randbemerkung: Ein Punkt im Inneren einer ebenen, konvexen, einfach geschlossenen Kurveheißt Speichenpunkt, falls alle Sehnen der Kurve, welche durch diesen Punkt gehen, die gleicheLange haben. Offenes Problem: gibt es Kurven mit zwei Speichenpunkten?

4.9 Umlaufzahl und Totalkrummung Die Totalkrummung einer geschlossenen ebenenFrenet-Kurve c : [a, b] → R2 mit Krummung κ ist definiert als∫ b

a

κ(t)‖c(t)‖ dt

(also∫ b

aκ(t) dt, falls c nach der Bogenlange parametrisiert ist).

Schreibt man e1 = (cos ◦ϑ, sin ◦ϑ), e2 = (− sin ◦ϑ, cos ◦ϑ) mit einer geeigneten (differenzierba-ren) Funktion ϑ wie in 2.3(c), so erhalt man e1 = ϑ(− sin ◦ϑ, cos ◦ϑ) = ϑe2, ferner e1 = ‖c‖κe2,also ϑ = κ‖c‖.

Man bezeichnet 12π

(ϑ(b) − ϑ(a)

)als Umlaufzahl von c (auch Windungszahl von c). Diese ist

ganzzahlig und hangt nur von c, aber nicht von ϑ ab (siehe Kuhnel S. 26, Bar S. 42, KlingenbergS. 17f). Ferner ist das 2π-fache der Umlaufzahl gleich der Totalkrummung, wegen

ϑ(b)− ϑ(a) =∫ b

a

ϑ(t) dt =∫ b

a

κ(t)‖c(t)‖ dt.


Ist c sogar einfach geschlossen, so gilt der Hopfsche Umlaufsatz

12π

∫ b

a

κ(t)‖c(t)‖ dt = ±1

(das heißt die Umlaufzahl ist +1 oder −1; Beweis siehe Kuhnel Seite 27f, oder Bar Seite 47 oderKlingenberg Seite 19f).

Folgerung: Sei c : [a, b] → R2 eine geschlossene ebene Frenet-Kurve. Dann erfullt ihre ”totaleAbsolutkrummung“ die Ungleichung∫ b

a

|κ(t)| · ‖c(t)‖ dt ≥ 2π,

und Gleichheit gilt genau dann, wenn c einfach geschlossen und konvex ist.(Beweis: Kuhnel Seite 28,29)

4.10 Totalkrummung von Raumkurven Die Totalkrummung einer geschlossenen Frenet-Kurve [a, b] → R3 ist definiert als ∫ b

a

κ(t)‖c(t)‖ dt

wie in 4.9, allerdings ist diese Zahl stets positiv wegen κ > 0.

Satz von Fenschel (1929): Fur die Totalkrummung jeder einfach geschlossenen Frenet-Kurvec : [a, b] → R3 gilt ∫ b

a

κ(t)‖c(t)‖ dt ≥ 2π,

und Gleichheit gilt genau dann, wenn c eben und konvex ist.Zum Beweis siehe Kuhnel S.30f, Bar Seite 86.Eine einfach geschlossene Raumkurve kann ”unverknotet“ oder ”verknotet“ sein:

Technische Prazisierung: zwei einfach geschlossene Raumkurven c, d : I → R3 heißen ambientisotop (ineinander ”deformierbar“), falls eine stetige Abbildung F : [0, 1]× R3 → R3 existiert mitF (t, ·) : R3 → R3 ist fur jedes t ∈ [0, 1] ein Homoomorphismus, F (0, ·) = idR3 und F (1, c(I)) = d(I).Eine Kurve c heißt dann unverknotet, falls c ambient isotop zu einer ebenen Kreislinie ist, sonstverknotet.

Satz von Fary (1949), Milnor (1950) Fur die Totalkrummung jeder verknoteten einfachgeschlossenen Frenet-Kurve c : [a, b] → R3 gilt∫ b

a

κ(t)‖c(t)‖ dt ≥ 4π.

Beweis: Bar, Seite 88f.


4.11 Bemerkung uber affine Differentialgeometrie Wir haben bisher Kurven im Rn bisauf (eigentliche) euklidische Bewegungen studiert (und durch ihre Frenet-Krummungen klassifi-ziert). Man kann diese Gruppe von Bewegungen durch andere Gruppen ersetzen, und dann Kurven(und andere Objekte) bezuglich eines anderen Aquivalenzbegriffs klassifizieren (Felix Klein, Er-langer Programm 1872).

ASOnR = {x 7→ Ax+a | a ∈ Rn, A ∈ SOnR} ist die eigentliche Bewegungsgruppe; unter dieserGruppe bleiben alle Abstande (und daher auch Volumina, Winkel) und Orientierung erhalten.

AOnR = {x 7→ Ax + a | a ∈ Rn, A ∈ OnR} ist die Bewegungsgruppe (oder Isometriegruppe),alle Abstande bleiben erhalten.

AGOnR = {x 7→ rAx + a | a ∈ Rn, A ∈ OnR, r ∈ R×} ist die Ahnlichkeitsgruppe; Strecken-verhaltnisse und Winkel bleiben erhalten.

ASLnR = {x 7→ A + a | a ∈ Rn, A ∈ SLnR} heißt aquiaffine (oder spezielle affine) Gruppe, sieerhalt das Volumen (das heißt die Flache fur n = 2).

AGLnR = {x 7→ Ax + a | a ∈ Rn, A ∈ GLnR} ist die affine Gruppe von Rn; unter ihr bleibenVolumenverhaltnisse invariant, auch Streckenverhaltnisse innerhalb einer Geraden.

In der affinen Differentialgeometrie betrachtet man Kurven c : [a, b] → Rn (und andere Objek-te) bezuglich der aquiaffinen Gruppe ASLnR. Man setzt voraus, dass uberall det(c, c, . . . , c(n)) > 0,und fuhrt die (spezielle) affine Bogenlangenfunktion σ ein durch

σ(t) =∫ t

a

det(c(x), c(x), . . . , c(n)(x))2

n(n+1) dx.

Ersetzt man c durch die umparametrisierte Kurve c ◦ σ−1, so gilt det(c, c, . . . , c(n)) ≡ 1, und fursolche Kurven c hat man als Analogon zu den Frenet-Gleichungen das Gleichungssystem

d

dt

cc......

c(n)

=

0 1 0 · · · · · · 00 0 1 0 · · · 0...

. . .0 0 · · · · · · 0 1−k1 −k2 · · · · · · −kn−1 0

cc......

c(n)

mit den sogenannten ”speziellen affinen Krummungsfunktionen“ k1, k2, . . . , kn−1 : [a, b] → R. Diesebestimmen eine nach der affinen Bogenlange parametrisierte Kurve eindeutig bis auf Elemente ausASLnR

Spezialisierung n = 2: Sei c : [a, b] → R2 hinreichend oft differenzierbar, und det(c, c) > 0uberall. Dann ist σ(t) =

∫ t

a3√

det(c(x), c(c)) dx. Die Kurve c heißt nach affiner Bogenlange para-metrisiert, falls σ(t) = t− a fur alle t ∈ [a, b], und dies ist aquivalent zu σ = 3

√det(c, c) = 1, also

zu det(c, c) = 1. Gilt dies, so ist die affine Krummung k : [a, b] → R definiert durch c = −kc, sieheoben, oder alternativ durch k = det(c,

...c ), denn aus

...c = −kc folgt det(c,

...c ) = −k det(c, c) = k.

Durch k ist eine (nach affiner Bogenlange parametrisierte) ebene Kurve bis auf Anwendung vonElementen aus ASL2R eindeutig festgelegt.

Zur Interpretation der affinen Krummung k beschreiben wir die Kurven c : [a, b] → R2 mitkonstantem k:

(i) Ist k ≡ 0, also...c ≡ 0, so folgt c(t) = 1

2 t2b + ta + d mit konstanten Vektoren a, b, d ∈ R2,wobei det(a, b) = 1. Wahlt man a, b als Basis, also a = (1, 0), b = (0, 1) und d = 0, so erhaltman die Standard-Parabel c(t) =

(t, 1

2 t2).

(ii) Ist k konstant und positiv, so erhalt man aus ¨( ddt (c)) = −(

√k)2c, also c(t) = a cos(

√kt) +

b sin[(√

k)t] mit konstanten Vektoren a, b ∈ R2, wobei det(a, b) = 1√k. Wahlt man a und

√kb als Basis, so erhalt man c(t) =

(1√k

sin(√

kt),− 1k cos(

√kt)), also die Ellipse mit der

Gleichung kx2 + k2y2 = 1.


(iii) Ist k konstant und negativ, so erhalt man auf ahnlichem Weg einen Teil einer Hyperbel mitGleichung kx2 + k2y2 = 1.

Literatur: Nomizu-Sasakai, Affine differential geometry, 1994.

Kapitel II

Lokale Flachentheorie

Wir behandeln in diesem Kapitel insbesondere (naturlich zweidimensionale) Flachen im R3 unddie dazugehorigen Krummungsbegriffe.

5 Flachenstucke

5.1 Aus der Analysis Sei U eine offene Teilmenge von Rp. Die Differenzierbarkeit einerAbbildung f : U → Rn in einem Punkt a ∈ U bedeutet, dass eine lineare Abbildung La : Rp → Rn

existiert mitf(x) = f(a) + La(x− a) + o(‖x− a‖)

fur alle x aus einer geeigneten Umgebung von a. Dabei ist La durch f und a eindeutig bestimmt,und man schreibt Df(a) = La (oder daf ,. . . ). Die Abbildung f heißt stetig differenzierbar, fallsDf(a) stetig von a ∈ U abhangt (das heißt alle partiellen Ableitungen ∂fi

∂xjsind auf U stetig).

Man nennt eine stetig differenzierbare Abbildung f : U → Rn eine Immersion, falls diese lineareAbbildung Df(a) : Rp → Rn fur jedes a ∈ U injektiv ist, also den Rang p hat. (Allgemeiner heißenPunkte a ∈ U mit Rang Df(a) = p regular, und Punkte a ∈ U mit Rang Df(a) < p singular oderkritisch, bei Immersion verboten). Dies ist nur fur p ≤ n moglich.

Bezuglich der ublichen Basen von Rp und Rn wird Df(a) beschrieben durch die sogenannteFunktionalmatrix (oder Jacobimatrix ) (

∂fi

∂xj(a))

1≤i≤n1≤j≤p

.

Die Injektivitat von Df(a) besagt, dass diese Matrix den (maximalen) Rang p hat. Jede regularparametrisierte Kurve c : I → Rn auf einem offenen Intervall I (wie in 1.1) ist eine Immersion(mit p = 1). Eine Immersion ist im Allgemeinen nicht injektiv (vergleiche Kurven), aber ”lokalinjektiv“, das heißt jeder Punkt a ∈ U hat eine Umgebung V ⊂ U mit injektiver Einschrankungf∣∣V

: V → Rn (dies folgt aus der linearen Approximation).

5.2 Definition (Flachenstuck) Ein p-dimensionales (parametrisiertes) Flachenstuck in Rn

ist eine Immersion f : U → Rn, wobei U eine offene Teilmenge von Rp ist. Man sagt dann auchf : U → Rn ist eine regulare Parametrisierung der Menge f(U) ⊂ Rn als p-Flachenstuck.

Falls p nicht erwahnt wird, ist p = 2 gemeint.Ein Flachenstuck ist eine Aquivalenzklasse von parametrisierten Flachenstucken, dabei heißen

f : U → Rn, f : U → Rn aquivalent, falls f = f ◦ ϕ mit einem Diffeomorphismus ϕ : U → U (dasheißt ϕ ist bijektiv, ϕ und ϕ−1 sind stetig differenzierbar) gilt.

p = 2, n = 3: Klassischer Gegenstand der lokalen Flachentheorie, vieles davon laßt sich auf denallgemeinen Fall p = n− 1 ubertragen, das heißt auf Hyperflachenstucke.

Mit dem folgenden Begriff kann man globale Differentialgeometrie betreiben (in Kapitel IInicht benotigt):

31

32 KAPITEL II. LOKALE FLACHENTHEORIE

5.3 Definition Eine Menge M ⊂ Rn heißt p-dimensionale (differenzierbare) Untermannigfal-tigkeit von Rn, falls M ”lokal aus p-dimensionalen Flachenstucken besteht“, das heißt falls zu jedemm ∈ M eine offene Umgebung V von m in Rn und eine regulare Parametrisierung f : U → Rn vonM ∩ V als p-Flachenstuck existiert, sodass f : U → M ∩ V ein Homoomorphismus ist. (Es reicht

nicht, f als injektive Immersion vorauszusetzen: )Banale Beispiele: jede offene Teilmenge von Rn ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit

von Rn.

5.4 Beispiele:

(a) Jede regulare Kurve uber einem offenen Intervall ist ein 1-dimensionales Flachenstuck. Jedeeinfach geschlossene Kurve im Rn ist eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn

(sogar kompakt).

(b) Jede injektive lineare Abbildung f : Rp → Rn ist ein p-dimensionales Flachenstuck in Rn.Jeder p-dimensionale affine Unterraum von Rn ist eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeitvon Rn (flach, nicht gekrummt, kompakt nur fur p = 0).

(c) Sei U offen in R2 und f : U → R3 differenzierbar. Klassische Notation:

f(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)mit differenzierbaren Abbildungen x, y, z : U → R.

Eine solche Abbildung f ist genau dann eine Immersion (also ein Flachenstuck), wenn diebeiden Vektoren ∂f

∂u (a), ∂f∂v (a) fur jedes a ∈ U linear unabhangig sind (das heißt wenn

∂f∂u ×

∂f∂v (a) 6= 0). Dann erzeugen die beiden Vektoren einen 2-dimensionalen Unterraum

von R3, die sogenannte Tangentialebene von f bei a (und das Kreuzprodukt dieser beidenVektoren zeigt in die Normalenrichtung).

Konkrete Beispiele:

• f(u, v) = (u − 13u3 + uv2,−v + 1

3v3 − vu, u2 − v2) liefert die sogenannte Enneper-Flache (mit Selbstdurchdringungen, das heißt f ist nicht injektiv, Enneper 1864, eineMinimalflache).

• f(u, v) =((R+r cos u) cos v, (R+r cos u) sin v, r sinu

)mit Konstanten 0 < r < R liefert

einen Torus

(Das ist ein Beispiel fur eine 2-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von R3). DieserTorus laßt sich in R3 durch die Gleichung(R2 − r2 + x2 + y2 + z2)2 = 4R2(x2 + y2)beschreiben.

5. FLACHENSTUCKE 33

(d) Verallgemeinerung des Torus aus (c): Sei g : (a, b) → R2 eine regulare Kurve, welchedie y-Achse vermeidet (das heißt g1(t) 6= 0 fur alle t ∈ (a, b)). Durch ”Rotation vong um die y-Achse“ (im R3) erhalt man die Abbildung f : (a, b) × R → R3, f(u, v) =(g1(u) cos v, g1(u) sin v, g2(u)

)

(Der Torus aus (c) entsteht in dem Spezialfall g(t) = (R + r cos t, r sin t)). Diese Abbildungf ist stets eine Immersion, also ein Flachenstuck in R3 (wegen g1(t) 6= 0 uberall, Ubungs-aufgabe).

Man nennt f eine Rotationsflache (surface of revolution), und g eine Meridiankurve von f .

(e) Die Rotation des Einheitskreises um einen Durchmesser liefert die Sphare S2 = {x ∈ R3 :‖x‖ = 1}, in Formeln: aus dem Kreis g(t) = (cos t, sin t) entsteht die Rotationsflachef(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sinu), eine Beschreibung von S2. Um eine Immersion zuerhalten, muss man Punkte (u, v) mit cos u = 0 aus dem Definitionsbereich entfernen. S2

ist eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R3, dies kann man zum Beispiel durchstereographische Projektion einsehen: fur jeden Punkt p ∈ S2 existiert eine naheliegendeBijektion R2 → S2\{p}.

Die Beschreibung von S2 als Rotationsflache entspricht der Einfuhrung von Polarkoordinatenauf S2. Mit analogen langeren Formeln kann auch Polarkoordinaten fur Sn = {x ∈ Rn+1 :‖x‖ = 1} einfuhren. Stereographische Projektion zeigt wieder, dass Sn eine n-dimensionaleUntermannigfaltigkeit von Rn+1 ist (also eine Hyperflache von Rn+1).

(f) Sei U offen in R2 und h : U → R eine beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist f : U →R3, f(u, v) =

(u, v, h(u, v)

)eine injektive Immersion, also ein Flachenstuck (wegen ∂f

∂u =(1, , 0, ∂h

∂u ), ∂f∂v = (0, 1, ∂h

∂v )). Das Bild f(U) von f ist der Graph von h, man kann sich f(U)als ”Gebirge“ uber U mit der Hohenfunktion h vorstellen.

Konkretes Beispiel: U = {(u, v ∈ R | u2 + v2 < 1}, f(u, v) = (u, v,√

1− u2 − v2) liefert die(offene) obere Halbkugel.

Allgemeiner: Sei U offen in Rp und h : U → Rn−p differenzierbar, dann ist f : U → Rn,f(u) =

(u, h(u)

)eine injektive Immersion, und f(U) ist wieder der Graph von h.

(g) Sei V offen in Rn und h : V → Rn−p differenzierbar, ferner a ∈ h(V ) und Rang Dh(x) = n−pfur alle x ∈ h−1(a), dann heißt a ein regularer Wert von h. Die sogenannte Niveauflache

M := h−1(a) = {x ∈ V | h(x) = a}


ist dann eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn (Ubungsaufgabe, folgt aus demSatz uber implizite Funktionen).

Der Trivialfall p = n, h = 0 besagt noch einmal, dass jede offene Teilmenge V von Rn

eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn ist. Insbesondere ist Gln R ⊆ Rn2ei-

ne Untermannigfaltigkeit der Dimension n2 (offen wegen der Stetigkeit von det), und eineGruppe mit differenzierbaren Gruppenoperatoren, eine sogenannte Lie-Gruppe. Die Abbil-dung det Rn×n → R ist differenzierbar (als Polynom), und jede reelle Zahl ungleich Nullist ein regularer Wert (Ubungsaufgabe). Daher ist {A ∈ Rn×n | detA = 1} = SLn R eineUntermannigfaltigkeit der Dimension n2 − 1 (also eine Hyperflache, und eine Lie-Gruppe).Null ist kein regularer Wert, und die Matrizen mit Determinante 0 bilden auch keine Unter-mannigfaltigkeit von Rn2

(sondern einen Kegel mit Spitze bei der Nullmatrix).

Sei Symmn×n ⊆ Rn×n der Vektorraum aller symmetrischen n × n-Matrizen uber R; dieserVektorraum hat die Dimension n(n+1)

2 . Die Abbildung Rn×n → Symmn×n : A 7→ Atr · A istdifferenzierbar, und die Einheitsmatrix I ist ein regularer Wert dieser Abbildung (Ubungs-aufgabe). Daher ist die orthogonale Gruppe OnR = {A ∈ Rn×n | AtrA = I} eine Unterman-nigfaltigkeit der Dimension n2 − n(n+1)

2 = n(n−1)2 , wieder eine Lie-Gruppe.

Wahlt man in (g) speziell n = 3, p = 2 und fur h : R3 → R eine quadratische Form h(x) =a1x

21 +a2x

22 +a3x

23 mit (a1, a2, a3) 6= (0, 0, 0), so ist jeder Wert 6= 0 von h ein regularer Wert

(denn aix2i 6= 0 fur ein i ⇒ ∂h

∂xi(x) = 2aixi 6= 0). Daher ist jede nichtleere Quadrik h−1(1)

eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R3. Man erhalt zum Beispiel:(a1, a2, a3) h−1(1)(1, 1, 1) Sphare S2

Alle ai > 0 Ellipsoide a1x21 + a2x

22 + a3x

23 = 1

(1, 1, 0) Zylinder x21 + x2

2 = 1, x3 beliebig(−1,−1, 1) zweischaliges Hyperboloid x2

1 + x22 = x2

3 − 1(1, 1,−1) einschaliges Hyperboloid x2

1 + x22 = x2

3 + 1

5.5 Definition: Tangentialraume Sei U offen in Rp und f : U → Rn ein Flachenstuck. Dannnennt man das Bild der linearen Abbildung Df(a) : Rp → Rn den Tangentialraum von f bei a ∈ U(auch: bei f(a) ∈ Rn), und man schreibt

Taf := Im Df(a) = Df(a)(Rp);

weil f eine Immersion ist, gilt dimTaf = p. Die Elemente von Taf heißen Tangentialvektoren.Der Vektorraum Rp wird erzeugt von der ublichen Basis, daher wird Taf erzeugt von den linear

unabhangigen Vektoren ∂f∂xi

(a) mit 1 ≤ i ≤ p.Der Normalenraum ⊥a f ist das orthogonale Komplement zu Taf in Rn (bezuglich des eukli-

dischen Skalarprodukts von Rn), also

Rn = Taf ⊥⊥a f

fur jedes a ∈ U , insbesondere gilt dim ⊥a f = n − p. Die Elemente von ⊥a f heißen Normalen-vektoren.

Statt Taf zeichnet man oft den affinen Unterraum f(a) + Taf ; fur p = 1 erhalt man sodie Tangente an die betrachtete Kurve. Fur p = 2 spricht man naturlich von Tangentialebenen.(Man kann analog auch Tangentialraume und Normalraume bei Untermannigfaltigkeiten von Rn

einfuhren.)

5.6 Lemma Sei U offen in Rp und f : U → Rn eine injektive Immersion, ferner a ∈ U . Danngilt

Taf = {v ∈ Rn | es existiert ein ε > 0 und eine stetig differenzierbare Abbildung c : (−ε, ε) →Rn mit c(−ε, ε) ⊆ f(U), c(0) = f(a), c(0) = v}.

Beweis 16 Ubungsaufgabe 28.

5. FLACHENSTUCKE 35

Diese Beschreibung des Tangentialraums Taf hangt nur von f(U) und von f(a) ab, nicht von fselbst; hieraus folgt die Invarianz des Tangentialraums unter Umparametrisierungen ϕ wie in 5.2.

5.7 Lemma Seien f : U → Rn, f : U → Rn Immersionen von offenen Teilmengen U, U von Rp,ferner ϕ : U → U ein Diffeomorphismus mit f = f ◦ ϕ. Fur jedes a ∈ U gilt

Taf = Taf , wobei a = ϕ−1(a).

Beweis 17 Durch Verkleinern von U, U kann man f und f injektiv machen (Ubungsaufgabe 26),und dann 5.6 anwenden. Direktes Nachrechnen ist einfacher: Aus f = f ◦ ϕ und der Kettenregelfolgt

Df(a) = Df(a) ◦Dϕ(a).

Weil Df(a) : Rp → Rp bijektiv ist, haben Df(a) und Df(a) das gleiche Bild. �

5.8 Erinnerung an Bilinearformen Die symmetrischen Bilinearformen b : Rp × Rp → Rlassen sich schreiben als b(x, y) =

∑pi=1

∑pj=1 xibijyj = xtrBy, wobei B = (bij)1≤i,j≤p eine sym-

metrische p × p-Matrix ist; dabei betrachten wir x, y ∈ Rp als Spaltenvektoren, und bezeichnendas Transponieren mit ”tr“. (Fur B = Ip×p erhalt man das euklidische Skalarprodukt auf Rp).Diese Beschreibung der Bilinearform b ist basisabhangig. Wahlt man eine andere Basis von Rp,das heißt schreibt man x = Ax, y = Ay mit x, y ∈ Rp und einer invertierbaren Matrix A, so erhaltman

b(x, y) = xtrBy = xtrAtrBAy,

das heißt b wird bezuglich der anderen Basis durch die Matrix AtrBA beschrieben (man sagt:AtrBA ist kongruent zu B; der Tragheitssatz von Sylvester lost das Problem der Bestimmung derKongruenzklassen. . . )

Ist f : Rp → Rp linear und b(f(x), y

)= b(x, f(y)

)fur alle x, y ∈ Rp, so heißt f selbstadjungiert

bezuglich b. Beschreibt man f bezuglich einer Basis von Rp durch eine Matrix F , also f(x) = Fxfur alle x ∈ Rp, so besagt die Selbstadungiertheit von f gerade, dass xtrF trBy = xtrBFy fur allex, y ∈ Rp, also F trB = BF ; wahlt man eine Orthonormalbasis von b (falls eine solche existiert),so erhalt man B = Ip×p, also F tr = F , das heißt f wird dann durch eine symmetrische Matrix Fbeschrieben.

5.9 Definition (1. Fundamentalform) Sei U offen in Rp, f : U → Rn eine Immersion, und〈, 〉 die ubliche euklidische Bilinearform auf Rn. Dann definiert man fur jedes a ∈ U eine Bilinear-form Ia auf dem Tangentialraum Taf durch

Ia(x, y) = 〈x, y〉

fur alle x, y ∈ Taf . Man nennt Ia die erste Fundamentalform von f , und man schreibt oft I stattIa. Weil Ia einfach die Einschrankung von 〈, 〉 auf Taf ist, ist Ia symmetrisch und positiv definit.

Die Vektoren ∂f∂xi

(a) mit 1 ≤ i ≤ p bilden eine Basis von Taf ; bezuglich dieser Basis wird Ia

beschrieben durch die symmetrische p× p-Matrix (gij)1≤i,j≤p mit den Eintragen

gij =⟨

∂f

∂xi(a),

∂f

∂xj(a)⟩

;

vergleiche 5.8. Diese Matrix ist im Allgemeinen verschieden von Ip×p, das heißt die erwahntenVektoren bilden im Allgemeinen keine Orthonormal-Basis von Taf (Beispiel unten). Es gilt

gij =⟨

∂f

∂xi(a),

∂f

∂xj(a)⟩

=n∑

k=1

∂fk

∂xi(a) · ∂fk

∂xj(a)

= Eintrag von(Df(a)

)tr ·Df(a) an der Position (i, j);also (gij) =

(Df(a)

)trDf(a) (vergleiche wieder 5.8).

Die Matrix (gij) zu einer Umparametrisierung f = f ◦ ϕ wie in 5.2 ist daher gegeben durch


gij =(Df(a)

)trDf(a) =

(Df(a) ◦Dϕ(a)

)trDf(a) ◦Dϕ(a), wobei a = ϕ−1(a)

= Dϕ(a)tr(Df(a)trDf(a)

)Dϕ(a) = Dϕ(a)tr(gij)Dϕ(a),

also ist (gij) kongruent zu (gij). Die Matrix (gij) ist daher nicht invariant unter Umparame-trisierungen.

5.10 Beispiel von 1. Fundamentalformen

(a) Seien v1, . . . , vp ∈ Rn linear unabhangig, und v0 ∈ Rn beliebig. Dann ist f : Rp →Rn : f(x1, . . . , xp) = v0 +

∑pi=1 xivi eine regulare Parametrisierung des affinen Unterraums

f(Rp) = v0 + Spann{v1, . . . , vp}. Es gilt ∂f∂xi

(a) = vi fur alle a ∈ Rp (konstant), also istTaf = Spann{v1, . . . , vp} und gij = 〈vi, vj〉 jeweils konstant, das heißt unabhangig vona ∈ Rp.

(b) Fur die Parametrisierung des Torus aus 5.4(c) berechnet man∂f∂u (u, v) = (−r sinu cos v,−r sinu sin v, r cos u),∂f∂v (u, v) =

(−(R + r cos u) sin v, (R + r cos u) cos v, 0

).

Daher (gij)1≤i,j≤2 =(

r2 00 (R+r cos u)2

), nicht konstant.

(c) Fur die Parametrisierung der Sphare aus 5.4(e) berechnet man∂f∂u (u, v) = (− sinu cos v, cos u cos v, 0), und daher (gij) =

(1 00 cos2 u

), nicht konstant.

(d) Die Abbildung f : R2 → R3, f(u, v) = (cos u, sinu, v) parametrisiert einen Zylinder, undwegen ∂f

∂u (u, v) = (− sinu, cos u, 0), ∂f∂v (u, v) = (0, 0, 1) folgt (gij) = ( 1 0

0 1 ), wieder konstantwie in Beispiel (a).

5.11 Bedeutung der 1. Fundamentalform (fur Kurvenlange und Flacheninhalt) SeiU offen in Rp und f : U → Rn eine Immersion, ferner c : [a, b] → U , t 7→

(c1(t), . . . , cp(t)

)eine

Kurve in U . Dann ist c = f ◦ c : [a, b] → Rn eine Kurve in Rn, die in f(U) verlauft. Nach derKettenregel gilt fur alle t ∈ [a, b]:

c(t) = Df(c(t))(

c(t))

=(∑p

j=1∂fi

∂xj

(c(t))· cj(t)

)1≤i≤n

=∑p

j=1

∂f

∂xj

(c(t))

︸︷︷︸Vektor aus Rn

cj(t),

daher ‖c(t)‖2 = 〈c(t), c(t)〉 = Ic(t)

(c(t), c(t)

)=∑p

i=1

∑pj=1

⟨∂f∂xj

(c(t)), ∂f

∂xj

(c(t))⟩

ci(t)cj(t) =∑pi=1

∑pj=1 gij

(c(t))ci(t)cj(t).

Deshalb hat die Kurve c die Lange L(c) =∫ b

a‖c(t)‖ dt =

∫ b

a

√∑pi=1

∑pj=1 gij

(c(t))ci(t)cj(t) dt,

die gij beschreiben also den Langenunterschied zwischen c und c (fur gij = δij konstant wirdL(c) = L(c)).

Spezialfall p = 2 (n beliebig): Hier ist ‖c‖2 = g11c21+2g12c1c2+g22c

22 oder mit den traditionellen

Bezeichnungen E = g11, F = g12, G = g22 (nach Gauß), dann ‖c‖2 = Ec21 + 2F c1c2 + Gc2

2.

Flacheninhalt: Die Funktion U → R, x 7→ det(gij(x)

)ist positiv, (weil Ix positiv definit,

Ubungsaufgabe). Fur jede kompakte Teilmenge Q ⊂ U nennt man das p-dimensionale Integral∫Q

√det(gij(x)

)dx den (p-dimensionalen) Flacheninhalt (fur p ≥ 3 auch Volumen) von f(Q), falls

f |Q injektiv ist (zur Rechfertigung vergleiche do Carmo 2.8). Dieser Flacheninhalt ist invariantunter Parametertransformationen: aus f = f ◦ ϕ und Q = ϕ(Q) mit einem Diffeomorphismusϕ : U → U folgt nach 5.9 die Gleichung

(gij(x)

)= Dϕ(x)tr

(gij(x)

)Dϕ(x), wobei x = ϕ−1(x),

also: ∫Q

√det(gij(x)

)dx =

∫Q

√det(gij(x)

)|detDϕ(x)| dx =

∫Q

√det(gij(x)

)dx,

nach dem Transformationssatz fur Integrale.

5. FLACHENSTUCKE 37

Sind c, d : R → U mit f(c(0)

)= f

(d(0)

)= a, so definiert man den Winkel bei a zwischen den

Kurven c = f ◦ c, d = f ◦ d als den Winkel α zwischen den Tangentialvektoren c(0), d(0) ∈ Taf ,das heißt α ist festgelegt durch

cos α =〈c(0), d(0)〉‖c(0)‖‖d(0)‖

=Ia

(c(0), d(0)

)√Ia

(c(0), c(0)

)· Ia

(d(0), d(0)

) .5.12 Definition Sei U offen in Rp und seien f, f : U → Rn zwei Flachenstucke. Eine Abbildungϕ : f(U) → f(U) heißt lokale Isometrie, falls gilt:

(i) Die Funktion ϕ ist stetig differenzierbar (das heißt ϕ hat eine Fortsetzung zu einer stetigdifferenzierbaren Abbildung V → Rn, wobei V eine geeignete in Rn offene Obermenge vonf(U) ist).

(ii) Fur jedes a ∈ f(U) ist die lineare Abbildung Dϕ(a) : Taf → Tϕ(a)f eine Isometrie bezuglichder 1. Fundamentalform Ia bzw. Iϕ(a), das heißt es gilt Ia(x, y) = Iϕ(a)

(Dϕ(a)(x), Dϕ(a)(y)

).

Ist ϕ zusatzlich sogar bijektiv, so heißt ϕ eine Isometrie zwischen den Flachenstucken. DieFlachenstucke f, f heißen isometrisch, falls eine solche Isometrie existiert. Die Flachenstucke f, fheißen lokal isometrisch, falls jeder Punkt a ∈ f(U) eine Umgebung in f(U) hat, welche isome-trisch zu einer offenen Teilmenge von f(U) ist, und umgekehrt (das heißt jeder Punkt a ∈ f(U)hat eine Umgebung in f(U), welche isometrisch zu einer offenen Teilmenge von f(U) ist).

5.13 Lemma Seien f, f : U → Rn Flachenstucke. Fur eine stetig differenzierbare Abbildungϕ : f(U) → f(U) sind dann aquivalent:

(i) ϕ ist eine lokale Isometrie

(ii) ϕ ist langentreu, das heißt fur jede Kurve, die in f(U) verlauft, gilt L(c) = L(ϕ ◦ c).

Ist f = ϕ ◦ f , so sind diese Aussagen auch aquivalent zu

(iii) gij(a) = gij

(ϕ(a)

)fur alle a ∈ f(U).

Beweis 18 Fur jede Kurve c : [s, t] → f(U) gilt L(ϕ ◦ c) =∫ t

s‖ ˙ϕ ◦ c(x)‖ dx =

∫ t

s‖Dϕ

(c(x)

)·(

c(x))‖ dx nach der Kettenregel.

Gilt (i), so ist Dϕ(c(x)

)eine lineare Isometrie, also L(ϕ ◦ c) =

∫ t

s‖c(x)‖ dx = L(c).

Gilt (ii), also L(ϕ◦c) = L(c) fur alle c, so liefert Differenzieren der zugehorigen Integrale nach tdie Gleichung ‖Dϕ

(c(t))(

c(t))‖ = ‖c(t)‖. Da dies fur alle t und fur alle Kurven c gilt, folgt mit 5.6

die Gleichung ‖Dϕ(a)(v)‖ = ‖v‖ fur alle a ∈ f(U) und alle v ∈ Taf , das heißt Dϕ(a) ist einelineare Isometrie fur alle a ∈ f(U).

Gelte jetzt f = ϕ◦f . Die Matrix(gij(a)

)beschreibt Ia bezuglich der Basis ∂f

∂xi(a), 1 ≤ i ≤ p von

Taf , und(gij(ϕ(a))

)beschreibt Iϕ(a) bezuglich der Basis ∂f

∂xi

(ϕ(a)

)= Dϕ(a)

(∂f∂xi

(a)), 1 ≤ i ≤ p.

Daher ist Dϕ(a) genau dann eine lineare Isometrie, wenn diese beiden beschreibenden Matrizengleich sind. �

5.14 Beispiel (Zylinder und Ebene) Die Abbildungen f : R2 → R3, f(x, y) = (x, y, 0) undf : R2 → R3, f(x, y) = (cos x, sinx, y) beschreiben eine Ebene f(R2) beziehungsweise einen Zylin-der f(R2). Die Abbildung ϕ : f(R2) → f(R2), ϕ(x, y, 0) = (cos x, sinx, y) ist eine lokale Isometrie(offensichtlich mit f = ϕ ◦ f). Ebene und Zylinder sind nicht isometrisch (es gibt keinen Diffeo-morphismus, nicht einmal einen Homoomorphismus von R2 auf R × S1, da R × S1 nicht einfachzusammenhangend). Die lokale Isometrie prazisiert die Vorstellung der ”langentreuen Abwickel-barkeit“ (Kartografie).


6 Hyperflachenstucke und ihre Krummungen

Spezialfall n = p + 1, insbesondere p = 2, n = 3.

6.1 Vektorprodukt Zu p Vektoren v1, . . . , vp aus Rp+1 existiert genau ein Vektor w ∈ Rp+1

mit 〈z, w〉 = det(z, v1, . . . , vp) fur alle z ∈ Rp+1, das sogenannte Vektorprodukt , man schreibtw = v1 × v2 × · · · × vp.

Fur p = 2 erhalt man genau das Kreuzprodukt aus 3.1. Die Existenz und Eindeutigkeit erkenntman (wie in 3.1) durch Laplace-Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte; die p+1 Ko-ordinaten von w sind Polynome in den Koordinaten von v1, . . . , vp (genauer: Unterdeterminantender Große p× p der rechteckigen Matrix (v1, . . . , vp)).

Man erhalt analoge Eigenschaften wie in 3.1, insbesondere: w ist orthogonal zu jedem vi, undw, v1, . . . , vp ist ein positiv orientiertes ONS, falls v1, . . . , vp paarweise orthogonale Einheitsvekto-ren sind.

6.2 Definition (Gauß-Abbildung) Sei U offen in Rp und f : U → Rp+1 eine Immersion, alsoein Hyperflachenstuck. Dann bilden fur jedes a ∈ U die Vektoren ∂f

∂xi(a) mit 1 ≤ i ≤ p eine Basis

von Taf und der Normalenraum ⊥a f ist eindimensional und wird erzeugt von dem Vektorprodukt∂f∂x1

(a)× ∂f∂x2

(a)× · · · × ∂f∂xp

(a) dieser Vektoren. Daher ist

ν(a) :=∂f∂xi

(a)× ∂f∂x2

(a)× · · · × ∂f∂xp

(a)∥∥∥ ∂f∂x1

(a)× ∂f∂x2

(a)× · · · × ∂f∂xp

(a)∥∥∥

ein Normaleneinheitsvektor (und −ν(a) ist der andere Einheitsvektor in ⊥a f). Man nennt dieAbbildung ν : U → Rp+1 die Gauß-Abbildung (von f). Wegen ‖ν(a)‖ = 1 fur alle a ∈ U liegt ihrBild in der p-dimensionalen Sphare Sp = {x ∈ Rp+1 : ‖x‖ = 1}. Im Spezialfall p = 2 ist demnach

ν(a) =∂f∂x1

(a)× ∂f∂x1

(a)∥∥∥ ∂f∂x1

(a)× ∂f∂x2

(a)∥∥∥ .

Ist f zweimal stetig differenzierbar (notfalls stillschweigend vorausgesetzt), so ist ν : U → Rp+1

stetig differenzierbar (vergleiche 6.1) und man erhalt fur jedes a ∈ U eine lineare Abbil-dung Dν(a) : Rp → Rp+1. Aus 〈ν(x), ν(x)〉 = 1 fur alle x ∈ U folgt 0 = ∂

∂xi〈ν(x), ν(x)〉 =

2⟨

∂ν∂xi

(x), ν(x)⟩, also ∂ν

∂xi(x) ∈ ν(x)⊥ = Txf fur alle x ∈ U . Wegen Dν(a) =

(∂ν∂xi

(a))

1≤i≤p

besagt dies, dass das Bild Dν(a) stets in Taf liegt, das heißt man hat eine lineare AbbildungDν(a) : Rp → Taf .

6.3 Definition (Weingarten-Abbildung, Formoperator) Sei U offen in Rp und f : U →Rp+1 eine zweimal stetig differenzierbare Immersion. Fur jedes a ∈ U ist Df(a) : Rp → Tafbijektiv (nach Definition von Immersion und Taf). Daher erhalt man fur jedes a ∈ U eine lineareAbbildung

La := −Dν(a) ◦(Df(a)

)−1 : Taf → Taf,

die sogenannte Weingarten-Abbildung (oder: den sogenannten Formoperator) von f bei a.Einfachste Beispiele: Ist f : Rp → Rp+1 eine (affine) Parametrisierung einer affinen Hyperebene

von Rp+1 wie in 5.10(a), so sind die Vektoren ∂f∂xi

konstant, also auch ν, daher Dν(a) = 0 undLa = 0 fur jedes a ∈ Rp.

Ist f : U → S2 eine der ublichen Parametrisierungen der 2-Sphare, so erhalt man ν = −f , alsoLa = id fur jedes a ∈ U .

6.4 Lemma Die Weingarten-Abbildung La eines Hyperflachenstucks f bei a ∈ U ist selbstad-jungiert bezuglich der 1. Fundamentalform Ia, das heißt es gilt

Ia

(La(x), y

)= Ia

(x, La(y)

)fur x, y ∈ Taf,

6. HYPERFLACHENSTUCKE UND IHRE KRUMMUNGEN 39

und bis auf eine Vorzeichenanderung invariant unter Umparametrisierung, das heißt ist ϕ : U → Uein Diffeomorphismus, so ist die Weingarten-Abbildung von f = f ◦ ϕ durch La = ±La gegeben,wobei a ∈ U und a = ϕ−1(a).

Beweis 19 Fur die Selbstadjungiertheit genugt es, die behauptete Gleichung fur Basisvektorenx = ∂f

∂xi(a), y = ∂f

∂xj(a) von Taf nachzurechnen. Es gilt

La

(∂f

∂xi(a))

= −Dν(a) ·(Df(a)

)−1 · ∂f

∂xi(a) = −

(∂ν

∂xj

)1≤j≤p

·(

∂f

∂xj(a))−1

1≤j≤p

·(

∂f

∂xi(a))

︸︷︷︸( 0...1...0

)

= −(

∂ν

∂xj(a))

1≤j≤p

0...

1(Pos. i)

...0

= − ∂ν

∂xi(a),

also Ia

(La

(∂f∂xi

(a))

, ∂f∂xj

(a))

=⟨− ∂ν

∂xi(a), ∂f

∂xj(a)⟩

= −(

∂∂xi

⟨ν,

∂f

∂xj

⟩︸︷︷︸

=0

)(a) +

⟨ν(a), ∂2

∂xi∂xj(a)⟩.

Weil ∂∂xi

und ∂∂xj

miteinander vertauschen (nach H.A. Schwarz, da f zweimal stetig differen-

zierbar), ist dieser Ausdruck symmetrisch in i, j, also gleich Ia

(La

(∂f∂xj

(a))

, ∂f∂xi

(a)).

Zur Invarianz unter Umparametrisierung: Weil Taf und ⊥a f nur von f(U) = f(U) und vonf(a) = f(a) abhangen, folgt ν = ±ν

(ϕ(x)

)fur alle x ∈ U , mit lokal konstantem Vorzeichen±. Laut

Kettenregel folgt Dν(x) = ±Dν(ϕ(x)

)◦Dϕ(x), und aus f = f ◦ϕ auch Df(x) = Df

(ϕ(x)

)Dϕ(x)

und dann La = −Dν(a) ◦ Df(a)−1 = ±Dν(a) ◦ Dϕ(a) ◦(Df(a) ◦ Dϕ(a)

)−1 = ±La fur jedesa ∈ U . �

Nach 6.4 wird La bezuglich einer Orthonormalbasis von Taf bezuglich Ia durch eine reelle sym-metrische Matrix beschrieben. Daher ist La diagonalisierbar, das heißt es gibt p linear unabhangigeEigenvektoren, sogar ein ONS von Eigenvektoren, und auch p (nicht notwendig verschiedene) Ei-genwerte. Damit definiert man

6.5 Definition (Krummungen) Sei a ∈ U und La : Taf → Taf die Weingarten-Abbildungeines (2-mal stetig differenzierbaren) Hyperflachenstucks f : U → Rp+1.

(i) Jeder Eigenwert von La heißt eine Hauptkrummung von f (bei a), und jeder Einheits-Eigenvektor von La heißt eine Hauptkrummungsrichtung von f (bei a).

(ii) Die Determinante K(a) = det(La) heißt die Gauß-Krummung von f (bei a).

(iii) Der Mittelwert H(a) := 1pSpur(La) aller Hauptkrummungen heißt die mittlere Krummung

von f (bei a).

(iv) Der Koeffizient Ki(a) im charakteristischen Polynom

det(λ · id−La) =p∑

i=0

(−1)i

(p

i

)Ki(a)λp−i

heißt manchmal die i-te mittlere Krummung von f (bei a), insbesondere K = Kp, H = K1,K0 = 1 (daher ist (iv) nur fur p > 2 relevant).

(v) Man nennt a einen Flachpunkt von f , falls La = 0 (oder aquivalent: alle Hauptkrummungenbei a sind 0). Man nennt a einen Nabelpunkt von f , falls La = λ · id fur ein λ ∈ R (oderaquivalent: alle Hauptkrummungen bei a stimmen uberein, oder auch: jeder Vektor aus Tafist Eigenvektor von La).


6.6 Satz Sei p > 1, ferner U offen in Rp und zusammenhangend, und f : U → Rp+1 ein 3-malstetig differenzierbares Hyperflachenstuck. Genau dann ist jedes a ∈ U ein Nabelpunkt von f ,wenn f(U) in einer affinen Hyperebene oder in einer Sphare enthalten ist.

Beweis 20 Liegt f(U) in einer affinen Hyperebene bzw. einer Sphare, so ist jedes a ∈ U einFlachpunkt bzw. ein Nabelpunkt von f , siehe Ubungsaufgabe 34.

Sei jetzt umgekehrt jedes a ∈ U ein Nabelpunkt, also La = λ(a) id mit einer Funktion λ : U →R; dieses λ ist stetig differenzierbar (als einer der Eintrage von La = −Dν(a) ◦ Df(a)−1). NachDefinition von La folgt Dν(a) = −λ(a)Df(a), das heißt ∂ν

∂xi(a) = −λ(a) ∂f

∂xi(a) fur alle a ∈ U

und 1 ≤ i ≤ p. Differenzieren nach xj liefert ∂2ν∂xi∂xj

(a) = −λ(a) ∂2f∂xj∂xi

(a) − ∂λ∂xj

(a) · ∂f∂xi

(a),

und wegen der Vertauschbarkeit von ∂∂xi

, ∂∂xj

stimmt dieser Ausdruck uberein mit ∂2ν∂xi∂xj

(a) =

−λ(a) ∂2

∂xj∂xi(a)− ∂λ

∂xi(a) ∂f

∂xj(a). Nach Kurzen und wegen der linearen Unabhangigkeit von ∂f

∂xi(a),

∂f∂xj

(a) fur i 6= j erhalt man ∂λ∂xi

(a) = 0 = ∂λ∂xj

(a) fur a ∈ U , i 6= j. Wegen p > 1 und wegendes Zusammenhangs von U ist daher λ : U → R konstant. Wieder schreiben wir λ fur diesenWert. Dann gilt D(ν + λf)(a) = 0, also ist die Abbildung ν + λf : U → Rp+1 konstant (da Uzusammenhangend).

Ist λ = 0, so ist ν konstant, und wegen ∂∂xi〈f, ν〉 =

⟨∂f∂xi

, ν⟩

= 0, ist 〈f, ν〉 = r konstant, das

heißt f(U) liegt in der affinen Hyperebene {x ∈ Rp+1 | 〈x, ν〉 = r}.Ist λ 6= 0, so ist auch ν

λ + f =: m ∈ Rp+1 konstant, und dann auch ‖f −m‖ =∥∥− ν

λ

∥∥ = 1|λ| ,

das heißt f(U) liegt in der Sphare mit Mittelpunkt m und Radius 1|λ| . �

6.7 Weitere Fundamentalformen Sei f : U → Rp+1 ein Hyperflachenstuck, a ∈ U , fernerIa die 1. Fundamentalform von f und La die zugehorige Weingarten-Abbildung. Dann definiertman weitere Bilinearformen IIaIIIa, IVa, . . . auf Taf durch

IIa(x, y) = Ia

(La(x), y

)fur x, y ∈ Taf

IIIa(x, y) = Ia

(L2

a(x), y)

fur x, y ∈ Taf,

IVa(x, y) = Ia

(L3

a(x), y))

fur x, y ∈ Taf,usw.

Nach 6.4 ist La selbstadjungiert bezuglich Ia, daher sind IIa, IIIa, IVa, . . . symmetrische Bili-nearformen (und es gilt zum Beispiel auch IIIa(x, y) = Ia

(La(x), La(y)

)).

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton wird La von seinem charakteristischen Polynom annuliert,das heißt mit der Notation aus 6.5(iv) mit den mittleren Krummungen Ki(a) gilt

p∑i=0

(−1)i

(p

i

)Ki(a)Lp−1

a = 0

und daher auchp∑

i=0

(−1)i

(p

i

)Ki(a) Ia

(Lp−1

a (x), y)︸︷︷︸

(p−i+1)-te Fundamentalform

= 0

fur x, y ∈ Taf . Man erhalt also eine lineare Relation zwischen den ersten p+1 Fundamentalformen,zum Beispiel fur

• p = 1: IIa −K1(a)Ia = 0, also IIa = K1(a)Ia = H(a)Ia,

• p = 2: IIIa − 2K1(a)IIa + K2(a)Ia = 0, das heißt IIIa = 2K1(a)−K2(a)Ia = 2H(a)IIa −K(a)Ia; daher spielt IIIa (und auch die hoheren Fundamentalformen) fur Flachen in R3

keine Rolle, man benotigt nur Ia und IIa.

• p = 3: IVa − 3K1(a)IIIa + 3K2(a)IIa −K3(a)Ia = 0.

6. HYPERFLACHENSTUCKE UND IHRE KRUMMUNGEN 41

6.8 Zur Berechnung der Weingarten Abbildung La Bezuglich der Basis ∂f∂xi

(a) von Tafwird Ia beschrieben durch die p× p-Matrix (gij) mit

gij =⟨

∂f

∂xi,

∂f

∂xj

⟩,

und IIa wird bezuglich der gleichen Basis beschrieben durch die p× p-Matrix (hij) mit

hij = Ia

(La

(∂f

∂xi

),

∂f

∂xj

)= −

⟨∂ν

∂xi,

∂f

∂xj

⟩=⟨

ν,∂2f

∂xi∂xj

⟩,

siehe Beweis zu 6.4 (dabei haben wir bei allen Funktionen das Argument a ∈ U unterdruckt).Wegen IIa(·, ·) = Ia

(La(·), ·

)= Ia

(·, La(·)

)wird La bezuglich jener Basis beschrieben durch eine

p× p-Matrix M mit(hij) = M tr(gij) = (gij)M.

Also wird La beschrieben durch die Matrix

M = (gij)−1(hij).

Diese Matrix M ist im Allgemeinen nicht symmetrisch.

6.9 Randbemerkung Die Hauptkrummungsrichtungen sind genau die kritischen Punkte(Kandidaten fur lokale Extrema) der quadratischen Form IIa(x, x); eingeschrankt auf die (p− 1)-Sphare Sp−1 = {x ∈ Taf : ‖x‖ = 1}, und die Hauptkrummungen sind die Werte von IIa(x, x) ansolchen kritischen Stellen (Satz von Oline Rodriguez, vergleiche Klingenberg S.35; mit der Methodeder Lagrange-Multiplikatoren, die dann mit den Hauptkrummungen zusammenfallen).

Die mittlere Krummung H lasst sich in diesem Zusammenhang noch einmal als ein Mittel-wert interpretieren: H(a) unterscheidet sich von

∫Sp−1 IIa(x, x) dx um einen konstanten Faktor

(Ubungsaufgabe).

6.10 Definition (Spezielle Kurven auf Hyperflachenstucken) Sei f : U → Rp+1 einHyperflachenstuck, c : I → U eine regulare Kurve in U , und c := f ◦ c : I → Rp+1 die zugehorigeKurve in f(U).

Zu einer Kurve c(t) = (a, 1, . . . , ai−1t, ai+1, . . . , ap) mit 1 ≤ i ≤ p und festen aj gehort die i-teParameterlinie c(t) = f(a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , ap). Eine Kurve c = f ◦ c heißt eine Krummungs-linie von f , falls c(t) fur jedes t ∈ I ein Eigenvektor von Lc(t) ist (oder aquivalent: c(t)

‖c(t)‖ ist furjedes t ∈ I eine Hauptkrummungsrichtung). Eine Kurve c = f ◦ c heißt Asymptotenlinie von f ,falls IIc(t)

(c(t), c(t)

)= 0 fur alle t ∈ I. Einheitsvektoren x ∈ Taf mit IIa(x, x) = 0 heißen auch

Asymptotenrichtungen.

Bemerkungen: Sei a ∈ U ; die zugehorige i-te und j-te Parameterlinie sind genau dann ortho-gonal, wenn gij(a) = 0 (vergleiche 5.11). Gilt gij = 0 = hij fur alle i 6= j, so ist La fur alle a ∈ U

eine Diagonalmatrix bezuglich der Basis ∂f∂xi

(a) von Taf , und daher sind alle Parameterlinien auchKrummungslinien. Jede Kurve auf einer Sphare ist eine Krummungslinie.

Sei p = 2, dann ist eine Kurve c = f ◦ c genau dann eine Krummungslinie, wenn ihre geodati-sche Torsion τg identisch verschwindet, und genau dann eine Asymptotenlinie, wenn ihre Normal-krummung κν identisch verschwindet (vergleiche Ubungsaufgabe 35).

Eine Hauptkrummungsrichtung x ist genau dann auch eine Asymptotenrichtung, wenn diezugehorige Hauptkrummung 0 ist (denn: sei La(x) = λx, dann IIa(x, x) = λIa(x, x) = 0 ⇐⇒λ = 0). Beispiel: Zylinder (,Torus).

Jede in einem Hyperflachenstuck enthaltene Gerade ist eine Asymptotenlinie (vergleiche Klin-genberg, Seite 41).


7 Flachenstucke im R3

Spezialisiere p = 2, n = 3. In diesem Paragraphen sei stets U offen in R2, und f : U → R3 einFlachenstuck.

7.1 Formelsammlung Die zugehorige Gauß-Abbildung ν : U → S2 ist nach 6.2 gegeben durch

ν(a) =∂f∂x1

(a)× ∂f∂x2

(a)∥∥∥ ∂f∂x1

× ∂f∂x2

∥∥∥ .

Bezuglich der Basis ∂f∂x1

(a), ∂f∂x2

(a) von Taf ∼= R2 wird Ia beschrieben durch die symmetrische2× 2-Matrix (

g11 g12

g12 g22

)mit gij(a) =

⟨∂f

∂xi(a),

∂f

∂xj(a)⟩

,

und IIa wird beschrieben durch(h11 h12

h21 h22

)mit hij =

⟨ν,

∂2f

∂xi∂xj

⟩= −

⟨∂ν

∂xi,

∂f

∂xj

⟩,

vergleiche 6.8, 6.4. Die zugehorige Weingarten-Abbildung La wird dann beschrieben durch

(gij)−1(hij) =1

det(gij)

(g22 −g12

−g12 g11

)(h11 h12

h21 h22

).

Die Gauß-Krummung K ist demnach

K(a) = det(La) =det(hij)det(gij)

=h11h22 − h2

12

g11g22 − g212

und die mittlere Krummung H ist gegeben durch

H(a) =12Spur(La) =

12 det(gij)

(h11g22 − 2h12g12 + h22g11).

7.2 Definition Sei {κ1(a), κ2(a)} die Menge der Eigenwerte von La, also K(a) = κ1(a)κ2(a)und H(a) = 1

2

(κ1(a) + κ2(a)

). Man definiert die folgenden Typen von Punkten: a ∈ U (oder auch

f(a), egal falls f injektiv) heißt

• elliptisch, wenn K(a) > 0;

• hyperbolisch, wenn K(a) < 0;

• parabolisch, wenn K(a) = 0 6= H(a) (das heißt genau eine der Zahlen κ1(a), κ2(a) ist 0);

• Nabelpunkt , wenn κ1(a) = κ2(a) (aquivalent zu 6.5(v), da La diagonalisierbar);

• Flachpunkt , wenn κ1(a) = κ2(a) = 0.

Folgerung: Es gilt stets H(a)2 ≥ K(a), und Gleichheit gilt genau dann, wenn a ein Nabelpunktist.

Beweis 21 |H(a)| ≥√|K(a)| ist gerade die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geo-

metrischen Mittel, und Gleichheit gilt genau fur κ1(a) = κ2(a). �

Beispiel 2 Eine Ebene besteht nur aus Flachpunkten. Die Sphare S2 hat nur Nabelpunkte. EinEllipsoid (mit Gleichung ax2 + by2 + cz2 = 1, a, b, c > 0) hat nur elliptische Punkte (und fura > b > c genau 4 Nabelpunkte). Das einschalige Hyperboloid (mit der Gleichung x2+y2−z2 = 1)hat nur hyperbolische Punkte, und der Kreiszylinder hat nur parabolische Punkte.

7. FLACHENSTUCKE IM R3 43

7.3 Typen von Punkten in Monge-Koordinaten Man kann das Flachenstuck f lokal,das heißt in einer hinreichend kleinen Umgebung eines festen Punktes a, als Graph uber derTangentialebene Taf schreiben. Mit a = (0, 0) hat dann f in diesen neuen Koordinaten, densogenannten Monge-Koordinaten, die Form

f(x1, x2) =(x1, x2, h(x1, x2)

)wie in 5.4(f), wobei h(0, 0) = 0 = ∂h

∂x1(0, 0) = ∂h

∂x2(0, 0). Die zweite Fundamentalform II(0,0) wird

beschrieben durch die 2× 2-Matrix (hij), wobei gemaß 6.8 gilt

hij =⟨

ν(0, 0),∂2f

∂xj(0, 0)

⟩=

∂2h

∂xi∂xj(0, 0);

wobei ν(0, 0) = (0, 0, 1). Diese Matrix (hij) =(

∂2h∂xi∂xj

(0, 0))

heißt auch Hesse-Matrix von h ander Stelle (0, 0). Dann gilt

• (0, 0) ist elliptisch ⇐⇒ det(hij) > 0 ⇐⇒ II(0,0)(x, x) ist (positiv oder negativ) definit,

• (0, 0) ist hyperbolisch ⇐⇒ det(hij) < 0 ⇐⇒ II(0,0)(x, x) ist indefinit,

• (0, 0) ist parabolisch ⇐⇒ Rang(hij) = 1 ⇐⇒ det(hij) = 0 und (hij) 6= 0,

• (0, 0) ist Nabelpunkt ⇐⇒ (hij) =(

λ 00 λ

)mit λ ∈ R,

• (0, 0) ist Flachpunkt ⇐⇒ (hij) = ( 0 00 0 ).

Zum Beweis dieser Aquivalenzen benutzt man κ1(a)κ2(a) = K(a) = detLa =det(gij)−1 det(hij) und det(gij) > 0, und dass IIa(x, x) = Ia

(La(x), x

)= κ1(a)x2

1 + κ2(a)x22

in Koordinaten x1, x2 bezuglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von La.Ersetzt man f durch die bei a = (0, 0) approximierende quadratische Flache, das heißt ersetzt

man h durch sein Taylorpolynom vom Grad 2, so erhalt man im elliptischen Fall ein Ellipsoid, imhyperbolischen Fall ein hyperbolisches Paraboloid (Sattelflache vom Typ (x1, x2) 7→ (x1, x2, x

21 −

x22)), und im parabolischen Fall einen parabolischen Zylinder (das heißt einen Zylinder uber einer

Parabel). [Analogon zu lokalen Normalformen bei Kurven. . . ].Zum Beispiel bleibt die Flache in einer hinreichend kleinen Umgebung eines elliptischen Punktes

a ”ganz auf einer Seite“ der verschobenen Tangentialebene f(a) + Taf .Die ebene Quadrik {x ∈ Taf | IIa(x, x) = ±1} heißt die Dupinsche Indikatrix , aus folgen-

dem Grund: Die Quadrik ist eine Ellipse, falls a ein elliptischer Punkt ist; ein Kreis, falls a einNabelpunkt ist; ein Hyperbelpaar, falls a hyperbolisch ist; ein Paar paralleler Geraden, falls aparabolisch ist; und leer, falls a ein Flachpunkt ist.

7.4 Beispiele

(a) Fur die Sattelflache f(u, v) = (u, v, u2 − v2) berechnet man (gij) =(

1+4u2 −4uv−4uv 1+4v2

),

ν(u, v) = 1√1+4u2+4v2 (−2u, 2v, 1) und (hij) = 1√

1+4u2+4v2

(2 00 −2

). Mit 7.1 folgt dann

K(u, v) = det(hij)det(gij)

= −4(1 + 4u2 + 4v2)−32 < 0, also sind alle Punkte hyperbolisch, und

H(u, v) = 4(v2 − u2)(1 + 4u2 + 4v2). Insbesondere gilt H(0, 0) = 0, K(0, 0) = −4.


(b) Das Flachenstuck f(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2︸︷︷︸<(u+vi)3

) wird als Affensattel bezeichnet. Man erhalt

(gij) =(

1+9(u2+v2) −18(u2−v2)uv

−18uv(u2−v2) 1+36uv2

), ν(u, v) = 1√

1+9u2+9v2 (3v2 − 3u2, 6uv, 1) und (hij) =1√

1+9u2+9v2

(6u −6v−6v 6u

).

Der Punkt (0, 0) ist ein Flachpunkt, alle anderen Punkte sind hyperbolisch. Bei (0, 0) istjede Richtung asymptotisch.

(c) Fur die Enneperflache f(u, v) =(u− 1

3u3 + uv2,−v + 13v3 − vu2, u2 − v2

)wie in 5.4 erhalt

man

(gij) = (1 + u2 + v2)2(

1 00 1

), (hij) =

(2 00 −2

).

Die Hauptkrummungen bei (u, v) sind ±2(1 + u2 + v2)−2. Jeder Punkt ist hyperbolisch,und fur die mittlere Krummung gilt H ≡ 0 (das heißt die Enneperflache ist eine sogenannteMinimalflache).

7.5 Spezielle Flachentypen Sei t 7→(r(t), h(t)

)eine nach Bogenlange parametrisierte ebene

Kurve. Fur die zugehorige Rotationsflache (5.4(d)) mit der Parametrisierung

f(u, v) =(r(u) cos v, r(u) sin v, h(u)

)berechnet man (Kuhnel Seite 50f.) die Krummungen K = − r

r , H = 12

(hr + h

r

). Man kann

dann die Rotationsflachen mit konstanter Gaußkrummung K bestimmen und erhalt die folgendenFlachenstucke:

• Fur K = 0 erhalt man einen Kreiszylinder oder eine Ebene oder einen Kreiskegel.

• Fur K > 0 erhalt man eine Sphare oder eine Flache vom Spindeltyp oder Wulstyp, die ausfolgenden Kurven durch Rotation entstehen:

• Fur K < 0 erhalt man Flachen vom Kegeltyp oder vom Kehltyp, durch Rotation von Kurven:

7. FLACHENSTUCKE IM R3 45

Im Spezialfall K = −1 die sogenante Pseudosphare von Beltrami, die durch Rotation derTraktrix entsteht

Die Regelflachen (ruled surfaces) haben eine Parametrisierung der Form f(u, v) = c(u)+v·d(u) mitgeeigneten Raumkurven c, d. Solche Flachen werden durch Geraden uberdeckt (Parameterlinienmit u konstant).

Beispiele: Mobiusband, einschaliges Hyperboloid, Tangentenflachen f(u, v) = c(u) + v · c(u) zugeeigneten Raumkurven c, die Wendelflache (Helikoid) f(u, v) = (v cos u, v sinu, u) (entsteht auseiner Geraden durch Anwenden von Schraubungen).

Wieder allgemein: f : U → R3 ein Flachenstuck, und gij , hij wie in 7.1.

7.6 Lemma (Gauß) Die Determinante det(hij) = h11h22−h212 hangt nur von den Funktionen

gij ab; mit den Abkurzungen E = g11, F = g12, G = g22, Ei = ∂∂xi

E, Eij = ∂2

∂xi∂xjE etc. gilt die

Formel

4 det(gij) · det(hij) = E(E2G2 − 2F1G2 + G21) + F (E1G2 − E2G1 − 2E2F2 + 4F1F2 − 2F1G1)

+ G(E1G1 − 2E1F2 + E22)− 2(EG− F 2)(E22 − 2F12 + G11).

Beweis 22 (nach Baltzer 1866) Fur alle Vektoren a, b, c, d ∈ R3 gilt 〈a× b, c× d〉 = 〈a, c〉〈b, d〉 −〈a, d〉〈b, c〉 (Ubungsaufgabe, vergleiche do Carmo S.11). Mit den Abkurzungen fi = ∂f

∂xiund fij =

∂2f∂xi∂xj

erhalten wir ‖f1 × f2‖2 = 〈f1 × f2, f1 × f2〉 = 〈f1, f1〉〈f2, f2〉 − 〈f1, f2〉2 = det(gij), also

hij = 〈fij , ν〉 =⟨fij ,

f1×f2‖f1×f2‖

⟩= 〈fij ,f1×f2〉√

det(gij). Dann folgt weiter

det(gij) · det(hij) = det(gij)(h11h22 − h212) = 〈f11, f1 × f2〉〈f22, f1 × f2〉 − 〈f12, f1 × f2〉2

= det(

f11f1f2

)det(

f22f1f2

)−det

(f12f1f2

)det(

f12f1f2

)= det

(f11f1f2

)det(

f22f1f2

)tr

−det(

f12f1f2

)det(

f12f1f2

)tr

= det

〈f11, f22〉〈f11, f1〉〈f11, f2〉〈f1, f22〉 E F〈f2, f22〉 F G

− det

〈f12, f12〉〈f12, f1〉〈f12, f2〉〈f12, f1〉 E F〈f12, f2〉 F G

= det

〈f11, f22〉 − 〈f12, f12〉〈f11, f1〉〈f11, f2〉〈f1, f22〉 E F〈f2, f22〉 F G

− det

0 〈f12, f1〉〈f12, f2〉〈f12, f1〉 E F〈f12, f2〉 F G

Aus den Definitionen von E,F,G folgt durch Ableiten:


E1 = ∂∂x1

〈f1, f1〉 = 2〈f11, f1〉, E2 = ∂∂x2

〈f1, f1〉 = 2〈f12, f1〉, G1 = 2〈f12, f2〉, G2 = 2〈f22, f2〉,F1 − 1

2E2 = 〈f11, f2〉, F2 − 12G1 = 〈f22, f1〉.

Aus der Gleichung fur G1 und F1 − 12E2 folgt durch Ableiten nach x1 bzw. x2, dass 1

2G11 =〈f121, f2〉+ 〈f12, f21〉 und F12− 1

2E22 = 〈f112, f2〉+ 〈f11, f22〉. Subtraktion liefert somit 〈f11, f22〉−〈f12, f12〉 = − 1

2G11 + F12 − 12E22. Einsetzen oben (in die Determinanten) liefert:

det(gij) det(hij) = det

− 12G11 + F12 − 1

2E2212E1 F1 − 1

2E2

F2 − 12G1 E F

12G2 F G

− det

0 12E2

12G1

12E2 E E12E1 F G

,

wie behauptet. �

7.7 Korollar (Theorema egregium von Gauß) Die Gaußkrummung K eines Flachenstucksf : U → R3 hangt nur von der 1. Fundamentalform ab, und ist daher invariant unter lokalenIsometrien.

Beweis 23 Wegen K = det(hij)det(gij)

und 7.6 hangt K nur von den Funktionen gij ab; dies impliziertdie Invarianz unter lokalen Isometrien, vergleiche 5.12, 5.13. �

Flachenstucke mit verschiedenen Gaußkrummungen sind nicht lokal isometrisch, insbesondereist die Sphare S2 nicht lokal isometrisch zur Ebene R2, das heißt das Grundproblem der Karto-graphie ist unlosbar. Fur die mittlere Krummung H ist die entsprechende Aussage falsch, zumBeispiel ist die Ebene (mit H ≡ 0) lokal isometrisch zum Zylinder (mit H 6= 0), vergleiche 5.14.

Großen, die unter lokalen Isometrien invariant sind, nennt man Großen der inneren Geometrieeines Flachenstucks. Dazu zahlen alle Großen, welche sich allein mit Hilfe der 1. Fundamentalformbeschreiben lassen, nach 7.7 also auch die Gaußkrummung K. Nicht zur inneren Geometriegehoren:

Die 2. Fundamentalform, die Weingarten Abbildung La, die Hauptkrummungen, und die mitt-lere Krummung; diese Großen hangen wesentlich ab von der Einbettung des Flachenstucks in R3

(von der ”außeren Geometrie“ zum Beispiel von der Gauß-Abbildung ν).

8 Der Hauptsatz der lokalen Flachentheorie

Sei f : U → Rp+1 ein Hyperflachenstuck wie in Abschnitt 6, ferner ν : U → Sp die zugehorigeGaußabbildung, (gij) und (hij) wie in 6.8 und (gij) = (gij)−1 die zu (gij) inverse Matrix.

8.1 Es gelten die Ableitungsgleichungen

∂2f

∂xi∂xj=

p∑k=1

Γkij

∂f

∂xk+ hijν

von Gauß, wobei

Γkij :=

12

p∑l=1

gkl

(∂

∂xigjl +

∂

∂xjgil −

∂

∂xlgij

),

und∂ν

∂xi= −

p∑k=1

p∑l=1

hikgkl ∂f

∂xl

von Weingarten.

Beweis 24 Weil ν(a), ∂f∂xi

(a) mit 1 ≤ i ≤ p eine Basis von Rp+1 bilden, existieren reelle Funktio-nen Γk

ij und aij mit∂2f

∂xi∂xj=

p∑k=1

Γkij

∂f

∂xk+ aijν.

8. DER HAUPTSATZ DER LOKALEN FLACHENTHEORIE 47

Nach 6.8 und wegen der Orthogonalitat von ν zu den ∂f∂xk

gilt

hij =⟨

ν,∂2f

∂xi∂xj

⟩= 〈ν, aijν〉.

Nach Definition der gkl =⟨

∂f∂xk

, ∂f∂xl

⟩folgt ferner

Γijl :=⟨

∂2f

∂xi∂xj,

∂f

∂xl

⟩=

p∑k=1

gklΓkij .

Man verifiziert direkt (mit der Produktregel), dass

∂

∂xigil +

∂

∂xjgil −

∂

∂xlgij = 2Γijl,

und damit die Ableitungsgleichung von Gauß. Die Ableitung ∂ν∂xi

entsteht aus ∂f∂xi

durch Anwendender negativen Weingarten-Abbildung, siehe Beweis zu 6.4, und die Weingarten-Abbildung wirdnach 6.8 beschrieben durch die Matrix (gij)(hij), dies liefert die Weingarten-Gleichung. �

Die Γijk beziehungsweise Γkij heißen Christoffel-Symbole 1.Art beziehungsweise 2.Art.

8.2 Korollar Fur die gij , hij gilt die Gauß-Gleichung

Rsijk :=

∂

∂xkΓs

ij −∂

∂xjΓs

ik +p∑

r=1

(ΓrijΓ

srk − Γr

ikΓsrj) =

p∑m=1

(hijhkm − hikhjm)gms

fur alle i, j, k, s ∈ {1, 2, . . . , p} und die Codazzi-Mainardi-Gleichung

∂

∂xkhij −

∂

∂xjhik +

p∑r=1

(Γrijhrk − Γr

ikhrj) = 0

fur alle i, j, k ∈ {1, . . . , p}.

Zum Beweis: Dies folgt aus ∂3f∂xk∂xi∂xj

= ∂3f∂xj∂xi∂xk

und der Gauß-Gleichung aus 8.1, vergleicheKuhnel 4.15. �

8.3 Hauptsatz der lokalen Hyperflachentheorie (Bonnet 1867) Sei U ⊆ Rp offenund einfach zusammenhangend; ferner seien (hinreichend glatte) Funktionen gij , hij : U → Rfur 1 ≤ i, j ≤ p gegeben, so dass die Matrix (gij) uberall symmetrisch und positiv definit ist,und (hij) uberall symmetrisch. Erfullen (gij) und (hij) die Gauß-Gleichung und die Codazzi-Mainardi-Gleichung aus 8.2, so existiert ein Hyperflachenstuck f : U → Rp+1, dessen 1. und2. Fundamentalform durch (gij) bzw. (hij) beschrieben wird.

Beweis 25 Man betrachtet die Ableitungsgleichungen aus 8.1 als ein System von partiellen Dif-ferentialgleichungen in den p + 1 Variablen ∂f

∂xiund ν. Die Gleichungen aus 8.2 sind dann die

sogenannten Integrabilitatsbedingungen von Frobenius (1877), die die Losbarkeit garantieren, undman erhalt die ∂f

∂xi. Man muss noch einmal integrieren, und dann verifizieren, dass f wirklich die

vorgegebene 1. und 2. Fundamentalform hat, siehe Kuhnel 4.24. �

Bewegungsinvarianz und Eindeutigkeit: Kuhnel 4.23.

8.4 Bemerkungen Fur p = 2 ist die 1. Fundamentalform allein nicht ausreichend, um dasFlachenstuck bis auf eine Bewegung eindeutig festzulegen. (Gegenbeispiel: Ebene und Zylinderhaben nach 5.10 die gleiche 1. Fundamentalform).

Es gilt jedoch der folgende Satz (vergleiche Kuhnel 4.31, 4.32 oder Walter S. 159-162):Ist U zusammenhangend und sind f, f : U → Rp+1 zwei Hyperflachenstucke in Rp+1 mit

gij(a) = gij(a) und Rang(La) ≥ 3 fur alle a ∈ U , so ensteht f(U) aus f(U) durch eine Bewegung.

Kapitel III

(Zufallig) AusgewahlteUbungsaufgaben

1 Aufgabe 8

(a) Fur eine k-mal stetig differenzierbare parametrisierte Kurve c : I → Rn sei

Sk(c, t) := c(t) + Spann{c(t), c(t), . . . , c(k)(t)}

der k-te Schmiegeraum von c bei t. Zeigen Sie, dass diese Schmiegeraume invariant sindunter k-mal stetig differenzierbaren Parametertransformationen ϕ : J → I (das heißt es giltSk(c ◦ ϕ, t) = Sk

(c, ϕ(t)

)fur alle t ∈ J) und unter Bewegungen f : Rn → Rn (das heißt es

gilt Sk(f ◦ c, t) = f(Sk(c, t)

)fur alle t ∈ I).

(b) Ist c eine Frenet-Kurve in Rn, so sind das begleitende n-Bein e1, . . . , en und die Frenet-Krummungen invariant sind unter hinreichend oft differenzierbaren Parametertransforma-tionen und unter eigentlichen Bewegungen. Prazisieren Sie diese Aussagen und beweisen Siesie.

1.1 Losung

2 Aufgabe 10

Sei c : I → R2 eine Freent-Kurve in R2. Zeigen Sie, dass die Krummung κ von c durch

κ(t) =det(c(t), c(t)

)‖c(t)‖3

fur alle t ∈ I gegeben ist.

2.1 Losung

3 Aufgabe 12

Sei c : I → R3 eine Frenet-Kurve in R3. Zeigen Sie, dass die Krummung κ und die Torsion τ vonc durch

κ(t) =‖c(t)× c(t)‖‖c(t)‖3

und τ(t) =det(c(t), c(t),

...c (t)

)‖c(t)× c‖2

fur alle t ∈ I gegeben sind.

49

50 KAPITEL III. (ZUFALLIG) AUSGEWAHLTE UBUNGSAUFGABEN

3.1 Losung

4 Aufgabe 19

Zeigen Sie, dass die Abbildung

c : [0, 2π] → R2 : t 7→ (9 + 3 cos t)(

cos tsin t

)− (3 sin 3t)

(− sin tcos t

)eine Kurve konstanter Breite liefert. Zeichnen Sie diese Kurve, und begrunden Sie, dass kein Kreisvorliegt. Wie breit ist diese Kurve?

4.1 Losung

5 Aufgabe 26

Sei U eine offene Teilmenge von Rp. Zeigen Sie, dass jede stetig differenzierbare Immersion f : U →Rn lokal injektiv ist. (Die stetige Differenzierbarkeit von f besagt, dass Df(a)(x) stetig von (a, x) ∈U × Rp abhangt.)

5.1 Losung

6 Aufgabe 28

Zeigen Sie, dass sich der Tangentialraum eines Flachenstucks durch Richtungsvektoren von Kurvenwie in Lemma 5.6 der Vorlesung beschreiben lasst.

6.1 Losung

7 Aufgabe 34

Sei U eine offene und zusammenhangende Teilmenge von Rp und f : U → Rp+1 ein zweimal stetigdifferenzierbares Hyperflachenstuck. Zeigen Sie die folgenden beiden Aussagen.

(a) Ist f(U) in einer affinen Hyperebene von Rp+1 enthalten, so ist jeder Punkt von U einFlachpunkt von f .

(b) Ist f(U) in einer Sphare von Rp+1 enthalten, so ist jeder Punkt von U ein Nabelpunkt vonf .

7.1 Losung

8 Aufgabe 35

Sei U offen in R2 und f : U → R3 ein zweimal stetig differenzierbares Flachenstuck, sei ν dieGaußabbildung, und sei L die Weingartenabbildung von f . Sei ferner c = f◦c eine nach Bogenlangeparametrisierte Kurve in f(U) fur eine Frenet-Kurve c : I → U . Das Darboux-Dreibein e1, e2, e3

von c relativ zu f ist folgendermaßen definiert: e1 := c, e3 := ν ◦ c, e2 := e3 × e1. Zeigen Sie, dassdie Frenet-Gleichungen e1

e2

e3

=

0 κg κν

−κg 0 τg

−κν −τg 0

e1

e2

e3

8. AUFGABE 35 51

gelten, wobei κν = Ic

(e1, Lc(e1)

)die Normal-Krummung, κg = 〈e2, e1〉 die geodatische Krummung

und τg : I → R eine geeignete Funktion (die sogenannte geodatische Torsion) ist.

8.1 Losung

skriptum diﬀerentialgeometrie mit professor t. grundh¨ofer · gilt nach der kettenregel (ϕ−1)...

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