skriptum_stdtw_ws0506

1 Einführung ...................................................................................... 1-1

1.1 Geschichtlicher Abriß 1-4

1.2 Inhalt des Skriptums 1-6

1.3 Literatur 1-6

2 Mechanische Grundlagen .............................................................. 2-1

2.1 Kraftgrößen 2-12.1.1 Kraft 2-22.1.2 Moment 2-6

2.2 Gleichgewicht 2-82.2.1 Gleichgewicht eines Punktes 2-82.2.2 Gleichgewicht eines belasteten starren Körpers in der Ebene 2-102.2.3 Gleichgewicht eines räumlichen Systems 2-12

3 Idealisierungen in der Baustatik ................................................... 3-1

3.1 Modellbildung 3-1

3.2 Prinzipielles Vorgehen 3-23.2.1 Diskretisierung 3-23.2.2 Lokale Effekte 3-3

3.3 Tragwerkselemente 3-53.3.1 Flächentragwerke 3-53.3.2 Stabtragwerke 3-7

3.4 Auflager 3-83.4.1 Auflager für ebene Systeme 3-103.4.2 Auflager für 3-D Systeme 3-11

3.5 Verbindungen 3-12

3.6 Annahmen der linearen Stabstatik 3-133.6.1 Grundsätzliche Annahmen 3-133.6.2 Beanspruchung 3-143.6.3 Dehnung 3-153.6.4 Ebene Biegung und Schub 3-153.6.5 Räumliche Biegung Schub 3-223.6.6 Drillung 3-23

3.7 Definition der Schnittkräfte für das Stabelement 3-24

3.8 Einwirkungen 3-293.8.1 Mögliche Arten von Einwirkungen 3-29

1Statik der Tragwerke

2

3.8.2 Resultierende einer verteilten Belastung 3-343.8.3 Idealisierung von Belastung 3-35

4 Kinematik ........................................................................................ 4-1

4.1 Einleitung 4-1

4.2 Bestimmung des Hauptpols 4-3

4.3 Der Polplan 4-54.3.1 Polplankonstruktion 4-54.3.2 Beispiele 4-7

5 Berechnung statisch bestimmter Tragwerke - Auflagerkräfte .. 5-1

5.1 Einleitung 5-15.1.1 Freischneiden 5-25.1.2 Bestimmung der Auflagerkräfte 5-2

5.2 Biegeträger 5-45.2.1 Beispiel 1: Kragträger 5-45.2.2 Beispiel 2: Einfeldträger 5-45.2.3 Beispiel 3: Einfeldträger mit Kragarmen 5-5

5.3 Rahmentragwerke 5-65.3.1 Beispiel: Zweigelenkbogen 5-6

5.4 Zusammengesetzte Tragwerke 5-75.4.1 Gelenkträger 5-75.4.2 Dreigelenkbogen 5-85.4.3 Gemischte Systeme 5-145.4.4 3-D Systeme 5-20

6 Schnittkraftverläufe ....................................................................... 6-1

6.1 Einleitung 6-1

6.2 Schnittkraftverläufe - ebene Systeme 6-26.2.1 Rahmentragwerke 6-26.2.2 Übertragungsgleichungen 6-36.2.3 Gleichgewicht eines Teilelements 6-66.2.4 Bestimmung der Schnittkraftverläufe an Hand von Beispielen 6-86.2.5 Kragträger 6-86.2.6 Einfeldträger 6-96.2.7 Geneigter Balken 6-126.2.8 Zahlenbeispiel: Einfeldträger mit Kragarmen 6-156.2.9 Rahmen 6-166.2.10 Zusammengesetzte Systeme 6-19

Statik der Tragwerke

6.3 Schnittkraftverläufe - 3-D Systeme 6-266.3.1 Übertragungsgleichungen 6-266.3.2 Gleichgewicht eines Teilelements 6-28

7 Fachwerke ....................................................................................... 7-1

7.1 Einleitung 7-1

7.2 Berechnung der Stabkräfte 7-47.2.1 Allgemeines 7-47.2.2 Bestimmung der statischen Bestimmtheit 7-67.2.3 Das Rundschnittverfahren 7-77.2.4 Graphisches Verfahren nach Cremona 7-87.2.5 Das Ritterschnittverfahren 7-107.2.6 K-Fachwerk 7-14

7.3 Zahlenbeispiel: Fachwerkkonstruktion 7-17

7.4 3-D Fachwerke 7-197.4.1 Zahlenbeispiel: 3-D Fachwerk 7-20

8 Mischsysteme .................................................................................. 8-1

8.1 Langer’scher Balken 8-18.1.1 Bestimmung der Stabkräfte 8-28.1.2 Schnittkraftverläufe am Balken 8-3

8.2 Hängebrücke 8-7

8.3 Zahlenbeispiel 1: Dreigelenkrahmen 8-9

8.4 Zahlenbeispiel 2: Überdachung 8-13

9 Einflusslinien ................................................................................... 9-1

9.1 Allgemeines 9-19.1.1 Zweck der Einflusslinie 9-19.1.2 Definition der EL 9-19.1.3 Gegenüberstellung Einflusslinie - Zustandslinie 9-29.1.4 Voraussetzungen zur Bestimmung von EL 9-29.1.5 Auswertung von EL 9-2

9.2 Methoden zur Ermittlung von EL 9-49.2.1 Allgemeine Regeln für EL 9-49.2.2 Laststellungsmethode 9-49.2.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten 9-119.2.4 Kinematische Methode 9-149.2.5 Kombinierte Methode 9-28

3Statik der Tragwerke

4

1 Einführung

Wissen hat keinen ärgeren Feind als dasWissenwollen, als das Lernen

Hermann Hesse

Die Statik ist ein Teilgebiet der Mechanik fester Körper und beschäftigt sich alssolches mit der Ermittlung des Kräfte- und Verformungszustandes ruhender, d.h.im Gleichgewicht befindlicher, Körper. Dabei wird angenommen, dass die Bela-stung unendlich langsam aufgebracht wird, sodass keine dynamischen Massen-kräfte frei werden.

Die dem konstruktiven Ingenieurbau zugeordnete Statik der Tragwerke hat dieErmittlung der Kräftezustände von Tragsystemen zum Inhalt, welche dann weiterals Grundlage zur Bemessung und Konstruktion bzw. zum Nachweis derGebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit herangezogen werden.

Die statische Berechnung stellt einen wichtigen Teil der gesamten Ingenieurauf-gabe dar. Sie soll dem entwerfenden Ingenieur die notwendigen Nachweise liefern,ob das Bauwerk in der Lage ist, die einwirkenden Lasten in ausreichendem Maßaufnehmen zu können, ohne dabei seine Gebrauchstauglichkeit zu verlieren, wobeibesonderes Augenmerk auf die Wirtschaftlichkeit der Konstruktion zu legen ist.

Folgende drei Kriterien sind dabei maßgebend:

Sicherheit gegen Versagen der Konstruktion

Auch unter ungünstigster Belastung darf es nicht zu einem Einsturz des Bau-werks kommen.

Gebrauchstauglichkeit

Das Bauwerk muß auch unter Belastung seinen Zweck erfüllen. Das bedeutetzum Beispiel, dass keine unzulässig großen Verformungen auftreten dürfen.

Wirtschaftlichkeit

Das Bauwerk soll so konstruiert und bemessen sein, dass möglichst geringeKosten sowohl in der Herstellung, als auch in der Erhaltung und der Entsorgunganfallen.

1-1Statik der Tragwerke

1 Einführung

1-2

Abb. 1.1 Die Rolle der Baustatik im konstruktiven Ingenieurbau

Abbildung 1.1 zeigt eine vereinfachte Darstellung der Aufgaben im konstruktivenIngenieurbau und die Rolle der Baustatik. Wie man sieht ist die Baustatik in allenBereichen vom Entwurf bis zur Ausführung eingebunden. Baustatische Überle-gungen z.B. helfen dem entwerfenden Architekten bzw. Ingenieur in der Formfin-dung. Es gibt viele Beispiele, wo ein klar erkennbares und effizientes statischesSystem auch den ästhetischen Anforderungen entspricht. Als Beispiel sei in Abb.1.2 eine Sporthalle in der Nähe von Wiener Neustadt gezeigt.

In den meisten Fällen ist die Berechnung des endgültigen statischen Systems nichtdie einzige Aufgabe des Baustatikers, da auch die Sicherheit von Bauzuständen

Entwurf:BauwerkstypMaterialVorbemessung

Rolle der Baustatik:

Baustatische Überlegungenbei der Formfindung und

Berechnung der Schnittkräfte:Modellbildung (Vereinfachung)

Graphische Darstellung

BerechnungBerechnung

Bemessung:Querschnitte

AuflagerVerbindungen

sicher und wirtschaftlich?

Vorbemessung

Nein

Ausführung:Montagezustände

etc.Transport

Berechnung von

des Tragwerks

Montagezuständen

Ja


Einführung

nachgewiesen werden muß. In manchen Fällen ist sogar die Berechnung von Bau-zuständen oft mit mehr Aufwand verbunden als die Berechnung des Endzustands.

Abb. 1.2 Beispiel für ein ästhetisches Bauwerk mit klarem statischen System, d.h. hier ist klar erkennbar wie die Kräfte in den Boden eingeleitet werden.

Wie in vielen Sparten unseres Lebens hat der Computer auch die Baustatik verän-dert. Es gibt heutzutage eine Vielzahl von Programmen, welche die komplizierte-sten baustatischen Aufgaben lösen können. Dies ist einerseits ein Segen,andererseits auch mit Gefahren verbunden. Sehr oft passiert es, dass durch dieunsachgemäße Anwendung der sogenannten „black box“ falsche Resultate erhal-ten werden, die dann oft widerspruchslos angenommen werden. Als extremes Bei-spiel sei hier die Sleipner Ölplattform erwähnt, die auf Grund eines Fehlers in derstatischen Berechnung (die Querkräfte wurden mit einem komplexen Rechenpro-gramm an einer Stelle mit einem Fehler von 45% berechnet) beim Bauvorgangbeschädigt wurde und auf den Meeresgrund versank. Der Schaden war enorm unddieser Vorfall wird oft als Beispiel verwendet um zu zeigen, dass Resultate vonelektronischen Berechnungen nicht ohne Kontrolle akzeptiert werden dürfen.

Daher ist es Ziel der Vorlesung Statik der Tragwerke, dem angehenden Bauinge-nieur das Werkzeug in die Hand zu geben um diese Überprüfung vornehmen zukönnen. Wir werden daher hier fast ausschließlich herkömmliche (Hand-)rechen-methoden behandeln. Die mit diesen Methoden erhaltenen Ergebnisse könnenallerdings mit Hilfe des EDV Lernprogramms RuckZuck überprüft werden.

Grundsätzlich müssen bei einer statischen Berechnung zwei Bedingungen immererfüllt sein:

das Gleichgewicht der Kräftgrössendie Verträglichkeit der Weggrössen


1 Einführung

1-4

Geschichtlicher Abriß

1.1 Geschichtlicher Abriß

Die erste Baustatik der Welt fand im Jahre 1743 statt (Wapenhans und Richter,2002). Vor diesem Zeitpunkt gab es Überlegungen von Mathematikern undMechanikern zur Festigkeitslehre und Mechanik (siehe Tabelle 1) jedoch war keinBezug zum „Bau“ vorhanden. Eine Ausnahme war der italienische Maler, Bild-hauer, Architekt und Ingenieur Leonardo da Vinci (1452 - 1519) der an Hand vonVersuchen, Gedanken über die Festigkeit von Bauwerken machte und auch Bau-werke entwarf. Allerdings wurde keines dieser Bauwerke ausgeführt. GrandioseBauwerke wie z.B. das Pantheon in Rom, wurden damals von „Baukünstlern“ohne theoretische Überlegungen entworfen und bemessen. Dabei wurde aus-schließlich auf praktische Überlegungen und Erfahrung zurückgegriffen.

Der Anlaß für die erste Anwendungen von theoretischen Überlegungen in der„Baubranche“ war die Peterskuppel in Rom. An dieser waren nämlich Risse aufge-treten, die Anlaß zu Besorgnis gaben (siehe Abb. 1.3). Die Kuppel war zwar mitEisenringen verstärkt, die einen Teil des Bogenschubs aufnehmen sollten aller-dings wußten man nicht, ob die Eisenstäbe genügten, da es dazu keine mechni-schen Überlegungen gab. Da der Papst wegen der Risse Besorgnis um dieTragfähigkeit der Kuppel hatte bat er gleich drei Mathematikprofessoren (Gui-seppe Boscovich, Tommaso Le Seur und Francesco Jacquier) ein Gutachten zuerarbeiten. Das in altitalienisch verfaßte Gutachten erschien im März 1743. Es istinteressant, dass hier für Gleichgewichtsüberlegungen das Prinzip der virtuellenWeggrössen zur Anwendung kam. Dieses Prinzip wurde von Johann Bernoulli imJanuar 1717 in seinem Buch „Nouvelle Mecanique“ veröffentlicht.

Leider war diese erste Begegnung der Baustatik bzw. der Übergang „vom hand-werklich-gewohnheitsmäßigen Schaffen zur modernen, wissenschaftlich fundier-ten Bauingenieurkunst“ nicht sehr erfolgreich da für den Bogenschub ein viel zugroßer Wert berechnet wurde. Der Grund dafür war die zu starke Vereinfachungdes statischen Systems. Dies ist ein gutes Beispiel für die Wichtigkeit der Wahl desstatischen Systems, d.h. für die Modellbildung. Auf diese wird im nächsten Kapiteleingegangen.


EinführungGeschichtlicher Abriß

Abb. 1.3 Die Peterskuppel in Rom mit den Rissen und die ersten baustatischen Überlegungen bezüglich der Überprüfung des Gleichgewichts.

Tab. 1.1Geschichtlicher Überblick, vor und nach der Baustatik

1678 Robert HOOKE (1635-1703) entschlüsselt in den „Lectures depotentia restitutiva“ sein Materialgesetz als „Ut tensio sic vis“

1687 In London erscheinen die „Philosophiae naturalis principiamathematica“ von Isaac NEWTON (1643-1727), das ersteumfassende Lehrbuch der Mechanik

1717 Johann BERNOULLI (1667-1748) formuliert das Prinzip der vir-tuellen Verschiebungen in einem Brief an Pierre VARIGNON(1654-1722)


1 Einführung

1-6

Inhalt des Skriptums

1.2 Inhalt des Skriptums

Die Vorlesung Statik der Tragwerke befaßt sich mit der linearen Berechnung vonstatisch bestimmten Tragwerken. Dies bedeutet, dass für die Berechnung alleinGleichgewichtsüberlegungen herangezogen werden und die Verformungen desTragwerks aus Belastung sehr klein im Vergleich mit den Tragwerksabmessungensind.

1.3 Literatur

Wappenhaus und Richter, Die erste Baustatik der Welt, Bauingenieur

Krätzig W. und Wittek, U. Tragwerkslehre 1, Springer Verlag, Berlin

Sattler K. Lehrbuch der Statik, Spinger Verlag

1744 Leonhard EULER (1707-1783) stellt in seiner „Methodus inveni-endi lineas curvas...“ die Knickformel für Stäbe auf

1826 In Paris erscheint der „Résumé des lecons données à l’Ecoledes ponts et chaussées“ von L.M.H. NAVIER (1785-1836). DasWerk erscheint 1851 auf Deutsch als „Mechanik der Baukunst“.Er wird allgemein als Gründer der Baustatik genannt.

1864-1866 In Zürich erscheint die „Graphische Statik“ von Karl CULMANN(1821-1881)

1870 James Clerk MAXWELL (1831-1879) stellt den Satz von derReziprokität der elastischen Verschiebungen auf, aus demEnrico BETTI (1823-1892) im Jahr 1872 die Gleichheit derErgänzungsenergien ableitet.

1886 In Leipzig erscheinen „Die neueren Methoden der Festigkeits-lehre und der Statik der Baukonstruktionen“ von Heinrich MÜL-LER-BRESLAU (1851-1925)

1906 In Zürich erscheinen „Anwendungen der graphischen Statik“von Wilhelm RITTER (1847-1906)


2 Mechanische Grundlagen

2.1 Kraftgrößen

Zur Einführung in das Gleichgewichtsproblem der Statik werden hier ein paarwichtige Grundlagen der Mechanik wiederholt. In der Statik berechnen wir denEinfluß von statischen (nicht zeitlich veränderlichen) äußere Einwirkungen aufTragwerke.

Abb. 2.1 Tragwerk mit Belastung (ebene Betrachtung)

Einwirkungen sind z.B. Belastungen durch Kräfte, Temperaturänderung, Kriechenund Schwinden. Den Einwirkungen wirkt das Tragwerk mit inneren Kräften entge-gen. Eine der zentralen Aufgaben der Baustatik ist es, das Gleichgewicht aller aufdas und im Tragwerk wirkenden Kräfte nachzuweisen. In Abb. 2.1 ist ein Trag-

W1

w1

W1

L/2 L/2



2-2

Kraftgrößen

werk mit einer Belastung aus Eigengewicht dargestellt. Das Eigengewicht wird ausdem spezifischen Gewicht (Masse pro Volumseinheit, z.B. ) des verwen-deten Materials berechnet. Die Masse pro Längeneinheit eines Tragwerkteils ist

wobei A die Querschnittsfläche des Tragwerkteils ist. Für das Aufstellen derGleichgewichtsbedingungen muß dies in eine Kraft umgerechnet werden. Die Ein-heit einer Kraft ist Newton (N) wobei 1 N die Kraft ist, welche notwendig ist eineMasse von 1 kg mit zu beschleuningen. Da Newton eine kleine Einheit ist,wird in der Baustatik oft das Kilonewton (kN) als Einheit gewählt (1 kN = 1000N). Mit der Erdbeschleunigung g ( )ergibt sich pro Meter Längeneinheitfür das Eigengewicht .

Um die Gleichgewichtsbedingung zwischen Belastung und Auflagerkräften auf-stellen zu können muß die verteilte Belastung in eine resultierende Einzellast(Kraftvektor) umgerechnet werden. Für den Fall einer gleichmäßig verteilten Bela-stung ist die Größe der Resultierenden und der Angriffspunkt derResultierenden liegt in der Mitte des Tragwerks. Um die Auflagerkräfte zu Bestim-men, muß man das Tragwerk von den Auflagern loslösen und die dort wirkenden(resultierenden) Kräfte zeigen. Diese wirken in entgegengesetzter Richtung aufTragwerk und Auflager (Prinzip actio/reactio). Einzelkräfte und die von diesenverursachten Momente nennt man auch Kraftgrößen.

2.1.1 Kraft

Eine Einzelkraft ist durch Angriffspunkt, Richtung und Größe bestimmt. EineKraft kann demnach durch einen Vektor dargestellt werden. Die Größe des Kraft-vektors wird zeichnerisch als Betrag dargestellt, der Richtungssinn wird durch diePfeilspitze angegeben (s. Abb. 2.1). Es soll hier festgestellt werden, dass es in derNatur keine Einzelkräfte gibt, sondern dass diese immer als Resultierende von ver-teilten Kräften angesehen werden sollen (siehe unter Modellbildung).

Abb. 2.2 Darstellung einer Kraft als Vektor

2.1.1.1 Komponenten einer Kraft

Für die Berechnung ist es sinnvoll, Kräfte in Komponenten bestimmter orthogona-ler Richtungen zu zerlegen. Abb 2.3 zeigt die Zerlegung in Richtung der zwei Ach-

γ kg m3⁄

γA

1m s2⁄

9 81 m/s2,w1 γAg N m⁄=

W1 w1L=

AngriffspunktWirkungslinie

Betrag

Wirkungsrichtung


Mechanische GrundlagenKraftgrößen

sen des kartesischen Koordinatensystems für ebene Systeme und Abb. 2.4 in diedrei Achsen für räumliche Systeme.

Abb. 2.3 Komponenten einer Kraft in der Ebene

Abb. 2.4 Komponenten einer Kraft im Raum

2.1.1.2 Vektorrechnung

Hier soll eine kleine Einführung in die Vektorrechnung gegeben werden, die fürdas Folgende von Nutzen sein wird.

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Addition von Vektoren

PPx

Py

Pαcos

αsin==

x

y

Px

Py

P

α

x

y

zP

Py

Pz

Px

P

Px

Py

Pz

=

P Pe , Px

Py

Pex

ey

==

R P1 P2 P3 , Rx

Ry

Px1 Px2 Px3+ +

Py1 Py2 Py3+ +=+ +=



2-4

Kraftgrößen

R wird auch als Resultierende der Kräfte bezeichnet. Die Bestimmung der Resul-tierenden ist auch graphisch möglich (siehe Abb. 2.5).

Abb. 2.5 Graphische Bestimmung der Resultierenden

Projektion eines Vektors auf einen anderen

Will man die Länge der Projektion von einem Vektor auf einen anderen berechnen,verwendet man am besten das Skalarprodukt von zwei Vektoren.

Abb. 2.6 Projektion eines Vektors mit Hilfe des Skalarprodukts

2.1.1.3 Transformation

Im folgenden wird die Projektion eines Kraftvektors in ein lokales, othogonales,durch Einheitsvektoren und definiertes Koordinatensystem und benö-tigt. Diese Projektion erhält man am einfachsten mit Hilfe des Skalarprodukts:

P1

P2

P3

P1

P2P3

P3R

P

ePe

α

Pe P e• Pxex Pyey+= =

P e αcos⋅=

e'1 e'2 x' y'

Px' P e'1• Px e'1x Pye'1y+⋅==

Py' P e'2• Px e'2x Pye'2y+⋅==



Beispiel

Gegeben sei (Abb. 2.7) die Richtung des lokalen Koordinatensystems durch eineGerade mit den Endkoordinaten (0,0) und ( ). Die Richtung steht normaldazu. Gesucht sind die Komponenten des Vektors P in Richtung und ( und

).

Abb. 2.7 Beispiel für eine Transformation eines Vektors

Die Vektorrechnung ergibt:

Führt man den Winkel ein so ergibt sich:

Das Ergebnis kann auch in Matrizenschreibweise dargestellt werden

x'Δx Δy, y'

x' y' Px'Py'

x

y

Δy

Δx

Le1

x'y'

e2

e1 1 LΔx

Δy⁄=

e2 1 LΔ– y

Δx⁄=

L Δx2 Δy2+=

P

Px'Py'

α

Einheitsvektoren:

Px' P e1• Px e1x⋅ Py e1y PxΔx L⁄ PyΔy L⁄+=⋅+==

Py' P e2• Px e2x⋅ Py e2y P– xΔy L⁄ PyΔx L⁄+=⋅+==

ααcos Δx L⁄ , αsin= Δy L⁄=Py' P– x αsin Py αcos+=

Px' Px αcos Py αsin+=

Px'

Py'

αcos αsin

αsin– αcos

Px

Py

=



2-6

Kraftgrößen

2.1.2 Moment

2.1.2.1 Moment einer Kraft

Das (statische) Moment eines Kraftvektors P um einen Punkt o wird als das Vek-torprodukt von P und dem Vektor r, der den Punkt o mit dem Angriffspunkt von Pverbindet (siehe Abb. 2.8), definiert.

Der Momentenvektor M steht normal auf der von den Vektoren r und P gebildetenFläche. Die Länge von M ( oder einfach als M bezeichnet) ist Kraft mal Nor-malabstand der Wirkungslinie der Kraft P zum Punkt o und entspricht demMoment der Kraft um o. Nach der rechten-Hand Regel entspricht einem aus derEbene zum Beobachter zeigender Momentenvektor einem Moment entgegen demUhrzeigersinn. Dies wird im folgenden als positive Momentenrichtung angenom-men.

Abb. 2.8 Moment einer Kraft

Liegen die Vektoren r und P in der x-y Ebene, so ergibt sich das Vektorproduktals:

Daraus ersieht man, dass in diesem Fall der Momentenvektor normal auf der x-yEbene steht. Aus Abb. 2.8 ist ersichtlich, dass sich das Moment einer Kraft nicht

M r P , M M=× r α P l P⋅=cos= =

M

r

P

o

x

yz

M

x

yα α

P

r

l

rx

ry

Py

Px

im Raum in der Ebenel

Mo

M r P×

rx

ry

0

Px

Py

0

ry0 Py0–

0Px 0rx–

rxPy Pxry–

=×

0

0

rxPy Pxry–

== =

M=rxPy Pxry lP=–



ändert, wenn die Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben wird. Ein Momenthat die Dimension Kraft mal Länge. Eine übliche Einheit für Momente ist [kNm].

2.1.2.2 Moment von mehreren Kräften

Das (resultierende) Moment von mehreren Kräften um einen Punkt o ist dieSumme der Momente aller Kräfte (siehe Abb. 2.9).

Abb. 2.9 Resultierendes Moment von mehrern Kräften in der Ebene

2.1.2.3 Moment eines Kräftepaars

Haben zwei Kräfte die gleiche Größe, entgegengesetzte Richtungen und verschie-dene Wirkungslinien, so spricht man von einem Kräftepaar (s. Abb. 2.10). EinKräftepaar hat um jeden beliebigen Punkt in der von den beiden Kraftvektorendefinierten Ebene das gleiche Moment. Auf den allgemeinen drei-dimensionalFall übertragen bedeutet dies, dass man einen Momentenvektor beliebig verschie-ben kann.

Abb. 2.10 Moment eines Kräftepaars

Wie man in Abb. 2.11 sieht, kann man sich eine nicht im Punkt o wirkende Kraftauch als eine im Punkt o wirkende Kraft und einen Momentenvektor vorstellen.

P1 P2

P3

l1

l2

l3

Mo ΣMo P= 1l1 P2l2 P3l3–+=Mo

o1

o2l2

l1

l

M

M

M P l1 l+( ) Pl1– Pl= =

Moment um o1:

Moment um o2:M P l2 l+( ) Pl2– Pl= =

P

P



2-8

Gleichgewicht

Abb. 2.11 Ersatzsystem für ein Kräftesystem im Raum

2.2 Gleichgewicht

In der Statik betrachten wir nur Kraftsysteme die im Gleichgewicht sind, daherwird das Konzept des Gleichgewichts hier näher erläutert.

2.2.1 Gleichgewicht eines Punktes

Ein Punkt mit der Masse m an dem Kräfte angreifen wird in eine bestimmte Rich-tung beschleunigt. Bei einem System ist der Richtungsvektor der Beschleunigungin der Ebene durch zwei, im Raum durch drei Komponenten definiert.

Der Punkt hat somit zwei bzw. drei Freiheitsgrade. Wenn die vektorielle Summealler am Punkt angreifenden Kraftgrößen (resultierende Kraftgrösse) verschwin-det ist die Beschleunigung des Punktes Null, d.h. der Punkt befindet sich imGleichgewicht.

Der rechnerische Nachweis für Gleichgewicht eines Punktes in der Ebene ist:

r

P

o

x

yz

M

αl

PP

P

P

P

P

l

M Pl=

= =

RPxi

Pyi

∑0

0= =


Mechanische GrundlagenGleichgewicht

Für die Bestimmung des Gleichgewichts in der Ebene stehen zwei Gleichungenzur Verfügung. Zeichnerisch bedeutet das Gleichgewicht, dass sich das Kraftpoly-gon schließt (Abb. 2.12).

Abb. 2.12 An einem Punkt angreifende ebene Kräfte im Gleichgewicht

Der rechnerische Nachweis für Gleichgewicht eines Punktes im Raum ist:

Für die Bestimmung des Gleichgewichts im Raum stehen drei Gleichungen zurVerfügung.

2.2.1.1 Alternative Gleichgewichtsbedingung - Prinzip der Virtuellen Arbeiten

Eine alternative Möglichkeit Gleichgewichtsbedingungen zu formulieren ist dasPrinzip der virtuellen Arbeiten. Das Prinzip besagt, dass, wenn ein im Gleichge-wicht befindlicher Punkt um einen virtuellen (gedachten) Betrag verschoben wird,die Summe aller virtuellen Arbeiten, die von den am Punkt angreifenden Kräftengeleistet werden, verschwinden muss. Die virtuellen Verschiebungen könnenbeliebig angenommen werden und haben keine Dimension. Da hier die Annahmekleiner Verformungen gilt, werden virtuelle Verschiebungen auch als unendlichklein angenommen.

Die Arbeit einer Kraft ist das Skalarprodukt des Kraftvektors und des Verfor-mungsvektors. Verschiebt man einen wie in Abb. 2.13 einen belasteten Punkt umeine virtuelle Verschiebung , so ergibt sich:

oder in Skalarschreibweise:

P1 P2P1

P2P3

R P1 P2 P3+ + 0= =

Graphische Darstellung

R

Pxi

Pyi

Pzi

∑0

0

0

= =

δu

W P1 δu• P2 δu• P3 δu•+ + P1 P2 P3+ +( ) δu• 0= = =

W P1x P2x P3x+ +( ) δux P1y P2y P3y+ +( ) δuy⋅+⋅ 0= =



2-10

Gleichgewicht

Nachdem bei einem System im Gleichgewicht der Klammerausdruck verschwin-den muss, ergibt sich W=0.

Abb. 2.13 Nachweis des Gleichgewichts mit Hilfe einer virtuellen Verschiebung

2.2.2 Gleichgewicht eines belasteten starren Körpers in der Ebene

Im Gegensatz zu Punkten kommt bei starren Körpern zusätzlich zur Tanslationsbe-wegung noch ein zusätzlicher Freiheitsgrad, die Rotation, dazu, d.h. starre Körperhaben in der Ebene 3 Freiheitsgrade.

Ein starrer ebener Körper, an dem Kräfte angreifen, ist im Gleichgewicht, wennsowohl die Resultierende dieser Kräfte als auch das Moment, das durch dieseKräfte verursacht wird, um jeden beliebigen Punkt o verschwindet.

Für die Bestimmung des Gleichgewichts in der Ebene stehen drei Gleichungen zurVerfügung. In Abbildung 2.14 wird gezeigt, dass es verschiedene Möglichkeitengibt, die Gleichgewichtsbedingungen zu formulieren, d.h. man kann die Momen-tengleichung auch mehrmals anwenden. Allerdings muß man in der Wahl derPunkte, um die das Moment berechnet wird, aufpassen, da zwei Gleichungenlinear abhängig werden können.

P1 P2

P3P3

δu

RPxi

Pyi

∑0

0 , Mo∑ 0= = =

10 kN

C

A B

Pxi∑ 0 ; C 0==

Pyi∑ 0 ; A+B 10 0=–=

Mo∑ 0 ; B L 10 L 2⁄⋅–⋅ 0= =

(1)

(2)

(3)L/2 L/2

L

o



Abb. 2.14 Verschiedene Möglichkeiten, Gleichgewichtsbedingungen eines starren Körpers in der Ebene aufzustellen

2.2.2.1 Nachweis des Gleichgewichts mit Hilfe der virtuellen Arbeit

Der Nachweis kann auch mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit erfolgen. Dieswird in Abb. 2.15 gezeigt. Um die Auflagerkraft B zu errechnen wird der Punkt Bum 1 gesgenkt. Die geleistete virtuelle Arbeit ist:

Die Gleichgewichtsgleichung ergibt sich als:

Mit B= 5 kN ergibt sich derselbe Wert, der vorher errechnet wurde.

10 kN

C

A B

Pxi∑ 0 ; C 0==

Mo1∑ 0 ; A L 10 L 2⁄⋅–⋅ 0= =

Mo2∑ 0 ; B L 10 L 2⁄⋅–⋅ 0= =

(1)

(2)

(3)L/2 L/2

L

10 kN

C

A B

L/2 L/2

L

o2 o1 Achtung: o1 und o2 darf nicht senkrecht zur x-Achse sein!

o2 o1

o3

Mo3∑ 0 ; BL2--- A

L2---– Ch+⋅ 0= =

Mo1∑ 0 ; A L 10 L 2⁄⋅–⋅ 0= =

Mo2∑ 0 ; B L 10 L 2⁄⋅–⋅ 0= =

(1)

(2)

(3)

Achtung: o1,o2 und o3 dürfen nicht auf einer Gerade liegen!

h

Ergebnis: A= 5 kN, B= 5 kN, C= 0

W B δuBy 10 δuy⋅+⋅–=

W B 1 1012---⋅+⋅– 0= =



2-12

Gleichgewicht

Abb. 2.15 Nachweis des Gleichgewichts mit Hilfe der virtuellen Arbeiten

2.2.3 Gleichgewicht eines räumlichen Systems

Ein räumliches System hat sechs Freiheitsgrade, also sechs Möglichkeiten sich zubewegen: Translationen in x-, y- und z-Richtung und Rotationen um die x-, y- undz-Achse. Daher gibt es für einen räumlichen Körper auch sechs Gleichgewichtsbe-dingungen:

Abb. 2.16 Gleichgewichtsbedingungen im Raum

10 kN

C

A B

L/2 L/2

L

10 kN

A B

L/2 L/2

L

C

δuBy 1=

δuy12---=

R

Pxi

Pyi

Pzi

∑0

0

0

, Mo

Mxi

Myi

Mzio

∑0

0

0

= == =



Beispiel:

Gegeben ist ein System im Gleichgewicht mit der Belastung 10 kN, gesucht wer-den die Kräfte A,B,C,D,E,F

A

B

CD

E F

10 KN

LL/2

L/2

Pxi∑ 0=(1) D E+ 0=

Pyi∑ 0=(2) F 0=

x

yz

Pzi∑ 0=(3) A B C 10–+ + 0=

Maa∑ 0=(4) 10 L B L⋅–⋅ 0=

a

a

b

b

Mbb∑ 0=(5) C L 10L2---⋅–⋅ 0=

Mcc∑ 0=(6) E L⋅ 0=

c

c

Ergebnis: A= -5 kN, B= 10 kN, C= 5kN, D= 0 kN, E= 0 kN, F= 0 kN



2-14

Gleichgewicht


3 Idealisierungen in der Baustatik

ModellbildungTragwerksgeometrie, Auflager und Verbindungen

Einwirkungen

3.1 Modellbildung

Die Aufgabe des Statikers ist es, die Tragwirkung einer Konstruktion sowie die,das Bauwerk beanspruchenden Einwirkungen (Lasten), möglichst wirklichkeits-nahe zu erfassen. Im Allgemeinen sind Tragwerke jedoch komplexe dreidimensio-nale Gebilde. Um diese komplexe Aufgabe rechnerisch bewältigen zu können, istes vielfach notwendig, das Bauwerk und die Belastung stark zu vereinfachen. Esmuss ein System gefunden werden, das einerseits das Tragverhalten befriedigendbeschreibt und das andererseits einen vertretbaren Aufwand erfordert. Die Verein-fachung des Systems um den Aufwand zu minimieren lässt sich unter dem BegriffModellbildung zusammenfassen.

Als nur der Rechenschieber als einziges Hilfsmittel zur Verfügung stand, war eineeffiziente Modellbildung unabdingbar, da nur durch eine sehr effiziente Modellbil-dung eine Rechnung überhaupt möglich war. Mit der Verfügbarkeit von Rechen-programmen, die komplexe 3-D Systeme in Sekundenschnelle rechnen können, istdie Notwendigkeit einer effizienten Modellbildung nicht mehr in dem Ausmaßgegeben. Modellbildung ist aber trotzdem von sehr großer Wichtigkeit. Sehr oftwird das Tragwerk „zu Tode gerechnet“ d.h. der betriebene Aufwand steht in kei-nem Verhältnis zu der Qualität der Ergebnisse.

Für die Beschreibung eines Tragwerkes ist folgende Information notwendig:

Geometrische Form

Übergangsbedingungen zwischen Tragwerksteilen (Gelenke etc.)

Material

Im folgenden wird zunächst näher auf die Beschreibung der geometrischen Formeingegangen.



3-2

Prinzipielles Vorgehen

3.2 Prinzipielles Vorgehen

Das wirkliche Tragwerk muss in ein Gedankenmodell überführt werden mit demsein mechanisches Verhalten simuliert (berechnet) werden kann. Für die Berech-nung ist es notwendig ein (numerisches) Berechnungsmodell zu erstellen welchesaus Eingabedaten für Computerprogramme besteht. Das Konzept soll hier an Handdes Towers Flughafen Wien (derzeit der größte in Europa) erklärt werden. Voneinem dreidimensionalen „Prototyp“ augegehend identifizieren wir zunächst dasmechanische Modell. Dies besteht aus flächenförmigen und linienförmigen Trag-werksteilen. Beim Übergang vom mechanischen Modell in das Berechnungsmo-dell muss man überelegen ob die flächenhaften Elemente eine wesentlicheTragwirkung haben. Im speziellen Fall wurde entschieden, das Berechnungsmo-dell nur mit linienhaften Tragwerksteilen zu modellieren.

Abb. 3.1 Die zwei Stufen der Modellbildung an Hand eines Beispiels (Tower Floghafen Wien, Ingenieurbüro Lorenz)

Das Beispiel soll zeigen, dass für die Betrachtung des gesamten Tragwerks linien-hafte und flächenhafte Tragwerksteile indentifiziert werden. Ein wichtiger Aspektder Erstellung eines Berechnungsmodells ist die Identifizierung von Tragwerkstei-len (dies ist auch unter dem Terminus Diskretisierung bekannt).

3.2.1 Diskretisierung

Die diskrete Beschreibung eines Tragwerks ist die Grundvoraussetzung für dienumerische Berechnung. Dabei wird das Tragwerk in einfachere Teile zerlegt. Für

WirklichkeitMechanisches ModellNumerisches Modell


Idealisierungen in der BaustatikPrinzipielles Vorgehen

flächenhafte Teile sind das die Finitene Elemente, für linienhafte Teile Stabele-mente. Beispiele für eine Diskretisierung sind in Abb. 3.2 dargestellt.

Abb. 3.2 Diskretisierung von Tragwerken

Der Vorteil einer Diskretisierung ist dass die einzelnen Stäbe zuerst getrennt von-einander betrachtet werden können und dann mit Hilfe der Übergangsbedingungenzu einem Gesamttragwerk zusammengesetzt (assembliert) werden können.

3.2.2 Lokale Effekte

Für die effziente Modellbildung ist es überaus wichtig dass man für die Betrach-tung des Gesamttragwerks lokale Effekte, d.h. Effekte welche einen sehr begrenz-

Rahmen Bogen (Näherung durch gerade Stabelemente)

Trägerrost

Knoten (starre Verbindung

Momentengelenk (gelenkige zwischen den Elementen)

Stabele

ment

Verbindung zwischen den Elementen)

FinitesElement

Scheibe



3-4

Prinzipielles Vorgehen

ten Einfluss auf des Gesamttragwerk haben, nicht berücksichtigt. Dies sei hier anzwei einfachen Beispielen erklärt. Belastet man einen Kragträger mit einer gleich-mäßig verteilten Belastung oder einer Einzellast, so ist für den überwiegendenGroßteil des Tragwerks kein Unterschied zu sehen, solange die Resultierende derverteilten Belastung der Einzellast entspricht (Abb. 3.3). Das heißt, dass der Ein-fluss sich auf einen kleinen Bereich beschränkt. Dies ist auch unter der Bezeich-nung Krafteinleitungsproblem bekannt und nicht vernachlässigbar jedoch für dasGesamttragwerk von untergeordneter Bedeutung. Krafteinleitungsprobleme kannman am effizientesten durch Detailstudien, wo nur der Bereich der Lasteinleitungbetrachtet wird, lösen.

Abb. 3.3 Einfluss einer konzentrierten Einzellast auf die Spannungsverteilung im Kragträger (gezeigt werden Kontouren der horizontalen Spannung)

Dieses Prinzip ist auch auf Auflager anwendbar. In Abb. 3.4 wird gezeigt, dass dieLage der Auflager für die Biegebeanspruchung des Einfeldträgers einen vernach-lässigbaren Einfluss hat.

Abb. 3.4 Einfluss der Position des Auflagers auf die Spannungsverteilung eines Einfeldträgers (gezeigt werden die Kontourlinien der horiz. Spannung)

Dies wurde übrigens schon 1855 von Saint Vennant erkannt und ist als das Prinzipvon St. Vennant bekannt welches lautet:

qh

P=qh


Idealisierungen in der BaustatikTragwerkselemente

„Zwei verschiedene Verteilungen einer Last, die auf dieselbe Stelle eines Körpers wirken,haben grundsätzlich dieselbe Auswirkung auf jene Teile des Körpers, die genügend weitweg von der Laststelle sind vorausgesetzt die angreifenden Lasten haben die gleicheResultierende“.

Das Prinzip von Saint Venant ist Voraussetzung für die Dimensionsreduktion derGeometrie und für die Idealisierung von Belastungen in Einzellasten.

3.3 Tragwerkselemente

3.3.1 Flächentragwerke

Als Flächentragwerke bezeichnet man Tragwerke oder Tragwerksteile, derenDicke t klein im Verhältnis zu den Längenabmessungen ist. Flächentragwerkekann man wie folgt unterteilen:

Schalen (räumlich gekrümmt)

Platten (eben mit Belastung normal zur Ebene)

Scheiben (eben mit Belastung in der Ebene)

Faltwerke (aus ebenen Teilen bestehend).

Bei diesen Tragwerken können wegen der geringen Dicke vereinfachte Annahmenin der Dickenrichtung angenommen werden. Dadurch kann, statt mit einem drei-dimensionalen Kontinuum das Tragwerk mit Flächen beschrieben werden(Dimensionsreduktion).

Abb. 3.5 Dimensionsreduktion bei Schalentragwerk

Platten und Schalen

In der Kirchhoff’sche und Mindlin’schen Plattentheorie wird angenommen dassQuerschnitte auch nach der Verformung eben bleiben. In der Kirchhoff’sche Plat-tentheorie wird zusätzlich angenommen dass Querschnitte immer normal zur Mit-telfläche stehen. Flächentragwerke können praktisch nur mit numerischeMethoden wie z.B. der Methode der Finiten Elemente berechnet werden. Als Bei-spiel sei hier die Modellbildung für ein Hyparschale, wo ein Schalenmodellgewählt wurde, gezeigt (Abb. 3.6).

Kirchhof

oder Mindlin



3-6

Tragwerkselemente

Scheiben und Faltwerke

Bei Scheiben und Faltwerken wird der Dehnungsverlauf über die Dicke konstantangenommen. Als Beispiel sie hier das Computermodell für das Bauwerk „OceansEnd“ in Hamburg, wo ein Faltwerkmodell gewählt wurde, gezeigt (Abb. 3.7).

Abb. 3.6 Modellbildung einer Hyparschale

Abb. 3.7 FE Modell Bürogebäude Oceans End (aus Baustatik-Baupraxis 9)

Wirklichkeit

Computermodell (mit Kontourliniender z-Verformung)

Architektonisches

Numerisches Modell

CAD Modell


Idealisierungen in der BaustatikTragwerkselemente

3.3.2 Stabtragwerke

Bei Stabtragwerken ist die Dicke und Breite klein im Verhältnis zur Länge sind.Hier kann die Dimension weiter reduziert und Linien verwendet werden. Voraus-setzung dafür ist die Annahme, dass ebene Querschnitte auch nach der Verformungeben bleiben. Die zugehörigen Theorien sind die von Euler-Bernoulli (Quer-schnitte bleiben normal zur Achse) und Timoshenko. Hier findet eine Reduktionder Dimension von 3-D auf 1-D statt.

Abb. 3.8 Dimensionsreduktion bei einem 3-D Stabelement

Bei der Darstellung des Stabelements als Linie geht zunächst die Information überden Querschnitt verloren, wird jedoch durch die Querschnittswerte (Fläche, Träg-heitsmoment, Drillsteifigkeit, siehe später) ersetzt. Eine weitere Reduktion desBerechnungsaufwands erreicht man indem man annimmt, dass das Stabelement ineiner Ebene liegt und Belastungen nur in dieser Ebene aufgebracht werden (sieheAbb. 3.9).

Abb. 3.9 2-D Stabelement

x

y

zz

x

y

Euler-Bernoulli

Timoshenko

x

y

zz

x

Euler-Bernoulli

Timoshenko



3-8

Auflager

3.4 Auflager

Tragwerke sind über Widerlager und Fundamente auf dem Boden aufgelagert.Dabei wirkt das Tragwerk mit der Auflagerkraft über das Widerlager bzw. Funda-ment auf den Boden. Die konstruktive Ausbildung der Auflager bestimmt, welcheWeggrößen (Verschiebungen, Verdrehungen) gesperrt werden und somit welcheAuflagerkräfte aktiviert werden. Auch hier findet eine Idealisierung statt: In Wirk-lichkeit sind die Weggrößen nicht exakt gesperrt, da der Boden eine gewisse Nach-giebigkeit aufweist. Um diese Nachgiebigkeit zu modellieren können Weg undVerdrehungsfedern verwendet werden (Abb. 3.10).

Abb. 3.10 Idealisierung eines Auflagers für ein 2-D System

Allerdings ist es nicht sehr leicht den Federn entspechenden Steifigkeiten zuzuord-nen daher wird im allgemeinen angenommen dass gewisse Auflagerbewegungengänzlich unterbunden sind. Der Einfluss, den die Steifigkeit einer Drehfeder aufdie Ergebnisse hat ist an Hand eines Rahmentragwerkes in Abb. 3.11 darge-stellt.Hier wird die Steifigkeit der Drehfeder beider Auflager variiert und der Ein-fluss auf die Biegelinie beobachtet. Die Auswirkung der Drehfeder hängt vomVerhältnis der Verdrehsteifigkeit des Tragwerks zu jener der Drehfeder ab.

Abb. 3.11 Einfluss der Verdrehsteifigkeit der Auflager für einen ebenen Rahmen

Drehfeder: kd (kNm/rad)Wegfeder: kx (kN/mm)

Wegfeder: ky (kN/mm)

kd= 0 (Gelenk)

kd= 1000 kNm/rad kd= ∞ Starr( )


Idealisierungen in der BaustatikAuflager

Man sieht dass der Einfluss der Verdrehsteifigkeit nicht vernachlässigbar ist unddaher bei Annahme eines starren Auflagers in der konstruktiven Ausbildungbedacht genommen werden muss, eine große Verdrehsteifigkeit zu gewährleisten.Andererseits ist bei gelenkigen Auflagern zu berücksichtigen, dass Reibungskräfteauftreten und eine vollkommen kraftfreie Verschiebung/Verdrehung nicht stattfin-det. Aus den Ergebnissen in Abb. 3.11 sieht man jedoch dass hier eine geringe Ver-drehsteifigkeit keine große Auswirkung hat.

Bei Bauwerken - insbesondere Brücken - müssen bewegliche Auflager vorgesehenwerden um Spannungen aus Temperaturänderung zu vermeiden. In AbbildungAbb. 3.12 wird der Einfluss der Lagerung auf die Normalkraft in einem Einfeldträ-ger gezeigt. Auch hier ist das Verhältnis von Lagersteifigkeit zur Stabsteifigkeitvon Bedeutung (in Abb. 3.12. entspricht ein kw =10 kN/mm einem Verhältnis von0.032). Es zeigt sich dass eine im Verhältnis zur Stabsteifigkeit geringe Steifigkeitdes Auflagers einen geringen Einfluss auf die Normalkraft hat.

Abb. 3.12 Einfluss der Lagersteifigkeit auf die Normalkraft eines Einfeldträger

Bei der konstruktiven Ausführung der Lager ist zu beachten, dass genügend großeVerschiebungswerte möglich sind. So ist bei einer Hängebrücke mit einer Spann-weite von 2000 m mit einer Lagerverschiebung aus einer Temperaturerhöhung von30 Grad von (!) zu rechnen. Im folgendenwerden die in der Baustatik gebräuchlichen Symbole, die Bewegungsmöglichkeitdes Auflagers (Freiheitsgrade) sowie die entstehenden Auflagerkräfte gezeigt.Auflagerkräfte entstehen in Richtungen in denen die Bewegungsmöglichkeitgesperrt ist.

kw= 0

kw= 10 kN/mm

kw ∞=

N

N

kw 0=

T αT L⋅ ⋅ 30 10 5– 2000⋅ ⋅ 0 6 m,= =



3-10

Auflager

3.4.1 Auflager für ebene Systeme

3.4.1.1 Verschiebliches Gelenkauflager

Beim verschieblichen, gelenkigen Auflager ist nur die Verschiebung in eine Rich-tung gesperrt. Bei der konstruktiven Ausbildung als Rollenlager werden keineKräfte in horizontaler Richtung mobilisiert. Das Neoprenlager hingegen weist eineSteifigkeit aus, bei der Ausführung als Neoprenlager entstehen daher zwar zusätz-liche Auflagerkräfte aber diese werden hier vernachlässigt

Abb. 3.13 Beispiel für ein (horizontal) verschiebliches Auflager

3.4.1.2 Unverschiebliches Gelenkauflager

Bei einem unverschieblichen (gelenkigen) Auflager sind die Verschiebungengesperrt und nur die Verdrehung frei.

Abb. 3.14 Unverschiebliches Auflager mit Gelenk.

konstruktive AusführungenSymbol

Rollenlager

Neoprenlager



Idealisierungen in der BaustatikAuflager

3.4.1.3 Eingespanntes Auflager

Bei einem eingespannten Auflager sind sowohl alle Verschiebungen als auch dieVerdrehung gesperrt. Wie schon erwähnt ist exakte Einspannung ist praktisch nichtdurführbar, da das Fundament und der Boden wo das Tragwerk aufgelagert ist einegewisse Nachgiebigkeit hat.

Abb. 3.15 Eingespanntes Auflager

3.4.1.4 Allgemein verwendete Symbole

Abb. 3.16 Ebene Stützung: Symbole, Freiheitsgrade und Auflagerkräfte

3.4.2 Auflager für 3-D Systeme

Für dreidimensionale Systeme ist die Beschreibung der Auflagersymbole komple-xer, da bis zu sechs Freiheitsgrade gesperrt werden können. Abb. 3.10 zeigt einigegebräuchliche Symbole.


verwendeteSymbole

Auflager-kräfte

Freiheits-grade keine



3-12

Verbindungen

Abb. 3.17 Räumliche Stützung: Symbole und Auflagerkräfte

3.5 Verbindungen

Tragwerke kann man sich aus mehreren Tragwerksteilen zusammengesetzt den-ken, die miteinander verbunden sind. Dabei werden je nach der konstruktiven Aus-bildung dieser Verbindungen Kräfte übertragen. Je nachdem welche Kraftgrößenvon einem Tragwerksteil zum nächsten übertragen werden können, unterscheidetman verschiedene Gelenkstypen. Abb. 3.11 enthält eine Auflistung der gebräuch-lichsten Gelenke und ihrer Darstellungsart in statischen Systemen.

Abb. 3.18 Gelenkstypen, Symbole und Zwischenreaktionskräfte

Lager GelenkstabÄquivalent

Auflagerkraft-größen

y’

x’

z’Fz’

y’

x’

z’Fy’

Fx’

Fz’

y’

x’

z’ FzFy’

Fx’ Mx’

My’My’

y’

x’

z’

Mx’

FzFy’

Fx’

Symbol

Zwischen-reaktions-kräfte

fester Anschluss Biegemomenten-Gelenk

Längskraft-Gelenk

Querkraft-Gelenk

M=0 N=0 Q=0


Idealisierungen in der BaustatikAnnahmen der linearen Stabstatik

Abb. 3.19zeigt die konstruktive Ausbildung eines Momentengelenks im konstruk-tiven Holzbau.

Abb. 3.19 Beispiel für die konstruktive Ausführung eines Momentengelenks im Holzbau

3.6 Annahmen der linearen Stabstatik

Im folgenden werden die vereinfachte Annahmen für Stabtragwerke betrachtet

3.6.1 Grundsätzliche Annahmen

Wir beschäftigen uns hier nur mit der linearen Statik, d.h. dass es eine (eindeutige)lineare Beziehung zwischen Belastung und Verformung gibt.

Abb. 3.20 Last-Verformungsdiagramm eines Tragwerks

w

PP

w



3-14

Annahmen der linearen Stabstatik

Stat

Dies bedeutet dass das Last-Verformungsdiagramm linear ist d.h. wenn die Lastenum einen Faktor vergrößert werden auch die Verformungen um den selben Fak-tor zunehmen (Abb. 3.20). In der linearen Statik ist die Reihenfolge in der dieLasten auf das Tragwerk aufgebracht werden nicht von Bedeutung. Dadurch ist dasPrinzip der Superposition anwendbar, d.h. man kann Einflüsse getrennt betrachtenund die Auswirkungen (Verformungen, Schnittkräfte) aufsummieren.

Die Voraussetzungen für lineare Statik sind:

Linearität des Materialverhaltens (Hooke’sches Gesetz)

Verformungen werden in den Gleichgewichtsüberlegungen nicht berücksichtigtund werden als klein angenommen (siehe Kinematik)

Das System und die Randbedingungen ändern sich während der Belastung nicht(Bauzustände, Kontaktprobleme...)

Außerdem werden für die geometrischen Beschreibungen die Verdrehungen alsklein angenommen:

3.6.2 Beanspruchung

Bei Stäben kann man die Beanspruchung wie folgt in drei Teile tennen:

Dehnung

Biegung und Schub

Drillung

Die Beanspruchungen sind in Abb. 3.21 dargestellt.

λ

+ =

α

αsin αtan α , α 1≈cos≈ ≈

a

bWirklichkeit Näherung

Beispiel: a=1 m, b=1 mm, αtan 0 001 , α, 0 001001rad,= =

ik der Tragwerke


Abb. 3.21 Beanspruchungen eines Stabes

3.6.3 Dehnung

Hier wird angenommen, Querschnitte nach der Verformung parallel zueineinderstehen. Bezeichnet man die Längsverschiebung als - wobei die Koordinatein Richtung der Stabes ist - so ist Dehnung

konstant über den Querschnitt. Aus dem Hook’schen Gesetz ergibt sich für eineneindimensionalen Spannungszustand (Annahme dass die Spannung quer zur Sta-bachse null ist)

somit auch ein konstanter Verlauf über den Querschnitt. Integriert man die Span-nungen über den Querschnitt so ergibt sich die Resultierende als:

Diese ist auch als innere Normalkraft bzw. Schnittkraft N bekannt.

3.6.4 Ebene Biegung und Schub

Der Verlauf der Spannungen im Querschnitt des Biegeträgers gab in der Antike einRätsel auf, das erst 1687 gelöst wurde.Unter anderem beschäftigten sich Galileound Leibnitz mit diesem Problem. Der Schlüssel zur richtigen Lösung des Pro-blems war das Hooke’sche Gesetz (1678), das eine Beziehung zwischen Spannungund Dehnung herstellte. In seinen Lectures de potentia restituiva wird zum erstenMal das Konzept der Dehnung und Stauchung von Kennfasern bei Biegung

Dehnung Biegung & Schub Drillung

u x'( ) x'

εx'd

du=

σ E ε Ex'd

du⋅=⋅=

N A σ⋅=



3-16


erkannt (Abb. 3.22). Daraufhin entwickelten sich zwei Hypothesen für die Balken-biegung: Euler-Bernoulli und Timoshenko.

Abb. 3.22 Hookes Gedanken über die Balkenbiegung

3.6.4.1 Die Euler- Bernoulli Hypothese

Die Normalhypothese wurde 1687 von Jakob Bernoulli in handschriftlichen Auf-zeichnungen veröffentlicht. Diese Hypothese besagt, dass ebene Querschnitte, dienormal zur Stabachse sind, auch nach der Verformung eben und normal auf dieStabachse bleiben. Hier soll an einem einfachen, ebenen Beispiel gezeigt werden,dass diese Hypothese es uns erlaubt, den Stab durch eine Linie, welche dieSchwerpunkte der Querschnitte verbindet, zu ersetzen.

Dehnungen aus Biegung

Im folgenden wird angenommen, dass der Stab nicht in Längsrichtung belastet ist,d.h. dass nur Beanspruchung aus Biegung auftreten. Abb. 3.23 zeigt einen Stab inder unverformten und verformten Lage. Betrachtet man zwei gerade Linien miteinem Abstand dx, die normal zur Stabachse stehen, so sieht man, dass diese auchnach der Verformung gerade und normal zur Stabachse bleiben und dass die Faserunter der Systemachse gedehnt, die Faser oberhalb gestaucht wird. In Abb. 3.24sind beide Linien noch einmal größer augetragen, um zu zeigen wie man aus denVerdrehungen der Linien (bzw. der Neigung der Tangente zur Bieglinie) die Ver-längerung einer Faser und daraus auch die Dehnung einer Faser mit dem Abstand zberechnen kann.



Abb. 3.23 Verformter Kragträger mit Annahme von Bernoulli

Abb. 3.24 Geometrische Beziehungen zur Berechnung der Verlängerung einer Faser

Die Verlängerung einer Faser mit dem Abstand z zur Achse ist

die Dehnung der Faser ist:

Der Verlauf der Dehnung ist daher linear in Richtung z. Aus dem Hook’schenGesetz ergibt sich

x'

dx'z' w,

w– 'w– ' z'⋅ w'

xdd w' dx'⋅+

⎝ ⎠⎛ ⎞–

w' w'' dx'⋅+( )– z'⋅

dx'

z'

du w' z' w' w'' dx'⋅+( )– z'⋅ ⋅ w'' z' dx'⋅ ⋅–= =

εx'd

du= w'' z'⋅–=

σ z( ) E ε Ex'd

du⋅=⋅= E w'' z'⋅ ⋅– E κ z'⋅ ⋅= =



3-18


somit auch ein linearer Verlauf über den Querschnitt(Abb. 3.25). Hier wurde (Krümmung) für die zweite Ableitung von w eingesetzt. Integriert man die Span-nungen mal Hebelsarm über den Querschnitt so ergibt sich das resultierendeMoment als:

Diese ist auch als inneres Moment bzw. Schnittkraft M bekannt.

Abb. 3.25 Spannungsverlauf im Querschnitt aus Biegung

Wird als Bezugsachse die Schwerachse (Linie welche die Schwerpunkte der Quer-schnitte verbindet) angenommen so entsteht aus einer reinen Momentenbelastungkeine resultierende Normalkraft, da das Integral (statische Moment) verschwindet

Die Schwerachse nenn man auch neutrale Achse, da bei einer reinen Momenten-belastung die Spannungen dort null sind. Die Konsequenz der Bernoulli Hypotheseist dass allein aus der Betrachtung der verformten neutralen Achse (Biegelinie)Rückschlüsse auf den Spannungsverlauf im Querschnitt, bzw. auf die innerenKraftgrößen gezogen werden kann.

Schubspannungen aus Biegung

Die eben gezeigte Berechnung der Biegespannung aus der Krümmung ist nur gül-tig, wenn zwischen den einzelnen Fasern keine Relativverschiebung (Schlupf) ent-steht. Dies kann man am besten an Hand eines aus zwei Brettern bestehendenHolzträgers erklären. Sind die einzelnen Bretter nicht miteinander verdübelt, dannist der Träger viel weniger steif als mit einer Verdübelung. Die Kräfte in denDübeln stellen die im Träger wirkenden Schubkräfte dar. Die Schubkraft kann ausdem Gleichgewicht eines abgeschnittenen Teils ermittelt werden und wird hier füreinen Rechteckquerschnitt gezeigt (Abb. 3.27)

κ

M σ z'⋅( ) z'd∫= E κ z'2 zd∫⋅ ⋅ E I κ⋅ ⋅= =

Schwerachse

N σ z'd∫ E κ z' z'd∫⋅ 0= = =



Abb. 3.26 Vergleich der Verformungen eines Holzträgers ohne und mit Verdübelung

Abb. 3.27 Bestimmung der Schubspannungeverteilung über den Querschnitt

Die aus den Normalspannungen resultierenden Kräfte sind:

Die Schubkraft errechnet sich aus der Bedingung für horizontales Gleichgewicht:

dx

τ

b

zh/2

σxd

dσdx+σ

T

R1 R2

R1 σb z , R2 σxd

dσdx+

⎝ ⎠⎛ ⎞ b zd

h 2⁄

z

∫=dh 2⁄

z

∫=

T R1 R2–xd

dσdx

⎝ ⎠⎛ ⎞ b zd

h 2⁄

z

∫= =



3-20


Daraus kann man eine gleichmäßig verteilte Schubspannung berechnen:

Schubspannungen entstehen nur wenn sich die Normalspannungen in Stabrichtungändern ( ). Für den Verlauf der Schubspannungen über den Querschnittin der z-Richtung ergibt sich

was einem parabolischem Verlauf entspricht. Die Schubspannungen sind eigent-lich über das Hooke’sche Gesetz mit Verzerrungen verbunden (G ist derSchubmodul), diese werden jedoch in der Euler-Bernoulli Hypothese nicht berück-sichtigt.

3.6.4.2 Biegethoerie nach Timoshenko

Bei der Biegetheorie nach Timoshenko werden Schubverzerrungen berücksichtigtallerdings werden diese über den Querschnitt als konstant angenommen. Die geo-metrischen Verhältnisse bei dieser Annahme werden in Abb. 3.28 gezeigt.

Abb. 3.28 Annahme der Theorie nach Timoshenko

Die Schubverzerrung wird mit einem Mittelwert der Schubspannung errechnet.

τ1b---

xddσ

b zdh 2⁄

z

∫⋅=

dσ dx⁄ 0≠

τ E w''' z⋅ ⋅( ) zd⋅h 2⁄

z

∫ E w'''⋅ z zd⋅h 2⁄

z

∫= =

γ G τ⋅=

w– 'γ

z'

γ



3.6.4.3 Richtigkeit der vereinfachten Annahmen nach Bernoulli.

Hier wird an Hand von einem Beispiel die Richtigkeit der eben besprochenen ver-einfachten Annahmen nach Bernoulli überprüft.

Abb. 3.29 Spannungeverläufe bei einem Einfeldträger mit verschiedenen Verhältnissen h/L

L

h

p=1

σB6 L2⋅

8 h2⋅-------------±=

Max. Spannung,nach Bernoulli:

σB 12 0,=

h/L= 0,25

σB 3 0,=h/L= 0,5

σB 0 75,=

h/L= 1,0

max. Fehler= 5%

max. Fehler= 175%

max. Fehler= 0,5%



3-22


Bei einem Einfeldträger mit einer Breite b=1, Höhe h und Länge L wird in Abb.3.29 die Bernoulli Balkentheorie mit der Kontinuumslösung (Ergenisse von Simu-lationen mit der Methode der Finiten Elemente) überprüft. Man sieht dass abeinem Verhältnis h/L= 0,25 der Fehler stark zunimmt. Bei größeren Werten h/L istalso die Balkenbiegetheorie nicht mehr anwendbar und die Tragwerke sind alsScheiben zu betrachten.

3.6.4.4 Annahme eines ebenen Spannungszustandes

Bei ebenen Stabtragwerken wird angenommen dass der Verlauf der Normalspan-nungen in Richtung aus der Ebene konstant ist. In Abb. 3.30 wird an einem Bei-spiel gezeigt dass dies für Querschnitte mit breiten Flanschen eher nicht zutrifft.

Abb. 3.30 Verlauf der Normalspannungen bei breitflanschigen Querschnitt

3.6.5 Räumliche Biegung Schub

Bei räumlicher Biegung wird der Stab nicht nur in der Ebene belastet daher ist dieAnnahme eines konstanten Spannungsverlaufs in der Richtung aus der Stabebenenicht mehr zulässig. Grundsätzlich kann man eine beliebige Belastung quer zurStabachse in zwei orthogonale Belastungen zerlegen (Abb. 3.31).

Abb. 3.31 3-D Stabelement mit Belastung

x'

z'

ebener Spannungszustand

wirklicher Verlauf

x'

y'

z'



Für das Folgende ist es von Vorteil wenn für die Stabachsen und die Haupt-achsen des Querschnitts gewählt werden. Werden die Trägheitsmomente um dieseAchsen mit und und die Momente mit und bezeichnet so ergibtsich für die Spannungen aus Belastung in Richtung mit:

aus Belastung in Richtung mit

wobei und die Krümmungen um die und Achse sind.

Die Biegemomente sind

und

3.6.6 Drillung

Bei räumlichen Stäben kommt als zusätzliche Beanspruchung die Verdrillung desQuerschnitts (Torsion) hinzu. Bei reiner (St. Venant’schen) Torsion treten aus die-ser Beanspruchung nur Schubspannungen auf.

Abb. 3.32 Verdrillung eines Kreisquerschnitts

y' z'

Iy' Iz' My' Mz'z'

σ z'( ) E κy' z'⋅ ⋅=

y'

σ y'( ) E κz' y'⋅ ⋅=

κy' κz' y' z'

My' σ z'⋅( ) z'd∫= E κy' z'2 zd∫⋅ ⋅ E Iy' κy'⋅ ⋅= =

Mz' σ y'⋅( ) y'd∫= E κz y'2 yd∫⋅ ⋅ E Iz' κz'⋅ ⋅= =

dφ

dx

r

r d⋅ φ

γ

dA

τ dA⋅

τ

Mx' T≡



3-24

Definition der Schnittkräfte für das Stabelement

Betrachten wie einen Teil des Stabes mit der Länge dx so kann für einen Kreis-querschnitt die Verzerrung der Fläche mit dem Abstand r berechnen:

Hier wird mit die Verdrillung eingeführt. Mit dem Hooke’schen Gesetz ergibtsich:

und das Torsionsmoment mit:

wobei das polare Trägheitsmoment ist. Für Querschnitte welche nicht Kreisför-mig sind ersetzt man dieses durch die Drillsteifigkeit .

3.7 Definition der Schnittkräfte für das Stabelement

Zur Gleichgewichtsbestimmung werden die Spannungen durch resultierendeKräfte ersetzt. Diese Kräfte werden auch Schnittkräfte oder innere Kräfte (inter-nal forces) genannt.

Ebener Spannungszusand

Bei einem ebenen Spannungszustand nimmt man an, dass die Spannungen entlangder y-Achse (quer zur z-Achse) konstant sind. Abb. 3.33 zeigt die Beziehungenzwischen den Spannungen und den resultierenden Schnittkräften.

γ

γxd

dφr⋅= ϑ r⋅=

ϑ

τ G γ⋅ G ϑ r⋅ ⋅= =

Mx' T τ r Ad⋅ ⋅A∫ G ϑ r2 rd

A∫⋅ ⋅ G IP ϑ⋅ ⋅= = = =

IPID


Idealisierungen in der BaustatikDefinition der Schnittkräfte für das Stabelement

Abb. 3.33 Schnittgrößen und Spannungen.

3.7.0.1 Vorzeichenkonvention

Für die Bemessung ist es sehr wichtig, dass Klarheit über die Konvention der Vor-zeichen besteht. Wichtig ist dabei zu wissen, ob ein Moment in einer bestimmtenFaser Zug oder Druck erzeugt. Zum Beispiel muss man bei Tragwerken aus BetonStahlbewehrung im Zugbereich vorsehen, da der Beton eine geringe Zugfestigkeitaufweist. Das Vorzeichen der Querkraft und Normalkraft spielt natürlich auch einewichtige Rolle. Bei der Bemessung sind zum Beispiel Druckstäbe anders zubehandeln als Zugstäbe.

In deutschsprachigen Ländern ist es üblich, eine Kennfaser einzuführen. Die Kon-vention, dass diese bei einem positiven Moment gezogen wird.

Die Vorzeichen für schnittkräfte werden wie folgt fest gelegt (s. auch Abb. 3.23):

Ein positives Biegemoment M zieht die Kennfaser.

Für die Normalkraft N gilt: Eine Zugkraft (Kennfaser gezogen) ist positiv, eineDruckkraft (Kennfaser gedrückt) negativ.

Die Querkraft Q ist positiv, wenn sie am linken Schnittufer nach unten und amrechten nach oben weist.

∫=A xy dAzM σ

My ∫=A x dAN σ

z

dAxσ

N

∫=A xy dAzM σ

My ∫=A x dAN σ

z

dAxσ

N

∫=A xzz dAQ τ

z

dAxzτ

xzτ

Qz

∫=A xzz dAQ τ

z

dAxzτ

xzτ

Qz

z

dAxzτ

xzτ

Qz



3-26


Momenten- und Querkraftlinien werden grafisch entlang der Stabachse positiv aufder Seite der Kennfaser aufgetragen.

Abb. 3.34 Vorzeichenkonvention für N,M,Q

Da bei der Berechnung der Schnittkräfte als Resultierende der Spannungen einQuerschnitt normal zur Stabachse angenommen wurde, ist es klar, dass die Schnitt-kräfte N und Q an einem lokalen Koordinatensystem (in Stabrichtung und querdazu) definiert werden müssen (siehe Abb. 3.24)

Abb. 3.35 Lokales Koordinatensystem des Balkens

3.7.0.2 Vorzeichenkonvention in angelsächsischen Ländern

Hier sei noch erwähnt, dass in den angelsächsischen Ländern eine andere Vorzei-chenkonvention für die Momente üblich ist.

Abb. 3.36 Beispiel der graphischen Auftragung des Momentendiagrams

Hier wird keine Kennfaser eingeführt und das Moment wird auf jener Seite desStabes aufgetragen auf welcher es Zug verursacht („on the tension side“). Es gibt

+M

+N+Q +Q x'

+Q

+N

+M

+Q

+M+N

+N+M

+Qx'

x'x'

Tragwerk mit gestichelter Faser

M- Verlauf Biegelinie

Zugseite

Zugseite

Wendepunkte

-

-+


Idealisierungen in der BaustatikDefinition der Schnittkräfte für das Stabelement

also kein positives oder negatives Moment in dem Sinne. Man kann leicht nach-weisen, dass, wenn positive Momente in der Kennfaserkonvention auf der Kennfa-serseite aufgetragen werden, beide Konventionen dasselbe Momentendiagrammergeben (siehe Abb. 3.36).

3.7.0.3 Räumlicher Spannungszustand

Beim allgemein räumlichen Spannungszustand treten neben Normalspannungen,auch Schubspannungen aus Querkraft und Torsion auf.

Die resultierenden Schnittkräfte für 3-D Systeme sind in Abb.3.25 und 3.26gezeigt.

x’

Mx’

Torsionsmoment

z’

y’ x’

z’

y’

x’

My’

Biegemoment um y’

z’

y’ x’

z’

y’



3-28


Abb. 3.37 Schnittkräfte in 3D: Biegemomente und Torsionsmoment

Abb. 3.38 Schnittkräfte in 3D: Normalkraft und Querkräfte

x’

Mz’

Biegemoment um z’

z’

y’x’

z’

y’

x’

z’

y’ x’

z’

y’

x’

z’

y’ x’

z’

y’

x’

z’

y’ x’

z’

y’

Qz’

Querkraft (zu My’ gehörig)

x’

z’

y’ x’

z’

y’

Qy’

Querkraft (zu Mz’ gehörig)

NNormalkraft


Idealisierungen in der BaustatikEinwirkungen

3.8 Einwirkungen

Eine wichtige Aufgabe ist es, die Art und Größe der zu erwartenden Einwirkungenauf das Tragwerk zu bestimmen. Das Tragwerk muss so konstruiert werden, dasses unter der ungünstigsten Kombination aller möglichen Einwirkungen sicher undgebrauchstauglich ist. Unter Sicherheit versteht man, dass die Wahrscheinlichkeitdes Versagens des Tragwerks auch unter extremen Einflüssen verschwindendgering ist (die zulässige Wahrscheinlichkeit des Tragwerksversagens wird in denNormen definiert). Unter Gebrauchstauglichkeit wersteht man, dass die Verfor-mungen des Tragwerks so klein sind, dass die Verwendung nicht beeinträchtigtwird. Die Größe der zulässigen Verformungen hängt von der Verwendung desTragwerks ab. Ein Gebäude, das zur Herstellung von Computer chips verwendetwird hat z.B. wesentlich strengere Vorgaben als ein Bürogebäude.

3.8.1 Mögliche Arten von Einwirkungen

Grundsätzlich unterscheidet man nach Art der Einwirkungen zwischen einer Bela-stung durch Kräfte und durch andere Einwirkungen wie z.B. Temperatur, Schwin-den und Kriechen etc. Lasten können genau bekannt sein wie z.B. Eigengewichtoder mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten Größe auftreten.Je nach der Auftretenswahrscheinlichkeit unterscheiden wir zwischen gewöhnli-chen und außergewöhnlichen Einwirkungen. Außergewöhnliche Lasten tretennur sehr selten auf. Abb. zeigt eine Einteilung der Lasten in Art der Wirkung. Hierwerden nur statische Lasten berücksichtigt. Dynamische Lasten können in einerstatischen Berechnung annähernd berücksichtigt werden indem man sie mit einemdynamischen Beiwert multipliziert.

Abb. 3.39 Einteilung der Lasten nach Art der Wirkung

Statisch Dynamisch

unbeweglichbeweglich

Ständig zeitlich

EigengewichtErddruckAufbauten

Eurocode:EC1, Teil 2EC1, Teil 4

NutzlastenWindSchnee

EC1, Teil 2EC1, Teil 5

veränderlichVerkehr

EC1, Teil 3

ErdbebenWindStoßMaschinen

EC1, Teil 2.7EC8



3-30

Einwirkungen

Abb. zeigt eine Einteilung der Einwirkungen nach Kraft- und Verformungslastfall.

Abb. 3.40 Einteilung der Einwirkungen

Eigengewicht

Darunter verstehen wir das Gewicht der eigentlichen Tragkonstruktion. DasGewicht wird mit der spezifischen Masse des Materials γ (kg/m3) bestimmt, ausdem der Stab besteht. Bei Stabtragwerken wird die Eigengewichtsbelastung fürjeden Stab in eine Lastintensität oder Streckenlast umgerechnet.

wobei g=9,81 m/sec2 und A die Querschnittsfläche in m2 ist. Besteht der Stab ausverschiedenen Materialen so kann ein für die spezifischen Masse auch ein Mittel-wert verwendet werden. Ist die Querschnittsfläche über die Stablänge konstant,dann ist die Streckenlast gleichmäßig, d.h. die Intensität ändert sich nicht.

Eine gleichmäßige Streckenlast kann durch folgende Symbole dargestellt werden:

Abb. 3.41 Mögliche Darstellung einer gleichmäßig verteilten Streckenlast

Ändert sich die Querschnittsfläche entlang des Stabes dann ist die Steckenlastungleichmäßig, d.h. die Intensität ändert sich entlang des Stabes. Die Darstellungdieser Art von Belastung ist in Abb. 3.28 dargestellt.

Abb. 3.42 Mögliche Darstellung einer linear veränderlichen verteilten Belastung

Das Eigengewicht der Tragkonstruktion ist von der Dimensionierung abhängig,d.h. es kann sich während der Entwurfsiteration ändern.

Kraftlastfall Verformungslastfall

TemperaturänderungSchwindenKriechenAuflagerverschiebungZwangseinbau

siehe Abb. 3.37

w γgA kN m Stablänge⁄( )=

www

w1 w2w1 w2

w1 w2



Ständige Lasten

Neben dem Eigengewicht eines Tragwerkselementes ist die ständige Auflast, dieals unveränderliche, dauernd wirkende Belastung verstanden wird, zu berücksich-tigen. Sie resultiert aus dem Gewicht vorhandener Decken- oder Fahrbahnbeläge,Leitungen, Geländer, fester Einbauten o.ä. Im Gegensatz zum Eigengewicht, wel-ches sich im Zuge der Dimensionierung des Bauwerks ändern kann, steht die stän-dige Auflast in der Regel von Anfang an fest.

Verkehrsbelastung

Unter Verkehrsbelastung versteht man vorübergehend auftretende Nutzlasten, dieim allgemeinen nicht ortsgebunden sind. Bei Eisenbahn- und Straßenbrücken sinddies die Radlasten der Fahrwerke. In Wirklichkeit sind die Kräfte, die unter denRädern wirken, verteilte Belastungen. Man kann diese jedoch durch Einzellastenersetzen (siehe auch das Prinzip von St. Venant). Bei Hochbauten kann die Ver-kehrsbelastung durch Menschenansammlungen, Mobiliar, Güter u.ä. zustandekommen. Die Verkehrsbelastung ist in den einschlägigen Normen festgelegt.

Abb. 3.43 Verteilung der Last unter Fahrzeugrädern

Schneebelastung

Die Belastung durch Schnee kann vor allem in alpinen Ländern eine wichtige Ein-wirkung sein. Die Schneelast wird aus dem spezifischen Gewicht des Schneesbestimmt und einer angenommenen Schneedecke berechnet und wird in den Nor-men für verschiedene Standorte als gleichmäßig verteilte Flächenlast angegeben.Diese muss dann in eine gleichmäßig verteilte Linienlast umgerechnet werden.Aus Abb. 3.44 ergibt sich mit der spezifischen Masse des Schnees, der Dickeder Schneedecke h und der Einflussbreite b die Schneelast als:

Rad einer Eisenbahn Rad eines Lastautos

γs

ws γsghb (kN/m projizierter Länge)=



3-32

Einwirkungen

Zu beachten ist, dass die Schneelast auf die Grundfläche bezogen wird.

Abb. 3.44 Berechnung der Schneelast

Windbelastung

Die an einem Bauwerk angreifenden Windlasten hängen von der Windgeschwin-digkeit, dem Widerstandskoeffizient cw und dem Standort (freistehend oder dichtbebautes Gebiet) ab. Sie wirken normal auf die belasteten Flächen. Windlastenwerden in den Normen für bestimmte Zonen angegeben.

Bremskräfte, Anfahrwiderstände

Dies sind Kräfte, die beim Abbremsen und Beschleunigen auftreten. Sie sind vorallem bei Kranbahnen und Eisenbahnbrücken zu berücksichtigten, da hier oftgroße Massen abgebremst bzw. beschleunigt werden.

Fliehkräfte

Liegt eine Eisenbahnbrücke oder Straßenbrücke in einem Bogen, so wird das Bau-werk bei der Überfahrt eines Fahrzeuges durch die dabei entstehenden Fliehkräftebeansprucht. Dies kann bei Eisenbahnbrücken (wegen der großen Masse der Züge)eine wichtige Einwirkung auf das Bauwerk sein.

Wasserdruck

Bei manchen Tragwerken (z.B. Talsperren) ist die Beanspruchung aus Wasser-druck die wichtigste Einwirkung. Die Größe des ruhenden Wasserdrucks ist imGegensatz zu den meisten anderen Einwirkungen genau bekannt.

ws



Erddruck

Tragwerke die sich teilwiese unter der Erde befinden werden durch Erddruck bela-stet. Dieser hängt von den Materialeigenschaften des Bodens ab.

Silodruck

Silos für die verschiedensten Schüttgüter nehmen eine Sonderstellung unter denBauwerken ein, da ihr Belastungszustand nur schwer zu erfassen ist. Die Lastwir-kung ist von der Art des Füllgutes, seinem Feuchtigkeitsgehalt u.a.m, aber auchvon dessen Bewegung und Durchlüftung abhängig. Vor allem bei der Entleerungeines Silos können maßgebende Belastungen entstehen.

Dynamische Beanspruchungen

Ein Bauteil oder ein Tragwerk kann durch verschiedene Ursachen in Schwingungversetzt werden. Ursache für Schwingungen können Fahrbahnunebenheiten,unwuchtig rotierende Massen von Fahrzeugen oder Maschinen, Anprallstöße,bewegte Verkehrslasten, Erdbeben, etc. sein. Schnittgrößen aus dynamischerBeanspruchung können erheblich größer als Schnittgrößen aus statischer Bean-spruchung sein. Dynamische Phänomene werden deshalb häufig durch Erhöhungder statischen Lasten mit einem dynamischen Beiwert erfasst.

Vorspannung

In einigen Fällen werden Tragwerksteile vor der Belastung vorgespannt, d.h.Schnittkräfte existieren schon vor der Belastung. Ein Vorspannungseffekt kannauch durch die Montage bewirkt werden. Vorspannung ist bei Betonbauten üblich,da Beton eine geringe Zugfestigkeit hat.

3.8.1.1 Außergewöhnliche Einwirkungen

Anprall von Fahrzeugen

Sind Bauteile wie Stützen oder Stiele nicht durch besondere Vorkehrungen gegenden Anprall von Fahrzeugen geschützt, so ist bei der Bemessung die Einwirkungvon Anprallkräften zu berücksichtigen. In der Regel geschieht das durch Ansetzenstatischer Ersatzlasten.

Erdbebenkräfte

Die Wirkung aus Erdbeben auf Bauwerke besteht vor allem im Auftreten großerHorizontalkräfte aus waagerechten Beschleunigungen. Das ist deshalb so ungün-stig, weil Bauwerke vorwiegend auf vertikale Lasten bemessen sind. Erdbeben-kräfte sind von der Masse- und Steifigkeitsverteilung eines Bauwerks abhängig.



3-34

Einwirkungen

3.8.2 Resultierende einer verteilten Belastung

Für die Gleichgewichtsbestimmung müssen alle verteilten Lasten durch ihreResultierende ersetzt werden. In Abb. 3.45 wird dies für eine allgemein verteilteBelastung gezeigt. Dabei kann man sich die Belastung als unendlich viele unend-lich kleine Einzellasten wdx vorstellen. Die Resultierende entspricht der Summe(dem Integral) aller Einzellasten, xR dem Angriffspunkt der Resultierenden.

Abb. 3.45 Resultierende einer verteilten Belastung

Die Resultierende R ist:

Dies entspricht der gestrichelten Fläche. Der Abstand der Resultierenden vom lin-ken Rand wird mit der Bedingung berechnet, dass die Resultierende dasselbeMoment erzeugt wie die verteilte Belastung:

dx

w(x)w(x)dx

RxR

x

l

R w x( ) xdL∫=

RxR w x( )x x , xR1R--- w x( )x x d

0

l

∫=d

0

l

∫=



Dies entspricht dem Abstand zum Schwerpunkt der gestrichelten Fläche. In Abb.3.46 wird das Ergebnis für eine konstante und eine dreiecksförmige Belastunggezeigt.

Abb. 3.46 Resultierende von verteilten Belastungen

3.8.3 Idealisierung von Belastung

Die in der Natur vorkommenden Belastungen werden oft stark vereinfacht durchverteilte Kraftgrösse und Einzelkraftgrössen ersetzt. Hier sollen zwei Beispielegezeigt werden.

3.8.3.1 Fassade

Die Belastung durch eine vorgehängte Fassade kann durch verteilte Kräfte undMomente idealisiert werden (siehe Abb. 3.47).

Abb. 3.47 Idealisierung der Belastung durch eine Fassade

w

w

R=wl

l/2

R=wl/2

l/3l

e

w

we



3-36

Einwirkungen

3.8.3.2 Fahrzeuge und Eisenbahn

Bei der Berücksichtigung von Fahrzeugen werden die einzelnen Radlasten durcheine verteilte Belastung und eventuell zusätzlich durch Einzellasten idealisiert(siehe Abb. 3.48).

Abb. 3.48 Idealisierung eines Eisenbahnzuges


4 Kinematik

KinematikRotation und Translation

Haupt- und NebenpolPolplan

4.1 Einleitung

Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen. Die Kinematik beschränkt sichauf die rein geometrische Beschreibung der Bewegungen. Im folgenden wird ange-nommen, dass die Verschiebungen klein gegenüber den Systemabmessungen sind.Dadurch ist ein Vereinfachung möglich. Dies wird an Hand der, aus zwei gelenkigmiteinander verbundenen Stäben bestehenden, kinematischen Kette in Abb. 4.1erklärt. Verschiebt man den Gelenkpunkt nach unten so ist dafür keine Kraft erfor-derlich. Da die Stäbe keinen Längenänderung erfahren, muß ich dieser auf einerkreisförmigen Bahn bewegen. In der vereinfachten Annahme wird statt des Kreis-bogens eine Gerade normal zur Stabachse angenommen.

Abb. 4.1 Wirkliche Verschiebung und vereinfachte Annahme

Da die Verformungen bei Tragwerken im mm-Bereich, die Abmessungen desTragwerks jedoch Bereich von Metern liegen, ist diese Annahme zulässig. Dies istauch als lineare Verschiebungsgeometrie bekannt. Der Unterschied zwischenbeiden Annahmen ist, dass sich bei der genauen Betrachtung das linke Lager

Kreisbogen

Gerade


4 Kinematik

4-2

Einleitung

bewegt, während es bei der Näherung keine Verschiebung erfährt. Beide Stäbeerfahren bei der Näherung eine scheinbare Längenänderung.

Für die folgende Betrachtung wird das Tragwerk in sogenannte Scheiben zerlegt.Eine Scheibe kann ein Biegetragwerk oder ein Fachwerk sein (Abb. 4.2.)

Abb. 4.2 Arten von Scheiben

Bei Scheiben unterscheidet man solche, die sich verformen und solche die sichnicht verformen. Letztere sind als starre Scheiben oder Starrkörper bekannt(Abb. 4.3). Hier werden nur starre Scheiben behandelt.

Abb. 4.3 Elastische und starre Scheibe

In der Ebene hat eine Scheibe 3 Freiheitsgrade (Translation in x,y Richtung undeine Rotation. Jede Bewegung der Scheibe kann man sich als einer Rotation umeinen Drehpol vorstellen (siehe Abb. 4.4). Eine reine Translation ist dann eineRotation um einen im Unendlichen liegenden Drehpol. Da kleine Verschiebungenvorausgesetzt werden, können die Kreisbögen, die einzelne Punkte der Scheibewährend einer Rotation beschreiben, durch Geraden ersetzt werden. Ein aus starrenScheiben bestehendes statisch bestimmtes System in der Ebene hat keinerleiBewegungsmöglichkeiten. Es ist also kinematisch bestimmt. Löst man eine Bin-dung, so erhält das System einen Bewegungsfreiheitsgrad und wird verschieblich.Man spricht von einer kinematischen Kette mit einem Freiheitsgrad oder einereinfach verschieblichen kinematischen Kette. Jede Scheibe einer kinematischenKette kann also eine Rotation erfahren, entweder um einen im Endlichen liegendenDrehpol oder um einen im Unendlichen liegenden Drehpol (Translation). Die

Elastisch Starr


KinematikBestimmung des Hauptpols

Größe der Rotationen relativ zueinander ist durch die Systemgeometrie eindeutigbestimmt.

Abb. 4.4 Rotation einer Scheibe um einen Drehpol

4.2 Bestimmung des Hauptpols

Sind die Richtungen der Verformungsvektoren von zwei Punkten an der Scheibegegeben kann der Hauptpol der Scheibe als Schnittpunkt zweier Geraden normalzu den Verformungsvektoren bestimmt werden (Abb. 4.5)

Abb. 4.5 Bestimmung des Hauptpols einer Scheibe

Haben beide Vektoren dieselbe Richtung, so befindet sich der Hauptpol im Unend-lichen, d.h. die Scheibe erfährt eine reine Translation (Abb. 4.6). Ist eine Scheibemit einem gelenkigen, unbeweglichen Auflager verbunden so liegt der Hauptpolim Auflager (Abb. 4.7).


4 Kinematik

4-4

Bestimmung des Hauptpols

Abb. 4.6 Reine Translation einer Scheibe

Abb. 4.7 Lage des Hauptpols bei gelenkigem unbeweglichen Auflager

Abb. 4.8 Lage des Hauptpols bei gelenkigem, beweglichen Auflager


KinematikDer Polplan

Bei einem gelenkigen, beweglichen Auflager liegt der Hauptpol auf einer Gerade,die normal zur Bewegungsrichtung des Lagers steht (Abb. 4.8).

4.3 Der Polplan

Eine Scheibe, die Teil einer einfachen kinematischen Kette ist, dreht sich um einenabsoluten Drehpol, den sogenannten Hauptpol, der sowohl im Endlichen als auchim Unendlichen liegen kann.

4.3.1 Polplankonstruktion

Anhand von Beispielen soll hier die Polplankonstruktion für verschiedene kinema-tische Ketten erklärt werden.

Abb. 4.9 Bestimmung der Hauptpole einer kinematischen Kette mit zwei Scheiben

Abb. 4.10 Bestimmung der Hauptpole für eine Kette mit drei Scheiben


4 Kinematik

4-6

Der Polplan

Bei einer aus zwei gelenkig verbundenen Scheiben bestehenden kinematischenKette wird der Polplan wie folgt erstellt (Abb. 4.9): Der Drehpol der linke Scheibe(1) befindet sich im linken Auflager. Für die Bestimmung des Drehpols für dierechte Scheibe (2) wird eine Gerade vom linken Auflager durch das Gelenkgezeichnet. Eine zweite Gerade ist normal auf die Bewegungsrichtung des rechtenAuflagers. Wo sich die beiden Geraden schneiden befindet sich der Drehpol derScheibe 2.

4.3.1.1 Regeln für die Polplankonstruktion

Abb. 4.11 Regeln zur Polplankonstruktion I

1. Jedes feste Gelenklager ist Hauptpol der angeschlossenen Scheibe. (Abb. 4.7)2. Jedes Biegemomentengelenk bildet den Nebenpol der vom Gelenk verbunde-

nen Scheiben. 3. Die Senkrechte zur Bewegungsrichtung eines verschieblichen Gelenklagers

bildet den geometrischen Ort des Hauptpols der angeschlossenen Scheibe.(Abb. 4.8)

4. Der Nebenpol zweier durch einen verschieblichen Anschluss (Normalkraft-oder Querkraftgelenk) verbundenen Scheiben liegt auf der Senkrechten zurBewegungsrichtung im Unendlichen.

5. Die Hauptpole zweier Scheiben und ihr gemeinsamer Nebenpol liegen aufeiner Geraden: (i) - (i,j) - (j). (Abb. 4.11)

6. Die Nebenpole (i,j), (j,k), (i,k) dreier Scheiben I,J,K liegen auf einer Geraden:(i,j) - (j,k) - (i,k). (Abb. 4.12)

7. Fallen die Nebenpole (i,j) und (j,k) in einem Punkt zusammen, so liegt derNebenpol (i,k) im gleichen Punkt.

1 2

01

(1,2)

(02)

δφ1

12

(1,2) im 8



Mit den oben zusammengefassten Regeln lassen sich die Polpläne von kinemati-schen Ketten einfach bestimmen, wie anhand einiger Beispiele gezeigt werdensoll.

Abb. 4.12 Polplankonstruktion II

4.3.2 Beispiele

4.3.2.1 Schiefer Rahmen

Abb. 4.13 Polplankonstruktion für schiefen Rahmen

1

2

3

4(3,4)

(1,2)

(2,3)

(1,3)

(2,4)

(1,4)

I

II

III

(2)

(1) (3)

(2,3)(1,2)


4 Kinematik

4-8

Der Polplan

4.3.2.2 Beispiel: Fachwerk

Abb. 4.14 Polplan für Fachwerk

Durch Anwendung von Regel 1. und 2. findet man sofort den Hauptpol (1) sowiedie Nebenpole (1,2), (1,3), (2,4) und (3,4). Regel 3. liefert eine senkrechte Geradedurch das verschiebliche Auflager als geometrischen Ort von (4). Regel 6. ange-wendet auf die Scheiben (I,III,IV) und (I,II,IV) ergibt den im Unendlichen liegen-den Nebenpol (1,4) als „Schnittpunkt“ zweier paralleler, horizontaler Geraden.Hauptpol (4) muß auf einer Geraden liegen, die durch (1) und (1,4) geht (Regel 5.).Hauptpol (4) ergibt sich daher als Schnitt der horizontalen Geraden durch (1) mitder vertikalen Geraden durch das verschiebliche Lager und fällt damit mit demverschieblichen Lager zusammen. Das bedeutet, dass im rechten Auflager bei Aus-lenkung der kinematischen Kette keinerlei Verschiebung auftreten wird. (siehedazu Abb. 4.15) Den Hauptpol (2) findet man nun durch Anwendung von Regel 5.Der Nebenpol (2,3) ergibt sich aufgrund von Regel 6. - angewendet auf die Schei-ben (II,III,IV) und (I,II,III) - als im Unendlichen liegend. Eine durch (2) gehendeParallele zur Geraden (2,4)-(3,4) liefert schließlich den letzten Hauptpol (3). DerPolplan ist damit vollständig und die verformte Figur der kinematischen Kettekann gezeichnet werden.

I

II

III

IV

(1)

(1,2) (2,4)

(3,4)(1,3)

(1,4)

(1,4)

88

(2,3)

8gleichzeitig: Ort von (4)

Ort von (4)

(4)

(2)

(3)



Abb. 4.15 Verformte Figur

4.3.2.3 Beispiel: Rahmen mit Querkraftgelenk

Abb. 4.16 Polplan und verformte Figur

Hauptpol (1) ergibt sich unmittelbar aus Regel 1. Regel 4. liefert den Nebenpol(1,2) im Unendlichen. Eine horizontale Gerade durch (1) und (1,2) ist daher dergeometrische Ort von (2). Weiters gilt unter Berufung auf Regel 3., dass (2) aufeiner senkrechten Geraden durch das verschiebliche Lager liegen muß. Hauptpol(2) ist damit gefunden und der Polplan vollständig.

1

4

(1) (4)

(2)

(3)

(1,2)

(1)(2)

I II8Q = 0


4 Kinematik

4-10

Der Polplan


5 Berechnung statisch bestimmterTragwerke - Auflagerkräfte

StabwerkeRahmen

5.1 Einleitung

Grundsätzlich kann man Tragsysteme wie folgt einteilen: Stabwerke/Rahmen,Fachwerke und Mischsysteme. Stabwerke und Rahmen werden überwiegend aufBiegung beansprucht. Fachwerke bestehen aus Elementen, die auf Normalkraftbeansprucht werden. Mischsysteme haben sowohl Biegeträger als auch Fachwerk-stäbe. Abb. 5.1 zeigen verschiedene Arten von ebenen Stabtragwerken.

Abb. 5.1 Arten von Tragsystemen

Stabtragwerke/

Fachwerke

Rahmen

Mischsysteme


5 Berechnung statisch bestimmter Tragwerke - Auflagerkräfte

5-2

Einleitung

5.1.1 Freischneiden

Die Auflagerkräfte werden bestimmt, indem man das Tragwerk von den Auflagerntrennt (freischneidet), und die dort wirkenden Auflagerkräfte mit der Belastung insGleichgewicht bringt. Im Englischen wird das Diagramm, das alle am Tragwerkwirkenden Kräfte zeigt, auch als „free body diagram“ bezeichnet. Wirkt eine ver-teilte Belastung, so muß für Gleichgewichtsüberlegungen diese durch ihre Resul-tierende ersetzt werden. Die im Auflager wirkenden Kräfte sind vomAuflagersymbol abhängig und im Kapitel Idealisierungen (Abb. 3.9 und 3.10) dar-gestellt. Als Beispiel sei hier das freischneiden eines Einfeldträgers gezeigt (Abb.5.2).

Abb. 5.2 Freischneiden eines Einfeldträgers

5.1.2 Bestimmung der Auflagerkräfte

Bei (äußerlich) statisch bestimmten Systemen reichen die im Kapitel 2 besproche-nen Gleichgewichtsbedingungen genau aus, um die unbekannten Auflagerkräfte zubestimmen.

Für ebene Tragwerke stehen 3 Gleichungen zur Verfügung. Sind mehr Gleichge-wichtsgleichungen vorhanden als unbekannte Auflagerkräfte, so ist das Tragwerkinstabil aufgelagert. Sind hingegen zu wenige Gleichgewichtsgleichungen vorhan-den, so spricht man von einer statisch unbestimmten Auflagerung. Abb. 5.3 zeigtBeispiele von instabil, statisch bestimmt und statisch unbestimmt aufgelagertenebenen Tragwerken. Wie im letzten Beispiel ersichtlich, ist das Abzählen derGleichgewichtsbedingungen und der Unbekannten nicht ausreichend, es mußzusätzlich sichergestellt werden, daß das Tragwerk in keine Richtung verschiebbarist.

Im Rahmen der Vorlesung „Statik der Tragwerke“ werden nur statisch bestimmteSysteme behandelt, d.h. für die Bestimmung der Auflagerkräfte müssen dieGleichgewichtsgleichungen genügen. Statisch unbestimmte Systeme werden in derVorlesung „Baustatik I“ behandelt. Die für die Berechnung notwendigen Glei-chungen werden aus Kompatibilitätsbedingungen erhalten (an bestimmten Stellenmüssen Verformungen Null sein).


Berechnung statisch bestimmter Tragwerke - AuflagerkräfteEinleitung

Für räumliche Systeme stehen 6 Gleichgewichtsgleichungen zur Verfügung. Abb.5.4 zeigt Beispiele für Auflagerung von räumlichen Systemen.

Abb. 5.3 Verschiedene Auflagerungen für ebene Tragwerke

Abb. 5.4 Beispiele von Auflagerungen für räumliche Tragwerke

Verschieblich

Statisch bestimmt

Statisch unbestimmt

Verschieblich !!

Statisch bestimmt

Statisch unbestimmt

Verschieblich



5-4

Biegeträger

5.2 Biegeträger

5.2.1 Beispiel 1: Kragträger

5.2.2 Beispiel 2: Einfeldträger

Belastung mit Einzellast

A

RAy

L

RAx

MA

p

L/2 L/2

pL

Mum A∑ 0 MA pL( )L2---+= =

MA pL( )–L2---=

Fy∑ 0 RAy pL( )–= =

RAy pL=

Fx∑ 0= RAyx 0=

P

A B

RAy RBy

RBx

L

a

Σ MB = 0:

Σ Fy = 0:

Σ Fx = 0:

Auflagerkräfte:

RAyP a⋅

L----------=RAy L⋅ P a 0=⋅–

RAy RBy P 0=–+

RBx 0=

RBy P 1aL---–

⎝ ⎠⎛ ⎞⋅=


Berechnung statisch bestimmter Tragwerke - AuflagerkräfteBiegeträger

Belastung mit Einzelmoment

5.2.3 Beispiel 3: Einfeldträger mit Kragarmen

Die Auflagerkraft RAx ist Null (ΣFx = 0). Die vertikale Auflagerkraft RBy erhältman aus ΣMum A = 0:

Aus der Gleichung ΣFy = 0 kann die Auflagerkraft RAy bestimmt werden:

A B

RAy RBy

RBx

L

RAy

M1

L-------–=

RBx 0=

M1

Mum B∑ 0= RAyL M1+ 0=

Fy∑ 0= RAy RBy+ 0=

Fx∑ 0=

RAy RBy–=

Ergebnis unabhängig davon, wo am Balken M1 angreift !!

RAy RBy

RAx

1 kN 2 kN 7 kN 1 kN3 kN 2 kN

1,00 1,00 2,00 2,50 2,00 1,50 3,00

2,00 6,50 4,50

A

RBy 6 5 1 11 0 7 8 0 2 4 5 2 0,+,( )⋅– 3 1⋅ 0 1 2⋅ 0 0=,+,+,⋅–,⋅–,⋅

RBy756 5,--------- 11,54 kN= =

1– 3– RAy 2– 2– 7– 1– 11 54,+ + 0=

RAy 4,46 kN=



5-6

Rahmentragwerke

5.3 Rahmentragwerke

5.3.1 Beispiel: Zweigelenkbogen

p = 5 kN/m

P = 40 kN

3,50 3,50

3,0

1

2 3 4

5

P = 40 kN

3,50 3,50

3,0

1

2 3 4

5

1,5

1,5

15 kN

R1x

R1yR5y

System

„free body diagram“

ΣMA 0:= R5y 7 0 15x1 5 40 3,50⋅ 0=–,+,⋅ R5y 16 79 kN,=

ΣFy 0:= 16 79 40– R1y+, 0= R1y 23 21 kN,=

R1x 5 3 0 0=,⋅–ΣFx 0= : R1x 15 00 kN,=


Berechnung statisch bestimmter Tragwerke - AuflagerkräfteZusammengesetzte Tragwerke

5.4 Zusammengesetzte Tragwerke

5.4.1 Gelenkträger

Bei zusammengesetzten Tragwerken werden Tragwerksteile gelenkig miteinanderverbunden. Beispiele sind Gelenkträger und Dreigelenksbögen. Bei zusammenge-

P

P

L1 L2/2 L2/2

RAyRAx

MA

RBy

Gy

Gx

Gx

I II

I

II

Mum G∑ 0= PL2

2----- RByL2– 0= RBy

P2---=

Tragwerksteil II:

Fy∑ 0= Gy RBy+ P= GyP2---=

Fx∑ 0= Gx 0=

Tragwerksteil I:

Mum A∑ 0= GyL1 MA+ 0= MAP2---L1–=

Fy∑ 0= G– y RAy+ 0= RAyP2---=

Fx∑ 0= RAx 0=

ABG

G– x RAx+ 0=



5-8

Zusammengesetzte Tragwerke

setzen Tragwerken müssen jeder Tragwerksteil für sich und das Gesamtsystem mitden äußeren Kräften im Gleichgewicht stehen.

5.4.2 Dreigelenkbogen

5.4.2.1 Auflager auf gleicher Höhe

P

P

L1 L2/2 L2/2

Kontrolle: Gleichgewicht des Gesamtsystems

Mum A∑ 0= P2---– L1 L2+( ) P L1

L2

2-----+

⎝ ⎠⎛ ⎞ P

2---L1–

⎝ ⎠⎛ ⎞+ + 0=

Fy∑ 0= P2--- P

2--- P–+ 0=

Fx∑ 0=

ABG

MAP2---– L1=

P2---P

2---

p = 10 kN/m

2 3 4

1 7

5

y

x+

2,0 2,0 1,0

4,0

4,0

6



P = 90 kN2 3 4

1 7

5

2,0 2,0 1,0

4,0

4,0

6

R1y

R1x

R7y

R7x

3,5

Mum 7∑ 0= R1y6 90 3 5,⋅( )– 0=

Fy∑ 0=

R1y 52 5,=

R1y

R1x

R1y R7y 90–+ 0= R7y 37 5,=

Gesamtes Tragwerk:

40 kN

Fx∑ 0= R1x R7x+ 0= R7x R– 1x=

Gx

Gy

2,0

4

4,0

Mum G∑ 0= R1x– 4 0, R1y2 0 40 2 0,⋅( )–,+ 0=

Linkes Teilsystem:

R1x 6 25,=

R7x 6– 25,=Aus dritter Gleichung oben:



5-10


Alternative: Getrennte Betrachtung der zwei Tragwerksteile

R7y

R7x

50 kN

Gy

2,5

Mum G∑ 0=

Rechtes Teilsystem:

4,0

4

R7y– 4 0, R7x4 0 50 2 5,⋅+,– 0=

Kontrolle

R1y

R1x

40 kNGx

Gy

2,0

4

4,0

Mum 1∑ 0= Gx4 0, Gy2 0,– 0=

Linkes Teilsystem:

Fy∑ 0= R1y Gy 40–+ 0=

Fx∑ 0= R1x Gx+ 0=

Gx12---Gy=

1



5.4.2.2 Auflager auf verschiedener Höhe

R7y

R7x

50 kN

Gy1,5

Mum 7∑ 0=

Rechtes Teilsystem:

4,0

4

Gx4 0, Gy4 0 50 1 5,⋅+,+ 0=

7

Gx

4,0

Gy 12– 5,=

Gx 6– 25,= R1y 52 5,= R1x 6 25,=

Fy∑ 0= R7y Gy– 50– 0=

Fx∑ 0= R7x Gx– 0= R7x 6 25,–=

R7y 37 5,=

p = 10 kN/m

4

7y

x+

2,0 2,0 1,0

4,0

4,0

2,0

1



5-12


P = 90 kN4

1

74,0

6,0R1y

R1x R7y

R7x

3,5

Mum 7∑ 0= R1y6 R1x2 90 3 5,⋅( )–– 0=

Fy∑ 0=

R1y

R1x

R1y R7y 90–+ 0=

Gesamtes Tragwerk:

40 kN

Fx∑ 0= R1x R7x+ 0= R7x R– 1x=

Gx

Gy

2,0

4

4,0

Mum 4∑ 0= R1x– 4 0, R1y2 0 40 2 0,⋅( )–,+ 0=

Linkes Teilsystem:

2

2,0

Nachteil: Gleichungssystem mit 2 Unbekannten



P = 90 kN4

1

7

6,0B1A1

3,5

Mum 7∑ 0= B16 90 3 5,⋅( )– 0=

Fy∑ 0=

B1

B1 B7 A1 α A7 α 90–sin+sin+ + 0=

Alternative: Schiefwinklige Zerlegung der Auflagerkräfte

40 kN

Fx∑ 0= A1 α A7 αcos+cos 0=

Gx

Gy

2,0

4

Mum 4∑ 0= B1 2⋅ 0, A1 3⋅ 33 αcos 40 2 0,⋅( )–⋅,– 0=

Linkes Teilsystem:

A7

B7

B1 52 5,=

A7 A1–=

α

B7 37 5,=

R1x A= 1 αcos R7x A= 7 αcos

A1 αsin

A7 αsin

A1

3,333 33 αcos,

A1 7 9,=

R1y B1 A1 αsin+=

A1 αsin

α

Gesamtsystem:



5-14


5.4.3 Gemischte Systeme

Mischsysteme bestehen sowohl aus Fachwerkstäben als auch aus einem Biegeträ-ger. Bei des Berechnung der Aulagerkräfte können hier Vereinfachungen einge-führt werden, da bei einem Fachwerkstab, der mit einem Auflager verbunden ist,die Richtung der Auflagerkraft als bekannt angenommen werden kann.

5.4.3.1 Überdachung

Die Angabe für dieses Beispiel ist in Abb. 5.5 gezeigt. Bei der Berechnung derAuflagerkräfte kann an Stelle des Auflagers das Seil freigeschnitten werden.

Abb. 5.5 Angabe und Berechnung der Auflagerkräfte

1

3,50

p = 15 kN/m

2

3

4 5

1

6y

x+

3,50

3,50 1,507 30° 4,0414=tan⋅

2

3

4

75 kN

2,5

S

Ay

3,5

MA∑ 0 :=

Ax

S 3 5 75 2 5,⋅–,⋅ 0=

S 53 57 kN,=

V∑ 0 :=

53 57 30 75 Ay–+cos⋅, 0=

Ay 121 39 kN,=

H∑ 0 :=

53 57 30 Ax–sin, 0=

Ax 26 79 kN,=



5.4.3.2 Hängebrücke

In Wirklichkeit sind Hängebrücken statisch unbestimmte Systeme, hier wird dasSystem stark vereinfacht und durch die Einführung eines Gelenks statischbestimmt gemacht (Abb. 5.6).

Abb. 5.6 Hängebrücke: Statisches System

Betrachtet man das Gleichgewicht eines beliebigen Knotens der Hängekonstruk-tion (Abb. 5.8), so sieht man, daß in jedem Knoten die Horizontalkomponenten derKräfte links und rechts des Knotens gleich groß sein müssen. Führt man die Hori-zontalkomponente der Seilkraft der Abspannseile als Unbekannte ein, so sind nur 4Auflagerkräfte zu berechnen. Da die Richtung der Haltekraft S bekannt, ist kannaus H sowohl die Seilkraft als auch die vertikale Komponente berechnet werden.Zunächst wird das Gesamttragwerk betrachtet und die 3 Gleichgewichtsgleichun-gen werden angesetzt (Abb. 5.8).

Abb. 5.7 Bestimmung der horizotalen Komponente der Seilkraft

h

L/2 L/2

αq

h

αq

H H

H H



5-16


Abb. 5.8 Berechnung der Auflagerkräfte einer Hängebrücke

Für die Bestimmung der vierten Unbekannten wird der Umstand verwendet, daßim Gelenk das Biegemoment Null ist. Das System wird in der Mitte auseinander-geschnitten und ins Gleichgewicht gebracht. Die Kräfte H bilden ein Kräftepaarnach 2.1.2.3.

S

A B

C

S

H HGesamttragwerk

h

L/2

MB∑ 0=

L/2

α

H tanα

H α L A L H h H h qL2--- 3

4---L⋅+⋅–⋅+⋅–⋅tan 0=

q L/2

3L/4

A H α38---qL+tan=

H tanα

V∑ 0= 2 H α qL2--- A– B–+tan⋅ ⋅ 0=

H∑ 0= H H– C+ 0=

B 2 H α qL2--- A–+tan⋅=

C 0=



Abb. 5.9 Teilsystem zur Berechnung von H

5.4.3.3 Berechnung mit Hilfe des Superpositionsprinzips

In Kapitel 2 wurde erwähnt, daß für die Berechnung von linearen Systemen dasSuperpositionsprinzip zur Anwendung kommen kann. Dieses besagt, daß das Bela-stungssystem in Teilsysteme unterteilt werden kann. Die Einflüsse aus den Teilsy-stemen können dann addiert (superponiert) werden.

Verwendet man das Superpositionsprinzip, so kann man die Berechnung wesent-lich vereinfachen. Hier wird der Endzustand als Superposition von zwei Teilzu-ständen betrachtet. Beim ersten Zustand wird das Seil durchgeschnitten und dasGelenk starr gemacht (man kann sich diesen Zustand auch so vorstellen, daß überdas Gelenk ein Hülse geschoben wird, die eine Momentenübertragung erlaubt).Die Auflagerkräfte aus der Belastung werden berechnet. Beim zweiten Zustandwird in der Seilabspannung eine Horizontalkraft H angebracht und so lange gestei-gert, bis das Moment an der Stelle G (Hülse) den entgegengesetzten Wert erreichthat, der für den ersten Zustand errechnet wurde (dies kann man sich so vorstellen,daß das Gelenk momentenfrei gemacht wird, sodaß man die Hülse wieder entfer-nen kann). Die Überlagerung beider Zustände ergibt den gewünschten Endzustand.

S1

A

H

L/2

α

Htanα

q L/2

fH

L/4

G

MG∑ 0= qL2--- L

4--- A

L2--- H α

L2--- H f⋅+⋅tan+⋅–⋅ 0=

H 1 αL2--- f+⋅tan

⎝ ⎠⎛ ⎞⁄ q

L2--- L

4--- A

L2---⋅–⋅

⎝ ⎠⎛ ⎞⋅=



5-18


Abb. 5.10 Lösung mit Superposition, System 1

A1 B1

C

h

L/2 L/2

qL/2

3L/4

MB∑ 0= A1 L qL2--- 3

4---L⋅+⋅– 0= A1

38---qL=

V∑ 0= A1 B1 qL2---–+ 0= B1

58---qL=

MG1 B1L2---⋅

516------qL2= =

B1

L/2Moment in der Hülse:

H=0



Abb. 5.11 Lösung mit Superposition, System 2

S1

C

S2

H H

h

L/2 L/2

α

H tanα

qL/2

H tanα

V∑ 0= 2 H α A2– B2–tan⋅ ⋅ 0=

H∑ 0= H H– C+ 0=

B2 H αtan=

C 0=

H

MB∑ 0= H α L A2 L H h H h⋅–⋅+⋅–⋅tan 0=

A2 H αtan=

A2 B2

C

S2

H

L/2

Htanα

H

B2

f

MG2 B2L2--- H α

L2--- H f⋅–⋅tan–⋅ H f⋅–= =

Moment in der Hülse, Teilsystem 2:

Endgültiges Moment (aus Teilsystem 1 & 2) in der Hülse= 0:

MG MG1 MG2+516------qL2 H f⋅– 0= = = H

516------qL2 1

f---⋅=



5-20


5.4.4 3-D Systeme

5.4.4.1 Beispiel

P = 20 kN

p = 10 kN/m

x

y

z

3,00

3,00

P = 20 kN

P = 30 kN

x

y

z

3,00

3,00 Az

AyAx

Bz

By

Cz

A

B

C

1,5

Ma a–∑ 0= Cz 3 0 30 1 5,⋅( )–,⋅ 0=

Mb b–∑ 0= Az 3 0 20 0 1 5,⋅,( )–,⋅ 0=

Cz 15 0kN,=

Az 10 0kN,=

a

a

b

b

c

c

Mc c–∑ 0= Ay 3 0,⋅ 0= Ay 0= Fz∑ 0=

By 0= Fx∑ 0= Ax 0=Fy∑ 0=

Bz 25kN=,


6 Schnittkraftverläufe

6.1 Einleitung

Wie schon im Kapitel 3 erwähnt, werden die an einem Querschnitt wirkendenSpannungen durch resultierende Kräfte ersetzt. Dabei gibt es für den ebenen Stab 3Schnittkräfte (M,N,Q) und für den räumlichen Stab 6 Schnittkräfte( ). Die Schnittkräfte sind auf die lokale Stabachse bezo-gen. Schneidet man einen Teil eines Stabes heraus, so werden die Schnittkräftesichtbar gemacht. Diese sind in Abb. 6.1 noch einmal dargestellt.

Abb. 6.1 Schnittkräfte am ebenen und räumlichen Stabelement

Mx' My' Mz' Qz' Qy' N, , , , ,

x'

z'

NM

Q

z'

x'

y' Qz'Qy'

N

Mz'

My'

Mx'



6-2

Schnittkraftverläufe - ebene Systeme

Zur Berechnung der Schnittkräfte wird das Tragwerk an einer Stelle aufgetrennt,und die im Schnitt wirkenden inneren Kraftgrößen werden sichtbar gemacht.Anschließend werden die inneren Kraftgrößen mit den äußeren Kraftgrößen (Bela-stung, Auflagerkräfte) ins Gleichgewicht gebracht. Dazu müssen genügendGleichgewichtsgleichungen zur Verfügung stehen (innerlich statisch bestimmtesSystem). Stehen zu wenig Gleichungen zur Verfügung, so spricht man von eineminnerlich statisch unbestimmten System. Diese Systeme werden hier nichtbehandelt.

6.2 Schnittkraftverläufe - ebene Systeme

Für die Bemessung ist die Kenntnis der Schnittkräfte an allen Querschnitten desTragwerks notwendig. Die Verläufe der Schnittkräfte werden entlang des Stabesaufgetragen. Dabei werden zwei verschiedene Konventionen verwendet: Die beiuns übliche Kennfaserkonvention und die in angelsächsischen Ländern übliche „onthe tension side“ Konvention. Wird konsequent ein positives Moment in Richtungder Kennfaser aufgetragen, so ergeben beide Konventionen identische Momenten-diagramme (Abb. 6.2).

Abb. 6.2 Auftragen des Momentenverlaufs (Kennfasermethode und „on the tension side“)

In der globalisierten Welt, wo manchmal Partner aus verschiedenen Ländern aneinem Projekt arbeiten, ist es unumgänglich, dass wichtige Information wie z.B.der Schnittkraftverlauf unmissverständlich sind.

6.2.1 Rahmentragwerke

Rahmentragwerke können in Stabelemente und Knoten eingeteilt werden (Abb.6.3). Durch Freischneiden können entweder die inneren Kräfte, die auf den Stabwirken, oder jene, die auf den Knoten wirken, sichtbar gemacht werden.

+M Zugseite


SchnittkraftverläufeSchnittkraftverläufe - ebene Systeme

Abb. 6.3 Definition der Schnittkräfte am Stabelement und Knoten

6.2.2 Übertragungsgleichungen

Mit Hilfe der Knotenübertragungsgleichungen können die Schnittkräfte an einemSchnitt (rechts) durch die am anderen Schnitt (links) ausgedrückt werden. DieÜbertragungsgleichungen erhält man aus der Bedingung, dass jeder herausge-schnittene Knoten unter der Einwirkung von äußeren und inneren Kräften imGleichgewicht sein muß. Abb. 6.4 zeigt die Gleichgewichtsbedingung bei einembelasteten Knoten an einem geraden Stab und Abb. 6.5 bei einem Knoten, an denzwei Stabelemente mit verschiedenen Richtungen anschließen. Man erkennt, dasses bei der Einwirkung von Einzellasten ( ) zu einem Sprung im Querkraft,Normalkraft bzw. Momentenverlauf kommt. Wenn sich die Stabrichtung (unddamit auch die Richtung von N,Q) ändert, entsteht bei einem unbelasteten Knotenein Sprung in den Q,N Verläufen. In diesem Fall gibt es jedoch keine Änderungdes Moments. Abb. 6.6 zeigt den Sonderfall eines unbelasteten Knotens, wenn dieRichtungsänderung ein rechter Winkel ist wenn zwei Stabelemente am Knotenanschließen. Abb. 6.7 zeigt den Fall wenn drei Stabelemente am Knoten anschlie-ßen.

Stabelement

KnotenN

MQ

QM

Fx Fy M, ,



6-4


Abb. 6.4 Übertragungsgleichungen bei Belastung durch Einzellasten

Abb. 6.5 Knotenübertragungsgleichung bei Richtungsänderung der angeschlossenen Stäbe (unbelasteter Knoten)

Abb. 6.6 Sonderfall rechtwinkliger Anschluss von 2 Stabelementen

Fy

Fx

M

Ql

Qr

Nl NrMl

Mr

Nr Nl Fx–= Qr Ql Fy–= Mr Ml M–=

Ql

Qr

Nl

NrMl

Mr

Nr Q– l α Nl αcos+sin=

Qr Ql α Nl αsin+cos=

Mr Ml=

x'

z'

α

Ql

Qr

Nl

Nr

Ml

Mr

Nr Ql=

Qr Nl–=

Mr Ml=



Abb. 6.7 Sonderfall rechtwinkliger Anschluss von 3 Stabelementen

Ml Mr

Mr Ml Mu+=

Qr

Nl Nr

Nr Nl Q+ u=

Qr Ql Nu–=

Ql

Qu

Nu

Mu



6-6


6.2.3 Gleichgewicht eines Teilelements

Bringt man alle an den Schnittufern wirkenden Schnittkräfte an, so kann dasGleichgewicht eines beliebig herausgeschnittenen Teils eines Tragwerks getrenntbetrachtet werden. In Abb. 6.8 wird das Gleichgewicht eines Teils von der Länge

(hier infinitessimal klein angenommen) mit einer verteilten Belastung q (Querzur Stabachse) und n (in Stabachse) untersucht.

Abb. 6.8 Gleichgewicht eines abgeschnittenen Teils des Balkens

Die Erkenntnisse aus diesen Gleichgewichtsüberlegungen sind in Abb. 6.9 darge-stellt.

dx'

x'

q

n

N dN+M dM+

Q dQ+

M

Q

N

z'

Fx'∑ 0= ndx' N– N dN+ + 0=dNdx'------- n–=

Fy'∑ 0= qdx' Q– Q dQ+ + 0=dQdx'------- q–=

Mum o∑ 0= qdx'dx'2

------- M dM M– Q dx'⋅–+ +⋅ 0=dMdx'-------- Q=

o

dx' 0⇒

dx'

dx'

n dx'⋅

q dx'⋅



Abb. 6.9 Beziehungen zwischen Belastung und Schnittkräften

Gerades Stabelement

Verlauf am Angriffspunkt, Einzelkräfte

Belastung N M Q

Einzelkraft in

Stabrichtung

Einzelkraft quer

zur Stabrichtung

Einzelmoment

Verlauf im belasteten Bereich, konstante Streckenlasten

Belastung N M Q

in Stabrichtung

linear

unverändert unverändert

quer zur

Stabrichtung

unverändert

quadratisch linear

xF

xFl r

Sprungxlr FNN lr MM lr QQ

yF

yF

Sprungylr FQQlr NN Knickylr FMM

eM

lr NN lr QQSprungelr MMM

eM

n

nN

q

qQQM

q1

n

1

mQMxd

dM

qQxd

dQ

nNxd

dNjQ

iQ

jN

iN

x

iM

jM

i

j

qn

yFxF



6-8


6.2.4 Bestimmung der Schnittkraftverläufe an Hand von Beispielen

Die Berechnung von Schnittkraftverläufen wird hier zuerst an einfachen Beispie-len erklärt. Im Gegensatz zur Vorlesung Mechanik (Statik) geht es in der Vorle-sung Statik der Tragwerke vorrangig um das grafische Auftragen der Verläufe.Dabei werden statt Funktionen zu berechnen, zur Darstellung die im Kapitel 6.1ausgearbeiteten Beziehungen verwendet.

6.2.5 Kragträger

Den Schnittkraftverlauf bestimmt man, indem man einen Teil des Trägers abtrennt,die wirkenden Schnittkräfte sichtbar macht und diese mit den äußeren Kräften insGleichgewicht bringt.

Abb. 6.10 Bestimmung der Schnittkraftverläufe am Kragträger

Die berechneten Verläufe können nun graphisch aufgetragen werden (Abb. 6.11).Dabei sieht man, dass es eine Beziehung zwischen Belastung und Querkraftverlauf(Belastungsintensität = Neigung der Querkraftlinie) und Querkraftverlauf undMomentverlauf (Querkraft an einem Punkt = Neigung der Tangente des Momen-tenverlaufs an diesem Punkt) gibt. Dies hat natürlich mit den im Kapitel 6.1 abge-leiteten Beziehungen zu tun. Es ist nunmehr für die grafische Darstellung derSchnittkraftverläufe nicht mehr notwendig ihre funktionale Darstellung mathema-tisch aufzubereiten.

A

L

pp

L2

2-----

pL

Σ Fy = 0:

Σ M = 0:

Σ Fx = 0:

x

x 2⁄

Q x( )M x( )

N x( )

px

Q x( ) p x⋅=

M x( ) p– x( )2

2⁄⋅=

N x( ) 0=



Abb. 6.11 Grafische Darstellung der Schnittkraftverläufe

Wir sehen, dass bei einer Belastung mit einer konstanten Streckenlast die Steigungdes Querkraftverlaufs konstant sein muß. Daher wird der Verlauf durch eineGerade beschrieben. Aus dem Querkraftverlauf, der die Steigung der Tangentender Momentenkurve an jedem Punkt darstellt, sehen wir, dass sich die Steigung mitx linear ändert, d.h. die Momentenkurve ist eine Parabel. Betrachtet man die Ver-formte Figur des Kragträgers, so sieht man, dass am gesamten Träger in der Kenn-faser Druck erzeugt wird. Wenn wir den Momentenverlauf auf der richtigen Seiteder Kennfaser auftragen, dann sehen wir, dass dieser auf der Zugseite des Kragträ-gers aufgetragen ist.

6.2.6 Einfeldträger

6.2.6.1 Belastung mit einer Einzellast

Die Auflagerkräfte für den in Abb. 6.12 gezeigten Einfeldträger wurden in Kapitel5 berechnet. Hier wird gezeigt, wie aus den Gleichgewichtsüberlegungen in 6.2 dieVerläufe aus den Schnittkräften an wenigen ausgezeichneten Stellen bestimmtwerden können. Dabei ist es sinnvoll, den Querkraftverlauf zuerst zu zeichnen, dadieser ja den Verlauf der Tangentensteigung der Momentenkurve angibt.

p

[Q]

1

-p

+Q

dQdx------- p–=

[M]

+M

dMdx-------- Q=

1

Q

x



6-10


Abb. 6.12 Schnittkraftverlauf beim Einfeldträger

P

A B

L

a

PaL---⋅ P 1

aL---–

⎝ ⎠⎛ ⎞⋅

Σ Fy = 0 :

Q

QP a⋅

L----------=

Verlauf von Q bis zur Angriffstelle der Einzellast: Konstant !!

dQdx------- 0=

An der Lastangriffsstelle: Sprung von Q der Grösse -P !!

ML-a Σ M= 0 :

M Pa 1aL---–

⎝ ⎠⎛ ⎞=

Moment bei Lastangriffstelle :

A B

[Q]

[M]

P

PP

aL---⋅

M Pa 1aL---–

⎝ ⎠⎛ ⎞=

Querkraft bei A:

PaL---⋅

PaL---⋅

Steigung der Momentenline konstant=Linearer Verlauf



6.2.6.2 Belastung durch Einzelmoment

Die Auflagerkräfte für dieses Beispiel wurden in 5.2.2 berechnet. Die Schnittkraft-verläufe sind in Abb. 6.13 aufgetragen.

Abb. 6.13 Schnittkraftverlauf für Einfeldträger mit Einzelmoment

Da der Stab nur durch ein Moment belastet ist, ist der Querkraftverlauf konstant.Daher hat die Momentenlinie über die gesamte Stablänge nur eine Steigung. Ander Stelle, an der das Moment aufgebracht ist, entsteht ein Sprung von (dieheAbb 6.4).

6.2.6.3 Belastung durch konstante Streckenlast

A B

LM1

L-------

M1

M1

L------- [Q]

[M]M1

M1

L-------

Konstante Querkraft =Gleiche Steigung der Momentenlinie

M1

A B

L12--- q L⋅ ⋅

A

q

M

Q

12--- q L⋅ ⋅

12--- q L⋅ ⋅

N

xqx



6-12


Das maximale Biegemoment tritt an jener Stelle auf, an der die Querkraft zu Nullwird:

Das maximale Moment eines Einfeldträgers unter Gleichlast tritt daher in Feld-mitte auf und beträgt

6.2.7 Geneigter Balken

Wie schon im Kapitel Idealisierungen besprochen, ist es bei der Belastung wichtigzu wissen, ob diese auf die Balkenlänge (z.B. Eigengewicht) oder die projizierteLänge (z.B. Schneelast) bezogen ist. Im vorliegenden Beispiel ist sie auf die wirk-liche Stablänge bezogen. Für die Berechnung von Q und N kann wie folgt vorge-gangen werden:

1. Man zerlegt die Gleichlast und die Auflagerkraft in zwei Komponenten (einequer zum Stab, die andere entlang des Stabes und setzt Gleichgewicht in den loka-len Richtungen und an. Dies wird in Abb. 6.14 verwendet.

2. Man rechnet sich den Verlauf der vertikalen Schnittkraft V (dies entspricht nichtder Querkraft) aus und rechnet auf die lokalen Richtungen (quer zum Stab = Q undin Stabrichtung = N) um. Diese Variante wird in Abb. 6.15 verwendet.

[Q]

[M]

q L⋅ 2

8-------------

q L⋅2

-----------

q L⋅2

-----------

dMdx-------- Q q

L2--- x–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅ 0 xM max,L2---= = = =

!

Mmaxq L⋅ 2

8-------------=

x' y'



Abb. 6.14 Schnittkraftverläufe bei schiefen Balken, Methode 1

A

B

Lα

q (Eigengewicht)

q L⋅2

----------- αcos⋅

[Q]q L⋅

2----------- αcos⋅–

Q

N

q L⋅ 2

8------------- αcos

[M]

q L⋅2

----------- αsin⋅

q L⋅2

-----------– αsin⋅

[N]

L αcos⋅

q L⋅2

-----------

q L⋅2

-----------

q L⋅2

-----------

x'

q αcos

q αsin

qL2--- αsin⋅

qL2--- αcos⋅



6-14


Abb. 6.15 Schnittkraftverläufe bei schiefen Balken, Methode 2

A

B

Lα

q (Eigengewicht)

q L⋅2

-----------[V]

q L⋅2

-----------–

q L⋅2

----------- αcos⋅

[Q]q L⋅

2----------- αcos⋅–

αQ

NV

N

Q V

N V– αsin⋅=

Q V αcos⋅=α

q L⋅ 2

8------------- αcos

[M]

q L⋅2

----------- αsin⋅

q L⋅2

-----------– αsin⋅

[N]

L αcos⋅

q L⋅2

-----------

q L⋅2

-----------

q L⋅2

-----------

x' αcos⋅

x'

q x'⋅



6.2.8 Zahlenbeispiel: Einfeldträger mit Kragarmen

Die Auflagerkräfte für dieses Beispiel wurden in 5.2.3 berechnet. Für das Quer-kraftdiagramm ist es nur notwendig, die Querkraft im Punkt 1 zu berechnen. DerVerlauf von Q wird so bestimmt, dass bei den Einzellasten jeweils Sprünge derGröße der Einzellast auftreten. Aus dem Querkraftdiagramm sieht man, dass imMomentendiagram bei den Einzellasten Knicke auftreten (Abb. 6.16).

Abb. 6.16 Querkraft und Momentenzustandsline eines auskragenden Trägers

1 kN 2 kN 7 kN 1 kN3 kN 2 kN

1,00 1,00 2,00 2,50 2,00 1,50 3,00

2,00 6,50 4,50

1 2 4 5

6

7 8

3

11,544,46

Q

1kN

1 2Q= -1 kN

Sprung von 3 kN



6-16


6.2.9 Rahmen

6.2.9.1 Zweigelenkrahmen

Die Auflagerkräfte für den Rahmen wurden in 5.3.1 berechnet. Für die Gleichge-wichtsüberlegungen ist es vorteilhaft, die Tragwerksteile wie gezeigt herauszu-schneiden.

Abb. 6.17 Teilsysteme für die linke Seite des Zweigelenkrahmens

p = 5 kN/m

P = 40 kN

3,50

3,0

1

2 3 4

1

16,79 kN23,21 kN

15 kN

15 kN 15 kN

3,0

22

M2 15– 3 0 =-45 kNm,⋅= Druck auf Kennfaser !!

Q2l 15 kN–=

N2l 23 21 kN,–=

Q2r 23 21 kN,=

N2r 15 kN–=

23,21 kN 23,21 kN

siehe auch Abb. 6.6 !!

5

(Druck)

Q2l

N2l

M2

M2

Q2r

N2r

1



Dabei kann man sich das separate Diagramm für die Schnittkräfte rechts des Kno-tens sparen, wenn man die Bezeihnung zwischen Q und N bei einer Richtungsän-derung von 90° (Abb 6.6) betrachtet.

Abb. 6.18 Teilsysteme für die rechte und mittlere Seite des Rahmens

1,5

M4 15– 1 5,⋅ 22– 5 kNm,= = Druck auf Kennfaser !!

Q4r 15 kN=

N4r 16 79 kN,–=

Q4l 16 79 kN,–=

N4l 15 kN–=

16,79 kN

siehe auch Abb. 6.6 !!

16,79 kN

15 kN

44

55

15 kN

(Druck)

2

3,5

3M2 45 kNm–=

Q2r 23 21 kN,=

N4r

N4l

Q4r

Q4l

M4

M4

M3

Q3l

M3 45– 23 21 3 5,⋅,+ 36 25kNm,= =

Q3l Q2r=

N3rN2l

N3l N2r=



6-18


Die Schnittkraftverläufe sind in Abb. 6.19 dargestellt.

Abb. 6.19 Schnittkraftveläufe

[M]

[Q]

[N]



6.2.10 Zusammengesetzte Systeme

6.2.10.1 Gelenkträger

Die Auflager und Gelenkskräfte wurden in 5.4.1 berechnet. Die Bestimmung derSchnittkraftverläufe kann zuerst für die beiden Einzelteile bestimmt und dannzusammengesetzt werden.

Abb. 6.20 Schnittkraftverläufe eines Gelenkträgers

P

P

P2---P

2---

L1 L2/2 L2/2

P2--- P L2⋅

4-------------

P L1⋅

2-------------

P L1⋅

2-------------

P L2⋅

4-------------

[Q]

P2---

P2---

[M]

im Gelenk M = 0



6-20


6.2.10.2 Dreigelenkbogen (gerade Stabelemente)

Abb. 6.21 Schnittkraftverlauf als Superposition von 2 Einflüssen

p = 10 kN/m

2 3 4

1 7

5

2,0 2,0 1,0

4,0

4,0

6

52 5,6 25,

4,0

M

Q

N

10x

x

x/2

M 52 5 x 2–( ) 10xx2---⋅+,=

2,0

6 25 4 0,⋅,

52 5,

-

6 25,

10x M

MM0 - M1



Die Auflagerkräfte wurden schon in 5.4.2.1. ausgerechnet. In Abb. 6.21 sieht man,dass der Schnittkraftverlauf als Superposition von zwei Einflüssen gesehen werdenkann: Der Einfluss der vertikalen Kräfte und der Einfluss der horiontalen Auflager-kraft oder Haltekraft (H). Für die Berechnung des Einfusses aus vertikalen Lastenverhält sich das Tragwerk wie ein Einfeldträger mit Kragarmen. Superponiert manbeide Diagramme muss im Gelenkpunkt das Biegemoment Null herauskommen.

Abb. 6.22 Berechnung des Momentenverlauf mit Hilfe der Superposition

p = 10 kN/m

2 3 4 5 6

52 5, 37 5,

2 3 4

1 7

5 6

6 25, 6 25,

=

M1

M0

2 3 4

1 7

5 6

= =M=0 ; Gelenk !!!

M



6-22


Abb. 6.23 Endgültige Schnittkraftverläufe

[M]

[Q]

[N]



6.2.10.3 Dreigelenkbogen (gekrümmt)

Wir untersuchen hier einen gekrümmten Dreigelenkbogen mit einer parabolischenForm und einer Belastung durch eine Gleichlast (z.B. Schneelast).

Abb. 6.24 Dreigelenkbogen mit parabolischer Form und Gleichlast

q kN (proj. Länge)

M0

h(x)

xH H

H H

M1

qL2 8⁄

L/2 L/2

H f⋅

MGelenk qL2 8⁄ H f⋅– 0= = H qL2 8⁄ f=

f

M x( )qL2

------- xx2

L-----–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

H h x( )⋅– 0= = Stützlinie

qL2

------- xx2

L-----–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

h x( ) 4fL--- x

x2

L-----–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

x

H h x( )⋅



6-24


Aus Abb. 6.24 ergibt sich, dass für die gegebene Belastung die Momente in demTragwerk an jeder Stelle verschwinden. Diese Form des Dreigelenkbogens ist auchals Stützline bekannt. Für die Bestimmung des Querkraft und Normalkraftverlaufsmüssen die Kräfte in die lokalen Richtungen umgerechnet werden. Hier kann wie-der der Einfluss aus den vertikalen und horizontalen Lasten getrennt betrachtet unddann superponiert werden. Dabei kann man sehen, dass die Querkraft desEinfeldträgers in Abb. 6.24 ist.

Abb. 6.25 Berechnung der Querkraft und Normalkraft

In Abb. 6.26 und Abb. 6.27 werden die Schnittkraftverläufe für einen kreisförmi-gen Dreigelenkbogen und einen Zweigelenkbogen gegenübergestellt. Man sieht,dass die Momente im Dreigelenkbogen wesentlich kleiner sind als im Zweigelenk-bogen.

Abb. 6.26 Verlauf der Biegemomente in einem Zweigelenk- und Dreigelenkrahmen

Q0 x( )

H

RAy

α x( )

Q

N

H

N H αcos–=

aus H

Q H αsin–=

aus

Q0

Q0

Q0 αsin–

Q0 αcos

Q

NQ0α x( ) 4

fL--- 1 2

xL---–

⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞atan=

M



Die Normalkräfte sind jedoch im Dreigelenkrahmen größer.

Abb. 6.27 Normalkraft und Querkraftverläufe

Q

N



6-26

Schnittkraftverläufe - 3-D Systeme

6.3 Schnittkraftverläufe - 3-D Systeme

Bei 3-D Systemen werden die Schnittkräfte in einer axonometrischen Darstellunggezeigt. Dabei ist sowohl die Kennfaserdarstellung als auch die „on the tensionside“ Darstellung möglich. Hier gibt es für die zwei Biegemomente zwei verschie-dene Kennfasern.

Abb. 6.28 Darstellung des Biegemomentes

Abb. 6.28 und Abb. 6.29 zeigen die Darstellung der Biegemomentenverläufe.

Abb. 6.29 Darstellung des Biegemomentes

Auch ein 3-D Tragwerk kann man in Stab- und Knotenelemente einteilen. Für dieKnoten kann man die Übertragungsgleichungen für ebene Systeme erweitern.

6.3.1 Übertragungsgleichungen

Die Übertragungsgleichungen für Einzellasten sind ähnlich wie bei ebenen Syts-men, d.h. es gibt Sprünge bei Querkraft, Normalkraft und Momentenverläufen aufGrund von den jeweiligen Belastungen. Bei Richtungsänderungen der Stäbe gibt

x

yz

x'

y'

My'

My'

x

yz

x'

z'

Mz'

Mz'


SchnittkraftverläufeSchnittkraftverläufe - 3-D Systeme

es jetzt auch Sprünge in den Momentenverläufen. Als Beispiel wird dies in Abb.6.30 für Momente in der x-y Ebene gezeigt.

Abb. 6.30 Knotenübertragungsgleichung für Momente bei Richtungsänderung von 2 angeschlossenen in der x-y Ebene liegenden Stäbe

.

Abb. 6.31 Sonderfall bei rechtem Winkel

x

y

x'

α y'

My'r

My'l

Mx'r

Mx'l

Mx'r Mx'l α My'l αsin–cos=

My'r Mx'l α My'l αcos+sin=

y'

x'

x

y

My'r

My'l

Mx'r

Mx'l

My'r Mx'l=

Mx'r My'l–=



6-28


6.3.2 Gleichgewicht eines Teilelements

Bringt man alle an den Schnittufern wirkenden Schnittkräfte an, so kann dasGleichgewicht eines beliebig herausgeschnittenen Teils getrennt betrachtet wer-den. In Abb. 6.32 und Abb. 6.33 wird das Gleichgewicht eines Teils von der Länge

(hier infinitesimal klein angenommen) mit einer verteilten Belastung in denbeiden Hauptachsenebenen untersucht.

Abb. 6.32 Gleichgewicht eines abgeschnittenen Teils des Balkens in der Ebene

dx'

x'

n

N dN+

N

z'

Fx'∑ 0= ndx' N– N dN+ + 0=dNdx'------- n–=

Fy'∑ 0= qz'dx' Qz'– Qz' dQz'+ + 0=dQz'

dx'---------- qz'–=

Mum o∑ 0= qz'dx'dx'2

------- My' dMy' My'– Qz' dx'⋅–+ +⋅ 0=dMy'

dx'----------- Qz'=

o

dx' 0⇒

dx'

dx'

n dx'⋅

qz' dx'⋅

qz'

Qz'Qz' dQz'+

My'

My' dMy'+

x' z'–



.

Abb. 6.33 Gleichgewicht eines abgeschnittenen Teils des Balkens in der Ebene

x'

ny'

Fy'∑ 0= qy'dx' Qy'– Qy' dQy'+ + 0=dQy'

dx'---------- qy'–=

Mum o∑ 0= qy'dx'dx'2

------- Mz' dMz' Mz'– Qy' dx'⋅–+ +⋅ 0=dMz'

dx'----------- Qy'=

o

dx' 0⇒

dx'

dx'

n dx'⋅

qy' dx'⋅

qy'

Qy'Qy' dQy'+

Mz'

Mz' dMz'+

x' y'–



6-30


Zahlenbeispiel: 3-D System 1

Biegemomente und Querkräfte Stab 1:

2

1

P = 20 kN

p = 10 kN/m

x

y

z

3,00

15 kN

25 kN

1,5

30 kN

1,510 kN

1

x

y

z

10 kN

y'

z'

x'

x'

My'Qz'

1

P = 20 kN

1,510 kN

x'

My'

Qz'

My' x'( ) 10 x'⋅= My' x'( ) 10 x' 20 x' 1 5,–( )⋅–⋅=

Qz' x'( ) 10= Qz' x'( ) 10 20–=

My' x' 3=( ) 10 3 20 1 5,⋅–⋅ 0 aus gegebener Belastung= =



Biegemomente und Querkräfte Stab 2:

Biegemomentenverlauf und Querkraftverlauf:

2x

y

z

a

15 kN

10 a⋅ x'

y'z'

My'

Qz'

a2---

My' a( ) 15 a 10a2

2----⋅–⋅= My' a 3=( ) 15 3 10

32

2-----⋅–⋅ 0 = =

Qz' x'( ) 15– 10 a⋅+=

Knotengleichgewicht:

25 kN

Qz'2

Qz'1

Qz'2 Q= z'1 25+

15 kNm

11,25 kNm

-15,00 kN

15,00 kN

-10,00 kN

10,00 kN

+

Qz'My'



6-32


Zahlenbeispiel: 3-D System 2

2x

y

z

a

10 a⋅x'

y'z'

My'

Qz'

a2---

My' 10–a2

2----⋅=

Qz' 10 a⋅=

Mx'

2

1

x

y

z 3,003,00

30 kN

90 kNm

45 kNm

30 kN

2

x

y

z1,5

30kN

x'

y'

z'

Qz'

My' 30– b⋅=

Qz' 30=

My'

Mx'

b

Mx' 30 1 5,⋅=



Biege- und Torsionsmomentenverlauf sowie Querkraftverlauf:

-45,00 kNm -90,00 kNm

My’: Mx’:

30,00 kN

Qz’:

45,00 kNm

30,00 kN

TorsionsmomentBiegemoment

+

-

-



6-34



7 Fachwerke

7.1 Einleitung

Das Fachwerk wurde als Tragwerksform schon relativ früh entdeckt. Abb. 7.1.zeigt z.B eine Fachwerkbrücke über die Donau, die im Jahre 105 n.Chr. von denRömern erbaut wurde.

Abb. 7.1 Römisches Relief, das eine Fachwerkbrücke zeigt

Heutzutage ist das Fachwerk eine sehr häufig verwendete Tragwerksform. Kon-struktiv sind Fachwerke meist so ausgebildet, dass eine starre Verbindung der ein-zelnen Tragwerksteile besteht (siehe z.B. Abb. 7.2).

Abb. 7.2 Konstruktive Ausbildung eines Fachwerksknotens


7 Fachwerke

7-2

Einleitung

Um die Berechnung zu vereinfachen wird das Fachwerk jedoch idealisiert.

Das ideale Fachwerk hat:

1) gerade Stabachsen, die einander im Bereich der Knoten in einem Punkt schnei-den (zentrischer Stabanschluss)

2) Stäbe, die in den Knoten reibungsfrei miteinander verbunden sind (Gelenke)

3) Belastungen, die nur aus Einzelkräften in den Knoten bestehen.

Unter den oben genannten Voraussetzungen treten in den Stäben des Fachwerksnur Normalkräfte auf.

zu 1) Die erste Annahme für ein ideales Fachwerk wird in den meisten Fällendurch entsprechende konstruktive Maßnahmen (die Schwerlinien der angeschlos-senen Stäbe schneiden einander in einem Punkt) eingehalten.

zu 2) Wie schon erwähnt werden Fachwerke in der Regel nicht aus gelenkig ange-schlossenen Tragwerksteilen konstruiert. Der Einfluß eines starren Anschlusseskann aus der Gegenüberstellung der Schnittkräfte zwischen gelenkig und starrangeschlossenen Stäben erklärt werden (Abb. 7.3 und ).

Abb. 7.3 Schnittkräfte bei gelenkig angeschlossenen Stäben (Programm RuckZuck)

[M]

[N]


FachwerkeEinleitung

Abb. 7.4 Schnittkräfte bei starr angeschlossenen Stäben (Programm RuckZuck)

Man sieht, dass die zusätzlichen Momente, welche bei einem starren Anschluß ent-stehen, im Vergleich zu den Normalkräften klein sind und dass sich die Normal-kräfte nur geringfügig ändern. Fachwerkstäbe werden daher nur auf Druck/Zugdimensioniert und der Einfluß der „Nebenspannungen“ aus den Biegemomentenwird vernachlässigt.

zu 3) Die Annahme, dass Belastungen nur in den Fachwerkknoten wirken, wirddadurch erfüllt, dass das Eigengewicht der Stäbe vernachlässigt wird und Lastenüber Biegeträger in die Knoten eingeleitet werden (Abb. 7.5 und Abb. 7.6).

Abb. 7.5 Gegebenes Tragsystem und Belastung

[M]

[N]


7 Fachwerke

7-4

Berechnung der Stabkräfte

Abb. 7.6 Auf das Tragwerk wirkende Belastung

Abb. 7.7 zeigt die bei Fachwerken verwendete Terminologie für die Bezeichnungder Tragwerksteile.

Abb. 7.7 Beim Fachwerk verwendete Terminologie

7.2 Berechnung der Stabkräfte

7.2.1 Allgemeines

Zur Ermittlung der Stabkräfte wird jeder einzelne Knoten „freigeschnitten“,dadurch werden die Stabkräfte freigelegt (siehe Abb. 7.8). Da die Stabkräfte nochunbekannt sind, werden sie zunächst als Zugkräfte angenommen. Dadurch wird dieVorzeichenkonvention festgesetzt (ist das Ergebnis für die Stabkraft negativ,befindet sich dieser Stab unter Druck).

Die Stabkräfte bestimmt man, indem man an jedem Knoten die Gleichgewichtsbe-dingungen ansetzt. Für ebene Tragwerke stehen für jeden Knoten 2 Gleichge-wichtsgleichungen zur Verfügung. Für das Tragwerk in Abb. 7.8 mit 5 Knotenstehen daher insgesamt 10 Gleichungen zur Verfügung. Die Unbekannten sind:

7 Stabkräfte:

3 Auflagerkräfte:

d.h. insgesamt 10 Unbekannte. Das Tragwerk ist statisch bestimmt.

Obergurt

Untergurt

Diagonale oder StrebeVertikale oder Pfosten

D1 D2 D3 D4 U1 U2 O1, , , , , ,

R1x R1y R5y, ,


FachwerkeBerechnung der Stabkräfte

Abb. 7.8 „free body diagram“ eines Fachwerkträgers

Die Knotengleichgewichtsbedingungen lauten:

1

2

3

4

5α

α

α

1

2

3

4

5R1x

R1y

D1

D1

U1 U1

D2

D2 D3

U2U2

D4

D4D3

O1O1

R5y

P

α α

PAngabe

„free body diagram“

1

R1x

R1y

D1

U1

R1x U1 D1 αcos+ + 0=

R1y D1 αsin+ 0=

2

D1

O1

D2

D2 α D1 α O1+cos–cos 0=

D2 αsin D1 αsin+ 0=

3U1

D2 D3

U2

P D3 α D2 α U1– U2+cos–cos 0=

D3 αsin D2 α P–sin+ 0=

4

D4D3

O1

D4 α D3 αcos–sin 0=

D3 αcos D4 α O1–cos+ 0=

5U2

D4

R5y

D4 α R5y+sin 0=

D4 αcos U2+ 0=

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)


7 Fachwerke

7-6


7.2.2 Bestimmung der statischen Bestimmtheit

Die oben vorgestellten Überlegungen erlauben es, die statische Bestimmtheit einesFachwerks festzustellen. Zu den Beispielen in Abb. 7.9 ist zu bemerken, dass dieAbzählbedingungen nicht ausreichen, um die Verschieblichkeit eines Systems fest-zustellen.

Abb. 7.9 Verschiebliche, statisch bestimmte und statisch unbestimmte Fachwerke

8 < 9 , statisch unbestimmt

34=34, statisch bestimmt6=6, statisch bestimmt

verschieblich

12=12 trotzdem verschieblich !!!34>33 verschieblich

Anzahl der Gleichungen= 2*4= 8Anzahl der Stäbe= 4Anzahl der Auflagerkräfte= 3

8 > 7

Gleichungen= 2*6= 12Stäbe= 9

Auflagerkräfte= 3

Gleichungen= 2*17= 34Stäbe= 30

Gleichungen= 2*3= 6Stäbe= 3Auflagerkräfte= 3



8=8, statisch bestimmt


Auflagerkräfte = 3



7.2.3 Das Rundschnittverfahren

Mit dem Rundschnittverfahren können Stabkräfte im Fachwerk durch Handrech-nung bestimmt werden. Im Rundschnittverfahren werden zuerst die Auflagerkräfte(siehe Kapitel 5) berechnet. Dann werden die Knotenrundschnitte in einer gewis-sen Reihenfolge gemacht. Diese wird so bestimmt, dass bei einem Knoten nurjeweils zwei unbekannte Stabkräfte auftreten. Für das Fachwerk aus Abb. 7.8 istdie Reihenfolge in Abb. 7.10 dargestellt.

Abb. 7.10 Reihenfolge der Knotenrundschnitte

Die Gleichgewichtsgleichungen für Schnitt 1 und 2 sind in Abb. 7.11 und Abb.7.12 dargestellt.

Abb. 7.11 Knotenrundschnitt 1

D1 D2

U1

O1

A B

Rundschnitt 1

Rundschnitt 2

PRundschnitt 3

Rundschnitt 4

Rundschnitt 5

RAx

RAy

D1

U1α

D1 αsin⋅ RAy+ 0=

U1 D1 αcos⋅ RAx+ + 0=

D1 und U1

Fx 0:=∑

Fy 0:=∑

Rundschnitt 1:


7 Fachwerke

7-8


Abb. 7.12 Knotenrundschnitt 2

Nullstäbe

Nullstäbe sind Stäbe, die unter der gegebenen Belastung spannungsfrei bleiben.Das Rundschnittverfahren lässt Nullstäbe leicht erkennen (s. Abb. 7.13).

Abb. 7.13 Nullstäbe

Folgende Gesetzmäßigkeiten kann man erkennen:

Treffen zwei Fachwerkstäbe in einem unbelasteten Knoten zusammen, so sindbeide Stäbe Nullstäbe.

Treffen zwei Stäbe in einem belasteten Knoten zusammen und wirkt die Kno-tenlast in die Richtung der Stabachse eines der beiden Stäbe, so ist der andereStab ein Nullstab.

Treffen drei Stäbe in einem unbelasteten Knoten zusammen und liegen zweiStäbe in einer gemeinsamen Wirkungslinie, so ist der dritte Stab ein Nullstab.

Treffen zwei Stäbe mit gemeinsamer Wirkungslinie und zusätzliche, schonbestimmte Nullstäbe in einem unbelasteten Knoten zusammen, so ist jeder wei-tere an diesen Knoten angeschlossene Stab ein Nullstab.

7.2.4 Graphisches Verfahren nach Cremona

Das Verfahren nach Cremona ist das grafische Äquivalent zum Rundschnittver-fahren und wurde.in der zweiten Hälfte des 19. Jhds von Antonio Cremona entwik-

D1 D2

O1

D1 αsin⋅– D2 αsin⋅– 0=

O1 und D2

Fy 0:=∑D1 αcos⋅– D2 αcos⋅ O1+ + 0=Fx 0:=∑

Rundschnitt 2:

αα

P2

O1

V1 V2V3

13

5

2 4

Rundschnitt Knoten 1:V1 = 0O1 = 0

Rundschnitt Knoten 5:V3 = 0

Rundschnitt Knoten 2:V2 = P2



kelt und hat heutzutage nur mehr historische Bedeutung. Die zugrundeliegendeIdee ist es, die Gleichgewichtsgleichungen durch Kraftpolygone zu ersetzen (sieheauch Kapitel 2).

Regeln für das Zeichnen

Die Kräfte müssen in der Reihenfolge zusammengesetzt werden, in der sie beimUmfahren des Fachwerkknotens auftreten (links oder rechts herum).

Der einmal gewählte Umlaufsinn ist für das gesamte Fachwerk beizubehalten.

Jeder Stab darf nur einmal im Cremonaplan vorkommen.

Jedem Knoten im Fachwerk entspricht im Cremonaplan ein Polygon.

Die Darstellung der Stabkräfte erfolgt in der Regel so, dass die Wirkung der Stab-kräfte auf die Knoten angegeben wird. Zugkräfte sind positiv.

Das folgende Beispiel für einen Cremonaplan ist dem Buch von K. Hirschfeld„Baustatik - Theorie und Beispiele“ entnommen.

Der Umfahrungssinn ist gegen den Uhrzeigersinn positiv gewählt.

Zugstab Druckstab


7 Fachwerke

7-10


Abb. 7.14 Beispiel für die Anwendung des Cremonaplans

7.2.5 Das Ritterschnittverfahren

Das Ritterschnittverfahren kommt zur Anwendung, wenn nicht alle Stabkräfte zubestimmen sind. Es ist somit unter anderem für die Bestimmung von Einflußlinienvon Bedeutung (siehe Kapitel 9).

Bei dieser Methode wird das Tragwerk (wie bei der Bestimmung der Schnittkräftein Trägern) in zwei Teile geschnitten. Für die Bestimmung der Stabkräfte bringtman den abgeschnittenen Teil ins Gleichgewicht. Es stehen 3 Gleichungen für dieBestimmung der unbekannten Stabkräfte zur Verfügung. Der Schnitt muss daher ttso geführt werden, dass nur drei Stäbe durchgeschnitten werden.

1 kN



Abb. 7.15 Berechnung der Stabkräfte mit dem Ritterschnittverfahren

Im Folgenden verwendete Ausdrücke:

ΣMi : die Summe aller Momente von äußeren Belastungen und Auflagerkräftenum den Punkt i am herausgeschnittenen Teil. Momente sind definitionsgemäßpositiv, wenn sie gegen den Uhrzeigersinn drehen.

ΣV : Summe aller vertikalen Anteile von Belastung und Auflagerkräften für denherausgeschnittenen Teil .

Für die Bestimmung der Stabkräfte gilt es, möglichst solche Gleichgewichtsglei-chungen zu verwenden die nur eine unbekannte Stabkraft enthalten. So wird fürdie Berechnung der Untergurtkraft das Moment um jenen Punkt berechnet, an demsich die beiden anderen Stäbe (Diagonale und Obergurt) schneiden. Diese Stäbehaben um diesen Punkt kein Moment (weil keinen Abstand) und kommen in derGleichung nicht vor. Eine analoge Gleichung kann für die Obergurtkraft gefundenwerden.

Die Gleichungen für das Beispiel in Abb. 7.15 sind:

Momentengleichgewicht um Knoten 3:

P

Px

1

2

3

4Py

RAx

RAy

U2

D3

O1

h2h1

+x

yβ

α

M3∑ 0: O– 1 h1⋅ ΣM3+ 0== O1

ΣM3

h1

-----------=


7 Fachwerke

7-12


Momentengleichgewicht um Knoten 4:

Die Stabkraft D2 erhält man hier am günstigsten aus der Bedingung ΣFy= 0:

Parallelgurtiges Fachwerk

Bei einem parallelgurtigen Fachwerk mit vertikaler Belastung ergeben sich Ver-einfachungen. Hier stellen wir uns den Fachwerkträger als Biegeträger („Ersatzträ-ger“) vor und bestimmen Momenten- und Querkraftverläufe. Aus diesen Verläufenerfolgt die Berechnung mit einfachen Formeln. Dabei werden im Gegensatz zumVorhergehenden, wo die Gleichungen Gleichgewichtsbedingungen darstellen, dieaus den Stabkräften entstehenden Momente und Querkräfte den Schnittgrößen Mund Q des Ersatzträgers gleichgesetzt.

U2

ΣM4

h2

-----------–=M4∑ 0: U2 h2⋅ ΣM4+ 0==

O1 αsin⋅ D3 βsin⋅ ΣV+ + 0= D3



Abb. 7.16 Berechnung des Untergurts und der Diagonale mit Hilfe eines Ersatzträgers

Abb. 7.17 Berechnung des Obergurts mit Hilfe eines Ersatzträgers

h

Mi

Mi

Qir

Ersatzträger:

Fachwerk:

i

i

Di

Qi

αsin-----------=Mi Ui h⋅= Ui

Mi

h------= Di αsin Qi=

α

Di

Oi

Ui

Qir Querkraft rechts vom Schnitt( )

h Mi+1

Mi+1Ersatzträger:

Fachwerk:

i

i

Mi 1+ Oi– h⋅= Oi

Mi 1+

h------------–=

i+1

i+1

Oi


7 Fachwerke

7-14


Abb. 7.18 Berechnung der Vertikalen mittels Rundschnitt

7.2.6 K-Fachwerk

Bei der Berechnung der Stabkräfte für K-Fachwerke kann man keinen Schnittmachen, der nur durch drei Stäbe geht. Daher wird dieses Fachwerk hier getrenntbetrachtet.

Das K-Fachwerk wird vielfach für Windverbände im Brückenbau und im Hochbausowie für die Ausfachung von Masten und Türmen verwendet. Es ergibt sich dabeider Vorteil, dass bei symmetrischer Ausbildung bezüglich der Trägerachse gleicheStabkräfte für beide Windrichtungen auftreten. Auch Vereinfachungen bei derHerstellung können daraus resultieren. Im Brückenbau kommen dennoch auchhäufig unsymmetrische Konstruktionen mit K-Fachwerken zur Anwendung. Abb.7.19 zeigt einige Beispiele.

Abb. 7.19 Beispiele für K-Fachwerke

Knotenrundschnitt

Vi Di αsin⋅–=

Fy∑ 0=

Vi Di αsin⋅+ 0=

Vi Qi–=

i

Di

OiOi 1–

Vi

Achtung: innerlich statisch unbestimmt!!



Beispiel für die Berechnung eines K-Fachwerks

Angabe:

Der erste Schnitt zur Bestimmung der Diagonalen ist ein Knotenrundschnitt:

Die horizontalen Komponenten der Diagonalen sind gleich groß und entgegenge-setzt gerichtet!!

+x

y

RAy RBy

αo

αu

h

P

+x

yi

Doi

Dui

Vui

Voi

Fx∑ 0=

αoαu

Doi αo Dui αucos+cos 0=


7 Fachwerke

7-16


Zur Berechnung von Ober- und Untergurt wird ein Ritterschnitt geführt:

Ein weiterer Knotenrundschnitt dient der Berechnung der vertikalen Stabkraft:

+x

yDoi

Dui

Oi

Ui

io

iu

MioUi h⋅+ 0= Ui Mio

h⁄=

MiuOi h⋅– 0= Oi M– iu

h⁄=

Achtung: Da die horizontalen Komponenten der Diagonalkräfte gleichgroß und engegengesetzt gerichtet sind ergibt sich kein zusätzliches Moment aus den Diagonalkräften !!

Qir D+ ui αu Doi αosin–sin 0=

Doi αo Dui αucos+cos 0=aus Abb. 7.22

Doi Doi,

+x

yi

Doi

Vi 1+

Fy∑ 0= P D+ oi αo Vi 1++sin 0=

Ui 1+Ui

αo

P

Vi 1+


FachwerkeZahlenbeispiel: Fachwerkkonstruktion

7.3 Zahlenbeispiel: Fachwerkkonstruktion

Gesucht:

Stabkräfte S19, S20, S8, S2 und S16 zufolge P6 = P9 = P10 = 50 kN

Das System wird im Gelenkspunkt 9 durchtrennt und die Auflager- und Gelenks-kräfte werden angesetzt:

Zuerst wird der vertikale Anteil der Gelenkskraft Gy bestimmt.

Teil 2:

Die horizontale Komponente der Gelenkskraft Gx kann dann aus dem Momenten-gleichgewicht um Knoten 12 bestimmt werden.

Teil 1:

2,00

4,00

5 x 3,00 m = 15,00 m

4 x 3,00 m = 12,00 m 1,50 m1,50 m

+x

y50 kN 50 kN 50 kN

1 2 3 4 5

6 7 8 9 1011

12

14

4 6 8

15 16 17 18

10 125 7 9 11 13

1 2 3

201

19

50 kN 50 kN 50 kN

1 2 3 4 5

6 7 8 9 1011

12

14

4 6 8

15 16 17 18

10 125 7 9 11 13

1 2 3

2019

R12x

R12y

R11x

R11y

Gy

Gx

Gy

Gx

Teil 1 Teil 2

M11∑ Gy 6,00⋅ 50 6,00⋅ 50 3,00⋅–– 0= = Gy 75 kN=

M12∑ Gy 6,00⋅ 50 3,00⋅– Gx 4,00⋅– 0= = Gx 75 kN=


7 Fachwerke

7-18

Zahlenbeispiel: Fachwerkkonstruktion

Die horizontale Komponente der Auflagerkraft im Knoten 12 errechnet man ambesten aus der Bedingung, dass die Summe der horizontalen Kräfte am Teil 1gleich Null sein muss.

Teil 1:

Mit der Bedingung ΣFy = 0 für den Teil 1 kann man die vertikale KomponenteR12y der Auflagerkraft im Knoten 12 ermitteln.

Teil 1:

Die Stabkräfte S19 und S20 erhält man durch einen Rundschnitt um den Knoten 12:

Zur Bestimmung von S2, S8 und S16 wird der Schnitt I-I geführt:

Fx R12x Gx– 0= =∑ R12x 75 kN=

Fy R12y 50 G– y– 0= =∑ R12y 125 kN=

12

R12x

R12y

S19

S20

α1α1

43---=tan α1 53,1301°=

Fy R12y S20 α1 S19+ 0=sin⋅+=∑

Fx R12x S20 α1cos⋅+ 0= =∑ S20 125 kN–=

S19 25 kN–=

Gy = 75 kN

Gx = 75 kN

S2

S8

S16

3

9

I

I

α2

α22

1,5-------=tan α2 53,1301°=

8

M3 Gy 1,50⋅ S16 Gx+( ) 2,00⋅+ 0= =∑ S16 -131,25 kN=

M8∑ Gy 3,00⋅ S2 2,00⋅– 0= = S2 +112,5 kN=

Fy∑ Gy S8 α2sin⋅+ 0= = S8 93,75 kN–=


Fachwerke3-D Fachwerke

7.4 3-D Fachwerke

Bei dreidimensionalen Fachwerken wird analog zu den 2-D Fachwerken vorgegan-gen, aber fast ausschließlich das Rundschnittverfahren verwendet. Für einen Kno-ten stehen 3 Gleichgewichtsgleichungen zur Verfügung. Die Berechnung erfolgtam besten mit Hilfe der Vektorrechnung. Dabei werden zuerst Einheitsvektoren inRichtung der Stäbe ermittelt. Die Stabkraft kann dann als Vektor dargestellt wer-den (siehe Abb. 7.20) und die vektorielle Summe aller Stabkraftvektoren kanngebildet werden.

Abb. 7.20 Darstellung einer Stabkraft als Vektor

x

y

z

ey

ex

ezS S

ex

ey

ez

⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=e


7 Fachwerke

7-2

3-D Fachwerke

7.4.1 Zahlenbeispiel: 3-D Fachwerk

Abb. 7.21 Angabe für 3-D Fachwerkbeispiel und Knotenrundschnitt

Bestimmung der Einheitsvektoren für Stäbe:

Bestimmung der Stabkräfte

1

23

3,003,00

x

y

z3,00

4,00

P

30 0,

30 0,

0⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

S1

S2S3

P

es115---

0,00

3 0,

4 0,⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

0,00

0,60

0,80⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

= es215---

0,00

3 0,–

4 0,⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

0,00

0– ,60

0,80⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

es315---

3 0,

0,00

4 0,⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

0,60

0,00

0,80⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

S1 es1 S2 es2 S3 es3 P+⋅+⋅+⋅ 0=ΣF 0: =

0 Statik der Tragwerke

Fachwerke3-D Fachwerke

S= 1

es1x

es1y

es1z⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

S2

es2x

es2y

es2z⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

S3

es3x

es3y

es3z⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ Px

Py

Pz⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

+⋅+⋅+⋅

0

0

0⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

=

es1x es2x es3x

es1y es2y es3y

es1z es2z es3z

=

S1

S2

S3⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ Px

Py

Pz⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

+⋅

0

0

0⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

=

0,00 0,00 0,60

0,60 0,60 – 0,00

0,80 0,80 0,80

S1

S2

S3⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ 30,00

30,00

0,00 ⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

+⋅

0

0

0⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

=

S1

S2

S3

0,00

50,00

50,00 –⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

=

S1 0,00 kN= S2 50,00 kN= S3 50– ,00 kN=


7 Fachwerke

7-22

3-D Fachwerke


8 Mischsysteme

8.1 Langer’scher Balken

Verstärkt man einen Balken durch einen polygonalen Stabzug, in dessen Gelenkenmit dem Balken verbundene Hängestangen oder Pfosten angeschlossen sind, soerhält man einen sogenannten Langer’schen Balken. Josef Langer war ein österreichischer Ingenieur. Er beschrieb als erster das Tragverhalten von durch Stabzügeverstärkten Balken. In Graz wurde 1881 die erste Langer’sche Balkenbrücke gebaut.

Der Balken kann als Vollwand- oder als Fachwerkbalken ausgebildet sein. Norma-lerweise werden Langer’sche Balken ohne Gelenk in der Mitte ausgeführt. DasSystem ist in diesem Fall einfach statisch unbestimmt. Führt man jedoch einGelenk im Balken ein, so wird das System statisch bestimmt und die innerenKräfte lassen sich allein auf Grund von Gleichgewichtsbedingungen ermitteln.

Sind die Knotenpunkte des Stabzugs gelenkig ausgebildet, so treten im Stabzugund in den Hängestangen nur Normalkräfte auf. Die folgenden Überlegungen wer-den für vertikale Belastung angestellt.

Als erstes können die Auflagerkräfte RAx, RAy und RBy bestimmt werden. Sieerrechnen sich wie beim Träger auf zwei Stützen mit der Stützweite L.

+x

y

ϕmϕm+1

Sm

Sm+1

Zmf

L

LA LB

RByRAy

RAxG


8 Mischsysteme

8-2

Langer’scher Balken

8.1.1 Bestimmung der Stabkräfte

Zur Ermittlung der Hängestangenkräfte Zi und der Stabkräfte Si wird das Kräfte-gleichgewicht in horizontaler sowie vertikaler Richtung an jedem Knoten des Stab-zuges durch Knotenrundschnitte untersucht.

Aus der Gleichgewichtsbedingung ΣFx = 0 am Knoten m folgt, dass die Horizon-talkomponenten H der Stabkräfte Si an jedem Knoten gleich groß sein müssen.

Die Hängestangenkraft Zm folgt aus der Gleichgewichtsbedingung ΣFy = 0.

Sie ergibt als Differenz der Vertikalkomponenten von Sm und Sm+1:

Um die Horizontalkomponente H der Kräfte Si im Stabzug zu ermitteln, führt maneinen Vertikalschnitt durch das Gelenk G und formuliert die Momentengleichge-wichtsbedingung ΣMG = 0, da ja im Gelenkspunkt kein Biegemoment aufgenom-men werden kann. Damit ergibt sich für H folgende Beziehung:

Dabei ist MG0 das Biegemoment im Punkt G an einem Ersatzbalken auf zwei Stüt-zen mit der Länge L.

Hat man erst einmal die Hängerstangenkräfte sowie die Kräfte im Stabzug ermit-telt, so können damit die Schnittkräfte im Balken selbst ermittelt werden.

ϕm ϕm+1

Sm

Sm+1

Zm

m

H const. Sm ϕm Sm 1+ ϕm 1+cos⋅=cos⋅= =

Sm 1+Hϕm 1+cos

----------------------=

SmH

ϕmcos---------------=Sm

Hϕmcos

---------------=

Zm Sm ϕmsin⋅ Sm 1+ ϕm 1+sin⋅–+ 0=

Zm H ϕmtan ϕm 1+tan–( )⋅–=

ϕmϕm+1

Sm

Sm+1

Zm

RAy

RAx Gx

Gy

fH

MG0

f----------–=

H


MischsystemeLanger’scher Balken

8.1.2 Schnittkraftverläufe am Balken

Betrachtet man die Ergebnisse der Berechnung, so fällt auf, dass bei einem sym-metrischen System die Stabkräfte im Stabzug und in den Hängern auch bei unsym-metrischer Belastung des Systems symmetrisch sind.

Für die Berechnung der Schnittkraftverläufe am Balken kann man entweder dieFachwerkstäbe durch ihre Kräfte ersetzen oder den Schnitt durch das Gesamtsy-stem machen.

8.1.2.1 Ersatzlasten für Fachwerkstäbe

Man ersetzt zuerst die Fachwerkstäbe durch die oben errechneten Stabkräfte undführt dann die entsprechenden Schnitte durch.

8.1.2.2 Schnitt durch Gesamttragwerk

In der zweiten Methode wird der Schnitt durch das Gesamttragwerk gemacht.

Z1

RAy

RAx

Z2

Q

M

ϕm

Sm

hm

RAx

H

Sm+1

Q

M

RAy

M M0 H– hm⋅= M0 Moment am Einfeldtrager

V

Q Q0 V–= Q0 Querkraft am Einfeldtrager


8 Mischsysteme

8-4


8.1.2.3 Superposition der Einflüsse

Man kann auch das Prinzip der Superposition anwenden, indem man die Einflüsseder Belastung und der Stabkräfte trennt.Dies wird anhand eines gleichmäßig bela-steten Langerbalkens gezeigt.

Abb. 8.1 Schnittkraftverlauf mit Hilfe der Superposition: Balken mit Belastung

LRByRAy

RAx

M

Q

MG


MischsystemeLanger’scher Balken

Abb. 8.2 Schnittkraftverlauf mit Hilfe der Superposition: Balken mit Stabkräften

RByRAy

RAx

M

Q

MG


8 Mischsysteme

8-6


Abb. 8.3 Endgültige Schnittkraftverläufe

M

Q


MischsystemeHängebrücke

8.2 Hängebrücke

Die Hängebrücke wurde im Kapitel 5 behandelt, wo die Bestimmung der Aufla-gerkräfte und der horizontalen Komponente der Seilkräfte (H) erklärt wurde.

Ist H bekannt, können durch Knotengleichgewichtsgleichungen alle Stabkräftebestimmt werden. Die Schnittkraftverläufe im Biegeträger werden mit Hilfe desSuperpositionsprinzips bestimmt: Der endgültige Schnittkraftverlauf setzt sich ausdem Schnittkraftverlauf eines Einfeldträgers mit der Belastung (Seil durchge-schnitten, Hülse über dem Gelenk) und der Hängebrücke mit bekannten Seilkräf-ten (bzw. bekanntem Wert der horizontalen Komponente H) zusammen.

Abb. 8.4 Hängebrücke mit Belastung und inaktiver Seilabspannung

h

L/2 L/2

αq

q

MG


8 Mischsysteme

8-8

Hängebrücke

Abb. 8.5 Hängebrücke mit „Belastung“ H auf Seilabspannung

Abb. 8.6 Endgültiger Momentenverlauf

MG

H

M

M


MischsystemeZahlenbeispiel 1: Dreigelenkrahmen

8.3 Zahlenbeispiel 1: Dreigelenkrahmen

Gesucht:

Schnittkraftverläufe N, Q und M zufolge der Gleichlast p = 10 kN/m

Auflagerkräfte

Stabkraft

2,0 2,0 2,0 2,0

2,0

2,0

p = 10 kN/m

2 3 4 5

1 8

7

6

y

x+

R1y1

6,0------- 10 8,0 4,0⋅⋅ ⋅ 53,33 kN= =ΣM8 0:=

R8y1

6,0------- 10 8,0 2,0⋅⋅ ⋅ 26,67 kN= =ΣM1 0:=

ΣV 53,33 + 26,67 - 10 8,0⋅ 0= =Kontrolle:

ΣMG0 53,33 2,0⋅= 10 4,0 2,0 26,66 kNm=⋅⋅–

R1x R8x26 66,4 0,

---------------= 6 67 kN,=–=

S5 7– 6,67 4,01

2,0 45°sin⋅----------------------------- 18,87 kN–=⋅⋅–=ΣM6 0=


8 Mischsysteme

8-10

Zahlenbeispiel 1: Dreigelenkrahmen

Abb. 8.7 „free body“ Diagramm

Biegemomente

Querkräfte

2,0 2,0 2,0 2,0

2,0

2,0

p = 10 kN/m

2 3 4 5

1 8

7

6

y

x+

S5 7–

R1x R8x

R1y R8y

M3 3 2–, 10 2,0 1,0 20,0 kNm=⋅ ⋅–=

M3 3 1–, 6,67 4,0 26– ,7 kNm=⋅–=

M3 3 4–, 10 2,0 1,0 6,67 4,0 46,7 kNm–=⋅–⋅⋅–=

M4 M6 0,0 kNm= =

M5 5 4–, M5 5 6–, 26,67 2,0 6,67 4,0 10 2,0 1,0 6,67 kNm=⋅⋅–⋅–⋅= =

M7 7 6–, M7 7 8–, 6,67 2,0 13,34 kNm–=⋅–= =

Q1 1, 3– Q3 3 1–, R1x 6,67 kN–=–= =

Q2 2 3–, 0,0 kN=

Q3 3 2–, 10 2,0 20,0 kN–=⋅–=

Q3 3 4–, 53,33 10 2,0 33,33 kN=⋅–=

Q5 5 4–, 26,67 10 2,0 6,67 kN–=⋅+–=

Q5 5 6–, 10 2,0 26,67 18,87 45° 6,67 kN=sin⋅+–⋅=

Q6 6 5–, 26,67– 18,87 45° 13,3 kN–=sin⋅+=

Q8 8 7–, Q7 7 8–, 6,67 kN= =

Q7 7 6–, Q6 6 7–, 6,67 18,87 45° 6,67 kN–=sin⋅–= =


MischsystemeZahlenbeispiel 1: Dreigelenkrahmen

Normalkräfte

Biegelinie

N1 1 3–, R1y 53,33 kN–=–=

N2 3– 0,0 kN=

N3 4– N4 5– R1x 6,67 kN–=–= =

N5 7– 18,87 kN–=

N5 6– 6,67 18,87 45° 6,67 kN=cos⋅+–=

N7 6– 26,67 18,87 45° 13,3 kN–=cos⋅+–=

N7 8– R8y 26,67 kN–=–=


8 Mischsysteme

8-12

Zahlenbeispiel 1: Dreigelenkrahmen

Biegemomente

Querkräfte


MischsystemeZahlenbeispiel 2: Überdachung

Normalkräfte

8.4 Zahlenbeispiel 2: Überdachung

Gesucht:

Auflagerkräfte und die Verläufe von Normalkraft, Querkraft und Biegemomentzufolge der Gleichlast p = 15 kN/m

1

3,50

p = 15 kN/m

2

3

4 5

1

6y

x+

3,50

3,50 1,507 30° 4,0414=tan⋅

2

3

4


8 Mischsysteme

8-14

Zahlenbeispiel 2: Überdachung

Berechnung des Teilsystems 1

Bestimmung der Auflagerkräfte:

Momente:

Querkräfte:

Normalkräfte:

p = 15 kN/m

4 5 6

R4y

R4x

S

S15 52⋅

2 3,5 2 2⁄( )⋅⋅-------------------------------------- 75,76 kN= =

R4x S 2 2⁄⋅ 53,57 kN= = R4y 15 5 S– 2 2⁄⋅ ⋅ 21,43 kN= =

M5 5 6–, 15 1,5 0,75⋅ 16,88 kNm–=⋅–=

Mm

q L4-52⋅

8------------------ 15 3,52⋅

8-------------------- 22,97 kNm= = =

Q5 5 6–, 15 1,5 22,50 kNm=⋅=

Q5 4 5–, R4y 15 3,5⋅– 31,07 kN–= =

Q4 4 5–, R4y 21,43 kN= =

N4 5– R– 4x 53,57 kN–= =


MischsystemeZahlenbeispiel 2: Überdachung

Schnittkraftbilder:

Berechnen des Teilsystems 2

Bestimmung der Auflagerkräfte:

[M]

[Q]

[N]

-16,88 kNm22,97 kNm

22,50 kN

-31,07 kN

21,43 kN

-53,57 kN

R4y R4x

S

R3y

R3x

R1y

R1x

R1x R3x 26,786 kN=–=

R1y 15 5 R3y 121,395 kN=–⋅=


8 Mischsysteme

8-16

Zahlenbeispiel 2: Überdachung

Momente:

Querkräfte:

Normalkräfte:

Schnittkraftbilder

R3y

S 2 2 7 R4x 3,5⋅–⋅⁄⋅

4,0414--------------------------------------------------------– 46– ,395 kN= =

R3x 46,395 30°tan⋅– 26– ,786 kN= =

M4 1 4–, R1x 3,5⋅ 93,75 kNm= =

Q1 1 4–, R1x– 26,77 kN–= =

Q2 4 2–, R– 1x R4x+ 26,77 kN= =

N3 2– R3x2 R3y

2+ 53,57 kN= =

N1 4– R– 1y 121,40 kN–= =

N2 4– R– 1y R4y+ 99,91 kN–= =

[M] [Q] [N] -121

,34

kN

93,7

5 kN

m

26,7

7 kN

-99,

91 k

N

53,57

kN

-26,

77 k

N


9 Einflusslinien

Definition der EinflusslinieAuswertung von Einflusslinien

LaststellungsmethodeKinematische Methode

9.1 Allgemeines

9.1.1 Zweck der Einflusslinie

Um die Extremwerte (Minima oder Maxima) von Auflager- oder Schnittgrößenaus ortsveränderlichen Lasten zu erhalten, wird in der Regel der Weg über die Ein-flusslinien eingeschlagen. Für eine Last der Größe “1“ wird für jede Laststellungdie Größe der gesuchten Auflager- oder Schnittgröße unter dem Angriffsort der“1“-Last aufgetragen. Die sich ergebende Kurve wird als Einflusslinie bezeichnet.Die Form der Einflusslinie (im Folgenden mit EL abgekürzt) ermöglicht dann, dieungünstigste Lastaufstellung aller am Tragwerk wirkenden veränderlichen Lastenzu finden.

9.1.2 Definition der EL

Die Einflussordinate η(x) einer EL für eine Zustandsgröße gibt an, wie groß ineinem betrachteten Punkt m diese Zustandsgröße ist, wenn die wandernde Einzel-last P = “1“ gerade über dieser Ordinate steht. Einflusslinien werden mit Anfüh-rungszeichen versehen, um sie von Zustandslinien (z.B. Momentenlinien) zuunterscheiden.

Abb. 9.1 Definition der Einflusslinie

“1“i

Einflussordinate η(x) = Moment in i infolge Last “1“ in x

x EL für “Mi“

η(x)


9 Einflusslinien

9-2

Allgemeines

9.1.3 Gegenüberstellung Einflusslinie - Zustandslinie

Der Unterschied zwischen einer Einflusslinie und einer Zustandslinie ist in dernächsten Abbildung dargestellt.

Abb. 9.2 Gegenüberstellung Einflusslinie - Zustandslinie

9.1.4 Voraussetzungen zur Bestimmung von EL

Die Wanderlast “1“ muss richtungstreu sein, d.h. sie muss an allen Stellen diegleiche Wirkungsrichtung haben. Sie wird also nur parallel verschoben.

Die Wanderlast “1“ muss dieselbe Wirkungsrichtung haben wie jene Lasten, fürdie die EL ausgewertet werden soll.

Das Superpositionsgesetz muss gelten, d.h. lineares Materialverhalten undTheorie I. Ordnung werden vorausgesetzt.

9.1.5 Auswertung von EL

EL können für beliebige Belastungen ausgewertet werden - vorausgesetzt, dass siedie gleiche Wirkungsrichtung haben, wie die “1“-Last, mit deren Hilfe die ELberechnet wurde. Will man den Wert S einer Schnittgröße zufolge einer gegebenenBelastung mit Hilfe einer Einflusslinie bestimmen, so ist folgendermaßen vorzuge-hen:

Es wird die Einflussordinate ηm unter der gegebenen Last abgelesen und mit derGröße der wirkenden Einzellast multipliziert. Damit erhält man den Wert derSchnittgröße zufolge dieser Last.

A B

“1“

i

A Bi

Die Größe der Schnittkraft amPunkt i infolge der Einzellastwird unter der wandernden Ein-zellast aufgetragen.

Die Größe der Schnittkraft anallen Schnittpunkten aus gege-bener Belastung unter denjeweiligen Punkten aufgetra-

Qi

Pi

Q1 Q2

1 2

S Pm ηm⋅=


EinflusslinienAllgemeines

Abb. 9.3 Auswerten einer EL für eine Einzellast

Dieses nachträgliche Umrechnen des Einflusses von Pm = “1“ auf die tatsächlicheGröße Pm ist aufgrund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes erlaubt. Der Vor-gang der Berechnung einer Schnittgröße unter Zuhilfenahme einer Schnittkraft-ELwird Auswerten einer Einflusslinie genannt. Setzt sich die Verkehrslast aus nEinzellasten zusammen, so ergibt sich die gesuchte Schnittgröße zu:

Soll die EL für eine verteilte Belastung beliebigen Verlaufs ausgewertet werden,so gilt folgende Beziehung (siehe Abb. 9.4):

Abb. 9.4 Auswertung einer EL für verteilte Belastung

Die Auswertung des obigen Integrals erfolgt am besten mit Hilfe von Integraltafelnoder durch numerische Integration mit der Simpson-Regel.

Wie aus ersichtlich ist, kann eine Gleichlast p(x) = const. vor das Integral gestelltwerden.

Es ist also nur die Gleichlast mit der Fläche der Einflusslinie unter der Last zu mul-tiplizieren.

η(x)

x

Pm

“S“

ηm

S Pm ηi⋅m 1=

n

∑=

S p x( ) η x( ) dx⋅⋅

x1

x2

∫=

η(x)

x

“S“

p(x)

x2x1

dx

dP x( ) p x( ) dx⋅=

dS x( ) p x( ) dx η x( )⋅ ⋅=

p x( ) dx⋅

S p= η x( ) dx⋅

x1

x2

∫⋅


9 Einflusslinien

9-4

Methoden zur Ermittlung von EL

9.2 Methoden zur Ermittlung von EL

Zur Ermittlung von Einflusslinien stehen grundsätzlich zwei Methoden zur Verfü-gung. Einerseits können Punkte der Einflusslinie direkt durch Berechnung dergesuchten Auflager- oder Schnittgröße für verschiedene Stellungen der “1“-Lastermittelt werden. Man spricht dann von der Laststellungsmethode. Andererseitskann auch das Prinzip der virtuellen Arbeiten zur Berechnung von Einflusslinienherangezogen werden. Diese Methode heißt kinematische Methode. Eine weitereVorgangsweise ist, sich mit Hilfe der kinematischen Methode die Form der Ein-flusslinie zu überlegen, um dann die gesuchte Einflusslinie mit möglichst wenigenLaststellungen bestimmen zu können.

9.2.1 Allgemeine Regeln für EL

EL an statisch bestimmten Systemen verlaufen abschnittsweise linear, da in denGleichgewichtsbedingungen, in denen sie formuliert werden können, die Orts-variable x höchstens linear vorkommt.

Einflusslinien können nur an Gelenken Knicke aufweisen.

Querkrafteinflusslinien weisen im Punkt, für den die EL gilt einen Sprung derGröße 1 auf.

9.2.2 Laststellungsmethode

Die Laststellungsmethode besteht darin, sich einzelne Punkte der Einflussliniedurch Aufstellen einer “1“-Last zu bestimmen und durch Anwendung der allge-meinen Regeln (9.2.1) den Verlauf zwischen diesen Punkten festzulegen. DieMethode soll anhand einiger Beispiele erläutert werden.

9.2.2.1 Einfeldträger - AuflagerEinflusslinie

Abb. 9.5 Auflager-Einflusslinie am Einfeldträger - rechtes Auflager

x

l

x “1“

RBy

BA

η x( ) 1xL---⋅=


EinflusslinienMethoden zur Ermittlung von EL

Man erkennt, dass sich aufgrund einer “1“-Last an der Stelle x die Auflagerkraft inB als lineare Funktion in x ergibt. Für x = l ergibt sich der Wert der EL η(l) = 1.Das stimmt mit der Tatsache überein, dass die “1“-Last direkt ins Auflager geht,wenn sie direkt über B steht. Die endgültige Form der EL ergibt sich damit zu:

Abb. 9.6 Auflager-Einflusslinie am Einfeldträger - rechtes Auflager

Die EL für das linke Auflager lässt sich z.B. aus der Gleichgewichtsbedingung invertikaler Richtung gewinnen. Es gilt “RAy“ = 1 - “RAy“. Die EL hat deshalb fol-gende Form:

Abb. 9.7 Auflager-Einflusslinie am Einfeldträger - linkes Auflager

1η(x)

“RBy“

η(x)

“RAy“1


9 Einflusslinien

9-6


9.2.2.2 Einfeldträger - Momenten- und Querkrafteinflusslinie

Abb. 9.8 Momenten- und Querkrafteinflusslinie am Einfeldträger

i

L

A B

“1“

RAy

Qi

Mi

RAy

Qi

Mi

“1“x

’’Qi’’ ’’RAy’’=

’’Mi’’ ’’RAy’’ xi⋅=

’’Qi’’ ’’RAy’’ ’’1’’–=

’’Mi’’ ’’RAy’’ xi ’’1’’ x⋅( )–⋅=

xi

i

i

+xi+1

“RAy“ xi

“Qi“

+1

“RAy“

L xi–( )

L-------------------xi

“Mi“



9.2.2.3 Einflusslinien am Kragträger

Abb. 9.9 Kragarm - Einflusslinien

Die EL für das Moment “Mi“ und die Querkraft “Qi“ ergeben sich direkt aus demGleichgewicht am freigeschnittenen Kragarmende. Dabei ist zu unterscheiden, obdie Last rechts oder links von der Stelle i steht. Steht sie links davon sind aus Grün-den des Gleichgewichts beide EL ident 0.

Mi

xi

xA

Qi

i

ges.: EL “Mi“EL “Qi“

für x < xi:

“Mi“ = -1 (x - xi)“Qi“ = -1

für x > xi: “Mi“ = 0“Qi“ = 0

-xi“Mi“

“Qi“-1

x “1“


9 Einflusslinien

9-8


9.2.2.4 Zusammengesetzte EL - Beispiel: Gelenkträger

Abb. 9.10 Gelenkträger - Einflusslinien

Bei der Ermittlung der EL kann wie folgt vorgegangen werden. Der Schleppträgerist ein Sekundärsystem, das sich an das Primärsystem anlehnt und nur dann mit-wirkt, wenn die “1“-Last direkt am Sekundärsystem wirkt. Aus diesem Grund kannsich die EL „RCy“ nur bis zum Gelenk erstrecken. Der Wert der EL über dem Auf-lager beträgt +1. Aus der Bedingung ΣFV = 0 ergibt sich unmittelbar die EL “Gy“.

„RCy“

„Gy“

„RBy“

„RAy“

„Mi“

„Qi“

A B

y y y



Für Laststellungen am Schleppträger lässt sich die Auflagerkraft RBy aus demMomentengleichgewicht um A einfach anschreiben:

Befindet sich die “1“-Last links vom Gelenk zwischen den Punkten A und B, sowirkt das System wie ein Einfeldträger mit der Spannweite a und für “RBy“ gilt dieentsprechende EL des Einfeldträgers. Sie hat in B den Wert +1. Da Einflusslinienan statisch bestimmten Systemen immer linear verlaufen, ist die EL damitbestimmt. Die EL “RAy“ lässt sich aus dem Gleichgewicht der vertikalen Kräfte“Gy“, “RBy“ und der “1“ - Last bestimmen, wobei zu unterscheiden ist, ob sich dieLast links oder rechts vom Gelenk befindet.

Abb. 9.11 Gelenkträger - Einflusslinien „RAy“

Die Querkrafteinflusslinie lässt sich mit völlig analoger Vorgangsweise bestim-men. Der Sprung im Verlauf der EL ist dabei unbedingt zu beachten.

’’RBy’’ ’’Gy’’a b+

a------------⋅=

RAy RBy

Gy

RAy RBy

Gy

“1“

ΣFV = 0: RAy = -RBy + Gy

ΣFV = 0: RAy = -RBy + Gy + “1“


9 Einflusslinien

9-10


9.2.2.5 Einflusslinien am Dreigelenkbogen

Abb. 9.12 Einflusslinien am Dreigelenksbogen

Die Einflusslinie für die horizontale Auflagerkraft gewinnt man auf einfacheWeise aus der Momenteneinflusslinie am Ersatzträger. In weiterer Folge ergebensich die anderen Einflusslinien analog zu den Schnittgrößen am Dreigelenksbogendurch Superposition (s. Kap. 3.6). Punkt j stellt den Nullpunkt der Momentenein-flusslinie “Mi“ dar. Steht die “1“-Last in j, so ist der rechte Teil des Bogens unbe-lastet und die resultierende Auflagerkraft des rechten Teils muss daher durch Ggehen. Für Momentengleichgewicht am Gesamtsystem muss die Wirkungslinieder linken Auflagerkraft durch i gehen. Das Moment in i ist daher gleich null.

“1“

L

xi

xG

i

yi f

αA

B

SAx = SBx = H

G

’’SAx’’1f--- ’’ M0

G’’⋅=

’’Mi’’ ’’ Mi G’’ ’’SAx’’ yi⋅–=

’’A’’ ’’ A0 ’’ ’’SAx’’ αtan⋅–=

’’B’’ ’’ B0 ’’ ’’SAx’’ αtan⋅+=

1

1

x G f-------

x G f-------

y i⋅ x i

SAx= H

j



9.2.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten

Im Unterschied zur wirklichen Arbeit ist virtuelle Arbeit eine gedachte Arbeit.Entweder legen wirkliche Kraftgrößen virtuelle (gedachte) Weggrößen zurückoder es legen virtuelle Kraftgrößen wirkliche Weggrößen zurück. Sie leisten dabeiArbeiten, die als virtuelle Arbeiten δW bezeichnet werden.

a) Virtuelle Weggrößen - Gleichgewichtsnachweis:

An einem starren Körper wird das Gleichgewicht von äußeren wirklichen Kraft-größen nachgewiesen, wenn die äußere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebigevirtuelle Verformungen gleich Null wird (virtuelle Starrkörperverformungen).

Eigenschaften der virtuellen Weggrößen:

nur gedacht (virtuell), nicht wirklich vorhanden

kinematisch verträglich (kompatibel)

von vorhandenen Kraftgrößen unabhängig

Beim starren Körper ist die innere virtuelle Verschiebungsarbeit der inneren wirk-lichen Kraftgrößen zufolge des Wechselwirkungsgesetzes bei jeder beliebigen vir-tuellen Verformung gleich Null (verzerrungsfreie virtuelle Verformungen). Beimelastisch festen Körper ist das nicht der Fall. Hier können sich, infolge der elasti-schen virtuellen Verzerrungen im Körper, die Abstände der Massenpunkte zuein-ander verändern. Der elastische Körper wird in der Vorlesung Baustatik 1ausführlich behandelt.

Im folgenden Beispiel wird eine historische Anwendung des Prinzips der virtuellenKraftgrößen gezeigt.

Beispiel: Peterskuppel in Rom

Um eine vereinfachte Berechnung der Horizontalkraft des Zugbandes der Kuppeldurchführen zu können, wurde bei der Kontrollrechnung 1742-43 das Flächentrag-werk als ebenes System idealisiert, d.h. es wird für die Berechnung ein 1 m Strei-fen betrachtet (siehe Abb. 9.14) und die Nachgiebigkeit des Zugbandesvernachlässigt. Weiters wurde die Kuppel als starrer Körper angenommen. Daszugehörige statische System ist in Abb. 9.15 dargestellt.

δW* δW* ä( ) (virtuelle) Verformung (wirkliche) Kraft× 0= = =


9 Einflusslinien

9-12


Abb. 9.13 Kuppel des Petersdoms in Rom



Abb. 9.14 1 m Streifen der Kuppel

Abb. 9.15 Vereinfachtes ebenes statisches System der Kuppel

Die gesuchte Horizontalkraft H zufolge der aktuellen Belastung wird bestimmt,indem man eine virtuelle Verschiebung an der Stelle und in Richtungder Horizontalkraft H anbringt. Diese virtuelle Verschiebung δu wird entgegenge-setzt der Orientierung der Horizontalkraft H angesetzt. Durch die virtuelle Ver-schiebung δu ergeben sich auch bei den äußeren aktuellen Kräften Pzidazugehörige virtuelle Verschiebungen δwi. Somit wird eine äußere virtuelle Ver-schiebungsarbeit geleistet, die im Gleichgewichtszustand zu Null wird.

b) Virtuelle Kraftgrößen - kinematischer Verträglichkeitsnachweis:

Die virtuellen Kraftgrößen sind ein komplementäres Prinzip zum Prinzip der virtu-ellen Weggrößen.

Zugband

HUmfang HUmfang

1m Streifen

H

verformte Figur

δu ″1″=

δW* ä( )


9 Einflusslinien

9-14


An einem starren Körper werden wirkliche Verformungen nachgewiesen, wenndie äußere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige, im Gleichgewicht befindli-che, äußere virtuelle Kraftgrößen gleich Null wird.

Das Prinzip der virtuellen Kraftgrößen kann verwendet werden, um Verformungeneinzelner Tragwerkspunkte zu berechnen.

Eigenschaften der virtuellen Kraftgrößen:

nur gedacht (virtuell), nicht wirklich vorhanden

von vorhandenen Weggrößen unabhängig

Im folgenden Beispiel soll die Vertikalverformung des Punktes i im Falle einerAuflagersenkung des rechten Auflagers bestimmt werden. Da die Auflagersen-kung im statisch bestimmten Tragwerk keine Zwängungen und damit keineSchnittgrößen hervorruft, leisten nur die virtuelle Kraft selbst und die Auflager-kräfte, die sie verursacht, Arbeiten.

Das Prinzip der virtuellen Arbeit ist auch Grundlage für ein weiteres Berechnungs-verfahren für Einflusslinien, die „kinematische Methode“. Sie wird im folgendenKapitel behandelt.

9.2.4 Kinematische Methode

Aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen folgt:

δW* δW* ä( ) (wirkliche) Verformung (virtuelle) Kraft× 0= = =

Δu wirklicheVerformung

virtuelleBelastung

L

xi„1“

δi = ?

L xi–

L--------------

xi

L----

δW* 1 δi⋅xi

L---- ΔL⋅–= δi

xi

L---- ΔL⋅=



Die Einflusslinie einer statischen Grösse (Auflagerkraft, Q, M, N, ...) zufolge einer wandernden Last der Grösse “1“ ist gleich der Verschiebungsfigur (Biegelinie) des Systems, wenn nach Befreiung von der Bindung der gesuchten Grösse dem System eine Verschiebung der Grösse “1“ gegen die Richtung der statischen Grösse aufge-zwungen wird.

Die virtuelle Verschiebung ist bei Einflusslinien für Kräfte eine Relativverschie-bung Δu = 1, bei Momenteneinflusslinien eine Relativverdrehung von Δφ = 1.Schnittgrössen und Weggrößen müssen negative virtuelle Arbeit leisten.

Eine Einflusslinie an einem statisch bestimmten System besteht aus geraden Linien(ist also abschnittsweise linear), wobei jede Gerade der entsprechenden Scheibeder kinematischen Kette zugeordnet ist.

Einige Beispiele sollen das Prinzip der kinematischen Methode verdeutlichen.

9.2.4.1 Einflusslinien eines Gerberträgers

Abb. 9.16 Auflagereinflusslinie eines Gerberträgers

Löst man die Bindung, die der Kraftgröße entspricht, für die die EL gesucht ist,entsteht eine kinematische Kette. Zwingt man nun der kinematischen Kette einevirtuelle Verschiebung gegen die positive Richtung dieser Kraftgrösse auf, so lei-sten nur die in Frage stehende Kraftgrösse sowie die “1“-Last Arbeit. Es gibt keineinneren Formänderungsarbeiten, da das Auslenken der kinematischen Kette kei-nerlei Zwängungen für das System mit sich bringt. Es gilt:

(Glg. 9.1)

Man sieht, dass die entstehende Biegelinie des Systems der Einflusslinie ent-spricht. Durch die Vorgabe der Verschiebung am Auflager B können alle weiterenVerschiebungen der kinematischen Kette aus rein geometrischen Bedingungenermittelt werden. Die kinematische Kette ist daher einfach verschieblich oder ein-fach kinematisch unbestimmt.

Dieselbe Methode kann nun auch zur Bestimmung aller weiteren Einflusslinienangewendet werden.

“1“

B

w(x)

1

x

B 1–( )⋅ ’’1’’ w x( )⋅+ 0 ’’B’’→ w x( )= =


9 Einflusslinien

9-16


Abb. 9.17 Momenteneinflusslinie am Gelenkträger

Analog zur Auflagereinflusslinie ergibt sich mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit:

(Glg. 9.2)

Zur Ermittlung der Querkrafteinflusslinie in einem Punkt i muss an diesem Punktein Querkraftgelenk in das System eingefügt werden. Den beiden entstehendenSchnittufern wird eine Relativverschiebung gegen die positive Querkraftrichtungerteilt:

Abb. 9.18 Querkrafteinflusslinie am Gelenkträger

Es ist zu beachten, dass die Einflusslinie vor und nach dem Querkraftgelenkparallel verläuft. Wäre dies nicht der Fall, so würde in i ein (virtueller) Knick ent-stehen und das in i zufolge der Last “1“ wirkende innere Moment Mi würde aufdieser Verdrehung Arbeit leisten. Das widerspricht aber der Bedingung, dass beimAuslenken einer kinematischen Kette innere Schnittgrössen keine Arbeit verrich-ten. Daraus folgt, dass die Einflusslinie vor und nach dem Querkraftgelenk parallelverläuft.

9.2.4.2 Einflusslinien mit EDV

Zur Berechnung von Einflusslinien mit Statik-Programmen ist die kinematischeMethode besonders gut geeignet. Es ist nur gegen die Richtung der positivenKraftgrösse, für die die Einflusslinie gesucht ist, eine Einheitsverschiebung / -ver-drehung anzubringen. Die entstehende Biegelinie ist die gesuchte Einflusslinie.

Mi

Δφ = −1

“1“

w(x)

x

Mi 1–( )⋅ ’’1’’ w x( )⋅+ 0 ’’Mi’’→ w x( )= =

Qi 1–( )⋅ ’’1’’ w⋅+ 0 ’’Qi’’→ w= =

Qi Δ = −1

“1“

x

w(x)



Abb. 9.19 EL am Gelenkträger mit RuckZuck

9.2.4.3 Einflusslinien an Dreigelenkbögen

Einflusslinien an Dreigelenkbögen können natürlich auch mit Hilfe der kinemati-schen Methode ermittelt werden. Dazu müssen die Drehpole der Scheiben der zurjeweiligen gesuchten Kraftgrösse gehörenden kinematischen Kette mit den in (4.2)beschriebenen Methoden bestimmt werden.

Abb. 9.20 Dreigelenkbogen - EL mit kinematischer Methode

“Mi“

i

i“Qi“

“1“

L

xi

xG

i

yi f

αA

B

SAx = SBx = H

G

SAx = H


9 Einflusslinien

9-18


Abb. 9.21 EL für die horizontale Auflagerkraft - kinematischen Methode

Ist der geometrische Ort der Drehpole bestimmt, so kann durch geometrischeÜberlegungen die Einflusslinie konstruiert werden. Der Verdrehungswinkel derlinken Scheibe um ihren Drehpol (1) ergibt sich zu φ = Δu / h = 1 / h. Damit lässtsich die Bewegung des Gelenks (1,2) bestimmen und in weiterer Folge der Dreh-winkel der rechten Scheibe. Die Verformungsanteile der kinematischen Kette inRichtung der “1“-Last ergeben die gesuchte Einflusslinie.

Analog kann zur Bestimmung der Einflusslinie für die Querkraft vorgegangenwerden. Es wird nur die Form der Einflusslinie bestimmt. Die geometrische Kon-struktion der Einflusslinie kann dann selbstständig erfolgen.

SAx

(2)

(1,2)

Ort für (1)

Ort für (1)

(1)

Δu = 1

Wert der EL

“SAx“

hφ



Abb. 9.22 Querkrafteinflusslinie - kinematische Methode

9.2.4.4 Einflusslinien von Fachwerksystemen

Zur Bestimmung der Einflusslinien von Stabkräften in Fachwerken ist die kinema-tische Methode besonders gut geeignet, da sich die Berechnung verschiedenerLaststellungen manchmal als aufwendig erweisen kann. Zur Berechnung einerStabkrafteinflusslinie muss der entsprechende Stab um Δ = 1 verlängert werden.

Indirekte Lasteinleitung

Bei Fachwerken werden die Lasten definitionsgemäß nur in den Fachwerkknoteneingeleitet. Verteilte Lasten wie zum Beispiel Schnee oder Verkehrslasten müssendurch ein entsprechendenes lastverteilendes System (z.B. eine Fahrbahnplatte oderein Dachtrapezblech) auf die Knoten aufgeteilt werden. Man spricht von indirekterLasteintragung. Dabei wirken auf das Fachwerk nur die Auflagerkräfte des last-verteilenden Systems. Wird dabei vereinfachend angenommen, dass es sich beiden lastverteilenden Systemen um Einfeldträger handelt, dann wird die Einflussli-nie des Hauptsystems einfach zwischen den benachbarten Lasteintragungspunktenabgeschrägt. (Abb. 9.23 und Abb. 9.24) Bei Anwendung der kinematischenMethode wird die indirekte Lasteintragung bereits implizit berücksichtigt.

(3)

(2,3)

(1)I

III

(1,2) im 8

II

II(2)

IIQi

(3)

(2,3)

(1)I

III

(1,2) im 8

II

(2)

Δ = 1

Qi

“Qi“


9 Einflusslinien

9-20


Abb. 9.23 Indirekte Lasteinleitung für ein Fachwerk

Das Prinzip der indirekten Lasteintragung ist aber nicht auf Fachwerke beschränkt.Auch in ein anderes System, wie zum Beispiel einen Einfeldträger können Lastenindirekt eingetragen werden (Abb. 9.24).

Abb. 9.24 Indirekte Lasteintragung für einen Einfeldträger

An einigen Beispielen soll die Anwendung der kinematischen Methode, sowie derMethode der Laststellungen zur Ermittlung von Stabkrafteinflusslinien gezeigtwerden.

“1“h

2 3

S

’’S’’’’M2’’

h---------------=

4 5

“M2“/h

Hauptsystem wird durch denEinfeldträger symbolisiert.



Beispiel 1:Fachwerk mit geneigtem Obergurt

Abb. 9.25 EL für Diagonalstab - Polplan

Die Pole lassen sich in folgender Reihenfolge bestimmen. (1), (1,3), (1,2), (2,4),(3,4) ergeben sich sofort. Aus den Nebenpolen (1,3) und (3,4) bzw. (2,4) und (1,4)folgt Nebenpol (1,4) und damit auch der Hauptpol (4). Aus (4) und (3,4) bzw. (1)und (1,3) erhält man Hauptpol (3). Aus (1) und (1,2) sowie (3) und (2,3) erhält manschließlich Hauptpol (2).

Zum selben Ergebnis kann man auch gelangen, wenn man gleich erkennt, dass kei-ner der Knoten des Untergurtes sich horizontal verschieben kann. Mit dieserErkenntnis folgt unmittelbar der Drehpol (4). Man erhält dann auch die Pole (2)und (3). Zur Kontrolle wurde das Programm RuckZuck verwendet. Eine Verlänge-rung des Diagonalstabes um “1“ wurde vorgegeben. Die Biegelinien des Ober-bzw. Untergurtes entsprechen den gesuchten Einflusslinien.

I

II

III

IV

(1)

(1,2)

(2,4)

(1,3) (3,4)

Ort für (4)

Ort für (2,3) (2,3) im 8

(1,4)Ort für (4)Ort für (1,4)

Ort für (1,4)

(4)

(2)

(3)

II

II

II

Ort für (3)

“1“

Δ = 1

“D“ für Last am Obergurt

“D“ für Last am Untergurt

“1“


9 Einflusslinien

9-22


Abb. 9.26 Fachwerkkonstruktion: EL für Diagonalstab mit RuckZuck

Beispiel 2: Fachwerkkonstruktion

Gesucht:

Einflusslinie für “S7“

Abb. 9.27 Fachwerkkonstruktion - Angabe

Als erstes muss nun der Stab 7 aufgeschnitten werden - eine kinematische Ketteentsteht. Für diese Kette müssen die Drehpole bestimmt werden. Die Drehpole (4)und (1) ergeben sich unmittelbar. Nebenpol (1,2) könnte sich nur horizontal ver-schieben (denn er gehört zu Scheibe I), wird aber vom fixen Drehpol (4) darangehindert. Das heißt, dass sich Scheibe I überhaupt nicht verdrehen kann. (1,2)muss also gleichzeitig auch (2) sein. Betrachtet man die Geometrie der kinemati-schen Kette, so sieht man, dass sich die Punkte 2 und 3 des Fachwerks nur um diePole (2) und (3) drehen können. Sie erfahren daher sowohl die gleiche Vertikal- alsauch Horizontalverschiebung. Stab 2 bleibt auch in ausgelenkter Lage waagrecht.

Δ = 1

2,00

4,00

5 x 3,00 m = 15,00 m

4 x 3,00 m = 12,00 m 1,50 m1,50 m

+x

y

1 2 3 4 5

6 7 8 9 1011

12

14

4 6 8

15 16 17 18

10

125 7 9 11 13

1 2 3

2019

“1“



Abb. 9.28 Fachwerkkonstruktion: Polplan und EL für “S7“

Auch an diesem Beispiel soll die Einflusslinie mit Hilfe der EDV kontrolliert wer-den.

Abb. 9.29 Fachwerkkonstruktion: EL für “S7“ mit RuckZuck

+x

y

15

7

Δ = 1

I

II III IV

(1,2) = (2)(4)

(1)

(3,4)(1,3) = (3)Ort für (3)

Ort für (3)Ort für (2)

Ort für (2,3)

“S7“

Δ = 1


9 Einflusslinien

9-24


Beispiel 3: Parallelgurtiges Fachwerk

Abb. 9.30 Parallelgurtiges Fachwerk

gesucht:

Einflusslinie für “O“

Einflusslinie für “U“

Einflusslinie für “D“

Einflusslinie für “O“:

Abb. 9.31 Parallelgurtiges Fachwerk - Polplan und Einflusslinie “O“

1

2 4 6 8

11753

1210

9

O

U

V

1

2 4 6 8

11753

1210

9

O

(1)(1,2)

Ort für (2)

Ort für (2)

(2)

“O“ (Last am Obergurt)

“O“ (Last am Untergurt)

Δ = 1

II

I



Die Einflusslinie ist unabhängig davon, ob die “1“-Last am Ober oder Untergurtwandert. Dies kann man über Betrachtung der Geometrie der kinematischen Ketteableiten. Die EDV-Berechnung bestätigt das.

Abb. 9.32 Parallelgurtiges Fachwerk: Einflusslinie “O“ mit RuckZuck

Einflusslinie für “U“:


Es zeigt sich, dass die EL auch in diesem Fall unabhängig davon ist, ob die “1“-Last am Ober- oder Untergurt wandert.

U1

2 4 6 8

11753

1210

9(1)

(1,2)

Ort für (2)

Ort für (2)

(2)

“U“ (Last am Obergurt)

“U“ (Last am Untergurt)

Δ = 1

Ort für (2)

(2)

III


9 Einflusslinien

9-26


Abb. 9.34 Parallelgurtiges Fachwerk: Einflusslinie “U“ mit RuckZuck

Einflusslinie für “V“:


Für die Einflusslinie des Vertikalstabes zeigt sich, dass sich die Einflusslinien füreine Last am Ober- bzw. Untergurt unterscheiden. Der Einfluss der indirektenLasteintragung wird also korrekt wiedergegeben.

V

1

2 4 6 8

11753

1210

9(1)

(1,2) im

Ort für (2)

(2)

“V“ (Last am Obergurt)

“V“ (Last am Untergurt)

Δ = 1II

I

8

Ort für (2)

II

II

II

II



Abb. 9.36 Parallelgurtiges Fachwerk: Einflusslinie “V“ mit RuckZuck

Alternative Methode zur Ermittlung der Einflusslinien:

Natürlich können die gesuchten Einflusslinien auch über den Zusammenhängenzwischen den Stabkräften und den Schnittgrössen am Ersatzbalken ermittelt wer-den. Bei Berücksichtigung der indirekten Lasteintragung ergeben sich die selbenEinflusslinien (Abb. 9.37).


9 Einflusslinien

9-28


Abb. 9.37 Parallegurtiges Fachwerk- Alternative Berechnung von EL

9.2.5 Kombinierte Methode

Möchte man auf Polplankonstruktionen verzichten, so kann man auch eine Kombi-nation aus Laststellungs- und Kinematischer Methode anwenden. Dazu löst mandie entsprechende Bindung, um eine kinematische Kette zu erzeugen. Man erhälthieraus Informationen über Nullpunkte, Knicke oder Sprünge in der Einflusslinie.



Weiters ist bekannt, dass Einflusslinien abschnittsweise linear verlaufen. Sogelingt es, die Anzahl der zu berechnenden Laststellungen zu minimieren.

Beispiel: Fachwerkkonstruktion

Die Hauptpole (1) und (4) sind bekannt. Sie stellen Nullstellen der Einflussliniedar. Scheibe I kann sich nicht verdrehen. Die Nebenpole (1,2) und (1,3) sind eben-falls Nullstellen. Die Anzahl der zu berechnenden Laststellungen reduziert sich aufzwei.

Abb. 9.38 Fachwerkkonstruktion - Einflusslinie mit Kombinierter Methode

7

Δ = 1

I

II III IV

(1,2)(4)

(1)

(3,4)(1,3)

erforderliche Laststellungen


9 Einflusslinien

9-30


9.2.5.1 Zahlenbeispiel: Rahmensystem

Abb. 9.39 Angabe zu Beispiel Rahmensystem

Gesucht:

“Na“, “Qa“, “Ma“

Einflusslinie “Na“:

Die Hauptpole (1) und (3) sowie die Nebenpole (1,2) und (2,3) sind aus den vor-handenen Bindungen zwischen den drei Scheiben sowie aus den Auflagerbedin-gungen sofort auffindbar. (Abb. 9.40)

Punkt 3 kann sich nur horizontal verschieben und stellt damit einen Nullpunkt derEinflusslinie dar. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass bei Aufstellungeiner “1“-Last in 7 die gesamte Last in das Auflager 9 geht. Die vertikale Verschie-bung des Punktes 7 hat aufgrund der Stabverlängerung genau den Wert 1. Da dieHauptpole (1) und (2) zusammenfallen, bewegen sich Scheibe I und II wie eineeinzige Scheibe. Die Kenntnis der Werte der EL in Punkt 3 und 7 genügt also, umdie Einflusslinie zu zeichnen.

“1“ Lastbereich für EL: Knoten 2-3-5-7-8

2,00 m 2,00 m4,00 m4,00 m

3,00

m3,

00 m

3,00

m

a

2 8753

4 6

1 9



Abb. 9.40 Rahmensystem - Polplan

Abb. 9.41 Einflusslinie “Na“

Einflusslinie “Qa“:

Aufgrund der Polplangeometrie sieht man, dass sich die Punkte 3 und 7 nur hori-zontal verschieben können. Sie sind daher Nullpunkte der Einflusslinie. Dasbedeutet, dass bei Aufstellung einer Einzellast in Punkt 3 oder 7 im Punkt a keineQuerkraft auftreten kann. Auf dieses Ergebnis kommt man auch, wenn manerkennt, dass in diesem Fall die gesamte Last durch die entsprechenden Stützensofort ins Auflager 1 bzw. 9 geht. Es genügt daher die Berechnung von nur einerLaststellung, um die gesamte Einflusslinie zu kennen. Zur leichteren Berechnungwählt man den symmetrischen Lastfall mit der “1“-Last im Punkt 5.

2,00 m 2,00 m4,00 m4,00 m

3,00

m3,

00 m

3,00

m

I

II

III

Δ = 1

(1,2)

(3)

Ort für (2)

(1) = (2)

(2,3) im 8

0,5 1,0

0,25

2

5

3

7 8


9 Einflusslinien

9-32



Abb. 9.43

Für die Querkraft an der Stelle a für diese Laststellung ergibt sich (siehe Abb.9.43):

2,00 m 2,00 m4,00 m4,00 m

3,00

m3,

00 m

3,00

m

I

II

III

Δ = 1

(1,2)

(3)(1)

(2,3) im 8

(2)

2,00 m 2,00 m4,00 m4,00 m

3,00

m3,

00 m

3,00

m

(1,2)

(3)(1)

“1“

α.0,5

α.cot α



Damit ist die Einflusslinie bestimmt.

Abb. 9.44 Einflusslinie “Qa“

Einflusslinie “Ma“:

Fügt man an der Stelle a ein Momentengelenk ein und betrachtet die Kinematikdes Systems, so erkennt man, dass der entstehende Polplan sehr ähnlich dem Pol-plan für die Einflusslinie “Qa“ ist. Der Polplan lässt sich folgendermaßen ermit-teln:


Analoge Überlegungen wie bei der Querkrafteinflusslinie ergeben, dass es sich beiden Punkten 3 und 7 um Nullstellen der gesuchten Einflusslinie handelt und dassdie Einflusslinie im Nebenpol (1,2) einen Knick aufweist. Auch hier ist wieder dieBerechnung von nur einer Laststellung ausreichend. Stellt man die “1“-Last wieder

Qa 0,5 αcot⋅ 0,54,006,00----------⋅ 0,333≈= =

0,333

-0,167

2

5

3 7 8-0,167

2,00 m 2,00 m4,00 m4,00 m

3,00

m3,

00 m

3,00

m

I

II

IIIΔφ = 1

(1,2)

(3)(1)

(2,3)

(2)


9 Einflusslinien

9-34


in die Systemsymmetrieebene wir die Berechnung wieder besonders einfach. AusAbb. 9.43 ergibt sich die horizontale Auflagerkraft und damit das Moment in a zu:

Die Einflusslinie ist damit bestimmt.

Abb. 9.46 Einflusslinie “Ma“

9.2.5.2 Beispiel: Zusammengesetzte EL am Dreigelenkbogen

Für die Bestimmung der Einflusslinie “H“ genügt die Aufstellung der Last inPunkt 4, da ja die beiden Nullpunkte der Einflusslinie bekannt sind. Die Werte derEinflusslinie für “AH“ in den Punkten 2 und 6 sind bekannt, eine Aufstellung derLast in Punkt 4 liefert den noch fehlenden Wert der EL. Wenn man sieht, dass dieHauptpole der linke und der rechten Scheibe der kinematischen Kette für EL “AH“zusammenfallen, erkennt man, dass die EL zwischen 2 und 6 geradlinig verlaufenmuss. Auf die Berechnung des Wertes der EL in 4 kann daher verzichtet werden.Ein Rundschnitt um das linke Auflager liefert die Bestimmungsgleichungen für dieEinflusslinien “S1“ und “S2“.

Ma 3,00– 0,5 αcot⋅( )⋅ 3,00– 0,54,006,00----------⋅

⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ 1–= = =

-1

0,5

2

5

3 7 8

0,5



Abb. 9.47 Auflager- und Stabkrafteinflusslinien

Mit den in Abb. 9.47 bestimmten Einflusslinien lassen sich nun auf einfache WeiseSchnittkrafteinflusslinien zusammensetzen. Dazu genügen einfache Gleichge-weichtsüberlegungen an freigeschnittenen Tragwerksteilen.

x

“1“

AV

S1 S2

BV

H

“H“

1 2 3 4 5 6 7

-

1+

“AV“

+

“S2“ = -“H“/cos α

S1 S2

AV

H

α.

-1-

+

“S1“ = - (“AV“ + “S2“ sin α)

H


9 Einflusslinien

9-36


Abb. 9.48 Schnittkrafteinflusslinien

x

“1“

AV

S1 S2

BV

H

1 2 3 4 5 6 7

α.

-

+

a

HS1

NaaQa

Mab

-

bfür x > a:“Ma(x)“ = - “S1“ b

für x < a:Nullpunkt der EL in Pkt. 2linearer Verlauf zwischen 2 und 3

“Ma“

1

für x > a:“Qa(x)“ = - “S1“ b

für x < a:“Qa(x)“ = - “S1“ b - “1“


Dies ist eine Veröffentlichung des

FACHBEREICHS INGENIEURBAUKUNST (IBK) AN DER TU GRAZ

Der Fachbereich Ingenieurbaukunst umfasst die dem konstruktiven Ingenieurbau nahe stehenden Institute für Baustatik, Betonbau, Stahlbau & Flächentragwerke, Holzbau & Holztechnologie, Materialprüfung & Baustofftechnologie, Baubetrieb & Bauwirtschaft, Hochbau & Industriebau, Bauinformatik und Allgemeine Mechanik der Fakultät für Bauingenieurwissenschaften an der Technischen Universität Graz.

Dem Fachbereich Ingenieurbaukunst ist das Bautechnikzentrum (BTZ) zugeordnet, welches als gemeinsame hochmoderne Laboreinrichtung zur Durchführung der experimentellen Forschung aller beteiligten Institute dient. Es umfasst die drei Laboreinheiten für konstruktiven Ingenieurbau, für Bauphysik und für Baustofftechnologie.

Der Fachbereich Ingenieurbaukunst kooperiert im gemeinsamen Forschungsschwerpunkt „Advanced Construction Technology“. Dieser Forschungsschwerpunkt umfasst sowohl Grundlagen- als auch praxisorientierte Forschungs- und Entwicklungsprogramme.

Weitere Forschungs- und Entwicklungskooperationen bestehen mit anderen Instituten der Fakultät, insbesondere mit der Gruppe Geotechnik, sowie nationalen und internationalen Partnern aus Wissenschaft und Wirtschaft.

Die Lehrinhalte des Fachbereichs Ingenieurbaukunst sind aufeinander abgestimmt. Aus gemeinsam betreuten Projektarbeiten und gemeinsamen Prüfungen innerhalb der Fachmodule können alle Beteiligten einen optimalen Nutzen ziehen.

Durch den gemeinsamen, einheitlichen Auftritt in der Öffentlichkeit präsentiert sich der Fachbereich Ingenieurbaukunst als moderne Lehr- und Forschungsgemeinschaft, welche die Ziele und Visionen der TU Graz umsetzt.

Nummerierungssystematik der Schriftenreihe

S – Skripten, Vorlesungsunterlagen | F – ForschungsberichteV – Vorträge, Tagungen | D – Diplomarbeiten

Institutskennzahl: 1 – Allgemeine Mechanik | 2 – Baustatik | 3 – Betonbau 4 – Holzbau & Holztechnologie | 5 – Stahlbau & Flächentragwerke 6 – Materialprüfung & Baustofftechnologie | 7 – Baubetrieb & Bauwirtschaft 8 – Hochbau & Industriebau | 9 – Bauinformatik

Fortlaufende Nummer pro Reihe und Institut / Jahreszahl

skriptum_stdtw_ws0506

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