Śladami Pitagorejczyków

Spis treści• Demokracja i jej wpływ na kształtowanie się filozofii

• Pitagoras z Samos

• Szkoła Pitagorejska

• Odkrycia matematyczne Pitagorasa i jego szkoły

• Dalsze zdobycze matematyczne pitagorejczyków oraz ich zastosowanie w życiu codziennym

• Ciekawostki

• Filozofowie matematycy i ich osiągnięcia

• Bibliografia

Demokracja i jej wpływ na kształtowanie się filozofii

Mimo tego, iż za kolebkę demokracji uważane są Ateny, ustrój ten szybko znalazł zwolenników w całej Helladzie.

Forma rządów, w której pełnoprawni obywatele czynnie uczestniczyli w życiu publicznym i mieli na niego duży wpływ, oraz to, iż nie byli obciążani nadmierną pracą, przyczyniła się do rozwoju szeroko pojętej kultury antycznej. W tych sprzyjających warunkach zaczęli pojawiać się pierwsi myśliciele, którzy zastanawiali się nad zagadkami wszechświata. Tak tez narodziła się filozofia, czyli z

greckiego poszukiwanie i umiłowanie mądrości.

Pitagoras z SamosPitagoras urodził się w VI w. p.n.e. na wyspie

Samos jako syn grawera Mnesarchosa, pochodzącego z okolic fenickiego wówczas Tyru. Dokładne ustalenie jego daty urodzenia przysparza historykom wielu problemów. Według niektórych źródeł żył on 81 lat, a według innych 104 lata. Przekazy o jego życiu zawierają bardzo dużo treści legendarnych i jest ich niewiele, dlatego można nawet wątpić, czy Pitagoras był postacią historyczną. Wszystko co wiadomo o jego życiu pochodzi od Diogenesa Laertiosa żyjącego w III w. naszej ery oraz z Żywotów Pitagorasa napisanych przez Jamblichosa i Porfiriusza na przełomie III i IV wieku. Przypisuje mu się podróże do Egiptu i Babilonii, gdzie miał zapoznać się z tamtejszą matematyką, jednak powoływanie się na wiedzę Egiptu i Babilonii było w starożytności częstym zabiegiem mającym zwiększyć wiarygodność danego mistrza. Sam Pitagoras podobno mówił, że w Egipcie żyją mędrcy, a on jest tylko filozofem (czyli miłośnikiem wiedzy). W ten sposób Pitagoras wprowadził określenie filozof.

Szkoła Pitagorejska

Pitagoras założył ją ok. 532 r. p.n.e. po przybyciu do Krotony. Członkowie szkoły traktowali filozofa jak bóstwo, sami zaś tworzyli wspólnotę na kształt bractwa, w którym poszczególni członkowie byli anonimowi, a swoje odkrycia uważali za wspólne dobro, strzegli go i udostępniali tylko „wtajemniczonym”. Tak zwane „uliczne filozofowanie” było przez nich uważane za nieprzyzwoite.

Pitagorejczycy prowadzili życie w ascezie, twierdzili bowiem, że oczyszcza ona ciało a to pozwala panować duszy nad cielesnością. Inna drogą do oczyszczenia była według nich nauka, często koncentrowali się na muzyce na jej podstawie nauczano teorii liczb.Według ich nauczania pierwszymi dwoma zasadami był : bezkres czyli cos nieograniczonego oraz granica. To założenie dawało początek rozumowaniu że cały świat działa na zasadzie przeciwieństw i jest uporządkowany.

Nauczali, że jeśli świat jest harmonijny to można go przedstawić za pomocą liczb. To założenie powodowało, że postrzegali liczbę jako czynnik decydujący o własnościach rzeczy. Na pytanie co jest czynnikiem decydującym o powstawaniu świata odpowiadali : liczba, która zapewnia mu ład. Uznawali też, że wszystko można przedstawić za pomocą liczb. Pitagorejczycy jako pierwsi zajmowali się matematyką, mieli niewątpliwie ogromny wpływ na rozwój i opracowywanie naukowe tej dziedziny , która dotychczas pozostawała w sferze praktycznej. Najpierw rozważali zasady, a potem przystępowali do udowadniania ich .

Przypuszcza się, że Pitagoras miał wpływ raczej na filozoficzno-religijną sferę działalności pitagorejczyków, a w rzeczywistości to jego uczniowie dokonali i udowodnili większości odkryć, które dziś przypisujemy jemu. Szkoła pitagorasa przetrwała ok. 100 lat. Do pitagorejczyków mogli dołączyć zarówno mężczyźni jak i kobiety musieli oni jednak przetrwać pięcioletni okres próby. Po śmierci swojego mędrca pitagorejczycy podzielili się na tych którzy zajęli się nauką ( matematycy) i tych którzy poświęcili się działalności religijnej (akuzmatycy). Przyczyną podziału było prawdopodobnie odkrycie liczb niewymiernych.

WIERZENIA SZKOŁY PITAGOREJSKIEJ:

1. Istnienie duszy i ciała jako odrębnych części człowieka.

2. Możliwość wejścia duszy w ciało.3. Wyższość duszy nad ciałem.4. Ciało jako więzienie duszy5. Istnienie duszy w ciele jest karą za popełnione

winy.6. Celem życia jest wyzwolenie duszy i możliwość

wyzwolenia duszy przez praktyki religijne.

Odkrycia matematyczne Pitagorasa i jego szkoły

1. Teoria równoległych wspólnie z twierdzeniem o sumie kątów w trójkącie

Nie znany jest sposób dowodzenia tego twierdzenia przez Pitagorasa. Prawdopodobnie dowodził on to twierdzenie przez uzupełnienie do prostokątów trójkątów prostokątnych. Można przypuszczać, że zauważył, iż każdy trójkąt można podzielić prostopadłą opuszczoną z wierzchołka na dwa trójkąty prostokątne i oba uzupełnić do dwu prostokątów

2. Twierdzenie Pitagorasa

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej

a2+ b2= c2

Dowód- układanka na twierdzenie Pitagorasa

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Przykłady zadań związanych z twierdzeniem Pitagorasa

1.Czy lustro o wymiarach 2,20m x 2,20m można przenieść przez drzwi o wymiarach 1m x 1m ?

2. Tam za murem dziewczyna,a pod ręką drabina,co pięć metrów długości ma.W fosie krążą rekiny.Żal przecudnej dziewczyny,co za murem z rozpaczy łka.Czy zwykłemu chłopczynie,na wspomnianej drabinie,te przeszkody pokonać się da?Dane wierszyk pominie.Znajdziesz je przy rycinie.Policz sprytnie.Odpowiedz raz dwa!

3. Odkryli również pięciokąt foremny, wiedzieli o tym, że płaszczyznę pokrywać można tylko takimi wielokątami foremnymi: kwadratami, trójkątami równobocznymi oraz sześciokątami.

4. Klasyfikowali liczby , rozróżniali liczby parzyste i nieparzyste, doskonałe i niedoskonałe, będące

kwadratami i te nie będące oraz liczby wymierne i niewymierne.

Liczby doskonałe , czyli takie, dla których suma dzielników mniejszych od liczby równa jest danej liczbie jeżeli tylko liczba jeden jest dzielnikiem danej liczby. Liczbami doskonałymi są: 6, 28, 496, 8128.5. Odkryli niewymierności pierwiastek z dwóch.

6. Odkryli prawidłowości dotyczącej znajdywania liczb całkowitych dla trójkątów pitagorejskich. Wyraża się ona wzorem: (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)²

7.Pitagorejczycy dokonali też licznych odkryć w innych dziedzinach m.in. akustyce( że ruch jest przyczyna dźwięku a także zdefiniowali zjawisko harmonii i wyjaśnili je za pomocą stosunku liczbowego).

Dalsze zdobycze matematyczne pitagorejczyków oraz ich

zastosowanie w życiu codziennym

wiadomości o średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, zastosowane przez Pitagorasa w muzyce, przejął on również od matematyków babilońskich.

pitagorejczycy stworzyli szczególne metody badania naukowego. Matematykę łączyli ściśle z filozofią, ich wiedza była usystematyzowana, a nowe pojęcia wprowadzali na podstawie logicznego rozumowania, tworząc elementy podstaw matematyki. Szczególne znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było: „wszystko jest liczbą”. Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Liczby przedstawiali w formie figur geometrycznych, układając je z kamyków na piasku, co pozwoliło im znaleźć sumy prostych ciągów arytmetycznych (liczby trójkątne i kwadratowe jako sumy szeregów 1 + 2 + ... + n; 1 + 3 + ... + (2n + 1)).

pitagorejczycy odkryli wiele własności liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Wiedzieli o istnieniu liczb niewymiernych, ale zobowiązani byli do zachowania tego w tajemnicy. Istnienie liczb niewymiernych było niezgodne z ich filozofią, niezgodne z harmonią świata, w którym liczby naturalne odgrywały wg nich szczególną rolę.

sposób postrzegania świata na podstawie którego budował swoją filozofię

-mądrość polega na dogłębnej znajomości liczby, poznanie zaś na rozumieniu harmonii.

-liczba tkwi w rzeczy i dlatego każda rzecz posiada własny model. Liczba orzeka o istotnej treści rzeczy, stanowi jej formalny wyraz i jest jej najbardziej formalnym określeniem.

Ciekawostki• Odkrycie że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 jest

liczba niewymierną przeraziło pitagorejczyków do tego stopnia, że złożyli przysięgę iż nikomu nie zdradzą tego faktu. Legenda mówi, że jeden z członków związku zdradził tajemnicę, a że utonął w morzu, uznano to za karę bogów

• Legenda głosi, że Pitagoras dostrzegł swoje słynne twierdzenie, przyglądając się ozdobnym posadzkom.

• Inne źródła podają, że Pitagoras odkrył to twierdzenie analizując znany już Egipcjanom trójkąt o bokach 3, 4, 5 (32+42=52). Tak naprawdę niewiadomo jednak, czy to twierdzenie jest dziełem Pitagorasa, czy też jego uczniów. Jedno jest pewne, twierdzenie wywarło ogromny wpływ na rozwój nauki w starożytności, a i współcześnie uznawane jest za jedno z najważniejszych odkryć matematycznych.

• Pitagorejczycy dzielili liczby na klasy m.in. parzyste, nieparzyste pierwsze i złożone, doskonałe i zaprzyjaźnione, zajmowali się badaniem tzw. liczb trójkątnych, kwadratowych, liczby , którym przypisywali charakter mistyczny i umieszczając je w centrum filozofii kosmicznej, według której założeń “wszystko jest liczbą”

• Twierdzenie Pitagorasa znane było Babilończykom i Egipcjanom na długo przed jego udowodnieniem przez pitagorejczyków.

• Nazwa matematyka bierze początek od grupy uczniów, która wyodrębniła ze szkoły się po śmierci założyciela.

• Pitagorejczycy ułożyli swoją własną symbolikę liczb : 1 - oznaczała punkt,

2 - linia,3 - figura geometryczna,4 - ciało geometryczne (figura w przestrzeni),5 - własności ciał fizycznych,6 - życie,7 - duch,8 - miłość,9 - roztropność, sprawiedliwość,10 - doskonałość wszechświata

• Pitagoras brał udział w zawodach bokserskich podczas 48. olimpiady w roku 554 p.n.e. zdobywając tytuł mistrzowski.

• Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych.

• Pitagorejczycy byli wegetarianami.

• Symbolem szkoły Pitagorasa był pentagram (gwiazda pitagorejska).

Pentagram (gwiazda Pitagorejska)

Pentagram (gwiazda pięcioramienna) –figura geometryczna, w wielu kulturach uważana za symbol magiczny, gwiazda Salomona. Idealny pentagram powstaje poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego i następnie zamazanie oryginału. Można również wydłużać boki pięciokąta do momentu spotkania, otrzymując większy pentagram.– Kąt wewnętrzny

pentagramu ma miarę 36°.– W pentagramie ukryty jest

złoty podział, φ = (1+√5)/2 = 1.61803398….

Pentagram był symbolem bogini Korę, najbardziej wewnętrznej duszy Matki Ziemi, którą czczono w czasach neolitu. Pentagram był znany jako Gwiazda Isztar, a później jako Gwiazda Izydy. Mistycy pitagorejscy widzieli w nim symbol doskonałości, kojarzyli go z życiem i zdrowiem. W starożytności przekonanie o właściwościach ochronnych pentagramu było tak silne, że Babilończycy często rysowali go na pojemnikach z żywnością, co miało zapobiegać jej gniciu. Dla pierwszych chrześcijan pentagram odzwierciedlał pięć ran Jezusa ze względu na 5 wierzchołków. Od XIV wieku uważany za symbol szatana, ze względu na podobieństwo do głowy kozła (odwrócony dwoma wierzchołkami do góry). W XIX wieku Eliphas Levi podzielił pentagramy na "dobrą stronę" i "złą stronę". Za "dobrą" uznał ten odwrócony jednym wierzchołkiem do góry, za "złą" odwrócony — zwrócony dwoma wierzchołkami do góry. Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem do góry zwany jest Pentagramem Białym, jest on odzwierciedleniem sacrum — siły boskiej. Może również odzwierciedlać pięć zmysłów człowieka, oraz pięć żywiołów: powietrze, wodę, ziemię, ogień i ducha, ukazując wyższość umysłu człowieka nad wszelkimi innymi żywiołami i zmysłami.

Trójkąt egipskiTrójkąt egipskiPitagoras przekazał namzwiązek między bokamitrójkąta egipskiego:

222 543 3

4

5

Pole trójkąta egipskiego wynosi 6, a więc liczbie kolejnejpo trzech liczbach oznaczających długości boków.

Ponadto 2232 5436 .

W słynnej piramidzie Cheopsatak zwana komnata królewskama wymiary w sposób szczególnyzwiązane z liczbami 3, 4, 5.

3

4

5

Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 uważany był w Starożytności za figurę magiczną. W Egipcie używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu.

.

Suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat.

2

2

2

47531

3531

231

. . . . . . . . . . . . . . . . .

A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia..

Liczba nieparzysta jest różnicą dwu kwadratów.

734

523

312

22

22

22

. . . . . . . . . . . .

A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia..

Liczby doskonałeLiczby doskonałe

Liczbami doskonałymi nazywali pitagorejczycy takieliczby, w których suma podzielników (bez danej liczby)równa się tej liczbie.

6 = 1 + 2 +3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Dzisiaj w dobie komputerów jest znanych ponad 40 liczbdoskonałych (ostatnia ma ponad 19 milionów cyfr)

122 3258265732582656 .

Liczby zaprzyjaźnioneLiczby zaprzyjaźnione

Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” odpowiedział: „Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”.

Dwie liczby są zaprzyjaźnione, jeżeli suma dzielnikówkażdej z nich (bez niej samej) równa się drugiej liczbie czyli zaprzyjaźnionej.

220 = 1 +2 + 4 + 71 + 142 , to są dzielniki liczby 284

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

Składniki tej sumy są dzielnikami liczby 220 .

Drugim wielkiej doniosłości twierdzeniemgeometrycznym przypisywanym Pitagorasowijest twierdzenie o sumie kątów trójkąta

0180

.

Pitagoras uznawany jest powszechnie za twórcę pierwszych zasad budowy wielościanów foremnych,które nazwał figurami kosmicznymi

tetraedr hekasedr

oktaedr

dodekaedr

ikosaedr

Filozofowie matematycy i ich osiągnięcia

• Ptolemeusz wybitny astronom grecki podzielił okrąg na 360 równych części, otrzymując stopień, który podzielił na 60 minut, z kolei minutę na 60 sekund.

• Platon wprowadza pierwszą definicję liczby parzystej- jest to liczba, która da się podzielić na dwie równe części.

• Apoloniusz z Pergi wprowadził m.in. terminy „parabola”, „hiperbola”, „elipsa” i „asymptota”. Sądzono, że stożkowe nie są figurami idealnymi, jakimi powinna się zajmować matematyka. Z punktu widzenia klasyków Konika nie było dziełem z zakresu matematyki. Niektórzy uważają, że Apoloniusz z Pergi był jednym z tych, którzy chcieli wyzwolić matematykę spod wpływów szkoły platońskiej, gdyż starał się znaleźć powiązanie pojęć matematycznych z otaczającą rzeczywistością. Apoloniusz z Pergi zajmował się również astronomią; wiele jego odkryć nie zachowało się. Prace Apoloniusza z Pergi miały ogromny wpływ na rozwój nowożytnej nauki, w szczególności astronomii, mechaniki i optyki.

ArchimedesArchimedes zajmował się różnymi dziedzinami nauki, m.in.: arytmetyką, geometrią, hydrostatyką, astronomią, mechaniką, optyką. Jego prace z matematyki stanowiły fundament myśli matematycznej kilku stuleci. Archimedesa uznaje się za jednego z największych matematyków wszystkich czasów. -urodził się w Syrakuzach na Sycylii, kształcił się w Aleksandrii. Podczas drugiej wojny punickiej kierował obroną Syrakuz, służąc swą wiedzą przy budowie machin obronnych. Po zdobyciu miasta przez Rzymian został przypadkowo zabity przez rzymskiego żołnierza, wbrew rozkazowi zdobywcy Syrakuz – Marcellusa.

• -jego dzieła wyróżniały się spośród innych dzieł starożytności oryginalnością pomysłów, siłą dowodu, logiczną budową i mistrzostwem rachunku. Do cenniejszych dzieł matematycznych Archimedesa należą prace dotyczące rachunku nieskończonościowego. podjął myśl Eudoksosa, opracowując pomysłowe metody obliczania pola powierzchni i objętości brył.

• -ważne dla rozwoju wiedzy matematycznej były prace, w których Archimedes wprowadził pojęcie środka ciężkości, określając ten punkt dla najprostszych figur geometrycznych

• zajmował się też problemami fizyki matematycznej, m.in. problemem dźwigni i zagadnieniem równowagi ciał zanurzonych

• zajmował się też problemami fizyki matematycznej, m.in. problemem dźwigni i zagadnieniem równowagi ciał zanurzonych

• wprowadzając pojęcie siły, Archimedes stworzył podstawy statyki, określił zasadę dźwigni

• Archimedes, szukając sposobu ustalenia zawartości czystego złota w koronie króla Hierona II (który panował w czasach Archimedesa), odkrył prawo znane jako prawo Archimedesa.

• jak głosi anegdota, odkrycia tego dokonał podczas kąpieli, po czym, rozentuzjazmowany wybiegł nago na ulicę Syrakuz z okrzykiem „eureka!” (znalazłem)

• z dziedziny geometrii znane są m.in. takie prace Archimedesa, jak: Pomiar koła, O liniach spiralnych, O kuli i walcu. Pierwsza z nich zawiera formułę na obliczenie pola koła oraz dość dokładne oszacowanie liczby p

• w traktacie O kuli i walcu Archimedes udowodnił m.in., że objętości brył geometrycznych o wspólnej osi obrotu – stożka z opisaną na nim kulą, na której z kolei opisany jest walec – mają się do siebie jak 1 : 2 : 3. Kulę z opisanym na niej walcem i zaznaczonym stosunkiem objętości tych brył wyryto na życzenie Archimedesa na jego nagrobku. Cenne są również prace Archimedesa z dziedziny astronomii i arytmetyki.

• opisał mechanizm ruchu Słońca, Księżyca i pięciu planet wokół nieruchomej Ziemi. Zbudował podobno planetarium z hydraulicznym napędem, które wódz Rzymian Marcellus zabrał po zdobyciu Syrakuz jako jedyny łup.

• w traktacie arytmetycznym O liczbie piasku, obliczając liczbę ziaren piasku w skończonym, jak to sobie wyobrażali starożytni, wszechświecie (szacując ją na 1063), Archimedes przedstawił oryginalną metodę zapisywania bardzo wielkich liczb. Za czasów Archimedesa istniały dwa systemy liczbowe, w których największą liczbą była liczba 104, zw. miriadą. Archimedes wprowadził miriady miriad, a największą wprowadzoną przez niego liczbą była liczba 108 · 1016.

• uczony zyskał u współczesnych sławę gł. dzięki wynalazkom. W czasie pobytu w Aleksandrii skonstruował urządzenie znane pod nazwą śruby Archimedesa, które służyło do nawadniania pól; do dzisiaj można je spotkać w Egipcie. Skonstruował też przenośnik ślimakowy, organy wodne i zegar wodny, machiny obronne. Udoskonalił wielokrążek, który zastosował do wodowania statku. Z tym faktem związane jest słynne powiedzenie Archimedesa: „Dajcie mi punkt podparcia, a sam jeden poruszę z posad Ziemię”

• bryła archimedesowa, wielościan wypukły, którego kąty wielościenne są przystające, krawędzie są jednakowej długości, a ściany są wielokątami foremnymi. Różnica między wielościanem półforemnym a wielościanem foremnym polega na tym, że w wielościanie półforemnym ściany mogą być różnymi wielokątami foremnymi. Z każdego wielościanu foremnego (bryły platońskiej) można otrzymać przez odpowiednie ścinanie naroży pewne wielościany półforemne (bryły archimedesowe). Wielościany półforemne, które powstają przez ścinanie naroży wielościanów foremnych.

Bibliografia

• 1.Dirk J. Stiuk “Krótki zarys historii matematyki do końca XIX wieku”, PWN, Warszawa 1963r.

• 2.Edward Kohler “Z dziejów matematyki”, Wiedza powszechna, Warszawa 1962r.

• 3. “Encyklopedia szkolna MATEMATYKA”, WSiP SA Warszawa 1998r.

• 4.Jan Legowicz “Zarys historii filozofii”, Wiedza powszechna, Warszawa 1983r.

Przygotowały:

Katarzyna Andrys, Amanda Kozłowska, Anna Żelichowska

kl. II „a” I L.O. im. T Kościuszki w Busku-Zdroju