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SMA332 - CÁLCULO II
Wagner V. L. Nunes
agosto de 2007
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Sumário
1 Introdução 5
2 Os Espaços Rn 72.1 Os espaços euclideanos n-dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Conjuntos abertos, fechados e compactos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Funções a Valores Vetoriais - Curvas Parametrizadas 19
3.1 Funções de variável real a valores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Funções Reais de Várias Variáveis Reais 39
4.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Funções Reais de Duas Variáveis: Curvas de Nı́vel . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Funções de Três Variáveis: Superf́ıcies de Nı́vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Limite e Continuidade de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 51
5.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Funções Diferenciáveis - Derivadas Parciais 67
6.1 Derivadas Parciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Diferenciabilidade de Funções Reais de Várias Variáveis 79
7.1 Critério Para o Estudo da Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2 Regra da Cadeia Para Funções de Várias Variáveis Reais . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 O Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4 Plano Tangente e Reta Normal à Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Derivada Direcional de Funções Reais de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . 109
8 Transformações do Rn no Rm 1178.1 Definições e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Exemplos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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4 SUMÁRIO
9 A Fórmula de Taylor Para Funções Reais de Várias Variáveis Reais 1379.1 Fórmula e Polinômio de Taylor para Funções Reais de uma Variável Real . . . . 1379.2 Fórmula e Polinômio de Taylor para Funções Reais de Duas Variáveis . . . . . . 138
10 Máximos e Mı́nimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 14910.1 Definições e Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.2 Teste do Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.4 Caso Geral: Autovalores da Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5 Exemplo Aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.6 Extremos Globais de Funções em Regiões Fechadas e Limitadas . . . . . . . . . 173
11 Multiplicadores de Lagrange 17911.1 O Problema De Um Vı́nculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.1.2 Teorema do Multiplicador de Lagrange para Um Vı́nculo . . . . . . . . . 179
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Caṕıtulo 1
Introdução
13.08.2007 - 1.aNo que se segue iniciaremos o estudo de funções de várias variáveis reais a valores reais.Começaremos com os seguintes exemplos:Todos sabemos que a temperatura na Terra em um determinado instante varia de acordo
com a localização (x-latitude, y-longitude e z-altitude). Este número real, que chamamos detemperatura, é então função de pelo menos três variáveis além do tempo (já que a temperaturatambém varia de um instante para outro).
Em uma outra situação podemos imaginar um recipiente fechado com um êmbolo contendoum determinado gás. É sabido que a pressão, P dentro do recipiente depende da temperatura,T e do volume, V . A relação entre estas variáveis é dada pela conhecida equação de Clapeyron
P = nRT
V
onde n é o número de mols do gás no recipiente e R é a constante universal dos gases.Novamente nos deparamos com uma situação em que uma quantidade (a pressão) depende
de mais de uma variável (temperatura e volume).Facilmente podemos imaginar muitas outras quantidades que dependem de mais de uma
variável. Estas funções são as entidades que estaremos estudando nessas notas.Até o momento, estudamos funções reias que dependem de apenas bf uma única variável e
para estas procuramos entender como estas funções se comportam (através de seu gráfico).Mais precisamente, se este gráfico exibe saltos ou não (através do conceito de continuidade);
se este gráfico tem ou não ”bicos”(através do conceito de diferenciabilidade) e depois vimos queem muitos casos é posśıvel encontrar a função cuja derivada é uma função dada (através daintegração).
Vimos também inúmeras aplicações dos conceitos acima a problemas f́ısicos.No que se segue vamos seguir a mesma trajetória descrita acima para estudar funções de
mais de uma variável e veremos com algumas aplicações que este estudo nos possibilitará.Antes porém precisaremos de alguns conceitos importantes no desenvolvimento do conteúdo.
5
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6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
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Caṕıtulo 2
Os Espaços Rn
17.08.2007 - 2.aNeste caṕıtulo, nosso objetivo é apresentar os espaços euclideanos n-dimensionais, Rn, intro-
duzir uma noção de distância entre dois pontos nestes espaços e algumas de suas conseqüências.Estudamos nos cursos de Cálculo I e de Geometria Anaĺıtica que o conjunto dos números
reais, R, dos vetores do plano, V 2 e dos vetores do espaço, V 3.Vimos também que V 2 e V 3 podem ser identificados com
V 2 ∼ R2 .= { pares ordenados } = {~x = (x1, x2) onde x1, x2 ∈ R}
V 3 ∼ R3 .= { triplas ordenadas } = {~x = (x1, x2, x3) onde x1, x2, x3 ∈ R}desde que fixemos um sistema de coordenadas ortogonais (isto é, (0, ~e1, ~e2, ~e3), onde O é umponto de R3 e {~e1, ~e2, , ~e3} é base ortonormal de V 3; de modo análogo para o caso de R2).
De modo análogo definimos:
Rn .= { n-uplas ordenados } = {~x = (x1, · · · , xn) onde x1, · · · , xn ∈ R}.
Estes conjuntos serão os lugares onde desenvoleremos nosso estudo.
2.1 Os espaços euclideanos n-dimensionais
A seguir introduziremos duas operações em Rn (uma de adição de elementos de Rn e outra demultiplicação de elementos de Rn por números reias).
Definição 2.1.1 Dados ~x = (x1, · · · , xn), ~y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn e α ∈ R, definimos:(i) A adição de dois elementos ~x, ~y do Rn, indicada por ~x + ~y do Rn, como sendo o vetor
do Rn definido por:~x + ~y
.= (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn).
(ii) A multiplicação de um elemento ~x ∈ Rn por α ∈ R (denominado escalar), indicada porα~x ∈ Rn, como sendo o vetor do Rn definido por:
α~x.= (αx1, · · · , αxn).
Deste modo temos + : Rn × Rn → Rn e . : R× Rn → Rn.
7
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8 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN
Com isto temos a:
Proposição 2.1.1 O conjunto Rn, com as operações de adição e multiplicação por escalaracima, satifaz as seguintes propriedades:
(A-1) Fechamento da adição de vetores: ~x + ~y ∈ Rn, para todo ~x, ~y ∈ Rn;(A-2) Comutativa da adição de vetores: ~x + ~y = ~y + ~x, para todo ~x, ~y ∈ Rn;(A-3) Associativa da adição de vetores: (~x + ~y) + ~z = ~x + (~y + ~z), para todo ~x, ~y, ~z ∈ Rn;(A-4) Elemento neutro da adição de vetores: Existe ~O ∈ Rn tal que ~x+ ~O = ~x para todo ~x ∈ Rn
( ~O.= (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn);
(A-5) Elemento oposto da adição de vetores: Dado ~x ∈ Rn, existe −~x ∈ Rn tal que ~x+(−~x) = ~O(se ~x = (x1, x2, · · · , xn) então −~x .= (−x1,−x2, · · · ,−xn) ∈ Rn);
(M-1) Fechamento da multiplicação por escalar por vetores: α~x ∈ Rn, para todo α ∈ R e ~x ∈ Rn;(M-2) Associativa da multiplicação por escalar por vetores: α(β~x) = (αβ)~x, para todo α, β ∈ R
e ~x ∈ Rn;(M-3) Elemento neutro da multiplicação por escalar por vetores: 1.~x = ~x para todo ~x ∈ Rn;(MA) Distributiva da multiplicação por escalar por vetores pela adição de vetores: α(~x + ~y) =
α~x + α~y, para todo α ∈ R e ~x, ~y ∈ Rn;(AM) Distributiva da adição de escalares pela multiplicação por vetor: (α + β)~x = α~x + β~x,
para todo α, β ∈ R e ~x ∈ Rn.Demonstração:
A demostração será deixada para o leitor.¤
Observação 2.1.1
1) Como será visto no curso de Álgebra Linear, isto pode ser resumido dizendo-se que Rncom as operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por escalar definidas acimaé um espaço vetorial sobre R.
2) Geometricamente a adição de elementos de Rn pode ser vista como:
-
>̧
~x
~y
~x + ~y
-
2.2. PRODUTO ESCALAR 9
3) Geometricamente a substração de vetores de Rn pode ser vista como:
-
±
^
~x
~y~x− ~y
4) Das duas obervações acima conclúımos que a adição e a subtração de elementos de Rnpodem ser vistas como as diagonais de um paralelogramo cujos lados são determinadospelos vetores ~x e ~y do Rn.
-
±
^
~x
~y
>
~x− ~y
~x + ~y
2.2 Produto escalar
No espaço vetorial Rn podemos definir uma multiplicação entre elementos do próprio espaçoresultando em um número real, a saber:
Definição 2.2.1 Dados ~x = (x1, x2, · · · , xn) e ~y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn, definimos o produtoescalar de ~x por ~y, indicado por ~x • ~y, como sendo o número real dado por:
~x • ~y .= x1y1 + · · ·xnyn ∈ R,
isto é, • : Rn × Rn → R.
Com isto temos a:
Proposição 2.2.1 Dados ~x, ~y, ~z ∈ Rn e λ ∈ R temos que:(PE-1) O produto escalar de vetores é comutativo, isto é, ~x • ~y = ~y • ~x.
-
10 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN
(PE-2) O produto escalar de vetores é distributivo em relação a adição de vetores, isto é, (~x +~y) • ~z = ~x • ~z + ~y • ~z.
(PE-3) O produto escalar de vetores é associativo (do produto de vetor por escalar pelo produtoescalar de vetores), isto é, (α~x) • ~y = ~x • (α~y) = α(~x • ~y).
(PE-4) O produto escalar é positivo definido, isto é, ~x • ~x ≥ 0, para todo x ∈ Rn e ~x • ~x = 0 se esomente se ~x = ~0.
Demonstração:Será deixada para o leitor.
¤
Observação 2.2.1 As propriedades acima nos dizem que o produto escalar em um espaçovetorial real é uma forma bilinear simétrica definida positiva (este tipo de funções serãoestudadas no curso de Álgebra Linear).
2.3 Norma de um vetor
Observação 2.3.1 Em R temos uma medida do comprimento de um elemento x ∈ R, ditovalor absoluto ou módulo de x e indicado por |x|. Tal valor determina o quanto este elementodista do elemento 0 ∈ R (a origem).
Do mesmo modo, em R2 definimos o comprimento de um vetor ~x = (x1, x2) ∈ R2, denomi-nada norma do vetor ~x, indicado por ‖~x‖, como sendo ‖~x‖ .=
√x21 + x
22. Tal valor determina
a distância deste elemento à origem O = (0, 0) ∈ R2.De modo similar, vimos no curso de Geometrica Anaĺıtica que em R3 definimos o compri-
mento de um vetor ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3, denominada norma do vetor ~x, indicado por ‖~x‖,como sendo ‖~x‖ .=
√x21 + x
22 + x
23. Tal valor determina a distância deste elemento à origem
O = (0, 0, 0) ∈ R3.
De modo geral temos a:
Definição 2.3.1 Para ~x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn definimos a norma de ~x, denotada por ‖~x‖,como sendo o número real
‖~x‖ .=√
x21 + · · ·+ x2n.
Observação 2.3.2
1) A norma de um vetor determina a distância deste elemento à origem O = (0, 0, · · · , 0) ∈Rn.
2) Se ~x ∈ Rn temos ‖~x‖ =√
~x • ~x.
Com isto temos a:
Lema 2.3.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Dados dois vetores quaisquer ~x, ~y ∈ Rntemos
|~x • ~y| ≤ ‖~x‖ ‖~y‖.
-
2.3. NORMA DE UM VETOR 11
Demonstração:Para cada t ∈ R, da proposição (2.2.1) segue que 0 ≤ [~x + t~y] • [~x + t~y] = ~x • ~x + ~x • (t~y) +
(t~y) • ~x + (t~y) • (t~y) = ~x • ~x + 2t(~x • ~y) + t2(~y • ~y), isto é,~x • ~x + 2t(~x • ~y) + t2(~y • ~y) ≥ 0.
Logo, da observação (2.3.2) (b) temos que
‖~y‖2 t2 + (2~x • ~y) t + ‖~x‖2 ≥ 0.Esta inequação do segundo grau em t nos garante que discriminante da equação não poderá serpositivo, isto é, ∆ = 4(~x • ~y)2 − 4‖~x‖2‖~y‖2 ≤ 0, ou seja,
|~x • ~y| ≤ ‖~x‖‖~y‖,como queŕıamos demonstrar.
¤Com isto temos as seguintes propriedades para a norma de um vetor:
Proposição 2.3.1 Sejam ~x, ~y ∈ Rn e α ∈ R. Então:(N-1) ‖~x‖ =
√~x • ~x;
(N-2) ‖~x‖ ≥ 0 para todo ~x ∈ Rn e ‖~x‖ = 0 se, e somente se, x = 0.(N-3) ‖α~x‖ = |α|‖~x‖;(N-4) (Desigualdade Triangular) ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖.Demonstração:
As demonstrações de (N-1)-(N-3) serão deixadas para o leitor.Faremos a demostração de (N-4).Para isto observemos que:
‖~x + ~y‖2 (N-1)= (x + y) • (x + y) (proposição (2.2.1))= x • x + x • y + y • x + y • y (proposição (2.2.1))=x • x + 2(x • y) + y • y (N-1)= ‖~x‖2 + 2(x • y) + ‖y‖2.
Logo
‖~x + ~y‖2 ≤ ‖~x‖2 + 2|x • y|+ ‖y‖2(lema (2.3.1))
≤ ‖~x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖~x‖+ ‖~y‖)2,isto é, ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖, completando a demostração.
¤
Observação 2.3.3 A desigualdade triangular nos diz que o comprimento de um lado de umtriângulo é sempre menor (eventualmente igual) que a soma da medida dos outros dois ladosdo mesmo.
‖~x‖
‖~y‖
‖~x + ~y‖
-
12 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN
Como conseqüência da desigualdade triangular temos o:
Corolário 2.3.1 Sejam ~x, ~y ∈ Rn. Então‖~x− ~y‖ ≥ | ‖~x‖ − ‖~y‖ |.
Demonstração:Podemos supor, sem perda de generalidade, que ‖x‖ ≥ ‖y‖.Da desiguladade triangular temos:
‖~x‖ = ‖(~x− ~y) + ~y‖ ≤ ‖~x− ~y‖+ ‖~y‖ assim | ‖~x‖ − ‖~y‖ | = ‖~x‖ − ‖~y‖ ≤ ‖~x− ~y‖,completando a demostração.
¤
Observação 2.3.4 Suponhamos que ~x e ~y são dois vetores não nulos de Rn, isto é ‖x‖, ‖y‖ 6=0.
Então da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos |x • y| ≤ ‖x‖ ‖y‖, ou seja
−1 ≤ x • y‖x‖ ‖y‖ ≤ 1.
Deste modo existe um único θ ∈ [0, π) tal que cos(θ) = x • y‖x‖ ‖y‖ .
Com isto podemos introdizur a:
Definição 2.3.2 Dados ~x e ~y ∈ Rn são dois vetores, não nulos, de Rn definimos o ânguloentre ~x e ~y como sendo θ obtido acima.
Observação 2.3.5 Logo da observação acima temos:
~x • ~y = ‖x‖ ‖y‖ cos(θ).Tendo a noção de ângulo entre vetores podemos definir a noção de ”ortogonalidade” entre
vetores, a saber:
Definição 2.3.3 Dados ~x e ~y ∈ Rn diremos que eles são ortogonais se ~x • ~y = 0 e escreve-remos ~x ⊥ ~y.Observação 2.3.6 Observemos que se ~x e ~y ∈ Rn são dois vetores não nulos de Rn então,~x ⊥ ~y se, e somente se, o ângulo entre eles é de π
2(pois eles são ortogonais se, e somente se
0 = ~x • ~y = ‖x‖ ‖y‖ cos(θ); como ‖x‖ ‖y‖ 6= 0 segue que cos(θ) = 0, ou seja, θ = π2).
Outras propriedades relacionadas com ortogonalidade serão vistas ao longo destas notas.
Vale o teorema de Pitágoras em Rn, isto é,
Teorema 2.3.1 Sejam ~x e ~y ∈ Rn dois vetores de Rn.Os vetores ~x e ~y são ortogonais se, e somente se, ‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2.
Demonstração:A demosntração deste resultado será deixado para o leitor.
¤20.08.2007 - 3.a
-
2.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM RN 13
2.4 Conjuntos abertos, fechados e compactos em Rn
Para estudarmos o comportamento de funções reais a várias variáveis precisaremos de algumasdefinições que estão contidas nesta secção.
Para o que segue vamos considerar Rn munido das operações (adição, multiplicação porescalar, produto interno, norma) definidas na seção anterior.
Começarmos pela:
Definição 2.4.1 Sejam ~x0 = (x1, · · · , xn) ∈ Rn e r ∈ R, r > 0. O conjunto
Br(~x0).= {~x ∈ Rn : ‖~x− ~x0‖ < r}
será dito bola aberta de centro em ~x0 e raio r.
Exemplo 2.4.1
1) Em R (isto é, se n = 1) temos que Br(~x0) = {x ∈ R : |x− x0| < r} = (x0 − r, x0 + r) é ointervalo aberto de comprimento 2r com centro em x0.
-
x0x0 − r x0 + r
︷ ︸︸ ︷Br(~x0)
x
2) Em R2 (isto é, se n = 2) temos que Br(~x0) = {(x, y) ∈ R2 : (x− x0)2 + (y − y0)2 < r2} éo conjunto dos pontos do interior à circunferência de centro em ~x0 = (x0, y0) ∈ R2 e raior > 0.
-
6
~x0 :r
Br(~x0)
x
y
x0
y0
c) Em R3 (isto é, se n = 3) temos que Br(~x0) = {(x, y, z) ∈ R2 : (x − x0)2 + (y − y0)2 +(z − z0)2 < r2} é o conjunto dos pontos do interior à superf́ıcie esférica de centro em~x0 = (x0, y0, z0) ∈ R3 e raio r > 0.
-
14 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN
~x0
>r
6
-
ª
x
y
z
Br(~x0)
x0
y0
z0
A partir da definição de bola aberta podemos introduzir as seguintes noções:
Definição 2.4.2 Seja A ⊆ Rn não vazio.Diremos que ~x0 ∈ A é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro em
~x0 interamente condita em A, ou seja, se existir r > 0 tal que Br(~x0) ⊆ A.Diremos que ~x0 ∈ Rn é um ponto de fronteira de A se toda bola aberta de centro em
~x0 intercepta o conjunto A e seu complementar Ac, isto é, para todo r > 0, Br(~x0) ∩ A 6= ∅ e
Br(~x0) ∩ Ac 6= ∅ (onde Ac denota o conjunto complementar de A em Rn).Diremos que ~x0 ∈ Rn é um ponto exterior de A se ele for ponto interior de Ac.Diremos que ~x0 ∈ Rn é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em
~x0 intercepta o conjunto A em, pelo menos, um ponto diferente de ~x0, isto é, para todo r > 0,(Br(~x0) ∩ A) \ {~x0} 6= ∅.
Diremos que ~x0 ∈ A é um ponto isolado de A se ~x0 não é um ponto de acumulação deA.
Exemplo 2.4.2 Seja A = {(x, y) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(2, 2)} ⊆ R2.O conjunto acima é formado pelos pontos que estão sobre e dentro do quadrado unido com
conjunto formado pelo ponto (2, 2).
-
2.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM RN 15
-
6
−1 1
−1
1
(2, 2)
2
2
x
y
Observemos que todos os pontos do conjunto {(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1, −1 < y < 1} sãopontos interiores de A (eles estão dentro do quadrado).
-
6
−1 1
−1
1
x
y
Os pontos do conjunto {(x,−1) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1} ∪ {(x, 1) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1} ∪{(−1, y) ∈ R2 : −1,≤ y ≤ 1} ∪ {(1, y) ∈ R2 : −1,≤ y ≤ 1} ∪ {(2, 2)} são pontos de fronteira deA (os pontos sobre os lados quadrado).
Os pontos do conjunto {(x, y) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1} são pontos de acumulaçãodo conjunto A (são os pontos que estão sobre e dentro do quadrado).
O ponto (2, 2) não é um ponto de acumulação do quadrado (pois a bola de centro em (2, 2)e raio r = 1 não contém nenhum ponto de A diferente de (2, 2)) logo ele será um ponto isoladode A.
Resuminado, na figura abaixo temos que Q é ponto de fronteira, P é ponto interior e R éponto exterior de A.
-
16 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN
-
6
−1 1
−1
1
(2, 2)
2
2
x
y
Q
R
P
Em geral temos a:
Proposição 2.4.1 Seja A ⊆ Rn e ~x0 ∈ Rn.Então se ~x0 é ponto de acumulação de A temos que ou ~x0 é ponto interior de A ou ~x0 é
ponto de fronteira de A.
Demonstração:Como ~x0 é ponto de acumulação de A, toda bola Br(~x0) intercepta A em um ponto diferente
de ~x0.Se ~x0 não é ponto interior de A, isto é existe r0 > 0 tal que Br0(~x0) não está contida em A,
ou seja, para todo 0 < s ≤ r0 temos que a bola Bs(~x0) não está contida em A.Logo para todo 0 < s ≤ r0 temos que a bola Bs(~x0) contém pontos de A (pois x0 é ponto
de acumulação de A) e pontos que estão em Ac (pois contém pontos que não estão em A), ouseja, ~x0 é ponto de fronteira de A.
¤Temos também a:
Definição 2.4.3 Seja A ⊂ Rn não vazio.Diremos que A é um conjunto aberto em Rn se todo ponto de A é ponto interior de A.Diremos que A é um conjunto fechado em Rn se seu complementar, Ac, é aberto em
Rn.
Exemplo 2.4.3
1) R2 é um conjunto aberto e fechado em R2.
6
-x
y
-
2.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM RN 17
2) A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} é fechado em R2.
-
6
x
y
3) A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} é aberto em R2.
-x
y 6
4) Toda bola aberta de Rn é um conjunto aberto em Rn.
Resolução:A resolução destes exemplos serão deixadas para o leitor.
Exerćıcio 2.4.1 Dê exemplos de conjuntos que não são abertos nem fechados em R2.
Com isto podemos introduzir os seguintes conjuntos:
Definição 2.4.4 Seja A ⊆ Rn.Definimos o fecho de A em Rn, indicado por Ā, como sendo o conjunto formado por todos
os pontos de A juntamente com os pontos de acumulação de A.Definimos a fronteira de A em Rn, indicada por ∂A, como o conjunto formado por todos
os pontos de fronteira de A.
Definimos a interior de A em Rn, indicado poro
A, como o conjunto formado por todosos pontos interiores a A em Rn.
-
18 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN
Exerćıcio 2.4.2 Encontre o interior, o fecho e a fronteira dos conjuntos dos exemplos (2.4.2)e (2.4.3).
Com isto temos a:
Proposição 2.4.2 Se A ⊆ Rn então:(a) Ā é fechado em Rn;
(b)o
A é aberto em Rn;
(c) ∂A é fechado em Rn;
(d) Ā = A ∪ ∂A e oA ∩∂A = ∅
Demonstração:A demonstração dessas propriedades serão deixadas para o leitor.
¤Uma caracterização dos conjuntos fechados em Rn é dada pela:
Proposição 2.4.3 Um subconjunto A ⊆ Rn é fechado em Rn se, e somente, se A = Ā.
Demonstração:Se A é fechado se, e somente se, Ac é aberto.Mas, Ac é aberto se, e somente se, todo ponto de Ac é exterior a A, isto é, se, e somente se,
todo ponto de acumulação de A está em A, ou seja, se e somente se, A = Ā.¤
Finalizando as definições temos a:
Definição 2.4.5 Seja A ⊆ Rn.Se para algum r > 0, A ⊆ Br(0), dizemos que A é um conjunto limitado em Rn.Se A é fechado e limitado em Rn ela será dito compacto em Rn.
Exerćıcio 2.4.3 Mostre que o conjunto A do exemplo (2.4.2) é compacto.
Com isto temos o:
Teorema 2.4.1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto limitado do Rnque possui infinitos elementos tem pelo menos um ponto de acumulação.
Demonstração:A demonstração deste resultado será omitida e pode ser encontrada em livros de Análise
Matemática (por exemplo, W. Rudin - Principles of Mathematical Analysis).
-
Caṕıtulo 3
Funções a Valores Vetoriais - CurvasParametrizadas
22.08.2007 - 4.aNeste caṕıtulo trataremos de uma classe importante de funções, a saber as funções reais a
valores vetoriais e as curvas parametrizadas.Denotaremos a base canônica de Rn por {~e1, ~e2, · · · , ~en}, isto é,
~ek = (0, 0, · · · , 0, 1︸︷︷︸k-ésima posição
, 0, · · · , 0) ∈ Rn.
No caso n = 2 podemos indicar ~e1 por ~i e ~e2 por ~j (isto é, ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1)).
No caso n = 3 podemos indicar ~e1 por~i, ~e2 por ~j e ~e3 por ~k (isto é,~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0)
e ~e3 por ~k).Começaremos pela:
3.1 Funções de variável real a valores vetoriais
Definição 3.1.1 Sejam A ⊆ R aberto e F1, F2, · · ·Fn : I → R funções reais.Deste modo podemos definir uma função F : A → Rn, onde F (t) .= (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)) =
F1(t)~e1 + F2(t)~e2 + · · ·Fn(t)~en, t ∈ A.Tal função será dita função de uma variável real a valores vetoriais (ou simples-
mente função vetorial).Para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}, a função Fi : A → R será dita i-ésima componente de F .
Caso n = 2 :
-6
A
t-
F
6
3F (t) = F1(t)~e1 + F2(t)~e2
-6
~e1
~e2
19
-
20 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Caso n = 3 :
-
À
6
A
t-
F
6
3F (t) = F1(t)~e1 + F2(t)~e2 + F3(t)~e3
-À
6
~e1~e2
~e3s
Podemos operar com funções vetoriais operando com suas componentes, ou seja:
Definição 3.1.2 Sejam F : A → Rn e G : A → Rn funções vetoriais tais que F (t) =(F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)) e G(t) = (G1(t), G2(t), · · · , Gn(t)), t ∈ A.
Definimos a função F + G : A → Rn como sendo(F + G)(t)
.= F (t) + G(t) = (F1(t) + G1(t), F2(t) + G2(t), · · · , Fn(t) + Gn(t))),
t ∈ A (dita função soma da função F com a função G).De modo semelhante definimos a função F −G : A → Rn como sendo
(F −G)(t) .= F (t)−G(t) = (F1(t)−G1(t), F2(t)−G2(t), · · · , Fn(t)−Gn(t)),t ∈ A (dita função diferença da função F pela função G).
Se α ∈ R definimos a função αF : A → Rn como sendo(αF )(t)
.= αF (t) = (αF1(t), αF2(t), · · · , αFn(t)),
t ∈ A (dita função produto da função F pelo número real α).Além disso podemos definir a função F •G : A → R como sendo
(F •G)(t) .= F (t) •G(t) = F1(t)G1(t) + F2(t)G2(t) + · · ·+ Fn(t)Gn(t)),t ∈ A (dita função produto escalar da função F pela função G).
Se n = 3 podemos definira a a função F ×G : A → R3 como sendo
(F×G)(t) .= F (t)×G(t) = (F1(t), F2(t), F3(t))×(G1(t), G2(t), G3(t)) =∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3F1(t) F2(t) F3(t)G1(t) G2(t) G3(t)
∣∣∣∣∣∣,
t ∈ A (dita função produto vetorial da função F pela função G).Podemos estudar limites de funções a valores vetoriais estudando o limite de suas compo-
nentes, isto é,
Definição 3.1.3 Seja F : A ⊆ R→ Rn função vetorial tal que F (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t))e t0 ∈ A.
Diremos que existe limite de F (t) quando t tende a t0 e dá L.= (L1, L2, · · · , Ln) se, e
somente se, limt→t0
Fi(t) = Li, para i ∈ {1, 2, · · · , n}.Neste caso escreveremos lim
t→t0F (t) = L.
-
3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 21
Observação 3.1.1
(a) A definição acima nos diz que limt→t0
F (t) = (limt→t0
F1(t), limt→t0
F2(t), · · · , limt→t0
Fn(t)), ou seja
para estudarmos limites de funções vetoriais basta sabermos estudar os limites de suasfunções componentes Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, isto é, de funções reais de uma variável real(estudadas no Cálculo 1).
(b) Como F (t) = F1(t)~e1 + F2(t)~e2 · · · , Fn(t)~en temos que limt→t0
F (t) = L se, e somente se,
limt→t0
[F1(t)~e1 + F2(t)~e2 + · · ·+ Fn(t)~en] = L1 ~e1 + L2 ~e2 · · · , Ln ~en.Resumindo:
limt→t0
F (t) = [limt→t0
F1(t)]~e1 + [limt→t0
F2(t)]~e2 + · · ·+ [limt→t0
Fn(t)]~en
= (limt→t0
F1(t), limt→t0
F2(t), · · · , limt→t0
Fn(t)).
(c) Rigorosamente, a definição de limites para funções vetoriais não é a que demos acima.
A definição que tomamos acima é, na verdade, uma conseqüência da definição originalque é a seguinte: lim
t→t0F (t) = L se, e somente se, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se
0 < |t− t0| < δ então ‖F (t)− L‖ < ε.
Como conseqüência da definição acima e das propriedades de limites de funções reais deuma variável real (estudas no Cálculo 1) temos que:
Proposição 3.1.1 Sejam F : A ⊆ R → Rn e G : A ⊆ R → Rn funções vetoriais, t0 ∈ A eα ∈ R.
Suponhamos que existam limt→t0
F (t) = L e limt→t0
G(t) = M . Então:
(a) existem limt→t0
(F ±G)(t) e limt→t0
(F ±G)(t) = L±M , isto é,
limt→t0
(F ±G)(t) = limt→t0
F (t)± limt→t0
G(t).
(b) existe limt→t0
(αF )(t) e limt→t0
(αF )(t) = αL, isto é,
limt→t0
(αF )(t) = α limt→t0
F (t).
(c) existe limt→t0
(F •G)(t) e limt→t0
(F •G)(t) = L •M , isto é,
limt→t0
(F •G)(t) = limt→t0
F (t) • limt→t0
G(t).
(d) se n = 3, existe limt→t0
(F ×G)(t) e limt→t0
(F ×G)(t) = L×M , isto é,
limt→t0
(F ×G)(t) = limt→t0
F (t)× limt→t0
G(t).
-
22 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Demonstração:As demostrações dos itens acima serão deixadas a cargo do leitor.Elas são conseqüências da definição (3.1.3) e das propriedades elementares de limites para
funções reais de uma variável real (Cálculo 1).¤
Exemplo 3.1.1 Sejam F : R→ R3 e G : R→ R3 dadas por:
F (t) = sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3 e G(t) = cos(t)~e1 + (t + 1)~e2 + t
3~e3, t ∈ R.
Calcule, se existir, limt→0
(F +G)(t), limt→0
(F −G)(t), limt→0
(2F )(t), limt→0
(F •G)(t) e limt→0
(F ×G)(t).Resolução:
Neste caso temos que:F1(t) = sen(t), F2(t) = t
2 + 1, F3(t) = t,G1(t) = cos(t), G2(t) = t + 1, G3(t) = t
3, t ∈ R.Assimlimt→0
F (t) = limt→0
[ sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3] = [lim
t→0sen(t)]~e1 + [lim
t→0(t2 + 1)]~e2 + [lim
t→0t]~e3 =
0~e1 +1~e2 +0~k = ~e3 (ou ainda limt→0
F (t) = limt→0
( sen(t), t2 +1, t) = (limt→0
sen(t), limt→0
(t2 +1), limt→0
t) =
(0, 1, 0)) elimt→0
G(t) = limt→0
[cos(t)~e1+(t+1)~e2+t3~e3] = [lim
t→0cos(t)]~e1+[lim
t→0(t+1)]~e2+[lim
t→0t3]~e3 = 1~e1+1~e2+
0~e3 =~i+~j (ou ainda limt→0
G(t) = limt→0
(cos(t), t+1, t3) = (limt→0
cos(t), limt→0
(t+1), limt→0
t3) = (1, 1, 0)).
Logo, da proposição acima segue que:limt→0
(F + G)(t) = limt→0
F (t) + limt→t0
G(t) = (0, 1, 0) + (1, 1, 0) = (1, 2, 0);
limt→0
(F −G)(t) = limt→0
F (t)− limt→t0
G(t) = (0, 1, 0)− (1, 1, 0) = (−1, 0, 0);limt→0
(2F )(t) = 2 limt→0
F (t) = 2(0, 1, 0) = (0, 2, 0);
limt→0
(F •G)(t) = limt→0
F (t) • limt→t0
G(t) = (0, 1, 0) • (1, 1, 0) = 0.1 + 1.1 + 0.0 = 1 e
limt→0
(F ×G)(t) = limt→0
F (t)× limt→t0
G(t) = (0, 1, 0)× (1, 1, 0) =∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e30 1 01 1 0
∣∣∣∣∣∣= (1.0− 0.1)~e1 −
(0.0− 1.0)~e2 + (0.1− 1.1)~e3 = −~e3 = (0, 0,−1).
Tendo a noção de limites para funções de uma variável real a valores vetoriais podemosintroduzir o conceito de continuidade para estas funções. Mais precisamente:
Definição 3.1.4 Seja F : A ⊆ R→ Rn função vetorial e t0 ∈ A.Diremos que F é cont́ınua em t0 se
limt→t0
F (t) = F (t0).
Diremos que F é cont́ınua em I se for cont́ınua em todos os pontos de I.
Observação 3.1.2
(a) A definição aciam nos diz que uma função vetorial F é cont́ınua em t0 se:
(i) F está definida em t0;
-
3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 23
(ii) existe limt→t0
F (t);
(iii) vale a identidade limt→t0
F (t) = F (t0).
(b) Segue da definição (3.1.3) que uma função vetorial F é cont́ınua em t0 ∈ I se, e somentese, suas componentes, Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n} forem cont́ınuas em t0, isto é, F é cont́ınuaem t0 se, e somente se,
limt→t0
Fi(t) = Fi(t0)
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}.(c) Geometricamente, uma função vetorial F é cont́ınua em t0 se, e somente se, a repre-
sentação gráfica do seu gráfico é uma curva sem ”saltos”.
No caso n = 3 temos:
-
À
6
I-
F
6
3
Exemplo 3.1.2 Seja F : R→ R3 dada por F (t) = sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3, t ∈ R.Então F é cont́ınua em R pois F1(t) = sen(t), F2(t) = t2 + 1, F3(t) = t, t ∈ R são funções
(reais de uma variável real) cont́ınuas em R (visto em Cálculo 1).
Como conseqüência da proposição (3.1.1) temos o:
Corolário 3.1.1 Sejam F, G : A ⊆ R→ Rn funções vetoriais cont́ınuas em t0 ∈ A e α ∈ R.Então F ±G, αF , F •G e F ×G são cont́ınuas em t0.
Demonstração:Será deixada a cargo do leitor.
¤Além disso temos a:
Proposição 3.1.2 Sejam f : B → R (função real de uma variável real, B aberto em R)cont́ınua em s0 ∈ B, f(B) ⊆ A aberto em R e F : A ⊆ R → Rn função vetorial cont́ınua emt0 = f(s0).
Então F ◦ f : B → Rn, onde (F ◦ f)(s) .= F (f(s)), s ∈ J , será cont́ınua em s0.
Demonstração:Se F (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)), t ∈ A então
(F ◦f)(s) = F (f(s)) = (F1(f(s)), F2(f(s)), · · · , Fn(f(s))) = ((F1 ◦f)(s), (F2 ◦f)(s)), · · · , (Fn ◦f)(s), s ∈ B.
-
24 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Como F é cont́ınua em t0 = f(s0) segue, da observação (3.1.2) item (b), que Fi é cont́ınuaem t0 para i ∈ {1, 2, · · · , n}.
Do Cálculo 1 sabemos que Fi ◦ f será cont́ınua em s0 ∈ B para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}.Portanto, a (3.1.2) item (b), implicará F ◦ f será cont́ınua em s0.
¤Podemos tratar da diferenciabilidade de funções vetoriais, a saber:
Definição 3.1.5 Sejam A ⊆ R aberto e F : A → Rn função vetorial tal queF (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)) e t0 ∈ A.
Diremos que F é diferenciável em t0 se existir o limite limh→0
F (t0 + h)− F (t0)h
.
Neste caso o limite acima será denominado derivada de F em t0 e indicado por F′(t0),
isto é,
F ′(t0).= lim
h→0F (t0 + h)− F (t0)
h.
Diremos que F é diferenciável em A se F for diferenciável em todo ponto de A.
Observação 3.1.3 Seja F : A ⊆ R → Rn uma função vetorial tal que F (t) = F1(t)~e1 +F2(t)~e2 + · · · , +Fn(t)~en (= (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t))).
Da observação (3.1.1) item (a), segue que F é diferenciável em t0 ∈ A se, e somente se, asfunções componentes de F , Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, são diferenciáveis em t0.
Neste caso,
F ′(t0) = F ′1(t)~e1 + F′2(t)~e2 + · · · , +F ′n(t)~en
= (F ′1(t0), F′2(t0), · · · , F ′n(t0))),
isto é, para estudarmos a diferenciabilidade de funções vetoriais basta sabermos estudar a dife-renciabilidade de funções reais de uma variável real (visto no Cálculo 1).
Exemplo 3.1.3 Seja F : R→ R3 dada por F (t) = sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3 t ∈ R.Neste caso F1(t) = sen(t), F2(t) = t
2 + 1, F3(t) = t, t ∈ R,.Observemos que, do Cálculo 1, Fi é diferenciável em R para i = 1, 2, 3 e F ′1(t0) = cos(t),
F ′2(t) = 2t e F′3(t) = 1, t ∈ R.
Logo da observação acima segue que F é diferenciável em R e além disso:F ′(t) = (F ′1(t0), F
′2(t0), F
′3(t0))) = (cos(t), 2t, 1), t ∈ R.
Como conseqüência da proposição (3.1.1) temos a:
Proposição 3.1.3 Sejam F, G : A ⊆ R → Rn funções vetoriais diferenciáveis em t0 ∈ A eα ∈ R.
Então:
(a) F ±G é diferenciável em t0 e
(F ±G)′(t0) = F ′(t0)±G′(t0).
(b) αF é diferenciável em t0 e(αF )′(t0) = αF ′(t0).
-
3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 25
(c) F •G é diferenciável em t0 e
(F •G)′(t0) = F ′(t0) •G(t0) + F (t0) •G′(t0).
(d) se n = 3, F ×G é diferenciável em t0 e
(F ×G)′(t0) = F ′(t0)×G(t0) + F (t0)×G′(t0).
Demonstração:As demostrações dos itens acima serão deixadas a cargo do leitor.Elas são conseqüências da observação (3.1.3) e das propriedades elementares de derivação
para funções reais de uma variável real (Cálculo 1).¤
Temos o seguinte resultado que relaciona as noções de continuidade e diferenciabilidade:
Teorema 3.1.1 Sejam F : A ⊆ R→ Rn diferenciável em t0 ∈ A. Então F é cont́ınua em t0.
Demonstração:Será deixada como exerćıcio para o leitor.
¤
Observação 3.1.4 Não vale a rećıproca do resultado acima, isto é, existem funções vetoriaiscont́ınuas em um ponto que não são diferenciáveis nesse ponto (por exemplo, a função F : R→R2 dada´por F (t) .= (t, |t|), t ∈ R é cont́ınua em t = 0 mas não é diferenciável em t = 0, porque?).
Temos um resultado que nos dá condições suficientes para que a composta de uma funçãovetorial com uma função real de variável real seja diferenciável, a saber:
Proposição 3.1.4 Sejam A,B ⊆ R abertos, f : B → R (função real de uma variável real)diferenciável em s0 ∈ B, f(B) ⊆ A e F : A → Rn função vetorial diferenciável em t0 = f(s0).
Então F ◦ f : B → Rn, onde (F ◦ f)(s) .= F (f(s)), s ∈ J , será diferenciável em s0.Além disso,
(F ◦ f)′(s0) = F ′(f(s0))f ′(s0).
Demonstração:A demostraçao segue da observação (3.1.3) e da regra da cadeia para funções de reais de
uma variável real (visto no Cálculo 1) e seus detalhes serão deixados para o leitor.¤
Podemos integrar funções vetoriais, como veremos na:
Definição 3.1.6 Seja F : [a, b] → Rn função vetorial tal que F (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)).Diremos que F é integrável em [a, b] se, e somente se, cada uma das suas componentes,
Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, for integrável em [a, b].Neste caso definiremos a integral definida de F em [a, b], indicada por
∫ ba
F (t) dt, como
sendo:
-
26 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
∫ ba
F (t) dt.= [
∫ ba
F1(t) dt]~e1 + [
∫ ba
F2(t) dt]~e2 + · · ·+ [∫ b
a
Fn(t) dt]~en
= (
∫ ba
F1(t) dt,
∫ ba
F2(t) dt, · · · ,∫ b
a
Fn(t) dt).
Observação 3.1.5 A definição de integral definida para funções vetoriais que demos acimanão é a definição original. Na verdade a definição acima é uma conseqüência da definiçãooriginal.
A definição original é semelhante a definição de integral definida para funções reais de umavariável real (que utiliza soma de Riemann), a saber:
”Diremos que uma função F : [a, b] → Rn limitada é integrável em [a, b] se existir L ∈ Rntal que dado ε > 0 existir δ > 0 tal que para toda partição P = {a = x0, x1, · · · , xn = b}, ondea = x0 < x1 < · · · < xn = b, que satisfazendo ‖∆‖ < δ temos |
n∑i=1
f(ci)∆xi − L| < ε, onde‖∆‖ .= max{∆xi .= xi − xi−1 : i = 1, 2, · · · , n} (dito norma da partição P) e qualquer escolhade ci ∈ (xi−1, xi), i ∈ {1, 2, · · · , n}”.
Uma condição suficiente para que uma função vetorial seja integrávell em um intervalo [a, b]é dado pela:
Proposição 3.1.5 Seja F : [a, b] → Rn função vetorial. Se F é cont́ınua em [a, b] então F éintegrável em [a, b].
Demonstração:Se F é cont́ınua em [a, b] então, da observação (3.1.2) item (b), segue que Fi é cont́ınua em
[a, b], i ∈ {1, 2, · · · , n}.Mas, do Cálculo 1, sabemos que Fi é integrável em [a, b], i ∈ {1, 2, · · · , n} (pois elas são
cont́ınuas em [a, b]).Logo, da definição (3.1.6), segue que F será integrável em [a, b].
¤Valem as propriedades básicas para a integral definida de funções vetoriais, a saber:
Proposição 3.1.6 Sejam F : [a, b] → Rn e G : [a, b] → Rn funções vetoriais que são integráveisem [a, b].
Então:
(a) F ±G é integrável em [a, b] e∫ b
a
(F ±G)(t) dt =∫ b
a
F (t) dt±∫ b
a
G(t) dt.
(b) αF é integrável em [a, b] e
∫ ba
(αF )(t) dt = α
∫ ba
F (t) dt.
-
3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 27
Demonstração:Segue da definição (3.1.6) e das propriedades básicas de integrais definidas de funções reias
de uma variável real (Cálculo 1) e por isso deixaremos a cargo do leitor.¤
Exemplo 3.1.4 Seja F : R→ R3 dada por F (t) = sen(t)~i + (t2 + 1)~j + t~k.Calcule
∫ 10
F (t) dt.
Resolução:Observemos que F é cont́ınua em [0, 1] (pois suas componentes são) e assim:∫ 1
0
F (t) dt = (
∫ 10
sen(t) dt)~i + (
∫ 10
t2 + 1 dt)~j + (
∫ 10
t dt)~k = (− cos(t)|t=1t=0)~i + (t3
3+ t)|t=1t=0~j +
(t2
2)|t=1t=0~k = (1− cos(1))~i +
4
3~j +
1
2~k.
24.08.2007 - 5.a
3.2 Curvas Parametrizadas
Iniciaremos com a:
Definição 3.2.1 Seja [a, b] ⊆ R um intervalo fechado e limitado.Uma aplicação γ : [a, b] → Rn cont́ınua em I será denominada curva parametrizada em
Rn.Se γ(t) = (γ1(t), γ2(t), · · · , γn(t)), t ∈ [a, b], onde γi : [a, b] → R, i = 1, · · · , n (as com-
ponentes de γ), então as equações
x1 = γ1(t)x2 = γ2(t)· · ·xn = γn(t)
serão ditas equações paramétricas da
curva γ.A imagem de [a, b] pela função γ, γ([a, b])
.= {γ(t) : t ∈ [a, b]} ⊆ Rn, será dito traço da
curva γ.Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é curva simples se γ(t) 6= γ(s), para
todo t, s ∈ I, t 6= s (sem autointersecções).Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é curva fechada se γ(a) = γ(b) (isto
é, o ponto inicial é igual ao ponto final).Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é curva fechada simples se γ(a) =
γ(b) e γ(t) 6= γ(s) para t, s ∈ (a, b).
Observação 3.2.1
(a) Quando n = 1 temos que γ : [a, b] → R, ou seja uma função real cont́ınua de uma variávelreal definida no intervalo fechado e limitado [a, b].
(b) Se n = 2 temos que uma curva parametrizada em R2 será uma função cont́ınua γ :[a, b] → R2. Seu traço será uma curva em R2 (isto é, uma curva plana).Neste caso podemos escrever γ(t) = (γ1(t), γ2(t)) = γ1(t)~e1 + γ2(t)~e2, t ∈ [a, b] ondeγ1, γ2 : [a, b] → R e {~e1, ~e2} é base canônica do R2 (isto é, ~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1)).
-
28 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Geometricamente o traço de γ será uma curva no plano xOy por isto será dita curvano plano.
6
-
6
a
t
-
γ
γ(t)b
γ(a)
γ(b)
(c) Se n = 3 temos que γ : [a, b] → R3 e seu traço será uma curva em R3.Neste caso podemos escrever γ(t) = (γ1(t), γ2(t), γ3(t)) = γ1(t)~e1 + γ2(t)~e2 + γ3(t)~e3, t ∈[a, b] onde γ1, γ2, γ3 : [a, b] → R e {~e1, ~e2, ~e3} é a base canônica do R3 (isto é, ~e1 = (1, 0, 0),~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1)).
Geometricamente o traço de γ será dito curva no espaço.
6
z
γ
6
ª
-t
γ(t)
a
b
γ(a)
γ(b)
(d) Uma curva parametrizada γ : [a, b] → Rn tem um sentido de percurso definido pela funçãoγ.
(e) Ao longo destas notas as curvas parametrizadas consideradas terão seu traço num plano(caso n = 2) ou no espaço (n = 3) (ou seja, serão curvas planas ou espaciais).
(f) Uma curva parametrizada é fechada se, e somente se, ponto final do seu traço coincideco seu ponto inicial do mesmo.
-
3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 29
6
z
γ
6
ª
-
b
γ(a) = γ(b)
a
Curva Fechada(g) Uma curva parametrizada é simples se, e somente se, seu traço não tem pontos de auto-
intercecção.
-
À
6
-
6γ
Curva Simples
-
6
ª
-
K β
Curva Não Simples
a b a t1 t2 b
γ(a)
γ(b)
γ(t1) = γ(t2)
γ(a)γ(b)
Como exemplos temos:
Exemplo 3.2.1
(a) γ : [0, 2π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadacujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) =cos(t) e γ2(t) = sen(t), t ∈ [0, 2π] assim:‖γ(t)‖ =
√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =
√(cos(t))2 + ( sen(t))2 = 1, para todo t ∈ [0, 2π].
6
-
(1, 0) = γ(0) = γ(2π)
6
0
2π
-
γ
t
µγ(t)
-
30 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Observemos também que γ(0) = γ(2π) = (1, 0) e estes são os únicos pontos onde istoocorre (isto é, em t = 0 e t = 2π).
Logo γ é uma curva parametrizada fechada simples.
Observemos que neste caso as equações paramétricas da curva serão:
{x(t) = cos(t)y(t) = sen(t)
,
t ∈ [0, 2π].(b) γ : [0, π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(2t), sen(2t)), t ∈ [0, π] é uma curva parametrizada
cujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) =cos(2t) e γ2(t) = sen(2t), t ∈ [0, π] assim:‖γ(t)‖ =
√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =
√(cos(2t))2 + ( sen(2t))2 = 1, para todo t ∈ [0, π].
6
-
(1, 0) = γ(0) = γ(π)
6
0
π
-
γ
Observemos também que γ(0) = γ(π) = (1, 0) e estes são os únicos pontos onde istoocorre (isto é, em t = 0 e t = π).
Logo γ é uma curva parametrizada fechada simples.
Neste caso as equações paramétricas da curva serão:
{x(t) = cos(2t)y(t) = sen(2t)
, t ∈ [0, π].Vale observar que as curvas parametrizadas dos exemplos acima são diferentes mas têmo mesmo traço (eles são percorridos com velocidades diferentes).
(c) γ : [0, 2π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(2t), sen(2t)), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadacujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) =cos(2t) e γ2(t) = sen(2t), t ∈ [0, 2π] assim:‖γ(t)‖ =
√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =
√(cos(2t))2 + ( sen(2t))2 = 1, para todo t ∈ [0, 2π].
Esta percorre duas vezes a circunferência unitária de centro na origem no sentido anti-horário.
6
-
(1, 0) = γ(0) = γ(π) = γ(2π)
6
0
2π
-
γ
-
3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 31
Observemos também que γ(0) = γ(π) = γ(2π)(1, 0) logo γ é uma curva parametrizada éfechada mas não é simples.
Neste caso as equações paramétricas da curva serão:
{x(t) = cos(2t)y(t) = sen(2t)
, t ∈ [0, 2π].
Vale observar que as curvas parametrizadas dos exemplos acima são diferentes mas têmo mesmo traço (eles são percorridos com velocidades diferentes).
(d) γ : [0, 2π] → R3 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadacujo traço está contido no cilindro circular reta que tem como base a circunferência de cen-tro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) = cos(t) e γ2(t) = sen(t), γ3(t) = t, t ∈[0, 2π] assim, no plano xOy, temos que
√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =
√(cos(t))2 + ( sen(t))2 =
1, para todo t ∈ [0, 2π].
-
6
0
2π
z
γ
À
6
x
y
z
γ(t)
¼
γ(0)
γ(2π)
o
>
Observemos que γ(t) 6= γ(s) para todo t, s ∈ [0, 2π], t 6= s, logo γ é uma curva (parametrizada)simples.
Esta curva é conhecida como hélice.
Observemos que neste caso as equações paramétricas da curva serão:
x(t) = cos(t)y(t) = sen(t)z(t) = t
,
t ∈ [0, 2π].
Definição 3.2.2 Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável emt0 ∈ [a, b] se a função (vetorial) γ for diferenciável em t0.
Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável em I se ela fordiferenciável em todo ponto t ∈ I.
Observação 3.2.2
(a) Lembremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável em t0 ∈ I se, esomente se, cada uma de suas componentes,γi : [a, b] → R, i = 1, · · · , n, é diferenciávelem t0 ∈ [a, b], onde γ(t) = (γ1(t), γ2(t), · · · , γn(t), t ∈ [a, b] (ver observação (3.1.3)).
-
32 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Devido a este fato, se k ∈ N, diremos que uma curva parametrizada γ : [a, b] → Rné de classe Ck em [a, b] se as funções γi : [a, b] → R forem de classe Ck para todoi ∈ {1, 2, · · · , n}.No caso acima se a curva for de classe Ck em [a, b] para todo k ∈ N diremos que ela é declasse C∞ em [a, b]
Lembremos, do Cálculo 1, que uma função f : [a, b] → R é de classe Ck em [a, b] sef, f ′, · · · , f (k) forem cont́ınuas em [a, b], onde f (j) denota a j-éisma derivada da funçãof , j ∈ N.
(b) Se a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável em t0 ∈ [a, b], podemos dar umainterpretação geométrica para γ′(t0).
Para isto lembremos que da definição (3.1.5) temos que γ′(t0) = limh→0
γ(t0 + h)− γ(t0)h
.
Se h se aproxima de 0, o vetorγ(t0 + h)− γ(t0)
haproximar-se-á do vetor γ′(t0), ou seja
da direção tangente ao traço da curva γ em γ(t0).
6
a
b
z
γ
-
6
ª
µ-1
j
γ(t0)
γ(t0 + h)− γ(t0)
γ′(t0)γ(t0 + h)
-γ(t0+h)−γ(t0)
h, 0 < h < 1
Por isto o vetor γ′(t0) será dito vetor tangente à curva γ em t0.
Vale observar que o vetor é dito vetor tangente à curva em t0 e não tangente à curva noponto γ(t0).
Isto ocore para evitarmos situações em que a curva tem auto-intersecção.Neste caso o vetor tangente à curva num ponto de auto-intersecção não ficaria bem definido
(mas pensando em vetor tangente à curva em t0 estaria bem definido).
6
a
b
z
γ
6
ª
-t1
t2
γ(t1) = γ(t2)
*
Nγ′(t1)
γ′(t2)
-
3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 33
No desenho acima, existe γ′(t1) e γ′(t2), são tangentes à curva γ mas não existe o vetortangente à curva no ponto γ(t0) (porque a curva tem auto-intersecção, γ(t1) = γ(t2)).
Na verdade se γ é diferenciável em t0 então γ′(t0) é vetor tangente a curva no ponto γ(t0).
Exemplo 3.2.2
(a) γ : [0, 2π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadade classe C∞ em [0, 2π] pois γ1(t) = cos(t) e γ2(t) = sen(t) são de classe C∞ em [0, 2π].
Observemos que γ′(t) = (γ′1(t), γ′2(t)) = (− sen(t), cos(t)), t ∈ [0, 2π].
Logo ‖γ′(t)‖ =√
(γ′1(t))2 + (γ′2(t))
2√
(cos(t))2 + ( sen(t))2 = 1, para todo t ∈ [0, 2π], ouseja os vetores tangentes à curva em t ∈ [0, 2π] são unitários.Além disso, γ(t)•γ′(t) = (cos(t), sen(t))•(− sen(t), cos(t)) = cos(t)[− sen(t)]+ sen(t) cos(t) =0 para todo t ∈ [0, 2π], isto é, os vetores γ(t) e γ′(t) são ortogonais para para todot ∈ [0, 2π].
6
-(1, 0) = γ(0) = γ(2π)
6
0
2π
-γ
i
°
γ(t)
γ′(t)
t
(b) γ : [0, 2π] → R3 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π] é uma curva de classe C∞em [0, 2π] (pois suas componentes, γ1, γ2 e γ3 são funções reais de variável real de classeC∞ em [0, 2π]).
Além disso γ′(t) = (− sen(t), cos(t), 1) 6= ~0 para todo t ∈ [0, 2π] (pois ‖γ′(t)‖ =√[− sen(t)]2 + [cos(t)]2 + 12 =
√2 6= 0 para todo t ∈ [0, 2π]).
-
6
0
2π
z
γ
À
6
x
y
z
γ(t)
t
7
k
γ′(t)
-
34 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
Observemos que γ′(t) • (0, 0, 1) = 1, para todo t ∈ [0, 2π].Logo o ângulo, θ(t), entre os vetores γ′(t) e (0, 0, 1) será dado por:
cos(θ(t)) =γ′(t) • (0, 0, 1)‖γ′(t)‖|(0, 0, 1)‖ =
1√2
=
√2
2,
isto é, θ(t) = π4, para todo t ∈ [0, 2π] (ou seja, é constante!).
Entre as curvas parametrizadas diferenciáveis destacaremos uma classe que será importanteno decorrer destas notas, a saber:
Definição 3.2.3 Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é regular (ou suave)em I se a função (vetorial) γ for de classe C1 em [a, b] e se γ′(t) 6= ~0 para todo t ∈ [a, b].
27.08.2007 - 6.a
Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é regular (ou suave) por partesem [a, b] se exitir uma partição, P = {a = x0, x1, x2, · · · , xn = b}, do intervalo [a, b] tal quea restrição da função γ a cada subintervalo da partição, (xi−1, xi), i ∈ {1, 2, · · · , n}, for umacurva regular (isto é, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n} a curva paramentrizada γ : (xi−1, xi) → Rnfor curva regular em (xi−1, xi)).
Observação 3.2.3 Uma curva parametrizada é regular se, e somente se, seu vetor tangentenão se anula nunca.
Pode-se mostrar que se a curva parametrizada é regular então seu traço não tem ”bicos”(ouseja não há mudanças abruptas de direção do vetor tangente à curva).
-
À
6
t0
γ(t0)
-
6γ
-
6
ª
-
K β
a b
γ(a)
γ(b)
a b
γ(a)
γ(b)
Exemplo 3.2.3 No exemplo (3.2.1) item (a) temos que γ é curva (parametrizada plana) re-gular fechada e simples.
Exemplo 3.2.4 No exemplo (3.2.1) item (b) temos que γ é curva (parametrizada no espaço)regular simples.
-
3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 35
Exemplo 3.2.5 A curva parametrizada diferenciável γ : [−1, 1] → R2 dada por γ(t) = (t3, t2),t ∈ [−1, 1] não é regular pois ela é de classe C∞ em [−1, 1] mas γ′(t) = (3t2, 2t), t ∈ [−1, 1] eeste se anula em t = 0.
Vale observar que o vetor tangente à curva, γ′(t), só se anula em t = 0, assim γ é umacurva regular por partes (no caso tomamos a partição P de [−1, 1] formada pelos pontos x1 =−1, x2 = 0, x3 = 1).
6
- x
y
-−1 10
γ(−1) γ(1)
γ(0)
M gamma
Exemplo 3.2.6 Seja [a, b] ⊆ R tal que −2, 2 ∈ [a, b].A curva parametrizada diferenciável γ : [a, b] → R dada por γ(t) = (t3− 4t, t2− 4), t ∈ [a, b]
é regular pois é de classe C∞ em [a, b] e γ′(t) = (3t2 − 4, 2t) 6= (0, 0), t ∈ [a, b].Observemos que γ(−2) = γ(2) = (0, 0), logo a curva parametrizada γ não é simples.Além disso, γ′(−2) = (8,−4) e γ′(2) = (8, 4).
6
->
s
γ′(2)
γ′(−2)x
y
γ(a) γ(b)
-
6 γ
a b−2 2
Exemplo 3.2.7 O gráfico de uma função cont́ınua f : [a, b] → R2 pode ser reobtido pelo traçoda curva parametrizada γ : [a, b] → R2 dada por γ(t) .= (t, f(t)), t ∈ [a, b].
Vale observar que se f é uma função diferenciável em [a, b] então γ será curva parametrizadadiferenciável em [a, b] e além disso γ′(t) = (1, f ′(t)) 6= (0, 0), t ∈ [a, b], assim γ será curvaregular.
-
36 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
6
- x
y
γ(a) = (a, f(a))
γ(b) = (b, f(b))
-
6γ
a b
Para finalizar temos a:
Definição 3.2.4 Se γ : [a, b] → Rn é uma curva regular (ou regular por partes) definimos oseu comprimento, que indicaremos por lγ, como sendo:
lγ =
∫ ba
‖γ′(t)‖ dt =∫ b
a
√(γ′1(t))2 + (γ
′2(t))
2 + · · ·+ (γ′n(t))2 dt,
onde γ(t) = (γ1(t), (γ2(t), · · · , (γn(t)), t ∈ [a, b].Observação 3.2.4 Para obter uma motivação para a fórmula acima vamos considerar o casoem que a curva parametrizada diferenciável é plana (isto é, n = 2).
Suponhamos que γ : [a, b] → R2 é dada por γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b].Consideremos uma partição P .= {t0 = a, t1 < t2 < · · · < tn = b} do intervalo [a, b].Para cada i = 0, 1, · · ·n− 1, o comprimento do i-ésimo arco da curva parametrizada γ que
une os pontos γ(ti) a γ(ti+1) pode ser aproximado pelo comprimento do segmento de reta queune os pontos γ(ti) e γ(ti+1).
6
- x
y
γ(ti)
γ(ti+1)
O comprimento deste segmento é dado por
‖γ(ti+1)− γ(ti)‖ =√
(x(ti+1)− x(ti))2 + (y(ti+1)− y(ti))2.Do Teorema do Valor Médio (Cálculo 1) aplicado as funções x = x(t) e y = y(t) temos que
existem ξi e ηi ∈ (ti, ti+1) tais quex(ti+1)− x(ti) = x′(ξi)(ti+1 − ti) e y(ti+1)− y(ti) = y′(ηi)(ti+1 − ti).
-
3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 37
Deste modo temos que:
lγ ∼n−1∑i=0
‖γ(ti+1)− γ(ti)‖ =n−1∑i=0
√[x′(ξi)(ti+1 − ti)]2 + [y′(ξi)(ti+1 − ti)]2
=n−1∑i=0
√[x′(ξi)]2 + [y′(ηi)]2(ti+1 − ti) (∆ti
.=ti+1−ti)=
n−1∑i=0
√[x′(ξi)]2 + [y′(ηi)]2∆ti.
Observemos que o lado direito da expressão acima é a soma de Riemann associada partiçãoP.
Logo fazendo a norma da partição P tender para zero (isto é, |∆i| → 0 para todo i =0, 1, · · · , n) temos que a soma acima vai para a
∫ ba
√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt, ou seja:
lγ =
∫ ba
√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt =
∫ ba
‖γ′(t)‖ dt
.
Exemplo 3.2.8 Calcule o comprimento da curva regular por partes γ : [0, 2π] → R2 dada porγ(t) = (cos(t), 0), t ∈ [0, 2π] (como γ′(t) = (− sen(t), 0) ela se anula em t = 0, π e 2π, assimela será regular quando restrita aos intervalos (0, π) e a (π, 2π)).
6
-
γ(0) = γ(2π) = (1, 0)γ(π) = (−1, 0)
--0 2π
γ
Resolução:Podemos ver que o comprimento da curva γ é 4 (duas vezes o comprimento do intervalo
[−1, 1]).Observemos que γ é uma curva parametrizada diferenciável e γ′(t) = (− sen(t), 0), t ∈
[0, 2π], logo ela é regular por partes (só se anula t = 0 e t = 2π).Deste seu comprimento será dado por
lγ =
∫ ba
‖γ′(t)‖ dt =∫ 2π
0
‖(− sen(t), 0)‖ dt =∫ 2π
0
√(− sen(t))2 + 02 dt
=
∫ 2π0
| sen(t)| dt = 2∫ π
0
sen(t), dt = 2[− cos(t)|t=πt=0 ] = 4.
Exerćıcio 3.2.1 Calcule o comprimento da curva parametrizada γ : [0, 2π] → R3 dada porγ(t)
.= (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π] (hélice circular).
-
38 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS
-
6
0
2π
z
γ
À
6
x
y
z
γ(t)
t
7
k
γ′(t)
Resolução:
Temos que γ é uma curva regular e γ′(t) = (− sen(t), cos(t), 1) 6= ~0 para todo t ∈ [0, 2π],logo seu comprimento será dado por:
lγ =
∫ ba
‖γ′(t)‖ dt =∫ 2π
0
‖(− sen(t), cos(t), 1)‖ dt =∫ 2π
0
√(− sen(t))2 + (cos(t))2 + 12 dt
=
∫ 2π0
√2 dt =
√2
∫ 2π0
dt = 2√
2 π.
-
Caṕıtulo 4
Funções Reais de Várias VariáveisReais
4.1 Definições Básicas
Vamos estabelecer a notação para facilitar os estudos do que se segue.Seja n um número natural; isto é, n = 1, 2, 3, · · · .Como vimos no Caṕıtulo I, Rn denota o conjunto das n−uplas ordenadas (x1, · · · , xn) de
números reais.Este conjunto representa as variáveis das quais a quantidade a ser estudada depende (no
caso da temperatura na Terra n = 4, x1 = latitude, x2 = longitude, x3 = altitude e x4 =tempo).
Definição 4.1.1 Se A ⊆ Rn, uma função f : A → R é uma relação que a cada (x1, · · · , xn) ∈A associa um, único, número real indicado por f(x1, · · · , xn).
Diremos que A é o domı́nio da função f , indicado por D(f).A imagem de f , indicado por Im(f), é o subconjunto de R definido por
Im(f).= {f(x1, · · · , xn) : (x1, · · · , xn) ∈ D(f)}.
O gráfico da função f , indicado por G(f), é o subconjunto de Rn+1 definido por
G(f).= {(x1, · · · , xn, f(x1, · · · , xn)) : (x1, · · · , xn) ∈ D(f)}.
Observação 4.1.1
(a) Frequentemente não faremos qualquer menção ao domı́nio da função que estaremos ana-lisando. Neste caso o domı́nio será o maior subconjunto para o qual a relação dada fazsentido.
(b) Note que o gráfico de uma função de n variáveis é um subconjunto de Rn+1.Desta forma a sua representação geométrica somente será posśıvel para n = 1 (visto noCálculo I) e o n = 2 que será tratado a seguir.
(c) Nos casos n = 2 e n = 3 denotaremos os elementos de Rn por (x, y) e (x, y, z), respecti-vamente.
39
-
40 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
Exemplo 4.1.1 Seja
f(x, y) =x + y
x− y .
Neste caso o domı́nio não está especificado e portanto este é o o maior subconjunto de R2para o qual a relação dada faz sentido; logo,
D(f) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}.
Para determinar a imagem basta notar que sobre a reta x− y = 1 a função f assume todosos valores reais e portanto Im(f) = R.
Abaixo temos o desenho do domı́nio da função f .
6
- x
y
x = y
O representação geométrica do gráfico da função f é dada abaixo:
–2–1
01
2
x
–2–1
01
2
y
–20–10
01020
z
Outro exemplo
-
4.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 41
Exemplo 4.1.2 Seja f(x, y) =√
x− y +√
1− y.É fácil ver que D(f) = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x, y ≤ 1}Abaixo temos o desenho do domı́nio e a representação geométrica do gráfico de f .
-
6
x
y
y = 1
y = x
–1–0.5
00.5
1
x
–1–0.5
00.5
1
y
00.5
11.5
22.5
z
Exemplo 4.1.3 Seja z = f(x, y) dada por
x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.
Como z ≥ 0 temos que z = f(x, y) =√
1− x2 − y2.Deste modo D(f)
.= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} (pontos que estão no interior e na fronteira
da bola).Abaixo temos o desenho do domı́nio e a representação geométrica do gráfico de f .
-
42 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
6
- x
y
1
–1–0.5
00.5
1
x
–1–0.5
00.5
1
y
0.20.40.60.8
1
A superf́ıcie acima é a calota superior da esfera de centro na origem e raio 1.
Outro exemplo importante é:
Exemplo 4.1.4 Se z = f(x, y) dada por z =√
y − x2.Deste modo D(f)
.= {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y}.
Abaixo temos o desenho do domı́nio e a representação geométrica do gráfico de f .
-
4.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 43
-
6y = x2
x
y
–1–0.5
00.5
1
x
00.2
0.40.6
0.81
y
0.20.40.60.8
1
A superf́ıcie acima é a parte no semi-espaço z ≥ 0 do paraboloide de revolução y = x2 + z2.
Uma classe importante de exemplos de funções de várias variáveis é dada pelo:
Definição 4.1.2 Uma função polinomial de duas variáveis e grau p ≥ 0 a valoresreais é uma função f : R2 → R dada por
f(x, y).=
∑m+n≤p
amnxmyn
onde p é um número natural e os coeficientes amn são números reais dados e amn não são todosnulos quando m + n = p.
29.08.2007 - 7.asAlguns exemplos:
Exemplo 4.1.5
-
44 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
a) f(x, y) = x2 + y2, (x, y) ∈ R2 é uma função polinomial de duas variáveis reais.Como foi visto no curso de Geometria Anaĺıtica seu gráfico é o parabolóide de revolução(z = x2 + y2).
–2–1
01
2
x
–2–1
01
2
y
0
2
4
6
8
b) f(x, y) = x2 − y2, (x, y) ∈ R2 é uma função polinomial de duas variáveis reais.Como foi visto no curso de Geometria Anaĺıtica seu gráfico é o parabolóide hiperbólico ousela, z = x2 − y2.
–2–1
01
2
x
–2–1
01
2
y
–4
–2
0
2
4
1.
c) f(x, y) =x2
a2+
y2
b2, (x, y) ∈ R2 é uma função polinomial de duas variáveis reais com
a, b > 0.
-
4.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 45
Como foi visto no curso de Geometria Anaĺıtica seu gráfico é o parabolóide eĺıptico (z =x2
a2+
y2
b2).
–2–1
01
2
x
–2–1
01
2
y
00.5
11.5
22.5
3
d) Função linear:
Para o caso de duas variáveis a função será do seguinte tipo f(x, y) = ax + by, ondea, b ∈ R são fixados.A representação gráfica do gráfico, neste caso, será um plano em R3 passando pela origem(0, 0, 0) (no caso o plano z = ax + by).
Para n-variáveis uma função linear terá a seguinte lei de associação: f(x1, x2, · · · , xn) =a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn, onde a1, a2, · · · , an ∈ R são fixados.
e) Função linear afim:
Para o caso de duas variáveis a função será do seguinte tipo f(x, y) = ax + by + c, ondea, b, c ∈ R são fixados.A representação gráfica do gráfico, neste caso, será um plano em R3 (no caso o planoz = ax + by + c).
Para n-variáveis ma função linear-afim terá a seguinte lei de associação: f(x1, x2, · · · , xn) =a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn + b, onde a1, a2, · · · , an, b ∈ R são fixados.
Definição 4.1.3 Uma função polinomial de n-variáveis e de grau m é uma função
do tipo: p : Rn → R dada por p(x1, x2, · · · , xn) .=∑
0≤k1+k2+···kn≤mak1k2···knx
k11 x
k22 · · · xknn , onde
k1, k2, · · · , kn são inteiros não negativos e ak1k2···kn ∈ R para (k1, k2, · · · , kn) ∈ Z+×Z+×· · ·Z+,onde ak1k2···kn não são todos nulos quando k1 + k2 + · · ·+ kn = m.
Com isto podemos definir uma outra classe de funções que também serão importantes, asaber:
-
46 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
Definição 4.1.4 Uma função f : Rn → R dada por f(x1, x2, · · · , xn) .= p(x1, x2, · · · , xn)q(x1, x2, · · · , xn) onde
p e q são funções polinomiais de várias variáveis será dita função racional em n-variáveis.Neste caso o domı́nio de f será D(f) = {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn : q(x1, x2, · · · , xn) 6= 0}.
Definição 4.1.5 Uma função homogênea de grau λ de duas variáveis é toda função f :A ⊆ R2 → R tal que f(tx, ty)=tλf(x, y) para todo t > 0 e (x, y), (tx, ty) ∈ A.
Para n-variáveis a situação é análoga (uma função homogênea de n variáveis deverá satis-fazer à: f(tx1, tx2, · · · , txn)=tλf(x1, x2, · · · , xn) para todo t > 0 e (x1, x2, · · · , xn),(tx1, tx2, · · · , txn) ∈ A, para algum λ ∈ R).Observação 4.1.2
a) f(x, y) = 3x2 + 5xy + y2 é uma função polinomial em duas variáveis, homogênea de grau2, pois f(tx, ty) = 3(tx)2 + 5(tx)(ty) + (ty)2 = t2(3x2 + 5xy + y2) = t2f(x, y), para todot ∈ R e (x, y) ∈ R2 (λ = 2).
b) f(x, y) =xe
xy
x2 + y2é homogênea de grau −1.
De fato, f(tx, ty) =(tx)e
txty
(tx)2 + (ty)2=
1
t
xexy
x2 + y2= t−1f(x, y), para todo t 6= 0 e (x, y) ∈
R2 \ {(0, 0)} (λ = −1).Uma outra classe importante de fuções é dada pela:
Definição 4.1.6 Uma função f : A ⊆ Rn → R será dita limitada em A se existir M ≥ 0tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A.
A função acima será dita limitada no ponto p ∈ A se existir r > 0 tal que f é limitadaem A ∩Br(p) \ {p}.Exemplo 4.1.6
(a) Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = sen(x2y) + cos(xy2), (x, y) ∈ R2.Então f é limitada em R2, pois se M .= 2 temos que |f(x, y)| = | sen(x2y) + cos(xy2)| ≤| sen(x2y)|+ |cos(xy2)| ≤ 1 + 1 = 2 = M , para todo (x, y) ∈ R2.
(b) Seja f : A.= R2 \ {(0, 0)} → R dada por f(x, y) = 1
x2 + y2, (x, y) ∈ A.
Observemos que f não é limitada em R2 (pois se x → 0 temos que f(x, x2) = 1x2 + x4
→∞) mas ela é limitada em qualquer ponto p ∈ A.De fato, se P0 = (x0, y0) ∈ A então d .= d(P0, 0) = d((x0, y0), (0, 0)) = ‖(x0, y0)−(0, 0)‖ =√
(x0 − 0)2 + (y0 − 0)2 =√
x20 + y20 > 0 (pois (x0, y0) 6= (0, 0)) .
Tomando-se r.=
d
2> 0 temos que se (x, y) ∈ Br(P0) então se (x, y) ∈ Br(P0) temos
d((x, y), (0, 0))(d((x0,y0),(0,0))≤d((x0,y0),(x,y))+d((x,y),(0,0)))≥ d((x0, y0), (0, 0))− d((x0, y0), (x, y))(d((x0,y0),(x,y)) d− r = d− d2
=d
2> 0,
-
4.2. FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS: CURVAS DE NÍVEL 47
isto é, x2 + y2 = [√
(x− 0)2 + (y − 0)2]2 = ‖(x, y)− (0, 0)‖2 = d((x, y), (0, 0)) > [d2]2.
Logo tomando-se M.= [
2
d]2 ≥ 0 se (x, y) ∈ Br(P0) temos |f(x, y)| = 1
x2 + y2≤ 1
[d2]2
=
[2
d]2 = M , ou seja, f é limitada em em Br(P0), ou seja, é limitada em P0 ∈ A.
Vamos lidar com a primeira dificuldade já observada; isto é, vamos desenvolver formas dedesenhar o gráfico de funções de duas variáveis.
Além disso vamos conhecer algo da geometria do gráfico de funções de três variáveis.
4.2 Funções Reais de Duas Variáveis: Curvas de Nı́vel
Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ A ⊆ R2 uma função de duas variáveis.O gráfico de f é, como vimos, o subconjunto de R3 dado por
G(f) = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ A}.A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis não é tarefa fácil,
em geral.Um recurso útil é olharmos algumas curvas sobre o gráfico cuja representação geométrica é
mais simples.Uma classe importante de curvas do gráfico de uma função de duas variáveis é dada pela
Definição 4.2.1 Sejam z = f(x, y) uma função e c ∈ R.O conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ D(f) tais que f(x, y) = c será denominado curva
de ńıvel de f correspondente ao ńıvel z = c .
Observação 4.2.1
(a) O gráfico de f é um subconjunto de R3.Já uma curva de ńıvel é um subconjunto de D(f) e portanto de R2.
(b) f é constante sobre cada curva de ńıvel.
(c) Se c 6∈ Im(f) então a curva de ńıvel c será o conjunto vazio (pois se c 6∈ Im(f) temosque não existe (x, y) ∈ D(f) tal que f(x, y) = c).
(a) Uma curva de ńıvel pode ser interpretada com a intersecção de um palno z = c comsuperf́ıcie determinada pelo gráfico da função dada olhada sua projeção no plano xOy.Veremos isto nos exemplos a seguir.
Exemplo 4.2.1 O gráfico da função constante f(x, y) = k é o plano z = k.Se, por exemplo, k = 5 temos que a represetação gráfica do gráfico de f e suas curvas de
ńıvel serão dadas pelas figuras abaixo.Observemos que neste caso as curvas de ńıvel c = k serão todas as curvas do plano xOy
(isto é, para qualquer curva do plano xOy teremos f(x, y) = k).Se c 6= k não teremos curvas de ńıvel c (pois neste caso f(x, y) = k 6= c).
-
48 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
–10–5
05
10
x
–10–5
05
10
y
4
4.5
5
5.5
6
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
Exemplo 4.2.2 Se f(x, y) = ax + by + c, (x, y) ∈ R2 então o gráfico da função z = f(x, y) éo plano de equação geral ax + by + (−1)z + c = 0.
Se, por exemplo, a = 2, b = −3 e c = −1 temos que a represetação gráfica do gráfico de fe suas curvas de ńıvel são dadas na figura abaixo.
–4–2
02
4
x
–4–2
02
4
y
–20–10
01020
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
Observemos que neste caso as curvas de ńıvel serão as retas do plano xOy da forma 2x −3y − 1 = c, isto é retas paralelas à reta 2x− 3y = 0.
Exemplo 4.2.3 Sejam a, b números reais não nulos e f(x, y).=
x2
a2+
y2
b2Observemos que se a 6= b o gráfico será um parabolóide eĺıptico e se a = b um parabolóide
de revolução.Se, por exemplo, a = 2 e b = 3, as curvas de ńıvel c serão elipses se c > 0, será o ponto
(0, 0) se c = 0 e o conjunto vazio se c < 0 (basta olhar a equaçãox2
4+
y2
9= c no plano xOy).
-
4.2. FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS: CURVAS DE NÍVEL 49
–4–2
02
4
x
–4–2
02
4
y
0
2
4
6
8
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
Exemplo 4.2.4 Seja f(x, y) =
{1
x2+y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).
Neste caso as curvas de ńıvel c de f serão as curvas x2 + y2 =1
cse c > 0, o ponto (0, 0) se
c = 0 e o conjunto vazio se c < 0.
–1–0.5
00.5
1
x
–1–0.5
00.5
1
y
0
100
200
300
400
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
y
–0.4 –0.2 0.2 0.4x
Exemplo 4.2.5 Seja f(x, y) = x2 − y2, (x, y) ∈ R2.O gráfico de f é o parabolóide hiperbólico (sela).As curvas de ńıvel de f são as curvas dadas por x2 − y2 = c, para c ∈ R fixado, isto é,
hipérboles.
–2–1
01
2
x
–2–1
01
2
y
–4
–2
0
2
4
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 0 1 2x
-
50 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
Exemplo 4.2.6 Seja f(x, y) =x
(x2 + y2 + 1)
Neste caso as curvas de ńıvel c de f serão as curvasx
(x2 + y2 + 1)= c se c 6= 0 é tal que
4c2 < 1 as curvas serão circunferências, se 4c2 > 1 o conjunto será vazio, e se c = 0 teremosa reta x = 0 (o eixo dos y’s).
–4–2
02
4
x
–4–2
02
4
y
–0.4–0.2
00.20.4
4.3 Funções de Três Variáveis: Superf́ıcies de Nı́vel
Uma função de três variáveis f : A ⊆ R3 → R tem o seu gráfico em R4 dado por: G(f) ={(x, y, z, f(x, y, z)) : (x, y, z) ∈ A} ⊆ R4.
Para termos uma idéia geométrica do comportamento da função podemos desenhar su-perf́ıcies contidas no seu gráfico (já que não podemos fazer uma representação gráfica do mesmopois este está contido em R4).
Um classe importante de superf́ıcies contidas no gráfico de f são dadas pela
Definição 4.3.1 Sejam f : D(f) ⊆ R3 → R e c ∈ R.O conjunto de todos os (x, y, z) ∈ D(f) tais que f(x, y, z) = c será denominado superf́ıcie
de ńıvel de f correspondente ao ńıvel c.
Exemplo 4.3.1 Seja f(x, y, z) = x2 + y2 − z, (x, y, z) ∈ R3.Então as superf́ıcies de ńıvel de f serão dadas por x2+y2−z = c, ou seja serão parabolóides
de revolução.
–1–0.5
00.5
1
x
–1–0.5
00.5
1
y
0
0.5
1
1.5
2
-
Caṕıtulo 5
Limite e Continuidade de FunçõesReais de Várias Variáveis Reais
31.08.2007 - 8.aNeste caṕıtulo trataremos do limite de funções reais de duas variáveis. Como veremos, a
definição é semelhante ao caso de funções reais de uma variável real mas com conseqüênciasdiferentes desta última.
5.1 Limite
Definição 5.1.1 Sejam f : A ⊆ Rn → R uma função, ~x0 um ponto de acumulação de A.Diremos que limite de f(~x) quando ~x tente para ~x0 é L ∈ R, denotado por
lim~x→~x0
f(~x).= L
se, e somente se, dado ε > 0, existir δ = δ(~x0, ε) > 0 tal que se 0 < ‖~x − ~x0‖ < δ, ~x ∈ Ateremos |f(~x)− L| < ε.Observação 5.1.1
(a) A norma ‖.‖ acima é a norma usual do Rn e |.| é função módulo na reta R (a normausual em R).
(b) Com isto: lim~x→~x0
f(~x) = L se, e somente se, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f(Bδ(~x0) ∩A\{~x0}) ⊆ (L− ε, L + ε).
-
6
-
6
L
f
L + ε
L− ε
f(~x)~x0
®δ
~x
51
-
52CAPÍTULO 5. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
(c) No caso em que n = 2 escreveremos lim~x→~x0
f(~x) = L como lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L, isto é,
dado ε > 0, existe δ = δ((x0, y0), ε) > 0 tal que se 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ, (x, y) ∈ Ateremos |f(x, y)− L| < ε.
Exemplo 5.1.1 Em cada um dos casos abaixo, mostre que lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
(a) f(x, y) = k, (x, y) ∈ R2, onde k ∈ R é uma constante fixada.(b) f(x, y) = x, (x, y) ∈ R2.
Resolução:De (a):
Seja (x0, y0) ∈ R2 fixado.Tomando-se L
.= k = f(x0, y0), dado ε > 0, consideremos δ
.= ε > 0.
Logo, se 0 < ‖(x, y)−(x0, y0)‖ < δ, (x, y) ∈ R2 teremos |f(x, y)−f(x0, y0)| < |k−k| = 0 < ε,isto é, lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = k (ou ainda lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0)) para todo (x0, y0) ∈ R2.
Portanto lim(x,y)→(x0,y0)
k = k (ou lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)) para todo (x0, y0) ∈ R2.De (b):
Seja (x0, y0) ∈ R2 fixado.Tomando-se L
.= x0 = f(x0, y0), dado ε > 0, consideremos δ
.= ε > 0.
Logo, se 0 < ‖(x, y) − (x0, y0)‖ < δ, (x, y) ∈ R2 teremos |f(x, y) − f(x0, y0)| < |x − x0| =√(x− x0)2 ≤
√(x− x0)2 + (y − y0)2 = ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ = ε, isto é, lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) =
x0 (ou lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)) para todo (x0, y0) ∈ R2.Portanto lim
(x,y)→(x0,y0)x = x0 (ou lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0))para todo (x0, y0) ∈ R2.
Exerćıcio 5.1.1 Mostre que lim(x,y)→(x0,y0)
y = y0.
Exemplo 5.1.2 Seja f(x, y) =x2 − y2x2 + y2
, (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}.Verifique se existe o limite de f(x, y) quando (x, y) tende para (0, 0), isto é, lim
(x,y)→(0,0)f(x, y).
Resolução:Consideremos uma bola de centro em (0, 0) e raio δ > 0 qualquer (isto é, Bδ((0, 0))) e vamos
analisar o comportamento da função f nesta bola.
Notemos que para x 6= 0 temos f(x, 0) = x2 − 02
x2 + 02= 1 e para y 6= 0 temos que f(0, y) =
02 − y202 + y2
= −1, ou seja, temos pontos da bola acima que são levados em 1 e pontos da bola quesão levados em −1.
Desta forma, se tomarmos 0 < ε < 12, para todo δ > 0 temos que f(Bδ(0, 0)\{(0, 0)}) não
pode estar contida em um intervalo de comprimento 2² < 1 (pois teria que conter −1 e 1 eassim seu comprimento deveria ser maior que 2).
Desta forma não pode existir o limite de f quando (x, y) tende para (0, 0), isto é, não existelim
(x,y)→(0,0)f(x, y).
-
5.1. LIMITE 53
6
- -
6
f
1 = f(x, 0)
−1 = f(0, y)
x
y
(0, 0)
(x, 0)
(0, y)
Este exemplo motiva o seguinte resultado:
Teorema 5.1.1 Sejam f : A ⊆ Rn → R uma função, ~x0 um ponto de acumulação de A.Suponha que exista lim
~x→~x0f(~x) = L.
Sejam I intervalo aberto contendo t0 e ~γ : I → Rn uma curva parametrizada (logo cont́ınua)tal que ~γ(t0) = ~x0, ~γ(t) 6= ~x0 para t 6= t0, ~γ(t) ∈ A para todo t ∈ I \ {t0}. Então
limt→t0
f(~γ(t)) = L.
Demonstração:
Como lim~x→~x0
f(~x) = L temos que dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que 0 < ‖~x− ~x0‖ < δ1, ~x ∈ A,implica |f(~x)− L| < ε (*).
Mas ~γ é curva parametrizada, logo é cont́ınua em t0, assim dado δ1 > 0 existe δ > 0 tal que|t− t0| < δ, teremos ‖~γ(t)− ~x0‖ = ‖~γ(t)− ~γ(t0)‖ < δ1 (**).
Assim se 0 < |t− t0| < δ teremos, por (**), que ‖~γ(t)− ~x0‖ < δ1 (γ(t) ∈ A, t ∈ I \ {t0}) eportanto, por (*), teremos |f(~γ(t))− L| < ε ou seja lim
t→t0f(~γ(t)) = L.
¤
Observação 5.1.2
(a) O resultado nos diz que qualquer que seja a curva parmetrizada que escolhamos para nosaproximar de ~x0 (dentro do domı́nio da função f) os valores da função nos pontos destacurva parametrizada sempre vão se aproximar de L (desde que exista o limite lim
~x→~x0f(~x) =
L).
-
54CAPÍTULO 5. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
-
6
-
6
~γ(t0) = x0
t
f
-
t0
6~γ
µ L~γ(t)
(b) Sejam ~γ1, ~γ2 : I → Rn duas curvas parametrizadas nas condições do teorema (5.1.1).Se lim
t→t0f(~γ1(t)) = L1 e lim
t→t0f(~γ2(t)) = L2 com L1 6= L2, então não existirá o limite
lim~x→~x0
f(~x).
Esta é uma forma para verificar a não existência do limite.
Podemos verificar a não existência do limite no Exemplo 5.1.2 usando o teorema (5.1.1))(exerćıcio).
(c) Na verdade não precisamos no teorema (5.1.1) que ~γ seja curva parametrizada (isto é,cont́ınua em t0).
Na verdade, basta que limt→t0
~γ(t) = ~x0 (veja a demostração do Teorema acima).
Exemplo 5.1.3 Calcule os limites, caso existam:
(a) lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y4.
(b) lim(x,y)→(0,0)
y4
x3 + y4.
(c) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4.
Resolução:
De (a):
Observemos que se considerarmos ~γ1(t) = (t, 0), t ∈ R, ~γ1 será uma curva parametrizadaem R, ~γ1(0) = (0, 0) (neste caso ~x0 = (x0, y0) = (0, 0) e t0 = 0) e lim
t→0f(~γ1(t)) = lim
t→0f(t, 0) =
limt→0
t2
t2 + 04= 1.
-
5.1. LIMITE 55
¾-(0, 0)
-
6
f
-
M γ1
0
-
6
y
x
Por outro lado se considerarmos ~γ2(t) = (0, t), t ∈ R, ~γ2 também será uma curva parametrizadaem R, ~γ2(0) = (0, 0) e lim
t→0f(~γ2(t)) = lim
t→0f(0, t) = lim
t→003
02 + t4= 0 .
?
6
(0, 0)
-
6
f
-
M γ2
0
-
6
y
x
Do Teorema (5.1.1) segue que não existe lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y4.
De (b):Observemos que se considerarmos ~γ1(t) = (t, 0), t ∈ R, ~γ1 será uma curva parametrizada em
R, ~γ1(0) = (0, 0) (neste caso ~x0 = (0, 0) e t0 = 0) e limt→0
f(~γ1(t)) = limt→0
f(t, 0) = limt→0
04
t3 + 04= 0.
¾-(0, 0)
-
6
f
-
M γ1
0
-
6
y
x
-
56CAPÍTULO 5. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
Por outro lado se considerarmos ~γ2(t) = (0, t), t ∈ R, ~γ2 também será uma curva parametrizadaem R, ~γ2(0) = (0, 0) e lim
t→0f(~γ2(t)) = lim
t→0f(0, t) = lim
t→0t4
03 + t4= 1.
?
6
(0, 0)
-
6
f
-
M γ2
0
-
6
y
x
Do teorema (5.1.1) segue que não existe lim(x,y)→(0,0)
y4
x3 + y4.
De (c):
Observemos que se considerarmos ~γ1(t) = (t, 0), t ∈ R, ~γ1 será uma curva parametrizada emR, ~γ1(0) = (0, 0) (neste caso ~x0 = (0, 0) e t0 = 0) e lim
t→0f(~γ1(t)) = lim
t→0f(t, 0) = lim
t→0t 02
t2 + 04= 0.
¾-(0, 0)
-
6
f
-
M γ1
0
-
6
y
x
Se tentarmos pela curva γ2 = (0, t), t ∈ R, γ2 também será uma curva parametrizada emR, ~γ2(0) = (0, 0) mas lim
t→0f(~γ2(t)) = lim
t→0f(0, t) = lim
t→00t2
02 + t4= 0 e nada poderemos concluir.
Porém se considerarmos ~γ3(t) = (t2, t), t ∈ R, ~γ3 também será uma curva parametrizada
em R, ~γ3(0) = (0, 0) e limt→0
f(~γ3(t)) = limt→0
f(t2, t) = limt→0
t2t2
t4 + t4=
1
2.
-
5.1. LIMITE 57
(0, 0)