smia 1 complement du cours d’analyse 1 : question …
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SMIA 1
COMPLEMENT DU COURS D’ANALYSE 1 :
Question-Reponse
Universite Moulay IsmaılFaculte des sciences
Departement de [email protected]
1
Vos remarques seront les bienvenues.
2
Table des matieres
1 Proprietes de l’ensemble R et des reels 7
1.1 Le theoreme fondamental de l’analyse reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Propriete de la borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Caracterisation de la borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Caracterisation de la borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Caracterisation sequentielle de la borne superieure . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Caracterisation sequentielle de la borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Densite de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Caracterisation sequentielle de la densite de Q dans R . . . . . . . . . . . . . 10
2 Les suites reelles 11
2.1 Comment etudier la monotonie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Comment montrer qu’une suite est croissante . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Comment montrer qu’une suite est decoissante . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Suites majorees, minorees et bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Comment montrer qu’une suite est majoree . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Comment montrer qu’une suite est minoree . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Comment montrer qu’une suite est bornee . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Comment calculer la limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Calcul par passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Calcul par Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Formes indeterminees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.4 Utilisation de l’expression conjuguee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Comment etudier la nature d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Comment montrer qu’une suite (un) est convergente . . . . . . . . . 16
2.4.2 Comment montrer qu’une suite (un) est divergente . . . . . . . . . . 17
2.4.3 Comment montrer que deux suites sont adjacentes . . . . . . . . . . 17
2.4.4 Comment montrer qu’une suite est de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.5 Comment montrer qu’une suite (un) n’est pas de Cauchy . . . . . . . 18
2.5 Suites recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Comment etudier une suite recurrente premiere forme . . . . . . . . 18
2.5.2 Comment etudier une suite recurrente deuxieme forme . . . . . . . 22
3
3 Les fonctions 25
3.1 Comment determiner le domaine de definition d’une fonction . . . . . . . . 253.1.1 Le denominateur doıt etre non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Ce qui est sous la racine doıt etre positif. . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 L’argument du logarithme doıt etre STRICTEMENT positif. . . . . 263.1.4 L’argument de l’arccos ou de l’arcsin doıt etre dans [−1, 1]. . . . . . . 263.1.5 L’argument de la tangente doıt etre dans ∪k∈Z]−π
2+ kπ, −π
2+ (k + 1)π[. 26
3.1.6 L’argument de l’argch doıt etre dans [1, +∞[. . . . . . . . . . . . . . 273.2 Comment etudier la parite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Fonction paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Fonction impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.3 Courbe admettant un axe de symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.4 Courbe admettant un centre de symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Limite d’une fonction reelle 29
4.1 Definition generale de la limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Comment calculer la limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Par passage a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2 Par Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.3 Par composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.4 En utilisant le theoreme des accroissements finis . . . . . . . . . . . 334.2.5 Comment montrer que la limite d’une fonction existe sans calcul . . 34
4.3 Comment montrer que la limite d’une fonction en un point n’existe pas . . 344.3.1 La limite a droite est differente de La limite a gauche . . . . . . . . 344.3.2 Par la caracterisation sequentielle de la limite . . . . . . . . . . . . 35
5 La continuite des fonctions reelles 37
5.1 Comment etudier la continuite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.1 Continuite d’une fonction bien connue . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.2 Continuite d’une fonction definie par morceaux . . . . . . . . . . . . 375.1.3 Comment montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point a. 37
5.2 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1 Comment Montrer qu’une fonction est uniformement continue . . . 405.2.2 Comment Montrer qu’une fonction n’est pas uniformement continue sur A 41
6 La derivabilite des fonctions reelles 43
6.1 Comment etudier la derivabilite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.1 Derivabilite d’une fonction bien connue . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.2 Derivabilite d’une fonction definie par morceaux . . . . . . . . . . . 446.1.3 Derivabilite de la fonction reciproquef−1. . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Comment etudier les variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.1 En etudiant le signe du taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . 446.2.2 En etudiant le signe de la derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Resolution d’equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3.1 Comment montrer que l’equation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a, b[ 466.3.2 Comment montrer que l’equation f(x) = 0 admet une seule solution dans [a, b] 47
4
6.3.3 Comment montrer que l’equation f(x) = 0 admet au plus n solutions dans [a, b] 486.3.4 Exemple de resolution numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5
6
Chapitre 1
Proprietes de l’ensemble R et des reels
Pour ne pas trop compliquer les choses, nous dirons simplement que l’ensemble R, est unensemble qui contiendrait tous les nombres que l’on peut ecrire en utilisant les chiffres de 0a 9, les signes + et −, ainsi que la virgule.
Pour nous qui faisons de l’analyse reelle, l’ensemble R, contient les entiers naturels (∈ N, )les entiers relatifs (∈ Z, ) les rationnels (∈ Q, ) et les irrationnels (/∈ Q).
1.1 Le theoreme fondamental de l’analyse reelle
(R, +,×, <) est un corps totalement ordonne qui possede la propriete de la borne superieure
∗∗ Les axiomes du corps (proprietes des lois + et ×) defiissent les regles a respecter lorsquel’on fait des calculs, c’est a dire lorsque l’on effectue les operations +,×,−, ;.
∗∗ Les axiomes de l’ordre (proprietes de <), fixent les regles de comparaison a respecterlorsque l’on manipule les symboles <,≤, >,≥ .
∗∗ La propriete de la borne superieure , c’est elle qui differencie l’ensemble R de l’en-semble Q. Elle rend l’ensemble R complet, sachant que Q ne l’est pas !
Ce Theoreme (TFAR) constitue le point de depart de l’analyse reelle. Il est a la base detoutes les proprietes de R et de tous les theoremes classiques de l’analyse reelle, a savoir :
La propriete d’Archimede de l’ensemble R.
La densite de l’ensemble Q dans R.
Le theoreme de la limite monotone.
Le theoreme des suites adjacentes.
7
Le theoreme de Bolzano-Weierstrass.
La completude de l’ensemble R.
Les criteres de Cauchy (des suites et des fonctions).
Le theoreme des valeurs intermediaires.
Le theoreme des valeurs exterieures
Le theoreme de la bijection.
Le theoreme de la borne.
Le theoreme de Heine.
Le theoreme de Rolle.
Le theoreme des accroissements finis.
La connaissance de ces theoreme est non seulement la cle pour repondre aux questionsposees a l’examen, mais surtout, pour suivre sans aucun problemes les cours d’analyse desannees prochaines incha Allah.
1.2 Propriete de la borne superieure
Tout partie non vide majoree de R admet une borne superieure
Qui se traduit par
(∀A ⊂ R) A 6= ∅ et A majoree =⇒ sup A ∈ R
Cette propriete n’est pas vraie dans Q.
Prenons A = [0,√
2] ∩ Q. A est une partie non vide majoree de Q mais
A n’admet pas de borne superieure car√
2 /∈ Q.
De meme, R possede la propriete de la borne inferieure suivante :
Tout partie non vide minoree de R admet une borne inferieure
Qui se traduit par
(∀A ⊂ R) A 6= ∅ et A minoree =⇒ inf A ∈ R
8
1.3 Caracterisation de la borne superieure
M est la borne superieure de A si et seulement si M est le plus petit des majorants de A.ce qui signifie que si ǫ > 0, M − ǫ n’est pas un majorant de A.Ceci se traduit mathematiquement par
M = sup A ⇐⇒ (∀x ∈ A) x ≤ M et (∀ǫ > 0) (∃a ∈ A) : M − ǫ < a ≤ M
1.4 Caracterisation de la borne inferieure
m est la borne inferieure de A si et seulement si m est le plus grand des minorants de A.ce qui veut dire que si ǫ > 0, m + ǫ n’est pas un minorant de A. C qui donnee
m = inf A ⇐⇒ (∀x ∈ A) x ≥ m et (∀ǫ > 0) (∃a ∈ A) : m ≤ a < m + ǫ
1.5 Caracterisation sequentielle de la borne superieure
C’est une condition necessaire et suffisante qui fait appel aux suites.Elle est obtenue en remplacant ǫ ci-dessus par 1
n.
M = sup A ⇐⇒ (∀x ∈ A) x ≤ M et (∀n > 0) (∃an ∈ A) : M − 1
n< an ≤ M
⇐⇒ (∀x ∈ A) x ≤ M et ∃(an) ∈ AN : M = limn→+∞
an
On en deduit queM est la borne superieure de A si et seulement si M est un majorant de A qui est en
meme temps limite d’une suite d’elements de A.
1.6 Caracterisation sequentielle de la borne inferieure
Soit A une partie non vide minoree de R et m ∈ R.
m = inf A ⇐⇒ (∀x ∈ A) x ≥ m et (∀n > 0) (∃an ∈ A) : m ≤ an < m +1
n
⇐⇒ (∀x ∈ A) x ≥ m et ∃(an) ∈ AN : m = limn→+∞
an .
Ce qui permet de dire quem est la borne inferieure de A si et seulement si m est un minorant de A qui est en meme
temps limite d’une suite d’elements de A.
9
1.7 Densite de Q dans R
Entre deux reels quelconques, il existe une infinite de rationnels.
Q est dense dans R ⇐⇒ (∀(x, y) ∈ R2) : x < y (∃r ∈ Q) : x < r < y.
1.8 Caracterisation sequentielle de la densite de Q dans R
Tout reel est limite d’une suite de rationnels.
Q est dense dans R ⇐⇒ (∀x ∈ R) (∃(rn) ∈ QN) : x = limn→+∞
rn
10
Chapitre 2
Les suites reelles
Une suite reelle est une application de N vers R.
2.1 Comment etudier la monotonie d’une suite
2.1.1 Comment montrer qu’une suite est croissante
De facon directe
Il faut montrer que
(∀n ∈ N) un+1 ≥ un
ce qui est equivalent a
(∀n ∈ N) un+1 − un ≥ 0
ou bien si un > 0, on montre que
(∀n ∈ N)un+1
un
> 1
Exemple Montrer que la suite recurrente (un) definie par
u0 = 1et (∀n ∈ N) un+1 = un + n2.
est coissante.De facon directe, on
(∀n ∈ N) un+1 − un = n2 ≥ 0
donc (un) est croissante.
Par recurrence
On montre par recurrence que :
(∀n ∈ N) un ≤ un+1
11
Exemple
Montrer que la suite recurrente (un) definie par
u0 = 0 et (∀n ∈ N) un+1 = 2 − 1
un + 1.
est croissante sachant que(∀n ∈ N) 0 ≤ un ≤ 2.
Montrons par recurrence que
(∀n ∈ N) un ≤ un+1
On a
u1 = 1 =⇒ u0 ≤ u1.
Soit n ≥ 0 tel que un ≤ un+1.
un ≤ un+1 =⇒ 0 < 1 + un ≤ 1 + un+1 =⇒ 1
1 + un+1≤ 1
1 + un
=⇒ 2 − 1
1 + un
≤ 2 − 1
1 + un+1=⇒ un+1 ≤ un+2
CQFD.——- Voir la section sur les Suites Recurrentes —————–
2.1.2 Comment montrer qu’une suite est decoissante
Il faut montrer que
(∀n ∈ N) un+1 ≤ un
ce qui est equivalent a
(∀n ∈ N) un+1 − un ≤ 0
ou bien si un > 0, on montre que
(∀n ∈ N)un+1
un
≤ 1
2.2 Suites majorees, minorees et bornees
Il serait utile de connaıtre les majorations suivantes
(∀x ∈ R) − 1 ≤ sin(x) ≤ 1 et − 1 ≤ cos(x) ≤ 1
(∀x ∈ R) | sin(x)| ≤ |x|
12
(∀x ∈ [0,π
2]
2
πx ≤ sin(x) ≤ x
(∀x ∈ R) ex > 0
(∀x ∈ R) e−x2 ≤ 1
(∀(x, a) ∈ R × R∗)1
a2 + x2
≤ 1
a2
(∀x ∈ R) ch(x) ≥ 1
(∀x ∈ R)1
1 + x2≤ 1
(∀x ∈ R) |arctg(x)| <π
2
2.2.1 Comment montrer qu’une suite est majoree
De facon directe
Il faut montrer que
(∃M ∈ R) : (∀n ∈ N) un ≤ M
On peut, montrer directement que
(∃N ∈ N) : (∀n ≥ N) un − M ≤ 0
Exemple Soit (un) la suite reelle definie par
(∀n ∈ N) un =3 + cos(n)
n2 + 5
Soit n ∈ N. D’une part cos(n) ≤ 1 =⇒ 3 + cos(n) ≤ 4. D’autre part 0 < 5 ≤ n2 +5 =⇒ 1
n2+5< 1
5.
On en deduit que
un ≤ 4
5.
Par recurrence
Cette methode marche surtout lorsque l’on connaıt le majorant M .On montre alors, facilement, que
(∀n ∈ N) un ≤ M
Exemple
13
Soit (un) une suite recurrente associee a une fonction f : I → I croissante. Si L est unpoint fixe de f et que u0 ≤ L, alors on montre Facilement par recurrence que
(∀n ∈ N) un ≤ L
2.2.2 Comment montrer qu’une suite est minoree
Il faut montrer que
(∃m ∈ R) : (∀n ∈ N) un ≥ m
On peut, montrer directement que
(∃m ∈ R) : (∀n ∈ N) un − m ≥ 0
Ou bien utiliser le raisonnement par recurrence.
2.2.3 Comment montrer qu’une suite est bornee
Il faut montrer qu’elle est a la fois majoree et minoree ou que
(∃M ∈ R) : (∀n ∈ N) |un| ≤ M
Exemple
si(∀n ∈ N) un = 1 + sin(n) + e−n
alors
(∀n ∈ N) |un| ≤ 3
2.3 Comment calculer la limite d’une suite
2.3.1 Calcul par passage
Dans l’expression du terme general un pour n assez grand, on remplace n par +∞.
(∀n ≥ N) un = vn et limn→+∞
vn = L =⇒ limn→+∞
un = L
Exemples :
(∀n ≥ 1000) un =1
n=⇒ lim
n→+∞un = 0
(∀n ≥ 100) un = 3 +ln(n)
n=⇒ lim
n→+∞un = 3
(∀n ≥ 10) un = en =⇒ limn→+∞
un = +∞
14
2.3.2 Calcul par Encadrement
(∀n ≥ N) un < vn et limn→+∞
un = L1 et limn→+∞
vn = L2 =⇒ L1 ≤ L2
(∀n ≥ N) un < vn < wn et limn→+∞
un = L et limn→+∞
wn = L =⇒ limn→+∞
vn = L
(∀n ≥ N) un < vn et limn→+∞
un = +∞ =⇒ limn→+∞
vn = +∞
(∀n ≥ N) un < vn et limn→+∞
vn = −∞ =⇒ limn→+∞
un = −∞
Exemples :
(∀n ≥ 100) 5 − 2
n< un < 5 +
1
n=⇒ lim
n→+∞un = 5
(∀n ≥ 1000) n − 2
n< un =⇒ lim
n→+∞un = +∞
(∀n ≥ 10) un <−n2 + 1
n + 2=⇒ lim
n→+∞un = −∞
2.3.3 Formes indeterminees
Forme indeterminee Methode a appliquer
00
Factoriser et simplifier
∞∞ Factoriser et simplifier
∞−∞ Factoriser ou le conjugue
1∞ et 00 Remplacer AB par eB ln(A)
2.3.4 Utilisation de l’expression conjuguee
Le conjugue de A − B, c’est A + B.Le conjugue de A + B, c’est A − B.Exemple
limn→+∞
(√
n2 + 3 − n) = limn→+∞
(√
n2 + 3 − n)
√n2 + 3 + n√n2 + 3 + n
15
= limn→+∞
3√n2 + 3 + n
= 0
Utilisation des sous-suites
limn→+∞
un = L ⇐⇒ limn→+∞
u2n = limn→+∞
u2n+1 = L
limn→+∞
un = L ⇐⇒ limn→+∞
u3n = limn→+∞
u3n+1 = limn→+∞
u3n+2 = L
Exemple
La suite (un) definie par un = (2+(−1)n)n
tend vers 0 car
limn→+∞
u2n = limn→+∞
3
2n= 0 et
limn→+∞
u2n+1 = limn→+∞
1
2n + 1= 0.
2.4 Comment etudier la nature d’une suite
2.4.1 Comment montrer qu’une suite (un) est convergente
1. On calcule sa limite (par passage ou par comparaison )et on trouve un nombre fini.
Pour cela, on aura besoin de connaıtre les Limites Usuelles Tres Utiles et les operationssur les limites. ——————————————————-
limn→+∞
sin( 1n)
1n
= limn→+∞
n sin(1
n) = 1.
limn→+∞
ntg(1
n) = 1.
limn→+∞
ln(1 + 1n)
1n
= limn→+∞
n ln(1 +1
n) = 1.
limn→+∞
n(e1
n − 1) = 1.
limn→+∞
n2(1 − cos(1
n)) =
1
2.
(∀α ∈ R) limx→+∞
(ln(n))α
n= 0.
(∀α ∈ R) limn→+∞
nαe−n = 0.
16
2. On montre qu’elle est croissante majoree. Donc elle converge vers sup{un, n ∈ N}3. On montre qu’elle est decroissante minoree. Donc elle converge vers inf{un, n ∈ N}4. On montre qu’elle est encadree par deux suites qui convergent vers la meme limite L.
Donc (un) convergera vers L.
5. On montre que (un) et une autre suite (vn) sont adjacentes.
6. On montre que
(∃(L, N) ∈ R × N) : (∀n ≥ N) |un − L| ≤ vn
avec limn→+∞ vn = 0. La suite (un) aura ainsi L comme limite.
7. On montre que les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) ont la meme limite.
(un) convergera vers cette limit commune.
8. On montre qu’elle est de Cauchy.
2.4.2 Comment montrer qu’une suite (un) est divergente
1. On calcule sa limite (par passage ou par comparaison) et on trouve ±∞.
2. On montre qu’elle est croissante NON majoree. Donc sa limite sera +∞.
3. On montre qu’elle est decroissante NON minoree. Donc sa limite sera −∞.
4. On montre qu’elle est minoree par une suite qui tend vers +∞. Donc sa limite sera +∞.
5. On montre qu’elle est majoree par une suite qui tend vers −∞. Donc sa limite sera−∞.
6. On montre qu’elle admet une sous-suite divergente.
7. On montre qu’elle admet deux sous-suites qui tendent vers deux limites differenetes.
8. On montre qu’elle n’est pas de Cauchy.
9. On montre qu’elle existe une sous suite (vn) telle que limn→+∞(un − vn) 6= 0.
2.4.3 Comment montrer que deux suites sont adjacentes
Pour montrer que les deux suites (un) et vn sont adjacentes, on commence par etudier lesigne de la difference un−vn. On tient compte du fait que la suite majorante est decroissanteet que la suite minorante est croissante.
et donc, on peut connaıtre a l’avance, laquelles des deux suites sera croissante.Par suite, on a
(∀n ∈ N) un > vnimplies(un) decroissante et (vn) croissante
(∀n ∈ N) un < vnimplies(un) croissante et (vn) decroissante
Exemple
un = 1 +1
1!+
1
2!+ ...
1
n!
17
vn = un +1
nn!
Il est clair que
(∀n ∈ N) un < vn
Par consequent, (un) sera croissante et (vn) sera decroissante.Il reste en fin, a verifier que leur difference tend vers 0.
2.4.4 Comment montrer qu’une suite est de Cauchy
1. On utilise la definition (en general, ce n’est pas evident)
2. On montre qu’elle est convergente.
3. On montre la condition suffisante suivante :
(∀(n, p) ∈ N2) |un+p − un| ≤ vn et limn→+∞
vn = 0 =⇒ (un) est de Cauchy
2.4.5 Comment montrer qu’une suite (un) n’est pas de Cauchy
1. On montre qu’elle est divergente.
2. On montre qu’il existe une sous suite (vn) telle que limn→+∞(vn − un) 6= 0.
2.5 Suites recurrentes
2.5.1 Comment etudier une suite recurrente premiere forme
Soit I un intervalle ferme de R., c’est a dire que I est soit un segment du type [a, b], soitun intervalle non borne du type [a, +∞[.
Une suite recurrente premiere forme (un) est definie par
u0 ∈ I, (∀n ∈ N) un+1 = f(un)
avec f : I → I. ou bien f(I) ⊂ I. Cette condition de stabilite de I par f , est necessairepour que la suite (un) soit bien definie et que
(∀n ∈ N) un ∈ I.
Nous supposerons aussi que f est continue sur I.Limites possibles ou probables
Si la suite (un) converge vers un reel L, alors L ∈ I et puisque f est supposee etre continuesur I, on aura
limn→+∞
un+1 = L = limn→+∞
f(un) = f( limn→+∞
un) = f(L).
L est donc necessairement un point fixe de f , qui satisfait la condition f(L) = L.Il se peut que f admette plusieurs point fixes. La limite eventuelle de la suite (un) depend
alors de la position du premier terme u0 par rapport a ces points fixes.Cas ou f est croissante sur I
18
2
2
1,5
1,5
1
0,5
10
0,50
Figure 2.1 – Cas ou f est croissante et (un) croissante convergente.
1,5
1
0,5
03210-1
3
2,5
2
Figure 2.2 – Cas ou f est croissante et (un) decroissante convergente.
19
4
4
3
3
2
1
20
10
Figure 2.3 – Cas ou f est decroissante et (un) CONVERGENTE.
Si f est croissante sur I, la suite (un) est monotone. IL SUFFIT de comparer les deuxpremiers termes u0 et u1.
u0 ≤ u1 =⇒ (un) est croissante
Pour cela, Comme dans un jeu d’enfants, on montre facilement par recurrence que :
(∀n ∈ N) un ≤ un+1
u0 ≥ u1 =⇒ (un) est decroissante
Pour cela, Comme dans un autre jeu d’enfants, on montre facilement par recurrence que :
(∀n ∈ N) un ≥ un+1.
Pour savoir si (un) est majoree ou minoree, il suffit de comparer u0 avec le point fixe L.
u0 ≥ L =⇒ (∀n ∈ N) un ≥ L
u0 ≤ L =⇒ (∀n ∈ N) un ≤ L
Il n’y a pas plus simple que de raisonner, encore une fois, par recurrence.Cas ou f est decroissante sur ISi f est decroissante sur I, les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones et varient en sens
inverse.IL SUFFIT de comparer les deux premiers termes u0 et u2.
20
43210
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
Figure 2.4 – Cas ou f est decroissante et (un) DIVERGENTE.
u0 ≤ u2 =⇒ (u2n) est croissante et (u2n+1) decroissante.
u0 ≥ u2 =⇒ (u2n) est decroissante et (u2n+1) croissante.
u0 ≥ L =⇒ (∀n ∈ N) u2n ≥ L
u1 ≥ L =⇒ (∀n ∈ N) u2n+1 ≥ L
u0 ≤ L =⇒ (∀n ∈ N) u2n ≤ L
u1 ≤ L =⇒ (∀n ∈ N) u2n+1 ≤ L
COMME dans le cas ou f est croissante, Toutes les proprietes precedentes, se demontrentaisement a l’aide du raisonnement par recurrence.
(un) converge ⇐⇒ (u2n) et (u2n+1) sont adjacentes
Utilisation du theoreme des accroissements finis : TAF
Soit (un) une suite recurrente associee a la fonction f : I → I, ou I est un intervalle fermede R. On suppose que L est un point fixe de f appartenat a I.
On suppose de plus que f est derivable sur I. On a alors, d’apres le TAF,
(∀n ∈ N) (∃c ∈ I) : un+1 − L = f(un) − f(L) = (un − L)f ′(c).
21
Distinguons les deux cas suivants :1er cas
(∀x ∈ I) |f ′(x)| ≤ K < 1
donc
(∀n ∈ N) |un − L| ≤ K|un−1 − L| ≤ Kn|u0 − L|.La suite (un) converge vers L.Dans ce cas, le point fixe est dit attractif (Voir Fifure 3.)2eme cas
(∀x ∈ I) |f ′(x)| ≥ K > 1
donc
(∀n ∈ N) |un − L| ≥ K|un−1 − L| ≥ Kn|u0 − L|.La suite (un) est alors divergente.Dans ce cas, le point fixe est dit repulsif (Voir Fifure 4.)
2.5.2 Comment etudier une suite recurrente deuxieme forme
Un suite recurrente deuxieme forme (un) est definie par
(∀n ∈ N) aun+2 + bun+1 + cun = f(n)
ou (a, b, c) ∈ R3 et f : R → R.Ce sont des suites (un) verifiant une egalite du type
aun+2 + bun+1 + cun = f(n) avec u0 et u1 donnees.
ou (a, b, c) ∈ R∗ × R2 et f : R → R.Supposons que l’on connaisse une suite particuliere (vn) qui satisfait la relation ci-dessus.Par soustraction, on aura
a(un+2 − vn+2) + b(un+1 − vn+1) + c(un − vn) = 0
Pour trouver (un), il suffit alors de trouver (wn) telle que
awn+2 + bwn+1 + cwn = 0 (C)
Pour cela, cherchons wn sous la forme wn = αn.En remplacant wn dans la condition (C), on tombe sur l’equation caracteristique suivante
aα2 + bα + c = 0
trois cas se presentent alors
22
1. ∆ > 0
L’equation caracteristique admet deux solutions reelles :
α1 =−b −
√∆
2aet α2 =
−b +√
∆
2a
etwn = Aα1
n + Bα2n
Les constantes A et B sont determinees par les conditions initiales u0 et u1.
Exemple
Determiner un sachant que un+2 − 3un+1 + 2un = 0, u0 = 0, u1 = 1.
L’equation caracteristique s’ecrit :
x2 − 3x + 2 = 0, ∆ = 1, x1 = 1, x2 = 2
doncun = A + B2n = 2n − 1
2. ∆ = 0
L’equation caracteristique admet une racine double :
α =−b
2a
et
wn =(
A + Bn)
αn
Les constantes A et B sont determinees par les conditions initiales u0 et u1.
3. ∆ < 0
L’equation caracteristique admet deux solutions complexes :
α1 =−b − i
√−∆
2a= ρeiθ et α2 =
−b + i√−∆
2a= ρe−iθ
et
wn = ρn(
A cos(nθ) + B sin(nθ))
Les constantes A et B sont determinees par les conditions initiales u0 et u1.
23
24
Chapitre 3
Les fonctions
3.1 Comment determiner le domaine de definition d’une fonction
3.1.1 Le denominateur doıt etre non nul.
Si f(x) = 1D(x)
, alors
Df = {x ∈ R : D(x) 6= 0}.On resoud alors l’equation D(x) = 0 pour determiner les racines r1, r2, ....Le domaine de definition sera alors
Df = R − {r1, r2, ...}.Exemple
f(x) =1
x(x2 − 5x + 6)
Df = {x ∈ R : x(x2 − 5x + 6) 6= 0}.Les solutions de l’equation x(x2 − 5x + 6) = 0 sont 0, 2, et 3.Par suite
Df = R − {0, 2, 3} =] −∞, 0[ ∪ ]0, 2[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, +∞[.
3.1.2 Ce qui est sous la racine doıt etre positif.
Si f(x) =√
D(x), alors
Df = {x ∈ R : D(x) ≥ 0}.On resoud alors l’inequation D(x) ≥ 0 pour determiner l’ensemble S des solutions.Le domaine de definition sera alors
Df = S.
Exemple
25
f(x) =√
x(x2 − 5x + 6)
Df = {x ∈ R : x(x2 − 5x + 6) ≥ 0}.L’ensemble des solutions de l’inequation x(x2 − 5x + 6) ≥ 0 est S=[0, 2] ∪ [3, +∞[.Par suite
Df = [0, 2] ∪ [3, +∞[.
3.1.3 L’argument du logarithme doıt etre STRICTEMENT positif.
Exemple
f(x) = ln(x2 − 5x + 4)
Df = {x ∈ R : x2 − 5x + 4 > 0}.L’ensemble des solutions de l’inequation x2 − 5x + 4 > 0 est S =] −∞, 1[ ∪ ]4, +∞[.Par suite
Df =] −∞, 1[ ∪ ]4, +∞[.
3.1.4 L’argument de l’arccos ou de l’arcsin doıt etre dans [−1, 1].
Exemple
f(x) = arccos(x2 − 5x + 5)
Df = {x ∈ R : −1 ≤ x2 − 5x + 5 ≤ 1}= {x ∈ R : x2 − 5x + 5 ≥ −1 et x2 − 5x + 5 ≤ 1}.
L’ensemble des solutions de l’inequation x2 − 5x + 6 ≥ 0 est S1 =] −∞, 2] ∪ [3, +∞[.L’ensemble des solutions de l’inequation x2 − 5x + 4 ≤ 0 est S2 = [1, 4].Par suite
Df = S1 ∩ S2 = [1, 2] ∪ [3, 4].
3.1.5 L’argument de la tangente doıt etre dans ∪k∈Z]−π2
+ kπ, −π2
+ (k + 1)π[.
Exemple
f(x) = tg(2x)
Df = {x ∈ R : 2x 6= π
2+ kπ}
= {x ∈ R : x 6= π
4+ k
π
2}
d’ou
Df = R\{π
4+ k
π
2, k ∈ Z}
26
3.1.6 L’argument de l’argch doıt etre dans [1, +∞[.
Exemple
f(x) = argch(x2 − 6x + 9)
Df = {x ∈ R : x2 − 6x + 9 ≥ 1}L’ensemble des solutions de l’inequation x2 − 6x + 8 ≥ 0 est S =] −∞, 2] ∪ [4, +∞[.Par suite
Df =] −∞, 2] ∪ [4, +∞[.
3.2 Comment etudier la parite d’une fonction
3.2.1 Fonction paire
On montre que
(∀x ∈ Df) f(−x) = f(x)
3.2.2 Fonction impaire
Il faut verifier que
(∀x ∈ Df ) f(−x) = −f(x)
3.2.3 Courbe admettant un axe de symetrie
La droite d’equation x = a est axe de symetrie de la courbe representative de la fonctionf si
(∀x ∈ Df ) f(a − x) = f(x)
3.2.4 Courbe admettant un centre de symetrie
Le point de coordonnees (a, b) est un centre de symetrie de la courbe representative de lafonction f si
(∀x ∈ Df) f(2a − x) = 2b − f(x)
27
28
Chapitre 4
Limite d’une fonction reelle
4.1 Definition generale de la limite d’une fonction
Soit f une fonction reelle avec Df comme domaine de definition. Dans la plupart des cas, Df est une intervalle.
Soit A ⊂ Df , a un point d’accumulation de A et l ∈ R.
limx→a,x∈A
f(x) = l ⇐⇒ (∀V ∈ V(l)) (∃U ∈ V(a)) : f(U ∩ A) ⊂ V
V(l) et V(a) designent respectivement l’ensemble des voisinages de l et de a.
Remarque
La notion de limite d’une fonction f en un point a est un concept local. En ce sens queseule l’expression
de f(x) AU VOISINAGE du point a entrera en ligne de compte.
Par exemple, pour calculer la limite de f(x) quand x tend vers 2, il suffit de connaıtre
f(x) pour x ∈ [1, 3]. L’expression de f(x) pour x > 3 n’aura aucune influence sur cettelimite.
Nature du point un voisinage de ce point
a ∈ R ]a − η, a + η[ (η > 0)
l ∈ R ]a − ǫ, a + ǫ[ (ǫ > 0)
a = +∞ ]A, +∞[ (A > 0)
a = −∞ ] −∞, B[ (B < 0)
29
Nature de l’ensemble A Nature de la limite
Df limx→a
f(x)
Df \ {a} limx→a,x 6=a
f(x)
Df∩]a, +∞[ limx→a,x>a
f(x)
Df∩] −∞, a[ limx→a,x<a
f(x)
Df limx→a
f(x)
N limn→+∞
f(n)
4.2 Comment calculer la limite d’une fonction
Le Calcul de limite est a la base de l’etude de la CONTINUITE et de la DERIVABILITEEN UN POINT.
Supposons que l’on veuille calculer limx→a,x∈A
f(x).
4.2.1 Par passage a la limite
Soit f : R → R et U un voisinage de a ∈ A′ avec A ∈ Df .On a alors,
(∀x ∈ U ∩ A) f(x) = g(x) et limx→a,x∈A
g(x) = L =⇒ limx→a,x∈A
f(x) = L
——————————————————————————————–
Si l’on connaıt l’expression de f(x), AU VOISINAGE du point a,on remplace, dans cette expression, x par a.Soit on trouve un resultat, soit une forme indeterminee. (V. le chapitre sur les suites).———————————————————————————————
Pour le passage , Nous aurons surement besoin de connaıtre les Limites Usuelles suivantes(Tres Utiles).
30
———————————————————————————————
limx→0,x 6=0
sin(x)
x= 1.
limx→0,x 6=0
tg(x)
x= 1.
limx→0,x 6=0
ln(x + 1)
x= 1.
limx→0,x 6=0
ex − 1
x= 1.
limx→0,x 6=0
1 − cos(x)
x2=
1
2.
limx→+∞
ln(x)
x= 0.
limx→0,x>0
x ln(x) = 0.
(∀α > 0) limx→+∞
xαe−x = 0.
Exemples :
(∀x ∈] − 1, 0[∪]0, 1[) f(x) =1
|x| =⇒ limx→0,x 6=0
f(x) = +∞
(∀x ≥ 100) f(x) = 3 +ln(x)
x=⇒ lim
x→+∞f(x) = 3
(∀x ∈ [0, 1[) f(x) = 3 +1 + ln(x)
x=⇒ lim
x→1,x<1f(x) = 4
(∀x ∈]2, 3]) f(x) = 3 + x2 =⇒ limx→2,x>2
f(x) = 7
4.2.2 Par Encadrement
(∀x ∈ U ∩ A) g(x) < f(x) < h(x) et limx→a,x∈A
g(x) = limx→a,x∈A
h(x) = L =⇒ limx→a,x∈A
f(x) = L
(∀x ∈ U ∩ A) g(x) < f(x) et limx→a,x∈A
g(x) = +∞ =⇒ limx→a,x∈A
f(x) = +∞
(∀x ∈ U ∩ A) f(x) < h(x) et limx→a,x∈A
h(x) = −∞ =⇒ limx→a,x∈A
f(x) = −∞
31
Exemples
(∀x ∈] − 1, 1[) 7 − x2 < f(x) < 7 + x2 =⇒ limx→0
f(x) = 7
(∀x ∈]1, 3[) 10 − x2 < f(x) < 2 + x2 =⇒ limx→2
f(x) = 6
(∀x ≥ 100) 5 − 2
x< f(x) < 5 +
1
x=⇒ lim
x→+∞f(x) = 5
(∀x ≥ 1000) x − 2
x< f(x) =⇒ lim
n→+∞un = +∞
(∀x ≥ 10) f(x) <−x2 + 1
x + 2=⇒ lim
x→+∞f(x) = −∞
4.2.3 Par composition
Soient f : Df → R et g : Dg → R.Soient A ⊂ Df et B ⊂ Dg avec
f(A) ⊂ B.
Soient enfin a ∈ A′, b ∈ B′ et L ∈ R.On a alors
limx→a,x∈A
f(x) = b et limx→b,x∈B
g(x) = L =⇒ limx→a,x∈A
g ◦ f(x) = L
Que l’on ecrit sous la forme
limX→ lim
y→a,y∈Af(y), X ∈ B
g(X) = limx→a,x∈A
g(f(x)
Exemple
On se propose de calculer
limX→1,X 6=1
ln(X)
X2 − 1
Posons
g(X) =ln(X)
X2 − 1et X = f(x) = x + 1.
On a alors, avec les memes notations,
B =]0, 1[∪]1, 2[, b = 1, a = 0, et A = f−1(B) =] − 1, 0[∪]0, 1[.
La formule ci-dessus donne alors
limX→1,X 6=1
ln(X)
X2 − 1= lim
X→1,X∈Bg(X) = lim
x→0,x∈Ag(f(x)) = lim
x→0,x∈A
ln(1 + x)
x(x + 1)=
1
2.
32
Remarque Importante
Sans la condition f(A) ⊂ B , la composition des limites ne marche pas.
Exemple
Soient f et g les applications reelles definies par :
f : x 7→{
1 si x 6= 0
0 si x = 0.et g : x 7→
{
2 si x 6= 1
3 si x = 1
PrenonsA = R \ {0}, B = R \ {1}, a = 0, et b = 1.
On a alors
limx→0,x 6=0
f(x) = 1,
limx→1,x 6=1
g(x) = 2,
et
g ◦ f : x 7→{
3 si x 6= 0
2 si x = 0
donc
limx→0,x 6=0
g ◦ f(x) = 3 6= 2
En effet
f(A) = {1} 6⊂ B.
4.2.4 En utilisant le theoreme des accroissements finis
On y pense surtout lorsque la limite a calculer se presente sous l’une des formes suivantes
limx→∞
(F (x + 1) − F (x))
On remplace alors F (x + 1) − F (x) par F ′(c).On calcule ensuite la limite quand c tend vers ∞.Exemple
limx→+∞
((x + 1)1+ 1
x+1 − x1+ 1
x ) =
limx→+∞
(F (x + 1) − F (x)) = limx→+∞
F ′(c).
avec F (x) = x1+ 1
x = e(1+ 1
x) ln(x), et x < c < x + 1.
33
Donc
F ′(c) = (1
c+
1
c2(1 − ln(c))c1+ 1
c ) = (1 +1
c(1 − ln(c))c
1
c
Finalement, remarquons que lorsque x → +∞, c → +∞, d’ou
limx→+∞
((x + 1)1+ 1
x+1 − x1+ 1
x ) = limc→+∞
(1 +1
c(1 − ln(c))c
1
c = 1
ou
limx→a
(F (x) − F (a)).
On remplace alors F (x) − F (a) par (x − a)F ′(c) avec a < c < x.on calcule ensuite la limite quand c tend vers a.Remarque
Pour certaines limites difficiles a calculer par les methodes ci-dessus, L’utilisation desdeveloppements limites est necessaire.
Exemple
limx→0,x 6=0
(1
x3− 1
sin3(x).
4.2.5 Comment montrer que la limite d’une fonction existe sans calcul
Comme pour les suites reelles, si l’on montrer qu’une suite est de Cauchy, alors elleconverge. De la meme facon, pour montrer que lim
x→a,x∈Af(x) ∈ R, il suffit d’utiliser le critere
de Cauchy :
limx→a,x∈A
f(x) ∈ R ⇐⇒ (∀ǫ > 0) (∃U ∈ V(a)) : (∀(x, y) ∈ U) |f(x) − f(y)| < ǫ
Ce critere est a retenir, vu qu’il est aussi valable pour les integrales generalisees (S2), lessuites et series de fonctions (S3) .
4.3 Comment montrer que la limite d’une fonction en un point
n’existe pas
4.3.1 La limite a droite est differente de La limite a gauche
Exemple
f : x 7→
x + 4 si x < 0
0 si x = 0
x2 + 3x − 7 si x > 0.
On a
34
limx→0,x<0
f(x) = 4
et
limx→0,x>0
f(x) = −7
donc
limx→0,x 6=0
f(x) n’existe pas
4.3.2 Par la caracterisation sequentielle de la limite
C’est une condition necessaire et suffisante qui lie la limite d’une fonction a la limite d’unesuite.
Elle s’enonce ainsi :f(x) tend vers L quand x tend vers a suivant A, si et seulement si pour toute suite
d’elements de A qui converge vers a, la suite f(xn) des images converge vers L.Elle se traduit par :
limx→a,x∈A
= L ⇐⇒ (∀(xn) ∈ AN) : limn→+∞
xn = a limn→+∞
f(xn) = L
On en deduit que
(∃(xn) ∈ AN) : limn→+∞
xn = a et limn→+∞
f(xn) n’existe pas =⇒ limx→a,x∈A
f(x) n’existe pas non plus
Exemple
f : x 7→{
cos( 1x) si x 6= 0
0 si x = 0.
Prenons xn = 1nπ
.D’une part,
limn→+∞
xn = 0
et de l’autre
limn→+∞
f(xn) = limn→+∞
(−1)n qui n’existe pas
Il s’en suit que
limx→0
cos(1
x) n’existe pas
et que
35
(∃((xn), (yn)) ∈ (AN)2) : limn→+∞
xn = limn→+∞
yn = a et limn→+∞
f(xn) 6= limn→+∞
f(yn)
=⇒ limx→a,x∈A
f(x) n’existe pas
Exemple
f : x 7→{
sin( 1x) si x 6= 0
0 si x = 0.
Prenons xn = 1nπ
et yn = 1π
2+2nπ
D’une part,lim
n→+∞xn = lim
n→+∞yn = 0
et de l’autrelim
n→+∞f(xn) = 0
tandis que
limn→+∞
f(yn) = 1
Il s’en suit que
limx→0
sin(1
x) n’existe pas
36
Chapitre 5
La continuite des fonctions reelles
5.1 Comment etudier la continuite d’une fonction
En fait, l’etude de la continuite et de la derivabilite d’une fonction en un point, revient acalculer une limite.
5.1.1 Continuite d’une fonction bien connue
On se sert des regles suivantes :Les polynomes sont continues sur R. Les Fractions rationnelles sont continues sur leurs
domaines de definition . x 7→ √x est continue sur R+. x 7→ ln(x) est continue sur R∗+. x 7→ ex
est continue sur R. x 7→ cos(x) et x 7→ sin(x) sont continues sur R. x 7→ arccos(x) et x 7→arcsin(x) sont continues sur [−1, 1]. x 7→ tg(x) est continue sur R\{π
2+ kπ}. x 7→ arctg(x)
est continue sur R. La somme de deux fonctions continues est continue. Le produit de deuxfonctions continues est continue. La composee de deux fonctions continues est continue.
5.1.2 Continuite d’une fonction definie par morceaux
Si a est un point de Df tel que f(a) soit define separement.Pour etudier la continuite de f au point a, il faut calculer limx→a,x 6=a f(x).Si cette limite existe et est egale a f(a), alors f est continue en a, sinon, si cette limite
n’existe pas ou est differente de f(a), alors f n’est pas continue en a.
5.1.3 Comment montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point a.
Soit f une fonction reelle et a ∈ Df .
1. On montre que limx→a,x 6=a
f(x) 6= f(a). f est alors discontinue au point a.
Exemple Soit f : R → R definie par
f : x 7→{
sin(x)x
si x 6= 0
2 si x = 0.
On a
37
limx→0,x 6=0
f(x) = 1 6= f(0) =⇒ f n’est pas continue en 0.
—————————————————————————————
2. On montre que limx→a,x<a
6= f(a). f est alors discontinue a gauche du point a.
Exemple
Soit f : R → R definie par
f : x 7→
ex−1x
si x < 0
2 si x = 0
3x2 + 5x + 2 si x > 0
On a
limx→0,x<0
f(x) = 1 6= f(0) =⇒ f n’est pas continue a gauche de 0
=⇒ f n’est pas continue en 0.
Alors que
limx→0,x>0
f(x) = 2 = f(0) =⇒ f est continue a droite de 0.
——————————————————————————————-
3. On montre que limx→a,x>a 6= f(a). f est alors discontinue a droite du point a.
Exemple
Soit f : R → R definie par
f : x 7→
ln(x+1)x
si x < 0
1 si x = 0
x2 + 2 si x > 0
On a
limx→0,x>0
f(x) = 2 6= f(0) =⇒ f n’est pas continue a droite de 0
=⇒ f n’est pas continue en 0.
Alors que
limx→0,x<0
f(x) = 1 = f(0) =⇒ f est continue a gauche de 0.
——————————————————————————————
38
0,8
y
0,6
1
0,5
0,40
-0,5
0,2
-1
x
1
Figure 5.1 – Cette fonction paire n’a pas de limite en 0.
4. On presente une suite (xn) ∈ (Df \ {a})N telle que
limn→+∞
xn = a et limn→+∞
f(xn) 6= f(a)
Exemple
f : x 7→{
cos( 1x) si x 6= 0
1 si x = 0.
Si l’on pose xn = 1nπ
, on aura f(xn) = (−1)n puis
limn→+∞
xn = 0 et limn→+∞
f(xn) n’existe pas
=⇒ limx→+∞
cos(x) n’existe pas.
f n’est donc pas continue en 0( Voir Figure .
————————————————————————————————
5. On presente deux suites (xn) et (yn) ∈ (Df \ {a})N telles que
limn→+∞
xn = limn→+∞
yn = a et limn→+∞
f(xn) 6= limn→+∞
f(yn)
Exemple
f : x 7→{
cos( 1x2 ) si x 6= 0
1 si x = 0.
39
Si l’on pose xn = 1√2nπ
et , yn = 1√(2n+1)π
.
on aura d’une part
limn→+∞
xn = limn→+∞
yn = 0,
et
(∀n > 0) f(xn) = 1 et f(yn) = −1
Puis d’autre part,
limn→+∞
f(xn) 6= limn→+∞
f(yn)
Et par consequent,
=⇒ limx→0,x 6=0
cos(1
x2) n’existe pas.
5.2 Continuite uniforme
5.2.1 Comment Montrer qu’une fonction est uniformement continue
La continuite uniforme est une propriete GLOBALE, en ce sens que, lorsque l’on dit :uniformement continue, IL FAUT preciser ou ? sur quel ensemble ?Passer par la definition de la continuite uniforme, est en general difficile. On a recours
aux regles suivantes
f continue sur le segment compact [a, b] =⇒ f est uniformement continue sur [a, b].
Cette implication est aussi connue sous le nom du theoreme de Heine. Ce theoreme est ala base de l’integrabilite des fonctions continues sur un compact [a, b].
On peut aussi profiter des conditions suffisantes
Si f est derivable sur I alors f est Lipschitzienne sur I ⇐⇒ f ′ est bornee sur I.
et
f Lipschitzienne sur A =⇒ f est uniformement continue sur A.
ou des conditions necessaires
f est uniformement continue sur A et (xn) ∈ AN de Cauchy =⇒ (f(xn)) de Cauchy .
40
5.2.2 Comment Montrer qu’une fonction n’est pas uniformement continue sur
A
Il y a, en gros, trois methodes :
1. On presente une suite
(un) ∈ AN de Cauchy telle que (f(un)) ne soit pas de Cauchy
Exemple
Pour montrer que la fonction f : x 7→ 1x
n’est pas uniformement continue sur ]0, 1], il
suffit de considerer la suite (xn) definie par xn = 1n+1
.
(xn) est une suite d’elements de ]0, 1] qui converge vers 0. C’est donc une suite deCauchy.
Mais f(xn) = n + 1, dons la suite (f(xn) n’est pas de Cauchy, vu qu’elle diverge.
On en deduit que f n’est pas uniformement continue sue ]0, 1].
2. On presente deux suites
(un) et (vn) telles que : limn→+∞
(un − vn) = 0 et limn→+∞
(f(un) − f(vn)) 6= 0
Exemple
Soit f la fonction definie de R+ vers R+ par (∀x ∈ R) f(x) = x2.
Prenons
xn = n et yn = n +1
n.
(xn) et (yn) sont des suites d’elements de R+.
D’une part,
f(yn) − f(xn) = (n +1
n)2 − n2 = 2 +
1
n2
De l’autre, On a
limn→+∞
(yn − xn) = limn→+∞
1
n= 0
et
limn→+∞
(f(yn) − f(xn)) = limn→+∞
(2 +1
n2) = 2 6= 0
On en deduit que x : 7→ x2 n’est pas uniformement continue sur [0, +∞[.
3. On peut aussi appliquer la regele ci-apres, du prolongement d’une fonction uniformementcontinue sur un intervalle BORNE.
Soient a et b deux reels tels que :a < b.
f uniformement continue sur ]a, b] =⇒ limx→a+
f(x) ∈ R.
41
Exemple
Soit f la fonction definie de ]0, 1] vers R par (∀x ∈ R) f(x) = 1x.
Il suffit de remarquer que
limx→0+
f(x) = +∞
f n’est donc pas prolongeable par continuite a droite de 0.
On en deduit que x : 7→ 1x
n’est pas uniformement continue sur ]0, 1].
42
Chapitre 6
La derivabilite des fonctions reelles
6.1 Comment etudier la derivabilite d’une fonction
L’etude de la derivabilite est en fait basee sur le calcul d’une limite.
6.1.1 Derivabilite d’une fonction bien connue
On se sert des regles suivantes :
Les polynomes sont derivables sur R. Les Fractions rationnelles sont derivables sur leursdomaines de definition . x 7→ √
x est derivable sur R∗+. x 7→ ln(x) est derivable sur R∗+.x 7→ ex est derivable sur R. x 7→ cos(x) et x 7→ sin(x) sont derivables sur R. x 7→ arccos(x)et x 7→ arcsin(x) sont derivables sur ] − 1, 1[. x 7→ tg(x) est derivable sur R\{π
2+ kπ}.
x 7→ arctg(x) est derivable sur R. La somme de deux fonctions derivables est derivable. Leproduit de deux fonctions derivables est derivable. La composee de deux fonctions derivablesest derivable.
f derivable en a et g derivable en f(a) =⇒ gof est derivable en a
et de plus
(gof)′(a) = g′(f(a)).f ′(a)
Exemple
Si
f(x) = sin(x)
et
g(x) = ex+ln(1+x2)
Alors
(gof)′(x) =(
1 +2 sin(x)
1 + sin2(x)
)
esin(x)+ln(1+sin2(x)) cos(x).
43
6.1.2 Derivabilite d’une fonction definie par morceaux
Si a est un point de Df tel que f(a) soit define separement.
Pour etudier la derivabilite de f au point a, il faut calculer limx→a,x 6=af(x)−f(a)
x−a.
Si cette limite existe et est egale a L ∈ R, alors f est derivable en a et f ′(a) = L, sinon,si cette limite est infinie ou n’existe , alors f n’est pas derivable en a.
Pour que f soit derivable en a, il faut qu’elle soit derivable a droite et a gauche de a etque
limx→a,x<a
f(x) − f(a)
x − a= lim
x→a,x>a
f(x) − f(a)
x − a.
6.1.3 Derivabilite de la fonction reciproquef−1.
Soient I et J deux intervalles de R et f une bijection continue de I SUR J .Soit y0 ∈ J et x0 ∈ I : f(x0) = y0.
f derivable en x0 et f ′(x0) 6= 0 =⇒ f−1 est derivable en y0
et
f−1(y0) =1
f ′(x0)=
1
f ′(f−1(y0).
Exemple
Prenons f : x 7→ cos(x).f est continue et strictement croissante sur [0, π].f est une bijection de [0, π] sur [−1, 1].f est derivables sur [0, π] et ∀x ∈]0, π[f ′(x) = − sin(x) 6= 0.Or
f(]0, π[) =] − 1, 1[
Donc f−1 = arccos est derivable sur ] − 1, 1[ et
(∀y ∈] − 1, 1[) (f−1)′(y) =1
− sin(arccos(y))
=−1
√
1 − cos2(arccos(y))=
−1√
1 − y2.
6.2 Comment etudier les variations d’une fonction
6.2.1 En etudiant le signe du taux d’accroissement
Soit f une fonction reelle et A une partie de son domaine de definition.
(∀(x, y) ∈ A2) : x 6= yf(x) − f(y)
x − y≥ 0 ⇐⇒ f est croissante sur A
44
(∀(x, y) ∈ A2) : x 6= yf(x) − f(y)
x − y> 0 ⇐⇒ f est strictement croissante sur A
(∀(x, y) ∈ A2) : x 6= yf(x) − f(y)
x − y≤ 0 ⇐⇒ f est decroissante sur A
(∀(x, y) ∈ A2) : x 6= yf(x) − f(y)
x − y< 0 ⇐⇒ f est strictement decroissante sur A
(∀(x, y) ∈ A2) : x 6= yf(x) − f(y)
x − y= 0 ⇐⇒ f est constante A
Cependant, a notre niveau, on utilisera plutot les regles qui font appel a la derivee. Cettefois-ci, on remplace A
par un intervalle I ⊂ Df .
6.2.2 En etudiant le signe de la derivee
Soit f une application derivable sur un INTERVALLE I.
(∀x ∈ I) f ′(x) ≥ 0 =⇒ f est croissante sur I
(∀x ∈ I) f ′(x) > 0 =⇒ f est strictement croissante sur I
(∀x ∈ I) f ′(x) ≤ 0 =⇒ f est decroissante sur I
(∀x ∈ I) f ′(x) < 0 =⇒ f est strictement decroissante sur I
(∀x ∈ I) f ′(x) = 0 ⇐⇒ f est constante sur I
Remarque
Si I n’est pas un intervalle, les regles ci-dessus ne s’appliquent plus.prenons l’exemple suivantf est la fonction definie sur R par
(∀x ∈ R) f(x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = 1 si x > 0
Bien evidemment, avec I = [−2,−1] ∪ [1, 2], on a
(∀x ∈ I) f ′(x) = 0 mais f n’est pas constante sur I.
En fin, rappelons la regle fondamentale suivante :———————————————————————————————–
45
0,60,40,20
1
x
0,8
0,6
1
0,4
0,80
0,2
Figure 6.1 – f ′ > 0 sur ]0, 1] mais f non croissante sur [0,1]
f continue sur [a, b] et (∀x ∈]a, b[) f ′(x) > 0 =⇒ f est strictement croissante sur [a, b]
———————————————————————————————–La continuite est necessaire. Examinons l’exemple suivant
f : x 7→{
x si x ∈]0, 1]12
si x = 0.
On a
(∀x ∈]0, 1[) f ′(x) = 1 > 0 mais f n’est pas croissante sur [0, 1]
6.3 Resolution d’equations
N’oublions pas que c’est quand meme, avec les equations differentielles, le but principalde l’analyse reelle.
6.3.1 Comment montrer que l’equation f(x) = 0 admet au moins une solution
dans ]a, b[
Il suffit de verifier que les conditions du theoreme des valeurs intermediaires, sont rem-plies :
f est continue sur [a, b] et f(a)f(b) < 0 =⇒ (∃c ∈]a, b[) : f(c) = 0
46
1
0,6
0,5
00,4
-0,5
-1
0,20
x
10,8
Figure 6.2 – L’equation x7 + x − 1 = 0 admet une seule solution sur [0, 1]
Exemple
On se propose de montrer que l’equation x7 + x − 1 = 0 admet au moins une solutiondans l’intervalle ]0, 1[.
Voici comment repondre a cette question :
Soit f la fonction definie de [0, 1] vers R par f(x) = x7 + x − 1.
f est continue sur [0, 1] car c’est une fonction polynomiale.
De plus f(0)f(1) = −1 < 0.D’apres le theoreme des valeurs intermediaires, l’equation f(x) = 0, admet au moins une
solution dans [0, 1].
6.3.2 Comment montrer que l’equation f(x) = 0 admet une seule solution dans
[a, b]
Avec le theoreme des valeurs intermediaires, on verifie d’abord que l’equation f(x) = 0admet au moins une solution dans [a, b].
Pour l’unicite de cette solution,
Premiere methodeOn montre que f est strictement monotone sur [a, b]. f sera alors injective et la solution
sera unique.
Exemple
47
On se propose de montrer que l’equation x7 + x − 1 = 0 admet une seule solution dansl’intervalle ]0, 1[.
Voici comment repondre a cette question :f est derivable sur ]0, 1[ et f ′(x) = 7x6 +1 > 0 donc f est strictement croissante sur ]0, 1[.Par suite
(∃ ! c ∈]0, 1[) : f(c) = 0.
Deuxieme methodeOn suppose que l’equation admet deux solutions c1 et c2, et l’on fait appel au theoreme
de Rolle.On montre que la derivee f ′ ne s’annule pas sur ]a, b[.f est derivable sur ]0, 1[ et (∀x ∈]0, 1[) f ′(x) = 7x6 + 1 6= 0 doncl’equation f ′(x) = 0 n’a pas de solution dans ]0, 1[.
Par suite(∃ ! c ∈]0, 1[) : f(c) = 0.
6.3.3 Comment montrer que l’equation f(x) = 0 admet au plus n solutions dans
[a, b]
On raisonne par l’absurde, et l’on suppose que l’equation f(x) = 0 admet n+1 solutions.
Il reste alors a s’assurer que l’equation f ′(x) = 0 n’a pas n solutions.
Exemple
On voudrait montrer que l’equation x4 + 4x − 2 = 0 admet au plus deux solutions dans[0, 1].
Le TVI assure qu’au moins une solution existe.
Supposons que cette equation admette trois solutions dans [0, 1]. Ceci impliquerait, via letheoreme de Rolle,
que l’equation f ′(x) = 0 a deux solutions. Or
(∀x ∈ [0, 1]) f ′(x) = 4(x3 + 1) = 4(x + 1)(x2 − x + 1).
On verifie aisement que l’equation f ′(x) = 0 admet une seule solution x = −1.
6.3.4 Exemple de resolution numerique
Pour trouver une valeur approchee de√
2, on resoud l’equation f(x) = x2 − 2 = 0.
Le TVI assure l’existence d’une solution entre 1 et 2.Le theoreme de la bijection assure l’unicite de cette solution.
48
Pour approcher la solution, On ecrit l’equation f(x) = 0 sous une forme equivalente,
x = x − x2 − 2
2x= g(x) = x − f(x)
f ′(x).
On construit alors la suite recurrente (un) par
u0 = 1 et (∀n ∈ N) un+1 = g(un).
On calcule respectivement u1, u2, u3... et de plus en plus on s’approche de√
2.
On trouve ainsi
u1 = 1.5
u2 = 1.4166
u3 = 1.414215
u4 = 1.414213
On s’approche de plus en plus de la valeur
√2 = 1.4142135623730950..........................................................................
Cette approche porte le nom de la methode de Newton-Raphson.
49