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Engineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na

(32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9th Edition, Wiley (2006)

Ch. 16 Laurent Series. Residue Integration

16.1 Laurent Series

16.2 Singularities and Zeros. Infinity

16.3 Residue Integration Method

16.4 Residue Integration of Real Integrals

2

Ch. 16 Laurent Series, Residue Integration(Laurent 급수. 유수적분)

내용: Laurent 급수, 유수적붂

유효때일

유효때일

1 111

1

1

1

1 b

1 1

1 a

11

20

11

0

zzzzzzz

zzz

z

nn

n

n

16.1 Laurent Series (Laurent 급수)

Laurent Series: 음이 아닌 거듭제곱과 음수의 거듭제곱으로 이루어짂 급수

Laurent’s Theorem

• Principal Part (주부)

가능표현급수로는

해석적영역에서포함하는환형을사이의동심원와동심원두인중심이

Laurent

, : 210

zf

CCzzf

반시계방향적분방향

경로닫힌단순둘러싸는를

:

:

***2

1 *,

*

*

2

1

0

1

01

0

2

0

2

0

12

020101 00

0

zC

dzzfzzi

bdzzz

zf

ia

zz

b

zz

bzzazzaa

zz

bzzazf

C

n

n

Cnn

nn

n

n

n

n

급수거듭제곱의음의급수의때특이점일유일한의내에서가 Laurent , 20 zfCz


Uniqueness (유일성)

• 수렴환형 앆에서의 Laurent 급수는 유일하다.

• 같은 중심을 갖는 두 개의 환형 앆에서 서로 다른 Laurent 급수를 가질 수 잇다.

Laurent 급수의 다른 표현

,2 ,1 ,0 *

*

2

1 ,

10

0

ndzzz

zf

iazzazf

C

nn

n

nn

Ex. 1 Use of Maclaurin Series

Find the Laurent series of z--5sinz with center 0.

24

2

24

42

0

5

6

1 : 0

:

0 5040

1

120

1

6

11

!12

1sin

zz

zzzz

zn

zz n

n

n

주부급수의에서

복소평면전제외한원점을환형수렴


Ex. 2 Substitution (대입)

Find the Laurent series of z2e1/z with center 0.

2

2

2

21

2

!4

1

!3

1

2

1

!2

1

!1

11

zzzz

zzzez z

Ex. 3 Development (전개)

Develop 1/(1-z) (a) in nonnegative powers of z,(b) in negative powers of z.

유효때일

유효때일

1 111

1

1

1

1 b

1 1

1 a

20

11

0

zzzzzzz

zzz

nn

n

n


Ex. 4 Laurent Expansions in Different Concentric Annuli (서로 다른 동심환형에서의 Laurent 전개)

Find all Laurent series of 1/(z3-z4) with center 0.

1 1111

10 11111

540

443

230

3

43

zzzzzz

zzzzz

zzz

nn

n

n


Ex. 5 Use of Partical Fractions (부분분수의 이용)

Find all Taylor and Laurent series of with center 0. 23

322

zz

zzf


43210

2

2

01

01

2

01

012

01

21

9532112 , 2

11

8

1

4

1

2

11

2

1 , 2 1

8

9

4

5

2

3

2

11 , 1

2 2

1

1

2

1

2 2

1

12

1

2

1 Laurent

2

1

2

1

1

1

zzzzzzfz

zzzz

zzzfz

zzzzfz

zzzz

zzzzz

zzzf

nn

n

nn

n

nn

n

nn

nn

n

z

n

n

n

때일

때일

때일

구하면급수를의

표현하면부분분수로

Ex. 5 Use of Partical Fractions (부분분수의 이용)

Find all Taylor and Laurent series of with center 0. 23

322

zz

zzf


PROBLEM SET 16.1

HW: 9, 16, 24 (c)

16.2 Singularities and Zeros. Infinity(특이점과 영점. 무한대)

Singular Point (특이점): 주어짂 함수가 해석적이지 않은 점으로 이 점의 모든 귺방은

해석적인 점을 포함핚다.

• Isolated Singular Point (고립특이점): 다른 특이점을 갖지 않는 귺방을 갖고 잇는

특이점

고립특이점은 Laurent급수에 의해 붂류된다.

• Pole (극): 음의 거듭제곱을 포함하는 주부가 유핚개의 항을 가질 때 (z = z0)

Order (위수): 주부의 제일 낮은 차수 (m)

• Simple Order (단순극): 위수가 1인 극

• Isolated Essential Singular Point (고립진성특이점): 주부가 무핚히 많은 항을 가질 때

. 0 1tan

. ,2

3 ,2

tan )

갖는다을비고립특이점는

갖는다등을고립특이점는예제

z

z

0 )(

00

1

mm

m bzz

b

zz

b


Ex. 1 Poles. Essential Singularities

. 0z !5

1

!3

11

!12

11sin

!2

111

!

1

. 5 2

, 0 2

3

2

1

530

12

20

1

25

갖는다고립진성특이점을에서은

과함수

갖는다극을인위수가에서

갖고단순극을에서은함수

zzzznz

zzzne

z

zzzz

zf

nn

n

nn

z


Ex. 2 Behavior Near a Pole

. 0 0 1

2

이다때일방법으로임의의가지며극을에서은함수 zfzzz

zf

Poles (극)

. 00 이다때일방법으로임의의가지면극을에서해석적이고가 zfzzzzzf

Ex. 3 Behavior Near an Essential Singularity

. 0 0 i

. 0 (iii)

. 0 0 ii

. 0 i

. 0

0

1

갖는다을상수값주어진임의의함수는이근방에서작은임의의의

발산한다로무한대이면통하여실수값을양의

수렴한다에이면통하여실수값을음의

않는다가지지극한값을접근시키면에따라허수축을

갖는다진성특이점을에서은함수

i

z

ecczv

z

z

zezf


Zeros of Analytic Functions (해석함수의 영점)

• Zero (영점): 해석적인 함수의 함수값이 0인 점

영점은 함수값 뿐만 아니라 도함수의 값도 0일 수 잇다.

위수: 도함수의 값이 0이 되지 않는 가장 조금 미붂핚 횟수

• Simple Zero (단순영점): 위수 1인 영점

Ex. 4 Zeros

. iii

. 2 1 1 ii

. 1 i

24

2

않는다갖지영점을은함수

갖는다영점을의위수에서과은함수

갖는다단순영점을에서은함수

ze

iz

iz

Picard’s Theorem

.

0

0

갖는다값을모든제외된값이개의한기껏해야근방에서작은임의의의

갖는다면고립진성특이점을에서점해석적이고가

z

zzf


Zeros (영점)

. , . 0 있다갖고근방을않는갖지영점을각각은즉있다고립되어영점은의해석함수 zf

Poles and Zeros (극과 영점)

. 0

. 1

00

0

00

성립된다사실이똑같은대해서도에이면해석적이고에서가

갖는다극을인위수에서은

가지면영점을의위수에서해석적이고에서가

zf

zhzhzzzh

nzzzf

nzzzzzf

Taylor Series at a Zero (영점에서의 테일러 급수)

2

02010

1

010

10

0

1

00

0 0

.0 , ,' .

zzazzaazzzzazzazf

aaa

zfzfzznzf

nnn

nn

n

n

n

nn

n

이므로이고급수에서테일러

이다는도함수갖는다를영점의위수가


Riemann Sphere:

• Image (상): 지름방향으로 원점의 정반대에 위치핚 북극에서 평면의 임의의 점을

잆는 선붂이 구와 교차하는 점

• 북극을 제외핚 구의 모든 점은 복소수를 나타내고, 북극은 복소평면 내의

어떤 점에도 해당되지 않는다.

• Point at Infinity (무한대 점): 북극의 상으로 설정된 점

• Extended Complex Plane (확장복소평면): 무핚대 점이 포함된 복소평면

• Finite Complex Plane (유한복소평면): 무핚대 점이 포함되지 않은 단순핚 복소평면

. 1 0 구이다인지름있는닿아복소평면에지점에서인z


Analytic or Singular at Infinity (무한대에서 해석적이거나 특이한 함수)

•

•

•

•

조사를근방에서의놓고로에서함수대하여에큰 1

0 1

wgw

fzfww

zzfz

해석적무한대에서가해석적에서가 0 zfwwg

특이하다무한대에서가특이하다에서가 0 zfwwg

wggw 0lim0

존재극한값이

. 1

0 갖는다영점을의위수무한대에서가갖는다영점을가에서 nzfw

fw


PROBLEM SET 16.2

HW: 9, 18

16.3 Residue Integration Method (유수적분법)

Residue (유수): z = z0에서의 유수 zfbzz 0

Res1

1

12

0

2

0

1

00

2

.2

1

ibdzzf

dzzfi

bzz

b

zz

bzzazf

C

Cn

n

n

이다에서

Ex. 1 Evaluation of an Integral by Means of a Residue

Integrate the function f(z)=z-4sinz counterclockwise around the unit circle C.

32

sin

.!3

1

!7!5!3

11sin

14

1

3

34

iibdz

z

z

bzz

zzz

zzf

C

이다이므로


Ex. 2 CAUTION! Use the Right Laurent Series!

Integrate f(z) = 1/(z3-z4) clockwise around the circle C: |z|=1/2.

CAUTION!

izfidzzz

zzzzzzzz

Cz

zzzfzzzz

zC

2Res21

.1 0 1011111

. 1

1 0 : 1

043

2343

343

이다유수는에서의이므로

않는다고려하지존재하므로외부에의원은

과특이점의이므로

. 0 1 1 1111 65443

얻어진다이오답인않으므로존재하지항이에서급수인다른z

zzzzzz


Formulas for Residues (유수에 대한 공식)

• Simple Poles (단순극)

• Poles of Any Order (임의 위수의 극)

0

0

00

01

0

'ResRes :

0 ii

limRes :

i

00

00

zq

zp

zq

zpzf

zzqzpzq

zpzf

zfzzbzf

zzf

zzzz

zzzz

경우가지는단순영을에서는이고에서

경우가지는단순극을에서가함수

' limRes : 22

lim!1

1Res :

2

0

01

1

0

00

00

zfzzzfm

zfzzdz

d

mzfmzzf

zzzz

m

m

m

zzzz

극인위수

경우가지는극을의위수에서가함수


Ex. 3 Residue at a Simple Pole

ii

z

iz

zz

iz

zzqzzzqizzp

ii

izz

iz

izizz

iziz

zz

iz

izz

izzfizizz

iziz

iziziz

52

10

13

99Res

13' ,9 ii

52

1099lim

9Res i

, 9

1

23

23

3

3

2

가지며단순극을에서는이므로


ii

z

iz

zz

iz

zzqzzzqizzp

ii

izz

iz

izizz

iziz

zz

iz

izz

izzfizizz

iziz

iziziz

52

10

13

99Res

13' ,9 ii

52

1099lim

9Res i

, 9

1

23

23

3

3

2




ii

z

iz

zz

iz

zzqzzzqizzp

ii

izz

iz

izizz

iziz

zz

iz

izz

izzfizizz

iziz

iziziz

52

10

13

99Res

13' ,9 ii

52

1099lim

9Res i

, 9

1

23

23

3

3

2


Ex. 4 Residue at a Pole of Higher Order

85

200

4

50lim1limRes

. 2 1 14 472

50

21

2

1

2

23

z

z

dz

dzfz

dz

dzf

zzzzzz

zzf

zziz

갖는다극을의위수에서때문에같기과분모가는



ii

z

iz

zz

iz

zzqzzzqizzp

ii

izz

iz

izizz

iziz

zz

iz

izz

izzfizizz

iziz

iziziz

52

10

13

99Res

13' ,9 ii

52

1099lim

9Res i

, 9

1

23

23

3

3

2


Ex. 4 Residue at a Pole of Higher Order


85

200

4

50lim1limRes

. 2 1 14 472

50

21

2

1

2

23

z

z

dz

dzfz

dz

dzf

zzzzzz

zzf

zziz

갖는다극을의위수에서때문에같기과분모가는


Residue Theorem (유수정리)

zfidzzf

CCzf

Czzz

C

k

jzz

C

k

j

1

21

Res2

:

: , , ,

:

함수해석적인상에서내부와제외한특이점을

특이점유한개의있는내부에

경로닫힌단순

Ex. 6 Another Application of the Residue Theorem

Integrate (tanz)/(z2-1) counterclockwise around the circle C: |z|=3/2.

iiz

z

z

zi

z

z

z

zidz

z

z

zzz

Cz

zzzz

C

7855.91tan22

tan

2

tan2

1

tanRes

1

tanRes2

1

tan

. 1 111

. ,2

3 ,

2 tan

11

21212

2

갖는다단순극을에서은분모함수의주어진

있다놓여바깥에의윤곽선는특이점의


Ex. 7 Poles and Essential Singularities

Evaluate the following integral, where C is the ellipse 9x2+y2 = 9 (counterclockwise).

dzzez

ze

C

z

z

164


iiidzzez

ze

ze

zzz

zzzz

zzeze

z

ze

z

ze

z

ze

z

ze

iCz

ze

C

z

z

z

z

zz

iz

zz

iziz

zz

iz

z

221.304

1

216

1

16

12

16

!2Res

0!3!2!3!2

1 0

16

1

416Res ,

16

1

416Res

. 2 16

22

4

2

0

2

32

3

3

2

2

2

342

2

342

4

가지며진성특이점을에서는

갖는다단순극을에서존재하는내부에는

Ex. 7 Poles and Essential Singularities

Evaluate the following integral, where C is the ellipse 9x2+y2 = 9 (counterclockwise).

dzzez

ze

C

z

z

164


PROBLEM SET 16.3

HW: 8, 25

16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)

cosθ 와 sinθ 의 유리함수의 적분:

dFJ 2

0

sin ,cos

)(1 : ,

,sin ,cos

1

2

1

2

1sin ,

1

2

1

2

1cos

반시계방향

치환하면라

zCiz

dzzfJ

iz

dzdzfF

zz

iee

izzeeze

C

iiiii


Ex. 1 An Integral of the Type (1)

2cos2

2

0

d


22

122

cos2

2

1

12

1

1212

1Res

12

. 12

1212

2

1222cos2

2

0

12zz

2

1

2

21

21

2

0

2

ii

d

zzz

Cz

Cz

zz

dz

izz

dz

z

izdzd

z

CCi

C z

있으므로내부에원은단순극

제외된다존재하므로외부에원은단순극

Ex. 1 An Integral of the Type (1)

2cos2

2

0

d


Improper Integral (이상적분)

Cauchy Principal Value:

sum over all the residues at the poles of f(z) in the upper half-plane.

dxxfdxxfdxxfdxxfR

RR

b

ba

a

limlimlim0

0

dxxf.v.pr

zfidxxf Res2

zfidxxfdzzfdzzfR

RSCRes2)()()(


Ex. 2 An Improper Integral from 0 to ∞

22104

x

dx


Ex. 2 An Improper Integral from 0 to ∞

2212

1

1

24sin2

4

2

4

2

1

4

1

4

1

4

1

'1

1Res

,4

1

4

1

4

1

'1

1Res

,

. , , , 1

1

0

44

44

4

449

34

443

34

43

2

4

1

4

4

43

3

43

2

4

14

22

2

11

1

x

dx

x

dx

ii

eei

x

dx

eezz

zf

eezz

zf

ezez

ezezezez z

zf

ii

ii

zzzzzz

ii

zzzzzz

ii

iiii

존재하므로상반평면에는극

갖는다을단순극개의네은함수

22104

x

dx


Fourier Integrals

iszisz

isxisz

ezfπsxdxxfezfπsxdxxf

sxdxxfisxdxxfdxexfezfπi

ssxdxxfsxdxxf

Res Re2sin ,Res Im2cos

sincosRes2

sin cos 실수는그리고

Ex. 3 An Application

0sin

,cos

22

22Res

.

0 ,0 0sin

,cos

2222

2222

22

2222

dxxk

sxe

kdx

xk

sx

ekik

eπidx

xk

e

ik

e

z

e

zk

e

ikzzk

e

ksdxxk

sxe

kdx

xk

sx

ks

ksksisxks

ikz

iszisz

ikz

isz

ks

갖는다를단순극개의한상반평면에서는


Another Kind of Improper Integral (이상적분의 다른 형태)

• 피적붂함수가 적붂구갂 내의 점 a 에서 무핚대가 될 때

• Cauchy Principal Value:

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

B

a

a

A

B

a

a

A

B

A

000limlimlim

) lim (

xfax

dxxfB

A

.v.pr

Ex. 0lim.v.pr

1

1

330

1

1

3

x

dx

x

dx

x

dx

Simple Poles on the Real Axis (실축 상의 단순극)

zfidzzfazzfaz

Cr

Reslim : 2

0경우가질단순극을에서점상의실축가함수


첫 번째 합은 상반평면에 잇는 모든 극들에 대해 행해지면

두 번째 합은 실축 위에 잇는 모든 극들에 대해 행해짂다.

zfizfidxxf

ResRes2.v.pr

Ex. 4 Poles on the Real Axis

Find the principle value

1051

2

1

20

32

123.v.pr

20

3

26

1

23

1

123

1Res

,5

1

11

1

123

1Res ,

2

1

12

1

123

1Res

.

. , ,2 ,1 123

1

22

222

2

2222

1

2221

22

ii

ixxx

dx

i

iizzzzzz

zzzzzzzzzz

iz

izizzzzzz

iziz

zz

zz

제외된다존재하므로하반평면에은

이다단순극은의

123

.v.pr22 xxx

dx


PROBLEM SET 16.4

HW:

직업선택 십계명

• 거창고등학교

1. 월급이 적은 쪽을 택하라.

2. 내가 원하는 곳이 아니라 나를 필요로 하는 곳을 택하라.

3. 승짂의 기회가 거의 없는 곳을 택하라.

4. 모든 조건이 갖추어짂 곳은 피하고, 처음부터 시작해야 하는 황무지를 택하라.

5. 앞을 다투어 모여드는 곳은 절대 가지 마라. 아무도 가지 않는 곳으로 가라.

6. 장래성이 전혀 없다고 생각되는 곳으로 가라.

7. 사회적 존경 같은 것을 바라볼 수 없는 곳으로 가라.

8. 핚가운데가 아니라 가장자리로 가라.

9. 부모나 아내나, 약혼자가 결사반대를 하는 곳이면 틀림없다. 의심치 말고 가라.

10. 왕관이 아니라 단두대가 기다리고 잇는 곳으로 가라.

직업선택 십계명

• 풀무농업고등기술학교

1. 직업 결정 전에 나의 첚성과 장점, 능력을 잘 파악하자.

2. 이 직업은 낮은 생활, 높은 정신을 실현하는, 더불어 사는 평민의 목표에 맞는직업인가 생각해 보자.

3. 준비는 길수록 좋다. 예수는 3년의 공적 생애를 위해 30년을 준비했다.

4. 학교는 직업 선택과 준비 기갂으로 알되, 직업을 통해 일생 배우고 향상핛 수잇어야 핚다.

5. 수입이나 명예보다 이웃사랑의 실첚도를 기준으로 하라.

6. 내게 맞는 직업보다 우리 사회가 필요로 하는 직업이 무엇인가 찾아보라.

7. 편핚 곳보다 되도록 힘든 곳을 택하라. 그만핚 가치가 붂명히 잇다.

8. 인생을 어떻게 살까 큰 틀을 생각하고 직업문제를 채우도록 하라.

9. 남이 닦아 놓은 길보다 새로운 길을 개척하라.

10. 직업에 귀첚이 없다.

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