1

Matemática

MATEMÁTICA

CONOCIMIENTOS

Resolución N.º 1

Sea la fracción irreductible N2

.

Nos piden el valor de N.

Por dato, tenemos:

N

N2136

2− = −

Desarrollamos

3 136

2NN

− = −

N(3N – 13)=– 12

N(13 – 3N)=12

Como N es divisor positivo de 12 e impar,

entonces, N=3.

∴ El numerador es 3

Resolución N.º 2

Piden: m

0 1 0 01 0 001 102, , ,( ) ⋅ ( ) ⋅ =− −m m

110

1100

11000

102

⋅

⋅ =− −m m

10 10 10 104 3m m⋅ ⋅ =−

10 10 10 1023

8

m m

⋅ ⋅ =−

10 1032

38 1

m−=

De la igualdad anterior se cumple que

32

38

1m − =

∴ m= 1112

Resolución N.º 3

Piden A : rea de la región equilátera.

22

2

22

22 2 2 2

2 2

En el gráfico mostrado, la región sombreada es

equilátera.

Por lo cual

A =2 2 3

4

2( )

∴ A =2 3 2m

R.D.USE 01-1910-89

2009

1980

Solucionario de Examen de Admisión2009-I

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

2

Matemática

Resolución N.º 4

Graficamos las funciones

� 2 10/3(0; 0)

(�2; 4)A

X

Y

103

203

;f x x( )= 2| |

g x( )= x3

+5

Para hallar los puntos donde las funciones

coinciden, resolvemos

f(x)=g(x)

|2x|= x2

+5 (*)

→ 2x=x2

+5 ∨ 2x=– x2

– 5

x=103

∨ x=– 2 estos valores verifican (*)

El área la determinamos matricialmente

4

0

10

3

20

3

10

3

20

3

–2

0A=1

2

entonces

A=12

403

403

− −

∴ A=403

Resolución N.º 5

Se tiene como dato:

C C Cn n

12

2 3 12+ + =

Recordamos

C1

2 2=

C

n nn2

12

= −( )

C

n n nn3

1 26

= −( ) −( )

Reemplazando obtenemos

21

21 26

12+ −( )+ −( ) −( )

=n n n n n

n n n n n−( )+ −( ) −( )

=12

1 26

10

Factorizando tenemos

n nn

−( )+ −[ ]=1

63 2 10

n n n−( ) +( )=1 1 60

(n – 1)n(n+1)=3×4×5

Comparando obtenemos que n=4

Nos piden calcular C C Cn62

68

28 8 7

228= = = × =

3

Matemática

Resolución N.º 6

Condición

12

12

12

sen cosθ θ+ = −

sen cos º cos sen ºθ θ45 45

22

+ = −

sen ;θ π θ π+

= − +

∈4

22 4

III o IVC

→ θ π π θ π π+

4= ∨ + =5

4 474

θ π θ π= ∨ = 32

→ CS= π π,32

∴ suma de soluciones es 52π

Resolución N.º 7

P

Q

8 cm

8 cm

10 cmM

x2

x2

6 cmr=6 cm

R

O37º

Piden QR=x

Por teorema en la circunferencia

QM MRx= =2

y QR ⊥ OP

OPQ notable de 37º y 53º

→ PQ= 8 cm

OPQ : relaciones métricas

(8 cm) ( 6 cm) = x2

10

( )cm

∴ x= 9,6 cm

Resolución N.º 8

Datos:

De (I)

y=kx (I)

x2+y2 – 6x – 2y+6=0 (II)

De (II)

x y−( ) + −( ) =3 1 22 2 2

E. de una circunferencia

(I) debe ser tangente a (II)

Geométricamente

13

un único puntode intercepto

y kx=X

Yy kx=

Nota

Dependiendo de k, existen dos posibilidades para un único

punto de intercepto.

Reemplazamos (I) en (II)

(k2+1)x2 – 2(k+3)x+6=0

Para que tenga un único punto de intercepto, el

discriminante de la ecuación anterior debe ser

cero.

Luego, ∆ = 0

[ – 2(k+3)]2 – 4(k2+1)6=0

reduciendo, obtenemos

5k2 – 6k – 3=0 (*)

Piden la suma de valores de k.

Por teorema de Cardano en (*)

∴ valores de =65

k∑

4

Matemática

Resolución N.º 9

4 3

4 3

3 3

60º60º

9

30º

3

9

primerhexágono

cuartohexágono

Sea:

A1: área limitada por el

primer hexágono

A4: área limitada por

el cuarto hexágono

Piden: A1 – A4

Dato: A1=320 m2

Por semejanza

A

A1

4

28 3

9=

→ A4 =135 m2

Luego

A1 – A4=320 m2 – 135 m2

∴ A1 – A4=185 m2

Resolución N.º 10

Dado el sistema

a x b y c

a x b y c1 1 1

2 2 2

+ =+ =

si aa

bb

1

2

1

2≠ el sistema tiene solución única y sus

soluciones están dadas por

xc b c ba b a b

= −−

1 2 2 1

1 2 2 1 ∧ y

a c a ca b a b

= −−

1 2 2 1

1 2 2 1

En el sistema

6 3 2

4 3

x a y

a x ay

+ +( ) = −

+( ) + =

xa a

a a aa

a a

=− − +( )− +( ) +( )

= − −

− + +

<

→

+( )

2 3 36 4 3

5 9

12

02

55 9 095

a a+ < < −; (α)

ya

a a aa

a a

= ( )− +( ) −( )− +( ) +( )

= +

− + +

+( )

6 3 4 26 4 3

26 2

122

<

→ + > > −

−( )

0

26 2 0 13a a; (β)

Intersecando (α) y (β)

− < < −13

95

a

valores enteros – 12; – 11; – 10; ...; – 3; – 2

∴ a a∈ − < ≤ −{ }Z 13 2

1

Física

Resolución N.º 1

Considerando el conductor (A) de sección transversal

A y el conductor (B) de longitud L, según los datos,

se tiene el siguiente gráfico.

AA A B C

2A

L4

L3L4

Entonces, de acuerdo a la ley de Poulliet, se tiene

R

LA

L

ALAA

A

A= =

=ρ ρ ρ4

4

RLA

LA

LAB

B

B= =

( )=ρ ρ ρ

2 2

R

LA

L

ALAC

C

C= =

=ρ ρ ρ

34 3

4

Como los conductores están conectados en serie,

la resistencia equivalente del sistema es

Req=RA+RB+RC

Req=ρ ρ ρL

ALA

LA4 2

34

+ +

∴ Req= 32ρLA

Resolución N.º 2

El bloque unido al resorte desarrolla un MAS.

Para el MAS, la frecuencia cíclica (ω) es

K

m

ω= Km

(I)

además

ω=2πf; (f: frecuencia) (II)

igualando (I) y (II) obtenemos

Km

=2πf

de donde

K=4π2f 2m

Reemplazamos los datos

K=4(3,14)2 (0,38)2×7

∴ K=39,8 N/m

Resolución N.º 3

Nos piden: densidad de la glicerina: "ρG"

1.er caso: Cuando está sumergida en el agua la

mitad del volumen está sumergido.

m gE

EH O2

H O2

vol=V

2

Física

Para el equilibrio mecánico

ΣF(↑)=ΣF(↓)

EH2O=mE g

ρ ρH O E2 2

gV

V g⋅ = ⋅( )

→ ρE =

ρH O22

(Ι)

2.o caso: Cuando se le sumerge en glicerina solo el 40% de su volumen está sumergido.

Veamos

m gE

EGglicerina

vol=V

Para el equilibrio mecánico

ΣF(↑)=ΣF(↓)

EG=mE g

ρ ρG V g V g

25

⋅ =( )E

ρ ρG = 52 E (II)

(I) en (II)

ρ

ρρ

G=

=5

254

H2OH2O2

∴ ρG

=1250 kg/m3

Resolución N.º 4

Nos piden la presión manométrica (Pman) al final.

Recordemos que

• Pman=Pabs – Patm (Pabs: presión absoluta)

• La ecuación general de los gases ideales se

trabaja con presiones absolutas.

En el problema

inicio final

aire aire

P

V

T

man(1)

13

1

=1,63 atm

=15 625 cm

=0 ºC = 273 K

P

V

T

man(2)

23

2

=?

=15 938 cm

=27 ºC = 300 K

Usando la ecuación de estado de los gases ideales

obtenemos

P V

T

P V

Tabs abs( ) ( )1 1

1

2 2

2=

P P V

T

P P V

Tman atm man atm( ) ( )1 1

1

2 2

2

+( )=

+( )

( , )( ) ( )1 63 1 15 625273

1 15 938

300+ =

+( )Pman(2)

∴ Pman(2)=1,83 atm

Resolución N.º 5

Nos piden Iind

Graficando lo que acontece tenemos

espira enmovimiento ( )Iind

Bind

Binductor

S

N

Sabemos que toda variación de flujo magnético en un circuito cerrado origina una fuerza electromotriz inducida y, en consecuencia, una corriente inducida.

3

Física

En el problema nos plantean que

ξind= ∆∆φm

t=0,4 Wb/s (I)

De acuerdo a la ley de Ohm

ξind

=Iind×R

0,4 =Iind×5

∴ Iind=0,08 A

Resolución N.º 6

Formando la imagen tenemos

L. convergente

20 cm

10 cm

Z.V.(–)M

O

a

b

F12 cm imagen

hi

Z.R.(+)

objeto F'

N

ILuego, como los triángulos sombreados son

semejantes, tenemos

10a

hbi= (α)

NMI ∼ OFI

20 12

a b b+=

→ 5b=3a+3b

b

a= 32

En (α): 10

32

ahai=

∴ hi=15 cmimagen real

Resolución N.º 7

Piden a.

De la segunda ley de Newton, sabemos que

a

Fm

R

=

aFR=0 2,

(I)

Analizando las fuerzas que actúan sobre el disco,

encontramos FR.

R

37º53º

Fg

Y

X

F1

F2

F2=10 N

F1=5 N

37º53º

FR

a

La reacción (R) se equilibra con la fuerza de

gravedad F g( ); en tal sentido, la fuerza resultante

FR

( ) queda definida por la suma vectorial de F

1

y F

2.

Del gráfico

F F FR

= +12

22

= +5 102 2

= 5 5 N

Finalmente, en (Ι)

a = 5 5

0 2,

∴ a = 25 5 2m/s

Resolución N.º 8

En toda onda se cumple que

vonda=λf; (longitud de onda; f: frecuencia) (I)

Para una onda electromagnética, como es la luz, en

el vacío; su rapidez es C=3×108 m/s.

4

Física

Entonces

C=vonda (II)

(I) en (II)

C=λf;

Reemplazando

3×108=λ5·1014

→ λ=6×10– 7 m

λ=6000×10–10 m; donde (10–10m=1 Aº )

∴ λ=6000 Aº

Resolución N.º 9

Piden λmín

Graficando lo que acontece en el efecto fotoeléctrico

tenemos

e–

e–

e–

e–

(Ec)

fotón Efotón=h f

luzfuente

donde

Efotón : es la energía de los fotones de la radiación

incidente.

EC : es la energía de los fotoelectrones.

φ : función trabajo.

De la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico

tenemos

E ECfot nó

= +φ

h

cEC× = +

λφ

despejamos

λ

φ=

+hcEC

De esta expresión se deduce que para que λ sea

máxima la EC tiene que ser mínima (EC=0), ya que

la φ está definida; entonces

λ

φmáx = = × ×−hc ( , )( )( , )

4 141 10 3 102 3

15 8

∴ λmáx=540 nm

Resolución N.º 10

B

vFMR

Como la velocidad es perpendicular al campo

magnético, entonces, el ion realizará un movimiento

circunferencial uniforme (MCU), donde la FM

sería

la fuerza centrípeta.

De la 2.a ley de Newton tenemos

Fcp=macp

qvB=mv

Rm

qBRv

2→ =

Reemplazamos datos

m= 4 10 0 02 0 4

2 10

6

6× × ×

×

− , ,

∴ m=1,6×10–14 kg

1

Química

Resolución N.º 1

El siguiente sistema en equilibrio es heterogéneo

3Fe(s)+4H2O(g) Fe2O3(s)+4H2(g)

No se consideran las sustancias sólidas debido a

que su concentración molar es constante; luego, la

constante de equilibrio, Kc, es

∴ Kc2

2

H

H O= [ ]

[ ]

4

4

Resolución N.º 2

Se tiene gas nitrógeno (N2) bajo las siguientes

condiciones:

V=8,2 L

PmTR=M =

=?=5,6 g=27 ºC<>300 K

0,082 atm-L/mol-K28 g/molN2

N2

ngN2

g

molmol= =

5 6

280 2

,

/,

Para calcular la presión absoluta del N2, usamos la

ecuación universal de los gases ideales.

PV=nRT

Reemplazamos valores y efectuando tenemos

P× = × ×8 2 0 2 0 082 300, , ,

∴ P=0,6 atm

Resolución N.º 3

Analicemos la estructura de cada compuesto químico y luego identifiquemos la función química a la que pertenece

CompuestoCaracterís-tica de su

composición

Función química

I. KClO3

Compuesto ió-nico formado por catión K1+ y anión ClO1 –

3 (oxoanión).

Sal oxisal(Clorato de

potasio)

II. HNO3

C o m p u e s t o covalente que contiene H, no metal (N) y oxí-geno.

Ácido oxácido(Ácido nítrico)

III. FeCl3

Compuesto ióni-co formado por catión Fe3+ (ion férrico) y anión Cl1 –(cloruro).

Sal haloidea(Cloruro férrico)

IV. HCl

C o m p u e s t o covalente for-mado por H y Cl (halógeno); es un halóge-nuro de hidró-geno en solu-ción acuosa.

Ácido hidrá-cido

(Ácido clorhí-drico)

Resolución N.º 4

En los alcanos y los halogenuros de alquilo, el tipo de carbono es de acuerdo al número de carbonos al cual va unido por enlaces simples.

Tipo de Carbono

Carbonos a los cuales va unido

Primario 1 carbono

Secundario 2 carbonos

Terciario 3 carbonos

Cuaternario 4 carbonos

2

Química

En el problema tenemos:

CH2 CH CH2 CH2 C CHCl CH3

CH2 CH2Cl CH3

CH3CH3 CH CH2Br

Carbonos terciarios ( ): 2Carbonos primarios (•): 6Carbonos secundarios ( ): 5

Resolución N.º 5

La solución descrita en el problema es

Na1+

OH1–

H O2

Vsol=1 L

mNaOH–6=40 g<>40×10 g

MNaOH=40 g/mol

nmM

g

gNaOH molmol= =

×=

−−40 10

4010

66

/

NaOHmolL

[ ]= = =−

−nV

M10

110

66

Por ser una base fuerte: [NaOH]=[OH –]=10 –6MpOH=– log(10 – 6)=6asumimos 25 ºC: pH+pOH=14

∴ pH=14 – 6=8

Resolución N.º 6

Analizando las alternativas tenemos:El monóxido de carbono (CO) es un gas incoloro, inodoro y muy tóxico que se produce en la combustión incompleta de diversas sustancias orgánicas. A elevadas concentraciones puede causar la muerte. Al ser respirado sustituye al oxígeno formando la carboxihemoglobina (COHb); así, la capacidad de la sangre para transportar oxígeno se ve reducida.

El ozono (O3) es un alotropo del oxígeno formado por 3 átomos. Es un gas de color azulado y tóxico.Este gas es muy oxidante; en concentración suficiente, puede provocar daños en la salud humana (a partir de unos 150 µg/m3).

Resolución N.º 7

Los números cuánticos del último electrón del

átomo son

n=3 =2(d) m=0 ms=– 1/2 (↓)

Entonces, la probable región de la zona extranuclear

donde se encuentra es

3 1 0 1 2d -2

↑↓ ↑↓−

↑↓ ↑+

↑+

último electrón

Además, la distribución electrónica del átomo

finaliza en 3d8.

La distribución electrónica completa será:

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d8

Por lo tanto:

# total de electrones= 28# total de protones (Z) = 28

átomoneutro

Resolución N.º 8

Por dato, sólo el 70% del SO2 se convertirá en H2SO4.

mSOtoneladas

díatoneladas

día216 70

10011 2= × = ,

En la reacción tenemos:

M=64 g/mol M=98 g/mol

2 22 2SO O H O 2H SO2 2 4 + + → 2 mol 2 mol 2(64 g) 2(64 g)

11 2,toneladas

día m=?

3

Química

m=× ×

×=

2 98 11 2

6417 15

gtoneladas

día2 g

toneladasdía

,,

∴ m=17 15,toneladas

día

Resolución N.º 9

En la siguiente reacción

KI+K2Cr2O7+H2SO4 → K2SO4+Cr2(SO4)3+I2+H2O

el ion sulfato (SO42 –) es un ion espectador.

El balance por el método redox lo realizaremos mediante el procedimiento directo.

2KI+K Cr O +H SO2 2 7 2 4 K SO SO2 4 42–+Cr ( ) +I +H O2 3

02 2

1– 6+ 3+

oxidación(– 2e)×3

reducción(+6e)×1

6KI+1K Cr O +7H SO2 2 7 2 4 4K SO SO2 4 4+1Cr ( ) +3I +7H O2 3 2 2

se determina por tanteo

La suma de coeficientes estequiométricos será

∴ 6+1+7+4+1+3+7=29

Resolución N.º 10

Diagrama de la electrólisis del agua

H O2

ánodocátodo

+–H2 O2

I A=1

t=1608 min60 s

min

+

= 96480 s

En el cátodo, el agua se reduce según:

2H2O()+2e – → H2(g)+2OH – (ac)

2F 1mol H2

2×96480C 2g H2

96480C mH2 mH2

=1 g

En el ánodo, el agua se oxida según:

2H2O() → O2(g)+4H+(ac)+4e –

1 mol O2 4F

32 g O2 4×96 480 C

mO2 96 480 C

∴ mO2=8 g

1

Biología

Resolución N.º 1

Los cilios y flagelos son estructuras utilizadas en

la locomoción celular. Presentan dos regiones: el

cuerpo basal y el axonema; el primero constituido

por nueve tripletes de microtúbulos y el segundo

por nueve dupletes más uno central, siendo las

proteínas llamadas tubulinas los monómeros de

los microtúbulos cuya modificación está asociada a

la locomoción que incluye gasto de ATP.

Resolución N.º 2

Los cloroplastos son organelas especializadas

en realizar la fotosíntesis que presentan doble

membrana. La membrana interna encierra un fluido

llamado estroma o matriz acuosa, lugar donde se

localizan las enzimas destinadas a capturar CO2, que

es la fuente de carbonos para la síntesis de glucosa

u otras moléculas orgánicas durante un conjunto de

eventos denominado ciclo de Calvin-Benson.

Resolución N.º 3

En los seres vivos, las relaciones intraespecíficas

incluyen a las asociaciones estatales o sociedades

que se da en los insectos sociales, como las

abejas que presentan integrantes como la reina,

obreras y zánganos que se pueden diferenciar

morfológicamente y funcionalmente para garantizar

el beneficio de todos los miembros.

Resolución N.º 4

Existen varios tipos de células en el tejido conectivo,

los cuales presentan diversas funciones. El mastocito

o célula cebada es aquella que sintetiza y almacena

histamina, una sustancia química que desencadena

reacciones alérgicas, broncoconstricción (cierre de

los bronquios), vasodilatación con la consiguiente

disminución de la presión arterial y, sobre todo, una

gran respuesta inflamatoria a nivel corporal.

Resolución N.º 5

En la zona de absorción de la raíz, el agua y los iones

minerales disueltos en ella pueden desplazarse por

el tejido aislante interno denominado endodermis,

que se caracteriza por el depósito de una banda

de lignina y suberina (banda de Caspary) que se

relaciona con los fenómenos de permeabilidad,

permitiendo la absorción de iones selectivamente al

cilindro central, regulando así el ingreso del agua.

Resolución N.º 6

Las hifas en los hongos pueden presentar tabiques

(septada, tabicada) o no presentarlos (cenocítica, no

tabicado). Los ficomicetos tienen hifas cenocíticas;

en cambio, los ascomicetos y los basidiomicetos

presentan hifas tabicadas (paredes celulares trans-

versales) que permiten el pasaje de citoplasma e

inclusive del núcleo.

Otros organismos parecidos a los hongos, como

los mixomicetos, que son mohos mucilaginosos

plasmodiales y son cenocíticos durante la etapa no

reproductiva. Asimismo, y los deuteromicetos son

hongos imperfectos, los cuales pertenecen a una

clasificación artificial.

Resolución N.º 7

Los cnidarios o celentéreos como las medusas e

hidras presentan unas células especializadas llama-

das cnidocitos que contienen nematocistos. Estos

nematocistos son estructuras urticopunzantes que

sirven para la captura de la presa y muchos son

penetrantes e inyectan una toxina a la presa.

2

Biología

Resolución N.º 8

En la vía olfatoria, el impulso nervioso sigue la siguiente secuencia: desde la mucosa olfatoria (techo de las fosas nasales) y pasando por el I par craneal, bulbo olfatorio, cintilla olfatoria, termina en la corteza

cerebral donde la olfación se hace consciente.

El I par craneal (axones de las protoneuronas de

Schultz), luego de atravesar la lámina cribosa del

hueso etmoides, hace sinapsis con la célula mitral

localizada en el bulbo olfatorio, para luego transmitir

el impulso nervioso hacia el cortex olfativo.

Resolución N.º 9

Los ganglios nerviosos son agrupaciones de somas

neuronales.

Los ganglios cefalorraquídeos del sistema nervioso

periférico, localizados en las raíces posteriores de

los nervios espinales y algunos nervios craneales,

están formados principalmente por los somas de

las neuronas sensitivas que permiten transmitir

al SNC informaciones generales captadas por los

receptores sensitivos.

Resolución N.º 10

Durante la radiación adaptativa, una especie

da origen a muchas especies nuevas en un tiempo

relativamente breve. Este proceso se lleva a cabo

cuando varias poblaciones de una sola especie

invaden diversos hábitats nuevos y se adaptan en

respuesta a las diferentes presiones ambientales

de esos hábitats. Un ejemplo lo constituye la

colonización de los pinzones de Darwin a las islas

Galápagos.

1

Lenguaje

Resolución N.º 1

Los verbos transitivos son aquellos cuya acción

verbal afecta a sustantivos, los cuales funcionan

como objeto directo. En El niño comió un pastel

de manzana, la acción de comer recae en "un

pastel de manzana".

Resolución N.º 2

El adverbio de modo indica la forma en que se

realiza la oración verbal. Así, la oración: Ella

contestó correctamente, el verbo tiene un

complemento adverbial ("correctamente") que

expresa el modo del desarrollo verbal.

Resolución N.º 3

La frase nominal está conformada por un grupo de

palabras cuyo núcleo es el sustantivo; en este caso

es el sustantivo valor.

Resolución N.º 4

El diptongo es la unión de una vocal cerrada y

una vocal abierta, principalmente, según esto los

diptongos serían los siguientes:

• Los guardianes que querían evitar la guerra y D D

la violencia fueron exiliados. D D D D

La oración contiene seis en total.

Resolución N.º 5

Las tildes que requiere la oración son cuatro: "mí",

"apagué", "deje" y "cansé". La primera tilde se aplica

por regla especial, y las otras, por regla general.

Resolución N.º 6

Estructuralmente, la palabra puede estar conformada por morfema raíz (tiene significado base) y morfemas gramaticales que pueden ser derivados o flexivos.Por ejemplo:

roj_

morfemaraíz o

lexema

_iz_ _o

morfemaflexivo

morfemaderivado

gramaticales

Resolución N.º 7

Para hallar al sujeto se pregunta al verbo principal: ¿Qué ha variado? y la respuesta es la música que escucha María. Además se verifica por la concordancia entre el núcleo "música" y el resto "ha variado", ya que ambos están en singular.

Resolución N.º 8

La función predominante se determina por la in-tención del hablante; así, en el enunciado "el todo es igual a la suma de las partes" la función es re-presentantiva; e "¡qué lindo enunciado!" podemos observar la expresiva y en "alumnos", escuchen atentamente se aprecia la apelativa.

Resolución N.º 9

En la homonimia parcial, las palabras seme-jantes pertenecen a diferentes clases gramaticales. Tal es el caso de "cabo", sustantivo que significa extremo de algo, y "cavo" del verbo cavar conjugado en primera persona.

Resolución N.º 10

En sé dónde venden las obras de Mario Vargas Llosa la proposición "dónde venden las obras de Mario Vargas Llosa" completa la acción del verbo transitivo "sé" y, como tal, cumple la función del

objeto directo.