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SOLIDI DI ROTAZIONE E
TEOREMA DI GULDINO
SILVIA GIULIANI
MARCO MANZARDO
A. A. 2014/2015
TFA A059
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I solidi di rotazione in natura e nell’arte….
SOLIDI DI ROTAZIONE
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I solidi di rotazione sono una classe di solidi che si ottengono tramite una
rotazione di 360° di:
! una figura piana intorno ad un suo lato o ad una retta;
! una linea g (retta o curva) intorno ad un’altra retta.
Rotazione di un poligono Rotazione di una curva
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Asse di rotazione
Generatrice
Asse di rotazione
Generatrice
Sezione normale
I PRINCIPALI SOLIDI DI ROTAZIONE
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I principali solidi di rotazione che si affrontano nelle scuole sono:
CILINDRO CONO SFERA
CILINDRO
Il cilindro è il solido ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.
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CONO
Il cono è il solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei cateti.
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SFERA
La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio intorno al diametro.
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I TEOREMI DI GULDINO
I teoremi di Guldino consentono di calcolare il volume e la
superficie laterale di un solido di rotazione mediante la
conoscenza del baricentro della figura piana e della curva che vanno a generare il solido. 9
BARICENTRO DI UNA FIGURA PIANA
Densità uniforme
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PRIMO TEOREMA DI GULDINO
Il volume generato da una superficie piana che ruota attorno ad un asse è dato dal prodotto dell’area della figura per la lunghezza della
circonferenza descritta dal baricentro.
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APPLICAZIONI DEL PRIMO TEOREMA DI
GULDINO
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CILINDRO
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CONO
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SFERA
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SECONDO TEOREMA DI GULDINO
La superficie generata da una curva che ruota attorno ad un asse è dato dal
prodotto della lunghezza della curva per la lunghezza della circonferenza descritta
dal baricentro.
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BARICENTRO DI UN SEGMENTO
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Consideriamo una curva C di lunghezza l e dividiamola in n archetti “sufficientemente” piccoli e tutti della stessa lunghezza h.
L’area della superficie di rotazione generata da uno di questi archetti (AsAs+1) è circa uguale a quella del cilindro avente lato A’sA’s+1, ottenuto ruotando l’archetto AsAs+1 attorno al suo baricentro G.
Superficie di rotazione
Ma la lunghezza della curva è l = n· h
APPLICAZIONI DEL SECONDO
TEOREMA DI GULDINO
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CILINDRO
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CONO
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SFERA
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SCHEMA RIASSUNTIVO
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CONO CILINDRO SFERA
SUPERFICIE LATERALE
π b a
2 π b h
4 π r2
SUPERFICIE
TOTALE
π b (b + a)
2 π b (b + h)
VOLUME
1/3 π b2 h
π b2 h
4/3 π r3