19 de Marzo 2016 VOLUMEN 1 N° 1

Volumen de un solido de revolución

Matemática

II

Autor:Kariangel Rincón

Contenidos PaginasEditorial 02Solidos 03

Volumen de solido en revolución

03

Principio de cavalieri

04

Método del disco

05

Método de la arandela

06

Métodos de los casquillos

07

Ejercicios 08

La contribución de Arquímedes al campo de las matemáticas fue notable. Usando el Método de Agotamiento él aplicó una forma de integración que le permitió calcular áreas de planos, volúmenes y áreas de las superficies de sólidos. Arquímedes demostró que el área de la superficie de una esfera es cuatro veces el área de su gran círculo,, siendo el círculo que podría dibujarse si la esfera se rebanara a través de su centro. Demostró también que la superficie de una esfera es dos-tercios la superficie de un cilindro circunscrito incluyendo las superficies de la base y la tapa. También descubrió una manera de rebanar una esfera en un plano determinado para que la proporción de los volúmenes de las dos partes tuviera una proporción dada; examinó varios sólidos de revolución, los cuales se forman al revolver las secciones cónicas sobre un eje particular de rotación. Este trabajo estuvo principalmente inspirado en un esfuerzo para lograr calcular los volúmenes de sólidos

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REFERENCIASVolúmenes de solidos de revolución [Documento en línea]. Disponible: https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf . [Consulta: 2016, Marzo 19]

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Son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

¿Qué es un solido de revolución?

Es el que se obtiene al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse

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REFERENCIASPrincipio de cavalieri. [Documento en línea]. Disponible: https://prezi.com/ipexyeemfjp3/calculo-de-volumenes-de-solidos-en-revolucion-metodo-de-arandelas/. [Consulta: 2016, Marzo 19]

“Si dos solidos tienen alturas iguales y las secciones hechas por planos paralelos a las bases y a la misma distancia están siempre en la misma proporción, entonces los volúmenes de los solidos están también en la misma proporción”

•Método del DiscoSi giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: volumen del disco =

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

REFERENC

IAS

Volúmenes de solidos de revolución [Documento en línea].

Disponible:

https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevoluci

on.pdf . [Consulta: 2016, Marzo 19]

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Cálculos de Cálculos de volúmenesvolúmenes Estas divisiones

determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

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REFERENCIASVolúmenes de revolución [Documento en línea].Disponible: http://integrandovolumenesyareas.blogspot.com/2011/05/volumenes-de-revolucion-el-metodo-de.html [Consulta: 2016, Marzo 19]

Método de la arandela

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar en la figura.

Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:

Método Casquillo

Este método es también llamado método de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la fórmula para el volumen del cilindro diferencial.

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Ejercicios Página 8

1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.

2. Calcular el volumen de la esfera de radio r.Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

El calculo integral tiene una gran variedad de aplicaciones en la vida diaria una de ellas es la aplicación de solidos de revolución, donde de una manera sencilla si conocemos la función f(x), y la hacemos girar sobre el eje x o y, obtenemos un solido, es de esta forma es como podemos elaborar o fabricar por ejemplo un envase de refresco, una lata, etc. calculando su volumen de capacidad máxima.