solucionario de fisica basica espe

7/26/2019 Solucionario de Fisica Basica ESPE

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2dy

Solucionario de Física Básica



1

INDICE

Vectores………………………………………………………….2

Cinemática……………………………………………………….37

Dinámica…………………………………………………………89

Trabajo, Potencia y Energía……………………………………121



2

VECTORESEJERCICIO 4 pg 50 ejer 6

R=|V2-V1||V2-V1|2=V12+ V22-2V1V2COS60º|V2-V1|2=2 V12- V1|V2-V1|2=|v1|

F12=R2+F22 R/SENθ=f1/SEN90ºF12=102+102 β=ARCSEN(RSEN90º/F1)=45ºF1=14.14kg f1=(14.14kg;135º)

A=53i+0j

-b=(-1.76i-18.91j)

a-b= 484

|a-b|=22u

AB=BE EAE=AB+BE AE/BE=EC/ED=AC/BDAE=2BE AC=2BD

ED=DC EC=ED+DC

Ec=2ED

R=a+b+c+d+e



3

A=b+c+eR=a+a+dR=2a+d

R=2a+j-2(2ad)cosθ Cosθ=(4a2+d2+R2)/4ad

R2=A2+B2+-2ABcos37º R/sen37º=B/senβ

R= º37cos10*3*21009 −+ α=arcsen(Bsen37º)/7.82

R=7.82kg α=50.32º

R2= A2+B2+-2ABcos143º R/sen143º=B/senβ

R= º137cos10*3*21009 −+ α=arcsen(Bsen143º)/7.82

R=12.53kg α=arcsen(Bsen143º)/12.53 Α=28.71ºR=(12.53kg;28.71º)

R12=2002+3002-2*300*200cos75º R12= R12+1152-2R1(155)cos44.1R12=130000-12000cos75º R12122966.7-70024.85R1=314.55Kg R=230.09R1/sen75º=200/senα r/sen44.1=155/senα α=37.9º senα=27.97ºβ=44.1º φ=27.97º+67.1º+30º

φ=125.1º



4

|A+2B|= 224 Ba + tgθ=A/2B φ=arctgA/2B

Rmax 2=V12V22-2V1V2COS180º 2=8-V3-V182= V12+V22+2V1V2 V2=382=(V1+V2)

V1=5

Rmax 2= V12V22-2V1V2COS0º R=4.36u2 2= V12+V22-2V1V2

2=V1-V2



5

EJERCICIO 5

COS30º=Fx/x tg30º=Fy/FxF=8/cos30º Fy=8tg30ºF=9.24kg Fy=4.62Kg

Fr2=102+202-2*10*20cos30º θ=30.723.8ºFr2=500-346.4 θ=53.8º

Fr=12.4NFr/sen30º=10/senα Fx/FR=cos53.8º

Fx=12.4cos53.8Senα=10sen30º/12.4 Fx=7.32Nα=23.8º FR=(7.32;10)N



6

Bx=-60m/s tgθ=-0.14/0.18By=0 θ=arctg0.78-B(-60:0)m/s θ=37.87ºAx=cos53º*100 θ=180º-37.87Ax=60.18m/s θ=142.13ºAy=100sen53º

Ay=79.86m/s R=(0.18i-0.14j)A(60.18;79.86)m/s R= 22

14.018.0 +

Cx=0 |R|=0.23m/sCy=-80m/s-c=(0;-80)m/s

Sen40º=Fy/FF=80/sen40º=124.5N

Fx=Fcos60º Fy=Fcosβ F2=Fcosγ Fx=100cos60º Fy=100cos45º F2=100*cos120ºFx=50N Fy=70.71N F2=-50N

F(50:70.71:-50)N



7

v

R= 221510 + R2=102+152-2*15*10cos120º

R=18.03cm R2=325+150

R=21.8

F3x=F1cos72º F12=F1x2+F1y2+F1z2 F2z=F2cos115º

F1x=cos72º 45 F12=45-2072-5.362 F2z=cos115º 45

F1x=2.09N F1= 01.3345− F2=(5.77;2.08;-2.71)

F2=(2.07;-5.36;3.46) F1=3.46 F2=41-2.712-2.082 F2=5.77N

|F|= 22275.028.38.7 ++

|F|=8.5NCosα=7.8/8.5 cosβ=0.75/8.5α=23.42º β=84.9º

AB=(-4:8:5) cosα=6/16.28|AB|= 256416 ++ α=68.37º

|AB|=10.25Cosβ=15/16.28

Ac=(3:5:0) β=48.74º

|Ac|= 141 ++ |Ac|=2.45



8

R2=102-302-2*10*30cos165º α=45º-3.73ºR2=1000+579.56 α=41.26R=39.74

R/sen165º=10/senφ β=90º-41.26φ=3.73º β=48.74º

R-S=[(1+4)i+(7+2)j+(-3-3)k] S-R=[(-4-1)i+(-2-7)j+(3+3)k]R-S=5i+9j+6k S-R=(-5i-9j+6k)

| R-S|= 368125 ++ | S-R|= 368125 ++

| R-S|=11.92u | S-R|=11.92

Cosα=5/11.92 cosα=-5/11.92α=65.2º α=114.8

cosβ=9/11.92 cosβ=-9/11.92β=40.97º β=139.03º

cosγ=-6/11.92 cosγ=6/11.92γ=120.22º γ=59.78º

EJERCICIO 6



9

F1=100cos15º F1x=96.59cos15º F2x=50cos330ºF1=96.59N F1x=68.3 F2x=43.3N

F2=100cos60º F1y=96.59sen15º F2y=50sen30ºF2=50N F1y=68.3 F2y=-25N

F1=(68.3i+68.3j)N F2=(43.3i-25j)N

AB=a+B |X2|= 164 + cos θ=X2/AB

AB=(-2i-2j+4k) |X2|=4.42 θ==24.18º

|AB|= 1644 +++ cosθ=2/|X2|

|AB|=4.9u θ=26.51º

AB=(4.9i;S26.54O;)

|A|= 222443 ++ cosα=2/64

|A|=7.07u α=71.8º

|B|= 222621 ++ cosβ=6/6.4

|B|=6.4u β=20.36º

A+B=(2i+6j+k) cosγ=1/64

|A+B|= 222621 ++ γ=81.01º

|A+B|=6.4u



10

Ax=10cos70º cosθ=z/Cxz 152=5.752+9.962+y2 Ax=3.42 z=5.75 y2=92.74

Y=9.63uAz=10cos130º cosθ=Cxz/|C|Az=-6.43 Cxz=15cos40º

Cxz=11.5102=3.422+6.432+Ay2 Cxz2=z2+x2 Ay2=47.34 11.525.752=xAy=6.9 x=9.96u

A(3.42:6.9:-6.43) c(-9.96;9.63;-5.75)

2A-B-C=[(6.84-5+9.96)i+(13.8-4-9.63)j+(-12.86-+5.75)k]2A-B-C=11.8i+8.17j-13.11k

|R|2=11.82+8.172+13.112 |R|=19.44u

a)∆d1=P1-P=(0:2:4) b) ∆dt=(5:0;-4)∆d2=P2-P1=(0;2;0) |∆d3|=6.4Km∆d3=P3-P2=(5:0:-4) ∆dxz=6.4Km∆d2=P4-P3=(0;-2:0) cosθ=z/ ∆xz

θ=51.32º

| ∆d1|= 410 + | ∆d2|=2 Pp=(5i+2j+0k)

| ∆d3|= 41104 =+

| ∆d4|=2

| ∆dt|=4.47+2+6.4+2| ∆dt|=14.87Km



11

Cosγ=Az/A Ax= 22 Az Axz −

Cos11.7º=Az/13.5 Ax= 22)99.4(09.12 −+

Az=-4.99 Ax=11.01

Ay=sen26.41º*13.5Axz=12.09

Ra=(11.01+6j-4.99k)

Sen58º=Bx/9.43 RA-B=Ra-RBBx=7.99Tg58º=7.99/Bz RA-B=11.01i+6j-4.99kBz=4.99 7.99i+5.98j-4.99kBy=tg32.4*9.43By=5.98 Ra-B=(19i+11.98j-9.98k)

Rb=(-7.99i-5.98j+4.99k)

Sen60º=px/51.96 sen30º=Py/60ºPx=44.99 Py=30

Cos60º=PZ/51.96 Pxz=51.96ºPz=28.98

10.59i-25.08j+10.59k44.99i+30j-25.48k55.8i+30j-15.39k

Sen45º=sx/14.99 sen60º=sy/30Sx=10.59º sy=25.98Sz=10.59

Tg60º=25.98/Sxz



12

S=(10.59i-25.98j+10.59k)

Cy=20sen60º Cz=Cxzcos30ºCy=17.32m Cz=10cos30ºCxz=20cos60º Cz=8.66mCx=Cx*sen30º c=(5;17.32;8.66)mCx=10sen30º B+C=[(-2+5i)+(17.32)j+(8.66-3)K]

Cx=5m B+C==D=3i+17.32j+5.66k

Dxz= m41.666.5322=+

|D|=18.47

Cosθ=Dx/Dxzθ=27.99º

b) C=(5i+17.32j+2.66k)m µC=(5i+17.32j+2.66k)/20|C|= 222

66.232.175 ++ µC=(0.25i+0.87j+0.43k)

|C|=20m



13

a)V1=200u N40ºO elev.60º V1z=V1xzcos40ºV2=160u SE elev.45º V1z=76.6u

V1y=200sen60º V1=(-64.28i+173.21j-76.6k)V1y173.21u

V2y=160sen45ºV1xz=200cos60º V2y=113.14uV1xz=100u

V2xz=160cos45ºV1x=V1xzsen40º V2xz=113.14uV1x=64.28u

V2x=V2x=V2xzsen45º V2=(80i+113.14j+80k)V2x=80u Vr=[(80-64.28)i+(173.21+113.14)j+(80-76.6)k]

Vr=(15.72i+286.35j+3.4k)



14

Cosα=Bx/B B=5i+5j+7.07k Dy=1/2(-2)Bx=10cos60º C=(Cf-Ci)=[(2-0)+(2-4)+(1-5)] Dy=-1Bx=5m C=2i-2j-4k|B|2=Bx2+By2+Bz2

Bz=7.07m Ax+Bx-1/2Cx+Dx=0 Dz=1/2(-4)-7.07-3Dx=-14m Dz=-6.07D=(-14i-j-6.07k)m

|A|=100µ ;60º ; elev45º cos30º=Bx/50|B|=50u ;α30º;γ75º Bx=43.3u

Ay=|A|sen45º cos75º=Bz/50Ay=70.71 Bz=12.94u

Axz=|A|cos45º 502=43.32+12.92+By2 Axz=70.71u By=21.4uAx=70.71sen60º

Ax=-61.24u Ax+Bx+Cx=0AZ=70.71cos60º Cx=-Bx-AxAz=-35.4u Cx=61.24-43.3A=(-61.24i+70.71j-35.4k) Cx=17.94u Cz=-Bz+Cz

Cy-By-Ay Cz=35.4-12.94Cy=-70.71-21 C=(17.94i-

92.11j+22.46k)Cy=-92.11uC=(17.94i-92.11+22j.46k)

|A|=100u cosα=Ax/A A2=Ax2+Ay2+Az2 Cosα=0.7 Ax=70 Az2=A2-Ax2-Ay2

Cosβ=0.2 Ay=100*0.2 Az= 2222070100 −−

Ay=20 Az=68.56A=(70i+20j+68.56k)m



15

2A=10i-4j-3B=-12i-15j R=-5i-16jC=-3i+3j

R=A-B senθ=0.46|R|2=102+162-2*10*16*cos105º θ=27.53º+135º|R|2=356+82.82 θ=162.53ºR=20.9R/sen105º=A/senθ Rx=Rcos162.53ºSenθ=10sen105º/20.9 Rx=-19.9

Ry=Rsen162.5Ry=6.27



16

Ay=Asen50º Ax=3.21Ay=7.6 Az=Axzcos30º

Axz=Acos50º Az=Axzcos30ºAxz=6.43 Az=-5.57Ax=Ax=sen30º

A(3.21i+7.6j-5.57k)

A=4i-2j+6k 2A=-8i+4j-12k R1paralelo R1-2B=2i-8j+2k 3B=-3i+12j-3k R=24.54(0.42i+0.7j+0.57k)R1=6i-10j+8k R2=-11i+16j-15k

µR1=(6i-10j+8k) |R2|= 222151611 −++

222 8106 +− |R2|=24.54uµR1=0.42i-0.7j+0.57k



17

ABC=[(2+5+7)i+(1-1+2)j+(2+4+1)k] senθ=2/15.8ABC=14i+2j+7k θ=7.27º

|ABC|= 2227214 ++ θ /2=3.64º

|ABC|==15.8Senθ=ABCy/ABC

a) a(12:6:-4) d) |c|= 222266 ++

b(0:-6:-4) |c|=8.72c(-6:6:-2)

b) |a|= 2224612 ++ cosγ=-2/8.72

|a|=14u γ=-0.23

c) µb=(0i-6j-4k)/ 2246 + cosβ=6/8.72

µb==(0i-0.83j-0.55k)m β=0.69



18

Ay=Asen30º Ax=Axz*sen45º d= 2225.27155.30 ++

Ay=20 Ax=24.5 d=43.7m

Axz=Acos30º Az=Axz*cos45º tgθ=-30/27.5Axz=34.64 Az=24.5 θ=47.5º

A=(24.5i+20j+24.5k) cosγ=dy/dd(AB)=B-A γ=70ºdAB=[(-6-24.5)i+(5-20)j+(-3-24.5)k]dAB=-30.51i-15j-27.5k

Φ=N70ºO dep47.5º



19

902=a2+b2 902=2a2 a=63.64m

F1=[(63.64)i+(2*63.64+90)j+(150)k]/3 F3=(153.64i-150k*1/3)F1=(21.21i+72.43j-50k)Kp F3=(25.21i-50k)

F2=[(63.64+90)i+(217.28)j+(150)k] F1=21.21i+72.43j-50F2=(51.21i+72.43j-50k)Kp F2=51.21i+72.43j-50k

F3=25.21i-0j-50k____Fr=(123.63i+144.86j-150k)Kp

A(20i+50j+40k)m Bxz=45cos30º µv=(0.6i-0.8j)

By=45sen30º Bxz=38.97By-22.5 C=(0.6i-0.8j)*20m

Bx=38.97sen60º C=(12i-16j)mBx=33.75

B+A=(33.75+20)iBz=38.97cos60º +(22.5+50)j+(19.5+40)kBz=19.5B=(33.75i-22.5j+19.5k)m B+A+C=(53.75+12)i

µv=(3i-4j)/ 169 + +(27.5-16)j+(59.5)k



20

By=Bsen40º Bz=57.45 cos60º µB+C=(0.11i+0.82j+0.56k)By=48.21Km Bz=28.73Km

Bxz=Ncos40º B=(49.8i+48.21j+28.73k)Km cosα=0.11Bxz=57.45Km α=83.7º

µv=(-5i+12j+9k)/15.81Bx=57.45sen60º µv=(-0.32i+0.76j+0.57k) cosβ=0.82Bx=49.8Km β=34.9º

C=100(µv) cosγ=0.56C=(-32i+76j+57k)Km γ=55.9º

B+C=[(49.8-32)i+(76+48.21)j+(28.73+57)k]KmB+C=(17.8i+124.21j+85.73k)km

µB+C=(17.8i+124.21j+85.73k)/151.97

Ay=8sen30º Az=6.93cos60º Bxz=5Ay=-4 Az=-3.47

Bx=5sen45ºAxz=8cos30º A=(6i-4j-3.47k) Bx=-3.54Axz=6.93

By=10sen60º Bz=5cos45ºAx=6.93*sen60º By=-8.66 Bz=3.54Ax=6



21

Bxz=10cos60º B=(-3.54i-8.66j+3.54k)

d=B-A cosα=-0.005d=[(-6-3.54)i+(4-8.66)j+(3.47+3.54)k] α=90.3ºd=(-9.54i-4.66j+7.01k)Km

d= 222 01.766.45.9 ++ d=12.72Km

24.

Cx=12 2 cos45º A=5i-10j+7kCx=12i B=9i+4j+2k

Cy=12 2 sen45º C=12i+12j+0kCy=12j R=26i+6j+9k

C=(12i+12j+0k)

EJERCICIO7

µB=(24i+6j+8k)/ 2228624 ++ cosγ=0.31

µB=(0.92i+0.23j+0.31k) γ=72º

F=520 µB cos γ=Fz/FFy=520*0.23j Fz=520*0.31kFy=119.6j Fyz=119.6j+161.2k



22

A+R=B µr=(0.41i+0.82j+0.41k) F=µr*|F|R=A-B F=(32.8i+65.6j+32.8k)R=(i+2j+k)

A+R=Bθ sen

R

sen

A=

º30

R=B-A senθ=15sen30º8.06

A2=152+102-2*10cos30ºA2=325-260 senθ=0.93A=8.06 θ=68.52º



23

Cosα=Ax/A sen60º=By/B Bxz=20cos60ºAx=10cos50º By=20*sen60º Bxz=10m

Ax=6.43 By=-17.32m

Cosγ=Az/A cos60º=Bxz/B cos50º=Bz/BxzAz=10cos100º Bz=10cos50ºAz=-1.74m Bz=6.43m

102=6.432+1.742+Ay2 sen50º=Bx/Bxz

Bx=10sen50º

Ay= 63.55 Bx=7.66m

Ay=7.46mB=(7.99i-17.32j+6.43k)

A=(6.43i+7.46j-1.74k)m

a)A*B=A*Bcos θ

cosθ=20*10

)74.1*43.6()46.7*32.17()43.6*66.7( −+−+ BA=B(cos117.11)( µA)

BA=-5.86i-6.8j+1.59kcosθ=-0.46 |BA|=9.12mθ=117.11º

µA=(6.43i+7.46j-1.74k)/10 AXB=

74.146.743.6

43.632.1766.7

−

−

k ji

µA=0.64i+0.75j-0.17k

AXB=17.83i-54.87j-168.52k|AXB|=178.05m

R=4i+3j rcosθ =(r*A)/A RA=(4i+3j)(0.5i+0.87j)(0.5i+0.87j)Ra=RcosθµA rcosθ=r*µA RA=2.31i+4.01jµA=cos60ºi+cos30ºj RA=[r(µA)* µA]µA=0.5i+0.87j



24

A=(-3i+4j) cos30º= Bxz/|B| µB=-0.61i+0.5j-0.61kA=5 |B|cos30º=Bxz AB=(A* µB) µaµA=-0.6i+0.8j AB=(1.83+2)(-0.61i+0.5jcosβ=By/B cos45º=BX/cos30º|B| -0.61k)sen30º=By/|B| cos45º*cos30º=Bz/B AB=-2.34i+1.92j-2.34k

0.5= By/|B|

D=AXB=

61.05.061.0

05.06.0

−−

−

k ji

D=(-0.49i-0.37j+0.19k)*10D=(-4.9-3.7j+1.9k)cm

(2a)2=a2+a2+c2 µvx-z=( a 2 i+aK)/ 222 aa +

4a2=2a2+c2 µvx-z=(0.82i+0.88j)

4a2-2a2=c2

C= 22a cosα=0.82i

C=a 2 cos α=0.58K

V=( a 2 i+aj+ak) cosβ=0.5j

Vx-2=( a 2 i+aK)



25

B=(a/3i+ 2 aj-ak) b)B-A=-17ai-1.19aj-5ak=Ca)|A|=5a (B-A)xy=-1.17ai-1.19aj=D

C*D=CDcosθ |Axy|=3ª cosθ=(1.37+1.42)a2 Cos30º=Ay/3a a(5.27)a(1.67)3asen30º=AyAx=1.5ª cosθ=2.79/8.80

θ=71.52º

Az2=(5a)2-(1.5a) 2-(2.6a) 2 A-B=1.17ai+1.19ajk+5ak=E |E|=5.27aAz2=25a2-9.01a2 µe=(1.17ai+1.19aj+5ak)/5.27

µe=0.22i+0.23j+0.95kAz=4a

Cosθ=Ex/E=1.19ª/5.27aA=(1.5a+2.6j+4ak) θ=76.95º

µF=(-5i+7j-5k)/9.95µF=-0.5i+0.7j-0.5k

Ef=[(1.17ai+1.19aj+5ak)µ

f]µ

fEf=(-0.59ª+0.83ª-2.5a) µfEf=(-2.26)a µfEf=(1.13i-1.58j+1.13k)

|F|= 222 21 Fz++ cos60º=10/5 25 Fz+

|F|=

2

5 Fz+

½=10/5

2

5 Fz+

|r|= 22

34 + Fz2=16-5

|r|=5 Fz=3.32N

F*R=F*Rcosθ



26

a)B*C=Bccos60º b)D*B=D*Bcos90º|B|= 251+ D*B=0

|B|=5.1 Dr=5Dz=0

µB=(1j+5K)/5.1 5i+7j=(0+Dx)i+(0.2C+Dy)j+(0.98C+Dz)KµB=0.2j+0.98k Dx=5

c=C(0.2j+0.98k) Dy+0.2C=7c=0.02Cj+0.98Ck C=-Dz/0.98

7=0.2(-Dz/0.98)+Dy70-0.2Dz+Dy

Dy0-5(-1.35)-Dy-5Dz=0 Dy=6.75Dy-0.2Dz=7-5.2Dz=7 C=-(-1.35)/0.98

C=1.38Dz0-1.35k

D=(5i+6.75j-1.35k) C=(0.28j+1.35k)

a)122=m2+9m2+0.04 b)2A-3B=(6i+4j+110k)-(11.4+34.2j+0.63k)144-0.04=10m2 R=-5.4i-30.2j+9.37km2=3.8

2c-4B=(8i-6j+24k)-(15.2i+45.6j+0.84k)B=3.8i+11.4j+0.21k R2=-7.2i-51.6j+23.16k

R*R2=

16.236.512.7

37.92.304.5

−−

−−

k ji=-215.93i+57.64j+61.2K

Rr2=(RµR2) µR2 Rr2=(0.68+27.48+3.84)µR1

µR2=222 23.1651.6-7.2

23.16k 51.6j-7.2i

+

+ Rr2032µR2

µR2=-0.13i-0.91j+0.41k Rr20-4.03i-29.12j+13.12k



27

52=(5*0.3)2+(5*0.2) 2+5c2 Rr20(0.68+27.48+3.84)µR225-2.25-1=25 c2 Rr2032µR2C2=0.87 Rr20=-4.03i-29.12j+13.12kC=0.93

V=(1.5i-j+4.55k)Sen30º=Ay/AAy=15sen30ºAy=7.5

Cos30º=Axz/AAxz=13

64=(8*0.3)2+(8c)2+(8*0.46)2

64c2=64-5.76-13.54 cos50º=BZ/Bxz |R|=17.47C=0.84 Bz=9.4/cos50º 5/2A=-23i+18.75j-23k

A=2.4i+6.72-3.68k sen50º=Bx/BxzSen20º=By/|B| Bx=9.4/sen50ºBy=10/sen20º Bx=7.2By=3.42

B=7.2i+3.42j-6.04kCos20º=Bxz/|B|Bxz=10cos20ºBxz=9.4 3A=7.2i+20.16j-1104k

-B=-(3.6i+1.71j-3.02k)R=16.74j-5k



28

AE=(4i-3j+6k) AEFB=(AE*µFB) µFB|AE|=7.81 AEFB=(2.04-1.14-4.62) µFBFB=(4i+3j-6k) AEFB=-1.89i-1.41j+2.86kµFb0.5i+0.38j-0.77k

Sen45º=Vy/V 25=32+(5c)2+4Vy=30sen45º 25-9-4=25c2 Vy=21.21m/s2 a=(3i+3.45j-2k)m/s2

Cosθ=(Aa)/Aa

Vxz=21.21m/s cosθ=(-31.83+73.17+36.74)/150θ=58.63º

Cos30º=Vz/VxzVz=21.21cos30ºVz=-18.37m/s2

Sen30º=Vx/VxzVx=21.21sen30ºVx=-10.61m/s2

V=(-10.61i+21.21j-18.37k)m/s2



29

µv=(3i-j+k)/ 11 A=AzAuµv=0.9i-0.3j+0.3k Au=(i+4k)-(1.62i-0.54j+0.54k)

Au=-0.62i+1.54j+3.46k

AY=AzAz=(A*µA) µAAz=1.62i-0.54j+0.54k

A=2i+j+2kB=i-2j+3k

AB=(A*µB) µBAB=(1.61)(0.27i-0.53j+0.8k)()

µB=(i-2j-3k)/ 14 AB=0.43i-0.85j+1.29kµB=0.27i-0.53j+0.8k

A=i+j+k 20= 22214.029.004.0 ++ V

B=i+8j-4k 20=0.32V

|B|=9 V= 3

µB=0.11i+0.89j-0.44k µA=0.58i+0.58j+0.58kµB=(0.06i+0.52j-0.26k)V(µB) V=V0.58i+V0.58j+V0.58kµB=(0.04i+0.29j-0.14k) V=35.8i+35.8j+35.8k

|V|=20u |B-A|=17.83 E=D-CB=A+V µB-A=-0.28i-0.11j+0.95k E=-2i+4j-7k



30

V=A+V V=-11.2i-4.4j-38kV=B-A |E|=8.31V=-5i-2j-17k µE=-0.24i+0.48j-0.84k

VE=(V*µE) µEVE=(2.69-2.11+5.88) µE

VE=6.46(-0.24i+0.48j-0.48k)VE=-1.55i+3.1j-5.43k

EJERCICIO 8

D=(2ai+3aj-6ak)-(-2bi+6bj+3bk-(4ci-2cj-3ck))D=(2a+2b-4c)i+(3a-6b+2c)j-(6a+3b-3c)k

a=-1 AB=(-4i+3j+9k)b=-1 PAB=(-3i+4j+10k)c=-1 |PAB|=11.2

B=-2i+6j+3k P=(-1:-1:-1) AP=-3i-4j+5k

-A=-2i-3j+6k A=

111

362

632

−−−

−

−

C=4i-2j-3k__D=j+6k A=34.5u2

0=2a+2b-4c1=3a-6b+2c6=-6a-3b+3c



31

BD=(-2:10:-20) ACXBD=

201020

20620

−−

−

k ji

BE=(-20:0:0) µACXBD=0.37i+0.92j+0.09kµBE=-iBDBE=(BD*µBE) µBE V=7.4i+18.4j+1.8kBDBE=20(i)BDBE=-20i=VAC=(-20:6:20)

AB=(4:-8.8) ABcz=(AB*µCA) µCAAC=(4;-3:0) ABcz=(3.2+4.8)(0.8I-0.6J)µCA=(4i-3j)/5

µCA=0.8i-0.6j ABXCA=1/2*

034

884

−

−

k ji

ABXCA=12i+16j+10k

AB=(4i+2j-7k)m ABXBC=1/2*

577

724

−

−

k ji

AC=(.7i+7j-5k)m ABXBC=19.5i+34.5j+21kBC=(-11i+5j+2k)m µABXAC=(19.5i+34.5j+21k)/44.85

=0.43i+0.77j+0.47k|AB|=8.3m

|AC|=11.09m|BC|=12.24m V=(6.8i+12.018j+7.48k)



32

AB=4i-9j+k =1/2(99i+16k+9j+81k-4i+44j)AC=9i+4j-11k ABXAC=47.5i+26.5j+48.5k=RBC=5i+3j-12k µR=(47.5i+26.5j+48.5k)/72.87

µR=0.65i+0.36j+0.67k

ABXAC=1/2*

1149

194

−

−

k ji

E=15u

E=9.75i+5.4j+10.05kµBC=(5i+13j-12k)/18.38µBC=0.27i+0.71j-0.65k

ABBC=(AB*µBC) µBC=(1.08-6.39-0.65) µBC=-5.96(0.27i+0.71j-0.65k)=-1.61i-4.23j+3.87k|ABbc|=5.95

AD=(i-j+2k) E=-15i-16j+35kAB=(3i+5j-k) |E|=41.3

AC=(4i-5j+4k) µE=0.36i-0.39j+0.85k

AC=(4i-5j+4k)AD=(AD*µE) µE

E=ACXAB=

153

454

−

−

k ji

=(0.36+0.39+1.7) µE

ADE=0.88i-9.56j+2.08k



33

BD=BD=-20i+10j-20k b)BA=2j-20kBE=-20i BD=-20i+10j-20k|BE|=20

BAXBD=

201020

2020

−−

−

k ji

BDBE=(BD*µBE) µBE=20(-i) F=-40i+400j+40k+200i

BDBE=-20i F=160i+400j+40k|F|=423.67µF=0.37i+0.92j+0.09kV= µF(|BDBE|)V=7.4i+18.4j+1.84k

A+B=11i-j+5k |A|=9.11A-B=-5i+11j+9k b)A*(A*B)=A(A*B)/cosθ 2A=6i+10j+14k cosθ045.52ºA=3i+5j+7k

AX(A+B)=

5111

753

−

k ji

=25i-3k+7j-55k+7i+15j

A+B=11i-j+5k-A+B=5i-11j-9k AX(A+B)=32i+62j-58k2B=16i-12j-4kB=8i-6j-2k

Sen40º=Ay/15 c=7.5i-125.5j+25kAy=9.64 252=7.52+11.52+252

m2=0.66Cos40º=Axz/15 m=0.81Axz=11.5

C=7.5i-12.5j+20.25kSen60º=AX/11.5 3A-5C=(28.98-37.5)i+(28.92+62.5)j+(-17.25-101.25)kAx=9.96 =-8.52i+91.42j-118.5k



34

Cos60º=Az/11.5 7B+5D=(28+35)i+(14+75)j+(-21-150)kAz=-5.75 =63i+89j-171k

A=9.66i+9.64j-5.75k

L=

1718963

5.11842.9152.8

−

−−

k ji

L=-5096.58i-8922.42j-6475.14k

a)QR=R-Q=(i-j) A=1/2*

112

121

123

−

−

=1/2*(-2)

dPQR= 22 )21()31( +−+− A=1

dPQR=2.24b)QP=P-Q=(2i-4j)

Cos18º=Ay/A BXA=

006.5754.18

045.449.22

−−

−

k ji

Ay=-57.06 BXA=2130.77K



35

Sen18º=Ax/A A*B/AB=cosθ Ax=-18.54 θ=134.74º

A=-18.54i-57.06j

AXB=

05.499.22

006.5754.18

−

−−

k ji

=-824.1K-1306.67KAXB=-2130.77K

Cosα=AX/A A2=Ax2+Ay2+Az2 cos60º=Bxz/BAX=10cos50º Ay2=100-(6.43)2-(1.71) Bxz=20*cos60ºAX=6.43m Ay=7.46 Bxz=10m

Cosγ=Az/A A=(6.43i+7.46j-1.74k) sen50=BX/BxzAz=10cos100º sen60º=By/B Bx=7.66Az=-1.74 By=20sen60º cos50º=Bz/Bxz

By=-17.32 Bz=6.43

B=(7.66i-17.32j+6.43k)

µA=A/10

µA=0.64i+0.75j-0.17k AXB=

43.632.1766.7

74.146.743.6

−

−

k ji

µB=B/20 |AxB|=178.05µB=0.38i-0.87j+0.52k

a) AXB=A*Bcosθ µAXB=BA*µAxBcosθ=(49.25-129.21-11.19)/200 µAxB=0.1i-0.31j-0.95k

θ=117.1º

b)BA=20cos117.1ºµA V=BA* µAxBBA=-5.83i-6.83j+1.55k V=9.11*(0.1i-0.31j-0.95k)|BA|=9.11 V=0.91i-2.82j-8.65k



36

a) AB=B-A=-i-j-2k ABXAC=1/2*

11

211

−−

−−−

i

k ji

b) |AB|=2.45 =1/2(i+3k-2j+2k-6i-j)c) AC=C-A=i-3j-k

|AC|=3.32

d)ABXAC=cosθ Aabc=1/2* 222435 ++

AB*BCCosθ=4/245*3.32 Aabc=3.54u2

θ=60.5º

B=(-1.74i+7.66j+6.19k)

Cosα=Bx/B B=

425

19.666.774.1

−

−

k ji

Bx=10*cos100ºBx=-1.74

Cosβ=By/BBy=10*cos40ºBy=7.66

102=1.742+7.66i2+Bz2 |BXA|=67.08Bz2=100-61.7 µBXA=0.64i+0.57j-0.52kBz=6.19 µBXA=-0.64i-0.57j+0.52k

V=|c/2|=µBXABXA=(43.12i+37.97j-34.82k) V=(-5.3i-4.7j+4.3k)2A=10i-4j+8k-B=1.74i-7.66j-6.19kC=11.74i-11.66j+1.89k

c/2=5.87i-5.83j+0.97k|c/2|=8.32m,



37

CINEMATICA

EJERCICIO 9

1.-Encontrar la velocidad media y la posición final, sabiendo que unapartícula parte del punto A(2:0:1)m y se demora 5s para llegar a B que esta

al NE de A. Se sabe que el módulo del desplazamiento es 20m

Vo=(2:0:1) Vm=d/t

T=5s Vm=20/5d=200m Vm=4m/s

∆r=20mNE ∆r=Vf-VoCos45º=z/20 sen45º=x/20 Vf=16.14j-13.14k

Z=-14.14jm x=14.14i Vf=(16.14i-13.14k)mV=(2.83i-2.83j)m/s

V=4NE

Z=4cos45º x=4sen45ºZ=-2.83jm/s x=2.53im/s

2.-

m/s ∆r=(7i-3j)6s)37( jiV −=r



38

Ro=2i+2jq ∆r=(42i-18j)m

T=6s d= 221842 +

d=457m∆r=rf -ro

∆r=42i-18j |Vm|= 2237 +

ro=2i+2j |Vm|=7.62

rf =44i-16j µvm=sm

sm ji

/ 62.7

/ )37( −

µvm=(0.90i-0.4j)

3.-

VA=36km/h=10m/s dA= VA* tA VB=45 km/h =12.5 m/s dB= VB* tB

tA= td=2+ tB VA* (2+ tB)= VB* tBd=10(8+2) 10(2+ tB)=12.5* tB

d=100m tB=8S

B=12.5m/s

4.-

VA= dA / tA tA= tB dB=444.44 de BVA=800/2 dA=800-20 dB=x dA=(800-444.44)m de A

VA=32m/s4032

800 x x −− dA=355.56 de A

3200=72x

x=444.44m

5.-



39

d=428Km t=d/v Tt=2.33+0.3+0.083V=55Km/h t=128/55 Tt=2.713h

Pp=18min=0.3h t=2.33h

Sp=5min=0.083h

Vm=128Km/2.73h Vm=47.18Km/h

6.-dos móviles se desplazan 1.6Km en la misma dirección. El primero con

una velocidad de 5.2m/s y el segundo con V=4.5m/s. El móvil más rápidoda un ventaja al más lento: podrá arrancar solo después de que el más lento

pase por cierto punto marcado en la pista.

Donde debe estar esa marca para que lleguen los dos móviles al mismotiempo

VA=5.0 m/s TA= AV

r ∆= AV

r ∆ TB=

BV

xr −∆

VB=4.5m/s TA= TB

7200=832-5.2xX=215.38

7.-

T1=1.75H=105min T4= ∆r/V=108/65

T3=3.2h=192min T4=1.66h=99.7min∆r=V*T=60*1.75=105Km ∆r=62.5*3.2=200

∆r=484-200-108-105=71Km

Vm=484/8.8=55Km/h

8.-Una partícula se mueve rectilíneamente con velocidad constante la

dirección de la velocidad media en los primeros 6s es 0.92i-0.39j con unamagnitud 7.62 m/s Si su posición final es 44i-16j determinar a) La posición

inicial al instante T=0



40

b) El desplazamiento hasta 6sc) la distancia recorrida

=V r

0.39i-0.39j Vf -Vf =V r

*t

=V r

=7.62m/s Vo=7.62*(0.92i-0.39j)*6+(4i-16j)

T=6s Vo=1.94i+1.83jVf =44i-16j

∆r=v*t d= 2285.1706.42 +

∆r=42.06i-17.83j d=45.62m

9.-

TB= BV

xKm +5.17 TA=x/ VA

BV

xKm +5.17=x/25 TB=(17.5+62.5)/32

437.5+25x=32x TB=2.5h

437.5=7x dA=62.5Km

X=62.5Km dB=17.5+62.5dB=80Km

10.- Dos corredores A y B sobre uma pista tienen rapideces constantes de

2m y 5m respectivamente. Si A parte 5s antes que B. Determine :a) Cuando A es alcanzado por B

b)Cuales son la graficas V-t para cada uno de los corredores

VB=2m/s dA= TA-VA dB= TB-VB

VB=5m/s TA= Tb+5s(VA)( TB+5s)= TB+VB

2 TB+10=5TB

10=5TB-2TB

3 TB=10

TB=3.33 TA=5+3.33=8.33s



41

EJERCICIO 10

Vf=Vo+at m=tan53

1.33=0.67+a m=1.33=Va=0.66m/s

2Vf=1.33m/s∆x=(Vf+Vo)/2*t

Vf=0.67+0.66*30 2(1)=1.33+Vo

Vf=20.4m/s Vo=0.67

Vm=(20.4+0.67)/2

Vm=10.53m/s



42

Vo=(3,2,0)m Vf=Vo-at

a=2i+3j m/s Vf=3.61m/s-3*10t=10s Vf=µ*|Vf|

Vf=(-26.36)*(0.55i+0.85j)

Vo= 94 + Vf=(-14.51i-21.9j)m/sVo=3.61m/s∆r=Vot-1/2at

2Vf= ∆r-r

∆r=3.61*10-1/2*3*100 Vf=(62.65i+96.5j)m

|∆r|=-113.9m Vm=(-14.65i+96.5)+(2i+3j23)∆r=113.9m 2

Vm=(-6.26i-9.45j)m/s

a)Vf=Vo+at da=20*10/2Vf=2*10 da=100m

Vf=20m/s dB=20m*20sDf=100+400+50 Db=50mDf=550m Db=400m

D=(Vo+Vf)/2*Tc Vf=Vo+atTc=1/10*50 a=-20/5

Tc=5s a=-4m/s



43

a) A en t=(0.3)=MRUen t=(3.10)= MRUR

B en t=(0.10)=MRUAb) A : en t=3s |∆r|=v*t=6*3=18m

en t=6s |∆r|=(Vf+Vo)/2*3s=9m |∆r|=27m

c) |∆r|=Vot+1/2at2

Ec1: Vf-Vo=6*t+1/2(-2) t2

(Vf-Vo)/t=a Vf-9=6t- t2

-6/3=a Vf=6t- t2+9



44

-2m/s2=aA aB=1m/s

2 EC2=Vf-Vo=-6*t+1/2(a) t

2

Vf= t2 /2-6t+1/2 t

2

6t- t2+9= t

2 /2-6t+1/2 t

2

12t-2t2+18= t

2-6t+18

t=0s t=6s



45

T ∆x ∆x a Movimiento

0-a 0.5 1 1 MRUVA

a-b 1 0 0 MRU

b-c 2 2 2 MRUVA

c-d 7 1 0.5 MRUVA

d-e 4 0 0 MRU

e-f 3.5 -1 -1 MRUVR

f-g 5 -1 -0.5 MRUVRg-h 2 0 0 MRU

a)Vm= ∆x/ ∆t=en t=5s am= ∆v/t

Vm=(0.5+1+2+7)/5 am=(1+2+1)/5Vm=2.1 m/s am=0.8m/s

2

Vm en t=10s am en t=10sVm=0.5+1+2+7+4+3.5+5+2 am(1+2+0.5-1-0.5)/10Vm=2.5m/s am=0.2m/s

2

T=0-30 a=2m/s2

t=30-70 t=70-α a=-4m/s

Vf=Vo+at Vf=Vo+at Vf=Vo+atVf=2*30 Vf=60m/s Vf=60-4

Vf=60m/s t=60/4



46

T=1.5s

∆x-t

T=0-30 a=2m/s2

t=30-70 a=0m/s t=70-α a=-4m/s∆x=(Vo+Vf)/2*t ∆x=V*t ∆x=Vot+1/2at

2

∆x=(60/2)*30 ∆x=60*40 ∆x=60t-2t2

∆x=900m ∆x=2400

Vf-Vo=∆r∆r=| ∆r |*µ ∆r∆r=(450+3300)(0.7i+0.5j-0.509k)



47

∆r=(2625i+1875j-1908.75k)

Vf= ∆r+Vo∆r=2626i+1875j -1908.75k

Vo=400i+ 50j+ 300k

Vf=3025i+2375j+1091.25k

a)dt= t Vf Vo

*2

+ b) d=Vot+1/2at

2

Vf=2dt/t t2=2*32/8

Vf=128/4 t=2.83s

Vf=32m/s c)Vf=Vo+atVf=Vo+at Vf=8*2.83a=32/4 Vf=22.64m/s

a=8m/s2

d) d=Vot+1/2at2

e) Vf=Vo+atd=1/2*8*4 Vf=8*2d=16m Vf=16m/s



48

aB=4

1v

t

v=

∆

∆ aA=

2

1v

t

v=

∆

∆

∆xA=Vo+1/2at2

∆xB=Vo+1/2at2

∆xA=1/2*V1/2*(t-2)

2 ∆xB=1/2*V/4*t

2

∆xA=V(t-2)2 /4 ∆xB=Vt

2 /8

V(t-2)2 /4= Vt

2 /8

2(t-2)2= t

2

t2-8t+8=0

t=6.83st=1.17s

T ∆x V

0-2 20 10



49

2-3 15 15

3-4 5 5

4-6 50 2.5

6-8 -20 -10

8-9 -15 -15

a) ∆x=20+15+5+50 b) ∆x=20+15∆x=90m ∆x2=35m

c) ∆x=Vf-Vo d=90+35

∆x=55m d=125m

11.La aceleración de cada una de las partículas la posición inicial relativa deB con respecto a A durante 5s

Va=2i+5jµA=0.3i+0.94j

dA=0.31i+1.89j µB=0.6i-0.8j

|aA|=2 |Va|=3.37 dB=-1.8i+2.4j|aA|=3 |VB|=30m/s

dA=6.32*5+0.5*52*2 B=67.5i+90J

Da=56.6227m A=19.9i+56.75j

DB=30*5+0.5*(-3)*52

R=47.6i-146.75J

dB=112.5m



50

1) d=Vt 2)d=Vot+1/2at2

D=10(t+2) d=1/2*1.5t2

10(t+2)= 1/2*1.5t2

20*(t+2)=1.5t2

1.8t2

-20t+40= 0X1=2.45

X2=10.88

T=15.09a=10*(15.9+2)=170.99m

b) V=at=1.8*15.9=22.65m/s



51

Va=2m/s*10s=20m/sd1=1/2at

2=1/2*2*100=100m

d2=Vot+1/2at2=20*5=100m

d3= Vot+1/2at2

=20*5+1/2*(-3)(25)*52

=100-37.5=62.5m

A=d1+D2+D3=262.5m



52

∆r1=Vot+1/2at2 R=2Vo+2a

Vf=Vo+at a=6-Vo

∆r2= Vot+1/2at2

∆r2=Vo+2a+1/2a

3=Vo+12-2Vo+3-1/2Vo 3Vo=206=2Vo+24-4vo+6-vo Vo=8

a=-2

Vf=0

Vf=Vo+at de ida y de regreso0=8m/s-2t=4s

|V|= 3 µv=(0.83i+0.55j) Vf=Vo+at

a=(-6.66i-4.44j) Vf= 3 +8*10

∆x=-300m Vf=-76.34m∆y=Yo+Voyt+1/2ayt

2vf=(-63.41i-42.002j)

∆y=-200m∆r=(-300i-200j)m ∆r=Vot+1/2vot

2

∆r=10* 3 -400

∆r=363.94m



53

a=t

VoVf −

∆r=Vo+at

Vo=0ae=3m/s

2 an=2.4m/s

2

∆r=d+60m ∆r=60m

T=2.1

60 Vf=3m/s

2*7.07s

T=7.07s Vf=21.21m/s

∆1=1/2at2



54

∆r=1.5*7.07 d=75-60=15m∆r=75m

∆r=Vot∆r1=41.66*0.5∆r1=20.83m

Vf=0 ∆r=Vot-1/2at2

Vf=Vo+at ∆r=41.67*1.66-1/2*5*2.77

T=-Vo/a ∆r=48.62

T=a

Vo− NO CAE

T=15

67.41

− ∆r=69.45m

T=1.66s



55

a=t

VoVf − ∆r=1/2at

2=1/2*(-22.5)=45m/s

a=-45/2

a=-22.5m/s2

∆r2=Vot+1/2at2

=-45.2+45.2=90m∆r3=45*2=90m

a2=(45+45)/2=45 m/s2

∆r4=45*1+1/2*7.5=48.75ma3=0

a4=(60-45)/2=7.5x=273.75m

X=Vot x=1/2at2

X=16.67t x=1/2*0.25t2

16.67t=1/2*0.25t2

33.33t=0.25t2

T=133.33m/s x=16.67*1.33

X=2222.22



56

EJERCICIO 11

V en los 15m Vf al ipacto

Vf

2

= Vo

2

+g*h1 Vf

2

== Vo

2

+gh2Vf= 15*8.9*2 Vf= 10*8.9*215.17

2+

Vf=17.15m/s Vf=22.14m/s

Vf=Vo+gt

t=2.9

15.1717.22 −

t=0.51s

h=Vot+1/2gt2

hA=1/2g(t+1)2

hB=1/2g(t+1)2

ha=hB

2

28.918*2

2

)12(*8.922t t t t +

=++



57

16.4t=9.8t=0.6s

h=1/2(9.8)(1.6)2

h=12.5m

a) h=Vot+1/2gt2

Vf 2= Vo

2-2gh

h=1/2(20)(60) Vo2=2gh

h=36000m (1200)2 /2*9.8=h

Vf= h=Vo+gt h=73469.4Vf=20m/s*60s Ht=109469.4Vf=1200m/s

b)Vf=Vo-gt h=Vot+1/2gt2

1200/9.8=t t3=149.5T2=122.45 tT=60s+122.45+149.5tT=331.95s



58

a) h=Vot+1/2gt

2∆y=v*t

yf-f=50y+1/2(9.8)t2

yf-f=10m/s*tyf-50=50t-49t

2 yf=10t+10

yf=-4.9t2+50t+50

10t+10=-4.9t2+50t+50

4.9 t2-40t-40=0

t=9.06s

b) yf=10*9.06+10 Vf 2=Vo

2-2gh

yf=100.6m 50*50/(2*9.8)=h

ht=127.55+127.55-100.6+40 h=127.55m

ht=195.1mc)Vf=Vo+gt

Vf=50-9.8*9.06

Vf=-38.79m/s

Vo=0.05m/sVf=0.316m/s

Vf=Vo+at ∆r=Vot+1/2at2

a= =−

t

VoVf 0046.0

05.0316.0=

−

t ∆r=-0.27*15+1/2*0.046*15

2

∆r=1.13m

Vf=Vo+at ro=1.47m

Vf=0.042-0.0465

Vf=0.27m/s



59

∆y=Vot+1/2gt2

∆y=4.9(3.15)

2

∆y=48.62m

Vf 2=Vo

2+2g ∆y

Vf 2=25+(-19.6)(-12)

Vf=-16.13m/s

Vf=Vo+gt

-16.13=5-9.8tT=2.17s



60

∆y=Vot+1/2gt2

y=150(0.47)-4.9(0.47)2

150-y=20(t+2)+4.9(t+2)2

y=69.42

150-y=20t+40+4.9t2+19.6t+19.6

4.9t2

+39.6t-90.4=-y 489.6t=0.04∆y=Vot+1/2gt

2t=0.47s

Y=150t-4.9t2

Vf 2=Vo+2g∆y ∆y=Vot+2gt

2

Vf 2=7.84h 3/5h= h84.7 (2)+19.6

Vf= h84.7 (3/5h-19.6)2=(2* h84.7 )

2

0.36h2-23.52h+334.16=31.36h

H=145.15m

∆y=Vot+1/2gt2

145.15=4.9 t2

T=5.415s



61

Vf 2=Vo+2g∆y

Vf 2=19.6∆y

∆y=Vot+1/2gt2

Vf 2

=19.6(0.64)3= y∆6.19 *0.5+4.9*0.5

2Vf=3.57m/s

∆y=0.64m

EJERCICIO 13

Vf=0m/s=mov. parabólicos

Vo= 223040 + Vox=Vocosθ

Vo=50m/s 40=50cosθ

Θ=36.9º

Vfy2=Voy

2-2gymax t=Vosenθ /g

Ymax=(Vosen45º)/20m/s2

t=Vosen45º/10T=0.07Vo

ymax=(Vosen45º)(0.07Vo)-5(Vosen45º)

ymax=(0.07Vo)2-5(0.07Vo)

2

ymax=2xmax

xmax=(Vocos45º)Tvxmax=(0.07Vo)(2)(0.07Vo)xmax=2*(0.07Vo)

2



62

Xmax=Vocosθts ts=Vosenθ /g ymax=(Vosenθ)/g

Xmax=ymax(Vocosθ)(2)(Vosenθ )/g=(Vosenθ)2 /2g

4=senθ /cosθ

Tanθ=4θ=tan

-14

θ=75.96º

∆x=Vocosθ ∆x=100cos30º*5∆x=433m

∆y=Vosenθt+1/2gt2

∆r=433i+127.5j∆y=100sen30º(5)-4.9*5

2



63

Vo=20m/s(cos45º+sen45º)

Vo=(14.14i+14.14jm/s)Vf=Voy-gt ∆t=t1+t2

T=Voy/g ∆t=1.41+3.46T=(14.14j)m/s ∆t=4.87s

T=1.41

Ymax=Yo+Voyt-9t2

Ymax=60m

Y=Vot-gt

2

/2t2=60/5

t=3.46s

∆y=Vosenθ-1/2gt2

∆y=-4.9(3)2

∆y=-44.1m

H=44m

Y=xtgθ-gx2 /(2Vo

2cos

2θ)

20=300*0.75-9.8(90000)/ 2Vo2(0.64)

20=225-88200/(1.28Vo2)

882000=VO2*262.4



64

Vo=57.97

Vo=Vo(cos30ºi+sen30ºj) Vo

2

(sen30º)

2

=9max-2gVo2=5*2*10/sen30º

Vo=20m/s

Vx=Vocosθ ∆x=Vocosθt ∆y=Vosenθt

Vx=300(θ

3) =300*

2

3*10 =300*1/2*10-4.9*100

Vx=259.8m/s ∆x=2598.07m ∆y=1010m

Ymax=g

senVo

2

22θ

Rf=2598.07i+1010j

Ymax=6.19

4 / 1*3002

Vy=Vosenθ-gt

Vy=300*1/2-9.8(10)

Ymax=1147.96 Vy=52m/sXmax=sen2θ*Vo

2 /9.8



65

Xmax=7593.29m

Vx=Vocosθ ∆x=Vocosθt ∆y=Vosenθt

Vx=300(θ

3) =300*

2

3*10 =300*1/2*10-4.9*100

Vx=259.8m/s ∆x=2598.07m ∆y=1010m

Ymax=g

senVo

2

22θ

Rf=2598.07i+1010j

Vox=Vocosθ x=Vox*t h=Voy-1/2gt2

5=17.11cosθ 15/3=Vox 5=Voy*3-4.9*9θ=73.03º Vox=5m/s Voy=16.36m/s

Vo= 22VoyVox +

Vo= 2530.162+

Vo=17.11m/s

Vy=Vo-gtVy=16.36-9.8*3Vy=-13.03m/s



66

Y=tgθx-g/(2Vo2cos

2θ)

Y=0.577x- 2

2

667.6Vo x

X=500cos40º y=500sen40ºX=383.0m y=321.39

Y=221-978030.36/Vo2

542.39Vo2=978030.36

Vo=42.46m/s

Va=(36.77i-21.23j)m/s Vox=Vocos30º=36.77m/sVoy=Vosen30º=21.23m/sVB=(36.77i-82.94j)

Vf=Vo-gtT=40j/10m/s V2=Vot-gt

2 /2

Tv=8s V2=(240i+320j)*320



67

Y=6.19

22θ senVo

19.6y=Vo2sen

2θ α=tan

-1(45/29.77)-45

θ 2

6.19 senVO=

θ=29.72 α=11.56º

OP=r Vx=Vox+axt

at=9.4m/s2 Vox=29.24cos(-70º)

Vox=10m/sat=3.42m/s

2Vy=Voy+ayt

29.24sen(-70)=Voy+(-10)(4.48)Voy=17.32m/s

Vo=10i+17.32j(m/s)

A=V2 /r

3.92= V2 /250

V=29.24m/s



68

y=Vosen53ºt-5jt2 x=Vcos53t

1.5=Vosen53º(6/Vocos53)-5(6/Vocos53º)1.5=6tan53º-487.04/Vo

2

Vo2=487.04/6.46

Vo=8.68m/s

1.5m/s=8.68sen37º-5t2

5t2-6.93t+1.5=0

T=1.12s



69

x=Vocosθ*t ymax=vsenθ /2g

t=Vocosθ /x ymax=

15.32*2

º18.28*150 sen

50senθ /32.15=50cosθ /60pies ymax=8.67pies

Senθ /cosθ=32.15/60 y=13.67piesθ=tan

-1(32.5/60)

θ=28.18º

at=(4.9i+8.43j)(0.5i+0.86j) Vx=800cos60=400at=2.45+7.25 Vy=692.82m/sat=9.7m/s

2

µv=0.5i+0.86jVf=200m

A: B:Ts=Vosenθ /g ts=VosenB/g



70

Ts=0.05Vo ts=0.08VoVo=ta/0.05 Vo=(ts)/0.08

xA=Vocosθ(0.05Vo) xB=VocosB(0.08Vo)

xa=2(0.04 Vo2) xB=(0.04 Vo

2)

Vo2

=2xA/0.04 Vo2

=Xb/0.04

0.08TsA=0.05TsB Ta=Tb

TsB>TsA

Vox=Vocos(-15) Voy=Vosen(-15)

Vox=772.74m/s Voy=-207.06m/s

Y=xtgθ-g/(2Vo2cos

2θ)x

2

-2000=xtg(-15)-10/(2*8002*cos

2(-15))

X=6245.25m

X=Xo+Voxt+1/2axt2

6245.25=7+2.76t

T=8.08s

200=Vocos30t x=Xo+Voxt+1/2axt2

Vo=230.94/t 200=Vox9.12

Vox=21.93im/s



71

Y=Yo+Voyt+1/2gt2

y=yo+Voyt+1/2gt2

-300=Vosen30ºt+1/2gt2

-300=Voy(9.12)+1/2(-10)(9.12)2

-300=(230.94/t)sen30ºt+1/2(-10)t2

Voy=12.7jm/sT=9.12

Vy=Voy+gt

Vy=12.7-10*9.12Vy=-78.5jm/s

V=(21.93i-78.5j)m/s

ha=Voyt-1/2gt

2

ha=25*1.7-4.9*1.72

h=hA-HBhA=28.34m h=28.34-22.65

h=5.69m

hB=Voyt-4.9t2

hB=21.6*1.7-4.9*1.72

VoxA=25cos60º

HB=22.65m VoxA=12.5VoyB=2.5sen60ºVoyB=21.65

H=Ha-HBH=28.34-22.65 x=Vox*t

H=5.69 x=12.5*1.7X=21.25m

D= 22 xh +

D= 2212.26.5 + d=22m



72

Vo=3i+4j y= Tgθx-g/2Vo2cos

2θ*x

2

Tgθ=4/3 y=tg53.13x-10/(2*25*cos253.13)x

3

θ=53.13º x=24.5m

Vo=5m/s

Tv=2Vosenθ =2(5*sen53.13/10)gTv=0.8s

Y=Yo+Voyt+1/2gt2

-100=(-4)t+1/2*10t2

Vf 2=Vo

2+2g∆t

T=4.04s Vf 2=()

2+2*(-10)*(-300)

Vf=77.56m/s

V=(3i-77.56j)m/s

EJERCICIO14

f=1/24=0.041hzac=w

2*R w=2πrad/t=2π /24=0.26rad/h

ac=430.95km/h2



73

v=w*R

V=(6375)(0.26)V=1668.97Km/h

750vueltas 2πrad 1min =78.53rad/s

2.5min 1vuelta 60s

d=θ*R

d=(4712.38)(0.7)=3298.67m

ac=w2*R

ac=(4712.38/10)0.7 v=w*Rac=329.86m/s

2V=(78.53)(0.7)=54.97m/s

2

v=w*R=3k*5=15K V=5k()-0.6i+0.8jac= w

2*R=9K

2*5=45 K

2V=(-9i+12j)m/s

ac=45 K2(-0.6i+0.8j)

ac=(-27i+36j)m/s2



74

1200rev=125.66rad/s

T=2πrad/w=0.05s V=w*r

V=(125.66)(2)

W=θ /t V=251.32m/sθ =(125.66)(10)=1256.6rad

ac=w

2

*Rac=(1256.66)2*2

ac=31580.87m/s

Vcte=72Km/h=20m/s V=W*R ac=w2*R

θ =30º=0.52rad 20=W*160 ac=(1/8)

2

*160r=150m W=1/8 ac=2.5m/s2



75

W=80rpm θ=w*t x=3836.52º

Ac=w2*R θ=66.96rad x=-236.52º

Ac=35.09m/s2

x=123.48º

X=(0.27i+0.41j)

µx=(0.54i+0.82j)ac=35.09(0.5i+0.82j)

ac=(17.55i+29.7j)m/s2

W=4rad/sR=0.25m

V=1m/sAc=V

2 /R

Ac=4m/s2



76

EJERCICIO 15

∆θ /ts=π /1s30= π30 rad/s

V=w*R=4rad/s 0.5m=2m/s2



77

Vo=Wo*r ac=w

2*r

Wo=2/2 12.5/2=w2

Wo=1rad/s w=2.5rad/s

W=Wo+αt at=α*t2.5=1+α*3 at=0.5*2α=0.5rad/s at=1m/s

2

Wf 2=Wo

2+2α∆θ Q=45+59.2=104.2º

(2.5)2=1+2*0.5∆θ Q=255.81

∆θ=300.8º

R=-0.49i-1.94j rx=2cos255.8º=-0.49iRy=2sen255.8º=-1.94j

Vf= smac R / 71.64515*3* ===

Wo=Vo/R=3.5/3=1.67rad/s Wf=Vf/R=6.71/3=2.24rad/sά=(Wf-Wo)/t=(2.24-1.67)/5=0.11rad/seg

a= 22at ac + = 22

33.015 +

a=15m/s

θ=315*π /180=7π /4

Vf=r(cos152.44i+sen152.44j)Vf=3m(-2.66i+1.34j)



78

β=tan-1

ac/at=15/0.33=88.74º

At=α*r wf 2=Wo

2+2 α∆θ V=w*r

2/10=α wf 2=2*0.2*7π /3 V=1.71(9.66i+2.585j)

α=0.2rad/s2

Wf=1.71rad/seg= V=16.52i+4.43j

rx=10cos15º b) ac=w

2

*r c)at=a+atrx=9.66i ac=2.93(9.66i+2.58j) at=28.32i+7.6jac=28.32i+7.6j 1.932i+0.51j

ry=10sen15º

ry=2.58j at=(3025i+8.12j)



79

Wf=Wo+αt Vf=w*r

Wf=2rad/s+2rad/s2*s Vf=4rad/s*m

Wf=4rad/s Vf=4m/s

∆θ= t WoWf *2− 0 Vf=(1.49i-3.71j)m/s

∆θ=(4+2)/2∆θ=9rad=171.89ºθf=171.89+30ºθf=01.89º

At=αr V= αTv12.56/2=α V=6.28*3*2α=12.56rad V=37.68m/s

n=∆θ /2π=12.56/2 π V=w*r Wf

2

= Wo

2

+2α∆θ n=1.99vueltas W=37.68/2 (8.8)2=2*6.28∆θ

W=18.84rad/s ∆θ=28.26radwf

2=wo

2+2α∆ θ

(12.56)2=2*6.28∆ θ

∆ θ=12.56rad hasta t=2s----n=2vueltas

hasta t=3s----n=4.5vueltas



80

X=θ*R ∆θ=Wb=*t+1/2αt2 Wf=Wo+at

θ =π /4rad*10m α=2π /4 Wf=π /2*2

x=7.85m α= π /2rad/s

2

Wf=πrad/s

α=at/R

at=10(π /2rad/s2)

at=15.71m/s2

º

∆θ=Wot+άt ∆θ=Wot+άtπ /2=20*t-20t

2 /2 π ∆θ=20*2π-20*4 π /2 π

20t2-40 π t+ π

2∆θ=2 π oi 360º



81

∆θ=Wot+άt

2

∆θ=20*π /2∆θ=10π

d= t WoWf

*2

+ Vf=Vo+at ac=Vf

2 /t

d= t *2105

+

at=(10-5)/5 ac=100/100

at=1m/s2

at=1 m/s2

aT= 22acat +

aT= 2211 +

aT= 12 m/s2

Wo=Vo/R=4/15=0.27rad/s Wf=Wo+άt

∆θ=Wo*t+άt2 /2 Wf=0.27+10.50*3/4

ά=-2.94/0.28s3

Wf=8.15m/sά=10.50rad/s at=0.27+10.50*2

W1=Wo+ά at=157.5m/sW1=10.77rad/s W2=21.27rad/s

ac= 22at ac + ac= 22

at ac +

ac= 225.1571739389 + ac= 22

5.15799.7108 +

ac=17.47m/s2

ac=7110.73m/s2



82

ά =(Wf-Wo)/ ∆t=30rad/s ac=900*(cos116.64+sen116.64)

Vf=Wo*R=30rad/s ac=(403.54i-804.46j)m/s2

at= ά*R+ άt

2 /2 at=5(sen116.64i+cos116.64j)

ac= 22at ac + = 22

5900 + =900m/s at=(-4.47-2.24j)m/s2

∆θ=90rad*θ*116.64ºa=(-4.47i-2.24j)+(403.54i-804.46j)a=(399.07i-806.24j)m/s

a

Vo=Wor

Wo=4rad/seg

at=α*r

at=(-π /3)(1)at=-π /3rad/s

2

∆θ=Wot+αt2 /2 W1=Wo+αt Wf

2= Wo

2+2α∆θ

W2=(120-3*8)/4 24rad/s=3*t 0=16+2(π /3)∆θ

W1=24rad/s t=8s ∆θ=77.74º



83

H=7.64/2π

H=1.22vueltas

∆θ= ∆θ= ∆θ2 β=30-11.84º∆θ=77.47-65.9 β=-18.16=341.84º∆θ=11.84º

Rx=1cos341.84º=0.95i

Ry=1sen341.84º=-0.312j

R=(0.95i-0.312j)

∆θ=Wot+άt2 /2 Wf=Wo+αt

50=5π+100ά /2 Wf= π /4+8.43ά=0.843rad/s

2Wf=9.23 rad/s

at= ά*R=0.843*10=8.43m/s

ac= 22at ac +

ac= 2293.85143.8 +

ac=851.97m/s2



84

a) R=300π /2 π=150m Wf=Wo+αt ac=30/150

120m20m/s*t ac=(25-15)/t ac=6m/s2

T=6s at=10/6=1.67m/s2 a= 22 at ac + a= 22

67.136 +

a=6.23m/s2

b) Vf=Vo+at

t=(Vf-Vo)/at=(30-15)/1.67=8.98s Wo=15/150=0.1rad/s∆θ=Wot+αt

2 /2 α=at/R=1.67/150=0.01 rad/s

∆θ=0.1rad*8.98+0.01*8.982 /2

∆θ=1.30rad

∆θ=Wot+αt2 /2 W1=Wo+αt Wf

2= Wo

2+2α∆θ

W2=(120-3*8)/4 24rad/s=3*t 0=16+2(π /3)∆θ W1=24rad/s t=8s ∆θ=77.74º

∆θ=Wot+αt2 /2 ∆r=V*t

7 π /4=20πt+100 πt2 /2 V= ∆r/t



85

200 t2+80t-2=0 V=10/0.01

t=0.0425 V=100m/s

Wf=Wo+αt θ= t WoWf

*2

+

Wt=1rad/s+1rad/s2t θ=(3+1)/2*2

Wf=3rad/s ∆θ=4rad=229.18º

Vf=W*RVf=3m/s ∆θ= θf – θ

229.18= θ-45

θf=274.18º

Vf=|Vf|(cos4.18i+sen4.18j)Vf=(2.99i+0.22j)



86

WB=200rpm=20.94rad/seg VB=WB*RBα=π /2rad/s RB=(20.94)(0)Va=Vb

VA=(WA*RA)RB=10cm=0.1m RA=(6.98rad/s)

RA=30cm=0.3m

WfA=WoA+αt6.98*2/ π=TA

TA=4.445s

d=R*θ θ=1.56rad=89.38º VB2 /R=acB

d=π /2*2 α=at/R VB= 2*1 d= πm α=1rad/s VB=-1.41j



87

Wo=VA/R Wf=Wo-αt

Wo=4/2rad/s Wf=2-1*1.5Wo=2rad/s Wf=0.5rad/s

Wf*R=ac θ= t WoWf

*2

+

(0.5)2=2ac θ=(0.5+2)/2=1.5rad=107.43º

ac=0.5m/s

at=αrα=1rad/s n= ∆θ /2π=8/2 π=1.27vueltas

n= ∆θ /2π=18/2 π=2.86vueltas

Vo=Wor ∆θ=Wot+1/2αtWo=4rad/s ∆θ=1/2(1)(36)

Vf=Vo+at nt=1.27+2.860=4+(-1)t nt=4.13vueltas

T=4s



88



89

Dinámica

1.- las siguientes fuerzas F1=(-6i+4j)N, F2=(9i-5j)N, F3=(17i)N se aplican

sobre un objeto produciendo una aceleración de 3,5 m/s2

a) ¿Cuál es la dirección de la aceleración ? b) ¿Cuál es la masa del objeto ?

c)Si el objeto esta inicialmente en reposo calcularla velocidad después de

20s

∑ F =F 1+F 2+F 3 a) |∑ F |=m*a

F 1=-6i+4j µf=µa

F 2=9i-5j µf=

+

02,2002,20

20 ji

F 3=17i∑ F =20i-j µf =0,99i-0,05j

|∑ F |= 1202+ b) |∑ F |=m*3,5m/s

2

|∑ F |=20.02 m=5,3

02,20=5,7Kg

c) Vf =V0+atVf =(3,5)(20)=70m/s

2.- La velocidad promedio de una molécula de nitrógeno en el aire es deaproximadamente 6,7x10

12m/s y su masa de alrededor de 4,68x10

-26kg Si

se requieren 3x10-13

s para que una molécula rebote en la pared y rebote con

la misma rapidez pero en direcciones opuesta, calcular: a) La aceleraciónpromedio de la molécula durante ese intervalo de tiempo. B) ¿Qué fuerzapromedio ejerce la molécula sobre la pared?

V=6,7x1012

m/s |∑ F |=m*a

m=4,68x10-26

kg |∑ F |=(4,68x10-26

)(4,5x1015

)=2,11x10-10

N

t=3x10-13

s

Vf =V0-at0=6,7x10

12+3x10

-13ª

a=2,23x1025

m/s2

3.- Dos bloques de masa 1 y 2 Kg. (según la figura) cuelgan de los extremos

de una cuerda ligera y flexible que pasa por una polea sin rozamiento, sujetaal techo; al sistema se le llama la maquina a Atwood inicialmente se

encuentra en reposo y a 1 y2 m respectivamente del suelo a) dibujar el



90

diagrama de cuerpo libre parta cada bloque b) Escribir la ecuaciones demovimiento para cada cuerpo c) Determinar la posición y la velocidad de

cuerpo un segundo después de empezar a moverse d) Calcular el valor de latensión de la cuerda cuando el sistema esta en movimiento

∑ F =m*a

T-m*g=m*am2*g-T= m2*a

T= m2a +m2g→1 1=2T= m2g - m2a→2 m2a +m2g= m2g - m2a

a=21

)12(8,9

m2-m1

m2)-g(m1

+

−= =3,27m/s

2

Vf =V0+at ∆y= V0+2

1 at

2 h1=1,64m

Vf=3,27m/s ∆y=2

1(3,27)*1

2

h2=1+1,64=2,64m∆y=1,64

T=1(3,27+9,8)=13,07N

4.- Los instrumentos de un globo meteorológico tiene un masa de 1Kg. a) el

globo se suelta y ejerce una fuerza hacia arriba de 50N sobre losinstrumentos ¿Cuál es la aceleración del globo y de los instrumentos? d)

Después de que el globo ha acelerado durante 10 segundos , los

instrumentos se sueltan ¿Cuál es velocidad de los instrumentos en elmomento en que se sueltan? d) ¿Cual es la fuerza neta que actúa sobre los

instrumentos de que se sueltan? d) En que momento la dirección de suvelocidad comienza hacia abajo?

m=1Kg a)F=m*a

F=5N 5=0.125*aa=40m/s

2a=40m/s

2

t=10s



91

b) V=V0+at c) Fr=10N

V =40*10

V=400m/s

5.- Un trineo de 50Kg de masa se empuja a lo largo de una superficie planacubierta de nieve. El coeficiente de rozamiento estático es de 0.3 y el de

rozamiento cinético es de 0.1 a) ¿Cuál es el peso del trineo? B) ¿Qué fuerzase requiere para que el trineo comience a moverse? c)¿Qué fuerza se

requiere para que el trineo se mueva con un velocidad constante? D) Una

vez en movimiento ¿Qué fuerza debe aplicársele al trineo para acelerarlo a3m/s

2?

m=50kg a) ∑Fy=0 b) ∑Fx=0 c) ∑Fx=0

µr=0.3 N-P=0 F-Fr=0 F-frc=0µc=0.1 N=P=500N F= µr*N F=frc

F=0.3*500 F=N* µc

F=150N F=0.1*500F=50N

d) µrt= µr+ µc

µrt=0.3+0.1=0.4Frt= µrt*N∑Fx=0F-fr=0

F=0.4*500F=200N

6.- Una persona de masa de 78Kg. Se encuentra en un ascensor. Para lassiguientes situaciones determine la fuerza que el piso ejerce sobre la persona

cuando:a) El ascensor asciende con velocidad uniforme

b) El ascensor baja con velocidad uniformec) El ascensor acelera hacia arriba a 2.5m/s

2

d) El ascensor acelera hacia abajo a 2.5m/s2

e) El cable se rompe y el ascensor cae libremente



92

m=78Kg

a) a=Fr/mT b) a=Fr/mT c) a=Fr/mT=780/78 =780/78 =2.5*78

=780 N =780 N =780N

e) N=780N-780N=0

7.-Una pequeña esfera de 1Kg se suelta al techo de un furgón por medio de

un hilo. Cuando el furgón acelera uniformemente el objeto se desplazadesde su posición vertical de tal manera que al alcanzar el equilibrio el

ángulo que forma el hilo con la vertical es de 15º ¿Cuál es la aceleración del

furgón?

a) ∑Fx=0 ∑Fy=0 F=m-a

F-Px=0 F-Py=0 2.5=1*aF=Px F=Py a=2.5m/s2

F=m*g*sen15º F=m*g*sen15º

F=2.5N F=9.5N

8.-Dos bloques de masas Ma=20Kg y Mb=10Kg se encuentran sobre unplano inclinado que forma 30º con la horizontal. Los coeficientes de

rozamiento estático y dinámico entre los bloques y el plano son: µs=0,50µk=0,30 para la masa A y B µs=0,50 y µk=0,40. Inicialmente ambos

bloques se encuentran en contacto y son dejados en libertad a) encuentre laaceleración de cada bloque y la fuerza de contacto entre ambos.

b)Encuentre la aceleración de cada bloque y la fuerza de contacto entreambos si intercambian sus posiciones.

∑Fy=0N-m*g*cos30º=0



93

N=m*g*cos30º

∑Fx=m*am*g*sen30º-fx=m*a

m*g*sen30º-µN=m*a

(m*g*sen30º-µ*m*g*cos30º)/m=a

(20*9.81*sen30º*0.3*20*9.81*cos30º)/20=aa=2.4m/s

2

(10*9.8*sen30º*0.49*10*9.8*cos30º)/10=aa=1.5m/s

2

9.-Un cuerpo se desliza primero: a lo largo de un plano inclinado un ángulode 30º y luego continúa moviéndose sobre el plano horizontal. Determine el

coeficiente de rozamiento, si se sabe que el cuerpo recorre en el plano

horizontal la misma distancia que en el plano inclinado

∑Fy=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑Fx=0

N-Py=0 F+Px=0 N-P=0 F-fr=0N=P F=-Px N=P F= µ*NN=P*sen30º F+Psen30ºN=0.5P F=-0.86P

Μ*mg=max=a2= µg

V2=Vo

2-2a

2(1)

0=2g(sen30ºL-2µgcos30º)L*2µg2g*sen30ºL-2µgcos30ºL*2µg

Sen30º=µcos30ºµ=0.27

10.-Hallar la fuerza P necesaria para iniciar a mover hacia la derecha el

cuerpo de 200Kg que se muestra en la figura. El coeficiente de rozamientoestático es µ=0.35



94

m1=100Kg P- µr- µN=0

m2=200Kg P-(0.35)Na-(0.35)Nb=0

µ=0.35 Tcos30º- µNa=0∑Fy=0 Tcos30º-0.35(µNa-Tcos35º)=0

N-P=0 T=35.65NN=P Na=100-33.65(Nn30)

N=1960 Na=83,17

∑Fx=0

P-fr=0P=fr

P= µ*N=0.35*1960=205.5Kg

11.-Determine los valores entre los cuales puede variar m2 para que elsistema se mueva con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento

entre los bloques y la superficie es de 0.3

Cuerpo1∑Fx=m*a ∑Fy=0Px-fr-T=m*a N=Py

Psen20º* µ*N-T=m*a N=p*cos20º

100sen20º-(0.3)(100)cos20º-T=m*a

A es constante=0



95

Cuerpo2∑Fx=m*a ∑Fx=0

Px-fr-T=m*a N=Pym2sen70º* µ*N-T=m2*a N=m2*pcos70º

m2sen70º-(m2cos70º)(0.3)-T=m*aa es constante =0

6-T=0T=6N

m2=(sen70º-(cos70º)(0.3))=Tm2=7.16Kg

12.-Tres bloques se encuentran como muestra la figura. Hallar laaceleración con que se mueve y las tensiones en la cuerdas, Si se conoce

que la: m1=5Kg. M2=3Kg, el coeficiente de rozamiento entre la superficie

inclinada y la masa 2 es de 0.2

Cuerpo 1 cuerpo2w=9.8*2 ∑Fx=m*a

∑Fx=0 ∑Fy=0∑Fy=m*a N=PyT-w=m*a N=Pcos30º

T1-19.6=2a N=29.4cos30ºT1-2a =19.6 29.4sen30º-29.4cos30º-t1+t2=m*a

10.76-T1+T2=m*aT2+10.76-T1=3a

T1+T2+3a=-10.76cuerpo 3∑Fx=0∑Fy=m*aT2-49=5a T2=223.3N



96

T2-5a=49 a=14.46m/s2

13.-Designando por θ el ángulo de rozamiento estático entre el bloque y elplano hallar el módulo y dirección de la menor fuerza P que haría ascender

el bloque por el plano

∑Fx=m*a ∑Fy==0

-Fx+Fy=m*a Fy=wy-w*sen θ+wcos θ=m*a wy=w*cosα

P=θ θ θ

α θ α

cos*cos

)cos*(

tg

tgsenw

+

+

14.-Hallar la aceleración mínima que el sistema puede soportar

m1=m2=2 Kgcuerpo m1 Cuerpo2 m2∑Fx=0 ∑Fx=m*a∑Fy=m*a Px-Fr-T=2a a=6.25m/s

2

T-w-fr=m*a 0-(0.6)N-T=2a



97

T1-w-fr=2a ∑Fy=0T1-2a-fr=w N=0

15.- Sobre una superficie horizontal se encuentra un plano inclinado α conrespecto a la horizontal. Un cuerpo de masa m se coloca sobre el plano

inclinad. Para que m deslice con respecto al plano inclinado, se aplica sobre

el sistema un fuerza horizontal F, tal como se muestra en la figura ¿Quéaceleración debe darse al plano inclinado, para que m no deslice ?

despreciar el tipo de rozamiento

∑Fx=m*g ∑Fy=0

Fx-Fy=m*g Fy=wyW*senα+wcosα=m*g Wy=Wcosα

a=g*tanα

16.- Dos cuerpos de 15N y 30N están conectados por una cuerda y sobre un

plano inclinado de 45º Cuando los cuerpos son soltados a)¿Cuál será latensión de la cuerda? B) ¿Cuál es la aceleración que adquieren?

Cuerpo1 cuerpo2 a=4.19m/s2

W=15 w=30 T=0.88N∑Fx=m*a ∑Fx=m*a

T-w-fr=m*a T-w-fr=m*aT-15sen45-3/8=15a T-30sen45-0.25=30a∑Fx=0 ∑Fy=0

N=Py N=PyN=15cos45 N=Pcos45º



98

N=30cos45º

17.- Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre los bloques A y C conlas superficies horizontales es de 0.2. calcule la aceleración de cada cuerpo

Cuerpo A cuerpoB

∑Fx=m*a ∑Fx=0T1-w-fr=m*a ∑Fy=m*aT1-0-0.2=a T2-T1=2a

∑Fy=0 T2-T1-2a=34

N=PyaA=4.49m/s

2

aB=3.28 m/s2

Cuerpo c aC=1.45 m/s2

∑Fx=m*a

T2-w-fr=m*a

T2-0-0.2=2ª∑Fy=0N=PyN=0

18.-



99

cuerpoC cuerpoA∑Fx=m*a ∑Fx=0

T-W-Fr=m*a ∑Fy=m*a

T-0-0.1=81a T2-15N=m*a∑Fy=0

N=Py

Cuerpo B a=6.61m/s2

∑Fy=m*a T1=7.65N

T-w-fr=m*a T2=4.68N

T-70-0.5+(T2-15N)=m*a∑Fy=0

N=Py

N=0

19.- Dado el sistema. Encuentre las aceleraciones con que se mueven los

bloques

Cuerpo m3 cuerpo m1W=200*9.8 ∑Fx=m*a∑Fx=0 ∑Fx=0∑Fy=m*a T2-Px=m*a

T-W=0 0-50sen60º=60aT1-1960=200a ∑Fy=0

Cuerpo m2 N=Py∑Fy=m*a N=50cos60ºT2-T1-Px-fr=m*a a1=1.98m/s

2

T2-T1-300-0.1-3000a a2=a33.37 m/s2

∑Fy=0



100

N=PyN=0

20.-A un bloque de 4Kgsituado sobre una superficie horizontal están unidas2 cuerdas que se soportan a dos cuerpos de 5 y 3 Kg como se indica en la

figura si el coeficiente de rozamiento sobre el plano inclinado y horizontal

es de 0.2 determinara) la

∑Fy=0 Fr=0.2*14.7N=wy ∑Fy=0

N=3*9.8*cos60º ∑Fx=m*a*f=0.*39.2N=14.7 N=39.2Nt2=7ª+36.24

∑Fx=m*a ∑Fx=0 Vo=0

T1-wx-f=m*a ∑Fy=m*a=Vf=(2*1.06)T1-3*9.8*sen60º-2.9=3ª w-t2=m*a*Vf=14.6T1=3a+28.4 12.76=12at1=31.59

A=1.06m/s2T2=43.63N

21.-



101

wA=200Nm*a=20.41KgWB=200NmB=20.41Kg

WxB=200sen37º=120.36

WyB=200cos37º=159.73m=0.5

∑Fy=0 ∑Fx=m*a ∑Fx=0

N=wt-f=m*a ∑Fy=m*aN=200Nt1=100+20.41ª w=300.22N

F=100N

∑Fy=0 ∑Fx=m*a

N=wyT2-f-wx-t1=m*a

N=159.73Nt2=79.86+120.36+100+20.41a+20.41ªF=79.86NT2=40.82a+300.22

T1=100NT2=300.22N

22.- Un bloque de 30Kg se encuentra sobre un plano horizontal con µ=0.2 y

se une mediante una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamientoa un bloque suspendido, inicialmente en reposo y situado a 4m por encimadel suelo. El bloque suspendido golpea el suelo al cabo de 5s.

a) Hállese el peso del bloque suspendido

b)calcular la tensión en la cuerda mientras ambos bloques estaban enmovimiento

Ma=30Kg d=Vot+1/2at2

Wa=2.49N a=0.32m/s2

µ=0.2 ∑Fx=0 ∑Fx=m*aVo=0 N=wt-f=m*a

h=4m N=0.2*294T=68.4t=5s F=58.8N



102

∑Fx=0∑Fy=0w-t=m*a

9.8m=68.4+0.32m

9.48m=68.4m=7.22Kg

w=70.71N

23.-Em el sistema las aceleraciones de cada bloque Ma=5Kg Mb=20KgMc=15Kg µ=0.5

mA=5KggmB=20Kgmc=15Kg ∑Fy=0 ∑Fx=m*awA=49NwB=196Nwc=147N N=Wta-f=m*aC

N=147N49+5aA-

73.5=15aCaA=20aB F=13.5N5a+24.5tB=2tA =15aC

∑Fx=0∑Fy=m*a∑Fy=maB 98-20Aa=5aA-24.5

Ta-w=maw-tB=ma*B 122.5=25aATa-49=5aA196-2Ta=20(1/2aA)+15ac aA=4.9m/s

2

Ta=49-5aA9B-20aA=15aC aC=0

aB=2.45m/s2

maB=mAaA+mCaC

maB=40aB+15aC

24.- Determinar la aceleración con la cual se mueve los cuerpos en la figuraa) y b) También la tensiones en la cuerdas. Supòner que lso cuerpos sedeslizan sin fricción m1=200gr m2=180gr α=30º β=60º



103

a

Wx=Wsen30º ∑Fy=m*aWy=Wcos30º t-wsen30º=0.2

W=1.96N 1T=0.2a+0.98

Wx=0.98N -t=0.18a-1.53Wz=1.76N a=1.45m/s

2

T=1.39 Wx=wsen60º=1.53

∑Fy=m*a Wy=wcos60W-T=0.18ª ∑Fx=m*a ∑Fx=m*aT=1.768-0.18aT-wsen30º=m*a wsen60º-t=0.18

-T=-0.78-0.38T=0.2ª+0.98+a=20.6m/s2

2T=1.53-0.18a

Wx=wsen30º=0.98N T=1.27NWy=wcos30º

25.-Un bloque de hielo sobre un plano inclinado rugoso de 45º sobre lahorizontal en el doble de tiempo que resbala sobre el plano igualmente

inclinado pero sin rozamiento. Determinar para la superficie rugosa el

coeficiente de fricción

Wx=Wsen45º=6.93N∑Fx=m*a ∑Fy=0 ∑Fy=Wcos45ºwx- µN=m*a*N=wy

6.93 µ=6.93-aN=6.93ND=Vot+1/2at

2 =Vot+4t

2 ∑Fx=4a

at2=4a t

2 wx=4aµ=0.75

a lisa=4ª rugosa=1.73m/s2

26.-Hallar la aceleración y la fuerza F hará que el bloque de peso W, este4 apunto de deslizarse sobre la superficie inclinada tal como se muestra la

figuraEl coeficiente de rozamiento en el plano inclinado es u1 y entre la cuña y el

suelo es u2



104

∑Fx=m*a ∑Fy=0F-Fr=a*(w+w1)N=(w+w1)wy=N

F=(w+w1)(a+ µ2) ∑Fx=0

µ w1cosθ=w1senθ w1(µcosθ-senθ)=0

Fr= µ2Nw1x=w1senθ Fr= µ(w+w1)w1y=w1cosθ

a=g(µcosθ-senθ)

µsenθ+cosθ

F=w1+w(µ2 µ1senθ+ µ2cosθ+ µ1 cosθ-senθ)

27.- Los dos bloques de la figura parten del reposo. El coeficiente de

rozamiento para todas las superficies es 0.25. Calcular la aceleración decada bloque y la tensión en cada cuerda.

Wasen30º=49N ∑Fy=0 Wacos30º=848.7N N=wacos30º=818.7Wb=1960N12t1=T2

∑Fx=m*a

a1=2a1-wsen30º-0.25wacos30º+t1=100a1100a1=-702.176-t1

T1=702.176+100a1-t1=-980+100ª2a1+a2=2.78

T1=887N3a2=2.78a2=0.93

a1=1.87

28.-El tirante de una torre esta asegurado en A mediante un perno, la tensión

en el cable es de 2500N Determinar a)las componentes Fx, Fy, Fz de la



105

fuerza que actúa sobre el perno b)Los ángulos α,β,γ que definen la direcciónde la fuerza.

T=2500(-4i+80j+30k)Ut=94.33

Ut=-0.42i+0.85j-0.32K

T=-1500i+2125j+800k(N)

Cosα=ax/a=1050/2500α=114.83β=31.79

γ=71.34

29.- Sabiendo que la tensión en el cable AB=450N. calcular lascomponentes de la fuerza que se ejerce sobre la placa en A



106

AB=4i+j-7k

(AB)=9

µAB=-0.44+0.44-0.77fuerza en A=-00i+200j-350K(N)

30.- Una carga W está suspendida de 3 cables, como se muestra en la

figura. Determinar el valor de w, si la tensión en el cable DB es de 975N

DB=975N DC=9i+12jDBy-DBz=(12j-5k) µDc=0.6i+0.8jDB=13 DA=-6i+12j+4kµDB=0.92j-0.38k µDA=-0.43i+0.86j+0.29kFuerza BD=897j-370.5K

0.6C-0.43a=0-370.5+0.29a=0 By+Cy+Ay=w0.6c=0.43ª*0.29ª=370.5 897+735.89+1098.73

C=919.86NA=1277.59N w=273.62N

31.- Sabiendo que la tensión en el cable AB=450N. Calcular lascomponentes de las fuerzas que se ejerce sobre la placa en A



107

BA=-4i+3j-5k

(BA)=7.07 F=-256i+189j-318k

µBA=-0.57i+0.42j+0.71k

32.-Una carga W está suspendida de 3cables se muestra en la figura

determine el valor de W, si la tensión den el cable DC es de 2866(N) y ADes 185(N)

BD=6j+3k(BD)=6.55 tension DC=88.46i+2685.56-447.59K(N)BD=0.89j+0.45k AD=-30.41+182.48j(N)

DC=2i+6j-kDC=6.4

DC=0.31i+0.94j-0.26kAD=6.08AD=-0.16i+0.98j

33.-se tiene una cuerda fija en el punto A y se la hala con una fuerza de

100N desde el punto B Determinar:a) El vector F en términos de i,j,kb)el vector proyección del vector F sobre DC

c)El ángulo que forman el vector con su proyección en el plano x,z



108

µAB=µFµf=-4i+10j-2k

µAB=-36.51+91.29j-18.26k(N)

FDC=F*DC*DC=-4i+2K

(DC) µDC=4.47µDC=109.52/4.47

µDC=(-0.89i+0.15j)

FDC=-21.8i+10.95KTanα=10/4.47α=65.91º

34.- Si la tensión en AB es de 39N, determinar los valores de las tensionesque se requieren en AC y AD para que la resultante de las fuerzas aplicadas

en A sea vertical



109

AB=16i-48j+12k 0.23AB-0.43AC=0

AB=0.31i-0.92j+0.23K 9=0.43AC

AC=16i-48j-14k AC=21NAC=0.29i-0.86j-0.43k AC=6i-18j-9k

AD=-14i+18j 0.28AD=18.18AD=-0.28i-0.96j AD=64.93N

AD=-18.18i-62.33j+k(N)

Dinámica Rotacional

1.-

∑Fy=m*a

V2=g*r*tanα N=m*g

mg µ=m*ag* µ=ac

ac=w2R

v= w2R

a/w2=v/w

a=w*v

2.-

Mg-senα=m(V2 /R)=El=EF

m(V2 /R)mgRsenα=mgR

VF2=2gR-2gRsenα

Mgsenα=m/R(2gR-2gRsenα)



110

Senα=2-2senα Senα=2/3Α=41.81º

3.-Un cuerpo de 24Kg se hace girar em círculos horizontales por médio de

uma cuerda com resistência a la ruptura de 300N. Cuando la velocidad del

cuerpo llega a 8m/s se rompe la cuerdaa)Encuentre el ángulo que forman la cuerda con la vertical en ese instante

b)La longitud de la cuerda, si el radio de la trayectoria es de 9mm=24Kg

t=300NVt=8m/s

L=R/senθ ∑Fx=m*aTcosα=24v

2 /R L=9/0.55

Tcosα=24*82 /9 L=16.23

cosα=170.66/300α=55.32º

4.-Si el tren pasa una curva con peralte de 63Kg/h. El radio de curvatura es

de 328.08m calculara)El peralte de la curva de modo que el tren no experimenta fuerzas laterales

b)El ángulo que hace con la vertical una cadena que cuelga de uno de losvagones

V=63K/h

R=328.08Vop= α gRtg

17.5= α tg*08.328*10

306=3280.8tg α

tg α=9093= α=5.33º

5.-Una piedra cuya masa es de 0.4Kg de masa esta atada al extremo de una

cuerda de 0.8m. Si la piedra describe un circulo a velocidad de 80rev/min.Cual es la magnitud de la fuerza que ejerce la cuerda sobre la piedra. Si lacuerda se rompe bajo una tensión de 50Kg. Cual es la mayor velocidad

angular posible?



111

W=80rev/min=8.38rad/s∑Fx=0

T cosθ-p=0T cosθ=p

T cosθ=4NT=4N/cosθ

6.- Sobre um plato de tocadiscos horizontal se halla uma moneda a 0.25mDel centro. el tocadiscos inicia su movimiento desde el reposo con una

aceleración angular de 2rad/seg. El coeficiente único de rozamiento entre la

moneda y el plato es 0.5a)El tiempo que permanece la moneda sin deslizarse

b)La velocidad angular antes que la moneda se deslice

FC=m*a Wf=Wo+t αt

Fr=m*wf 2r 2t=

25.0

8.9*5.0

Nµ=mwf 2r t=2.2s

Wf=r

2 µ

Wf=4.42rad

7.-La masa m gira con velocidad angular w constante como se indica en lafigura ¿Qué w deberá tener para que t1=3/2t2?



112

T1=3/2T2R=sen30º

R=0.5m∑Fy=0 ∑Fx=0

3/2T2sen60º-T2sen60º=P 3/2T2cos60º-T2scos60º=(0.043T2)

1.3T2-0.86T2=m*g (w2

*R)M=0.043T2 1.25T2/0.043T2= w

2*0.5

W=7.59rad/s

8.- Un balde se suspende de una cuerda de 1.2m de longitud y se mueve enun circulo horizontal. Las gotas de agua que abandonan el balde caen y

forman en el piso un circulo de radio r.Calcular el radio r cuando θ=30º

1.2/sen90º=r/sen30=0.6

0.6/sen60º=b/sen30º=0.34

R=VtH=Vot+gt2 /2

0.34=4.9 t2

T=0.20s

tcos60=mV2 /r

tsen660=m*g22

60

*

*

60cos

60

v

gr tg

r

vm

gm

t

tsen===

v= 86.160

=tggr rt=1.2+x

r=1.1x=0.1



113

R=ABcos60º ∑Fr=m*a

R=0.5m 2Ty=1.02*400/0.5

m=w/9.8 T=816Nm=1.02

Fr=m(7.2/50)

2

∑Fy=0

N*µ-m=103.68 W=N10*µ=8m mg=N

Μ=8/10=0.8 N=10m

11.-A cuantas revoluciones por segundo há de girar alrededor de um eje

vertical, el aparato de la figura, para que la cuerda forma um ángulo de 45ºcom la vertical?¿cual es entonces la tensión de la cuerda?

R=sen45º*LR=14.4cm=0.14m

Tcos45º=m*a T=2/sen45ºTcos45º=w

2*R T=2.83N

W=8.33rad/sW=1.32 RPS



114

12.-Dos bloques que tienen el peso y la posición de la figura descansan

sobre un marco que gira alrededor de un eje vertical con velocidad constante. el coeficiente de fricción entre los bloques y el marco es µ=0.20

Despreciando el peso y la fricción de la polea. A cuantas RPM empezarán a

deslizarse los bloques y cual es la tensión de la cuerda en ese instante?



115

W=cte ∑FX=m*a

W=4RPS T=m*aP=m*g T=0.3(25.12)

2R

m=P/g T=17.37N

m=0.03m

14.-Un cuerpo de 30kg gira con movimiento circular uniforme sobre unamesa horizontal completamente lisa, sujeta a una cuerda de 60cm de

longitudes. Otro cuerpo de 10Kg de masa descansa sobre el cuerpo anterior.Calcular:

a)El coeficiente de rozamiento mínimo entre las superficies de los

cuerpos para que con una velocidad angular de 2rad/s el cuerpo de 10Kg nose deslice.

b)La tensión de la cuerda

T=m*w2*R

T=40*4*0.6T=96N

15.-se hace girar un cuerpo de masa 5Kg. En una circunferencia horizontal

como se indica en la figura, sujeta a una cuerda de longitud de 2m ycomnuna velocidad Vo constante. Si la cuerda forma un ángulo de 45º conla vertical

a)La tensión en la cuerdab)El valor de la velocidad del cuerpo Vo



116

∑Fx=m*a ∑Fx=0

T cos45º=m*a T sen45º=PT cos45º=m(V

2 /R) T=70.71N

V2=14.1

V=3.75m/s

16.-Um bloque de masa 10libras esta asegurado a los extremos de losalambres AC Y BC, como se indica em la figura. El sistema gira en una

circunferência horizontal com uma velocidad constante. Determine:a) La magnitud de la velocidad para que la tensión en las dos cuerda se a la

misma.

b)El valor de la tensión

Peso=10lb=44.54NMasa=4.54KgAC/sen120º=1.21/sen30º T*sen60º+Tsen330º=m*g

AC=2.11m T(sen60º+sen30º)=44.5

R=AC*cos60º T= º30º60

54.44

sensen +

R=2.11cos60º T=32.61R=1.055m 44.54=4.3V

2

V2=10.35

V=3.21m/s

17.-Una pequeña esfera de 10N de peso se sostiene mediante dos cuerdasAB y BC como se muestra en la figura. En la posición mostrada se le

describa una trayectoria circular vertical. Determinar la tensión en lascuerdas en el punto más bajo de la trayectoria



117

R=(1-0.75

2) ∑Fy=0

R=0.66m 2Ty=m*V2 /R

2Tsen41.4º=618.43

Cosθ=0.75 T=468.5

θ=41.4º

18.-El sistema de la figura gira alrededor de un eje vertical con velocidadconstante. Conociendo que el coeficiente de rozamiento entre el pequeño

bloque A y la pared cilíndrica es 0,2 determine la velocidad para que el

bloque permanezca en contacto con la pared.

µ=0.2

R=0.2m N=m R

v2

Fr-mg=0 Rvmmg

2

= µ

N µ=m*g

N=mg/ µ v=2.0

2.0*8.9

V=3.13m/s

19.-Un pequeño cuerpo de masa 1Kg. Descansa un plano inclinado que gira

alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante de 20RPM. Si el cuerpo está unido al eje de rotación por medio de una cuerda,

como se muestra en la figura, y se considera despreciable el rozamiento

entre el cuerpo y el plano. Calcule la tensión en la cuerda



118

W=20RPM=2.09 rad/s ∑Fx=m*a

R=3sen60º=2.598m Tcos30º=m*aT=1/0.87(w

2*R

T=13.07N

W=5Kg(9.8)=49N ∑Fx=0T=0.5m(sen60º)+0.49m tsen60º-Nsen30º=mV

2 /R

a) V=0.13m/s -0.5N+0.86T=2.05

∑Fy=0 ∑Fx=0

Ncos30º+Tcos60º-w=0 TCOS60º=W0.86N+0.5T=R

2T=49/cos60º



119

T=98N∑Fy=mV

2 /R

Tsen60º=mV2 /R

V2=8.48

V=2.91

R=cosθ*a Ti=Tx+Ty∑Fy=0 Ti=m*w2*a+20m/s

Tsenθ=P Ti=m(w2*A+10)

Tsenθ=m*10/a2

Tsenθ=20mTy=20m



120

Cos θ=R’/R ∑FX=m*aR’=Rcosθ Ncosθ=w

2 Rcosθ

Nsenθ=w w2=

θ rsen

g

N=θ sen

gm* w=

θ cos R

g



121

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA

EJERCICIO 18

F=200N

W= ? W=F*dD=200m W=Fcos30º*200θ=30º W=69282.03j

F=4000N

V=5m/s a)W=4000N*5m/s*300s

T=5min=300s W=6*106J

V=d/t b) W=4000N*2.5m/s*300s

d=V*t W=3*106J

W=F*dW=F*V*t

T=1/2K*x2

1)T=1/2*(500)(0.1) 2

T=0.025J

2) T=1/2*(500)(0.04) 2

T=0.4J



122

a)Tt=T2-T1Tt=0.375J

b) Tt=T1-T2Tt=-0.375J

4.

W=F*dW=(F1-F2)*d

a)W=(10-0)*2 b)W=(0-10)*2W=20J W=-20J

c)W=(10-10)*2

W=0J

5.

ΣFy=0 ΣFx



123

N=Wcos20º Wsen208-FrN=(0.75)(9.8)(cos20º) Fr=(0.75)(9.8)(sen20º)

N=6.9N Fr=2.51N

TFr=(2.51)(1.28) Tn=Tw- TFr

TFr=-3.22J Tn=(Wcos70º)(d)-3.2JTn=3.2-3.2

Tn=0J

6.

F=60xicos 0º Xo=0.15m x=0.25ma)Xo=0=x=0.15m W=60N*0.10mW=F*dcos0º W=9J

W=60N*0.15m

W=9j

7.

ΣFy=0Fe=w Fe=WKx=m*g Kx=(0.15+0.1)(9.8)

K=046.0

8.9*15.0 x=6.37/31.96

X=0.2m

K=31.96N/m x2=20-4.6

X2=15.4

Tr=2

)37.647.1( +(15.4)

Tr=60.37N



124

F=15N ∑Fy=0M=3Kg N-p=0

D=3m N=Pµc=0.2

a)W=F*d b)WFr*d c)W=N*d d)W=p*dW=15*3 W=µc*N*d W=3*0 W=3*0

W=45J W=1.8J W=0 W=0

e)Tt=T1+T2+T3+T4Tt=46.8J

H=V*t

H=1.5*20H=30m

Tw=(500)(9.8)(3cm)

Tw=-1.47x105J

Tf =W*30Tf =1.47x10

2J

m=0.05Kga)resistencia=20000N Ec=1/2mV

2

d=16000Kgm2 /s

2 Ec=1/2(0.05K)(900)

2



125

2000Kfm/s2

Ec=16000JD=0.8m

c) d)

w=F*d

A=220000*8.0 W=20000*0.8m

W=16000JA=8000J

h=Vt+1/2at2

ΣFy=m*ach=1/2(2)*2s Fe-W=M*a

h=25m fé=m*g+m*a

X1=3cm X2=10cm

W=F*d W=F*dW=(75)(9.8)(0.03m) W=(75)(9.8)(0.13m)

W1=22.05J W=95.55J

No almacena trabajo



126

µc=0.20W=F*d

Σy=0 Σx=m*a

Fy+N-Py=0 Fx-Px-Fr=m*a

N=Py-Fy 80cos10º-50sen30º-0.20*29.41N=50cos30º-80sen10º m*a=47.90J

N=29.41J

W=m*a*dW=47.90*6

W=287.4J

EJERCICIO19

R=75% R=P(util)/P(total)

T=?min 0.75= P(util)/20CVM=50000Kg P(util)=15cv=11040wattsP=20CV W=m*g*h

W=7350J

P=W/tP(util)=W/t

T=0.67s=0.011min

P=F*V*cos50º



127

F=º50cos*5

50Cv

P=F*V*cosθ

V=P/(Fcos6.84º)

V=6764.1WaTT

m=1Kg W=m*g*h P=W/t

h=10m W=1*10*10 P=100/10

t=10s W=100J P=10wattg=10m/s

EJERCICIO20

Ec+ep=01/2mv

2+m*g*h=0

a)ΣFy=m*a ΣFy=m*aN-W=m* v

2 /r N=mV

2 /r*m*g

N=m v2 /r+m*g N=m(V

2 /r-g)

N=m(v2 /r+g)

c)para que exista ingravidez debe estar em altura máxima por los

tanto

N=m(V2 /r+g)

V2 /r=g

V= r*9.8



128

2.

ΣFy=0

Tcosβ=W2Wcosβ=W

cosB=1/2β=60º

M=2Kg Vo=9.8m/s ep=m*g*hf ec+ep=0W=19.6Kg Fr=0.82 ep=-19.5*5 Vf-98=0

Fr=0 Vo=0 Vf2=0 ep=-98 Vf=9.89m/s

ΣFy=0 ΣFx=m*a

N-w=0 -0.8*19.6=2aN=19.68 a=77.84m/s

2



129

m=5Kg W1-W2=Eg1-Eg2

y1=10m W1-W2=(m*g*y2*m*g*y1)

y=5m W1-W2=(5Kg*9.8*5)(5*9.8*10)y3=1m W1-W2=245J

T2=2K=1500N/m Ew1=(W1-W2)+( W2-W3)U=0 Ewt=245+196

Ewt=441J

W2-W3=(m*g*y3*m*g*y2)W2-W3=(5*9.8*1)+(5*9.8*5)W2-W3=196J

T=1/2Kx2

X= 1500 / 44*2

X=0.7666m

a)T=10J ec=ec1-ec2

T=F∆xcosB ∆ec=T10J=F2cosθ ∆ec=10J

F=5N ecf=10J



130

Em1=Em2 (ec+ec+eg)=( ec2+ec2+eg2+q+F)

Wgy1=1/2mVo

2+

10µmgRcos30º(ec+ep+ec1)= (ec2+ep2+ec2) Fc=µNcm*g*∆x=m/2v

2 +m*g* ∆x Tfc=fcmg*30

g(h)=g ∆x ∆x=Sr/sen30

h=2R 30=1/2 Vo2+8.666

Vo=6.53m/sΣFy=m*acN+mg=mVoc

2 /r

Voc=3.16m/s

Σfy=0 Mt=m1+m2 (1/2mVf 2-1/2mVo

2)+(mg*hf- mg*hf)=0

T-mg=0 mt=0.3+15 -35.03+153hf-153ho=0T-15.3(10)=0 mt=15.3 hf-ho =0.23m



131

T=153N ∆h= 0.23m

T=∆eg Fx=588m(J)T=-(Eg2-Eg1) gya-gyb=1/2Vb

2

T=(m*9.8*40)+(m*9.58*100) Vb2=220g

T=588m Nb=m*g+m220/10gNb=23mb

m(Vf 2- Vo

2)/2=588m Ema=Emb

Vf 2=2*588 (ec+ep+eg)=(ec2+ep2+eg)

Vf=34.29 (10)(100)=1/2 Vb2+10*-10

Vb=46.9

ΣFy=MayNb-mg=MVb2 /r

Wf=ec+ee+ep



132

Fd=1/2mV2+1/2Kx

2+1/2L

2

2*5/k*k=2*25-400+200L2

10=-50-400+20L2

L=1.51

d)V=2m Ec=1/2(2)(31.69) 2

Tf=1/2mVc2-1/2mV Ec=1009

Vc2=1250 T=1250J

Vc=35.41m/s a)T=F*d

T=50N*20m

Tf=∆ec T=1000J100=Vb2-4 b)T=f*d

Vb=31.69 T=(50N)(10m)T=500J

Tf=1/2mvc2

Vc=35.35m/s



133

V

2+2gh=Vo

2Ema=m*ac Efr=m*ac

107.8+9.8=v2 Epg=Ecf N-mgcos60=M*Vb

2 /r

Vc2=117.5 Vb

2=107.8 N=m*g*cos60º+107.8

N=112.7

a)Eca=1/2mVa2

b)Epa=m*h*g c)Ea=EB

Eca=1/2*40*36 Epa=40*9.8*120 Epa+Eca=EcbEca=720J _Epa=48000J m*g*h+1/2mVa2=1/2mVb

2

Vb=2436

Vb=49.35m/s

Sen30º= x

h

+− 5.04

1 Ema=Emc

1/2kx2=m*g*h+1/2m*V

2

h1=(sen30º)(3.5+x) ½(600)x2=1*9.8*(4+1.75+0.5x)+1/2(1)(4.43)



134

h1=1.75+0.5x 3000x2=56.35+4.9x+9.8

3000x2-4.9x-66.15=0

X=0.15mΣFx=m*a

m*g=m*ac

v= 8.9*2 V=4.43m/s

Ecb=TRTR+Bem=EMA

M*g*h-Tr=1/2mV2

Epgb=(m*g*h)+Tr

EmA=Em2M*g*há-m*g*h+1/2mV

2

V2=2ghA-g*h

Vf 2=Vo

2+2ad

D=2Rh



135

0.5Vb2=9.89m/s TfrA-B=AEc+AEpg

Μmg(ABcos30º)=ECB+Epgb+Epeb+EPra0.2*1*9.8*cos30º*4m=1/2KgVb2+Kg(9.8)2

6.7876=4.89-0.5Xo*4000

Xo=0.451

A)ΣFx=m*a B)N=m*g c)senΦ=RhF=1*34.2N N=1*9.8 senΦ=1/2

F=34.2N N=9.8N Φ=30ºm*g*h=1/2mVf

2 F=5*9.8



136

Vf 2*

0.5=19.6 F=49NVf=34.2m/s

Ec=Epg1/2m*V

2=m*g*h

M(0.5V2-gh)=0

35V2=70gh

V2=2gh

Ec=EpM*g*h=m*g(0.4R)+Fr

10mgR-10(0.4mgR)=Wfr

10mgr-4mgr=WFr6mgr=Wfr



137

a)Ema=Emb B)EmA=EmcEca+Epa= Ecb+Epb Ecb=Ecc+Epc

1/2mva2+m*g*h=0 1/2mVb

2=1/2m*Vb

2+m*g*h

0.5*2Vb

2

=98 0.5*2*9.8=0.5*2Vc

2

+2*9.8*2.5Vc=7m/sVb=9.8m/s Ecc+Epc=Eco+Epo

0.5*4.9+9.8*1.25=0.5V2+9.8*7.5

Vo=5m/s

EmA=EmB(Ee+Eg+Ec)A=(Ee+Eg+Ec)BEcA=EcB1/2mV

2=m*g*h h=V

2 /2g

EmA=Emb(Ee+Eg+Ec)A=(Ee+Eg+Ec)B

mgYa=1/2mVb2+1/2Kx

2

Vb=706m/s



138

ΣFy=0 EmA=EmC+RN=W Epg+Ema=Emc+Tfr1+ Tfr2

N=m*g m*g*h+1/2mV2=m*g*µd2+m*g*d2 µd2

Fr1=m*g*µ (9.8)(5)+1/819=(9.8)(0.3)(5)+(2.94cosθ*5/senθ)49.5=14.7+14.7tgθ

Fr2=m*g*µ 34.8=14.7tgθ

Fr1=mcos*2.94 tgθ=34.8θ=97.12θ=22.88º

Cosθ=0.5θ=60º

ΣFy=0 ΣFx=0Tsen60º=m*g tcos60=m*v

2 /R



T=º60

8.9*3

sen V=

3

60cos*95.33*5.0

T=33.95N V=1.68m/s

H=3-0.866

H=2.13

EmA=Ema

Epg+Ec=Ec

m*g*h+1/2mV2=1/2m V

2

v= 2*2

61.113.2*8.9*22

+

V=6.68m/s

solucionario de fisica basica espe

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