solucionario de matematicas para administracion y economoa

DE JEAN E. WEBER

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EDUARDO 6SPIN O ZA RAMOS _ ■LIMA - PERU B

> EN EL PERÚ » del 2003

2o EDICIÓN

:hos reservado s

o no puede reproducirse to ta l ó parcia lm ente por ningún m étodo

e lectrón ico o m ecánico, incluyendo los sistemas de fo tocop ia ,

m agnéticos o de a lim entación de datos, sin expreso consentim iento •r y Editor.

JN ° 10070440607

)* »rechos del Autor N° 13714

com ercia l N° 10716

Publica N° 4484

PROLOGO

La obra que presento “Solucionarlo del texto de matemática para administración y economía por

JEAN E. WEBER” es su segunda edición es debido a que los estudiantes especialmente del área

de economía, Contabilidad y administración utiliza en los cursos de matemática el texto de JEAN

E. WEBER, de tal manera que en este libro encuentren una ayuda en la solución de los problemas,

los cuales son desarrollados en forma clara y precisa ilustrándolo con gráficos.

El libro empieza con la solución de los problemas de conjuntos, relaciones, funciones, la recta,

aplicaciones de la oferta y demanda lineal, se continua con las cónicas: circunferencias, elipse,

parábola e hipérbola así como las curvas de oferta y demanda, se desarrolla las funciones

logarítmicas y exponenciales, limites, continuidad, derivadas y sus aplicaciones, se desarrolla el

cálculo en varias variables, derivadas parciales y sus aplicaciones, el cálculo integral y sus

aplicaciones así mismo se desarrolla las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencias.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones. Es mi

deseo que encuentren en ellas, mayor ayuda en sus estudios y signifique un avance en su

formación científica.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

DEDICATORIA

i.

2.3.

4.

5.

6.

Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA

que Dios ilumine sus caminos para que puedan

ser guías de su prójimo.

l . l .

1.2 .

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.1.7.

1.8.

1.9.

ÍNDICE

| INTRODUCCIÓN

Pag.

Conjuntos. 1

Problemas. 1

Relaciones y Funciones. 10

Problemas. 11

Funciones Inversas. 25

Problemas. 25

CAPÍTULO i 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA ]

La recta. 35

Líneas paralelas y perpendiculares. 35

Ecuación genera! de la recta. 35

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 36

Ecuación de la recta en la forma punto- pendiente. 36

Ecuación de la recta en ía forma pendiente - intersección. 36

Ecuación de la recta en forrna - intersección. 36

Familia de rectas. 36

Problemas. 37

.10. Aplicaciones de las gráficas rectilíneas en administración y economía. 57

.11. Función de Consumo. 59

.12. Problemas. 60

.13. Métodos generales para trazar gráficas no lineales. 76

.14. Problemas. 76

.15. Métodos generales para trazar gráficas no lineales. 84

.16. Problemas. 84

.17. Curvas cuadráticas. 95

.18. Identificación de una curva cuadrática. 95

.19. La circunferencia. 96

.20. La elipse. 96

.21. Problemas. 97

.22. La parábola. 99

.23. La Hipérbola. 100

.24. Casos especiales de la hipérbola. 101

.25. Problemas. 101

.26. Problemas. 104

.27. Aplicaciones de las curvas cuadráticas en administración - economía

curvas de oferta y demanda 113

.28. Equilibrio de mercado. 114

.29. Graficas de transformación del producto. 114

.30. Problemas. 114

31. Ley del Pareto de la distribución del ingreso 142

32. Problemas. 142

33. Curvas exponencial y logarítmica 148

34. Problemas. 150

35. Aplicación de las curvas exponenciales y logarítmicas en administración

y economía 152

36. Problemas. 154

CAPITULO II

CÁLCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES DE UNA VARIABLE |

2.1. Límites de una función

2.2. Propiedades.

2.3. Problemas.

2.4. Continuidad.

2.5. Derivadas.

2.6. Reglas de la Derivación.

2.7. Problemas.

2.8. Otras reglas de derivación.

2.9. Problemas.

2.10. derivación logarítmica y exponencial

2.11. Problemas.

2.12. Funciones Trigonométricas.

2.13. derivación de las funciones inversas.

2.14. Problemas.

2.15. Problemas.

2.16. Diferenciales.

2.17. Problemas.

2.18. Derivadas de orden superior.

2.19. derivación implícita.

2.20. Problemas.

2.21. Aplicaciones de las derivadas.

2.22. Aplicaciones de las derivadas en problemas de administración y economía.

2.23. Elasticidad (tasa de cambio proporcional).

2.24. Fórmulas para evaluar la elasticidad.

2.25. Elasticidad - punto sin ambigüedad.

2.26. Generalizando la elasticidad de y con respecto a x

2.27. Elasticidad de la demanda. 302

2.28. Elasticidad cruzada. 303

2.29. Elasticidad constante de la demanda. 303

2.30. Problemas. 303

2.31. Ingreso total, ingreso marginal y elasticidad de la demanda 307

2.32. Problemas. 30 '/

2.33. Formas indeterminadas 311

CAPITULO I I I CÁLCULO BIFERENOaT!

3.1. Funciones de más de una variable. 333

3.2. Diferenciación parcial. 333

3.3. Problemas. 333

3 .4. Diferencial total. 348

3.5. Derivada total. 34g

3.6. Diferenciación de funciones implícitas. 349

3.7. Problemas. 349

3.8. Aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía. 360

3.9. Función de producción. 366

3.10. Productividad marginal. 366

5.11. Función de producción homogénea. 366

5.12. Curvas de producto (o producción) constante. 367

5.13. Función de utilidad. 367


U 5 . Máximos y mínimos de la función de dos variables. 376

1.16. Problemas. 3 7 7

1.17. Máximos y mínimos sujetos a restricciones multiplicadores de Lagrange. 394


3.19. Condición de KUHN - TUCKER.

3.20. Problemas.

3.21. Sucesiones y Series.

400

401

418

CAPITULO IV

CÁLCULO I N T E G R A L

4.1. Reglas para la integración 428

4.2. Problemas. 428

4.3. Aplicaciones de la integral indefinida en la administración y la economía 435

4.4. Integral definida. ' 441

4.5. Problemas. 441

4.6. Área como integral definida. 445

4.7. Aplicaciones de la integral definida en la administración y la economía. 458

4.8. Problemas. 459

4.9. Métodos especiales de integración. 469


4.11. Integración por partes. 474

4.12. Integración por fracciones parciales. 483

4.13. Integración por nacionalización. 488

C A P I T U L O V [¥ c ijA P O NES DIFERENCIALES

5.1. Problemas. 494

5.2. Ecuaciones Diferenciales de primer orden y primer grado 49')

5.3. Problemas. 5 2 1

CAPITULO VI

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Definición. 564

Ecuaciones lineales en diferencias. 565

Solución de las ecuaciones en diferencias. 565

Problemas. 565

Ecuaciones lineales en diferencias de primer orden con coeficientes constantes 570

Problemas. 572

Ecuaciones en diferencias lineales y de segundo orden con coeficientes constantes 582

Comportamiento de la solución. 583

Problemas. 584

Introducción 1

INTRODUCCION

E Z CONJUNTOS.-I—---------------------------------- : '

U - conjunto universal

A u B = ( x e U / x e A v x e B }

A n B = {xe U / : . 6 A a x e B }

A - B = { x e U / x e A a x «?B]

CbA - B - A = { x l Jte B a .i & A)

A ‘~ C aU - V - A ___

\:i PROB L E MA s . -

G ) Si A,B y C son conjuntos tales que A c B c C ¿Cuál es la relación entre C - B y C - A?

Desarrollo

La relación entre C - B y C - A es: C - B c C - A

( 2) Demuestre que en general, ( A r \ B ) ' ~ A'<jB'

Desarrollo

i) (A n f i) ’c A ’u f i '

I o x e (A n B ) 1 = > x ¿ A n B , def. de complemento

2o x g A v x i B,def. de intersección

Eduardo Espinoza Ramos

3o x e A' v :te fi',def. de complemento

4o x e A 'u B ', def. de unión

5o x e ( A u B ) ' => x e A ' u B ' , d e l ° y 4 °

6o ( A n j 5 ) ' c A ' u f í ' , 5o def. de contenido

li) A ' u B ' a ( A n B ) '

I o x e A’uZT => x e A' v x e B ' , def. de unión

2° x <£ A v x í B,def. de complemento

3o x g A n B, def. de intersección

4o x e (A n B) ' , 3o def. de complemento

5o x e A ' v B ’ => x e ( A n B ) ' , I o y 4o

6o A ' u f i ' c ( A n f l ) ' , 5o def. de contenido

( A n B ) ' = A'<j B ' , de i) y ii)

Demuestre que en general, A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C )

Desarrollo

i) A n ( B u C ) c ( A n B ) u ( A n C )

1° x e A n ( B u C ) , hipótesis

2° x e A a x e ( B u C ) , Io def. de intersección

3o x e A a (x e B v x e C), 2o def. de unión

4o (x e A a x e B) v (x e A a x e C), 3o propiedad lógica

5o x e A n B v x e A n C , 4° def. de intersección

6o x e (A n B) u (A n C), 5o def. de unión

Introducción 3

T x e A n ( B u C ) => x e ( A n B ) u ( A n C ) , I o y 6o

8o A n ( B u C ) c (A n B ) u ( A n C), T def. de contenido

ii) ( A n B ) u ( A n C ) c A n { B u C )

I o x e ( A n B ) u ( A n C ) , hipótesis

2o x s ( A n B ) v x e ( A n C), 10 def. de unión

3o (x e A a x e B) v (x e A a x e C), 2° def. de intersección

4o x e A a (x e B v x e C), 3o y propiedad lógica

5o x e A a x e (B u C), 4o def. de unión

6o x e A a (B u C), 5o def. de intersección

T x e ( A n B ) u ( A n C ) => x e A n ( B u C ) , Io y 6o

8o (A n B) u (A n C) c A n (B u C), T def. de contenido

A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C), de i) y ii)

(T i Demuéstrese que, en general (5 n T ■) u (S n T) = S (5 u T) = S u (S n T) = S

Desarrollo

a) Demostraremos que: ( S n 7 " ) u ( 5 n r ) = S n ( S u 7 ’)

En efecto: (5 n r ,) u ( S n r ) = [ (5 n 7 ’,) u 5 ] n [ ( 5 n 7 " ) u 7 ’]

= [ S n ( 5 u r ,)]n (7 ’ u 5 )

= S n (S u 7 ” )n (7 'u S ) = [(S n 7 )u S ]n (5 u7")

= S n ( S v T ) r i ( S u T ' ) = S n i S u T )

b) Desmotaremos que: S n (S u T) = S u (S n T)

En efecto:


i) S n ( S u T ) c S u ( S n T)

Sea x e S n ( S u T ) => x e S a x e (S u T)

=> x e S a (x e S v x e T )

=> x e S v (x € S A x e T )

=> x e S v x e ( S n T )

=> x e S u ( S n T )

ii) S u ( S n T ) c S n ( S u T )

Sea x e S u (S n T) x e S v x e S n T

=> x e S v (x e S a x € T)

=> x e S a ( x e S v x e T )

=> x 6 S a ( x n S u T )

=> x e S n ( S u T )

c) Demostraremos que: S u (S n T) = S

En efecto: x e S u ( S n T ) « x s S v x e S n T

«=> x e S v ( x e S A x e T )

« x e S (pues: p v (p a q) = p)

Demuestre que, en general k u ( L n M ) = ( k u L ) n ( k u M )

Desarrollo

i) k u ( L n M ) c ( k u L ) n ( k u M)

I o x e k u ( L n M ) , h i p ó t e s i s

2o x e k v x e L n M, 1° def. de unión

3o x e k v (x e L a x e M), 2° def. de intersección

introducción 5

4o (x e k v x e L) a (x e k v x e M), 3o propiedad lógica

5o x e k u L a x e k u M , 4C def. de unión

6o x e (k u L) n (k u M), 5o def. de intersección

T x e k u ( L n M ) =» x e ( k u L ) n ( k u M ) , r y 6&

8o k u ( L n M) c ( k u L ) n (k u M),7° y def. de contenido

ii) ( k u L ) n ( k u M ) c k u ( L n M )

I o x e ( k u L ) n ( k u M ) , hipótesis

2° x e k u L a x e k u M . l ° def. de intersección

3o (x e k v x e L) a ( x e k v x e M), 2o def. de unión

4o x e k v (x e L a x e M), 3o propiedad lógica

5° x e k v x e L n M, 4o def. de intersección

6o x e k u (L n M),5° def. de unión

T x e (k u L) n (k u M) => x e k u ( L n M ) , I o y 6o

8o (k u L) n ( k u M ) c k u ( L n M),7° y def. de contenido

k u ( L n M) - (k u L ) n ( k u M ) de i) yii)

(ó ) Si A n B = <¡> y A n C = <|> ¿Es necesariamente cierto que B r . C = o?

Desarrollo

No es cierto, puesto que:

Es decir: A n B = <¡> a A n C = <¡> pero x e B n C => B n C * <|>

Si A / B y B / C ¿Es necesariamente cierto que A * C?

Desarrolio

No es cierto, puesto que

Es decir: A # B a B # C sin embargo A = C

Si A <2 B y B <z C ¿Es necesariamente cierto que A cz C?

Desarrollo

No es cierto, por ejemplo A = {1,3,5,7}, B = {1,2,3}, C = {1,3,5,7,8,9}

A <2 B, B cz C pero A c C

Si A c C y B c D ¿Se verifica necesariamente que A u B c C u D ?

Desarrollo

I o x € A u B, hipótesis

2° x e A a x e B, I o def. de unión

3o como A c C => x e A => x e C, def. de contenido

4o B c D x e B => x e D , def. de contenido

5° x s C v x e D, de 3o y 4o en 2°

6o x e C u D, 5o def. de unión

T x e A u B => x e C u D , I o y 6o

8o A u B c C u D , 7o def. de contenido

por lo tanto se verifica que A u B c C u D

Eduardo Espinoza Ramas Introducción 1

Hy Si A c C y B c D ¿Se verifica necesariamente A n B c C u D ?

Desarrollo

I o x e A c C => (x e A => x e C), hipótesis

2o x € B c D ( x e B => x e D), hipótesis

y x e A n B , hipótesis

4o x e A a x € B. 3o def. de intersección

5o x e C a x e D, I o, 2o y 4o

6o x e C n D, 5 o def. de intersección

T x e A n B => x e C r v D , 3o y 6o

8o x e A n B c C n D , 7°y def. de contenido

por lo tanto se verifica para A n B c C n D

@ Si S u T = {1,2,3,4}, S n T = {1,3}, S - T = { 2 } , determinar S y T

Desarrollo

S n T = {1,3} =>le S a l e T 3e 5 a 3 e r

S - T = {2} =*■ 2 e S a 2 í T

S = {1,2,3}, T = {1,3,4}

12) Si A n B í ( ( i y B n C í f ¿Es necesariamente cierto que A n B n C í <¡>?

Desarrollo

No es cierto puesto que si A = {1,2,3,4,5}, B = {1}, C ~ {2} se tiene que A n B n C ■

pero An B * ( ) i , A n C / é


Si U es un conjunto universal, determinar cuales de los siguientes enunciados y luego efectué su conexión cambiando ei segundo miembro de la ecuación.

a) B u <¡) = B

d) B u U = U

g) B n B = ([)

j) (A - C) u C = A - C

m) ( C - D ' ) = C ' - D '

a) verdadera

d) verdadera

g) B n B = B

b) C n U = C

e) D n <¡> = <|>

h) C! u C = C

k) B n ( B - D ) = B u D

n) ( A u D ) - D = A - D

Desarrollo

b) verdadera

e) verdadera

h) verdadera

c) A kjA' = U

f) A r \A ' = A

i) (D')' = U

1) Si A = B' => B = A'\

c) verdadera

f) A n A ' = (j>

i) (D ') '= D

j) (A - C) u C = A u C k) B n (B - D) = B - D 1) verdadera

m) (C -D ) ' = C 'uZ ) n) verdadera

Si A = {e,f,g} y N = {e,h J determine

a) A - B b) B - A

Desarrollo

a) A - B = {e,f,g} - {e,h} = {f,g}

c) A n B = {e}

c) A n B d) A u B

b) B - A = {e,h} - {e,f,g} = (hj

d) A u B = {e,f,g} u {e,h} = {e,f,g,h)

Si R = { w , x, y}, S = {u, v, w} y T = {u, v, w, x} y el conjunto universal de U = {u,v,w,x,y,z}, Determine.

a) R ' n T ' n S 'Desarrollo

Introducción 9

R ' n T ' n S ' = {z]

b) ( R ' - T ) v S

R' = {u,v,z} T' = {y,z) S ' ^ { x , y , z ]

Desarrollo

R - S = {w,x,y} - {u,v,w} = {x,y}

( R - S ) n T = {x,y} n {u,v,w,x} = {x}

c) R ’~{u,v,z}Desarrollo

R={w,x,y} => R ' -{ u ,v ,z ]

R ' - T = {m,v,z}-{k,v,w,z} = {z}

(S ’- r ) u S = {z}u{M, v, w} = {U, V, w, z}

d) ( R ' u s yDesarrollo

(R'kjS')' = R' 'r\S" = R r i S = (w, x ,y}n[u ,v ,w) = {w}

e) (S(j T ) - T '

S = {u,v, w,x] T = {u,v, w}

Desarrollo

S u T = {x,u,v,w}

(S u T) - T ' = {x,u, v, w} - f x, y, z} = {u, v, M'} = T

( 5 u I ) - r = J

f) ( R - T ) - ( S - R )Desarrollo

Eduardo Espinosa Ramos

R = [w,x,y]=> R _ T = {w,x,y} - {u,v,w,x} = {y}

1 = {U,V,W,X}

S = {u,v, w\=» S - R = {u,.v}

(R - T) - (S - R) = {y} — {u,v} = {y}

g) (S - R) - [(T - R) u (T - S)]

Desarrollo

T - R = {u,v\w,x} - {w,x,y} = {u,v}

T - S = {u,v,w,x} - {u,v,w} = {x}

(T - R) u (T - S) = {u,v} u {x} = {u,v,x}

S ~ R = {u,v,w} - {w,x,y} = {u,v}

(S - R) - [(T - R) u (T - S)] = {u,v} - {u,v,x} = ó

h) ( T - R ) u SDesarrollo

T - R = {u,v,w,x} - {w,x,y} = {u,v}

( T - R ) u S = {u,v} u {u,v,w} = {u,v,w} = S

Si A n B = <j> y A' - C ¿Se verifica necesariamente que B c C?

Desarrollo

No se cumple, puesto que si U = Z + y A = {x / x es par}, B = {:

entonces A' = C = [x!x es impar) por lo tanto B = C

RELACIONES Y FUNCIONES.-

R es una relación entre A y B <=> R c A x B

La función f de A en B denotado por f: A B

/ x es impar}

Introducción 11

Se define: f = {(x,y) e A x B / y = f(x)}, donde y = f(x) es la regla de correspondencia.

Df ~ {xe A! 3 y e B a (x ,y )e / } , dominio de f

R f 8 / 3 x e A a (x ,y) e / } , rango de f

[*4.____ P R O B LE M A S .-

(T ) Para cada una de las siguientes relaciones, establezca el dominio y el contradominio eindique si la relación es una función.

a) S = (1,3).(2,3),(2,4),(3,2),(4,1),(5.5)

Desarrollo

Calculando el dominio y el contradominio de D

D¡¡ = {1,2,3,4,5}, Rs = {1,2,3,4,5}

(2,3) e S a (2,4) e S = * 3 * 4

no es función, porque el elemento 2 del dominio le corresponde dos valoresdiferentes, pero para que sea función a cadaelemento de su dominio debe corresponderle uno solo del contradominio.

b) A ={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3)}

Desarrollo

Calculando el dominio y el contradominio de A

Da ={ 1,2,3,4}, RA = {3}

Si es función porque cada elemento de su dominio le corresponde un solo elemento del


c) ' T = { ( x , y ) / y = 4x + l, si 0 < x < 2 , y = \ .0 -x2, si 2 < o < 3 }

Y 1Desarrollo

y = 4x + 1, 0 < x < 2, es un segmento de recta.

y = 10 - x2 , 2 < x < 3, es una porción de la parábola

^ ¡ ^ X Dt = [0,3], Rr = fl, 9]. Si T es una función

d) B = {(x, y ) / y 2 = x, y es un entero ¡ y |< 8}

Desarrollo

Como | y | < 8 => -8 < y < 8 de donde

Rb ={0,±1,±2,±3,±4,±5,±6 ,±7,±8} y

Db ={0,1,4,9,16,25,36,49,64}

no es función, porque a cada elemento del dominio le corresponde dos elementos del rango.

Para cada una de las expresiones siguientes, determine si es una función el conjunto {(x,y)} de pares ordenados de números reales formados de acuerdo con la regla dada.

Desarrollo

No es función porque la recta vertical corta a la

grafica en dos puntos diferentes, para que sea función

la recta vertical debe cortar en un solo punto.

introducción 13

b) y = xDesarrollo

Si es función, porque la recta vertical corta a

la gráfica en un solo punto.

Desarrollo

No es función por ia recta vertical corta a la

gráfica en dos puntos, para que sea función la,

recta vertical debe cortar a la gráfica en un

solo punto.

Desarrollo

jr2 + y = l => x2 = - ( y - l )

Si es una función, porque la recta vertical

corta a la gráfica en un solo punto

e) x + y 2 =1Desarrollo


x + y 2 =\ => y2 = - ( x - l )

no es una función, porque la recta vertical

corta a la gráfica en dos puntos diferentes.

f) x2 + y 2 = 1Desarrollo

g) j’ = .r2 +4Desarrollo

y = x2 +4 => x2 = y - 4

Si es una función, porque la recta vertical,

corta a la gráfica en un solo punto.

ti) xy = 1

Desarrollo

Introducción 15

i)x - l

j) y =x 2 - 6

Si es una función porque la recta vertical

corta a la gráfica en un solo pumo.

Desarrollo

x 2 +4 , 5y —-----— = X + 1 +x -1 X - l

si es una función, porque la recta vertical

corta a la gráfica es un solo punto.

Desarrollo

Se observa en el gráfico que si es una función

porque toda recta vertical corta la gráfica en

un solo punto.


k) jc = -_1____

y 2 - y + 2

X =r + 2

Desarrollo

No es una función, porque la recta vertical corta a la

gráfica en dos puntos diferentes.

Desarrollo

No es función, porque la recta vertical corta a la

gráfica en dos puntos diferentes.

a) f(0) b) f(-2) c) f(a)

Desarrollo

Como f ( x ) = x3 - x 2 +6 => f(0) = 0 - 0 + 6 = 6

f(-2) = -8 - 4 + 6 = -6

/ ( a ) = a3- a 2 + 6

d) /(> ’ )

f ( y 2) = y 6 ~ y 4 +6

Introducción 17

( 4) Si f ( x ) = , obtenga:X-~i

a) f(3) b) f(-l) c) f(x - 2)

Desarrollo

, 3x2 ~8 . 2 7 -8 19f ( x ) = ------ — => /(3 ) = -

x - l 3 -1 2

3 -8 5

f { x - 2) =

- 1 -1 2

3 ( x - 2 ) 2 - 8 3*2 -12;r + 4jc — 2 — 1 x - 3

a - b - 1

determine

a) f(-l) b) f(4) c) f ( a 2)

Desarrollo

/ ( 4 ) :

d) f(a - b)

d) f(x + 2)

Eduaido Espinoza Ramos

Si f ( y ) = 2 V + y , determine

a) f(0) b) f(-l) c) f(5)

Desarrollo

f { y ) = 2y + y => /(O) = 2° +0 = 1

y (—i ) = 2- 1- i = i - i =2 2

/(5 ) = 25 + 5 = 32 + 5 = 37

/(>> + 6) = 2>”mS + v + 6

Si f ( x ) = 3 x - x 2, obtenga

a) f(D b) f(-2) c) f(a)

Desarrollo

f ( x ) = 3 x - x 2 => f(l) = 3 - 1 = 2

f(-2) = -6 - 4 = -10

f ( a ) = 3 a - a 2

J 3 1 = 3fc-lV A A2 h2

XSi g(x) = ------ , determine

x - 3

a> 8(0) b) g(3) c) * ( - )

Desarrollo

x

d) f(y + 6)

d) g(x + 6)

Introducción 19

8 ( x ) - ~ ~ => í(0) = ~ r = 0 x - 3 0 - 3

3 3g(3) = ----- = - = oo3 - 3 0

* (- )

g(x+b) =x+b

x + b - 3

Si h(x) = 4 x - x \ obtenga

a) h(2) - h(4) b) h{-).h{2) c) h(a + b )-h (c ) d)h(a)

Desarrollo

h(x) = 4 x - x 2 ==> n => b(2) - h(4) = 4 - 0 = 4h{ 4) = 16-16 = 0

h(—) = 2 - — = — , , l w ... 72 4 4 =* fc(—)ii(2) = —.4 = 7

/j(2) = 8 - 4 = 4

j/i(a + ¿>) = 4(a + ¿>)-(a + fc)2

I /j(c) = 4c - c 2h(a + b) - h(c) = (a + b)(4 - a - b) - c(4 -- c

fc(a) = 4a - a 1 = a(4 - a)

1 . . . 1 2 , a \ 2 1 + ü5(4 — a)3+ (/i(a )) '= — ---- - + a ( 4 - a ) = -A(fl) a (4 -o ) f l(4 -a )

(To) Establezca el dominio y el contradominio de cada una de las siguientes relaciones, determinar también si cada relación es una función y de no ser así, explique porqué.


i) y = x2 + 6

Desarrollo

2 »y = x + 6 ; “y” es real si y solo si x € R, por lo tanto el dominio es V x e R

y = x 2 + 6 =» x 2 = y - 6 => x = t ^ y - 6

“x” es real si y solo si y - 6 > 0 y > 6

por lo tanto el contradominio es [6 ,+=«>

>) y = 1 0 x - 5

Desarrollo

y = lOx - 5 es una función lineal, por lo tanto su dominio y el rango son todos los números reales.

:) y = ^ ± ^ 4 - 2 x 2

Desarrollo

“y” es real si y solo si 4 - 2x2 > 0 => x2 < 2 => -V 2 < x < y [ Í

Luego el dominio es [ - 7 2 , \Í2]

y = ± s¡4 - 2 x2 ==> y 2 = 4 - 2 x 2 => 2x2 = - 4 - y 2

2 4 - y 2 ¡ 4 - y 2x = ---- -— => x = ± J --------, entonces2 V 2

4 — y ' 7“x” es real si ---- — > 0 => y <4 => -2 S y < 2

2

Por lo tanto el contradominio es [-2,2]

No es función porque cada valor de x le corresponde dos valores diferentes.

Introducción 21

d) y = - ^ 4 - 2 x 2

Desarrollo

“y” es real si y solo si 4 - 2 x 2 > 0 => x 2 <2 => -^[2<x<y¡2

Luego su dominio es f—s/2, \ Í2]

2como y < 0 => y 2 = 4 - 2 x 2 => \ 2 = — => 4 - y 2 ¿ 0

y 2 < 4 => - 2 < y < 2 = > y e [-2 ,2]

por lo tanto el rango es <-°°,0 ] n [-2,2] = [-2 ,0 ]

además y = - v 4 - 2x2 es una función

e) y = y¡4 - 2x~Desarrollo

“y” es real si y solo si 4 - 2 x 2 > 0 => x2 <2 => —j l <x<\¡2

Luego el dominio es x e [-\¡2,\¡2]

Como y > 0 => y2 = 4 - 2x2 => x2 =

4 — v2 o“x” es real si y solo si — ^ — > 0 => y < 4 => -2 < y < 2

Luego el rango es y e [0,+=®> n [-2,2] = [0,2]

.además y = \ ¡ 4 -2 x 2 es función

4 - y 4 - y 2

Eduardo Espinoza Kamos

Desarrollo

9 , . 1V = -------- es reai si x ¿ —' 10x-5 2

luego el dominio de la función es xe < > u <--,+«> >2 2

9 1 10x-5 . . J 5y + 9 , 5y + 9y ---------- -•> — = ----------- de donde x = —-----. luego x = --------IOjc —5 .y 9 lOy lOy

solo si y & 0 , luego el rango de la función es y e < - ° ° ,0 > u < 0 ,+ < » >

, 25g) y = ~ r

xDesarrollo

y = “ , es real si y solo si x * 0 x

luego el dominio de la función es x e <-<*>,0> u <0 ,+°°>

25 o. i25 , ■ 25y - —T => x = ±.¡— es real si — >0

Luego el rango de la función es y e <0,+<»>

„2 t2 + 4Si / (* ) = -Y ~ x y g(t) = - — , obtenga

a) f(7) - g(3) b) /(3 ) * (2) + l

Desarrollo

a)t2 +4“ 3 T

g ( 0 -

/(7 ) = — - 7 = — 3 3

*( 3) =9 + 4 _ 13 3(3) ” 9

es real si y

Introducción 23

/ ( 7 ) - í ( 3 ) =28 13 84-13 713 9 9 "” 9

b)f ( x ) = — - x

3

g(t)-t2 +4 ~ 3t

f ( 3) = 3 -3 = 04 + 4 8 _ 4

<f~ 6 3* ( 2) = -

/(3 ) 0 0*(2) + l 4 + 1 7

3

x 2 - lSi q(x) = p(x) + g(x) y p(x) = —-— , g(x) = - y , obtenga q(2)

Desarrollo

^ 4 - 7 7 -12 + 21 9 3q(2)= p(2) + q(2) = ----------+ - = ------------------ = — = -3 4 12 12 4

(l3) Si h(x) = x 2 y Q(x) - ( jc 2 +1) 1, determine Q(h(x))

Desarrollo

Q(x) = (x2 +1)"1 => Q(h(x)) = (h2(x)+l)-1=(x3+ l T l - 3x3 +1

(l4) Si h(y) = ey y Q(x) = x2 + 4 , encuentre Q(h(y)).

Desarrollo

QMy))-.= Q(ey) ^ e 2>+4

f l í ) Si h(x) = x* +3x+6 v g(y) = —— , determine g(h(2)).1 + y

Desarrollo


/i(2) = 23 +3(2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20

20 20S(A(2)) = g(20) =

1 + 20 21

Si f ( x ) = \ , g(x) = x2 y Q(x) = x>-1 0 , halle Q[f(-2) + g(2)] a:

Desarrollo

/ ( * ) = “Tx =>g(*) = X2 U (2) = 22 = 4

G [/(-2 ) + g(2)] = G (-l + 4) = (2(3) = 33 -1 0 = 2 7 -10 = 17

g(0 = r + 3 y Q{t) = t~x, determine Q(g(t))

Desarrollo

GÍSÍO) = Q(t2 + 3) = (t2 + 3)-‘ = -r +3

Si f ( t ) = t3 +a y g(x) = x~3, obtenga g(f(t))

Desarrollo

g (/(f)) = g(r3 + a) = (í3 + a) 3 =(í3+a)3

Si f ( t ) = e'+2, h(t) = eh2‘ y g(y) = / ‘ encuentre

Desarrollo

8( f ( t ) ) _ g(e'+2) _ (e'+2)h _ e,+2 h> 2 = 2hrh{t) h(t) e»2' e'

Introducción 25

(20) Si &(.*) = —ln.r y g(x) = e2x, obtenga h(g(10))^ 5

Desarrollo

g(x) = e2x =* g(10) = e20

/i(«(10)) = /i(c20) = | l n e 20= ~ ln (e ).20 = 16 h(g(10)) = 16

[5. FUNCIONES INVERSAS.-

A la inversa de la función f(x) denotaremos por / “* (x ) .

La función f(x) tiene inversa f ~ l (a) si f(x) es inyectiva.

La función inversa f ~ l (x) se calcula mediante la ecuación.

V x e Df ,

16- PROBLEMAS.-

(T ) Para cada una de las siguientes expresiones, determine si la relación inversa es unafunción; si no es así, modifique el dominio de la función dada, de modo que su inversa sea una función.

a) {(a , y ) / y = Je2 +1}Desarrollo

Como y = x 2 +1, de donde x = ± J l - y , esta relación no es una función, luego

para que la inversa de esta relación sea función debe ocurrir que x > 0 , por lo tanto

x = <J\ - y es una función y es dado por f ~ x(x) - - J i - x

b) {(x,y) l y = 4 - x 2}Desarrollo


( 'orno y = 4 - x2 => x2 = 4 - y => x = ±y¡4- y , esta relación no es una función,

por lo tanto para que esta relación inversa sea función debe cumplir que x > 0

/ _1W = V 4 -x

c) [(w,z)l z = y j l - w 2 }Desarrollo

Como z = y] l -w 2 , z > 0 => z2 = l - w 2 , de donde

w2 = i - z 2 =¡> W= ± J 7 : ~ 2

función 0 < w < 1.

z esta relación no es función por lo tanto para que se

r \ z ) = J

d) {(u,v) / v — | u |}

Desarrollo

Graficando la relación y de su inversa

Luego para que sea función u > 0

Para cada una de las funciones, obtenga la función inversa / - 1(x) y demuestre que

/ ( / " * ( * ) ) = /■ *(/(*))=■*

a) f(x) = 3x + 2Desarrollo

/ ( / '(•*)) = 3/ _1 (jc) + 2 => / “»(,)

Introducción 27

r x ( / ( = r l( 3 x + 2 ) = = x

b) / (x ) Xx - 4

Desarrollo

r -1// ( / ~ 1(x))= = * => r \ x ) = x f - \ x ) - 4 x

r w - 4

( x - 1 ) / '(x) = 4x, de donde f~ ' (x) =x - l

4x 4xI 4x y_1 r —1 4x

A - ] x - l

x —2c) / (* ) =

jjc + 2Desarrollo

/ ( / 1 (*)) = - , (x) 2 = * => / 1 (* )- 2 - x f 1 (x) + 2x f (x)+2

, i 2x + 2(1 — x) f (x) = 2x + 2 . de donde / (•*) = --------

1- x

2x + 2 2 2x + 2 - 2 + 2x

f( / - 1 (x)) = / • (— —) = ------= ------- — ------= — :J U W ) J i ) 2x + 2 2x+2 + 2 - 2 x 4--------+ 2 -------------------

1- x 1- x

x+3d) / (x ) =


Desarrollo

/ ( / " '( * ) ) = "■■ (.*) + 3 = x => y -1 (JC)+3 = jc'/ -1 (JC) / - ' ( x)

, - 1, v 3( x - l ) / (x) = 3, de donde / (x):jc -1

3 3 + 3 x -3

/ < / " ' (*)) = f ( ~ ) = = — = XJC —1 _3^ 3 3

x -1 x -1

Determine f(g(x» y g(f(x» en cada uno de los siguientes casos:

a) f ( x ) = - i - y g(x) = *Jc-l x2 - l

Desarrollo

/(* (* )) = = ---- Y -----= - X2 -1« W - l x x2 - x 2 +l

x2 - l

g ( / ( t ) ) _ r ( x ) (x -1 )2 _ ( x - i ) 2 _ ( x - i )/ (JC)-1 1 1 1 -(X -1 )2 2 x - x

( x - D 2

b) / ( x ) = — y g(x) = - 4 —4 —x x —4

Desarrollo

x

/(* (* )) = ^ ~ 4 = — -------------------- = — —4 -# (x ) 4 _ _ f _ -16 + 4 x - x 3x-16

x - 4

Introducción 29

* ( /(jc)) = __ZÍ£L = 4 ,- x . . = ____*____= _ J L _/ ( x ) - 4 _ x __ ^ x -1 6 + 4x 5 x -16

4 - x

c) f ( x ) = g (x ) = ^ \x - l

Desarrollo

/ ( g W ) „ £ Í í i Ü = ¡ 3 Ü . i í H i J . ,í(*)-l í + 1 „ 1 J c + l - x + l 2

x - l

x + 1r , frrVl _ / (* ) + ! _ 7 -1 + _ x + l + x - l _ 2x _

f i x ) - 1 X+1 t JC + 1-JC+1 2x - l

d) / ( x) - V Í = Í . #(*) = —^x+1

Desarrollo

* (/(* )) =

c + 1

1 1 y f x - í - lf ( x ) +1 >/x—1 + 1 x - 2

( 4) Si / (x ) = ~ “ ~ > hallar los valores de a y b de modo que f sea su propia inversa, es

decir f(f(x)) = x

Desarrollo

f ( f (x)) = - = x , entonces se tiene:f c / ( x ) - l


a.t + 1a —— + ^ ^ ^ g(ax + ¥) + b x - l = ^

b x - \b{ax+\)-bx + \

a x + a + b x - l = x(abx + b - b x + l) => (ab -b )x"+(b + \ - a - b ) x + l - a = 0

(ab - b)x2 + ( l - a 2)x + l - a = 0 , por identidad se tiene:

a b - b - 0

i - a 2 = 1 de donde1- a = 0

a = 1 b = 0

- 1 vSi g(h) = h.eh y F (—) = —-— , obtenga > y + 1

a) g(F(t))Desarrollo

b) F(g(t»

a) g(F(t)) = F(t).en,) como F(t) = - ± 1

g(F(t)) = J+rt2 + 1

g \ t ) 1 1

_ J L + i i + s 2w 2 } g 2(t) 1 + t e ‘

) Si f(x) = x(x + 1) demuestre que f(x + h) - f(x) = h(2x + 1 + h)

Desarrollo

f ( x + h ) - f ( x ) = (jc + /i)(jk + /i + 1 ) - j c ( j c + 1) = x 2 + x h + x + xh + h2 + h - x 2 - x

= 2xh + h2 +h = h(2x + l + h)

Introducción3*1

Cz) Si / ( a ) = 1 , demuestre que f ( x + h ) - f ( x ) - ~ d lx 2 +hx

f ( x + h ) - f ( x ) =

Desarrollo

i ___x - x - h hx + h X x(x + h) ~x 2 +hx

Alla ^© S. g(y) _ _ i _ , demuestre que ~ ( g ( y ) + g(_ y)) = g(y2)

Desarrollo

T (g W + (-y )) = - r - ^ . + -ZjL1- l [ 3' + y2 - y + y 2 f1 ^ 0 J2 ' d w " 2 l l - 3; l + j J “ 2 l l - ^

••• ¿(sOO+ * (-? )) = ¿(y2)

0 Si F(z) = log(z) demuestre que F(xy) = F(x) + F(y)

Desarrollo

F(xy) = log(xy) = log x + log y = F(x) + F(y)

© Si 4>(R) = 2r , Demuestre que <}>(R + 1) = 2 (¡>(R)

Desarrollo

HR) = 2* ^ H R + \) = 2R+' =2.2« =Kt>{R)

0 ■) Si P(x) = 7 1 , Demuestre que: P(x + h)~ P(x) = h'Jx + h +y/x

Desarrollo

= g ( y 2)

F(xy) = F(x) + F(y)

<t>(R + 1) = 2 <()(R)


P(x + h ) - P ( x ) = k\fx + h + \fx

Si f ( x ) = x 2 -1 y g(x) = 2x + 1, Demuestre que f(g(x)) = 4x(x + 1)

Desarrollo

/(* (* )) = f ( 2 x +1) = (2x + 1)2 -1 = 4x2 + 4 x + l - l = 4x(x +1)

f(g(x)) = 4 x ( x + 1)

Si f ( x ) = —— , demuestre que f ( x ) + f (~ x ) = 2 f ( - x 2)1 + x

Desarrollo

/ « + /< -* ) = = = 2 f ( _x2)l + x l - x l - x 2 1 - x 2

f ( x ) + f ( - x ) = 2 f ( - x 2)

Si g(y) = y 2 y h(y) = — — , Demuestre que h(y2) =l - y l - g ( y )

Desarrollo

2

' ~ y l - / . ( y V *<»g(y) _ y2 l - g ( y )

l - g ( y ) l - y

2 3Si Q(x) = ln x y f ( x ) = x 2 , Demuestre que Q(f(x)) = —Q(x)

Desarrollo

3

Q(f(x)) = H f ( x ) ) = ln(x2) = ~ l n x = l Q ( x) G(/(jc)) = |q ( jc )

Introducción 33

l(>) Si f ( x ) = x", Demuestre que: f(x - h) - f(x) = f(h) - 2hx

Desarrollo

f ( x - h ) - f { x ) = ( x - h ) 2- x 2 = x 2 ~2hx+h2 - x 2 = h2 - 2 h x = f (h )-2h x

f ( x - h ) - f ( x ) = m - 2 h x

I I I(¡7) Si h(x) = x3 , g(x) = (x9 +x6)2 , Q(x) = ,r(x + l )2 . Demuestre que: g(h(x)) = Q(x)

Desarrollo

I I Ig(/i(jt)) = (/i9(A-) + /i6(;r))2 = (*3 +jc2)2 = ;c(je + 1)2 = Q(x) ••• g(h(x)) = Q(x)

18) Si / (y) = —-— y g(>’) = 7-Lj- , Demuestre que f ( y ) - g ( y ) = 2 / (y )■ s l - y 1 + y

Desarrollo

/ w - 8 ^ - y ? -l - y 1 + y l - y - l - y

••• f ( y ) - g ( y ) = 2 f ( y 2)

1 v2 jf(.y) 119) Si f ( y ) = -------• y g(y) = - J~ ^ ; , Demuestre que: f ( y ) + g ( y )+ -—-- = ——

1+ y - 1+ y - / ( y ) / ( y )

Desarrollo

y2p(y) 1 y2 1 + y^ 1 + y2 2 -i 2 1 1

/ 0 ' ) + á ? ( j 0 + 4 r r = - — t + t 2Lt + - t - = — 2 T + y 2 = i + y

••• / ( y ) + s ( y ) +

f ( y ) 1 + y2 1 + y2 __i 1 + y2 ’ 1 / ( y )

s(y) i

1 + y2 1 + y2

/ ( y ) / ( y )


Si /(Jt) = í i | , y K x) = y—^ • Demuestre que: /(* (* )) = - ~ ~ tx — 2 JC l + x Kn(x>)

Desarrollo

1 + -V2 ', , , _ g(-*) + 2 _ jc + 2 _ x2 + 2x + l _ (x + l)~ _ 1...............\__

f 8 g( x ) - 2 l + x 2 . *2 - 2 ;c + l ( jc -1)2 (£ z !)2 /i2W— " 2 l * + l '

1 2Si f(x) = x - 1 v g(x) = ----- . Demuestre que f ( x )g(x) = / ( x)x+ l

Desarrollo

/ ( j t2)* 0 0 = (jt2 - l ) ( — ) = x - l = / (* ) . f ( x 2)g(x) = f ( x )x+\

Si / ( y) = - ^ - , g(y) = — — . Demuestre que f ( y ) g ( y ) = / ( - y 2)1 + y l - y

Desarrollo

n y ) g ( y ) = ~ ( ^ ) = ^ ~ r = n - y 2 ) / ( ? ) * ( ? ) = / ( - y 2)l + y 1- y l + ( - y ¿)

Representación Gráfica 35

CAPITULO I

11 REPRESENTACIÓN GRÁFICA.-

11.1. LA RECTA.-

m = pendiente de la recta

m = tgd = —— —x 2 ~ x i

1.2. LINEAS PARALELAS Y PERPENDICIJLARES.-

1.3. ECUACION GENERAL DE LA RECTA.-

L: Ax + By + C = 0


ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

L: y ~ yi = y2 >!| ( x - x x)x2 - x ,

ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PUNTO PENDIENTE.-

L- y - y 0 = m( x - x 0)

ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE INTERSECCIÓN.-

L: y = mx + b

ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA - INTERSECCIÓN.-

FAMILIA DE RECTAS.-

A) RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCION DE DOS RECTAS DADAS.-

L, : Axx + Bxy + Cx = 0

¿2 : A¿x+B2y + C2 = 0

L: \ x + B xy + C{+k(A1x + B 2y + C2) = Q

L: (A¡ +kA2)x + (Bl +B2k) y+ C ] +kC2 = 0

l<f¡>rcsentación Gráfica 37

PROBLEMAS.-

(T ) a) ¿.Cuales de los siguientes puntos quedan en la recta cuya ecuación es 3x+4y- 10 = 0?

i) (1,2) ü) (-2,4) iii) (10,-5) iv) (-25,21) v) (0,0)

Desarrollo

i) Si (1,2) e L: 3x + 4 y - 10 = 0 => 3 + 8 - 1 0 = 1 * 0 => (1,2) <£ L

ii) Si (-2,4) 6 L: 3x + 4 y - 10 = 0 =» - 6 + 1 6 - 1 0 = 0 => (-2,4) e L

iii) Si (10,-5) e L: 3x + 4 y - 10 = 0 => 3 0 - 2 0 - 10 = 0 => (10,-5) e L

iv) Si (-25,21) e L: 3x + 4y - 10 = 0 => -75 + 84 - 10 = -1 * 0 => (-25,21) g L

v) Si (0,0) e L : 3x + 4y - 10 = 0 => 3(0) + 4(0) - 10 = -10 * 0 => (0,0) e L

b) Trazar la recta indicando cuales de los puntos dados quedan sobre ella

Desarrollo

© Para cada una de las ecuaciones siguientes realice lo que se indica.

i) Graficarla usando las intersecciones.

ii) Expresarla en la forana de pendiente e intercepción.

iii) Expresaría en la forma con intersecciones, esta forma es inadecuada para cada una de las ecuaciones ¿Cual es y porquE?

a) y - 3 x = 12Desarrollo


i)

x y0 12

-4 0

ii) La forma pendiente e intersección con el eje Y es: L: y = mx + b como y - 3x = 12, entonces y = 3x + 12

X yiii) La forma con intersecciones es: L: — + — = 1

a b

x ycomo y - 3x = 12 => 3 x - y = -12, de donde L : -----H— = 1

-4 12

b) 2y + 3x + 2 = 0

Desarrollo

Y

X y 2y + 3x + 2 = 0

0 -i

2 0 0

~3 2 \ X3 \ -1

\

ii) La forma pendiente e intersección L: y = mx + b

como 2y + 3x + 2 = 0, entonces L : y = ——jc — 1

x yiii) La forma con intersecciones es: L: — + — = 1a b

luprcsentación Gráfica 39

x ycomo 2y + 3x + 2 = 0 entonces L : —— + — = 1

3 2 _ l

c) 5x - y = 10

i)

X y

0 -10

2 0

Desarrollo

ii) Expresaremos en la forma L: y = mx + b

como 5 x - - y = 1 0 entonces L: y = 5 x - 1 0

x yiii) Expresaremos en la forma L : —+ — = 1a b

x ycomo 5 x - y = 10, entonces y = 5 x - 1 0 => L: — h— - l

* 3 2 10

d) x - 3y = 0

X y

0 0

3 i

Desarrollo


li) Expresaremos en la forma L: y = mx + b

como x - 3y = 0 => y = - x + 0

¡ii) Expresaremos en la forma. L : — + ~ = l no se puede expresar en dicha

x yforma, porque: L : — + — = 0 * 1

a) ¿Cuales de los siguientes puntos quedan en la recta x - 5y + 4 = 0?

i) (0,0) ¡i) (4,0) ni) (1,1)

iv) (3,2) v, ( OÍ ) *¡) (-1.5)

Desarrollo

(0,0) í L: x - 5y + 4 = 0, porque 0 + 4 * 0

(4.0) e L: x - 5y + 4 = 0, porque 4 - 0 + 4 * 0

(1.1) e L: x - 5y + 4 = 0, porque 1 - 5 + 4 = 0

(0 ,-) e L: x - 5y + 4 = 0, porque 0 -5 (~ ) + 4 = 0 5 **

(-1,5) í L: x - 5 y + 4 = 0, porque - 1 - 5 ( 5 ) + 4 * 0

b) Trace la recta indicando cuales de los puntos anteriores quedan sobre ella.

Y '11 — L: x - 5y + 4 = 0

i I

Kc¡>resentación Gráfica 41

Para cada uno de ios siguientes pares de puntos realice lo que se pide:

i) Obtener la pendiente de la recta que pasa por ellos.

ii) Encontrar la ecuación empleando pendiente.

iii) Determinar la ecuación sin usar la pendiente.

iv) Trazar la recta

a) (0,0) y (6,3)

Desarrollo

i, m = h z 2 ¡ . . M . 2 . Ix2 - x x 6 - 0 6 2

ii) L : y - >’0 = m(x - x 0 ) reemplazando se tiene:

1 x L: y - 0 = —( x - 0 ) entonces L: y = —2 2

iii) L: y - y (¡ = —— — (x-jcq) reemplazando se tiene: ¿ i - *

3 - 0 xL: y - 0 = ------U - 0 ) =* L: y = -

■ 6 - 0 2

iv)

b) ( j . 0 ) y (0, f )

Desarrollo


i) m ■■— o 15

ii) L : y - >i0 = m(x - x 0 ) , reemplazando se tiene:

5 3 ^ 5L: y — = — (jc-0) =* L: y = - - . r + - 2 4 4 2

iii) í - : y - y0 = —— — (x - jc0 ) , reemplazando se tiene:

5 3 3 5L : y — = — ( x - 0) entonces L: y ~ — jc+-

2 4

iv)

C) (-7,4) y (8,4)Desarrollo

4 2

i) m = = = o => m = 08 - (—7) 15

ii) L : y - y0 = m(x ~ x ()) , reemplazando se tiene:

L: y - 0 = 0(x - 8) entonces L: y = 4

iii) L : y - y 0 = ——— (x - x0) , al reemplazar se tiene:x i - x o

L: y - 4 = 0 ( x - 8 ) entonces L: y = 4

Kt presentación Gráfica 43

iv)

Y

4 •r ‘

ii >.

0 X

d) (3,-2) y (3,5)

Desarrollo

0 , „ = 2 i z í = _5j ± ? ) , Z = „ =» m = _3 - 3 0

ii) L : y - >'0 = m(x - .t0) , al reemplazar se tiene:

v + 2L: y + 2 = °°(x - 3) => L : —-----= «> entonces L: x - 3 = 0

x - 3

e) (-1,-2) y (4,1)Desarrollo

ii) L : y - y0 = m ( x - x 0) , al reemplazar se tiene: y + 2 = —( * -4 )

iv)

f) (-2,-3) y (-5,-6)

Eduardo Espinoza Ramo

Desarrollo

^-■*0 ~5 ~ (-2 ) -3

ii) L: y - y 0 = mix - x0 ) , al reemplazar se tiene:

L: y + 3 = l ( x + 2) => L : x + y = l

iv)

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7).

Desarrollo

Sea L: y+2 = m(x - 3) la recta pedida y L¡ la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7)

lU presentación Gráfica 45

7 - (-3) 10 5 5Luego m, = -- = — = — => m, = —

1 3 — (—1) 4 2 ' 2

r , r , 1 2Como L 1 Z 1 entonces m.ml =~ 1 => m = ----- = —/«, 5

Luego: L : y - y0 = m(x - ) al reemplazar sus dalos se tiene.

2L: y + 2 = - —( x - 3 ) entonces L: 2x + 5y + 4 = 0

(Vy Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3) y es paralela a la que pasapor los puntos (0,-3) y (6,1).

Desarrollo

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (4,3) es decir: L: y - 3 = m(x - 4) ... (1)

Y L[ la recta que pasa por los puntos (0,-3) y (6,1)

. . 1 - (—3) 4 2 2donde tru = -----------= — = — . . w, = —n 6 - 0 6 3 1 3

2Como I¡ IIL entonces my = ni de donde m = — que reemplazando en (1) se tiene:

2L : y - 3 = — (x - 4), efectuando se obtiene L: 2x • 3y + 1 = 0

( 7) Establezca la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,15) y es paralela a y = x + 25¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene dicha recta con la que pasa por los puntos (6,0) y (-2,8)?

Desarrollo

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (5,15) es decir: L: y — 15 — m(x - 5) ...(1)

Sea I, : y = x + 25 donde m, = 1

como L//Lj entonces m -- m{ -1 de donde m = l


reemplazando el valor de m = 1 en la ecuación (1)

L: y - 15 = l(x - 5) L : x - y + 1 0 = 0

Y sea la recta que pasa por los puntos (6,0) y (-2,8)

de donde n u = ——— = -1 m, = - ln - 2 - 6

Luego L¿ : y ~ y 0 = m2( x - x0) de donde se tiene:

¿2 : y - 0 = - 1( jc -6) L¿: x + y - 6 = 0

como m = l y ;n2 = - l entonces m.rr^ = -1 esto quiere decir que L\ -L L , luego L y ¿2 son rectas perpendiculares.

Establezca la ecuación de la recta con intersección (0,-3) en el eje Y, que es perpendicular a la que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,5).

Desarrollo

Sea L la recta pedida que intersecta al eje Y en (0,-3) es decir: L: y + 3 = m(x - 0)... (1)

5 —(—1) _ 6 _ 32 - ( - 2 ) 4 2 ’

Y sea L, la recta que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,5) de donde n\ =

3la ecuación de L, es dado por: Z1 : y - 5 = —( * - 2 ) efectuando L ,: 3 x -2 y + 4 = 0

3 2como L L L , entonces m.m¡ = -1 de donde —m = ~l entonces m = ~ — que

1 1 2 ' 32

reemplazando en (1) se obtiene: L: y + 3 = - —x L: 2x + 3y + 9 = 0

Obtenga la ecuación de la recta que es paralela a la que pasa por los puntos (5,6) y (7,8) y que pasa también por el punto de intersección de una recta o pendiente -2 y que pasa por el punto (-4,-6) con otra que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (2,2).

Desarrollo


g_ A 9Si L¡ es la recta que pasa por los puntos (5,6) y (7.8) entonces m, --------= — = 1 , de

7 - 5 2

Ly : a : - y + 1 = 0donde la ecuación de la recta es: L¡ : y - 6 = l(x -5 )

Sea Lj la recta que pasa por el punto (-4,-6) con pendiente -2 cuya ecuación es:

¿2 : y + 6 = -2(jc + 4)

Sea £3 la recta que pasa por el punto (2,2) y de pendiente 3 cuya ecuación es

¿3 : >’- 2 = 3(.v-2) /.j : 3x~ y - 4 = 0

Sea L la recta pedida de tal manera que: L H L, y que pasa por la intersección de 1^ y

¿3 aplicando el criterio de familia de rectas: L : L, + kL¡ - 0

L: 2x + y + 14 + k(3x - y - 4) = 0 de donde se tiene:

L: (3k + 2)x + (1 - k)y + 14 - 4k = 0

3k + 2 3k + 2

... ( 1 )

m = ■l - k k - 1

, además : x - y +1 = 0 de donde w, = 1

como LII entonces m ~ m¡ por lo tanto

reemplazando en la ecuación (1) se tiene:

3k + 2 , u - , , 3--------= 1 obteniéndose k - — , quefc-1 2

L: ( - — + 2)j: + (l+^-)y + 14 + 4(~) = 0 , efectuando L: x - y - 8 = 0

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,1) y es perpendicular a la

recta cuya pendiente es y que pasa por el punto (5,2).

Desarrollo

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (—1,1) es decir: L: y - 1 = m(x + 1) ... (1)

Si L, es la recta de pendiente - - y pasa por el punto (5,2) cuya ecuación es:


í , : y - 2 = ~ ~ U - 5 ) I , : x + 4 y -1 3 = 0

1como LXL, entonces m1.m = - l de donde ~ —m = ~ 1 entonces m = 4, que

reemplazando en la ecuación ( 1) se obtiene:

L: y - 1 = 4(x + 1) por lo tanto L: 3 x - y + 5 - 0

|"b) RECTAS PARALELAS, PERPENÜICIJÍ ARES E INTERSECCIONES.-

PROBLEMAS.-

¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta y - 2x - 4 = 0 con cada una de las siguientes?

a) y - x - 2 = 0Desarrollo

fL, : 2*-;y + 4 = 0 \ n \ = 2Sean < entonces <

[L2 : x - y + 2 = 0

Como mi ^ m 2 y ,m2 * - 1 entonces las rectas se intersectan

b) 4 y - 8 x - 1 6 = 0Desarrollo

ÍL¡ : 2 j c - j + 4 = 0 ¡nu = 2Sean < entonces 1

[¿2 : 8a: - 4 v + 16 = 0 ~ 2

además L, : 2 jc-y + 4 = 0 y : 8jc- 4 v + 16 = 0

de donde L¡ : 8 x -4 y + 16 = 0 entonces las rectas L, y L2 son rectas coincidentes,

c) 5y - lOx +12 = 0Desarrollo

í¿ 1:2 ; t-> ' + 4 = 0 fm¡ = 2Sean < entonces 1

[Lj : 10*-5;y-12 = 0 [« 2 = 2

como m] =m2 entonces L, II es decir que las rectas L, y son paralelas


d) y - 3 x - 4 = 0Desarrollo

¡¿¡ : 2at-> í + 4 = 0 ím, = 2Sean <¡ _ _ entonces -i

^2 = 3¿ 2 : 3.v-;y + 4 = 0

como ml ^ m 2 y m¡ ,m2 * -1 entonces las rectas Z., y L, se intersectan.

e) 2y + x - 6 = 0Desarrollo

í¿, : 2jc-;y + 4 = 0 Sean •{ de donde

¿2 : jc + 2 ) '- 6 = 0

= 2

m, = —2

Como m¡.m2 = 2 ( - —) = - l entonces Z1 i . L, (perpendiculares)

( 2) ¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta 2x - 5y + 6 = O, con cada una de las siguientes rectas?

a) l5x + 6y + 9 = 0Desarrollo

ÍL¡: 2*-5;y + 6 = 0 Sean { entonces

/ 7 : l5x + 6>+9 = 0

m, =•

«2

2 5como = (—)(— )= - ! entonces ± ¿ 2 (perpendiculares)

5 2

b) lOx + 4y + 5 = ODesarrollo

í£ ¡ : 2jc-5y + 6 = O Sean { ' entonces

I 2 : IOjc+4)»+5 = 0 nu


como m,.m2 = (—)(-^-) = -1 entonces L¡ ± (perpendiculares)

c) 4 x - lOy + 12 = 0

Desarrollo

2

m, = — - -

Al simplificar la ecuación I 2 : 2 x - 5 > ’ + 6 = 0 se observar que L¡ y son

coincidentes.

d) 4x - 8y + 3 = 0

Desarrollo

25

2

Como m y mi ^ m 2 entonces i , y L, se intersectan

e) 12 x - 9 y + 2 = 0

Desarrollo

25 43

Como mx * m2 y m ,.^ * -1 entonces L¡ y se intersectan

f) 2x - 5y + 2 = 0

Desarrollo

ÍI, : 2x-5.y + 6 = 0 Sean < entonces

[¿2 : 12jc-9y + 2 = 0

fZ-j : 2 x -5 y + 6 = 0 Sean ' entonces

[¿2 : 4x-8> ' + 3 = 0

ÍL, : 2 x -5 ) ' + 6 = 0 Sean { entonces

{¿2 : 4.v-10;y + 12 = 0


í L¡ : 2 x - 5 > , + 6 = 0 Sean { entonces

1¿2 : 2 x - 5 y + 2 = 0

nu - — 1 5

2

como m, = m, entonces L, H (son paralelas)

(3 ) ¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta 3x + 4y - 2 = 0, con cada una de las siguientes rectas?

a) 15x + 20y - 10 = 0Desarrollo

SeanÍL ,: 3x + 4 y - 2 = 0¡ L ¿ : 15a: + 20> - 10--0

entoncesnu = —

4

como mí =m2 y además L ,: 3 jc+ 4 y -2 = 0 , L , : 3x + Ay - 2 - 0 entonces las rectas /.j y L, son coincidentes.

b) 8x - 6y + 5 = 0Desarrollo

\ L : 3 x + 4 v - 2 = 0 Sean < entonces

[¿2 : 8x - 6y + 5 = 0 8 4nii = —= — 6 3

3 4como = ( - —)(—) = -1 entonces lA .L L, (perpendiculares)

c) 9x + 12y + 7 = 0Desarrollo

ÍL : 3x + 4 j - 2 = 0 Sean ■; entonces

L j : 9x + 12y + 7 = 0

m \

nu12

como m¡ = í«2 entonces L^H L¿ son paralelas


il) u I y - 4 = 0Desarrollo

\ L : 3x + 4 y - 2 = 0 Scan < entonces

[¿2 : 3 x + y - 4 = 0m, = —

m2 = —3

conio m1 5* m2 y ml.m2 * - 1 , entonces L y L, se intersectan.

e) 6 x - 1 5 y + 8 = 0Desarrollo

\L : 3x + 4 y - 2 = 0 Sean entonces

I, : 6x -15y + 8 = 0

3in, = — -

nb — -6 _ 2

-15 ~ 5

como m ^ n h y W|.m, * — 1 , entonces las rectas L, y Z ¡ se intersectan.

f) 2x + y - 6 = 0Desarrollo

ÍL : 3x + 4 y - 2 = 0 Sean < entonces

[¿2 : 2x + j - 6 = 0" * = - 4n h = - 2

como Wj //Wj y mt.m2 * -1 => L, y Lj se intersectan

Determine si cada una de los siguientes pares de ecuaciones son:

a) Independientes o dependientes. b) Compatibles o incompatibles.

i) 2x - 6y + 5 = 0 y 3x - 8y + 3 = 0

Desarrollo

a) — * — * - => las rectas son independientes.3 - 8 3

2 6b) como — * — , las rectas son compatibles e independientes.3 ■ 8

Mrprasentación Gráfica 53

ii) x 5y - 2 = 0 y x + 5y - 5 = 0

Desarrollo

1 5 -2a) Como - = sonrectas independientes

1 5 -2b) Como j = — z — son rectas incompatibles.

iii) 3x - 9y + 12 = 0 y x - 3y + 4 = 0

Desarrollo

, _ 3 -9 12 Ja) Como - = — son rectas dependientes.

_ 3 -9 12o) Como - = — = — son rectas compatibles.

1 - 3 4

iv) 5x - 4y - 6 = 0 y 4x - 5y + 6 = 0

Desarrollo

5 - 4 - 6a) —*■ — — son rectas independientes

4 —5 6

5 -4b) como — * — son compatibles e independientes.

Con referencia a los pares de ecuaciones del problema (4).

a) Determine que pares de ecuaciones tienen soluciones simultaneas y obtenga dicha solución.

b) Graficar los pares de ecuaciones,

i) 2x - 6y + 5 = 0 y 3x - 8y + 3 = 0

Desarrollo


( 2 x - 6 y + 5 = 0a) { despejando v:

[3 jï-8y + 3 = 0

y =

y

2x+5 _____

3jc -+- 3

igualando: — '•— - de donde 16x + 40 = 18x + 18 entonces2x = 22

x = l l , y - ~ - Luego P ( ll ,^ )

b)

ii) x + 5y - 2 = 0 y x + 5y - 5 = 0

Desarrollo

Como las rectas x + 5 y - 2 = 0; x + 5y - 5 = 0 son paralelas, no tiene solución simultanea.

iii) 3x - 9y + 12 = 0 y x - 3 y + 4 = 0

Desarrollo

3x-9;y + 12 = 0 [jc- 3 v + 4 = 0de donde

jc-3y + 4 = 0 x - 3 y + 4 = 0

como las ecuaciones son coincidentes, entonces la solución es toda la rect.i x - 3 y + 4 = 0


( í ) Si las dos ecuaciones son compatibles e independientes ¿necesariamente tienen solución simultanea única?

Desarrollo

Si dos rectas son compatibles e independientes, quiere decir que dichas rectas no son paralelas ni coincidentes por lo tanto sé intersectan en un punto, es decir tiene solución simultanea única.

® Si dos son compatibles y dependientes ¿necesariamente tiene solución simultáneamente?De ser así ¿estas es única?

Desarrollo

Si dos rectas son compatibles y dependientes quiere decir: que son rectas coincidentes porlo tanto si tiene solución simultanea pero no es única.

¿Puede ser las rectas de un par incompatibles y dependientes?

Desarrollo

No puede ser un par de rectas incompatibles y dependientes por las rectas incompatibles son paralelas no tiene solución simultáneamente y las dependientes son rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones.

( ! ) Si dos rectas representan rectas perpendiculares ¿son compatibles dichas ecuaciones?¿son independientes?

Desarrollo

Si son compatibles puesto que si son perpendiculares tiene un punto de intersección.

Si son independientes porque no son paralelas.

Representa la familia de rectas paralelas al eje X y exprese la ecuación correspondientes, trace el elemento de esta familia que pasa por el punto (10,-6)

Desarrollo

La ecuación que representa a esta familia de rectas es: y = k, k e R


Represente la familia de las rectas que pasan por el punto (-1,6) y exprese la ecuación correspondiente a esta especificación. Trace el elemento de esta familia que es paralela a la recta y + 6x - 5 = 0 y escriba la ecuación de esta línea.

Desarrollo

Sea L: 6x + y - 5 = 0 de donde m = -6

Como L^/l L entonces m¡ = m — -6 de donde w, = —6

La ecuación de la recta Z1 que pasa por (-1,6) es:

Yi

I , : y — 6 = —6( ^ r 1) donde Ly : 6 x + y = 0

Además la familia de rectas que pasa por el

punto (-1,6) es: y - 6 = m ( x + l )

y = mx + m + 6

Grafique la familia de rectas perpendiculares a la línea recta 2x - 5y - 10 = 0 y exprese la ecuación correspondiente a esta especificación, trace el elemento de dicha familia que pase por el punto (4,-1) y escriba la ecuación de esta recta.

Desarrollo


Sea L : 2x — 5 jv — 10 = 0 de donde m,

2 5como Z, 1 L entonces = de donde — m - - \ entonces m = ~ —

^ 1 5 2

Sea L: y •- mx + b de donde L: y = ~ ~ x + b

como (4,-1.) e L => -l = -10 + b de donde b = 9 L: y = — x + 92

D: demanda

S: Oferta


B) GRÁFICAS LINEALES DE LA DEMANDA-

demanda con pendiente negativa

Y Q1Ol

0 cantidad xdemandada

demanda con pendiente indefinida

Y

prec

io

cantidaddemandada

0 X

demanda conpendiente nula

C) GRÁFICAS LINEALES DE LA OFERTA.-

ferta con pendiente positiva

01 o .

cantidadofertada

oferta con pendiente nula

.2Io .

cantidadofertada

oferta con pendiente no definida

D) EQUILIBRIO DE MERCADO.

Y^oferta

o \ y1Q. equilibrio

^ d e m a n d a

OK

cantidad ^ X

Equilibrio Significante o relevante

oferta

equilibrio

cantidad X

Equilibrio no Significante


Equilibrio no Significante

I ) - ANÁLISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO.-

C.F. = Representa el costo fijo C.T. = Representa el costo total

I.T. = Representa los ingresos totales E = Punto de equilibrio

11 TONCIÓNP E C O N S Ü M O .-

c = f (yd) , donde c = consumo, yd = ingreso disponible

\ y d = represente un cierto incremento en el ingreso disponible

Ac = corresponde al cambio resultante en el consumo

A A/?— es positivo, pero menor que uno, es decir: 0 < —— < 1


c = representa al consumo

a = representa el consumo básico fijo

b = propensión marginal a consumir

yd = ingreso disponible

PROBLEMAS.-

¿Cuales de las siguientes ecuaciones representa gráficas de demanda? ¿cuáles son gráficas de oferta? ¿Cuáles no representan ninguna de ellas? (supóngase que y es precio y x la cantidad)

a) x - 2y = 0

b) 3x + 4y - 10 = 0

Desarrollo

Desarrollo

X y0 5

210 0

3

D: 3x + 4y - 10 = 0 su pendiente es

negativa. La gráfica es de demanda.

c) y - 4 = 0Desarrollo


d) x - 3 = 0

Y

e) 2x - 3y + 1 = 0

f) 2x + 5y + 4 = 0

La gráfica es de oferta o de demanda.

Desarrollo

La gráfica es de oferta o de demanda

Desarrollo

X y0 i

31 0

2

L: 2x - 3y + 1 - 0 de donde m = — > 0 , la3

gráfica es de oferta

Desarrollo

X y0 4

~ 5-2 0

La gráfica no es de demanda ni de oferta

62 Edui rdû Espinoza Ramos

g) 3x + 4y - 12 = O

D

DesarrolloY'

0 X

5x - y -10 = 0

x y0 34 0

L: 3x + 4y - 12 = 0, m - — < 0 , la gráfica4

es de demanda

i) 2x + 3x + 2 = 0

Desarrollo

X y0 - i

23

0

La gráfica no es de demanda ni de oferta

La curva de demanda que corresponde a un bien determinado es x = 10—— (supóngase4

que y representa el precio y x la cantidad demandada).

a) Evalué la demanda si el precio es: i) 4 ii) 16 ¡ii) 25

b) Calcule el precio si la cantidad demandada es: i) 9 ii) 7 ¡ii) 2

c) ¿Cuál es el precio máximo que se pagaría por este articulo?

Representación Gráfica 6:

d) ¿Qué cantidad se demandaría si dicho articulo fuera gratuito?

Desarrollo

4a) i) Para el precio y = 4, * = 10— = 10-1 = 9 . La demanda es x = 9

4

ii) Para el precio y =16, x = 10----- = 1 0 -4 = 6 . La demanda es x = 64

iii) Para el precio y = 25, x = 10----- = — . La demanda es x = —4 4 4

b) i) Para la demanda x = 9, 9 = 10— => y = 4, luego el precio es y = 4

7ii) Para la demanda x = 7, 7 = 1 0 -— => y = 12, luego el precio es y = 12

iii) Para la demanda x = 2, 2 = 10-^- => y = 32, el precio es y = 32

c) El precio máximo es cuando x = 0. Luego 0 = 1 0 -— =* y = 40 precio máximo.4

d) La cantidad de demanda cuando él articulo es gratuito ocurre cuando y = 0, es

decir: jc = 10—- = 10 = > x = 10, cantidad demandada.4

e ) ________________X 0 10

y 40 0

64 Eduardo Espinoza Ramos

La gráfica de la oferta de un artículo determinado es x = 1.1 y - 0.1 (suponga que y representa el precio y x la cantidad de oferta).

a) Determine el precio si la cantidad ofrecida es i) 1 ii) 0.8 iii) 0.5

b) Calcule la oferta si el precio es: i) 8 ii) 6 iii) 4.1

c) ¿Cual es el precio mínimo al que se ofrecería dicho artículo?

d) Trace la curva.

Desarrollo

a) Para x = 1; 1 = l . ly — 0.1 => y = l es el precio

x = 0 .8; 0.8 = l . l y - 0.1 y = — es el precio

x = 0.5; 0.5 = 1.ly — 0.1 => y = — es el precio

b) Para y = 8; x = 1.1(8) - 0.1 = 8.7 oferta

y = 6 ; x = 1.1(6) - 0.1 = 6.5 oferta

y = 4.1; x = 1.1(4.1) - 0.1 = 4.41 oferta

c) Para x = 0; 0 = l . l y - 0.1 => y = 0.091 (nose puede establecer)

X 0 0.1

y 0.091 0

La ecuación de la demanda de un articulo es x =. A - By, donde A y B son constantes positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en demanda.

a) Calcule el precio si la demanda es —

Kt i’rrsenlación Gráfica 65

b) Evalué la cantidad demandada si el precio es2 B

c) Determine la demanda si el articulo fuera gratuito.

d) Trace la curva.

Desarrollo

A A 2 Aa) Para x = — => — = A - By de donde y = —3 3 ' 3B

b) Para y = — => x = A - — de donde jt = ~ 2B 2 2

c) Para y = 0 => x = A - 0 de donde x = A

X 0 AB

y A 0

( ? ) La ecuación de la oferta para un cierto articulo es x = ay - b, donde a y b son constantes positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en oferta.

a) Calcule el precio si la cantidad ofrecida es; i) 5a - b

3bb) Encuentre la oferta si el precio es: i)

ii) a + 2b

ii) »

c) ¿Cual es el precio mínimo al que puede ofrecerse este articulo?

Desarrollo

a) Para x = 5a - b => 5a - b = ay - b de donde y = 5 precio

x = a + 2b => a + 2b = ay - b de donde y = - ----- precio

66 Eduardo Espinoza Ramo

3 b 3 bb) Para y = — =» x = a(— ) —b = 2b de donde x = 2b oferta

a a

5 b 5 b— => x = a(— ) - b = 4b de donde x = 4b oferta a a

c) Para x = 0 => y = — (no se puede establecer)a

Para cada una de las siguientes pares de rectas.

i) Determine cual es la curva de demanda y cual es la curva de oferta.

ii) Trace las curvas y estime el precio y la cantidad para el caso de equilibrio de mercado.

iii) Resuelva algebraicamente las ecuaciones y verifique la estimación realizar para el precio y la cantidad para el equilibrio de mercado.

a) y = 1 0 - 2x y ;y = - j t + l

c) x = 1 5 - 3 y y x = 2 y - 3

Desarrollo

a) i) y = 10 - 2x como m = -2 la curvas de demanda

3 3v = —x + 1 , como m = — la curva es de oferta

b) y = 6, x = 3y - 3

d) 2y + 3x = 10 y x = 4y - 6

H)Y '

Hi iiresentación Gráfica 67

iü)y = 10- 2.*

3 ,y = - * + ] 2

, resolviendo

18x - — = 3.6 oferta 527.* = —- = 5.4 precio

b) i) y = 3 es de oferta o de demanda

x = 3y ~ 3 como m = - es de oferta. 3 3

¡i)

[y = 3 Í.í = 6 ofertaiii) \ resolviendo \

[jc = 3 y - 3 [}' = 3 precio

c) i) x = 15 - 3y, como m = - - es de demanda

x = 12y - 3, como m - ~ es de oferta

H)


©

fjc = 15 — 3yiii) -j resolviendo

[x = 2 y - 3

21x = — = 4.5 5

18 u y = — =3.65

oferta

precio

d) i)

ü)

2 y + 3x = 10 como m = — es de demanda2

x = 4 y - 6 como m = — es de oferta4

... Í2y + 3x = 10 \x = 2 ofertam) -, resolviendo \

[x = 4 y - 6 ly = 2 precio

Un fabricante vende su producto a un precio de 5 unidades monetarias (u.m) por artículo.

a) ¿Cuál es el ingreso total al vender 5,000 unidades del producto? ¿Cuál es la ecuación para la función de ingreso? Grafique la función.

b) Los costos fijos son constantes en 3000 u.m. independientemente del número de artículos producidos, suponga la gráfica de esta función a la grafica correspondiente a la parte a)

c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta compañía, los costos variables se estiman en 40% del ingreso total, ¿Cuál es el costo total cuando se venden 5000 unidades del producto? Grafique la función con superposición a la gráfica de la parte a).


d) ¿Cuál es el punto de equilibrio? Indique tal punto en el diagrama y evalué la cantidad vendida correspondiente. Señale en el diagrama anterior la cantidad a la que el fabricante alcanzara a cubrir sus costos fijos.

Desarrollo

a) como y = 5 precio por unidad,

x = 1 una unidad del producto

el ingreso total de vender 5000 unidades es: I.T. = (5000)5 = 25,000 = 5x

b) Como y = 5x, luego para x = 3000 de donde y = 15000

Y

15000

0 3000 X

c) CT = costo total CF = costo fijo = 3000

Cv = costo variable es el 40% del costo total

como se vende 5000 artículos por 5 se tiene 25000 luego el 40% de 25000 es 10000

Luego Cv = 10000

CT =CF +Cy =3,000+10,000 = 13,000

( í ) Al precio $ 5 (dólares) por unidad, una empresa pondrá a la venta 5000 linternas eléctricas de plásticos cada mes, al precio de $ 3.50 cada una, ofrecerá 2000 unidades. Determine la ecuación de la oferta para este producto y grafique la ecuación.

Desarrollo

í x = 51Datos del problema:

x = 5000 lin ternas y = 25,000 precio de las linternas


íx = 2,000 linternas | y = 7,000 precio de las linternas

j z 000 — 7 000La ecuación de oferta es: 5 : y - 25,000 = — !--------- ’----- O - 5,000)

5,000 - 2,000

S: y = 6x - 5000

2 ) En la economía, el consumo se considera relacionado linealmente con el ingreso nacióndisponible por ejemplo, en cada nivel del ingreso disponible, el consumo puede ser ig a 3.5 (en millones de dólares) más 75% del ingreso disponible.

i) ¿Cual es la ecuación que expresa esta relación?

ii) ¿Cual es el consumo agregado cuando el ingreso de que se dispone vale 50 (en mile de millones de dólares)?

Desarrollo

a) La ecuación que expresa esta relación es:

c = 3 .5+0.75yd , yd = ingreso disponible

b) c = f ( y d) = f ( 50) = 3.5 + 0.75(50) = 3.5 + 37.5 = 41 millones de dólares

ÍO) Una empresa manufacturera ha analizado sus ventas y descubierto que sus clientecompraran 20% más de unidades de sus productos con cada reducción de $ 2 (dólares) en el precio unitario cuando el precio tiene un valor de $ 12 (dólares), la empresa vende 500 unidades ¿Cual es la ecuación de la función de demanda correspondiente a este producto? Grañque la ecuación.

H< presentación Gráfica 71

Desarrollo

La empresa vende x = 500 unidades

El precio es: y =12 ; el 20% de 500 es 100

Al vender a $2 menos se vende 500 + 100 = 600

f jc = 600Luego -i . Por lo tanto la ecuación de la demanda es:

y = 10

12-10D : y - 1 2 = ..Qt-500)

500-600

D : y —12 = — ^-(a:-500)50

D: y .50

-+22

(l l) a) Suponga que el agua se ofrece en forma, ilimitada en un municipio. El consumidor paga 5.00 unidades monetarias (u.m.) al mes por el servicio de agua independientemente de la cantidad que emplee o consuma. Grafique la ecuación de oferta y demanda.

b) Hay solo un cuadro original germano de Ramlvandt de su obra titulada “El vigia nocturna” asigne valores arbitrarios a este cuadro y grafique la ecuación de la oferta y la demanda.

Desarrollo

y = 5.00 precio ; x = agua ofrecida ilimitada

Luego la ecuación de oferta y demanda es y = 5i


Y

y = 5y S: oferta

D: demanda

0 X

Una compañía de autobuses saben que cuando el precio de un viaje de excursión de $ 5.00 (dólares), 30 personas compraran boleros, cuando el precio es de $ 8.00, solo se venderán 10 boletos, obtenga la forma de punto y pendiente de la ecuación que corresponde a la función de demanda y grafique dicha ecuación.

y = $5 dolares precio x = 30 boletos

calculando la pendiente: m =

Desarrollo

y = $8 dolares precio * = 10 boletos

8 -510-30

3_20

como y - 5 = m(x - 30) => y - 5 = ~ — (jt-30 ) 3x 19 20 + 2

Identifique cual de las siguientes ecuaciones representa una curva de demanda, y cual una curva de oferta, determine el punto de equilibrio y trace las curves.

a) x + y = 5 b) 2x - y = 5.5


Desarrollo

a) L: x + y = 5 entonces m = -1 < 0 es de demanda

b) L: 2 x - y = 5.5 entonces m = 2 > 0 es de oferta

x = 3.5 y = 1.5

.\ P(3.5,1.5) punto de equilibrio.

14) Cambie la ecuación b) del problema anterior a 2x - y = 6 , grafique la ecuación e identifíquela como de oferta o demanda ¿Aumento o disminuyo la cantidad de equilibrio con respecto a la del problema 13)

Desarrollo

De la condición del problema se tiene: L: 2x - y = 6 entonces m = 2 es de oferta

Luego calculamos el punto de equilibrio:

11*+ y = 5 2jc - y = 6

resolviendox = ■

34

y = 3


© Suponga que el costo fijo de producción de un articulo es de 45,000 dólares. Así mismo, el costo variable es de 60% del precio de venta, que es de 15 dólares la unidad ¿Cuál es la cantidad que corresponde al punto de equilibrio?

Desarrollo

Datos: y = CF = 45,000

Cv = es el 60% del precio de venta de $ 15

Cv = ^ = 9 v 100

Luego se tiene: y = 45000 costo total

El ingreso total es: y = mx, donde m = 9 entonces y = 9x ingreso total

Luego la cantidad que corresponde al punto de equilibrio es:

45 00045000 = 9x de donde jc = — :------= 5,000 x = 5000

Si en un cierto caso la utilidad es de 100 dólares por unidad y el costo fijo de producción es de 225,000 dólares ¿Cual es la cantidad de equilibrio?

Desarrollo

K¡ presentación Gráfica 75

Datos: U = 100 dólares por unidad

Cr =225,000 = y

Luego y = lOOx, por lo tanto la cantidad de equilibrio es:

225000 = lOOx de donde x = 2250

( 17) Considere que el consumo nacional agregado en un cierto caso se da (en miles de millones de dólares) por la ecuación c = 4.5 + 0.9 yd , donde yd es el ingreso disponible.

Si dicho ingreso fuera de 15 (en miles de millones de dólares) ¿Cuál seria el consumo agregado? ¿Qué proporción del consumo agregado es el monto del ingreso disponible que se dedica al consumo?

Desarrollo

Como c = 4.5 +0.9

Para y¿=15 => c = 4.5 + (0.9)15 = 18 mil millones

El ingreso disponible que se dedica el consumo es: 18 - 15 = 3

3 1La proporción del consumo agregado del ingreso disponible es: — = — = 0.15

18 6

(ijt) Si el consumo nacional agregado es 4.8 mas 80% del ingreso disponible (en miles de millones de dólares).

a) ¿Cuál es la ecuación de la función de consumo?

b) ¿Qué proporción del ingreso disponibles se consume?

c) Cuando el ingreso de que se dispone es 60 ¿qué proporción del consumo agregado presenta el monto del ingreso disponible que se dedica al consumo?

Desarrollo

a) La ecuación de la función consumo es: c = f ( y d ) ~ a + byd = 4 .8 + 0 .8 ^

c = 4.8 + 0.8 yd


b) El ingreso disponible que se consume es: c - y d = 4.8 - 0.2yd - y ¿ — 4 .8+ 0.2yd

c - y á = 4 .8 -0 .2yrf

c) c = 4.8 + (0.8)(60) = 4.8 + 48 = 52.8 c = 52.8

~ÑÓ|1.13. MÉTODOS GENERALES PARA TRAZAR GRAFICAS LINEALES.- _______________________ .

a) Intersecciones con los ejes:eje X eje Y

b) Simetrías:con el eje X con el eje Y con el origen

1.14. PROBLEMAS.-

A)

®

Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:

a) Las intersecciones de sus gráficas con los ejes.

b) Si la curva representada es simétricas respecto al eje X, eje Y, o al origen.

c) Si existe alguna limitación en la extensión.

*3- y 2 - 9 = 0Desarrollo

a) Intersecciones con los ejes.

Con el eje X, y = 0 => x = l¡9 , (y¡9,0)

Con el eje Y, x = 0 => y 2 = - 9 , %

b) Sea f ( x , y ) = x * - y 2 - 9

f ( x , —y) = xi - ( - y ) 2 - 9 = x3 - y 2 - 9 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje X


f { - x , y ) = - x 3 - y 2 - 9 ^ f { x , y ) , ,0 simétrica en el eje Y

f ( - x , - y ) = - x 3 - y 2 - 9 f (x , y ) , % simetría en el origen

c) y 2 --x3- 9 => y = ±\¡x3 - 9

Su extensión es x3 > 9 y no esta limitada.

© x2 + y2 -18 = 0Desarrollo

a) Intersecciones con los ejes:

Con el eje X; y = 0, x = ±3\Í2 ; (±372,0)

Con el eje Y; x = 0; y = ±3\¡2 ; (0,±3\Í2)

b) f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 18

/ (jc, -y ) = x 2 + y 2 - 18 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje X

/ ( - x, y) = x 2 + y 2 - 18 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje Y

f ( - x , - y ) = x 2 + y 2 -1 8 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al origen

c) x2 + y2 -1 8 = 0 de donde y = ± \/l8 - x ^

Su extensión es: 18 - x2 > 0 => x2 <18 en dirección de x esta limitada.

jt = ±Vl8 - y 2 su extensión es 18 - y 2 > 0

y2 <18 en la dirección de y esta limitada.

(3 ) y2 - 2 x + 5 = 0Desarrollo



Con el eje X; y = 0, * = (^ .0 )

Con el eje Y; x = 0 , y 2 = - 5 , jí

b) Sea f ( x , y ) = y 2 - 2 x + 5

f ( x , - y ) = y 2 - 2x + 5 = f ( x , y ) es simétrica con respecto al eje X

/ ( - x , y) = y 2 +2x + 5 * f ( x , y ) no es simétrica con respecto al eje Y

f ( - x , - y ) = y 2 +2x + 5 * f ( x , y) no es simétrica con respecto al origen

c) y 2 - 2x + 5 = 0 de donde y = ±\¡2x-5

Su extensión en la dirección del eje X es: 2x - 5 > 0 de donde x > — esta limitada2

y 2 -f-5Su extensión en la dirección del eje Y es: x = —------ no esta limitada

2

(^4) xy + 5x - 15 = 0Desarrollo

a) Intersección con los ejes coordenados.

Con el eje X; y = 0, 5 x - 1 5 = 0 => x = 3, (3,0)

Con el eje Y; x = 0, %

b) Sea f(x,y) = xy + 5 - 15

f(x,-y) = -xy + 5x - 15 *■ f(x,y), no es simétrico respecto al eje X

f(-x,y) = -xy - 5x - 15 * f(x,y), no es simétrico respecto al eje Y

f(-x,-y) = xy - 5x - 15 # f(x,y), no es simétrico respecto al origen


c) xy + 5x - 15 = 0

15 — 5jcSu extensión en dirección de x es: y = --------- tiene limitación

Su extensión en la dirección de y es: x = —- tiene limitacióny + 5

V

© x2 + >-4 ~ 6 = 0Desarrollo


Con el eje X; y = 0, x = ±Vó , (±\^6,0)

Con el eje Y; x = 0, y = ±yfó, (0,±i¡6)

b) f ( x , y ) = x 2 + y * - 6

/ ( x , - y ) = x 2 + y4 - 6 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje X

/ (-x, y) = x2 + y4 - 6 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje Y

/ ( - x , - y ) = x2 + y 4 - 6 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al origen

c) x 2 + y4 - 6 = 0

Su extensión en la dirección de x es: y = y¡6 - x2 entonces 6 - x 2 >0

tiene limitación '

Su extensión en la dirección de y es: x = y¡6- y 4 entonces 6 - y4 > 0

tiene limitación.i

© x 2 y 2 - 2 5 = 0Desarrollo

x2 5 6

y4 £ 6


a) Intersecciones con los ejes coordenadas

Con el eje X, se hace y = 0, j?

Con el eje Y, se hace x = 0, / í

b) f ( x , y ) = x 2y 2 - 25A,

f ( x , - y ) = x 2y ¿ - 2 5 = f (x, y ) , es simétricas con respecto al eje X

/ ( - * , y) = x2y 2 - 25 = f ( x , y ) , es simétricas con respecto al eje Y

f ( - x , - y ) = x2y 2 - 2 5 = f ( x , y ) , es simétricas con respecto al origen

c) x2 y 2 = 25

Su extensión en la dirección de x es: y = ± J — » si tiene limitaciónV x~

f

25=> — > 0 si tiene limitación

y

ASINTOTAS

Las rectas y = mx + b se denominan asíntotas.

Las asíntotas de mayor interés son las asíntotas paralelas o coincidentes a los eje coordenadas y son las siguientes:

La recta x = h es una asíntota vertical de y = f(x)

La recta y = k es una asíntota horizontal de y = f(x)


B) Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:

a) Las asíntotas b) Si puede factorizarse la ecuación

c) Si la ecuación representa una curva real o un lugar geométrico de puntos reales, obien una curva imaginaria.

(T) 2xy - x + y -5 = 0Desarrollo

a) Las asíntotas:

Para la asíntota horizontal despejamos “y”, es decir: (2x + l)y = x + 5 de donde

y = X + , cuando x -» °° y = — es la asíntota horizontal.2* + l 2

Para la asíntota vertical despejamos “x”, es decir: (2y - l)x = -y + 5 de donde

y - 5 1x - —i ----- cuando y » se tiene x = — es la asíntota vertical.2y - l 2

b) 2xy - x + y + 5 = 0, de donde x(2y - 1) + (y + 5) = 0, no se puede factorizar

c) La curva es rea! porque se verifica para puntos de R2

3x2 + 2 x y - y 2 =0©Desarrollo


a) Despejamos las variables x e y de la ecuación 3x~ + 2xy - y" - 0

©

©

X -2y±y¡4y2 +I2y2 _ 2y ± 4 y _ y ± 2 y

6 6 3

-2jc± V4jc2 +12jc2 - 2 x ± 4 xV = ---— ----------------- = ------------=: “ X I IXy 2 2

por lo tanto no tiene asíntotas

b) 3x2 + 2xy - y 2 = 0 , factorizando por el aspa

3x -y

X entonces 3x2 + 2 x y - y 2 = (3x- y)(*+ y)x - y

c) Es una curva real

2x2 + 3y2 + 6 = 0Desarrollo

Despejando las variables x e y de la ecuación 2x2 + 3 y2 + 6 = 0

- 6 - 3 y 2 de donde3 ' \ 2

a) No tiene asíntotas.

b) No se puede factorizar.

c) Es una curva imaginaria.

3x2 + 3 x y - 2 x - 2 y = 0Desarrollo

a) 3x2 + 3 x y - 2 x - 2 y = 0 => ( 3 x -2 )y = 2 x - 3 x 2 dedonde y = 3x 2

cuando x —» y —> no hay asíntotas

2 x - 3 x


©

©

3x2 + ( 3 y - 2)x - 2 y = 0 , despejando x se tiene:

± (3 y -2 )± ^ /(3 y -2 )2 +24yx = ■, no hay asíntotas

b) 3x2 + 3xy - 2x - 2y = 0 factorizando

3x(x + y) - 2(x + y) = 0 sacando factor común

(3x - 2)(x + y) = 0 => 3x - 2 = 0 v x + y = 0

c) Es una curva real.

3x2 +6y2 +x2y 2 = 0Desarrollo

a) (6 + x 2)y2 = - 3 x 2 dedonde y2 = -3 x 26 + jr2

cuando x - » «o, y2 -> -3 , no hay asíntotas

(3+ y 2)x2 = -6 y 2 de donde x2 = -~ - V■ 3 + y

cuando y —» «>, x2 -4 - 6 , no hay asíntotas.

b) 3x2 + 6y2 + x2y2 = 0 la expresión es irreducible por lo tanto no se puede factorizar.

c) El lugar geométrico es un punto real (0,0).

3x2 - 4 y 2 - 9 = 0Desarrollo

a) 3x2 - 4 y 2 - 9 = 0 => 3x2 - 4 y 2 = 9 dedonde ■'

(y¡3x + 2y)(y¡3x-2y) = 0 => \Í3x + 2y = 0 , s¡3x-2y = 0 son sus asíntotas


b) 3x2 - 4 y 2 - 9 = 0 factorizando (2 y -V 3 x ^ ^ )(2 y + V 3 ^ - 9 )

c) Es una curva real

1.15. MÉTODOS GENERALES PARA TRAZAR GRÁFICAS NO LINEALES.-

Gráficas las ecuaciones utilizando las propiedades siguientes.

Q Intersecciones con los ejes © Simetría

© extensión © Asíntotas

© Factorización © Lugares Geométricos reales o imaginarios.

1.16. PROBLEMAS.-

Trace las curvas representadas por las siguientes ecuaciones: especifique las intercepciones, la extensión, la simetría y las asíntotas, cuando corresponda.

(T ) x2y = l0Desarrollo


Con el eje X, y = 0, /í

Con el eje Y, x = 0, 3

b) La extensión: x 2y = 10 de donde

y = en la dirección del eje X es: x e <-«>,0> u <0,<»> x

x 2y = 10 => x = ± I— en la dirección del eje Y: y > 0V y

c) La asíntota: / ( je, y) = x2y -1 0

Ni /iresentación Gráfica 85

/ ( x , -y ) = - a -2 v -1 0 * f (x, y ) , no es simétrica respecto al eje X.

f ( - x , y) = x2y -1 0 = f ( x , y ) , es simétrica respecto al eje Y.

/ ( -x ,-y ) = - x 2y ~ 10 * f ( x , y ) , no es simétrica respecto al origen.

-> 10d) Asíntotas: x y = 10 => y = —-

La asíntota vertical es x = 0

*2y = 10 -Jf y = 0 es asíntota horizontal.

X y

± 1 10

± 2 52

± 3 109

@ V = - i oDesarrollo


Con el eje X, y = 0, £

Con el eje Y, x = 0,

10b) Extensión: y = ± J -----en la dirección del eje X es x < 0.

10x = — - en la dirección del eje Y, y * 0, y e <-«\0> u <0,°°>

c) Simetría: f ( x , y ) = xy2 +10

X*


Con respecto al eje X: / (x, - y ) = xy2 + 10 = f ( x , y ) , 3

Con respecto al eje Y : f ( - x , y) = ~xy2 +10 ^ f ( x , y ) , %

Con respecto al origen: / ( - * , -y ) = -x y 2 + 10 * f ( x , y ) , %

d) Asíntotas: xy2 = -10

- Verticales y = entonces x = 0

- Horizontales = entonces y = 0y

y = x(x - 3)(x + 4)Desarrollo


Con el eje X, y = 0 => x(x - 3)(x + 4) = 0 de donde x = 0, x = 3, x = -4

Con el eje Y, x = 0, y = 0

b) Extensión: y = x(x - 3)(x + 4), su dominio es todo los reales y el rango es todos losreales.

c) Simetría: f(x,y) = x(x - 3)(x + 4) - y

Hrpresentación Gráfica

Con respecto al eje X, f(x,-y) = x(x - 3)(x + 4) + y * f(x,y), 3

Con respecto al eje Y, f(-x,y) = -x(x + 3)(x - 4) - y * f(x,y), $

Con respecto al origen, f(-x,-y) = -x(x + 3)(x - 4) + y * f(x,y),

d) Asíntotas no existe.

Desarrollo

a) Intersecciones con los ejes

Con el eje X, y = 0 => x2(x2 - 4 x + 4 ) = x2( x - 2 ) 2 = 0 = > x = 0, x = 2

Con el eje Y, x = 0 entonces y = 0

b) Extensión: y = x 2 (x - 2)2

El dominio es todo R y el rango es [0,°°>

c) Simetría; / ( x,y) = x2(x2 - 4 x + 4 ) - y

Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = x2(x2 - 4 x + 4) + y * f ( x , y ) , 3

Con respecto al eje X: f ( - x , y) = x2(x2 + 4 x +4) - y * f (x, y ) , %

Con respecto al origen: f (~ x ,~ y ) = x 2(x2 +4x+4) + y * f ( x , y ) , %

d) Asíntotas: no existen.


y = x4 - x 2Desarrollo

a) Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje X; se hace y = 0; x = 0, x = -1, x = 1

Con el eje Y; se hace x = 0; y = 0

4 i 1b) Extensión: y = x - x , su dominio es todo R y su rango es: [— ,°° >4

c) Simetría: f ( x , y) = jc4 - x2 - y

Con respecto al eje X: / (x , -y ) = x4 - x 2 + y * / ( x, y ) , ,0

Con respecto al eje Y: f ( - x , y) = x4 - x 2 - y = f ( x , y ) , 3

Con respecto al origen: f ( - x , - y ) = x4 - x 2 + y * f ( x , y ) , / í

d) Asíntotas: y = x4 - x 2 no tiene asíntotas


@ y = (x2 - \ ) ( x 2 -4 )Desarrollo

a) Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje X, se hace y = 0, es decir: (x2 - l)(x2 - 4) - 0 de donde x = -2, x = -1, x = 1, x = 2

Con el eje Y, se hace x = 0 de donde y = 4

b) Extensión: su dominio y rango es todo R.

c) Simetría: f ( x , >’) = (x2 - l)(x2 - 4) - y

Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = (x2 - l ) ( x 2 - 4) + y * f ( x , y ) , jS

Con respecto al eje Y: /(-jc , y) = (x 2 - l)(jr2 - 4) - y = f ( x , y ) , 3

Con respecto al origen: / ( - x , - y ) = (x2 - 1)(jc2 -4 ) + _v * f ( x , y ) , /!

d) Asíntotas: y - (x2 - l ) ( x 2 - 4 ) , no existen.

0 y = x} - 4 xDesarrollo

a) Intersecciones con los ejes coordenados:

Con el eje X, se hace y = 0, es decir: xy - 4x = 0 => x = -2, x = 0, x = 2

con el eje Y, se hace x = 0 => y = 0

b) Extensión: Su dominio y rango es todo R.

I Eduardo Espinoza Ramos

c) Simetría: f ( x , y ) = xi - 4 x - y

Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = x3 - 4x + y * f ( x , y ) , ,3

Con respecto al eje Y, / ( - x , y) = - a : 3 + 4 x - y * f ( x , y ) , j í

Con respecto al origen, f ( - x , - y ) = - x + 4x+ y = f{ x , y ) , 3

) y = *3(* - l) (x + 6)Desarrollo


Con el eje X, se hace y = 0 entonces: j:3U--!)(* + 6 ) = 0 => x = -6, x = 0, x = l

Con el eje Y, se hace x = 0 entonces y = 0

b) Extensión: Su dominio y rango es todo R

c) Simetría: f ( x , y ) = jc3 (jc — 1)(a: + 6) — y

Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = xi ( x - l ) ( x + 6 ) + y ¿ f ( x , y ) , /í

Con respecto al eje Y : / ( - j c , y) = - x 3( x + l)(x - 6) - y * f ( x , y ) , %

Con respecto al origen: /( - jc ,- y ) = - j c 3 (x + \ ) ( x - 6 ) + y * f ( x , y ) , %

d) Asíntotas: no tiene


( ? ) 4y = a:3

Desarrollo

a) Intersección con los ejes coordenados

Con el eje X, se hace y = 0, x = 0

Con el eje Y, se hace x = 0, y = 0

b) Extensión: Su dominio y su rango es todo R

c) Simetría: f ( x , y) = a3 - 4y

Con respecto al eje X: /( .* ,-y ) = a3 + 4y / f ( x , y ) ,

Con respecto al eje Y: f ( - x , y ) = - x i - 4 y * f ( x , y ) , j í

Con respecto al origen: f ( - x , - y ) = - a:3 +4y = f ( x , y ) , 3

d) Asíntota: no tiene


) y = x3( x - 3 )2Desarrollo

a) Intersección con los ejes coordenados:

Con el eje X, se hace y = 0, es decir: x2( x - 3 )2 = 0 =$ x = 0, x = 3

Con el eje Y, se hace x = 0 y = 0

b) Extensión: su dominio es todo R y su rango es:

c) Simetría: / (x ,y ) = x2( x - 3 ) 2 - y

Con respecto al eje X: / ( x , - y ) = x2(x~3 )2 + y * / ( x , y ) , /f

Con respecto al eje Y: / ( - x ,y ) = x2(x + 3)2 - y # / ( x , y ) , %

Con respecto al origen: / (-x, - y ) = x2 (x + 3)2 + y * f (x, y ) ,

d) Asíntotas: no tiene.

) y = xV 9 - x 2Desarrollo


Con el eje X; se hace y = 0, es decir: x\¡9 - x 2 = 0 => x = -3, x = 0, x =3

Con el eje Y; se hace x = 0 => y = 0

b) Extensión: su dominio es [-3,3]


c) Simetría: f ( x , y ) = x ^ 9 ~ x 2 - y

Con respecto al eje X, / ( x , - y ) = xV9 - x2 + y ■*- f (x, y ) , 0

Con respecto al eje Y, f ( - x , y) = -xV9 - x z - y * f (x, y ) , 3

Con respecto al origen, , / ( - x , -y ) = - x \ ¡ 9 - x 2 + y = f ( x , y ) , 3

d) Asíntotas: No existen

Desarrollo

Similar al ejercicio II)

Haremos su grafica

(D ) y = (x -3 )(x 2 +4x —5)Desarrollo



Con el eje X, se hace y = 0, es decir: (jc—3)(jc2 + 4 x -5 ) = 0 => x = -5, x = 1, x = 3

Con el eje Y, se hace x = 0 => y = 15

b) Extensión: Su dominio es todo R lo mismo para el rango

c) Simetría: / (x,y) = (x - 3)(x2 + 4 x - 5 ) - y .

Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = (x -3 )( x2 + 4 x -5 ) + y * f ( x , y ) , jí

Con respecto al eje Y, / ( - x , y) = - O + 3)(x2 - 4 x -5 ) - y * f (x, y ) , ,0

Con respecto al origen, f ( - x , - y ) = - ( x + 3)(x2 - 4 x - 5 ) + y * f ( x , y ) , ,2

d) Asintotas: No existen

) y = x2( x - 6)(x2 - x - 6)Desarrollo


Con el eje X, se hace y = 0 entonces:

x 2( x - 6 ) ( x 2 - x - 6 ) = 0 => x = -2, x = 0, x = 3, x = 6

Con el eje Y, se hace x = 0 => y = 0


b) Extensión: no tiene limite

c) Simetría: f ( x , y ) = x 2{ x - 6 ) ( x2 - x - 6 ) - y

Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = x 2 (x - 6)(x2 - x - 6) + y * f ( x , y ) , %

Con respecto al eje Y, / ( - j c , y ) = ~x2(x + 6)(x2 + x - 6 ) - y * / ( x , y ) , 0

Con respecto al origen, / ( - x , - y ) = - x 2 (x + 6)(x2 + x - 6) + y * / ( x , y ) , i?

d) Asintotas: No existen.

La ecuación de segundo grado o cuadrática es:

Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx+Ey + F = 0

A, B, C, D, E y F son constantes en donde A, B o C por lo menos una de ellas es diferente de cero.

1.18. IDENTIFICACION PE UNA CURVA CUADRÁTICA.-

La ecuación cuadrática general es:

Ax2 +Bxy+Cy2 + Dx + Ey + F = 0

donde A o C es diferente de cero.


Si B = O, A = C * O, es una circunferencia

Si B2 - 4 A C < 0 , es una elipse

Si B2 - 4 A C = O, es una parábola

Si B2 - 4 A C > O, es una hipérbola

Si B = 0 se tiene la ecuación:

Si A = C * O es una circunferencia

Si A * C, A y C del mismo signo es elipse

Si A = 0 o C = 0, es una parábola

Si A y C tiene signos contrarios es hipérbola

1.19. LA CIRCUNFERENCIA.-

Ax2 + Cy2 + Dx+ Ey + F = 0

La ecuación general de la circunferencia es:

Ax2 + Ay" +Dx+Ey + F = 0

Puesto que A = C * 0 entonces ( x - h ) 2 +(y — k )2 = r2 es forma estándar, donde

c(h,k) = centro, r = radio de la circunferencia

1.20. LA ELIPSE.-

La ecuación general de la elipse es:

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde A / C y del mismo signo

, forma estándar

Si ¡inventación Gráfica 97

1.21. PROBLEM AS.-

Determine si cada una de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia o una elipse, exprese la ecuación en la forma estándar apropiada, investigue si hay lugares geométricos degenerados o imaginarios y trace los gráficos.

© x 2 + y 2 + 2 A - 4 y + l = 0Desarrollo

A - C = ! 0 es una circunferencia

Para expresar en la forma estándar se completa cuadrados

©

x2 + 2 x + y 2 - 4 y = ~l

(x+l )2 + ( y - 2 ) 2 =4

9x + 4 y~ - 24y = 0

(x2 +2x + l) +(y 2 - 4 y + 4)--= -l

Y

f c(-1 ,2 )r —\ 1

2

\ 1 \ -1 !

0 X

Desarrollo

Como A * C y tienen el mismo signo de una elipse expresando en forma estándar

9x2 + 4y2 - 24y = 0

9*2 + 4 (y2 —6y) = 0

9x2 +4(y2 - 6 .V + 9) = 36

9x2 + 4 ( y —3)2 = 36


x 2 + 4y2 -6 x + 16y+ 45 = 0Desarrollo

A = C * 0 y tienen el mismo signo, puede ser una elipse, para esto expresando en la forma estándar

2 2x - 6 x + 4(y + 4y) = -45, completando cuadrados

x2 - 6 x + 9 + 4(y2 +4y + 4) = -45 + 9 + 16

(x -3 )2 + 4(y + 2)2 = - 2 0 < 0 , no hay lugar geométrico

x 2 + y 2 - 8 x - 4 y + 18 = 0Desarrollo

'y 2x~ ~ 8x + y - 4 y = -1 8 , completando cuadrados

(x2 - 8x + 16) + (y2 - 4 y + 4) = -18 + 16 + 4

O( x - 4)“ +(>' -2) = 2 es una circunferencia de centro C(4,2)

x 2 + y 2 - 10x + 25 = 0Desarrollo

x2 + y 2 - lOx = -25 , completando cuadrados

x 2 - lOx + 25 + y2 = -25 + 25

( x - 5 )2 + y2 = 0 es un lugar geométrico degenerado punto (5,0)


( J ) x 2 + y2 - 2 x + 4y + l l = 0Desarrollo

x 2 + y2 - 2x + 4y = -1 1 , completando cuadrados

(x2 -2 jc + l) + (y2 + 4 y + 4) = —11 + 4 + 1

(jc— l)2 + (y + 2)2 = - 6 , no hay lugar geométrico

1.22. LA PARABOLA.

Forma general de la ecuación de la parábola:

Si el eje es paralelo al eje Y

Si el eje es paralelo al eje X

Ax~ +Dx+Ey+ F = 0

Cy¿ +Dx+Ey + F - 0

Forma estándar de la ecuación de la parábola

X +


.23. LA HIPÉRBOLA.-

Forma general de la ecuación de la hipérbola

Ax2 + Cy2 + Dx + E y + F = 0

donde A y C tiene signos contrarios.

Forma estándar de la ecuación de la hipérbola.

Eje transverso paralelo al eje X ———— ———- = 1a2 b2

Las asíntotas se obtienen haciendo:

Hrpresentación Gráfica 101

( x - h ) 2 (y - k f _ Q de donde ecuación de las asíntotas

1.24. CASOS ESPECIALES DE LA HIPERBOLA.-

xy = k, k < 0xy = k, k > 0

(x - h)(y - k) = c, c > 0

EQUILATERA:

V '

(x - h)(y - k) = c, c < 0

1.25. PROBLEMAS,-

Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa una parábola o una hipérbola, exprese la ecuación en la forma estándar adecuada, investigue si hay liijimrs geométricos degenerados o imaginarios y trace la curva.


y2 - 2 y - 2 x + 9 = 0Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: Y

y 2 - 2 y - 2 x = -91 m i )

y 2 - 2 y + l = 2 x - 8 l \1 X111

( y - 1 ) 2 = 2 ( x - 4 ) es una parábola 0 4 X

x 2 - 3 y 2 -4;c + 1 2 y - l l = 0Desarrollo

3x2 - 2 y 2 -6 jf-4 } í + l = 0Desarrollo

3(a2 - 2x) - 2(y2 + 2y) = -1 , completando cuadrados

3(jc2 - 2* +1) - 2(y2 + 2y +1) = -1 + 3 - 2

3 (* - l)2 - 2 ( y + \)2 = 0 de donde

( * - l ) ‘ (.y + 1)2 , , , x -1 , y + 1— ------------— = 0 es una hipérbola degenerada que nos da dos raíces: —= - = ±-^-7=-


( í ) y2 - 8y + 24 = 0Desarrollo

Como y2 - 8.y + 24 = ( y - 4 )2 + 8 > 0 , V y e R

Entonces: y 1 - 8 y + 24 = 0 no representa ningún lugar geométrico

( ? ) xy - 4x - 5y + 5 = 0

Desarroil j

Factorizando se tiene: x(y - 4) - 5(y - 4) - 15 => (x - 5)(y - 4) = 15 representa a una hipérbola equilátera. Con centro en el punto (5,4)

(jS) xy + 5 x - y - 5 = 0Desarrollo

Factorizando se tiene: x(y + 5) - (y + 5) = 0 => (x - l)(y + 5) = 0 <=> x = 1, y = -5

Es una hipérbola degenerada y nos da dos rectas x = 1, y = -5

04 Eduardo Espinoza Ramon

.26. PROBLEMAS.-

Para cada una de las siguientes ecuaciones identifique la curva representada, exprese la ecuación en la forma canónica adecuada, identifique los parámetros y propiedades así obtenidas, y trace la curva.

x 2 + y 2 - 6 x - 2 y - 6 = 0Desarrollo

x - 6x+;y - 2y = 6 , completando cuadrados

(x2 - 6 x + 9) + (y 2 - 2 y + l) = 6 + 9 + 1

(jc- 3 ) 2 + ( y - l )2 = 16 es una circunferencia de centro C(3,l) y de radio r = 4

y - 6 x + 9 = 0Desarrollo

y 2 - 6 y + 9 = ( y - 3 ) 2 = 0

3x2 +3y2 - 6 x + 4y = 1

y = 3 es una recta

Desarrollo

Hi'/n /tentación Gráfica 105

Completando cuadrados se tiene: 3(jt - 2a) + 3(y~ + — y) = 1

3(x2 - 2 x + l ) + 3(y2 + —y + —) = 1 + 3 + — => 3 (* - l)2 + 3 (y + - )2 = —3 9 3 3 3

2 ^ 1 6 9(x —l)2 + (y + — )2 = — es una circunferencia de centro c(l, — ) y de radio r =

@ y2 - l Oy = 0Desarrollo

Factorizando se tiene: y(y - 10) = 0 => y = 0 , y = 10 es dos rectas

Yj

o ~k ■< ii

>< ii or

0 X

(^ xy - 4y = -4Desarrollo

Factorizando se tiene: y(x - 4) = -4 es una hipérbola equilátera

| 4*.


x 1 - y 2 + 4* - 2_v +1 = ODesarrollo

Completando cuadrados se tiene:

x2 - y 2 - ( y 2 +2y) = - l => {x2 + 4 x + 4 ) - (y 2 + 2y + l) = - 1 -1 + 4

2x2 + y2 = 50Desarrollo

XT y— + — = 1 es una elipse con centro en el origen

5 X

x 2 + y 2 - 4 x - 2 y + 5 = 0Desarrollo

x 2 - 4 x + y 2 - 2 y = - 5 , completando cuadrados (x2 -4.x + 4) + (y2 — 2>> +1) = -5 + 4 + 1 i

( x - 2 ) 2 + ( y - l ) 2 = 0 es una circunferencia degenerada que nos da un punto (2,1)


0 4x2 + 9y2 -1 6 x -1 8 y + 133 = 0Desarrollo


4jf2 - I 6 x + 9y2 -18>’ = -133 => 4(x2 -4 * ) + 9(y2 - 2 y ) = -133

4(*2 - 4x + 4) + 9(y2 - 2 y + l) = -133 + 16 + 9 => 4(.x-2)2 + 9 ( y - l )2 = -108

( . r - 2)2 , ( y - 1)2 , .........................— - — + — - — = -3 es una elipse imaginaria

(ío) xy + 3y = x + 6Desarrollo

Factorizando se tiene: xy + 3y - x - 3 = 3 => y(x + 3) - (x + 3) = 3

(x + 3)(y - 1) = 3 es una hipérbola equilátera

@ 3x2 - y 2 - 1 2 x - 6 y = 0Desarrollo


3(x2 - 4x) - ( y 2 + 6y) = 0 => 3(x2 - 4 x + 4 ) - ( y 2 + 6y + 9) = 1 2 - 9

3(jt- 2)2 - ( y + 3)2 =3 =* ———— ——— - = 1 es una hipérbola1 3


¡2) x2 - y2 -1 6 = 0Desarrollo

x2 - y 2 = 16 es una hipérbola

Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: y - 4 = - ( x 2 - 2 x + l)

y - 4 = -(x - 1)2 es una parábola de vértice V( 1,4)


(¡•l) 9x2 +25y2 + I8x + 150_v+ 9 = 0Desarrollo


9(x2 + 2x) + 25(y2 + 6y) = -9 => 9(x2 + 2x + l) + 25(y2 + 6y + 9) = -9 + 9 + 225

( Í5 ) x2 +9y2 - 8 x + 7 = 0Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: x 2 - 8 x + 9 y 2 = - 7 => (x2 - 8 x + 16) + 9 y 2 = - 7 + 16

7 i (x — 4)2 y 2(x -4 ) + 9 y = 9 de donde — ------ h— = 1 es una elipse de centro (4,0)

@ 16x2 + y2 — 32x - 6y + 25 = 0Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: 16(x2 -2 x ) + (y2 - 6y) = -25 es una elipse imaginaria

@ y2 — 3x2 = 27


Desarrollo

y x---------- = 1 es una hipérbola27 9

g ) 2* = 5 y - rDesarrollo

25Completando cuadrados se tiene: 2x = - ( y - 5 y ) => 2(x— —) =

25 5 25 52(x -) = - (> '— )2 es una parábola de vértice: V(— )

8 2 8 2

í? ) 5x2 +4y = \2Desarrollo

5x2 = - 4 ( y - 3) es una parábola de vértice V(0,3)

~(y2 - 5 y + ~ ) 4

He presentación Gráfica 111

xy + 15y + 3x = 15Desarrollo

Factorizando se tiene: xy + 15y + 3 x - 15 = 0 y(x + 15) + 3(x + 15) = 60

(y + 3)(x + 15) - 60 es una hipérbola equilátera

y 2 - 2 y - S x + 25 = 0Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: y - 2 y = 8 x -2 5 => y 2 - 2 y + 1 = S x - 24

(y -1 ) = 8 0 - 3 ) es una hipérbola de vértice V(3,1)


\ ! +■ y; 4.v 2y + 6 = 0Desarrollo


x 2 - 4 x + y 2 - 2 y = -6 =* (x2 - 4 x + 4) + (y2 - 2 y + 1) = - 6 + 4 + 1

(x -2)~ + ( y - l ) 2 = -1 es una circunferencia imaginaria

y 2 - 4 x 2 - 4 y + 4 = 0Desarrollo

Completando cuadrados sé tiene: y 2 - 4 y - 4 x 2 = -4

y 2 - 4 y + 4 - 4 x 2 = -4 + 4 =* ( y - 2 ) 2 - 4 x 2 = 0

( y - 2 ) 2 x 2 n— — = 0 es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)

y 2 - I2y +46 = 0Desarrollo

y 2 -12y + 36 = -10 => ( y - 6 ) 2 = -1 8 no tiene lugar geométrico

3y2 +2x = 0Desarrollo

1 .3y2 = -2 x es una parábola

xy - 6x + 2 = 0Desarrollo


(ío) xy + 15y + 3x = 15Desarropo

Factorizando se tiene: xy + 15y + 3x - 15 = 0 => y(x + 15) + 3(x + 15) = 60

(y + 3)(x + 15) = 60 es una hipérbola equilátera

@ y2 - 2 y - 8 x + 25 = 0Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: y2 - 2 y = 8 x -2 5 => y 2 - 2y +1 = 8x-2 4

(y — l)2 = 8 (x -3 ) es una hipérbola de vértice V(3,l)

Yt

0 X


\ ! f y2 4 x - 2 y + 6 = 0Desarrollo


x 2 - 4 x + y 2 - 2 y = -6 => {x2 - 4 x + 4) + (y2 - 2 y + l) = - 6 + 4 + 1

(a: - 2)2 + ( y - l ) 2 = -1 es una circunferencia imaginaria

y 2 - 4 x 2 - 4 y + 4 = 0Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: y 2 - 4y - 4x2 = -4

y 2 - 4 j + 4 -4 jc2 = - 4 + 4 => (y - 2 ) 2 -4 jc2 = 0

( v — 2)2 x2- -------- — = 0 es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)

y —12y + 46 = 0Desarrollo

y 2 — 12y + 36 = —10 => (>>-6)2 = -1 8 no tiene lugar geométrico

3y2 +2x = 0Desarrollo

3y = -2 x es una parábola

xy - 6x + 2 = 0Desarrollo

K< presentación Gráfica 113

Factorizando se tiene: x(y - 6) = -2 es una hipérbola equilátera.

1.27. APLICACIONES DE LAS CURVAS CUADRATICAS EN PROBLEMAS EN ADMINISTRACION - ECONOMIA. CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA.-

Funciones de demanda parabólicas

Funciones de oferta parabólicas


1.28. EQUILIBRIO DE MERCADO.-

E1 precio del producto y la cantidad del producto que corresponden al equilibrio de mercado es determinado por la intersección de las curvas de oferta y demanda.

1.29. GRÁFICAS PE TRANSFORMACIÓN DEL PRODUCTO.-

La gráfica de transformación de productos corresponde a una familia de curvas de esta clase, en la que los elementos de la familia corresponde a diversas cantidades de insumos.

1.30. PROBLEMAS.-

Para cada uno de los siguientes pares de ecuaciones

i) Determine ¿Cuál ecuación representa una curva de demanda, y cual una curva de

oferta?

ii) Evalué algebraicamente la cantidad y precio de equilibrio de mercado.

iii) Compruebe geométricamente los puntos de equilibrio determinados en forma

algebraica.

7 ) a) x = 16 - 2y b) 4x = 4y + y 2Desarrollo

s 4x = y 2 +4y => 4(jc + 1) = (y + 2)2

x = 16 - 2y es de demanda ; 4x = 4y + y~ es de oferta

Wi presentación Grafica 115

jA = 1 6 -2 y Calculando el punto de equilibrio: <

{4x = 4 y + y 24(16 - 2y) = 4y + y

de donde: y + 12y-64 = 0 => (y + 16)(y - 4) = 0 = > y = 4

para y = 4, x = 1 6 -8 = 8

Luego el punto de equilibrio del mercado es: (8,4)

© a) x = 130-4 y

Desarrollo

, x xb) y = 10 + — + ----5 100

. „ x xy = 10 + — + ----5 100

y - 9 = (— + 1)2 10

ahora calculemos el punto de equilibrio de mercado

* = 1 30-4 y2 => x 2 + 45*-2250 = 0 =* (x + 75)(x - 30) = 0

y = 10 + - + -----5 100

de donde x = 30, y = -75

Luego el punto de equilibrio del mercado es (30,-75)


2>„ X x~ a) y = 2 + — + —

5 20b) y =

x j ry — 10 H— i------

5 100

Desarrollo

(x + 2)2 = 2 0 (y -~ )

y = .3 0 - x11

4) a) y = l 6 - x 2 b) y = 4 + xDesarrollo

y = 4 + x es de oferta ; y = 16 - x es de demanda

ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado

«

Representación Grafica 117

©

©

y = 4 + x=* 1 6 - X2 = 4 + ;

y = l 6 - x ¿

x2 +x -1 2 = 0 => (x + 4)(x - 3 ) = 0 x = 3

para x = 3, y = 7 el punto de equilibrio es (3,7)

a) jt = 3 2 - 4 y - y 2

Desarrollo

x = 32 —4y — y2 => x -3 6 = - (y + 2)2

b) y = — + 1 20

y = — + 1 es de oferta ; x = 3 2 - 4 y - y es de demanda


x = 2 0 y -2 0, =* 2 0 y -2 0 = 3 2 - 4 y - y 2

x = 32 - 4y - y

y2 + 24y -5 2 = 0 => (y + 26)(y - 2) = 0 de donde: y = 2, x = 20

el punto de equilibrio es: (20,2)

a) y = 9x + 12 b) y = 3 9 -3 *Desarrollo

y = 3 9 -3x" =» y -3 9 = -3 x

8

i


3x2 + 9 x -2 7 = O =» x 2 + 3 x - 9 = 0 de donde (x + — )2 = 9 + —2 4

3 y/45 3 3y¡5 , ‘ 3 3a/5 3 , «r 1Nx = — ± ------------------------------------------------------------------= — ± --- por lo tanto x = — + --= — (v5 — 1)

2 2 2 2 "2 2 2

y = — (> /5 -l) + 12 = — - J s - — entonces y = —(9>/5-l)

3 3El punto de equilibrio es (—(-JE -1 ),—(9>/5 -1))

2 2

Desarrollo

b) x = , /3 6 - y

y = 6 + : y - 6 = -

Kipresentación Grafica 119

Ahora calculamos el punto de equilibrio:¿ x y = 6 + —

4x = ^ 3 6 - y

=> y = 6 +36- y

4y = 24 + 36 - y 3y = 60 => y = 20

para y = 20, x = 4. El punto de equilibrio es: (4,20)

a) y = (x + 2 )2Desarrollo

b) • y = 3 9 -3 x 2

Y

, ' ' 8 1 / ___

3 9 I—► de ofe rta : y = (x + 2 )2

4r\/ l / l / i V - * - de dem anda: y = 39

' x 5/ l / i / l l

0 5

2

1 X

y = (x + 2) , ,Ahora calculamos el punto de equilibrio: < => (x + 2) = 39 - 3x

[y = 3 9 -3 x 2

4x2 + 4 x -3 5 = 0 => (2x - 5)(x + 7) = 0 de donde: x = — , y = —-2 4

5 81Luego el punto de equilibrio es: (—, — )

a) y = 48 - 3x* b) y = x + 4x + 16

Desarrollo

í v = 48-3 x 2 f y - 48 = —3x2

{y = x2 +4x + i6 ^ { y —12 = (x + 2)2


a) x = 8 4 - y 2

jx = 8 4 ~ y 2

[x = y + 4y2

b) x - y + 4 y ‘Desarrollo

x = 84 - y ¿ es de demanda ; x = y + 4y es de oferta

Calculamos el punto de equilibrio de mercado

íx = 84 - y2 , ,, => y + 4y = 84-- y

[ x = y + 4 y ¿

5y2 + y -8 4 = 0 => (5y + 2 1 )(y -4 ) = 0 de donde: y = 4, luego x = 68

Por lo tanto el punto de equilibrio es (68,4)

Kr presentación Grajica 121

f l l ) a) x = 10y + 5y2 b) x = 6 4 - 8 y - 2 y '

Desarrollo

x = 10y+5y' x + 5 = 5(y + l)

I x = 6 4 - 8 y - 2 y 2 lx -7 2 = -2 (y + 2)2

A' = 64—8 y -2 y 2 es de demanda ; x = 10y + 5y2 es de oferta


jx = 64 —8 y -2 y10y + 5y2 = 6 4 - 8 y - 2 y 2

[x = 10y + 5y

7y2 +18y~64 = 0 (7y + 32)(y - 2) = 0 de donde y = 2 luego x = 40

Por lo tanto el punto de equilibrio de mercado es: (40,2)

a) x = 10y + 4y

jx = 10y + 4y

|x = 9 6 - 8 y - 2 y 2

b) x = 9 6 - 8 y - 2 y

Desarrollo

x + 25 = 4(y + —)2 2

x —104 = -2(y + 2)2

x = 10y + 4y2 es de oferta ; x = 9 6 - 8 y - 2 y 2 es de demanda


3) a) (x+ 16)(y+ 12) = 480 b) y = 2x + 4Desarrollo

(x + 16)(y + 12) = 480 es una hipérbola equilátera

(x + 16)(y + 12) = 480 es de demanda y = 2x + 4 es de oferta

ahora calculamos el punto de equilibrio, se tiene:

í (* +16)( y +12) = 480< de donde: (x + 16)(2x + 16) = 480[y = 2*+ 4

(x+ 16)(x + 8) = 240 => x 2 + 24* + 128 = 240

x 2 — 24jt — 112 = 0 => (x + 28)(x - 4) = 0 de donde x = 4 luego y =12

Por lo tanto el punto de equilibrio se tiene (4,12)

Representación Grafica 123

@ a) X = 2y2 - 2 y - 6

j* = 2y - 2 y - 6

Lv = - y 2 - y + 18

Desarrollo

13 1,2x + — = 2 (y — y 2 273 , 1,2* ----- = (y + “~)4 2

b) * = - y 2 - y + 18

jc = 2y2 --2 y -6 esdeoferta ; x = - y 2 - y + 18 esdedemanda


í.x = 2 y2 — 2 y —6 2 , 2y - 2y - 6 = —y - y + 18|* = - y 2 - y + 18

3y2 - y - 2 4 = 0 => (3y + 8)(y - 3) = 0 de donde y = 3 luego x = 6

por lo tanto el punto de equilibrio es (6,3)

a) y = 10—3* b) y = 4 + j t + 2*

Desarrollo

y = 10-3* y -1 0 = -3 *

[y = 4 + * + 2* [y —5 = (*+1)


Ahora calculamos el punto de equilibrio:| y = 10-3*

4 + x2 + 2* = 10-3 jt2[y = 4 + x +2x

2x2 + x - 3 = 0 => (2x + 3)(x - 1) = 0 de donde x = 1, y = 7


a) xy = 30 b) 3 y - x = 9Desarrollo

3y2 -9_v-30 = 0 => y2 —3 y -1 0 = 0 => (y -5 )(y + 12) = 0 de donde:

y = 5, x = 6 luego el punto de equilibrio es (6,5)


© a) xy = 15 b) y = x + 2Desarrollo

xy = 15• x(x + 2) = 15

y = * + 2

jr+ 2 X -1 5 = 0 => (x + 5)(x~3) = 0 dedonde x = 3 luego y = 5

Por lo tanto el punto de equilibrio es: (3,5)

a) (x + 10)(y + 20) = 300 b) x = 2 y - 8Desarrollo

Calculando el punto de equilibrio de mercado

(x + I0)(y + 20) ?= 300jt = 2y ~8

=s> (2y + 2)(y + 20) = 300


(y + l)(y + 20) = 150 =* y 2 +21y + 20 = 150

y 2 + 2 1 y -130 = 0 => (y + 26)(y - 5) = 0 de donde y = 5 luego x = 2


19) a) (x + 1 6 ) (y + 12)= 144

Desarrollo

Ahora calculamos el punto de equilibrio

(x + 6)()> + 12) = 144

b) , = 2 + -

y = 2 + => (x + 6)(—+ 14) = 144 => (x + 6)(x + 28) = 288

x2 + 34x + 168 = 288 => jc2 +34*-120 = 0

-34 + 342 + 4(120)x = => x = -34 + Vi 156+ 480

?S>

-34 +71636x = ---------------- = 3.22 como x = 3.22, y = 3.61

Luego el punto de equilibrio es (3.22, 3.61)

a) (x + 12)(y + 6) = 169Desarrollo

b) x - y + 6 = 0

K ¡presentación Gráfica 127

©

Calculando el punto de equilibrio x - y + 6 = 0 => y = x + 6 como (x + 12)(y + 6) = 169

(x + 12)(x + 12) = 169 => (x + 12)2 = ¡69 <=> x = ± 1 3 - 1 2 de donde x = 1, y = 7

Luego el punto de equilibrio de mercado es (1,7)

a) (x + 5)(y + 6) = 80 w , . r s

Desarrollo

Encontrando el punto de equilibrio se tiene:

í(x + 5)(y + 6) = 80x => (x + 5)(^ + 9) = 80

ly = -~ + 3 3I 3

(x + 5)(x + 27) = 240 => x + 32x+135 = 240


x2 +32x-105 = 0 => (x + 35)(x - 3) = O de donde x = 3, y = 4

Luego el punto de equilibrio es (3,4)

a) (x + l)y = 5 b) y = -

Desarrollo

■

Calculando el punto de equilibrio:(x + l)y = 5

x (x + l ) - = 5 4

x 2 + x - 20 = 0 => (x + 5)(x - 4) = 0 de donde x = 4, y = 1

Luego el punto de equilibrio es: (4,1)

a) x(y + 6) = 24 b) y - 2x + 4 = 0Desarrollo

presentación Gráfica 129

í Jt( y '4* ó )= 24Calculando el punto de equilibrio: V .=> x(2x + 2) = 24

[y - 2 x + 4 = 0

(24)

x + x -1 2 = 0 => (x + 4 )(x -3 ) = 0 de donde x = 3, y = 2

Luego el punto de equilibrio del mercado es (3,2)

a) y(x + 3) = 18 b) y - 3 x + 6 = 0Desarrollo

Y '\

/ / - * . d e oferta

\ 3 jL r d e d e m a n d a

\\/

-3 0/////

2 3 x

/// t///

/'- 6

. I y(x + 3) = 18El punto de equilibrio es: < =í> (3x - 6)(x + 3) = 18

[y -3 x + 6 = 0

x + x -1 2 = 0 => x = 3, y = 3. Luego el punto de equilibrio es (3,3)

a) (x + 4)(y + 2) = 24 b) y = 1 +

Desarrollo

H I <N


Calculando el punto de equilibrio(x + 4 )(y + 2) = 24

x => jc2 + 1 0 x -2 4 = 0>’ = ! + --

(x + 12)(x - 2) = O de donde x = 2, y = 2. Luego el punto de equilibrio es (2,2)

a) y = x + 5 x + l b) y + 2x~ —9 = 0

Desarrollo

[y = x2 +5;c + l

[y + 2x2 - 9 = 0

1 / 5 ,2 y + - = (jc + - T 4 2

y - 9 = -2 x z

Íy = x2 +5x + l 2 2x +5x + l = 9 -2 x

y + 2x2 —9 = 0

3x + 5 x -8 = 0 => (3x + 8)(x - 1) = 0 de donde x = 1, y = 7

Luego el punto de equilibrio es: (1,7)

a) * = 3y - 3 y - 2 b) x = 1 0 -y - y

Desarrollo

J.v = 3y2 - 3 y - 2

[x = 1 0 - y2 - y

jc+ — = 3 ( y - - ) 24 241 / 1,2x ------ = - ( y + - )4 2

Htpresentación Gráfica 131

Calculando el punto de equilibrio de mercado

fx = 3y2 - 3 y - 2 , -,J n 2 a . , o _ m ..2

x = 10- y ~ - y=í> 3y - 3 y - 2 = 10- y - y

4y2 ~ 2 y -1 2 = 0 => 2y2 - y - 6 = 0 => (2y + 3)(y - 2) = 0

Luego el punto de equilibrio de mercado es: (4,2)

@ a) (x + 10)(y + 5) = 225Desarrollo

b)

Y '

; 10/ ¡ \

d e o fe rta

i x' l

/ / 1

s / L , - d e d e m a n d a-10 \ r r /

\ ~ 5 y '/ i

/ i

/

\ s y / 0 5 X

N\\I/

-5

2

- y2-y

— _ — X

de donde y = 2, x = 4

x - y + 5 = 0

Calculando el punto de equilibrio del mercado:

132 Eduardo Espinoza Ramos I

(* + 10)(y+ 5) = 225(x+ 10)(x+ 10) = 225

* -> ’ + 5 = 0

(* + 10)2 = 225 => x + 10 = ± 15 de donde x = 5, y = 10

Luego el punto de equilibrio es (5,10)

Cada una de las ecuaciones siguientes representa una curva de transformación del producto para las cantidades x, y respectivamente, de dos artículos relacionados; calcule las máximas cantidades de x, y que puede producirse.

* = 3 6 -6 y 2Desarrollo

La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde x = 36 es el valor máximo.

La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = V6 es el valor máximo.

y = 6 5 -1 2 * -5 *Desarrollo

761y = 65 -12* -5 * , completando cuadrados: y -------= -5(* + —)

\nUación Gráfica 133

I .a cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde 65 -12* - 5* = 0

135*2 +12* - 65 = 0 => (5x - 13)(x + 5) = 0 de donde * = ~ es el valor máximo.

La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = 65 es su valor máximo.

y — 4 5 -9 *Desarrollo

2 45La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde * = — = 5 => * = V 5

9

luego * = yfs es su valor máximo.

La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = 45 es su valor máximo.

* = 1 6 -4 y - 2 yDesarrollo

* = 1 6 -4 v - 2v2 completando cuadrado * -1 8 = -2 (y + l)¿

134 Eduardo Espinoza Ramoi

La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde x = 16 es su valor máximfl

La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde:

1 6 ~ 4 y -2 ;y 2 = 0 => ;y2 + 2>’~8 = 0 => (y + 4)(y - 2) = 0 de donde y =.2 es Jvalor máximo.

as ¡El gerente de producción de una empresa cree que el ¿departamento de ventas m mercadotecnia puede vender diariamente 126 unidades de un producto, y quiere produciB esa cantidad, si supone este funcionario que todos los factores que no sean el numero d J trabajadores y la producción resultante, se mantendrán constantes dentro de los limites d aesta producción total, la función de producción puede expresarse por la ecuación!

2 12x + 4 x - y = 0 en la que x representa el numero de trabajadores, y las unidadfiM

producidas. i

Dicho gerente asegura que necesitara 7 hombres para producir las 126 unidades.

a) Suponiendo que la ecuación es adecuada 7 hombres para producir las 126 unidades.)

b) ¿Qué tipo de curva representa la ecuación? Trace la curva.

c) Construya una tabla que muestre las unidades producidas por trabajador - empleada en el intervalo de 1 a 7 obreros. Indique el cambio en el numero de unidade producidas en este intervalo a medida que se va agregando cada trabajador.

Desarrollo

2x2 + 4 x - y = 0 , completando cuadrados: y + 2 = 2(x + l)2

M utación Gráfica 135

l’ara x = 7, y = 28 + 28 = 56 => y = 56

Luego el gerente esta en lo correcto, con respecto al numero de empleados.

Eil tipo de curva es una parábola de vértice (-1,-2)

No. de trabajadores x Unidades Producidas y Ay1 62 16 103 30 144 48 185 70 226 96 267 126 30

(8 ) El director de Investigación de Operaciones de una Compañía cree que el costo medio de producción a corto plazo puede expresarse mediante la ecuación x2 -1 6 * - y + 68 = 0 en la que x representa el numero de unidades producidas, y “y”, el costo medio (o promedio) por unidad, afirma que dicho costo será mínimo cuando se produzcan 8 unidades:

a) ¿Es correcta su observación?

b) ¿Qué tipo de curva esta representada? Trace dicha curva.

c) Construya una tabla de valores de y para el intervalo de x = 4 a x = 12, e indique la magnitud del cambio de y para cada cambio de x.

Desarrollo

a) El costo medio por unidad es: y = 1- 16 + 18 = 153

Para x = 8 unidades, y = 64 - 108 + 68 = 24

Por lo tanto es verdadera dicha aseveración.

b) y = x 2 -16x + 63 => _v - 4 = (x -8 )? es una parábola de vértice (8,4)

c) __________________ ' ___X 4 5 6 7y 20 13 8 5Ay 8 2 -2 »


l'ii el análisis del ingreso nacional, ¡a demanda respectivo ai dinero a conservar o (preferencia de liquidez", como la llama Keynes, a menudo es considerada como dependiente de tres causas: el motivo de transacciones, el de precaución y el especulativo. Suponga que aun nivel dado del ingreso nacional, ios efectos de los motivos de transacciones y de precaución son constantes el motivo especulativo se considera que es función de la tasa de interés expresada por la ecuación (x - l)y = 4, en la que x es el tipo de interés (%) y “y” es la demanda de dinero a conservar, expresada en miles de millones de dólares.

a) ¿Qué tipo de curva expresa la ecuación trace dicha curva.

b) Elabore una tabla de valores para “y”, la cantidad de dinero a conservar ¿en miles de millones de dólares?. Para valores de x desde el 2% hasta el 7% ¿Cuál es el valor de y cuando x = 100 (en miles de millones de dólares?

c) Ubique y describa el segmento de la curva que representa la “trampa de liquidez”, ósea, el segmento en el que la tasa de interés parece perder su fuerza como factor eficaz en la influencia de la demanda del dinero a conservar.

Desarrollo

a) (x - l)y = 4 es una hipérbola de centro el punto (1,0) y su eje transverso es paralelo j al eje Y.

saltación Gráfica 137

b)Tasa de interés x Demanda de dinero a conservar y

2 43 24 4

35 16 4

37 2

3100 4

99

c) Es el segmento para el cual x > 2.

Por convención, en el análisis económico tratado en el problema 35 anterior, la variable dependiente (demanda de dinero a conservar) suele asignarse al eje x en vez de el eje y, una ecuación empleada para expresar las ideas Keynesianas con respecto a la relación entre la tasa de interés y la demanda en cuestión, es x(y - 1) = 4.

a)

b)

¿Qué tipo de curva representa ahora la ecuación? Trace la curva.

Elabore una tabla de valores para la tasa de interés y en función de valores x de 1 a 7 (en miles de millones de dólares) ¿cuál es el valor de y cuando x = 100 (en miles de millones de dólares)? Realice y describa el segmento de la curva que representa la

“trampa de liquidez”.Desarrollo

a)

El tipo de curva es una hipérbola de centro (0,1).

138 Eduardo Espinoza Ramot

b)Tasa de interés x demanda de dinero a conservar y

1 52 33 7

34 25 9

5ó 3

27 11

7100 26

25

Es el segmento para el cual x > 1.

/ ~ \ x 2(37) Considere la parábola y = — - x + 4 y la hipérbola (x + 2)(y - 2) = 4

a) Demuestre que para x = 0 y x = 2 ambas ecuaciones tienen el mismo valor de y,pero cuando x = 4 y x = -2 las ecuaciones dan valores diferentes de y.

b) Compruebe que las dos ecuaciones tienen el mismo valor de y solo para x = 0, x - 2.

c) Trace las dos curvas en el mismo sistema de coordenadas.

Desarrollo

fy = 0 — 0 + 4 íy = 4 .a) Para x = 0, < => <' por lo tanto tienen el mismo valor

(0 + 2 )(y -2 ) = 4 [y = 4

fy = 1 -2 + 4 = 3 íy = 3 .Para x = 2, { ' => <' por lo tanto tienen el mismo valor

l(2 + 2 )(y -2 ) = 4 [y = 3

\ y = 4 — 4 + 4 = 4 Para x - 4 , { =>

l(4 + 2 )(y -2 ) = 4

y = 48 por lo tanto tienen diferentes valores

y - 3

m i‘>< \< ntación Gráfica 139

Para x = -2y = l+ 2 + 4 = 7

[(—2 + 2 )(y -2 ) = 4

b) Es la misma de a) su valor es y = 4

c)

y = 7y = 00

por lo tanto son diferentes

Una planta siderúrgica produce x, y cantidad de acero de tíos tipos diferentes, con los

mismos recursos. La curva de transformación es: y = 2 0 - 300(x < 30)

3 0 - jc

a) Trace la curva

b) Determine la cantidad máximo de x y de y que puede producirse.

c) Si la demanda del tipo de acero x es el doble que la del tipo y, determine las cantidades que la planta debe producir.

Desarrollo

a)

-

I III Eduardo Espinoza Ramos

b) La cantidad de x es máxima cuando y = 0.

0 = 20 -300

=*► x = 15 que es el valor máximo3 0 -x

La cantidad de y es máxima cuando x = 0

x 300c) Como y = — se tiene: y = 20----------2 3 0 - x

y = 2 0 - 3- ^ - = 10 3 0 0 -0

£ = 2 0 - ^ - 2 3 0 - x

x(30 - x) = 40(30 - x) - 600 => 30* - je2 = 1200-30*-600

x ¿ - 7 0 x + 600 = 0 x = 10 x = 60

(x - 60)(x - 10) = 0 =

Para x = 10, y = 5 es lo que debe de producirse, puesto que x < 30

Una fabrica que produce dos clases de dulces a partir de los mismos ingredientes, si x, y representan las cantidades producidas, la curva de transformación es:

(x - 24)(y - 36) = 240, (x < 24)

a) Trace la curva.

b) Determine las cantidades máximas de x y de y que pueden ser producidas.

c) Si la demanda del dulce de clase x es dos tercios de la del tipo y, determine las cantidades a producirse.

Desarrolloa)

H »presentation Gráfica 141

b) La cantidad de x es máxima cuando y - 0

(x -2 4 )(0 -3 6 ) = 240 => x = y = 17.33

La cantidad de y es máxima cuando x = 0

(0 - 24)(y - 36) = 240 => y - 3 6 = -10 => y = 26

2 2c) Como x = — y entonces: (— y - 24)(y - 36) = 240

(y - 36)(y- 36) = 360 => (y -3 6 )2 =360 => y = 3 6 -1 8 .9

(4«») Una empresa fabrica dos tipos de papel con los mismos recursos; si x, y representan las cantidades producidas, la curva de transformación es: (x - 30)(y - 15) = 150, (x < 30).

a) Trace la curva.

b) Si la demanda de papel de tipo x es tres veces la del tipo y, determine las cantidades de papel que la compañía tiene que producir.

c) Si la demanda del tipo y excede a la del tipo x en cuatro unidades, indique las cantidades respectivas que la empresa tendrá que fabricar.

Desarrolloa )

x = 11.4

I») Cuando x = 3y entonces:

(3y- 30)(y- 15) = 150 => (y - 10)(y- 15) = 50 =* y2 -25>> + 150-50 = 0

y2 -25;y + 100 = Q =* (y - 5)(y - 20) = 0 => y = 5, y =20

si y = 5,. x = 15 ; y = 20, x = 60

Luego las cantidades que debe producirse son: x = 15, y = 5

c) Si y = x + 4 entonces: (x - 30)(x - 11) = 150 => x2 -4Lx + 330 = 150

x2 - 4 U + 180 = 0 => (x - 36)(x + 5) = 0

Luego las cantidades son: x = 5, y = 9

1« Eduardo Espinoza fta/noj|H lM nM B M a ------------- . . ------- .

1.31. LEY DE PARETO DE LA DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO.-

" - T

N = número de personas3

b = 1.5 = — parámetro de poblaciónx = valor máximo del ingreso a = tamaño de la población

1.32. PROBLEMAS.-

2 ) La ley de Pareto para la distribución del ingreso (en unidades monetarias especificas) eng x io 8

un grupo particular es: N = — -—

a) ¿Cuántas personas tienen ingresos que exceden a 1600?

b) ¿Cuántas personas tienen ingresos entre 1600 y 3600?

c) ¿Cuál es el ingreso mínimo de los 800 individuos que tienen los ingresos más altos?

Desarrollo

, . . 8 x l 0 8 8 x l 0 8 8 x l 0 5 1 0 5a) N = ----------= = --------- = ----- = 12500 => N = 125002 64000 64 8

(1600)2


b) El numero de personas con ingresos que exceden de 1600 son:

Af = A x l ° 8j. = 12500

(1600)2

El numero de personas con ingresos que exceden de 3600 son:

„ = - ^ = í ° L = i ° L 3704 , I2 216 27

(3600)2

de manera que el numero de individuos con ingresos entre 1600 y 3600 son:

12500 - 3704 = 8796

SyinS 2- 2c) 800--— j — =* x 2 = 106 => x = (106)2 =10 =10000

x 2

Es decir 10000 es el ingreso mas bajo de las 800 personas con los ingresos mas altos.

( i ) La Ley de Pareto en un caos particular es: N1.9xl012

> 70

a) ¿Cuántas personas tienen ingresos superiores a 50000?

b) ¿Cuántas tienen ingresos entre 25000 y 50000?

c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo del millón dé personas que obtiene los ingresos maselevados?

Desarrollo

a), N =

21 22 ‘21.9xlü12 1.9x10" 1.9x10" 1.9x10-' 1.9 x 10 '5 xlO 10

ísnnnd'»1-70 12 l7 2* 12 12K > (5)170(104)10 5'9,105 510 5'°>

.2 3 17 23

= 1 .9xl010 x 2 ‘0 = 304x510 s 304 x 25 = 7600


b) EL numero de personas con ingresos que exceden de 25000 son:

N = ■1.9xl012 1.9x10.11

(25000)'-70 1Z ¿i (5 )5 (10)10

N--

59 59

1.9xl010 l.9xlO i017

5 534

510

N =

25 34

1.9x10 10xlO 1034

510

5 34

: 1 .9xl02 x 2 10

5 17

N = 1 .9xl02 x 2 5 =1.9x300x8 => N - 45600

El numero de personas con ingresos que exceden de 50000 es:

N ■1.9x10, 12

\1.70 = 7600(50000)

de manera que el numero de personas con ingresos entre 25000 y 50000 es:

45600 - 7600 = 38000

1 Oyin12 l-C) 106 = - - - 170 => jcu o = 1.9x10s => x 10 = 1.9xl05

10 50

jc = 1.917x 517 = 1 .9 x l0 3 =19000 => x = 19000

La ley de Pareto para una población particular es: N = 100000

a) ¿Cuántas personas tienen ingresos superiores a 15?

b) ¿Cuántas tienen ingresos entre 50 y 75?

c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 5 personas que obtienen los ingresos mas altos?

Desarrollo


„ „ 100000 100000 . . .a) n = ------ — = ———— = 444

15 225

El número de personas con ingresos que pasan de 15 es: 444

, . . , n 100000 ,Ab) El numero de personas con mgresos que pasan de 50 es: N = ——— = 40

„ . , . . w 100000 100000El numero de personas con ingresos que pasan de 75 es: N = ——-— = ------ — = 1875“ 5525

de manera que el número de personas con ingresos en 15 y 75 es: 40 - 18 = 22

100000 2 __100000c) 5 = -—— => x = ------------------ -=> x" = 20000 =¡> x=141x 5

Es decir que 141 es ?1 ingreso más bajo de 5 personas con los ingresos más altos.

( t) La Ley de Pareto para un grupo particular es: N =32x10,10

a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos entre 12500 y 1000000?

b) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 200 personas que obtienen los ingresos más elevados?

Desarrollo

a) El número de personas con ingresos que exceden de 12500 son:

22

„ 32x1010 3 2 x l0 10 32x1010 „ 32x10 3-------------- I = ------------------- i = ------------ i " ^ -------= 5 1 2 0 0 0(12500)3 [(53)(102)]3 54x 103

El número de personas con ingresos que exceden a 1000000 son:

„ = 3 2 x l0 ^ = 3 2 x ^ = 3 2 o o


ili- ml mnncin (|iie cl número do personas con ingresos entre 125000 y 1000000 es: i

5 12000 - 3200 - 508800

625x109La Ley de Pareto en un caos particular es: N = -----------

a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos entre 2500 y 10000?

b) ¿Cuál es el ingreso mas reducido de las 5000 unidades que tienen los ingresos mas altos?

Desarrollo

a) El número de personas con ingresos que exceden a 2500 es:

625xlO9 625x1O9N =1 53x l0 3

(2500)2

• = 5x10 N = 5000000

El número de personas con ingresos que exceden a 10000 es:

625x109 625x109N = -3

(104)2106

- = 625000

de tal manera que el número de personas con ingresos entre 2500 y 10000 es:

5000000 - 625000 = 4375000

3

b) 5000 = 625x109 v2 - 625x106

3 ix 2 = 125xl06 => x 2 = 5 x l0 2 => x = 250000

La Ley de Pareto para una cierta población es: N = -

a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos superiores a 2500?

Uri» rumiación Gráfica 147

li) ¿Cuántos tienen ingresos entre 2500 y 10000?

c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 6 personas que obtienen los ingresos maselevados?

Desarrollo

„ „ 6 x l0 9 6 x l0 9 6 x l0 9 .. 6 x l0 6 60000000a) N = ---------r- = ------ — = ----------r => N = ---------= --------------= 480003 (50) 125x10 125 125

(2500)2

b) El número de personas con ingresos que exceden de 2500 es: N = — — y = 48000

(2500)2

El número de personas con ingresos que exceden de 10000 es:

N = -6- ^ - = 6 x l0 3 = 6000

(104)2

de tal manera que el número de personas con ingresos en 2500, 10000 es:

48000 - 6000 = 42000

. 6 x l0 9 | , . 9 \ in3c) 6 = — -— => x 2 =10 => x~ =10 x = 1000

(7 ) La Ley de Pareto es un caso determinado es: N ~ - j

a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos superiores a k?

b) ¿Cuántos tienen ingresos que pasan los 100000?

c) ¿Cuál es el ingreso más bajo de las 10 personas que obtienen los ingresos más altos?

d) ¿Cuántas personas tienen ingreso entre S y T?

e) ¿Cuántos tienen ingresos entre 500000 y 150000?

Desarrollo

148 Eduardo Espinoza Ramai

«) N = — = p - individuos con ingresos superiores a k.

b) N=-(lOOOOOf (10)ib

c) 10 = ■ xb = — => In i = ) => In x = ln(-^-)*10 h 10 10

x = (~ )b 10

d) El número de personas que tienen ingresos entre S y T es:

e) De acuerdo a la parte d) se tiene:

a a a(tb - s b)su t" suf

(5x l05)* (lSxlO3)* 105ÍI 56 15* IO5* 15* (15xl05),5 sh

1.33. CURVAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMiCAS.

A) FUNCIONES EXPONENCIALES.-

y ~ a x , a > 0 = base = exponente

B) PROPIEDADES.-

© ax jay = ax+y

® (axy=a*>

® S L m(^ y

4 ) (ab)x = axb x

»1" * tratación Gráfica 149

® a°= 1, a * 0 8 a y = \(a7 , x > 0

fC)_ U N C IÓ N LOGARÍTMICA.-

logfc x = y “logaritmo en base b del número x e y”

b > 0 , b ? il; logfr j c -y x*=by

NOTA.-

^T) Si y = loge x = ln x

( 3) e = lim (1 + — )"n-*oo n

D) PROPIEDADES,

© \ogb(xy) = logb x + \ogb y

© logt *r = Hog* x

( 2 ) Si y = log10 jc = log*

( 2) logfc(^-) = logfc X-logfc y

4 ) loga x = logfl ¿(log* x) = (—^— ) logfc *logfc a

Ill) Eduardo Espinoza Ramo

11.34.

®

PROBLEMAS.-

¿Para que ámbitos o intervalos de variación de x están definidas las siguientes curvas?

a) y = ln(x + 1) b) y = ln (x -4 )

c) y = ln(x3 + 27) d) y = ln(x -16)Desarrollo

a) y = ln (x + 1) está definida si x + 1 > 0 de donde x > -1

b) y = ln (x - 4) está definida si x - 4 > 0 de donde x > 4

c) y = ln(jc3 + 27) está definida si x3 + 27 > 0

(x+3)(x2 -3 x + 9 ) > 0 => x + 3 > 0 de donde x >-3

d) y = ln(x4 -16) esta definida si x4 -1 6 > 0

(x~2)(x+2)(x2 + 4 )> 0 =* (x - 2)(x + 2) > 0

Por lo tanto: x < -2 y x > 2

Trace sobre el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por las ecuaciones:

a) y = 2X b) y = 2~x

Desarrollo

c) y = 22 d) y = 2 l x

H i /»/ vsentación Gráfica 151

©

©

Trace sobre el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por y = ax paraa = 2, e, 3 y 10

Desarrollo

Trace en el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por y = loga x para: 2. e, 3, y 10

Desarrollo

Trace en el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por las ecuaciones:

a) y = 3* b) y = log3 xDesarrollo

1 Eduardo Espinoza Ramai

@ ¿Para qué intervalos de x están definidas las siguientes curvas?

®) y = — ln(l~ j:2) b) y = ln (3 6 -x 2) c) y = ln(x2 - 3 6 ) |

d) y = -3 - 6 ln (x - 2) e) y = ln (x -2 7 )

Desarrollo

a) y = ^ ln ( l - x 2) está definida si 1-jc2 > 0 => x 2 <\ =s- -1 < x < 1

b) y = ln (36 -;t2) está definida si 3 6 - x 2 > 0 => x2 <36 => - 6 < x < 6

c) y = ln(>2 -3 6 ) está definida si x2 - 36 > 0 x 2 > 36 \ > 6 v x < -6

d) y = -3 - 6 ln (x - 2) está definida si x - 2 > 0 de donde x > 2

e) y = ln (x - 27) está definida si x - 27 > 0 de donde x > 27

1.35. APLICACIONES DE LAS CURVAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA.-

A) INTERES COMPUESTO,

y = ;c(l + - y ,ix

x = cantidad de dinero n = años k = veces al añoi = Ínteresy = el monto a los n años

B) CURVAS DE CRECIMIENTO BIOLÓGICO.-

N = N0R‘

N = número de personas en una población al tiempo t.

N0 = número inicial de personas en la población.

R > 0 es la tasa de crecimiento

i /in ntación Gráfica

C) CURVAS DE GOMPERTZ.-

N - <:a

N = número de individuos en una población al tiempo t.

R = es la tasa de crecimiento 0 < R < 1

a = es la proporción de crecimiento inicial,

c - es el crecimiento a) finalizar.

ID) CURVAS RE ;

y - r ~ai -fcr

c, a, k son positivos


1.36. PROBLEMAS.-

(T ) Una cierta organización desea depositar en el banco 10000 dólares, y dejar ese deposito por 20 años, se dispone de dos operaciones: 5% de interés pagadero cada semestre, y

4 \ % de interés pagadero trimestralmente ¿Qué opinión debe elegir dicha empresa?

Desarrollo

y = x(l + i)n =10000(1 + 0,05)20 => y = 104(1,05)2° = 2Ó841 dólares

y = x(\ + —)nk = 10000(1 + = 24480 dólares debe elegir el de 5% de interés.k 4

© Con el fin de contar con una suma de 20000 al cabo de 20 años al 6% de interés anual¿cuánto deberá depositar ahora?

Desarrollo

o0000y = x(l + 0" reemplazando: 20000 = x(l + 0.06)20 => x = —— —

(1.06)

x = 6236.0943

© Una asociación de profesionales se formo originalmente con 10 miembros. Los estatutosestablecen que a cada participante puede invitar a dos personas a que se afilien, al principio de cada año. Si cada miembro hace uso de esta disposición, ¿cuántos afiliados tendrá dicha sociedad al cabo de 15 años?

Desarrollo


f/V = ?Datos: j _ 3 Formula: N = N0R‘

[í = 15

N = 10(315) = 10(14348907) => N = 143489070

( i ) El ingreso total mensual R (en dólares) de una empresa particular puede describirse poi

medio de la ecuación R = 1000(0.10)° 8 p en la que p es la cantidad gastada en publicidad

¿Cuál es el ingreso total cuando no se tienen gastos publicitarios? ¿Cuál es el ingreso máximo total obtenible? ¿Cuál es el valor del ingreso total si $ 20 es el gasto mensual en promoción?

Desarrollo

Cuando no se tienen gastos de publicidad se tiene: p = 0 de donde R = 1000 que es el ingreso total.

El ingreso total cuando se tiene p = 20

R = 1000(0.10)<OJ)2° = ÍOOO(O.IO)1'6

3 3

/? = 1000x(0,10)(0.10)a6 =100(0.10)5 ^ /? = 100(0.10)5

( 5) Los costos de producción (en ciento de dólares) de una empresa están descritos por lu

ecuación: c = 100-70e~oo2'> en donde x es el número de unidades producidas ¿cuáles son los costos fijos de la empresa? Cuando la producción es de 100 unidades ¿Queproporción de los costos de producción son los costos fijos?

Desarrollo

Para x = 100 unidades

c = 1 0 0 -70e(‘002)(100) = 1 0 0 -70e~2 => c = 1 0 0 ™ =100—e“ (2.71)2

c = 100---- 2®— = loo - 9,4 = 90.6 => c = 90.67.3441


y) Una de las tareas en una línea de producción industrial consiste en colocar un pequeño tomillo en una placa de metal, para un obrero típico, el número de tareas que realiza por

hora está descrito por la ecuación y = 50 - 40e~°30jr en la que x es el número de horas

que el operario trabaja en la línea de producción:

a) ¿Cuántas tareas puede terminar un empleado durante la primera hora? •

b) ¿Cuántos en la sexta hora?

Desarrollo

a) Para x = 1 hora se tiene: y = 5 0 - 40í? ~°30 = 50 - => y = 5 0 - ^

éi ¿i

b) Para x = 6 horas se tiene:

y = 50 - 40<r(“a30)6 => y = 50-40f>~°18 => >’ = 5 0 - - y

( álculo Diferencial 157

CAPITULO II

2. CALCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES DE UNA VARIABLE. LIMITES DE UNA FUNCIÓN H

2.1. DEFINICION.

lim f ( x ) = L <=> V e > 0 ,3 8 > 0 / 0 < | x ~ a | < 5 ^ ¡ f(x) - L ¡ < e

3 lim f ( x ) = L <=* lim f ( x ) = lim f ( x ) = L

2.2. PROPIEDADES.-

(%) lim (/(x )± ^ (x ))= lim / (x )± lim g(.<)t —\n y— *■ i/ix -* a x -* a

( ¿ ) bm (f(x).g(x)) = (lim /(jr)).(lim g(jc))x —>a x~+a

f(x) lim / W( 4) lim ------

g(x) !im g(x) x —>a, l im g (* )* 0

© üm (/(*))" = ( lim / (jc))"

6) lim f j (x) = J tim f ( x )x -* a y x~>a

! 58 Eduardo Espinoza Ramos

5.3. PROBLEMAS.-

Evaluar los siguientes limites.

) lim (r + 6f + 5)r—»2

Desarrollo

lim(r2 +6í + 5) = 22 +6<2) + 5 = 4 + 12 + 5 = 21 t-> 2

) lim x2 + 6x+3Jt-»0

Desarrollo

üm x2 +6x + 3 = 02 + 6(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 *->o

\ 3f—5) lim --------' .v—>5 y - 2

Desarrollo

lim 3~V~ 5 - 5 - 3(5)~ 5 - 1 5 -5 10y - 2 lim y - 2 5 - 2 3 3

y-> 5

) lim (y - 3 )2y - > - 2

Desarrollo

lim (y - 3 )2 = lim y 2 - 6 y + 9 = (-2 )2 -6 ( -2 ) + 9 = 25y-*-2 y-»-2

) lim x3 -3 x + 5jc-*2

Desarrollo

f Mmlo Diferencial 159

Desarrollo

x \ r x + 2 _ 2 V / 2 Í 2 _ 8lim r —- - - ——x —>2 x +1 lim x +1 2“ +1 5

x—>2

0 lim*_»« x 2 4.1

Desarrollo

lim 2 r2 2—— = lim —i- j -■ se ha dividido en x~x-»~ Jt2 + 1 j + J

lim

x

2^ 2 0 _0

lim 1 + —r . x

1 ” l + 0 1

lim (l+-^-)x -->0 _x

lim(l + -~ ) = 1 + — = 1 + «» = « .1 -“>0 x 0

Desarrollo

0 1im■¡r—

0

v2 +1*-*-1 X 2 + X + l

Desarrollo

Ü I V 2+1 _ ( - i r - H _ 1+1 _ on m ■ " " “ ——* . ^*-+-i x + x + l lim x" + x + l (-1) -1 + 1 1-1 + ilim

x2 +1

lim (4— — )*—»“ x +1

Um (4 ---- —-) = lim (4 — —-) = 4 - -* - * » X + l -V 1 , * !J -I----

Desarrollo

0

160 Eduardo Espinoza Ramosi

© lini 3f — 5

Desarrollo

li 3?-5 _ |™ 3f~ 5 _ 3(0 )-5 = 5t-*ot + 2 lim /+ 2 0 + 2 2

/->o

@ lim3 r - 5 i + 4

Desarrollo

3 í 2 - 5 í + 4 _ _ ^ 3 , 2 - 5 í + 4 3 - ï 2 - 5 a + 4lim :t-> x t ¿ + 2 lim /2 +2

t -> xx 2 + 2

©

©

x+hlim a/>-> o

1-, I+/i _ r+0 _ .lim a = a*-0 = a = a*—>o

Desarrollo

—hlim 2A-> 0

lim 2 A = lim -4- = -4- = - = 1 h-* o ft-> 0 2" 2 1

lim x*->2

Desarrollo

Desarrollo

. . _4 .. 1 1 1lim X = lim —r = —- = — *->2 ,t 4 2 16x -* 2

© lim Xax-»-2

Desarrollo

lim jc4 = ( -2 )4 =16

-

f ill culo Diferencial 1 6 1

©

©

©

lim 2»--oo

lim TX—>oo

lim 2“* = !im — = — = — = 0.t-*» jc-»«. 2X 2” 00

Desarrollo

Desarrollo

® lim e~‘t~±oo

Desarrollo

lini e ' = lim — = = — = 0f—>oo *-->oo ^ £>°° oo

.. e -be lim---------/-*o 2

Desarrollo

© lirajc-»0

.x - y■*■-♦0 a: + y

Desarrollo

jc—>o j«r + y lim x + y O + y yX —>0

2 X - 2 ~ x lim — ---- —x -> o + 2 ~ x

Desarrollo

l u l l 2 - 2 -- O /)-0 t í ni i n , 1 ~ 1 ~ * - > o ____~ L - i l l = _ - o

*~*o2X + 2~x ~ lim 2X + T x 2° + 2”° ’ 1 + 1 2 ~x~~>0


lim *= ±y~ > 0 x +y

lim x — yi -------= £ - “ =1y->Ox+y lim x + y x + 0

y-»0

x3 - 2x + 5lim ----- --------*-»“ 2x - 7

, _ 2 _5x 3 - 2 x + 5 2 + 3

lim ----- --------= lim — ------ —2x - 7

x3

x2 + a 2lim3 3x + a

21 a.. x 2 + a2 x + x3 0 + 0hm —------ = lim - — i - = ------

x' + a , a 1 + 01 + -

x3

lim x3 -5 x + 6x - > o x 2 ~ 2 x + 3

3 c v ¿ lim x3 -5 x + 6lim ^ f ± 6 = - o _ -----------'-*°x -2 x + 3 lim x -2 x + 3

x —+0

lim 3i

1 + 2'

Desarrollo

Desarrollo

~ 2

Desarrollo

1

Desarrollo

0 - 0+6 6 0 - 0 + 3 ~ 3 ~

Desarrollo

i tllailo Diferencial 163

(<«)

©

lim — - 11 + 2 '

Desarrollo

1 1 1 1hm •

i 1 + 2° 1 + 1 2 1 + 2 '

lim — -——x->0* I

1 + 2 'Desarrollo

1 1 1 1 Al i m -------- -- = ------------ = ----------= — = 0x-»(T i l + 2^°° 1 + 00 00

1 + 2 '

30) lim ——A->0"

1 + 2 'Desarrollo

1 1 1 1 ,l im ------r = -------— = ----- — = ----- = 1*->o- i 1 + 2"“ . , 1 1 + 0

1 + 2 ' l +

31) lim x-’x - > -2

Desarrollo

lim x3 = (-2)3 = ■x—>-~2

lim x 3x~>2

-3 1 1 1hm x - lim —x~*2 Jt-»2 x 2 ' 8

Desarrollo

t í x + 1 0 33} hm ---------

l i m

Desarrollo

, 1fl limax + 10 2 ,ax + 10 a +IUl i m xx-*a

l i m ---------x-»°o Ì

l + exDesarrollo

r 1 - 1 - 1 - Ì í™ I i + e° 1 + 1 2

l + e *

l i m — —-x->o- I

\ + e xDesarrollo

1 1 1 _ 1l i m -------- = -------— = ------- t = -— - - 1

*-*ar I l + e i , J _ 1 + 0l + e* ,+ ~

l i m ---- i—r-* ->0* I

l + exDesarrollo

to . ' - I — i . o*-♦0* I l + e°° 1 + °° 00

l+e*

x + e*2+3 + x2lim ------t---------JT-+0 e + x

Desarrollo

• X 2 +3 2.. * + +3 + *2 l X+e +x .„0 + e3 + 0 _ ,lim r i 3*-*o e + x lime +x e

*->o

Eduardo Espinoza Ramos ( itlculo Diferencial 165

I»") l i m ---------x~*° l + ex

l i m x— *-»Q

Desarrollo

0 0l i m - - „ - ,

l + e* l i m l + e 1 l + e 1 + 1X—*o

: 0

lim—-----------*-»i h3 + 4 / 1 + 5

-h l i m eh—*\

-h

Desarrollo

„-il i m — ------------------------------------------------ ------------ j ---------/i~*> h + 4 / 1 + 5 l i m /( + 4 / 1 + 5 1 + 4 + 5 lOe

h~> 1

(4<i) l imt 2 + 4

>-+2(t + 2 ) ( t+ 3 )

Desarrollo

l i m -t 2 + 4 l i m r 2 + 4

4 + 4 J5_ _ 2

'-*2 (f + 2)(r + 3) lim(i + 2)(/ + 3) 4(5) ~ 20 ~ 5/-> 2

( è

■ ilim(e' +5)t —>°°

Desarrollo

lim(e' +5) = e°°+5 = e + 5 = l + 5 = 6l-+oo

lim/-> o 10

Desarrollo

^ g» - e-2f _2~3' _ e ° - e ° - e 0 1 -1 -1 J_' >0 10 ~ 10 _ 10 __ To

x2 -1 6limi >4 ( x —0 - 4 ) “

166 Eduardo Espinoza Rann

Desarrollo

lim-*->4 ( v _

x -1 6 (x -4 ) (x + 4) x + 4 8--------- = lim-------------------- —( x - 4 y (x - 4 )

lim: x -* 4 X - 4 0

- = — = oo

lim x2 -1 6 K jc-4)2

Desarrollo

lim je2 —16* - >- 4 ( x ~ 4 ) x —>-4 ( x - 4 ) M -4x - 4 lim (x -4 ) - 4 - 4 -8

je—>“4

.. x -1 6hm-------- -*-** (x + 4)

Desarrollo

l¡ra = lim ( f z l K í l l ) = ,-m i z ± , 1 - 4 _ 0 _ o*->4(x + 4) x-*a (x + 4) x->4x + 4 4 + 4 8

h~x +hx lim----------JT—>o X

Desarrollo

h x +hx h x +hx /T°+/i° 1 + 1 2lim -----------= lim------------= ----------- = ------= —*—>o x x—*o x 0 0 0

lim e"*2/-»0

Desarrollo

\ime-,+2 = e ^ 2 = e2r-> 0

@ limh - > 0

e~H- e 2h

Desarrollo

I .I/i m/h Diferencial 167

lim (1 + 3* )X—fr«"»

Desarrollo

I I l im (l + 3j:) = l + 3~ =1 + 3°= 1 + 1 = 2

x - y + 3OKl) lim

y-*o x + y - 6Desarrollo

x —y + 3 x —0 + 3 x+3lim--------- = --— - ------ 7v~»ox+y-6 x + 0 - 6 x —6

©

©

x -3x" + 2 x -6 lim------------ --------x—>3 X + 4

Desarrollo

x3 - 3x2 + 2x - 6 33 - 3(3)2 + 2(3) - 6 _ 27l“ x + 4 3+4

(h + l)e hm — -z-----h~*0 +1

Desarrollo

(/i+l)e~* _ (0 + l)e _ l _ iI™ /¡2 + 1 ” 0+1 I

lim

Desarrollo

i j_ lim ex =e°° = e° -1X-*°o

x2 - r + 2hm-----r-------? -> o x - y

Desarrollo

-2 7 + 6 - 6 = 0 = 0 7 ~ 7


lim x 2- y 2 + 2 x 2 - 0 + 2 x 2 + 2y~*° x - y x3 - 0

.. x4 - 6 x - 4lim--------------X + l

Desarrollo

lim £ ^ - 6 x --4 _ 24 - 6 ( 2 ) - 4 1 6 -1 2 -4 0*->2 x + l 2 + 1

.. í3 +4f2 +10 lim ---------------5t +12/

= - = 0 3

.. í3 + 4/2 + 10 lim = lim5í2 +12/ 5 12

Desarrollo

. 4 101 H-----1——t t _ 1 + 0+ 0

0 + 0t r

\ + eh lim — -—h—>oo g

Desarrollo

lim l + eh = 1 + e” = 1 + e° _ 1 + 1 _ 2 Q/|->oo oo oo oo

limA-*-o

l + £*

Desarrollo

.. l + e* l + e “ „hm — = --------- = (l + e~°)e~ =2e~ = «

*->— eh e~°°

.. x - h lim------h-*ix + h

Desarrollo

.. x - h x - 2lim------ = -------h-*2 x + h x+ 2

i lilnilo Diferencial 169

r2 - 6/ + 8(f«4») lim

@

/-*2f2 -5 f + 6Desarrollo

/2 - 6í + 8 ( / - 4 ) ( / - 2 ) , f — 4 2 - 4 - 2l im ----------- = lim------ —;— — = lim— - = —— = — = 2t-*212 - 5t + 6 »-*2 (f—3)(f — 2) /-*2 r —3 2 —3 —1

limhA + 5h5

*-»“ 3h + 2h6Desarrollo

J_ 5/*4 +5/i5 h2 + h 0 + 0 0 nhm --------- h m ~ ----------- = — r = - = 03/i + 2/i + 2 0 + 2 2

h5

© lim -” t->0 i

l + e'

-itt-tÓ

l+e'Desarrollo

lim j l L = _ l ! _ = _ L _ = I = 0 «-»o 1 I l + e“ °°

l+ e ' l+e°

® r í2 —f —12hm —----------+ 4 í+ 3

Desarrollo

í2 —12 (f- 4)(í + 3) t - 4 - 3 - 4 -7 7Hm--------— = Jim ™—— ----- 1 = hm ----- = ----------= — = —n - 3 / 2 +4/ +3 f—»-3 ( / 1 l)(í + 3) t-*-3 í +1 -3 + 1 -2 2

x +2ax + ahm -------- r-------

aDesarrollo

x2 +2ax + a 2 0 + 0 + u2 a2 1jim -----------------= ------- ------= — = —*->o a a a «

Eduardo Espinoza Ram oii I * »Mudo Diferencial

*->0* i ex

Desarrollo

2 - e x 2 - e ° 2 -1 1hm — ■— = — ;— = -------= — = 0*->o* I I

„o e

CONTINUIDAD.-

PROBLEMAS

Determine los valores de x para los cuales las siguientes funciones son discontim identifique los tipos de discontinuidad y exprese las definiciones apropiadas para eliminar] las discontinuidades removibles.

/ ( * ) =3x + 5

x2 +4x +4Desarrollo

/ (* ) =3x+5 3x + 5

x 2 +4x + 4 (x + 2)2, la definición f(x )l

no está definida en x = -2 y lim f ( x ) = +°» ,3x -> -2 *

lim f ( x ) = -oox - * —2T

Luego la f(x) es discontinua en x = -2

Desarrollo

f ( x ) = ——— = 1 ---- — , la función f(x) no estáx+1 JC+1

definida en x = -l

Luego f(x) es discontinua en x = -1

0 )

©

/ (* ) =x2 - \x - l

Desarrollo

/(* ) =x 2 - l (x + l ) (x - l ) = x +1, x * 1x - l x - 1

f(x) tiene una discontinuidad removible

t t * +1 ’ x * l f ( x ) - iim jc+1 , x = lU->!

/ » - { " i 1 ; r j

(■<) f (X ) = ~x 2 +4

x - x - 2

171

Desarrollo

La función f(x) = log (2x - 5) no está definida para

2x - 5 > 0 => x > ~

f(x) no es continua en: x< —2

f(x)-.2 * -1


J ) / ( * ) = ---- !----^ x ( x -2 )

Desarrollo

f(x) no es continua en x = 0 es decir no existe |

lim f ( x ) y f(0) no está definida,

Desarrollo

f(0) y f(2) no están definidas

lim / (x ) - +°° y lim f ( x ) ~ ■j:—»2 jr~>0

Luego f(x) es discontinua en: x = 0, x = 2

3> / (* ) =x+ l7 - 1

Desarrollo

x + lLa función f(x) no es continua en todo x que satisface a: ------< 0 y x = 1

x - l

Como: x + l x - l

< 0 <=> (x + l ) (x - 1 )< 0

-1

La solución es: x e < -l,l> u {1}

Luego f(x) es discontinua en: x € < -l,l]

< lítenlo Diferencial 173

® f ( x ) = ------- (- ~ r--------(jc—1)(JC2 -4JC + 5)

Desarrollo

/ ( * ) = ---------- ------------- = — :---------- , x -t 1(je — 1)(jc - 4 x + 5) x - A x + 5

f(x) tiene una discontinuidad removible en x = l por lo tanto se puede definir para que sea continua en todo R es decir:

/ ( * ) =

x - l—----------- , X * 1x - 4 x + 5

lim—z——-— . x = l j-»ix -4 x + 5

f ( x ) -X —1

, X / 1x ~4x + 5

0 , x = 1

© / ( x ) = log(— - )X

Desarrollo

x — 2La función f(x) no esta definida p a r a ------< 0

x

Luego f(x) no es continua en: x e [0,2]

174 Eduardo Espinoza Ramón

© /(*) = -

©

x + 2Desarrollo

/ ( , ) = ¿ ± 5 £ Í É = Í£ ± 3 X £ ± 3 )= , + 3, x , . 2jc + 2 x + 2

f(x) tiene una discontinuidad removibíe en: x = -2 y para que sea continua en toda R definiremos por:

f ( x ) :x + 3 , x & -2

I lim x + 3 , x = -2Lx—>-2

X /. f ( x ) :j x + 3 , x / -2 ) 1 , x = -2

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en x2 - 4 = 0 de donde x = ± 2 que son los puntos de discontinuidad.

© / « =x2 - 2 x1 2

X - X + X

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos los puntos donde x3 - x 2 + x = 0 de donde x = 0

es el punto de discontinuidad de la función f(x).

( lítenlo Diferencial 175

( u )x - 2

Desarrollo

r , , jc2 - 5 jc->-6 (x-3 X * -2 ) ,f { x ) = -------—— = --------- -----= x - 3 , x * 3x ~ 2 x ~ 2

Luego la función f(x) es discontinua en x = 3

x 2 +10 * ) f ( x )

X' -4JCDesarrollo

x3 - 4x

La función f(x) es discontinua en todos los x en donde x3 -- 4x - 0 =» x(x-2)(x + 2) = 0

l uego x ~ 0, x = -2, x = 2 son los puntos de discontinuidad.

m ) f ( x ) ■4x

4 - x 2 ’Desarrollo

La función f(x) es discontinua en los valores de x en donde 4 -x " = 0 => x = ± 2 son los

puntos de discontinuidad.

(Í7) f ( x ) ------ „------4x -1 6

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde:

4x2 -1 6 = 0 => .t2 - 4 = 0 , Luego x = ± 2 son los puntos de discontinuidad.

( ih) / ( * ) =x —2

(x -2 )(x 2 + 2x+10)Desarrollo

. . . x - 2 1/ (-v) = --------------------------------------------------------J -------- “ - r — ----------- , X * 2

(x — 2)(x 4* Ilx 4* 5) x ¿ 4- 2.x 4* 5

como x 2 + 2 x * 5 * 0 , V x e R entonces la función f(x) es discontinua en x - ?


@

/(■*) = -1

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en los valores de x en donde:

e4x -1 = 0 => e4x =1 4x = 0. Luego en x = 0 la función f(x) es discontinua.

/ ( * ) = -r — 9

(x -2 )(x ¿ + 2 x - 3)

f ( x ) = ■x — 2

Desarrollo

x — 2 1(x -2 )(x 2 + 2 x -3 ) (x -2 )(x + 3 )(x -l) (x + 3 )(x -l)

La función f(x) es discontinua en x = 2 y además (x+3)(x+l) =0 de donde x = 1, x = -3

ex + 2x2/ (* ) =

2e3x - 2Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde 2eix - 2 = 0 => e3x =1

Entonces x = 0 es el punto de discontinuidad.

x2 ~5x+ 6f i x ) :(x -2 )(x --3x + 5)

f ( x ) =x ~5x + 6

Desarrollo

(x -2 ) (x -3 ) x - 3(x -2 )(x 2 -3 x + 5) (x -2 )(x 2 -3 x + 5) x2 -3 x + 5

, x * 2

La función f(x) es una función discontinua removible en el punto x = 2.

Luego se puede definir de tal manera que sea continua en todo R.

x - 3

f ( x ) = x 2 -3 x + 5

3

, x * 2

, x = 2

f (tit ulo Diferencial

(M) f ( x ) = - 1-1

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en x de tal manera que ex -1 = i

Luego x = 0 es un punto de discontinuidad.

(M) f ( x ) =x2 - 3

x - 16Desarrollo

La función f(x) es discontinua en los valores de x en donde x son los puntos de discontinuidad.

\3© / ( x ) = --------

(x —3)(x - 2 x - r o )

Desarrollo

f(x) es discontinua en x = 3 removible.

Luego se puede definir de tal manera que sea continua en x = .

( x - 3 ) 2f ( x ) -

f ( x ) =

x * 3x2 -2 x + 6

0 , x = 3

x2 + 2x - 8 x + 4

Desarrollo

x2 + 2 x -8 (x + 4 )(x -2 )f ( x ) = ------------- = 1------ --------- = x - 2 , x * -4x + 4 x + 4

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = definir de tal manera que sea continua.

f ( x ) -x — 2 , x * —4

— 6 , x = —4

=* ex = 1 de donde x=

2 -1 6 = 0 => x = ± 4 qu

-4, por lo tanto podcmo


P J / ( * ) = 13e3x - 3

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x de tal manera que:

3e3* - 3 = 0 => e3' =1 => x = 0 es punto de discontinuidad.

( 3 ) f ( x ) = _ J f .+ 5)2(* + 3>

Desarrollo0 + 5 ) 0 2 - 4 x + 8 )

0 + 5 ) 2 0 + 3 ) 0 + 5 ) 0 + 3 )J ( x ) ------------- r------------- = —z------------ , x*-50 + 5 ) 0 - 4 x + 8 ) x - 4 x + 8 v

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -5 por lo tanto se puede definir de tal manera que sea continua.

ZO ) =

P ) Z O ) =

0 + 5)(x + 3), x * - 5

x2 - 4x + 8O , x = -5

x 2 +5x +6 x + 2

Desarrollo

Je2 +5x + 6 O + 2)(x+3)/(* ) = -------- — = ----------------- = x + 3 , x * -2

x+ 2 x+ 2

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -2 por lo tanto se puede definir de tal manera que sea continua.

fallido Diferencial 17«

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x de tal manera x

10

2 - l = 0=>x = ±l

UO / w = e - iDesarrollo

e6x- \


e6* _ l = 0 => e6x = 1 => x = 0. Es un punto de discontinuidad de la función f(x).

, „ x 2 + x - 2 B J O) = —

x z +21x + 50Desarrollo

f ( x ) s - ^ ± Í Z Í - s (x + 2 ) (x - l ) = J - l _ x / 2 x2 + 21x + 50 0 + 2 )0 + 2 5 ) x+25

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -2, también una discontinuidad en x = -25 por lo tanlo se puede definir de tal manera que sea continua en x = -2

/ 0 ) =

x - l , ~ , x t- -2x + 25

3 , x = -2 23

H k x2 +10x + l( " ) /<■*) = — r T -x - 9

Desarrollo

La función f ( x ) - * - es discontinua en todos los valores de x en donde :.x’ - 9

x 2 - 9 = o => x = ± 3. Por lo tanto la función f(x) es discontinua en los puntos x = ± 3.


Desarrollo

f ( x ) = x -5 x + 4 (x - 4 ) (x - l )x - 4 x - 4

= J t-1 , x 4

Luego la función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = 4, por lo tanto se puede definir de tal manera que sea continua.

/ (* ) =x - l , x # 4

3 , x = 4

/(x ) = ln(x -6 )Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde x 2 - 6 < 0 => x2 < 6

Como x 2 <6 =* -\¡6 < x < Vó

f i x ) :x -5 x + 6

(x-2)(x~ - 2 x - 3 )

/ (* ) = -x -5 x + 6

Desarrollo

(jc—3)(jc-2 ) 1, x * 2,3

(x - 2)(x2 - 2x - 3) (Je — 2)(x - 3)(x + 1) x + l

Luego la función es discontinua en x =-1 y tiene discontinuidad removible en x = 2, x = 3.

Por lo tanto se puede definir la función f(x) de tal manera que sea continua en x = 2, x= 3

1

f ( x ) =

, x * 2,3

, x = 2

x + l

3

— , x = 34

f ( x ) =2x2 + 3xx3 - 9 x

i ,il alo Diferencial 181

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en todos ios valores de x en donde:

x?‘ - 9x = 0 => x(x - 3)(x + 3) = 0.

Por lo tanto la función f(x) es discontinua en los puntos: x = 0, x = 3, x - -3

(SH) f ( , ):= J ...3ex - 3

Desarrollo


3ex - 3 - 0 => ex -1 = 0 => x = 0. Por lo tanto f(x) es discontinua en x = 0.

ex +4x® f i x )

Jif. — J

Desarrollo3eAx - 3


3e4x - 3 = 0 => e4x =1 => x = 0

40) / ( x ) = * " +5* +4(x+4)(x -6 x + 1 0 )

Desarrollo

x2 +5x4-4 (x+4}(x+l) x + lf ( x ) = ------------------------- = -------------—----- ------= ----------------, x * -4

(x + 4)(x2 -6 x + 10) (x + 4)(x2 ~6x + 10) x2 -6 x + 10

Luego la función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -4

Por lo tanto se puede definir la función de tai manera que sea continua en x = -4.


@

x2 - l/ (* ) =

____ JC —1x + l ’ ¿Es f(x) continua en x =-1?

- 2 , x = - lDesarrollo

La función f(x) es continua en x = -1 si y solo si liin f ( x ) = / ( - 1 ) = -2x —»-1

lim / (x ) = lim. x2 - lJC—»—1 i —>~1 X + 1 JT—>—1

x2 + 3 x -1 0

lim x - l = -2 f(x) es continua en x = -1

® / (x ) = ------ ---— para x *2 ¿Qué valor debe asignarse a f(2) para hacer a f(x) ,x - 2x - 2

continúen en x = 2?Desarrollo

je2 + 3 jc- 1 0 (JC + 5X.V-2)■ = lim/(2 ) = lim / (x ) = lim

x-»2 x—>2 X — 2 x->2 X — 2 x-»2

f ( x ) = \¡x , ¿Es f(x) continua en x = 0?

Desarrollo

La función / (x) = ifx es continua en x = 0 si !im /(x ) = / (0 ) = Qx->0

= limx + 5 = 7 f(2) = 7

Por lo tanto /(x ) = Ifx es continua.

para x * 3f x2 - 7 x + 12

x _ 3 ‘ ¿Es f(x) continua en x = 3?1 para x = 3

Desarrollo

La función f(x) es continua en x = 3 si y solo si lim /(x ) = /(3 ) = 1.v—>3

„ ,• x - 7 x + 12 .. (x -4 ) (x -3 ) . . . . .l im /(x ) = lim--------------- = lim----------------- = lim x -4 = - l * /(3 ) = 1x—»3 x—>3 X —3 x->3 x —3 jc—»3

Por lo tanto la función f(x) no es continua en x = 3.

Ah uto Diferencial 183

.5. MIRIVADAS.-

dy _ ¡im /(x + A v ) - / (x) dx a<~»o Sx

A) DEFINICION. -

B) PROBLE MAS.-

Para cada una de las siguientes funciones f(x), determine la primera derivada —dx

haciendo uso de la definición:

¿y _ ]im / ( x + A x ) - / ( x ) dx a *->o Ax

( I; /(x ) = x2 - x + 1Desarrollo 1

fty = f .(jc) = Hm f ( x + A x ) - f ( x ) _ ljm | (x + Ar)2 - (x + Ax) +1] - [x2 - x +1] dx A»~>0 Ax Ax—»0 Ax

x2 +2Ax.x + Ax2 - x - A v + l - x 2 + x - l= lim ---------------------- ----------------------------Ax~>0 Ax

Ax2 + 2xAx — Ax- lim --------------------- = Jim Av + 2 x - l = 0 + 2 x - l = 2 x - l

Ax—>0 Ax Ax-»0

© / « = p r

Desarrollo

1_____l_

& = fX * )= lim ñ i ± M z m , ,ta ( I ± 4 ! ) U « Í , i¡mdx Ax-»o Ax At->o Ax a*~»o x2 .Ax(x + Ax)2

x2 - x2 - 2x.Ax - Ax2 -2 x A x ~ A x z= l im ----- -----------------— = lim —-------------- —*-+0 x .Ax.(x+Ax) ¿*->0x“.Ax.(x + Ax)“

¡jm ~2x~ Ax _ -2 x ~ 0 -2x _ 2^*-*0 x2(x +Ax)2 x2(x + 0)2 x4 x3


* - / w ~ 4dx x

© / W = VTxDesarrollo

¿X Al—>0 Ai

c/y J2(x + A x ) - \ Ì2 x 2(x + A x ) -2 x— = lim ----------------------= lim ----------------------- p=~¿¿x Ar->o Ax Ax-*o Ax(^2(x + Ax) + v2x)

2Ax 2= Imi ------ ---------------- r—— = I'm —f = = = r ~ —==

Ax->o Ax(yj2(x + Ax) + \¡2x) >/2(jc + Ax) +V2x

________ 2 ____________ 2____ 1■j2(x + 0) + V2x \Í2x + \f2x \¡¡2x

© /(* ) = * - -

Desarrollo

, r , . . , , . ( x + A x -------- Í— ) - ( . x ~ — )

£ . / W . lim = [ im -------------Í¿C A*-*0 A x A r-»0 A x

1 1 a 1 1x + A x --------------x H— A x ---------------= i i m ------------------£ ± A v------------ x = ) i m ----------x + A x , _ x

A x->0 Ax Ac->0 Ax

x 2 + .x Ax +1 x2 + 0 + 1 x2 + l= lin i----------------= ------------- = — :

Ax->o x(x +Ax) x(x + 0) x,2

^ = . / w = ' 2+1dx x2

© / ( x ) = 6 - 2 x 3Desarrollo

< álculo Diferencial 185

dy = lim f (x+ A x) - f ( x ) _ 1¡m [6 - 2(x + Ax)3 ] - (6 - 2x3) dx A r-»0 Ax Ax—>0 Ax

6 - 2 x -6.x A x-6xA x - 2 A r ~ 6 x x -6 x Ax-6.x.Ax -2Ax= h m -----------------------------------:----------------= h m ------------------------------- -Ax-»0 Ax A i-»0 Ax

= lim - 6x2 - 6xAx - 2Ax2 = -6 x 2 - 0 - 0 ,\ — = / '( x ) = -6 x 2Ax—>0 d.X

0 f ( x ) = 5x4 - 2Desarrollo

^ = / W = lim /< *+ *»> -/< *> = lim dx Ax—>0 . Ax Ax—>0 Ax

5(x + 4x Ax + 6.x .Ax +4x.Ax +Ax ) - 2 - 5 * +2 = h m --------------------------------------------------------------------Ax-»0 Ax

= lim 20x3 .Ax + 30x2 .Ax2 + 20xAx3 + 5 .Ax4Ax—»0 Ax

= lim 20.x3 -3 0 x2.Ax + 20x Ax2 +5Ax3 = 20jc3 +0 + 0 = 20.x3Ax—>0

~ = f (x) = 20.x3 dx

[2.6. REGLAS PARA LA DERIVACIÓN.-


2.7. PROBLEMAS.-

Obtener la primera derivadas con respecto a x para cada una de las siguiente funciones y = f(x).

® y = óx + 2Desarrollo

y = 6x + 2 => — = 6 dx

0 y = x3+*Desarrollo

y = x3 + x => — = 3x2 +l dx

( 5 ) y = 4x2 + 2xDesarrollo

y = 4x2 +2x => — = 8x + 2 dx

y = x2 + 4Desarrollo

y = x 2 +4 => — = - x 2 + () = _ ! _2 2>/I

© y = 3x2 - x 3 +2Desarrollo

- H í —y = 3x2 - x 3 +2 => — = 6x— x 3

dx 3

_I( J ) y = 5x 3 +5

< Wi'tilo Diferencial 187

Desarrollo

y = 5x 3 + 5 =>dy_dx

y = 5x5 + 6xDesarrollo

- í/v -7y = 5x5 + 6x => — = 3x 5 + 6

dx

f« ) y = l x 2 + 8x 2 + 2Desarrollo

_I j _ 3y = 7x2 + 8x 2 +2 => — = 14x —4x 2

dx

1

(V) y = 9x3 + 5 x 4Desarrollo

y = 9x3 + 5x 4 => — = 21 x 2 - — X 4 dx 4

5

Hi) 10x4 + 2x4Desarrollo

5 210x4 + 2x4 => —- = 40x3 + — x4

í /x 2

(Ti) y = 12x2 + 6x2 + 2Desarrollo

3 Ì j I _Iy = 12x2 + 6x2 + 2 => ~^ = 18x2 +3x 2

dx

188 Eduardo Espinoza Ram

@ y = .x5 + 3 / 3 +5Desarrollo

-2 1 10y = x5 +3x 3 +5 => = 1 5jc4 — 7.v 3

dx

2.8. OTRAS REGLAS DE DERIVACIÓN.-

( l ) y = f(x).g(x) =» — = / ’(*)■£(■*) + f(x ) .g '(x) dx

r> \ v _ / w dy - s ( x) - f \ x ) - f ( x ) . g Xx)g(x) dx (g(x))2

( 3 ) y = g(u), u = f(x) entonces: y = g(f(x)) =dx du dx

( 4) s i y = (/(* ))" => ^ = n( f(x ))n- l. f \ x )

2.9. PRQBLEMAS.-

Escribir la primera derivada con respecto a x para cada una de las -funciones siguientes y = f(x).

( ? ) y = 2x3 +4x2 - 5 x + SDesarrollo

y = 2x3 +4x2 - 5 x + 8 — = 6x2 + 8 x -5dx

@ y = -5 + 3 x - ~ x 2 - 7 x 3

Desarrollo

y = — S + 3 x ~ —x2 ~ l x i =¡> — = 3 - 3 x —2 \x22 dx

1, ni. 1 IHprencial 189

v (2jc2 + 4 jc- 5 ) 6Desarrollo

V (2.x2 +4.-C-5)6 => —--6 (2 x 2 + 4 x -5 )5(2x2 + 4 x -5 ) ' dx

= 6(4x + 4)(2x2 + 4 x - 5)5 = 24(x + l)(2x2 + 4 x - 5)5dx

1 - 1 -B y = - x 2 + - x 2 ■

Desarrollo

1 f 1 I dy 1 f 1 { J x . „y=z~X2 +~X2 => — = — X2 -i X2 ---- (x + l)5 3 dx 2 2 2

\_0 y = (1 --T )2

Desarrollo

1 / í — 1 -y = ( l - X 2)2 ^ ^ - = - { \ - x 2) 2(1-X2) ’ = - ( 1 -X 2) 2(~2x)

dx 2 2

dy xdx ^ / l ^ ?

, \ 6 4 3(í.) y = - + — — y

X X* XDesarrollo

6 4 3 , -1 , -2 n -3y = - + —----- -v= 6x +4x — 3xX X X

— = -6;c 2 -8 * 3+9x' 4 = —t _ "T + _T dx x x x

© y = (.r3 — 3x)4Desarrollo


y = (x3 -3 x )4 =* — = 4(x3 - 3a:)3(jc3 - 2x) ' dx

— = I2(x2 - l ) (x 3 -3jc)3 = 12a3(x2 - l ) (x 2 - 3 ) 3 dx

® y = (x + x - ' fDesarroUo

^ ( x + x-1)2 ’=> ^ =2(x + x~l)(x + x-1)'= 2 (X + X-1)(1-A~2) dx

® y — (a -1 )3(a + 2)4Desarrollo

>> = ( a - 1 ) 3 ( a + 2 ) 4 = > — = 3 ( a - 1 ) 2 ( x + 2 ) 4 + 4 ( x - 1 ) 3 ( x + 2 ) 3 dx

— = (x - 1 ) 2 (x + 2 ) 3 [3x + 6 + 4x - 4] = (7x + 2 ) ( a - 1 ) 2 ( a + 2 ) 3 dx

10) y = (a + 2)2( 2 - a ) 3Desarrollo

y = (a + 2 ) 2 ( 2 - a ) 3 = > — = 2 ( a + 2 ) ( 2 - a)3 + 3 ( a + 2 ) 2 ( 2 - a)2 ( 2 - a) ' dx

■ = 2 ( a + 2 ) ( 2 - xY - 3 ( a + 2 y ( 2 - x) dx

= ( a + 2 ) ( 2 - x)2 [ 2 ( 2 - x) - 3 ( a: + 2 ) ] = - ( 5 a + 2 ) ( a + 2 ) ( 2 - a )2

@ y = (a + 1)2(a2 +l)~3Desarrollo

y = (A + l)2(A2 + l)"3 => — = 2(a + 1)(a2 + 1)-3 - 3(A + l)2 (a2 + 1)-4 (A2 + 1) dx

I till ulo Diferencial I9l

(It)

rift

= 2(a + 1)(a2 + 1)"3 - 6a(a + 1)2(a2 + 1)-4 = 2(a + 1)(a2 + l ) '3[l - 3a(a + 1)(a2 +l)~']dx

= -2 (a + 1)(a2 + 1)-4 (2 a2 + 3a - 1)

2a + 1 V ’ a 2 - l

Desarrollo

2a + 1 dy (a2 - 1)(2a + 1 ) ( 2 a + l)(x2 - 1)'y = —~---- => —- = ------------------ ------ ----------------a 2 - I dx (A - I ) 2

2 ( A 2 - 1 ) - 2 a ( 2 a + 1 ) _ 2 a 2 - 2 - 4 a 2 - 2 a

(a2 - l ) 2 ~ (a2 - l ) 2

dy 2a2 + 2a+ 2_ 5 7 2dx (a - l )

AA + 1

Desarrollo

a dy (a2 + 1)(a) ’- x(x2 + 1)' _ a 2 + 1 - 2a2>’ = - 7 - 7 =>a 2 + l dx (a2 + l)2 (a2 + l)2

dy _ 1 - a 2dx (a2 + 1)2

X + l. r

Desarrollo

# V = < ~ ) ’ x - l

A + J. 2 dy A + l A + l A + 1 (a - 1)(a + 1 ) ( a + !)(a - 1)'y = (-----r) =* — = 2(------------------- rX--r) = 2(--)(--------------- ------— -5 -)A - l dx A - l A I X -l (X -l)

dy_ _ x + l x - l - x - l _ 4(x + 1)dx x - l ( x - l ) 2 ( x - l ) 3

192 Eduardo Espinoza Ra

@ y = (x2 - x r 2Desarrollo

y = (x2 - x Y 2 =* ^ - = -2(x2 - x)~3(x2 - x ) ' = -2 (2 x - l)(x2 - x)~3 dx

^ = -2(2x - l)(x - 1)-3 x~3 = -2x~3 (2 x -l)(x -1 )~ 3 dx

@ y = x2(x + l)_1Desarrollo

y = x2(x + l)_1 => — = 2x(x + l)~‘ - x 2(x + l)~2 -------- —-dx x + 1 (x + 1)

dy _ 2 x (x + l) -x 2 _ x 2 +2x dx (x + l)2 (x + 1)2

(x2 - 9 ) 2Desarrollo

y = ----- — r = (x2 - 9 ) 2 => *?- = - ~ { x 2 -9 )~ H x2 -9 ) '- dx '2

(x2 - 9 ) 2

^ = -x (x 2 -9 )~ 2 dx

® y - — — r(1 6 -x 2)2

Desarrollo

y = ----- ------- = (1 6 -x 2) ' 2 =* — = (1 6 -x 2) 2(1 6 -x 2)', 1 dx 2

(16—ar)2

( illi hIii Diferencial 193

— = x (1 6 -x 2) 2 dx

(1*1 y = — í - ¡ -(AT + 1)!

Desarrollo

i < * + » * -------x tfy (x + l)2x '-x ((x + r>2) ' _________2(x + l)2

V “ i ^ d x ~ x + \ ~ x + l(* + l)2

d y x + 2

dx 22(x + l)2

( í )

Desarrollo

I 1 1(x2 + 2)2 dy x((x2 + 2)2) '-(x 2 + 2)2(x)'

y = ------------ =» 7 - = ------------------2----------------x dx X

dy 2

^ x 2yjx2 + 2

•(x5 +10)8

Desarrollo

1 i 2x _ dy (x5 + 10)8)(2x)'-2x((x5 +10)8)'

1 ^ d x " 1(x5 +10)8 ((x5 +10)8)2

x(-. i

)-y[x2 + 2x ¿ +2 x2 - ( x 2 + 2)

x ¿ + 2

2 (x + l) -x3

2(x + l)2

Eduardo Espinoza Ram

I _Zdy 2(x5 + 10)s - J ( x 5 +10) 8(5.x4)

dx(x5 +10)8

I8(x3 +10)8 -.5 . 5x3

(x +10)8 S ^ + lO J - S x 5 3x +80

4(x5 +10)8

y = (x + 2)3(x2+ ir1

y = (x + 2)3(x2 +1)_1

9 9

4(x5 +10)8 4(x5 +10)8

Desarrollo

^ = 3(x + 2)2 (x2 + 1)"1 - (x + 2)3 (x2 + 1)“2 2x = (x + 2)2(x2 + 1)-1 [3 - dx

2x(x+2) x2 +1

= (x + 2)2 (x2 + 1)"1 ( - - ■--- ) = ( x + 2 ) \ x z +1)“2 (xz - 4x)X +1

y = (£ l±10),oX

Desarrollo

± = 10(i i í l 2 ) » ( ¿ ± ! 2 ) '= l o c k ’ d -i® > =dx x x x x 2 x x 2

y - -( x - 4 ) 3

Desarrollo

( illculo Diferencial 195

^ = -2 (x3 - 4 ) 3(x3 - 4) ' ^ = -6 x2(x3 - 4) 3dx dx

(x + 1)2

(2x + 4)4Desarrollo

y= -(x2 +l ) 2

(2x + 4)4

dy _ (2x + 4)4 [(x2 + 1)2 ] '- (x2 + l)2 ((2x + 4)4)'dx i

((2x + 4)4 )2

(2x + 4)4(<Jx2 +1

1 - —) - —(x2 + l)2(2x + 4) 4(2)

x(2x + 4)4 Vx2 +1

Vx2 +1 2(2x + 4)4

((2x + 4)4) (2x + 4)4

2x(2x + 4) - (x +1)

2\[x2 + l(2x + 4)4

dydx

3x + 8 * - l

2\lx2 + l(2x + 4)

y = (x + 2) 2 (3x2 +1)Desarrollo

>’ = (x+2) 2 (3x2 +1)

i J J= — (x+2) 2 (3x2 +1) - 6x(x+2) = -(x + 2) 2 [3(3x2 +1) - 6x(x + 2)]

dx 2

= - (x + 2 ) 2(9x2 - 6x2 -12x+3) — = -(3x2 -12* + 3)(.* + 2) 1 dx


y = x3(x2 +3)~lDesarrollo

y = x3(x2 +3) 1

= 3x2(jc2 + 3 r l - x 3(x2 +3)"22x - 3a'2------ 2x4 - 3x2{xl +3) 2x*dx x2 +3 (x2 + 3)2 (x2 + 3)2

d* (x2 + 3)

4y = x6 + x 3 + 6x2

Desarrollo

- - d d - - — y = x6 + x 3 +6x2 => — = 6x5 + -~x 3 + 3x 2

í¿c 3

C-- 2 y duSi u = x y x = ---------, encuentre —Cy + lj dy

Desarrollo

v du du dx , du „ dx 1 —yy — - — .— donde — = 2 x , — = ---------dy dx dy dx dy (1+y)

du^_du dx 2y 1 - y _ 2 y ( l-y ) dy dx 'dy ( y + l)2 ‘(1 + y ) 3 ( y + 1)5

o ■ X 3 d ySi y = ------ y x = u - 5 encuentre —x + 2 du

Desarrollo

I ni culo Diferencial

dy dy dx dy 2 d x 2— = ~ . — donde — = -------- — = 3¿rdu dx du dx (x + 2)" du

2 3m2=_ 6 ^ = 6( « )2 du (x + 2) (x + 2) * + 2

( m) Si v = y 3 y y = x2 + 2x , encuentre

Desarrollo

dv dydy dx

V --------------► y --------------► X

dv dv dy „ -4 -6(x + l) _ 6(x + l)— = — = -3y .(2x+2) = ------— = ----- ~------- 2dx dy dx ~ y (x +2x)

dv 6(x+l)dx x (x + 2)2

— dx(52) Si x = y3 + 2 y - l y y = v 2 encuentre —

Desarrollo

198 Eduardo Espinoza Kamos

Si y = v 2 y v = x 2 + 5, encuentre dydx

Desarrollo

dy

dvy -------► u

dvdx

dy dy dv 1 - - * dy x~ r ~ — •— = “ ~ v -2x = — - de donde — = ------------ -dx dv dx 2 2 dx 2

v2 (x2 + 5)2

= - x ( x 2 + 5) 2

c- 3y — 1 j dxJm x = ------- y y = u - 5u , encuentre —

y + 7 du

Desarrollo

dx

. dyX ------ --- y

dydu

dx dx dy _ 24 , x , , , .. dx 24(2«-5)--------------- ,(2 « -5 ) de donde se tiene: — = —— --------—

du dy du (y + 7)2 du (u2 -5 u + l ) 2

!.10. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL.-

© y = loga u , u = f(x) => — =íix u dx

© * = ,„(„00) ^ =m(jc)

© dx dx

I 'élculo Diferencial 199

l i l i . FROBLEMAS.-

Encontrar la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:

( 0 y = log (1 - 2t)Desarrollo

dy loga e _ 2 loge . dy 2 log 2dt 1 -2 1' 1 — 2f " dt 1 -2 1

1 + 4*Desarrollo

1 _ 4 ry = ln(-—;— ) = ln(l - 4x) - ln(l + 4x)

\ + 4x

dy (1-4jc)’ (1 + 4jc)’ _ ___ 4 _ ___ 4 _ -4(1 + 4x)-4(1 - 4x) - 4 - l 6 x - 4 + l6xdx l - 4 x l + 4x l - 4 x l + 4x (l - 4-r)(l + 4x) (l - 4.x)(l + 4x)

d y = ____ 8__dx 1 - I6 x 2

0 R = log0(a2 - x 2)3Desarrollo

Ä = loga (a2 - * 2)3 =31oga(a2 - x 2)

dR 31oga e 2 _ 2y _ ~6jrlogg e _ 6xloga e . dR _ 6x\oga edx (a2 -.*2) a 2 - x 2 x2 - a 2 dx x 2 - a 2

0 t = 6e~2“Desarrollo

, = 6<r2“ =* — = 6e~7u(-2u) ' = -12e-2“ ~ = -12<T2“¿m du

© y = «■* InxDesarrollo


&

y = ex lax => ~ = (e’‘y \n x+ ( \n x ) 'e x =ex \n x+ — - -dx x dx

y/7+1y ~ l í 7 v i

Desarrollo

J x + lTomando logaritmo se tiene: In y = In - = = = In \[x +1 - ln Zjx+2Vx + 2

ln y = ~ ln(x + 1) - ln(x + 2)

y '_ 1 2 3(x + 2 ) - 4 ( jc + 1)y 2(*+l) 3(x + 2) 6(x+1)(jc + 2)

, r6x + 6 - 4 x “ 4 1 . „ x + \y ~'y 6(x + 1)(jc + 2) 6 (*+ !)(* +2)

dy y yjx+ldx 3(x+2) 3%x+2(x + 2)

t = e'nxDesarrollo

Aplicando propiedades se tiene: t = e>nx = x — = 1dx

y = axexDesarrollo

y = axex = (ae)x => — = (ae)x ln(ac) dx

i) y = logU3 -3 x )3

Desarrollo

, jd n x + Le \ ---------- )

x

( 'rilado Diferencial 201

@

©

i ~ 1 % y -- log(r -3 a )3 = -lo g (x 3 -3 x )

dy 1, (jc3-3 * ) ' *2 - l— = - lo g g - 3 = r - - -dx 3 x - 3x x - 3 x

v - t 2 lnfDesarrollo

v = r ln < => — = 2rlnf + < di

Desarrollo

J j *2 i __p.------) = ln------ = ln (l-í2)-ln í

t t

dy (1 - t 2)' t' - 2 1 1 ~2t2 -1 + í2 _ í2 + l í2 + ldt í - r 2 r i - ; 2 t ( l - r ) t (1 - r ) t t ( r - l )

12} y = 25x3x ~6Desarrollo

y = 25x3x2~6 => ^ - = 25A-3AÍ“6ln25.(3A-2-6)' — = óx25Vdx dx

13} y = e *Desarrollo

_i - i dy _ — . dy _ e xy - e x ^ —~ = e x (— )’= 2 •• - 2dx x x 2 dx x

y = xDesarrollo

~6 ln 25


Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades

In y = In xx = x3 ln x derivando implícitamente

— = 3x2lnx + x2 => y ' = a:2y(3lnjc +1) = x*>xx dx

í*2*'y = xDesarrollo

y»Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades ln y = ln xe = ex+l ln x ,

~ = (ex!+1) 'lnx+ ejc!+,(lnx)' => y '= y [ e ^ +l2x lnx + ex'+i- ]

dx -*2+l v2 , 1 — = x? - e * +1[2x lnx+ ~ ] dx x

y =(x + i)6

(x2 + 2x + 2)3

Desarrollo

Tomando logaritmo y se aplican sus propiedades

ln y = ln(- - / * + — -) = ln(x + 1)6 - ln(x2 + 2x + 2)3 (x +2x + 2)3

lny = 61n(x+l)-31n(x2 + 2x+3)

y' _ 6 3(2x+2) _ 6(x2 +2x + 3 )-6 (x + l)(x + l)y X + Ì x 2 +2x +3 (x + l)(x2 +2x + 3)

, ,6 x 2 + 1 2 x + 1 8 -6 x 2 - 1 2 x - 6 ,y = y (------------------ 5-----------------------------------------)

(x+ l)(x2 +2x + 3)

dy _ (x + 1)6 12 12(x + l)5dx (x2 +2x + 3 ) 3 ( x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 ) 4

(31nx + l)

derivando

< fílenlo Diferencial 203

(17) y = 2x2ex'*3Desarrollo

©

y = 2 x V ’+3 => — = 4xex‘+3 +2x2ex*+3(x2 +3)' = 4xex' +3 +4x3ex'+3 dx

v21■ 4xex +3(l + x ¿) dx

(IH) y = logs (x3 + x 2 )6Desarrollo

y = log5 (x3 + x 2 )6 = 6 logj (x3 + x2 )

* , í l ^ (^ t ,2 ) .= É 5 l i í 2 i l í 2 í > f i = 6 Io g 5 í(3 f ± ídx x3 + x2 x3 +x2 dx x +x

>’ = x2x' +xDesarrollo


ln y = ln x 2x +x = (2x4 + x) ln x , derivando

— = (8x3 + 1) ln x + (2x4 + x)— =* y ' = y[(8x3 + 1) ln x + 2x3 + 1].V X

— = x2*4+t[(8x3 + 1) ln x + 2x3 +1] dx

y = log h( b - x 3)2Desarrollo

y = log&( b - x 3)2 = 2 logfc(b- x3) , derivando

dy ( b - x 3)' - 6x2 log^e dy 6xJ ¡ogh f


@ y = ( ^ ) 2 v — 1

i

x -1Desarrollo

, = ( £ t í ) ’ = , ^ = 2 ( í i í x i ^ ) ' = 2 ( £ t 5 x - — -->X-1 fite X-1 JC-1 X-1 (x -1 )

dy 8(x + 3) dx (x -1 )3

y = eta*

y = eln*2 = x 2 => — = 2x dx

y = Ib**'2*

Desarrollo

Desarrollo

y = l6x* 2x => — = 16* 2x In 16(x2 - 2x) ' dx

— = 2( jc —1)16 -2jc. In 16 dx

y = xDesarrollo


ln y = In x* = x4 ln x , derivando implícitamente

— = 4x3ln x + x 3 => _v' = y(4x3 lnx + x3) — = x3jcx*(4 lnx +1)y dx

y = e*2+4x+3Desarrollo

< ¡tirulo Diferencial 205

©

y = e**+4x+3 => — = e-*2 +4-*+3 (x2 + 4x + 3)' = (2x + 4)e'*3+4j:+3 dx

— = 2(x + 2)e*+4j;+3 dx

y _ lnU+3)

Desarrollo

Aplicando la propiedad etao = a , se tiene: y = <?ln(jc+3) = x +3 => — = 1dx

(27) y = logs ( 6 - x 2)4

Desarrollo

y = l°g8 (6 - x2 )4 = 4 log8 (6 - x2) , derivando

£ = 4 1 o g , ¿ * ^ = 4 1 o g , , ¿ M* 6 - x ! M 6 —í & 6 - í 2

y = x't3+2

Desarrollo


ln y = ln x* +2 = (x3 + 2) ln x , derivando

—- = 3x2 lnx + — — => y ' = y(3x2 ln x + — t .2) , de dondey * x

- I = Xy+2(3x2 lnX + i - ± 2 ) dx X

¡^ i A v*“ N{29) y = 21n(x + 4x )4

Desarrollo

_ |y = 21n(x3 +4x2)4 =~-in(x3 +4x2) , derivando

206 Eduardo Espinoza Ramm

dy _ 1 (x3 +4x2)' _ 1 3x2 + 8* _ dy _ __3.x+ 8dx 2 x3 + 4x2 2 x 3 + 4 x 2 dx 2(x2 +4x)

30) y = (x2 +4)2e*2+lDesarrollo

y = (x2 + 4)2e*I+l => — = 2(x2 + 4)2xex +1 + (x2 +4)2ex+1 dx

— = 2x(x2 + 4)ex*+l (6 + x2) dx

y = - e 3[nx3

Desarrollo

y = i e3tax= - e ^ = — => ^ = x23 3 3 dx

¿2) y = xeln(jr+5)Desarrollo

Mediante la propiedad e>na = a se tiene: y = xelmx +5) = x(x2 +5) = x3 +5x

— = 3*2 +5 dx

3 3 ) y = x 2ex+4x+2Desarrollo

y = x2ex¡+4x+2 => — = 2xex>+4x+2 + x 2ex2 +4x+2 (2x + 4) dx

^ = 2*e*!+4*+2[l + x2 + 2x] = 2x(x + \ f e*2+4x+2 dx

Diferencial 207

( y = ^M-*4+3*í+10)

Desarrollo

y = e'n(x^ +u» = x 4 +3x2 +l0 => ^ = 4.v3 +6xdx

(W) y = (*+!)*Desarrollo

Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades: ln y = ln(jc+l)x = x ln(x+ l)

— = ln(x+l) + —i — => y ' = y[ln(x+ l)+— —]y x+1 jc+1

dx x- f = U + l)* [lnU + l) + ---- -]dx • x + 1

( g ) y = (x + l)AÍ+1Desarrollo


ln y = ln(x+ 1)*3+1 = (x3 + 1) ln(x+1), derivando

— = 3x2 lnOt + l) + (.t3 + 1)— => y ' = y[3x2 ln(x +1) + x.± ,*>]y x+ l jr + 1

--- = (x + iy ’4l[3.v2 ln(.t + i) + x 2 — x + l] dx

12* J2* ÍXJ]

A > _ R E G LA D E P E B IV A C IÓ N P E L Á S F W C K W ¡ÍS T K IG 0 Ñ0Rto7 k IC%¿. |

(T ) y = sen u(x) =» •— =: cosu(x).u \x) dx

C l) y = eos u(x) => — = -senu(x)u '(*)^ dx


( 3 ) y = tgu(x) => ~ = sec2 u{x)u \x )dx

( 4 ) y = ctgu(x) =* — - - eos ec2u{x).u \x ) dx

f i ) y = see u(x) => — = secu(x).tgu(x)ji'(x) dx

( é ) y = cosec u(x) => — = - eos ecu(x).ctgu(x).u '(.r)dx

B) PROBLEMAS.-

Detennine la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:

y = -cos ecx

Desarrollo

dy _ x ( - eos ecx.ctgx) - eos ecx _ eos ecx(xctgx+1) dx x 2 x2

senx - eos xy = ---------------x

Desarrollo

dy _ (senx - eos x ) ( x ) x ( s e n x - eos x ) ' _ senx - co& x - x(cos x + senx) dx x 2 x2

_ senx - xsenx - eos x - x eos x _ (1 - x)senx - (1 + Jt)cos x

D y = x ctgxDesarrollo

( lílculo Diferenciai 209

(4 ) y - Ig x cosec xDesarrollo

dy 2-— = (tgx) ' eos ecx+tgx(cos ecx)' = see x. eos ecx - tgx. eos ecx.ctgx dx

dy J J *>—- - see xcos ecx - cos ecx - (see x - l)eos ecx = tg“x. eos ecx dx

dy 2 .\ — - ig x. eos ecxdx

( ? ) y = sen (3x). tg (3x)Desarrollo

dy— = (sen3x) 'tg3x+ sen3x.(tg3x) ' ~3cos3xJg3x+3sen3x.sec3x dx

- 3sen3x+3scn3x. sec2 3x = 3sen3x(l + sec2 3x)

/. — = 3sen3x(\ + sec2 3.v) dx

(¿ ) y = ctg(x2 +1)Desarrollo

y -- ctg(x2 +1) => — = -e o sec2(*2 + l)(x2 +1)’ = - 2 x cosec2(x2 +1) dx

( 7) y = x + ctg xDesarrollo

dy , ?y = x + ctg x => — = 1— cosec *

dx

je + sen* v = —-------

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramot „/„ i)iferenc¡ai

x + senx dy (x + senx)(x)'-x(x +senx)'y = ---------- “ -----------------------------------dx

x +senx - x ( l + eos *) senx ~ x eos x

dy _ s e n x -x eos x dx x2

y = eos2 2xDesarrollo

y = eos2 2x => — = 2cos2x(cos2x)' = -2cos2x.sen2x(2x)'dy

• = dx

dx

-Acos2x.sen2x

y = sen x . eos xDesarrollo

sen2x dy ,y = senx.eos, x = -------- => — = eos 2x2 dx

y = sen2* + eos2 xDesarrollo

2 2 dy ny = sen x+cos x = l => — = 0dx

y = x sen xDesarrollo

dyy = x s e n x => — = (jc)'se»u: + jc(jínx)' = íe /u + j:c0sj: dx

dy— = senx+ xcosx dx

J

©

©

©

@

211

y= -senx

Desarrollo

_ senx ^ dy _ x(senx)'~ senx.íx)' _ xc o sx -sen x x dx x2 ~ x 2

• Q . - x c o s x ~ sen xdx x 2

y - x 2 - e o s xDesarrollo

y - x 2 — eosx =* — = 2x+senx dx

tgx(1 + jt)2

Desarrollo

y - l«x dy _ (l + x)2( t g x ) fgx((l + x)2)' (l + x)2s<x2x - 2 ( l + x).tgx(1 + *)2 dx (1 + Jt)4 (1 + x)4

dy _ (1 + x) see2 x - 2 tgxdx (l + x)3

y = senx.2

Desarrollo

y - s e n x 2 => — =cosjr2(A.-2)' = 2xcosjt2 dx

(V ) y = tg 3xDesarrollo

y = tg3x => — = 3see2 3* dx

212 Eduardo Espinoza Ramo»

©

g )

y = tgx + see2 xDesarrollo

2 dy ■> _ 2y = rgx+sec x — = see x + 2 see c xjgxdx

19)secx

Desarrollo

senx dy .y = -------= se nx. cos x => — = senx(cos x) + (senx) cos xsecx dx

d y 2 2— = cos x - s e n x dx

y = cos x . cosec xDesarrollo

y = cos x . cosec x => — = (cos jc) ' cos ecx + cos x(cos ecx) ' dx

dy . 2 2— = -senx.cos ecx - cos x. cos ecx^tgx = -1 - etg~x = -co s ec 'x dx

y = see2 3je

Desarrollo

y = see2 3x => — = 2sec3x(sec3x)’ de donde se tiene: —- = 6 see2 3xJg3x dx dx

xy = ------secx

Desarrollo

x dy . dyy = ------ = x cosx => — = (x) 'cos a + a (cos x ) ' de donde se tiene: — = cos x - xsenxseex dx dx

1y =

1 + ctgxDesarrollo

I rilento Diferencial 213

y _ ___|___dy _ (1 + cfgx)’ _ cos ec2x cosec2x cos ec2x.sen2xl + ctgx dx (l + ctgx)2 (1 + ctgx)2 {senx + cosx)2 ~ (senjc + cosx)2

senx

dy _ 1dx („ítínx +cos x)2

(H)\ + X~

Desarrollo

rtg* ^ dy _ (1 + X2 ) ( c t g x ) cfgx(l + x2)' _ -(1 + X2 ) cos ec2x - 2xxtgx y 1 + X2 dx"' ~ (1 + x2)2 ■ “ (1 + x2)2

dy _ (1 + x2) cos e c 'x + 2x.ctgx dx (1 + x2)2

| M Í D E R Í^ C IÓ n I ^ L A S

Si y = f(x) y x = g(y) entonces:

dx dxdy

12.14. Í Í q Í lÍ m As J

Obtener la primera derivada con respecto a x de cada una de las siguientes funciones x = f(y).

( ¡ ) x = y 2 + 3y + 2Desarrollo

214 Eduardo Espinoza Rami

J( 2 ) x= y3 - y i +6y

Desarrollo

x - y3 ~ y 2 + 6 y dx 2 3 ì ^ *- = 3 y - - y 2 +6dy 2

dy 1 1dx dx o I

* 3y2 - | y 2 +6

( ¿ ) jc = 5y4 - eDesarrollo

í/xjc = 5y‘, - e )’ => — = 20y3 ~ e y

dy

dy 1 1 dy _ 1dx dx 20y3 - ey dx 20y3 -<

dy

( 4) .x = ln(y5 - 6)Desarrollo

. , 5 dx 5y a a a dy 1 y - 6x = ln(y - 6) => — = —-----de donde - - —dy ' y — 6 dx dx 5 y4

dy

dy y5 - 6 dx 5 y4

© jc = cos y + senyDesarrollo

I illudo Diferencial 215

■ ) x = y sec yDesarrollo

dx . dxx = y secy => — = (y) secy + y(secy) => — = secy+ysecyfgy

¿y í/y

d y _ 1 _ 1 _ eos y dy eos yrfx dx secy + y sec y J g y 1 + y J g y d x 1 + y tg y

d y

Determine la primera derivada con respecto a y de cada una de las siguientesfunciones y = f(x).

(7 ) y = e~x - 6Desarrollo

-x ¿ ¿y -x j j j dx 1 1 , dx ,y - e - 6 => — = —e de donde — = —— = ------ = -e => — = - edx dy dy -e~x dy

dx

( ü) y = tg x . sen xDesarrollo

dy jy = tg x . sen x => — = (tgx)' senx + tgx(senx)' = sec x.senx + tgx. eos x

dx

dy 2 2— = sec x.senx + senx = (sec x + 1 )senxdx

dx _ l _ 1 dx _ eos ecxdy dy (sec2 x + \)senx dy sec2 x + 1

dx

(v ) y — ln(—— ■)x + 2

Desarrollo

v = ln(— —) - !n a-3 - ln(x + 2) = 3 In x - ln(x+2) x + 2

216 Eduardo Espinoza Ramai i 'tirulo Diferencial 217

dy 3 1 3(jc+ 2 ) - jc 2jc+6dx x x + 2 x{x+2) x(x+2)

dx _ 1 _ x(x>+ 2) _ dx x(x+2) dy dy 2x + 6 dy 2x + 6

dx

© y - - eos JCDesarrollo

x dyy = ------ = xsecx => — = see .x+ jt sec xtgx = see x ( 1 + x tg x)

cOsx dx

1 eos* dx eos*dx 1dy dy Sec jc(1 + xtgx) 1 + xtgx dy 1 + xtgx

dx

2.15. PROBLEMAS.-

Obtener la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:

©

©

y =

y =

s =

x + iDesarrollo

dyx + l dx ( at + 1)

6 + 4

Desarrollo

_ 0 + 4 , 4 dS 4S = ------ = 1+— => — = — -e e do e 2

0 y - ln(jc + J l + x2)Desarrollo

di)

©

©

i / íi k dy D J x + ll + x i ) 1 = ln(x +\'1 +jr ) =» =dx x + sll + x2

1+-dy _ Vi + •Jl + X2 + x

dx x + yjl+x2 yll + x 2(x+yjl + x2) yjl + x2

2_ *, x

Desarrollo

y =

y = — = 2e x => - = -2e~x ex dx

jc3 +1

Desarrollo

x3 + l , 1•v 'r i 2 1 j i i dy n iy = -------= x + — dedonde — = 2 x — - = - ,* * dx x 2 x 2

1 2x* -1

y =X2 +2

Desarrollo

3 dy -3(x + 2)' -6 xy = — ----- => — -

5 =

x 2 +2 dx (x2 + 2)2 (x2 +2)2

11 -2 /

Desarrollo

1 dS (1 -2 t y 2l - 2 f dt (1 -2 1)2 (1 - 2f)2

x ‘y ~ 4 - x 2

Desarrollo

dy 1

dx y f lT x2


©

@

@

4 —x- ( 4 -x ) + 4 , 4

= - l + -4 -x T 4 - x 1

dy _ q+ - 4 ( 4 - x2Y ‘¿x Sxdx ( 4 - x 2)2 ( 4 - x 2)2

y = eaxsenbx

dy—— = (eai ) ! s<?«i>x + eax (senbx) ' = ae‘Lisenbx + beal cos bx = eaï [asenôx + b cos fexl dx

ÈL:dx ( 4 - x 2)

Desarrollo

y =x 2 +1

X

y x2 + l

Desarrollo

dy _ ( x 2 + l)(x) x(x2 +1)1 x2 +1 - x(2x) 1 -x 2dx (*2 + l)2 (x2 + l)2 (x^+l)"

dy _ 1 -x 2 dx (1 + x2)2

y =ax + b cx + d

Desarrollo

ax + b _ dy __ (cx + d)(cx + b) '-(ax + b)(cx + d)' a(cx + d ) - c (a x + b)y --------- =>cx+d dx

y = ln(tg~)

(cx + d)

acx + a d - a c x - b c (cx + d )2

Desarrollo

(cx + d)

dy _ ad ~bc dx ( c x - d ) 2

. X . . 2 X X. (tg—) sec — sec—. , x. dy y 6 o 2 2y = \n(tg~) => -f- = ---- — = ------ ----------- *-

2 iiv x „ x „ x1 1

tg-- 2 tg — 2sen— 2sen—c o s - senx2 2 2 2 2

- = cos ecx

a In Diferencial 219

dy— = cos ecx dx

y =Desarrollo

3 ___ . dy 2 „/•!_ _ 31n2 xv = In’ x => — = 3 In x(ln x)

B y = log

dx x

2x

Desarrollo

2 , „ , . . dy „ logey = log — = log 2 - log x derivando se tiene: — = 0 ----— :x dx x

(II) y = 10“Desarrollo

y = 10” => — = 10"* lnlO(nx) dx

(lï>) y = ln(ax2 +è)Desarrollo

, 2 . s dy (ax2 +b)' 2 axy = ln(ox +fc) —rfx ax2 + b ax2 + &

@ .S’ = <T' cos 2;Desarrollo

dSS = e“' cos 2f =î> — - = (e“' ) 1 cos 2f + e~' (cos 2?) ' = -e~! cos 2t -

àî

= - e 1 (cos 2r + 2sen2t)

I®) y = -^ig30 - /g 0 + 0

rfy _ 31n2 xdx x

log gx

^ = nln 10.10*“dx

dy _ 2 ax dx ax2 +b

2e~‘sen2t

220 Eduardo Espinoza R am ot^m < lilmlo Diferencial 221

S>

Desarrollo

y = - tg 'Q - tg d +6 => — = tg29.sec29~sec29 + \ 3 d0

!-2. — Cf»o2de

= see" 0 ( ^ 0 -1)+1

5 =

a + bt + ct2~ 7 T ~

a + bt + ct2

a + bx + cx2

Desarrollo

1 1 3

= at 2 +bt2 +ct2 derivando se tiene dS a 4 b 4 3 1dt 2

Desarrollo

* dy x-i dx x , dx y = x — = x.x — -t-x In x — dx dx dx

dy— = xx + x x ln x = xx (1 + In x) dx

■dx

■ xA(l + ln.ï)

(l4) y = xn(a + bx)nDesarrollo

= nxr 1 (a + bx)m + mx" (a + bx)'n 1 (a + bx) ’ = nxn~l (a + bx)m + mbx" (a + bx)m 1dx

dy n—!dx

= xn l(a + bx)m l[n(a + bx) + mbx] = x" '1 (a + bx)m i[(n + m)bx + na]

y = x se"'Desarrollo

a + bx + cx a , , . . dz az - --------------- = —+ è + ex derivando se tiene — = — r + cx x dx x2

z = a2y

Desarrollo

z = a2y => —- = 21n a.a2y dy

y = e*Desarrollo

y = xsenx => — = senx.xdx dx

senx- 1 dx ^ X senx ^ d(senx) _sera- 1 , „senx

dx= senx.xsewr~‘ + xs"“ .ln x.cosx

y = x^xDesarrollo

Æ dy r dx ^ d(yfx)• x => — = yx .x -— + jt .ln x.--------------dx dx dx

dx • • 2"v x

y = ex => — = ex\ x 2)' = 2xex dx

y = x xDesarrollo

Aplicando la formula:

s = ( - y t

Desarrollo


(28) y = (cos x fDesarrollo

y = (cos x)x => = ,r(cos *)* 1 (cos .r) + (cos x )K In(cos) ~dx dx dx

dydx

■ (cos x f In cos x - x(cos x)x senx

. d\Detennme — para cada una de las siguientes funciones

dx

x = y[ \-2 yDesarrollo

x = y j l~ 2 y d x

dy J i - 2 ydydx

(53) x = %¡4^9yDesarrollo

■ %¡4-9ydx -9

d'y 3^/(4- 9 y )2

dy _ ( \ ¡ 4 -9 y )2 _ x 2dx 3 ’ T* = (2 -3 y 2)3

Desarrollo

dy _ x dx 3

* = ( 2 - 3 / )2 \3 dxdy

= 3(2-3.y2)2(-6y) = 18y(2-3y2)2\2

. dy _d* 18y(2-3y )2\2

b ojc= (« — y y

nli) Diferencial 223

(ID

Desarrollo

b 2 dx b ^ ,b ^ - _ 2 b ,_ b s dy _ yx = (a ---- T => — = 2 (a ---------- )(— ) = — ( a ----- )

Desarrollo

d x _ n r r j : ± y 2 _ / 2 + 2 y 2— — x i* ’ + y + —p = = = — ¡ — i— - ^ Ja + y ¥ y2

x = ln(y2ey)

Desarrollo

dx _ 2yey + y V _ 2y + y 2 dy y2ey "2y

dx 2 + y dy y — => —dy y dx 2 + y

•l.í) x - in yfcos2yDesarrollo

2

2b(a — ) y

¿y y y2 y2 y dx l h ( a _ b

QU) x = y J a 2 + y2

lny

yDesarrollo

lny dx _ y(ln y ) '- ln y(y)' 1 - ln y _ dy _ y 2dy y 2 y 2 dx 1 - ln y

x = y 2e yDesarrollo

2 -v dx „ 2 -v 2 y - y 2 dyx = > =* — - 2ye } - y e y = —-------- — :dy dx 2 y - y

(■!.’) jc = ln y 2ey

Eduardo Espinoza Ram*

_______ Ix = In Jcos 2 y = — ln(cos 2 y)

dx _ 1 (cos2y)' _ _ sen2y _ dy 2 cos2y cos2y

dydx

■ -c tg iy i

x =a/'secy

/sec~y

dx___ 2 tgy dy _ j s e c y

Desarrollo

dx - - - - Ix = 4(sec y) 2 derivando — = -2(sec y) 2 .sec y.tgy = - 2 sec y 2 jgy ]

dy

dy yj'.'sec y

. \+ s e n y -x = ln(--------~ )21 - seny

dx 2 tgy

Desarrollo

l-r seny r 1, A + seny.x = in(--------¿)2 = in(--------£)1 - se/ry 2 1 —seny

x = ~[ln(l + iewy) -- ln(l - seny )]

dx I cosy cos y , 1 17 " = o ------ + 1 ] = c o s ^ = —dy 2 1 + seny I - se n y

1

cos* y cos ydydx

= cos y

x = (sen2y)Desarrollo

x = (sen2y)2 => — = — (sen2y) 2 — (sen2y) =dy 2 dy yjsenly

dy _ yjsen2y dx cos 2y

y = ub ; u = l + 2yfxDesarrollo

In Diferencial 225

É.Ldu

du

dx

udy _ dy du dx du dx

dydx

\y = u

}« = \ + 2yfx

* = 6„! dudu _ 1dx yfx

reemplazando (2) en (1) se tiene:

y = u sen u, u = ln x

dy _ dy du dx du dx

dy 6 u5 6(1 +- 2 \fxy’dx J x sj'x

Desarrollo

y = usenuw — ln x

= senu+u cos udy du du _ 1 dx x

dy .1reemplazando (2) en (1) se tiene: — = {senu + u cos m)— =dx x

y = m2cosk , u = ax2Desarrollo

... (I)

... (2)

... (1)

...(2)

sm(ln x) + ln xcosdn x)

226 Eduardo Espinoza Kamoi

dydx

= (2u eos u - u senu)2ax = (2ax cos ax - a x señar )2ax

- 2a2x3(cosax2 - a x 2senax2)

a - u b - xy = ------ , u — —------

a + u b + xDesarrollo

dy _ dy du dx du dx .(1)

y = -

u =-

a - u a + u b - x b + x

dy - ( a + u ) - ( a - u ) -2adx (a + u) (u + a )du _ -(b + x ) - ( b - x ) -2bdx (b + x)2 ~ (x + b)2

(2)


4 ab Aabdy _ -2a -2b _ 4 ab _dx (u + a)2 (x + l$2 (u + a)2(x + b)2 - x | ^ 2^ | b - x + ah + ax

b + x

dy _ Aab dx ( a - l ) x + ¿>(l+a)

5 l) Si y = xA + 5 y x = log z, determine dydz

Desarrollo

1 ni» Diferencial 227

reemplazando (2) en (1) se tiene: — = 4x3. e = — —dz z z

Si v = e3“ y u - 2 x 3 - 3 x determine —-dx

Desarrollo

dy _ dy du dx du dx ■ (1)

3«y = e

¡m - 2x3 - 3xdu dudx

= 6x - 3• (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: — = 3c3" ( 6 a 2 - 3) = 9(2x2 - l)e3<2jc' 3x)dx

Si u = ln (y + 4), y = x 2 , determine ^Udx

Desarrollo

du _ du dy dx dy dx

... (1)

u - ln(y + 4)

y = x2

du 1dy y + A dydx

= 2x...(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: du 1 „ 2x-,2x =

. 4 y +2 3Si x - -------- , y = u +10m obtenga

y + 6 du

dx y + 4 x 2 + A

dx

Desarrollo


dx _ dx dy du dy du (1)

x —4y + 2y + 6

y = u + lO u

dx 22dy (y + 6)2

~ = 3«2 +10 du

(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: dx 22du (y + 6):

-(3W1+10) = 22(3 u2 +10) (m3 + 10h + 6)2

55) Si y = e' + 6 , t = ln(x~ + 6x) obtengadydx

Desarrollo

dy _ dy dt dx dt dx

(1)

) y = e' + 6

li = ln(x2 + 6x)

= e‘dtdt 2x + 6dx x 2 + 6 x

(2)

dx dt dx x2 +6x x +6x x +6x

/. — = 2x + 6 dx

4 / - 8 2 , ¿ySi y = ------ r , f = x - 4 obtenga

i + 4 dx

Desarrollo

t álculo Diferencial

4 i - 8■ y = 7 T 4

t - x 2 - 4

. - /s\\ • rfy 24 48x 48jreemplazando (2) en (1) se tiene: — = —----- -r.2x = — ---------- = —-dx (t + 4) (x —4 + 4) x4

_ 4 8d t x3

[ 2 .

dx es la diferencial de x; dx = Ax

dy es la diferencial de la función: dy = f \x)dx

APROXIMACIONES

Ay = dy aproximadamente igual / ( x + Ax) - / (x) = / \x)dx

f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f \x)dx

si dy es el error en y entonces:

dv— es el error relativo al calcular el valor de yy

¿ y100— es el porcentaje de error de la evaluación de y.

y

dydt

dt_dx

24 (í + 4)2

= 2x. .. (2)


2.17. PROBLEMAS.

Utilizando las diferenciales calcule el valor aproximado de cada uno de las siguiente! expresiones:

3/ÍOÍODesarrolla

f ( x + A x ) = f í x ) + f \x)dx donde f ( x ) = 3/* , x = 1000, dx = 10

/(1010) = /(1000) + / '(1000X10)

» O = lÍMM 13(3/1000)'

-do) => ^ 0¡ó = i 0 + _ i 2_ = 10+ i3(10) 30

3/1010 = 10+0.033 = 10.033 => ^/íolo = 10.033

# 5Desarrollo

f ( x + Ax) = f ( x ) + fX x )á x donde f ( x ) = $[x , x = 16, Ax = -1

/(1 6 -1 ) = /(16) + y ’(16)(—1) de donde se tiene: /(15) = 3/Í6 1(--1)

/(15) = 2 + — (-1) = 2-0.031 32

v66

4(t/Í6)3

VÍ5 =---1.969

Desarrollo

f ( x + Ax) = f ( x ) + f \ x ) A x , donde f ( x ) = \ f x , x = 64, Ax = 2

/(6 6 ) = /(6 4 ) + / ’(64)(2) = Vó6 = Vó4 + —J= (2 )2V64

V66 = 8 + —= 8 + 0.125 = 8.125 8

>/66 = 8.125

í nimio Diferencial 231

(1 ) 3/34

«

«

-

Desarrollo

/ ( a + Ax) - f ( x ) + f '(a)Ax , donde f ( x ) = \ f x , x = 27, Ax = 7

/(2 7 + 7) = /(2 7 ) + / '(27)(7) de donde. /(3 4 ) = /(2 7 ) + /'(27)(7)

3/34 = 3/27 h— - tL í—(7) = 3 + ~ => 3/34 = 3 + 0.296 = 3.2963(3/27) 27

3/34 = 3.296

Obtenga, dy, Ay para cada una de ¡as siguientes expresiones:

y = jc4 para x = 2, Ax = 0.1

Desarrollo

= (4r* - *)íü => ¿fy| 1=2 = (4(2)3 - 2)(0.1) = (30)(0.1) = 3

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(3.1) - f(3) = (2.1)

441= 19.4481----------16 + 2 .-. Ay = 5.4481 - 2.205 = 3.2431

12.8para x = 10, Ax = 0.24

Desarrollo

'A 12-8 Ady = -----—Aí ¡ _ 12.8 ^L=I0 102 (0.24) = -1280 (0.24) dv = - 307.2

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(10 + 0.24) - f(10)

12.8 12.8Ay = / (1024) - / (10) :

10.24 10= 125-12.8 = 11.55

Ay = -11.55


y = (x +1) para x = -3, Ax = -0.003

Desarrollo

y = 3(x + l)2Ax: => rfy| = 3(-3 + l)2 (-0.003) =* dy = -0.036

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(-3 - 0.003) - f(-3)

= /(-3 .003) - / ( - 3 ) = (-3.003 + l)3 - (-3 + 1)3 = (-2.003)3 - (-2)3 = -8.036054+8

Ay = -0.036054

y = \[x para x = 4, Ax = 0.04

Desarrollo

dy =Ax

2 yfx0 M = 0 M = 0 m 2V4 4

dy = 0.01

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(4 + 0.04) - f(4) = /(4 .04) - / ( 4) = - V4 = 2.01 - 2 = 0.01

Ay = 0.01

Un recipiente se fabrica en forma de un cubo de 10 cm, de arista, de modo que tenga un] volumen de un litro (1000 cm3) ¿con que posición se debe hacer la arista interna pa

que el máximo error en el volumen sea de 3 cm3 ?

Desarrollo

Sea x la arista del cubo = 10 ; dv = 3cm 3 ; v = x3 ; Ax = ?

v = x3 => dv = 3x2Ax

3 = 3(10)2 Ax de donde Ax = —— = — = 0.01300 100

Ax = 0.01 el error no debe de exceder de 0.01 cm

< álculo Diferencial 233

&

Mediante el uso de diferenciales, determine el porcentaje de error permisible en el diámetro de un circulo si el máximo error en el área debe ser de 4%.

Desarrolio

DSea r = — , D = diámetro

2

. 2 n DA = i z r = ------ dA = — DAD2

dAIUU-— = porcentaje de error en la evaluación de A.

A

100— = 100-2-

K D.AD

AD = 0.02 D ADD

200A D t AD D n M n— -----= 4 => AD = ------= — = 0.02 D

D 200 50

; 0.02 . Luego el porcentaje de error es 2.

Demuestre que el error relativo en la potencia n-esima de un valor medio es aproximadamente n veces el error relativo es la medición.

dy_

y

dx

Desarrollo

= el error relativo al calcular el valor de y

el error relativo es la medición

Luego y - x” es la potencia n-esima.

dy nxn~‘dx dx , .= n— es decir:

xdy _ dxy x

Por lo tanto el error relativo en la potencia n - esima es aproximadamente igual u n ve< c» el error relativo en la medición.

234 Eduardo Espinoza Ramoi I rilado Diferencial

(l2 ) Demuestre que el error relativo en la raíz n - esima de una medición es aproximadamente!

— veces el error relativo en la medición. n

Desarrollo

Sea y = \[x la ra íz n -e s iesima

— = el error relativo en la raízy

dx= el error relativo en la medición

Por demostrar que: dy _ 1 dx y n x

1

= sfx => dy = x n~'dx

-1dy _ x n dx x~dx 1 dx y - x_ - -n n x

nxn

dy _ 1 dxy n x I

2.18. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-

Si y = f(x) = /»«>(,) = D; ydx"

PROBLEMAS

Obtener la primera y la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones.

3 ) y = eDesarrollo

dx dx'

^ y = x ln xDesarrollo

D

y = x ln x => — = lnjc + l dx

y = log(-)JC

d 2 y 1dx2 x

Desarrollo

1 dyy ~ log( ) = > —- = -x dx

y = x 2ex

log<? loge3X

Desarrollo

y = x 2ex — = 2xex + x 2ex dx

,2— - = 2ex + 2xex + 2xex + x 2ex = x 2ex + 4xex + 2edx

y = eDesarrollo

y - elnU ~3) = x3 - 3 , derivando se tiene: — = 3xdx

, x ~ 5 ,y ~ (~ t )À'4-1

x - 5 , x+1y = (----- r ) = — r

.v + 1 x - 5

dy _ ( jc —5 ) — ( jc -4-1) _ ó

dx ( x - 5 ) 2 (x -5 )2

Desarrollo


2.19. DERIVACIÓN IMPLÍCITA. '

Si f(x,y) = 0 =» — = método practicodx f y(x,y)

f .(x, y) es la derivada con respecto a x manteniendo a y como constante

/ {x, y) es la derivada con respecto a y manteniendo a x como constante.

2.20. PROBLEMAS.-

& b) dx dx

En el caso de cada una de las siguientes funciones mediante derivación implícita

O x2 + y 2 = lDesarrollo

Si f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 1 =>U ( x , y ) = 2x

\ f y(x,y) = 2y

dy _ / , ( * .y ) _ 2x _ * ^dx f y(x ,y) 2y y dx y

, 2 y - X --— > “ ■*(' ■) 2 , 2 , j 2= _ = ______ y >’ + * _ i . «_

dx2 y2 y2 y3 y3 dx y

© x3 + y3 = 1Desarrollo

„2

Sea / (*, y) = X5 + y3 -1\ f x(x ,y) = 3x

[ f y(x ,y) = 3y2

dy f x(x ,y) x 2 dy _ x2-- _

dx fy (x ,y ) y 2 dx y2

( tílculo Diferencial 237

d 2y dx2

y 22 x - 2 x 2y — 2xyz - 2 x 2y ( - - —)dx

2xy2 + ~________y _ _ _ 2xy + 2x _ 2x(x + y ) 2x

«,4 ..4 ~ 4

2 2

x3 + y 3 =1

Desarrollo

Sea / O, y) = a-3 + y3 —1 =>

/„< *y> — V3*3

f y(x ,y) = - 2 j

3y3

dxfx ( x ,y ) _ 3x>fy (x ,y ) _2_

13y3

. ¿

r3dx

y ì

1

dx2

I v 3 dy 1 - —c 3 ¿ _ S . , Í . y 3 j t 3

3 dx 3 ___2

v3

x 3y 3 f y 3 , 3 I

y 3* 3

- i i _2 1 1_ 1 y 3 + y 3* 3 1 x 3 + y 3

3 l 1 ’ 3 i i 'x 3 je3 y3

xy + y2 =1

Desarrollo


i f (x, y) = ySea f ( x , y ) = xy + y 2 - 1 => I *

J J [ f y(x ,y) = x+ 2 y

dy = A (* .y )= y 4y = ydx: f y(x ,y) x + 2y dx x + 2y

dx2 (x+ 2y)2 (* + 2y)2

y y(

(* + 2)“

x + 2y _ j¡y + 2y2 +;ty _ 2xy + 2y2 x + y ^

(x + 2y) (x + 2y) ( * + 2 y )J

©

d 2y _ 2y(x+y) de2 (x + 2y)3

Desarrollo

Sea / (jc, y) = y 2 - x 3[/*(*, y) = -3 * 2 \ f y(x ,y) = 2y

dy _ f x(x, y) _ ~3x2 = 3x2 dx f y(x ,y) 2 y 2 y

.2dy _ 3x dx 2y

2 2xy - x 2 - 2 x y - x 2( - ~ )d y. = 2 (---------_ & ) = !(■dx"

d 2y 3xdx'

y* 2

4 3jc4 3jc

2y ) = 3 (4*y -3 * ) = 3 (3 4x - 3x

2y 2y

4 y3 4x3y 4y

® xy = aDesarrollo

( rilrulo Diferencial 239

e ^ , [/* (*> y) = ySea f(x,y) = xy - a =* i{,f y(x ,y) = x

d y _ f x(x,y) ydx f y{x ,y ) x dx x

0 )

dy / y s<¡2> X* , - y * - ¿ - y 2ydx2 x2 x 2 x 2

x2y 2 =bDesarrollo

dx7 x 2

Sea f ( x , y ) ~ x 2y 2 - b .í f A x ,y ) = 2xy2

U<*y'f ( x , y) - 2x y

- ' i = - M i ' l l = 2xy 2dx f y (x,y) 2x2y

dydx

.1x

dy, 2 x — —y

d y _ d xdx2 x2

x ( - - ) - y 2y ¿2 y _ 2y dx2 x 2

2x y -~cDesarrollo

Sea f ( x , y ) ~ x 2y i - c =>¡ fx (x ,y) = 2xy3

\ f y (x,y) = 3x2y 2

dy_ _ f x(x, y) _ 2.ry3 _ _ 2y dy _ _ 2ydx f y (x,y) 3x y2 , 2 3x dx 3x

x 9xdx2 3 x 2 ' 3d 2y lüv... ff*d*a <»V


x + y - xy = 2Desarrollo

,, , , , „ \ f x ( x , y ) = l ~ ySea f(x,y) = x + y - x y - 2 =* \

[ / , ( * , y ) = l ~ x

dy _ fx (x>y) __ i - y f y(dx f (x,y) \- x

dy y - 1d r 1 - x

^ x 7 ,> 2 ( y - 1 )

<¿x2 (1 — jc)2

x2y2 +xy = l

Sea / (x , y) = x2y2 + xy —1 =>

dy f x(x,y) 2 xy2 + y dx f y(x,y) 2x2y + x

a - x r

Desarrollo

\ f x (x ,y) = 2xy2 +\

\ f y (x, y) = 2x2y + x

y(2xy +1) x(2xy +1)

( I -* )2 (l--v)2

yX

dx2

dy x ~—— y dx

x ( - l ) - y

3 3 2 2xry + xLy l - a

j i

Desarrollo

Sea f ( x , y ) = x3y 3 + x2y 2 - a =»J / t (x,y) = 3x2y3 +2xy2

{//-*> y) = 3x3y2 +2x2y

dy _ f x(x ,y) _ 3x2y3 +2xy2 _ xy2(3y + 2) _ y dx f y(x ,y ) 3x3y2 + 2x2y x 2y (3 x+ 2 )~ x

dydx x

d ' y „ 2y dx2 x2

±.-i ___* __ i _

I ri/i i//í Diferencial 241

@

¿x2

dy /x - f - y x(— ) - ydx _ x

„2 ,2 „26?2y _ 2y dx2 x2

Cm) x + y + xy + y 2 - b

Sea /(x ,y ) = x + y + ;xy + y - b ^

dy _ f x(x,y) _ 1 + y

Desarrollo

\ f x(x ,y) = 1+y

\ f yXx,y) = l + x+ 2 y

dx / v(x,y) 1 + x + 2yrfy 1 + y dx 1 + x + 2y

^ !Z :dx2

(l + x + 2 y ) ^ - ( l + y)(l + 2 ^ )___ (¿X dx

(1 + A' + 2)0"

(1 + X + 2y)(— — - (1 + y)(l - : 2 ( 1 - j - )l + x + 2y 1 + x + 2y

( l+ x + 2 y )

l + x + 2 y - 2 - 2 y+ >’) - ( + y i + x + 2 y (1 + y)(l + x + 2y + x -1 ) _ 2(1 + y)(x + y)

(l + x + 2v) (l + x + 2y)' (l + x+ 2y)

3 2 x y =aDesarrollo

. , \ f x(x ,y) = 3x2y 2Sea /(x ,y ) = x y - a =» \

[ f y(x ,y) = 2x y

O. = = 3x y _ _3y2xdx f y(x,y) 2x3y

3ydx 2x

dy,2 x — - y

^ y _ _ 3 t dx■7dx" 9- (- 2 2 x 2 2x 4x

Eduardo Espinoza Ramo»

2 2 x +xy = aDesarrollo

[ f (x v) = 2x+ y

dy_ _ f x(x, y) _ 2x f y dx f A x , y ) x

.£ y _ _. 1dx X

dx2

xy2 + y 2 = a

x “l - y dx _________ x - 2 x - y - y 2(x+ y) d 2y 2(x+ y)

dx2 -2

Desarrollo

2 2 f / , ( * . y) = y 2Sea J (x ,y ) = xy + y - a =$ <

\ f y(x,y) = 2xy + 2y

dy ^ f x(x, y) ^ y dx f y(x, y) 2xy + 2y 2(x+l)

¡ U . - L

y ■ J>' . . . M2(x+l) 2(x+l)

( itlculo Diferencial

©

@

dx¿ 2 (x+ l)¿

xy + y3 = b

Sea f ( x , y ) = xy + y3 - b

dy f x(x,y) _____ y _

(x+ l)¿

Desarrollo

f f x ( x . y ) - y

[ / , (* . y) = * + 3 y 2

! (. - y —2y 3y 2 2(jc + 1)2 4(.x+l)2

dx f y(x,y) x + 3 y 2 dx x + Z y 2

d x ¿ Cx+3y2)2

x - 3 y 2y 4 . -----------—

x + 3 y 2 _ ^ + 3y3 + jc -3 y 2 U + 3 y 2)2

(x+ 3y2)2

(x + 3 y2)3

(,x + y)2 + (x + y )3 = a 2

Desarrollo

2 , , í / j[(jc,y) = 2(jr+y) + 3U + y):Sea f ( x , y ) - (x + y ) + ( x + y) - a entonces

| / y (*> y ) = 2(x + y) + 3(x + y):

_¡ p o n » « , , , , * . , 1 „ £ 1 .dx f y(x ,y) 2(x+ y) + 3(x+ y) dx dx2

x2 + y 2 = ab

Desarrollo

2 2 \ f x(x ,y) = 2xSea f ( x , y ) = x + y - a b => \

[ f y(x,y) = 2y

ÉL - - l í —l L l - 2x -dx f y(x ,y) 2 y y

, dyéI ldx2

y - xdx

dy _ x dx y

x~ + y“ ab i d 2y abj dx2 r 3

243

,2 (jt + 3 y 2) — - y ( l + 6y —) C* + 3y )( ^ - y í - y Od y _ ■ ’ dx ' ' ¿x x + 3y * + 3 y 2

dyObtenga — para cada una de las siguientes funciones por el método de la dcrivm ióii

dximplícita.


@

0

2 _ X - \ X + l

Desarrollo

dx (x + l) dx (a + 1)21dy_„________

dx y(x + l)2

a 3 - x y + y 3 = 1

dy 2 dy

Desarrollo

dy3a - y - A — +3y — = 0 => ( 3 y - x ) — = y - 3 x =>dy y - 3x

dx dx

<2 = ± Z l x + y

dx

Desarrollo

dx 3y ~ x

( x + l ) ( l - ^ ) - ( A - y ) ( l + ^ ) x + y - ( x + y ) <- - x + y - - ( x - y ) - ^2x = ________ & ------ — ____ => 2x = - dx ----------

( x + y Y

2 y + ( - x - y - x + y )2x = dx

2 y - 2 x

(x + y )2=5 2x = ■

dydx

(x + y Y

(x+y)~

dy,x(x + y r = y - x —

dx

dy _ y - x j x + y Y dx x

y = x ( x 2 + l ) 2

dy

Desarrollo

1= ( x 2 + l) 2 x ( x 2 + l ) 2 2 x =

dx 21 x 2 x 2 + l - x 2

_ 3- - 3

( a 2 + 1 ) 2 ( x 2 + l ) 2 ( * 2 + l ) 2

d y = ___ 1 _dx 1

U 2 *! ) 2

( 'rilento Diferencial 245

©i l i

y = x 2 + x 3 + x4

j 1 1 1 2 , 3dy 1 - - 1 — 1 —— = — x 2 + - x 3 +—x 4dx 2 3 4

y2 = i ì z l* "> 1

A- + 1

Desarrollo

Desarrollo

dy (x + 1 )2a-(x - l)2 x2' * - ( A 2 + 1 ) 2

=» v— =dy x + x ~ x + xdx (x 2 + 1)2

dy 2xdx y(x2 +l)2

(x + y)3 + (x - y)3 = xA + y 4Desarrollo

3(x + y )2 (1 + — ) + 3(x - y)2 (1 - — ) = 4x? + 4y3 dydx dx dx

3(x + y)2 + 3(x + y )2 — + 3(x - y)2 - 3(x - y )2 — = 4a3 + 4y3 ^dx dx dx

[3(x + y): - 3(x - y)2 - 4y3]— = 4x3 - 3(x + v)2 - 3(x - y)2dx

(3a 2 + 6xy + 3y2 - 3a2 + 6xy - 3y2 - 4 y3 )-— = 4 x 3 •- 3a2 - 6xy - 3 y 2 - 3x2 + 6xy + 3 y 2dx

( I 2 x y - 4 y )— = 4a - 6 a dx

y = (a + 5)4(x2 - 2 ) 3 •

dy 2x2(2 x -3 ) x 2(2x -3 )dx 4 y (3 x -y 2) 2 y (3 x -y 2)

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramoi

^ = 4(jc + 5)3{>2 - 2 ) 3 +3(* + 5)4(x2 - 2 ) 22x = (x + 5 ) \ x 2 - 2 ) 2(4(j:2 - 2 ) + 6.rú+5))

(jr+5)3(.t2 - 2 ) 2(10jc2 +30.Í-8)

1 1 ,- - + - = 1 y *

Desarrollo

I +i . , . - - L 4 - - L . oy X y 2 dx X2

d y = _ rdx x2

y = (x2 +3)* x~lDesarrollo

x 2 + 3) 3 2xx 1 - (x 2 + 3)3 jc 2 :dx 3

2 (x2 +3)3

3(a +3)32 x 2

2x - 3 ( j t +1) x2 +32 2

3x2(x2 +3)3 3x2(x2 +3)3

eos *+fgy.sgny = 0Desarrollo

2 eos x(-sen x) + sec2 y sen y — + tg y eos x — = 0dydx dx

-2 sen xcos x + see2 y sen y — + sen y —- = 0dx dr

jen y (see2 y + 1)— = 2cosxsenx dx

■ dy - 2cosx sen xdx sen yíl + see2 y)

eosee x - see y + tg y + etg x = 0

Desarrollo

I tit ulo Diferencial 247

dy i dy 2 n-c o s e c x c tg x - s e c y tg y — + sec y ----- cosec x ~ 0dx dx

? dv 2(see y - see y íg y) — = eosee a + eos ec x. ctg x

dx

dy _ eos ec2x +eos ecx ctg x dx see2 y -se c y tg y

(M) xyex + ey = 0Desarrollo

(xy)'ex + xy(exy+ (ey)' = 0 => (y + xy> * +xyex +ey.y' = 0

vex + xexy '+ eyy '+ xyex = 0 => (xex +ey) — = -xyex - y e xdx

dy_ _ y(xe* +ex) _ -y (x+ l)e* _ -y(.r+ l)e* _ -y (* + l) dy _ y (1 + )dx xex +ey xex +ey xex -x y e x x - x y dx x 1 -y

( \:) yex = l0 + ycyDesarrollo

ex — + yex ~ e y ~ + y e y — => (ey + yey ' - e x)— = ye'dx dx dx ' dx

dy ^ yex "dx ey + yey - e x

( u ) x5 + 4jty3 - 3y5 = 2Desarrollo

5a4 + 4y3 + 12jcy2 — -1 5 y 4 ^ - = 0 => (12xy2 -1 5 y 4) ^ = -5>4 - 4 y 3dx dx dx

dy 5x* + 4y3 -dx ~ 15y4 -1 2 jy 2

Eduardo Espinoza Ramos I ( «leído Diferencial 249

x2 + xy + y2 = !Desarrollo

2 x+ y + x — + 2 y — = 0 (x-f 2y) — = - (y + 2x) de donde — = -dx dx dx dx 2y + x

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS,-

A) MÁXIMO Y MINIMO RELATIVO (Criterio de la primera derivada)--

Si f(x) es una función definida en (a,b)

Si / '(c) = 0 donde c e (a,b) punto critico

Si

Si

/ '(x) > 0 V x e (a,c) 3 máximo relativo en x = c f ' ( x ) < 0 V x e (c,b) y f ( c ) es el valor máximo

/ '(x) < 0 V x e (a,c) 3 máximo relativo en x = c f '(x) > 0 V x e (c,b) y / ( c ) es el valor mínimo

Si / '(x) > 0 V x e (a,b) f(x) es creciente sobre (a,b)

Si / '(x) < 0 V x e (a,b) => f(x) es decreciente sobre (a,b)

B) PROBLEMAS.-

Para cada una de las siguientes funciones, determine los valores máximos y mínimos relativos; trace la curva que representa cada función.

y = 12-12x + x3Desarrollo

dy 2— - -12 + 3 x = 0 para los puntos críticos dx

- 1 2 + 3 x 2 = 0 = * x 2 = 4 => x = ± 2 puntos críticos

-2

©

para x = -2

x <-2, ^ > 0 * dx

-2 < x < 2, * < ( T dx

Para x = 2

-2 < x < 2, * « T dx

x > 2, ^ > 0 + dx

x + 1

dy _ 1

¿ydx

= 3 (x -2 )(x+ 2)

3 máximo relativo en x = -2

y = 12 - 12(-2) - 8 = 28. Luego el máximo (-2,28)

3 mínimo relativo en x = 2

y = 1 2 - 12(2) + 8 = -4. Luego mínimo (2,-4)

dx (x + l)‘

Desarrollo

- = 0 para los puntos críticos


<DJ? x 1y --------------6x3 2

Desarrollo

dy n— = x ~ x - 6 - ~ 0 para los puntos críticos dx

(x - 3)(x + 2) = 0 => x = -2, x = 3 son puntos críticos

-2

dy_dx

= (x -3 )(x+ 2 )

para x = -2

Si x <-2, ^ > 0 + dx

3 máximo en x = -2 y = 22

-2 < x < 3, —• < 0 dx

22Luego máximo (-2 ,— )

para x = 3

-2 < x < 3, ^ < 0 - dx

3 mínimo en x = 3, y = - 27

x > 3, > 0 +dx

27Luego máximo (3,——)

«,(/ < ni. i Diferencial 251

dy _ , „3dx

Desarrollo

4x3 -3 2 = 0 para obtener ios puntos críticos

4x3 -3 2 = 0 x'J - 8 = 0 => ( x -2 ) ( x 2 +4x+4) = 0 de donde x ~ 2 punto critico

— = 4(x - 2)(x2 + 4x + 4) dx

x < 2 , d- l « r dx

x > 2, --- > 0+ dx

Luego (2,0)

252 Edita do Espinosa Ra

y =V ? + 7

Desarrollo

dy■ 0 para obtener los puntos críticos pero % x e R tal que

(x2 + 7)3dx (x2 + 7)3por lo tanto no se tiene puntos críticos lo cual implica que no hay máximo ni mínimo.

2x

Desarrollo

__________dx 3

U 2 -l)2

2 2= 0 para ios puntos críticos pero p. x e R tal q u e --------- — = 0

U 2 - l ) 2

Luego no tiene puntos críticos por lo tanto no hay máximo ni mínimo.

I dlculo Diferencial 253

(!) y = x 2 - 4 r + 3

dydx

Desarrollo

2x - 4 = 0 para los puntos críticos

2x - 4 = 0 => x = 2 punto critico

„ d\ x < 2, — < 0 dx

x > 2 , ^ > 0 + dx

3 mínimo en x = 2 de donde y = -1

Luego mínimo es (2,-1)

= W l^ ;Desarrollo

= -n/í — x2 — t = ¿ = = 0 para los puntos críticos y f l -X 2

dy 1 — 2x2 v **— ~ ~== 0 jc = ± — puntos críticos también son puntos críticos cuando¿X 2

-y dy o/ es decir: 1—x = 0 =¡> x = ± 1 son puntos críticos porque la función estadx

definida en esos puntos.

-+------------h“1 V2 -J l 1


dy _ (1- J2x)(i + J 2 x ,

dx V i - /

■ l< x < ~ — , d- l < O- 2 dx

\/2 13 nummo en x = — — , y - - —

y/2 \Í2 dy _+-----< x < — , — > 02 2 dx

Luego mínimo en

- £ < x < £ , ± > O* 2 2 dx

©

^ < , < 1 , ^ < 0-2 dx

’ = x3 - 3 x 2 +2

sÍ2 1Luego el máximo es (— , - )

2 2

Desarrollo

— = 3x2 -6 x = 0 para obtener los puntos críticos dx

3x2 - 6 x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 , x = 2 puntos críticos

— = 3x(x -2 ) dx

I oli tilo Diferencial 255

x <0 , ^ > 0 + dx

dy

3 máximo en x - 0 de donde y - 2

0 < x < 2, — < 0 *• Luego el máximo es (0,2) dx

dy0 < x < 2 , — < 0 " \ 3 mínimo en x = 2 de donde y = -2dx \

x > 2, ^ > 0+ *dx

Luego el mínimo es (2,-2)

dy _ 2x

Desarrollo

= 0 para obtener los puntos críticosdx (x2 +4)2

2x------------— = 0 ^ x = 0 punto critico(x + 4)

----------1-------0

dy -2 x

4ydx

x <0, ^ -> 0 +

> 0 . i y « r Jdx

dx (x2 + 4)2

3 máximo en x ~ 0 de donde y =

Luego el máximo es (0,—)4


V 7 --8

dy 2x

dx 4 x 2 -%

Desarrollo

• = 0 para obtener ¡os puntos críticos

Cx2 ~ 8)2

2x(jr2 - 8 ) - x 3 x3 -16* „ / 3 A-------------------3------“ ----------- '— 3 ' = 0 =í> X - 1 6 x = 0

(JC2 -8)2 (x2 - 8)2

x(x -16) = 0 => x = 0, x = ± 4 los puntos críticos

H------------1------------ 1------------h-4 - 2 - J Î 0 2V2

dy __ x(x~4)(x + 4)dx -

U 2 -8)2

para x = -4

x < -4, — < 0~dx

3 mínimo en x = -4, y = ~4\¡2

- 4 < x < - l y j l , ^ > 0 + dx

Luego el mínimo es (-4,4>/2)

Cálculo Diferencial 257

para x = 4

2V2 < x < 4 , ^ < 0 “ >dx

> 4, > 0+ *dx

3 mínimo en x = 4, y = 4^2

Luego el mínimo es (4,4^2)

Desarrollo

d \ \ 2— = 4x - I2x = 0 para los puntos críticos dx

4x (¿c-3) = 0 => x = 0, x = 3 los puntos críticos

0

— = 4jc2(x -3 ) dx

Para x = 0

X< 0 , & < 0 ~ dx

0 < x < 3, — < 0 dx

0 máximo ni mínimo

258 Eduardo Espinoza Rama» W 1 'l,‘ ll,( Diferencial 259

para x = 3

O < x < 3, — < 0“ dx

x > 3, ^ - > 0 + dx

3 mínimo en x = 3, y = -15

Luego el mínimo es (3,-15)

3x

4 x2 +7>

dy _ 6x

t e 4 x 2 + 3

3x3 + 18x = 0

(x2 +3)2

Y -

12 A

0 \ 1 /y ¡ y x

Desarrollo

3r3------------ -- o para los puntos críticos

(x2 + 3)2

=> 3x3 + 18x = 0 —•» x = 0 punios críticos

x < 0, — < 0~ dx

x > 0, ^ > 0 + dx

O

dy _ 3x(x2 + 6)dx í

(x + 3)2

3 mínimo en x = 0, y = 0

Luego el mínimo es (0,0)

y =i

16- x 2

dy _ 2x

Desarrollo

: 0 para obtener los puntos críticosdx (1 6 -x 2)2

2x n n '-------- —— = 0 x = 0 punto critico(1 6 -x 2)2

dy 2x

-4 < x < 0, — < 0 dx

0 < x < 4 , ^ > 0 + dx

dx (1 6 -x )

3 mínimo en x = 0, y =16

Luego el mínimo es (0,— ) 16

260

2 i , v = — x ~ 4x +6x + 2 ' 3

Desarrollo

dy i— = 2x —8x+6 = 0 para obtener los puntos críticos dx

2x2 -8 x + 6 = 0 => 2(x2 -4 x + 3 ) = 0

2(x~ l)(x - 3) ■= 0 =» x = 1, x = 3 puntos críticos

1dydx

= 2(jc—1)(jc —3)

x < 1, ^ > 0 + dx

dy 14,l < x < 3 , — < 0 ** Luego el mínimo es (1,— )dx 3

dy1 < x < 3, — < 0“ *\ 3 mínimo en x = 3, y = 2

dx ' J

x > 3 , ^ > 0 + dx

Luego el mínimo (3,2)

y =8x

x2 +4


Desarrollo

h iilo Diferencial 261

dy _ 8 16a 2

dx x 2 +4 (x2 + 4):• = 0 , para obtener los puntos críticos

8 16x2 n 8(jc2 -»-4)—16jc2 n= 0 => ------- —----- r-----— 0

x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 +4)2

32 8'X 0 => 3 2 - 8x2 = 0 ^ x2 = 4 =* x = ± 2(x2 + 4)2

x < -2, * « Tdx

-2 < x < 2, -~y~ > 0+ dx

x > 2, — < 0“ dx

-2 2

rfy 8(2 - x)(2 + x) dx (x2 +4)2

3 mínimo en x = -2, y = -2

-2 < x < 2, —- > 0+ À Luego el mínimo es (-2,2) dx

3 máximo en x = 2, y = 2

Luego el máximo es (2,2)

262

■ 17} y - -x+3

Desarrollo

— = = 0 para obtener los puntos críticosdx x4

x 2 - 2 x 2 - 6 x

x 4

-U + 6)

, 0 = ,

= 0 => x = -6 puntos críticos

-6 0dy _ - (x + 6) dx x3

x < -6, — < 0 dx

3 mínimo en x = 6, y = -12

-6 < x < 0, ^ > 0 + . dx

Luego el mínimo es (-6, — )

-6 i

y = x5 +6Desarrollo

= 5x4 = 0 para obtener los puntos críticos 5x4 = 0dx


X

=> x = 0 es punto critico

í (líenlo Diferencial 263

x < 0, ^ > 0 * dx

}í máximo ni mínimo

(íí)

x > 0 , ^ > 0 + dx

I 1 y = ( * - l ) 3(x + l)3

Desarrollo

dy 1 — - 2 - -3(x + l)3 + ~ ( jc - l)3(jc + l) 3 = 0 para obtener los puntos críticos

. , 2 ,1( -)3 + 2( -)3 =0x - l x+1

jr + l + 2 (jr- l) 2 1

(jc-1 )3(jc + 1)3

= 0 3.T-1 1—2-------- f = 0 => 3x - 1 = 0 => x = — punto critico.

( x - l ) 3U + l)3

También cuando j í — se obtiene los puntos críticos siempre que en dichos puntos la

función este definida.

3.x-1 I J

(jc-1)3(.x + 1)3

<=> X = 1, X = -1

-+■-1

T1

+1

264 Eduardo Espinoza RamM

dy__ 3 -r-l dx I 1

( jc - 1 ) 3 ( jc + 1 )3

para x = -l

x < -1, ^ > 0 + dx

1 dy1 < jc< — , - i< 0 ~

3 dx

Para x = —3

-1 < x < —, < 0~3 dx

- < * < 1 , É L > o+ 3 dx

3 máximo en x = -l, y = 0

Luego ei máximo es (-1,0)

5

233 mínimo en x = - , y = -

3 3

5

1 23Luego el mínimo es ( - , ------)

3 3

(20) y = - ( x i - 6 x 2 +9x + 6)

♦ tih ah» Diferencial 265

Desarrollo

í/y 1— = —(3jc“ - 12jc+9) = 0 para obtener ios puntos críticos

dx 6

1 7( jc ~4jc+3) = 0 => (x - l)(x - 3) = 0, de donde x = l , x:

f £ = I ( , - l X * - 3 ) dx 2

Para x - i

x < 1, É l> o+ dx

3 máximo en x = l , y = -

1 < x < 3, ^ < 0 ~ dx

Luego el máximo es (1,—)

Para x = 3

1 < x < 3, ^ < 0 - dx

3 mínimo en x =3, y = 1

x > 3, - ^ > 0 + dx

Luego el mínimo es (3,1)

Y ‘ 5

3 son los puntos críticos

266 Eduardo Espinoza Ramt

©

C) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.-

Si y = f(x) es una función los puntos en donde la segunda derivada se anula denomina puntos de inflexión, es decir en x0 se tiene punto de inflexión ■

/"(*„) = 0

Si ^ es punto critico es decir / '( * ,) = 0 o ¿ í /'(•*, )•

Si / ”(*!) > 0 entonces 3 mínimo en x - xx

f "(*,) < 0 entonces 3 máximo en x -

Si / ”(*) > 0 , V x e <a,b> => f(x) es cóncava hacia arriba

Si / "(*) < 0 , V x e <a,b> => f(x) es cóncava hacia arriba

D) PROBLEMAS.-

Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y míni" relativos, y los puntos de inflexión (si los hay). Trace la curva que representa a o* función.

y = 1 2 - l2 x + x*

dy o— = -1 2 + 3x - 0 para obtener los puntos críticos dx

Desarrollo

x 2 = 4 => x = ± 2 son los puntos críticos

= 12 < 0 = * 3 mínimo relativo en x = 2 y el punto mínim«d y ¿ d y — f = 6* => — f dx2 dx2 x= 2

y = 12 - 24 + 8 = -4 es decir (2,-4)

= -1 2 < 0 = > 3 máximo relativo en x = -2 y su punto máximo es:d 2ydx2 jc=-2

y = 12 + 24 - 8 = 28 es decir (-2,28).

I lUrulo Diferencial267

d 2y—y - 6 x = 0 para obtener los puntos de inflexión

como 6x - 0 => x - 0, y •- 1 2 -0 + 0=-12. Luego el punto de inflexión es (0,12)

y - jr + 1Desarrollo

j . - _ * - x + l __ L =1_ . 1* + 1 x + l x + l x + l

dy 1~ r ---------- r como A x tal que — = 0dx (* + l)2 4 dx

entonces no se tiene puntos críticos y por lo tanto no hay máximo ni mínimo.

d 2y _ 2 d 2\dx2 ~ ( r + j)3 como P x tal que —y = 0 , entonces no hay puntos de inflexión

pero x — 1 es un punto de discontinuidad

-1d 2y

Para x < -1, — — > 0 =í> f(x) es cóncava hacia arribadx

l’ara x > -1, — ^-<0 f(x) es cóncava hacia abajodx'

268 Eduardo Espinoza Ra>mal ' 11/< uto Diferencial 269

© y - ------------6jC3 2

Desarrollo

dy • 2— = x - x - 6 = 0 para los puntos críticos dx

x - x - 6 = (x -3 )(x + 2 ) = 0 => x = -2, x = 3

d 2yd^y_ dx2

■ 2 x - l entonces:dx

de donde y = - - - 2 + 12= — 3 3

jc= -2-5 < 0 = > 3 máxitno en x = -2

22’T >

dx2= 5 > 0 => 3 mínimo en x = 3

9 27 27dedonde y = 9 ------ 18 = ------=> (3,-------- )2 2 3

d 2y- = 2 x - l = 0 para los puntos de inflexión 2x - 1 = 0 => x = — dedonde

dx 2

= _ L _ i_ 3 = _ 32^ 24 8 12

A 37. J(—,----- ) punto de mflexión2 12

-+-

2

£¿>c2= 2 x - l

1 d yPara x < — , — < 0 =* es cóncava hacia abajo2 dx2

x> — , > 0 => es cóncava hacia arriba2 dx~

( J ) y = x4 -32.V + 48Desarrollo

dydx

= 4x3 - 32 = 0 para los puntos críticos

4x3 -3 2 = 0 =» x3 = 8 =* x = 2 punto critico

^ f = 12x2 dx2

d 2ydx2

= 48 > 0 = > 3 mínimo en x = 2X~2

de donde y = 1 6 -6 4 + 48 = 0 (2,0)

= 12x2 = 0 para obtener los puntos de inflexiónd^y_ dx2

como 12x2 = 0 => x =0 de donde y - 48

Luego (0,48) es un punto de inflexión.

Eduardo Espinoza R

Para x < O, — > O => es cóncava hacia arriba£ y > 0dx2

*11 > 0dx2

x > O, — — > 0 => es cóncava hacia abajo

V*2 + 7Desarrollo

dy 1

x 2 +13 3

(7 + jé2) 2 (7 + x2)2

7 M-------= O para los puntos críticos como ,3 x tal ql

(7 + x2)2

■ = 0 => no hay puntos de inflexión por lo tanto no hay máximo ni mínimos.

— L ---------- = o para obtener los puntos de inflexión.dx¿

Como

(7 + x2)2

-3 xJ

(7 + *2)2

= 0 => x = 0 de donde y = 0 entonces (0,0) es el punto de inflex

d 2 ypara x < 0, — > 0 => es cóncava hacia arriba dx2

< ilh ulii Diferencial 271

d 2yPara x > 0, — — < 0 => es cóncava hacia abajo dx2

y =2x

dy -2

Desarrollo

dxY = 0 para obtener los pimtos de inflexión

O 2 - » 2

l uego 0 x tal q u e --------- — = 0 entonces no hay puntos critico y por lo tanto no se tiene

(*2 - l ) 2 máximos ni mínimos.

d y 2— - = --------- = 0 para obtener los puntos de inflexión.dx , -

(*2 - l ) 2

I .liego x tal q u e --------- — = 0 entonces no hay puntos de inflexión.

(,x2- \ ) 2

-1 1

d 2yPara x < - l , — r > 0 => es cóncava hacia arriba

dx2

272 Eduardo Espinoza Ramo»

d 2 yPara x > 1, — ~ > 0 =* es cóncava hacia abajo dx

2 ) y = x 2 - 4 x + 3Desarrollo

dy— = 2x - 4 = 0 para los puntos críticos 2 x - 4 = 0 => x = 2 punto critico dx

d 2 y— = 2 > 0 = * 3 mínimo en x = 2dx2

y = 4 - 8 + 3 = -l => (2,-1) punto mínimo

d V— £ = 2 = 0 , 0 por lo tanto no hay puntos de inflexión dx'

d 2ycomo — — > 0 , V x e R entonces y es cóncava hacia arriba dx

f 'Aleuto Diferencial 273

y = x-Jl-Desarrollo

para los puntos críticos

1-JC2 -JC2 2 n/2/-------= 0 => ] - 2x = 0 jc = ± — puntos críticosV I-je2 2

,H — =* 1 - x2 = 0 => x = ± 1 punto critico dx

dy _ i - 2 s 2 ¿ 2y 2x3 -3 x _dx 7 J T -x2 dx~

para los puntos de inflexión

(l- .v 2)2

para x = 0, y = 0, (0,0) es punto de inflexión x = ± no pertenece al dominio.

d ^ ldx2

2I J _ _ 32 V2 y/2 J 2 . _ . . 72 1 ,V2 1- -----2-------— = ---- ~ < 0 => 3 máximo en jc = — , y = —, (— ,—)

Va 1 3 1 3 2 2 2 2— y 0 . 1 ) 2 (1)2

rf2}’dx J L2

1 2 .~vf2 '" T í

1 -(~ )22

V2

4 ’1

> 0 => 3 mínimo en x- ñ ■ 2 ’ 4 . ( - # . » )2 2 2

d 2ypara -1 < x <0 , —~ > 0

dx2

-1 0 1

es cóncava hacia arriba

Eduardo Espinoza Ra

d 2y( ) < x < l , — < O =* es cóncava hacia abajo

dx

Desarrollo

= 3x¿ - 6x - 0 , para obtener los puntos críticos.dx

3x2 - 6 x = 0 => 3 x (x -2 ) = 0 =* x = 0, x = 2 puntos críticos

d 2y . , d 2y“ = 6x 6 => z~ = -6 < 0 = » 3 máximo

x=0¿x" ¿xz

punto de inflexión en x = 0 de donde y = 2 => (0,2) punto máximo.

d 2ydx1

= 1 2 -6 = 6 > 0 => 3 mínimo en x = 2x=2

de donde y = 8 - 1 2 + 2 = -2 => (2,-2) punto mínimo.

É lldx2

= 6x - 6 = 0 para obtener los puntos de inflexión

6x - 6 = 0 => x =1, y = 1 => (1,1) punto de inflexión

■+1

I .i/, uh) Diferencial 275

x < 1, < 0 => es cóncava hacia abajod x 2

d * yx > 1, — ~ > 0 => es cóncava hacia arribad x 2

((•')Desarrollo

y = -Ki dy 2 x

x 2 + 4 dx (x2 + 4 )2= 0 para obtener los puntos críticos.

2xC o m o ----------- - = 0 => x = 0 punto critico(x2 + 4 )2

— r = ~— %■ = 0 para obtener los puntos de inflexióndx2 (x +4)

como — ~— ~ = 0 => 6x2 - 8 = 0 => x = ± - Í (x +4) V3

1 3 2 3 2 3y - —— = — ==> , — ) puntos de inflexión—+ 4 363

V3 16 V 3’16"

¿f2y

x~0= ----- < 0 => 3 máximo en x = 0, y = 0 luego (0,0) es el punto inrixiino

64

276 Eduardo Espinoza R

_2_

V3O 2_

s2 d y

x < — = , — ~ > 0 es cóncava hacía arriba v3 ¿/x

2 2 y— ^ < _ _ t < o es cóncava hacia abajo

V3 V3 <¿r

2 d 2yx > - p r , — - > 0 es cóncava hacia arriba

-v/3 ¿*2

y =V * - 8

dy je2 — 16*

^ (V*2 - 8 ) 3

x3 -16*

(V72~ 8 ) 3como

Desarrollo

= 0 para obtener los puntos críticos

= 0 => * -16* = 0 => x = 0, x = ±4 son los puntos críticos

í/^v "i- 8jc "t-128_ |- = -------------- ---- = 0 para obtener los puntos de inflexión como £ x tal que

(x2 -8)2

3*4 + 8*2 +128------------------- = 0 entonces no hay puntos de inflexión, se tiene puntos de

( * 2 - 8)2 ■

discontinuidad en * = ±2\Í2 .

I tit ulo Diferencial 277

(A

-2 v '2 2 7 2

- d 2yPara * < -2V2 , — ~ > 0 , es cóncava hacia arriba

dx

Ar~ d y> 2v2 , — > 0 , es cóncava hacia abajodx

Y'

- 2V2 2V2 X

'

y = *4 — 4*3 +12Desarrollo

dy -a -y— = 4* -1 2 * = 0 para obtener los puntos críticosdx

4x2 (x -3 ) = 0 => x = 0( x = 3 puntos críticos

108-72 = 36 > 0

=> 3 mínimo en x = 3, y = -15; (3,-15) en el punto mínimo.

= (12x2 - 24*) = 0 no hay informaciónIr—Q

d 2ydx2

£ ydx

j- = 12*2 - 24* = 0 para obtener los puntos de inflexión

! 2*2 - 24* = 0 =* x = 0, x = 2

Eduardo Espinoza Ra,

5Luego x = 0, y = 12; (0,12)

x = 2, y = -4; (2,-4)

d 2 yPara x < 0, — — > 0 => es cóncava hacia arriba

dx

d 2y0 < x < 2 , — ~ < 0 => es cóncava hacia abajo

dx2

d 2yx > 2, — — > 0 => es cóncava hacia arriba

dx2

y =3x2

x¿ +3

dy_ _ 3(_£*+6xdx ' 2

(x +3)2

Desarrollo

) = 0 para obtener los puntos críticos

como 3( X ) _ q => jc3+6jc = 0 =* x(x2 + 6) = 0 => x = 0 punto critico

i lilculo Diferencial 279

d -ydx~

54= — > 0 = > 3 mínimo en x = 0x=0 52

comox = 0, y = 0 entonces (0,0) punto mínimo.

d “~ v 6 x 2— — = 9(---------- - ) = 0 para los puntos de inflexióndx

(x2 +5)2

(L_ 2como 9(------- ——) = 0 6 - je2 = 0

(*2 + 5)2

jc2 = 6 .=> x = ±Vó , y = 6 luego (~V6,6), (Vó,6) son los puntos de inflexión.

~ v 6 \¡6

r~ d 2 yx < -V 6 , — — < 0 , es cóncava hacia abajodx-

- s/6 < x < \ 6 , —~ > 0 , es cóncava hacia arribadx¿

t o

r~ d yx > y¡6 , — y < 0 , es cóncava hacia abajo. dx

y =i

1 6 -* 2Desarrollo

280 Eduardo Espinoza Ramut

dy 2xdx (16 —je2 )2

2xcomo( l ó - x 2)2

= O para obtener los puntos críticos

= 0 => x = 0

d 2y 32 + 6x2 d 2ydx1 (16- x ),2 \3 dx1

—-— > 0 = > 3 mínimo en x = 0, y = — 128 ' 16

Luego (0,— ) es el punto mínimo.16

d 2y 32 + 6x2 n _— - --------r - r = 0 para obtener los puntos de inflexión pero como A x tal uüldx' (16- x y ^

32 +.6x2 n-------- — = 0 entonces no hay punto de inflexión.(16—jc ) .

En x = ± 4 se tiene puntos de discontinuidad

d 2yPara x < -4, — — < 0 es cóncava hacia abajo

dx2

d 2 y-4 < x < 4, — — > 0 es cóncava hacia arriba

dx2

d 2yx > 4, — — < 0 es cóncava hacia abajo

dx2

I illmlo Diferencial 281

||») y = -j* 3 - 4 jc2 + 6x + 2

dy

Desarrollo

= 2a2 - 8x+ 6 = 0 para obtener los puntos críticos como 2x2 - 8x+6 ~ 0dx

x ' ~ 4 x + 3 = 0 => (x - l)(x - 3) = 0 => x = 1, x = 3 son los puntos críticos.

d~y d 2 yy ~ 4 x - S => y

dx2 dx214= 4 - 8 = - 4 < 0 => 3 máximo en x - 1, y = —3

14Luego ( I ,- - ) es punto máximo

d 2ydx-

= 12 ~8 = 4 > 0 =>3 mínimo en x = 3 de donde y = 2x=3

Luego (3,2) es el punto mínimo.

= 4x - 8 = 0 para los puntos de inflexiOon.d 2ydx'

Como 4 x - 8 = 0 => x = 2, y = — luego el punto (2,“ ) es el punto de inflexión

d yPaia x < 2, — — < 0 es cóncava hacia abaio

dx'

d 2vx > 2. — — > 0 es cóncava hacia amba.

dx2

282 Eduardo Espinoza Rank

y =8x

x2 +4

dy 32-8x"dx (x 2 +4)

32 - S x 2

Desarrollo

= 0 para obtener los puntos críticos

como(x2 +4)2

= 0 => 32 - 8x2 = 0 => x 2 = 4 => x = ± 2 puntos críticos

d 2y 16x3 -1 9 2 x d 2y----- _ ------ --------- entoncesdx (x +4)

16

dx~ í=2

256163

< 0 => 3 máximo en x = 2

de donde y = — = 2 luego (2,2) es el punto máximo.8

d 2ydx1

x = -2

-128 + 384

163> 0 =» 3 mínimo en x = -2

de donde y = -2, luego (-2,-2) es el punto mínimo.

d 2 y _ 16x3 -192.x

dx2 (x + 4)• = 0 para obtener los puntos de inflexión.

Como ———r—— = 0 => 16x3-192x = 0 16x(x2 -12) = 0 =* x = ±2\/3(x + 4)

I til culo Diferencial 283

(tv)

x = 0 , > = 0 , (0,0)

x = 2>/3 , y = y/3 , (2 y¡3 ,S ) } son puntos de inflexión

x - -2 s f i , y = -V3 , ( - 2V3 , —n/3)|

--2 V 3 o 2 V 3

-2V3 , —t < 0 es cóncava hacia abajodx"

r d 2 y-2 v 3 < x < 0 , — > 0 es cóncava hacia arriba

dx2

r d 2 y0 < x < 2 > /3 , — ~ < Q es cóncava hacia abajo

d r

r- d 2 y: > 2V 3, — f > 0 es cóncava hacia arriba

dx

x + 3y = _

Desars

~ _ £ í.._ = 0 para obtener los puntos críticos, como 0dx x3 r

d 2y 2x + 18 d 2yT* ““

dx¿ x=-6

6_ J_ 64 " 63

> 0 => 3 mínimo en x • 6

284 Eduardo Espinoza Ramal

de donde y = —— ¡uego (-6, - ---) es el punto mínimo.

d y 2x +8—_ = —----- = o para obtener los punios de inflexión dx x

como ■.... = 0 =» x = -4 , y = -----de donde (-4 ,------- )16 u16

d 2ySi x < -4, — — < 0 es cóncava hacia abajo

dx2

d 2 y-4 < x < 0, — — > 0 es cóncava hacia arriba

dx2

d 2yx > 0, — - > 0 es cóncava hacia arriba

dx‘

y = x5 +6Desarrollo

dy 4— = 5x = 0 para los puntos críticos dx

como 5x4 = 0 => x = 0 es un punto critico.

( VUculo Diferencial

d 2y d 2y, = 20*3 _

dx dx— 0 no hay información

j=0

d 2 y i— Y = 20x = 0 para obtener los puntos de inflexión dx~

como 20,ví = 0 => x = 0 de donde y = 0 + 6 = 6

Luego P(0,6) es un punto de inflexión.

@

d 2vSi x < 0 , — ~ < 0 es cóncava hacia abajo dx

d 2 yx > 0 , — f > 0 es cóncava hacia arribadx2

1 2 y = (jc—l )3 (jc+1)3

Desarrollo

d 1 — - 2 - —i U - O c - l ) 3(jc+1)3 + - ( j c - l ) 3( jr f t) 3 - 0 , para obtener los puntos críticos dx 3 3

d y _ r (x+ l j t 2 x - l \ _ Q dx 3 'x —í 3 x+ l

A' +1 4 2{X — 1) -

(jc-1 )3(jc + 1)3

0 => 3x ~ 1 = 0 =»

Eduardo Espinoza Ramm

además x = -1 también es punto critico

x — -1, y = 0

M —V 27

3/32

y = -( jc3 -6 jr2 +9x + 6)6

Desarrollo

úíy 1 2 -*2 3— = —(3a: -12.*+9) = ----- 2x+ — = 0 , para obtener los puntos críticosdx 6 2 2

c o m o ------2jc+ —2 2

3 a: - 4 a; + 3= 0 =í> (x - 3)(x - 1 ) = 0

de donde x = 1, x = 3 son los puntos críticos

-~ Y = x ~ 2 - , O l ídx dx

--- - i < 0 =* 3 máximo en x = 1 de donde y ■■jt=i

Luego (1,-) es el punto máximo

d 2ydx

■=3-2 = l > 0 => 3 mínimo en x = 3

de donde y = 1 luego (3,1) es el punto mínimo.

I ch illo Diferencial

d~ yAdemás — ~ = x - 2 = 0 es para obtener los puntos de inflexión dx

4 4como x - 2 = 0 entonces x = 2 de donde y = - luego el punto (2,—)

3 3inflexión.

Trace una curva aislada y = f(x) que tenga todas las siguientes propiedades.

a) f(l) = 0, f ' ( x ) < 0 p a r a x c l , / '( a ) > Q ,x > 1

b) f(l) = 0, f" (x )< 0 p a r a x c l , / "(a) > 0 , x > 1

Desarropo

a)

f '(a) < 0 , *<1 3 mínimo en x = 1, /(1) = 0[ f Xx) > 0 , x > 1 => (1,0) es mínimo

287

es punto de

Eduardo Espinoza Raí

l>) / "(x) < O, x < 1 cóncava hacia abajo

/ "(*) > 0 , x > 1 cóncava hacia arriba

f( 1) = 0 => (1,0) punto de inflexión.

Trace una curva atizada y = f(x) que tenga todas las siguientes propiedades.

f(0) =10, / ’(6) = 0 , f "(x) < 0 para x < 9

f(6) = 15, /'(10 ) = 0 , / "(9) = 0

f(10) = 0, /" (* )> 0 ,x > 9

Desarrollo

/ '(6) = 0 => x = 6 punto critico

/ ’(10) = 0 => x = 10 punto critico

/ " ( je) < 0 , x < 9, cóncava hacia abajo

/ " (jc) > 0 , x > 9, cóncava hacia arriba

/ "(9) = 0 =* x = 9 se obtiene punto de inflexión

/(0 ) = 10 =* (0,10)/(10) = 0 => (10,0) extremos de la función / (6 ) = 15 => (6,15)

< tit ulo Diferencial 289

Trace ima curva y = f(x) que tenga todas las propiedades siguientes:

f(-2) = 8, / '(a:) > 0 para | x | > 2, / "(x) < 0 , para x < 0

f(0) = 4, / '( 2 ) = / '( - 2 ) = 0 , / " ( * ) > 0 , para x > 0

f(2) = 0Desarrollo

(jíj) Trace una curva continua y = f(x) que tenga las propiedades / '( j t ) > 0 , x < 2.

/ '(*) > 0 , x > 2.

a ) / '(-*■) es continua en x = 2

b) Si / '( * ) -» l cuando x -> 2~ y / ' ( x ) - > - l cuando x -> 2 +

c) f ' ( x ) = 1 para x < 2, / ' ( jc) = -1 si x > 2

Desarrollo

8)

b)

___ Eduardo Espinoza Rat

Dibuje una curva continua y = f(x) que tenga las siguientes propiedades.

a) / (2 ) = / '(2) = 0 , f(0) = 2

/ "(x) < 0 para x < 1, x > 3

/ "(x) > 0 para 1 < x < 3

b) / (2 ) = / '(2 ) = 0 , f(0) = 2

/ " ( * ) > 0 , V xDesarrollo

a)

b)

.*/. alo Diferencial 291

*) Dibuje una curva continua y = f(x) que tenga las siguientes propiedades.

f(0) = 10, f ' ( x ) > 0 para x < 0 , f ’(x)> 0 p a r a x < 0

f(-3) = 0, / '(jc) < 0 para x > 0, / "(*) > 0 para x > 0

f(3) = 0Desarrollo

í) Demuestre que una curva cúbica cuya ecuación es de la forma y = a*3 +bx2 +cx + d , a,b,c * 0 tiene solo un punto de inflexión.

Desarrollo

dyy = ax +bx +cx+d => — = 3ax +2 bx+c

dx

d 2ydx2

= 6ax+2^ = 0 , para obtener los puntos de inflexión

Como 6ax + 2b = 0 => x = - - valor mínimo para x por lo tanto la ecuación cúbica.

, • „ b ab3 b3 be .Tiene un solo punto de inflexión que; x = — , y = -------+ ----------+ d3 27 9 3

i ) Trace una curva y = f(x) para x > 0 o si f(l) = 0 y / \x ) = — para x > 0 , en dichax

curva necesariamente cóncava hacia arriba o hacia abajo.


Desarrollo

Como / '( * ) = —, x > 0 => f ' ( x ) = — ^ x x 2

Luego V x > 0, / "(x) < 0 , la curva necesariamente es cóncava hacia abajo.

2.22. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN PROBLEMAS ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA.-— »s —m m — -— a i s a i i g i g i i — a— —-------—%--------- m—¡—

" V " ... "I"'."'?'"' "f """ .....'"n"l """ ■iM-.'rajriiirriTli.rrvn-niTi ii-TA) COSTO TOTAL, COSTO PROMEDIO Y CO S IO MARG1WAL.-

y = f(x) costo total

x = unidades de un articulo

— yy = — = — 1-- costo promedio (costo medio o por unidad)X X

dy— - f '(*) costo marginal ¡dx

El costo promedio es mínimo cuando el costo medio y el costo marginal son iguales, es decir las curvas del costo marginal y el costo promedio se acortan en su pumo mínimo del citado costo promedio.

B) PROBLEMAS.-

l ) Para cada una de las siguientes funciones de costo promedio, obtenga el valor mínimo del costo promedio mínimo, y demuestre que dicho promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales.

I ¿h ulo Diferencial 293

a) y = 25-8-x + Jt2Desarrollo

»

Como y = — => y = xy = jt(25~8.x: + jc2) x

y = Jc3 -8 x 2 +25* => — = 3x2 -1 óx + 25 costo marginal dx

el valor mínimo del costo promedio mínimo es cuando:

y = — => 2 5 -8 x + x 2 = 3x2 - 16x+25 dx

2x2 ~-8x = 0 => 2x(x~ 4) = Q =» x = 4

^ mm = (25 ~ S x + x2 )| = 2 5 -3 2 + 1 6 = 25-16 = 9

b) y = 2 + x \n xDesarrollo

— y — 2y=z— =} y = xy = 2x + x lnjcx

y = 2 x + x 2lnx => — = 2 + 2xln x + x dx

— dvcomo y = — para el valor mínimo

dx

2 + x In x = 2 + 2x !n x + x => x(ln x + 1) = 0 =* In x =-1 => x - e " 1

y min = ( 2 + x l n x ) \ , = 2 + e ~ l \n e ~ l = 2 - - y min » 2 - 'e e

c) y = 2 e x + e~xDesarrollo

Eduardo Espinoza Ramot

y = — => v = xy = 2xex + xe~x x

— = 2ex + 2xex ~xe x +e x dx

como >' = — para el valor mínimo dx

2ex + e~x = 2ex + 2xex -xe~ x +e x => 2xex -xe~ x =0 => x(2e2x- I )

=> e2x = — => 2* = In— =$ x = — In 22 2 2

— —In 2 —ln2 2 r— /— p> W ,= 2 e 2 + e 2 = - ^ . + 72 = V2 + V2

d) y = 3x + 5 + —*

Desarrollo

y = — => y = xy = 3x2 + 5 x + 6

dy — dy— = 6x + 5, como y = — para el valor mínimodx dx

3x + 5 + — = 6x + 5 => 3x = — => x2 = 2 => x = ±V2x

= 3>/2+5 + 3>/2=6V2 + 5y,™ = (3* +5 + )

, c I«e) y = 2x+5 + —x

Desarrollo

> = -^ => y = xy = 2x2 + 5x +18

= 0

12V2 = 22

dy — dy— - 4x + 5 , como y = — = para el valor mínimo dx dx

, t 18 18 22x+5 + — = 4x+5 => 2x = — => x = 9 =» x = ± 3

x x


- 18 J^in = (2 x + 5 + — )

X= 6 + 5 + 6 = 17

jc=3

f) y = 20 + 2x2 +4x4Desarrollo

y = — => y = xy - 20x + 2x3 + 4x5 x

= 20'+ 6x2 + 20x4 , como y = — para el valor mínimodx dx

20 + 2x2 + 4x4 = 2 0 + 6x2 + 20x4 => 16x4 +4x2 = 0 => x = 0

y miB=( 20+2x2 +4x4)| =20u-0

g) y = 10~4x3 +3x4Desarrollo

y = — => y = xy = 10x - 4x4 + 3x5 x

dv i d — dy—- = ÍO -16x +15x , como v = — para el valor mínimo dx dx K

10- 4 x 3 +3x4 = 1 0 -1 6 x3 +15x4

12x4 - I2 x 3 = 0 => 12x3(x -1) = 0 = > x =10

^min = (1 0 -4x3 + 3x4)| = 1 0 -4 + 3 = 9U-1

296 TEduardo Espinoza Ramo| I ii h ulo Diferencial

h) y = 6x + 7 +36

Desarrollo

y = — => y = xv = 6x2 + 7 x + 36

¿y — fjy— = 1 2 x + 7 , como y = — = para ei valor mínimo <¿x t/x

X-±y¡6

y min = 6 x + 7 +36

t-\Í6= 6n/6 + 7 + 6V 6=12>/6 + 7

Para cada una de las siguientes funciones del costo totaí evalué e) costo marginal, ■

determine el comportamiento dei costo marginal (si es creciente o decrecienle).

a) y = 1000x-180x2 +3x3 b) y = 220 + 55x - 2x3 + x4

Desarrollo

a) — = 1000 - 360x+ 9x2 costo marginaldx

7+12^1 1

Desarrollo

a) y ~ y f x + 25

í/ y -1

1¿y__________dx l / x + 2 5

costo marginal

dx¿4(x + 25)2

■ < 0 para 0 < x < 10 es decreciente

- y s i x + 25y = _ _ ~ ----------- costo promedio

X X

dy X 4 5- < 0 para 0 < x < 10 es decreciente

d x 2x2Vx"í 5

b) y = 9x + 5 x e ~ 2*

~ ~ 9 + 5e 2x - 1OxtT2' costo marginal dx

d 2yf = -10<r21 - lOe"2* + 2 0 x e ~ 2x = - 2 0 e ~ 2x + 2Q xe~ 2x

dx‘

~20e 2ji(x - 1 )< 0 para x < l es decreciente

297

— =• 1 0 0 0 -360x + 9x2 => ^ = - ^ = ( x - 2 0 ) 2 dx dx 9

El costo marginal es decreciente para x < 20 y creciente para x > 20.

b) — = 55 - 6x2 + 4x3 costo marginal dx

Determine el comportamiento de las funciones de costo promedio y marginal ('creciente (

decreciente) para cada una de las siguientes funciones del costo total.

a) y = Vx + 25 , 0 < x < 10 b) y = 9x + 5xe-lx

= 20e~2x( x - l ) > 0 para x > 1 es crecientedx

y = — = 9 + 5e~2x x

— = -10<? 2x < 0 , para 0 < x < 10 es decreciente dx

Para las siguientes funciones de costo total obtenga la ecuación de la tangente en el punto de inflexión, con una aproximación de la función cerca de ese punto

y = x - 6x +14x + 6

Eduardo Espinoza Ramai i nimio Diferencial 299

— = 3jc2 -1 2 x + 14 => dx dx

Desarrollo

- = 6 * -1 2 = 0 para el punto de inflexión es decir:d ry _

6x - 1 2 = 0 x = 2

x = 2, y = 8 - 2 4 + 28 + 6 = 18 =£ p(^» 1

mL = dydx

= 12-24+ 14 = 2

L: 2x - y + 14 = 0

' jc=2

L: y - 18 = 2(x - 2)

La empresa denominada fabrica de maquinas herramientas de precisión tiene una funci de costo total representada por la ecuación y = 2 r ’ - 3x2 -1 2 * , en donde y representa ti

costo total, y x, la cantidad producida.

a) ¿Qué ecuación representa la función de costo marginal?

b) ¿Cuál es la ecuación de la función de costo promedio? ¿En que punto este eos

promedio alcanza su valor mínimo?

c) ¿Es el anterior un conjunto de ecuaciones que podría esperarse encontrar realmenl

en la practica? ¿Por qué?Desarrollo

a) C.M. = —- = 6x2 - 6 x- 12 costo marginaldx

b) >’ = -= - 2x: - 3x - 12 función de costo promedio x

;= != ■X

y = — para obtener su valor mínimo dx

, 32x2 - 3 x -1 2 = 6jc2 - ó x - 1 2 => 4x -3 x = 0 =* x - ~

en donde x ~ ~ alcanza un punto mínimo.4

c) No porque C.T. no esta en el 1er cuadrante.

©

La función de ingreso total de la empresa compañía manufacturera de muebles coloniales,se expresa mediante ¡a ecuación: I = 24.*-3x2 , en la que I es el ingreso y x es lacantidad vendida.

a) ¿Cuál es el ingreso máximo que la compañía puede esperar suponiendo que la ecuación anterior es valida?

b) ¿Qué ecuación representa la función de ingreso promedio para esta compañía?

c) ¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de ingreso marginal de csia compartía?

d) En el mismo sistema de coordenadas, grafique las funciones de ingreso total promedio y marginal?

Desarrollo

a) / = 2 4 x -3 x 2 => / - 4 8 = -3(x2 - 8 a +16)

/ - 48 = -3(x - 4)2 . Luego el ingreso máximo es 48

b) 7 = — = 24- 3 a ingreso promediox

c) — = 24 - 6x ingreso marginaldx

La compañía Anto S.A. fabrica gabenites para aparatos de televisión, y el costo total de

producir cierto modelo esta representado por la ecuación: y = 4 x - x 2 + 2x3, en donde y

representa el costo total y x representa la cantidad producida (su valor numérico son millones de unidades). El departamento de ventas ha indicado que la producción x debo estar entre 2 y 6 ¿En que cantidad es mínimo el costo marginal? Explique su respuesta y grafique el costo marginal.


Desarrollo

y = 4 x - x 2 + 2 x \ 2 < x < 6

dydx

- 4 - 2 x -f 6x2 Costo Marginal

Para x = 2, dydx

= 24 es mínimo*=2

Si la formula general para la función de costo total es C.T. = f (.x) = ax3 + bx +cx+d

a) ¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de costo marginal?

b) Que ecuación corresponde a la función de costo promedio?

Desarrollo

a) C.M . = / '( * ) = 3ax2 +2bx + c , función de costo marginal

b) y = = ax2 + bx + c + —, función de costo promedioX X

La siguiente generalización se hace con frecuencia para las relaciones que existen en las funcione de ingreso total (I.T.), ingreso promedio (I.P.) e ingreso marginal (I.M.).

Cuando l.M = 0 , l.T. e s t a a su punto máximo

Cuando l.M > I.P., I.P. es creciente

Cuando l.M < I.P., I.P. es decreciente

Cuando l.M = I.P., I.P. novaría

Ilustre lo anterior con un ejemplo que esta a su alcance, o uno de este libro.

Desarrollo

La solución es similar ai ejercicio 6 y 7

( aleuto Diferencial 301

I -23, ELASTICIDAD (TASA DE CAMBIO PROPORCIONAL).

Si y = f(x), La Elasticidad de y con respecto a x se expresa así:

Ex ~ y dx

2.24. FÓRMULAS PARA EVALUAR LA ELASTICIDAD - ARCO ENTRE LOS PUNTOS (x ,,y ,) Y (x2,y 2).-

___

y _ *1 y 2 -vi _ x¡ 4 y_ £ , -vi ’-v2~*i y.x’^

■ elasticidad - punto en (Xj, y, )

y x 2 y2 ~ >’i XT Ay--- -------.--------- = — .— = elasticidad - punto en ( x . , y, )Ex y2 X2 ~*i y2 A*

= h Z l k = h . +x2 Ay_ ' Ex yt + y2 \ - * i .vi + >2 a * ~

elasticidad - punto medio

[2.25 ELASTICIDAD - PUNI O SIN AMBIGÜEDAD.

La elasticidad de y = f(x) en (JCj.y,) es:

H~jII

*1

E% y, dx t-s y.>

i , J 6 ‘ GENERALIZANDO LA ELASTICIDAD DE y CON RESPIS I O A x |

_ Ey x dy

— E * ' y ' d x


27. ELASTICIDAD DE LA DEMANDA.-

Y ‘i Y- i

Pre

perfectamenteelástica

Pre perfectamente

ineSásticac ci0

i0

0 cantidad X 0 cantidad X


I 2 28. ELASTICIDAD CRUZAPA.-

La Elasticidad de demanda por A con respecto al precio de B.

E yB XA d X B

— = la elasticidad de la demanda donde y = f(x) y es el precio, x es la cantidad dy

demandada.

La elasticidad -■ arco cruzada cuando cambia de y B cambia de y B a y B y xA cambia

de x . a x es determinado por:

yB¡+ yBl

Ey, \ +x,s y Br y B¡

2.29. ELASTICIDAD CONSTANTE DE LA DEMANDA.-

Si x = — es !a función de demanda: — = -a m v m 1 y m dy

y dx y -m-K y -m-k vm+laniy~m~l_ i. — = —(—amy = m ') = - - ---------------~ - mE x dy x _f*_ a

y m

Luego la elasticidad de la demanda es la constante - m.

\'230. PROBLEMAS..

(T ) Para cada una de las siguientes funciones de demanda:

a) Determine la elasticidad - arco en el punto especificado.

b) Obtenga la elasticidad - arco en el punto correspondiente.

c) Determine la elasticidad - punto en los dos puntos.


d) Evalué la elasticidad - arco con base en ios valores medios de cantidad y precio, y

. d'y dxe) Demuestre que -— 'v — son reciprocas entre si

dx dv

A) ,v = 6 0 - 2 y 2; x = 10, y = 5, el precio disminuye 8%

Desarrollo

La elasticidad - arco de la demanda es:

Ex ... y A**

*

*

, y. = 5 el 8% disminuye ~ 4,6Ey x Ay 1

Xj = 1 0 s x2 -17.68

Ex _ 5 x2 ~ x{ _ 5 -7.68. 7.68 7 M =E v I 0 ' y 2 - y l 1 0 - 0 .4 0.8 8

Ex _ y dx Ey x dy

5= — (-4 y) = -10

y=5

L . = h ± l i. * = . i i ^ L í Z Í » ) _ -6.66Ey x l + x { Ay 10 + 17.68 -0.4

dy dx . dy dx ,— y .— son reciprocas si — — = 1dx dy dx dy

x = 60~ 4y2 =* — = -4vdy

, . dy dv 11 = ~4> — => • —= ------

dx dx 4y

dy dx l dv dx— = (“4y)(------) = 1 entonces y — son reciprocasdx dy 4 y dx dv


B) x + 2y = 15, x = 7, y = 4 el precio aumenta 5%

Desarrollo

yx = 4 , y2 = 4 + (0.05)4 = 4.2

Xj = 7 , x2 = 6,6

L - 2 . < ü ) = í . ( 5 ± 2 ) = í (i l ) = 14Ey x y 2 - y , 7 4 .2 -4 7 0.2 7

En forma similar para los demás ejercicios que se obtiene usando las formulas establecidas.

C) x = 25 - 5y2, x = 5, .y = 2 precio crece 5%

D) Jt = 1 0 -5 y 2, x = 5, y = 1, el precio crece 10%

E) y = (x -1 0 )2 , 0 < x < 10, x = 8, y = 4 la cantidad de demanda disminuye 5%

F) x —19 - 4y2, x = 3, y ~ 2, el precio disminuye 5%

G) x = 3 6 -4 y 7, x = 20, y = 2, el precio aumenta 5%

H) y = (x - 4): , x = 1, y = 9, la cantidad demandada aumenta 30%

( 2 ) Obtenga la elasticidad de la demanda y con respecto al precio x, para cada una do lirsiguientes funciones.

a ) y - — b ) y = ( x - 8 ) 2 , 0 £ x < 81 + 2x~

\ ~bx 10c) y ~ a e d) y * ~

y*


e) y = 100- 5 jc2

Desarrollo

a) y = — ~ T =* >, + 2P ;2 = 3 => 2y*2 = 3 - y =4 X2 = 1 - ^ = - - - 1 1 + 2* 2y 2y 2

___ 3* = l l ~ L =* ^ = ___ 2 _ _ . d x = _ J _

p y 2 d x 2 ^ 3 _ _ 1 ” <6’ ^ 3 - y

b) y = (* -8 )2 => x-% = s[y => x = % + y[y =* ***<*y 2^/y

c) \ = ae~bx => e bx = — => -foe = In — => x = - - I n —a a b a

1dxdy

1= _ _ £ - = -

b y a

fry

10d> * = —

dx _ _ 50 ~ - i dy “ 4 V

dx 25dv -

2y4

____ 1, 2 2 1 0 0 -y flQO-y dx 5e) y -1 0 0 - 5.x => x = ---------- x = J --------- =» — = — == -=

5 \ 5 dy 2J Í 0 0 - y

dxdy ¡100-y


2.31. INGRESO TOTAL, INGRESO MARGINAL Y ELASTICIDAD DE LA DEMANDA.*

y = f(x) función de demanda

ingreso total R (o bien I)R = xy = x f{x)

x = numero de unidades demandadas

y = precio por unidad de la cantidad demandada

dR dy— = + y dx dx

Ey x dx

ingreso marginal con respecto a la cantidad demandada

elasticidad de ia demanda con respecto al precio.

dx 1Como — = - — por lo tanto

dy dydx

dR y „ 1 ,_ = — + , = , a + _ > <* 1 . S - ’O + T '

[2.32 PROBLEMAS.-' ~ —— -

( j y Cuando los ingresos de una cierta persona eran de $ 300 al mes compraba 20 litros deleche en dicho lapso. Cuando su percepción monetaria aumento a $ 350, pudo comprar 24litros de leche mensualmente. Suponiendo que no hubo cambio en el precio de la leche o algún otro factor relevante. ¿Cuál es la elasticidad de la demanda de leche con respecto a los ingresos de dicha persona?

Desarrollo

Nos pide la elasticidad de la demanda

E xa _ y B¡ + x a , ~ x a , = 300+350 2 4 -2 0 _ 650 4 = 13E ~ x . + x . y_ — yB ~ 20 + 24 350-300 “ 44 50 11y, “3 "1


Cuando el precio de una articulo de A era de $ 5, se vendía 100 unidades de otro producto B. Cuando el precio de A disminuyo a $ 4, se vendieron 120 unidades de B ¿Cuál es la elasticidad curzada de la demanda para B en términos del precio de A?

Desarrollo

Ext _ yB, + yB, xa, ~ xai 100+120 5 - 4 220, 1 11£ *4 + * . y« 5 + 4 120-100 9 20 ~ 9-v» A -S “i B¡

Cual es la relación entre la pendiente (positiva o negativa) de la curva del costo promedio y la elasticidad del costo total, respecto de la cantidad producida?

Desarrollo

CP = costo, promedio, Ect = elasticidad de costo total

Cuando CP < 0 entonces, £ , < 1Ct

Cuando CP = 0 entonces, Ect = 1

Cuando CP > 0 entonces, E . > 1Ct

CMDemuestre algebraicamente que la elasticidad del costo total es igual a E = —— en

CPdonde CM es el costo marginal y CP es el costo promedio.

Desarrollo

dy dy E - x dy dx dx C M

c‘ y 'd x y y C.P x

Para cada una de las funciones de demanda siguiente demuestre que la relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda esta dada por la ecuación:

, Ec‘ C.P


a) y = 5 5 0 -3 a - 6 a2Desarrollo

R ~ xy - 550x - 3jc2 - 6a3

— = 550-6*~18*2 , - = - 3 -1 2 a dx dx

E x _ y , 1 550- 3 a - 6 a 2 6jc2 +3JC-550Ey x dy a( -3 -1 2 a) 3a + 12a2

dx

I . I . 3a + 122>'(1 + - t - ) = >’(! + — 5-------------- ) = y (l + — 5-------------- )

Ex 6a + 3a -5 0 0 6a + 3 a -550Ey 3 a+ 12a2

(5 5 0 -3 a- 6 a2)(6a2 +3a-5 5 0 + 3 a + 12a2) , , 0 2 dR---------------------- -----------------------------------= 550- 6 a -1 8 a = —6 a + 3a - 550 dx

dR n 1 x^ = y a + T - ’

Ey

b) y = 3250a3

R = xy =

Desarrollo

3250 dR 6500 2 ^ d x ~ -3

y =

x ax x

3250 d y _ 9750a3 dx a4

1 >_ * V _ 3250 _ 1Ey x dl x 9750 9750 9750 3

dx xA

I . 3250 l . 6500 dR „ 1

E, 3 K,

i) y =17 -

y = 1 7 -

R = xy =

* '+T_JE

d) y = 100

>- = 100

R = xy-

* i - ¿


6xDesarrollo

, d \6x => — = -6 dx

- \ l x - 6 x 2 => — = 17-12x dx

1 y 6 jc- 1 7j y - 6 a 6a

dx

\ /i . 1 x /i 6jc . , 6 a - 1 7 + 6 a x-) = yd + 17) = y ( l+ - — —) = y(—- — — )6 x - 1 7 6jc —17 6 x - 1 7

6x

w - t x n i x - m ^ = „ , + - L ,6at —17 dx

-6 x 2Desarrollo

-6x2 => ^ = -12x dx

100x - 6 a3 =* — = 100~18a2 dx

J_ _ y 1_ _ i0 0 -6 x 2 _ 6x2 -100d y x 12* —1 2jt2 “ 12 a 2dx

s 1 6x2•) = y ( l+ — r---------) = y0 + — =--------)

6x - 1 0 0 6x - 1 0 0

6 x 2

,12a-2 - 1 0 0 , , 2 12a2 - 1 0 0 , 1/v,= >’(— -,-) = (100—6* X— ------------------- ) = 100 - 12a:

6a2 - 1 0 0 6 a2 - 1 0 0

t*s ¡

tri


= 100 - 2 a2 = y(l + -^ - ) dx Er

233, FORMAS INDETERMINADAS.-

A) REGLA DE L’HOSPITAL.-

lim = lim cuando f(a) = g(a) = 0x->a g(x) x -* a g '(a)

lim — = iim — — cuando f(a) = g(a) = °° g(a) x-*° g '(a)

En ambos casos se puede repetir este caso si persiste la indeterminación.

t a M = ü m ^ = , i m n í )*->« g(x) x->a g "(A) x^,a g "'(x)

B) PROBLEMAS.-...„........ ....................

Evaluar los limites siguientes.

Desarrollo

e y ey ey e°°lim —z = lim — = lim — = — = «>

y* V“»®0 2y y— 2 2

@

lim —ex

Desarrollo

A 1 1 1 .lim — = lim — = — = — = 0

t>X X-»W f>X g°° M

hm ——, k > 0 k->°° x


Desarrollo

l n x r . 1lim —t~ = lim = h m -----= 0k ->«> X fcxn ‘ k—*eo./¿xn

.. ex - e ' hm-*—*Q senx

Desarrollo

i™ ex -e ~ x ex +e~x e°+e° 1 + 1 „hm ---------- = hm ----------- = ----------= ------= 2* -» o senx * -* o e o s je c o s O 1

x->0 x 2

Desarrollo

X 1 e x + ____L _lim í ^ í í ± i H = lim _ V t l , lim ____< £ ± l ¿ = í l ü = l ± l = 1

X *~>o 2x x- > 0 2 2 2

s e c x + 1 h m ----------x -> * (S x

2Desarrollo

1 4- p n c ^. . s e c x + 1 Í + c o s j c 1 T W ! * 2 1 + 0lim —-------= hm -----------= — ------= -------- = |

JL tg x * senx 12 2

. . ex +e~x - 2 hm -------- ------as-~>0 x

Desarrollo

,im £ l ± í ^ = lim £ l i £ l = . ¡ m ^ = ^ = i ± i = 2 =1*-+o 2x x->o 2 2 2 2

lim - - - , h > 0X—*eo £>X


@

©

©

Desarrollo

A**“1 Hh-Dx *-2 h ( h - l ) ( / t -2 )...2.1 u_ M _ nhm — = h m -------= h m ---------------- =... = h m ------------- ------------= hm — = 0x —»oo g x x-^oo q x e * x —>*> e x-*°° e

i m ^JT—+1 ctgnx

Desarrollo

1.. ln(l - x ) ,, i_ .r sen^nx 2n sen n x eos nxhm —- ----- hm —— — = hm —---- = hm ----------- ---------* -» i ctgnx *~*i - n c o s e c n x ( 1 — jc ) •*-*i —1

lnxhm-*“ »1 X 2 - 1

Desarrollo

lnx x 1 1hm —-— = hm — = lim— r-= — *-»! x -1 *->' 2x *-»i 2x* 2

sen2xhm = -------*-»o x

Desarrollo

sen2x 2$enxcosx ... A¡un------- hn i------------------ 2sen( 0) eos 0 = 0x —>0 X x —*0 1

s e n x - x hm ----- -—x-»0 x

Desarrollo

s e n x - x co sx -1 -senx 1hm ----- — = lim -------— = hm —-— = - -* - » 0 x jt-*o 3jc x—>0 ox 6

x hlim

lnxDesarrollo


lim = lim ---— = lim hxh = O*—■►“ In x x—>*> 1 x-i°°

x

lim ~jr_»ooDesarrollo

e c e e elim — - lim — — = lim ---------------------... = lim ---------------- = lim — -x~*°° x h(h — \)(h — 2) jc-»~h(h — \)...2.1 A!

ex ~e x - 2 senx lim-■»->0 3jt

Desarrollo

.. ex - e * 2 s e n x e* + e * -2cos;c ex - c x +2senx lim ----------r-------= lim---------- —------— = lim ---------------------

3 * 3 x -> o 9 x x -> o 1 8 x

'-»o x- -$ e n x

.. ex + e r + 2cosx +e^ + 2eos0 1 + 1 + 2 1-■ lim --------------------- = ---------------------~ -----------= —*~-»o 18 18 8 2

Desarrollo

e2x- \ 2elx 2e° 2lira-=--------- = hm------------- = ----------- = — = -2x~*ox - s e n x •*-><) 2* - eos x 0+cos0 -1

.. 2 - 3 e x +eI'm ------— --------*->0 2x

Desarrollo

2-3e~x +e~2x 3e~x - 2 e ' 2x -3e~x +4e~2x - 3 + 4 1lira---------- -------- = hm -----------------= hm ------------------- = -------- = —x~>° 2x 4x *~>o 4 4 4

lim^r--t—»00 X


Desarrollo

p p p' p p 00lira — = lim — - = lim — = lim — = — ~ — = <*>

x 3jc x~>o° 6jc x —><** 6 6 6

a4 - 4 x 3 +16 hm ------ r---------jt-»2 Jt — 8

Desarrollo

*4 - 4 *3 + ló 4x* -1 2 x2 4 x -1 2 8 -1 2 4lim ------ ----------= hm -------- 7-----= hm ----------= -------- = —x-*2 x — 8 x-*2 3x x_>2 3 3 3

20) lim4 - 3 e x -e~ 3x

*->0 4xDesarrollo

4 - 3 e x -e~ 3x ,, -3e*+3e~3x -3ex -9e~ixhm ---------r—— = hm -----------------= lira-----------------x—>0 4 x -*-*0 8jc x ~>ü 8

x3 - 4 x lim —-------x -> 2 X - 2x

Desarrollo

x * - 4 x 3a2 - 4 1 2 -4 8 .lim —------ = lira----------= -------- = — = 4x- •') x — 2x x~*o 2x~ 2 4 — 2 2

1 -c o s f -f2

@ lim------- — 2 .f-»0 14

Desarrollo

c o s í s e n t - t co s í-1 .. -sen ílira------- 7— — = hm —— — - lim------------------------ t— = hm-------- = lim-/—*0 ¡* t->o 41 / - * o 12 f »->0 2 4 í <-*0

x 3lim

•+• jc2 - 2Desarrollo

cosí _ 1"24""” " 24


x3 3x2 6x 6In n -------------= h m ----------= h m -------- = hm — = 01 ••*<?■*+ x — 2 *-*•- ex + 2x *->" ex + 2 ex

sen h-------- coshlim — — -------

Desarrollo

sen hh i- senh-hcosh cosh - cosh+ h sen hhm = —- — ------- lun------------------------------------------------------------ ---------- = hm---- ---------- ----------- =- hm

a-*o h h->0 h h~> o 3 h2 h->0

- lim cosh+cosh - k senh cosO+cosO-OsewO 1 + 1 1h~*o 6 6 6 ~ 3

4x2 + 3 x -6h m ---------------8* + 2

Desarrollo

.. 4x2 +3 jc- 6 8x + 3h m --------------- = h m -------- = °°

8A'+2 *-»'■» 8

l m , í ¿ ± ^y-»0 3 y 3 + 2y

Desarrollo

te , í ¿ t & = ]¡m „ ® ±í= 3v~»o3 y 3 + 2 y y->0 9 y + 2 0 + 2

lun —

Desarrollo

e* e~ lim — = lim — = oo*-»«■» * JC~*«> 1

limz-»0

se»! -- « ttz

Aen/¡ + /¡cosh 6h


Desarrollo

sen2z - sen2z 2 z eos z2 - 2sen z eos zlun--------- —----- = hm --------------- -r------------z->o z-*o 4z

2cosz2 - A z 2senz2 -2 c o s 2 z + 2sen2z= Urn-------------------------- -----------------------z->o 12z2

2cosz2 - 4 z 2senz2 -2 co s2z= lim -------------------- -----------------

-’-o 12z

,. -4zsen z2 - 9 z senz2 - 8 z 3 eosz2 + 4 sen2z = lun-------------------------------------------------------■->o 24z

-12z.senz2 - 8 z 3 cosz2 +4sen2z■ hm ---------- *-------------------------------z—»o 24z

-1 2 se« z2 -2 4 z 2 cosz2 -2 4 z co sz2 +16z4senz2 + 8cos2z = hm ---------------------------------------------------------------------------z-»o 24

-12se«z2 -4 8 z 2cosz2 +16z4senz2 +8cos2z 0 - 0 + 0 + 8 1= Jim----------------------------------------------------------- = ---------------- = —z->o 24 24 3

\ - s e n 2 xl u n -------------

n— x4 4

Desarrollo

1 - sen 2x -2 eos 2xh m ------------= lim -------------= 0

n re x — iX—>— y X—>—4 4 4

,, 1 + cosxh m ---------~*-**(k - x)

Desarrollo

1 + cos.t - s e n x .. senx cos* -1 1h m ---- — — = h m ------------ = h m ----------- = h m ------------- = — * —x-+x (j[ - x ) *-** - 2 (n - x) 2(n - x) *->* -2 (n - x ) -2 2


f e ....W .0 Q-

Desarrollo

tg d - s e n 8 see eos9 2sec' 8.tg6 + sen0l„n ------- -------= i,m ------------------_ iim ------------ 2------------«_>o Ql 0—>o 29 e-»o 2

_ 2$ecz 6.tg 9 + sen9 _ 2(l)(0) + 0 _ 0 _2 “ 2 ~ 2 ~

¡3) lim - 1- « » r ~ í

Desarrollo

<?*-l .. e* e° 1lim ■—---- = hm------- = -------= — = -1*-*ox - x x-*o2x-l 0 -1 -1

3) lim —JT—*—3 * + 3

Desarrollo

.. x3 + 27 .. 3x2 „h m --------- -• im i----- = 27.**->-3 .V + 3 x-> -3 1

Í ) lim —w x-> «> e x - - l

Desarrollo

jf* .. 2x 2 l¡m -------= hm — = !im — = 0j t -»~ g x — 1 g x x~*<>° g"®

| l t a , .S £ .^ «-»o ctg 2x

Desarrollo

. ctgx ~cosec2x 1 sen22x 1 ,. 4sen2xcos2 xh m— = hm ----------- — = -h m ------— = - l i m --------- -------x-*o ctg 2x x~*o -2cosec 2x 2*-*o sen x 2^-»o sen x

= — lim 4cos2 x = —(4) = 22 *->o 2 '

í álculo Diferencial 319

t g x - xhm-x-M) x — sen x

Desarrollo

t g x - x .. see x - í 2sec~x.tgx 2 2 ■ 2h m -5--------= hm ------------ = hm ------------— = lim — — = — -— = - = 2x-+o x —senx *-*o 1 - cosjc * »o senx *->o c o s ’ x eos 0 1

(w ) limln(sen x)

Desarrollo

£(«■- 2x)2 2

ln(je«jr) tg x .. sec2 a 1 1hm —i--------------------------------------------------------------- -r -- h m ------------------ h m ---= h m ---— = - =

*£ (K- 2x) x-¿L~M n~2x) x_*_ 8 X_¿LSeos x 02 2 2 2

sen x -sen 6 .19) hm -

x-*e x ~ 9Desarrollo

sen x -sen B .. eos .r .hm ----------------= hm ------- = eos 0x~*0 X — 9 X~>0 1

,, ey + seny -1hm --------- -—?-»•> ln(l + y)

Desarrollo

ey + sen y -1 ey +eosy . . . . . y ,h m ------------— = lim ------:— - = lim(1 + y)(ey + eos y) = 2y-*0 ln(l + y) y-*0 1 y-»o .

1 + y

ctgx hm —2—jt—»o ln*

Desarrollo

ctgx cosec 1 1lim — — = lun------—---- = - h m — — = - h m - ---------------- =x-+o ln x x->0 1 *~+0sen x x - x ) 2 s e n x c o s x 0

x


liuiU\(.\en2x)

> •<» In(senx)

l im ln(sé7í 2x)- lim

Desarrollo

2ctg‘ 2x .. 2 tg x 2 see" x 2— ----- = lim —2— - ------------- lim-

x-»o ln(senx) x-*o c tgx x-->otg2x *-*o 2. sec2 2x 2: 1

C) OTRAS FORMAS INDETERMINANTES.-

°°, 1“ , 0o, c®°, oo-oo se aplica la regla L’Hospital, expresado en la forma ^ o bien

® Si lim f ( x )g (x ) = oo,0, donde lim f ( x ) = y lim g(x) = O entoncesx —*a r —t/i r —

lim /(x )g (x ) = lim = lim 1 ^ -x —>û x —>a 1 x -+a 1

¿?U) / (* )

® Si lim g(x) = oo, donde lim g(x) = l y lim £ (x ) = °o entoncesr— r —k/7

í(x ) - B m V W1 1

ln(/(x)) g(x)

Si lim (/(x ))g(x) = O, donde lim / (x) = lim g (x) = O

lim (f(x ))gM = lim - = limx-* a x~>a 1 x~>a 1

ln /(x ) g(x)

® Si lim ( f ( x ) - g ( x ) ) = oo-oo , donde l i m / ( x ) = oo, iim ,g(x) = oo entonces:ï — r— r—kn

1 1 1

l im ( / C * ) - S ( * ) ) = l i ni í — , —x ~>a x-HJ f ( x ) g i X ) X~>a 1

g lx ) . f (x )

( 'álculo Diferencial 321

D) PROBLEMAS.-

® lim x 1"*1x-*l*

Desarrollo

i — - - lim a 1-*2 = !im = lim — |— = lim ln 'V- = lim = lim —

jc-»r *~»r 1 x-*v l__ x->v i - x —2 x x->\* —2 x 2ln x 1 - x2

@ lim xctg x *->o

Desarrollo

V x r 1 1 1 1lim xctg x - lim -----= lim — -— = — — = - = 1*->o x >0 tg x *->o sec x sec' O 1

@ limxln(íé;nx)X-»0

Desarrollo

. .. ln(senx) ctgx x 2x Ohm xln(se/i x) = lim ----- -----= lim — — = - lim ------= - hm —- — = = Ox—>o a--»o 1 jc—>0__ 1 x—to tg x *-»o sec x 1

Jí

i(4 ) lim z z —

Desarrollo

1 i Inz llimlnz! lim--- tan- 0hm z z = e‘~ = el z = e‘ z = e =1

( 5) lim tg x(lnsenx)

Desarrollo

K x—*~ 2

w In(senx) .. ctgx Ohm tg x.ln(senx) = lim --------------------------------------= hm ---— = — = O. ,* c tgx -co sec x -1

2 2 2


JC-+0Desarrollo

2x_7 limlnd+jr2)’" fa - 1? * lim-í±¿ lini—-— —

= e 1 - e ' - e2 -T liniln'I+A )'" hm--- j— lim-1 -- iim--- r --- .

Iim(l + x )x = £<-» = e * = e'~° 2* = e'-°i+* = c i =e --x—>0

3 lim X 2 cos ecxc tg xr ^ nA" »0

Desarrollo

lim .T2 cos ecxctg x = lim — ------ = lim -■*“*0 *->o senxtg x r ->ocosxtg x + senx see7 x

.. 2x 2x= lim -------------------- -— = lim -

8 j lim x lnxs- / x-->0

x~*° sen x + sen x see x JC->Osenx(l + sec x)

2 2 = lim --------------- T------------------- -------- = --------------= 1

x-*o cos x(l + see x) + 2 cosx see xtg x 1(1 + l)+ 0

Desarroiio

1

lim xln x = lim - - - = lim = - limx - -0 = 0x —>0 *-->0 1 X-+0 1 x-*Q

x2

lim(l+i(°rt x)c,g>x-M

Desarrollo

,;_ln(l+jfn x) )+senxri \rtex limbO-Mmx)**' !™ , linilim(l + senx ) g ~e*-* - e g = e ***x ~ e ' - e

x-*0

I illculo Diferencial 323

Desarrollo

-2

ln(¡4—) l"i— j2 !’”—T3- 1™—f j™—2 2

2 limln(l+-)* limxln(l+-> ¡ l+— 777: 2lim(l +—)* - e"~ x - e ' " x =e x = e x - e x = e1+0 = e

X

( l l) lim xe~xx->°*

Desarrollo

lim xe~x = Hm — = lim — = = — = 0X-±°o X->o* gX X-*oo gX g°° OO

( u ) lim (sQ cx-tg x)

Desarrollo

x 1 senx .. 1 - s e n x .. -c o sx 0h m (secx -fg x ) = lim ----------------= lim ------------= lim ---------- = — = 0

* 5 cosx cosx X_¿L cosx X_¿L -sen x 12 2 2 2

r|.l) lim(l + x)*

Desarrollo

1 i , In(l+x) .. 1r / , , w ü m ln d + J t)1 ^ra _ 0 _ ,lim (1 + x)x = e M* - e x = e * + * = « = 1

(i-i) l im x " ln x , n > 0jr->0

Desarrollo

1

lim xn lnx = lim = lim = lim — j = lim - x" = 0jc—>0 jc -» o 1 jc—>0 x n x~*°-nx " -*- *0

( is ) lim(<?*+x)* jt-*0


Desarrollo

1 - Y ln(e' +x) e'+l 1+1.. , , — limln(e +jc)' ton-------- !>ml iin (fJ +x)* = e***~+0

*-« x —e'-0e“+x = g!+0 — ^2

lim (1 + a x ) xX—»««

Desarrollo

* .. Mn(l+<w) ... a.. ,, — lini ln(l+ai)' tan-------- bum------ nlim (1 + a x ) * = e*~~ = í “ x = -e *—1+“ = ¿ = 1

, 1 1 x lim f---------- = = )*-i* Jt-1 V ^ T

Desarrollo

, 1 1 . .. - J x - l — (jc—1) 2-Vx -1lim (— - — = = ) = lim ---- i -— - = hm 1 -*->1 X — 1 VJC—1 x-iV ¿ 3 I 7

(X-1)2 -- VX -1

1 - 2 ^ 1= lim ------------- = — = +oo*->i* 3 ( x - l ) 0

lim(—-------— )x->\ Inx lnx

Desarrollo

lim(— -— ) - lim -—— = lim - x - -1*-»i lnx lnx jc—*i lnx *~>i

lim(—---------— )x~*i ln x x -1

D esarrollo

i w 1 x ( x - l ) - x l n x 1 - l n x - lhm(------------- ) = hm------ ---------- = hm ------------- - = hm*-►1 ln x x - 1 *-»i ( x - í ) l n x *->1 , x - 1 jt—»i' In x + ------

- in x

lnx+1

i rtlmlo Diferencial 325

l

= - l im — =£—- = - l i m— = - — Jr-*1 1 _1_ Jr—>1 X +1 2

X X2

® l im (x -l) í-x —>oo

Desarrollo

iim ( x —\ ) e x = lim — ~ = lim —Kr- = 0 X—>°° gX *->“ 2xe

( j j ) lim x 2ex

Desarrollo

.. 2 X r x2 2x 2 2 2hm x e = hm —— = lim —— = lim - 3- = — = — = 0X-t-oo X—>—00g x X—»-*0 g X 00

(l¿) l i m C í c / i x ) ' * ' '

x—*~2Desarrollo

limln(se«j:)*' lirarg.tln«nj: iim — lim—c~-~—_ „« ,_í ctgx ,-£-cosec x olim (sen x ) g =e 1 = e ! = e 2 - e ' =e -

nx -> —2

® lim (x + senx),gx *->0*

Desarrollo

In( jr+jfnjr)lim ln (jf+ «n*)'** lim tg x ia (x *s e n x ) ~ ~ ~ lim

lim (x + senx),gx = e ^ = «"•* = «"* c,«x =jc—>0*

1+cosi (l+cosjr)s#«jr- hm------ 5--------- - lim ---------- — 1 I_ x-tf xcosec x+casecx _ ^ »-o* ic o s íc j t+ I _ _ 1 _ * _

e~ ««

0 1 lim(l + <r*)e'

Desarrollo

l+CO»Jt¡tfnx

-coi«-1*

0


............. ........................................... , HmJSÍtOlint (I + «r x)e = e ' ~ - e ‘ " - e ’~~ eX .1 Í1UI’’t

x - limln(l+<T*) limer* ln(l+e"*) — ““

lim lim— -

lim xexx-*0*

>+«' = e ”° =1

Desarrollo

i .Í ¿ eX( - y ) ilim xe* = lim —~ = lim--- —— = lim e x = e“ =

x-*0* x—>0k 1 x —*0* _ 1 x —>0*

X X 2

lim (x- > J x2 + x)X—>°°Desarrollo

lim (x-Vx2- x ) - lim x h—¡— * ■.= lim----=1X-teo I 2 , X->~ / I

+ * 1+ . / 1+ -

= -1

lim(e* + 2x)xx-»0

Desarrollo

1 i ln (e '+ 2x) .. c‘ +2limln(e +2*)' lim--------- lm¡-lim (ejr +2x)-* = e ™ = * - - = é - ^ = e 3x->0

1lim x1“*1

X->V

Desarrollo

i i tirulo Diferencial 327

(IV) v T - x - v r + xlim-----——x-»0 X

Desarrollo

yjl—x - %/í+x -2 x 2um -------------------= lim — =====— = = ^ = lim -*-»<> x x-»o x(Vl - x + -v/T+x) x o /l-x + VT+x

» ) limíz ¿ E Ix ->0 x

Desarrollo

1 - - s / x + 1 - X 1 1 1lim------ = lira-----/==- = lim---¿ =----= —x->o x * -> 0 x ( l + > / x + l ) ^ 1 + V x + l 1 + 1 2

© limcosecTTxlogxx—>1

Desarrollo

logelimcoser xlogx = lim-- : - = lim---—---= -l2i£ .*-»i x >i se m zx x >i ~ n c o s t t x n

lim(x-2)e 1Desarrollo

lim (x-2)e“J[J = lim ~ ~ ~ = lim —~ = — = 0x —°o x —>*° g x x—>«» 2 x e r 00

lim x2e~3x

Desarrollo

lim x 2e~3x = lim 4 - = lim„3*2x

3e?* = lim9e3x

=1 = 0

lim sen xlnxx-»0*

Desarrollo

ts | r-4


1_.. , .. ln x y s e n x tg x nhm sen x ín x — l im ---------- = k m ----------—------— = — lim ------ 2— = 0

x-->0’ eos ec x x ->o* - eos ec x ctg x x-*o* x

(35) lim e~,gx-sec2 xK~JC—>—2

Desarrollo

2 sec2 x 2sec ~ x t g xhm e * sec x = lim -------- = h m ------ — —

X * e'gx * sec x e lgxx~+~ x x - * ~2 2 2

_ tg x . sec2 x _ 1 2 2= 2 lim -2— = 2 hm — --------- = 2 h m -------= — = — = 0

* ' e,gx s e c x e ,gx e>gx e“ 00X—T X —i X—> 2 2 2

lim (jc-4)JI>-16x->4

Desarrollo

h m (x -4 ) ' ° = < ? = e ■* ~16x~>4

limí l s lÉ l lim(ÍI4K^±4,. 2 x (x - 4 ) _ 2.r _ e ° .

hm**«**.(-»1

D esarrollo

r l*1* . 1 1r #«ff , lim In xc,gKi hm cigKx.lnx “ J f , - --------- 5—C*gKX=i¿>x , =-**-*1 * — TTXSCC TTJC ~ /ÍT

CtiKX

lim *"*nx = e'“’1' ” = ex-»l

= í?"

lim (x + l)*** Jx -* c r

Desarrollo

,, in(jr-l 1lira ln(x+l) ** lim c/y.x.!n(*-fl) í ín --------- *,mlim (jc+1) ** = e ’-*~ ' _ e *-*r v.t _ *«r(x+l) iec x g \ _ ~ g

í lilculo Diferencial 329

( 8 ) lim(jt2 +a)*

Desarrollo

1 1 - i- ln(*2+o) 2x2 - limln(j+a)' ton-----ton-j— 0h m ( j t +a)* = e x~ = e‘~" x = e‘" x+ú = ¿ = 1X—>00

(«») lim tg xcosx

Desarrollo

.. , / x ,• ln /gx sec* eos*lim in (tgx ) hm cosjcln( tg x ) l im — 2— h m — =— l im — =—_ *' *" secjt tg x sen x ~

lim fg *C0SÍ = e 2 =- e "2 = e ’ 2 = e 2 = e' 2 = é = 1n~

x —>—2

(4l) lim sen x ,gx

Desarrollo

jrX—>— 2

!im ln($<?rí.c)'*' lim rg*ln(jCTiJt) lim — lim —^ x - -X H~ x K~ T (y~ CtgX x K~-COSeC Xlim jc) gx - e 2 - e 2 - e 2 - e 2

K~x —>—2

lim -e o s x.sen x

= « ~ í = e - o = i

( ••.’) lim x2e_JCX-*ooDesarrollo

2 ,• *2 r 2x 2 2hm x e = hm — = hm — = hm — = — = 0jr-->oo *-->«» g x x— ^ * *-»«> ^ * oo

® lim(l + cí2) ' t —>0

Desarrollo

c , £ .. c . „ 2c*2/-> - UmbiO+cf V lim-ln(l+cr) lim— r nlim(l + cí2)' = e " = e -> = = e° = 1/-♦O


® lim (sena)tgaa - + 0 ‘

Desarrollo

.• ln(jíiia)hm ln(jé»na>* lim tg a \ñ {s e n a ) to a-----------

hm (sen a ) s ~ e a =ea =e"*° agaa - * 0 *

c ig a,u» ~ ; ¡ira -cosasena . e „-*> coseca _ _ g -0 _ j

t

Desarrollo

i limlnt*2-1 lim-j—- lim—ij- Ilim x* _! - í?“"' - e " 1 x ! -.tf'-'í-c = ¿2*-+1

1,4é) lim (ev -l)-v

y—»«Desarrollo

1 - ?n( cfy—1) ¡j e iv , y i -,v limln(f’-l)' ™ — — lim-f- lim--y- lun(ey - l ) y = « ’— - e y = ey e 1 = ex~~e =e =ey -* oo

lim (coaecx)senxx~*0*

Desarrollo

,• ln(cosecjr)lun InCcosecx) lim senx'micosecx) «n i--------------

lim (cosecx) = e*-°* -<>” ■>* = e"*° cmecxx~+0*

cig X*5 ~ ~ ~ T ~ lim -s e n x

lim x2cosccxx~>0

_ g . .0‘ - c o t e c x c lg x _ e , . ^ ■ _ c -0 _ J

Desarrollo

r 2 X2 ,, 2x 0 „lim x cosecx = lim —---- = lun------- - — = 0•*-*0 x-*osenx »-»ocosx 1

i Mlo Diferencial 331

n ,7tó. lim—/£(— ) «-♦o (¡> 2

Desarrollo

n i M .—see (— ) 2k .. 2 2 Klim - t g ( - ~ ) = n hm —------- — = —

ip-* o <p 2 0->o 1 2

lim (1 + x2 )x

Desarrollo

1 , i ln(l+j?) .. 2x,• 2>T limtaO+jt )* ™ —— Üüüi+r2 „0 _ ,hm (l + x ix = e " ~-e x =e =e - 1

lim xsen-

Desarrollo

a a ,asen— — j-cos(—) ^lim x sen — = lim = lim — — —— = a lim cos(-) = acosO = aX—>o® X X->«> 1 X—>°° 1 .X—>oo X

üm (jt - 2x)tg xx —t -2

Desarrollo

, .. n ~ 2 x 2 2lim (tt - 2x)tg x = lim ------------------------------- = lim ----------- r - = — = 2K ~ ---X—>—2

¿L ctg x x_>* cos ec2x 12 2

lim x luxt—>0

Desarrollo

lim x2 In x = lim —- = lim = lim - -— = 0x~»0 jc-*o 1 x—>0 2 *“*0 2

7

Eduardo Espinazo. Ra

üm (l-/£ 0 )sec2 0

Desarrollo

r /1 1-igB .. -se c 2 6 2 ,l¡m (\~igQ\sec29 = lim ---- - h m -------------- —- = - = ie->~ e->~ eos20 e^ - 2 s e n 2 9 2

4 4 4

. . . 1 1 lim(------------ -)i —*i* Inx x ~ l

Desarrollo

1 _ I , _ IIim(—--------— ) = = lim --------- —r = limjf—*1* lnx X~1 Jt~>0 (x - l) ln x Jt->0, X -l *~»0. , 1v ' ln x + ------ ln x + 1 —

1

: lim A ., - litx, _ 1 _ = 1x—>0 1 1 JC--»Ü X + l

~ + TX X

lim ( 4 l - x 2 - l ) * “ 1

Desarrollo

.. , r ----2 t liratníVi^-ir' BmU-OwVW-J) —hm (V2 - x2 -1)* = e~r - e~r = e *~l

x-*y~

.. In\/Í--?~1 hm----- ~ ----- -

I til cu lo Diferencial 333

i CAPITULO III

/ : / > c R" ■-> R / w = / ( * , ,* ■ > , . . , x „ )

I*1 ’• d i f e r e n c i a c i ó n p a r c i a l .-

Sea z = f(x,y) una función de dos variables

La derivada parcial de f con respecto a x es:

dz _ ?*f(x,y)~ üm f ( x + Á x ,y ) - f ( x , y ) dx dx Ax-*o Ax

La derivada parcial de f con respecto a y es:

oz __ 5/(v,.y) _ 1¡m / (x ,y + A y )~ /(* ,y )ijy ■ dv A»-*p Ay

I -'-J- " ¿ » r o b í S m a s . '

( í ) s¡ u = xy - ln (xy), determine ux y uy

Desarrollo

u = xy - ln (xy)

du 1ux = — = y —

dx x

- x _ -5y

x - v(2 ) Si z = ~— determiné zx y zv

x + y


Desarrollo

t r + v1» _ t v _ ví 9(JC+y)z _ dz _ __ y_ __ dx_ y) dx _ ( - t+ y ) - U - y ) _ 2y

3* ( * + y )2 ( * + y ) 2 ( * + y ) 2

dz 2y••• ?b = t - = -3-x (x + y )2

^ ( * + y ) | - U - y ) - ( * - y ) | - ( * + y ) '_ 3z _______ 3 y ___________ 3y_______ - ( * + y ) - ( * - y ) __ 2x __

y 3y (x + y )2 (x + y)2 (x + y )2

dz _ 2xy 3y (x + y )2

XSi z = yey , determine zx y zv

Desarrollo

X £ X _ *« , d x „ 1 i az y

z = — = yey - ( - ) = yey ( - ) = e y •• 2 * = ^ - = *3x dx y y 3x

X X X X Xdz y o(y) , y d .x. ..... , y . x yz = - _ = : e > _ _ - + y e>’_ . ( _ ) = e y(l)+ y c>(— r-) = e y 3y dy dy y y¿

_ dz _ y ~ a * ~ 3y ~ y e

2 2 x — ySi z = ln(—------ ) , determine zx y z y

x z + yDesarrollo


3 / 7 2\ 3 / 2 2\r * ^ íx ~ r > y ) ____________ 2 í _* 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ebr j r - j r ; r + ) r j r - y . j r + ) r

2 2 2 2 2 ,x + y - x + y N 4xy( 7 ^ 7 ) _ 7 7 7

3 / 2 2\ 3 / 2 2\- y ) v - U 2 + y2) dz dy 3y -2 y 2y

y 3y x2 - y 2 x2 + y2 x2 - y 2 x2 + y2

^ x 2 + y 2 + x2 - y2 4yx2 _ —2y( - - ) - - - .. z,x - y x - y

0 Si u = sen (xy), determine w* y wy

Desarrollo

3« dx du

u = sen (xy) =>«t = — ■ = ycosxy

dx

uy = — = xcosxydy

\ 6 ) Si z = yfxy, determine zx y zy

Desarrollo

3;(xy)

3x 2^/xy 2*jxy_ 3 z _ a x w .. y _ 1 (y

2 \ x

v-(jcy) dz dy Xjc _ 1 172 J w ~ 2 > j y3y 2yjxy 2yfxy

Si z = ea“+fev’w , determine z„., zv y zM

3z 4xv2 3a ~~ jc4 - y 4

3z _ 4x2y 3y " a:4 — y4

= 3 z = i 17x dx 2 \ x

_ 3 z [7y ~ d y ~ 2 y y

Desarrollo

Eduardo Espinosa Ramos

r. 3Z _ + &v2 + _ ¿ « + V W (fl)5« 3«

_ _ flM+fcv +CW3,0 Cw — - ~ MC

da

Zv — (au+bv2 + cw?) = ¿" ,4*v,+e"'(2&v)dv dv

^ = 2bveau+lnl+c*?dv

dz _ „ au + bv'+ cw 3 &zw = — = ea“+M'W ^ -(aw +fcv‘ + cw3) = Í 0“^ +cw (3c M'2) dw dw

zw= | i = 3c»vV,,+*v Wavv

Si m = x2y + y2z + z2* , demuestre que: ux + uy +uz = (x + v +z)2

Desarrollo

u = x 2y + y 2z + z2x => ■

ux = 2 x y + z 2

uy = x2 + 2yz , sumando

u = y2 + 2 «

«* + a + «j = jc2 + y2 + z2 + 2(xy+ jcz + yz)(jc+y+z)2

ux + uy + uz = (x + y + z)

i y i ySi z = x sen(—)+ y cos(—) , determine xzx + yzvx x r

Desarrollo

< álculo Diferencial 33'

7 y y y3 vxzx ~ 2 x sen -xy eos ■■■- + — sen — ... (1)-Y X X X

y y y2 yZy •- je eos—+ 2 veos-— — sen—X X X X

3

yz = .<ycos--+2y? eos—- — sen -- ... (2)X X X X

ahora sumamos (5) y (2) se tiene: xzx + yzy = 2x 2sen— + 2y2 eos—x x

m si z = eos (xa) sen -'yu), determine. zx , zy y zu

Desarrollo

z = eos (xu) sen (yu) => zx = ^ - = sen(yu)— cos(xu) = -usen (yu) sen (xu)dx dx

dzdx

zx - —- ~ - u sen(yu) sen (xu)

óz 3zv = - - = eos (xu)— (sen yu) = u cos(.xa)cos(ya) dy dy

zv — = u cos(xu i.eos( ya)dv

z„ = cos(jcm) ■— (sen yu) + sen(yu) ~~cgs(xv) = « cos(*a)cos(ya) - x sen(yu) sen (xu) du du

zu - = ucos(xu)cos(yu)- xsen(yu)sen(xu) du

® ~\2 p\2 pt 2Si z = xy + y ln (xy). Demuestre que: x —- + y ------- = y2—-

dx2 ' dydx dy2

Desarrollo

Eduardo Espinom Ramos

. . . dz y d2z / - xy + y m <xy) =* —- = y + — => -dx

dzdy

* dx2y I

L M 1 ü

= jc+!n xy + 1z = xy + y ln (xy)

d2z , i r a2z vT T ' = 1+_ H y ~ ~ - ~ y + - óydx x oyox x

ahora sumamos (1) y (2) obteniéndose:

dz

. ó2z dx2 dyiix

z = xu + y in (xy) => 32z 13.y

jc-f-ln.xy-1 , -3y y

(i)

,(2)

(3)

.(4)

, ... .... . d2z d2z 2 $2Zcomparando (3) y (4) se tiene; x ——+ y ~ — - = y ——dx oyox dy

r — T d it d 2u d u d 2uSi u - i jx - y ‘ , demuestre que: = — . —-dx dxdy ay dx

Desarrollo

t iilt uío Diferencial 339

du _ y

¿y

du d2u ydy dx2 4 ( x - y 2)2

du d2u du d2uahora comparamos (1) y (2) obteniéndose:dx dxdy dy dx2

fijj) Si z = xy + xey , Demuestre que: -Z = ---- -d.vdy dydx

Desarrollo

dxdy y 2 y 2

3.t3y. dyáx

x + y 32v d2v(H) Si v = -----—, Demuestre que:x - y dxdy dydx

Desarrollo

3v ( * - y ) - ( * + r ) . 2ydx ( x - y ) 2 ( X - y ) 2 ( x - y ) 2

dv _ 2y d2v _ 2(x+y)dx ( x - y ) 2 dxdy ( x - y ?

(2)

v 3z ~z = xy + xey => — = y + e ydx

3 Z = 1 “ f T = l - f - - (1)

i I Iy 3z 32z e* y 2 - e yz ^ x y + x e y => — = a------ - => —- - = 1— r = ~ -..r ... ...(2)

ay y oyox y L

02 g2a 1 comparar (1) y (2) se obtiene:

(1)


0 d (X- y ) (x + y) _( x + y) —- ( x - y )dv _ ______oy______________dy _ ( x - y ) + (;t+y) _ 2x~dv ( x - y ) 2 ~ ( x - y ) 2 ~ ( x - y ) 2

dv _ 2x d2v _ 2(x+ y)dy ( x - y ) 2 dydx ( x - y )2 7 ~ ~ J (2)

3^v d2val comparar (1) y (2) se tiene:

Si z = 2x - 2 y - 3 x - 4 x y , demuestre que:

dxdy dydx

d2z d2zdxdy dydx

Desarrollo

z = 2x2 - 2 y 2 - 3 x - 4 x y 2 ~ = 4 .r -3 r 4y2dx

d2z ■ = -8 y ...(1)dxdy

z = 2x2 - 3 y 2 - 3 x - 4 x y 2 => — = -4y-8;<ydy

d2z 8y ... (2)

al comparar (1) y (2) se tiene:

dydx

d2z d2zdxdy dydx

7 •> 327 d2?Si z = ln(x + y ) , demuestre que: —- + — - - 0dx1 dy2

Desarrollo


. . 2 2\ 2y d~z - 2 (y2 - x 2)z — ln(x + y ) - 2 =* . 2 — / 2 2\2 —(2)

ay x + y dy (x~ + y~)

, 32z d ? z 2(y2 — A'2 ) 2 (y2 - x 2)al sumar (1) y (2) se tiene: ——+ —— = —-------— --------------------- ---------------- — = 0dx2 dy2 (x + y ) (jc + y )

* £ + * £ = 0 dx2 dy2

(Í7) Si f ( x , y ) = x3e*2+y, Determine f x , f y , f v

Desarrollo

f ( x , y) = x 3ex'+y => f x( x, y) = 3x2e*2+y + jcV ’^ 2x = (3x2 + 2x4 )ex‘+y

f y(x,y) = 2xiex+y

fx = (3-^2 + 2x4)e y => f„ ( x , y ) = ( 3x2 +2x4)ex+y

@ Si f ( x , y ) = Ax+By + Ce2y , determine / „ , f vy, f xy

Desarrollo

f ( x , y ) = Ax+By + Ce2y f x(x,y) = A => f xx(x ,y) = 0

f y(x ,y) = B + 2Ce2v => / yy(x,y) = 4Ce2y

f x ( x , y ) - A => f xy(x, y) = 0

19) Si / (* , y) = x2 eos y + y 2sen x , Determine / yv,

Desarrollo

f ( x , y ) = x 2cosy + y 2senx => f x(x,y) = 2xcosy + y2 cosx

/«(*> y ) = 2cos ■*


/ (x , y) = x2 eos y + y 2senx => f y(x ,y) = ~x2seny + 2y senx

f yy (x, y) = - x 2 eos y + 2 sen x

f x(x ,y) = 2xcosy + y 2 cosx => f xy(x,y) = -2 x sen y + 2yco%x

Si / (x ,y ) = x3 + 3x2 y+ 6xy2 - y3, determine f „ ( 2 ,3 ) , f yy(2,3), f xy(2,3)

Desarrollo

/ (x ,y ) = x3 +3x2y + 6xy2 - y 3 => f x (x ,y) = 3x2 + 6xy+6y2

/ „ ( * , y) = 6x + 6y porlotanto ^ ( 2 ,3 ) = 12 +18 = 30

/ (x ,y ) = x3 + 3x2y + 6xy2 - y 3 =f f y(x ,y) = 3x2 + I2 x y -3 y 2

f yy(x ,y) = 12x -6 y porlotanto (2,3) = 2 4 -18 = 6

/ ,(x ,y ) = 3x2 +6xy + 6y2 => /„ (x .v ) = 6x + 12 y

^ ( 2 ,3 ) = 12+36 = 48

Si / (x , y) = x4 - 4x3y + 8xy3 - y4 , determine /„ (0 .1 ), / w (0,l) y /^ (0 ,1 )

Desarrollo

/ (x ,y ) = x4 - 4 x 3y + 8xy3- y 4 => yj.(x,y) = 4x3 -1 2 x 2y + 8y3

/ Xt(x,y) = 12x2 -24xy => /„ (0 ,1 ) = 0(

/(x ,v ) = x4 - 4 x 3y + 8xy3 - y 4 => f y(x,y) = - 4 x 3 + 24xy2 - 4 y J

/ v>(x,y) = 48xy~12y2 => f „ ( 0,1) = -12

f x(x,y) = 4x3-1 2 x 2y + 8y3 => /^ (x ,y ) = -12x2 + 24y2 => /^ (0 ,1 ) = 24

Cálculo Diferencial

22) Si / (x ,y ) = 2x2 - 3xy + 4y2, determine /,(1 ,-1 ) y f y ( 1,-1)

Desarrollo

/ (x ,y ) = 2x2 -3xy + 4y2 => / r(x,y) = 4 x -3 y => / i ( l , - l ) = 7

2a‘23) Si / (x ,y ) = — —— , determine / x ( 3 , l ) y / y ( 3 , l )

x yDesarrollo

/ (x ,y ) = —— => f x(x ,y) = ----- => / (3,1) = - —= - —x - y ( x - y ) 2 4 2

f y (x ,y )= “ => / ( 3 , 1 ) - - - -(x - y ) 4 2

23) Si / (x, y) = e J\se/j(x+2y), determine / ( 0 , -T-) y / (O,—)4 y 4

Desarrollo

/ (x ,y ) = e *«>«(x + 2y) => / t (x,y) = - e -Jcsert(x + 2y) + e~*eos(x +

/• /a 7T TT 7T . ./ . ( O ,- ) = -sen — + cos — = -1 + 0 = -14 2 2

/(x , y) = e~xsen(x +2y) => / (x, y) = 2<TJ: eos(x + 2y)

/ >(0 ,^ ) = 2 e o s | = 2(0) = 0

x2v225) Si w = — :— , demostrar que: xwr + yw„ = 3w ' y x + y x y

Desarrollo

x2y2 xy2(x+ 2y) x2y2(x+ 2y)w = ------- => w, = - ¿ - i----- => xw = — — — -H-x + y (x + y )2 (x + y )2

Eduardo Espinoza Ramo» ■

yx2(2x+y) y 2x 2(2x+y)w y ~ ~ --------------- T ~ = > y w y = ~ -------- :r ~

(x+yY (x + y )2

(x + 2y) | x2y2(2x + y) _ 3x2y2(x + y) _ 3x2y2 (x + y )2 (x + y )2 (x + y )2 x + y

xwx + yWy = 3 w

Si u = ln (x + y + z), demuestre que: Inux + lnuy + ln uz = -3 u

PesarroHo

u = Jn (x + y + z) =$ ux = -----------=> ln« = -ln (x + ;y + z)x + y + z

u y = ---------------=> lnm = - ln (x + y + z)x + y + z ’

lnw = -In (x + y + z)x + y + z

lnux +lnMy +lnw, = -31n(x+ y + z) = -3w lnux + ln iív + ln« ; = -3«

Axn + Byb JlZ/J Si u = — ---------, demuestre que: x«r + y«v = (n -2 )u^ Cx + Dy x y

Desarrollo

Axu + Byh _ (Cx2 + Dy2)Anxn~l - ( A x n + Byn )2Cxu =Cx2 + Dy2 ‘ (Cx2 + Dy2f

_ (Cx2 + Dy2)Anx" - 2Cx2(Axn + Byn) (Cx2 +Dv2)2

_ (Cx2 + Dy2)BnynX - (Axn + Byn )2Dy U y (Cx2 + Dy2)2

I illculo Diferencial 345

yuy =(Cx2 + Dy2 )Bnyn - 2Dy2 (Axn + Byn)

(Cx2 +Dy2)2

xux + yuy (Cx2 + Dy2 )Anx" - 2Cx2(Axn + By") + (Cx2 + Dy2 )Bnyn - 2Dy2 (Axn + Byn)(Cx2 + Dy2)2

(Cx2 + Dy2)(A/xx" + Bnyn) - 2(Cx2 + Dy2 )(Axn + By") (Cx2 + Dy2)2

_ (Cx 2 + Dy2)[(Anxn + Bnyn ) -2 (A xn + Byn )] _ (n - 2)(Ax" + Byn) (Cx2 + Dy2)2 ~ Cx2 + Dy2

xux + yuy = ( n - 2 )u

(ík) S iu = f(x,y), v = g(x,y), ux — ’Vy y uy = -vx Demuestre que si x = rco s0 , y = rsen 0 ,

1 1entonces ur = - v a y vr = — ug

r rDesarrollo

9r

0r

^ 0

ur = ux.ur + uy.yr = ux cosd + uysenG

ve =vx-xe +vy-ye = —rsenB.vx + rcos0.vy

ur = v eos# - vxsen6 , — = - v xsenQ + v eos0

comparando se tiene: ur = —

vr = vx.xr + v ,yr = vx eos6 + v send


uB =ux.xe +uy.yd = -u xsen6.r + u eosd.r

= - u xsenO+uy eos6 = - v ysenO ~vx cosd comparando se tiene: vr = —

Si u = f(x,y), x = r eos 0, y = r sen 0, determine u2 +--¡4 en términos de x e y.r

Desarrollo

*" ur = ux.xr + uy.yr = eos0.it, +send.uy

U0 «2 = eos 6.ux +sen 9.uy +2sen9cos9.ux.uy ... (1)

rue = Mx..re +Mv._ve = - r sen0.ux + rcosG.uy

® — = -sen0Mx + eosOji , de donder

- y = sen~Odix + cos29 m2 -IsenOcosQ.ux.uy ... (2)

O Ma ^ Aahora sumamos (1) y (2) obteniéndose: Mr + ~ = h* +

Si z = f(x,y), x = g(v,w), y = h(u,v), determine z„

Desarrollo

U

V

u

« = zx .xu + Zy .yu , derivando nuevamente

í 'álculo Diferencial 347

z«“ (zx.xu + Zy.yu) zx.xuu + xu. ^ (Zj.) + Zyym + yu — ( )

' UU 'X U U + -X« • ) + Zy ..y,,,, + . ( Zy ) .(1)

x rV

uvu

3 /0M - yX'^U Zyy-yu

... (2)

©

ahora reemplazamos (2) en (1)

~kh ~ zx.xuu + xu(zxx.xu + zxy.yu) + zy.ym¡ + yu(zyx.xu + zyy.yu)

Z¡1U ~ Zxx-Xu + Zyy ■ V,, + 2ZXy.Xu.Xy + 2. x -X^ + Zy ■)’uu ^

Si u = ln f x 2 + y , demuestre que: = - u yy

Desarrollo

u -- ln yjx2 + y 1 =~ln(x2 + y 2) ux =x 2 , 2 *c , 2 2\2x + y Á (xr + y )

2 2

=> « . « * *7 *2 + y2 w (x2 + y2)2

y2 - j r 2 j;2 - y 2' (x2 + y2)2 " ~ (x 2 + y2)2 '

Eduardo Espinoza Ramo\ Cálculo Diferencial 349

Si m = - y r = + y2 + z2 , demuestre que: k2 +Mv+m? = *T

Desarrollo

r yjx2 + y 2 + z2= (x2 + y 2 + z2) 2

ux = —

(*2 + y2 + z 2)2

y3

( je2 + y2 + z2)2 z

3

(x2 + y 2 + z2)2

Jl . „2 , ,2

* (je2 + y2 + z2)3 „2

Uy (x2 + y2 + z2)32

Z

, sumando

«? =z (jt2 + y2 + z2)3

2 2 2 J C + y + Zu i + u i + u : = — -------; ------- r r = — ; — t

1 1x " y z (X2 + y 2 + z2)3 (jc2 + y2 + Z2)2 ( r2)2 r4

2 2 2 Mx +Mv +M; - —

r

DIFERENCIAL TOTAL.-

Sea w = f(x,y,z) una función donde su diferencial total es:

dw dw dwdw = -— d x + -— dy+ —- d z

ex ay dz

DERIVADA TOTAL.-

dw Dw’ dw .Si w =f(x,y.z) tiene derivadas parciales ——, ——, — continuas y x, y, z soni

dx dy azfunciones de otra variable t, entonces:

dw 3tv dx dw dy dw dz

di dx dt dy dt dz dt

dwLuego a — se denomina la derivada total de w con respecto a t.

dt

En forma semejante, si w = f(x,y,z) y además x, y, z son funciones diferenciables

de r y s entonces ^ y pueden obtenerse así: d) ds

dw dw dx___4. dw d y . dw dzdr dx dy dr "dz dr

dw _ 9w dx___Ldw d2 , dw dzds 3.V ds dy ds dT ds

---------------------------------------- --------------------------------------------- ---------------3.6. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ÍM PI ICITAS.-

La ecuación f(x,y) = 0, define á x e y como funciones implícitas, entonces:

df d fdy _ dx dx dydx df dy df

dy dx

Si z define como una función implícita de x e y por la ecuación F(x,y,z) = 0, entonces:

dF& _3tc

d f’dF n dz dy dF n

dx ~ áF . para - - ^ 0 ; — = , para - - ^ 0

dz dz

í 3.7. PROBLEMAS.-

Si z = x3 + x 2 y - y3, determine dz

Desarrollo

d z = ~ d x + ~ d y = : (3x2 + 2 xy)dx + (x2 - 3 y2 )dy dx ay

dz = (3jc2 +2xy)dx + (x2 - 3 y 2 )dy


ISi u = ln(x2 + y2 + z2)2 , determine du

Desarrollo

u — ln(.x2 + y 2 + z2)2 =~ln(AT2 + y2 + z2)

, du , du . du , du - — dx+—- d y + — dz

dx dy dz

dx H— r— ~ — -rdy + ~ — -■-----dz = —.------ ------ r (xd x+ yd y + zdz)x 2 + y 2 + z2 x2 + y 2 + z2 x2 + y 2 + z2 x2 + y 2 + z2

Si u - em , determine duDesarrollo

du , du , du ,du = — dx +— dy + — dz

dx dy dz

= yzem dx + xzem dy + xye^'dz = exyz(yzdx + xz dy + xy dz)

Si u — ezsen((x - y )z ), determine du

DesarroHo

du , du , du ,du = — dx+ — dy+ — dz

dx dy dz

= ezzco s((x -y )z )d x~ zez (co$(x-y) z)dy +[ezsen(x - y)z + (x -y)e* cos(x-y)z]dz

= ez[z cos(* - y)z dx - z cos( < - y)zdy]+ [s<tj(.x - y)?. + ( x - y)cos(* - y)z]dz

Si z = I x 1 - 4 x y 2 + 3y*, determine dz

Desarrollo


(ó ) Si u - xy2z3, determine duDesarrollo

du = - ^ - d x + ~ d y + ~ d z de donde se tiene: du = v1zidx + 2xyzidy + 3xy2z2dzdx dy dz

( 7 ) Si x2 + y 2 + z2 = a2, determine dz

Desarrollo

Sea F (x ,y ,z ) ~ x2 + y 2 + z2 - a 2 , de donde Fx = 2x , Fy = 2 y , Fz = 2 z , entonces

— - - f j . _£ 9z _ Fy _ 2y _ ydx F, 2z z ’ dy Fz 2 z z

, dz . dz x , y , x vcomo d z = — dx +— d y = — d x - —dy dz = — d x - —dy

dx dy z z z z

(» ) Si u = x+ 4.x2y 2 - 3 y , x = P , y = - determine —t dt

Desarrollo

du du dx du dy , ,- ----- + --------, de dondedt dx dt dy dt

1 1 1 1

f = ( l+ 2 f ) 3 < í +<2T - - 3 ) ( - i )

y 2 x 2 y 2

( 9) Si x3 + y3 - 3 bxy = 0 , determine —dx

Desarrollo

Sea / (x ,y) = x3 + y 3 - 3bxy => f x(x ,y) = 3x2 -3by

f J x , y ) = 3y2 -3bx


dy _ /,(■*,y) _ 3x2 - 3 by _ x 2 -b ydx fy (x ,y ) 3y2 -3 b x y 2 - b x

11 dySi x + 2xy + 2 y ~ 15, determine — si x = 2, y = 3dx

Desarrollo

Sea f ( x , y) = x 2 + 2xy + 2 y ~ \5 , de donde f x(x ,y) = 2 x + 2 y ; f y (x ,y) = 2x+2

dy _ f x(x ,y) 2x + 2y _ x + ydx f y(x ,y ) 2x + 2 x + 1

2 + 3 5

, para x = 2, y = 3

dydx x=2 2 + 1 3

y=3

i i 1 dySi x - y - Axy = — , determine — si x = 2, y -~ 2

2 dx

Desarrollo

Sea / ( x y ) = x3 - y 3 -4 x y + -^; de donde f x (x, y) = 3x2 - A y ; f y(x ,y) = - 3 y 2 - A x

dy f x(x ,y) _ 3x2 - 4 y _ 3,r2 - 4.vdx f y(x,y) - 3 y 2 - A x 3.y2 +4x

, para x = 2, y = -2

dydx

- 3 (4 )-4 (-2 ) _ 12 + 8 = ( x=2 ~ 3(4)+4(2) “ 12 + 8 ~y —2

dySi Ax+ By + Cexy= D . determine —- si x = y = 0

dx

Desarrollol

Sea / (x ,y) = Ax + By + Ce** - D , de donde f x(x ,y) = A + Cyc** ; f y (x ,y ) ~ B + Cxexy


dy f x(x ,y) A + Cyexy— = — í--------------------------------------------- = -------- — , para x = y = 0dx f y(x ,y) B + Cxe*

A + 0 _ A dy Adydx x^ o 0 + 0 B dx B

13) Si Ax + By +Cz = D , determine zx , zy

Desarrollo

Sea F(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 - D , de donde

Fx(x ,y ,z ) = 2 A x , Fy(x ,y,z) = 2By , F,(x ,y,z) = 2Cz

Fx 2Ax Ax Fy 2 By ByZx~ Fz ~ 2 Cz ~ Cz ' Zy ~ Fz ~ 2 Cz ~ Cz

(¡4 ) Si xy + yz + zx = 9xyz, determine zx , zyX>

Desarrollo

Sea F(x,y,z) = xy + yz + zx - 9xyz, de donde

Fx(x ,y ,z ) = y + z -9 y z : Fy(x ,y ,z ) = x + z -9 x z ; Fz(x ,y ,z ) = y + x - 9 x y ;

_ Fx = y + z - 9 y z _ 9 y z - y - zF. y + x - 9 x y y +jc-9xy

y x + z - 9 y z 9 y z - x - zZy = - ~ = r = ---------------- --- = > Zy = — --------------

F y + x - 9 xy y + x -9 x y

Si xz = eos yz + a, determine zx y zy

Desarrollo

Sea F(x,y,z) = xz - eos yz - a, de donde

Fx(x ,y ,z ) = z ; Fy(x ,y ,z ) = zsen yz; Fz(x ,y ,z ) = x+ ysenyz


Fx z iZ = ----- i = -----------------------=> 7 = -----

F; x+ ysen yz x + yseny;

Fy zsenvz zsenn7 — —— — Z y —

Fz x+ ysen yz x + ysenyi

@ Si ex +ey +ez = axyz , determina yx

D e s a r ro l lo

Sea F(x, y, z) = ex +ey +ez - axyz , de donde

Fx(x ,y ,z ) = ex -a y z ; Fy(x ,y ,z ) = ey -axz; F¡(x,y,z) = ez -a xy

_ Fx _ ex - ayz Fy ey -a x z

Si F(x,y,z) = 0, demuestre que xy.yz.zx = -1

D e s a r ro l lo

* - Fy(-x'y - z) . Fz( x , y , z ) . z _ fyx.y.z)v Fx(x ,y ,z) ’ Fy(x,y,z) ’ * fyx.y.z)

Fy(*,y,z) F„(x,;y,z) f&y.z),

(TÍ) Si u = x3-3 x y + y3; x = r 2 +s, y = rs2 determine —dr

Desarrollo


du _ du dx ( du dy dr dx dr dy dr

.(1)

u = x3 -Sxy + y3 =>

du 2 *— = 3* ~3y dx

— = -3jr + 3y dy

r2 -

[_y = rs2

U: = r* + s = 2 rdx

^ = í2

(2)

(3)

reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

dudr

= (3x2 -3 y )2 r + (-3x + 3y2)s2 =6(x2 - y ) r + 3(-x+ y 2)s2

(iSy Si u = xy + yz, x = — , y = - — , z = t2 determine/ t dt

Desarrollo



-) + J>(2 0- te ' - e 'du .te1- e 1. ,

— = y(----5— ) + ( * + z)(dt r i 2

í - 1 .,3 ,3 (ite~* + «" ') + 2 e = 2(—r-) + (í + l)e

3z 3zSi z = x ln y + y ln x, x = eu v , y = e ~ determine — ,du 3v

Desarrollo

X ...

V

u

3z _ dz dx dz dy du dx du dy 3v

z = x ln y + y ln x => -

dz - y — = ln y + — dx x

dy y

\x = e

|y = <!

3jc

3z/■ = e

du

reemplazando (2) y (3) en (1)

(1)

(2)

(3 )


= (« - v + <T2v )eu+v + (e2v +u + v)eu~v = (u - v)eu+v + eu~v + eu+v (u + v)eu~

= (u - v + l)e“+v + (u + v + l)eu

Si z = ln(x2 + y 2) + y]x2 + y 2 , x = eu eos v , y = e" senv determinedu

z = ln(x2 + y 1) + -Jx2 + y 2

Desarrollo

dz 2xdx x

dz 2y

+ y 2 y j x 2 + y 2

dy x 2 + y2 y¡x 2 + y 2

jx = e eosv

[y = eusenv

dxdu

ÜLdu

- = e cosv

= e senv

dz __dz dx dz dy du dx du dy du

reemplazando (1), (2) en (3) se tiene:

dz . 2x x \ u , 2 y y „ „= (—------ + — = )e eosv + (- . _ + - = ¿ )e senv

+ y 2 ■Jx2'f y 2du x

, 2eu eos v eu eos v

' + y2 i jx2 + y 2

(- Jlu. „ ,2eusenv eusenvx „)e cosv + (----- —— H---- — )e senv

e ~ e" e~

= 2cos2 v + eu eos2 + 2 sen2v + eusen2v

= 2(cos2 v + sen2v) + eu (eos2 v + sen2v) = 2 + eu

Si u = xy + yz + xz, x = rs , y = 5r, z = r + s. Determine ur

Desarrollo

(1)

(2)

( 3 )


_ du dx du dv du dz dx dr dy dr dz dr

(1)

u = xy + yz + xz =>

x = ry = sr =>

z = r + s

dxd~rdydrdzdr

■ = sr

- s

= 1

dudxdudydudz

s ~ l

= y+ z

= X + Z

= y + x

(2)

. ( 3 )


ur = (y+ z)srs~l + (x + z )í + (y + x)(l) = (sr + r + s)sr* 1 +(r5 +r + s)s + (sr+r*),5-1

= s V + r5 + s2rs~l + sr* + rs + s¿ +sr+ rs = (s¿ +s + l)r4 + s V _I + 2 rs + s

ur = (s2 + s+ l)rs + s V -1 +2rs + s2

Si x In yz - y ln xz = 0, determine zc y zy

Desarrollo

s _i_ „2„5—1

ux = ln yz — x

Xu = x ln yz - y ln xz => \ y y = — lnxz

x yuz = -------

z z

= _«* = .Inyz-

x __x y

z(xln yz - y) x ( x - y )


— -ln x z= - i . - 2 --, . i í í z z ü « ) x ln ln xz

“< £ . 2 v (^ -y )Z Z

z(x - x ln yz) __ _ xz(i - ln yz) y (x ~ y ) v (x -y )

(24) Si exyz ~ ex +ey +ez , determine zv ; zy

Desarrollo

Sea F(x, y, z) = - ey ~ e z , de donde

Fx (x, y, z) = yze^2 - ex ; • Fy(x, y, z) = xz<?w - Fz (x, y, z) = x y e^ -

Fr yzexyz~ ex ex - y z e xyz---- -------------------zF, x y e ^ - e z x xyexyz ~ e z

Fy _ xzexyz- ey _ _ _ ey - x z e xyzFz xyeKy' - e z y xyexyz — ez

25) Si ex +ey +e' =ex+y+z, determine zx , zy

Desarrollo

Sea F (x ,y ,z ) = ex + ey +ez - e x+y+z, de donde

Fx(x, y ,z) — ex - e x+y+z ; Fy(x ,y ,z ) = ey - e x+y+z ; Fz(x ,y ,z) = ez ■

, Fx _ ex - e x+y+z ex - e x - e y - e z ey +ezZx Fz ez - e x+y+z ~ ez - e x - e y - e z ~ ex +ey

Fx(x ,y ,z) ey - e x+y+z ey - e x ~ e y - e z ex +ezZy=~Fz(x, y, z) ez - e x+y+z ez - e x - e y - e l ' ex +ey

ex+yu


I Si Mln(—)-H'ln(Mv) = 0 , determine uv , uww

Desarrollo

Sea F(u, v,w) = u ln(—) - wIîi(kv) w

V IV u wF (w, v,w) = ln(—) — - , Fy(M,v,w) = -™~ — , Fw(u,v,w) = -

w v v v w

«v = —

u wV V u(u - w)

V W Vln(—) — - v(u ln(—) - w)

w u w

U"' Fw !n' rtVi _ (iju + ln(Mv))

V W Vln(—) ---- v a u ln(—) - w)

w u w

.8 . APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA.- ________

A) COSTO MARGINAL.-

C = Q(x,y), función costo, conjunto de producir dos bienes x e y.

ac3*

acay

es el costo marginal con respecto a x

es el costo marginal con respecto a y

B) SUPERFICIES DE DEMANDAR

\x = f ( p ,q ), funciones de demanda donde x e y son los bienes relacionados, p y q

los precios.

Si una función de demanda de dos variables independientes es continua, podrá ser representada por una superficie denominada, superficie de demanda.


C) DEMANDA MARGINAL.-

x = f ( p ,q ), las funciones de demanda de los artículos relacionados.

y = g ( p , q )

— es la demanda marginal de x con respecto a P. dp

dy— es la demanda marginal de y con respecto a P.3p

es la demanda marginal de x con respecto a q.a qdy— es ia demanda marginal de y con respecto a q.dq

D) ELASTICIDAD PARCIAL DE LA DEMANDA-

Las funciones de demanda para dos artículos relacionados son:

entonces las elasticidades parciales de la demanda están dado por:

x = f ( p , q )

y = g ( p , q )

E lEp

p dx Y { )= = -------------, elasticidad parcial de la demanda de x con respecto a« x d p

dxP, para un precio constante q = ci

a

Eq

-, —-(lnx)- l dx - d x—.— = ---------- , elasticidad parcial de la demanda de x con respecto al

X i r i n ^p=c, - — (lnç)dx

precio q, para un precio constante p = c2

3

E p

P dy ^ (lnj0—.— = --------, elasticidad parcial de la demanda de y con respecto al« ydp J W )

precio P, para un precio constante q = c3


- 1 = y dq d

dx

- (ln >')-, elasticidad parcial de la demanda de y con respecto al

(Inç)

precio q, para un precio constante p = c4. .

Ex . Ey

E< E p

son elasticidades parciales cruzadas de la demanda.

E) PROBLEMÀS.-

En el caso de las siguientes funciones de costo conjunto determine el costo, determine el costo marginal con respecto a x y el costo marginal con respecto a y.

a) c = x ln(y + 10)

c) c = ex + ey + xy + 5

a) c = x 1 ln(y + 10) =$

b) c = x3 + 2 y 2 -Ay + 20

d) e = x 2y 2 -3 x y + y + 8Desarrollo

= 2xln(y + 10)dedx

de

dy y + 1 0

b) c = x3 + 2y2 - Ay + 20

de 2 — = 3 x * - y dxdedy

■ A y - x

c) c = e +e} + xy+5 =>

dedxde

dy

= e + y

d) c - x2y2 - 3xy + y + 8 ==>■— = 2xy2 — 3y dxde

dy■ 2x2y - 3 x + l


( 2 ) En lo referente a las siguientes parejas de funciones de demanda determine las cuatro demandas marginales, la naturaleza de la relación entre los dos artículos y las cuatro elasticidades parciales de demanda. Las cáitidades se denotan por x e y, y los precios correspondientes por p y q respectivamente.

a)x = 2 0 - 2 p - q y = q - p - 2 q

b)x = 1 5 -2 p + q.y = 16+p - q

0x = 5 - 2 p + q y = S - 2 p - 3 q

' x = — 4x = — p q

16 pq2

_ 4

d)P

y = ¿q

e) 0pq16

y = — pq

Desarrollo

a) x = 20 - 2p - q

dxdp

dx

dq

= -2

= -1

y = 9 - p - 2q => I -

I ' “ 2

como y < 0 y ~ < 0 , los artículos son complementarios.


E y _ q dy g ( 2) 2q 2 qE q y dq y y q - p - 2 q

b) x = 1 5 - 2 p + q =>

dx

dpdx

Ü?

= -2

= 1

[ * = 1dp

dy _

dx dcomo — > O y - - < O los bienes no son competitivos ni complementarios

dq dq

2/>a: dp x \ 5 - 2 p + q

a * .= i ï ë = i n ) ~ qEq x dq x \ 5 - 2 p + q

Ep y dp y 1 6 + P -0

£ y _ <¡ dy _ <¡ ( g

£ 0 y ' 1 6 + P -?

c) x = 5 - 2p + q =>

3x

3/3dx3<?

= -2

= 1

y = 8 - 2p - 3q =*

dy

Í*Ldg

= -2

= - 3

|>o


como —— > 0 y < O , los bienes no son compatibles ni complementarios. dq dq

£ l _ £ ^ £ / _ 2 ) = 2 P E x dp x 5 - 2 p + q

P dyP y dp y

_ q dx q

(-2) = - 2/>S - 2 p - 3 q

E x dq 5 - 2 p + q

& - 2 p - 3 q

dx _ q

dp p 1 dx _ Î

dq p

v = -

dy _ 2 p

dp q

d y _ ^ _ Édq q2

!*- = £- ÈL = £.(-JL):E x dp x p 2 '

P (~ )

= -1

E y _ P dy _ p ,2 p . 2 p 2. = ü - = ü ( - ) =y y q „ , p

2q(^~)

q

= 2

E X _ g dx _ g ( 1 ) q 1

x d ? x /7 p ( í }


= 1 - q ( p l ) - p l = i ' / j '

Í.9. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN.-

La función de producción se representa por z - f(x,y) donde z es ia cantidad de un cierto producto, x e y cantidades de insumo.

».10. PRODUCTIVIDAD MARGINAL.-

Sea z = f(x,y,z) la función de producción

^ es la productividad marginal de x. dx

dz es la productividad marginal de y.

Si la función z = f(x,y) es una función con la propiedad

f (X x ,X y) = X.nf { x , y )

en este caso se dice que f es homogénea de grado n.

Si z = f(x,y) es homogénea entonces x ~ + y ~ = n f(x ,y ) esta relación se conocedx ay

como Teorema de Euler.

.11.Si una función de producción z = f(x,y) es lineal homogénea entonces:

dxdzr—dy

= f ( x . y )

Producción total de la producción f üc‘or * debido al factor y


3.12. CURVAS DE PRODUCTO (6 PRODUCCIÓN) CONSTANTE.-

La función de producción z = f(x,y) se estudia con frecuencia considerando la familia de curvas f(x,y) = constante en el plano XY, estas líneas dos o mas nunca se cortan, reciben el nombre de curvas de producto constante.

3.13. FUNCIÓN DE UT1LIDAD.-

La función de utilidad es: u ^ f ( q v q2)

donde q{ y q2 son las cantidades de los bienes Q¡ y Qz que aquel consume.

tLa diferencial total de ia función de utilidad u = f ( q l,q2) es:

du = f xdqs + d2dq2

donde / , = ~ ; f 2 =dq i dq2

3.14. PROBLEMAS.-

( j ) Para cada una de las funciones de producción siguientes: obtener las productividades marginales, la producción se designa con z y los insumo mediante x e y.

a) z = 2 5 - — en x = 1, y = 1x y

Desarrollo


dz 1 | 3z— = — para x = 1, —OX X OX

- 1 . La productividad marginal de x en x = 1JC-l

dz 1= —r , para y = 1,

dy ydzdy

= 1. La productividad marginal de y en y = 1y=l

b) z = 5xy~2x2 - 3 y 2 , e n x = l , y = l

Desarrollo

La productividad marginal de x en x = 1, y = 1 es

dx■■ 5 y - 4 x

dzdx jr=l

y=t

= 5 - 4 = 1

La productividad marginal de y en x = 1, y = 1 es

= 5 —6 - — 1dz , , dz— = 5 x - 6 y => —- dy dy ( i ,D

c) 16z2 - z - 8 0 + 4 ( j t - 5 ) 2 + 2 (y -4 )2 = 0

Desarrollo

Sea F(x,y, z) = 16z2 ~ z -8 0 + 4 ( jr -5 )2 + 2 (y - 4 )2 , de donde

Fx(x, y, z) = 8(x- 5), Fy (x, y, z) = 4(y - 4 ), F, (x, y , z) = 32z -1

dz Fx(x ,y , z ) -8 (x -5 )La productividad marginal de x es:

La productividad marginal de y es: —

dx Fz(x, y ,z) 3 2 z - l

dz Fy(x ,y ,z ) - 4 (y -4 )dy F„(x,y,z) 3 2 z - l

d) 6 z3 - z2 - 6 z - 24 v + x2 + 4.y2 + 50 = 0

Desarrollo


Sea F (x ,y , z )~ 6 z i ~ z 2 - 6 x - 2 4 y + x 2 + 4 y 2 +50

Fx(x ,y ,z ) = - 6 + 2 x , Fy(x ,y ,z) = - 24 + 8 y , Fz(x ,y ,z) = 18z2 - 2 z

3z FA.(x,y,z) 2 x - 6 x - 3La productividad marginal de x es: — -

La productividad marginal de y es:

dx Fz(x ,y ,z ) 18z2 - 2 z 9 z2 - z

dz _ Fy(.x,y,z) 8 y - 2 4 4 y - 1 2

3y Fz(x,y,z) 18z2 ~2z 9z2 - z

( 2) La función de producción de COBD - DOUGLAS, para la ciencia económica en su

aspecto integral (como un todo) esta dado por: z = axb yc, en donde z es la producción

total, x es la cantidad de trabajo, y es el monto del capital, y a,b,c son constantes, A menudo se supone que b .+ c = 1 ¿es homogénea esta función y de ser así de que grado es?

Desarrollo

Sea z = f ( x , y) = axhyc la función de producción total

f(X x ,X y ) = aXbxbXcy c - a X h+cxbyc , como b + c = 1 entonces se tiene:

/(A *, Ay) = aXxb yc = X(axbyc) = X f (x , y ) , es decir:

iÍAx.Xy) -■ Af(x,y) entonces f(x,y) es homogénea de grado 1 en x e y.

( 2 ) Para cada una de las siguientes funciones de producción, determinar el grado dehomogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala. La producción se representa por z y los insumos mediante x e y respectivamente.

a) z = 3x3 +5;ty2 + y3Desarrollo

Sea z - f ( x , y ) = 3*3 + 5xy2 + y3, entonces:

/(Ax,Ay) = 3A3*3 +5A3x>>2 +A3y3 = A3(jc3 + 5xy2 + .y3) = A3/( jt ,y )

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 3.


. . 14 20I») z = ---------x y

Desarrollo

C r . x 14 20Sea z = / (x , y) = ---------- , entonces se tiene:* >'

f í l 3 -i 2 ^ 2 ^ \ 1 -1 t / \/(A x,A y) = - — — = A '(----------) = A 7 (x ,y )A* Ay x y

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado-1

c) z = 25y6 - x 2y4Desarrollo

Sea z = / (x , y) = 25y6 - x 2 y4 , entonces se tiene:

/(A x, Ay) = 25A6 / - A6x2y4 = A6 ( 2 5 / ' - X 2 / ) =

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 6

3 25 6d) Z = -T + — + - T

X xy y íDesarrollo

, , , 3 25 6Sea z = / (x , y) = — 4 — + — , entonces se tiene:

jc xy y 1

, , , - , 3 25 6 , - 3 26/ (A x ,A y ) - +— — 5" — A (—-H-----+-A jü A xy A2y 2 x2 xy :

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado -2.

A6/(x , y)

-y) = A 2/(x ,y )

Además de la propiedad conocida como teorema de Euler Las funciones homogéneas lineales tienen la siguiente propiedad. Si z = f(x,y) es una función homogénea lineal, entonces:


z y z z— = 8 1(—) es decir ~ es una función de —X X X X

z x z z— = g2(—) es decir — es una función de —. y y y y

óz y Oz y— = /i, (—) es decir —- es una función de —dx x dx x

— = Ají—) es decir — es una función de —dy y dy y

á 2z _ y d2zdx2 x dxdy

d2z _ x d2zdy2 y dxdy

Determine si cada una de las siguientes funciones es homogénea, para las que lo sean, determine el grado y determine el Teorema de Euler: En el caso de las funciones lineales homogéneas demuestre también las otras tres propiedades citadas anteriormente.

a) z = 3x2 + 4jty + 15y2Desarrollo

Sea z = / ( x ,y) = 3*2 +4jcy + 15y2, entonces:

/(A x , Ay) = 3A2x 2 + 4A2.xy +15A2y 2 = A2 (3x2 + 4xy +15y2) = A2/ ( x , y)V


b) z = 4x3 + x 2y-3A y2- 7 y 3Desarrollo

Sea z = / ( x , y) = 4x3 + x2y - 3 x y 2 - 7 y3, entonces

F(Ax,Ay) = 4A3x3 + A3x2y -3 A 3Jiy2 -7 A 3y3

= A3(4x3 + x2y -3 x y 2 - 7 y 3) = A3/(x ,y )



C) z = 3ex +3eyDesarrollo

Sea z = f ( x , y) = 3ex + 3ey , entonces: F(Xx, Ay) = 3elix + 3eXy / X(3ex + 3ey)

por lo tanto f(x,y) no es homogénea

d) z = 6 ln 3~2x - ln 4~5>Desarrollo

z = / (* , y) = 6 ln 3~lx - ln 4~Sy = 12jcln 3 + 5 ln 4 .y

f(Xx,A.y) = -12 ln 3 A,x + 5 ln 4 Xy = 7J-M ln 3 x + 5 ln 4 y) = X f(x,y)


jt4 + 3 r y + A / + 6 y 4

Desarrollo

e) z = ,X

x +3x y +xy +(>y z = f ( x , y ) = .............. . ..entonces

x

, A4*4 + 3 A V y 2 + A V + 6A4y4f (X x ,X y) = ----- ------------- ------------------------

x4 +3x2y 2 +xy3+6y4 .- A(------ -L ---------------= X f ( x , y)x


í Z0 z = 3jcln3y -9 y ln 8 *

Desarrollo

- 2 3a2 9 y2Sea z = f ( x , y ) = 3 x la ey -9 y ln 8 * = -----ln3— ~SnE

y x

n l x , l y í = 3 í ! í ! í 2 - M ! ¿ J í É = = X f(x.y)Ay Xx y x



8).v6

Desarrollo

2 3X y -f- ySea z = f ( x , y) - :------— , entonces

x6

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado -3

x 2 +3xy + y 2h) z = --------- — —y3

Desarrollo

„ , , . x 2 + 3xy + y2Sea z = f ( x , y) = --------- -------------- , entonces se tiene:

y

f (X x ,X y) = i V = r ^ i l í ^ + y2)X y y3

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado -1

i) z = 4x2y4 +3y2x4Desarrollo

Sea z = / ( a , y) = 4.v2y4 + 3y2.«4 , entonces se tiene:

f (X x ,X y) = 4X6x 2y4 +3X6y 2x 4 - A 6(4x2y4 +3y2jc4) = A6/(*>y)


L _lj) z = 3x2ln a Jc:- 5 y 2ln ¿ '

Desarrollo

L i .Sea z = f ( x , y ) = 3x2 \na*2 ~ 5 y2 \nby = 31na-51n/>

374 Eduardo Espinosa Ramos

f (Xx, Ay) = 3 ln a - 5 ln /? = A °/(x, y) (función constante)

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado cero.

x 2 + xyk) z -

3.vDesarrollo

„ . x 2 +xySea z = f (x, y) = --------- , entonces se tiene:3y

, . X x +X'xy x2 +xyf(.Xx, Ay) = ---- —--------- = A(—— ¿-) = A f ( x , y)

3Ay 3 y


1) z = 3x2y + 4;iy2 + y3 + 10Desarrollo

Sea z = f ( x , y) = 3x2y + 4xy~ + y3 +10, entonces se tiene:

f (X x ,X y ) = 3X^x2y + 4Xixy2 + A3y3 + 10*A 3(3jc2y + 4;icy2 + y i +10)

por lo tanto la función f(x,y) no es homogénea

xym) z = -x + y

Desarrollo

xySea z = f(x , y) - —— , entonces se tiene:

x+ y

f(X x ,X y ) = = A ( - ~ ) = A f ( x , y)Xx+ Xy x + y


Cálculo Diferencial 37.

n) z = xy - ln xyDesarrollo

Sea z = f(x,y) = xy - ln xy, entonces se tiene:

/ ( Xx, Xy) = A2xy - ln A2xy * X2 (xy - ln xy)

por lo tanto f(x,y) no es homogénea.

( ? ) Si la función de utilidad de un consumidor esta dado por u = q{q2 y el consumida compra 4 unidades de 0, y 5 de Q2. ,

a) ¿Qué cantidad de 0, debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si sicompra de Qz aumentara a 6 unidades?

b) ¿Qué cantidad de 0 , debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si sucompra de 0, se incrementa a 6 unidades?

c) ¿Qué cantidad de Q¡ debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de 0 2 decrece a 4 unidades?

d) ¿Qué cantidad de Q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si sucompra de 0, decrece a 2 unidades?

Desarrollo

u ~ q xq\ para 0 j = 4 , 0 2 = 5 se tiene u = 4(25) = 100

100a) 0, = ?, 0 2 = 6 se tiene: 100 = (2,(36) => 0, = = ~

b) 0 2 = ? . 0i = 6 se tiene: lOO = 6 0 f => Q2 = ^ ~

c) Q¡ = ?, 0 , = 4 de donde 100 = 6 0 => 0, = —4

yd) 0 2 = ? . 0 = 2 dedonde 1OO = 2 0 | =* 0¡=5> /2


Obtenga las utilidades marginales para cada una de las siguientes funciones de milidad, I» utilidad se denota por u y las cantidades de los dos artículos consumidos se designan

mediante y q2 respectivamente.

a) u — q\ q2Desarrollo

du 2Las utilidades marginales de u es / , en q]t / , = —— = 3q¡ q-,dqt

Las utilidades marginales de u es f2 en q2; f2 =

b) u = q¡q2 +q¡

du

Desarrollo

/[ = — es la utilidad marginal en , /[ = q2 + 2qxa?,

duf 2 = -----es la utilidad marginal en q2, /-> = q.dq2

3.15. MAXIMOS Y MINIMOS DE LAS FUNCIONES DE _____ VARIABLES.-_________ ______________ ___ _______________

Sea f(x,y) es una función de dos variables

df(a,b)

D O s |

dxdf(a,b)

= 0=> (a,b) se denomina punto critico

dy= 0

_d 2f(a ,b ) d2f (a ,b ) d2f(a ,b ) 2dx2 ' dy2 dydx

entonces:

A > 0 =>

, . d2f(a ,b ) A d2f{a ,b ) n max en x = a, y = b si — — — < 0 y — —- — < 0

dx1 3y‘. . d2f(a ,b ) n d2f(a ,b ) n

min en jc = a, y = b si — — — > 0 y ------- — > 0

I ¡tit ulo Diferencial 377

A < 0 => no hay máximo ni mínimo en x = a, y = b en este caso (a.b) es un punto silla

A = 0 => la prueba falla, la función debe de analizarse cerca de x = a, y = b

»16. PROBLEMAS. 1

©

Determinar los puntos máximos y mínimos y de silla (si ios hay) para cada una de las siguientes funciones.

gfx ,y ) = 2x" ~ 2xy + y + 5 x -3 y

íá gU'.y)dx

J

dg(x, y)dy

= 4jc- 2 v + 5 = 0

= -2 x + 2y - 3 = 0

Desarrollo

[ jc = —11

1 => P ( -1,—) punto critico

i ” “ 5 2

d2g(x ,y)dx

d 2g(x ,y)

dy2

d2g (x ,y )

= 4

= 2 =>

dydx= -2

dx2

a 2/ ( - i ^ )

= 4

2 _dy2

= 2

dydx- = -2

d2g ( - i , i ) 32í ( - i , | ) a 2í ( - i ,~ )

dx1 3y dydxi_)2 = 8 _ 4 = 4 > o

d2g ( ~ l b d 2g(~ l i ) ' ,como --------> 0 y -------------- > 0 , entonces se tiene un mínimo en ( - 1 ,- ) .

dx2 dy2 2

h(x,y) = 3 + 2 x + 2 y -2 x 2 - 2 x y - y 2

Desarrollo


dh(x, y) dx

dh(x, y)dy

= 2 - 4 x - 2 y = 0

= - 2 x + 2 y - 3 = 0

( x = 0=> 1 => P(0,1) punto critico

[ y = l

d 2h(x,y)dx2

= -4

d2h(x,y)dy2

d2h(x, y)

= -2 =>

dydx

d2h ( - 1 ± ) --------------- 2_. = _ 4

a*2

a 2/«(-i,x)

a /

a 2A ( - i , - >

. = -2

dydx1_ = - 2

A = = -8 - 4 < 0 , esto indica que no hay máximoa*2 ay2 aya*

mínimo, luego el punto P(0,1) es punto silla.

ni

f(x,y) = xy + x - y

d/(x, y)

Desarrollo

= y + 1 = 0 j=> i => P(l,-1) punto critico

^ y ) = , _ 1 = 0 U = i3y

a 2/ U y )dx2

d2f ( x , y )

a>’;

d2f ( x , y )dydx

= 0 =>

= 1

a2/a,-i)dx2

a 2/ ( i , - i )

ay2

a 2/ ( t , - i )dydx

= 0

= 0

= 1

A = 9 2/ 0 . - U _ = o - 1 < 0 ,dx2 dy2 dydx

mínimo, luego P(l,-1) es punto silla.

entonces no hay máximos ni

<.tirulo Diferencial

@

©

f ( x , v) = Jt'2 +xy + y2 - ó * +2

a /U ,y )

Desarrollo

dxd f(x ,y )

dy

d2f ( x , y)

= 2 x + y - 6 = 0

= ,r + 2y = 0

a 2/(4 ,-2 )

x = 4

y —~2P(4,-2) punto critico

a*2

d2/(* ,y )dy2

d 2f ( x , y )dydx

= 1

dx2 d2f ( 4 ,-2)

ay2

a 2/(4 ,-2 )dydx

= 2

A _ a 2/(4 ,-2 ) a 2/ (4 ,-2 ) (a 2/(4 ,.-2 ))2 _ 1a*- ay dydx

a 2/ ( 4 ,-2 ) n a 2/(4 ,-2 ) A c o m o ------ ——— > 0 y ---- — ---- > 0 entonces P(4,2) es un máximo.

dx2 ay2

u(x,y) = 4x+ 2 y - x 2 + x y - y 2

du(x, y)dx

du(x,y)

= 4 - 2 x + y = 0

dy2 + x - 2 y = 0

Desarrollo

10

y = 3

3 „,10 8 V ' => r ( — ,—) punto critico 8 3 3

d2u(x, y)a*2

d 2u(x,y)

dy2

d2u(x,y)

= -2

dydx= 1

a 2- A $ )3 3 _dx2

= -2

a V — ,- ) ____ 3 _ 3 - * - 2

a>2JO 8,

a-«(— ,- )3 3 _ !

ay a*

380 Eduardo Espinovi Hamol

3 )

_ d2u d2u d 'u 2 A . ~ ndx2 'dy2 (dydx>

d u « d2u „ 10 8como •—r < 0 y —v < 0 => es un punto máximo.3x' dy- 3 3

r(x, y) = x2 + y 2 - 2 x + 4y + 6Desarrollo

í ^ . 2 , . 2 . 03x x = 1

=> < ^ =* PO.-?) punto critico3r(x,y)3}

= 2y + 4~- 0

32r(x,.y)dx

d 2r(x, y)

= 2

dy

3 2r(x, y)dydx

= 0

32r(l,--2)dx2

¿>2r( 1,-2)

= 2

3y2

32K l,-2)dydx

= 0

4 = % á > . 9 % á ) . (9 ^ ) ) ! = 4 . „ « 4 > 0dx" 3>’ dydx

como 3 2r(l,-2 ) 32r(l,-2 )3x

•> 0 ydy2

> 0 , entonces P(l,-2) es punto mínimo.

5) f ( x , y ) = x3 - 3bxy + y 3Desarrollo

^ W - 3 ^ 0dx

3f(x ,y)3y

= —3&x+3y2 = 0

x = Z>v = fe

=» P(b,b) punto critico

I lUt ulo Diferencial 381

^ > = 6 x3x2

32/(x , y) _

3y

32/ U y)dydx

= 6y =>

= -26

3x2

32/< M ) = 6¿>3y

32f ( b , b ) _ ,dydx

3b

A = £ w w a V ( M ) _ (j V ( M ) )i =36fci_ 9í,2 > 03x2 dy2 dydx

d2 f 32 fy como —- - > 0 y —- - > 0 , entonces P(b,b) es punto mínimo.

3a” 3y'

(« ) / ( x, y) = x2 -2xy + 2y2 -2 x + 2y + l

Desarrollo

2 S £ ¿ > = 2 . - 2 y - 2 - 0 ,

- 5 | 1 => P(t,0) puntocrilico_ _ 2j;+4y + 2 = o l> '“ 0

3y

D2/(x ,y )dx

d2f ( x , y )

= 2

= -2 =>3y

32/( x , y) _ _2dydx

32/( l ,0 )dx

32/(1 .0)

3y32/( l ,0 )

dydx

= 2

= -2

= -2

A = — — — -f - — —)2 = - 4 - 4 < 0 , entonces el punto P(1,0) es punto silla 3x2 3y2 3y3x

© /(x ,y ) = x2 - y2 - 2 x + 4y + 6Desarrollo


2 = 0dx \x = \

2y + 4 - 0 = 2 "dy

d2f ( x , y ) 0 d2f i l , 2 ) _ ^a»1 “ " dx2

d 2f ( x , y ) _ „ d2f i 1,2) „-- Z —i' '

3y2

d2f i x , y ) 0 dydx

a 2/ d ,2 ) _ Q3y0z

P(l,2) punto critico

A = d ■ )2 = -4 - 0 < 0 , entonces el punto P( 1,2) es punto silladx2 dy dydx

h(x, y) = x + 2 xy

dh(x, y)

Desarrollo

dx dh(x, y)

dy

= 2x+ 2y = 0

= 2x = 0

íx = 0\ y = o => P(0,0) punto critico

d2h(x ,y )dx

= 2

d2h j x , y ) _ Q

dy2d2h(x,y) _

«

dydx= 2

d2h(0,0)dx2

d2h( 0,0)

= 2

dy2 d2h(0,0)

= 0

dydx

A = _ (d ^ ( 0 L0 ))2 _ 0 _ 4 < 0 entonces P(0 0) es punto Rilia.

dydx

f ( x ,y ) = x y ~ 2 y 'Desarrolíf»


df(x ,y ) dx

d f (x ,y )= jc -4 y = 0

* = 0 y = 0

P(0,0) punto critico

d2f ( x , y)dx2

d2f ( x , y )

dy2

d2f ( x , y )dydx

= 0

— —4 =>

= 1

d 2f(0 ,0 )dx2

d2f i 0,0)

dy2

d2f ( 0,0)dydx

= -4

= 1

a , 8V (0 .0 ) 3 V ( 0 . 0 ) = 0 - l = - l < 0 , entonces P,0.0, espuntosi« ,. dx dy dydx

f(x,y) = axy

df(x, y)dx

d f(x ,y )dy

= ay = 0

= ax = 0

* = 0 y = 0

Desarrollo

P(0,0) punto critico

t i - f (x , y)dx2

d2f ( x , y )

= 0

dy2

d2f ( x , y)dydx

= a

d2f ( 0,0)dx2

d2f i 0,0)

= 0

dy2

a 2/(0 ,0 )

= 0

dydx= a

A = áVW » = „ , . W < 0 , emonces W .0 , es pontodx¿ dy dydx

Obtener las cantidades y precios que maximicen la utilidad y el monto de mi valoi máximo para cada uno de los siguientes conjuntos para ds satisfactores.


Las cantidades se denotan mediante x e y, y los precios correspondientes, por p y q respectivamente, el costo total se simboliza por c.

x - 1 - p + 2 q , y = 11 + p - 3q, c = 4x + y

Desarrollo

x = 1 - p + 2q y = l l + p - 3 q

p = 2 5 - 3 x - 2 y q — V I - x — y

p = px + qy - c = x(25 - 3x - 2y) + y(12 - x - y) - 4x - y

p = 2 5 x -3 x 2 -2 x y + \ 2 y - x y - y :L- 4 x ~ y => p = -3 x 2 - y 2 ~3xy + 2 lx + l l y

~ = - 6 x - 3 y + 21 = 0 dxdpdy

- - 2 y -3 .t + l l = 0

jt = 3 y = l

p = 25 - 9 - 2 = 25 - 11 = 14

d2p( 3,1)

=» P(3,l) punto critico

q = 12 — 3 — 1 = 1 2 - 4 = 8

d2pdx2 d2p dy2

32 pdvdx

= -6

= — 2

•3

dx2d2p(3,l)

dy2

32p (3,ddydx

= -6

= ~2

= —3

d2p d2p , d 2p 2

dx dy2 dydx máximo en el punto (3,1) y Pm

(—•—)" = 1 2 -9 = 3 > 0 y como ----- < 0 y < 0 , se tiene un dx dy'

-2 7 -1 -9 + 6 3 + 1 1 = 37

x = 11 - 2 p - 2 q , y = 16 - 2p - 3q, c = 3x + y

Desarrollo


Sea P = px + qy + c, reemplazando

3 2 X 2 e ■-* 3 2 7 - 5 .p = xy — x + — + x y - y - 5 y - 3 x - y => p = — x - y + 2xy— x + 4y

| . - t a - 2 , + 2 , - | = 0

= ~2y + 2jc + 4 = 0dp a7

^ £ = -3 - Ü £ = _2- Ü £ - = 2 dx2 dy2 dydx

5x = — ^

=» /*(—,—) punto critico

d2P a2P ( ó2P.q dx2 dy2 dydx'

d 2pA = — —,— —— (^—~~) = 6 — 4 = 2 > 0 y como “ < 0 y

5 9máximo en el punto (—,—) y Pm

6 2

dx'

25 + 27 _ 2 ¡ _ 9 _ 1 8 + 2 2 ” 8

ay2< 0 , se tiene un

= 9__15 J__ 15__5P ~~ 2 4 2 4 ~ 4

5 99 = — —+5 = - 2 + 5 = 3 2 2

9 5 9c = 3(—) + — = — + —= 7

6 2 2 2

15) p = 40- 2 x , q = 12 - 3y, c = 8 + 4x + 3y

Desarrollo

f /> — 40 — 2x2 . [<? = 1 2 -3 y

40 - p2

12- q

P = px + # y -c = x (4 0 -2 x 2) + y (1 2 -3 y ), de donde P = -2 x 3 - 3y2 + 36x + 9y - 8

^ = -6 x 2 + 36 = 0 dxdPdy

d2P

= -6 y + 9 = 0 -V = 2

3 =» P(y¡6,—) punto critico

32P , a 2p _ . ,, = —I 2 x , —- = - 6 , ------ = 0 , de dondedx2 dy2 dxdy


d2P ( J e , h d2P(.y[6,l) d2P ( S , b2 _

dy2- 6 , 2 1 - ,

dydx

. d2P d?P ,3 2P . __ rr _ d2p . 32p aA = — —.— - ■ y = 72V6 -O > O y como — ^ < 0 y — — < 0 , se tiene undx dy dydx dx dy

3máximo en el punto (y/ó, - ) , donde

p = 40 - 12 = 28, q = 1 2 - - = — , c = 8 + 4y/ó- - = - + 4^62 2 2 2

9 7

Pmax = -1 2 > /6 -— + 5 4 + — - 8 = 4 6 -1276 4 427

/? = 16 — je2 , q = 9 - y 2 , c = x2 +3y2

Desarrollo

j p —16 — jc

[q = 9 - y 2

= J Í 6 - p

= j 9 - q, como P = xp + yq - c

P = 16a-- x3 + 9y - y3 - jc2 - 3y2

dPdxdPdy

■ 16~3x2 - 2 * = 0

= 9-3 .y - 6y = 0

a: = 2 , x - 83 punto critico

y = l , y = -3

?~ - = - 6 x - 2 dx2d2P^ - = ~ 6 y - 6 => 3y-

a 2p

dydx■0

d2P( 2,1)a*2

32P(2,1)

3y2a 2p(2,i)

dydx

= -14

= -12

= 0

( iilculo Diferencial 387

. 32P(2,1) 32P(2,1) .32P(2,1),2 . d2p . 32p .A = ------ -— ------ ------ (———— ) = 1 68> 0 y como — ~ < 0 y — í~ < 0 se tienedx' dy dydx dx~ dy

máximo en el punto (2,1 ).

©

p = 16 - 4 = 2, q = 9 - 1 = 8, c = 4 + 3 = 7

p = 26 - x, q = 40 - 4y, c = x1 + 2xy + y2

Desarrollo

P = px + q y - c = x (2 6 -x ) + y ( 4 0 - 4 y ) - x 2 - 2 x y - y 2

■ 26x - x2 + 40 y - 4y2 - x2 - 2jcy - y 2

P = -2a ;2 - 5v2 - 2xy + 26a + 40y

3P3a:3P

-4 x -2 y + 26 = 0

-10y-2jc + 40 = 0

x -

y = -

209 20 32

=* P(— .— ) punto critico 32 9 9

d 2p a d2p 32/5 * . j-—- = - 4 , — -- = - 1 0 , ------= - 2 , de donde3.v d y dxdy

32P d2P _ , ^ P 2 dx2 dy'2 ( dydx

d2pA - — —.— - - ( ——_) = 4 0 - 4 = 36 > 0 y como -“ -< 0 y -r -~ < 0 , entonces sedx¿

?le.dyT

20 32tiene un maxuno en (— ,— )

9 9

20 214 32. 232 400 1280 024 14996p = 20------= ------, q = 4 0 -4 (— ) = ------ , c = -----+ -------+ -------= -----—9 9 9 9 81 9 81 81

p - 3 5 - 2 x 2, q = 2 0 -y , c = 16~2.í3 + xy + 30x + l2 y + ~ -

Desarrollo

jc2P - p x + q y - c = Ar(35-2A¿) + y ( 2 0 - y ) - 1 6 + 2A:3 - j c y - 3 0 . v - 1 2 y - — -


x 2 ,P = —— ~y" -xy+5jc+8_y-16

= - x - y + 5 = 0— — —a. y • r3x f x = 2

P(2,3) punto criticoi-j-8=-n 1^ = 3= —2y — x+ 8 = 0

ày

3 2P d2P d2P— • — 5-= - 2 , — — = - 1 , de dondedx 3y o vd v ,

4 = f Ü f . ^ . (| ^ = 2 _ ! = 1> 0 ycom o Í £ < 0 , Í £ < 0a , 1 < y 3*ja a , ’ cij'

un máximo en el punto (2,3)

p = 35 - 4 = 31, q = 20 - 3 = 17, c = 16 - 16 + 6 + 60 + 36 + 4 = 106

p = 4 0 -5 x , q = 30 - 3y, c = x 2 + 2xy + 3y2

Desarrollo

P = xp + y q - c = *(40-5*) + y ( 3 0 -3y)- x 2 - 2 x y - 3 y 2

= 4 0 x -5 x 2 + 3 0 y -3 y 2 --x2 -2 ; ty -3 y 2 de donde P = ~(,x2 - 6 y 2

dP— = -1 2 x -2 y + 40 = 0 , „dx íx = 3

=> < => P(3,2) punto critico~ = -1 2 y -2 x + 3 0 = 0 l-y ~ 2dy

d2P d2P a 2p .— — = -1 2 , — - = -1 2 , ——- = - Í , de donde dx dy oxdy

. d2P d2p ,d 2F . 2 . . . . 1/in A d2p A 32/A = — = 1 4 4 -4 = 140>0 ycom o — < 0 y —-Í

3xz 3 v 3y3x 3x 3ytiene un máximo en el punto (3,2).

, entonces se tien

- 2xy + 40x + 30)’

< 0 , entonces se

p = 40 - 15 = 25 , q = 30 - 6 = 24 , c = 9 + 12 + 12 = 33


p = 2 8 -3 x 2 , q = 5 6 - y 2 , c = 2x2 + y 2

Desarrollo

P = px + q y - c = x (2 8 -3 x2)+ y (5 6 ~ y 2) - 2 x 2 - y 2

P = -3 x 3 - y3 - 2x2 - y2 + 28x + 56y

3P dx 3P 3y

= -9 x 2 - 4 x + 28 = 0

= -3 y - 2y + 56 = 0

x = -2 , x = 14

4 14> = 4 ,, puntos críticos

3 2P dx2 d2P 3y

32P

: -1 8 x -4

2 = - 6 y - 2 =>

dydx= 0

3 P ( - , 4 )

dx

32P (— ,4)

= -32

3y2= -26

32P(— ,4)

dydx

d2 l d2p á2pdx2 dy2 dydx

A = ::-4-.— x— ( ^ —y = 782 > 0 ycom o < 0 y < 0 , entonces el punto¿Le.óx2 dy2

14(— ,4) se tiene un máximo.

9

p = 28~3(— )2 = 2 8 - —- = , ? = 5 6 -4 2 = 5 6 -1 6 = 40, c = 2(— )2 +16 = - ^9 27 27 9 81

Determine la máxima utilidad empresarial (ganancia) si la función de producción es z = 2 0 - x2 + 1 0 x -2 y 2 +5y , los precios de los insumos x e y son 2 y 1 respectivamente, y el precio unitario del producto z es 5.

Desarrollo

Sea P = 5 z - 2 x - y = 5 (2 0 -x 2 + 1 0 x -2 y 2 + 5 y ) - 2 x - y

Eduardo Espinoza Ramon

P = -5 x 2 -1 0 y 2 + 4Sx + 24y + 100

dPdxdPdy

= -IOjt + 48 = 0

= -20y + 24 = 0

_ 24 X~ 5

6" = 5

punto critico

d2P d2P d2P— r- = -1 0 , — — = -2 0 , ——- = 0 , de donde ox dv" dydx

_ d 2P d2P d2P 2 -\2 -\2-(■r-^r-)2 - 2 0 0 - 0 = 200 > 0 y como —~ < 0 y ~~~ < 0 , entonces el

dx2 dy2 Xdydx' J dx2 J dy2,24 6. .

punto (— , - ) tiene un maximo y P¡mx = 229 j

Determine la máxima utilidad empresarial, si la función de producción es

z = 10 — 2.x'2 + xy - y ‘ + 5y , los precios de los insumos x e y son iguales a 3 para cada

uno de ellos, y el precio unitario del producto z es 6.

Desarrollo

Sea P = 6 z - 3 x - 3 y = 60-12jc2 +6j¡y-6>’2 + 30y- 3 * - 3;y

P = ~ U x 2 ~ 6 y 2 + 6 x y-3 x+ 2 7 y + 60

[dP_dxdP

= -24* + 6 y -3 = 0

= -12y + 6* + 27 = 0

x =

y -

punto critico

d2P d P d2P— 5-= -2 4 , — - = - 12 , — — = 6, de dondedx dy dydx

A _ —— - ) 2 = 288 -3 6 = 252 > 0 , y como — < 0 y < 0 , entoncesd x \ dy¿ dydx dx2 dy2

1 5en el punto (—,— ) se tiene un máximo y Pmax = 93

I ulculo Diferencial 391

( l ') Los datos siguientes se obtuvieron de una muestra aleatoria de minerales de uranio; x representa el grado de pureza del mineral, y representa los gramos de uranio obtenido por cada 1000 ibr de mineral (1 Ibr = 453.6 gr).

x y85 2.365 1.273 1.590 1.982 1.880 2.068 1.388 2.1

Obtenga la ecuación de regresión por mínimos cuadrados de y respecto de x

Desarrollo

La ecuación de regresión por mínimos cuadrados de y respecto de x es:

__ Ay¡ = a+ ¡3x¡, donde

n n

p = Í~i______ 1=1 / = 1 y Q _ Í=Í__1=1n n J "

1=1 1=1

_ 8(1135.8)-(631X13.1) _ 820.3 QQ3S 8(50373)-(398.161) ~ 4823 _

A 13.1-0.038(631) a = ------- — - = -1.21

y, = -1.21 + 0.038.*,

La pureza de una lamina de plástico (por ejemplo polietileno), medida por un método estándar, esta relacionada con el tiempo que permanece en un reactor químico cuando latemperatura y la presión se mantienen constantes. Los datos que siguen se obtuvieron di-

iun reactor determinado x en el numero de segundos, y representa la pureza.

Eduardo hspirwza Ramo» f

x 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.07.5 8.0 8.5

y 0.890 0.974 1.175 J.0 9 6 1.349 1.347 1.417 1.440 1.492 1.519 1.523 i.5311.538 1.555 1.560

Obtenga la ecuación de regresión por mínimos cuadrados de y respecto de x.

Desarrollo

ALa ecuación de regresión por mínimos cuadrados es: y¡ = a+ ¡ix¡ , donde

1=1 1=1 i= 1

cc = -&-

1=1 1=1

15(1074.740)-15304.500 816.600 15(44500) -562500 " 105000

n n

£ y , - / * Í >

P =4083

515000

í=i

A 20.406-58.328 a = —

4082 0 .4 0 6 - -—-(7 5 0 )

5250015

1527.822

15:-1.854

— , . 4083y¡ = -1 .8 5 4 + --------- X:525000 '

La compañía Pórtland tiene un contrato para suministrar 1350 mezcladotes anualmente. El costo de almacenamiento anual es de 40 dólares por maquina; el costo de escasez es de50 dólares por unidad faltante y por año, y cuesta 150 dólares la iniciador; de una partidal de producción. Si las ordenes de producción se cumplen sin demoras y la demanda signai una tasa constante, determine la frecuencia con que debe programarse la producción, y la ¡ cantidad que debe producirse en cada partida para minimizar el costo total promedio anual.

Desarrollo

< álculo D ife r e n c ia l 393

D = 1350 mezcladores (demanda)

T = 1 año (periodo)

c, = $150 (costo de inicio de una partida de producción)

c2 = $40 (costo de almacenamiento)

c3 = $50 (costo de escasez)

Se pide hallar q = cantidad que de producirse en cada partida

t = intervalo entre ordenes de producción

Í2q (c2 + c3)D _ 12(150X40 + 50)1350 _ 1300(90)(1350) _ , „ q ~]¡ c2c3T ' 40(50)(1) V 2000

= Tq _ 1(135) _ o i de donde (o.i)(i2) = 1.2 de donde 1.2(10) = 12, entonces D 1350

La cantidad que debe producirse es de 135 mezcladores en cada partida de producción y

la frecuencia a que debe producirse es de 10 veces por año.

26) La compañía Filaway tiene un contrato para suministrar 600 gabinetes de archivo según una tasa uniforme en un periodo de 9 meses. El costo de almacenamiento durante este periodo es de 30 unidades monetarias (u.m) por gabinete; el costo de escasez es de 60u.m, por gabinete faltante, y cuesta 20 u.m. iniciar una partida de producción. Si lafabricación se hace a una tasa constante de 2400 unidades por periodo de 9 meses,obtenga la frecuencia con que debe programarse la producción, y la cantidad que debe producirse en cada partida para minimizar el costo total promedio anual.

Desarrollo

D = 600, q = 2400, c, = 20, c2 = 30, c3 = 60

L = 8- => t = 36 intervalo entre ordenes de producción.T D


n , . • • • . 30txz 30(36)z 30(9)z2Costo de iniciar una partida: — — = ----------- -------------2 2(2900) 2(600)

36—íj = t2

‘i!l = £ t 9 " 36 2900

/, = 0.015z

300(0.015)z 30(9)z2(600)

z = 72900 ; r, =0.015z = 1093.5

C =9 2 g 29

de _ c2Tz c3T(q — z)dz q q

60(2400)

= 0 => c2Tz = c 3 + ( q -z )

z = ■90

= 1600

a ca?

= 0 => c3T(q2 - z2) = 2clD + c2Tz2

60(9)(24002 -16002) = 2(20)(600) + 307(1600)2 T = 22.49

3.17. MÁXIMOS Y MINIMOS SUJETOS A RESTRICCIONES MULTIPLICADORES DE LACRAN G E .-______________________

Sea f(x,y) la función que se va a maximizar o minimizar con la restricción g(x,y) = 0.

Luego se forma la función objeto.

F(x,y,A.) * f(x,y) - \ g(x,y).

Ahora se determina los puntos críticos.


A*: d 2Fdx2

d2Ft=a dy

'y =b- 0

d2Fx = a d y d x y - b

) , entoncesx - ay-b

A* > 0

, . d2F d 2Fmax en x = a, y = b si — — < 0 y ---- < 0

dx2 dy2

, . d2F d2F nmin en x = a, y si — — > 0 y -------> 0

dx dy2

A* < 0 => la prueba falla, debe analizarse la función será de x = a, y = b

3.18. PROBLEMAS.

©

Obtener los máximos y mínimos de cada una de las siguientes funciones con base en al restricción dada.

f ( x , y ) = 3x + 4 y ~ - x y s i2 x + y = 21

Desarrollo

Sea F(x, y. A) = f ( x , y) - Ág(x, y) = 3*2 - 4y2 - xy - A(2* + y - 21)

dF= 6 * -y - 2 A = U

6 x - y= 6 x - y - 2A = 0

S y - x - A = 0

d x dF_ dy

- ~ = -(2 x + y - 2 1 ) = 0

A = -2

[A = 8 y -;cy =-

&x

como 2x + y -2 1 = 0 => 42x = 357 =>x = 8.5 y = 4

dx2 dy dydx

A =d2F d2F a 2F , 2

dx2 dy2 dydx~ (-,“ ) = (6X8) -1 = 47 > 0


d2 F Fy como — — > 0 y > 0 entonces (8.5,4) es un mínimo restringido de f(x,y).

dx1 a /

/ (x, y) = x2 + y2 - 2xy si x2 + y 2 = 50

Desarrollo

Sea F(x, y, A) = / (x , y) - Ag(x, y) = x 2 + y 2 - 2xy - A(x2 + y 2 - 50)

dFdxdFdy

= 2x - 2 y — 2Ax = 0

= 2 y -2 x -2 A y = 0A =

A =

x - y

y - x=> y = -x

dF , ,= ~(x + y - 50) = 0

como x2 + y 2 = 50 => x2 = 25 => x = ± 5

x = ± 5 , y = + 5 =¡> X = 2

= 2 -2 A = 2 - 4 = -2 ; ^ = 2 -2 A = 2 - 4 = -2 ; | - | ^ = -2a*2 a?2

V r "jZn f) F IA = ----- .-------- (-------)2 = (-2)(-2) - (-2)2 = 4 - 4 = 0 como A = 0, no hay información.

dx2 dy2 dydx

/ (x ,y ) = *2 -1 0 y 2 -A (x ~ y -1 8 )Desarrollo

Sea F(x,y,X) = f(x,y) - X g(x,y) de donde F(x, y, A) = x2 - 10> 2 - a ( x - y -18)

dFdxdFdy

= 2 x -A = 0

-20y + A = 0A = 2* A = 20y

x = lOy


como x - y - 18 = 0 =» 9y = 18 =*y = 2 .r = 20

f í - 2 . = 0 3x¿ dy dydx

A = T T T T _ (^ f )2 = (2X -20> -° = ^ ° < °dx2 dy dydx

por lo tanto en (20,2) se tiene un punto silla

/ (x ,y ) = 3.xy + 4y2 si x2 + y2 =10

Desarrollo

Sea F (x , y, A) = f ( x \ y) - A g(x, y) = 3xy + 4 y 2 - A(*2 + y 2

— = 3 y - 2Ajc = 0 dxdFdydF

13A

= 3¿-2A y + 8y = 0 =>

-(x2 + y2 -10) = 0

A =

A =

3y2x3* + 8y

2y

=» 3y = 3ji

x + y -1 0 = 0 6y -3 0Luego «i . => x = -

[3y2 + 3x2 = 8xy 8 y

( 6y -3 0 2 . 2 _ , n _ ..4 , n ..2

8y-) + y =10 => y —lOy +9 = 0

(y2 -9 ) (y 2 -1) = 0 de donde y = ± 3 , y = + l

para y = ± i, x = ± 3 => P(± 3, ± 1), A =

10)

;2 +8^y

9y = + 3, x = ± 1 => P(± 1, ± 3), A = - puntos críticos


d2F d^F d F■ = -2A , — — = -2A + 8 , ^ dx dy dydx

= 3

A = f f . í f - ( | ^ , - ( - 2 « - a + 8 , - 9 dx dy~ dydx

A = 4A2 -1 6 A -9 para P (± 3 ,± l), X-

A = 4A2 ~16A ~9, para P(± 1, ± 3), X = ~

A = 81 - 72 —9 = 0 ==> no se tiene información

f(x,y) = x + y si i 2 + f = lDesarrollo

Sea F(x,y,X) = f ( x ,y ) -A ,g ( x ,y ) = x + y - A(x2 + y 2 -1 )

dFdx

- l - 2 X x = 0

™ = l~2A y = 0 dy

|^ - = - (* 2 + y2 - l ) = 0

_L2x1_

2y

2 2 ^ 2 -Jl „ yflcorno x + y =1 => x = ± — , y = ± ---- , A,--±—

2 2 2

dxz dy dydx

A = d2F d2F d2F 2 À,2 » a i2 ~ r \ _ n, J 2 d2F „ 92F- - . (•—— ) -4 A - 0 = 4A > 0 en />(-d.x“ dy avox

V2 V2entonces en el punto P( — se tiene un maximo

2 2 3x2< 0 y < 0 ,

< Vtlculo Diferencial 399

Para P( ~— ), A = - — , > 0 y - - f > 0 entonces en se2 2 ~ 7 72 ' dx1 ~ J dy2 ' ' ■ 2 ' 2tiene un mimmo

(?) f ( x , y ) = x 2 +24xy + 8y2 si .x2 + y2 =25

Desarrollo

Sea F(jf, y, A) = / ( jc, y )- Ag(;c, y) = .v2 + 24^y + 8y2 - A(,t2 + y2 - 25)

dF—— = 2x + 24y —2Aj: = 0 dx3F

3FfìA

: 24 .t + 16y - 2Ay = 0

-(jt2 + y2 - 25) = 0

A =

A =

* + 2yJt

12* + 8y12jc2 + 7xy-12y = 0

3jc12;t2 + 7.vy-12y2 = (3x + 4y)(4 .v-3y)- 0 , de donde y = ——, y = ~

I r QxSi y = —— => x2 +------= 25 =» 25 je2 = 25(16)

4 16

jr2 = 16 => x = ±4 => y = -3, y = 3, P ,(4 ,-3), f t (-4,3)

Si v =4x 1 (L y

x2 -)— — = 25 x2 = 9 => x = + 33 9

Si x = 3, y = 4, f t (3,4), si x = -3, y = -4, f t (-3 ,-4 )

—y = 2 - 2A, ^ = 1 6 -2 A , 1 ^ = 24 3y" oyoA

A - ~ ~ " ( | t - ) 2 = (2 ~ 2A)(16 - 2A) - (24)2 dx dy- dydx

A = (2 - 2A.)(16 - 2X.) - 576

4 -3 6calculando A, para ^ (4 ,-3 ) , A = --------= -8


A = (18)(32) - 576 = 576 - 576 = 0, no hay información

-4 + 36para P2(-4 ,3 ), A = --------- = - 8 , A = 0

-4

calculando X para P¡ y P4,X = 17

A = (-32)(-50) - 576 = 1600 - 576 = 1024 > 0

d2F d2Fentonces como — — = -32 < 0 y — — = -5 0 < 0 entonces en el punto P,(3,4),dx2 dy2 1

P4(-3, -4) se tiene máximos

3.19. CONDICIONES DE KUHN - TUCKER.-

Las condiciones necesarios para un máximo o mínimo sometido a restricciones de desigualdades se conoce como condiciones de KUHN - TUCKER.

Para el caso de una función de dos variables sometida a una restricción de desigualdad las condiciones de KUHN - TUCKER esta dado en la forma: un punto (x,y) es un máxim local de f(x,y) cuando g(x,y) < 0, solamente si existe un valor no negativo de X tal que X y (x,y) satisface la siguientes condiciones.

d f(x ,y ) ^ dg(x,y) dx dx

d f(x ,y ) dg(x,y) Qdy dy

Ag(x,y) = 0

g(x ,y)< 0

un polinomio de segundo grado de la forma

/ (x, y) = Ax~ + Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F , es cóncava hacia arriba si 4 A C - B2 > 0 y

A > 0, C > 0; y es cóncava hacia abajo si 4AC - B 2 >0 y A < 0 y o bien C < 0, y noes cóncava hacia arriba ni hacia abajo si 4AC - B2 < 0 .

<dlculo Diferencial 401

! 120. PROBLEMAS.-

( l) Determine el mínimo de f ( x , y) = 4x2 + 5y2 - 6y si x + 2y > 18

Desarrollo

/(.*, y) = 4x2 + 5y2 - 6 y , g(x,y) = x + 2y - 18

’d f(x ,y ) ^ d g ( x , y ) _ n ~ x 0W (* ,y) A _ „ cond¡cionesdeKUHN_ XUCKER

ay dyAg(*,y) = 0 g(x, y) > 0

3(4jc2 + 5 y2 -6 y ) , 3(x + 2 y -1 8 ) _& A & " °

á(4.v2 + 5y2 -6 y ) _ , d(x + 2 y -18) _ ^ dy dy

A(jc+2y-18) = 0 jc + 2y — 18 > 0

8 x -A = 01 0 y -6 -2 A = 0 Í8jc = A 8a + 3■i =$ •! => y = -------A(x + 2 y -1 8 ) = 0 (5 y -3 = A 5A + 2 y -1 8 > 0

como A.(x + 2y - 18) = 0 =^A. = 0 v x + 2 y - 1 8 = 0

3 3si X = 0 =* x = 0, = ~ luego Pt (0, - )

6no verifica x + 2y - 18 > 0 =* — 18 > 0 falso

5•

3por lo tanto P¡ (0, - ) no es punto optimo

E d u a r d o E s p in o z a Ramo»

„ 16a + 6 fx = 4si x + 2 y -1 8 = 0 => a-i---------- = 18 => <

5 [y = 1

el punto P2(4, 7) es optimo porque satisface la condición de KUHN - TUCKER

4 + 1 4 - 1 8 = 0 > 0 , ahora veremos la concavidad:

de la ecuación / ( a , y) = 4A2 +5_y2 - 6 y se tiene A = 4, B = 0, C = 5 y como

4 AC - B~ = 80 > 0 y además A = 4 > 0 y C = 5 > 0 entonces es cóncava hacia arriba, entonces en P2(4,l) se tiene un mínimo.

Obtenga el máximo de / (x , y) = 16a +12y - 2x2 - 3y2 si x + y < 11

Desarrollo

— (16A + 1 2 y -2 x 2 - 3 v 2) -A — (A + y - l l) = 0 dx ax

^ (16a+ 12y - 2x2 - 3y2) - A — (x+ y -11) = 0 , condición de KUHN - TUCKER ay ay

M x + y - 11) = 0x + y - l l < 0

1 0 -4 x -A = 01 2 -6 y -A = 0 f A = 16 ~ 4x 2 x - 2

=>>• = -A(x + y - l l ) = 0 [A = 1 2 -6 y 3x + y - l l < 0

X(x + y - l l ) = 0 => X = 0 v x + y - l l = 0

Si X = 0, x = 4, y = 2, Pv( 4,2) satisface la condición x + y -1 1 = 4 + 2 -1 1 = -5 < 0

Por lo tanto /¡(4,2) es un punto optimo.

2x - 2 f x = 7S ix + y - í l= Q => a-i--------- = 11 => 5x = 35 =>

3 ly = 4

Luego el punto P2(J A ) satisface la condición 7 + 4 - l l < 0

< rilado Diferencial 403

Por lo tanto P2{1,4) también es un punto optimo y /(x ,y ) = 16x + 1 2 y -2 x 2 - 3 y 2

entonces f(4,2) = 44 y f(7,4) = 14, por lo tanto en f¡(4 ,2) se tiene un máximo.

( Determine el mínimo de f ( x , y) = 3x2 +3y2 si x + y > 10

Desarrollo

- - (3 x 2 +3y2) - A ^ - ( * + y - 1 0 ) = 0 ax ax

. — (3x2 +3y2) - A — (* + y -1 0 ) = 0 , condiciones de KUHN - TUCKER ay dy

A (x+ y-10) = 0A + y ~ 1 0 > 0

6 x -A = 06 v-A = 0 ÍA = x=> í „ =* y = xA(x + y -1 0 ) = 0 [A = yA + y —10>0

X(x + y -1 0 ) = 0 =s> X = 0 v x + y - 1 0 = 0

Si X = 0 => x = y = 0 pero P] (0,0) no satisface la condición:

x + y - 1 0 = 0 + 0 - 1 0 = -10 < 0, Luego f¡ (0,0) no es un optimo.

Í a = 5Si x + y - 1 0 = 0 como y = x => \ punto optimo

[y = 5

Ahora veremos la concavidad de / ( a , y) = 3a2 + 3y2 de donde A - 3, B = 0, C = 3

Como 4AC - B2 = 36 - 0 = 36 > 0 y además A > 0 y C > 0 entonces es cóncava haciaarriba por lo tanto / (x , y) = 3x2 + 3y2 se minimiza sujeto a la restricción x + y >. 10cuando x = 5, y = 5.

. i

( j ) Encuentre el mínimo / ( a , y) = 12a’ + 4y2 - 8x_v - 32a si x + y > 1

Desarrollo


í~ ( 1 2 j c 2 + 4 y 2 - 8 x y - 3 2 x ) - A — (je+ v - 1 ) = 0 dx dxd 2 2 d

— (12* +4y~ -8 x y -3 2 jr ) -A —- ( x + y - l ) = 0 condiciones de KUHN - TUCKER 1 ay ay

A(je+ y -1 ) - 0j E + y - l > 0

2 4 jc -8 y -3 2 -A = 08 y -8 jc -A = 0 ÍA = 2 4 jc-8 y -3 2. . . . y = 2x - 2A (x + y -l) = 0 [A = 8 .y -8 jE

je+ v - 1 > 0

A(x + y - l ) = 0 => A. = 0 v x + y - l = 0

Í je = 2Si X = 0 => y = x, 2 4 x -8 y = 32 => 16x = 32 => <17=2Pero P¡( 2,2) satisface 2 + 2 - l = 3 > 0 . Por io tanto P¡(2,2) es un punto optimo

a H

Í je = 1S ix + y - l = 0 = > 3 x - 3 = 0 = > <

\ y = 0

Se tiene el punto /^(l.O) satisface x + y - l = l + 0 - l = 0 > 0 entonces (1.0) es un punto optimo

f(2,2) = 48 + 16 - 32 - 64 = -32, f(l,0) = 12 - 32 = -20

Luego f ( x , y ) = 12.a cuando x = 2, y = 2Luego / ( jE ,y ) = 12je2 + 4 y 2 -8 j ty -3 2 jE se minimiza sujeto a la restricción x + y > 1

Obtenga el máximo de f ( x , y ) = \0 x y - 5 x 2 - l y 2 +40x s i x + y < 1 3

Pesarrolto

— (10xy-5jE2 - 7 y 2 + 4 0 j E ) - A — ( jE + y - 1 3 ) = 0 dx dx

(1 O xy-5x2 - 1 y 2 + 40x ) - A ^ - ( * + y - 1 3 ) = p , condiciones de KUHN- TUCKER ay ay

A(je+ y — 13) = 0je+ y ~ 1 3 < 0

l álculo Diferencial 405

©

10 y -1 0 .c + 4 0 - A = 0

lO.v —14y —A = 0

A(je+v-13) = 0

jE + .y - 1 3 < 0

A = 10y-10.í + 40 5jc —10A = 10jc~14_y V 6

X(x + y - 13) = 0 => X. = 0 v x + y - i 3 = 0

Si X = 0 --l0 y -1 0 * + 40 = 0 10jc-14y = 0

je = 14 y = 10

Pero el punto Px (14,10) no satisface la condición je + y -1 3 = 14 + 10-13 = 1 X 0 por lo tanto / >,(Í4,10) no es optimo.

, 5 je —10Si x + y - 1 3 = Ü y como y = — - — se tiene:

5*-10 ' [x = 8jeh---------- = 13 =» l lx = 88 => ^

6 {y = 5

como el punto P2(8,5) satisface la condición 8 + 5 - 1 3 = 0 < 0 por lo tanto P2( 8,5) es optimo. Ahora veremos la concavidad de la función

/(jE,y) = 10jEy-5jE2 - 7 y 2 +40jE de donde A = -5, B = 1 0 y C = -7

4 A C - B 2 = 4(—5)(—7) —102 = 140-100 = 40 > 0 y A = - 5 < 0 y C = - 7 < 0

f(x,y) es cóncava hacia abajo entonces en P2(8,5) se tiene un máximo.

Determine el máximo de / ( je, y) = 6xy - 3x2 - 4 y2 si 3x + y < 19

Desarrollo

— (6jcy-3je2 - 4 y 2 ) - A “ (3jf+ y - 1 9 ) = 0 dx dx

~ (6 je v - 3je2 - 4y2) - A (3x + y -19) = 0 , condiciones de KUHN - TUCKER dy ay

A (3x+ y-19) = 03 x + y -1 9 < 0


6 y -6 * ~ 3A = O6 A -8 y -A = 0 ÍA = 2 y - 2 x 4xA(3A+y~19) = 0 ^ [A = 6jc-8y ^ >_T 3 a + y -1 9 < O

X(3x + y -1 9 ) = 0 =>X = 0 v 3 x + y - 1 9 = 0

Si X = 02y - 2x -- O 6 x - 8 v = O

y = a

3 a - 4 V = 0x = y = O

Luego el punto fj(0,0) satisface la condición 3x + y -- 19 = 0 + 0 - 19 = -19 < O por lotanto / ' (0,0) es punto optimo.

4x 4x f je == 5Si 3x + y - 19 = 0 y como y = — => 3a+ — = J9 => <

J J 5 5 \ y = 4

Luego el punto P2(5,4) satisface la condición 3x + y - 1 9 = 1 5 + 4 --1 9 = 0 < 0

f(0,0) = 0, f(5,4) - 11 por lo tanto la función f(x,y) se maximiza sujeto a la restricción

3x + y < 19 cuando x = 5, y = 4.

2 ^La producción P, como función de dos insumos x e y esta dado por: P = x~ + 5xy - 4y~. Evaluar las cantidades de x e y que maximizar la producción si:

a) 2x + 3y = 74Desarrollo

a) Si 2x + 3y = 74, aplicando Lagrange.

F(x,y,X) = P(x,y) - X(2x + 3y - 74)

F(x, y, A) = x 1 + 5 x y - 4 y 2 -A (2* + 3 y -7 4 )

dF

b) 2x + 3y < 74

3* 3F 3y 3F_

M

= 2A + 5y-2A = 0

= 5A-8y-3A =0

= —(2a + 3y - 74) = 0

A =2 a + 5 y

2 4 a==> y = —

5 a - 8 y 31


como 2x + 3y = 74 - 1 2 a2 a + -------- = 74 => 74x = 74(31)

31

a = 31

y — 4 A = 41

Luego las cantidades que maximizan la producción son: cuando x = 31 y y = 4 sujeto a la restricción 2x + 3y < 74

b) Si 2x + 3y < 74 se aplica KUHN - TUCKER.

- - ( A 2 + 5 A y - 4 v 2 ) - A — ( 2 A + 3 y - 7 4 ) = 0 óx dx

--- ( a 2 + 5*y - 4y 2) - A ( 2 a + 3y — 7 4 ) = 0 dy * dy

A(2* + 3 y -7 4 ) = 0 2 A + 3 y -7 4 < 0

2 a + 5v-2A = 0 5 A -8y-3A = 0 A(2A+3y-74) = 0 2 a + 3y - 74 < 0

A =

A =

2A+5y

25A-8_y y =

4 a

31

X(2x + 3y - 74) = 0 =* X = 0 v 2x + 3 y -7 4 = 0

Si X = 0 => x = y = 0 y como P{ (0,0) satisface la condición

2x + 3y - 74 = 0 + 0 - 74 = -74 < 0 entonces el punto /j (0,0) es optimo.

Si 2x + 3y - 74 = 0 => 2a + - = 74 => x = 31, y = 4 y como el punto

P2(31,4) satisface las condiciones entonces P2(31,4) es un punto optimo.

f(0,0) = 0, f(31,4) = 1517. Luego las condiciones de maximizar la producción son para x = 31, y = 4 sujeto a la restricción 2x + 3y< 74

El importe de las ventas S, como función de las sumas x e y gastadas en dos tipos dec 240a 150ypromoción comercial, esta dado por: S = —-—— + -

25 + 3a 10 + y

Eduardo Espinoza Ramali

I .a utilidad neta es 1¡0 s - x - y - Determine la asignación de x e y que maximizara 1«

ganancia neta si x + y = 15Desarrollo

jUtilidad neta = u= — S - x - y , de donde

10

1 , 240* , i 50y x 24* 15 v~ + -~ y ~ x ~ y -~ * —~ + ~ --------x - y , aplicando Lagrange se tiene!10 25 + 3* JO+y 25 + 3.\ 1 0 + V

/’ (*, y, A) - u - A(* + y -2 5 ) = ~ - * - y - A(x + y -15)25 + 3* 10 +- y

dF _ 24(25 + 3*) -3(24*)dx (25+ 3*)2

- l - A = 0

3/"" (1 0+ y)~ v ,~ = 15------ - 1 - A = ody (10+ y)dF

A = — ^ % - - l(25 + 3*)2

A = - i ™ - i " (1 0 + y)2

3A

150

= -(*+>> -15) = 0

600

25 + 3x = 2(10 + y) => y = - + - r2 2

5 3reemplazando en x + y -1 5 = 0 * + —+ —* = 152 2

5* 5.4. 3x = 25 => -X - 5, y — 10. Luego el punto critico es P(5,10)

dx2300 d2F

dy2 (10+.y)3 dy2

d2F 3600 d2F d2F< 0 , —— = -r-— T =» < 0

3* (25 + 3*)

_ n A ~ d 2F' d 2F . d 2F -2 . 32F 32F¡w¡» ? i V y c u ‘”° a ? * 0 y ¿ 7 < 0 cmonc' s la

máxima ganancia se obtiene cuando x = 5, y = 10.


© El costo de producción C, en una función de las cantidades producidas, x e y, de dos tipos

de artículos, esta dado por C = 6*2 + 3y2 para minimizar tal costo ¿Qué cantidad de cada

uno de los dos artículos debe producirse si:

a) x + y = 1 8 b) x + y > 18Desarrollo

a) Minimizando / (* , y) = 6*2 + 3y2 s i x + y = 18

para esto aplicamos multiplicador de Lagrange.

F(*, y. A) = / (* , y) —A(* + y -18) = 6*2 +3y2 - A(* + y —18)

Í3F = 1¿X-A=V

ÍA = 12*3*3FdydF

IdA

= 12*-A = 0

= 6 y -A = 0

= -(* + y -1 8 ) = 0

A = 6y=> y = 2x

como x + y - 18 = 0 =í> 3x = 18 => x = 6, y = 12

6 , | Í = „ dx“ dy' dydx

d 2F d2F , d2F d 2F d2Ff . ^ 4 - ( - ^ r - ) 2 =(12)(6)-0 = 7 2 > 0 y como — - = 1 2 > 0 , = 6 > 0

r lv r lv r i r “ o ydx1 dy2 dydx ' ’ dx2entonces tenemos que (6,12) es un mínimo restringido

b) Ahora veremos la mínimización de / (* , y) = 6*2 + 3y2 si x + y > 18 en este caso aplicamos las condiciones de KUHN - TUCKER.

—~(6*2 +3y2)-A -^ -(* + y -1 8 ) = 0 dx dx

— (6*2 + 3y2) - A — (* + y -1 8 ) = 0 , condiciones de KUHN - TUCKER. dy

d_ dy

A (*+ y-18) = 0 * + y -1 8 > 0


12a- A = O6v-A -O fA = 12*A(.í+y-18) = 0•*+y~18>0

A = 6 y=> y = 2x

X.(x + y - 18) = O => X = 0 v x + y - 18 = O

Si X, = O, x = O, y = O pero el punto P(O.O) no satisface la condición

x +y - 18 = O + 0 -18 j2f O falso por lo tanto P(0,0) no es optimo.

3>

Si x + y -18 = 0 y como y = 2x => 3x = 18fx = 6 { y = 12

Como P(6,12) satisface la condición x + y - 18 = 6 + 12 - 18 = 0 > 0 entonce

P(6,12) es optimo. Ahora veremos la concavidad de f ( x , y) = 6x2 + 3y~ de donde

A = 6, B = 0, C = 3

4AC- B2 — 7 2 -0 = 72 > 0 y además A > 0 y C > 0 entonces f(x,y) es cóncava

hacia arriba esto quiere decir en P(6,12) se tiene un mínimo en la producción que se

encontraba bajo la restricción x + y - 1 8 > 0 .

El costo de las separaciones C, un una función de los números x e y de impresiones por:

C - 2 r +3y2 + xv - 22.x + 5 para minimizar tal costo ¿qué numero de inspecciones

deberá llevarse a cabo en cada punto si x - y = 2?

Desarrollo

Aplicando multiplicador de Lagrange:

F (x, y, A) = 2a 2 + 3y2 + xy - 22x+ 5 - A(x- y - 2)

Cálculo Diferencial ^ 411

— = 4 x + y - 2 2 - A = 0 dx

dF ¿ i n— = 6y+ x + A=0 dy

A = 4 x + y -2 2 -5.X + 22=» 4x+ v -2 2 = - x - 6 y y = ----------

A = —x -6 y ' 7

3Fl3A

= - ( x - y - 2 ) = o

_ _ 22- 5 x _ .como x - y - 2 = 0 => x --------------2 = 0x - 3 y = l

Luego cuando x = 3, y = 1 se tiene un optimo.

Ahora veremos la concavidad de C = 2x2 +3y2 + x y -2 2 x + 5 de donde A = 2, B = l ,

C = 3 por lo tanto 4AC - B2 = 24 -1 = 23 > 0 y además A > 0, C > 0 entonces se tiene una concavidad hacia arriba luego para minimizar el costo de numero de inspecciones debe ser para x = 3 y para y = 1.

( n ) El número de averías N, en función de los números x e y de las reposiciones de dos

elementos de una maquina, está dado por: N = 3 a : + y2 + 2xy - 22.x + 6 para minimizar

el número de fallas ¿Cuántas operaciones de reposición deberían hacerse para cada parte,si 2x = y?

Desarrollo

Aplicando multiplicadores de Lagrange

t \ x , y ,X ) = 3x2 + y2- + 2xy-22x + 6 -A (2 x —y)

dF - h v - 7 \) — 7 7 — ) A = 11A — 3at+ y — 11dx

3FdydF_<1A

6 x -2 y - 2 2 -2 A = 0

■-2y + 2x + X = 0

= —(2.v - y) = 0

A = -2 x - 2 y y =-1 1 - 5 a -

_ 11 - 5x _como 2 x - y = 0 => 2x-----------= 0

x — 1

y = 2para minimizar el número de fallas se necesita hacer 1 operación de reposición para un elemento y 2 para el otro.

Eduardo Espinoza Ranún ( lílculo Diferencial 413

El costo de reparaciones C, en función de los números x e y de inspeccionas en do»

puntos en un proceso industrial esta dado por C = 4x2 + 2y" + 5xy - 20* + 30 a fin itc

minimizar dicho costo ¿Qué numero de inspecciones debería hacerse en cada punto si gU número total de inspecciones es:

a) 10 b) no menor de 10Desarrollo

a) C = 4*2 + 2 y 2 + 5xy-20* + 30 sujetoa * + y = 101 V J *■ ' 1 V

función objetivo función restricción

/•"(*,y, A) = 4x2 +2 y 2 + 5jiy ~20* + 30-A (* + y -10)

dFdx

ÉLdy

ÉL3A

A = 8* + 5_v-20 A = 4y + 5*

= 8x + 5 y -2 0 -A = 0

= 4y + 5* - A = 0

(x + y -1 0 ) = 0

como x + y - 10 = 0 x + 20 - 3x - 10 = 0

==> y = 2 0 -3 *

* = 5 y = 5

para minimizar el número de fallas se necesita hacer 5 operaciones de reposición para un elemento y 5 para el otro.

b) Si el total de inspecciones es no menor que 10.

C = 4*2 + 2 y 2 + 5*y-20x + 30 sujetoa x + y > 1 0v ----- v--------------- ' s v '

función objetivo función restricción

aplicando las condiciones de KUHN - TUCKER

(4x2 + 2 y 2 + 5 x y -2 0 * + 3 0 )-A ~ -(jc+ y ~ 1 0 ) = 0d_dxdx

, — (4x2 + 2 v2 + 5x y - 20* + 30) - A (* ■+ y -10) = 0dy dy

A(*+ v-10 ) = 0* + y - 10 > 0

©

condiciones de KUHN- TUCKER

8* + 5 y -2 0 -A = 0 4y + .5* - A = 0 A(* + y -10) = 0 * + y - 1 0 > 0

A = 8* + 5 y -2 0 A = 4y + 5*

y = 20 - 3x

X(x + y -1 0 ) = 0 => X = 0 v x + y - 1 0 = 0

_ 80r 8 r 4 - S v - ? n = n x ~

Si X = 0j8x + 5 y -2 0 = 0 [5* + 4y = 0

y = —100

80 100Pero no satisface la condición x + y -1 0 = ------------- 1 0 ^ 0 falso7 7

Si x + y - 10 = x + 2 0 - 3x = 10 => x = 5 , y = 5

Es decir para minimizar los costos de reparaciones es de 5 inspecciones en un puntoy 5 inspecciones en el otro punto.

Usando los multiplicadores de Lagrange, determine la utilidad (ganancia) máxima si la

función de producción es z = 2 0 -x 2 + 1 0 x -2 y 2 +5y , los precios de los insumos x e y

son 2 y 1, respectivamente, y el precio del producto es 5.

Desarrollo

C(x,y) = 2x+y , costototaly R(x ,-) = 5z = 5 (2 0 -x 2 + 1 0 x -2 y 2 + 5y)

R(x, y) = 100-5*2 + 5 0 * -1 0 y 2 +25y , el ingreso total

P(x, y) = R(x,y) — C(x, y) = (100 —5*2 +50* —10y2 + 2 5 y )-(2 * + y)

P(x, y) = —5*2 + 48* — 10y2 + 24y + 100

dPdxdPdy

= -10* + 40 = 0

= -20y + 24

* =2456

" = 5


£ - 1 0 , 20. g . Odx' dy dydx

~ .~ - (| ~ ) 2 = (-1 ° )(- 20)- 0 = 200 > O y como y3* dy dydx dx dy

24 6entonces en el punto se obtiene Pmax - 229--

Empieando los multiplicadores de Lagrange, determine la utilidad (ganancia) si la funci

de producción es z = 20 - x 2 + 10* - 2 y ’ +5}’ , los precios de los insumos x e y son ca

uno igual a 3, y el precio de! producto es 6.

Desarrollo

Sea C(x,y) = 3x + 3y, R(x,y) = 6z = 60-12jc2 + 6 x y - 6 y 2 +30y

P(x,y) = R(x,y) - C(x,y) => P(x,y) = ~-I2x2 - 6 y 2 + 6 x y - 2 7 y - 3 x + 60

1_25

dP= _24* + 6 .y-3 = 0

oxdP ^— = -12y + 6;t + 27 = 0dy

x = - 2

y - 2

^ = _24, Í f . - B . dx dy~ dydx

c)~P r)*" P c ftP r)^PA = — A s - í — r )2 = (-2 4 )(-1 2 )-3 6 = 2 5 2 > 0 y como - - - - < 0 y — < 0 ,

dx dy dydx dx dy

entonces en se tiene máximo y P[mx =17

Si la función de utilidad (satisfacción o provecho) del consumidor es u = c¡¡.q2 , /¡ = 4 ,

P2 = 5 y y° = 120, determine las cantidades </, y #2 que debería comprar a fin de

minimizar la utilidad.Desarrollo

< álcuio Diferencial 415

u = q 2.q2 ; P\ = 4 ; P2 = 5, 4</,+592 =120

aplicando multiplicador de Lagrange se tiene: F(ql ,q2,X) = q2q2 - A(4g¡ + 5q2 - 120)

dF= 2qxq2 -4A = 0

dqxdF 2= q ( - 5A = 0

- (4 ^ + 5 9 ,-1 2 0 ) = 0o A

A = ^ 22 q:

n =* ?2 = —iA = — 5

5

pero 4q, + 5^, -120 = 0 => 4qx+ 2qx =1209, =20 q2 = 8

u = (20) (8) = 3200

Las cantidades que maximizar la utilidad son qx = 20, q2 = 8

16) Si la función de utilidad (satisfacción) del consumidor es m = c/¡ .<72 ~ 9 2. ^ = 3 , P2 = 6 y

y° = 90, determine las cantidades g, y q2 que debería comprar para maximizar la utilidad

que se deriva de ellos.Desarrollo

« = -9i2 > 3<7i + 6q2 = 90

F (9, , 92, A) = qv ,q2 - q2 - A(3qx+ 6q2 - 90)


dF_dq,dF

c)q2dF~dA

= q2 - 2qx - 3A = O

z=qx- 6A = O

= -(3 qx + 6q2 - 90) = O

A . - <?2~2g¡

3A= Í L 2

6

como 3<?[ + 6^2 - 90 = O => qx + 2g2 = 30

a, + 5</j = 30 => <7, = 5 , q2 = 12.5 reemplazando se tiene: u = (5)(12.5)-52 -3 7 .5

Las cantidades que maximizar la utilidad son qx = 5 y q2 =12.5

Si la función de utilidad del consumidor es u = qx + 2q\ +Sq[.q2 ; = 10, P2 = 15 y elingreso del usuario en el periodo es 90, determine las cantidades qx y q2 que debería comprar para maximizar la utilidad que de ellos obtiene.

Desarrollo

Aplicando multiplicador de Lagrange se tiene:

u = qx + 2q¡ + 5qx.q2 , pxqx + p2q2 = 90 es decir 5q, +\0q2 = 90

F(qx,q2,X)--= qx + 2q\ + 5q¡,q2 - A(5<?, + 10<z2 -9 0 )

dF- = 2ql +5q2 -5Á. = 0 dqxdF-----= 4q2 + 5qx —10A = 0 =>dq2

¥ - = -(5qx+10q2 - 9 0 ) = 0 oA

x _ 2q2 +5q2 5

X - - - 4 q 2 + 5 q i

10

q2 = 9i


como 5 + 1 0<72 - 90 = 0 => 5g, + — = 90 => 40^, = 90(6)6

27 2 9

L* - 4

27 9Las cantidades que debe comprar de qx y q2 para maximizar su utilidad son y y -

respectivamente.

( l 8) Si la función de utilidad del consumidor es u = qx.q2 ~2>q\ ; Px = 10, P2 = 15 y el ingreso

del consumidor en el precio considerado es 180, determine las cantidades qx y q2 que

debería comprar para maximizar tal utilidad.

Desarrollo

Aplicando multiplicadores de Lagrange

u = qx.q2 - 3 q l , pxqx + p2q2 = 180 => IOí?,+15<72 = 180 => 2qx + 3q2 = 36

F(qx,q2,Á) = qx,q2 - 3 q\ - A(2qx + 3q2 -36 )

dFdqxdFdq2dFdA

= q2 — 2A = 0

= qx - 6¡y2 - 3A = 0

= ~(2qx + 3<72 - 36) = 0

~ 2A _ g ,~ 6 q 2 15

3

como 2#, + 3 ^ -3 6 = 0 => 2 g ,+ ^ - = 36 =» 2q¡ + = 369i -1 5q2 = 2

Las cantidades que debe comprarse qx y </2 Para maximizar su utilidad es 15 y 2

respectivamente.

Eduardo Espinoza Ramo\

3.21. SUCESIONES Y SERIES.-

PROBLEMAS

En el caso de cada una de las series siguientes, diga cual es el primer termino y determ ina si la serie es divergente o convergente (condicional o absolutamente, tratándose de serie i* altemos).

£) ¿ ( - i r 1-i

n=\ n2 +1

Desarrollo

Aplicando la propiedad: Si un es una serie alternado; si un | es convergentin=l

entonces la serie u„ es absolutamente convergente.

n=l

n=l

°° 1 00 1 y | (-1)"+1 —z— | = y —— es convergente. t t « +1 t í " +1

En efecto an = —-— < ^— = bn => \ \ es convergente entonces por el criterion +\ n¿ ~ n 2

00 1 | comparación > —— es convergente. Por lo tanto > (-1)"+1 —— es absolutamente

convergente.

n~l n2 +1

Desarrollo

Aplicando el criterio de comparación directa

( aleuto Diferencial 419

3es convergente por ser una serie P = —>\

como an <bn donde es convergente, entonces por el criterio de comparaciónrt-1

directa ÍT es convergente.

© - ■2Desarrollo

Aplicando la propiedad si lim an * 0 => ^ ---- — es divergenten -4eú “ H 4- /, n + 2n=l

Como a - — — => lim an = lim ---- — = 1 / 0n + 2 n->~ »-*•= n + 2

Por lo tanto Y — — es divergente. “ n + 2r - \

=iDesarrollo

Por el criterio de comparación directa.

oo ” . Si ^Ta,, es una serie y bn < an donde ^ b n es divergente entonces ¿¿a,, es

„=1 n=l «“I

divergente. Como ln(n) < n => 1 + ln(n) < n + 1 => ---- < -—-—b n + 1 1 + ln/i

de donde > ----- es divergente entonces > — — - es divergente.■“ n + i r í 1+lnn<1= 1 <1-1


y (i)n+i — í—

Desarrollo

«n = ( - Dn+1— =* «n+1= ( - i r 2 1(2n + l)! (2n + 3)!

( - l ) n+2 1Ì r ¡ “ m i ! 1- I (2/1 + 3)! | .. (2/1 + 1)!k = lim !—5±i-|= lini ¡--------- — :-------1= h m 77-—^ 7

;i-»~ U n »-*«■ f . ì-.n+i J n-»~ (ZH + 3 ) !

(2/1+1)!

(2/1 + 1)! 1= h m ------------------ ----------- -- lim --------------------= 0 < 1»-♦- (2/i + l)!(2n + 2)(2 n + 3) «-»- (2n + 2)(2/i + 3)

°° 1por lo tanto ^ ( - l ) n+1---------- es absolutamente convergente.a (2n+ ,)!

(n + l)(n + 2)I “ . . .

Desarrollon!n-1

(n + l)(/i + 2) (/i + 2)(n + 3)U„ = ------------------------ = > M_ . . = -------------------------

ni (n + 1)!

(n + 2)(n + 3).. i un+\ . .• ¡ (n + 1)! i ,• (« + 2)(/i + 3)/i!A: = lini - 2±i- = Imi ¡ —— —---- — ¡= iim ----- —----- —----- —n-*~ un n->“ (n + l)(n + 2) «-»«> (n+ 1X/1 + 2)(n +1)!_

(n + 3)n ! n + 3= iim ------------------ = iim -------- - = 0 < 1n->~ ( n + l ) ( / i + l).w ! »-►“ ( « + 1 ) “

por lo tanto y 1 + es absolutamente convergente.»1=1

< uh ulo Diferencial 421

Desarrollo

=> “n+. = ( - i ) ,,+2(n+1)2n+l2 h — 2i

, <\n+2 (n + l)2I ____2n+1 , , , ( - i r 2(/. + l)22”k = lim I -4±L |= Jim | ------------ — |= lim |

»-»«■' un ' «-»«•' n2 «->“ (- l)"+1«22n+12"

(n + l)2 1 n + 1 2 1 ,= hm - = - hm (------) = - < 1w->o° i r 2 2n-+°o n 2

°° '* n^Por lo tanto (- l)" +l — es absolutamente convergente.

2‘n—\ L

(n + 3)!

Desarrollon=0 3!n!3"

(n + 3)! (n + 4)!3!.n!.3" "+1 3!(n + l)!3n+1

(n + 4)!, ,■ i Mn+i . ,• , 3!(n + l)!3"+l . . (n + 4)!n!3" . 1 ,. n + 4 1k = lim = hm — — = hm — i---------------------------------------------------r = - h m --------- = - < 1

«->” un «->“ (n + 3)! «-»“ (n + 3)!(n + l)!3 3n->°°n + l 33!n!3"

V 1 (/i + 3) ! . ,por lo tanto > ------- — es absolutamente convergente.n=o 3!n!3

© p - > r ' £

Desarrollo


«n = H )n+1 2”

n~ + 1=> Unfl =

_j n+2

(n + 1)3 +1

(_l)«+22»+i

, .. , (n + 1)3 +1 , ,. 2"+1(n3 +1)

* - ! Z 1 i f l= i™1 T í F T l= ” 5 W 7 > Ín3 +1

3 1 00 2 W: 2 lim —“—■—— = 2(1) = 2 > 1 por lo tanto ^ ( - l ) " +i

M —ion / »» _!_ I V 1

Y io"

^ nin-1Desarrollo

10" 10"+1«„ = — - => «„ .1 =

n! "+1 (n + 1)!

10n+1

k = lim | ~ | = lim l ~ ~ ~ l = lim»-*“ ' un ' n-w' 10" ’I-*“ 10* (n +1)!

T í

= 10 lim — = 10 lim —— — = 10 lim - i - = 0 < 1 «-»»(n + 1)! n-»~n!(n + l) »-»~n + l

■v-i 10’“por lo tanto > ---- es divergente.¿~i n I> « ! H = l

V '1 n ' JLiQnn-\ y

Desarrollo

n\ (n + 1)!^ “"+‘ _ gn+l

es divergente.

( úlculo Diferencial 423

(n + 1)!t i i “»h i ,• i 9n+1 i •• 9"(n + 1)! 1 ,. (n + 1)! 1k= lnn 1 - ^ 1 = lim ¡ -2 —— 1= l i m— —- = - l u n - ----- - = - hm (n + l) = »

n—>o° Uf¡ n-*°o H ! n--><*> 9 .AZ ! 9 w—>°° ÌÌ ! 99 n

/i !por lo tanto - es divergente.

n=] ^

t í 10(2«-DDesarrollo

n2 (n + 1)2------ => «n+i =" 10(2n -1) "+l 10(2n + l)

> + l ) 2t r i un+\ i i- i 10(2« +1) . 10(2n-l)(n + l)2 2 n - l n + l s2 ,£ = hm | -2±¿-1= lim | — — i-1= lim — ------ - — = lim --------(------ )2 = 1

n-*~ un n->~ «- «-+■» 10(2n + l)n «->«■ 2n +1 nf o ^ - ü

1 * 2no hay información p e ro ------------ < -------------de donde > -------------- es divergente.

10(2n-l) 10(2n -1 ) ^ 1 0 ( 2 n - l ) 5

~ n2L: ego por el criterio de comparación directa V — ------- es divergente.

n=i ^®(2n 1)

B )n=l

Desarrollo

1 ~ 'IT' 1Como — < en donde > — es divergenten “ nn=l

Luego por el criterio de comparación la serie es divergente.n=l


>>n

f r ». 2nDesarrollo

3 ri o/i+l. / i\*+2 3» . = h » - -

(-1)"+23"+i

, r , (« + 1)2"+1 , n.2”.3n+l 3 . . n 3 ,k = lim ¡ -2 i‘- lnn ¡ —----- ------- = h m ---------------------------- ;— = - lim --- = - > 1n~>™ un (—1) 3" «-** (n + l).2 3 n + l 2

n.2n

xt' \ 3n esto quiere decir que V (-1)"+1— — es divergente.n=l n 2 "

s«+l 3h -1S (- 1)n

Desarrollo

4 "«=0 ^

( - l) ',+2(3n + 2), r ! 1, ,• I 4"+1 ■ .. 4"(3«+ 2) 1 3n + 2 1& = hm | - = hm ¡------- -¡---------- = lim — ~------------------------ — = -• h m ---------- = - < 1

n-»~ wn n-»~ (—l)”"1” (3n — 1) n~*°°4 (3n — l) 4«-»“>3n — 1 44«

'

por lo tanto la serie ( - !) '!+1 es convergente absolutamente.» - o 4

X < - »

J v.' ■ ■

3n 3 -1

«.-o 4"Desarrollo

( til culo Diferencial 425

2X i 3/2 ~ 1

|(-1 ) —------ 1< 2 , — es convergente por el criterio de comparación directa se«=o 4 n=0 ^

2°° 3/2 1

tiene que ^ T ( - l )n+!---- -— es absolutamente convergente.n=o 4

+1 101

n=0 (5 n -2 )4Desarrollo

10 10! — J «+l i

(5 n -2 )4 (5n + 3)4

comparando se tiene: 0 < an+l < an , V n y además lini an = lim ---- —- = 0n—>°° n— _

(5 n -2 )4

Luego por el criterio de Leibniz la serie es condicionalmente convergente.

n+i (n + 3)!'*) S < -» 3- ,

n=0 J

Desarrollo

( - l ) " +1(n + 3)! _ ( - l ) n+2(/i + 4)!=> u„+1 - 3„

(- l)"+2(n +4)!

lim |Ííü±L |= iim ¡------ J f -------- 1= lim 3"«->“ un n->°° (—!) (« +3)! n->~ 3 (n + 3)!

3»-!

1 (n + 3)!(n + 4) 1 . ..= — hm ------------------ = - hm (n + 4) = +°°

3«-»“ (n + 3)! 3«~*~

| í f j 4- 3 ) por io tanto la serie > (-1) es divergente.

n~0 3

426 Eduardo Espinoza Ramof

n + 2@ X (_1)',+

Desarrollo

. n + 1n=l

f%~\~ 2Como lim an - lim ------ = 1 * 0 , entonces la serie > (-l)"*1------- es divergente.

n ~>oo „_>oo ti 4-1 n + 1«=1

oo "i,

§> s f r#1=1Desarrollo

>v (n + 1)3 . , .« „ = — =* Mn+, de donde

n ! ( ah - 1)!

<£±1>1

«-»«» t ín n 3 n -> ~ ¡i ,(ji + 1 ) !

ñT

« + L 3 « ! . « + 1 ,3 1 -, ,= lim (.------) -----------= lim (------ ) ------= 0 < 1«->■» n n!(n + l) «->“ n n + 1

/Jpor lo tanto la serie —- es convergente

iM=1

y 32”-'

é « 2 +»Desarrollo

illculo Diferencial 427

= 9 lim —- — ------= 9(1) = 9 > 1, por lo tanto la serie V«->~(n +1)2 +1 . 2+ l

2) ¿ í - i r ' - i .t í V«

Desarrollo

1 1= -;=■ => an r~ ~ “«+1 /---- r

V « V n + 1

como Vñ < Vñ +1 => —. J = < -|= r, de donde all+l <an , V n\¡n + 1 Vn

además lim a„ = lim - = = 0 .n —>oo rt-»oo f t

es divergente.

Luego por el criterio de Leibniz, la serie es condicionalmente convergente.


C A P I T U L O I V

4. CALCULO INTEGRAL.

1.1. REGLAS PARA LA INTEGRACIÓN.-

0 JúÍX = x + c

© J k dx = A:J d x , k constante cualquiera 1

@ J (du + dv) = ^du -f d v , donde u = f(x) y v= g(x) son funciones diferenciables de x

í xndx = --— + c , n ¿ -1 v ~/ J n + 1

® r\ u ndu = ------- he, n * -1, en la cual u = f(x) es una función diferenciabie de x.J n + 1

.2. PROBLEMAS.

Evaluar las siguientes integrales.

) J* (jc2 -- V3c + 4 )dx

Desarrollo

í (x 2 - - J x + 4)dx = í (x2 - x 2 +~4)dx = — ~ + 4 x +c«* J 3 3* .'•*3 3 •

) ¡ ( 2 - 1 1)

Desarrollo

Sea u = 2 - 7t => du = -7 dt => di - du

Cálculo Integral 429

2 - 2 du.. 1 f ! . 3 4 3 5 cí (2 — l t ) 3dt = f 1*3(-— ) = - ¡u3du= — «3 + c = ~ ( 2 ~ l t ) 3 + J J 7 1* 35 35

( 3 ) j j 2 + 5 y d y

Desarrollo

3

j J 2 ^ d y = i J(2 + 5 y )2 5 ¿y = (2 + 5y)2 +

dx

® L . . ,Desarrollo

(3a + 2)2

duSea u = 3x + 2 => du = 3 dx => tic = —

3

í/jc f du 1 f _2 , 1 , 1 ,------------ = r r — I u d u = --------- 1- C = ------------------------Y

(3jc + 2)2 ■» 3a 3 j 3« 3(3*+ 2)

3 rdr

Desarrollo

Sea u2 = l - r 2 = > 2 u d u = - 2 r d r = > r d r = -udu

c

f 3rdr ~udu a fJ " J u J3rdr „ f -udu j -3 \/l - r2du =-3w + c = —3vl —r +c

f ó ) J x ^ 2 x 2 +1 dx

Desarrollo

9 7 ~ , j J lldUSea = 2x +1 = > 2 u d u = 4xdx => xdx = - - —

J___— f $ udu 1 f 2 , m3 . (2*2 +1)2

\xsl2x2 + l d x ^ j y j 2 x 2 + lx d x = j u . - Y = - j « </« = — + c = ----- - ----- + c

•30 Eduardo Espinoza Ramon

j ) j ( y f x + - ~ )d x

Desarrollo

1 1 2*2 '.............. - cJ (sfx + = J (* 2 + •* 2 )dx = + 2x2 + (

D i( z + \ ) d z

y f z 2 + 2 z + 2Desarrollo

3w2Sea w 3 = z 2 + 2 z + 2 =* 3w2dw=2(z + l)dz => ( z + l)dz = —— dw

f —p £ Í ^ ¿ = r = — f — rfw = — \w d w = ^ - + c = — ( z 2 + 2 z + 2 ) 3 +c ■* >/z2 +2z + 2 2J w 2 J 4 4

*) J 2*Desarrollo

{ l z * i± * * L d x = - L \ ( x ~ 2 - 4 x 2 + 4x2)dxJ V I J V2* V2 J '

i I o 2 8 - i__ 4 4 ,= 4 = tÍ2 x 2 -- jc 2 + - * 2) + c = > ¡ 2 x ( l - - x + - X 2 ) + C

4 l 3 5 3 5

$ Jafjc

<\Í2xDesarrollo

2* = ~ £ '

í í ) f ( W I - S ) 2 rfx

Desarrollo

f ilíenlo Integral 431

(B>

(•>)

( $

— 4 5( x \ f x - 5 ) 2dx = j ( jc3 - I O jc2 +25)¿¿c = - — 4jc2 + 2 5 í + c

J 4

x 3 - l

x - ldx

Desarrollo

x - l f ( . t - l ) ( . r + x + l) f 2 x3 A2------ £¿t= I ----------------------d x = \ ( x +.V + 1 )dx = — + — + x + cx - l J x - l J 3 2

(2x + 3)dx

(2x + 3)dx = x +3 x + c

Desarrollo

( X 2 - y f x ) d x

Desarrollo

-3 2jc2( x 2 + y f x ) d x = f ( x 2 - X 2 ) d x = —— —— + c

J 3 3

s¡2 + 5 y d y

Desarrollo

Sea z2 =2 +5y =* 2z dz = 5 dy => í/y = 2~.dz

(8>

j y j 2 + 5 y d y = j 2 ” ^ = | J z 2* = ^ z 3 + c = ^ ( 2 + 5 y ) 2 +<

dyHallar la ecuación de la curva que tiene pendiente — = 2 * -5 y que pasa por el punto

d x

(5,4).Desarrollo

dy— = 2x - 5 => dy = (2x -5 )dx integrando dx

Eduardo Espinoza Ramni

j dy = j (2x - 5)dx => y = x2 - 5 x + c

para x = 5, y = 4 se tiene 4 = 25 ~ 25 + c =» c = 4 y = x 1 - 5 x + c v

dyHallar la ecuación de la curva que tiene pendiente — = (x+l)(.v + 2) y que pasa por el

dx3

punto ( - 3 , - - )

Desarrollo

dy o— = (x + 1)(jc + 2) dy — (x + 3x + 2)dx integrando dx

r e X 3 3j d y = j ( x 2 +3x+2)dx => _v = — + ~ * 2 + 2x + c

Si - = 2 x - 3 siendo y = 2 cuando x = 3. Hallar el valor de y cuando x = 5. dx

Desarrollo

dy— = 2 x - 3 => dv = (2x - 3) dx integrando dx

J dy = j ( 2 x - 3 ) d x + c => y = jc2 “ 3 * + c

. .cuando x = 3, y = 2 = i > 2 = 9 - 9 + c = * c = 2 y = x2 - 3x + 2 \

Para x = 5, y = 2 5 - 15 + 2 = 12 y =12

Si — = —=L = , siendo p = 2a cuando x = — , hallar el valor de p si x = 2a3 ¿x V2ax 2

Desarrollo

~ - = -=L=r => dp = -^L=- integrando d x s¡2ax \¡2ax


dx \l2ax—f = + C => p = ------------h CV2<zx a

para p = 2a, cuando x = — ==> 2a = a + c de donde c = a entonces p = ^ ^ — + a2 a

para x = 2«3 => p = 2 a + a = > p = 3a

© Hallar la ecuación de la curva para la cual y '" = 2 y cuya pendiente en su punto de

inflexión (1,3) es -2.Desarrollo

d*y , d 2y— f = > •= 2 => — f = 2* + c dx3 <¿t2

d 2ycomo (1,3) es punto de inflexión entonces — — = 0 para x = 1 =* 0 = 2 + c => c = -2,

dx

dedonde ^-~- = 2 x —2 => — = f(2 x - 2)<¿x + cdx2 á J

dy 2 ¿y— = x - 2 x + c como la pendiente es -2 en (1,3) entonces para x = 1, - = -2 dx dx

entonces — = x2 - 2 x + c => -2 = l - 2 + c = > c = ldx

entonces — = x 2 - 2x +1 => rfy = (jc2 - 2x + l)¿r dx

j d y = ^ ( x 2 - 2 x - l ) d x + c => y = — -J t‘ - x + c

por ser (1,3) punto de inflexión entonces está en la curva es decir:

„ 1 , , 14 x 3 2 143 = — 1-1 + c =» c = — >> = ------ x - x + —

3 3 3 3

4Hallar la ecuación de la curva para la cual y ’ = - j y que es tangente a la recia

x32x + y = 5 en el punto ( 1,3).

Desarrollo

Sea L: 2x + y = 5 =» mL = 2

Eduardo Espinola KamaM ..... .............. - --- ----------

d 2v „ 4 dv f 4 dy 2 . . . . dy A— —- = y = —— => — = — dx + c => — = — -- + c dedonde para x = l , — = - ■ dx x3 dx J x* dx x2 dx

-2 = -2 + c = > c = 0 => — = — => d>’ = —~ d x => íd>’= f — \ d x + cdx x x J J x

2 2 jy = — + c como (1,3) esta en la curva entonces 3 = 2 + c => c = 1 y™—+11

x x i

Hallar la ecuación de la curva para lo cual y" = 6x2 y que pasa por los puntos (0,2) j i(1,3).

Desarrollo

í f . y W => — = 2*3 + c dx2 dx

x4C : y = —- + cx + k2

(0,2), (-1,3) e C2 - 0 + 0 + * k = 2 4x x M1 => 1 ... y = _ + - +3 = — - c + ¿ c = — 2 2

2 2

Hallar la ecuación de la curva para lo cual y ” = x y que pasa por el punto (1,2) con un

Desarrollo

d 1 y „ dy x2 dy 5— f = y ” = x => ~ —— c para x = l, — = -dx dx 2 dx 2

5 1 » dy x2— —-be => c = 2 =» — = -i- 22 2 dx 2

2 « 2

d y 2)dx => J dy = j (:~~ + 2)dx + c

( lilculo Integral 435

3X 1 1

y = — + 2x + c como (1,2) esta en la curva entonces 2 = —v2 + c => c = —6 6 6

*3 o 1.'. v = ---- f-2x+—6 6

@ Hallar la ecuación de la curva que tiene pendiente cero en el punto (0,2), tiene punto de

inflexión en (-1 ,— ), y tiene y = 43

Desarrollo

d 3 y d 2y—f = y " = 4 => —— = 4x + c dv3 dx2

10 d 2 ycomo (-1 ,— ) es punto de inflexión => en x=l, — ~ = 0 de donde 0 = -4 + c =* c = 4

3 dxr

d 2y dy ?— - = 4 x + 4 => — = 2 x ' + 4 x + c como la pendiente es cero en el punto (0,2) dx dx

dyentonces para x = 0, — = 0

dx

0 = 0 + 0 + c =¿> c = 0 de donde — = 2x2 + 4xdx

2¿> | qy ~ — - + 2x2 + c , como pasa por los puntos (0,2) y (-1, —) se tiene:

9 v32 = 0 + 0 + c = > c = 2 y = ----- + 2x2 + 2

3

4.3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN LAADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMIA.-

A) c o s m -

y = f(x) es la función de costo total de producir y comercializar x unidades de una mercancía

y / ( * ) , j .— = ------ es el costo promedio por unidad.x x


— = / '(*) es el costo marginaldx

B) INGRESO«-]

y = f(x) es cualquier función de demanda, donde “y” es el precio por unidad

“x” es el número de unidades.

R = x.y = x f(X) es el ingreso total

— = R '(x) es el ingreso marginal dx

f e RENTA NACIONAL CONSUMO Y AHORROS^]

c = f(x) es la función consumo donde

“c” es el consumo nacional total

“x” es la renta nacional total

da— = / '(-*) es la propensión marginal a consumir dx

si x = c + s, donde s son los ahorros, entonces

dS , dC . . . , .— = 1------ es la propensión marginal a ahorrar.dx dx

I» PROBLEMAS.-

Si el ingreso marginal es una constante diferente de cero, demostrar que el precio es ■constante.

Desarrollo

Ingreso marginal = — - c t- 0 => dR = c dx => R = xc + r para x = 0, R = 0dx

se tiene r = 0 => R - xc además R = x f(x) es el ingreso total

Luego x f(x) = xc -> f(x) = c

y = f(x) = c que es el precio es constante


( 2) Si R'(x) = 0 y R(0) * 0 ¿Cuál es la naturaleza de la curva de demanda?

Desarrollo

R(x) = x f(x) => R \x ) = f ( x ) + x f \ x ) = 0

f ( x ) + x f \ x ) = 0 => - - - - - = - — integrando f ( x ) x

\^—^ - d x = - \ — +c =» ln f(x) = - ln x. kJ f ( x) J xf ( x )

f ( x ) = - 1- x f ( x ) = Yx k k

R(x) = \- =* K (0 )= 4 * 0 k k

Luego la curva de demanda es una hipérbola

( J ) Si el costo marginal es constante, demostrar que la función de costo es una línea recta.

Desarrollo

dy dy— = f X*) costo marginal, pero — = c , c = constantedx dx

dy = c dx => | dy = j cdx + k --=> y - ex + k es una línea recta

( 4) La propensión marginal a consumir (en billones de dólares) es — = 0.6 + cuando la^ dx I

2x2renta es cero, el consumo es de 10 billones de dólares. Hallar la función de costo.

Desarrollo

— propensión marginal a consumir dx

x renta nacional = 0 ; c consumo nacional = 10 billones

E d u a r d o E s p in o z a Ramos

(l( - 0 .6+ — p integrando se tiene: de = (0. 6+— + k dx - -

2x2 2x^

c = 0.6x+0.5x2 +k para x = 0, c = 10 reemplazando tenemos:

10 = 0 + 0 + k => k= 10 c = Q.6x + 0.5x2 +10

La función costo marginal para la producción es y' = 10+ 24x-3x2 ; si el costo (total)

para producir una unidad es 25, hallar la función costo total y !a función costo promedio.

Desarrollo

y ' = / ’(x )- 1 0 + 24x - 3.Í2 función costo marginal

y es el costo total = 25

x es la unidad de mercancía = 1

~ = 10+ 24x-3x2 =» í/y = (10+24x- 3x2)dx integrando dx

j d y = J (1 0 + 2 4 x -3 x 2)</x+*, setiene: y = \0 x+ l2 x2 - x 3 +k para x = 1, y = 25

25 = 10+ 1 2 - 1 + k => k = 4

y = / ( * ) = 10x+12x2 - x 3 +4 función costo total

y = — = 10+12x~ x2 +■— función costo promedioX X

La propensión marginal a ahorrar es — cuando la renta es cero, el consumo es 6 billones

de dólares. Hallar la función consumo.

Desarrollo

ds • 1— = propensión marginal a ahorrar = — dx 2

Cálculo Integral 43‘

x = renta nacional - 0 ; c = f(x) ftmción consumo = 6

ds _ de 1 dr 1 /¡y vpero —- = 1—— = -- de donde se tiene: — = — => cic = = - - = > c = -- + k

dx dx 2 dx 2 2 2

para x = 0, c = 6 => 6 = 0 + k => k = 6 c = / ( x ) = - + 62

(2 ) Si el ingreso marginal es R = 1 5 -9 x -3 x " , hallar las funciones de ingreso y demanda.

Desarrollo

R(x) = J R \x)dx = J (15 - 9x - 3x2 )dx

R(x) = 15x - —x2 - x3 función de ingreso

R( r) QR(x) = x f(x) => y = / (x ) = ------de donde y = 15 — x — x2 función demanda

x 2

© ^i ingreso marginal es — , hallar las funciones de ingreso y demandax x

si R(l) = 6.Desarrollo

R(x) = j R 'd x = j ( - \ - - ) d x + kX ^

3R(x) = ~ - - 2 ln x + para x = 1, R = 6 reemplazando se tiene;:

36 = - 3 - 2 1 n l + k = > k = 9 de donde R(x) = ----- 21nx + 9 , función de ingreso

x

.....R(x) 3 21nx 9 f ... Jy --------- — r---------- - + — función demanda

X X X X

( 9 ) Si el ingreso margina! es R ' = 10 - 5 x , hallar las funciones de ingreso y demanda.

Desarrollo


R(x) = ¡R 'd x = ¡ ( 1 0 - 5x)dx = lO x-5a

~2

2

y = / ( a) = — — = 10 - —a función demandaa 2

Si el ingreso marginal es R' = 20- 3 x 2, hallar las funciones de ingreso y demanda.

Desarrollo

R(x) = ¡ R'dx = ¡ ( 2 0 - 3x2 )dx = 20 x - . r

R(x) = 20a - x 3 función ingreso

y — f ( x ) = — — = 20 - x 2 función de demanda x

de 1La propensión marginal al consumo (en miles de millones de dólares) es — = 0.5 h------

dx -3a3

cuando el ingreso es cero, el consumó es 6 mi millones de dólares, hallar la función consumo.

Desarrollo

— = propensión marginal a consumir dx

x = renta nacional = 0 ; c = consumo = 6 billones

de 1 -— = 0.5 + — - integrando' c = 0.5a +0.5a3 +k para x = 0, c = 6dx i

3a32

6 = 0 + 0 + k => k = 6 .'. c = 0.5a + 0.5a3 +6

de 1La propensión marginal a ahorrar (en billones de dólares) es — = 1 - 0.4-----—, cuando

dx -6a3

la renta es cero, el consumo es 9 billones de dólares. Hallar la función de consumo.

Desarrollo

( átculo Integral 441

x = renta nacional = 0 ; c = consumo = 9 billones de dólares

— = propensión marginal a ahorrardx

c = f(x) = ? = función de consumo

dedx

= 1 -0 .4 -y integrando ¡d e = J (1 -0 .4 --- — )dx + k

6 a 3 6 x 3

i

c = x - 0 .4 a -0 .5 a 3 +k para x = 0, c = 9, reemplazando se tiene:

9 = 0 - 0 - 0 + k k = 9 por lo tanto

!c = f ( x ) = x - 0.4a—0.5a3 +9 función consumo

4.4. INTEGRAL DEFINIDA.-

f f ( x )d x = lim Y f(x¡ )Ax¡ = F(b) - F(a)Ja n —>°°i=1

! 4.5. PROBLEMAS.-

Rvaluar las siguientes integrales

® J ( a 2 - 2a + 3)dx

Desarrollo

„3£ ( a 2 - 2 A + 3)Ja = ( - - - A2 + 3 a ) / ’ = -1 + 3) - (0) = 1

( 2 ) J (v +1 )dv

Desarrollo

f 1 v2 #i 1 1í (v + 1 )dv = ( ~ + v ) / = (- + l ) - ( - - l ) = 2J-i 2 • - i 2 2


s > r (4x + l ) 2dx

Desarrollo

1 . 3r2 - I r 2 - 1 - i 2 13(4 x + 1)2dx = - \ (4x + \)24dx = — ( 4 ; c + l ) 2 / = —

J o 4 J o 6 » 0 3

r 1 dx

Jo (2x+l)33 í^ v-------,Desarrollo

r 1 dx _ 1 f 1 2 dx _ 1 / ' _ 1 ^ 1

J o í 9 r + n 3 2 J o r ? r + n 3 4<?r + n 2 ' o 4 9o (2a:+ 1) 2 Jo (2jí + 1)3 4(2jc + 1)2 7 0 4 9

0 j \ ( t + 2)2dt

Desarrollo

4I 2t(t + 2)2dt = j \ t * + 4 t 2 + 4 t ) d t = + + 2 t 2) I *

3 2 ox 81 1 0 8 1C1 1 0 9 , 7 ;= ( 4----- + 8 ) - ( ----------- + 18 )=------- 6 = —3 4 3 1 2 12

® \2 (x l + ~2^dx

Desarrollo

f ( * 2 + - U ¿ X = ( - - - ) / ’ = ( - - ! ) - ( - — ) = 29 + — J 2 JC2 3 x ' 2 3 5 3 2 10

® r ( 2 0 + 1X3- 6 ) d 6

Desarrollo

J 3 (2e +1)(3-9 )d d = J (3 + 50 - W 2)d9

3 6 ~ 9

2 9 3

10

Cálculo Integral

© J (je2 + 1 f d x

Desarrollo

í (x2 + \ ) 2dx = f (x4 + 2x2 + \)dx = ( — + + x ) /J - i J - i 5 3 ' -

1 2 1 2 2 4 6 + 20 + 30= (— + — + !) — (-----------1) = - + - + 2:

5 3 5 3 5 3 15

( 9) J (a + z)dz

Desarrollo

C2a Z 2 t la ■) 1 ■y a 2 5 a 2( a + z)dz = ( a z + -—■)/ = ( 2 a + 2 a - ) - ( a ~ + — -) = — -

Ja 2 • a 2 2

10) I ^-AdxJ,1 x4Desarrollo

f 2 X —1 f / 1 1 w , 1 1 , / 2 , 1 1 v , , K— 7 ~ d x = \ ( ~ T — r ) dx = (— + ~ r V , = (- T + 7 ) - ( - 1+t )

J i Jt4 J i x2 x4 X 3x3 ' 1 2 2 4 3

^ .8 I -Ij ( u 3 — u *)du

Desarrollo

f 8, í , 3 x 3 r .8 3 3% , 3 27(m — m 3 )</y = (— k 3 ~ ~ u ) / = ( 1 2—6 ) —(— ——) = 6 + — = -—-

Ji 4 2 ' 1 4 2 4 4

2 ) J ° (2* + x2 - *3 )<¿c

Desarrollo


I ì) í ( a 3 + 3 ax2 + x3 )dxJa

Desarrollo

í (a3 +3ax2 +xi )dx = (a3x+ ax2 + — ) /J a 4 I a

X \ /2a

■ (2a4 + 8 a 4 + 4 a4) - ( a A + a 4 + ——) = 1 2 a 4 - — = - - - ■-4 4 4

¡ 4 ) J ‘ ( 7 Í ~ \ f x ) 2dx

Desarrollo

í i'fa - \ f x ) 2d x - í ( a - 2 y/a^fx + x)dx = ( a x 4— > / a x 2 + —- ) /Jo Jo 3 2 > o 6

Í5) p V i - z ) 2*

Desarrollo

f 4 .— (»4 — 7 ^ 4 ~ 7 ‘ á ' 4( V z - z ) “ <fe = ( z - 2 z 2 + z )dz. = ( - -------- z 2 + — ) /

Ji Ji 2 5 3 • 1z¿ 4 ~ z \ , 4

/0 1 2 8 6 4 1 4 1 15 1 2 4 1 7 3 3 7: (8-------- + — ) - ( ---------------------------+ - ) = ---------+ 21 = -+ 21= —5 3 2 5 3 2 2 1 0 10

J ( x 2 + x ) ( 3 x + 1 )dx

Desarrollo

f ¿ 2 \ f 2 3 a 2 i / 3x 4X X #2I (x +x)(3x + l)dx= I (3x +4x +x )dx = (------i- -------+ — ) /■>-1 J - i 4 3 2 7

: ( 1 2 + 3 2 + 2 ) _ ( 3 _ 4 + l ) = 1 4 + 1 2 _ 5 = 2 6 _ 5 = 1 0 4 - 5 = 9 9

3 4 3 2 4 4 4 4

( álculo Integral 445

14.6. ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA.

Trazar cada una de las siguientes curvas y determinar el área comprendida entre la curva, el eje X y las ordenadas que se indican.

( T ) y = V x , x = 1, x = 16

Desarrollo

A = \ 16 yfxdx = —x 2 f 16 Ji 3 / 1

A = - ( 6 4 - 1 ) = 4 2 3

@ y = 2 x + 1 , x = 0 , x = 4 -

Desarrollo

A = f ( 2 x + l ) d x Jo

A = ( x 2 + x ) ^ = 1 6 + 4 - 0

X = 4 x A = 20u

( j ) >’ = x " , x = 0, x = 1


s 3.1 , x = 1, x = 3

y = x2 - 3 x , x = -1, x = 4D esarrollo

9 ■> 9 9 3 ?y = x 2 - 3 x => y + —= je -3 je+ — de donde se tiene: y + —= (■*-—) ' 4 a a °

94

'j

Y -

I

j ] Vx= 1 0 \ J Z 3

x = 4 X

A - 1° (x2 - 3x)dx+1 £ (x2 - 3x)dx | +J (x2 - 3x)dx

t .je3 3je2.# o x3 3x2 #3. x3 3x2(i f / - ,+ T _" y / » i f / j

11 . 9 . 11 11 9 49 2A = — + — = _ + _ = t,z6 2 6 3 2 6

y = - j :2 + 4 x , (y eje x)Desarrollo


©

©

y = - x 2 + 4je = - ( je2 - 4x) y - 4 = - u - 2 ) 2

A = f ( - je2 + 4x)dx Jo

A = ( ~ + 2x2) /

A =-16 + 32 = 16 de donde A = 16w'

D esarrollo

---------- ----------- ► O Q2 3 \ X A = - + ( — + 1 8 ) - ( - 2 + 12)

, o 11 37 , , , 37 ,A = 5 ------= — por 10 tanto el area es: A - — u6 6 6

f ( x ) =2je + 3 , je <3 - x + 12 , je > 3

, x = 2, x = 5

D esarrollo

f(x) = -x + 12 A = £ (2x + 3)dx + J ( - j e + 12)<¿v

A = (je2 + 3 je) / + ( - — + 1 2 je) /

25A = ( 9 + 9 ) - ( 4 + 6 ) + ( ~ + 6 0 ) - ( -

A L

A = 8 - 8 + 6 0 -3 6 = 24 por lo tanto el área es A = 24u2

s> I v

o

N Eduardo Espinoza Ramos

I )ctcrminar el área entre la curva y = 2jc4 - x2, el eje X, y las ordenadas mínimas.

Desarrollo

y = 2 je4 - x 2 =s- y ’ = 8 * 2 - 2 ; t = 0 => (4jc2 - 1)jc = 0 = > x = 0, * = ± ~

y " = 24x2 - 2 => y "| _0 = -2 < 0 3 máximo

A =| J°, ( 2 x * - x 2)dx\ + \ j 2(2.x4 - x 2)dx | 2

A = 2\ ¡2(2x4 - x 2)dx i Jo

2x5 x3 / -A = 2 1 (— — ) / ,

5 3 * 0

7 7 7 2A = 2 |( -------) I - -----por lo tanto el área es A = -------u240 120 120

Calcular el área limitada por los ejes coordenados y el arco parabólico \fx + -Jy = Va

Desarrollo

= Vfi - V* => >' = o + X — 2-J2 sfx

A= í (a+ x~2-Ja-Jx)dx Jo

A = (ax + - - - — sfax2) j 2 3

«2 ,.2


Trazar una grafica y hallar el área limitada por las siguientes curvas.

y = 2 x

y - x — 4

x~ = 2 a y , y = 2a

Desarrollo

A = f2“ ~ d x - — J J-2a 2a 6a ’ -■

A = — (8a3 - ( - 8 a 3)) = — 6a 3

8a‘ 2A = -----u3

y = x - x 2, y = -xDesarrollo

'4- | m

Ml Eduardo Espinoza Ramos

5>

A = f ( x - x 1 - ( -x ) )d x Jo

A = (x2 - - ) í = 4 - - 'k / o 3

A = * M2 3

y2 = 4 a x , x2 - 4ayDesarrollo

I y2 = 4ax ^ x4

[x2 = 4ay I da2

A = f 4‘' ( 2 > / ^ - i l M x Jo 4a

4 r- I

■ = 4ax => x = 4a, y = 4a

A = (—'Ja..ax"3 12a

32 2 64a2 32 16% , 16 2A = — a --------------------------------- = (------ ~)a" = - ~ a

3 12 3 3 3

Desarrollo

i y = *

b - * 3=> x = 0, x = 1

r- ~ 2X2 XA = j o( y f r - X i )dx = (— - — ) / o

a r2 K 2 5 2A = (------ )w - — u3 4 12


y = ( x - l ) \ y = x2 - x - lDesarrollo

Y t

1 ,

/ 1 / 1 / /* / ¡/ 1

\ ^ / f/ i / 1

V

( I iy 7 2 X

. 3/ ¡

5 , 1.2 y + - = ( x —z)4 2

I y —( x - i )( x - l ) 3 = x2 — x — 1

[y = x - x - l

x3 - 3 x 2 + 3 x - l = x2 - x - l

x3 ~4x2 + 4x = 0 => x = 0, x = 2

A = i ’ [ ( x - l )3 - ( x ’ -x -l)]< ix = ( J o

4 ”3 x2 . 2— + X ) /2 ‘ o

( x - l f _ x ^ X 3 + 2

A = (—- —+ 2 + 2 ) - — = 4 - - = —w2 4 3 4 3 3

y2 = 5 a 2 - a x , y 2 =4axDesarrollo

| y = 5a - ax

{y 2 -- 4ax=> 4 ax = 5 a - a x => 5ax = 5a => x = a ; y = ± 2a

A = f [ ( 5 a - Z l ) - f ] d y J-2 a a 4 a

v 3 y 3 / 2 aA = (5ay——— — ) /

3a 12 • -2a

a a n 2 8 « 2 2 8f l2 8 f l 2 xA = ( 1 0 a --------------- ) - ( - 1 0 a ¿ + -----+ ----- )3 12 3 12

A = 60a —20a 40 2 2= ------------------= — a w3 3


Desarrollo

r2 ? 4A = I (7 - 3 x — -)dx Jl r-

19 1 2v A = (10— —) = —u* 2 2

y = x 2 , y = 8 —jc2, y = 4x + 12Desarrollo

A = J (4x + 12~8 + x2)dx + £ (4.X + 12- x ^ )d x

X \ , 6A = (2x2 + ~ + 4 x ) / 2 + (2x7 + I2 x - — ) / ^

6 x A = (16 + | ) - ( - - ) + (1 4 4 -7 2 ) - (3 2 - - )

A - 56 + 8 = 64i/2

y3 = x 2 , 2x + y + 1 = 0, x - y = 4Desarrollo


f 1 \ r8 -A ~ J i ~ C —2jc — 1)]í¿v + J (x3 - ( ; t - 4 ))dx

.3 f

^ - (~ + 2) - ( " +1 -1 ) + (— - 32 + 32) — (— — —+ 4)5 5 5 5 2

^ _ 99 ; 1 _ 99 3 _ 198-15 183 25 ' 2 5 2 ~ 10 ~ 10 U

y = x , y = x + 2, y = -3x + 16

Desarrollo

A= [ \ x 2 T x ^ - 2 ) d x + ¡ \ - 3 x + l S - x - 2 ) d x = ( ~ - — - 2 x ) / \ ( - — - — + l6 x ) / Jl J3 3 2 / 2 2 2 /

2 2 C X '

2 2

, 11 . 23 ,A = ~ + 2 = — «"6 6

@ ) y = 4 x - 4 , ' ’y = y ~ 6 - x

Desarrollo


r6 -2 v l4 x r2

A = J -6 ^ -------3 " ^ X + 1, -274 ~ X ^ ~ ~ 4 dX

y = .ì3 +3x2 +2 , v = Xs ±6x2 -2 5

Desarrollo

A = J 3 (~3x2 + 27)dx = (-X* + 21 x) j \

A = (-27 + 81) - (27 - 81) de donde se tiene: A =108«"

Cálculo Integral 45:

24) y = 25 - x 2 , y = (5 - x ) 2

A = f [(25 x2 ) - (5 - x)2 ]dx JQ

-+■ A = f ( lO .r-2 x2)dx X Jo

A = (5x2 / l =* A = 25(5- ^ f ) = — —u10 125 . 23 3

(25) y = x3 - 3 x 2 -IO * , y = -6xDesarrollo

= (ì 1 _ x3_2jc2) / ° + ( - — + x3 +2x2) / * = 0 - ( — + l - 2 ) + (-6 4 + 64 + 32) =4 » - 1 4 ' 0 4

IH4

Desarrollo

y = (x + 2)(x - l)(x - 5), y = (x + 2)(x - 1)

Eduardo Espinoza Ramo*

Yy = (x + 2)(x -1 )(x - 5)

- 2 / \ y \ l / 5 X

y = (x + 2)(x -1 )

»1 A ¡J [(x2 -(sx1 - 1 x + \ 0 ) - ( x 2 + x-2 )]dx = j (x3 - l x 2 -&x + 2)dx

,x 4 7x3,*■ >x a 2 , ~ 93= (--------------- 4x~+\2x) = —4 3 1-2 4

x(x - 3)(x + 3), y = -5xDesarrollo

4 4

2^2) / 0i + ( - ^ + 2 x 2) f o = (0 - (4 - 8)) + (-4 + 8) = 4 + 4 =!

xi + 3„r2 + 6, y — x¡ +Ax2 +5x

Desarrollo

Cálculo Integral

y = X3 + 3x2 + 6

A = í [ -U 3 + 4x2 -i- 5x) + (jc3 + 3x2 + ó)]dx = - í (jc2 + 5je- 6)dxJ-6 J-6

= - ( — + —— 6X) / ' = - [ ( - + —- 6 ) - ( - 7 2 + 90+36)] = —3 2 1-6 3 2 6

y = .x -5 * — 8jc + 12, y = x - 6 x +21

Desarrollo

i X


A = J [(a3 - 6x2 + 21) — (j:3 — 5x2 ~ 8x + 12)]dx = J (~x2 + 8x + 9)dx

■ ( - - - + 4x2 + 9 x ) / ' = (-27 + 144 + 8 1 ) - ( - + 4 -9 ) = 198-+- — = - - — 3 / -i 3 3 3

.7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN LA ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMIA.-

A) EXCEDEiNTE DEL CONSUMIDOR.-

Excedente del consumidor = f ( x ) d x - x 0y0 ,

donde y = f(x) es la función demanda o también.

f"V, IExcedente del consumidor = g(y )dy , donde

x = g(y) es la función de demanda.

B) EXCEDENTE DEL PRODUCTOR.-

E ^'o.yo) Excedente del producto = x0y0 - j f (x )d x

donde y = f(x) es la función de oferta, o tambiénf-lo

como excedente del producto = g(y )d y ,JlHo

donde x g(y) es la función de oferta.

C) INGRESO FRENTE A COSTO.-

La utilidad máxima se determina igualando el ingreso marginal y el costo marginal y la ganancia total es la integra) de la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal desde cero hasta la cantidad para el cual la utilidad es máxima.

( tí/culo Integral 459

44 l

®

©

PROBLEMAS.-

Si la función de demanda y = 39 - x , hallar el excedente del consumidor si

5a) *0 =-

a)

b) el articulo es gratis (es decir _y0 = 0 )

Desarrollo

5 25 131

excedente del consumidor

5

= Jq2 (39 — x2)d x - x 0y0

,.3 5 , 5,131, 2215 655= ( 3 9 x - ~ ) / 2 ~ ¿ ) ( ~ ) = -3 1 o 2 4 24 8

b) y0 = 0 , x0 = s¡39

= 10.41

E.C.= f (39 — x 2 )dx = (39 a - — ) / =26>/39 Jo 3 ' o

Si la función de demanda es y = 16- x 2 y la función de oferta es y = 2x + 1, determinar

el excedente del consumidor y el excedente del productor en situación de competencia pura.

Desarrollo

y = 1 6 -*y = 2x + l

1 6 - x2 = 2 x+ l => x2 + 2 x -15 = 0 =* (x + 5)(x- 3 ) = 0


de donde a0 = 3 , y0 = 7

excedente del consumidor = J (1 6 -* 2)rf*-*0y0 = (16*- W . + 3(7)

= ( 4 8 - 9 ) - 2 1 = 18

Si la función de oferta es y = y¡9 + x y *0 = 7 , hallar el excedente para el productor.

Desarrollo

Excedente del productor = x0v0 - f ° f ( x ) d x , donde f(x) es la función de oferta.Jo

-7 ^ ^ yExcedente del productor = 7(4) - £ s¡9 + x dx - 28 - [~ (9 + *)2 ] /

. 2 8 - ( i H . i 8 , = 4 6 - i “ - 1 23 3 3

a:Si la función de oferta es y = 4e3 y x(j = 3 , hallar el excedente para el productor.

Desarrollo

Para *0 = 3 , >>0 = 4e

r\¡ [i -Excedente del producto = x,yn - f (x )d x = (4e)(3) - 4e*dx

Jo Jo

= 12«-[12«3] / ’ = 1 2 e -P 2 * -1 2 ] = 12

Las funciones de demanda y de oferta (en situación de libre competencia) son 1 2 i

y = ~ (9 ~ x ) y y (1 + 3*) respectivamente, si se establece un impuesto adicional de

3 por cantidad unitaria sobre la mercancía, calcular la disminución en el excedente del consumidor.

Desarrollo

í álculo Integral 461

y = i ( 9 - * ) 2 4

y =4 (1 + 3*)4

—(9 - * )2 = —(1 + 3*) => (9 - *)2 =1 + 3* 4 4

*2 —18*+81 = 1 + 3* => * 2 -2 1 *+ 8 0 = 0 => x = 5, x = 16

(ó ) La cantidad vendida y el precio están determinados en un mercado monopólico, por las*3

funciones de demanda y = —(1 0 -* )2 y de costo total v = — + 5* de tal manera que se4 4

maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.

Desarrollo

X 'yIngreso total = xy = — (10 - *)

IM =(1 0 - * ) 2 *

- —(1 0 -* )2

y = — + 5* costo total 4

3*C.AÍ. = ----- +5 costo marginal4

ft) Eduardo Espinoza Ramos

pero IM = CM por lo tanto (10- x ? x 3x"----- (10 — x) = ------ h5 => x - 2

4 2 4

f 2- 3 2 = — / o 3

La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico, se determina por las

funciones de demanda y = 20~4x2 y de costo marginal y ’ = 2 x + 6 , de manera que se

maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente dei consumidor.

Desarrollo

Ingreso Total = R = xy = 20y - 4x3

Ingreso Marginal = IM = R ' = 20 - 1 2x2

Costo Marginal = CM - y ' = 2 x + 6

La ganancia máxima se obtiene cuando IM = CM

20 - 1 2x2 = 2x + 6 de donde 6x 2 + x —7 = 0 , factorizando

(6x + 7)(x - i) = 0 => x = 1, x = ~ —

se considera x 0 1, y se desprecia x = — por ser negativo6

como y - 20 - 4x~ para x = 1, y = 16


Excedente del consumidos = J (20—4x2 )dx - x0 y0 = (20 - 4x3dx - (1)(16)

4 , .1 4 4 8= ( 2 0 x - —x ) / -16 = 2 0 - —-1 6 = 4 — = -

3 ' 0 3 3 3

( ü ) Si la función de demanda corresponde a la parte de la hipérbola equilátera y = —~ ~ 2

situado en el primer cuadrante, y la función de oferta es y = ~ ( x + 3), calcule el

excedente del consumidor y el excedente del producto en un mercado de libre competencia.

Desarrollo

8 1En este caso se tiene: y = — — - 2 = — (x + 3)

x+1 2

De donde 2(6 - 2x) = (x + l)(x + 3) de donde x2 + 8 x -9 = 0

(x + 9)(x - 1) = 0 de donde x = -9, x = 1

se considera el positivo x0 = 1 entonces y0 = 8

i 8 * 1Excedente del consumidos = Jq(---- - 2)dx- x0y0 = [8ln(x + 1 ) - 2x]/ Q-%

= 8 1 n 2 -2 -8 = 8>/2 - 1 0


i*xcociente del producto = x0y0 - (x + 3)dx = (1)(8)- ( -— + ~ ) / ^ - 8 - ( ~ - +4 2

= 8 _ Z _32~ 7 254 ~ 4 ” 4

í ) La cantidad vendida y el correspondiente precio, en un mercado de monopolio, estiínx 2determinados por la función de demanda y = 4 5 - x 2 y el costo marginal y ' = 6 + — ilr4

modo que se maximice la utilidad, calcule el excedente del consumidor.

Desarrollo

Ingreso Total = R = xy = a ( 4 5 - a 2 ) = 4 5 a - a 3

Ingreso Marginal =R' = 4 5 - 3 a 2

La utilidad se maximiza cuando IM = CM

A24 5 - 3 a2 = 6 + — => a2 = 12 => a = 2-V3 para x0 =2%/3, y0 = 33

4 |

excedente del consumidor = J j ^ ( 4 5 - A 2 ) < ¿ A - - A o ; y 0 = (4 5 x - ~ ) / ^ ~ ( 2 > / 3 ) ( 3 3 )

= 9 0 V 3 - 8 V 3 - 6 6 > / 3 = 1 6 v / 3

f 'álculo Integral 465

10) Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura son,

respectivamente y = 14 - a 2 y y = 2 a 2 + 2 ; determine:

a) El excedente del consumidor b) El excedente del producto.

Desarrollo

Para este caso se tiene: y - 14 - a 2 = 2 a 2 + 2 , de donde

3 a 2 =12 => a 2 = 4 =» x = ± 2, se considera solamente a 0 = 2 , y0 = 10

f 1 i x3 / -Excedente del consumidor = ( 1 4 - x ~ )d x - x0y0 = ( 1 4 a ---------- y o ~ - ( 2 ) ( 1 0 )

• = 28———2 0 = 8 —— = —3 3 3

Excedente del producto = x0 yQ - ( 2 a 2 + 2)dx = ( 2 ) ( 1 0 ) - + 2 a ) j ^ = 2 0 - ( — + 4 )

= 1 61 6 323 ” 3

© La función de demanda es y = 2 0 - 3 a 2 y la función de oferta es y = 2 a 2 ; obtenga los

excedentes del consumidor y del producto en un mercado de competencia libre o pura.

Desarrollo


y - 2 0 -3 *de donde 2 0 - 3 x 2 =2 x 2 => xz = 4 => x = ± 2

[y = 2x¿

se toma el positivo, Aq = 2 , y0 = 8

Excedente del consumidor - Jq (20 - 3.x2 )dx - x 0y0 = (20* - x3) / - (2)(8)

= ( 4 0 - 8 ) - 16 = 4 0 - 2 4 = 16

_ . , r2 2 , 2x3 /2 . , 16 32Excedente del producto - x0y0 — 2x dx = (2)(8)— J " / 0 = 1 6 - — = —-

Las funciones de demanda y de oferta, en un mercado de libre competencia son,^ 2

respectivamente y = 32- 2 x 2 y y = -— + 2x + 5 evalué:

b) El excedente del productoa) El excedente del consumidor

Desarrollo

2y = 3 2 -2 x 2 = -----v2x + 5 de donde 7x2 + 6 x - 8 1 = 0

3

27(x - 3)(7x + 27) = 0 de donde x = 3, x = —— , se considera el positivo Xq = 3, y0 = 14

('álculo Integral 467

m 2 2xa) El excedente del consumidor = (32 - 2x" )dx - x0_y0 = (32x -) J — (3)(14)3 • o

= 9 6 - 1 8 - 4 2 = 9 6 - 6 0 = 36

3 x 2b) El excedente del producto = x0y0 - Jq 0^- + 2x + 5)dx = (3)(14) - + x2 + 5x) j

= 4 2 - ( 3 + 9 + 15) = 4 2 - 2 7 = 15

( n ) Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad

total Pmax (suponiendo competencia pura) si IM = 2 0 - 2 x y CM = 4 + (x - 2 ) 2

Desarrollo

La máxima utilidad ocurre cuando 1M = CM

2 0 -2 x = 4 + (x - 2 )2 x2 - 6 x = 0 =í> x = 0 , x = 6

d d 2P d 2P 6 -1 2 = -6 < 0x~6

(IM - CM ) = — — = 6 - 2x de donde „ dx dx2 dx2

Luego la utilidad se maximiza para x = 6

Utilidad total = j^ (IM -C M )d x = (6x - x 2)dx = (3x2 ~ ~ ) / 0 = 36

Si la función de ingreso marginal es IM = 25 - 3x y la función de costo marginal es

CM = 25 - 7 x + x2 , determine la cantidad que se debe producir para maximizar la

utilidad y la correspondiente utilidad total en un caso de competencia pura.

Desarrollo

La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM

2 5 -3 x = 2 5 -7 x + x

d

x — 4x = 0 => x = 0, x = 4

d 2P— ( ¡ M - C M ) = — — = 4 — 2x de donde d x K dx2

d 2Pdx1

= 4 - 8 = - 4 < 0x~4


1 -uego la utilidad se maximiza para x = 4

Utilidad total = ¡*(IM -~CM)dx = ^ \ ( 2 5 - ' i x ) - ( 2 5 - l x + x 2)\dx

= { A x -x 2 )dx = (2x2 —- —) /* = —Jo 3 ' o 3

Si IM = 44 - 9x y CM = 2 0 - I x + 2x2 , establezca el nivel de producción que maximi

la utilidad y la correspondiente utilidad total (PmM) en un mercado de competencia pura

Desarrollo


4 4 -9 jc = 2 0 -7 jc+ 2je2 =* x2 + a - 12 = 0, factorizando

(x + 4)(x - 3) = 0 => x = -4, x = 3

d d 2P d 2P(IM - CM) = — - = - 2 - 4 x de donde dx dx~ dx

= -2 -1 2 = -14 < 0x=3


Utilidad total = ¡ J I M - CM )dx = (24 - 2 x - 2 x 2 )dx

= (2 4 x -x 2 - ~ x 3) / ^ = 7 2 -9 -1 8 = 7 2 - 2 7 = 45

Suponiendo un mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que

maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total si IM = 2 4 - 6 x - x 2 y

CM = 4 - 2 x - x 2Desarrollo


2 4 - 6 * - x 2 = 4 - 2 x- jc2 dedonde 4x = 2 0 = > x = 5

( (ílculo Integral 469

(IM CM) - ——(20 —4*) = — — = --4 dedonde ~ —~ dx dx dx1 dx1

= -4 < 0x=5

maximice


Utilidad Total = ¡q ( I M - C M ) dx = j* (20 -4x )dx = (2 0 x -2 x 2) / ^ = 1 0 0 -5 0 = 50

C1! ) Si ÍM = 15 - 5x y CM = 1 0 -3 a + 3x2 , determine el nivel de producción que i

la utilidad y la correspondiente utilidad total (/>ma J en un mercado de competencia pura.

Desarrollo


15- 5 a —10 — 3a + 3.y dedonde 3.v“ + 2a — 5 = 0 , factorizando

(3x + 5)(x - 1) = 0 entonces x = 1, x = - —3

C M ) - —( 5 - 2 x -3 x ~ ) = ( - 2 - 6 x ) = ~—^dedonde dx dx dx2 dx2

= -2 - 6 = -8 < 0x=i


Utilidad total = £ (/M - C M )dx = £ (5 - 2x - 3x2 )dx = (5* - a 2 - a3 ) / ‘ = 5 -1 -1 = 3-

¡4J9. MÉTODOS ESPECIALES DE INTEGRACIÓN.-

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN]

© J dx = x + c © [ k dx = X-J dx

© J (du + dv) = j d u + J dv ©: rn+l\ x ndx = - ----J M + l

©r un+]\u nd u - ----- + c , u = f(x)J n + 1 ©

f du1 — = ln#+c J u

¡70 Eduardo Espinoza Ramo• I tilt ulo Integral

( 7 ) j e udu = eu +c (jj) \ a“du=z' ^ ~ +C

( ? ) jsen u d u = -co s« + c ( í o ) jcos«</« = s é t ih + c

( l l ) J ígnito =-lncosM +c = InsecM + c (l2 ) jc tg u d u = \nsenu + c

(O ) I sec u du = In | sec u + ig w | +c

(l4 ) JcosecM<ÍM = ln |coseca-c/gM ¡+c (l? ) Jsec 2udu = tgu + c

(16) J cos ec2udu= -ctg u + c ( l7 ) Jsecwigwdw = secu + c

® ^cosecuctgudu = -cosecu he

du 1 , , 11- a

du 1 . ,a + uIn I------2 a a - uÍ du

~ 2 ~ a - 1 1+c

r du - In I —-----l+cu~—a~ 2 a u + a

22) Jue“du = u e " -e " + c

f du ■ = In I In u I +c J ulnu

2 l) f U----- = In I u + \[a2 +u2 I +c

>Z$) I ]nudu = u \ n u - u + c

4.10. PROBLEMAS.-

Evaluar las siguientes integrales

® J xex’dx

Desarrollo

je**xdx = ^ j e i 2xdx = ~ - + i

U > I sen xcosxdx

Desarrollo

J sen2xcos xdx = J (sen x)2 cos xdx -

Q> I sen ax cos ax dx

senr'x- + c

Desarrollo

f , 1 i , sen“axJ senaxcosaxdx = — J senaxcosaxadx = —------ + c2 a

( 0 fsec2 -J g —dx J a a

Desarrollo

f„a , 2 x . x j f x 2 x dx a 2 X sec - t g —dx = a \ t g - .s e c —.— = ~ tg 2~ + c J a a J a a a 2 a

Ksec 2*

[ + tg2x) dx

Desarrollo

2 .|V sec2.v 2j,v I" sec" 2xdx 1 f sec" 2x(2dx) _*! 1 + tg 2x J (\ + te 2x)2 2 j n + to lr ' i2

1■tg 2x J ( l + tg2x)2 2 j (\ + tg2x)2 2(1 + tg 2x)

^ ( x 2 +\)5x> xdx

+ c

Desarrollo

Sea z = Xs + 3* => dx = 3(x2 + \)dx

U x2 +Y ) 5 ^ d x = [ 5 ^ = I . i l + c = ^ l + cJ J 3 3 In 5 3 In 5

(?) f f "J l + i' cos xdx

■ sen xDesarrollo

471


Sea /. = 1 + sen x => dz = eos x dx

f cos* — = f — = lnz + c = In (1 + sen x) + 1J 1 + sen x J z

í em%xsenxdx

Desarrollo

Sea z = cosx => dz = - s e n x d x

| ecmxsen xdx - - J ezdz = ~e~ + c = - e ÍO x + c

f dxx

Desarrollosen2ax

f—^ — = f Cos ec2axdx = — f eos ec~ax adx - ctg ax + c J <¡f>n2a x J a a

í

sen ax

dxx

Desarrolloeos2 X

f- - = í see2 xdx = tg x + c J eos2 x ■'

í sec axdxDesarrollo

í see axdx = — f sec(ax).a dx = - !n | see ax + igJ a J a

ax\+c

ÍTdx

+ eos xDesarrollo


f l - e o s x r 2= ------=— dx = I (cosec x - c tg x eos ecx)dx =

J sen x J

^ 3 ) J" 2xeos x 2d x

Desarrollo

z = x 2 => dz = 2x dx

J 2x cos x 2dx = j eos zdz = senz + c = senx2 +i

14) ¡ J f ^ L dxeos2 2x

Desarrollo

f sen2x . t . ' ■ 1---- r— dx = tg 2xsec 2xdx = — see 2x + c

J eos2 2x J 2

j (sen x + eos x)dx

Desarrollo

j (sen x+eos x)dx = j sen xdx + Jcosxcfcc

(tó) (" (3x2 + 5 eos x)dx

Desarrollo

J(3 x 2 + 5 eos x)dx = J 3x2dx + J 5 eos xdx = x3 + 5sen x + <

(n) J (3x + ex )dx

Desarrollo

j ( 3 x + ex )dx = j3 x d x + j e xdx = ^ - + ex +c

18) j ( e x -e ~ x)dx

Desarrollo

ctg x + cosec x + c

74 Eduardo Espinoza Ram<>\

J (ex - e~x )dx = f exdx - J e~xdx =ex + e~x + c

9) j 2x see x 2 tg x 2dx

Desarrollo

J 2x sec x~tg x 2dx = J see x 2tg x12xdx = secx2 +c

«) J (x3 + 3x)(3x2 + 3)ex>+ixdx

Desarrollo

z = x3 + 3x => dz — (3x2 + 3)dx

J (x 3 + 3x)(3x2 + 3)ex +3xdx - J (x 3 + 3x)ex +3;t (3x2 + 3)dx = J zezdz -- zez - ez + c

:e; ( z - l ) + c =ex’+ix(x3 + 3 x -] ) + c

.11. INTEGRACIÓN POR PARTES.-

Sean u = f(x) y v = g(x) funciones derivables

u dv = HV - J Vdu

fórmula de integración por partes

> Jxe

( i + * r-dx

Desarrollo

u = xe

dv = •dx

a + x f

du = ex(x+ l )dx 1

v = —1 + X

xexdx xe(1 + x f

i l _ _ ^(x+Dd&c = ~ + f1 + X J 1 + x 1 + x j

exdx

álculo Integral 475

xe , e------ + e +c = ------ + c1 + x 1 + x

Ixe Xdx

u = x

dv = e~xdx

Desarrollo

du= dx

v - -é~x

J xe Xdx = —e x - j - é Xdx = - e x - e x +c

J x2e xdx

Desarrollo

j u — x \du = 2xdx

1 dv = exdx i v = ex

J x 2exdx = x 2ex - 2 J xexdx = x2ex - 2(xex - e x) + c =ex

I ’xe2xdx

Desarrollo

u = x

dv = e2:dx

du = dx

v - e2X

f 2 x j *e2x f e 2xJ xe dx = — f e “ xe2 e2x- I --dX + C = ------------------hCJ 2

Jx ln xd x

2 4

Desarrollo

(x~ — 2x + 2) + c


J.vln, x , f x ' dx x v f x x- x

xdx = — ln jc- — .— = — i n x - — dx = — In x -------+ c2 J 2 x 2 J 2 2 4

) J'x2e~ixdx

Desarrollo

M = X

! ¿/v = e~3xdx

du = 2xc?x•-3x

V = —

[ x V 3*dx = * ef £ JA „ , x2e 3* 2I------- 2xdx = ------ ------1-

2^ -3 jc , _-3x

? ” J 3Jxe 3vidx

u = x

dv = e~3xdx

du = dx-3*

í2„-3x o „ „ “ 3* , „-3a: *-2„_3jc 2 x e -3 * 2 e ~ 3*2 _i. , x"e "" 2 , xex¿e dx = -------

x e27

- + c

) JV (X+ 1)2dx

Desarrollo

« = ( x + i r

d v = exdx

dv - 2(x + \)dx

v = e x

j e x(x + 1)2dx = e?(x + 1)2 - 2J (x + \)exdx

u = x + 1

d v = exdx

du =dx

v = e x

j e x ( x + l)2dx = e x ( x + l)2 - 2 ( x + l)ex + e x +c = e x ( x 2 + l) + c

i iD J(x2 + x 4y dx

Desarrollo

( álculo Integral 479

17) j x e 3xdx

Desarrollo

u = x

dv = e~3xdx

du = dx- 3 x

V = —

j xe->’dx = - * ^ - ¡ - e— d x = . x e ~ 3x e~ 3x- + c

í —j x4 +x3 + 2

8x +10-dx

Desarrollo

dzSea z — x +8x + 10 => dz = (4x + 8)<¿x => — = (x +2)<¿c

■ x + 2 1 fdz . 1 1 . 4 .—¡----------- dx = — — = —lnz + c = —ln x + 8 x + l +cx +8x + 10 4J z 4 4

senx+ COSX

í/x

Desarrollo

z = 1 + eos x => dz = - sen x dx

rsenxdx cdz , ,-----:----- = - | — = - l n z + c = -ln(l + eos x) + c

J 1 + cosx J z

kDesarrollo


j x s e n x 2dx

Desarrollo

z = x 2 => dz = 2x dx

f 2 . 1 f , COSZ C O S * 2x s e n x d x = ~ s e n z d z = ------ + c = ---------------+ <

J 2 J 2 2

J ( x + se« 2 x ) d x

Desarrollo

f , , , w x2 cos2x( x + s e n 2 x ) d x = ---------------

J 2 2+ c

x a x d x

u = x

Desarrollo

d v = a x d x

d u = d x

a xv = -

In a

f x xax 1 f xax 1 ,xa d x = --------------a d x = -------------- — aJ In« In a J Ina ln ~ a

J x " ln j x d x

+ c

Desarrollo

u = ln x

v = x " d x

d u -d x

„«+iv = -

n + 1

f „ x n+ !n x f x d x x ln x i f „x ln x d x = -----------------------.— = ------------------------ x

J n + 1 J n + l x Ti + 1 n + l Jdx

- ln x ---------- - + cn + l (n + l)


@ j

f sen x dx

"* \¡2 — eos xDesarrollo

r - r ( 2 -c o s x ) 2 . rz--------------J ( 2 - c o s x ) 2 s e n x d x = ---------- j------------ l-c = 2 v 2 - c o s x + c

2see2 0 d 9

Desarrollo

' see2 9 dOfi£L jL £*L = Í ( l + 2 t g 9 ) 2 sec2 d d 9 = - f ( I + 2íg0) 2 2sec2 0 d 6

■* y f]i + 2tg O ■* 2 J1

1 ( l + 2 t g d ) i = - - ---- i ~ + c =\Jl + 2tgO+c

2

27) fx eos xdx

Desarrollo

w — x íd u = d x

d v = eos xdx |v = sen x

J x e o s x d x — x s e n x — j s e n x d x = x sen x + eos x + c

(28) J e ~ ax s e n ( n x ) d x

Desarrollo

dv = s e n ( n x ) d x

d u = ~ae “ dx

cos(nx)v = —

J n J n

n nJ

u = e[dv = cos(nx)dx

du - ~ae axdx sen(nx)

Íe ‘“ cos(nx)dx = ~—- ~ nX— + — [g axsen(nx)dx J n nJ

e c o s ( n x ) a e axsen(nx) an n

f -e “ sen(nx)dx - — —— - ( « c o s (nx) + asen(nx)) + c

J a +n

Í 6 s e c " 9 d6

\ u = e

\dv = sec 28 d9

Desarrollo

du = d6v = tgd

J9 s e c 2 9 d 0 = 9tg6 - J tg9 d9 = 0 tg 9 - In | s e c 9 | + c

J y 2sen(ny)dy

Desarrollo

\u = y[i/v = sen(ny)dy

du = 2 ydy c o s (ny)

J y 2sen(ny)dy = - +—j y cos(ny)dy

u = v

dv = cos (ny)dy

du = dy sen(ny)

v = -


wcsen(nx)dx


J n n n J n

4.12. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES.-

E v a l u a r c a d a u n a d e l a s i n te g r a le s s ig u ie n te s u s a n d o f r a c c io n e s p a r c ia le s

4 x - 2 J — dx Ix

Desarrollox3 - x2 - 2x

í r o ' H4 x -

x —x - 2 x x ( x — 2 ) ( x + l )

f , A B c u-dx = j(— i-------------------+ -------- )dx> J * x - 2 x+ l

(1)

A B C 4 x - 2- + --------+ -x x — 2 x + l x ( x — 2 ) ( x + 1 )

A ( x - 2 ) ( x + 1 ) + B x ( x + 1 )+ C x ( x - 2 ) = 4 x - 2

A(x2 - x - 2 ) + B(x2 + x ) + C ( x 2 - 2 x ) = 4 x - 2

(A + 6 + C)x + (—A + B - 2C)x - 2 A = 4 x - 2

A + B + C = 0

- A + B - 2 C = 4 => - 2 A = - 2

A = 1

B = 1 C = - 2

(2)

r e e m p la z a n d o ( 2 ) e n (1 )

h4 x - 2 dx= f(—+ — — — — )dx = l n x + l n ( x - 2 ) - 2 l n ( x + 1) + c

J x x —2 x + l3 x 2 - 2 x

x ( x - 2 )= l n — ------- ¿ + c

(x+ l)2

E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

• 4x3 + 2.r +1 ,---------------- dx

4x - xDesarrollo

‘ 4x3 -f 2x~ +1 , f„ 2x2-t-x + l l , f , f2 x 2 + x + ly

r 2x + x + l r r2x + x .*dx = (1 + ———------------------------ )á í = dx+ ------ --------- dx

4x3- x J 4x - x - J 4x' - x

• 2x2 + x +1X + i —---:------- dx ... (1)j 4x - x

í2x2 + x + l , f 2x2 + x + l ,

ax = -------------------- dx4x3 - x J x(2x + l)(2x - l )

*2x2 + x +1 . f .A ¿? C -------dx = (—+ --------------------- ■+------)dx4x —x ' x 2x + l 2x - l

2x2 + x + l A B C _ A(2x + l)(2x-1 ) + Bx(2x-1 ) + Cx(2x +1) 4x3 - x x 2x + l 2x - l x(2x + l)(2x - l )

2x2 + x + l = A(4x2 ~1) + B(2x2 - x ) + C(2x2 +x)

= (4A + 2B + 2C)x2 + (-B + C)x - A

4A + 2B + 2C = 2 - B + C = 1 —A = 1

A = - l B = 1 C = 2

f f ( _ i + _._L_+ __?__)iix: = - in x + —ln 12x + l |+ln ¡ 2x - l | +cJ 4x - x J * 2x + l 2x ~ l 2

= ln V2lT Í ( 2x - l ) . . . (2)

. f4 x3+2x2+ l , , v 2 x + l(2 x - l)(2) en (1) se tiene: ------- --------- í£c = x + ln --------- ----------- he

J 4x + x x

C á lc u lo I n te g r a l 485

© Jz"dz

(z-l)3Desarrollo

_ r _a_(z — l)3 Z -l( z -1)

A B C+--------7 + ------- j)dz

(Z - l)2 (Z - l)3

( z - l )3 ■ Z - l (Z - l)2 ( z - l )3

A (z - l)2+ g ( z - l ) + C

( z - l )3

z2 =A (z2-2 z + l) + f l(z - l) + C z2 = Az2 +(~2A + B ) Z + A ~ B + C

A = 1- 2A + fi = 0 A - B + C = 0

A = 1 B = 2 C =1

r z2é?z _ r iJ r-7_n3 "J z - l ' / - "2 '

© J

(z-l)

/ - 8 ,v3+ 2r

2 i 2 1+ -----—j +-------j )d z = ln | z - 1 1------- ----------

( z - l )2 ( z - l )3 Z - l (Z - l)2+ c

dy

Desarrollo

f y4- 8 f , 4 \I 3 ; 2 d y = \ ( y ~ 2+ ~J y + 2 y •' vy + 2>’2 2

-2 y + l4 y2 - 8

y 2(y + 2)dy (1)

Jf 4y —8

y ( y + 2)d y = ¡ (

A B---J---— -f" ~y y- y + 2

)dy

4y -8 _ A + B_+ C _ A y ( y + 2) + B(y + 2) + Cy¿y 2(y + 2) y y 2 y + 2

4y 2 - 8 = A(y2 + 2y) + B(y + 2) + Cy2

y 2 (y + 2)

4 y 2 - 8 = (A + C ) y 2 + (2A + B)y + 2B

A + C = 4 2A + B = 0 2 B = -8

A = 2B = - 4C = 2


’ f ( 2 - ± + _ _ L ^ y = 2 ln y + — •y (y + 2) J y y y + 2 y


c y4 - 8 v2 4—------- — = -----(-2y + 21ny + — + 21n(y + 2) + c

J y + 2 y 2 2 y

•4a2 +6ix

Desarrollo

■4a 2 +6 , f 4 a 2 +6 , r,A Bx + C s— ------d x = — 5-d x = (” + - t —r )

A + A j a ( a “ + 3 ) j A A + 3

4a2 + 7 _ A Bx + C _ A(a2 + 3) + Bx2 + Cx

a3 + 3a a a 2 +3 a(a2 +3)

4a + 6 = (A + B)x + Ca + 3A

A + B = 4

C = 0 3A = 6

A = 2 B = 2

C = 0

■ (2)

f — d x = f(— + —r——)dx =21nA + ln(A2 + 3) + c = lnA2(A2 +3) + c j a3 +3 J A A2 +3

dxia 3 + 3 a

Cc2+ 1)2Desarrollo

f a3 + 3a , t Ax + B Cx + D----- —dx = (— -----+ —------ T)dx+ n 2 J y 4-1 ív24-n2

a + 3 a Ax + B Ca + ¿) (Aa + jB)(a +1) + Ca + £>

(a2 + 1)2 a 2 +1 (a2 + 1)2 (a2 + 1)2


a3 + 3a = A( a3 + a) + S (a2 +1) + Ca + D a3 "i- 3a — Aa3 + ¿?a~ + (A + C ) x + B + D

A = 1 S = 0 A + C =3 B + D = 0

A = 1 B = 0

C = 2

D = 0

’ x +3a ( a 2 + 1 )2

í/jc- í<2a

A2 + 1 (A2 +1))dx = -ln(A 2 +1)— ^ — + c

2 a +1

© ít5dt

( t2 + 4)2

f í3c* r , r8 í3 +16í r 1 r J f / 2 +4'i2 J 1 J (r2 4)2 ~ 2 J( r + 4 )

‘8f3 + 16?(í2 + 4)2

Desarrollo

8f3 +16f (f2 + 4 )2

í/f

dtí<7

Ai + i? Q + Dj----- + — ------ T)dt

+ 4 ( r + 4 ) -

( 1)

. 8/3 +16/ At + B Ct + D _ (At + B)(t2 + 4 ) + Ct + D

(í2 + 4 )2 t 2 + 4 ( r + 4 ) 2 (í2 + 4)2

8í3 + 16í = A(í3 + 41) + BU2 + 4 ) + Ct + D = A/3 + B r + (4A + C)í + 4fí + D

A = 8 fi = 04A + C = 16 4 ff+ D = 0

A = 8 £ = 0 C = -16 D = 0

I8r3 +16r (í2 +4)

dt J<78í+ 4 ( r + 4 ) ‘

16í -)dt =41n(í2 +4) + - r? — + ct 2 + 4

©f 2t - 8 / - 8 J ----------r----- di( f - 2 )(f +4)

Desarrollo

MM E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

• 2r - 8f -8 ( t - l ) ( t 2 +4)

dt A Bt + Cf A B= (— r + - J t —2 t + 4

)dt

2t - 8 r - 8 A £r + C A(/2 + 4) + (Bt + C)(t- 2)( / - 2 ) ( r - 4 ) f - 2 ?2 +4

2r2 - 8f - 8 = A(t1 + 4) + B{t2 - 2t) + C(t - 2) = (A + B )r + (-2B + C)t + 4A - 2C

A + B ~ 2 ~2B + C = -8 4 A - 2C = -8

A = -2 B = 4 C = 0

J -J r / -( / - 2)(i +4)-dt

+ 4-)dt = -2 ln(i - 2 ) + 21n(i + 4) + c = 2 ln(------- ) + c

t - 2

.13. INTEGRACION POR RACIONALIZACION.-

INTEG RACION POR SUSTITUCIONES DIVERSAS

) J

Evaluar por nacionalización cada una de las siguientes integrales

ydy

Desarrollo

Sea z2 = 2 + 4_v => 2z dz = 4 dy =* dy =

z2 - 2z = 2 + 4 y =* y = -

[ i = l = i r(z! _ 4Mz ==I ( Í 1 _ 2Z) + C = ¿ ( i l - 2) + CJ ,/2 + 4y j 4z 2 sJ 8 3 8 3

4 H ) t (8 3 8 3 6


© r ■*J 2yft +\¡t

Desarrollo

Sea z6 = í di = 6z5dz de donde \[t = z3, Ifz = z 2

f _ * r j ^ = 6 f = 6f [£ . _ I + i . I (_ i _ )1(fcf + 3/7 J ?73 + 72 J 2z + 1 j 2 4*2yft+y¡t J 2z3+ z2 J 2z + l 2 4 8 8 2z + l

: 6[—— i _ + i — L ln(2z + l)]*+c = z 3 - — + - - - l n | 2z + l |+ c 6 8 8 16 4 4 8

©

• V r — -v/7 h— — l n 12^ /7 + 11 + e4 4 8

6x4Desarrollo

í2 i

- v3X —X I r - - 1 4 — 12 — 2 - 2 ~-- i(x 4 ~ x 2)dx = — (— x4-----x 12) + c = — x4----- x12 +cé l 6 9 13 27 13

<¿v1 6

© 1

6x4

VT+T+i> /^ T -7

9 13i 12 ^ 4 ___,_-

6 9 13

9 - 134 ___£

27 13'

<iv

Desarrollo

Sea z2= x + l => x = z2 - l => dx = 2zdz

[ i ± 1 .2zdz = 2 [— - dz = 2Í(z + 2+ J y f x + í - l J z - l J z - l J z — 1

)dz

= 2 ( ~ + 2 z + 21n | z — 11) + C- = z2 +4z + 41n | z - l |+c

= x + l + 4Vx + J +41n| v /x + T -l| +c


l + Z/x + aDesarrollo

Sea z3 =.x + a = > x = z ’- a => d z - i z 2dz

= --¿/(.* + a)2 -TÁjx + a +31n ¡ \¡x + a - 11 +c 2

Desarrollo

z 2 = x => dx = 2z dz

_ f - ~ = 2Í(1— — )rfz = 2( z - ln | 1 + z | ) + c = 2(V x-ln 11 + Vx |) + c l + y f x J 1 + z J J + l

Evaluar cada una de las siguientes integrales por sustitución reciproca

f *] x2yfx2 7 ?

Desarrollo

x = a tg 0 => dx = asee2 0 dO

V a - + x 2 l~~2 2" asec0 = ------------ v a +x' =asec0a

= ~ \ ^ ^ - d d = -V [ c i n c o s e c O d O a2 J tg-6 a2 J sen 0 a2 •>

dx

x 2 4 x + a + .asec~6d0 2tg20M see 6


eosecO- + c = —sla2 + x 2

a 2 x- + c

dx

Desarrollo

- a'

seed = —a =>

x = a see 8

tgd =J x 2 - a 2

-asecOtgO dO = — f ' a2 J

1 r t g 2eseei ú

1 f tg d 1 ( sen 9 1d6 = - V |

secO a J

© J

sen30 ,y¡x2 - a2 * 1

3a- + c = (• y - r + c

X 3a-

dx

x y j lx - x 2Desarrollo

1 1 . dtt - — => x = ~ => <¿c = — - * / r

dt ' . 2

J - A - - Í - J - — Í - J L - = - V ^ T + cJ x s j l x - x 2 J 1 [2 1 j 7 ^ 11 l 2 _ l_

n t t 2

Desarrollo

' \ l x 2 - a 2 atgO a 4 see4

= arc sec(-) a

dx = aseeO tgO dd

sjx2 - a 2 = af£0

dO

sen20 cose de


senO = --2 =*x = 2 setiO

0 = arcsen(-)

dx = 2 eos GdO

cosO =sÍ4-

2 eos 9 = y¡A -x2

X dx = f - - ^ L 0-.2 c o s Odd = - J16sen46

dd1 r e o s # 4 J senl6 '

2q jn _ 1 „.„le= — Í c í p j 0 . e o s í c z0 d 0 = —C t g ^ + C = - — — (4 J 12 12 jc

r + c

-dx

x\Jl+4x + 5x2Desarrollo

1 1 J dtt = — => x = — => dx = ——a: t t2

di

í ~ d x - \ r '2 - i f dt - í r d t

’ x j l + 4x+ 5x2 Ju

Vi2 +4t + 5 yJ(t + 2)2 +1

= ln \t + 2 + y¡t2 +4í + 5 |+c = l n | - + 2 + J -V + - + 5 |+ca \ x ¿ x

, 2x + l\ll + 4x + 5x2ln------------------------- + cx

dx

U l x - x 2Desarrollo


dtf dx - f t 2_ ___ _ f tdtK 2y Í 2 ^ x I ~ ^ 1 /2 T _ J >/2~ l

t2 \ t t2

72 + lz2 = 2í -1 => í = -------- => dt = z dz

z2 +1

7 , J l t + 1 „ 12 + x . 2 + 2x.= (z +3) + c = - - -------(2í -1 + 3) + c = - . -------- (— — ) + c6 6 V x 6x

12 + x . x + l .


CAPITULO Y

ECUACIONES DIFERENCIALES.-~|

l. PROBLEMAS.-

Indique e! tipo, el orden y grado de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

+ 6x + y = 0dx2

Desarrollo

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y primer grado.

x2dy - xy2dxDesarrollo

Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado.

( ^ - t )2 +5 xy = 0

Desarrollodx2

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de segundo grado.

dz dz>

Desarrollo

Es una ecuación diferencial parcial de primer orden y de primer grado.

) (—)2 + — - 2.* = 01 dx dy

Desarrollo

Es una ecuación diferencial parcial de primer orden y de segundo grado.

Ecuaciones Diferenciales 495

® 3 x Á 2 =4xy dx

Desarrollo

Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de segundo grado.

d^z = dz dx2 dy

Desarrollo

Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y de primer grado.

d 2 y dy

Desarrollo

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado.

/V, 2 dy

Desarrollo

Es una ecuación diferencial de tercer orden y de segundo grado.

& 0 = .O ,

Desarrollo

Es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y de primer grado.

( l l ) Verifique que y 2 = e . t + - c 3 es irna solución de y = 2x-— + v2(— ) j8 ' dx ' dx

solución particular para y = 1 cuando x = 0.

Desarrollo

c3Derivando v2 =c.v+— se tiene: 2yy’ = c ahora remplazamos8

obtenga la

E d u a r d o E s p in o z a R am osi

c3para y = 1, x = 0 se tiene 1 = Oh---- => c3 = 8 => c = 2

y2 = 2x + l

Compruebe que (x —c, )2 + y2 = c2 es una solución de y —y- + (-“ )2 +1 = 0 y determine

4la solución particular si y = 3 y y ’ = cuando x = 5.

Desarrollo

Derivando ( x - c ,)2 + y2 = c2 se tiene: 2 (x -c ,) + 2yy' = 0 => x--c ,+ yy ' = 0

l + y ’2+yy" = 0 => y ^ + Á 2 + l = 0 dxz

4para y ' = ——, x = 5 => 5 — c, - 4 = 0 => c, = 1

(x - 1)2 + y2 = c2 => 16 + 9 = c2 => c2 = 25 (x —l)2 + y2 = 25

Compruebe que y = c,ex + c-}e~x + x 2 + 2 es una solución de (— ~-)2 ---------— = x 2 - ln yy dx y dx~

Desarrollo

e l y = c¡e2x + c2 + (x2 + 2)e* derivando exy + exy '~ 2c1í’2' + 2xe* + (x2 + 2)ex

e~xy + e~xy ' = 2c, + 2xe x + (jc2 + 2)e~x , derivando

—e~xy + e~xy e ~ xy ’+ e~xy" = 2e~x - 2xe~x + 2xe~x - (x2 + 2)e~x

e~x y e ~ x y = - x 2e~x => y y = - x 2

Luego y = c,<rv + e,e~' + x2 + 2 no es solución de la ecuación diferencial dada.

E c u a c io n e s D i fe r e n c ia le s 4 9 7

(l4) Verifique que x = eos 2t + 2c, eos 3? + 3c2sen 3t es una solución de ^ - l + gx = 5Cos 2í

Desarrollo

— = —2sen 21 - 6c, 3?+9c, cos 31dt 1 3

dt2

d 2xdt

2 = -4 cos 2/ — 18cj cos 3/ - 21cysen 3t

9x = 9cos2í + 18c2 c o s 3 í + 21c3sen3t , sumando

d 2x— — + 9.x = 5 cos 21 dt2

Compruebe que y = (c , + c->. ln x)\[x + c 2 es una solución de 4x2 — ^ + 8x^—2. + í ! Z - Qdx3 dx2 dx

Desarrollo

dy c ,+ c , ln x c2Vx c ,+ c , lnx + 2c, r-dv= A - + -2 ------ = - L — -- -------- 1 = * 2-v/x — = c, + c - > l n x + 2 c 2

¿x 2 / x x 2>/x dx 1 - 2

1 dy r d " y c2 , , , r~dy ~ d 2y— -~~ + 2V x— r- = — de donde Vx — + 2x2 — f =/ v /y v /-/v- v /7v J ..2

--------t v A----— —--- UC UUI1UC V A---V * o r d x “ a: ¿/jc

1 dy r-d y r-d^y , : d y —7^ - f + Vx— f + 3Vx— f + 2x2 — f = 0 2v x dx dx’ dx" dx

. -> d ?y d2y dv .4x_— f + 8x — f + — = 0 dx3 dv2 dx

Compruebe que y = x3 +c,x2 + c2 es una solución de - - - 3 x = 0 y obtenga ladx' x dx

solución particular si y = 1 cuando x = 1 y y = 5 cuando x = 2.

Desarrollo


— = 3jt + 2cxx => = 3jc+2c,, derivando — = ^¿a: jc dx x 1 dx x dxL

d 2y 1 dy dx2 x dxd l y ' dy- 3 , = 0

1 d yVerifique que y = ct eos x + c2sen x ——eos 2x es una solución de ~~2 y = cos ~x

Desarrollo

y = c, cos x + c2sen x - ~ cos 2x ••• (1)

» 2— = -c, sen x + c-t cos x + — serí2x dx 1 3

d 2 v 4— - = - c 1cosjc-c2.ví,njr + — cos 2* ••• w

d 2}1 osumando (1) y (2) se tiene: — - + y - c o s 2xdx"

dy -xCompruebe que y = e X(x + c) es una solución de -j- + y = e

Desarrollo

y = e~x(x + c) => exy = x + c

dyexy + e xy ' = \ => — + y = <

dxd 3y 3 c/‘ y

Verifique y = c,x+— + c, es una solución de — r + —•—' A' </a-3 * dx

Desarrollo

— - c , =* x3^—^ = 2c2 derivandodx *2 <¿t2 r dx~


solución particular que satisfaga la condición y = 2, — = 1 cuando x = 1.dx

Desarrollo

y 2 =ctx 2 +c2x => 2yy' = 2c¡x+c2

2y '2 + 2 yy" = 2q => c2 = y'2+yy"

2y '2 = 2xy ,2 + 2Aryy"+ c2 => cz = 2 y y 2xy,2 - 2;tyy"

y 2 = .r2 y ,2 + a:2 yy"+ 2j r y y 2 a:2 y '2 - 2 x2 yy"

5.2.__ ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE _____ PRIMER GRADO.-________________________________________

p r o b l í m a s J

Determine la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes.

CD (x2 + y 2)d x -2xydy = 0Desarrollo

Es una ecuación diferencial homogénea

Sea y = ux dy = u dx + x du

(x2 + x 2u2)dx — 2x2u(udx+ xdu) = 0 => (l + u2)d x-2u (udx + xdu) = 0


( l - u 2)d x - lu xd u =0 separando la variable — + = 0, integrandox u -1

[dx _[ udu , , . 2---- h2 i —-— = c => lnjc+ln(w -1 ) = cJ Je J « 2 - l

ln*(M2- l ) = c => x(m2- 1) = A: ••• xy2 - x i =kx2

, 2 ( x y - x ) ^ - = y dx

Desarrollo

*(> '-\)dy - y 2dx separando la variable

v -1 , dx . , [ y - l , [dxdy = — integrando ------ dy = I — + cy x J y J x

y - ln y = ln x + c y = ln xy + c

y3d x - x idy = 0Desarrollo

Separando las variables se tiene: ^ ^ = 0 , integrandox y

'dx [dy . 1 11 c ----------edx [dy" ”2 ~2— ----2 =k

x3 J / y x

(y + 3)dx + ctg x dy = 0Desarrollo

Separando las variables se t ie n e : --------1— — = 0 , integrandoctg x y + 3

j t g x d x + j — ^ 1° sec x + 1° (y + 3) = c => In see x (y + 3) = c

see x (y + 3) = k


dx 1 - sen ¿t

Desarrollo

Separando las variables se tiene: dx = (1 - sen 2t) dt, integrando

j d x = J (1 - sen 2t)dt + c

© % -e~xdx1

Desarrollo

= J e~xdx + c, = -e~x + c.*11 dx2

dy [ _x ' dy— - = | ( - e + c ,) í ¿ * : + c 2 => — = e +c,x + c?dx J dx

P Q

y= \(e~x +c{x + c2)dx + c3 => y = -é~x + - L — + c 2.r + c 3

(?) *Í2=_L^ A2

Desarrollo

dy [dx 1- - = J — + c, = — + c, dx J x x

eos 21JC — / H---------+ C2

y = | ( - - ^ + c , ) d j r + c 2 = - ln A + c ,A + c 2 y = -ln jc + c , * + c 2

© secxcos2 ydx = eosx.senydyDesarrollo

2sec at. cos y dx = cos x.sen y dy separando las variables

s ecxdx senydy 2 , , .----------= -5— => sec xdx = tg y see y d y , integrando

eos x eos y


Jsec2 xdx = Jig y sec y ¿y+ c tgx = secy + c

sen x cos' ydx + cos2 xdy = 0Pesarrolto

seti x dx dySeparando las variables se tiene: ----- -— + — ~— = 0

eos* x eos2 y

Jíg xsecxí¿r + Jsec2 ydy = 0 secx + tgy = c

dr + r eos 0 d0 = 0Desarrollo

— +cosQd6 =Q , integrando J — + Jcos0 d<? = c .% In r + sen0 = c

dy _ x - y dx x+ y

Desarrollo

(x - y)dx - (x + y)dy = 0, es homogénea entonces y = ux => y = u dx + x du (x - ux)dx - (x + ux)(u dx + x du) = 0 => (1 - u)dx - (1 + u)(u dx + x du) = 0 (1 — u - u - u 2)dx—(l + u)xdu = 0 => (w2 + 2 u - l )d x + (u + l)xdu =0

dx u + 1 . f dx f u +1 ,— + ---------- du = 0, integrando — + I —------------du = cX u + 2 u - l J x J u + 2 u - l

lnjc+—ln|m2 + 2h - 1 |=c => lnx 1 + ln(u2 + 2u - 1) = 2c

\nx2(u2 + 2 u - l) = 2c =* x2( ~ + - ^ - l ) = k y2 + 2x y - x 2 = k

(xy2 - x)dx + (x2 y+ y)dy = 0

x x

Desarrollo


jc(y: - l )d x + y (x 2 + l)rfy = 0 => + , = 0, integrandojT +1 y — 1

« í b t f + n + W - l ) «J r +1 J y 2-1 2 2

In(jc2 + l)(y2 - 1) = 2c (x2 + l)(y2 - 1) = *

dy _ xy + y dx x + xy

Desarrollo

— = separando las variablesdx jc(y + l)

y + 1 , x + 1 , , fy + i . f* + l , ---- dy = ------d x , integrando ------dy = ------ dx + cy x J y J x

yy + lny=x + lnx + c => y - x + ln — = c

x

dy _ 2 x — y dx x + 4y

Desarrollo

(2x - y)dx - (x + 4y)dy - 0 es homogénea entonces y = ux => dy = u dx + x du

(2x - ux)dx - (x + 4ux)(u dx + x du) = 0 => (2 - u)dx - (1 + 4u)(u dx - x du) = 0

( 2 - u - u - 4 u 2)d x - ( \ + 4u)xdu =0 =$ 2(2u2 + u-l)dx+ (4u + l)xdu = 0

. dx 4u + l _ . , „ f dx f 4í< + 12---- — ---------- du = 0, integrando 2 -----1- — ----------du = cx 2u +m — 1 J x J 2u +M-1

2\nx + ln(2u2 + u - l ) = c => lnx2(2u2 + u - 1) = c

jc2(^4- + —- 1) = 2y2 + x y - x 2 =kx 2 x


ily = 2xy dxDesarrollo

d\ r dv c 2— = 2 x d x , integrando — = 2xdx + c => ln y = x +c y J y J

p dd p +1Desarrollo

P d p = tg d d 9 , integrando f P..~ —d p = [tgddO + c p ( p Z- 1) J p (p2- 1) J

f(__L+ _ L .+ _ J — )d p = f tgddd+ c J o p +1 p -1 JP P + 1 P-

2 ^- In p + In (p + 1) + ln (p - 1) = In see 0 + c => ln ~----- = In£secx

p 2 -1 = kp se cx

r d0 + 8 dr = 2 drDesarrollo

dG dr „ .r d0 + (0 - 2)dr = 0 => ------ + — = 0, integrando

0 — 2 r

f - ^ - + f — = c => ln(0- 2) + lnr = e => lnr(0- 2) = c J 0-2 J r

r (0 - 2) = k

dp + p tg 0 d0 = 0Desarrollo

— +tgddd = 0, integrando = c

ln p + In see 0 = c => In p see 0 = c => p see 0 = k


19) (r2 +l)d9 + - ^ r - = 0

Desarrollosee2 6

9 drsee 6 d 9 + —— = 0, integrando

r +1

Jsee20í/0+ J - ^ Y = c => tg 0 + arctg r = c

(xy - y2 )dx + (y2 - ~ ) d y = 0Desarrollo

(2xy ~ 2j 2)í¿c + (2y'? - x 2)dy = 0 , es homogénea entonces y = ux =» dy = udx + xdu

(2x2u - 2 x 2u2)dx + (2x2u2 - x 2)(udx +xdu) = 0

(2 u -2 u ')d x + (2u2 - l ) (u d x + xdu) = 0 => (2u3 - 2 u 2 +u)dx + (2u2 - \ ) x d u =0

dx 2«2- l , „ .— -l----^ ^ — üm = 0 , integrando* 2u - 2 u +u

rdx f 2w2 -1 J____ _ . f / 1 , 4w-2ííx f 2« -1 f 1 4/1-2— + — :----d u = c => lnx+ I (— + — ----------- )du=cx J2u -2u~ + u J u 2u - 2 u + l

, 2 „ , x ( 2 m 2 - 2 k + 1)ln x -ln M + ln(2i< - 2m + 1) = c => ln --------------------------= c

(5Í) — dx + ( x - y ) d y = 0x

Desarrollo

y 2dx + x ( x - y)dy =0 es homogénea entonces y = ux => dy = u dx + x du

x 2u2dx + x ( x - xu)(udx + xdu) = 0 => u2dx + ( l -u ) (u d x + xdu) = 0

(u2 + u - u 2)dx + ( l -u ) x d u =0 => u dx + (1 - u)x du = 0


dx I - « . . , td x r l -w ,— + ---- du - O, integrando -----1- ----- du = cx c u J x J u

In x + In u - u = c => In xu - u = c In y -

22) (xy3 - x)dx + xy2dy = 0Desarrollo

jf(y3 - \)dx + xy2dy ~ 0 simplificando (y2 - l)dx+ y 2dy = 0, separando las variables

y2dy f f y2 dy 1dx-i— -— = 0, integrando \dx+ ------ = c * + y h— lny — 1 J J y 2 -1 2y - - l ' - y * - i " 2 y + 1

23) tg xsen2ydx+cos2 xctg ydy = 0Desarrollo

tgxdx c tgydy n . 2 . f ,---- — (.------ — ~ o , integrando tg xsec" xdx + ctg y eos ec ydy = ceos x sen y J J

tg2x ctg2 y 2 2 ,— 2--------- 7 ~ = c =* l8 x ~ ct8 y = k

dy yx ------- y - x s e n — = 0

dx ' xDesarrollo

Sea y = ux => dy = u dx + x duy

x d y - ( y + x s e n —) d x - 0 reemplazando se tiene:X

x(u dx + x du) - (xu + x sen u)dx = 0 => u dx + xdu - u dx -- sen u dx = 0

x du - sen u dx = 0, separando las variables — — = 0, integrandosenu x

eos ecitdu- f — = ’c =» In j cosec u - ctg u | - ln x = c J x

<*1 I v

:


, co secu -c tg u , y yln --— = c => cosec u - ctg u = kx eos ec--clg— = kxX X X

sen x eos y dx + eos x sen y dy = 0Desarrollo

sen xdx sen ydy „ .---------- V------ —— = 0, integrandoeos x eos y

j t g xdx + j tg ydy = c => ln | sec x | + ln sec y = c => ln sec x sec y = c

sec x sec y = k

í^ = _ Zdx x

Desarrollo

dy dx .— = - -— integrandoy x

í — = - f — + c => lny = -lnx + c => lnxy = c xy = kJ y J x

© x3 - 2 y 3 +3xy2~ - = 0dy = Y,

Desarrollo

(x3 — 2 y3)dx + 3xy2dy = 0 es homogénea entonces y = ux => dy = udx + x du

(jc3- 2 x 3u3)dx + 3x3u2(udx + xdu) = 0 => ( l - 2 u 3)dx+3u2(udx+xdu) = 0

dx 3u2(u3 + l)dx+3u2xdu = 0 = » ---- h —r— du = 0 , integrando

X UJ + 1

rdx r3u2du . , . 31 ____ -i. I _______ — r* —< ln v 4- l« í 11

Jt +Jí- c => lnjc + ln(w + l) = c

3 + l

v3lnx(«3 + l) = c => x(u3 + l) = k => — + x = k => x3 + y3 =kx2x


tly x _ dx y3

Desarrollo

y3dy = x 2d x , integrando J y3dy = J x 1 dx + c

v4 r3Z_ = — +c =» 3 / = 4 x3 + k4 3

x dy - y dx = 0Desarrollo

dy dx „ f d v f d x— ----- = 0, integrando ------ — = cy x J y J x

y yl n y - l n x = c =* ln —= c — = k => y = kxx x

(x2 + 2y2)dx= xydyDesarrollo

Sea y = ux =» dy = u dx + x du

(x2 +2x2u2)dx = x 2u(udx +xdu) => (l + 2 u 2 ) d x = K ( w d x + x d w )

, 7 . . . dx udu(u +l)dx = uxdu => — = —r— , integrando X Uz + 1

f — = f 11 + c =» lnx = —ln(w2 + l) + c => ln*2 =ln(«2 + l) + 2 cJ x J u2 +1 2

■y• u +1 M +1 . 2 < i 2 2 , 2 i 4ln— -— = - 2c =* — — = k => u ¿ +\ = kx ■■ y + x =kx

x xt

(jc3 - y* )dx + xy2dy = 0Desarrollo

y = ux => dy = u dx + x du


(x3 - x 3u3)dx + x3u2(udx + xdu) = 0 => (1 - u 3)dx + u2(udx +xdu)

(1-M3 + u3)dx+u2xdu =0 => — + «2d« = 0, integrandox

rdx - - 3 ~3r dx r m v*— + « d w = c => lnx + — = c => 31nx + - - = £

J x J 3 *3

(32) (x + y)dx + x dy = 0Desarrollo

Sea y = ux => dy = u dx + x du

(x + xu)dx + x(u dx + x du) = 0 => (1 + u)dx + u dx + x du = 0

(2u + l)dx + x du = 0, separando las variables

dx du . . , rdx r du— H—--- 0 , integrando — + I --------= cx 2u + l J x J 2u + l

1 -> lnx+ — ln(2w+l) = c => ln* +ln(2w + l) = 2c

ln*2(2M + l) = 2c =» x2(2—+ 1) = k

33) ^ = ex~ydx

Desarrollo

eydy =exd x , integrando j e ydy = j e xdx + c => ey - e x +c

(34) x(2y - 3)dx + (x2 + l)dy = 0Desarrollo

xdx dy „ . f xdr f dy—---- + -------- = 0, integrando I —— + — -— = cx2 +l 2y - 3 6 J* 2 + l J 2 y - 3

^ ln(jc2 +1)+-~ ln(2)> - 3) = c => ln(*2 + 1)(2>-- 3) = 2c

(*2 + l)(2 y -3 ) = k

0

2xy + x 2 = k


(* t y)dx = x dyDesarrollo

y c ux => dy = u dx + x du

(x + ux)dx = x (u dx + x du) => (1 + u)dx = u dx + x du

dx = x du separando las variables

— = du , integrando se tiene: f — = \du + cx J x J

ylnx = u + c => In x = —+ c

x

x d y - y d x = yfxydxDesarrollo


x(udx + x d u ) -u x d x = x>fü dx => udx + x d u - u d x = yfüdx

xdu = yfüdx separando las variables

= — , integrando 2-v/ü = lnx+c => 2. -- = lnx+ cy/u x V x

Obtenga la solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales según las condiciones dados.

dy y— = —, y = 3 cuando x = 1 dx x

Desarrollo

Separando las variables se tiene: — - — = 0 , integrando se tiene:x y

X Xln x - ln y = c => ln— = c =$ — = k => x = ky para y = 3 cuando x = 1

y y

1 + 3k => k = — => y = 3x3

E c u a c io n e s D ife r e n c ia le s 511

(55) xy dx + 4\ + x2 dy = 0 , y = 1 cuando x = 0

Desarrollo

Separando las variables se tiene: - + — = 0 , integrandoyjl + x 2 y

f — + f — = c => v l + x2 + ln v = c , para y = 1 cuando x = 0JViTI2 J y

1 + ln 1 = c => c = 1 .\ yjl + x2 + ln y = 1

39) (x2 + y2)dx = 2xy dy , y = 0 cuando x = 1

Desarrollo


(x2 + x2u2)dx = 2x2u(udx + xdu) => (l + u2)dx = 2u(udx + xdu )

2 d x 2 u(u - \ )dx + 2 xu du - 0 ---- ¥ — ----du = 0, integrandoX U -1

í ^ + f ^ i í í i = c => ln x + ln(n2 - 1 ) = c =» lnx(M2 - l ) = c J x 1 u2 - 1

x(«2 - l ) = fc => y 2- x 2 =kx

x dy + 2y dx = 0, y = 1 cuando x = 2

Desarrollo

Separando las variables se tiene: — + = 0 , integrandoy x

[ — + 2 f — = c => lny + 21n x = c J v J x

para y = 1, x = 2, ln 1 + 2 ln 2 = c =» c = 2 ln 2 ln y + 2 ln x = 2 ln 2

ln yx2 = ln 4 => yx2 = 4


l(»<•x + y)dx = xdy , y = O cuando x = 1

Desarrollo


(xeu + xu)dx = x(udx + xdu) => (eu +u)dx = udx + xdu

e'dx = xdu , separando las variables — = e~“ du , integrandox

, _i j - - = je~udu+c => \nx = -e~ "+ c => !nx + e * =c

para y = 0, x = l => lnl + e°= c = > c = l Inx + e — *

y2(y d x -x d y ) + x3dx = 0, y = 3 cuando x = 1

Desarrollo

Agrupando se tiene: (y3 + x3)dx— xy2dy = 0 es homogénea


(jc3m3 + xi )dx~x}u2(udx + xdu) =0 =£ (u3 + \)d x -u 2(udx +xdu) = 0

d x -u 2xdu = 0 separando las variables — - u 2du = 0, integrandox

j - - j u2du = c => ln A r-^ - = c => 3 1 n x --^ - = c

y 3para y = 3, x = 1 => 3 ln 1 — 27 = c => c = -27 31n x - — 21

x dx - y dy = 0, y = 2 cuando x = 5

Desarrollo

* |Ví


j x d x - j ydy = c => x 2 - y 2 =k para y = 2, x = 5

25 - 4 = k => k = 21 jf2 — y2 = 21

(44) x(y + 1) dx + y(x + l)dy = 0, y = 1 cuando x = 0

Desarrollo

Separando las variables se tiene: - í ^ + —— = 0, integrandox +1 y +1

[ L É L + Í l É L - c => x - l n ( x + l ) + y - l n ( y + l) = c Jjt + l J y + 1

x + y - ln (x + l)(y + 1) = c, y = l, x = 0

0 + 1 - ln 2 = c => c = 1 - ln 2 /. x + y - ln (x + l)(y + 1) = 1 - ln 2

^ 5 ) ( x - J x y ) d y = y d x , y = 1 cuando x = 4

Desarrollo


(x -xy fü )(udx+ xdu) = uxdx => ( \- \[u )(udx +xdu) = udx

(u -u y fü -u )d x +x(\-y fü)du =0 => -uyfudx + x ( l-y /ü )d u = 0

dx \ f ü - 1 . . . , Cdx f yju—1dx \H — 1 . . . . Cdx rV« -1 ,— + ---------j=^du = 0 integrando I-1- I------- j=^du = <X U \ U J X J U y / u

2 2ln jc + in u + —= = c => ln xm + —= = c ■Ju -Ju

toy + 2 = c para x = 4, y = 1

ln 1 + 4 = c => c= 4 lny + 2^ = -


( v + 4)(2y + 6)dy + xy2dx = O , y =16 cuando x = 0

Desarrollo

Separando las variables se tiene: ^~V * —■ dy 4- —— dx = 0 , integrandoy x + 4

2 í -—r ~ d y + f = c => 21ny~ —+ ;t-ln(.x + 4) = c J j 2 •> jc + 4 y

para x = 0, v = 16 2 ln 16—— - ln 4 = cF ' 16

3 , 256 3 3c = 2 1 n l6 -— ln4 = ln-~-------= ln64—8 4 8 8

/. 21ny----- i-A:-ln(jc+4) = ln 6 4 - -y 8

(xy2 + x 2y ) d y - x y 2dx = 0 , x = 6, y = 1

Desarrollo

xy (y + x) dy - xy.y dx = 0 simplificando

(y + x)dy - y dx = 0, es homogénea entonces y = ux => dy = u dx + x du

(ux + x)(u dx + x du) - ux dx = 0 => (u + l)(u dx + x du) - u dx = 0

u2dx + (u + \ )xdu = 0 separando las variables

dx u + l . rdx ru + l— + —-— du — 0 , integrando — + —— d u = cX ll J X J U {

ln jr+ ln w -— ~-c => ln jc« -— = c I n y - — = c p a ra x = 6, y = l u u y

ln 1 - 6 = c => c = 6 ••• l n y - - = 6y


®

y(x +l)</y + jc(y + l)dx = 0 , y = 3 cuando x = 0

Desarrollo

Separando las variables se tiene: = 0 , integrandoy +1 x 2 +l

+ ( J ^ L = C ^ ln(y2 + 1) + ln(oc2 + 1) = 2c J y +1 J x ¿+1

ln(y2 +])(j£2 +1) = 2c =* (y2 + 1)(jc2 +1) = k

para x = 0. y = 3 => l0 = k (y2+l)(x2+ l) = 10

dx ey dyxy x3 - l

= 0

Desarrollo

.V3 -1Separando las variables se t i e n e : -------d x + e y y dy = 0 , integrando

x

fx 3- l r 2 x 3 , e y] - —~ - d x + y y y d y = 0 =» —— ln;t + - y = c , x = 1, y = 0

1 , , 1 5 x3 e y* 5- - l n l + — = c = > £ = - — --------- l n * + — = —3 2 6 3 2 6

dy y y—- = —+tg — , y = 7t, cuando x =6dx x x

Desarrollo

y ydy = (— + tg —)dx es homogénea entonces y = ux =* dy = u dx + x dux x

u dx + x du = (u + tg u) dx => x du = tg u dx separando las variables

ctg udu = -~ , integrando ¡ctgudu= \~~ + c X j J X


, senu senu , y , ,l n -----------= c = > ------------= k .=> sen — ~ kx pues x - 6, v = tc

X X X

sen — = 6 k = > — = 6 k = > fc = —6 2 12

y x ysen — = — = > jc = 12sen —x 12 Je

ctg y dx + ctg x dy = O, y = O cuando x = 0

Desarrollo

Separando las variables se tiene: tg x dx + tg y dy = 0, integrando

J tg x d x + 1 tg ydy = c => ln sec x + ln sec y = c

ln sec x sec y = c => sec x sec y = k

para x = y = 0 => c = 1 sec x sec y = 1

La relación entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa de reducción en la cantidad demandada a medida que aumenta el precio, es directamente proporcional a la cantidad demandada, e inversamente proporcional a la suma del precio mas una

constante, determinar la función de demanda si p = p0 cuando x = 1 grafique la

relación obtenida.Desarrollo

dx axSea p = el precio, x = cantidad demandada de la condición del problema: — = ■

• d p p + b

de donde — = —, integrando ambos miembrosx p + b

í — = a í de donde ln x = a ln (p + b) + cJ x J p + b

ln x = ln(p + b)a + c ln(( P+b)a

■) = c

de donde( p + b f

= k => x = k(p + b)° (1)


para x = 1, p = p0 = > 1 = k(p0 +b)a => k =

ahora reemplazamos (2) en (1)

(P+b)a

1(Po+b)a

(2)

x = - , función de demanda del bien x(Po+b)a

Hallando la grafica: Despejamos p

(P + b)a -x = ~,-----------^ P = (Po+b)xa - b , para x = 1, p = pQ ; x = 0, p = -b

(Po+b)

para p = 0, se tiene x = (------ -)" en este caso se toma la parte positiva del gráfico.Po+b

(53) La tasa de incremento del costo total y a medida que crece el numero x de unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades manufacturadas mas una constante, e inversamente proporcional al costo total. Establezca la función de costo si y = y0 cuando x = 0, grafique la relación

obtenida.

Desarrollo

Sean x = unidades fabricas

y = y(x) costo total de las unidades fabricadas

de acuerdo al problema la descripción matemática es

Eduardo Espinoza Rumttt

dy _ a(x + b) dx y

, de donde y dy = a(x + b)dx, integrando

J" y dy = a j (x + b)dx + c de donde >-2 a(x + b)22 2

calculando la constante c; cuando x = 0, y = y0

+ c

yo _ ab2 + c2 2

„2 _t2Luego — = -^—— —+ — => y 2 = ax2 + 2abx + ab2 + y% -ab2

. 2 2 2 2 0

y = ijax2 + 2abx + y%

La tasa del incremento de las ventas v a medida que crece el gasto en publicidad x, es igual a una constante mas el gasto publicitario. Halle la relación entre las ventas y dicho costo si v = v0 cuando x = 0, grafique la relación obtenida.

Desarrollo

De la condición del problema se tiene:

dvdx

= c + x , de donde dv = (c + x)dx, integrando

j d v = j ( c + x)dx + c => v = cx + —— he, cuando x = 0, v = v0 => c = v0

por lo tanto v = ex+— + v0 , rama de parábola

l.cuaciones Diferenciales 519

55) La relación entre el ingreso R y la cantidad demandada x es tal que la tasa de crecimiento del ingreso a medida que aumenta la cantidad demandada, s igual al doble del cubo del ingreso menos el cubo de la cantidad demandada, todo dividido entre tres veces el producto de la cantidad demandada y el cuadrado del ingreso. Determine la relación entre el ingreso y la cantidad demandada si R = 0 cuando x = 10, grafique la relación obtenida.

Desarrollo

De la condición del problema se tiene la ecuación:dR 2 R3 - x 3dx 3 R2x

(1)

— — - R = - - —R 2, ecuación de Bemoulli, multiplicando por R1dx 3x 3

dx 3x 3(2)

Sea z = R3 =* — = 3R2 — reemplazando en (2) dx

dRdx

— — z = , simplificando se tiene:3 dx 3x 3

— - — z = - x 2 , ecuación lineal en z dx x

- f - - d x f f - - d x .z = e x [ je x (~x~)dx + c\

z = e2tnx[je~2iax(—x 2)dx+ c], simplificando z = x2[-^dx+ c\ = x2( - x + c)

z = - x 3 + ex2 , para z = R3 se tiene R3 = - x 3 + cx2 , para x = 10, R = 0

0 = -1000 + c (100) => c = 10

R 3 = - x 3 +10x 2 => R = (10x2 - x 3) 3


La relación entre el costo promedio y , y el numero de unidades producidas x. es tal que

el cambio en el costo promedio a medada que crece el numero de unidades es igual a la razón del numero de unidades menos el costo promedio, dividida dicha diferencia entre el numero de unidades. Determine la relación entre el costo promedio y el numero de

- 9unidades producidas si y = — cuando x = 1, grafique la relación obtenida.

Desarrollo

De la condición del problema se tiene:

d y x — y d y 1 — —— = ------ de donde — + — y = 1 , ecuación lineal en ydx x dx x

aplicando la solución general para las ecuaciones lineales

f dx rdx

y = e J7 [j e 17 (Y)dx+c] = e_lnx[J etoxdx + c]

- 1 ,xr x - x cy = - ( — + c) => y = - + — X 2 2 X

(1)

calculando c, para x = 1, y = — de donde2

9 1— = — + c => c = 4, reemplazando en (1)

— x 4y = —+ — relación entre el costo promedio y el numero de unidades2 x


Graficando

57) La tasa de incremento en el costo y a medida que crece el numero x de unidades fabricadas, es igual al doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del numero de unidades, dividido todo entre el producto del costo y el numero de unidades. Determine la relación entre el costo y el numero de unidades fabricadas si y = 3 cuando x = 1, grafique la relación obtenida.

Desarrollo

Sea y = costo, x = numero de unidades fabricadas de acuerdo a las unidades del problema, la ecuación es:

dy 2y —x dy 2 i— = ----------- de donde —;----------y = -xydx xy dx x

que es una ecuación de Bernoulli multiplicando a la ecuación (1) por “y”

dy 2 2y ------ ydx x

... (2)

sea z ■ ^ = 2y £ , reemplazando en (2)

\ dz 2 dz 4----------- z = - x de d o n d e--------- z = -2x2 dx x dx x

que es una ecuación lineal en z, cuya solución general es:

z = e_ f r

* [jV * ( - 2x)dx + c]


; = ¿41n * [ J x (-2x)dx + c] = x4 [ J + c]

z = x4 (x~2 + c) = x 2 + ex4 como z = y

x32

y2 = x2 + cx4 , para x = 1, y = 3 se tiene 9 = 1 + c => c = 8 de donde

y2= x 2+ 8x4 => y = y[x2 +Sx4

graficando

La tasa de crecimiento del volumen de ventas, v, a medida que decrece el precio p, es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional al precio menos una constante, halle la relación entre dicho volumen de ventas y el precio, si v = v0 cuando

P = Po-Desarrollo

De la condición del problema, las ecuaciones:

dv -a v , donde v = v0 cuando p = p0

dv _ a d p ' ¡ujggjgjjjjQ ambos miembrosv p - c

f — = - a f + k, de donde hi v = - a ln | p - c |J v J p - c


ln v -ü ln | p - c \ = k x entonce^ lnv(/>-c)° = Jfcj

Jev ( p - c ) a =k => v = ---------- , v = v0 cuando p = p0

(P ~ c)a

, . . V0( p 0 - C ) °v0(P o -c ) - k •• v -

( p - c )

(59) Si el interés es capitalizado continuamente:

a) Detennine la cantidad de que se dispone a los 10 años si se depositan $ 5000 al 4%.

b) Evalué el monto disponible a los 20 años si se depositan $ 20000 al 6%.

Desarrollo

a) Si la tasa de interés es 100i% capitalizable continuamente y “A” es el monto en cualquier tiempo (principalmente mas los interés acumulados) entonces podemos hallar una relación que indique la tasa de variación del monto.

dA— = ¿A, ecuación de variable separable dt

dA . , , f dA r . .— = i d t , integrando J — - = J 1 dt + c

ln A = it + c de donde A ~ ke" , para t = 0, A = A<}

A ^ - k entonces A - A ^ e “

capital inicial $ 5000, interés 4% anual <=> 0.04 anual

calculando el monto en 10 años después

'A = 5000e(° 04)10 = 5000e°4 = 7450 aproximadamente

El monto luego de 10 años, será aproximadamente de $ 7450


10 Monto inicial S 20000, interés 6% anual <=> 0.06 anual

calculando el monto luego de 20 años

A = 20000e(ü06x20) = 20000*’° 12 = 66402 aproximadamente

Luego el monto después de 20 años será aproximadamente de $ 66402.

Si el crecimiento de población es continuo y la tasa r es proporcional al numero N dedN a ' Iindividuos presente en una población, entonces = r N , r > 0 creciente, r < 0

decreciente. Si N = N 0 cuando t = 0, obtenga una formula para el numero de individuos de la población al tiempo t.

Desarrollo

dN= r N , separado las variables se tiene: ---- = r d t , integrandodt N

^ ~ = ^ r d t+ c de donde ln N = rt + c, calculando c, cuando t = 0, N = N0 m j

Bln N0 =c entonces ln N = rt + ln N0

Nln N - l n N0 =rt => ln — = r t , levantando logaritmo No

— = en => N = N0ert, de dondeN0

N0 — numero de individuos para el tiempo t = 0

r = tasa de crecimiento de la población,

t = tiempo

Si el crecimiento de una población es continua a razón de 5% al año, y el numero original de individuos es 200 ¿Cuál será el tamaño de la población a los 10 años?

Desarrollo


Datos: x = población ; t = tiempo

k =s tasa de crecimiento 5%

la ecuación del problema: — = k x , de donde — = k d t , integrando se tiene:dt x

j — = k jd t + c entonces lnx = kt + c

x = Aek>, para t = 0, x = x0 se tiene: jcq = A = 200 población inicial

x = 200«? , k = 0.05 tasa de crecimientoX

x = 200<?° °5' para t = 10 se tiene: * = 2OOe(0 05,(10) = 329.8

(62) Un fabricante ha descubierto que el cambio en el costo de distribución D a medida que aumenta las ventas v, es igual a una constante multiplicada por las ventas mas otra constante. Halle la relación entre el costo de distribución y las ventas si D = 0 cuando v = 0, trace la grafica de la relación obtenida.

Desarrollo

De la condición del problema se tiene

dD ,— = k, v + k-,, que es una ecuación de variable separabledv

dD = (&, v + k2 )d v , integrando ambos miembros

jd D = j ( k lv + k2)dv de donde D = ~ —hk2v + c ,

cuando v = 0, D = 0 entonces c = 0

ky 2por lo tanto D -- -y v 4- k2v , su gráfico es:

Eduardo Espinoza Jtflmn

La renta de los departamentos para estudiantes (con dos recamaras y muebles comunes) en un lugar cercano a una universidad, varia según sea la distancia de la vivienda con

respecto a la institución educativa. Suponga que tal relación esta dada por ~~~ = - ( —+ a) ,1 < x < 10, en donde y es la renta mensual (en unidades monetarias determinadas) y x es la distancia (en kilómetros) a la universidad; k y a son constantes. Exprese a y como una función de x, si y = 225 cuando x = l, grafique la relación obtenida.

Desarrollo

— = —(—+ a) de donde dy = - ( —.+ á)dx , integrando ídy = — {(— + a)dx+c dx x x x

y = -k In x - ax + c , cuando x = 1, y = 225 se tiene: 225 = 0 - a + c => c = a + 225y = a + 225 - ax - k ln x, es la respuesta


| (64) La relación entre el costo de operar un almacén o bodega y el numero de litros de aceite

almacenados en el mismo esta dado por — = k x + a , en donde y es el costo mensual dedx

operar dicho deposito (en pesos) y x es el numero de litros de aceite almacenados. Obtenga a y como función de x si y = y0 (costo fijo) cuando x = 0. Grafique la relación

obtenida.Desarrollo

dyComo —- = kx + a , entonces dy = (kx + a)dx, integrando

dx

¡ d y = ¡ (kx + á)dx de donde y = ^ — + ax + c

cuando x = 0, y = y0 => .y0 = 0 + c => c = y0

kxLuego y = - ^ - + o* + x0 , cuya grafica es:

5.3. PROBLEMAS.-

Obtenga la solución general para cada una.de las siguientes ecuaciones diferenciales.

0 x dy - 3 y d x = x1 dx

Desarrollo


dy „ ? , , , dy 3x -3 y = x de donde---------------y = xdx dx x

es una ecuación diferencial lineal en y

como la solución es y = e S PMdx[ \ ¿ PMdxQ(x)dx + c]

3por lo tanto P(x) = — y Q(x) = xx

- í - —dx f—^dxy = e* * [Je 1 xdx + c] => y = eilnx[je~ilnxxdx+c]

3, { d x 3 , 1y = * [ J — + c] y = xJ( - - + c)

— + 2xy - 2xé~xl =0 dx

Desarrollo

— + 2xv = 2xe~x ecuación lineal dx

y = e ^~xdx[je}~xd*2xe x dx + c] => y = e x [Jex 2xe* dx + c]

y = e~x [J 2xdx + c] y = e~x (x2 + c)

y — + (l + y)x — ey =0 dy

Desarrollo

dx 1 + y ey-----h------x = — ecuación lineal en xdy y y


©

e~y r „ e~y e2yx — —-—[J e dy + c] => y = -----H r + Cí

y — + 2x —3y = 0 dy

Desarrollo

dx 2 * ..---- 1-—x = 3 ecuación lineal en xdy y

- j - J y ,» J-4yJ V r 1 J V[Je y ^ dy+ c] =» x = e~21n,'[Je2lny3dy + c]

y f j3 y2dy + c] =» -x = ~ [ y 3+c] X = y + — ,r

y

x(6xy + 5)dx+ (2x3 + y)dy = 0Desarrollo

fP = x(6xy + 5) {,Q - 2x3 + y

ap a<2

f— = 6x2 dy

— = 6x2 3jc

3/(x,y)como es exacta => 3 f(x,y) tal quedy dx dx

= P(x,y) y

d /(x ,y ) dy

Q(x,y)

-^ ^ - = P(x,y) = 6x2y + 5x integrando f ( x ,y )= f(6x2y + 5x)dx + g(y) 3x J

5jc/ (x, y) = 2x3y + — -+ g(y) derivando con respecto a y

df(x ,y)3y

■ = 2x + g '(y) = Q(x, y) = 2x + y

Eduardo Espinoza Ramos Ecuaciones Diferenciales 531

tt\y) = y => g{y) = -

i 5x2 v“f ( x , y ) = IXs y + — - + J L + C

(<3[x + bxy + q )dx + (i>,x+ b2y + c2)dy = O

Desarrollo

dP

4x3 y + 5x2 + y 2 --= k

P = alx+bly+ cl

Q = blx+b2y + c2

dP = dQ )y dx

d f(x ,y )

dy

dQ. 5x

= b¡

= bl

como — = es exacta => 3 f(x,y) dy dx

tal que ^ ~ ^ - = P(x,y) y = Q(x, y)dx dy

d f(x y) f— ~ ~ = P = alx+b,iy + cl integrando f ( x , y ) = J (a1x+b¡y+c1)dx+g(y)

/ (x , y) = + b{xy + c,x + g (y ) , derivando

= blx + g \ y ) = Q(x, y) = b¡x + b2y + c2dy

g'(y) = b2y + c2 => g(y) = b2^ - + c 2y + c

r , n a\X , biyf ( x , y) = — f fc,xy + c ¡ x + - ^ ~ + c2y + c

a¡x2 b2y 2... _ L _ + _ ^ _ + ¿kJty + e iJC + C2y = t

(? ) y efe + 3x2exdx = dyDesarrollo

dyy + 3x2ex , de donde - y = 3x2ex ecuación lineal

dx dx

y - e í dx[je^ d*3x2exdx + c] => y = ex[ j3x2dx + c]

y = ex[x* +c]

( ? ) (ye** + 2 xy)dx + (xe^ + x 2 )dy = 0

\ p = yexy+2xy

|(? = xe** + x2

Desarrollo

^ = exy+xyexy + 2x dy

^ = exy+xyexy+2x dx

($P 00como —— = — es exacta, entonces 3 f(x,y)

oy dx

tal que — — = P(x, y) = ye** + 2xy integrando /(x ,y ) = jíye** +2xy)dx+g(y)

/ (x , y) = exy + x 2y + g ( y ) , derivando

= x e v + x 2 + g '(y) = 2 (x, y) = x ^ + x2dy

g'(y) = 0 =* g(y) = c

f ( x , y ) = exy +x2y+ c exy + x2y = k

(x + 1)— + 2y = e^ x + l)“1 dx

Desarrollo

Eduardo Espinoza K<i

1 v + ----- y ~ e x(x+ 1)“2 ecuación linealdx x+ l ‘

r ld x r2dx

y = e x+l[ je X e x(x + \)~2dx + c]

y = <r21n(jt+1)[ J emx+l)ex(x + l)~2¿x + c] => y = ■ 1 - y [J (x + l)2ex(x + 1)-2dx + c)

1 . f j . , ex +cy “ --------■-[ \e dx + c] => y = ---------(x+l)2 J (x + l)2

(y eos x - 2 sen y)dx = (2x eos y - sen x)dy

Desarrollo

(y eos x - 2 sen y)dx - (2x eos y - sen x)dy = 0

= c o s x -2cosy

= - 2cosy + cosx

P - y eos x - ¿sen >’Q = - (2 x eos y - sen *)

dp_

ÓQdx

dP ÓQ a et \como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y)dy dx

y V i ± y ) = Q ( x y )dx dy

df(x, y) dx

= P(x,y) = y co sx -2 se n y , integrando f (x ,y ) = J (y c o s x -2seny)dx+ g(y)

f(x,y) = y sen x - 2x sen y + g(y), derivando

df(x, y)dy

■ = sen x —2 xeos y + § '(y) = Q(x, y) = - 2xcos .y + sen x

g'(y) = 0 => g(y) = C

f(x,y) = y sen x - 2x sen y + c y sen x - 2x sen y = k

V.cuaciones Diferenciales 533

(3x2 y + xy2 + ex )dx + (x3 + x2 y + sen y)dy = 0

Desarrollo

| P = 3x¿y + xy2 +ex

[Q = x3 + x2y + seny

¿P , 2 .—— = 3jc +2 xy dydQdx

= 3x~+ 2xy

dP dQcomo — = -— es exacta, entonces 3 f(x,y)dy dx

Blque m i ¿ L ^ n x , y) y M í í l l = Q ( x , y )dx dy

— ■v ^ = P(x, y) = 3x2 v + xy2 + ex , integrandodx

1 xV/ (x, y) — x y H— ~ — + ex + g ( y ) , derivando

= x3 + x2y + g'(y) = Q(x , 3;) = x3 + x2y + sen ydy

g ’(y) = sen y => g(y) = -eos y + c

2 2 -i x yf ( x , y ) = x y + ■■ ■■ + ex - eos y + c

( l 2) 2y sen xydx + (2x sen xy + y 3 )dy = 0

2 2x3y + *~y + e * -c o sy = ¿

2

Desarrollo

P = 2 ysenxy

Q ~ 2 xse n xy + y3

o— = 2 ¿en xy + 2xy eos xydy

— = 2 sen xy + 2 xy eos xy dx


como — = — - es exacta, entonces 3 f (x,y) ay dx

alqUC W ± l 2 = P U y ) y V £ l > = Q ( X, „dx dy

^f( * y) r—— — = P(x, y) = 2y sen xy , integrando /(x ,y ) = J 2ysenxydx + g(y)

f ( x , y ) = ~2cosxy + g (y ) , derivando

- = 2x sen xy + g '(y) = Q{ x, y) = 2x sen xy + y3dy

3 y4g '( y ) = y => g(y) = ¿ - + c4

y4 ' 4/(x ,y ) = ~2cosxy + -— +c y - 8cosxy = k4

(3y sen x - eos y)dx + (x sen y - 3 eos x)dy = 0

Desarrollo

Agrupando adecuadamente (3y sen x dx - 3 eos x dy) + (-eos y dx + x sen y dy) = 0

d(-3y eos x) + d(-x eos y) = 0, integrando se tiene

J¿/(-3ycosx) + j"í/(-A COsy) = c =$ -3y eos x + (-x eos y) = c

3y eos x + x eos y = k

(y2 eos ec2x + 6xy — 2)dx = (2y ctg x - 3x2 )dy

Desarrollo

(y2 eos ec2x+6xy - 2)dx ~ (2y ctgx — 3x‘ )dy = 0


IP = y2 eosec2x + 6xy - 2

Q = ~(2yc tg x - 3x2)

dPdy

. dx

■ 2 ycosec2x + 6 x

= 2 ycosec2x + 6x

dP dQ _ , .como — = — es exacta, entonces d f(x,y) dy dx

tal que - - - - - - = P(x, y) y - Q(x, y)dx dy

d f ( x y) 9 o—— — = P - y" eos ec x + 6xy •- 2 , integrando

dx

f ( x , y) ■- J (y 2 eosec2x + 6xy - 2 )dx + g (y)

/(x , y) = - y 2ctg x + 3x2y - 2 x + g (y ) , derivando

df (x, y)dy

- = - 2 y ctg x + 3x2 + g \ y ) = Q = - 2 y c t g x + 6 x2

g '(y ) = 0 => g(y) = c

/(*> y) = - y 2ctg x + 3x2 + c

c o s y d x - ( x $ e n y - y )dy = 0Desarrollo

P = eos y

Q = —xsen y + y2

Í3P3y3G3x

= - s en y

■= - sen y

dP dQ c . .como — = — es exacta, entonces d f(x,y) dy dx

m ^ i =P(x, y) y m > i = e i x , y)dx dy

3x2 - y 2ctg x = k

Eduardo Espinoza Ramm

— - P = cos y , integrando f ( x , y) = f cos ydx+ g(y) = xcos y + g(y) dx Jdx

df(x, y)dy

8 \ y ) = y

= - x sen y + g'(y) = Q = - x sen y + y

g(3, ) = T +c

/ ( x, y) = xcos y + — + c 3;ccosy + y =k

y * „ , l 2x . .2 (A r +— )dx = (-=-+— r)dy x y x y

Desarrollo

y * . , . 1 2x “ . , .2(— + — )dx - (— + —~ \dy - 0 x y x y

p = * 4 + 4 )x3 >-2

, 1 2x2.Q = -(— +— )

at yJ

i d p = jt__4*

dy *3 y3 2 4x

7 “ ?3.x ”3 -■3

ä/5 5ß t í -, vcomo — = —=■ es exacta, entonces d f(x,y) dy dx

dx ay

d f(x ,y ) 2y 2xp - ^ Z + 4 , integrando f ( x , y ) = [ ( ^ + “ ><¿*+5^)x v J x y

f ( x , y ) = —~ + T + g (y ) , derivandox y

5 i< ir t = _ 4 _ ^ + s .w = e = - 4 - ^je y x ydy


g ' ( y ) - 0 => g(y) = c

f ( x , y ) = - ~ + ^ j + c = kX y y x ¿ .

17) - + 2 y - x = 0dx

Desarrollo

dy— + 2 y - - x ecuación lineal en y dx

y - e i 2dx[je^2Jxxdx + c] => y = e~2x[J e2xxdx + c]

-2xfxe2x e2x x 1 ~2xy = e [ _ _ _ _ _ _ + c ] y = _ _ _ + C £ 2x

18) x — = x3 + y dx

Desarrollo

—— - y = X2 ecuación lineal en y dx x

f dx r dx

= e x l j e Xx 2dx + c] =¡> y = elr":[^e~lnxx 2áx + c] = x(^~- + c)

xy = — + ex 3

dx X + l y 2

Desarrollo

dy 2 x _2 j ™— -----------y - _ y ecuación de Bernoullidx 3(* + l) 3

2 dy 2 3 xy 2 - ¿ - + --------------v 3 = -

dx 3(x + 1) 3


3 v dz - 2 dy sea z = y — = 3y —dx dx

- — + — - — z = —, de donde — + z = x , ecuación lineal en z3 dx 3(x + l) 3 dx x + l

• r 2<fa r 2dx

z = e •t+l[ J e x+lxdx + c] => z = e~2bKX+1)[ j e 2ln(x+l)xdx + c]

z - ----L_;_ [[(Jf4.1)2A-¿jC + c] =;> y3 = ----L__ [ f (x3+ 2x2+x)dx + c](x + l)2 J (X + l)2 J

3 1 x4 2x3 X2 .y} ---------- (--- + ----- + ----+ C)(x + l)2 4 3 2

dx _v — + x = e y dy

Desarrollo

— + x = ecuación lineal en x dy

x = e l d}[je^dye~ydy + c] => x = e_>,[JVv.e~vdy + c] =» x = e_>[y + c]

dy l x2----- xy = y l xedx

Desarrollo

dy 2— - xy = xe* y2 ecuación de Bernoulli dx


~dz ¿ dz x xex .2----- xz = xe => ---------z = ------ ecuación lineal en zdx dx 2 2

- f~ d x r f - - d x xex — C e 4 xexz = e 2 [Je 2 —— dx + c] => z = e 4 [J ---- — — dx+ c]

1 £ 3 ^ 2 I X2 3j2y2=e4[Je4 —dx + c] => y2=e4[—e 4 + c]

dy x— - x y = - dx y

Desarrollo

dy _i----- xy = xy ecuación de Bernoullidx

dy 2 2 dz ~ dyy ----- xv“ = x sea z = y --=> — = 2y —dx dx dx

- - - - - x z = x , de donde - - - 2xz = 2x ecuación lineal en z2 dx dx

z = e \ ~xdx[ j ei - x J x 2 xdx+c] => z = e x [ j e ~ x 2xdx + c]

y 2 = e * * ( - e ~ x‘ +c)

2 3 ; y ¿ x + x y ~ X e

Desarrollo

dy _ 2 o • -i ¿/y a _ 2— + xy = xe y ecuación Bernoulli y — + xy =xe dx dx

,, 4 dz . 3 dy 1 dz _*jSea z = y => — = 4y — ==>------+ xz = xedx ' dx 4 dx

dz ~ 3— + 4xz = 4xe x ecuación lineal en z dx

= - l + cex2


z = e ^Axdx[ j e ^ xdx4xe x dx + c] => z = e~2x [ je2x x dx + c]

£ --e~2' j j 4xex dx+c] => z = e iA j2eK +c] y4 = 2e +c.e

xydy = (x2 - y 2)dxDesarrollo

x y ^ L - x 2 - y 2 => — + — v = xy *, Bemoulli y ^ - + — y2 = xdx dx * ‘ dx x

2 dz _ dy 1 dz 1 Sea z = y => —~- = 2y—- => - + - z = jc

dx dx 2 dx x

— +—z = 2x ecuación lineal dx a

z = e-fcfa[J^*<fe2xdx+c] => z = <T2lnj:[J<?2lnjt2:xdx+c]

y2 = ~ [ [2*3dx + c] =* y2 = -y [— + c] x J X 2

(x + y)dx + (x - 2y)dy = 0Desarrollo

Sea y = ux =» dy = u dx + x du

(x + ux)dx + (x - 2ux)(u dx + x du) = 0 => (1 + u)dx + (1 - 2u)(u dx + x du) = 0

(í+u + u ~ 2 u 2)dx+(l~2u)xdu = 0 => (2 u " - 2 u - l ) d x + (2u-V)xdu = 0

— + —^ ——- du = 0 , integrando x 2m - 2u


dy , 1-Z + Cy---- )X = i)dx y

dy y2

Desarrollo

+ -------x -- 0 separando las variablesdx y

-4 “ + x dx = 0 , integrando í + f x dx = cy "1 J y 2-1 j

4 in ! y2 - 1 1 +-~- ~ c => ln(y2 - l ) + x2 = kl 2

ds— - s c t g t = í - { t + 2 )c tg t dt

Desarrollo

ds~ ~ ctS t s - i - (t + 2)ctg t , ecuación lineal

s - e ■ 11 J! [ j J ctg ,dl (1 - (t + 2)cig t )dt + c]

s = e ^ e'“ [ ¡ e ^ ‘ ( l - ( t + 2)ctg t)dt + c] => , = f-1- ^ + 2)cfgfd/ + c]J sen?

s = sen íf J (eos ec t - (/ + 2)cíg /.eos ec í )dí + c]

s = sen 11 in | cosec t - ctg 11 + (t + 2)cosec t + Ir. ¡ cosec t — ctg t J + c]

s = 2 sen t ln |cosec t - ctg 1 1 + t + 2 + c

ds s sent---H— = eos t + ------dt t t

Desarrollo

_ rdt edt

s = e ‘ [ je ‘ (eost + ~--~~)dt + c] =* j = e [n‘[ j e m‘(eost + ~ ) d t + c]

Eduardo Espinoza R a m o»

S = -[J(ícosí + sent)dt + c] => s = ~[jd(tsent) + c]

1 . . cs = - ( t sent + c) = sent + — t t

s - sen t + — t

dy— + y = cos x - sen x dx

Desarrollo

y = e (cos x - se n x )d x + c] => y = e~x[ je x (cos x - s e n x)dx + c]

y = e~x[ j" d (ex cos a ) + c] y = ^ ( ^ cosA-f c) => y=cosA + c e jC

(2.V cos y - ex )dx - x^sen y dy = 0

j P = 2x cos y - ex

IQ = - x 2seii y

dPdydQdx

Desarrollo

= - 2xsen y

= -2xsen y

dP dQ -, c, s.como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx

lalque V t ± y ) = P ydx dy

-Ú —ll}. - p = 2 x c o s y - e x , integrando f ( x , y ) = [ ( 2 x c o s y - e r)dx+ g(y) dx J

f ( x , y) = x 2 eos y ~ ex + g ( y ) , derivando

df(x, y) 2 ^ 2— —— = - x sen y + g (y) = Q = - x sen ydy

8'(}’)=■■ 0 => g(y) = c

f ( x , y ) = x eos y - e 1 + c x l eos y - ey = k


(5Ì) (y sen + xy eos x)dx + ( a: sen x + sen y + ey)dy = 0

Desarrollo

\dPP = y sen x +xy eos x

Q = xsen x + sen y + ey

sen x + x eos x dydQ—— = sen x + a eos x dx

dP dQcomo es exacta entonces 3 f(x,y)

dy dx

,al que Í Í Z ñ . r , = edx dy

df(x, y) dx : y sen x + xy eos x , integrando /(.v ,y) = | ( y í e « A + AycosA)<¿r4-g(y)

f ( x , y) = Jd(yx sen a) + g(y)

f(x,y) = vx sen x + g(y), derivando

d f (x, y)— - x s e n x + g'(y} = Q = xsenx+ seny + eydv

g'(y) = seny + ey => g(y) = - e o s y + ey +c

f ( x , y) = yxsenx — eos y + ey +c yx sen x—cosy + ey = k

J 11 2dy T x—— xy = e~ cosa dx

Desarrollo

- f - x d x . j* S -xd x ~Zx l . ,y = e J [J e 1 e 2 cosxdr + c]

— f — - x 2 ily = e 2 [ je 2 c o sx e2 í/a + c] => y = e 2 [Je5** cosa<£c + c]

Eduardo Espinoza Ruin»* *COS0.— = 2 + 2 rsend

de

dr

Desarrollo

- ItcQ.r = 2sec0 , ecuación linealde

r = e- i -2>*6‘“, [ \ e¡-2,ged62 seced0 + c] => r = e2lnsec0[Je2lncose2sec0dO + c ■

r = sec2 0[ J 2cos0 í/0 + c] => r = sec20.[2sen0+c]

eos2 6.r = 2sen9 +c

eos xsec y dx +sen x sen y sec 2 ydy = 0

Desarrollo

-C-°S * dx i 5eW y Se°2 ~V- dy ~ 0 =¡> ctgxdx + lgy dy = 0, integrando senx sec y

^ c tg x d x + ^ tg y d y = c => ln sen x + ln sec y = c

, „ sen x sec y = kln sen x. sec y = c

^ - + s tg t = 2t + t2tgt dt

Desarrollo

Es una ecuación diferencial lineal a s

s = e ^ ,d’[ \ e ^ ' (21 + t2tg z)dt + c) => s = ehlcos' [ J e!nsec' (21 + f2íg t)dt + c]

.V = eos/[Jsect(2t + t2tg t)d t+ c] => s = co s /ljd (/2sec/) + c]

, 2 , % ’ J = *2 +C-.COSÍi = cosr(f sec/ + c)


36) eos y dy + (sen y - 1) eos x dx = 0Desarrollo

eos y-dy + cosxdx = 0 , integrando

se« y -1

feos ydy f , . , .J------------h \co sxd x = c ln ¡ sen y - 1 ¡ + sen x = cJ sen y -1 J

37) x tg 2ydy + xdy = (2x2 + tg y)dxDesarrollo

x(tg2y + l)dy = (2x2 +tgy)dx =» xsee2 y dy = (2x2 +tg y)dx

2 dy „ 2 xsec — - 2* = í s v dx

dz 2 dy dz „z = tg v =s> — = sec V— => x ----- 2x = zdx dx dx

dz 1----- —z = 2 ecuación lineal en zdx x

cdx r dxz = e x [ je X 2dx + c] => z = emx[^e~{nx2dx + c

, f 2 dx ,z = 4 1----- + c] => tg y = x (2 ln x + c)

J JC

38) 3>,: — - xy5 = e 2 eos x

_ 3 dz „ 2 dySea z = y => — = 3y —

dx dx

— ~ xz = e 2 cosx, ecuación lineal dx

Desarrollo

46 Eduardo Espinoza Kiinun

x1 _ _£. £_cosxdx+c] => z = e M j e ' 2 .e2

í l , i l y3 = e 2 [Jcosxdx + c] =* y3 = e 2 (senx + c)

¡9) (ln y + y3 + ye'7 )<¿x + ( - + 3xy2 + xe^ )<¿y = 0^ v

P = lny+y' +ye'*y

Q = — + 3xy2 + xex>'

Desarrollo

— - — + 3y2 + xye” dy y

* Q = l +3y¡ +xye»dx y '

como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx *

9x dy

df(x, y) dx

= P = lny + y3 + y e " , integrando f ( x ,y ) = |( ln

/ ( x ,y ) = xlny + .xy + exy+g(y)

W ^ ± = U W + xe*y +gXy) = Q = - + W + * xydy y y

g'(y) = o => g(y) = c

f ( x , y) = xln y + xy3 + e** + c

dx + (2 xy - 4xy3 - 2y V )dy = 0Desarrollo

dy_dx

+ (2y - 4 y3 )x = 2y V v" ecuación lineal en x

cosx<fx + c|

y + y3 + yexy)dx + g(y)

xln y + xv3 + exy = k


x = e^ 2y- ^ [ j el (2^ ^ 2y\ ey4dy+c]

x= e~y +yitj*ey2~y4.2y3 ey' dy + c] =* x = e~y^ y\ l j e y2y 3dy + c]

x = e~y2+yt[y2er - e y> +c] => x = y V * - e y' +c.e~y’*y'

@■1 1 jf

(y 4-----f- yey )dx + (2xy — — + xey + xyey )dy = 0y y

Desarrollo

P — y2 +- — + yevy

Q = 2xy -- ~ + xey + xyey=> •

como

y

dP dQ dy dx

dP l y—- = 2y — - + ey + yey dy y 2

3 0 . 1 y '— = 2y — ~ + ey + yey 3x v

es exacta => 3 f(x,y) tal que - P y = q

dx dy

3/(x, y) ' dx '

= F = y 2 + i + yÉ.v , integrando / ( x , y ) = í ( y 2 + - + y e y)dx +g(y) y J v

/ (x, y) = y"x + —+ xyey + g ( y ) , derivando

= 2xy - ~ + xey + xyey + g \ y ) = Q dy y 2

2xy — + xey +xyey + g '(y) = 2xy - ~ + xey + xyey y y ‘

g Xy) - 0 => g(y) = c

/ (x ,y ) = y 2x + —+xyey +c xy + — + xyey = ky

Eduardo Espinoza Rumos

v: — + (y¿ + 2y)x -1 = 0 dy

Desarrollo*

É l + x = —— ecuación lineal en xdy y y

f z ü * . . f n i ,= e_í^ [ J e JZ ^ - + c ] =* * = ^ - 2 [ J ^ +2ta + c ]

.X = - -ljV Vy + cJ * = ~r-C^ +c)y

xy = 1 + ce y 1

x dy = (5y + x + l)dxesarrollo

_z------y = ------ ecuación lineal en ydx x ' x

z = e M'* - — - dx+c] => y = [ [

x J? '«*rl¿ to* ! ± id x + c ]

■* + l J .£¿. ------5r^ - V "7 + Cl => y = —T - 7 + C0'x54x 5x 4 5y = x:5[J^ -< ¿x + c] => y = *5(-

xy + 1 , 2 y ~ x , n— dx + -¿—~ d y = 0y y

Desarrollo

P =*y+l

e = ^

IdP = __1_ 3)' y2

30 =_J_3.x y2

como — = — es exacta, entonces B f(x,y) tal que " ~ ~ ** > a3y 3* '

3/(* ,y ) u xy + 1 1 f 1— 5 ------------------------------------------------------- = ^ = -----------= x + —, integrando / ( x ,y )= (x + —)dx + g(v)

ax y y J y

oJt~ JCf ( x , y ) = — + —+ g(y), derivando

2 y

licuaciones Diferenciales 549

3/Cx,y) x v x „ 2 y - x 2 x-------= -------T + g ( y ) = Q = - ¿ — . = ----------

ay y- v y y

2g \ y ) = — g(y) = 2 ln y + c

y

f ( x , y ) = — +—+ 21ny + c i _ + i + 21n y = ¿2 y 2 y

45) — = x+eydy

Desarrollo

dx----- x = ecuación lineal en xdy

:~ e ^ [ j e i “yeydy + c] => * = e,’[ f e -'.e ’í/y + c] =» x- = ey(y + c)

46) x ~ + 2y = 3.x3 y 3

Desarrollo

d y 2 - - o 1— + — y = 3x2 y 3 ecuación de Bernoulli y 3 — + — y 3 = 3x2dx x dx x '

~í dz 1 ~^dy dz 2 „ 2Z = y 3 ^ —- = - - y 3 — => - 3 — +—Z = 3x <w 3 dx dx x

--------- z = - x 2 ecuación lineal en zdx 3*

Eduardo Espinoza Éarnot

2dx U |

2dx J 3a (-X2 )dx + c] z = e

2-In.x 3

'-1- t a i

"dx + c\

¿ * z = x 3[~Jx3d* + cl

1 2 - 1 _i 3 \ y 3 = JC3 L—~JC3 +C] => .V 3 = ~ 7 * +C,X

x 2— + y 2 =xydx

Desarrollo

j i i _2 dy 1 - i _ ^ L - i y = — - y 2 ecuac ión de B ernou lli y ^ ~ ~ -v ~ x 2d x x x~

dz -2 dy z = y * ^ = "y *

¿ £ _ I Z = -J L de donde — + - z = -V > ecuación linealx x2

tdx rdx . J r f /i ,

dx x x2 dx x x

z = e [^e x x2dx + c] => z = « toJt[ |e ln x dx + c]

, 4 _1 X3 c1 /» 1 X , • y = --------- 1

z = [ í x dx + c] => z = - [ - — + c] 4 xx J * 4

send dd +cosd dt = te'dtDesarrollo

dd a . i senQ — + cos 6 = te dt

dzz = co s0 =» -— --s e n edt at

— + z = te' ecuación lineal en z dt


z = e ^ '[ je ^ 'te 'd t + c] => z = e~,[Je‘ J.e‘dt + c]

eose = e ‘[[e^ td t + c] =* cos0 = e ' [ —--— i-c] => eos6 = —— — + ce 1J 2 4 2 4

9 eos ec y ctg t dy = (cc.sec y + ex }dx

Desarrollo

Sea z = cosec y => dz = - cosec y ctg y dy =s> -dz = ( z + ex)dx

— + z = -e * , ecuación lineal en z dx

z = e ^ [J e^ í-e 'jd b t+ .c ] z = e_*[-J<?2xdx+c]

e2* excosec \ = e~x[------ + c] => cosec y = ------- l-c.e *2 2

50) x ^ j -+ y = y 2x2 eosx

Desarrollo

dv 1 2 •.? i n t.- —i dy 1 _i— + —y = xcosx.y , ecuación de Bernoulli y — l— y = xcosx dx x dx x

O -i dz -2 dySea z = y => — = - y — dx dx

dz 1 dz 1-------1— z = x eos x , de d o n d e -------- z = -xcos x ecuación lineal en zdx x dx x

_ f dx f dx

z = e x [ je x (~xcosx)dx + c] =» z =e'ax[-^é~[axxcosxdx + c]

z = x[-j"cosxdt + c] /. y-1 = x(~sen x + c)

dxdy

dy_dx

Eduardo Espinoza Ramoi Ecuaciones Diferenciales

- x c t g y = ey ( \ - c tg y )

Desarrollo

- ctg yjc = ey( l - ctg y) ecuación lineal

x = e~$~ag vrf> [ J ef ~ag ydyey (1 - ctg y)dy + c]

x = e'nseny[ f e- tnsmyey (1 - ctg y)dy + c] => x = s e n y [ f ^ ^ eydy + c]J J sen y

x = seny[j (eos e c y - c t g y eos ecy)eydy + c] =» x = seny[jd(cosec y e y) + c]

x = seny[cosecyey +c] => x = ey +c.seny

Encuentre la solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales según las condiciones dadas.

— + y tg x = sec x , y = l cuando x = 0 dx

Desarrollo

y = e-l'g*dx[je¡‘gxdxsec x d x +c] => y = e>ncosx[j i

y = cosjc[j"sec2.x:í¿E + c] => y = eos x [tg x + c]

y = sen x + c. eos x, pitra x = 0, y = -1

-1 =0 + c => c = -l

dy + (y ctg x - sec x)dx = 0 , y = 1 cuando x = 0

Desarrollo

ginsecx sec Jt£ÍX + c]

y = sen x - eos x

y - e lC,gXíU[je¡ctsxdx sec xdx + c] => y = e lnsenx[ j e ]nsenx secxdx+c]

l r f 1y - ------ U senxsecxdx+c] => y = -------[lnsecjt+cl

senx J senx

y sen x = In sec x + c para x = 0, y = 1

0 = In 1 + c => c = 0 y sen x = ln sec x

(y2 +l)-j~ + 2xy = y , y = -l cuando x = 0 dy

Desarrollo

dx 2 y y 2——i- —z— x = —— ecuación 1 ineal en ydy y 2 +l y 2 +l 3

x = e V+1 y rl¡e

y 2 +- d y + c ] => jc = e - ‘n(^ +1, [ f e ^ y2+l)- ^ — d y + c] 1 J 1+ y2

+ X = ~ T ~ , + para x = 0, y = -1y +1 J y +1 3

0 = ^ ( - i + c) =* c = —2 3 3

1 t y 1 \x = — (— + - )y +1 3 3 3jc(y2+ l) = y3 + l

55/ dy - x(l - e2y r )dx , y = 0 cuando x = 0

Desarrollo

dy 2y-jtJ dy— = x - x e -j±> —dx dx

+ xe x e2y = x


1 dz .y-------+ xe z = x2 z dx

— - 2xz = -2e * x.z' ecuación de Bernoulli dx

z~2- - 2 x z ~ l = -2xé~x dx

_i dw _2 dz dw „ . _w = z => — = - z — = > --------- 2 xw = ~2xedx dx dx

— + 2xw = 2 * ecuación lineal en w dx

w = e l 2xJx[ j e ^ xd*2xe~*‘dx+c] => w = e~* [ je * 2xe ' dx+c]

w = e~* [ j2 x d x + c ] =» — = e~*[x2+c]

ex = e2y(x2 +c) para x = y = 0

1 = 0 + c => c = 1 V. e*' = e2y(x2 +1)

(x2 +—+ ye*y)dx+(ey +3y2 + xexy)dy = 0 , y = 0 cuando x = 1 x

Desarrollo

dP1P ~ x ¿ + —+ ye**'

x =>Q = ey +3y2 +xexy

= e*y +xye*y dy

^ = exy + xyexy dx

dP dQ _ df(x ,y ) D d f(x ,y )como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) tal que — —— = P y — ------ = Q

dy dx dx dy

= p = x 2 + —+ y e " , integrando / ( x , y ) = U x2 + — + ye*y)dx +g(y) dx x J x


*3f ( x , y) = - - + lnAr + e'°' + j?(y), derivando

_ xe*y + g ~ Q = ey + 3y 2 + xe*7dy

g'(y) = 3y2 +ey => g(y) = y3 +ey +c

3

f ( x , y ) = — + lnx+e*y + y3 +ey +c — + ln x + e ^ + y 3 +ey = k

ST) ( , l - x 2) — + xy = * ( l - x 2)y2 , y = 1 cuando x = 0dx

Desarrollo

dy x - - - d x 1—+ ----- - y = xy2 ecuación de Bernoulli y 2 — + ----- - y 2 = xdx 1 — x dx l - x 2

\ dz 1 -r dy . dz xsea z = y 2 => — = —y 2 -¿- => 2— + ------ rZ = xdx 2 dx dx 1 - x

dz x x——h-------- r— z = — ecuación lineal¿r 2(1- X 2) 2

i

f XOT f * 1 , 1i 9/1 v2\ T J o/i v2\ JC — ln(l—jc ) f — ln(l-*2) r

: = e ( >[ fe 0 > - ¿ v + c] => z = é>4 [ f e 4 -<¿c+c]J 2 J 2

____ 3: - \ J l - x 2[ ~ j j j ==!~ ^ dx+c] => z = y j l - x 2[ - ^ ( \ - x 2)* + c]

y 2 = - - —- + c t f \ - x 23

58) — + y = y2e~*, y = 2 cuando x = 0£¿í

Desarrollo


_2 dy _iy j + y edx

-i dz -2 dy Sea Z = y = > — = - y - r -

dx dx

- — + z = e~* => — ~ z - - e ~ x ecuación lineal enz dx dx

z = e dx[je^ dx(-e~x)dx + c] => z = ex[- je~ x.e~xdx + c]

e ~ i xy-> = e JC[ _ _ + c ] para x = 0, y = 2

1 = i +c =$ c = 0 y-1 = -— de donde y2 2 2

y d x+ 2(x - 2 y 1 )dy = 0, y = -l cuando x = 2

Desarrollo

y - ~ + 2 x - 4 y 2 =0 => ~ + —* = 4 y, ecuación lineal en x dy ' dy y '

,2 t2dx = e y [ je y 4ydy + c] => x = e~2b,y[ je 2lny4ydy + c]

x = \ [ \ 4 y idy + c] => jcy2= y 4 +c parax = 2, y = -l

2 = 1 + c => c ~ 1 xy2

(y + y3)dx+ (4xy2 - l )d x = 0 , y = l cuandox = 0

Desarrollo

— +A?L—~ — 1— => —~+ fy .~ x = — , ecuación lineal en ydy y + y 3 y + y 3 dy 1+y y+y

= 2ex

/ + !


r^ y d y r4 ydy

x = e + ^ x = e-2HlW)[ í e2 H lW )_ ± _ _ + c]J y + yá J y + y*

jc = _ 1 r f ( l+ y )[ f í l t Z > dy + c] => x = -----dy + c]Y J y + y 3 d + r )2 J y(i + y2

1 y2x = ------ r T [lny + r + c]

(l + y2)2 2

0 = 0+ i + c => c = —— x(l + y2)2 = lny + ~ — —2 2 2 2

61) 2y dx = (x2 y i + x)dy , y = l cuando x = l

Desarrollo

_ dx 2 4 dx 1 y3 t2y —~ = x y +x = > ------------x - — x~ ecuación de Bernoullidy dy 2 y 2

-2 dx 1 _i _ y3 dy 2y 2

_i dz -7 dxz = x => — = - x ---dy dy

dz 1 y3 a a a dz 1 y3— -------- z ~ — de d o n d e ----- 1-----z =------ , ecuación linealdy 2 y 2 dy 2y 2

z = « A f A - ¿ x , « j =» ¡ = . ^ ’ [ - [ . ^ 4 « ]J 2 J 2

7

L .[_ fZ _ ¿ y + c] reemplazando j f 1 = -^ = [-—y2+c]yjy J 2 Vy 9

9

/— y 2>/y = Para x = i. y = 1


i = - i « « ,=12 ' , / ? - * - £ ♦ £ > 9 9 9 9

il) (*2 - 1 ) — +(x2 - l )2 +4y = 0 djc

Desarrollo

^— y = ~(x2 - 1) ecuación lineaidx x2 - l

| 4 dx f 4 dx _2 ln (-— ) f 21n(—— )y = f J e ^ (x2 - ì)dx + c] => y = e " *+1 [ - j e J[+1 (*2 - l)dx + c]

y = (£ l |) 2[-f (^ -j) V - \)dx+c) => y = (£ ± I )2[_Ü i-JA ~¿* + c]*-1 j JC + 1 JC- 1 J JC+1

y = ( i - t l ) 2[ - — + 2x2 -7jt + 81n | jc + l |+c] * -1 3

para x = 0, y = -6 se tiene -6 = 0 + 0 + c =* c = -

y = (iL Ìl)2[_ £ Ì + 2x2 - I x + 8In | * + 11 - 6] x -1 3

S3) (yex -2 x )d x+ exdy = 0 , y = 6 cuando x = 0

Desarrollo

e* — + yex = 2x => — + y = 2xé~x ecuación lineal en y dx dx

y = e ^d*[je^d'2xe~xdx + c] => y =e X[j2xdx+ c]

y = e~x(x2 +c) para x = 0, y = 6 se tiene: 6 = 0 + c => c = 6

y = é~x(x2 +c)


@

2 y 1 2 av(-------j )dx + (--------)dy = 0, y = 2 cuando x = 1

y x l X y 2

p =

Desarrollo

2 _JL dP _ 2 1 •y x 2 dy y 2 x 21 2x ^ 3 0 ___ 1__ 2~x ~ 7 3a x 2 y 2

dP 30como — = —— es exacta, entonces 3 f(x,y)

ay dx

„ „ „ e ^ í . r o c . , ) y & Z £ . < X x . , )dx ^

= P(x,y) = - - 2 - t integrando f ( x , y) = [(——~ ) d y + g(y) ax y x J y x

f (x, y) = -----— +g(y), derivandoy x

d f(x ,y ) 2x . 1 . s _ 1 2x— = — ¿ + - + g (y) = Q(x,y) = -------—

ay y 2 x x y 2

g \ y ) = 0 => g(y) = c

f ( x , y ) = ~ + L + c = cy x

(2y - xy - 3)dx + x dy = 0, y = 1 cuando x = 1

Desarrollo

2 y - x y - 3 + x — = o dedonde x - ~ + (2 - x ) y = 3 dx dx

d \ 2 - x 3 •— + ------y = — ecuación lmeal en ydx x x

2x

Vi |s-


y = e x ^ [ ¡ J x ^ - d x + c ] => y = e 2blx+x[ t e2tox x - d x + c] J x J x

fiX f PXy = — ( I e~x3xdx + c] => y = —r-[~3xe x -3 e x +c]

x" J • x

X + 1 c e x 7y z z - 3 —-— h—— para x = 1, y = l se tiene: l = -6 + c.e => c = —x x e

3(x + l) l e x2 + 2 x ex

(yey +2x+y)dx + (xey + xyey +3y2 + x)dy = 0 , y = 0 cuando x = 2

Desarrollo

ídPj P = yey + 2x+ y

[q = xey + xyey + 3y2 + x

— = yey + ey +1 dy

y e y + e y + 1dx

dP dQ r .como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx

y V £ z l = e ( s ,y ) dx dy

— = P(x,y) = yey +2x + y , integrando f ( x , y ) = f (yey + 2x + y)dx + g(y) dx J

f ( x , y ) = (yey + y )x + x 2 + g(y) , derivando

= (yey +ey + \ )x+ g '(y) = Q = (ey + yey + l)x + 3y2


••• ( y « y + y ) * + *2 + y 3 = k para x = 2, y = 0, k = 4

/. (yey + y)x + x 2 + y3 = k

67) (3x~y— — - 6x4)dx + dy = Q, y = 0 cuando x = -lx

Desarrollo

dy 2 2 4— + ( 3 * — ) y = 6x , ecuación lineal en ydx x

2, , , 2.- f ( 3 j r — )J x ,* [(3 * * — )dx , , e ,

y = e x [ je x 6x dx + c] => y = e x +2'nx[ 6 \ e x * d x + c]

e~x f j e~^ 3y - ——[(<\ex x2dx + c\ => y = ——[2ex +c] para y = 0, x = -l

x~ J x

0 = 2e~x + c => c - 1 x 2y = 2 - ^ e - ¿

(68) dr = (1 + 2r ctg 0)d0 , r = 3 cuando 9 = —2

Desarrollo

dr—— - 2ctg9.r = 1 ecuación lineal en r du

r . e - l =, , = [J,

d9

e~2insenOdd + c]

i rr = sen~9[ I---- — + c] => r = sen29[-ctg9 + c] , para 9 = —, r = 3

J sen 0 2

3 = -0 + c => c = 3 r = -sen9cos9 + 3sen29

(69) El cambio en la utilidad neta p a medida que cambia el gasto en publicidad x, esta dado dp

por la ecuación — — k — a(p + x) en donde a y k son constantes, establezca p como una dx

función de x, si p = p0 cuando x = 0 .


Desarrollo

--- = k - a ( p + x) => — + ap = k - a x , ecuación lineal en pdx dx

p = e âdx[jeâdx(k — ax)dx + c] => p = e nx[êux(k -a x )d x + c\

p = + + c.e-ax para x = 0, p = Poa a a a

k 1 apQ- k - lp0 = — + — + c => c = — ---------

a a a

k - a x + ] + (ap0 - k - \ ) e ~ axP = -----------------------------------a

70) El cambio en el costo c de elaborar un pedido (u orden) y supervisarlo, a medida quede c

cambia la cantidad x, esta dado por la ecuación — = a — , en donde a es una constante,dx x

halle c como función de x si c = c0 cuando .v = .íq

Desarrollo

— + — = a ecuación 1 ineal en cdx x

r dx r dx

c = e x [ê Xadx + k] => c = e~inx[Jeh'xadx + k]

1 f 1 ax2 ax kc = — f I axdx+k] => c = — (------ ¥k) = —-H— , para c = c0 , x — Xqx J x 2 2 x

co = - 5 r + — => k = c oxo - ~ z - =* k =

_ ax 2c0aá - • c = ^ + ~coAo ~ axó° ~ ~ 2 + 2x " 2jc

Ecuaciones Diferenciales

(Zi) Los COS.OS c de fabricación , comfflcializacáSn están relacionados con el „„mero x

productos según la ecuación: ~ + ac = b + kx pn dnnri* k idx ’ en donde a, b y k son constante

establezca c como función de x si c = 0 cuando x = 0.

Desarrollo

de~ + a c = b + kx ecuación lineal en c

c = e i a* [ j e ¡ a* (b + kx)dx+a] => c = e-“x[je™(b + kx)dx + a J

. = O~oxtb+kx k m-e —C = e ~ a x [ -

„ _ a b + a k x -k2 +a.e ax para x = 0, c = Ó

~3~ + a =* a = — — . „ _ a b + a k x - k + (k -ab)e~axa a 2 •• _ -------------

© El cambio en el consumo c de ciem mereantía. a medida que cambia el ingreso I.esta dado por la ecuación —- = r + le* 1.

dJ onde k es una constante, obtenga c como funciónde I si c = c0 cuando I = 0.

Desarrollo

de ¡— — c — ke , ecuación lineal en c.

c = e ~ ^ l f J - d/i j e ke 'd l+ a] =* c = e ' \ j e - 'k e , d l + a]

c = e '[kl+a] para 1 = 0, c= c0

c0 = a dedonde c = e '(k l + c0)

I Eduardo Espinoza Ramos

CAPITULO VI

ECUACIONES EN DIFERENCIAS.-

I. DEFINICIÓN.-

Sea y = f(x) una función definida para valores enteros, o sea x = 0,1,2,3,...

En las ecuaciones en diferencias, a la relación funcional de y = f(x) se indica por yx .

El cambio en y cuando x varia de x a x + 1 es la primera diferencia de yx , y se escribe Ayx = yx+i - yx que se lee “delta ye sub - equis”

Ayx es también una función x

A es un operador que proporciona la regla para evaluar Ayx .

La primera diferencia de yx es Ayx = yx+J - vx

La segunda diferencia de yx es Azyx = A(Ayx) = A(yJt+1 - yx) - Ayx+l ~~ Ayx

= y'x+2 - y*+1 - yx+\ + y x = yt+2 - 2yx+] + yx

La tercera diferencia yx es: A3yx = A(A2yx) = A(yx+2 ~ 2yx+\ + .y*)

= A-V,+2-2A ^ +1 +A.vx

= yx+3 - yx+i - 2(yx+2 - yx+i >+yx+i - yx

= ^ + 3 -3 ^ + 2 + 3^ +l

La k - esima diferencia de yx es:

Ecuaciones en Diferencias

M i ___e c u a c io n e s l in e a l e s " e n Ip i f e r e n o a s .-

Una ecuación en diferencia se dice que es lineal si es expresado en la forma:

an(x)yx+„ +a„-i(x)yx+n_i + ... + a](x)yx+2 +a0(x)yx = R(x) ... (i)

donde a0, al , . . . , an y R son funciones solo de x definidas para x = 0,1,2,...

. La ecuación (1) es de orden n.

__ s o l u c i ó n d e l a s e c i l Á c í o ñ e s í ñ m i j í ^ c i A ^ T

Una solución de una ecuación en diferencia es una funcional definida para entero positivos y que satisface a la ecuación en diferencia.

L.a solución general de una ecuación en diferencia de orden n es la que contienen i constantes arbitrarias.

Una solución particular de una ecuación en diferencia se obtiene de la solución genera asignando valores particulares a las constantes arbitrarias de una ecuación en diferencia que son determinados por medio de condiciones de frontera o condiciones iniciales.

[6.4. PROBLEMAS.^

( j ) Determine el orden de cada una de las siguientes ecuaciones lineales en diferencias.

a ) 3 y x+2 “ 3 ^ + j = 3 x

Desarrollo

E! orden de una ecuación en diferencia se obtiene de la diferencia del índice mayor con el índice menor: El orden es: (x + 2) - (x + 1) = 1 es de orden 1

b) 8^+3 ~ yx = *Desarrollo

El orden es: (x + 3 ) - x = 3 es de orden 3


c) 7^ + i- 5^ = 3Desarrollo

El orden es: (x + 1) - x = 1 es de orden 1

d) byx+2 - 1 yX =5xDesarrollo

El orden es: (x + 2) - x = 2 es de orden 2

Si y = x 2 + 2 x , evalué A2yxDesarrollo

A2yx = A(Ayx) = A(yx+1 — yx) = Ayx+1 -A yx = (yx+2 - yx+1)~ (y x+l - yx)

= yx+2 - 2^ +i + y , = k * + 2)2+2(-x + ~ 2[(JC+1)2+ 2 ( x +1)1+x2+2x

= (x2 + 6jc + 8) - 2[jc2 + 4x+3] + x2 +2x = x 2 + 6 x + 8 - 2 x 2 - 8 x - 6 + x 2 + 2x = 2

A2 y , = 2

l Si y = ex , determine A2.y*Desarrollo

Se conoce: A2yx = yx+2 - 2yx+l + yx

= ex+1- 2ex+l + ex =ex (e2 - 2 e + l) = ex(e -1 )2

) Si y = x3+3,obtenga A2 y., y A3y,

Desarrollo

A2yx = yx+2-2yx+i+ y*

A3yx = A(A2yx ) = A(yx+2 —2yx+l + yx) = Ay +2 — 2Ayx+l + Ayx

=(yx+3 - yx+2>- 2(yx+2 - yx+¡)+(**♦! - >*) = y** ~ 3y** +3>w - y*


* 2yx = 4y*« - 2Ayx+l + Ayx = ((* + 2)3 + 3) - 2((x + 1)3 + 3) + *3 + 3

= (x3 + 6x2 +12x + l l ) - 2 ( x 3 +3x2 +3x + 4) + x3 +3= 6x + 6

A3yx = >**+3 - 3yx+2+3 +i - y,

= (x + 3)3 + 3 - 3[(jc+ 2)3 + 3] + 3[(x +1)3 + 3] - (.v3 + 3) = 9x + 6

( 5 ) Demuestre que y, = —— es una solución de yx+í = y obtenga una solucióul + CX 1 + yx

particular si y0 = -4Desarrollo

c cXt+i = 77----— = ---------- ... (1)1 + cx + c l + c + cx

yx _ i+cx _ 1+cx ____ cC l + C X + l

\ + cx í + cx

comparando (1) y (2) se tiene: yx+íl + yx

( ó ) Demuestre que yx =c¡+c22X es una solución de yx+2 - 3 y x+l +2yx = 0 y halle una

solución particular si y0 = 1, y, = 3Desarrollo

yx+2 ~ 3 ^ +i + 2yx =cl + c22X+2 - 3(c, + c22x+[) + 2(c, + c2 2X)

= c2 2X+1 - 3c2 2x+1 + 2c2 2X = 4c2 2X - óc2 2X + 2c2 2X

= 6c22x - 6 c 22x =0

Luego yr = c, + c2 2X es solución de la ecuación en diferencia

Como yx = q + c22 \ y0 = 1, y, = 3


íl = c,+c-, fe. = —1-• => -i por lo tanto y = -1 + 2.2[3 = c, + 2 c2 |c2 = 2

Pruebe que yx = c, + c2 2X - x es una solución de y x+2 - 3y*+1 + 2 yx =1 y determine una

solución particular si y0 = 0 , y, = 3

Desarrollo

y ,+2-3 y ,+1 +2yx = fe, + c22X+2 - (* + 2)} - 3[c, + c22X+1 - (x +1)] + 2[c, + c ,2A- x]

= c2 2X+1 - 3c2 2x+] + 2c2 2x +1 = 4c2 2x - óc2 2A + 2c2 2 '+ 1 = 1

Por lo tanto yx = 1 + c22x - x es solución de la ecuación en diferencia

Como yx =Cj + c 22x - X , y0 = 0 , y, =3

{ 1 2 => I '* por lo tanto y = -4 + 4.2*-.* = 4(2't -1 ) - jc[3 = c,+ 2 c2 -1 [c2 = 4

Demuestre que yx = c l + c 2x + c 33x es una solución de y x+3- 6 y x+2 +H y +i ~ 6 y x ~ 0 y

obtenga una solución particular si y0 = 1, y, = 1, y 2 = -1

Desarrollo

Vj+ 3 = q + c2 2X+1 + c3 3X+3 = c, + 8 c2 2X + 27c3 3A

- 6 y x + 2 = - 6 c, - 6 c 22x+2- 6 c 33x+2 = -6 c , - 2 4 c 22 x - 5 4 c 33x

l l y ^ , = 1 le, +1 lc2 2*+1 +1 lc3 3x+i = 1 le, + 22c2 2x + 33c3 3X

—6yx = “ 6c¡ — 6c2 2x — 6 c3 3 ' = -6 c , — 6c2 2* — 6c3 3A

yx+3 - 6>’t+2 +1 ly+ i -óy^ = 0+ 0+0 = 0

Luego yx =c, + c22A +c33A es solución de la ecuación en diferencia.

Como yx = c, + c2 2A + c33A, y0 = 1, y, = 1, y2 = -1

Ecuaciones en Diferencias 56«

l = Cj+.C2 +C3

1 = C[ + 2c2 + 3c3 —1 = Cj + 4 c2 +9c3

c. = 0 c2 = 2

l c3 = “ 1

••• y = 2-2 3aX J

Pruebe que yx = c, + c2x + c3x 2 + c4x3 es una solución de

yx+*~4yx+i +6yx+2 -4y;c+1 +yx = 0 y encuentre una solución particular si y0 = 1,y, =5, y2 =9, y3=7.

Desarrollo

y x+4 = ci + c2 (X + 4 ) + c3 (x + 4 )2 + c4 (x + 4 )3

- 4 y x+i = -4 c , - 4 c2(.v + 3 ) - 4 c 3( x + 3 )2 —4c4 ( x + 3 )3

6 Vx+2 = 6c i + 6^2 (-* + 2 ) + 6c3 ( x + 2 )2 + 6c4 ( * + 2 )3

-ty-x+ i = ~ 4ci - 4c2 (x + 1 ) - 4c3 (jc + 1)2 - 4c4 ( x + 1)3

y * = c, + c2x + c3A'2 +c4x

y x+4 - y x+3+ 6 y x+2 - 4 >’.r+i + y x = o

Luego y^ = c, + c2x + c3.v2 + c4.í3 es solución de la ecuación en diferencia.

Como yx = c, +c2x + c3x 2 + c4jc3 , y0 = 1, y, = 5 , y2 = 9 , y3 = 7

1 = c,5 = c, + c2 +c3 +c4 9 = c¡ + 2c2 + 4c3 + 8c4 7 = c, + 3c2 + 9c3 + 27c4

=> •

c , = l c2 = 2 c3 =3

l c4 = - 1

yx --1 + 2jc + 3jc2 - x 3

Escriba cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias en términos de valores de y.

a) Ay, = 10Desarrollo

A y x = - y = io


b) A2yx -3A yx - 5 = 0Desarrollo

= yx+2 - 2yx+i + yx

A>'x = yx+i - y x

A2yx -3 A yx - 5 = yx+2 - 2yx+i + yx - 3 y x+l+3yx - 5 = 0

••• >',+2 -5 y Jr+1+4y;r- 5 = 0

c) A2yx - 4 y , = 2Desarrollo

A2yx = yx+2- 2^ +1+ ^

Ay, = y * f i - y ,

A2yx - 5 y , = yJC+2- 2 y J(+1 + y * - 4 y J( = 2 yJ+2- 2 y ,+1 - 3 y x = 0

d) A3yx +5Ayx = yxDesarrollo

A3 y , = A(A2yx) = A(yx+2 - 2 yx+l + yx )

= (y,+3 - y í+2)~2(y*+2 -jv + iH O '« ! - y , ) = y*+3 - 3 y x+2 +3>-t+1 - y ,

A3y, +5Ay, = y,+3 - 3 y .2 +3yJC+, - y , +5yxtl - 5 y , = y,

••• yx+3 -3 y I+2+8yx+i - 7>’x = o

5.5. ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.-_________________

Una ecuación en diferencias lineal y de primer orden se expresa en la forma:

a ]>’x+\ +aoyx = b , x = 0,1,2,...

como a ¡ * 0 , a 0 * 0 =* yx+l ~ - ~ - y x + - ; yx+i = AyX+Ba¡ a


por lo tanto la ecuación en diferencias yr+1 = Ay x + B es la ecuación general lineal t primer orden y con coeficientes constantes.

La solución de la ecuación yx+l = Ayx +B se puede obtener por inducción.

y, = Ay0 + B

y2 = Ay, + B = A(Ay0 + B)+ B = A2y0 + AB + B

>3 = Ay2 + B - A(A“y0 + AB + B) + B = A3y0 + A 2B + AB + B

y4 = >'3 +B = A(A3y0 + A2B + AB + B) + B = A 4y0 + A3B + A2B + AB + B

yx = Axy0 + Ax~lB + AX~2B + Ax- 3B + AX~4B + ... + AB + B

= Axy0 + fi(l + A + A2 + A3 +... + A*-1)

1 - Axyx = A *yo + B (-— —) para A * 0, x = 0,1,2,...1- A

para A = 1, x = 0,1,2,..., yx = y0 + Bx

Se obtiene de: yx+í = yx + B

yi = y0 + B

y2 = yl +B = y0 + 2B

y3 = y 2 +B = y0 +3B

yx = y 0 + Bx

En el análisis de datos de administración y economía en la ecuación yx+l =Ayx +B representan tres casos especiales.


1ro. La diferencia de primer orden es una constante yx+] - y x = B y la solución es

yx = yo + Bx ■

2do. La diferencia de primer orden es proporcional a la variable yA.+, - y x = c t y x+,1 1

(caso especial: A = ------, B = 0) y la solución es: y = (-------) y0 .1 - a 1 - a

3ro. La diferencia de primer orden es función lineal de la variable:1 1

y*« ~ y x = c/y x+t + P (caso especial: A = ------, B = — - ) .i Oí 1 Oí

La solución es y x = )* y0 + —[(— —)* -1]l - a a \ - a

6. PROBLEMAS.-

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias.

3y*+i = 2yx +3Desarrollo

A la ecuación dada expresamos así:

2 2 yx+] = — yx + 1 de donde A = — , B = 1, la solución es de la forma

- (~)*()'o -3) + 3 ••• yx =( f)*(y0-3) + 3

> 2yx+\ + yx - 3 = oDesarrollo

1 3 1 3A la ecuación dada escribimos en la forma: yx+, = -■- yx + — de donde A = , B = —

Ecuaciones en Diferencias 57

1 - A xLa solución es yx = A xyu + B(-------- )1 - A

1 — ( - i.)-1

yx = ( - \ ) x y0 + |(--------f - ) = (-^ )J'y0- + ( i - ( - | ) J‘) = (" )* (y 0 ~ V + 1

1 + 2

••• y , = (— )*(%-D + i

( D y*+i+ 3 y ,= oDesarrollo

Como = -3 y x de donde A = 3, B = 0

La solución es yx = Axy0 + B = ( -3 )x y0 +0 yk = (~3)xy0

® yx+i+ y x - 2 = oDesarrollo

Como >’x+l = - y x + 2 de donde A = -1, B = 2

La solución yx = Axy0 + B ( ~ - ~ ) = (-1)* y0 + 2(-1- ^ ~ ) = (~1)T y0 +1 - (-1)*1 A 1+1 —

••• y, = (-!)"(% -D + i

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, determine c comportamiento de la secuencia solución y calcule, los primeros valores de esta sucesión.

@ y * + i-y ,- io = o . % = 2Desarrollo

Como yx+x = y x +10 de donde A = 1, B = 10

La solución es yx = y0 +Bx => yx =2 + l0x

como A = 1, B > 0, es monótona creciente y diverge en +~ y así mismo se tiene

y0 = 2 , y, =12, y2 = 2 2 , y¡ = 3 2 , y4 =42 , y5 =52


2 ) >*+i = 7^ + 6, y0 = lDesarrollo

Como yJt+1 - l y x +6 donde A = 7, B = 6

1 — AxLa solución es yx = Ax y0 + B(— — )1 - A

yx = r y 0 + 6( ^ y ) = 7 'y0- ( 1 - 7 ' ) => y , = 7 jr(y0+ l ) - l

como A > 1, yx > y * , y0 > y * la solución es monótona creciente y diverge a +°°

2) 8yx+‘i+ 4 y jr- 3 = 0, y0 = ^

Desarrollo

Como y z+, = - —y0 + - de donde A = - —, B = — x+l 2 0 8 2 8

1-A *La solución es yx = Axy0 + B(----------- )1 —A

- ! - ( - - ) * 1 1 1 1 1 1 y , = ( - 2>*%+gC f — ) = ( - 2)J: o + - ( ! - ( - - ) " ) =» ^ = ( - - ) " ( % - 4) + -

1 + 2

Si y „ = - => y. = (— ) (-) + - = - ( — ) * + - => v. = - ( — ) + -2 x 2 2 4 4 4 2 4 * 4 2 4

1 3 i?como A = — , B = - , y* = ------ porque -1 < A < 12 8 1 -A

3O 1

y* — — = —, el comportamiento de la soluciones oscilatorias amortiguada converge1 + i- 4

en


@ \6yx+x - f )y x = 1 , y0 = ~

Desarrollo

3 1 3 1Como yjc+|= - y 0 + _ de donde A = - , B = —o lo 8 16

1 ~ A XLa solución es yx = Axy0 + B{---------)1-A

3 x* ’' & » ■ ‘ 0 » - ‘ i » ' * '

8

■ Si , 0 = ± « por lo tanto

® 3yx+1 - 2yx - 3 = 0, y0 =5Desarrollo

2 2Como y l+1 = - yx +1, de donde A = — , B = 13 3

x j _ (—)xLa solución v, = A'y0 + B { j ~ ) = ( | ) ' y 0 + ----- => y c = ( |)* (y 0 -3 ) + 3

1 _ 3

Si y0= 5 , y c = ( |) * (5 -3 ) + 3 = 2 ( |)* + 3

Como A = | , B = 1, y* = - ^ - = —1— = 33 1 -A , 2

3

Es monótona decreciente converge en y* = 3

>’o = 5 , y, = 4 1 , y2 = 3 f , y3 = 3 f , y4 = 3 § , y5 = 3 ^


T O 6 23yx+i ~ 2yx = - , y0 = -

Desarrollo

2 2 2 2Como y_+l = —yr + — dedonde A = — ~,B = —

t+l 3 5 3 5

1 -A *La solución yx = Axy0 + # (--------)

1- A

2 ,2 t 2 /1- ( 3)\ 2 * 6 2. r A * , 6. 6

^ = ( 3) y0+ - ( — Y * ) = ( - ) y0+ - ( ! - ( - - ) ) => yx = ( - ) • (y0- g ) + j

2 /2 .J .2 6 6 4 2 , 6Si y0 = — , y , - ( - ) (------ ) + - y r = — (—) + —0 5 * 3 5 5 5 * 5 3 5 '

2 2 6como A = — , B = — , y* = — entonces es monótona creciente y converge en y* =

y x ti+ 3 y ,+ i = o, y0 = 1Desarrollo

Como yx+l = ~3yx -1 de donde A = -3, B = -1

1 - A*La solución es yx = Axy0 + B(------- ) , entonces1- A

yx = (“ 3)x y0 - ( - —“ --) = (~3)A y0 - 7 (1- ( - 3 ) ') => yx = ( -3 r (y 0 + \ ) ~1 -3 4 4 4

si v0 = l => y = ( - 3 ) í (l + — de donde yx = — (~3)x - —-u * 4 4 * 4 4

B —I 1como A = -3 / 1, B =-1 , y* = ------= ------ = — de donde yn > y * es monótona

1 - A 1 + 3 4

decreciente y converge en y* =4

Ecuaciones en Diferencias 57

© y x+i = 3 y I - i , y0 = ^

Desarrollo

Como yx+l = 3y, — 1, de donde A = 3, B = -1

1- A*La solución es yx = Axy0 + B(--------)1- A

Si y n = — => v, = — constante0 2 ' T 2

© 2yx+l- y x = 2 , y0 = 4Desarrollo

Como y l+1 = ^ y x + \ , de donde A = ~ , B = 1

1-A *La solución es yx = Acy0 + B(------- ) entonces1- A

1 _ (A)*y x = ( \ ) x y 0 + -----\ - = ( ~ ) x y o + W - ( { ) x ) =» y x = ( ~ ) xí y 0 - 2 ) + 2

1 2

Si y0 = 4 , y , = 2 (1 )' + 2

B 1y* = -= — - = 2 , 0 < A < 1 a y0 > y * entonces es monótona decreciente y

1 A | *~ 2

converge a y* = 2.

© y x+i = y x ~ 1 ’ >’o= 5Desarrollo


Como yx+l = yx - 1 , de donde A = 1, B = -1

La solución es yx = >'0 + Bx = 5 - x como A = 1, B < 0, yx < y0, entonces es

monótona decreciente y diverge a -«>.

3 ) 7yx+l+2yx - 7 = 0 , y0 = lDesarrollo

2 2 Como yx+{ = - —yx +1 , dedonde A = ~ —, B = 1

l - A *La solución es yx - Axy0 + B(— -—)

1 — A

2 x

i

2 2 r 7Si y0 = 1, v = - ( — ) * + - u -1 9 7 9

1 7Como -1 < A < 0, y0 * _y * donde y* = — — = — entonces oscilatoria amortiguadora y1 + - 9

7

* 7converge en y* = —.

í$) y* n+ x . + 2= o , >0=3Desarrollo

Como y .,+1 = - y x - 2 , de donde A = - l , B = -2

1 _ a xLa solución es yx = Axy0 + $ (-------- )

l - A

y, = (-D x Jo - 2(7 T ^ y ) = (-1)" y0 - (1 - ( - 1)") =* y, = (-!)'(% +D - 1


Si y0= 3 , y = 4 ( - l ) * - l dedonde y* = ~ ^ — = -----------— = - ]l - A l - ( - l )

como A = -1, y0 * y * , entonces oscila finamente y diverge.

K ) 15yx+I-10yJC- 3 = 0 , y0 = 1Desarrollo

2 1 2 1Como y +1 = — y + - , de donde A = ~ , jB = —

3 5 3 5

J _La solución es yx = A xy0 + B(--------)

1 - j4

^ = ( 1 ) ^ 0+ ^ - — ) = ( | )X y° + 1Ó - ( | }*) => y, = ( ^ ( y o - | ) + | _ _

j.

Si * - f < f ) * + § ademis

3

Como 0 < A < l, y0 > y* es monótona decreciente y converge a y* =

¿ 2) 5.v*+1 - yx ~ 60= o . y0 = 15Desarrollo

Como yx+l = - yx +12 , de donde A = —, B = 125 5

X 1 — (—)*Como yx = Aí y0 + fi(ip-A- ) = ( V y 0+12(-----$— ) = ( V y 0 + 1 5 (1 - (V )

1~ —5

1y* = ( - ) (y0 ~15) + 15 si y0 =15, yx = 5 , constante


^ +i + 4 + 1? f ° - yo= 6Desarrollo

Como yx+1 = -4 y x - 1 2 , de donde A = -4, B = -12

1 - A xLa solución es yx = Axy0 + B (-------)

i — A

42 12Si y0 = 6 - y x = y ( - 4) - y

B -12 12y* =* - _Ji_. = — como A c-l, y0 * y * , entonces oscila infinitamente y diverge

1 —A 1—(—4) 5

1

Desarrollo

8y*+i + y * - 4 = 0 > % = 3

Como yx = AJcy0 + B (^ -^ -) = ( - i ) JCy0 + ^ ( ------ y - ) => y* ( yo~g) + g

si ^ - (4 )’ <4 ) + ? ’ , * = r r 7 7 “í r 58

como - 1 < A < 0, y0 * y *, entonces oscilatoria amortiguadora, converge a y* = —

4yJ+i - y ^ - 3 = o, y0 =-^

Desarrollo


Como y_., = — y, + —, de donde A = —, B = —. 4 4 4 4

x i _ ( i )-1y , = A * y 0 + B ( i ^ ) = ( V y 0 A ------- \ ~ ) = > y x = ( I ) * ( y 0 - 1) + 1

1 -A 4 4 44

3

si y„= —, y = - —(-•)*+! calculando y* = — - = ■— = 10 2 * 2 4 ' 1 -A j _ l

4

como 0 < A < 1, *y0 < y * entonces es monótona creciente y converge en y* = 1.

22) 4yJC+1 + 3yx - 4 = 0, y0 = 1Desarrollo

3 • 3Como yx+1 = - —yx +1 , de donde A = ® = 1

1 — A1La solución es yx = Axy0 + B(------ -) de donde:

1-A

y- (- ^ - Vo+7 ^ = ( - ^ % + 7 (1- (- í n =* ° - K( 4

3 3 4 B 1 4S¡ w - 1. y . - z j i - f + i ^

4

4como -1 < A < 0, y0 = y * entonces es oscilatoria amortiguadora, converge en y* =

23) 3yJ+1 - 2 y Jt- 6 = 0 , y0 = 4Desarrollo

2 2 Como yx+1 = ~ yx + 2 , de donde A = — , B = 2


Como y* = A*y0^ ^ - ) = ( |)* y 0 + 2(----- ~ ) => yx = & x(y0- 6)+6l ~ A 3 i _ ± 3

32 ^ 2

Si y0 = 2 , yx = - 2 ( - ) x + 6 además y* = —— = — — = 63 L / i j _

3

como 0 < A < 1 , y0 < y *, entonces monótona creciente y converge en y* = 6

!4) 9 ^ + 5 ^ - 1 8 = 0, y0 =1Desarrollo

Como yx+1 = yx + 2 , de donde A = - ~ , B = 2

1 -A *La solución es yx = Ax y0 + B(-------- )

í A

y , = ( - í ) ' % + 2( i - í - ¿ - ) . ( - í ) ' , 0+ | ( i - ( - | ) - ) =» f ) + f '

l - ( - - )

2 , 5 ^ 9 , , * B 2 9Si > o = l . ademas y* = _ - = = -

99

como -1 < A <0, y0 * -V * entonces oscilatoria amortiguadora y converge en y* = —

i.7. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES Y DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.- ________

La ecuación en diferencias lineales, de segundo orden y con coeficientes constantes, se puede expresar en la forma:

Si g(x) = 0 se tiene la ecuación en la forma yx+2 + \ y x+1 + A¿yx ~ 0 » llama ecuación en

diferencias lineales homogénea de segundo orden de coeficientes constantes.


Si g(x) ^ 0 a la ecuación y x+2 + A ^+ i.+ \ y x ~ />(•*) - se llama ecuación en diferem

lineal no homogénea de segundo orden de coeficientes constantes.

Para obtener la solución de la ecuación homogénea y x+1 + Ax yx+x + A2yx = 0 ... (2)

Se forma la ecuación auxiliar m ~ + A¡m + A2 = 0 donde las raíces pueden ser reí

diferentes, reales iguales, o bien números complejos y la solución de la ecuación

depende de las raíces de la ecuación m2 + Axm + A2 = 0.

1ro. Si m; y m2 son las raíces reales y diferentes ml # m 2 . La solución

yx = c,///,* + c 2m2

2do. Si mj y m2 son reales iguales ( mx = nu = m ). La solución es yx = cxmx +c2xm

3ro. Si mx y m2 son complejos ( mx = a + b i , m2 = a - b i , i = V - í ). La solución

yx = rx(c¡ eos6 x + c2senO x) , donde r = \¡a2 +h2' , 9 = arctg —a

6.8. COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN^

1ro. Si mx * m 2 cuando | mx \> \m2 1

mx mx

Si |/m, | < 1, la secuencia converge

Si | mx |> 1, la secuencia diverge

Si mx < - 1, la secuencia oscila infinitamente.

Si mx = rn2 = m , de donde si | m | > 1 la secuencia diverge, si | m | < |, secuencia converge a cero.

Si mx =a + b i, tn ^ - a - b i la solución es oscilatoria, converge a cero

0 < \ja2 +b2 < 1 , diverge si \¡a2 +b2 > 1


La ecuación en diferencias lineal de segundo orden no homogénea ■Ví+2 + A, vt+i + A2yx = g(x) tiene la solución general yx + yp , donde yx es la solución

de la ecuación homogénea y y es la solución particular de la ecuación no homogénea.

La forma yp depende de la función g(x).

cSi g(x) = c, constante entonces y„ = k si 1 + A¡ + A, * 0 , yp = -— ----- —-1 "f* ítLi + An

Si A + A , + A , = 0 , A + 2 * 0 , } ’ = —- —p Aj + 2

Si 1 + A, + A2 = 0 , Aj + 2 = 0 (es decir A, = - 2 , A2 = -1), yp = ^ x 2

6.9. PROBLEMAS.-

Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones en diferencias siguientes:

y . ^ i +2yx+x+ yx =oDesarrollo

La ecuación auxiliar es: m2 + 2m + \ = 0 de donde (m + l)2 = 0 => m,=m2 =m = - 1

La solución general es: yx = c, (-1)* + c2x ( - l ) x

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m2 -1 = 0 de donde m, = 1 , m2 = -1

La solución es: yx = c¡(l)* + c2( - l )Jr por lo tanto yx = c, + c2(-l)*

2yx+2 ~ $yx+i+ 2yx - 0Desarrollo

La ecuación auxiliar es: 2m2 -5>n + 2 = 0


La solución general es: yx = cl(^ )x + c2 (2)x

® 3)',+2 - 6y.t+i+ 4 ^ = 0Desarrollo

La ecuación auxiliar 3w2-6 w + 4 = 0 => m2 - 2 m + \ = ~ - => ( m - l ) 2 = -

, 7 3 .m = l ± y í =* « 1=1 + - / , « , = 1- ^ . r = J Ü | = (±)2

0 = — => fl -3 6

y* = (—)2 [ c, eos — + c2sen— ]3 6 • 6

© Halle la solución general para la ecuación en diferencia yx+2 +2yx =0 y la

particular si y0 = 1, ^ = 72Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m2 + 2 = 0 =» m{ = 7 5 i , m2 = -7 2 í

tg8 - = °° => 0 = * , r = V2

. ;rx ir*yx =('J2) [c,eos-—+ c2íe«— ]

>0=1 es decir: x = 0, y = l se tiene l = c,+0

y para x = 1, y = 72 se tiene 72 = 0 + c 272 de donde c2 = l

yx = (T^Vjcos — + sen — ]2 2

© Obtenga la solución general para la ecuación en diferencias yx+2 + 3yx+l + 3yx

solución particular si y0 = 3„ .y, = 0

\_3

solució

= 0 y lt


Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m~ + 3m + 3 = 0 , completando cuadrados

3 - i 3 3 \Í3 3 V3 3 \¡3 . rz(m+—) = — => m + — = ± — i de donde w, = - —+ — «, ^ 2 = - - — — i , r~V 32 4 2 2 2 2 2 2

^ rT V3 - 7T'*e = - r = T * ?

2

y =.(-</3)'*[c1cos— +c2s « i^ - ] , para x = 0, y = 3 => 3 = c,6 6 •

x = 1, y = 0 => 0 = >/3[-y-c, + y ] => V3c, + c2 = 0 => c2=-3>/3

v = (V3)J:[3 eos— - 3y¡3sen6 6

En el caso de cada una de las ecuaciones en diferencias siguientes, determine la solución general y la solución particular para los valores iniciales especificados.

© >’ 2+ 4>,x+i + 8^ = 2 6 » y0 = 6 - 3'i=3

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m2 + 4m + 8 = 0 =* m2 + 4m + 4 = -4 => (m + 2) = -4

de donde mj = —2 + 2 i , = -2 - 2 i , r = >/4 + 4 = 2>/2

35 9=f

y , = (2V2)JC[c1 eos— + c2sen— ], es la solución general de la ecuación homogénea4 4

calculando la solución particular


26 26 „ ,■ = — = 2 , luego la solución general es:p 1 + 4 + 8 13

yx = (2V2)jr[c, eos— + c2sen — ] + 24 2 4

para x = 0, y = 6 se tiene: 6 = c, + 2 => c¡ =4

para x = l , y = 3 se tiene: 3 = 2sÍ2[-~cl + ^ c 2] => 3 = 2c,+2c2 +2

como c , = 4 => 3 = 18+2c2 => c2 = - ~

y,=(2>/2)*[4cos— - l Sen— ] + 24 2 4

® ^+2+ 8yx+i+16yx = 25• % ^ = 4

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m2 + Sm +16 = 0 , de donde

(m + 4)2 = 0 => m = -4, multiplicidad 2

La solución general de la ecuación homogénea es: yx = c¡ (-4)* + c2x(—4)x

Calculando la solución particular v„ se tiene: y = — —__ = — = 1 v = iP p 1 + 8 + 16 25 yp

La solución general de la ecuación no homogénea. yx = c, f-4)x + c-, x(-4)x +1

para x = 0, y = 0, de donde se tiene: 0 = c,+0 + l

para x = 1, y = 4, de donde se tiene: 4 = -4c1- 4 c 2 +l => 4 = 4- 4£-2 +i

-4c2 = - l => c2 = j + 1^ 4


) y x +2 “ ■8.Vjf+i - 9 y , = 24, y0 = 2 , y, = O

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m2- S m - 9 = 0 , de donde (m-9)(m+l)=0 => m , = - l , n u = 9

La solución general de la ecuación homogénea es yx - c, (-1)* + c2 (4)*

24 24 3Calculando la solución particular: y_ = --------- = ------= —

F ' p 1 - 8 - 9 16 2

X nx 3Luego la solución general de la ecuación no homogénea es: yx = c ,( - l) + c2 9

3para x = 0, y = 2, 2 = c, + c2 - -- de donde

3para x = 1, y = 0, 0 = -c , +9c2 de donde -c j+9 c2

.. (1)

3.. (2)

1 7 7 1 „sumando(1 )y (2), 10c2 =5 => c2 = — como Cj+c2 = — => c ,= — = 3

í ) 3 j „ 2-1 0 y „ 1+3)'I = 8 , y0 = 5 , y, =3

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: 3w2 - 1 0m + 3 = 0

(3m - l)(m - 3) = 0 de donde m, = ^ = 3

La solución general de la ecuación homogénea es: yx = c ,( - ) JÍ + c2(3)* y la solución

particular es: y„ = ---------- = -8F p 3 -1 0 + 3

E c u a c io n e s e n Diferencias

La solución general de !a ecuación no homogénea es: yx = c,(-)* + c2 (3) ' - 8

Para x = 0, y = 5; 5 = c, + c2 - 8

Luego| c, + c2 =13 ic, +9c2 = 33

c, =-61

por lo tanto: y , = - ( - ) * + — (3)*-8 4 * 5 3 5

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, determine comportamiento de la secuencia solución particular y calcule los primeros valores de c

11) y,+2 ~ 3 y x+l +3y, = 5 , y0 = 5, y, = 8

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m 2 - 3m + 3 = 0 de donde m = — —- —— = —± — /2 2 2

, , , 3 y¡3 . 3 73 .de donde m. =» — h----- 1 , m~ = ~ .-------12 2 2 2

V3

además r = / — + — = V3 y tgd = = — => 9 =--V 4 4 3 3 6

La solución general de la ecuación homogénea yx = (V3)*[c, eos— +c2sen—•■]6 6

Calculando la solución particular de la ecuación homogénea es: y =p 1 - 3 + 3

por lo tanto la solución general de la ecuación no homogénea es:

■Eduardo Espinoza Ramos

, /r.r, n x n x ,v, = ( v 3) [c, eos — + c7.sen— 1 + 5 6 6

Para x = 0, y = 5 se tiene: 5 = c, +0 + 5 => c ¡ = 0

Para x = l, y = 8, de donde se tiene: 8 = \ 3 [ - ~ + — ]+ 5 => c2 = 2y¡3V 3 2

/. yx = 2>¡3('j3)xsen— +5 como r = J —+ —= >/3> 1 es divergente oscilatoria6 V 4 4

D 9yJ+2 - 6yx+1 + y , = 16, y0 = 0, y, = 3

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: 9m2 - 6m +1 = 0

2 1 de donde (3 /n - l )" =0 = > w = — de multiplicidad 2.

La solución particular de la ecuación homogénea es yx = c, (~)x + c2x(-Í-)*

16Calculando la solución particular y „ = ----------= 4" 9 - 6 + 1.

Luego la solución general de la ecuación no homogénea es: yx = c, (-)* + c2x{~~)x + 43 3

Para x = 0, y = 0 se tiene: Cj + 0 + 4 = 0 de donde ” -4

Para x = 1, y = 3; 3 = — + — + 4 dedonde c. + r, - - 3 => = íJ 3 3 * 2 l _ J L —

yx = - 4(1.)* + •*(“ )* + 4 como m - < 1 , la secuencia converge a cero.

) 6>i+2 + 5 +1 ~ yx = 20, y0 = 3, y, = 8Desarrollo


La solución de la ecuación en diferencias es: yx + y p

Calculando yx : para esto tenemos la ecuación auxiliar: 6m2 + 5m — 1 — 0

(6m - l)(m + 1) = 0 => rru,= —6

1 20yx = q (—1)"* + c2 calculando yp - k donde k = —- = 2

La solución general de la ecuación no homogénea es: yx = c, (-1)* + c2(~)x + 2

Calculando c, y c2

Para x = 0, y =3, 3 = c, + c2 +2 => c, + c2 - 1

Para x = 1, y = 8, 8 = -c , + - + 2 dedonde6

~6c, +c2 -“ 36

De) sistema { 1 2 =» í 1 y* - J-5(-l)'t + 6(—)x +2[ - 6c, + c2 = 36 |c2 = 6 6

el comportamiento de la secuencia solución como m, ^ m 2 y p = max{| mx |,¡w2 | } ; entonces es divergente (oscilatorio).

© 4 y*+2 - y, =5 - yo = 15 - >'i =10Desarrollo

La solución de la ecuación es: yx + yp , Calculando yx .

1 _ 1para esto tomamos la ecuación auxiliar: 4mr -1 = 0 => m, = - —

La solución de la ecuación homogénea es: yx = c, ( - - ) x + c2 (--)*

Calculando yp = k donde k = ——- = 5


Luego la solución de la ecuación general de la ecuación en diferencias.

i iyx = ci ( - —) + c2(—) + 5 , calculando c¡ y c2

para x = 0, y = 15; 15 = c, + c2 + 5 de donde c, +c2 -10

c cpara x = 1, y = 10; 10 = —Í- + - 2- + 5 de donde2 2 c. + c- -10'•i T

del sistemac¡ +c2 =10 —Cj +c2 = 10

c, =0 c2 = 10 yx = m - r +5

como m¡ * p = max{| |,| |} = ~ < ] entonces convergente.

8y +2 “ 63’*+i + y , = 9 , y0 = 10, y{ = 5

Desarrollo

La solución de la ecuación en diferencias es yx + yp

Calculando yx , pero se considera la ecuación auxiliar:

o 2 * 1 « 6±>/36-32- 6m +1 = 0 => m = ----------------16

6 ±2 1 1=> /n = ------=> m, = —, = —16 2 4

1 1 9vr = c, (—■)* + e-, (—)x , calculando y„ = k , k = ----------= 3* 1 2 2 4 p 8- 6+1

1 X í XLuego la solución general de la ecuación no homogénea. yx = q (—) + c2 (—) + 3

calculando c, y c2

para x = 0, y = 10; 10 = q + c 2 + 3 de donde c, + c2 = 7 ¡

para x =1, y = 15; 5 = — + — +3 de donde ¡~2c, + c- - 82 4 i— ---------

Ecuaciones en Diferencias 5<

q + c 2 =7 ( q = l ,1 , , 1del sistema < => < y.. = (—) + 6(—)A + 3

| 2 q + c 2 = 8 [ c 2 = 6 , x 2 4

como m, * m2 y p = max{| w¡, |,¡ m2 |} = ~ < 1 entonces es convergente.

© y*+2 ~ 4>Vh + 4>’* = 1> % =°> >’i =1Desarrollo

La solución de la ecuación en diferencies es yx + yp

Calculando yx , para esto consideremos la ecuación auxiliar m L - 4 w + 4 = 0 , de donde

( m - 2 ) 2 =0 => m = 2 de multiplicidad 2.

1y, = c ,2 +c-,x2 , calculando vn = k donde k = ----------= 1

p 1 - 4 + 4

Luego la solución general de la ecuación no homogénea: yx = q 2X + <?2x2't +1

Calculando q y c2

Para x = 0, y = 0; 0 = q + 0 + l => q = -1

Para x = 1, y = 1; l = 2c,+2c2 +l dedonde c , + c 2 = 0 => c2 = -1

y = 2X — x2x +1, Como | m | = | 2 | = 2 > 1, la secuencia solución es divergente.

© - y +2 - 53’x+i + 6y x = 4 * y o = 0 ’ ^ í^1

Desarrollo

La solución de ecuaciones en diferencias es yx + yp

Calculando yx : para esto consideremos la ecuación auxiliar m2 ~5m + 6 = 0

(m - 3)(m - 2) = 0 de donde /n, = 3 y m2 = 2

4yx = c,3* + c22X, calculando y„ = k donde k =

1 -5 + 6


Luego la solución general de la ecuación no homogénea: yx - c, ¥ + c2 2 ’ f 2

Calculando c, y c2 : Para x = 0, y = 0, 0 = c, + c2 = 2 Cj + c2 = -2

Parax = l , y = l, l = 3c, + 2c2 + 2 => fe; 4 2 c 2 - - 1

Del sistemac ,+ c2 = -2 c ,= 3

@

[3q + 2.Cj = -1 [c2 = -5

como p = max{2,3} = 3 > 1 es divergente

y*+2 - 7-vx+i + 12>x = 2 - y0 = o ■ y\ = 1Desarrollo

La solución de ia ecuación es yx + yp

Calculando yx :'para esto consideremos la ecuación auxiliar:

wi2-7 /n + 12 = 0 de donde (m - 3)(m - 4) = 0 => ml =2>, »10=4

2 1yx =c{3x + c24x , calculando yp = k , donde k = — = -

* * 1Luego la solución de la ecuación no homogénea es: yx - c, 3 + c2 4 + -

Calculando c, y c2

1 1 Para x = 0, y = 0; 0 = c ,+ c 2 + - => ci + c2 - ~ ^

1 2Para x = 1, y = 1, l = 3c¡+4c2 + - => 3q + 4c2 - —

3 j

y, =3 .3*-5 .2*+2

Del sistema

1Cl +C2 = ~ ~

3 c, + 4c2 = —,

c,= -2y a - —2.3* +

p = max {i m, I, ! m2 ¡} = 2 > 1, es divergente.

V) | CO


( § ) y x + 2 - 2 y x+i + 2y, = 3 , y0 = 5 , y, =6

Desarrollo

La solución es: yx + yp

Calculando yx : sea m2 -2 m + 2 = 0 de donde - t i í2

r*0= - U l => 0 = | por lo tanto y , = (V2)*[c, c o s ^ + c2*?«^~]

calculando y D= k , donde k = — -— = 31 -2 + 2

Luego la solución general de la ecuación no homogénea es:

yx - (Vfrfc eos— + c,jí>h — ] + 3 4 2 4

Calculando c, y c2

Para x = 0, y = 5; 5 = c,+0 + 3 => c, = 2

como r — >/«■ +b2 = y¡2 > 1 , es divergente

® y*+2 ~ 4yx = 9 , y0 = o , y, = iDesarrollo

La solución de la ecuación es: y x + yp

Calculando yx : para esto consideremos la ecuación auxiliar m2 - 4 = 0 m 2 = ~2 Por lo tanto yx = c[ (~2)x + c2 2*

—vr+ T—•

m, =-2


calculando y p = k , donde k - -------- -39_

1 -4

Luego la solución de la ecuación no homogénea y , = c, (-2Y +c22X 3

Calculando c, y c2 ; p a r ax = 0, y = 0; 0 - c ¡ + c 2 - 3 - - ^ c , +c2 - 3

para x = 1, y = 1; 1 = -2 c] + 2 c2 - 3 => — + c2 - 2

fe, + c2 =3 Del sistema: i ,, =>

-c¡ + c2 = 2

c - -2 por lo tanto y* .= ~ (-2)* + —2X - 3

c? = —2

como p = max{| —2 1,¡ 2 1} = 2 > 1 es divergente.

1 2 ^ 2 - 7 ^ , + ^ = 18, v0 = 0 , y¡ = 3

Desarrollo

La solución de la ecuación es; yx + y p

Calculando yx ; se considera la ecuación auxiliar

112?w2 ~7m + l = 0 =» ( 3 m - l ) ( 4 m - 1) = 0, de donde m) = - , m 2

i ! 18yx = ci(—)x + c 2 ^ x * calculando y p =-k , donde fc- 12_ 7 + 1 “ J

Luego la solución de la ecuación no homogénea es: yx - c¡(- ) + c2( ) +3

Calculando cl y c2 Para x = 0, y = 0. 0 = c, + c2 + 3 => c, + c2 = -3

Para x = 1, y = 3, 3 = ~ + ^ - + 3 => 4c, + 3 c2 = 0

De! sistema » í"‘ ^ .2 POr“)“n‘0 + 'i4c1+3c2 = 0 [c2 = - U J

E c u a c io n e s e n D i fe r e n c ia s

©

Sea p - max{--,—} = - < 1, es convergente.

3yx+ 2 + 5 ^ +, + 2yt = 4 , y0 = 0, y, = 1

Desarrollo

La solución de la ecuación es y + v

Calculando yx : pero se considera la ecuación auxiliar: 3m2 + 5m + 2 = 0 , de dond

(3m + 2)(m + 1 ) = Q => W]_ _ _ i m2 = -1 porlotanto ^ +<•,(-!)*

Calculando y ~ k , donde k = —- — = 13 + 5 + 2 5

Luego la solución de la ecuación no homogénea es: y x = c¡ ( - —Y + c 2 ( - 1)* + í3 5

Calculando c, y c2 : para x = 0, y = 0, 0 = c ,+ c2=s- => c +.c = - -5 5

para x - 1, y = l, l = - | Cl_ C2+| ^ 10c,+15c2 = - 9

Del sistema c ,+ c2 = - -5 =>

10c, +15c2 = -95 porlotanto yx - ( - 1)' +

c2 = -1 5 3

como p — max{ | m, ¡,| m2 |} = 1 , es divergente.

..........

PEDIDOS AL POR MAYOR Y MENOR

ASOCIACIÓN DE VIVIENDA (EL HERALDO)

Mz.A Lte.14 San Juan de Liiriganeho Teléfono: 3888564 - 5343996 - 9853365

LIM A -PERU

IMPRESO EN:

EDITORIAL EDUKPERU E.I.R.L.

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Númhihm ëâ»i>liüiji»fi v' Ecuaasn«* Pslinérnim»

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Tran sfo rm ad a de Laplace

rnmmmUJÆWMll ALGEBRA ALGEBRA

¡pati'WÑW

► Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, III► Solucionario de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II► Solucionario de Leithold 2da. Parte.► Geometría Vectorial en R2► Geometría Vectorial en R3

□ B R A S P U B L I C A D A S :

Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura.

Catedrático de las principales Universidades de la Capital

solucionario de matematicas para administracion y economoa

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