PreclculoGrfico, numrico, algebraicosptima Edicin

Demana Wa i t s Foley Kennedy

Frmulas de lgebraExponentes Si todas las bases son diferentes de cero: um umun um n um n un 1 u0 1 u n un uv m umvm um n umn

Frmula cuadrtica Si a 0, las soluciones de la ecuacin ax2 dadas por b b2 2a 4ac . bx c 0 estn

x

Logaritmos Si 0 y logb logb 1 by logb RS logb Rc b 0 y logb R c logb R logb S 1, 0 a 1, x, R, S, x logb b blogb x R logb S logb x 1 x logb R loga x loga b logb S 0 logb x si, y slo si, by

()u vn

m

um vm

Radicales y exponentes racionales Si todas las races son nmeros reales: uvn n

umn

n

v

n

u vn

n n

u v u u n par u n impar v 0

Determinantes a b c d ad bc

m

un

umn

u un

n

n

umn

u

Sucesiones y series aritmticas an Sn a1 n n a1 2 an 1d

u1/n um/n

u1/nn

um/n um

u1/n

m

n

u

m

um

Productos especiales u u u u u v u v v v v2 2 3 3

(

)

o Sn

n 2a1 2

n

1d

v u2 u2 u3 u3

u2 2uv 2uv 3u2v 3u2v

v2 v2 v2 3uv2 3uv2 v3 v3

Sucesiones y series geomtricas an Sn S a1 rn 1 a1 1 rn r 1 1 r a1 r 1 serie geomtrica infinita. 1 r

Factorizacin de polinomios u2 u2 u2 u3 u3 v2 2uv 2uv v3 v3 u v2 v2 u u v u u u v u2 v u2 v v v2 2

Factorial n! n n n n 1! 1

n

2 1

321

n!, 0!

uv uv

v2 v2

Coeficiente binomial

Desigualdades Si u Si u Si u Si u Si c Si c vyv vyc vyc 0, u 0, u w, entonces u w v 0, entonces uc 0, entonces uc c es equivalente a c es equivalente a u w. w. vc. vc. c u c. c. v, entonces u

()n r a b

n! r!(n r)!

(enteros n y r, n

r

0)

Teorema del binomio Si n es un entero positivon

c o bien u

() () () ()n n a 0r

n n a 1

1

b

n n a r

br

n n b n

Frmulas de geometraTringulo h a sen 1 bh rea 2c h b a

Anillo circular rea R2 r2r R

Trapecio h a rea 2

Elipse ba h b

rea

aba

b

Cono Volumen Ah (A 3 rea de la base)h A

Crculo rea r2 2 rr

Circunferencia

Esfera Sector circular r2 ( en radianes) rea 2 s r ( en radianes)r

s

4 3 r 3 rea de la superficie Volumen

4 r2

r

Cono circular recto r2h Volumen 3 rea de la superficie lateral r r2 h2h r

Frmulas de trigonometraMedida angular radianes 180 180 grados,

Por lo que 1 radin Cilindro circular recto Volumen r2h 2 rhh r

y 1 grado

180

radianes.

rea de la superficie lateral

Tringulo rectngulo Teorema de Pitgoras: c2 a2 b2c b a

Identidades recprocas 1 sen x csc x 1 cos x sec x 1 tan x cot x Identidades cociente tan x sen x cos x

csc x sec x cot x

1 sen x 1 cos x 1 tan x

cot x

cos x sen x

Identidades pitagricas sen2 x tan2 x 1 cos2 x 1 1 sec2 x csc2 x

Paralelogramo rea bhh b

cot2 x

PreclculoGrfico, numrico, algebraicoSPTIMA EDICIN

Franklin D. Demana Bert K. Waits Gregory D. Foley Daniel KennedyTRADUCCIN

The Ohio State University The Ohio State University Liberal Arts and Science Academy of Austin Baylor School

Vctor Hugo Ibarra MercadoEscuela de Actuara Universidad Anhuac, Mxico REVISIN TCNICA

M. en C. Javier Alfaro PastorInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

Dr. Ernesto Filio LpezUnidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional (Mxico)*AP es una marca registrada del College Board, el cual no avala ni est involucrado en la produccin de este libro.

DEMANA, FRANKLIN D. y cols. Preclculo. Grfico, numrico, algebraico Sptima edicin Pearson Educacin, Mxico, 2007 ISBN: 970-26-1016-8 rea: Matemticas Formato: 21 27 cm Pginas: 1056

Authorized translation from the English language edition, entitled Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7th ed., by Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley and Daniel Kennedy, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2007. All rights reserved. ISBN 0-321-35693-4 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7a ed., por Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley y Daniel Kennedy, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2007. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de produccin: SPTIMA EDICIN, 2007 D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 piso, Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Rubn Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com Bernardino Gutirrez Hernndez Rodrigo Romero Villalobos Edicin en Ingls Publisher Greg Tobin Executive Editor Anne Kelly Project Editor Joanne Ha Managing Editor Karen Wernholm Senior Production Supervisor Jeffrey Holcomb Supplements Coordinator Emily Portwood Software Development John OBrien and Mary Durnwald Developmental Editor Elka Block Cover Design Suzanne Heiser Project Management Kathy Smith Cover photo Royalty-Free/Corbis. Ferris wheel in Odaiba, Tokyo.

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031. Addison Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1016-8 ISBN 13: 978-970-26-1016-8 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 09 08 07 06

ContenidoCAPTULO R RequisitosR.1Nmeros realesRepresentacin de nmeros reales ~ Orden y notacin de intervalo ~ Propiedades bsicas del lgebra ~ Exponentes enteros ~ Notacin cientfica

12

R.2

Sistema de coordenadas cartesianasEl plano cartesiano ~ Valor absoluto de un nmero real ~ Frmulas de la distancia ~ Frmulas para el punto medio ~ Ecuaciones de circunferencias ~ Aplicaciones

14

R.3

Ecuaciones y desigualdades lineales

24

Ecuaciones ~ Resolucin de ecuaciones ~ Ecuaciones lineales con una variable ~ Desigualdades lineales en una variable

R.4

Rectas en el plano

31

Pendiente de una recta ~ Ecuacin de una recta en la forma punto pendiente ~ Ecuacin de una recta en la forma pendiente interseccin al origen ~ Graficacin de ecuaciones lineales con dos variables ~ Rectas paralelas y rectas perpendiculares ~ Aplicacin de ecuaciones lineales con dos variables

R.5

Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y algebraica

44

Resolucin de manera grfica de ecuaciones ~ Resolucin de ecuaciones cuadrticas ~ Aproximacin en forma grfica de soluciones de ecuaciones ~ Aproximacin de soluciones de ecuaciones, de forma numrica, mediante tablas ~ Resolucin de ecuaciones mediante la determinacin de intersecciones

R.6

Nmeros complejos

53

Nmeros complejos ~ Operaciones con nmeros complejos ~ Conjugados y divisin complejos ~ Soluciones complejas de ecuaciones cuadrticas

R.7

Resolucin de desigualdades en forma algebraica y grfica

59

Resolucin de desigualdades con valor absoluto ~ Resolucin de desigualdades cuadrticas ~ Aproximacin a soluciones de desigualdades ~ Movimiento de proyectiles

Ideas Clave Ejercicios de repaso

65 66

CAPTULO 1

Funciones y grficas1.1Modelacin y resolucin de ecuacionesModelos numricos ~ Modelos algebraicos ~ Modelos grficos ~ Propiedad del factor cero ~ Resolucin deContenido

6970

v

problemas ~ Fallas de los graficadores y comportamiento oculto ~ Un comentario acerca de las demostraciones

1.2

Funciones y sus propiedades

86

Definicin y notacin de funcin ~ Dominio y rango ~ Continuidad ~ Funciones crecientes y funciones decrecientes ~ Acotamiento ~ Extremos locales y absolutos ~ Simetra ~ Asntotas ~ Comportamiento en los extremos

1.3

Doce funciones bsicas

106

Qu pueden decirnos las grficas ~ Doce funciones bsicas ~ Anlisis grfico de funciones

1.4

Construccin de funciones a partir de funcionesCombinacin algebraica de funciones ~ Composicin de funciones ~ Relaciones y funciones definidas en forma implcita

117

1.5

Relaciones paramtricas e inversasRelaciones definidas en forma paramtrica ~ Relaciones inversas y funciones inversas

127

1.6

Transformaciones grficasTransformaciones ~ Traslaciones vertical y horizontal ~ Reflexiones con respecto a los ejes ~ Alargamientos y compresiones horizontal y vertical ~ Combinacin de transformaciones

138

1.7

Modelacin con funcionesFunciones a partir de frmulas ~ Funciones a partir de grficas ~ Funciones a partir de descripciones verbales ~ Funciones a partir de datos

151

Matemticas en el trabajo Ideas clave Ejercicios de repaso Proyecto

164 164 165 168

CAPTULO 2

Funciones polinomiales, potencia y racionales2.1Funciones lineales y cuadrticas, y modelacin

169170

Funciones polinomiales ~ Funciones lineales y sus grficas ~ Tasa (razn) promedio de cambio ~ Correlacin lineal y modelacin ~ Funciones cuadrticas y sus grficas ~ Aplicaciones de funciones cuadrticas

2.2

Funciones potencia con modelacin

188

Funciones potencia y variacin ~ Funciones monomiales y sus grficas ~ Grficas de funciones potencia ~ Modelacin con funciones potenciaviContenido

2.3

Funciones polinomiales de grado superior con modelacin

200

Grficas de funciones polinomiales ~ Determinacin del comportamiento en los extremos de funciones polinomiales ~ Ceros (races) de funciones polinomiales ~ El teorema del valor intermedio ~ Modelacin

2.4

Ceros reales de funciones polinomialesDivisin larga y el algoritmo de la divisin ~ Teoremas del residuo y del factor ~ Divisin sinttica ~ Teorema de los ceros racionales ~ Cotas superior e inferior

214

2.5

Ceros complejos y el teorema fundamental del lgebra

228

Dos teoremas importantes ~ Ceros complejos conjugados ~ Factorizacin con coeficientes reales

2.6

Grficas de funciones racionalesFunciones racionales ~ Transformaciones de la funcin recproca ~ Lmites y asntotas ~ Anlisis de grficas de funciones racionales ~ Exploracin de humedad relativa

237

2.7

Resolucin de ecuaciones con una variable

248

Resolucin de ecuaciones racionales ~ Soluciones extraas ~ Aplicaciones

2.8

Resolucin de desigualdades con una variable

257

Desigualdades lineales ~ Desigualdades racionales ~ Otras desigualdades ~ Aplicaciones

Matemticas en el trabajo Ideas clave Ejercicios de repaso Proyecto

267 268 269 273

CAPTULO 3

Funciones exponencial, logstica y logartmica3.1Funciones exponencial y logstica

275276

Funciones exponenciales y sus grficas ~ La base natural e ~ Funciones logsticas y sus grficas ~ Modelos de poblacin

3.2

Modelacin exponencial y logstica

290

Tasa de porcentaje constante y funciones exponenciales ~ Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial ~ Uso de regresin para modelar poblaciones ~ Otros modelos logsticos

3.3

Funciones logartmicas y sus grficas

300

Funciones inversas de exponenciales ~ Logaritmos comunes, base 10 ~ Logaritmos naturales, base e ~ Grficas de funciones logartmicas ~ Medicin del sonido usando decibelesContenido

vii

3.4

Propiedades de las funciones logartmicas

310

Propiedades de los logaritmos ~ Cambio de base ~ Grficas de funciones logartmicas con base b ~ Cmo expresar informacin de otra forma

3.5

Modelacin y resolucin de ecuaciones

320

Resolucin de ecuaciones exponenciales ~ Resolucin de ecuaciones logartmicas ~ rdenes de magnitud y modelos logartmicos ~ Ley de enfriamiento de Newton ~ Transformacin logartmica ~ Tres tipos de transformaciones logartmicas

3.6

Matemticas financieras

334

Inters capitalizable anualmente ~ Inters capitalizable k veces por ao ~ Porcentaje de rendimiento anual ~ Rendimiento porcentual anual ~ Anualidades, valor futuro ~ Prstamos e hipotecas, valor presente

Ideas clave Ejercicios de repaso Proyecto

344 344 348

CAPTULO 4

Funciones trigonomtricas4.1Los ngulos y sus medidas

349350

El problema de la medicin angular ~ Grados y radianes ~ Longitud de un arco circular ~ Movimiento angular y lineal

4.2

Funciones trigonomtricas de ngulos agudos

360

Trigonometra del tringulo rectngulo ~ Dos tringulos famosos ~ Evaluacin de las funciones trigonomtricas con calculadora ~ Errores comunes que se cometen con la calculadora cuando se evalan las funciones trigonomtricas ~ Aplicaciones de la trigonometra del tringulo rectngulo

4.3

Trigonometra ampliada: las funciones circulares

370

Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo ~ Funciones trigonomtricas de nmeros reales ~ Funciones peridicas ~ El crculo unitario de 16 puntos

4.4

Grficas del seno y el coseno: sinusoidesRevisin de las ondas bsicas ~ Sinusoidales y transformaciones ~ Modelacin del comportamiento peridico con sinusoidales

384

4.5

Grficas de la tangente, cotangente, secante y cosecanteLa funcin tangente ~ La funcin cotangente ~ La funcin secante ~ La funcin cosecante

396

4.6viiiContenido

Grficas de funciones trigonomtricas compuestas

405

Combinacin de funciones algebraicas y trigonomtricas ~ Sumas y diferencias de sinusoidales ~ Oscilacin amortiguada

4.7

Funciones trigonomtricas inversasFuncin seno inverso ~ Funciones coseno y tangente inversas ~ Composicin de funciones trigonomtricas y funciones trigonomtricas inversas ~ Aplicaciones de las funciones trigonomtricas inversas

414

4.8

Resolucin de problemas con trigonometraMs problemas con tringulos rectngulos ~ Movimiento armnico simple

425

Ideas clave Ejercicios de repaso Proyecto

438 439 442

CAPTULO 5

Trigonometra analtica5.1Identidades fundamentales

443444

Identidades ~ Identidades trigonomtricas bsicas ~ Identidades pitagricas ~ Identidades de cofunciones ~ Identidades impar-par ~ Simplificacin de expresiones trigonomtricas ~ Resolucin de ecuaciones trigonomtricas

5.2

Demostracin de identidades trigonomtricasUna estrategia de demostracin ~ Demostracin de identidades ~ Refutacin de las que no son identidades ~ Identidades en clculo

454

5.3

Identidades de suma y diferencia

463

Coseno de una diferencia ~ Coseno de una suma ~ Seno de una diferencia o de una suma ~ Tangente de una diferencia o de una suma ~ Verificacin algebraica de una sinusoidal

5.4

Identidades de mltiplos de un nguloIdentidades de ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades de medio ngulo ~ Resolucin de ecuaciones trigonomtricas

471

5.5

Ley de los senos

478

Deduccin de la ley de los senos ~ Resolucin de tringulos (AAL, ALA) ~ El caso ambiguo (LLA) ~ Aplicaciones

5.6

Ley de los cosenos

487

Deduccin de la ley de los cosenos ~ Resolucin de tringulos (LAL, LLL) ~ rea de un tringulo y la frmula de Hern ~ Aplicaciones

Matemticas en el trabajo Ideas clave Ejercicios de repaso Proyecto

496 497 497 500

Contenido

ix

CAPTULO 6

Aplicaciones de trigonometra6.1Vectores en el plano

501502

Vectores en dos dimensiones ~ Operaciones con vectores ~ Vectores unitarios ~ ngulos de direccin ~ Aplicaciones de vectores

6.2

Producto punto de vectores

514

El producto punto ~ ngulo entre vectores ~ Proyeccin de un vector sobre otro ~ Trabajo

6.3

Ecuaciones paramtricas y movimiento

522

Ecuaciones paramtricas ~ Curvas paramtricas ~ Eliminacin del parmetro ~ Rectas y segmentos de recta ~ Simulacin de movimiento con una graficadora

6.4

Coordenadas polares

534

El sistema de coordenadas polares ~ Transformacin de coordenadas ~ Transformacin de ecuaciones ~ Determinacin de la distancia mediante coordenadas polares

6.5

Grficas de ecuaciones polares

541

Curvas polares y curvas paramtricas ~ Simetra ~ Anlisis de curvas polares ~ Rosas ~ Limaones (Caracoles) ~ Otras curvas polares

6.6

Teorema de Moivre y races n-simas

550

El plano complejo ~ Forma trigonomtrica de los nmeros complejos ~ Multiplicacin y divisin de nmeros complejos ~ Potencias de nmeros complejos ~ Races de nmeros complejos

Ideas Clave Ejercicios de repaso Proyecto

561 562 565

CAPTULO 7

Sistemas y matrices7.1Resolucin de sistemas de dos ecuaciones

567568

El mtodo de sustitucin ~ Resolucin grfica de sistemas ~ El mtodo de eliminacin ~ Aplicaciones

7.2

lgebra de matricesMatrices ~ Suma y resta de matrices ~ Multiplicacin de matrices ~ Matrices identidad e inversa de una matriz ~ Vectores en dos dimensiones ~ Aplicaciones

579

7.3

Sistemas lineales de varias variables y operaciones por renglones

594

Forma triangular para sistemas lineales ~ Eliminacin gaussiana ~ Operaciones elementales por renglones y forma escalonada por renglones ~ Forma escalonada reducida por renglones ~ Resolucin de sistemas con matrices inversas ~ AplicacionesxContenido

7.4

Fracciones parciales

608

Descomposicin en fracciones parciales ~ Denominadores con factores lineales ~ Denominadores con factores cuadrticos irreducibles ~ Aplicaciones

7.5

Sistemas de desigualdades con dos variables

617

Grfica de una desigualdad ~ Sistemas de desigualdades ~ Programacin lineal

Matemticas en el trabajo Ideas clave Ejercicios de repaso Proyecto

625 626 626 630

CAPTULO 8

Geometra analtica en dos y tres dimensiones8.1Secciones cnicas y parbolas

631632

Secciones cnicas ~ Geometra de una parbola ~ Traslacin de parbolas ~ Propiedad reflectante de una parbola

8.2

Elipses

644

Geometra de una elipse ~ Traslacin de elipses ~ rbitas y excentricidad ~ Propiedad reflectante de una elipse

8.3

HiprbolasGeometra de una hiprbola ~ Traslacin de hiprbolas ~ rbitas y excentricidad ~ Propiedad reflectante de una hiprbola ~ Navegacin de rango amplio

656

8.4

Traslacin y rotacin de ejes

666

Ecuaciones de segundo grado de dos variables ~ Traslacin de ejes en comparacin con la traslacin de grficas ~ Rotacin de los ejes ~ Criterio del discriminante

8.5

Ecuaciones polares de las cnicas

675

Excentricidad (revisin) ~ Cmo escribir ecuaciones polares para las cnicas ~ Anlisis de las ecuaciones polares de las cnicas ~ rbitas (revisin)

8.6

Sistema coordenado cartesiano tridimensional

685

Coordenadas cartesianas tridimensionales ~ Frmulas de la distancia y del punto medio ~ Ecuacin de la esfera ~ Planos y otras superficies ~ Vectores en el espacio ~ Rectas en el espacio

Ideas Clave Ejercicios de repaso Proyecto

695 696 698

Contenido

xi

CAPTULO 9

Matemticas discretas9.1Combinatoria bsica

699700

Discreto en comparacin con continuo ~ La importancia del conteo ~ El principio de multiplicacin del conteo ~ Permutaciones ~ Combinaciones ~ Subconjuntos de un conjunto con n elementos

9.2

El teorema del binomio

711

Potencias de binomios ~ Tringulo de Pascal ~ El teorema del binomio ~ Identidades factoriales

9.3

Probabilidad

718

Espacios muestrales y funciones de probabilidad ~ Clculo de las probabilidades ~ Diagramas de Venn y diagramas de rbol ~ Probabilidad condicional ~ Distribuciones binomiales

9.4

SucesionesSucesiones infinitas ~ Lmites de sucesiones infinitas ~ Sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Sucesiones y calculadoras graficadoras

732

9.5

SeriesNotacin de suma ~ Sumas de sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Series infinitas ~ Convergencia de series geomtricas

742

9.6

Induccin matemticaEl problema de las Torres de Hanoi ~ El principio de induccin matemtica ~ Induccin y deduccin

752

9.7

Estadstica y datos (enfoque grfico)

759

Estadstica ~ Visualizacin de datos categricos ~ Grficas de tallos ~ Tablas de frecuencia ~ Histogramas ~ Diagramas de tiempo

9.8

Estadstica y datos (enfoque algebraico)

771

Parmetros y estadstica ~ Media, mediana y moda ~ Resumen de cinco nmeros ~ Diagramas de caja (boxplot) ~ Varianza y desviacin estndar ~ Distribuciones normales

Matemticas en el trabajo Ideas Clave Ejercicios de repaso Proyecto

785 786 786 790

CAPTULO 10

Una introduccin al clculo: lmites, derivadas e integrales10.1 Lmites y movimiento: el problema de la tangente

791792

Velocidad promedio ~ Velocidad instantnea ~ Revisin de lmites ~ Relacin con las rectas tangentes ~ La derivadaxiiContenido

10.2 Lmites y movimiento: el problema del rea

804

Distancia a partir de una velocidad constante ~ Distancia a partir de una velocidad cambiante ~ Lmites en el infinito ~ La relacin con las reas ~ La integral definida

10.3 Ms acerca de los lmites

813

Un poco de historia ~ Definicin informal de lmite ~ Propiedades de los lmites ~ Lmites de funciones continuas ~ Lmites laterales y de dos lados ~ Lmites que tienden a infinito

10.4 Integrales y derivadas numricas

826

Derivadas obtenidas con calculadora ~ Integrales definidas obtenidas con calculadora ~ Clculo de la derivada a partir de datos ~ Clculo de la integral definida a partir de datos

Ideas Clave Ejercicios de repaso Proyecto

836 836 838

APNDICE A

Panorama general de los apndicesA.1Radicales y exponentes racionalesRadicales ~ Simplificacin de expresiones con radicales ~ Racionalizacin del denominador ~ Exponentes racionales

839

A.2

Polinomios y factorizacinCmo sumar, restar y multiplicar polinomios ~ Productos especiales ~ Factorizacin de polinomios mediante los productos especiales ~ Factorizacin de trinomios ~ Factorizacin por agrupacin

845

A.3

Expresiones fraccionalesDominio de una expresin algebraica ~ Reduccin de expresiones racionales ~ Operaciones con expresiones racionales ~ Expresiones racionales compuestas

852

APNDICE B

Frmulas importantesB.1Frmulas de lgebra 857Exponentes ~ Radicales y exponentes racionales ~ Productos especiales ~ Factorizacin de polinomios ~ Desigualdades ~ Frmula cuadrtica ~ Logaritmos ~ Determinantes ~ Sucesiones y series aritmticas ~ Sucesiones y series geomtricas ~ Factorial ~ Coeficiente binomial ~ Teorema del binomio

B.2

Frmulas de geometra

858

Tringulo ~ Trapecio ~ Crculo ~ Sector circular ~ Cono circular recto ~ Cilindro circular recto ~ Tringulo rectngulo ~ Paralelogramo ~ Anillo circular ~ Elipse ~ Cono ~ EsferaContenido

xiii

B.3

Frmulas de trigonometra

859

Medida angular ~ Identidades recprocas ~ Identidades cociente ~ Identidades pitagricas ~ Identidades impar-par ~ Identidades de suma y diferencia ~ Identidades de cofuncin ~ Identidades del ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades del ngulo medio ~ Tringulos ~ Forma trigonomtrica de un nmero complejo ~ Teorema de Moivre

B.4

Frmulas de geometra analtica

860

Frmulas bsicas ~ Ecuaciones de una recta ~ Ecuacin de una circunferencia ~ Parbolas con vrtice en (h, k) ~ Elipses con centro en (h, k) y a b 0 ~ Hiprbolas con centro en (h, k)

B.5

Galera de funciones bsicas

862

APNDICE CC.1 C.2Lgica: Una introduccinProposiciones ~ Proposiciones compuestas

863 869

Condicionales y bicondicionalesFormas de proposiciones ~ Razonamiento vlido

Glosario Respuestas seleccionadas ndice de aplicaciones ndice

877 895 1014 1017

xiv

Contenido

Acerca de los autoresFranklin D. DemanaFrank Demana recibi sus ttulos de maestra y doctorado en matemticas en la Universidad Estatal de Michigan y es profesor emrito de matemticas en la Universidad Estatal de Ohio. Como activo partidario del uso de la tecnologa en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas, es cofundador del programa nacional de desarrollo profesional T3 (Teachers Teaching with Technology, Maestros Enseando con Tecnologa). Ha sido director y uno de los principales investigadores de actividades financiadas con ms de diez millones de dlares por la NSF (National Science Foundation, Fundacin Nacional para la Ciencia). Actualmente es investigador codirector del Departamento de Educacin Matemtica e Investigacin Educativa de la Ciencia de Estados Unidos, que tiene asignados fondos de 3 millones de dlares, en un programa otorgado a la Universidad Estatal de Ohio. Adems de presentarse frecuentemente en congresos profesionales, ha publicado una amplia variedad de artculos en el campo de la instruccin matemtica potenciada con computadoras y calculadoras. El Dr. Demana tambin es cofundador (junto con Bert Waits) de la ICTCM (International Conference on Technology in Collegiate Mathematics, Conferencia Internacional sobre Tecnologa en Matemticas Universitarias) que se celebra ao con ao. Recibi, junto con el Dr. Waits, el premio Glenn Gilbert National Leadership de 1997, otorgado por el Consejo de Supervisores de Matemticas de Ohio (Ohio Council of Teachers of Mathematics). El Dr. Demana es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Essential Algebra: A Calculator Approach; Transition to College Mathematics; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach; College Algebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and Graphs e Intermediate Algebra: A Graphing Approach.

Bert K. WaitsBert Waits recibi su doctorado en la Universidad Estatal de Ohio y actualmente es profesor emrito de matemticas de la misma. El Dr. Waits es cofundador del programa de desarrollo profesional T3, y ha sido codirector o investigador principal de varios grandes proyectos de la NSF. Ha publicado artculos en ms de 50 revistas profesionales reconocidas nacionalmente. Con frecuencia imparte conferencias, talleres y minicursos en reuniones nacionales de la MAA (Mathematics American Association, Asociacin Matemtica de Amrica) y la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, Consejo Nacional de Maestros de Matemticas) sobre el uso de la tecnologa informtica para mejorar la enseanza y el aprendizaje de matemticas. Ha sido invitado a presentaciones en las ediciones 6, 7 y 8 del ICME (International Congress on Mathematical Education, Congreso Internacional de Educacin Matemtica) en Budapest (1988), Quebec (1992) y Sevilla (1996), respectivamente. El Dr. Waits recibi, junto con el Dr. Demana, el premio Glenn Gilbert National Leadership de 1997, otorgado por el Consejo de Supervisores de Matemticas de Ohio y es cofundador (con Frank Demana) de la ICTCM. Tambin fue uno de los acreedores al premio Christofferson-Fawcett Mathematics Education otorgado por el Consejo de Maestros de Matemticas de Ohio. El Dr. Waits es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach; College Algebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and Graphs y de Intermediate Algebra: A Graphing Approach

Gregory D. FoleyGreg Foley recibi sus ttulos de licenciatura y maestra en matemticas, y doctorado en educacin matemtica en la Universidad de Texas en Austin. Es director de la Academia de Ciencias y Artes, el programa acadmico avanzado de preparatoria del Austin Independent School District en Texas. El Dr. Foley ha impartido desde cursos elementales de aritmtica hasta cursos de matemticas a nivel universitario (en el que tambin imparte clases en educacin matemtica). De 1977 a 2004 ha formado parte de la facultad de tiempo completo en North Harris County College, Austin Community College, The Ohio State University, Sam Hoston State University y Appalachian State University, donde fue Catedrtico Distinguido de Educacin Matemtica en el departamento de Ciencias Matemticas, y dirigi el programa MELT (Mathematics Education Leadership Training, Capacitacin de Lderes en Educacin Matemtica). El Dr. Foley ha presentado ms de 200 conferencias y talleres en Estados Unidos y otros pases, ha dirigido varios proyectos con apoyo financiero y ha publicado artculos en varias revistas profesionales. Activo en varias sociedades, es miembro del Comit para la Educacin en Matemticas de Maestros de la MAA. En 1988, el Dr. Foley recibi el premio bianual AMATYC (American Mathematical Association of Two-Years Colleges, Asociacin Matemtica Estadounidense para los Dos Primeros Aos Universitarios) para la Excelencia Matemtica, y en 2005, recibi el premio anual de T3.

Daniel KennedyDan Kennedy recibi su ttulo de licenciatura en el College of the Holy Cross, y su maestra y doctorado en matemticas en la Universidad de Carolina del Norte, en Chapel Hill. Desde 1973 ha enseado matemticas en Baylor School en Chattanooga, Tennessee, donde ostenta la Ctedra Distinguida Cartter Lupton. El Dr. Kennedy se convirti en conferencista de Advanced Placement Calculus en 1978, que lo llev a un nivel creciente de compromiso con el programa como asesor en talleres, lder de mesas y en desarrollo de exmenes. Se uni al Advanced Placement Calculus Test Development Committee en 1986. En 1990 fue el primer maestro de preparatoria en 35 aos en presidir ese comit. Durante su titularidad, el programa inici el requerimiento de calculadoras graficadoras, para dejar sentadas las bases para la reforma de 1988 del curriculum de Advanced Placement Calculus. Autor de 1997 Teachers Guide-AP*Calculus, el Dr. Kennedy ha dirigido ms de 50 talleres para maestros de clculo a nivel bachillerato. Sus artculos sobre enseanza de matemticas han aparecido en Mathematics Teacher y American Mathematical Monthly, y es conferencista frecuente en congresos profesionales y civiles sobre reformas de la educacin. El Dr. Kennedy fue nombrado Tandy Technology Scholar en 1992 y fue ganador de un Presidential Award en 1995. El Dr. Kennedy es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Prentice Hall Algebra I; Prentice Hall Geometry y de Prentice Hall Algebra 2. xv

PrefacioDado que desde 1990 se ha puesto mucha atencin en reformar los cursos de clculo, sorprende que los de preclculo hayan mantenido su forma tradicional. En esta edicin de Preclculo: grfico, numrico y algebraico, los autores presentan un curso de preclculo reformado. Para aquellos estudiantes que planeen continuar con un curso de clculo, esta obra concluye con un captulo que los prepara para abordar dos temas centrales: la tasa de cambio instantnea y la acumulacin continua. Este interesante avance intuitivo es til y ms razonable que la incursin tradicional y carente de motivacin del clculo de lmites. Reconociendo que el de preclculo podra ser un curso terminal para muchos estudiantes, los autores tambin incluyen temas de instruccin cuantitativa tales como probabilidad, estadstica y matemticas financieras. Su objetivo es proporcionarles buenas habilidades de pensamiento crtico, necesarias para tener xito en cualquier empresa. Continuando con el espritu de las ediciones anteriores, los autores han integrado la tecnologa de graficacin a todo el curso, no como un tema adicional sino como una herramienta esencial para el descubrimiento matemtico y la resolucin efectiva de problemas. Esta tecnologa permite estudiar un catlogo completo de funciones bsicas desde el inicio del curso, lo que permite dar una idea de las propiedades de funciones que en otros libros no se ven sino hasta los captulos finales. Al relacionar el lgebra de funciones con la visualizacin de sus grficas, los autores incluso presentan a los estudiantes ecuaciones paramtricas, funciones definidas por partes, notacin de lmite y una comprensin intuitiva de continuidad desde el captulo 1. Una vez que los estudiantes se sienten cmodos con el lenguaje de funciones, los autores los guan a travs de una exploracin ms tradicional de doce funciones bsicas y sus propiedades algebraicas, reforzando siempre la relacin que existe entre sus representaciones algebraica, grfica y numrica. Con respecto a la modelacin, el libro utiliza un enfoque consistente que permite dar nfasis en cada captulo al uso de tipos particulares de funciones para modelar comportamientos del mundo real.

Nuestro enfoqueLa regla de los cuatro mtodos: Un enfoque equilibradoUna de las caractersticas principales de este libro es el equilibrio entre los mtodos algebraico, numrico, grfico y verbal para representar problemas: la regla de los cuatro mtodos. Por ejemplo, obtenemos soluciones de forma algebraica cuando sta es la tcnica ms apropiada para hacerlo y recurrimos a las soluciones grfica o numrica cuando el lgebra es difcil de usar. Recomendamos a los estudiantes resolver los problemas con mtodo y luego respaldar o confirmar sus soluciones mediante uno distinto, pues creemos que deben aprender el valor de cada una de estas representaciones para posteriormente elegir la ms apropiada de acuerdo a cada problema. Este enfoque refuerza la idea de que, para entender un problema completamente, son necesarias las comprensiones tanto algebraica como grfica y numrica.

Enfoque de resolucin de problemasEn los ejemplos a todo lo largo del texto se enfatiza la resolucin sistemtica de problemas usando la siguiente variacin del proceso de resolucin de problemas de Polya: Comprender el problema. Desarrollar un modelo matemtico.xvi

Resolver el modelo matemtico y respaldar o confirmar las soluciones. Interpretar la solucin. Encontrarn el uso de este mtodo a lo largo de todo el libro.

Doce funciones bsicasLas doce funciones bsicas, que se presentan enseguida, se resaltan en todo el libro como un tema principal: Funcin identidad Funcin cuadrtica Funcin cbica Funcin recproca Funcin raz cuadrada Funcin exponencial Funcin logaritmo natural Funcin seno Funcin coseno Funcin valor absoluto Funcin mximo entero Funcin logstica Una de las caractersticas ms distintivas de este texto es que presenta a los estudiantes un vocabulario completo de funciones al principio del curso. En el captulo 1, los estudiantes conocen grficamente las doce funciones bsicas y son capaces de compararlas y contrastarlas conforme aprenden conceptos como dominio, rango, simetra, continuidad, comportamiento en los extremos, asntotas, mximos y mnimo, e incluso periodicidad; conceptos difciles de apreciar cuando los nicos ejemplos a los que un maestro puede hacer referencia son los polinomios. Con este libro, desde las primeras semanas de clase los estudiantes sern capaces de caracterizar funciones mediante sus comportamientos por ejemplo, gracias a la tecnologa de graficacin ya no es necesario entender radianes antes de poder aprender que la funcin seno es acotada, peridica, impar y continua, con dominio ( , ) y rango [ 1, 1]. Una vez que los estudiantes tienen una buena comprensin de las funciones en general, el resto del curso consiste en el estudio, con mayor profundidad, de diferentes tipos de funciones, particularmente con respecto a sus propiedades algebraicas y la modelacin de aplicaciones. Estas funciones se utilizan para desarrollar las habilidades fundamentales de anlisis requeridas para los cursos de clculo y matemticas avanzadas. La seccin 1.2 proporciona un panorama de estas funciones mediante un examen de sus grficas. Para una fcil consulta, el Funciones exponenciales f (x) b apndice B incluye una galera completa de funciones bsicas. Cada funcin bsica se revisa posteriormente en el libro mediante un anlisis ms profundo que incluye la investigacin de propieFunciones logartmicas f(x) log x, con b 1 dades algebraicas. Adems, se resumen las caractersticas generales de familias de funciones.x

Doce funciones bsicasLa funcin identidady 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 5 x

f x

x

Hecho interesante: sta es la nica funcin que acta sobre todo nmero real y lo deja igual.

y

y

FIGURA 1.36Funcin cuadrticay 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 x

f (x bx b> 1

f (x)

bx

(1, b)

0 < b< 1 (1, b)

(0, 1)

(0, 1)

x

x

Dominio: Todos los reales Rango: (0, ) Continua No tiene simetra: no es par ni impar Acotada por abajo, pero no por arriba No tiene mximo ni mnimo Asntota horizontal: y 0 Ni tiene asntotas verticales Si b > 1 (consulte la figura 3.3 a)) entonces, f es una funcin creciente, lm f x 0 y lm f x .x x

a)

b)

f x

x2

Hecho interesante: La grfica de esta funcin, denominada parbola, tiene una propiedad de reflexin que es til en la fabricacin de faros y discos de satlites.

FIGURA 3.3 Grficas de f(x)

bx para a) b

1 y b) 0

b

1.

Si 0 < b < 1 (consulte figura 3.3 b)) entonces, f es una funcin decreciente, lm f x y lm f x 0.x x

FIGURA 1.37

y

b

(b, 1)

(1, 0)

x

FIGURA 3.29 f x

logb x, b

1.

Dominio: (0, ) Rango: Todos los reales Continua Creciente en su dominio No es simtrica: no es par ni impar No est acotada por arriba ni por abajo No tiene mximos ni mnimos No tiene asntotas horizontales Asntota vertical: x 0 Comportamiento en los extremos lm logb xx

Prefacio

xvii

Aplicaciones y datos realesLa mayor parte de las aplicaciones en el texto estn basadas en datos reales de las fuentes citadas y, para abordar su anlisis, los estudiantes no requieren experiencia alguna en los campos de origen de las mismas. A medida que avanzan en el anlisis de las aplicaciones, los estudiantes Modelacin de la poblacin de Estados Unidos mediante regresin exponencial se exponen a funciones como mecanismos para modelar datos, y son motivados para aprender acerca de cmo varias funciones pueden ayudar a modelar problemas de la vida real. Aprenden a analizar, modelar y graficar datos, e interpretar grficas y ajustar curvas. Adems, la representacin tabular de datos presentada en este texto enfatiza la idea de que una funcin es una correspondencia entre variables numricas. Esto ayuda a los estudiantes a construir la relacin entre los nmeros y sus grficas, y a reconocer la importancia de una comprensin completa grfica, numrica y algebraica de un problema. Puede consultar una lista completa de aplicaciones en el ndice de aplicaciones, en la pgina 1014. Y1=80.5514*1.01289^XPt 80.5514 1.01289t. contina

Tabla 3.9 Poblacin (en millones)Ao 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2003 Poblacin 76.2 92.2 106.0 123.2 132.2 151.3 179.3 203.3 226.5 248.7 281.4 290.8

EJEMPLO 6

Utilice la informacin de 1900 a 2000 en la tabla 3.9 y regresin exponencial para pronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003. SOLUCIN Modele

Sea P(t) la poblacin, en millones, de Estados Unidos t aos despus de 1900. La figura 3.15 a) muestra un diagrama de dispersin de la informacin. Utilizando regresin exponencial, encontramos un modelo para los datos de 1990-2000:

Fuente: World Almanac and Book of Facts 2005.

La figura 3.15 b) muestra el diagrama de dispersin con una grfica del modelo poblacional que acabamos de encontrar. Puede ver que la curva se ajusta muy bien a los datos. El coeficiente de determinacin es r2 0.995, lo que indica un buen ajuste y apoya la evidencia visual. Resuelva grficamente

Para pronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003, sustituimos t 103 en el modelo de regresin. La figura 3.15 c) muestra que P(103) 80.5514 1.01289103 301.3.

Cambios de contenido en esta edicinX=103[10, 120] por [0, 400] a) [10, 120] por [0, 400] b)

Y=301.29248[10, 120] por [0, 400] c)

FIGURA 3.15 Diagramas de dispersin y grficas para el ejemplo 6. La x en negro denota al dato para 2003. La x en gris en c) denota la prediccin del modelo para 2003.

Para los instructores, hemos agregado el tratamiento adicional de temas que los estudiantes generalmente encuentran desafiantes, en especial en los captulos 1, 2 y 9. Adems, donde ha sido apropiado, hemos actualizado todos los datos de los ejemplos y ejercicios. Tambin arreglamos ciertas secciones para acomodar mejor la lonInterprete gitud de los periodos de enseanza y agregado cuantiosas El modelo pronostica que la poblacin de Estados Unidos en 2003 fue 301.3 fuentes, tanto para maestros nuevos como para experimillones. La poblacin real fue 290.8 millones. Sobreestimamos por 10.5 millomentados. Por todo lo anterior, creemos firmemente que nes, menos del 4% de error. los cambios descritos hacen de la presente edicin la obra Ahora resuelva el ejercicio 43. ms efectiva disponible para los estudiantes. Captulo R Ahora, se presentan los nmeros complejos en la seccin R.6; anteriormente este tema se trataba hasta el captulo 2. Captulo 1 La seccin 1.4 de la edicin anterior se ha dividido en dos para proporcionar mayor prctica en la composicin de funciones y dedicar una seccin completa a las funciones inversas. Se han agregado representaciones grficas de composiciones con valor absoluto. Captulo 2 La seccin sobre nmeros complejos se traslad al captulo R para hacer ms didctica la extensin de este captulo. Se incluyeron las subsecciones Aplicaciones de funciones cuadrticas y Funciones monomiales y sus grficas para resaltar estos temas. Captulo 4 Se agregaron ejercicios de exploracin para presentar las funciones arcosecante y arcocosecante, y sus opciones de dominio asociadas. Captulo 6 Ahora, el material de este captulo est unificado bajo el ttulo Aplicaciones de trigonometra. La seccin de vectores se simplific y se introdujo una nueva subseccin que relaciona los temas de curvas polares y curvas paramtricas. La representacin geomtrica de nmeros complejos se pas del captulo 2 a la seccin 6.6. Captulo 8 El proyecto actualizado del captulo, Elipses como modelos del movimiento de un pndulo, aborda la aplicacin de elipses.Prefacio

xviii

Captulo 9 Ahora hay dos secciones separadas para sucesiones y series; ms ejemplos y ejercicios que las abordan, y un tratamiento ms amplio de convergencia de sucesiones. Captulo 10 Este primer avance del clculo proporciona una perspectiva histrica de esta disciplina, y presenta estudios clsicos de movimiento mediante los problemas de recta tangente y problemas de rea. Luego se investigan los lmites; el captulo termina con una inspeccin grfica y numrica de derivadas e integrales.CAPTULO

1

Caractersticas nuevas o mejoradasVarias caractersticas se han resaltado en esta revisin para ayudar a los estudiantes a alcanzar el dominio de las habilidades y conceptos del curso. Nos satisface ofrecer las siguientes caractersticas nuevas o mejoradas: Los inicios de captulo incluyen una fotografa para motivar y la descripcin general de una aplicacin que puede resolverse con los temas del captulo. La aplicacin se revisa posteriormente mediante un problema especfico que se resuelve. Estos problemas permiten a los estudiantes explorar situaciones realistas usando mtodos grficos, numricos y algebraicos. Tambin se pide a los estudiantes modelar situaciones de problemas mediante las funciones estudiadas en el captulo. Adems, aqu es donde se listan las secciones del captulo. La seccin Panorama general del captulo le da un sentido a lo que se aprender. Este panorama proporciona un mapa del captulo e indica cmo se relacionan sus temas bajo una idea general. Esto siempre es til para recordar que las matemticas no son modulares, sino que estn interrelacionadas, y que las habilidades y conceptos del curso se fundamentan unos sobre otros para dar paso a la comprensin de los procesos y sus relaciones ms complicadas.

Funciones y grficas

1.1

Modelacin y resolucin de ecuaciones Funciones y sus propiedades Doce funciones bsicas Construccin de funciones a partir de funciones Relaciones paramtricas e inversas Transformaciones grficas Modelacin con funciones Uno de los principios centrales en economa es que el valor del dinero no es constante, sino una funcin del tiempo. Dado que muchas fortunas se ganan y se pierden tratando de predecir el valor futuro del dinero, se pone mucha atencin a indicadores cuantitativos como el ndice de precios al consumidor, una medida bsica de la inflacin en varios sectores de la economa. Consulte la pgina 159 para conocer el comportamiento del ndice de precios al consumidor a travs del tiempo.

1.2 1.3 1.4

1.5

1.6 1.7

69

PROBLEMA DE INICIO DE CAPTULO (de la pgina 69)PROBLEMA: La tabla siguiente muestra el crecimiento en el ndice de precios de computadoras (IPC) para vivienda, para aos seleccionados entre 1980 y 2003 (con base en dlares de 1983). Cmo podemos construir una funcin para predecir el IPC para los aos 2004 2010? ndice de precios de computadoras (vivienda) Ao 1980 1985 1990 1995 1998 1999 2000 2001 2002 2003 IPC vivienda 81.1 107.7 128.5 148.5 160.4 163.9 169.6 176.4 180.3 184.8

Fuente: Oficina de Estadsticas Laborales, de acuerdo con The Almanac and Book of Facts 2005.

De forma anloga, la caracterstica Aprender acerca de porque proporciona las ideas generales de cada seccin y explica su propsito. Es importante leer esta parte y revisarla una vez terminado el captulo para asegurarse de que ha comprendido todos los temas importantes que acaba de estudiar.

276

CAPTULO 3 Funciones exponencial, logstica y logartmica

Panorama general del captulo 3En este captulo estudiaremos tres familias interrelacionadas de funciones: exponencial, logstica y logartmica. Las funciones polinomiales, funciones racionales y funciones potencia con exponentes racionales son funciones algebraicas; es decir, son funciones obtenidas al sumar, restar, multiplicar y dividir constantes y una variable independiente, y elevar expresiones a potencias enteras y extraer races. En este captulo y el siguiente, exploraremos las funciones trascendentales, que van ms all que trascienden a estas operaciones algebraicas. Al igual que sus primas algebraicas, las funciones exponencial, logstica y logartmica tienen muchas aplicaciones. Las exponenciales modelan crecimiento y decaimiento con respecto al tiempo, tal como el crecimiento sin restricciones de poblaciones y el decaimiento de sustancias radiactivas. Las funciones logsticas modelan crecimiento restringido de poblaciones, ciertas reacciones qumicas y la propagacin de rumores y enfermedades. Las funciones logartmicas son la base de la escala Richter de la intensidad de terremotos, la escala de acidez pH y la medida del sonido en decibeles. El captulo termina con un estudio de matemticas financieras, una aplicacin de las funciones exponenciales y logartmicas que se utiliza con frecuencia cuando se realizan inversiones.

SOLUCIN: En la figura 1.87 se muestra un diagrama de dispersin de los datos, en donde x es el nmero de aos desde 1980. Como los datos caen cerca de una recta inclinada, podemos utilizar una calculadora para calcular la recta de regresin para modelar los datos. La ecuacin de la recta de regresin es y 4.37x 83.20. Como lo muestra la figura 1.88, la recta se ajusta muy bien a los datos. Para predecir el IPC vivienda para 2004, utilizamos x 24 en la ecuacin de la recta de regresin. En forma anloga, podemos predecir el IPC vivienda para cada uno de los aos del 2004 al 2010 como se muestra a continuacin: IPC (vivienda) pronosticado Ao 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 y y y y y y y IPC vivienda pronosticado 4.37(24) 4.37(25) 4.37(26) 4.37(27) 4.37(28) 4.37(29) 4.37(30) 83.20 83.20 83.20 83.20 83.20 83.20 83.20 188.1 192.5 196.8 201.2 205.6 209.9 214.3

3.1Funciones exponencial y logsticaAprender acerca de

Funciones exponenciales y sus grficasCada una de las funciones f x x2 y g(x) exponente, pero los papeles estn al revs: 2x incluyen una base elevada a un

Las funciones exponenciales y sus grficas La base natural e Las funciones logsticas y sus grficas Los modelos de poblacin

Para f x x2, la base es la variable x y el exponente es la constante 2; f es una conocida funcin monomial y potencia. Para g(x) 2x, la base es la constante 2 y el exponente es la variable x; g es una funcin exponencial. Consulte la figura 3.1.

. . . porqueLas funciones exponencial y logstica modelan muchos patrones de crecimiento, incluyendo el de poblaciones humanas y animales.

DEFINICIN Funcin exponencial

Sean a y b nmeros reales constantes. Una funcin exponencial en x es una funcin que puede escribirse en la forma f x

y 20 20 15 10 5 3 2 1 3 1 2 3 4 x

a bx,1. La constante a es el valor

donde a es diferente de cero, b es positiva y b inicial de f (el valor en x 0) y b es la base.

Incluso con un ajuste de regresin tan impresionante como el de la figura 1.88, es riesgoso predecir ms all del conjunto de datos. Estadsticas como el IPC son dependientes de muchos factores voltiles que rpidamente pueden dejar a cualquier modelo matemtico obsoleto. De hecho, muchos economistas convencidos de que el crecimiento no poda sostenerse, empezaron a alertar en 2003 que la burbuja de vivienda reventara antes de 2010.

FIGURA 3.1 Bosquejo de g(x)

2x.

Las funciones exponenciales estn definidas y son continuas para todos los nmeros reales. Es importante reconocer si una funcin es una funcin exponencial.

Prefacio

xix

Logaritmos comunes, base 10Los logaritmos con base 10 se denominan logaritmos comunes. Debido a su relacin con nuestro sistema de base 10, el sistema mtrico y la notacin cientfica, los logaritmos comunes son especialmente tiles. Con frecuencia quitamos el subndice 10 para la base cuando usamos logaritmos comunes. La funcin logaritmo comn log10 x = log x es la inversa de la funcin exponencial f x = 10x. As y log x si y slo si 10 y x.

Aplicando esta relacin podemos obtener otras relaciones para los logaritmos con base 10.

Propiedades bsicas de los logaritmos comunes Sea x y y nmeros reales con x log 1 log 10 log 10 y 10log x 0 ya que 100 1 ya que 101 y ya que 10 y x ya que log x 1. 10. 10 y. log x. 0.

EXPLORACIN 1

Grficas de funciones exponencialesb) y2

1. Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [ 2, 2] por [ 1, 6]. a) y1

2x

3x

c) y3

4x

d) y4

5x

Qu punto tienen en comn las cuatro grficas? Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos.2. Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [ 2, 2] por [ 1, 6]. a) y1 c) y3

() ()1 2 1 4

x

b) y2 d) y4

x

() ()1 3 1 5

x

x

Cul punto es comn a las cuatro grficas? Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos.

En los ejercicios 71 y 72 utilice la informacin de la tabla 3.28. Tabla 3.28 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en millones) Ao 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Georgia 2.2 2.6 2.9 2.9 3.1 3.4 3.9 4.6 5.5 6.5 8.2 Illinois 4.8 5.6 6.5 7.6 7.9 8.7 10.1 11.1 11.4 11.4 12.4

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, de acuerdo con el World Almanac and Book of Facts 2005.

71. Modelacin poblacional Determine un modelo exponencial de regresin para la poblacin de Georgia y utilcelo para pronosticar la poblacin en 2005. 72. Modelacin poblacional Determine un modelo logstico de regresin para la poblacin de Illinois y utilcelo para pronosticar la poblacin en 2010.

Con el fin de facilitar su localizacin y consulta, el vocabulario se resalta en gris. Las propiedades estn en recuadros de color para que sea fcil encontrarlas. Cada ejemplo termina con una sugerenEJEMPLO 5 Transformacin de funciones exponenciales cia de Ahora resuelva un ejercicio relacionado. Resolver el o los ejercicios sugeridos es una forma sencilla de comprobar la comprensin del material sobre la marcha y no al final de cada seccin o captulo para ver si consigue hacerlo. Se proporcionan alternativas para estos ejemplos en el paquete de Acetatos y transparencias (en ingls). Exploraciones aparecen en todo el texto y proporcionan la perfecta oportunidad para ser un estudiante activo y descubrir las matemticas por su propia cuenta. Esto le ayudar a refinar su pensamiento crtico y sus habilidades de resolucin de problemas. Algunas exploraciones estn basadas en la tecnologa; otras implican la exploracin de ideas y relaciones matemticas. UN POCO DE HISTORIA A lo largo del texto aparecen Notas al margen relaLas funciones logartmicas fueron cionadas con varios temas. Las sugerencias le ofrecen desarrolladas alrededor de 1594, como herramientas computacionales, por el consejos prcticos en el uso de su graficadora para matemtico escocs John Napier (15501617). Originalmente, les llam obtener resultados mejores y ms precisos. Las notas nmeros artificiales, pero cambi el nombre por el de logaritmos, que al margen incluyen comentarios histricos, sugerensignifica nmeros de clculo o nmeros para calcular. cias acerca de ejemplos e ideas adicionales para ayudarle a evitar errores y riesgos. Grficas de funciones logartmicas con base b El icono Adelanto de clculo se encuentra a lo largo del texto antes de muchos ejemplos y temas para marcar los conceptos que los estudiantes encontrarn nuevamente en clculo. Se resaltan las ideas que presagian clculo como lmites, mximos y mnimos, asntotas y continuidad. Al inicio del texto, la idea de lmite se presenta de forma intuitiva y empleando un enfoque conceptual. En los primeros captulos se introduce algo de la notacin y el lenguaje de clculo, y se utiliza en todo el texto para establecer familiaridad. El icono Datos de la Web/reales se utiliza para marcar los ejemplos y ejercicios que utilizan datos reales citados.Describa cmo transformar la grfica de f x ex en la grfica de la funcin dada. Bosqueje las grficas y respalde su respuesta con una graficadora. a) g(x) e2x b) h(x) ex

SECCIN 3.1 Funciones exponencial y logstica

c) k(x)

3ex

283

contina

SOLUCIN

a) La grfica de g(x) e2x se obtiene mediante una compresin horizontal de la grfica de f x ex en un factor de 2 (consulte la figura 3.7 a)).

b) Podemos obtener la grfica de h(x) e x mediante una reflexin de la grfica de f x ex con respecto al eje y (figura 3.7 b)). c) Podemos obtener la grfica de k(x) 3ex mediante un alargamiento vertical, en un factor de 3, de la grfica de f x ex (figura 3.7 c)). Ahora resuelva el ejercicio 21.

Con la frmula de cambio de base podemos rescribir cualquier funcin logartmica g x logb x como ln x 1 g x ln x. ln b ln b

As, toda funcin logartmica es un mltiplo constante de la funcin logaritmo natural, f x ln x. Si la base es b 1, la grfica de g(x) logb x es un alargamiento o compresin vertical, en un factor de 1/ln b, de la grfica de f x ln x. Si 0 b 1 tambin se requiere una reflexin respecto del eje x.

IDEAS CLAVE DEL CAPTULO 3PROPIEDADES, TEOREMAS Y FRMULASCrecimiento y decaimiento exponencial 279 Funciones exponenciales f(x) = bx 280 Funciones exponenciales y la base e 282 Modelo exponencial de poblacin 290 Cambio entre forma logartmica y exponencial 300 Propiedades bsicas de los logaritmos 301 Propiedades bsicas de los logaritmos comunes 302 Propiedades bsicas de logaritmos naturales 304 Propiedades de los logaritmos 310 Frmula de cambio de base para logaritmos 313 Funciones logartmicas f(x) = logbx, con b 1 314 Propiedades de inyectividad (uno a uno) 320 Ley de enfriamiento de Newton 326 Inters capitalizable anualmente 334 Inters compuesto k veces por ao 335 Porcentaje de rendimiento anual 336 Rendimiento porcentual anual 337 Valor presente de una anualidad 340

PROCEDIMIENTOSCmo expresar informacin de otra forma 314316 Transformacin logartmica 328-329

GALERA DE FUNCIONESExponencial Logstica bsica

[4, 4] por [1, 5]

[4.7, 4.7] por [0.5, 1.5]

f (x)

ex

f (x)

1

1 e

x

Logartmica natural

[2, 6] por [3, 3]

El material de Repaso de captulo est constituido por secciones dedicadas a ayudar a los estudiantes a revisar los conceptos ledos. Las Ideas clave constan de tres partes: Propiedades, Teoremas y Frmulas; Procedimientos; y Galera de funciones. Los Ejercicios de repaso representan una gama completa de ejercicios tratados en el captulo y dan prctica adicional en las ideas desarrolladas. Los ejercicios marcados en azul indican problemas que constituiran un buen examen de prctica. Cada captulo concluye con un Proyecto que pide a los estudiantes analizar datos. Pueden asignarse de forma individual o para trabajo en equipo. Cada proyecto desarrolla los conceptos e ideas enseados en el captulo, y muchos proyectos remiten a la Web para investigacin posterior de datos reales.

f (x)

ln x

xx

Prefacio

CAPTULO 3

Ejercicios de repaso3.y

CAPTULO 34.y

ProyectoEXPLORACIONES1. Si usted rene informacin mediante una CBL o CBR, en

La coleccin de ejercicios marcados en azul podra utilizarse como un examen del captulo. En los ejercicios 1 y 2 calcule el valor exacto de la funcin para el valor de x dado. No utilice calculadora. 1 3 3 2. f x 6 3 x para x 2 En los ejercicios 3 y 4 determine una frmula para la funcin exponencial ejercicios del se al 10 describa figura.transformar la grfica En los cuya grfica 5 muestra en la cmo de f en la grfica de g(x) 2x o h(x) ex. Haga un bosquejo y respalde su respuesta con un graficadora. 1. f x 3 4 x para x 5. f x 7. f x 9. f x 4x

Anlisis del rebote de una pelotaCuando una pelota rebota hacia arriba y hacia abajo sobre una superficie plana, su altura mxima disminuye con cada rebote. Cada rebote es un porcentaje de la altura previa; para la mayora de las pelotas, el porcentaje es constante. En este proyecto utilizar un dispositivo de deteccin de movimiento para recolectar datos del rebote de una pelota debajo de un detector de movimiento, luego determinar un modelo matemtico que describa la altura mxima del rebote como una funcin del nmero del rebote.

(2, 6) (0, 3) x (0, 2)

(3, 1) x

SECCIN 3.6 Matemticas financieras

345

3x 3

8 e 2x

3

6. f x 8. f x 10. f x

4 8 x e 3x

x

En los ejercicios del 31 al 34 reescriba la ecuacin en forma exponencial. 31. log3 x 5 32. log2 x y x a 33. ln 2 34. log 3 y b En los ejercicios del 35 al 38 describa cmo transformar la grfica de y log2x en la grfica de la funcin dada. Bosqueje a mano la grfica y respalde su respuesta con un graficadora. 35. f x 37. h x log2 x 4 log2 x 1 36. g x 2 38. h x log2 4 x log2 x 1 4

Recoleccin de datosConfigure el sistema CBLTM (calculadora de laboratorio) con un detector de movimiento o un sistema CBRTM (calculadora de campo) para recolectar la informacin de la pelota que rebota, mediante un programa para la CBL o la aplicacin Ball Bounce (pelota que rebota) para el CBR. Consulte la gua de la CBL/CBR para instruccin especfica de configuracin. Mantenga la pelota al menos a 2 pies del detector y sultela para que rebote hacia arriba y hacia abajo, directamente debajo del detector. Esos programas convierten la distancia contra el tiempo a altura con respecto del suelo contra el tiempo. La grfica muestra un ejemplo de datos recolectados con una pelota de racquetbol y la CBR. La tabla de abajo muestra todas las alturas mximas recopiladas.Altura (pies)

su calculadora graficadora o en la pantalla de la computadora debe aparecer una grfica de la altura contra el tiempo. Localice la altura mxima para cada rebote, registre el dato en una tabla y utilice otras listas de su calculadora para introducirlo. Si no tiene acceso a una CBL/CBR, ingrese en su calculadora o computadora los datos dados en la tabla. 2. Qu porcentaje de la altura del rebote 0 es la altura del rebote 1? Calcule el porcentaje al que regresa para cada rebote. El nmero ser casi constante.3. Haga un diagrama de dispersin para la altura mxima en

34

contra del nmero de rebote.4. Para el rebote 1, la altura se predice multiplicando la altura

En los ejercicios 11 y 12 determine la interseccin y y las asntotas horizontales. 100 50 12. f x 5 3e 0.05x 5 2 e 0.04x En los ejercicios 13 y 14 indique si la funcin es una funcin con crecimiento exponencial o una funcin con decaimiento exponencial, y describa su comportamiento en los extremos mediante lmites. 11. f x 13. f x e4x

En los ejercicios del 39 al 42 grafique la funcin y analcela con respecto a dominio, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas y comportamiento en los extremos. x 2 ln x ln x 41. f x x 2 ln x 42. f x x En los ejercicios del 43 al 54 resuelva la ecuacin. 39. f x x ln x 40. f x 43. 10 x 4 45. 1.05 x 3 47. log x 7 49. 3 log2 x 1 2 53. log x 54. ln 3x 51. 3x 3x

del rebote 0, o H, por el porcentaje P. La segunda altura se predice multiplicando esta altura HP por P lo que da HP2. Explique por qu y HPx es el modelo adecuado para estos datos, donde x es el nmero de rebote.5. Ingrese esta ecuacin a su calculadora utilizando sus va-

lores para H y P. Cmo se ajusta el modelo a sus datos?6. Utilice las caractersticas estadsticas de su calculadora

2

14. f x

2 5x

3

1

para determinar la regresin exponencial para estos datos. Comprela con la ecuacin que utiliz como modelo.7. Si utiliza un tipo diferente de pelota, cmo cambiaran

En los ejercicios del 15 al 18 grafique la funcin y analcela con respecto al dominio, continuidad, comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas y comportamiento en los extremos. 15. f x 17. f x e3 1x

44. e x

0.25

sus datos y su ecuacin?8. Qu factores cambiaran el valor de H y qu factores

1 6 3 0.4x

16. g x 18. g x

3 4x 4

1 2 100 2e 0.01x

7 5

46. ln x 5.4 48. 3 x 3 5 50. 2 log3 x 3 52. 1 1 4 5 4 50 e2 x 11

4

En los ejercicios del 19 al 22 determine la funcin exponencial que satisface las condiciones dadas. 19 V l i i i l 24 i t t d 5 3% di i

2 4

log x ln 2x

Tiempo (seg) [0, 4.25] por [0, 3]

influiran en el valor de P? 9. Rescriba su ecuacin usando la base e, en lugar de usar P como la base para la ecuacin exponencial. 10. Qu podra decir acerca de cmo se ve la grfica de ln(altura del rebote) contra el nmero de rebote?11. Trace ln(altura del rebote) contra nmero de rebote. Calcu-

Nmero de rebote 0 1 2 3 4 5

Altura mxima (pies) 2.7188 2.1426 1.6565 1.2640 0.98309 0.77783

le la regresin lineal y utilice el concepto de re-expresin (transformacin) logartmica, para explicar cmo la pendiente y la interseccin y estn relacionadas con P y H.

Conjuntos de ejerciciosREPASO RPIDO 3.5(Para obtener ayuda consulte las secciones R.1 y 1.4)6. Un ncleo atmico tiene un dimetro de casi 0.000000000000001 m. En los ejercicios 7 y 8 escriba el nmero en forma decimal. 0 10 x 6 7. El nmero de Avogadro es alrededor de 6.02 8. La unidad de masa atmica es casi 1.66 10 1023.27

En los ejercicios del 1 al 4 pruebe que cada funcin, en el par dado, es la inversa de la otra. 1. f x 2. f x 3. f x 4. f x e 2x y g x 10 x 2 y g x 3 log x 2, x ln x1 2) log x 2, x e 3x 0ygx

1 3 ln x y g x

kg.

En los ejercicios 5 y 6 escriba el nmero en notacin cientfica. 5. La distancia media de Jpiter al Sol es alrededor de 778,300,000 km.

En los ejercicios 9 y 10 utilice notacin cientfica para simplificar la expresin (deje su respuesta en notacin cientfica). 9. 186,000 31,000,000 10. 0.0000008 0.000005

Preguntas de examen estandarizado59. Verdadero o falso El orden de magnitud de un nmero positivo es su logaritmo natural. Justifique su respuesta. 60. Verdadero o falso De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, un objeto tender a la temperatura del medio que lo rodea. Justifique su respuesta. En los ejercicios del 61 al 64 resuelva el problema sin utilizar una calculadora. 61. Opcin mltiple Resuelva A) x D) x 1 11 B) x E) x 2 13 1. C) x 1 23x1

65. Escriba para aprender Modelacin poblacional Cul ecuacin de regresin es el mejor modelo para la poblacin de Alaska? 66. Escriba para aprender Modelacin poblacional Cul ecuacin de regresin es el mejor modelo para la poblacin de Hawai? 67. Actividad en grupo Modelacin poblacional La funcin f x kecx 2,

Cada conjunto de ejercicios inicia con un Repaso rpido para ayudarle a revisar las habilidades necesarias en el conjunto de ejercicios y, por tanto, recuerdan nuevamente que las matemticas no son modulares. Tambin hay indicaciones Para obtener ayuda consulte la seccin... de modo que los estudiantes estn preparado para resolver la seccin de ejercicios. Hay ms de 6,000 ejercicios, incluyendo 680 ejercicios de repaso rpido. Despus del Repaso rpido estn los ejercicios que permiten practicar las habilidades matemticas aprendidas en la seccin. Estos ejercicios han sido cuidadosamente clasificados desde rutinarios hasta desafiantes. En cada conjunto de ejercicios se prueba cada uno de los siguientes tipos de habilidades: Manipulacin algebraica y analtica. Enlace de lgebra a geometra. Interpretacin de grficas. Representacin grfica y numrica de funciones. Anlisis de datos.

32. C) x

4

62. Opcin mltiple Resuelva ln x A) x 1 B) x 1 e D) x e

donde c y k son constantes positivas, es una curva en forma de campana que es til en probabilidad y estadstica. a) Grafique f para c 1 y k 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el efecto del cambio en k. b) Grafique f para k 1 y c 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el efecto del cambio en c.

E) No hay solucin posible.

63. Opcin mltiple Cuntas veces fue ms fuerte el terremoto de 2001 en Arequipa, Per (R1 8.1) que el terremoto doble de 1998 en la provincia de Takhar, Afganistn (R2 6.1)? A) 2 D) 14.2 B) 6.1 E) 100 C) 8.1

Ampliacin de las ideas68. Escriba para aprender Pruebe, si u/v = 10n, para u > 0 y v > 0, y luego log u log v = n. Explique cmo este resultado relaciona a potencias de diez y rdenes de magnitud. 69. Energa potencial La energa potencial E (la energa almacenada para usarla posteriormente) entre dos iones en cierta estructura molecular se modela mediante la funcin E 5.6 r 10er 3

64. Opcin mltiple La ley de enfriamiento de Newton es A) Un modelo exponencial B) Un modelo lineal C) Un modelo logartmico E) Un modelo potencia D) Un modelo logstico

En estas partes se incluyen tambin ejercicios que inducen al razonamiento: Preguntas de examen estandarizado Incluyen dos problemas de falso-verdadero con justificaciones y cuatro preguntas de opcin mltiple. Exploraciones Son oportunidades para que los estudiantes descubran matemticas por ellos mismos o en grupos. Con frecuencia estos ejercicios requieren el uso de pensamiento crtico para explorar ideas. Los ejercicios Escriba para aprender desarrollan las habilidades de comunicacin en matemticas y proporcionan la oportunidad de demostrar la comprensin de ideas importantes.Prefacio

donde r es la distancia que separa los ncleos. a) Escriba para aprender Grafique esta funcin en la ventana 10, 10 por 10, 30 y explique cul parte de la grfica no representa esta situacin de energa potencial. b) Identifique una ventana de visualizacin que muestre la parte de la grfica (con r 10) que represente esta situacin y determine el valor mximo para E. 70. En el ejemplo 8, el modelo de la ley de enfriamiento de Newton era Tt Tm T0 Tm ekt

ExploracionesEn los ejercicios 65 y 66 utilice la tabla 3.26. Determine si una ecuacin de regresin lineal, logartmica, exponencial, potencia o logstica constituye el mejor modelo para los datos. Explique el por qu de su eleccin. Respalde su redaccin con tablas y grficas, como considere necesario.

Tabla 3.26 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en miles)Ao 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Alaska 63.6 64.4 55.0 59.2 72.5 128.6 226.2 302.6 401.9 550.0 626.9 Hawai 154 192 256 368 423 500 633 770 965 1108 1212

61.656

0.92770t

Determine el valor de k. 71. Justifique la conclusin hecha acerca de la regresin logartmica natural de la pgina 329.

72. Justifique la conclusin realizada acerca de la regresin potencia de la pgina 329. En los ejercicios del 73 al 78 resuelva la ecuacin o la desigualdad. 73. e x 74. e 2x 75. e x 76. ln x 77. 2 log x 78. 2 log x x 8x 5 e 2x 1 5 1 ln x 3 0 0 2 log 6 4 log 3 0

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

xxi

Los ejercicios Actividad en grupo le piden abordar los problemas en equipo o resolverlos en forma individual o proyectos grupales. Los ejercicios Ampliacin de las ideas van ms all de los que se presentaron en el texto. Estos ejercicios son ampliaciones desafiantes del material del libro. Esta variedad de ejercicios proporciona suficiente flexibilidad para enfatizar las habilidades ms necesarias para cada estudiante o grupo.

Suplementos y recursosPara el instructor (en ingls)Manual de recursos Revisin de conceptos importantes, hojas de clculo para actividad en grupo, exmenes muestra de captulos, preguntas de preparacin para exmenes estandarizados, problemas de concurso. Manual de soluciones Soluciones completas a todos los ejercicios, incluyendo Repaso rpido, Ejercicios, Exploraciones y Repaso de captulo. Exmenes y cuestionarios Dos exmenes por captulo, dos cuestionarios por cada tres o cuatro secciones, dos exmenes de mitad de curso que cubren los captulos del R al 5, dos exmenes finales que cubren los captulos del 6 al 10.

Recursos de tecnologaMyMathLab MyMathLab es un exclusivo sistema de ejercicios en lnea que permite al alumno acceder a un sinnmero de ejercicios generados algortmicamente y obtener retroalimentacin en funcin de sus errores. Con MyMathLab, el profesor puede seleccionar los ejercicios que desee incluir en cada tarea y el alumno obtendr retroalimentacin personalizada, adems de una serie de herramientas que le guiarn paso a paso en la resolucin de un problema. MyMathLab incluye tambin videos y animaciones para la mejor comprensin de los temas. MyMathLab es el nico sistema de ejercicios en lnea que hace un diagnstico del avance de cada alumno y le genera nuevos ejercicios y actividades personalizadas en funcin de sus necesidades. MyMathLab est montado sobre CourseCompass, la plataforma en lnea basada en Blackboard, exclusiva de Pearson Educacin. Esta combinacin, ofrece a los profesores una vanguardia educativa en lnea, lder a nivel mundial. Para mayor informacin consulte a su representante de Pearson Educacin cmo obtener acceso a estos recursos. TestGen TestGen permite al instructor construir, editar, imprimir y administrar exmenes mediante un banco computarizado de preguntas, desarrollado para cubrir todos los objetivos del texto. TestGen tiene una base algortmica, lo que permite a los instructores crear versiones mltiples y equivalentes de la misma pregunta o el mismo examen con el clic de un botn. Tambin pueden modificar preguntas o agregar otras nuevas. Los exmenes pueden imprimirse o darse a resolver en lnea. Sitio Web Nuestro sitio Web, www.pearsoneducacion.net/demana, proporciona recursos dinmicos. Incluye material para descargar, para la calculadora graficadora TI, cuestionarios en lnea, sugerencias de enseanza, sugerencias de estudio, exploraciones y proyectos de final de captulo.xxiiPrefacio

AgradecimientosDeseamos expresar nuestro agradecimiento a los revisores de esta edicin y de las anteriores, quienes proporcionaron valiosas ideas y comentarios. Un agradecimiento especial a nuestra asesora Cynthia Schimek, Secondary Mathematics Curriculum Specialist, Katy Independent School District, Texas, por su gua e invaluables ideas en esta revisin. Judy Ackerman Montgomery College Ignacio Alarcon Santa Barbara City College Ray Barton Olympus High School Nicholas G. Belloit Florida Community College at Jacksonville Margaret A. Blumberg University of Southwestern Louisiana Ray Cannon Baylor University Marilyn P. Carlson Arizona State University Edward Champy Northern Essex Community College Janis M. Cimperman Saint Cloud State University Wil Clarke La Sierra University Marilyn Cobb Lake Travis High School Donna Costello Plano Senior High School Gerry Cox Lake Michigan College Deborah A. Crocker Appalachian State University Marian J. Ellison University of WisconsinStout Donna H. Foss University of Central Arkansas Betty Givan Eastern Kentucky University Brian Gray Howard Community College Daniel Harned Michigan State University Vahack Haroutunian Fresno City College Celeste Hernandez Richland College Rich Hoelter Raritan Valley Community College Dwight H. Horan Wentworth Institute of Technology Margaret Hovde Grossmont College Miles Hubbard Saint Cloud State University Sally Jackman Richland College T. J. Johnson Hendrickson High School Stephen C. King University of South CarolinaAiken Jeanne Kirk William Howard Taft High School Georgianna Klein Grand Valley State University Deborah L. Kruschwitz-List University of WisconsinStout Carlton A. Lane Hillsborough Community College James Larson Lake Michigan University Edward D. Laughbaum Columbus State Community College Ron Marshall Western Carolina University Janet Martin Lubbock High School

xxiii

Beverly K. Michael University of Pittsburgh Paul Mlakar St. Marks School of Texas John W. Petro Western Michigan University Cynthia M. Piez University of Idaho Debra Poese Montgomery College Jack Porter University of Kansas Antonio R. Quesada The University of Akron Hilary Risser Plano West Senior High Thomas H. Rousseau Siena College David K. Ruch Sam Houston State University Sid Saks Cuyahoga Community College

Mary Margaret Shoaf-Grubbs College of New Rochelle Malcolm Soule California State University, Northridge Sandy Spears Jefferson Community College Shirley R. Stavros Saint Cloud State University Stuart Thomas University of Oregon Janina Udrys Schoolcraft College Mary Voxman University of Idaho Eddie Warren University of Texas at Arlington Steven J. Wilson Johnson County Community College Gordon Woodward University of Nebraska Cathleen Zucco-Teveloff Trinity College

Extendemos ese agradecimiento especial a Chris Brueningsen, Linda Antinone y Bill Bower por su trabajo en los proyectos de captulo. Tambin agradecemos a Perian Herring, Frank Purcell y Tom Wegleitner por su meticulosa revisin del texto. Igualmente estamos agradecidos con Besbit Graphics, quien realiz un sorprendente trabajo de composicin y correccin de pruebas, y especficamente a Kathy Smith y a Harry Druding por su hbil manejo de todo el proceso de produccin. Por ltimo, damos las gracias al excepcional y profesional equipo de Addison-Wesley, por su asesora y apoyo en la revisin de este texto, en particular a Anne Kelly, Becky Anderson, Greg Tobin, Rich Williams, Neil Heyden, Gary Schwartz, Marnie Greenhut, Joanne Ha, Karen Wernholm, Jeffrey Holcomb, Barbara Atkinson, Evelyn Beaton, Beth Anderson, Maureen McLaughlin y Michelle Murray. Un reconocimiento particular se debe a Elka Block, quien de manera incasable nos ayud en todo el desarrollo y produccin de esta obra. F. D. D. B. K. W. G. D. F. D. K.

xxiv

Agradecimientos

CAPTULO

R

Requisitos

R.1 R.2

Nmeros reales Sistema de coordenadas cartesianas Ecuaciones y desigualdades lineales Rectas en el plano Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y algebraica Nmeros complejos Resolucin de desigualdades en forma algebraica y grfica

R.3

R.4 R.5

R.6 R.7

Las grandes distancias se miden en aos-luz; un ao-luz es la distancia que la luz recorre en un ao. Los astrnomos emplean la velocidad de la luz, aproximadamente 186,000 millas por segundo (300,000 kilmetros por segundo) para aproximar distancias entre planetas (puede consultar ejemplos de esto en la pgina 39).

1

2

CAPTULO R Requisitos

Visin general del captulo RHistricamente, el lgebra se ha empleado para representar problemas con smbolos (modelos algebraicos) y resolverlos reduciendo la solucin a manipulaciones algebraicas. Esta tcnica an es relevante en nuestros das. Actualmente, las calculadoras graficadoras se utilizan para plantear problemas mediante grficas (modelos grficos) y resolverlos con tcnicas numricas y grficas. Comenzaremos por las propiedades bsicas de los nmeros reales y nos introduciremos al estudio del valor absoluto, las frmulas de la distancia y el punto medio, y escribiremos ecuaciones de circunferencias. Adems, emplearemos la pendiente de una recta para escribir las ecuaciones estndar de rectas y aplicaciones en donde se involucran ecuaciones lineales. Finalmente, resolveremos ecuaciones y desigualdades con tcnicas algebraicas y grficas.

R.1Nmeros realesAprender acerca de...

Representacin de nmeros realesUn nmero real es cualquier nmero que pueda escribirse como un decimal. Los nmeros reales se representan mediante smbolos tales como 8, 0, 1.75, 3 2.33..., 0.36, 8 5, 3 , 16 , e, y . El conjunto de los nmeros reales contiene a otros subconjuntos importantes: Los nmeros naturales (o de conteo): Los enteros no negativos: Los enteros: 1, 2, 3, . . . 0, 1, 2, 3, . . . ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .

La representacin de nmeros reales El orden y la notacin de intervalo Las propiedades bsicas del lgebra Los exponentes enteros La notacin cientfica

. . . porqueEstos temas son fundamentales en el estudio de la matemtica y la ciencia.

Las llaves { } son utilizadas para encerrar a los elementos, u objetos, de un conjunto. Los nmeros racionales son otro importante subconjunto de los nmeros reales. Un nmero racional es cualquier nmero que pueda escribirse como una razn (o cociente) a/b de dos enteros, donde b 0. Podemos utilizar la notacin de construccin de conjuntos para describir a los nmeros racionales:

{

a a, b son enteros y b b

0

}

La lnea vertical que sigue a a/b se lee tal que. La forma decimal de un nmero racional o bien termina, como 7/4 = 1.75, o bien se repite infinitamente como 4/11 = 0.363636... 0.36 . La barra sobre el 36 indica un bloque de dgitos que se repiten. Un nmero es irracional si no es racional. La forma decimal de un nmero irracional es infinita y no se repite. Por ejemplo 3 = 1.7320508. . . y = 3.14159265. . . En una calculadora, los nmeros reales se aproximan dando slo unos cuantos de sus dgitos. Algunas veces no muy frecuentemente es posible determinar con una calculadora la forma decimal de nmeros racionales.

SECCIN R.1 Nmeros reales

3

EJEMPLO 1 Anlisis de formas decimales de nmeros racionalesDetermine la forma decimal de 1/16, 55/27 y 1/17. SOLUCIN La figura R.1 sugiere que la forma decimal de 1/16 termina y que 55/27 se repite en bloques de 037. 1 55 0.0625 y 2.037 16 27 FIGURA R.1 Representacin decimal en una calculadora de 1/16, 55/27 y 1/17, con la configuracin de la calculadora en modo decimal de punto flotante (ejemplo 1). Con base en la figura R.1, no podemos predecir la forma decimal exacta de 1/17; sin embargo, decimos que 1/17 0.0588235294. EL smbolo se lee es aproximadamente igual a. Podemos utilizar la divisin larga (consulte el ejercicio 66) para mostrar que 1 17 0.0588235294117647 . Ahora resuelva el ejercicio 3.

Los nmeros reales y los puntos de una recta pueden hacerse corresponder uno a uno para formar una recta de nmeros reales. Iniciamos con una recta horizontal y asociamos el nmero real cero con un punto O, el origen. Se consideran nmeros positivos a los situados a la derecha del origen y nmeros negativos los que estn a la izquierda, como se muestra en la figura R.2.

3 5 4 3 2 1 Nmeros reales negativos

O 0 1

2 3 4 5 Nmeros reales positivos

FIGURA R.2 La recta de los nmeros reales.

Cada nmero real corresponde a uno y slo a un punto de la recta de nmeros reales, y cada punto en la recta de nmeros reales corresponde a uno y slo un nmero real. Entre cada par de nmeros reales en la recta numrica existe una infinidad de nmeros reales ms. El nmero asociado con un punto es la coordenada del punto. Siempre que el contexto sea claro, seguiremos la convencin estndar de usar el nmero real para el nombre tanto del punto como de su coordenada.

Orden y notacin de intervaloEl conjunto de nmeros reales est ordenado. Esto significa que podemos comparar cualesquiera dos nmeros reales que no sean iguales mediante desigualdades y decir que uno es menor que o mayor que el otro.

4

CAPTULO R Requisitos

Orden de los nmeros reales Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales.SISTEMAS NO ORDENADOS

Smbolo

Definicin

Se lee

No todos los sistemas de nmeros estn ordenados. Por ejemplo, el sistema de nmeros complejos, que se introducir en la seccin R.6, no tiene un orden natural.

a a a a

b b b b

a a a a

b es positivo b es negativo b es positivo o cero b es negativo o cero , , ,u

a es mayor que b a es menor que b a es mayor o igual b a es menor o igual a b

Los smbolosOPUESTOS Y LA RECTA NUMRICA

son smbolos de desigualdades.

a 0 a 0 Si a 0, entonces, en la recta numrica, a est a la izquierda del 0 y su opuesto (o simtrico) est a la derecha del 0. Por tanto, a 0.

En forma geomtrica, a b significa que a se encuentra a la derecha de b (tambin que b est a la izquierda de a) en la recta numrica. Por ejemplo, como 6 3, 6 est a la derecha de 3 en la recta numrica. Tambin observe que a 0 significa que a 0 o simplemente a es positivo y a 0 significa que a es negativo. Somos capaces de comparar cualesquiera dos nmeros reales debido a la siguiente propiedad importante de los nmeros reales. Propiedad de tricotoma Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales. Slo una de las siguientes expresiones es verdadera: a b, a b, o a b.

Las desigualdades pueden utilizarse para describir intervalos de nmeros reales, como se ilustra en el ejemplo 2.x 3 2 1 0 1 a) x 3 2 1 0 1 b) 0.5 x 5 4 3 2 1 c) 0 1 2 3 2 3 4 5 2 3 4 5

EJEMPLO 2a) x 3 b)

Interpretacin de desigualdades1 x 4

Describa y grafique el intervalo de nmeros reales para la desigualdad.

SOLUCIN a) La desigualdad x ra R.3a). 3 describe todos los nmeros reales menores que 3 (figu1 x 4 representa a todos los nmeros reales entre 1 e incluyendo a 4 (figura R.3b). Ahora resuelva el ejercicio 5.

b) La desigualdad doble 1 y 4, excluyendo a

3 2 1

0

1 d)

2

3

4

5 x

EJEMPLO 3

Escritura de desigualdades

FIGURA R.3 En grficas dedesigualdades, los parntesis corresponden a y , y los corchetes a y . (Ejemplos 2 y 3.)

Escriba un intervalo de nmeros reales mediante una desigualdad y dibuje su grfica. a) Los nmeros reales entre 4y 0.5.

b) Los nmeros reales mayores o iguales a cero. SOLUCIN a) b) x 4 x 0.5 (figura R.3c) Ahora resuelva el ejercicio 13.

0 (figura R.3d)

SECCIN R.1 Nmeros reales

5

Como se muestra en el ejemplo 2, las desigualdades definen intervalos en la recta numrica. Con frecuencia, empleamos [2, 5] para describir el intervalo acotado determinado por 2 x 5. Este intervalo es cerrado ya que contiene a los extremos 2 y 5. Existen cuatro tipos de intervalos acotados.

Intervalos acotados de nmeros reales Sean a y b nmeros reales con aNotacin de intervalo Tipo de intervalo

b.Notacin de desigualdades Grficaa a b b b b

a, b a, b a, b a, b

Cerrado Abierto Semi-abierto Semi-abierto

a a a a

x x x x

b b b

a

ba

Los nmeros a y b son los extremos de cada intervalo.NOTACIN DE INTERVALOS EN

Puesto que no es un nmero real, utilizamos ( , 2) en lugar de [ , 2) para describir a x 2. De forma anloga, utilizamos [ 1, ) en lugar de [ 1, ] para describir x 1.

El intervalo de nmeros reales determinado mediante la desigualdad x 2 puede describirse mediante el intervalo no acotado ( , 2). Este intervalo es abierto, ya que no contiene a su extremo 2. Utilizamos la notacin de intervalo ( , ) para representar a todo el conjunto de nmeros reales. Los smbolos (infinito negativo) y (infinito positivo), no son nmeros reales, pero nos permiten utilizar la notacin de intervalos para intervalos no acotados. Existen cuatro tipos de intervalos no acotados.

Intervalos no acotados de nmeros reales Sean a y b nmeros reales.Notacin de intervalo Tipo de intervalo Notacin de desigualdades Grficaa a b b

a, a, ,b ,b

Cerrado Abierto Cerrado Abierto

x x x x

a a b b

Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.

6

CAPTULO R Requisitos

EJEMPLO 4 Conversin entre intervalos y desigualdadesConvierta de notacin de intervalos a notacin de desigualdades, o viceversa. Determine los extremos; indique si el intervalo es acotado o no y su tipo, y grafique el intervalo. a) [ 6, 3) SOLUCIN a) El intervalo [ 6, 3) corresponde a 6 x < 3, es acotado y es semi-abierto (consulte la figura R.4a). Los puntos extremos son 6 y 3. b) El intervalo ( , 1) corresponde a x < 1, es no acotado y abierto (consulte la figura R.4b). El nico punto extremo es 1. c) La desigualdad 2 x 3 corresponde al intervalo cerrado y acotado [ 2, 3] (consulte la figura R.4c). Los extremos son 2 y 3. Ahora resuelva el ejercicio 29.a) 6 5 4 3 2 1 b) 5 4 3 2 1 c) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 4 x x

b) (

,

1)

c)

2

x

3

FIGURA R.4 Grficas de los intervalos de nmerosreales del ejemplo 4.

Propiedades bsicas del lgebraEl lgebra incluye el uso de letras y otros smbolos para representar nmeros reales. Una variable es una letra o smbolo (por ejemplo, x, y, t, ) que representa un nmero real no especificado. Una constante es una letra o smbolo (por ejemplo, 2, 0, 3 , ) que representa un nmero real especfico. Una expresin algebraica es una combinacin de variables y constantes que incluyen suma, resta, multiplicacin, divisin, potencias y races. Enunciamos algunas de las propiedades de las operaciones aritmticas de suma, resta, multiplicacin y divisin representadas por los smbolos , , (o ) y (o / ), respectivamente. La suma y multiplicacin son las operaciones primarias. La resta y la divisin se definen en trminos de la suma y la multiplicacin. Resta:RESTA VS. NMEROS NEGATIVOS

a a b

b a

a

( b) 0

Divisin:

()

1 ,b b

En muchas calculadoras, existen dos teclas , una para la resta y otra para nmeros negativos u opuestos. Asegrese de aprender a utilizar de forma correcta ambas teclas. El uso incorrecto puede conducir a resultados errneos.

En las definiciones anteriores, b es el inverso aditivo u opuesto de b, y 1/b es el inverso multiplicativo o recproco de b. Quiz le sorprenda, pero los inversos aditivos no siempre son nmeros negativos. El inverso aditivo de 5 es el nmero negativo 5. Sin embargo, el inverso aditivo de 3 es el nmero positivo 3.

SECCIN R.1 Nmeros reales

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Las propiedades siguientes se cumplen para los nmeros reales, las variables y las expresiones algebraicas. Propiedades algebraicas Sean u, v y w nmeros reales, variables o expresiones algebraicas.1. Propiedad conmutativa 4. Propiedad del inverso

Suma: u v v u Multiplicacin: uv vu2. Propiedad asociativa

Suma: u v w u v Multiplicacin: (uv)w Suma: u 0 u Multiplicacin: u 1

w u(vw)

0 1 Multiplicacin: u 1, u 0 u 5. Propiedad distributiva Multiplicacin sobre la suma: uv w uv uw u v w uw vw Multiplicacin sobre la resta: uv w uv uw u v w uw vw

Suma: u

( u)

3. Propiedad de la identidad

u

Los miembros izquierdos de las ecuaciones para la propiedad distributiva muestran la forma factorizada de las expresiones algebraicas, y los miembros derechos muestran la forma desarrollada.

EJEMPLO 5

Uso de la propiedad distributiva2)x. by.

a) Escriba la forma desarrollada de (a b) Escriba la forma factorizada de 3y SOLUCIN a) (a b) 3y 2)x by ax (3 2x b)y

Ahora resuelva el ejercicio 37.

A continuacin se presentan algunas propiedades del inverso aditivo junto con ejemplos que ayudan a ilustrar sus significados. Propiedades del inverso aditivo Sean u y v nmeros reales, variables o expresiones algebraicas. Propiedad 1. 2. 3. 4. 5. u uv u 1u u v v u u v u u v uv uv Ejemplo 3 43 6 15 7 9 7 5 7 9 16 3 4 3 67 4 3 42 12

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CAPTULO R Requisitos

Exponentes enterosLa notacin exponencial se utiliza para escribir en forma corta los productos de factores que se repiten. Por ejemplo: ( 3)( 3)( 3)( 3) ( 3)4 y (2x 1)(2x 1) (2x 1)2.

Notacin exponencial Sea a un nmero real, variable o expresin algebraica y n un entero positivo. Entonces an a a a,

donde n es el exponente, a es la bas