precalculo sullivan

5/8/2018 Precalculo Sullivan

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sscclen 7 .2 Form ulas para la sum a y l a d i fe r enc i a 443seC 8 - esc 8 8 8= sen - cosse c (J esc 8

53. sec 8 - cos 8 = se n (j tan 8sen? 8 - tan 8 7---::------'- = tan- (jcos? 8 - co t (j

54. tan 8 + cot 8 = se c (j esc 851. 52.

55. 1 7----'---- + ----'---- = 2 sec~ 8I - sen 8 1 + se n fI 1 + se n 8 I - sen 8 4 8 8- = tan secI- sen 8 I+ sen 8I - se n 8---~ =(sec 8 - tan 8)2I + se n fJse c2 8 - tan2 8 + ta n 8 fJ + 8= sen cosse c 8~~ n 8 + _ co s 8 _ co s 8 - se n 8 = se c 8 esc 8

sen 8 cos 8

56.

57. se c (! I + se n 8_ . _ . - . -.-1 - Se n 8 cos:' 8(sec8 -:- tan ( 1 ) 2 +I = 2 ta n 8e sc 8 (se c 8 - tan 8) -se n (! + CQS 8 .sen 8 - cos e . - e . 8. - = sec cs cco s 8 se n 8sen? 8 + cos' 8.::..::..:.:._:-~..-- = I - sen 8 c os 8sen () + cos 8

64.

5S .

59 . 60.61. 62.

sen ' 8 + cos"' 8i:2cos28

se c (j -~ sen 8ta n f) - 163.

cos20-scn2(! 765. , =cos- 81 - tan" (j'67. (2 ~OS2 8 - ~f=1 - 2 sen? 8cos 8 - se n 8

1 + sen 8 + cos 8 ~ + cos 869. -----1 + sen 8 - cos 8 sen 871. (a sen 8 + b cos 8)2 + (a cos 8 - b sen 8)2 =a2 + b272 . (2a sen 8 cos 8}2 + a2(cos2 8 - sen? 8)2 = a2

tan a + ta n f 37 3 . = ta n IT ta n f 3co t a + co t f 374. (tan a + ta n m ( l - co t a co t f3 ) + (cot a + cot f3)(J - tan a ta n f3 ) = 015 . (sen a + co s f 3 ) 2 + (cos f3 + s en a )( co s f3 - se n a) = 2 cos f3(sen a + co s f3 )76. (sen a - co s f 3 ) 2 + (cos f3 + sen a)(cos f3 - se n a) = -2 cos f3(sen a - co s f3 )77. lnlsec 81 = =Inlcos 817S . I nltan 8 i = 'In lsen 81- Inlcos 8179. Inll + cos 81 + In]! -cos 81 = 2 Inlsen 8jS O . ln lsec 8 + tan 81 + ln jsec 8 - tan 81 = 0

66. cos 8 + sen 8 - sen.J 8 8 + 7 8----..;;.,_--'--'---=- = cot cos-sen 8I - 2 cos- (j----- = tan 8 - cot 8sen 8 c os 8

_:_l+__:_co:._:;s_:_8:..:;.+__::sc::_e:..:_n...::.8sec 8 + tan 8I + cos 8 - sen 8

6S .

70.

"SL Escriba en unos cuantos parrafos su estrateg ia p ara dernostrar identidades.

F o rmu l a s p a r alo sumo y 10d i f e r enc i aE n esta secci6 n co ntin uarem os la deducci6n de identidades trigonornetricas obteniendoformulas que involucren la suma y diferencia de dos angulos, tales como cosr + (3),cosro - (3), 0 sen(a + (3). Estas formulas son llamadas formulas para la suma yla diferencia. Empezamos con las formulas para cosro + (3) y cosro - (3).

T('~remaformulas puraelcoseno c i t 'una suma y una diferencia

cos( a + f3 ) = os a co s { 3 - se n a se n (3cos( a - (3 ) = os a co s {3 + sen a se n { 3

(I)(2) I


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444 C ap itu lo 7 T r igon om etr ia ana lftic a

D em o", rue k in

F IG U R A 1y

-1

(a)y

-1A" (1 , 0 )

x

-1

(b)

En palabras, la form ula (l) establece que el coseno de la su ma d e d 'o s ~in gll'los es igual al coseno del primero por el coseno del segundo, m enos el sem i d e l p rimero por eJ seno del segundo.Prim ero probarem os la form ula (2). Aunque esta es cierta para todos los n u m e r e .0: y { 3 , en nuestra dernostracion supondremos que 0 < { 3


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lu -ri-

OSDnli-ra1'0

~ns-

I i -~cl)-

1-

E.lEMPLO

EJEMPLO

Seccion 7.2 Form ulas para la suma y l a d i fe r enc ia 445

cosro + (3) = cos] - (- (3)]= cos a cos( - (3) + sen a sene - (3) \ 'al I" 1",nlld.J 1 'I= cos a cos f 3 - sen a sen f 3

Una aplicacion de las formulas (I) y (2) es obtener el valor exacto del cosenode un angulo que pueda ser expresado como la suma 0 diferencia de angulos cuyosseno y coseno son conocidos exactamente.

J L'.Io dl' /0 (rin/lu/ll de fa IUlIIO pI/HI cnc '/JIII /"(/1" vulores ,,\orlrll"Encontrar el valor exacto de cos 75.

Solucion Ya que 75 = 45 + 30, usamos la formula (2) para obtenercos 75 = cos(45 + 30) = cos 45 cos 30 - sen 45 sen 30

IOll!llli:< III 2 Us de {u Jiirmll/ri df ' tu rli(C'I"t'II!"111 PUnt rncontrar vttlort: L'.\C/("/ril

Encontrar el valor exacto de cos( 7[/12).~{II uci ( In 7 T ( 3 7 T 2 7 T ) ( 7 T 7 T )cos 12 =cos 12- 12 = cos 4 - "6

7 T 7 T 7 T 7 T=cos 4 cos "6 + sen 4 sen"6 \ ' . 1 1 1 .1 1 < " 11 " ,1 . , , 'I.= V2 . V3 + V2 . I = ICV6 + V2)2 4

Ahora resuelva el problema 3.Otra aplicacion de las formulas (1) Y (2) es establecer otras identidades. A

continuacion se da un par de identidades importantes:

cos(; - e ) = sen esen(; - e ) =cos e

Oa)

Ob)

Dcrnosuacion Para demostrar la formula (7a), usamos la formula cosr o - (3) con a = 7 T 1 2Y f 3 = e :

( 7 T ) 7 T 7 Tcos - - e = cos - cos e + sen - sen e222= 0 . cos e + I .sen e= sen e


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446 C ap itu lo 7 T rig on om e trfa analitica

De III 0'" I 1acion

Tcorernuformula ...para cl ,"CI111 de una

'L im a) d ilc rc ncia

EJE\lPLO : 3

Snluciun

Para demostrar la f6rmula (7b), hacemos uso de la identidad (7a) q u e s e a c a b sd e d emo st ra r:

sen(; - e ) =cos[; - (; - e ) ] = co s eL" r I , 1 ' _

Las f6rm ulas (7a) y (7b) deben parecerle fam iliares. Son la base para el t e l l -rema estab lecido en el capitu lo 5: cofunciones de angulos complementarios s o niguales.

A dernas, ya que cos( ni2 - e ) = cos( e - nI2), com o consecuencia de 'la f 6 t m u -la (7 a) se tiene que cos( e - 7 1 " / 2 ) = se n 8. ASl, las graficas de y = seni !y = cos(x - 71"/2)son identicas, algo que usarnos antes en la secci6n 6 .2 .

A ho ra res ue Jv a el problem a 29.Formulas para sen(a + f 3 ) Ysen(a - (3 )Hemos establecido las identidades de las f6rmulas (7a) y (7b ), aho ra p D d c T I , [ ( ! ,deducir las f6rmulas para la suma y la diferen cia, sene a + (3) y sent a - (j).

sen(a + (3) = cos[; - (a + m ] I "Pll\< lil1 111.

= cos(; - a ) co s (3 + sen(; - a ) se n { 3 (Ill mil" 121.=se n a co s { 3 + co s a se n (3 I "InIJb 17.JI J Ohl

sen(a - (3) = sen] o + (-(3)]= se n a cost - f3) + co s a s en e - (3)= se n a co s (3 + co s a( - se n (3)= se n a co s { 3 - co s a se n (3

hkmid, d o : pal CIlIlp (8 )(9 )

As f

sen(a + (3 ) =se n a co s { 3 + co s a se n (3sene a - (3 ) = se n a co s { 3 - co s a se n { 3

En palabras, Ja f6rmula (8) establece que el seno de la suma de dos angulmes igual al seno del prim ero por el coseno del segundo mas el coseno del p r i m e r cpor el seno del segundo.

('1'0 de III.lrinlluiu de fa \1//1/(1 para euroutrar \'(/{{/I{)~' C.\//('fl!lEncontrar el valor exacto de sen(771"112).

771" (371" 471") (71" 71")se n 12= se n 12+ 12 = se n 4 + :3

1


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I J E ~1 P L 0 4

.I E ~l P L 0

E.1EMPLO

JEMPIO

S ecclnn 7 .2 F orm ulas para la su ma y l a d i fe renc ia 4477T 7T 7T 7T= sen - cos - + cos - sen - I orrnula IK!4 3 4 3

= V 2 . i_ + V 2 . V 3 = _ ! _ ( V 2 + V 6 )2 4 L III til fa /oU/mlll d III di{i.Tt'1Il iii /hll"t/ ('1It'1I/II/HI vulorc ,'X[/( 1 < IIEncontrar el valor exacto de sen 165.

sen 165 = sen(225 - 60)= sen 225 cos 60 - cos 225 sen 60 r UPH I L~Il= -V 2 . _ ! __ -V 2 . V 3 = ! _ ( V 6 - V 2 )2 4

Ahora resuelva el problema 9.5 L \(1 dl 1 / /(i/1Im/,1 c l l lu d i{ , n'//( /C l para (,II( on n (/1 l'%n'\ (xm to s

Encontrar el valor exacto de cos 80 cos 20 + sen 80 sen 200Suluciou La forma de la expresi6n cos 80 cos 20 + sen 80 sen 20 es la del lado derecho

de la f6rmula para cosro - (3 ) con a = SO y f3 = 20 . Entonces1cos 80 cos 20 + sen 80 sen 20 = cos(80 - 20) = cos 60 = - 2

Ir' tI( lei tonuul dl lu Hllfll' /J(' . f ('lIf"OIl/rllr L


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4 4 8 C ap itu lo 7 T rig on om e tria analiticaF IG URA 2

Pado sen Q' =t 7T/2 < a < 7T

F IG UR A 3Pado sen (3 = -2/\15, 7T


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Tcorcrualurrnula...de In mngentc del!IW ...uma \ una dilcrenciu

[.JEMPLO

E J E 'I PL0

f. .J E ;\1 P L 0

H

9

Seecinn 7 .2 Fo rm ulas para 11a um a y l a d i fe renc ia 449Usamos la f6rmula de la tangente de una suma, taIilCa + (3) para obtener la

f6nnula de la tangente de una diferencia:tan a + tan( - (3)tan(a - (3) = tan[a + (- f3)] = 1 t C (3)- tan a an - tan a - tan f 31 + tan a tan f 3

Asf, hemos probado los enunciados siguientes:

tan a + tan f 3tan(a + (3) = I- tan a tan f 3tan a - tan f 3tan( a - (3) = _:_:___r:__J + tan a tan f 3 (II)

( 10)

En palabras, la formula (10) establece que la tangente de la suma de dosangulos es igual a la tangente del primero mas I a t an ge nr e del segundo entre unomenos su producto.Demovtn jOIl dl I/lW h/elltit/at/Demostrar la identidad: tan( e + 7T) = tan e

(( J . ) tan () + tan 7Ttan + 7T =------1 - tan e tan 7T tan e + 0-----= tan eJ - tan () . 0EI resultado obtenido en el ejemplo 8 veri fica que la funcion tangente es pe-

ri6dica con periodo 7T, un hecho que fue mencionado anteriormente.Advertencia: Tenga cuidado cuando use las f6rmulas (10) Y (II). Estas pueden ser usadass 61 0 p ar a a ng ulo s a y f3 para los cuales tan a y ta n f3 estan defin idas, esto es, todos los an-gulos excepto m ultip les im pares de 7 T 1 2 .

Denu-sm ' , - ( 1 1 / 11/una idrntuli!Demostrar Ia identidad: tan( () + ;) = -cot ()

Solucion No podemos usar Ia f6rmula (0), ya que tan( 7T12) no esta definida. En lugar de eso,procedemos como sigue:

Solucion

7T 7Tsen e cos 2+ cos e sen 2cos e cos 3!_ - sen () sen 7T2 2os( () + ;)

(sen (})(O) + (cos e)( l) =--_ =(cos (})(O) - (sen e)o) cos e -cot ()-sen () Del('ni l/II(/r iou de vulores ('.IUC/O.IEncontrar eJ valor ex acto de senrcos " ' ~ + sen- ~) .Sea a = cos-1 ~ y f 3 =sen-1 ~ . Entonces

cos a =~, 0 s: a S 7T, Y sen f 3 = ~,7T 7T-- s: f 3 s;-2 2


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450 Ca pitu lo 7 T rig o nom e tr ia a na lit ic aF IG UR A 4

E J E 1\1 P J . 0 1I

-2 - 5

y5

2 x

- 2 - 5

(8) COS C I. =~, O:s; C I. $ 'IT (b) s e n 13=~, - ' I T / 2 $13 $ ' I T / 2Con base en la figura 4, obtenemos sen a=V3/2 y cos 1 3 =~.S1,

sen( cos -I + + sen - [ % ) = senea + f3 ) = sen a cos 1 3 + cos a sen {3V3 4 1 3 4 \ 1 ' 3 +3=--.-+.-=-_ ..__2 5 2 5 110

Ahora resuelva eI problema 57.

1..\1 riblr una ( -presion tI'i~( mometrica , ,11110 una e \(Jrr'st. III alfil bn in'Escribir sen(sen -I u + COS-I v) como una expresi6n algebraica que contenga < t i l ya v (esto es, sin funciones trigonometricas),

Sol ucion Sea a = sen -[ u y 1 3 = cos -I v. Entonces

Formulas para la sumay la diferencia

sen a = u, 7T' 7T'-- :=; a := ; - y cos 1 3 = v, o:=; 1 3 := ; 7T'2 2Ya que - 7 T ' 1 2 := ; a := ; 7 T ' 1 2 , sabemos que cos a ~ O . Como consecuencia,

cos a=~sen20' = ~De manera analoga, ya que 0 := ; 1 3 sT', sabemos que sen 1 3 ~ O . AS1,

sen 1 3 =VI - cos? 1 3 = ~Ahora,

sen(sen-I u + COS-I v) =senr + 1 3 ) = sen a cos 1 3 + cos a sen f 3=uv+~~

ResumenEI siguiente recuadro sintetiza las f6rmulas para Ia surna y la diferencia:

costrr + f3 ) =cos a cos 1 3 - sen a sen 1 3ccsto - 1 3 ) = cos a cos 1 3 + sen a sen 1 3


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Seccion 7.2 Form ulas para la sum a y l a d i fe r enc ia 45 1

senro + f3 ) = sen ct cos f3 + cos ct sen f3senro - f3 ) = sen ct cos f3 - cos ct sen f3

tan ct + ta n f3ta n( c t + f3 ) = 1 - tan ct tan f3tan ct - tan f3lane ct - f3 ) = J + tan ct tan f3

E je rc ic io 7 .2 ,En los problemas del 1 al 12 encuentre el valor exacto de cada funcion trigonometrica.

517 17 717 7171. sen - 2. sen - 3. cos - 4. tan - 5. cos 165012 12 12 12 6. sen 105

7. tan 15 0 17179. sen 12 191710. tan-- 12 ( 5 7 T )2. cot-12. tan 19 50En los problemas del 13 al 22 encuentre el valor exacto de cada expresion.13 . sen 20 0 cos 100 + cos 200 sen 10015 . cos 7 00 cos 20 0 - sen 70 sen 20 0

14. sen 20 0 cos 80 0 - cos 20 sen 8016. cos 40 0 cos 100 + sen 40 0 sen 10

tan 20 + tan 251 - tan 200 tan 25 0

17 717 17 71719 . sen - cos - - cos - sen -12 12 12 J2

17 . 18. tan 400 - tan 100J + tan 40 tan 10 0517 717 5 1 T 7 1 7cos - cos - - sen - sen -12 12 12 1220.

17 517 517 1 T21. sen - cos - - sen - cos -12 12 J2 12 22.17 5 1 7 17 517sen - cos - + cos - sen -

J 8 18 J 8 18En los problemas del 23 al 28 encuentre el valor exacto de 1 0 siguiente bajo las condiciones dadas:(a) s en e c t + f3 ) (b) cos/ + f3 ) (d) tan(ct - f3 )c) sene ct - f3 )23. sen 0: = ~. 0 < 0: < 1 T 1 2 ; cos f3 = 2(V5, - 1 7 1 2 < f3 < 024. cos 0: = l/Vs, 0 < 0: < 1 7 1 2 ; sen f3 = -~, - 1 7 1 2 < f3 < 025 . tan 0: = - 1 , 1 7 1 2 < 0: < 1T, cos f3 = 4 , 0 < f3 < 7 1 / 226. tan 0: = n . 17< 0: < 3 7 1 / 2 ; sen f3 = -~, 71 < ( 3 < 3 7 1 / 22 7 . sen 0: = n , - 3 7 1 / 2 < 0: < -"r; tan f3 = - V3, 7 1 1 2 < f3 < 7128. cos 0: =~,- 7 1 / 2 < 0:


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452 C a pft ulo 7 T rig o nom etrfa a na lftic asen(a + (3)- = tan a + ta n (3cos a cos (3costa - (3)_-'----_L-'" = cot a + ta n (3sen a cos f3cos(a + (3) = 1 - tan a tan f3costa - (3) 1 + Ian a tan (3

( (3) cot a cot (3 + 1co t 0- = co t (3 - cot asec a sec (3sec( a - (3 l = ----~-. 1 + tan a tan (3

52. costa - (3) costa + (3) = cos? a - sen- (3

42. 43. costo + R )--' ~ = 1 - tan a tan (3cos a cos (3s en e a + (3) tan a + ta n f3sene a - (3) tan a - tan (3co n a + (3) = _;.c_;_o,-t"a_;;c""o_;_t< : f 3 _ - _ 1cot (3 + cot a

cs c (X es c f3sec(a + (3) = -~-cot a cot f 3 -

44. 45.

46. 47 .

48. 49.51 . sen(a - (3) sen(a + (3) =sen? a - sen? f30.53. s en e ( )+ hT) =(-Il.en (), k cualquier entero

54. cos( e + kIT) =(- I)' . co s e , k cualquier enteroIn Problems 55-64, find (he exact value for each expression.55 . sen(sen-I ~ + cos t lO) 56 . sen( sen - I - v : ; + cos - I I) 57 . senlsen -I ~ - co s - i( -ill58 . sen[sen-I(-~) - tan-I~ ] 59 . cos(tan-I ~ + COS-I n ) 60 . sen [tan ' I f z - s~n-"(-~iI61. sec(sen-I n - tan-I~)64. cos(: - esc It)En los problemas del 65 al 70, escriba cada expresion trigonometrica como una expresion algebraicu qUf

62.

contenga u y v,65 . cosicos "! u + sen " v)68. cos(tan-I u + tan-1 v)

66. sen(sen-I u - COS-I v)69. tarusen "! u - cos " v)

71 . (. I f , 1 I1n. D em uestre que el cociente de diferencias para fix) = se n x esta dado porI(x + h) -I(x)

hsen(x + h) - se n x se n h.. h =co s x .-h- -se n x .

72 . (I I , / II ! ' D em uestre que el cociente de diferencias para fix) = co s x esta dado porI(x + h) - ((x)

hcos(x + h) - co s x

hse n h= -sen x . -- - co s x .h

73. D em uestre que senrsen"! u + COS-I u) = I,74. D emuestre que costserr ' u + COS-I u) =0,75. Explique por que la f6rmula (II) no puede ser utilizada para dem ostrar que

tan(; - ()) =cot ()

E stablezca esta identidad utilizando las f6rm ulas (7a) y (7b).76. S i tan a = x + 1 y ta n (3 = x-I, dem uestre que 2 cotta - (3) = x2 .77. (, -ou /I'W_ .m~lrll' rntr (Ir'l recta: Sean LI Y L2 dos rectas no verticales que

s e c on an , y sea () e l angulo agudo entre elias (vease la figural. D em uestre que

donde ml Y m: son las pendientes de LI y L 2 0 respectivarnente. [Sugerencia: Ut i l ic eel hecho de que tan ()I =ml y ta n ()2=m2' ]

63. ( I 5 ")ot sec- - + -.3 6'

67. sen(tan-Iu-sen If'70 . sec(tan -I u + c os -I \'1

- cos hh

1 - cos hh

y

F

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