issuu precalculo low.pdf

JAMES STEWART | LOTHAR REDLIN | SALEEM WATSON

EDICIN ABREVIADA PARA EL INSTITUTO TECNOLGICO DE DURANGO

PRECLCULOMATEMTICAS PARA EL CLCULO

P R I M E R A E D I C I N

JAMES STEWARTMcMASTER UNIVERSITY AND UNIVERSITY OF TORONTO

LOTHAR REDLINTHE PENNSYLVANIA STATE UNIVERSITY

SALEEM WATSONCALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH

TRADUCCIN:

ING. JORGE HUMBERTO ROMO MUOZTRADUCTOR PROFESIONAL

REVISIN TCNICA:

DR. ERNESTO FILIO LPEZUNIDAD PROFESIONAL EN INGENIERA Y TECNOLOGAS AVANZADASINSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

M. EN C. MANUEL ROBLES BERNALESCUELA SUPERIOR DE FSICA Y MATEMTICASINSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

PRECLCULOMATEMTICAS PARA EL CLCULO

Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur

D.R. 2014 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe nm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F.Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grco, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemasde informacin a excepcin de lo permitidoen el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libroPrecalculus. Mathematics for Calculus. Sixth Edition.Stewart, James/Lothar Redlin y Saleem WatsonPublicado en ingls por Brooks & Cole, una compaade Cengage Learning 2012ISBN: 978-0-8400-6807-1

Datos para catalogacin bibliogrca:Stewart, James/Lothar Redlin y Saleem WatsonPreclculo. Matemticas para el clculoISBN: 978-607-519-105-8

Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.com

Preclculo. Matemticas para el clculoJames Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson

Presidente de Cengage Learning Latinoamrica:Fernando Valenzuela Migoya

Director Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para Latinoamrica:Ricardo H. Rodrguez

Gerente de Procesos para Latinoamrica:Claudia Islas Licona

Gerente de Manufactura para Latinoamrica:Ral D. Zendejas Espejel

Gerente Editorial de Contenidos en Espaol:Pilar Hernndez Santamarina

Gerente de Proyectos Especiales:Luciana Rabuetti

Gerente Editorial de Contenidos en Ingls:Ivor Williams

Coordinador de Manufactura:Rafael Prez Gonzlez

Editora: Cinthia Chvez Ceballos

Diseo de portada: Lisa Henry

Imgenes de portada: Jose Fuste Raga/CORBIS

Composicin tipogrca:Mariana Sierra Enrquez

Impreso en Mxico1 2 3 4 5 6 17 16 15 14

A C E R C A D E L O S A U T O R E S

JAMES STEWART recibi su maestra de la Universidad de Stanford y su doctorado de la Universidad de Toronto. Realiz una investigacin en la Universidad de Londres y fue influenciado por el famoso matemtico George Polya en la Universidad de Stanford. Stewart es profesor emrito de la Universidad McMaster y actualmente es profesor de Matemticas en la Universidad de Toronto. Su campo de investigacin es el anlisis armnico y las conexiones entre las matemticas y la msica. James Stewart es el autor de una exitosa serie de libros de texto para clculo publicada por Brooks/Cole, Cengage Learning, incluyendo Clculo, Clculo: trascendentes tempranas y Clculo: conceptos y contextos, una serie de textos de preclculo, y una serie de libros de texto de matemticas para secundaria.

LOTHAR REDLIN creci en la isla de Vancouver, recibi una licenciatura en Ciencias de la Universidad de Victoria, y recibi un doctorado de la Universidad McMaster en 1978. Posteriormente se dedic a la investigacin y docencia en la Universidad de Washington, en la Universidad de Waterloo y en la Universidad Estatal de California, en Long Beach. En la actualidad es profesor de Matemticas en la Universidad Estatal de Pennsylvania, en el Campus de Abington. Su campo de investigacin es la topologa.

SALEEM WATSON recibi su licenciatura en Ciencias de la Universidad Andrews, en Michigan. Realiz estudios de posgrado en la Universidad de Dalhousie y en la Universidad McMaster, donde recibi su doctorado, en 1978. Posteriormente se dedic a la investigacin en el Instituto de Matemticas de la Universidad de Varsovia, en Polonia. Tambin ense en la Universidad Estatal de Pennsylvania. Actualmente es profesor de Matemticas en la Universidad Estatal de California, en Long Beach. Su campo de investigacin es el anlisis funcional.

Stewart, Redlin y Watson tambin han publicado College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry, y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and contexts.

ACERCA DE LA PORTADALa fotografa de la portada muestra el Museo de la Ciencia en la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia, Espaa, con un planetario a la distancia. Construido de 1991 a 1996, fue dise-ado por Santiago Calatrava, arquitecto espaol. Calatrava siempre ha estado muy interesado en cmo las mate mticas pueden ayudar a materializar los edificios que imagina. Siendo un joven estudiante, l mismo aprendi geometra descriptiva

de los libros a fin de representar objetos tridimensionales en dos dimensiones. Formado como ingeniero y arquitecto, escribi su tesis doctoral en 1981, titulada "Sobre el doblado de las estruc-turas espaciales", que est llena de matemticas, especialmente de transformaciones geomtricas. Su fortaleza como ingeniero le permite ser atrevido en su arquitectura.

iii

M E N S A J E D E L D I R E C T O R

Es para la comunidad Tecnolgica esencialmente relevante contar con la presente edicin en el 65 aniversario de la Direccin General de Educacin Superior Tecnolgica, as como el nacimiento del primer Instituto Tecnolgico en el Pas: el de DURANGO y el dcimo aniversario de la educacin superior tecnolgica a distancia en nuestro Estado.

La edicin especial del libro de Preclculo. Matemticas para el Clculo, es sin duda un paso ms en el proceso de mejora continua de los Programas de Fortalecimiento y Desarrollo de Competen-cias para el Aprendizaje que ofrece el Instituto, buscando incrementar las posibilidades de aproba-cin de los alumnos en las materias bsicas.

Al agradecer a todas las personas que con su talento y esfuerzo hicieron posible esta obra edi-torial, que habr de servir para impulsar aquellas disciplinas que inciden en el desarrollo y pro-greso de los estudiantes, hago votos porque se convierta en el inicio de nuevos logros del Cuerpo Colegiado de Matemticas y en una ms de las Fortalezas de nuestro querido Instituto y, con ello, poner la Tcnica al Servicio de la Patria.

Ing. Jess Astorga PrezDirector del Instituto Tecnolgico de Durango

AL ESTUDIANTE vii

PRLOGO: PRINCIPIOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS P1

C A P T U L O 1 FUNDAMENTOS 1 Descripcin del captulo 1

1.1 Nmeros reales 2

1.2 Exponentes y radicales 12

1.3 Expresiones algebraicas 24

1.4 Expresiones racionales 35

1.5 Ecuaciones 44

1.6 Modelado con ecuaciones 57

1.7 Geometra de coordenadas 73

1.8 Calculadoras graficadoras; resolucin grfica de ecuaciones y desigualdades 86

1.9 Rectas 96

C A P T U L O 2 FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARTMICAS 109 Descripcin del captulo 109

2.1 Funciones exponenciales 110

2.2 La funcin exponencial natural 118

2.3 Funciones logartmicas 124

2.4 Leyes de logaritmos 134

C A P T U L O 3 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: MTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA 141 Descripcin del captulo 141

3.1 La circunferencia unitaria 142

3.2 Funciones trigonomtricas de nmeros reales 149

3.3 Grficas trigonomtricas 158

C A P T U L O 4 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: MTODO DEL TRINGULO RECTNGULO 171 Descripcin del captulo 171

4.1 Medida de un ngulo 172

4.2 Trigonometra de tringulos rectngulos 181

C O N T E N I D O

v

vi Contenido

4.3 Funciones trigonomtricas de ngulos 189

4.4 La Ley de Senos 200

4.5 La Ley de Cosenos 207

C A P T U L O 5 TRIGONOMETRA ANALTICA 217 Descripcin del captulo 217

5.1 Identidades trigonomtricas 218

C A P T U L O 6 SISTEMAS DE ECUACIONES 225 Descripcin del captulo 225

6.1 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas 226

6.2 Sistemas de ecuaciones lineales con varias incgnitas 236

C A P T U L O 7 SECCIONES CNICAS 245 Descripcin del captulo 245

7.1 Parbolas 246

7.2 Elipses 254

7.3 Hiprbolas 263

7.4 Cnicas desplazadas 272

7.5 Rotacin de ejes 279

RESPUESTAS R1

A L E S T U D I A N T E

Este libro de texto ha sido escrito para usted como gua para que conozca a fondo las mate-mticas del preclculo. A continuacin veamos algunas sugerencias para ayudarle a sacar el mximo provecho de su curso.

Antes que nada, debe leer la seccin apropiada de texto antes de intentar resolver sus problemas de tarea. Leer un texto de matemticas es muy diferente de leer una novela, un peridico o hasta otro libro. Puede que tenga que releer un pasaje varias veces antes de entenderlo. Ponga especial atencin a los ejemplos y resulvalos con lpiz y papel a medida que los lea y, a continuacin, resuelva los ejercicios relacionados mencionados en Ahora intente resolver el ejercicio del nal de cada ejemplo. Con esta clase de preparacin podr hacer su tarea con mucha mayor rapidez y mejor entendimiento.

No cometa el error de tratar de memorizar cada una de las reglas o dato que se encuentre. Las matemticas no son simplemente memorizacin, sino que son el arte de resolver pro-blemas, no slo un conjunto de datos. Para conocer a fondo el tema, usted debe resolver problemas, muchos problemas; haga tantos como pueda. Asegrese de escribir sus solucio-nes en una forma lgica, paso a paso. No se rinda ante un problema si no puede resolverlo en seguida. Trate de entender el problema ms claramente, vuelva a leerlo por completo y relacinelo con lo que ya haya aprendido de su profesor y de los ejemplos del texto. Ded-quese al problema hasta que lo resuelva; una vez que haya hecho esto unas cuantas veces, empezar a entender de lo que se tratan las matemticas.

Las respuestas a ejercicios de nmero impar aparecen al nal del libro. Si su respuesta diere de la dada, no suponga de inmediato que usted est en error. Puede ser un clculo que enlace las dos respuestas y ambas sean correctas. Por ejemplo, si usted obtiene 1/( )12 1 pero la respuesta dada es 1 ,12 la respuesta de usted es correcta porque puede multiplicar el numerador y denominador de su respuesta por 1 12 para cambiarla a la respuesta dada.

El smbolo se usa para advertirle de no cometer un error. Hemos puesto este smbolo en el margen para sealar situaciones donde hemos encontrado que muchos de nuestros estudiantes cometen el mismo error.

vii

cm centmetrodB decibelF faradpie pieg gramogal galnh horaH hertzpulg pulgadaJ joulekcal kilocalorakg kilogramokm kilmetrokPa kilopascalL litrolb libralm lumenM mol e soluto por litro

de solucinm metro

mg miligramoMHz megahertzmi millamin minutomL mililitromm milmetroN newtonqt cuartooz onzas segundo ohmV voltioW vatioyd yardayr aoC grado CelsiusF grado FahrenheitK kelvin implica es equivalente a

A B R E V I A T U R A S

V I E T A S M A T E M T I C A S

viii

George Polya P1Carta de Einstein P4No hay nmero mnimo ni nmero

mximo en un intervalo abierto 8

Diofanto 20Franois Vite 49Bhaskara 66Coordenadas como

direcciones 74Pierre de Fermat 89Alan Turing 90Gateway Arch 118John Napier 128

El valor de p 155Funciones peridicas 166Radio AM y FM 167Hiparco 182Aristarco de Samos 184Tales de Mileto 185Levantamiento topogrco 203Euclides 221Arqumedes 251Excentricidades de las rbitas

de los planetas 260Trayectorias de cometas 267Johannes Kepler 276

LAS MATEMTICAS EN EL MUNDO MODERNO

Las matemticas en el mundo moderno 16

Cambio de palabras, sonido e imgenes en nmero 30

Cdigos para corregir errores 38Aplicacin de la ley 127Prediccin del clima 228Imgenes del interior de nuestra

cabeza 281

La capacidad para resolver problemas es una habilidad muy apreciada en muchos aspectos de nuestras vidas, es sin duda una parte importante de cualquier curso de matemticas. No hay reglas duras y rpidas que aseguren el xito en la solucin de problemas. Sin embargo, en este prlogo se proponen una serie de pasos generales en el proceso de resolucin de problemas y le damos los principios que son tiles en la solucin de ciertos problemas. Estas medidas y principios hacen explcito el sentido comn. Se han adaptado del perspicaz libro de George Polya How To Solve It (Cmo resolverlo).

1. Entender el problemaEl primer paso es leer el problema y asegurarse de que usted lo entiende. Hgase las siguien-tes preguntas:

Qu es lo desconocido?Cules son las cantidades que se sealan?Cules son las condiciones dadas?

Para muchos problemas, es til

dibujar un diagrama e identicar las cantidades que se requieren en el diagrama. Por lo general, es necesario

introducir notacin adecuada

en la eleccin de los smbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x, y y, aunque en algunos casos, ayuda utilizar las iniciales como smbo-los sugerentes, por ejemplo, para el volumen V o t para el tiempo.

2. Piense en un plan Encuentre una conexin entre la informacin dada y la desconocida que le permita calcular la incgnita. A menudo es til preguntarse a s mismo de forma explcita: Cmo puedo relacionar lo conocido y lo desconocido? Si usted no puede ver una conexin inmediata, las siguientes ideas pueden ser tiles en la elaboracin de un plan.

Tr a t e d e r e c o n o c e r a l g o c o n o c i d oRelacione la situacin dada con los conocimientos previos. Observe la incgnita y trate de recordar un problema ms familiar que tenga una incgnita similar.

P R L O G O PRINCIPIOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso entre los matemticos por sus ideas so-bre resolucin de problemas. Sus con-ferencias sobre este tema en la Univer-sidad de Stanford atraan a multitudes a las cuales l llev al borde de sus asientos, conducindolos a descubrir las soluciones por s mismos. l era ca-paz de hacer esto debido a su pro-fundo conocimiento de la psicologa de la resolucin de problemas. Su co-nocido libro How to solve it ha sido tra-ducido a 15 idiomas. Dijo que Euler (vase la pgina 266) fue el nico grande entre los matemticos, porque explic cmo encontraba sus resulta-dos. Polya dice a menudo a sus alum-nos y colegas: "S, veo que la demostra-cin es correcta, pero cmo lo descubri?". En el prefacio de How to solve it, Polya escribe: "Un gran descu-brimiento resuelve un gran problema, pero es un grano de descubrimiento en la solucin de cualquier problema. Us-ted puede ser modesto, pero si desafa su curiosidad y pone en juego sus fa-cultades inventivas, y si lo resuelve por sus propios medios, puede experimen-tar la tensin y disfrutar el triunfo del descubrimiento."

Chuc

k Pa

inte

r/St

anfo

rd N

ews

Serv

ice

P1

P2 Prlogo

Tr a t e d e r e c o n o c e r p a t r o n e s Ciertos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algn tipo de patrn que est ocurriendo. El patrn puede ser geomtrico, numrico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o repeticin en un problema, entonces podra ser capaz de adivinar cul es el patrn y luego probarlo.

U s e a n a l o g a sTrate de pensar en un problema anlogo, es decir, un problema similar o relacionado, pero que es ms fcil que el original. Si puede resolver el problema similar, ms simple, entonces le puede dar las pistas que necesita para resolver el original, ms difcil. Por ejemplo, si un problema implica un nmero muy grande, usted puede en primer lugar intentar resolver un problema similar con un nmero menor. O si el problema est en la geometra tridimen-sional, se podra buscar algo similar en la geometra de dos dimensiones. O si el problema inicial es de carcter general, primero se podra tratar un caso especial.

I n t r o d u z c a a l g o a d i c i o n a lA veces podra ser necesario introducir algo nuevo, "una ayuda extra", para hacer la co-nexin entre lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual un diagrama es til, la ayuda podra ser una nueva lnea dibujada en el diagrama. En un problema ms algebraico la ayuda podra ser una nueva incgnita que se relaciona con la incgnita original.

To m e c a s o sA veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada caso. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia para hacer frente a un valor absoluto.

Tr a b a j e a l a i n v e r s aA veces es til imaginar que su problema est resuelto y trabajar hacia atrs, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted podra ser capaz de revertir sus pasos y as construir una solucin al problema original. Este procedimiento se utiliza co-mnmente en la resolucin de ecuaciones. Por ejemplo, en la solucin de la ecuacin 3x 5 7, suponga que x es un nmero que satisface 3x 5 7 y trabaje hacia atrs. Sume 5 a cada lado de la ecuacin y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x 4. Como cada uno de estos pasos se puede revertir, ha resuelto el problema.

E s t a b l e z c a m e t a s s e c u n d a r i a sEn un problema complejo a menudo es til establecer objetivos parciales (en los que la si-tuacin deseada se cumple slo parcialmente). Si usted puede lograr o alcanzar estos obje-tivos parciales, entonces usted podra ser capaz de construir sobre ellos para alcanzar su meta nal.

R a z o n a m i e n t o i n d i r e c t oA veces es apropiado para atacar un problema indirectamente. En el uso de la prueba por contradiccin para probar que P implica Q, se supone que P es cierta y Q es falsa y se trata de ver por qu esto no puede suceder. De alguna manera tenemos que utilizar esta informa-cin y llegar a una contradiccin a lo que sabemos que es verdad absoluta.

I n d u c c i n m a t e m t i c aPara probar las declaraciones que implican un entero positivo n, a menudo es til utilizar el Principio de induccin matemtica.

3. Lleve a cabo el planEn el paso 2, se ide un plan. Para llevar a cabo ese plan, usted debe comprobar cada etapa del plan y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es la correcta.

Prlogo P3

4. RevisarDespus de haber completado la solucin, es conveniente revisarla, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si se puede descubrir una manera ms fcil de resolver el problema. Revisar tambin le ayudar a familiarizarse con el mtodo de solu-cin, que puede ser til para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: "Cada problema que resolv se convirti en una regla que sirvi despus para resolver otros pro-blemas".

Ilustraremos algunos de estos principios de resolucin de problemas con un ejemplo.

P R O B L E M A | Rapidez promedioUna conductora se embarca en un viaje. Durante la primera mitad de la distancia, ella con-duce al ritmo pausado de 30 km/h, durante la segunda mitad conduce a 60 km/h. Cul es su rapidez promedio en este viaje?

P I E N S E E N E L P R O B L E M A

Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio de todo el viaje es

30 602

45 mi/h

Sin embargo, este enfoque simple es realmente correcto?Veamos un caso fcil de calcular especial. Supongamos que la distancia total recorrida

es de 120 millas. Los primeros 60 km se recorren a 30 km/h, lo que tarda 2 horas. Las siguientes 60 millas se viaja a 60 km/h, lo que dura una hora. Por lo tanto, el tiempo total es 2 1 3 horas y la rapidez promedio es

1203

40 mi/h

Por lo tanto, nuestra estimacin de 45 mi/h estaba equivocada.

S O L U C I NTenemos que mirar con ms cuidado en el signicado de la rapidez promedio. Se dene como

rapidez promedio distancia recorridatiempo transcurrido

Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 el tiempo tomado para la primera y segunda mitad del viaje. Ahora podemos escribir la informacin que se nos ha dado. Para la primera mitad del viaje tenemos

30dt1

y para la segunda mitad tenemos

60dt2

Ahora podemos identicar la cantidad que se nos pide encontrar:

rapidez promedio del viaje completo distancia totaltiempo total

2dt1 t2

Para calcular esta cantidad, necesitamos conocer t1 y t2, as que resolvemos las ecuaciones anteriores para estos tiempos:

t1d30

t2d60

Intente un caso especial

Entienda el problema

Introduzca una notacin

Identifique la informacin dada

Relacione la informacin proporcionada con la incgnita

Identifique la incgnita

P4 Prlogo

Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada:

120d2d d

120d3d

40

Multiplique el numerador y el denominador por 60

6012d 260 a d

30d60b

rapidez promedio 2dt1 t1

2dd30

d60

Por lo tanto, la rapidez promedio del viaje completo es 40 mi/h. Q

P R O B L E M A S

1. Distancia, tiempo y velocidad Un automvil viejo tiene que recorrer un camino de 2 millas, cuesta arriba y hacia abajo. Debido a que es tan viejo, el automvil puede subir a la primera milla, de subida, no ms rpido que la rapidez media de 15 km/h. Qu tan rpido tiene que viajar el automvil la segunda milla, en el descenso puede ir ms rpido, por su-puesto, para lograr una rapidez media de 30 km/h para el viaje?

2. Comparando descuentos Cul precio es mejor para el comprador, un descuento del 40% o dos descuentos sucesivos del 20%?

3. Cortar un alambre Se dobla un pedazo de alambre, como se muestra en la gura. Puede verse que un corte a travs del cable produce cuatro piezas y dos cortes paralelos producen siete pie-zas. Cuntas piezas se produjeron por 142 cortes paralelos? Escriba una frmula para el n-mero de piezas producidas por n cortes paralelos.

4. Propagacin de amibas Una amiba se propaga por divisin simple; cada divisin toma 3 minutos para completarse. Cuando esa amiba se pone en un recipiente de vidrio con un uido nutriente, el recipiente est lleno de amibas en una hora. Cunto tiempo hara falta para que el contene-dor se llenara si en lugar de comenzar con una amiba, comenzando con dos?

5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo ms alto que el jugador B para la pri-mera mitad de la temporada de bisbol. El jugador A tambin tiene un promedio de bateo ms alto que el jugador B para la segunda mitad de la temporada. Es necesariamente cierto que el ju-gador A tiene un promedio de bateo ms alto que el jugador B para toda la temporada?

6. Caf y crema Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se coloca en una taza de caf. El caf se agita. A continuacin, una cucharada de esta mezcla se pone en la jarra de crema. Hay ahora ms crema en la taza de caf o ms caf en la jarra de leche?

7. Envolviendo el mundo Una cinta se amarra fuertemente alrededor de la Tierra en el ecuador. Cunta ms cinta necesita si usted ha colocado la cinta 1 pie por encima del ecuador en todas partes? (No es necesario conocer el radio de la Tierra para resolver este problema.)

8. Para terminar donde empez Una mujer parte de un punto P sobre la supercie de la Tierra y ca-mina 1 milla al sur, luego 1 milla al este y luego 1 milla al norte, y se encuentra de vuelta en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los cuales esto es posible. [Sugerencia: Hay un nmero innito de esos puntos, todos menos uno de los cuales se encuentran en la An-trtida.]

No se sienta mal si usted no puede re-solver estos problemas de inmediato. Los problemas 1 y 4 fueron enviados a Albert Einstein por su amigo Werthei-mer. Einstein (y su amigo Bucky) disfru-taba de los problemas y le escribi a Wertheimer. Esta es parte de su res-puesta:

Su carta nos dio un montn de pruebas divertidas. La pri-mera prueba de inteligencia nos ha engaado a ambos (Bucky y yo). Slo trabajndolo fuera me di cuenta de que no se dispone de tiempo para la trayectoria descendente! Bucky tambin fue engaado en el segundo ejemplo, pero yo no. Curiosida-des como sta nos muestran lo tontos que somos!

(Vase Mathematical Intelligencer, Pri-mavera de 1990, pgina 41.)

B

ettm

ann/

CORB

IS

Muchos problemas ms y ejemplos que ponen de relieve diferentes principios de resolucin de problemas estn disponibles en el sitio web del libro: www.stewartmath.com. Usted puede intentarlos a medida que avanza en el libro.

CA

PT

ULO

2

109

FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARTMICAS 2.1 Funciones exponenciales

2.2 La funcin exponencial natural

2.3 Funciones logartmicas

2.4 Leyes de logaritmos

En este captulo estudiamos una clase de funciones llamadas funciones exponen-ciales. stas son funciones, como f 1x2 2x, donde la variable independiente est en el exponente. Las funciones exponenciales se usan para modelar numerosos fenmenos del mundo real, como, por ejemplo, el crecimiento de una poblacin o el de una inversin que gana inters compuesto. Una vez obtenido el modelo exponencial, podemos usar el modelo para predecir el tamao poblacional o cal-cular la cantidad de una inversin para cualquier fecha futura. Para investigar cundo una poblacin llegar a cierto nivel, usamos las funciones inversas de las funciones exponenciales, llamadas funciones logartmicas. Por lo tanto, si tene-mos un modelo exponencial para crecimiento poblacional, podemos contestar preguntas como: Cundo estar mi ciudad tan congestionada como la calle de Nueva York que se ve en la foto?

Geor

ge M

arks

/Ret

rol

e/Ge

tty Im

ages

110 C A P T U L O 2 | Funciones exponenciales y funciones logartmicas

En este captulo estudiamos una nueva clase de funciones llamadas funciones exponencia-les. Por ejemplo,

f 1x2 2xes una funcin exponencial (con base 2). Observe la rapidez con la que aumentan los valo-res de esta funcin:

f 130 2 230 1,073,741,824 f 110 2 210 1024 f 13 2 23 8

Compare esto con la funcin g1x2 x2, donde g1302 302 900. El punto es que cuando la variable est en el exponente, incluso un pequeo cambio en la variable puede causar un cambio muy grande en el valor de la funcin.

WFunciones exponencialesPara estudiar las funciones exponenciales, primero debemos denir lo que queremos decir por la expresin ax cuando x es cualquier nmero. En la Seccin 1.2 denimos ax para a 0 y x un nmero racional, pero todava no hemos denido potencias irracionales. Por lo tanto, qu signica 513 o 2? Para denir ax cuando x es irracional, aproximamos x por medio de nmeros racionales.

Por ejemplo, dado que13 1.73205. . .

es un nmero irracional, sucesivamente aproximamos a13 mediante las siguientes potencias racionales:

a1.7, a1.73, a1.732, a1.7320, a1.73205, . . .

Intuitivamente, podemos ver que estas potencias racionales de a se acercan ms y ms a a13. Se puede demostrar mediante matemticas avanzadas que hay exactamente un nmero al que estas potencias se aproximan. Denimos que a13 es este nmero.

Por ejemplo, usando calculadora, encontramos

16.2411. . .513 51.732

Cuantos ms lugares decimales de 13 usemos en nuestro clculo, tanto mejor es nuestra aproximacin de 513.

Se puede demostrar que las Leyes de Exponentes todava son verdaderas cuando los exponentes son nmeros reales.

FUNCIONES EXPONENCIALES

La funcin exponencial con base a est definida para todos los nmeros reales x por

donde y .a 1a 0f 1x 2 ax

Suponemos que a 1 porque la funcin f 1x2 1x 1 es precisamente una funcin constante. A continuacin veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales:

Base 10Base 3Base 2

f 1x 2 2x g1x 2 3x h1x 2 10 x

2.1 FUNCIONES EXPONENCIALESFunciones exponenciales Grficas de funciones exponenciales Inters compuesto

Las Leyes de Exponentes se enuncian en la pgina 14.

S E C C I N 2.1 | Funciones exponenciales 111

E J E M P L O 1 Evaluacin de funciones exponenciales Sea f 1x2 3x; evale lo siguiente:(a) (b)(c) (d) f 112 2f 1p 2

f 1 23 2f 12 2

S O L U C I N Usamos calculadora para obtener los valores de f.Tecleo en calculadora Salida

(a)(b)(c)(d) 4.7288043ENTER2

1^3f A12 B 312 4.728831.5442807ENTERP^3f 1p 2 3p 31.5440.4807498ENTER)32(_)(^3f A 2 3 B 3 2/3 0.48079ENTER2^3f 12 2 32 9

AHORA INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO 5 Q

WGrficas de funciones exponencialesPrimero gracamos funciones exponenciales al localizar puntos. Veremos que las grcas de esas funciones adoptan una forma fcilmente reconocible.

E J E M P L O 2 Grfica de funciones exponenciales al localizar puntos

Trace la grca de cada funcin.

(a) (b) g1x 2 a 13b xf 1x 2 3x

S O L U C I N Calculamos valores de f 1x2 y g1x2 y localizamos puntos para trazar las gr-cas de la Figura 1.

x f 1x2 g 1x27239231

0 1 11 32 93 27 1

27

1 9

1 3

1 3

1 9

1 27

A 1 3 Bx3 x

0 x

y

1

1

y=3y=! @13

F I G U R A 1

Observe que

g1x 2 a 13b x 1

3x3 x f 1 x 2

de modo que hemos obtenido la grca de g a partir de la grca de f al reejar en el eje y. AHORA INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO 15 Q


La Figura 2 muestra las grcas de la familia de funciones exponenciales f 1x2 2x para varios valores de la base a. Todas estas grcas pasan por el punto 10, 12 porque a0 1 para toda a 0. De la Figura 2 se puede ver que hay dos clases de funciones exponenciales: si 0 a 1, la funcin exponencial decrece rpidamente; si a 1, la funcin aumenta rpidamente (vea la nota al margen).

0 x

y

1

2

y=2y=5y=10

y=3y=! @15

y=! @12

y=! @13y=! @110

El eje x es una asntota horizontal para la funcin exponencial f 1x2 ax. Esto es porque cuando a 1, tenemos que ax 0 conforme x q, y cuando 0 a 1, tenemos ax 0 conforme x q (vea la Figura 2). Tambin ax 0 para toda x , de modo que la funcin f 1x2 ax tiene dominio y rango 10, q2. Estas observaciones se resumen en el cuadro siguiente.

GRFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

La funcin exponencial

tiene dominio y rango . La recta y 0 (el eje x) es una asntota horizontalde f. La grfica de f tiene una de las siguientes formas.

=a para a>1 =a para 0


S O L U C I N(a) Como f 122 a2 25, vemos que la base es a 5. Entonces f 1x2 5x.(b) Como f 13 2 a3 18, vemos que la base es a 12. Entonces f 1x 2 A12B x.


En el siguiente ejemplo vemos cmo gracar ciertas funciones, no localizando puntos, sino tomando las grcas bsicas de las funciones exponenciales de la Figura 2, y aplicando las transformaciones de desplazamiento y reexin.

E J E M P L O 4 Transformaciones de funciones exponencialesUse la grca de f 1x2 2x para trazar la grca de cada funcin.(a) (b) (c) k1x 2 2x 1h1x 2 2xg1x 2 1 2xS O L U C I N

(a) Para obtener la grca de g1x2 1 2x, empezamos con la grca de f 1x2 2x y la desplazamos 1 unidad hacia arriba. Observe de la Figura 3(a) que la recta y 1 es ahora una asntota horizontal.

(b) De nuevo empezamos con la grca de f 1x2 2x, pero aqu reejamos en el eje x para obtener la grca de h1x2 2x que se ve en la Figura 3(b).

(c) Esta vez empezamos con la grca de f 1x2 2x y la desplazamos a la derecha 1 unidad para obtener la grca de k1x2 2x1 que se muestra en la Figura 3(c).

0 x

y

(c)

1

y=2

y=211

0 x

y

(b)

1

y=2

y=_2_10 x

y

y=2

(a)

1

y=1+2

2

Asntotahorizontal

AHORA INTENTE RESOLVER LOS EJERCICIOS 25, 27 Y 31 Q

E J E M P L O 5 Comparacin de funciones exponenciales con funciones potenciales

Compare la rapidez de crecimiento de la funcin exponencial f 1x2 2x y la funcin poten-cial g1x2 x2 trazando las grcas de ambas funciones en los siguientes rectngulos de vista.(a)(b)(c) 30, 20 4 por 30, 1000 4

30, 6 4 por 30, 25 430, 3 4 por 30, 8 4

F I G U R A 3


S O L U C I N

(a) La Figura 4(a) muestra que la grca de g1x2 x2 alcanza, y hasta supera, a la grca de f 1x2 2x en x 2.

(b) El rectngulo de vista ms grande de la Figura 4(b) muestra que la grca de f 1x2 2x alcanza a la de g1x2 x2 cuando x 4.

(c) La Figura 4(c) da una vista ms global y muestra que cuando x es grande, f 1x2 2x es mucho mayor que g1x2 x2.

8

0 3

(a)

==2x

1000

0 20

(c)

==2x

25

0 6

(b)

==2x


W Inters compuestoLas funciones exponenciales se presentan al calcular el inters compuesto. Si una cantidad de dinero P, llamada principal, se invierte a una tasa de inters i por perodo, entonces despus de un perodo el inters es P i, y la cantidad A de dinero es

A P (P i) P11 i 2Si el inters se reinvierte, entonces el nuevo principal es P11 i2, y la cantidad despus de otro perodo es A P11 i 2 11 i 2 P11 i 2 2. Anlogamente, despus de un tercer perodo la cantidad es A P11 i23. En general, despus de k perodos la cantidad es

A P11 i2k

Observe que sta es una funcin exponencial con base 1 i.Si la tasa de inters anual es r y si el inters se capitaliza n veces por ao, entonces en

cada perodo la tasa de inters es i r/n, y hay nt perodos en t aos. Esto lleva a la siguiente frmula para la cantidad despus de t aos.

INTERS COMPUESTO

El inters compuesto se calcula con la frmula

donde

t nmero de aos n nmero de veces que el inters se capitaliza por ao r tasa de inters por ao P principal

A1t 2 cantidad despus de t aosA1t 2 P a1 r

nb nt

E J E M P L O 6 Clculo de inters compuestoUna suma de $1000 se invierte a una tasa de inters de 12% al ao. Encuentre las cantidades en la cuenta despus de 3 aos si el inters se capitaliza anual, semestral, trimestral, men-sualmente y a diario.

r se conoce a veces como tasa nominal de inters anual.

F I G U R A 4


S O L U C I N Usamos la frmula de inters compuesto con P $1000, r 0.12 y t 3.

Capitalizacin n Cantidad despus de 3 aos

Anual

Semestral

Trimestral

Mensual

Diario

1

2

4

12

365 1000 a1 0.12365 b

365132 $1433.24

1000 a1 0.1212b 12132 $1430.77

1000 a1 0.124b 4132 $1425.76

1000 a1 0.122b 2132 $1418.52

1000 a1 0.121b 1132 $1404.93


Si una inversin gana inters compuesto, entonces el rendimiento en porcentaje anual (APY) es la tasa de inters simple que rinde la misma cantidad al trmino de un ao.

E J E M P L O 7 Clculo del rendimiento en porcentaje anual Encuentre el rendimiento en porcentaje anual para una inversin que gana inters a una tasa de 6% por ao, capitalizado a diario.

S O L U C I N Despus de un ao, un principal P crecer a

A P a1 0.06365 b

365P11.06183 2

La frmula para el inters simple es

A P11 r 2Comparando, vemos que 1 r 1.06183, entonces r 0.06183. Por lo tanto, el rendi-miento en porcentaje anual es $6.183.


El inters simple se estudia en la Seccin 1.6.

2 . 1 E J E R C I C I O S

C O N C E P T O S 1. La funcin f 1x2 5x es una funcin exponencial con base ______; f 122 ______, f 102 ______, f 122 ______ y f 162 ______. 2. Relacione la funcin exponencial con su grca.

(a)(b)(c)(d) f 1x 2 2 x

f 1x 2 2xf 1x 2 2 xf 1x 2 2x

I y

x 0 1 2

y

x0 12

y

x 0 1 2

II

III y

x0 12

IV


3. (a) Para obtener la grca de g1x2 2x 1, empezamos con la grca de f 1x2 2x y la desplazamos _______ (hacia arriba/abajo) 1 unidad. (b) Para obtener la grca de h1x2 2x1, empezamos con la grca de f 1x2 2x y la desplazamos _______ (a la izquierda/derecha) 1 unidad. 4. En la frmula A1t 2 P11 rn 2 nt para inters compuesto las letras P, r, n y t representan _______, _______, _______

y _______, respectivamente, y A1t2 representa _______. Por

lo tanto, si se invierten $100 a una tasa de inters de 6% capitalizado trimestralmente, entonces la cantidad despus

de 2 aos es _______.

H A B I L I D A D E S5-10 Q Use calculadora para evaluar la funcin en los valores indi-cados. Redondee sus respuestas a tres decimales.

5.

6.

7.

8. g1x 2 A34B 2x; g10.7 2 , g117/2 2 , g11/p 2 , gA23Bg1x 2 A23B x 1; g11.3 2 , g115 2 , g12p 2 , gA 12Bf 1x 2 3x 1; f 1 1.5 2 , f 113 2 , f 1e 2 , f A 54Bf 1x 2 4x; f 10.5 2 , f 112 2 , f 1 p 2 , f A13B

9-14 Q Trace la grca de la funcin haciendo una tabla de valores. Use calculadora si es necesario.

.01.9

.21.11

.41.31 h1x 2 2A14 Bxg 1x 2 311.3 2 xh1x 2 11.1 2 xf 1x 2 A13B xg1x 2 8xf 1x 2 2x

15-18 Q Graque ambas funciones en un conjunto de ejes.15.

16.

17.

18. f 1x 2 A23B x y g1x 2 A43B xf 1x 2 4x y g1x 2 7xf 1x 2 3 x y g1x 2 A13B xf 1x 2 2x y g1x 2 2 x

19-22 Q Encuentre la funcin exponencial f 1x2 ax cuya grca nos dan.

y

0 x3_31

(2, 9)

20.

x

y

0 3_3

15!_1, @

1

116!2, @

x0 3_3

y

1

22.

x

y

0 31

_3

(_3, 8)

23-24 Q Relacione la funcin exponencial con una de las grcas marcadas I o II.

.42.32 f 1x 2 5x 1f 1x 2 5x 1

I y

x 0 1 1

y

x 0 1 1

II

25-36 Q Graque la funcin, no localizando puntos, sino empezando desde las grcas de la Figura 2. Exprese el dominio, rango y asn-tota.

.62.52

.82.72

.03.92

.23.13

.43.33

.63.53 h1x 2 2x 4 1y 3 10x 1g 1x 2 1 3 xy 5 x 1f 1x 2 A15B xf 1x 2 10x 3h1x 2 6 3xh1x 2 4 A12B xg1x 2 2x 3g1x 2 2x 3f 1x 2 10 xf 1x 2 3x

37. (a) Trace las grcas de f 1x2 2x y g1x2 312x2. (b) Cmo estn relacionadas estas grcas?38. (a) Trace las grcas de f 1x2 2x y g1x2 3x. (b) Use las Leyes de Exponentes para explicar la relacin entre

estas grcas.

39. Compare las funciones f 1x2 x3 y g1x2 3x al evaluarlas ambas para x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, y 20. A continuacin trace las grcas de f y g en el mismo conjunto de ejes.

40. Si f 1x2 10x, demuestre que

.

f 1x h 2 f 1x 2h

10x a 10h 1h

b41. (a) Compare la rapidez de crecimiento de las funciones f 1x2 2x

y g1x2 x5 al trazar las grcas de ambas funciones en los siguientes rectngulos de observacin.

(i)(ii)

(iii) 30, 50 4 por 30, 108 430, 25 4 por 30, 107 430, 5 4 por 30, 20 4

(b) Encuentre las soluciones de la ecuacin 2x x5, redondea-das a un lugar decimal.

21.

19.


42. (a) Compare la rapidez de crecimiento de las funciones f 1x2 3x y g1x2 x4 trazando las grcas de ambas funciones en los siguientes rectngulos de vista:

(i) 3 4, 44 por 30, 204(ii) 30, 104 por 30, 50004(iii) 30, 204 por 30, 1054

(b) Encuentre las soluciones de la ecuacin 3x 4, redondeada a dos lugares decimales.

43-44 Q Trace dos grcas de la familia de funciones dada para c 0.25, 0.5, 1, 2, 4. Cmo estn relacionadas las grcas?

.44.34 f 1x 2 2cxf 1x 2 c2x45-46 Q Encuentre, redondeados a dos lugares decimales, (a) los intervalos en los que la funcin es creciente o decreciente y (b) el rango de la funcin.

.64.54 y x2xy 10x x2

A P L I C A C I O N E S47. Crecimiento de bacterias Un cultivo de bacterias con-

tiene 1500 bacterias inicialmente y se duplica en cada hora. (a) Encuentre una funcin que modele el nmero de bacterias

despus de t horas. (b) Encuentre el nmero de bacterias despus de 24 horas.48. Poblacin de ratones Cierta raza de ratones fue introdu-

cida en una pequea isla, con una poblacin inicial de 320 rato-nes, y los cientcos estiman que la poblacin de ratones se du-plica cada ao.

(a) Encuentre una funcin que modele el nmero de ratones despus de t aos.

(b) Estime la poblacin de ratones despus de 8 aos.49-50 Q Inters compuesto Una inversin de $5000 se depo-sita en una cuenta en la que el inters se capitaliza mensualmente. Complete la tabla escribiendo las cantidades a las que crece la inver-sin en los tiempos indicados o tasas de inters.

49. r 4% 50. t 5 aos

Tiempo (aos) Cantidad

123456

Tasa por ao Cantidad

1%2%3%4%5%6%

51. Inters compuesto Si se invierten $10,000 a una tasa de inters del 3% al ao, capitalizada semestralmente, encuentre el valor de la inversin despus del nmero dado de aos.

(a) 5 aos (b) 10 aos (c) 15 aos52. Inters compuesto Si se invierten $2500 a una tasa de inters del

2.5% por ao, capitalizado a diario, encuentre el valor de la in-versin despus del nmero dado de aos.

(a) 2 aos (b) 3 aos (c) 6 aos

53. Inters compuesto Si se invierten $500 a una tasa de in-ters del 3.75% por ao, capitalizado trimestralmente, encuentre el valor de la inversin despus del nmero dado de aos.

(a) 1 ao (b) 2 aos (c) 10 aos

54. Inters compuesto Si se invierten $4000 a una tasa de in-ters del 5.75% por ao, capitalizado trimestralmente, encuentre la cantidad adeudada al trmino del nmero dado de aos.

(a) 4 aos (b) 6 aos (c) 8 aos

55-56 Q Valor presente El valor presente de una suma de di-nero es la cantidad que debe ser invertida ahora, a una tasa de inte-rs dada, para producir la suma deseada en una fecha posterior.

55. Encuentre el valor presente de $10,000 si se paga inters a ra-zn de 9% al ao, capitalizado semestralmente, durante 3 aos.

56. Encuentre el valor presente de $10,000 si se paga inters a ra-zn de 8% al ao, capitalizado mensualmente, durante 5 aos.

57. Rendimiento en porcentaje anual Encuentre el rendimiento en porcentaje anual para una inversin que gana 8% por ao, capi-talizado mensualmente.

58. Rendimiento en porcentaje anual Encuentre el rendimiento en porcentaje anual para una inversin que gana 5 %12 por ao, ca-pitalizado trimestralmente.

D E S C U B R I M I E N TO Q D I S C U S I N Q R E DACC I N59. Crecimiento de una funcin exponencial Suponga-

mos que al lector le ofrecen un trabajo que dura un mes, y que estar muy bien pagado. Cul de los siguientes mtodos de pago es ms rentable para l?

(a) Un milln de dlares al nal del mes. (b) Dos centavos el primer da del mes, 4 centavos el segundo

da, 8 centavos el tercer da, y en general, 2n centavos en el n da.

60. Altura de la grfica de una funcin exponencial El profesor de matemticas pide al lector que trace una grca de la funcin exponencial

f 1x2 2x para x entre 0 y 40, usando una escala de 10 unidades a

1 pulgada. Cules son las dimensiones de la hoja de papel que necesitar para trazar esta grca?

Explosin exponencial

En este proyecto exploramos un ejemplo acerca de cmo mone-das de a centavo que nos ayudan a ver cmo funciona el creci-miento exponencial. Se puede ver el proyecto en el sitio web del libro acompaante: www.stewartmath.com

P PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO


2.2 LA FUNCIN EXPONENCIAL NATURALEl nmero e La funcin exponencial natural Inters capitalizado continuamente

Cualquier nmero positivo se puede usar como base para una funcin exponencial. En esta seccin estudiamos la base especial e, que es conveniente para aplicaciones donde inter-viene Clculo.

W El nmero eEl nmero e se dene como el valor al que se aproxima 11 1/n2n conforme n se hace grande. (En Clculo, esta idea se hace ms precisa por medio del concepto de un lmite. La tabla siguiente muestra los valores de la expresin 11 1/n2n para valores cada vez ms grandes de n.

n

1 2.000005 2.48832

10 2.59374100 2.70481

1000 2.7169210,000 2.71815

100,000 2.718271,000,000 2.71828

a 1 1nb n

Es evidente que, aproximado a cinco lugares decimales, e 2.71828; de hecho, el valor aproximado a 20 lugares decimales es

e 2.71828182845904523536

Se puede demostrar que e es un nmero irracional, de modo que no podemos escribir su valor exacto en forma decimal.

W La funcin exponencial naturalEl nmero e es la base para la funcin exponencial natural. Por qu usamos una base tan extraa para una funcin exponencial? Podra parecer que con una base como el 10 es ms fcil trabajar. Veremos, no obstante, que en ciertas aplicaciones el nmero e es la mejor base posible. En esta seccin estudiamos cmo se presenta el nmero e en la descripcin de in-ters compuesto.

LA FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL

La funcin exponencial natural es la funcin exponencial

Con base e. Es frecuente llamarla la funcin exponencial.

f 1x 2 ex

La notacin fue escogida por Leonhard Euler probablemente por es la primera letra de la palabra exponencial.

El Gateway Arch (Arco de Entrada) en St. Louis, Missouri, tiene la forma de la grfica de una combinacin de funcio-nes exponenciales (no una parbola, como podra parecer al principio). Espe-cficamente, es una catenaria, que es la grfica de una ecuacin de la forma

y a(ebx ebx)

(vea el Ejercicio 17). Esta forma se esco-gi porque es ptima para distribuir las fuerzas estructurales internas del arco. Cadenas y cables suspendidos entre dos puntos (por ejemplo, los tramos de cable entre pares de postes telefnicos) cuelgan en forma de catenaria.

G

arry

McM

icha

el/P

hoto

Res

earc

hers

, Inc

.

F I G U R A 1 Grca de la funcin exponencial natural

0 x

y

1

y=3

1

y=2

y=e

S E C C I N 2.2 | La funcin exponencial natural 119

Como 2 e 3, la grca de la funcin exponencial natural est entre las grcas de y 2x y y 3x, como se ve en la Figura 1.

Innumerables calculadoras cientcas tienen una tecla especial para la funcin f 1x2 ex. Usamos esta tecla en el siguiente ejemplo.

E J E M P L O 1 Evaluacin de la funcin exponencial

Evale cada expresin redondeada a cinco lugares decimales.(a) (b) (c) e4.82e 0.53e3

S O L U C I N Usamos la tecla eX de una calculadora para evaluar la funcin exponencial.(a) e3 20.08554 (b) 2e 0.53 1.17721 (c) e4.8 121.51042


E J E M P L O 2 Transformaciones de la funcin exponencialTrace la grca de cada funcin.(a) (b) g1x 2 3e0.5xf 1x 2 e x

S O L U C I N

(a) Empezamos con la grca de y ex y reejamos en el eje y para obtener la grca de y ex como en la Figura 2.

(b) Calculamos varios valores, localizamos los puntos resultantes y luego enlazamos los puntos con una curva sin irregularidades. La grca se ilustra en la Figura 3.

x f 1x23 0.672 1.101 1.820 3.001 4.952 8.153 13.45

3e0.5x

0 x

y

3

3

y=3e0.5x

_3

6

9

12

F I G U R A 3

AHORA INTENTE RESOLVER LOS EJERCICIOS 5 Y 7 Q

E J E M P L O 3 Un modelo exponencial para la propagacin de un virus

Una enfermedad infecciosa empieza a propagarse en una ciudad pequea de 10,000 habi-tantes. Despus de t das, el nmero de personas que ha sucumbido al virus est modelado por la funcin

1t 2 10,0005 1245e 0.97t

F I G U R A 2

0 x

y

1

1

y=ey=e


(a) Cuntas personas infectadas hay inicialmente (tiempo t 0)?(b) Encuentre el nmero de personas infectadas despus de un da, dos das y cinco das.(c) Graque la funcin y describa su comportamiento.

S O L U C I N

(a) Como , 10 2 10,000/15 1245e0 2 10,000/1250 8 concluimos que 8 perso-nas inicialmente tienen la enfermedad.

(b) Usando calculadora, evaluamos 112, 122 y 152 y a continuacin redondeamos para obtener los siguientes valores.

Das Personas infectadas

1 212 545 678

(c) De la grca de la Figura 4 vemos que el nmero de personas infectadas primero sube lentamente, luego sube con rapidez entre el da 3 y el da 8 y por ltimo se nivela cuando alrededor de 2000 personas estn infectadas.


La grca de la Figura 4 recibe el nombre de curva logstica o modelo de crecimiento logstico. Curvas como sta se presentan con frecuencia en el estudio de crecimiento pobla-cional. (Vea los Ejercicios 25-28.)

W Inters capitalizado continuamenteEn el Ejemplo 6 de la Seccin 2.1 vimos que el inters pagado aumenta cuando aumenta el nmero n de perodos de capitalizacin. Veamos qu ocurre cuando n aumenta indenida-mente. Si hacemos m n/r, entonces

A1t 2 P a1 rnb nt P c a 1 r

nb n/r d rt P c a 1 1

mbm d rt

Recuerde que conforme m se hace grande, la cantidad 11 1/m2m se aproxima al nmero e. Entonces, la cantidad se aproxima a A Pert. Esta expresin da la cantidad cuando el inte-rs se capitaliza a cada instante.

INTERS CAPITALIZADO CONTINUAMENTE

El inters capitalizado continuamente se calcula con la frmula

Donde

t nmero de aos r tasa de inters por ao P principal

A1t 2 cantidad despus de t aosA1t 2 Pert

F I G U R A 4 1t 2 10,000

5 1245e 0.97t

3000

0 12


C O N C E P T O S 1. La funcin f 1x2 ex se llama funcin exponencial _____. El nmero e es aproximadamente igual a _____.

2. En la frmula A1t2 Pert para inters capitalizado continuamente,

las letras P, r y t representan _____, _____ y _____, respecti-

vamente, y A1t2 representa _____. Por lo tanto, si se invierten

$100 a una tasa de inters del 6% capitalizado continuamente, entonces la cantidad despus de 2 aos es _____.

H A B I L I D A D E S3-4 Q Use una calculadora para evaluar la funcin a los valores indicados. Redondee sus respuestas a tres lugares decimales.

3.

4. h1x 2 e 2x; h11 2 , h122 2 , h1 3 2 , hA12Bh1x 2 ex; h13 2 , h10.23 2 , h11 2 , h1 2 2

5-6 Q Complete la tabla de valores, redondeados a dos lugares deci-males, y trace una grca de la funcin.

.6.5x f 1x2210.500.512

3ex x f 1x23210123

2e 0.5x

7-14 Q Graque la funcin, no localizando los puntos, sino empe-zando desde la grca de y ex. Exprese el dominio, rango y asntota.

.8.7 y 1 ex

9. y e x 1 10.11. 12. y ex 3 4

.41.31 g 1x 2 ex 1 2h1x 2 e x 1 3f 1x 2 e x 2

f 1x 2 e xf 1x 2 ex

15. La funcin coseno hiperblico est denida por

cosh1x 2 ex e x2

(a) Trace las grcas de las funciones y y 12 e xy 12 ex en los mismos ejes, y use adicin grca (vea Seccin 2.6) para trazar la grca de y cosh1x2.

(b) Use la denicin para demostrar que cosh 1x2 cosh 1x2.16. La funcin seno hiperblico est denida por

senh 1x 2 ex e x2

(a) Trace la grca de esta funcin usando adicin grca como en el Ejercicio 15.

(b) Use la denicin para demostrar que senh1x2 senh1x217. (a) Trace las grcas de la familia de funciones

f 1x 2 a2

1ex/a e x/a 2 para a 0.5, 1, 1.5 y 2. (b) En qu forma un valor grande de a afecta a la grca?18-19 Q Encuentre los valores mximo y mnimo locales de la fun-cin y el valor de x en el que ocurre cada uno. Exprese cada res-puesta correcta a dos lugares decimales.

.91.81 g1x 2 ex e 3xg1x 2 x x 1x 0 2

A P L I C A C I O N E S20. Drogas mdicas Cuando cierta droga mdica se

administra a un paciente, el nmero de miligramos restante

S E C C I N 2.2 | La funcin exponencial natural 121

E J E M P L O 4 Calcular el inters capitalizado continuamenteEncuentre la cantidad despus de 3 aos si se invierten $1000 a una tasa de inters de 12% por ao, capitalizado continuamente.

S O L U C I N Usamos la frmula para inters capitalizado continuamente con P $1000, r 0.12 y t 3 para obtener

A13 2 1000e10.1223 1000e0.36 $1433.33Compare esta cantidad con las cantidades del Ejemplo 6 de la Seccin 2.1.



en el torrente sanguneo del paciente despus de t horas se modela con

D1t2 50e0.2t

Cuntos miligramos de la droga quedan en el torrente sangu-neo del paciente despus de 3 horas?

21. Desintegracin radiactiva Una sustancia radiactiva se desintegra en forma tal que la cantidad de masa restante des-pus de t das est dada por la funcin

m1t2 13e0.015t

donde m1t2 se mide en kilogramos. (a) Encuentre la masa en el tiempo t 0. (b) Cunto de la masa resta despus de 45 das?22. Desintegracin radiactiva Unos mdicos usan yodo ra-

diactivo como trazador en el diagnstico de ciertas enfermeda-des de la glndula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra en forma tal que la masa restante despus de t das est dada por la funcin

m1t2 6e0.087t

donde m1t2 se mide en gramos. (a) Encuentre la masa en el tiempo t 0. (b) Cunta masa resta despus de 20 das?23. Paracaidismo Una paracaidista salta desde una altura razo-

nable sobre el suelo. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a la velocidad de ella, y la constante de proporcio-nalidad es 0.2. Se puede demostrar que la velocidad hacia abajo de la paracaidista en el tiempo t est dada por

1t2 8011 e0.2t2

donde t se mide en segundos y 1t2 se mide en pies por se-gundo (pies/s).

(a) Encuentre la velocidad inicial de la paracaidista. (b) Encuentre la velocidad despus de 5 s y despus de 10 s. (c) Trace una grca de la funcin de velocidad 1t2. (d) La velocidad mxima de un cuerpo en cada con resisten-

cia del viento se denomina velocidad terminal. De la gr-ca de la parte (c), encuentre la velocidad terminal de esta paracaidista.

24. Mezclas y concentraciones Un barril de 50 galones se llena por completo de agua pura y, a continuacin, se le bombea

agua salada con concentracin de 0.3 lb/gal al barril, y la mez-cla resultante se derrama con la misma rapidez. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t est dada por

Q1t2 1511 e0.04t2

donde t se mide en minutos y Q1t2 se mide en libras. (a) Cunta sal hay en el barril despus de 5 minutos? (b) Cunta sal hay en el barril despus de 10 minutos? (c) Trace una grca de la funcin Q1t2. (d) Use la grca de la parte (c) para determinar el valor al que

se aproxima la cantidad de sal del barril cuando t se hace grande. Es esto lo que usted esperaba?

25. Crecimiento logstico Las poblaciones de animales no son capaces de crecimiento no restringido debido a que el hbi-tat y la disponibilidad de alimentos son limitados. Bajo estas condiciones, la poblacin sigue un modelo de crecimiento lo-gstico:

P1t 2 d1 ke ct

donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta poblacin de peces de un pequeo estanque, d 1200, k 11, c 0.2 y t se mide en aos. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t 0.

(a) Cuntos peces fueron introducidos originalmente en el es-tanque?

(b) Encuentre la poblacin despus de 10, 20 y 30 aos. (c) Evale P1t2 para valores grandes de t. A qu valor se

aproxima la poblacin conforme t q? La grca si-guiente conrma los clculos de usted?

t

P

0 10 20 4030

12001000800600400200

CA

PT

ULO

4

171

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: MTODO DEL TRINGULO RECTNGULO 4.1 Medida de un ngulo

4.2 Trigonometra de tringulos rectngulos

4.3 Funciones trigonomtricas de ngulos

4.4 La Ley de Senos

4.5 La Ley de Cosenos

Supngase que deseamos hallar la distancia de la Tierra al Sol. Usar una cinta de medir es obviamente imprctico, de modo que necesitamos algo que no sea sim-ples mediciones para atacar este problema. Los ngulos son ms fciles de medir que las distancias. Por ejemplo, podemos hallar el ngulo formado por el Sol, la Tierra y la Luna con slo apuntar al Sol con un brazo y a la Luna con el otro y estimar el ngulo entre ellos. La idea clave es hallar relaciones entre ngulos y distancias. En consecuencia, si tuviramos una forma de determinar distancias a partir de ngulos, podramos hallar la distancia al Sol sin tener que ir hasta ah. Las funciones trigonomtricas nos dan las herramientas que necesitamos.

Si u es un ngulo en un tringulo rectngulo, entonces la relacin trigonom-trica sen u est denida como la longitud del lado opuesto a u dividido entre la longitud de la hipotenusa. Esta relacin es la misma en cualquier tringulo rec-tngulo semejante, incluyendo el enorme tringulo formado por el Sol, la Tierra y la Luna. (Vea la Seccin 4.2, Ejercicio 61.)

Las funciones trigonomtricas se pueden denir en dos formas equivalentes pero distintas: como funciones de nmeros reales (Captulo 3) o como funciones de n-gulos (Captulo 4). Los dos mtodos son independientes entre s, de modo que ya sea el Captulo 3 o el Captulo 4 se pueden estudiar primero. Estudiamos ambos mtodos porque se requiere de diferentes mtodos para diferentes aplicaciones.

a

ge fo

tost

ock/

Supe

rSto

ck

172 C A P T U L O 4 | Funciones trigonomtricas: mtodo del tringulo rectngulo

Un ngulo AOB est formado por dos rayos R1 y R2 con un vrtice comn O (vea la Figura 1). Con frecuencia interpretamos un ngulo como una rotacin del rayo R1 sobre R2. En este caso, R1 recibe el nombre de lado inicial y R2 es el lado terminal del ngulo. Si la rotacin es en el sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj, el ngulo es considerado como positivo y, si es en el sentido de las manecillas del reloj, el ngulo es considerado como negativo.

R

R

ladoterminal

ngulo positivo

lado inicial A

B

O

R

R

ngulo negativo

lado terminal

lado inicial

A

B

O

F I G U R A 1

W Medida de un nguloLa medida de un ngulo es la cantidad de rotacin alrededor del vrtice para mover R1 sobre R2. Intuitivamente, esto es cunto es lo que abre el ngulo. Una unidad de medida para ngulos es el grado. Un ngulo de medida 1 grado se forma al girar el lado inicial 1360 de una revolucin completa. En clculo y otras ramas de las matemticas, se usa un mtodo ms natural para medir ngulos y es la medida en radianes. La cantidad que abre un ngulo se mide a lo largo del arco de una circunferencia de radio 1 con su centro en el vrtice del ngulo.

DEFINICIN DE MEDIDA EN RADIN

Si un crculo de radio 1 se traza con el vrtice de un ngulo en su centro, entonces la medida de este ngulo en radianes (abreviado rad) es la longitud del arco que subtiende el ngulo (vea la Figura 2).

La circunferencia del crculo de radio 1 es 2p y, por lo tanto, una revolucin completa tiene medida 2p rad; un ngulo llano tiene una medida p rad, y un ngulo recto tiene me-dida p/2 rad. Un ngulo que est subtendido por un arco de longitud 2 a lo largo de la cir-cunferencia unitaria tiene medida 2 en radianes (vea la Figura 3).

O 1

rad

O 1

2 rad11

O 1

rad2

O 1

1 rad

F I G U R A 3 Medida en radianes

Como una revolucin completa medida en grados es 360$ y medida en radianes es 2p rad, obtenemos la siguiente y sencilla relacin entre estos dos mtodos de medicin de ngulos.

4.1 MEDIDA DE UN NGULOMedida de un ngulo ngulos en posicin normal Longitud de un arco de circunferencia rea de un sector circular Movimiento circular

Medida en radianes de

1

F I G U R A 2

S E C C I N 4.1 | Medida de un ngulo 173

RELACIN ENTRE GRADOS Y RADIANES

1. Para convertir grados a radianes, multiplique por .

2. Para convertir radianes a grados, multiplique por .180p

p

180

180 p rad 1 rad a 180pb 1 p

180 rad

Para tener alguna idea del tamao de 1 radin, observe que

1 rad 57.296 y 1 0.01745 radUn ngulo u de medida 1 radin se muestra en la Figura 4.

E J E M P L O 1 Conversin entre radianes y grados

(a) Exprese 60$ en radianes. (b) Exprese p6

rad en grados.

S O L U C I N La relacin entre grados y radianes da

)b()a( p6

radp

6180p

3060 60p

180 rad

p

3 rad


Una nota de terminologa: A veces usamos frases como un ngulo de 30$ para querer decir un ngulo cuya medida es 30$. Tambin, para un ngulo u, escribimos u 30$ o u p/6 para querer decir que la medida de u es 30$ o p/6 rad. Cuando no se da una unidad, se supone que el ngulo se mide en radianes.

W ngulos en posicin normalUn ngulo est en posicin normal si est trazado en el plano xy con su vrtice en el ori-gen y su lado inicial en el eje positivo x. La Figura 5 da ejemplos de ngulos en posicin normal.

y

x0

(a)

y

x0

(b)

y

x0

(d)

y

x0

(c)F I G U R A 5 ngulos en posicin normal

Dos ngulos en posicin normal son coterminales si sus lados coinciden. En la Figu- ra 5, los ngulos en (a) y en (c) son coterminales.

E J E M P L O 2 ngulos coterminales

(a) Encuentre ngulos que sean coterminales con el ngulo u 30$ en posicin normal.(b) Halle ngulos que sean coterminales con el ngulo u p

3 en posicin normal.

1

1

Medida de =1 radMedida de 57.296*

F I G U R A 4


S O L U C I N

(a) Para hallar ngulos positivos que sean coterminales con u, sumamos cualquier mlti-plo de 360$. As,

30 360 390 y 30 720 750

son coterminales con u 30$. Para hallar ngulos negativos que son coterminales con u, restamos cualquier mltiplo de 360$. As

30 360 330 y 30 720 690

son coterminales con u. (Vea la Figura 6.)

y

x0

_330*

y

x0390*

y

x030*

(b) Para hallar ngulos positivos que sean coterminales con u, sumamos cualquier mlti-plo de 2p. As,

p

32p

7p3 y

p

34p

13p3

son coterminales con u p/3. Para hallar ngulos negativos que sean coterminales con u, restamos cualquier mltiplo de 2p. As

p

32p

5p3 y

p

34p

11p3

son coterminales con u. (Vea la Figura 7.)

y

x0

53_

73

y

x0

y

x0

3


E J E M P L O 3 ngulos coterminalesEncuentre un ngulo con medida entre 0$ y 360$ que sea coterminal con el ngulo de me-dida 1290$ en posicin normal.

S O L U C I N De 1290$ podemos restar 360$ tantas veces como se desee, y el ngulo restante ser coterminal con 1290$. As, 1290$ 360 930$ es coterminal con 1290$ y, por lo tanto, el ngulo 1290$ 21360$2 570$.

Para hallar el ngulo que buscamos entre 0$ y 360$, restamos 360$ de 1290$ tantas veces como sea necesario. Una forma eciente de hacer esto es determinar cuntas veces cabe 360$ en 1290$, es decir, divida 1290 entre 360, y el residuo ser el ngulo que buscamos.

F I G U R A 6

F I G U R A 7


Vemos que 360 cabe tres veces en 1290, con un residuo de 210. As, 210$ es el ngulo de-seado (vea la Figura 8).

y

x0

210*

y

x0

1290*

F I G U R A 8


W Longitud de un arco de circunferenciaUn ngulo cuya medida en radianes es u est subtendido por un arco que es la fraccin u/12p2 de la circunferencia de un crculo. Entonces, en una circunferencia de radio r, la longitud s de un arco que subtiende al ngulo u (vea la Figura 9) es

u

2p 12pr 2 ur

su

2pcircunferencia de crculo

LONGITUD DE UN ARCO CIRCULAR

En una circunferencia de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ngulo central de u radianes es

s r u.

Despejando u, obtenemos la importante frmula

us

r

Esta frmula nos permite denir medidas en radianes usando una circunferencia de cualquier radio r: La medida en radianes de un ngulo u es s/r, donde s es la longitud del arco circular que subtiende a u en una circunferencia de radio r (vea la Figura 10).

2 rad

rr

r

1 radr

r

E J E M P L O 4 Longitud de arco y medida de ngulo

(a) Encuentre la longitud de un arco de circunferencia con radio 10 m que subtiende un ngulo central de 30$.

(b) Un ngulo central u de un crculo de radio 4 m est subtendido por un arco de longi-tud 6 m. Encuentre la medida de u en radianes.

s

r

F I G U R A 9 s ur

F I G U R A 1 0 La medida de u en ra-dianes es el nmero de radios que pueden caber en un arco que sub-tienda a u; de aqu el trmino radin.


S O L U C I N(a) Del Ejemplo 1(b) vemos que 30$ p/6 rad, por lo que la longitud del arco es

s r u 110 2p

65p3

m

(b) Por la frmula u s/r, tenemos

us

r

64

32

rad


W rea de un sector circularEl rea de un crculo de radio r es A pr2. Un sector de este crculo con ngulo central u tiene un rea que es la fraccin u/12p2 del rea de todo el crculo (vea la Figura 11). Enton-ces, el rea de este sector es

u

2p1pr 2 2

12

r 2u

Au

2prea de crculo

REA DE UN SECTOR CIRCULAR

En un crculo de radio r, el rea A de un sector con ngulo central de u radianes es

A12

r 2u.

E J E M P L O 5 rea de un sectorEncuentre el rea de un sector de crculo con ngulo central 60$ si el radio del crculo es 3 metros.

S O L U C I N Para usar la frmula para el rea de un sector circular, debemos hallar el ngulo central del sector en radianes: 60$ 601p/1802rad p/3 rad. Entonces, el rea del sector es

A12

r 2u12

13 2 2 ap

3b

3p2

m2


W Movimiento circularSuponga que un punto se mueve a lo largo de un crculo como se ve en la Figura 12. Hay dos formas de describir el movimiento del punto: velocidad lineal y velocidad angular. La velocidad lineal es la rapidez a la que est cambiando la distancia recorrida, de modo que la velocidad lineal es la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. La veloci-dad angular es la rapidez a la que el ngulo central u est cambiando, de modo que la ve-locidad angular es el nmero de radianes que cambia este ngulo dividido entre el tiempo transcurrido.

La frmula A 12 r 2u es verdadera slo cuando u se mide en radianes.

La frmula s ru es verdadera slo cuando u se mida en radianes.

F I G U R A 1 1

r

A

F I G U R A 1 2

s

r

A 12r 2u


VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR

Suponga que un punto se mueve a lo largo de una circunferencia de radio r y el rayo desde el centro del crculo al punto recorre u radianes en el tiempo t. Sea s = ru la distancia que el punto se desplaza en el tiempo t. Entonces la velocidad del punto est dada por

Velocidad angular

Velocidad lineals

t

vu

t

E J E M P L O 6 Bsqueda de las velocidades lineal y angularUn nio hace girar una piedra en una honda de 3 pies de largo, a razn de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre las velocidades angular y lineal de la piedra.

S O L U C I N En 10 s, el ngulo u cambia en 15%2p 30p radianes. Por lo tanto, la velocidad angular de la piedra es

vu

t

30p rad10 s

3p rad/s

La distancia recorrida por la piedra en 10 s es s 15%2p 15%2p%3 90p pies. En consecuencia, la velocidad lineal de la piedra es

st

90p pies10 s

9p pies/s


Observe que la velocidad angular no depende del radio de la circunferencia, sino slo del ngulo u. No obstante, si conocemos la velocidad angular y el radio r, podemos hallar la velocidad lineal como sigue: v s/t ru/t r1u/t2 r.

RELACIN ENTRE LAS VELOCIDADES LINEAL Y ANGULAR

Si un punto se mueve a lo largo de un crculo de radio r con velocidad angu-lar v, entonces su velocidad lineal est dada por

rv.

E J E M P L O 7 Bsqueda de la velocidad lineal a partir de la velocidad angular

Una mujer viaja en una bicicleta cuyas ruedas miden 26 pulgadas de dimetro. Si las ruedas giran a 125 revoluciones por minuto (rpm), encuentre la velocidad a la que ella viaja, en mi/h.S O L U C I N La velocidad angular de las ruedas es 2p%125 250p rad/min. Como las ruedas tienen radio de 13 pulg (la mitad del dimetro), la velocidad lineal es

rv 13 # 250p 10,210.2 pulg /minComo hay 12 pulgadas por pie, 5280 pies por milla, y 60 minuto por hora, la velocidad de la mujer en millas por hora es

9.7 mi/h

10,210.2 pulg /min 60 min/h12 pulg /pies 5280 pies/mi

612,612 pulg /h63,360 pulg /mi


El smbolo es la letra griega omega.


C O N C E P T O S 1. (a) La medida en radianes de un ngulo u es la longitud del ______ que subtiende el ngulo en un crculo de

radio _______.

(b) Para convertir grados a radianes, multiplicamos por______. (c) Para convertir radianes a grados, multiplicamos por______. 2. Un ngulo central u se traza en una circunferencia de radio r.

(a) La longitud del arco subtendido por u es s _____. (b) El rea del sector circular con ngulo central u es A ____.

H A B I L I D A D E S3-14 Q Encuentre la medida en radianes del ngulo con la medida dada en grados.

3. 72 4. 54 5. 45

6. 60 7. 75 8. 300

9. 1080 10. 3960 11. 96

12. 15 13. 7.5 14. 202.5

15-26 Q Encuentre la medida en grados del ngulo con la medida dada en radianes.

15. 16. 17.

18. 19. 3 20. 2

21. 1.2 22. 3.4 23.

24. 25. 26. 13p12

2p15

5p18

p

10

3p2

5p4

11p3

7p6

27-32 Q Nos dan la medida de un ngulo en posicin estndar. En-cuentre dos ngulos positivos y dos ngulos negativos que sean co-terminales con el ngulo dado.

27. 50 28. 135 29.

30. 31. 32. 45 p4

11p6

3p4

33-38 Q Nos dan las medidas de dos ngulos en posicin normal. Determine si los ngulos son coterminales.

33. 70 , 430 34. 30 , 330

.63.53

37. 155 , 875 38. 50 , 340

32p3

,

11p3

5p6

,

17p6

39-44 Q Encuentre un ngulo entre 0$ y 360$ que sea coterminal con el ngulo dado. 39. 733 40. 361 41. 1110

42. 100 43. 800 44. 1270


45-50 Q Encuentre un ngulo entre 0 y 2p que sea coterminal con el ngulo dado.

45. 46. 47. 87p

48. 10 49. 50. 51p2

17p4

7p3

17p6

51. Encuentre la longitud del arc s de la gura.

140*

5

s

52. Encuentre el ngulo u de la gura.

5

10

53. Encuentre el radio r del crculo de la gura.

2 rad

r

8

54. Encuentre la longitud del arco que subtiende un ngulo central de 45$ en un crculo de radio de 10 metros.

55. Encuentre la longitud de un arco que subtiende un ngulo cen-tral de 2 rad en un crculo de radio de 2 millas.

56. Un ngulo central u en un crculo con radio de 5 m est subten-dido por un arco de 6 m de longitud. Encuentre la medida de u en grados y en radianes.

57. Un arco de 100 m de longitud subtiende un ngulo central u en un crculo de 50 m de radio. Encuentre la medida de u en gra-dos y en radianes.

58. Un arco circular de 3 pies de longitud subtiende un ngulo cen-tral de 25$. Encuentre el radio del crculo.

59. Encuentre el radio del crculo si un arco de 6 m de longitud del crculo subtiende un ngulo central de p/6 radianes.

60. Encuentre el radio del crculo si un arco de 4 pies de longitud del crculo subtiende un ngulo central de 135$.

61. Encuentre el rea del sector mostrado en cada gura.

80*8

0.5 rad

10

(a) (b)


62. Encuentre el radio de cada crculo si el rea del sector es 12.

0.7 rad 150*

63. Encuentre el rea de un sector con ngulo central de 1 rad en un crculo de 10 m de radio.

64. Un sector de un crculo tiene un ngulo central de 60$. Encuen-tre el rea del sector si el radio del crculo es 3 millas.

65. El rea de un sector de un crculo con ngulo central de 2 rad es 16 m2. Encuentre el radio del crculo.

66. Un sector de un crculo de radio 24 mi tiene un rea de 288 mi-llas cuadradas. Encuentre el ngulo central del sector.

67. El rea de un crculo es 72 cm2. Encuentre el rea de un sector de este crculo que subtiende un ngulo central de p/6 rad.

68. Tres crculos con radios 1, 2 y 3 pies son externamente tangen-tes entre s, como se ilustra en la gura. Encuentre el rea del sector del crculo de radio 1 que es cortado por los segmentos de recta que unen el centro de ese crculo con los centros de los otros dos crculos.

A P L I C A C I O N E S69. Distancia de viaje Las ruedas de un auto miden 28 pulga-

das de dimetro. Qu distancia (en millas) recorrer el auto si sus ruedas giran 10,000 veces sin patinar?

70. Revoluciones de una rueda Cuntas revoluciones har una rueda de auto, de 30 pulg de dimetro, cuando el auto reco-rre una distancia de 1 milla?

71. Latitudes Pittsburgh, Pennsylvania y Miami, Florida, se en-cuentran aproximadamente en el mismo meridiano. Pittsburgh tiene una latitud de 40.5$ N y Miami tiene una latitud de 25.5$ N. Encuentre la distancia entre estas dos ciudades. (El radio de la Tierra es de 3960 millas.)

PittsburghMiami

72. Latitudes Memphis, Tennessee, y Nueva Orleans, Loui-siana, se encuentran aproximadamente en el mismo meridiano. Memphis tiene una latitud de 35$ N y Nueva Orleans tiene una latitud de 30$ N. Encuentre la distancia entre estas dos ciuda-des. (El radio de la Tierra es de 3960 millas.)

73. rbita de la Tierra Encuentre la distancia que la Tierra re-corre en un da en su trayectoria alrededor del Sol. Suponga que un ao tiene 365 das y que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una circunferencia de 93 millones de millas de radio. 3La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es en realidad una elipse con el Sol en un foco (vea la Seccin 7.2). Esta elipse, sin embargo, tiene muy poca excentricidad y, por lo tanto, es casi una circunferencia.4

74. Circunferencia de la Tierra El matemtico griego Era-tstenes (hacia 276-195 a.C.) midi la circunferencia de la Tie-rra a partir de las siguientes observaciones. l observ que en cierto da los rayos del Sol caan directamente en un pozo pro-fundo en Siena (moderna Asun). Al mismo tiempo, en Alejan-dra, a 500 millas al norte (en el mismo meridiano), los rayos del Sol brillaban a un ngulo de 7.2$ con respecto al cenit. Use esta informacin y la gura para hallar el radio y circunferencia de la Tierra.

Siena

Alejandra Rayos del Sol7.2*500 mi

75. Millas nuticas Encuentre la distancia a lo largo de un arco en la supercie de la Tierra que subtiende un ngulo cen-tral de 1 minuto (1 minuto 1/60 de grado). Esta distancia se llama milla nutica. (El radio de la Tierra es 3960 millas.)

76. Irrigacin Un sistema de irrigacin utiliza un tubo aspersor de 300 pies de largo que gira sobre su eje alrededor de un punto central, como se ve en la gura siguiente. Debido a un obstcu- lo, se permite que el tubo gire slo 280$. Encuentre el rea irri-gada por este sistema.

280*

300 p

ies

(a) (b)


77. Limpiadores de parabrisas Los extremos superior e in-ferior de una rasqueta de limpiador de parabrisas miden 34 pulg y 14 pulg, respectivamente, desde el punto de pivoteo. Cuando est en operacin, el limpiador gira 135$. Encuentre el rea re-corrida por la rasqueta.

135*34 pulgadas

14 pulgadas

78. La vaca amarrada Una vaca est amarrada por una cuerda de 100 pies a la esquina interior de un edicio en forma de L, como se ve en la gura. Encuentre el rea en que la vaca puede pastar.

50 pies

60 pies

100 p

ies

50 pies

20 pies

79. Ventilador Un ventilador de cielo raso, con paletas de 16 pulgadas, gira a 45 rpm.

(a) Encuentre la velocidad angular del ventilador en rad/min. (b) Encuentre la velocidad lineal de las puntas de las paletas en

pulg./min.

80. Sierra radial Una sierra radial tiene una hoja de 6 pulg de radio. Suponga que la hoja gira a 1000 rpm.

(a) Encuentre la velocidad angular de la hoja en rad/min. (b) Halle la velocidad lineal de los dientes de la hoja en pies/s.81. Montacargas Un montacargas de 2 pies de radio se usa

para levantar cargas pesadas. Si el montacargas hace 8 revolu-ciones cada 15 segundos, encuentre la velocidad a la que se le-vanta la carga.

82. Velocidad de un auto Las ruedas de un auto tienen radio de 11 pulg y estn girando a 600 rpm. Encuentre la velocidad del auto en mi/h.

83. Velocidad en el ecuador La Tierra gira alrededor de su eje una vez cada 23 h 56 min 4 s, y el radio de la Tierra es 3960 millas. Encuentre la velocidad lineal de un punto en el ecuador en millas/hora.

84. Ruedas de camin Un camin con ruedas de 48 pulgadas de dimetro est viajando a 50 millas/hora.

(a) Encuentre la velocidad angular de las ruedas en rad/min. (b) Cuntas revoluciones por minuto hacen las ruedas?85. Velocidad de una corriente Para medir la velocidad de

una corriente, unos cientcos colocan una rueda de paletas en la corriente y observan la rapidez a la que gira la rueda. Si la rueda tiene radio de 0.20 m y gira a 100 rpm, encuentre la velo-cidad de la corriente en m/s.

86. Rueda de bicicleta En la gura se ilustran los rayos y ca-dena de una bicicleta. La rueda dentada de los pedales tiene un radio de 4 pulg, la rueda dentada de la rueda tiene un radio de 2 pulg. y la rueda tiene un radio de 14 pulgadas. El ciclista peda-lea a 40 rpm.

(a) Encuentre la velocidad angular de la rueda dentada de la rueda.

(b) Encuentre la velocidad de la bicicleta. (Suponga que la rueda gira al mismo paso que su rueda dentada.)

4 pulg2 pulg.

13 pulg

87. Taza cnica Una taza cnica se hace de un papel circular con radio de 6 cm al cortar un sector y unir los bordes, como se muestra en la gura siguiente. Suponga que u 5p/3.

(a) Encuentre la circunferencia C de la abertura de la taza. (b) Halle el radio r de la abertura de la taza. 3Sugerencia: Use

C 2pr.4 (c) Encuentre la altura h de la taza. 3Sugerencia: Use el Teo-

rema de Pitgoras.4

S E C C I N 4.2 | Trigonometra de tringulos rectngulos 181

(d) Encuentre el volumen de la taza.

6 cm6 cm

6 cmh

r

88. Taza cnica En este ejercicio encontramos el volumen de la taza cnica del Ejercicio 87 para cualquier ngulo u.

(a) Siga los pasos del Ejercicio 87 para demostrar que el volu-men de la taza como funcin de u es

V1u 29p2

u224p2 u2, 0 u 2p

(b) Graque la funcin V. (c) Para qu ngulo u es mximo el volumen de la taza?

D E S C U B R I M I E N TO Q D I S C U S I N Q R E DACC I N89. Diferentes formas de medir ngulos La costumbre de

medir ngulos usando grados, con 360$ en un crculo, data de los antiguos babilonios, que usaban un sistema numrico basado en grupos de 60. Otro sistema de medir ngulos divide el cr-culo en 400 unidades, llamadas grad. En este sistema, un n-gulo recto es de 100 grad, de modo que esto se ajusta a nuestro sistema numrico de base 10.

Escriba un corto ensayo que compare las ventajas y desventa-jas de estos dos sistemas y el sistema de medir ngulos en ra-dianes. Cul sistema preere usted? Por qu?

90. Relojes y ngulos En una hora, el minutero de un reloj se mueve todo un crculo completo, y la manecilla de las horas se mueve 112 de crculo. Cuntos radianes se mueven las maneci-llas del minutero y de las horas entre la 1:00 p.m. y las 6:45 p.m. (en el mismo da)?

12 12

3

6

910

457

8

11 12 12

3

6

10

457

8

11

9

En esta seccin estudiamos ciertas relaciones entre los lados de tringulos rectngulos, lla-madas relaciones trigonomtricas, y damos varias aplicaciones.

W Relaciones trigonomtricasConsidere un tringulo rectngulo con u como uno de sus ngulos agudos. Las relaciones trigonomtricas se denen como sigue (vea la Figura 1).

LAS RELACIONES TRIGONOMTRICAS

csc uhipotenusaopuesto

sec uhipotenusaadyacente

cot uadyacenteopuesto

sen uopuesto

hipotenusacos u

adyacentehipotenusa

tan uopuesto

adyacente

Los smbolos que usamos para esas relaciones son abreviaturas de sus nombres completos: seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente. Como dos tringulos rectngulos cualesquiera con ngulo u son semejantes, estas relaciones son iguales, cualquiera que sea

4.2 TRIGONOMETRA DE TRINGULOS REC TNGULOSRelaciones trigonomtricas Tringulos especiales Aplicaciones de trigonometra de tringulos rectngulos

adyacente

opuestohipotenusa

F I G U R A 1

Stewart y su equipo explican los conceptos de manera sencilla y didctica, sin restar importancia a los puntos difciles. La resolucin de problemas y el modelado mate-mtico se exponen al principio y se refuerzan a lo largo del libro, ofreciendo a los estudiantes una base slida en relacin con los principios del pensamiento mate-mtico. Claro y de ritmo uniforme, el libro proporciona una cobertura completa del concepto de funcin, e integra una gran cantidad de materiales con calculadora graficadora para ayudar a los estudiantes a comprender las ideas matemticas. La atencin de los autores a los detalles y la claridad, la misma que se encuentra en el texto Clculo, de James Stewart, es lo que hace de este texto el lder del mercado.

Caractersticas Aplicaciones del mundo real en ingeniera, fsica, qumica, negocios, biologa,

estudios ambientales y otros campos demuestran cmo se utilizan las matem-ticas para modelar situaciones cotidianas.

Los captulos sobre trigonometra se han escrito para que los profesores puedan comenzar con el planteamiento de tringulo rectngulo o el enfoque de circun-ferencia unitaria.

Cada acercamiento a la trigonometra se acompaa de las aplicaciones adecua-das para ese planteamiento, aclarando el motivo de los diferentes enfoques de la trigonometra.

Las vietas Las matemticas en el mundo moderno muestran que las matem-ticas son una ciencia viva crucial para el progreso cientfico y tecnolgico de los ltimos tiempos, as como para las ciencias sociales, de comportamiento y de vida.

Problemas de Descubrimiento / Discusin / Redaccin al final de cada seccin ani-man a los estudiantes a utilizar y desarrollar el pensamiento conceptual, crtico y habilidades de escritura.

Los Proyectos de descubrimiento estn en el sitio web que acompaa al libro: http://www.stewartmath.com. Estos proyectos involucran a los estudiantes, proporcionando un conjunto difcil pero accesible de actividades que les permi-tan (tal vez el trabajo en grupo) profundizar en un aspecto interesante del tema que acaban de aprender.

ISBN-13: 978-6075191058ISBN-10: 6075191054

9 7 8 6 0 7 5 1 9 1 0 5 8Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

issuu precalculo low.pdf

Documents

compaade cengage learning

compaa de cengage learning

cengage learning editores

universidad de stanford

universidad de toronto

clculojames stewart

universidad mcmaster

universidad de londres