precalculo - barnett

Contenido

APENDICEA -l A -2 A-3 A -4 A-5 A -6 A-7

A

O peraciones algebraicas A -l

bsicas

Actividades en grupo del apndice A: R epresentaciones con nm eros racionales A-67

lgebra y nm eros reales A-2 Polinomios: O peraciones bsicas A -12 Polinom ios: Factorizacin A-23 Expresiones racionales: O peraciones bsicas A-3 3 E xponentes enteros A-42 E xponentes racionales A-51 R adicales A-5 7

Repaso del apndice AA pndice B A pndice C

A-67

D gitos significativos A-73 Frm ulas geom tricas A-76

R espuestas A -7 9 ndice de aplicaciones Indice analtico 1-3

l- l

PREFACIOPreclculo: F unciones y grficas es uno de los tres libros de preclculo en la serie del autor. En esta edicin se incluyeron varias m ejoras gracias a la generosa respuesta de un gran nm ero de usuarios de la edicin anterior, as com o a los resultados del trabajo de investigacin de los instructores, al trabajo de los departam entos de m atem ticas, de los organizadores de cursos y de los catlogos de las escuelas. Tambin es fundam ental para el m ejoram iento y efectividad del libro, su uso en el saln de clase y su retroalim entacin, am bas condiciones de las que esta cuarta edicin de Preclculo: Funciones y grfica s se ha beneficiado am pliam ente.

nfasis y estiloEl texto est escrito para ser com prendido por los estudiantes. Se puso gran cuidado en que su contenido fuera m atem ticam ente correcto y accesible a los estudiantes. Se puso m ayor nfasis en las habilidades com putacionales, ideas y en la resolucin de proble m as que en la teora m atem tica. Se om itieron la m ayora de las derivaciones y pruebas excepto en los casos en que su inclusin clarifica de m anera im portante la com prensin de un concepto en particular. A m enudo los conceptos generales y resultados se presen tan hasta despus de haber analizado los casos particulares.

Ejemplos y problem as seleccionadosSe incluyeron m s de 375 ejem plos totalm ente resueltos para introducir conceptos y para dem ostrar las diversas tcnicas en la solucin de problem as. D espus de cada ejem plo se incluyen problem as sim ilares seleccionados para que el estudiante los re suelva m ientras lee el material. Esto involucra de m anera activa al estudiante en el proceso de aprendizaje. Al final de cada seccin se incluyen las respuestas de los pro blem as seleccionados para que se encuentren fcilm ente.

Exploracin, anlisis y grupo de actividadesC ada seccin contiene cuadros de exploracin y anlisis, colocados en lugares adecua dos, con el fin de anim ar a los estudiantes a pensar acerca de la relacin o proceso antes de que se d el resultado o para investigar otras consecuencias de un desarrollo en el texto, as com o el de m otivarlos a verbalizar los conceptos m atem ticos, resultados y procesos, com o se hace con los problem as seleccionados y en problem as particulares en casi cada conjunto de ejercicios. El m aterial de exploracin y anlisis tam bin se puede usar tanto en clase com o en actividades de grupo extraescolares. Adem s, antes del repaso incluido al final de cada captulo, se insert un captulo especial de activida des en grupo que involucran diferentes conceptos analizados en el m ism o. Todas estas actividades especiales se resaltan para enfatizar su im portancia.

Conjuntos de ejerciciosEl libro contiene m s de 5 600 problem as. C ada conjunto de ejercicios est diseado de m anera que un estudiante prom edio o por debajo de l experim ente el xito y de que represente un reto para un estudiante m uy capaz. La m ayora de los conjuntos de ejerc-

cios estn divididos en los niveles A (de rutina, fcil m erarazacc . B m ecanizacin m s difcil), C (m ecanizacin difcil y algo de teora y 2pisca: c k s Lc problem as de aplicacin ms difciles estn m arcados con dos estrellas de aplicacin m ode radam ente difcil con una (*), y los de aplicacin mas ao escr arcad o s. Note, por favor, que a veces se le pide al estudiante realizar los e n s c a o s a n a n o y despus com probar sus resultados con la ayuda de un dispositivo ce g rz fk a rio iL aunque el uso de ste es opcional.

AplicacionesU no de los principales objetivos de este libro es propcrr.-:--ar a '.os estudiantes una experiencia im portante en el m odelam iento y resoiucjoc r r r c l as el m undo real. Se incluyen suficientes aplicaciones para convencer a in al escptico de que las m atem ticas son realm ente tiles. Se incluye tam bin _ r de aplicaciones para ayudar a la localizacin de algunas en particular _a r a de las aplicaciones son versiones sim plificadas de problem as del m undo re a l.: : (nados ae re% istas y libros pro fesionales, por lo que no es necesario ser especialista para resolver cualquiera de las aplicaciones. C om o m uchos estudiantes se preparan para e! esruci : de calculo con este libro, los ejem plos y ejercicios que son especialm ente adecuados para esta m ateria se m arcan con y .

TecnologaEl trm ino genrico dispositivo de graficacin" se usa para referirse a cualesquiera de las diferentes calculadoras grficas o paquetes de softw are para com putadora de los que podra disponer el estudiante que usa este libro. A un cuando el uso de un dispositi vo de graficacin es opcional, es com n que m uchos irid ia n te s y m aestros quieran usar alguno, as que para ayudarlos desde el capitulo 3 hasta el final del libro, se inclu yeron actividades opcionales en las que se puede usar algn dispositivo de graficacin. Se incluyen adem s breves anlisis, ejem plos o panes de ejem plos resueltos con un dispositivo de graficacin, y tam bin problem as para que el estudiante los resuelva. Todo el m aterial que ofrece la opcin de usar un dispositivo de graficacin esta clara m ente identificado con el sm bolo y se puede om itir sin que se pierda la continui d a d si as se desea.

Grficas e ilustracionesTodas las grficas e ilustraciones incluidas en esta edicin son nuevas. El total de las grficas se realizaron por com putadora para asegurar su exactitud m atem tica. Las pantallas del dispositivo de graficacin que se m uestran en el texto son las salidas reales de una calculadora grfica.

Ayudas im portantes a los estudiantesP ara indicar las anotaciones de ejem plos y su desarrollo se usan leyendas a color, esto con la finalidad de ayudar a los estudiantes a superar las etapas crticas. Los cuadros con lneas discontinuas (cuadros para pensar) se usan para encerrar los pasos que a m enudo se realizan m entalm ente. Los cuadros con pantalla (som breados) se utilizan para resaltar definiciones im portantes, teorem as, resultados y procesos paso a paso. Los cuadros de atencin aparecen en las partes del texto en las que es frecuente que los estudiantes se equivoquen (vase la seccin 1-7). El uso funcional de cuatro colo res m ejora la claridad de m uchas ilustraciones, grficas y desarrollos, y gua a los estudiantes a travs de ciertos pasos crticos. Las letras negritas se usan para introdu

Prefacio

XV

cir nuevos trm inos y resaltar com entarios im portantes. Las secciones de repaso del captulo, incluyen un repaso de todos los trm inos im portantes y sm bolos, as com o un extenso ejercicio de repaso. Los ejercicios de repaso acum ulativos que se encuen tran despus de cada segundo o tercer captulo proporcionan prctica adicional a los estudiantes. Las respuestas a los ejercicios de repaso, insertados en secciones ade cuadas, se incluyen al final del libro. L as respuestas a todos los dem s problem as im pares tam bin se encuentran al final del libro. Los resm enes de frm ulas y sm bolos (colocados en las secciones en que se introdujeron) se encuentran en las solapas interiores del libro para una adecuada referencia.

Cam bios principales de la tercera edicinC om o antes se m encion, las actividades de exploracin y anlisis se distribuyeron de m anera uniform e en todo el libro. Esos nuevos elem entos incluyen preguntas de explo racin y anlisis en el texto y en los conjuntos de ejercicios, as com o en las actividades de grupo del captulo. El material en el que el uso de los dispositivos de graficacin es opcional est tam bin distribuido uniform em ente. En el captulo 1, las ecuaciones lineales y sus aplicaciones se abordan en una seccin, y se agreg una nueva en la que se estudian los sistem as de ecuaciones lineales y sus aplicaciones. En el captulo 2, se com binaron las secciones de ayudas para graficacin de fun ciones y operaciones con funciones, esto con el fin de exponer estos tem as en form a m s concisa. A dem s se traslad la seccin sobre funciones racionales al captulo 3. Se organiz y revis am pliam ente el m aterial del captulo 3, esto debido en gran parte al efecto que los dispositivos de graficacin han tenido en algunos de esos temas. La seccin 3-2 trata ahora con los m todos para encontrar las races exactas, incluyen do todas las races racionales, y en la seccin 3-3 se realiza un acercam iento a las races reales. En el captulo 6, se resum ieron en una seccin los m todos para resolver ecuaciones trigonom tricas; de nuevo se refleja algo del im pacto que la tecnologa ha tenido en la resolucin de ecuaciones. En el captulo 7, se resum i tam bin en una sola seccin el tratam iento de coordenadas polares y grficas polares. Com o en esta edicin se aborda en el captulo 1 la resolucin de dos ecuaciones lineales con dos variables, la prim era seccin del captulo 8 ahora se concentra en los m todos grficos y m todos para m atrices, y en el captulo 9 se dedica una seccin a la sum a y m ultiplicacin de m atrices. Las tcnicas de conteo se cam biaron al captulo 10 y se elim in el m aterial restan te de probabilidad.

M aterial de apoyoU n conjunto amplio de m ateriales de apoyo, tanto para el estudiante como para el maestro, est disponible p ara usarse con este texto. Libro del m aestro: Este auxiliar contiene todo el m aterial del texto de la edicin para el estudiante, adem s las respuestas a todos los ejercicios del libro de texto. (La edicin para el estudiante contiene las respuestas a los ejercicios seleccionados.) M anual de soluciones para el estudiante: Este suplem ento, escrito por Fred Safier del C ity College de San Francisco, est disponible a la venta al estudiante, e incluye soluciones detalladas de todos los problem as im pares y de la m ayora de los ejercicios de repaso. M anual de soluciones para el m aestro: Este m anual, escrito por John R. M artin del T arrant County Jnior College, proporciona soluciones a los problem as pares y res puestas a todos los problem as del texto.

M anual de recursos del m aestro: Este suplem ento proporciona transparencias m aes tras y exm enes muestra, preparados por Mark Serebransky del Cam ded County College, para cada captulo del texto. Banco de reactivos im presos y en disquetes: Se dispone de un banco de reactivo para com putadora, preparado p o r la com paa E SA con la colaboracin de Thom as Roe de la South D akota State University, dicho banco proporciona una variedad de form atos que le perm iten al m aestro crear pruebas usando tanto preguntas de exam en generadas m ediante algoritm os com o m ediante el banco de reactivos esttico. Este sistem a de exm enes le perm ite al m aestro escoger preguntas, ya sea m anual o aleatoriam ente por secciones, tipos de preguntas, nivel de dificultad y otros criterios. Este software de exm enes est disponible para com putadoras personales y M acintosh. U na versin del banco de reactivos, im presa en pasta suave, preparada por M ark Stevenson del Oakland C om m unity C ollege, proporciona la m ayora de las preguntas que se encuentran en la versin para com putadora. Series de video por Barnett/Ziegler/Byleen: Curso en video, nuevo y creado para esta edicin, proporciona a los estudiantes refuerzos para la com prensin de los tem as presentados en el libro, ubicados de m anera especfica en el texto y que poseen una efectiva com binacin de los m todos de aprendizaje, incluyendo la instruccin perso nal, grficas en el estado del arte y aplicaciones del m undo real. D iagram a interactivo en CD-RO M : Este paquete de software est disponible a la venta para el estudiante. Este CD contiene 45 diagram as interactivos que se disearon para usarse con este libro. C ada diagram a interactivo (DI) es una versin separada de Java A plett que contiene una ilustracin que el usuario puede m anipular para ir m s all de la com prensin conceptual del tem a presentado. En cada seccin del texto para el que se ha creado un DI, se ha colocado un icono en el margen. Tutorial con m ultim edia: Este suplem ento de m ultim edia es un tutorial autorregulado, relacionado de m anera especfica con el texto y refuerza los tem as m ediante infinidad de oportunidades para repasar conceptos y practicar la solucin de problem as. A dem s de los m ateriales de apoyo m encionados, se est desarrollando otro tipo de tecnologa y apoyos auxiliares en red, que darn soporte a las necesidades de la tecnologa siem pre cam biante en lgebra universitaria y preclculo. Para m ayor infor m acin acerca de stos o cualquiera de los suplem entos, por favor contacte a su repre sentante de ventas local de M cG raw -H ill.

ExactitudD ebido a la cuidadosa revisin y prueba de la obra por diferentes m aestros de m atem ticas (realizada en form a independiente), los autores y editores creem os que est sustancialm ente libre de errores. Sin em bargo, si encontrara alguno, le agradeceram os que enviara sus observaciones a: M ichael R. Ziegler, 509 W est D ean C ourt, Fox Point, W I 53217; o, p o r em ail, a m ichaelziegler@ execpc.com .

Reconocim ientosA dem s de los autores, m uchas personas participaron en la publicacin exitosa del libro. N os gustara agradecer personalm ente a: R evisores del m anuscrito: Y ungchen Chen, S. W. M issouri State U niversity; A lian Cochran, U niversity o f Arkansas; W ayne Ehler, A nne A rundel Com m unity College; A bdulla Elusta, Broward C om m unity College; Betsy Farber, Bucks County Com m unity C ollege; Jeffrey G raham , W estern C arolina U niversity; Selw yn H ollis, A rm strong A tlantic State U niversity; R andal H oppens, Blinn College; L inda H om er, Brow ard Com m unity College-N. Cam pus; Beverly Reed, K ent State University; M ike Rosenthal,

Prefacio

xvii

Florida International University; Robert W oodside, East Carolina State University; M ary W right, Southern Illinois University. Revisores del contenido: Diane A bbott, Bow ling G reen State U niversity; Je ff Brown, U niversity o f N orth Carolina en W ilm ington; K im berly Brow n, Tarrant C ounty Junior College; Roxanne Byrne, University o f C olo rado en Denver; H arold Carda, South Dakota School o f M ines andTechnology; Elizabeth Chu, Sussex C ounty C om m unity College; K arin D eck, U niversity o f North Carolina en W ilm ington; M ichelle D iehl, U niversity o f N uevo M exico; M ary Ehiers, Seattle U niversity; L aura Fernelius, University o f W isconsin en Oshkosh; Larry Friesen, Butler County Com m unity College; Doris Fuller, Virginia State University; D an Gardner, Elgin C o m m unity C ollege; Sheryl G riffith, Iow a C entral C om m unity C ollege; Vernon Gwaltney, John Tyler Com m unity College; Brian Jackson, C onnor's State College; Nancy Johnson, M anatee Com m unity College; Klaus Kaiser, U niversity o f H ouston; W arren Koepp, Texas A & M at Com m erce; Sonja Kung, U niversity o f W isconsin at Sevens Point; M ark Lesperance, Kansas State U niversity; Carol Lucas, U niversity o f Kansas; R ich ard M ason, Indian H ills C om m unity C ollege; M ichael M o ntano, R iverside Com m unity College; Patricia Moreland, Cowley County Com m unity College; Arumudan M uhundan, M anatee C om m unity College; M ilt M yers, Delaware C ounty Com m unity C ollege; Richard N adel, F lorida International U niversity; V icki P artin, Lexington Com m unity College; G loria Phoenix, N orth Carolina A gricultural & Technical State U niversity; D onna Russo, Quincy College; Jean Sanders, University o f W isconsin en Platteville; Ellen Scheiber, Drexel University; Patricia Schmidt, University o f Pittsburgh en G reensburg; Sam kar Sethuram an, A ugusta State U niversity; Jam es Shockley, Virgi nia Polytechnic Institute; Lora Stewart, Cosum nes River College; Joseph Sukta, M oraine V alley C om m unity C ollege; H ussain Talibi, Tuskegee U niversity; Stuart T hom as, University o f Oregon; Jam es Ward, Pensacola Junior College; Lyndon Weberg, University o f W isconsin; Chad W heatley, Delaw are Technical & Com m unity College; Edward W hite, Frostburg State U niversity; C lifton W hyburn, U niversity o f Houston; Tom W illiam s, R ow an-Cabarrus Com m unity College. Tam bin quisiram os agradecer a: G holam hoessein H am edani y Caroline Woods por proporcionar una cuidadosa y com pleta com probacin de todos los clculos m atem ticos en el libro, y en el manual de soluciones y respuestas para el estudiante (un laborioso y m uy im portante trabajo). Todos los autores de los suplem entos por desarrollar los m anuales de ayuda que son tan im portantes p ara el xito de un texto. Jeanne W allace por la produccin exacta y eficiente de la m ayor parte de los m anuales que apoyan el texto. G eorge M orris y su equipo de ilustradores cientficos, por sus efectivas ilustraciones y exactitud en las grficas. M aggie Rogers, R obert Preskill, Paul M urphy, N ina Kreiden y todas las dem s perso nas de M cG raw -H ill que contribuyeron con su esfuerzo para la produccin de este libro. El realizar esta nueva edicin con la ayuda de todas estas personas tan com petentes ha sido la m s satisfactoria experiencia.

R. A. B arnett M. R. Ziegler K. E. Byleen

ORGANIZACION Y DEPENDENCIA

c

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AL ESTUDIANTEPara ayudarle a obtener lo m ejor de este libro, y de su esfuerzo, se sugiere lo siguiente. E studie el texto siguiendo el proceso de cinco pasos que en seguida se enum era. Para cada seccin: i l t e i i Repita el ciclo 1-2-3 hasta que haya term inado la seccin yg-u ..':;L L vJu1 . illiilt'i5'. iii

1. 2. 3. 4. 5. '' ll

L ea un desarrollo m atem tico. Trabaje m ediante los ejem plos ilustrativos. Trabaje el problem a seleccionado. Revise las ideas principales de la seccin.

R ealice los ejercicios asignados al final de cada seccin. ...! i . ...l'i! '' :

Todo lo anterior se debe hacer con una calculadora, suficientes hojas de papel, lpices y un recipiente para la basura a la mano. De hecho, no se debera leer un libro de m atem ticas sin lpiz y papel a la m ano; las m atem ticas no son un deporte para verse. A s com o no se puede aprender a nadar observando nadar a otra persona, tam poco se puede aprender m atem ticas slo con estudiar los ejem plos resueltos (se deben resol v er problem as, y m ontones de ellos). Si tiene calculadora grfica o acceso a una com putadora con softw are m atem ti co, com o M aple o M athem atica, debe poner especial atencin a los com entarios, cua dros de exploracin y anlisis y ejercicios m arcados con el icono .H?. Este es m aterial opcional que se ha incluido para ayudarle a aprender de m anera efectiva el uso de la tecnologa com o parte del proceso en la solucin de problem as. Si no tiene acceso a estos dispositivos, om ita este m aterial, ya que podra im plicar clculos que no se pu e den realizar a m ano. Si se le dificulta con el curso, entonces, adem s de realizar las tareas regulares, invierta m s tiem po en los ejem plos y problem as seleccionados y haga m s ejercicios tipo A, aunque no se le hayan asignado. Si, por el contrario, le parece dem asiado fcil, entonces realice m s ejercicios tipo C y problem as de aplicacin, aun cuando no se le hayan asignado.

Raym ond A. B am ett M ichael R. Ziegler Karl E. Byleen

1-1

Ecuaciones lineales y aplicaciones

1-2 Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones 1-3 Desigualdades lineales 1-4 Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades 1-5 Nmeros complejos 1-6 Ecuaciones cuadrticas y aplicaciones 1-7 Ecuaciones reducibles a la forma cuadrticaM i| tiN

1-8 Desigualdades polinomiales y racionales Actividades en grupo del captulo 1: Razones de cambio Repaso del captulo 1

f ( x ) - ! 3 x

+

41 +

1

2

1

Ecuaciones y desigualdades

U no de los usos im p o rta n te s del lg e b ra es la solucin d e ecu aciones y d e sig u a ld a des. E n este c a p tu lo se a b o rd a r n los m to d o s p a r a reso lv er ecuaciones y des ig u a ld a d e s lin eales y no lineales. A d em s, se c o n sid e ra r n d ife re n tes aplicaciones q u e se p u e d e n reso lv er con stos. E n el c a p tu lo 3 se a n a liz a r n o tro s m todos p a ra reso lv er ecu acio n es polinom iales.

SECCIN

1-1

Ecuaciones lineales y aplicacionesEcuaciones Solucin de ecuaciones lineales U na estrategia p ara resolver problem as con literales Problem as num ricos y geom tricos Problem as de razn y tiem po Problem as con m ezclas A lgunas observaciones finales respecto de las ecuaciones lineales Una ecu aci n a lg e b ra ic a es un enunciado m atem tico que relaciona dos expresiones algebraicas que involucran al m enos una variable. A lgunos ejem plos de ecuaciones con la variable x son 3x 2 1 1+ x 2x2 3x + 5 = 0 x 2

Vx + 4 = x - 1

El c o n ju n to de reem p lazo , o dom inio, de una variable se define com o el conjunto de nm eros que perm iten reem plazar a la variable.

Suposicin

Sobre los dominios de las variablesA m enos que se establezca lo contrario, se supone que el dom inio de una variable es el conjunto de aquellos nm eros reales para el cual las expresiones algebraicas que im plican la variable son nm eros reales.

Por ejem plo, el dom inio de la variable x en la expresin 2x 4 es R, el conjunto de todos los nm eros reales, com o 2x - 4 representa un nm ero real para todos los reem plazos de x por nm eros reales. El dom inio de x en la ecuacin _L = 2 x x 3 es el conjunto de todos los nm eros reales excepto 0 y 3. Estos valores se excluyen, ya que el m iem bro izquierdo no est definido para x = 0 y el m iem bro derecho no est definido p a ra x = 3.

1-1


i

Los m iem bros de la izquierda y derecha representan nm eros reales para todos los otros reem plazos de x por nm eros reales. El conjunto solucin de una ecuacin se define com o el conjunto de los elem en tos en el dom inio de las variables que hacen que la ecuacin sea verdadera. C ada ele m ento del conjunto solucin se denom ina solucin, o raz de la ecuacin. Resolver una ecuacin es encontrar el conjunto solucin de la ecuacin. U na ecuacin se llam a identidad si la ecuacin es verdadera para todos los ele m entos del dom inio de la variable o ecuacin condicional si es verdadera slo para ciertos valores del dom inio y falsa para otros. Por ejem plo,

2x - 4 = 2(x - 2) x 1 3x x(x 3)

son identidades, ya que am bas ecuaciones son verdaderas para todos los elem entos de los respectivos dom inios de sus variables. Por otro lado, las ecuaciones

3* - 2 = 5

y

= x - 1 x

son ecuaciones condicionales, puesto que, por ejem plo, ninguna de las ecuaciones es verdadera para el dom inio con valor 2 . Saber el significado del conjunto solucin de una ecuacin es una cosa; encontrar lo es otra. Para este fin se introduce la idea de ecuaciones equivalentes. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si am bas tienen el m ism o conjunto solucin para un con ju n to de reem plazo dado. Un m todo bsico para resolver ecuaciones es realizar las operaciones sobre las ecuaciones que produzcan ecuaciones equivalentes m s sim ples, y continuar el proceso hasta llegar a un punto en que la solucin sea obvia. La aplicacin de alguna de las propiedades de igualdad que se explican en el Teo rem a 1, producirn ecuaciones equivalentes.

Teorema 1

Propiedades de igualdadPara cualesquiera de los nm eros reales a, b y c 1. 2. 3. 4. 5. Si a = b, entonces a + c = b + c. Si a b, entonces a c = b - c. Si a = b, entonces ca = c b ,c = 0. Si a = b, entonces = , c = 0. c c Si a = b, entonces cualquiera de las dos puede reem plazar a la otra en cualquier enunciado sin cam biar la veracidad o falsedad de ste. Propiedad de sum a Propiedad de resta Propiedad de m ultiplicacin Propiedad de divisin Propiedad de sustitucin

SolucinA hora la atencin se enfocar en los m todos para resolver ecuaciones de p rim e r grado o lineales con una variable.

1


DEFINICIN 1

Ecuacin lineal con una variableC ualquier ecuacin que se puede escribir en la form a Form a estndar se denom ina ecuacin lineal o de prim er grado con una variable, donde a y b son constantes reales y x es una variable.Sx - 1 = 2(x + 3) es una ecuacin lineal, porque se puede escribir en la forma estndar 3x - 7 = 0.

EJEMPLO 1

Solucin de una ecuacin linealR esuelva 5x - 9 = 3x + 7 y com pruebe el resultado.

Solucin

Se usan las propiedades de igualdad para transform ar la ecuacin dada en una ecuacin equivalente cuya solucin sea obvia. 5x 9 = 3x + 7 5x 9 + 9 = 3x + 7 + r 5x = 3x + 16 5x = 3x + 16 2x = 16 2x _ 16 2 2 x = 8 Simplifique. Ecuacin original. Sume 9 en ambos lados. Combine trminos semejantes Reste 3xde ambos lados. Combine trminos semejantes. Divida ambos lados entre 2.

El conjunto solucin para esta ltim a ecuacin es obvia: C onjunto solucin: {8 } Y com o la ecuacin .v = 8 es equivalente a todas las ecuaciones anteriores a la solucin, {8 } tam bin es el conjunto solucin de todas esas ecuaciones, incluyendo la ecuacin original. [Nota: Si una ecuacin slo tiene un elem ento en su conjunto solucin, por lo general se usa la ltim a ecuacin (en este caso, x = 8) en lugar de usar la notacin del conjunto p ara representar la solucin.]Comprobacin

5x 9 = 3x + 7 5(8) - 9 1

Ecuacin original. Sustituyax = 8.

3(8) + 7

40 9 24 + 7 31=31

Simplifique cada lado. Un enunciado verdadero.

1-1


5

R esuelva y com pruebe: I x 10 = 4 x + 5

Con frecuencia se encuentran ecuaciones que im plican ms de una variable. Por ejem plo, si / y w son la longitud y ancho de un rectngulo, respectivam ente, su rea se determ inar por (vase la figura I). A = Iw rea de un rectngulo. Dependiendo del caso, se podra despejar esta ecuacin por / o w. Para resolver p o r w, sim plem ente se considera que A y / son constantes y w es la variable. Entonces, la e c u a c i n ^ = Iw se convierte en una ecuacin lineal en la que w se puede despejar con facilidad al dividir am bos lados entre /: w /= 0

Solucin de una ecuacin con ms de una variableEncuentre P en trm inos de las otras variables: A = P + P rt Solucin A = P + P rt A = P ( 1 + rt) . I F -W = P 1 + rt P = + rt Restriccin 1 + rt = 0 Considere a A, ry t como constantes. Factorice para aislar P. Divida ambos lados entre 1 + rt.

i2 Encuentre i 7 en trm inos de C: C = (F 32)

Gran parte de los problem as prcticos se pueden resolver m ediante m todos algebraicos (son m uchos), de hecho, no hay un m todo que funcione para todos. Sin em bargo, se puede form ular una estrategia que le ayudar a organizar su enfoque.

literales

1.

Lea el problem a cuidadosam ente (varias veces, si es necesario) hasta que entienda el problema; es decir, hasta saber qu se quiere encontrar y con qu datos se cuenta.

* Las respuestas a los problemas seleccionados en una seccin dada se encuentran cerca del in^ c; i seccin, antes del conjunto de ejercicios.

1


2.

3. 4. 5. 6. 7.

Represente una de las cantidades desconocidas con una variable, por ejem plo x, e intente representar todas las otras cantidades desconocidas en trm i nos de x. ste es un paso im portante y se debe realizar con cuidado. Si lo considera pertinente, dibuje figuras o diagram as e identifique las partes conocidas y las incgnitas. B usque las frm ulas que relacionan las cantidades conocidas con las incg nitas. Forme una ecuacin que relacione las incgnitas con las cantidades descono cidas. R esuelva la ecuacin y escriba las respuestas de todas las preguntas plantea das en el problem a. C om pruebe e interprete todas las soluciones en trm inos del problem a origi nal (no slo la ecuacin encontrada en el paso 5), ya que se pudo haber co m etido un error al establecer la ecuacin en el paso 5.:_____ i Lili- ... ... --------------- _ _

--------- , i--------------------------------------------------------------------;--------------

E l resto de los ejem plos de esta seccin contiene soluciones de problem as diver sos con literales, que ilustran tanto el proceso de establecim iento de problem as con literales com o las tcnicas que se usan para resolver las ecuaciones resultantes. Se su giere que cubra la solucin e intente resolver el problem a, nicam ente en caso de d ifi cultad (que no pueda avanzar) descbrala slo lo suficiente para poder continuar. Despus de term inar con xito un ejem plo, intente resolver los problem as seleccionados. C onti ne as hasta el final de la seccin, entonces estar listo para intentar resolver una gran variedad de problem as con aplicaciones.

Problemas numricos y geomtricos

Con los prim eros ejem plos se introdujo el proceso de establecim iento y resolucin de problem as con literales en un contexto m atem tico sim ple, los siguientes sern de natu raleza m s sustancial.

EJEMPLO 3

Establecimiento y resolucin de un problema con literalesEncuentre 4 enteros pares consecutivos de m anera tal que la sum a de los 3 prim eros exceda al cuarto p o r 8.

Solucin

Sea x el p rim er entero par, entonces x x+ 2 x+ 4 y x +6

represente 4 enteros pares consecutivos, com enzando con el entero par x. (Recuerde que los enteros pares aum entan de 2 en 2.) La frase la sum a de los 3 prim eros excede al cuarto p o r 8 se traduce en una ecuacin: Sum a de los 3 prim eros = cuarto + excedente x + (x + 2) + (x + 4) (x + 6) + 8 3x + 6 = x + 14 2x = 8 x = 4 Los 4 enteros consecutivos son 4, 6, 8 y 10.

1-1


7

Comprobacin

4 + 6 + 8 18 10

Sum a de los tres prim eros Excedente Cuarto

Encuentre 3 enteros im pares consecutivos de tal m anera que 3 veces su sum a sea 5 ms que 8 veces el entero de enmedio.

---------------------------EXPLORACIN Y ANLISIS 1De acuerdo con la propiedad 1 del Teorem a 1, m ultiplique am bos lados de una ecua cin por un nm ero diferente de 0 que siem pre produzca una ecuacin equivalente. Por qu nm ero deber m ultiplicar am bos lados de la ecuacin siguiente para eli m inar todas las fracciones?X

_1_

4

2

Si no hubiera escogido 12, que es el m cd (m nim o com n denom inador) de todas las fracciones en esta ecuacin, todava podra resolver la ecuacin resultante, pero con m s esfuerzo. (Para un anlisis de los m cd y cm o determ inarlos, vase la seccin A -4.)

Uso de un diagrama para la solucin de un problema con literalesSi un lado del tringulo m ide un tercio del perm etro, el segundo 7 m etros y el tercero un quinto del perm etro, cunto mide el perm etro del tringulo? Solucin S e a p = perm etro. Dibuje un tringulo y m arque los lados, com o se m uestra en la fig u ra 2. Entonces p = a + b + c p = -P- + + 1 3 5p = a + b+ c

p =

5| + ^

+ 7 Multiplique ambos lados por 15, que es el mcd. ste y el siguiente paso por lo general se realizan mentalmente.

7 metros FIGURA 2 \5 p = 15 + 15 + 15 7 3 5 15p = 5p + 3p + 105 I p = 105 p = 15 El perm etro mide 15 metros.

* Cuando el libro se refiera a cuadros para pensar se estar hablando de los formatos con lineas di$cc-n_=-_. stos se usarn para representar los pasos que por lo general se realizan mentalmente.

1


Comprobacin

Lado 3 15 m etros Permetro

Problema seleccionado 4

Si un lado de un tringulo m ide un cuarto del perm etro, e1 segundo 7 centm etros y el tercero dos quintos del perm etro, cunto m ide el perm etro?

PRECAUCIN

Un error m uy comn que se puede com eter aqu es confundir expresiones algebrai cas que im plican fracciones, con ecuaciones algebraicas que tam bin im plican fracciones). C onsidere estos dos problemas: (A) Resuelva: + = 102 3

(B) Sume: + + 102 3

Los problem as se parecen m ucho, pero son de hecho m uy diferentes. Para resol ver la ecuacin en (A) se m ultiplica am bos lados por 6 (el m cd) para elim inar las fracciones. Esto funciona m uy bien para ecuaciones, pero los estudiantes quieren usar el m ism o procedim iento para problem as com o el (B). Slo que (B) no es una ecuacin, p o r lo tanto la propiedad de m ultiplicacin para igualdades no es apli cable en este caso. Si se m ultiplica a (B) por 6 , lo que se obtiene es una expresin 6 veces ms grande que la original! C om pare lo siguiente: (A) + =102 3

(B) + + 1 02 3

1

l--------------------------------------------------------13 -2

+ 6 = 6 10 ! = ^ + . + 2 3 ! I

2 - 3 - 1

I

---------------------------------1o , o _ 3x + 2 x = 60 5x = 60 x = 12

I________________________I3x , 2x , 60 ---------- h ----- + ------

5 a* +

60

Problemas de razn y tiempo

1 lay m uchos tipos de problem as de razn y tiem po y de distancia, razn y tiem po. En general, si Q es la cantidad de algo que se produce (kilm etros, palabras, partes, etcte ra) en T unidades de tiem po (horas, aos, m inutos, segundos, etctera), entonces, las frm ulas que aparecen en el cuadro son im portantes.

1-1


9

Frmulas de cantidad, razn y tiempon , Cantidad Razn = -------------Tiem po Cantidad = (Razn) (Tiempo) Tiem po Cantidad Razn

[Nota: R es una razn prom edio o uniform e.]

Un problema de distancia, rapidez y tiempoLa distancia de una ruta en barco entre San Francisco y H onolul es de 2 100 m illas nuticas. Si un barco sale de San Francisco al m ism o tiem po que otro sale de H onolul, y si el prim ero viaja a 15 nudos* y el otro a 2 0 , cunto tiem po les tom ar a los barcos encontrarse? A que distancia de H onolul y de San Francisco estarn en ese tiem po? Solucin Sea T = nm ero de horas que pasarn antes de que se encuentren. D ibuje un diagram a y marque las partes conocidas e incgnitas. A m bos barcos tendrn que viajar la m ism a cantidad de tiem po p ara encontrarse.D, = 20 T 20 nudos D2 = 15r 15 nudos SF

Punto de encuentro

D istancia que recorre el barco 1 desde H onolul hasta el punto de encuentro D, 2o r + +

/ D istancia que recorre i el barco 2 desde I San Francisco hasta el \ punto de encuentro D2 15 T 35 T T = =

(

Distancia total desde Honolul hasta San Francisco 2 100 2 100 2 100 60

Por lo tanto, pasarn 60 horas o 2.5 das para que se encuentren. * 15 nudos significa 15 millas nuticas por hora. Una milla nutica mide 6 0/6.1 pies.

10

1


D istancia desde H onolul = 20 60 = 1 200 m illas nuticas. D istancia desde San Francisco = 15 60 = 900 m illas nuticas.Comprobacin

1 200 + 900 = 2 100 m illas nuticas.


U n equipo viejo puede im prim ir, prensar y rotular 38 sobres postales por minuto. Un m odelo m s reciente realiza el m ism o proceso pero a razn de 82 por m inuto. Cunto tiem po les tom ar a am bos equipos preparar 6 000 sobres? [Nota: La form a m atem tica es la m ism a que en el ejem plo 5.]

A lgunas ecuaciones que im plican variables en un denom inador se pueden trans form ar en ecuaciones lineales. Se podra proceder esencialm ente en la m ism a form a que en el ejem plo anterior; sin em bargo, se debe excluir cualquier valor de la variable que produzca u n denom inador 0. Excluyendo esos valores, se podra m ultiplicar por el m cd aunque contenga una variable, y, de acuerdo con el teorem a 1, la nueva ecuacin ser equivalente a la anterior.

EJEMPLO 6

Un problema de distancia, rapidez y tiempoUn bote p ara excursiones tarda 1.5 veces m s en recorrer 360 m illas en el viaje de ida que en el de regreso. Si el bote viaja a 15 m illas por hora en aguas tranquilas, cul es la rapidez de la corriente?

Solucin

Sea x = Rapidez de la corriente (en m illas por hora) 1 5 - x = Rapidez del bote en contra de la corriente 15 + x = R apidez del bote a favor de la corriente Tiem po en contra de la corriente = (1 .5)(Tiem po a favor de la corriente) D istancia recorrida en contra de la corriente R apidez en contra de la corriente 360 15 - x 360 15 - x D istancia recorrida a favor de la corriente (1.5 ) ---------------------------------R apidez a favor de la corriente ( 1. 5) 15 + x 540 15 + xMultiplique ambos lados por

Recuerde: T =

,

o

x # 1 5 ,x # - 1 5

360(15 + x) = 540(15 - x ) 5 400 + 360x = 8 100 - 540x 900x = 2 700 x = 3

(15 - x)(15 + x)

1-1


11

Por lo tanto, la rapidez de la co m en te es de 3 m illas por hora. Se deja la com probacin al lector.

A un avin tipo je t le tom a 1.2 veces m s tiem po volar la distancia de Pars a Nueva York (3 600 m illas), que el que le tom a de regreso. Si la velocidad de crucero de un avin es de 550 m illas por hora en aire tranquilo, cul es la rapidez prom edio con la que sopla el viento en direccin de Pars a N ueva York?

EXPLORACIN Y ANLISIS 2

C onsidere la solucin siguiente: x x -2 + 2 = x -2

x + 2 x -4 = 2 x -2 x 2 Es x = 2 una raz de la ecuacin original? Si no es as, explique por qu. A nalice la im portancia de excluir valores que produzcan un denom inador 0 cuando se resuel ven ecuaciones.

Un problema de cantidad, rapidez y tiempoU na com paa de publicidad tiene una com putadora vieja que para preparar todo el correo tarda 6 horas. Con la ayuda de un nuevo m odelo se term ina el trabajo en 2 horas. Cunto tiem po le tom ar al nuevo m odelo hacer solo el trabajo? Solucin Sea x = tiem po (en horas) que em plea el nuevo m odelo en hacer solo todo el trabajo. /P a rte del trabajo term inado\ , j = (Rapidez)(Tiem po) \ en un tiem po dado / R apidez del m odelo viejo = Trabajo por hora

6

R apidez del nuevo m odelo = Trabajo por hora

(

Parte del trabajo \ term inada p o r el m odelo + viejo en 2 horas /

/ Parte del trabajo \ term inada con el m odelo = 1 Trabajo term inado \ nuevo en 2 horas J

/ R apidez del \ / Tiem po del \ / R apidez del \ / Tiem po del \ _ ^m odelo viejo j 1m odelo v ie jo ) ~ (m odelo nuevo/I modelo nuevo ~

J

(2) 6

+

(2) x

= 1

x*O

*

r /

12

1


x + 6 = 3jc-2 x = -6

x = 3 Por consiguiente, la com putadora nueva podr hacer sola el trabajo en 3 horas. Comprobacin Parte del trabajo term inado por el m odelo viejo en 2 horas = 2(~) = ! Parte del trabajo term inado por el m odelo nuevo en 2 horas = 2 (j) = | Parte del trabajo term inado por am bos m odelos en 2 horas = 1


Se usan dos bom bas para llenar un tanque de alm acenam iento de agua en una villa. U na bom ba puede llenar el tanque en 9 horas y la otra en 6 . Cunto tiem po les tom ara llenarlo si trabajaran juntas?

Problemas con mezclas

Una variedad de aplicaciones se puede clasificar com o problem as con m ezclas, los cuales, aunque provengan de diferentes reas, su tratam iento m atem tico en esencia es igual.

EJEMPLO 8

Un problema con mezclasC untos litros de una m ezcla que contiene 80% de alcohol se tendran que agregar a 5 litros de una solucin al 20% para obtener una solucin al 30% ?

Solucin

S e a x = cantidad usada de solucin al 80%.ANTES DE MEZCLAR_________________________ A ____________________ ____

DESPUS DE MEZCLAR Solucin al 30%

Solucin al 80%

Solucin al 20%

+

x litros

J5 litros

(x + 5) litros

C antidad de \ alcohol en la ^prim era solucin I 0 .8.x +

(

Cantidad de alcohol en la segunda solucin 0.2(5)

(

C antidad d e ' alcohol en la m ezcla 0.3(x + 5)

1-1


13

0.8.x + 1 = 0.3x + 1.5 0.5* = 0.5 x = 1 Se agrega un litro de la solucin al 80%.

Comprobacin

Litros de solucin Primera solucin Segunda solucin Mezcla 1 5 6

Litros de alcohol 0.8( 1) = 0.8 0.2(5) = 1 1.8

Porcentaje de alcohol 80 20 1.8/6 = 0.3, o 30%

roblema seleccionado 8

En un alm acn de productos qum icos se tiene una solucin cida al 90% y otra al 40% . C untos centilitros de la solucin al 90% se deben agregar a 50 centilitros de una solucin al 40% para obtener una solucin al 50% ?

Algunas rvaciones finales respecto de las uaciones lineales

Se puede dem ostrar que cualquier ecuacin que se escriba en la form a ax + b = 0 a z 0 ( 1)

sin restricciones sobre x. tiene exactam ente una solucin, que se puede encontrar como sigue: ax + b = 0 ax = - b h x = ----aPropiedad de resta de la igualdad Propiedad de divisin de la igualdad

El requerim iento a = 0 en la ecuacin (1) es una restriccin im portante, ya que sin ella se podran escribir ecuaciones con m iem bros de prim er grado que no tengan solu cin o tengan un nm ero infinito de soluciones. Por ejem plo, 2x 3 = 2x + 5 no tiene solucin, y 3x - 4 = 5 + 3(x - 3) tiene un nm ero infinito de soluciones. Intente resolver cada ecuacin para ver qu sucede.Respuestas a los problemas seleccionados

1. x = 5 2. F = fC + 32 3. 3, 5, 7 4. 20 centmetros 5. 50 minutos 6. 50 millas por hora 7. 3.6 horas 8. 12.5 centilitros

14

1


EJERCICIO

1-127. 2.32x 3.76 = 2.32 28. x + 4.49 = x + 3 2. 5 x + 1 0 ( x - 2 ) = 40 En los problemas del 29 al 36, despeje la variable indicada en trminos de las otras variables. 29. an = a) + (n 1)d para d (progresiones aritmticas) 30. F = rC + 32 para C (escala de temperaturas) 31. = + para/ (frmula de lentes simples) f d [ d2 32. = + para R, (circuito elctrico) R R2 1 33. A = l ab + 2ac + 2be para a (rea superficial de un rectngulo slido) 34. A = l ab + l ac + Ibc para c 2x - 3 3x + 5 1 4 .^ + l = ^ + 3x 2 x 3 16. ^ _ + 4 = . 6* 2x 1 2x 1 Imagine que un estudiante a quien asesora le dio las solucio nes de los problemas 37y 38. Responda si la solucin es co rrecta o errnea. Si considera que es errnea, explique en qu consiste el error y proporcione la solucin correcta. 37. x- 3 + 4= 2x - 3 x- 3 parax i* + 2 36. x - ------ para y

En los problemas del 1 al 16, resuelva cada ecuacin. 1. 3(x + 2) = 5(x - 6)

3. 5 + 4(r - 2) = 2(/ + 7) + 1 4. 5x (7jc 4) 2 = 5 (3x + 2) 5. 3 7. 52x 3 3 2x 1 4 5 x 2 x + 2 3 6. - - + 1 = 3 7

8.

x+ 3

x - 4

9. 0.1(x 7) + 0.05x = 0.8 10. 0.4(x + 5) - 0.3x = 17 11. 0.3x - 0.04(x + 1) = 2.04 12. 0.02* - 0.5(jc 2) = 5.32 13. 1 1 4 9 2 3m

Sx 25 15. = = - = 2 x+ 5 x+ 5

BEn los problemas del 17 al 24, resuelva cada ecuacin. 17. 18. 19. Ix 10 3x 24 1 3 3 x 14 2 x 10 Is + 4 2 +x 5 5+ x 40 3 + 6 1 2 1 15 " ~ 5 6n 6 22. 5 2x 3 x t x 3 1 1 n -3 I

x + 4x 1 2 = 2 x 3 x = 3 38. x2 + 1 X 1 X2 + 4x - 3 X1

x2 + 1 = x2 + 4x - 3 X= 1

s 1 _ s + 2

21. - + - J = 3 2 x x 2 23. 24. 5 /-2 2 t2 - 6 t+ 9 5 x 3 11 f 3t 33 - x x2 - 6x + 9

En los problemas del 39 al 41, despeje x. X 39. x 1+ x X+ 1-41. = x + 2

%

40. X+ 1 -

= 1

En los problemas del 25 al 28, use una calculadora para resol ver cada ecuacin con hasta 3 dgitos significativos. 25. 3.142x - 0.4835(x - 4) = 6.795 26. 0.0512x + 0.125(x - 2) = 0.725x

1-1X

1-1


15

-C- Despeje y en trminos de

= ------ I 1 -y \l- x j

Negocios y economa53. El precio de una cmara despus de descontarle el 20% es de $72. Cunto costaba antes del descuento? 54. Una tienda que vende estreos etiqueta cada artculo con un precio 60% ms caro de lo que cuestan al mayoreo. Cunto cuesta un reproductor de casetes cuyo precio al mayoreo es de $144? 55. A un empleado de una tienda de computacin se le paga un salario base de $2 150 al mes, ms un 8% de comisin si vende ms de $7 000 durante ese periodo. Cunto debe vender para ganar S3 170 al mes? 56. A un segundo empleado de la tienda de computacin del problema 55 se le paga un salario base de $1 175 al mes ms un 5% de comisin sobre las ventas del mes. (A) Cunto debe vender este empleado en un mes para ganar $3 170? Determ ine el nivel de ventas en el que ambos empleados recibiran el mismo ingreso mensual. Si los empleados pudieran elegir alguna de estas formas de pago, Qu le aconsejara al empleado considerar antes de decidir? Ciencias de la Tierra *57. En 1984, los soviticos fueron los primeros en el mundo que perforaron el pozo con ms profundidad en la corteza terrestre (con ms de 12 kilmetros de profundidad). Al perforar descubrieron que despus de los 3 kilmetros la temperatura T aumentaba 2.5C por cada 100 metros de profundidad que aumentaban. (A) Si la temperatura a los 3 kilmetros es de 30C y x es la profundidad del pozo en kilmetros, plantee una ecuacin usando x de m anera que indique la temperatura T en el pozo a ms de 3 kilmetros de profundidad. (B) Cul sera la temperatura a 15 kilmetros? (La temperatura lmite que soportaba su equipo de perfo racin era de alrededor de 300C.) (C) A qu profundidad (en kilmetros) encontraran una temperatura de 280C? * 58. Como el aire no es tan denso a grandes altitudes, los aviones requieren una alta velocidad en tierra para alcanzar la velocidad de sustentacin. Una regla emprica es que sea 3% mayor que la velocidad en el suelo por cada 1 000 pies a partir de la elevacin, suponga que no hay viento y que la temperatura del aire permanece constante. (Calcule las respuestas numricas hasta tres dgitos significativos.) (A) Sea Vs Velocidad de despegue a nivel del mar para un avin particular (en millas por hora). A = Altitud superior al nivel del mar (en miles de pies). V Velocidad de despegue a una altitud A pan: el mismo avin (en millas por hora).

43. Despeje x en trminos de y: y = ----- -----i+ -A _ X+c 44 Sean m y n nmeros reales con m mayor que n. Entonces ah existe un nmero real positivo p tal que m n + p. Encuentre el error en el argumento siguiente: m = n+p (m n)m = (m n)(n + p) m2 mn = mn + mp n2 np m2 mn mp = mn n2 np m(m n p) = n(m n p) m =n

APLICACIONES

W

E s i o s problemas estn agrupados de acuerdo con el tema con que se relacionan. Los problemas ms difciles estn marca dos con dos estrellas **, los moderadamente difciles con una estrella *, y los ms fciles no estn marcados.

y meros 45. Encuentre un nmero tal que 10 menos que dos tercios del nmero sea un cuarto del nmero. 46. Encuentre un nmero tal que 6 ms que la mitad del nmero sea dos tercios del nmero. 4". Encuentre 4 enteros pares consecutivos de manera que la suma de los 3 primeros sea 2 veces mayor que el doble del cuarto. 48. Encuentre 3 enteros pares consecutivos tales que el primero ms el doble del segundo sea el doble del tercero. Geometra 49. Encuentre las dimensiones de un rectngulo con un permetro de 54 metros, si su longitud es 3 metros menor que el doble de su ancho. 50. Un rectngulo de 24 metros de longitud tiene la misma rea que un cuadrado que tiene 12 metros de lado. Cules son las dimensiones del rectngulo? 51. Encuentre el permetro de un tringulo si uno de sus lados mide 16 pies, otro dos sptimos del permetro y el tercero un tercio del permetro. 52. Encuentre el permetro de un tringulo si uno de sus lados mide 11 centmetros, otro es un quinto del permetro, y el tercero un cuarto del permetro.

16

1


Escriba una frmula que relacione estas tres canti dades. (B) Cul sera la velocidad de despegue necesaria en el aeropuerto de Lake Tahoe (6 400 pies), si la velocidad de despegue en el aeropuerto de San Francisco (a nivel del mar) es de 120 millas por hora? (C) Si en una pista de aterrizaje en las montaas de Colorado que estn a una altura de 8 500 pies es necesaria una velocidad de despegue de 125 millas por hora, cul deber ser la velocidad de despegue en Los Angeles (al nivel del mar)? (D) Si la velocidad de despegue a nivel del mar es de 135 millas por hora y la velocidad de despegue en un lugar montaoso es de 155 millas por hora, cul es la altitud del segundo lugar en miles de pies? 59. Un temblor emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie terrestre la onda primaria viaja alrededor de 5 millas por segundo, y la onda secundaria al rededor de 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarda en llegar cada una de las dos ondas a una estacin ssmica, es posible calcular la distancia al temblor. Suponga que una estacin mide una diferencia de tiempo de 12 segundos entre la llegada de las dos ondas. A qu distancia de la estacin est el epicentro del temblor? (El epicentro se puede localizar al obtener la distancia de barrido en tres o ms estaciones.) 60. Un barco que usa dispositivos medidores de sonido arriba y abajo del agua, registra en la superficie una explosin 39 segundos antes que el dispositivo bajo el agua. Si el sonido viaja en el aire a alrededor de 1 100 pies por segundo y en el agua a cerca de 5 000 pies por segundo, a qu distancia ocurri la explosin?

65. Un qumico mezcla agua destilada con una solucin al 90% de cido sulfrico para producir una solucin al 50%. Si se usan 5 litros de agua destilada, cunta solucin al 50% se produce? * 66. Un distribuidor tiene 120 000 galones de combustible con un contenido de 0.9% de sulfuro, porcentaje que excede al 8% permitido por los estndares de control de conta minacin. Cuntos galones de combustible que contengan 0.3% de sulfuro se deben agregar a los 120 000 galones para obtener un combustible que cumpla con los estndares mencionados? Rapidez .v tiempo 67. Una vieja computadora permite elaborar la nmina semanal en 5 horas. Una computadora ms reciente permite hacer la misma nmina en 3 horas. Se comienza a hacer la nmina en la computadora vieja y despus de una hora se conecta en lnea con la nueva para que trabajen juntas hasta terminar el trabajo. En cunto tiempo terminarn el trabajo ambas computadoras? (Suponga que cada una opera de manera independiente.) * 68. Una bomba puede llenar un tanque para almacenar gasolina en 8 horas. Trabajando simultneamente con una segunda bomba se puede llenar el tanque en 3 horas. Cunto tiempo le tomara a la segunda bomba llenar el tanque si operara sola? ** 69. La velocidad de crucero de un avin es de 150 millas por hora (respecto al suelo). Usted renta el avin para un viaje de 3 horas y le indica al piloto que vuele hacia el norte tan lejos como pueda y regrese al aeropuerto cuando se termine el tiempo. (A) Qu distancia podra volar el piloto hacia el norte si el viento sopla a 30 millas por hora desde esa di reccin? (B) Hasta qu distancia hacia el norte podra volar si no hubiera viento? * 70. Suponga que est en una villa cerca de un ro y renta una lancha por 5 horas que comienzan a las 7 a .m . Le comentan que el bote viajar a 8 millas por hora corriente arriba y a 12 millas por hora en el regreso, as que decide que le gustara alejarse ro arriba tanto como para poder regresar al medioda. A qu hora tendra que regresar, y a qu distancia de la villa estar a esa hora? Msica * 71. En msica, un acorde mayor se compone de notas cuyas frecuencias estn en la relacin 4:5:6. Si la primera nota de un acorde tiene una frecuencia de 264 hertz (tecla media C en el piano), encuentre las frecuencias de las otras dos notas. [Sugerencia: Establezca dos proporciones usando 4:5 y 4:6.] * 72. Un acorde menor se compone de notas cuyas frecuencias estn en la relacin 10:12:15. Si la primera nota de un acorde menor es A, con una frecuencia de 220 hertz, cules son las frecuencias de las otras dos notas?

Ciencias de la vida61. Una naturalista de un departamento de pesca calcul el nmero total de truchas en cierto lago mediante la popular tcnica de captura, mareaje y recaptura. En total pesc, marc y liber 200 truchas. Una semana despus durante la cual se pudieron mezclar, volvi a pescar 200 truchas entre las que encontr ocho marcadas. Suponiendo que el porcentaje de truchas marcadas con relacin al nmero total de la segunda muestra es el mismo que el de todos los peces marcados en la primera muestra con relacin al total de la poblacin de truchas, estne el nmero total de peces en el lago. 62. Repita el problema 61 con una primera muestra (marcada) de 300 y una Segunda muestra de 180 con slo seis truchas marcadas.

Qumica63. Cuntos galones de agua destilada se deben mezclar con 50 galones de una solucin con alcohol al 30% para obtener una solucin al 25%? 64. Cuntos galones de cido clorhdrico se deben agregar a 12 galones de una solucin al 30% para obtener una solucin al 40%?

1-2

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones

1/

Sijtogia

3 . En un experimento sobre motivacin, el profesor Browner.tren a un grupo de ratas para que corrieran por un pasaje angosto en una jaula con el fin de recibir comida en una caja objetivo. En seguida, le puso a cada rata un arns y lo conect a un alambre unido a un medidor. Despus coloc a ias ratas a diferentes distancias de la comida y midi el aln (en gramos) de la rata hacia el alimento. Encontr que la relacin entre motivacin (jaln) y la posicin estaba dada aproximadamente por la ecuacin. p = - j d + 70 30 < < 170

to que produce el choque (medido en centmetros) apro ximadamente por la ecuacin. a = j d + 230 30 < < 1 7 0

Si la misma rata fuera entrenada como se describi en este y en el problema 73, a qu distancia (con un decimal) de la caja objetivo sern iguales las resistencias para acercarse y para evitarlo? (Qu cree que hara la rata en este punto? i

Acertijo75. Una torre de perforacin en el Golfo de Mxico se coloca de manera que un quinto de su altura est en arena, 20 pies estn en el agua y 2 tercios en el aire. Cul es la altura total de la torre? 76. Durante un viaje de campamento en los bosques del norte de Canad, una pareja recorri un tercio del camino en bote, 10 millas a pie y un sexto del camino a caballo. Qu tan largo fue el viaje? * 77. Exactamente despus de las 12 del da, a qu hora volvern a juntarse las manecillas de un reloj?

onde el jaln p se midi en gramos y la distancia d en centmetros. Cuando el jaln registrado fue de 40 gramos, a qu distancia de la caja objetivo lleg la rata? . El profesor Brown repiti el experimento descrito en el 4 problema 73, slo que ahora reemplaz la comida en la caja objetivo con un leve choque elctrico. Con los mismos aparatos pudo medir la resistencia a evitar el choque respecto de la distancia del objeto que lo produce. Encontr que la resistencia a evitarlo a (medida en gramos) se relaciona con la distancia d a la que la rata estaba del obje

^ s e c c i n

I

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicacionesSistem as de ecuaciones Sustitucin A plicaciones En la seccin anterior, se resolvieron problem as con literales introduciendo una sola variable p ara representar una de las incgnitas, y despus se intent representar a todas las incgnitas en trm inos de esta variable. En ciertos problem as con literales, es m s conveniente introducir diversas variables, encontrar las ecuaciones que relacionan esas variables, y despus resolver el sistem a de ecuaciones resultante. Por ejem plo, si un tablero de 12 pies se corta en dos partes de m anera que una de ellas sea 2 pies ms grande que la otra, se tiene entonces x = L ongitud de la pieza m s grande y = Longitud de la pieza m s corta se observa que x y y deben satisfacer las ecuaciones siguientes: x + y = 12 x - y = 2 Se tiene ahora un sistem a de dos ecuaciones lineales con dos variables. Asi, se puede resolver este problem a al encontrar todos los pares de nm eros x y y que satisfagan am bas ecuaciones. E n general, se tiene inters en resolver sistem as lineales del tipo: ax + by h ex + dy = kSistema de dos ecuaciones lineales con dos variables


d o n d e x y y son variables y a, b, c, d , h y k son constantes reales. Un par de nm erosjc = x 0 y y = y o es una solucin de este sistem a si cada ecuacin se satisface por el par. El conjunto de todos esos pares de nm eros se denom ina conjunto solucin para el siste ma. R esolver un sistem a es encontrar su conjunto solucin. En esta seccin, se restrin gir nuestro anlisis a tcnicas de solucin sim ples para sistem as de dos ecuaciones lineales con dos variables. En el captulo 8 se analizarn sistem as m s grandes y m to dos de solucin m s sofisticados.

Para resolver un sistem a por sustitucin, prim ero se escoge una de las dos ecuaciones de un sistem a y se despeja una variable en trm inos de la o ta. (Si es posible, elija una que no contenga fracciones.) D espus sustituya el resultado en la otra ecuacin y re suelva la ecuacin lineal resultante con una variable. Por ltim o, se sustituye de nuevo este resultado en la expresin obtenida en el prim er paso para encontrar la segunda variable. Se ilustrar este proceso al regresar al problem a del tablero enunciado al ini cio de la seccin.

Solucin de un sistema por sustitucinR esuelva el problem a del tablero al resolver el sistema. x + y = 12 x y 2 Solucin D espeje de cualquier ecuacin una de las variables y sustituyala en la otra ecuacin Se elige despejar y de la prim era ecuacin en trm inos de x: x + y = 12Resuelva la primera ecuacin para yen trminos de x. y 12 x Sustituya en la segunda ecuacin

x - y = 2 x - (12 - x ) = 2 x - 12 + x = 2 2x = 14 x = 7 A hora, se rem plaza x con 7 en la e cu a c i n ^ = 12 y = 12 - x y= 12-7 >' = 5 De esta form a, el tablero m s largo m ide 7 pies y el m s corto 5.jc:

1-2


Comprobacin

x + y = 12 7 + 5112 12 = 12

x - y = 2 7 - 5 1 2 2 = 2

lema seleccionado 1

Resuelva p o r sustitucin y com pruebe:

x y = 3 x + 2j> = - 3

EJEMPLO

2

Resuelva un sistema por sustitucinR esuelva p o r sustitucin y com pruebe: 2x - 3y = 1 3x-y = 1

Solucin

Para evitar fracciones, elija despejar y en la segunda ecuacin: 3* - y = 7 y = - 3 x + 7 y = 3 x - 7 2x-3y = 7 2x - 3(3* 7) = 7Sustituya en la primera ecuacin. Primera ecuacin Resuelva para x. Resuelva a y en trminos de x.

2x - 9x + 21 = 7 - l x = -1 4

x = 2y = 3 x -l m II y = -1 A s, la solucin esjc = 2 y . y = 1. 1

Sustituya x = 2 en y = 3x - 7.

1 X m

r~ I I

Comprobacin

2x-3y = l 2(2) - 3 (1) I 7 7 = 7

3(2) - ( - 1 ) 1 7 7 = 7


R esuelva por sustitucin y com pruebe: 3x 4y = 18 2x + y = 1

20

1



U se sustitucin p ara resolver cada uno de los sistem as siguientes. A nalice la natura leza de los conjuntos solucin que obtenga. x + 3j> = 4 2x + 6y = 7 x + 3.v = 4 2x + 6y = 8

Los ejem plos siguientes ilustran las ventajas de usar sistem as de ecuaciones y el m to do de sustitucin para resolver problem as con literales.

EJEMPLO

DietaU na persona quiere incluir en su dieta diaria leche y jugo de naranja, para aum entar la cantidad de calcio y vitam ina A. Una onza de leche contiene 38 m iligram os de calcio y 56 m icrogram os* de vitam ina A. U na onza de ju g o de naranja contiene 5 m iligram os de calcio y 60 m icrogram os de vitam ina A. Cuntas onzas de leche y jugo de naranja deber to m ar al da para obtener exactam ente 550 m iligram os de calcio y 1 200 m icrogram os de vitam ina A?

Solucin

Prim ero se d efinen las variables im portantes: x = N m ero de onzas de leche y = N m ero de onzas de ju g o de naranja E n seguida se resum e, en una tabla, la inform acin con que se cuenta. Es conveniente organizar la inform acin en las tablas de m anera que las cantidades representadas por las variables se encuentren en las colum nas (en vez de en renglones), com o se m uestra.

Leche Calcio Vitamina A 38 56

Jugo de naranja 5 60

Necesidades totales 550 1 200

A hora, se u sa la inform acin de la tabla para form ar ecuaciones que im plican a x y y: Calcio en x \ onzas de leche I 38x i V itam ina A en x 1 onzas de leche 56x I Calcio en y onzas \ 1 de ju g o de naranja ) 5y / V itam ina A en y o n z a s\ 1 de jugo de naranja J 60y Calcio total (necesario (mg) 550 Vitam ina A total necesaria (f^g) 1 200

*Un microgramo (mg) es un millonsimo (102 ) de gramo. 6

1-2


I

5y = 550 38* y = 110 7.6* 56* + 60(110 7.6*) 56* = 1 200

Resuelva la primera ecuacin para y.

Sustituya yen la segunda ecuacin.

+ 6600 - 456* = 1 200 400.x = - 5 400x 13.5 Sustituya en (1).

y = 110 - 7.6(13.5)y = 7.4

Tom ando 13.5 onzas de leche y 7.4 onzas de jugo de naranja al da se obtienen las cantidades necesarias de calcio y de vitam ina A.

Comprobacin

38* + 5y = 550 38(13.5) + 5(7.4) I 500 500 = 500

56* + 60y = 1 000 56(13.5) + 60(7.4) 1 200 1 200 = 1 200

Problem a seleccionado 3

U na persona quiere usar queso cottage y yogurt para aum entar la cantidad de protena y calcio en su dieta diaria. U na onza de queso cottage contiene 3 gram os de protena y 12 m iligram os de calcio. Una onza de yogurt contiene un gramo de protena y 44 m iligram os de calcio. C untas onzas de queso cottage y yogurt debera com er al da para obtener exactam ente 57 gram os de protena y 840 m iligram os de calcio?

EJEMPLO 4

Velocidad del vientoU n avin recorre las 2 400 m illas de W ashington, D. C., a San Francisco en 7.5 horas y hace el viaje de regreso en 6 horas. Suponga que el avin viaja a una velocidad constan te y que el viento fluye con una rapidez constante de oeste a este, encuentre la velocidad del avin y la rapidez del viento.

Solucin

Sea que * represente la velocidad del avin y que y representa la rapidez con la cual sopla el viento (am bas en m illas por hora). La velocidad terrestre del avin se determ i na al com binar estas dos velocidades; es decir, x y = velocidad de despegue volando de este a oeste (viento de frente) * + y = velocidad de despegue volando de oeste a este (viento de cola) A plicando la conocida frm ula D = R T para cada parte del viaje se obtiene el siguiente sistem a de ecuaciones: 2 400 = 7.5(* y ) 2 400 = 6(* + y )De Washington a San Francisco De San Francisco a Washington

22

1


D espus de sim plificar, se tiene x y = 320 x + y = 400 U sando sustituciones para resolver:x = y + 320 Resuelva la primera ecuacin para x. Sustituya / en la segunda ecuacin.

320 + y = 400 oII oo

y = 40 inph

Sustituya en (1).

x = 40 + 320x = 360 m ph Velocidad del avin

Comprobacin

2 400 = 7.5(x - y) 2 400 1 7.5(360 - 40) 2 400 = 2 400

2 400 = 6(x + y) 2 400 1 6(360 + 40) 2 400 = 2 400


A un bote le tom a 8 horas recorrer 80 m illas corriente arriba y 5 horas el regreso a su punto de partida. Encuentre la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

EJEMPLO 5

Oferta y demandaLa cantidad de un producto que la gente est com prando voluntariam ente durante algn periodo depende de su precio. Por lo general, a m ayor precio la dem anda es m enor; a m enor precio, la dem anda es mayor. De m anera similar, la cantidad de un producto que un proveedor est vendiendo voluntariam ente durante algn periodo tam bin depende del precio. Por lo general un proveedor estar abasteciendo m s de un producto a pre cios altos y m enos de un producto a precio bajos. El m odelo m s sim ple de proveedor y dem anda es un m odelo lineal. Suponga que se est interesado en el anlisis de la venta diaria de cerezas en una ciudad en particular. U sando tcnicas especiales de anlisis (anlisis de regresin) y recoleccin de datos, un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-dem anda y de precio-abastecim iento: p = 0.3q + 5 p = O.Oy + 0-68Ecuacin de demanda (consumidor) Ecuacin de abastecimiento (proveedor)

donde q representa la cantidad en m iles de libras y p representa el precio en dlares. Por ejem plo, se puede observar que los consum idores com pran 11 m iles de libras (q = 11) cuando el precio esp - - 0 .3 ( 11) + 5 = $ 1.70 por libra. Por otra parte, los proveedores estarn abasteciendo voluntariam ente 17 mil libras de cerezas a $ 1.70 por libra (resuel va 1.7 = 0.06# + 0.68 para q). Es decir, a $1.70 por libra de cerezas que los proveedo res estn abasteciendo voluntariam ente, los consum idores estn com prando voluntaria-

1-2


23

\

m ente m ayor nm ero de cerezas de las que se ofertan. El abastecim iento excede a la dem anda a ese precio, y por lo tanto, el precio bajar. A qu precio por da se estabi lizarn las cerezas? Es decir, cul deber ser el precio para que el abastecim iento sea igual a la dem anda? Este precio, si existe, se llam a precio de equilibrio; y la cantidad vendida a este precio se llama cantidad de equilibrio. Qu hacer para encontrar estas cantidades? Se resuelve el sistem a lineal p = 0.3q + 5 p = 0,06? + 0.68Ecuacin de demanda Ecuacin de establecimiento

usando sustitucin (sustituyendop = 0.3q + 5 en la segunda ecuacin). - 0 . 3 ? + 5 = 0.06? + 0.68 0.36? = - 4 .3 2

q = 12 mil libras

(cantidad de equilibrio)

A hora sustituyendo q = 12 en cualquiera de las ecuaciones originales del sistem a y despejando p (se eligi la segunda ecuacin): p = 0.06(12) + 0.68

p = SI .40 por libra

(precio de equilibrio)

Las ecuaciones para el precio-dem anda y para el precio-oferta en el caso de las fresas en una cierta ciudad son:

p = 0.2q + 4 p 0.04q + 1.84

Ecuacin de demanda Ecuacin de abastecimiento

donde q representa la cantidad en m iles de libras y p representa el precio en dlares. E ncuentre la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.

EJEMPLO 6

Costos e ingresosUn editor est planeando producir un nuevo libro de texto. Los costos fijos (revisin, edicin, tipografa, etctera) son $320 000, y los costos variables (im presin, com isio nes p o r ventas, etctera) son S 3 1.25 por libro. El precio al m ayoreo (es decir, la canti dad que recibir el editor) ser de S43.75 por libro. Cuntos libros debe vender el editor para alcanzar el punto de equilibrio; es decir, cundo los costos sern iguales a los ingresos?

Solucin

Si x representa el nm ero de libros im presos y vendidos, entonces las ecuaciones de costos e ingresos para el editor estarn dadas por y 320 000 + 3 1 .25x y = 43.75xEcuacin de costos Ecuacin de ingresos

I R

24

1


El editor alcanza el punto de equilibrio cuando los costos son iguales a los ingresos. Se puede encontrar cundo ocurre esto al resolver este sistema. De la segunda ecuacin se despeja y y se sustituye en la prim era ecuacin, para obtener 43.75x = 320 000 + 31.25* 12.5* = 320 000 * = 25 600 As, el editor alcanza el punto de equilibrio cuando se im prim en y venden 25 600 li bros.

U na com paa de software est planeando com ercializar un nuevo procesador de texto. Los costos fijos (diseo, program acin, etctera) son $720 000, y los costos variables (duplicado de discos, produccin del m anual, etctera) son S25.40 por copia. El precio de m ayoreo del procesador de texto ser de $44.60 por copia. Cuntas copias del procesador de texto deben hacerse y venderse para que la com paa llegue a su punto de equilibrio?

Respuestas a los problemas seleccionados I. 3. 4. 5. 6. x=l,y=-2 2 . x = 2,y = - 3 13.9 onzas de queso cottage, 15.3 onzas de yogurt Bote: 13 mph; corriente: 3 mph Cantidad de equilibrio = 9 mil libras: Precio de equilibrio = S2.20 por libra 37 500 copias

EJERCICIO 1 - 2

A _________Resuelva los problemas del 1 al 6 por sustitucin. 1. y = 2x + 3 y = 3* - 5 4. 2x- * y= 3 2. y = x + 4 y = 5* 8 5. 3a- >= 7 3. * y = 4 x + 3y = 12 6. 2x + y = 6 x - y 3 15. \x + y = ]x-y=2 -5

11. y = y= 13.

0 .0 8 a100

12.0 .0 4 a-

y = 0 .0 7 a-

+

y =

80

+

0 .0 5 a

0 .2 - 0 .5 v = 0 .0 7 0 .8 - 0 .3 v = 0 .7 9

14. 0.3s - 0 .6/= 0.18 0.5s - 0.2? = 0.54 16. \x - |y = 10 ix + 4y = 6

+ 2y = 14 2x + 3y = 1

BResuelva los problemas del 7 al 16 por sustitucin.7 . 4 a-

Suponga que al estar resolviendo un sistema por sustitucin encuentra una contradiccin, como 0 = 1 . Cmo podra describir este tipo de soluciones para un sistema? Ilustre sus ideas con el siguiente sistema x - 2 y = -3 2x + 4y = 7 En el proceso de solucin de un sistema por sustitucin, suponga que encuentra una identidad, como 0 = 0 . Cmo

+ 3y =

26

8.

9a- - 3y = 24 1Le + 2y = 1

3 a- -

lly = - 7 + 12 = 1

9. I m5m

10.

3p + & = 4 q I5p + lOq = - 1 0

3n =

7

1-2


25

podra describir la solucin de tal sistema? Ilustre sus ideas con el siguiente sistema x 2y = - 3 2x + 4v = 6

28. Negocios. Un joyero tiene dos barras de una aleacin de oro en almacn, una es de 12 quilates y la otra de 18 (24 quilates de oro es oro puro, 12quilateses 12/24 puro, 18quilatesde oro es 18/24 puro, etctera). Cuntos gramos de cada aleacin se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates? 29. Anlisis de equilibrio. A una compaa de grabacin pequea le cuesta SI 7 680 producir un lbum. ste es un costo fijo que incluye la grabacin, el diseo del lbum, etctera. Los costos variables, incluyendo la produccin, comercializacin y regalas son de S4.60 por lbum. Si el lbum se vende en las tiendas de discos a S8 cada uno. cuntos debe vender la compaa para llegar al pumo de equilibrio? 30. Anlisis de equilibrio. Un fabricante de videocasetcs determin que la ecuacin de costos semanales es C = 3 000 + lOx, donde x es el nmero de videocasetes producido y vendido cada semana. Si los videocasetes se venden a los distribuidores a S 15 cada uno, cuntos debe vender el fabricante cada semana para alcanzar el punto de equilibrio? (Refirase al problema 29.) 31. Finanzas. Suponga que tiene SI2 000 para invertir. Si una parte se invierte al 10% y el resto al 15%, cunto se debe invertir en cada tasa para obtener un 12% sobre el total de la cantidad invertida? 32. Finanzas. Un inversionista tiene $20 000 para invertir. Si invierte una parte al 8% y el resto al 12%. cunto se debe invertir en cada tasa de inters para obtener un 11% sobre el total de la cantidad invertida? 33. Produccin. Un proveedor de la industria electrnica fabrica los teclados y pantallas para calculadoras grficas en plantas en Mxico y Taivvn. En la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta. Cuntas horas debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4 000 teclados y pantallas?

En ios problemas 19 y 20, resuelva cada sistema para p y q en -.erminos de x y y. Explique cmo podra comprobar su solu cin y efecte la prueba. x = 2 + p - 2q y 3 p + 1q 20. x = 1 + 2p - q y= 4 p+ q

Los problemas 21 y 22 se refieren al sistema ax + by = h ex + dy = k onde x y y son variables y a, b, c, d, h y k son constantes miles. Resuelva el sistema para x y y en trminos de las constantes a, b, c, d, h y k. Establezca claramente cualquier suposicin que tome acerca de las constantes durante el proceso de solucin. I I Analice la naturaleza de las soluciones a los sistemas que no satisfagan las suposiciones que haya hecho para el problema 2 1.

APLICACIONES

' '

23. Velocidad del viento. A un avin privado le toma 8.75 horas volar las 2 100 millas de Atlanta a Los Angeles y 5 horas el vuelo de regreso. Suponiendo que el viento sopla a una rapidez constante de Los Angeles a Atlanta, encuentre la velocidad aerodinmica del avin y la rapidez del viento. 24. Velocidad del viento. Un avin tiene suficiente combus tible para 20 horas de vuelo a una velocidad aerodinmica de 150 millas por hora. Qu distancia puede volar contra un viento de 30 millas por hora y todavia tener suficiente combustible para regresar a su punto de partida? (Esta distancia se conoce como punto de no regreso.) 25. Rapidez y tiempo. Una tripulacin de ocho personas puede remar a 20 kilmetros por hora en aguas tranquilas. La tripulacin rema corriente arriba y despus regresa a su punto de partida en 15 minutos. Si el rio est fluyendo a 2 km/h, qu distancia rem la tripulacin corriente arriba? 26. Rapidez y tiempo. A un bote le toma 2 horas recorrer 20 millas ro abajo y 3 horas regresar a su punto de partida comente arriba. Cul es la rapidez de la comente en el ro? 27. Qumica. Un qumico tiene dos soluciones de cido clorhdrico almacenado: una solucin al 50% y otra al 80%. Qu cantidad de cada solucin se debe usar para obtener 100 mililitros de una solucin al 68%?

Planta Mxico Taiwn

Teclados 40 20

Pantallas 32 32

34. Produccin. Una compaa produce salchichas italianas y salchichones en sus plantas en Creen Bay y Sheboygan. En la tabla se indica cunto se produce por hora en cada planta. Cuntas horas debe trabajar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 62 250 salchichas italianas y 76 500 salchichones?

Planta Green Bay Sheboygan

Salchichas italianas 800 500

Salchichones 800 1 000

26

1


35. Nutricin. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a algunos animales. Cada animal va a recibir, entre otros alimentos, 20 gramos de protema y 6 gramos de grasa. El laboratorista puede comprar dos mezclas de alimentos que tienen la siguiente composicin: La mezcla A tiene 10% de protena y 6% de grasa; la mezcla B tiene 20% de protena y 2% de grasa. Cuntos gramos de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada para un solo animal? 36. Nutricin. Un agricultor puede usar dos tipos de fertilizante en un planto de naranjas, la marca A y la marca B. Cada saco de la marca A contiene 8 libras de nitrgeno y 4 de cido fosfrico. Cada saco de la marca B contiene 7 libras de nitrgeno y 7 de cido fosfrico. Las pruebas indican que el naranjo necesita 720 libras de nitrgeno y 500 de cido fosfrico. Cuntos sacos de cada marca tiene que usar para obtener las cantidades necesarias de nitrgeno y de cido fosfrico? * 37. Oferta y demanda. A $0.60 por bushel, la oferta diaria para el trigo es de 450 bushels y la demanda diaria es de 645 bushels. Cuando el precio se incrementa a $0.90 por bushel. las ofertas diarias aumentan a 750 bushels y la demanda diaria disminuye a 495. Suponga que las ecua ciones para la oferta y demanda son lineales. (A) Encuentre la ecuacin de la oferta. [Sugerencia: Formule la ecuacin de la oferta en la forma p = aq + b y resuelva para a y (B) Encuentre la ecuacin para la demanda. (C) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. * 38. Oferta y demanda. A SI.40 por bushel, la oferta de frijol de soya es de 1 075 bushels y la demanda diaria es de 580 bushels. Cuando el precio cae a $ 1.20 por bushel, la oferta diaria disminuye a 575 bushels y la demanda diaria aumenta a 980 bushels. Suponga que las ecuaciones para la oferta y la demanda son lineales. (A) Encuentre la ecuacin para la oferta. [Vase la suge rencia del problema 37.] (B) Encuentre la ecuacin de la demanda. (C) Encuentre el precio y cantidad de equilibrio.

*39. Fsica. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio alto y cae verticalmente con aceleracin constante. Si 5 es la distancia sobre el suelo (en pies), a la que est el objeto t segundos despus de que se solt, entonces s y t estn relacionados por una ecuacin de la forma s = a + bt2 donde a y b son constantes. Suponga que el objeto est a 180 pies sobre el suelo un segundo despus de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos despus. (A) Encuentre las constantes a y b. (B) Qu altura tiene el edificio? (C) Cunto tiempo cae el objeto? * 40. Fsica. Repita el problema 39 si el objeto est a 240 pies de distancia del suelo despus de un segundo y a 192 pies despus de 2 segundos. *41. Ciencias de la Tierra. Un terremoto emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie de la Tierra la onda primaria viaja a 5 millas por segundo y la secundaria a 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarden en llegar las dos ondas a cierta estacin receptora, es posible calcular la distancia del movimiento. (El epicentro se puede localizar al obtener la distancia de barrido en tres o ms estaciones.) Suponga que una estacin mide que entre la llegada de una onda y la otra pasan 16 segundos. Cunto tiempo recorri cada onda, y a qu distancia de la estacin ocurri el temblor? * 42. Ciencias de la Tierra. Un barco usa dispositivos medidores de sonido arriba y abajo del agua, el dispositivo de la superficie registr una explosin 6 segundos antes que el de debajo del agua. El sonido viaja en el aire a 1 100 pies por segundo y en el agua de mar a 5 000 pies por segundo. (A) Cunto tiempo le tom a cada onda sonora alcanzar al barco? (B) A qu distancia del barco ocurri la explosin?

I 3

Desigualdades linealesR elaciones para desigualdades e intervalos de notacin Solucin de desigualdades lineales A plicaciones A hora se volver al problem a de cm o resolver desigualdades lineales con una varia ble, tales com o 3(* - 5) > 5(x + 7) 10 y - 4 < 3 2x < 1

1-3

Desigualdades lineales

27

Relaciones para desigualdades e intervalos de notacin

Las form as m atem ticas anteriores im plican la desigualdad, o relacin de orden; es decir, relaciones m en or que y m ayor que . A s com o se usan = para reem plazar las palabras es igual a, se usan los sm bolos de desigualdad < y > para representar es m enor que y es m ayor que, respectivam ente. Tal vez salte a la vista que2 < 4 5 > 0 25 000 > 1

son verdaderas, pero podra no ser tan evidente que-4 < -2 0 > -5 - 2 5 000 < -1

P ara establecer una relacin de desigualdad precisa, de m anera que pueda interpretarse con respecto de todos los nm eros reales, se necesita una definicin precisa del con cepto.

DEFINICIN 1

a aPara los nm eros reales a y b, se dice que a es m enor que b o b e s mayor que a y se escribe a a

si existe un nm ero real positivo p tal que a + p = b (o de m anera equivalente, b -a=p).

C iertam ente se espera que si un nm ero positivo se sum a a cualquier nm ero real, la sum a sea m ayor que la original. Esto es en esencia lo que la definicin establece. C uando se escribe a ^ b significa que a b significa que a > b o a = b y s e dice que a es m ayor que o igual a b. Los sm bolos de desigualdad < y > tienen una interpretacin geom trica m uy clara sobre la recta num rica real. S a < b, entonces a est a la izquierda de b\ si c > d, entonces c est a la derecha de d (vase la figura 1). Es un hecho interesante y til que para dos nm eros reales a y b, sean a b o a = b. Esto se conoce com o propiedad de tricotom a de los nm eros reales. La doble desigualdad a < x ^ b significa que x > a y x < b: es decir, x est entre a y b, incluyendo b pero excluyendo a. Al conjunto de todos los nm eros reales x que satisfacen la desigualdad a < x ^ b se le conoce com o intervalo y se representa por (a, t]. D e esta m anera, (a, b] = {x | a < x < b}* * En general, {x|P(x)} representa el conjunto de todas las * para las cuales el enunciado P(x) es vercaier: Para expresar este conjunto verbalmente, la barra vertical se lee como tal que.

i-------1---- 1------------H a d b c

*

a < b, c > d.

28

1


El nm ero a se conoce com o punto extrem o izquierdo del intervalo, y el sm bolo ( indica que a no se incluye en el intervalo. El nm ero b se conoce com o punto extremo derecho del intervalo, y el sm bolo ] indica que b se incluye en el intervalo. En la tabla 1 se indican otros tipos de intervalos para los nm eros reales.

TABLA 1

N otacin d e in terv alo sNotacin de intervalo [O.JX [a,b) (a, b] (a, ti)[b,

Notacin de desigualdad a < .* b a '4

A = [ ~ 2 , 3] C = (4, oo) A U C = [ - 2 , 3] U (4, ) ^ n c = 0

-2 1 2 ,

3 . .j 3

4

t

1

-2

3

4

Si Z) = [4, \ ) , E = ( l , 3 ] y F = [2, en cada uno de los siguientes. (A) (B) (C) 1 ? 3y 1 ? 3 12?-8 2 ( 1) ? 2(3) y y 2 (1) ? 2(3) ? 12 i l ? : -4 -4

(D)

12? - 8

y

C on base en estos ejem plos, describa verbalm ente el efecto de m ultiplicar am bos lados de una desigualdad por un nm ero.

desigualdades lineales

A hora se volver al problem a de resolver desigualdades lineales con una variable, tales com o 2(2x + 3) < 6(x 2) + 10 y - 3 < 2x + 3 < 9

El c o n ju n to solucin para una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen de la desigualdad un enunciado verdadero. Cada elem ento del conjunto solucin se conoce com o solucin de la desigualdad. R eso lv er u n a d esig u al d a d es encontrar su conjunto solucin. Dos desigualdades son equ iv alen tes si tienen el m ism o conjunto solucin para un conjunto de reem plazo dado. Com o con las ecuacio nes, se realizan las operaciones sobre las desigualdades que produzcan desigualdades equivalentes ms sim ples, y se contina el proceso hasta llegar a una desigualdad cuya solucin sea obvia. Las propiedades de las desigualdades dadas en el teorem a 1 se pueden u sar para producir desigualdades equivalentes.

1-3


J I

Teorema 1

Propiedades de las desigualdadesPara cualquiera de los nm eros reales a, by

(" Propiedad de transitividad Propiedad de la sum a Propiedad de la resta Propiedad de la m ultiplicacin (O bserve la diferencia entre 4 y 5.)

1. Si a < b y b < c, entonces a < c. 2. Si a < b, entonces a + c cb. -2 < 4 (-3 )( ) > ( 2 3)(4) . ci b 6. Si a . c c -2 4 -2 < 4 -< -2 -2

Propiedad de la divisin (O bserve la diferencia entre 6 y 7.)

Propiedades sim ilares se cum plen si cada signo de la desigualdad se invierte, o si < se reem plaza con < y > se reem plaza con < . De esta m anera, encontram os que se pueden ejecutar esencialm ente las m ism as operaciones para las desigualdades, que las que se realizaron para las ecuaciones. C uando se trabaje con desigualdades, sin em bar go, se debe tener particular cuidado con el uso de las propiedades de m ultiplicacin y divisin. El orden de la desigualdad se invierte si se m ultiplica o divide am bos lados de un enunciado de desigualdad por un nmero negativo.


Las propiedades de igualdad se pueden resum ir fcilm ente: Se puede sumar, restar, m ultiplicar o dividir am bos lados de una ecuacin por un nm ero real diferente de cero para producir una ecuacin equivalente. Escriba un resum en sim ilar para las propiedades de las desigualdades.

A hora veam os cm o se usan las propiedades de las desigualdades para resolver desigualdades lineales. A lgunos ejem plos ilustrarn el proceso.

Solucin de una desigualdad linealResuelva y grafique: 2(2x + 3) 0 < 6(x - 2)

32

1 Ecuaciones y desigualdades

Solucin

2 (2 a + 3) 4a + 6 4a -

10 < 6 (a 10 < 6a 4 < 6a -

2) 12 12

Simplifique los lados izquierdo y derecho

i--------------------------------------------1| 4a 4 + < 6a 12

Propiedad de la suma

i____________________________ i4 a < 6a 8

i---------------------------------------1 4a < 6a 8 6.y

Propiedad de la resta

i_________________________ i- 2 a < - 8

i--------------------- 1- 2 a - 8

-2

> -2A > 4

Propiedad de la divisin: observe el orden inverso de la desigualdad debido a que es negativo 2 ( 4 , 00) Conjunto solucin Grfica del conjunto solucin

H I

I '( H M

2 3 4

5 6 7 8 9


Resuelva y grafique: 3(x 1) > 5 ( i + 2) - 5

EJEMPLO 4

Solucin de una desigualdad lineal que implica fracciones.

Resuelva y grafique: + 6 > 2 + 4Solucin

3

Multiplique ambos lados por 12, el mod.3 (2 * 3) 9+ 6x + 72 + 72> 24 + 16* 4 (4 a)

6x -

>

24

+

6 3 s 2 4 + 16 a > - 3 9 -------------------3 .9

-1 0 *

x s H ----------------

o

(-,

3 .9 ]

El orden se invirti debido a que ambos lados estn divididos entre -1 0 , un nmero negativo.

1-3


33

4x 3 3x R esuelva y grafique: -------- + 8 < 6 + 3 2

Solucin de una doble desigualdadR esuelva y grafique: 3 ^ 4 7jc < 18 Solucin Se procede com o antes, excepto que se intenta desp ejar* en la parte de enm edio con un coeficiente de 1.

- 3 < 4 - I x < 18 i---------------------------------------------------- 1 i 3 < 4 I x < 18 ^ j Reste 4 en cada miembro, i__________________________________ i - 7 < - 7 * < 14 i--------------------------------1 -7 ~ lx 14 ---- > ------- > -7 -7 -7

Divida cada miembro entre - 7 e invierta cada desigualdad.

i____________________ i -+X-2

1 > * > -2

( - 2, 1]

Resuelva y grafique: - 3 < 7 - 2x ^ 7

Aplicaciones

QumicaEn un experim ento qum ico, una solucin de cido clorhdrico se va a m antener entre 30C y 35C; es decir, 30 ^ C ^ 35. Cul es el rango de tem peratura en grados Fahrenheit si la frm ula de conversin Celsius/Fahrenheit es C = ?(F 32)?Solucin

30 s C < 35 30 < f (F 32) < 35Reemplace C con (F - 32). 9

y

Multiplique cada miembro por . 5

54 < F - 32 < 63

34

1


i-------------------------------------------------------- 1 j 54 ^ F 32 - 32 S 63 j Sume 32 a cada miembro, i_____________________________________ i 86 s F < 95 El rango de la tem peratura es de 86F a 95F en total.

U n rollo fotogrfico se va a m antener entre 68F y 77F: es decir, 68cF < 77. Cul es el rango de tem peratura en grados Celsius si la frm ula de conversin Celsius/Fahrenheit e s F = |C + 32?

Respuestas a los problemas seleccionados

1. (A)(B)

(-3 , 3][ - 1 ,2 ] 0 , ) (-o o ,2 ) r t

f-5

(C) (D) 2. (A) (B) (C) (D) 3. X

I [ -s 0 2 5 1 1 1 1 1 1 l i l i1 1 1 1 1 1 1 -5 0 1. 5 -5; i 1 o 1k 1 3 ' 6 i 6

I 1 1 1 1 ] 4-1 1 x 0 3 5 y n

5 >U = [-4 , 3] > n = ( - 1 , 1 ) E U F = (-1, ) f l F = [2, 3] l i l i l i l i 0

-1 1 i__ 1 1 r 1 -i 1 1 2 3 -1 i 1 i r | 1 1 1 1 r-1 2 1 1 l, - 4 o ( - , -4 ] -7 i 1

L -4 i 1 -4

'

4. x > 6 o (6, oo) 5. 5 > i S 0 o 0 S j r < 5 o ( 0 , 5 )-1

^

6. 2 0 s C < 25, el rango de temperatura es de 20=C a 25=cC

EJERCICIO

1-3Escriba los problemas del 13 al 16 en notacin de intervalo y desigualdad. 13. 14. 15. 16.

Escriba los problemas del 1 al 6 en notacin de desigualdad y grafiquelos sobre la recta numrica real. 1. [-8 ,7 ] 4. (-3.31 2. ( - 4 , 8) 5. [ oo) 6, 3. [ - 6, 6)

-10-10

-s-5 0 5

- x10

6. (o, 7)

- X 10

Escriba los problemas del 7 al 12 en notacin de intervalos y grafiquelos sobre la recta numrica real. 7. - 2 < ,v < 6 10. - 4 x -10 -5 0 5 10 l l l l l l l l l l l II111 H -H + x -10 -5 0 5 10

8. - 5 < . v s 5

< 5

11

.

9. - 7 < a < 8 12. a > 3

\

,v

-2

Resuelva y grajique los problemas del 17 al 30. 17. Ix - 8 < 4x + 7 18. 4. + 8 >a-

-

1

1-3


35

3 - x > 5(3 - x) a . ---- > 4 -2 2 1 < 10 5/25- 3 m < 4(m 3)

20. 2(x - 3) + 5 < 5 - x 22. -3 -2

59. V T ^ 61. V 3 x + 5 63' V l r + 3

60. V x + 5 62. V 7 - 2x 64. 1

24. s 21 7n 26. 2(1 - m > 5u )

. B 1 +B 17 ^ ----- < -------- 4 3 2. - 4 < 5r + 6 < 21

Qu se puede comentar respecto de los signos de los nmeros a y b en cada caso? (A) ab > 0 (C) 7 > 0 b (B) ab < 0 (D) J < 0 b

*^ "> i30. 2 < 3m - 7 < 14

B r ios problemas del 31 al 42, grafique el conjunto indicado y I im b a lo como un solo intervalo, si es posible. a t - 5,5) U [4, 7] 32. ( - 5, 5) n [4, 7] 34. [ - 1 ,4 ) U (2,6] 36. (-oo, 1) n (2,*=) 38. (1,6] U [9,oo) 40. [2,3] n (1,5) 42. ( - 3 , 2) U [0, =o)

Qu se puede comentar acerca de los signos de los nmeros a, b y c en cada caso? ab (A) abe > 0 (B) < 0 c (C) 7> 0 be (D) - < 0 be

13l ; - i 4) n (2, 6] ,J5L i -se. 1) U (-2,oo) 33. ( 1) U [3, 7) =0, j*. 3 ] u ( i ,5 )

67.

precalculo - barnett

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