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^ c, u \ d+e+f fc (f + e + d) < f (c + b + a) ------< -a+b+c c

0

©

de(l)y (2 ): d d + e + f f— <------ < -a a+b+c c

Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces:

(a + b + c)(a2 +b2 + c2)>9abc

(a-b)2£ab; (b-c)2>bc; (a-c)">ac

c(a-b )2^abc; a (b-c)‘ > abe; b (a-c)2 > abe , sumando

c(a-b )2 +a(b-c)J +b(a-c)2 >3abc

a3+b3+c3>0, sumando

a3 +b3 +c3 +c(a-b)2 + a(b-c)2 +b(a-c)2 >3abc

a3+b3+c3 +a‘J c-2abc + b"c + bra-2abc + ac2+a2b-2abc + bc‘‘ >3abc

a3 +b3 +c3 +a2c + b2c + b2a+ac2 + a2b + bc2 >9abc

a2 (a + b + c) + b2 (a + b + c) + c2 (a + b+c) > 9abc , sacando factor común

(a + b + c)(a2 + b2 + c2)>9abc

Si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, demuestre que:

(a + b + c)(a 1 +b"' +c"')>9

capitu ' 11

(2)

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(a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c + b2c >2abc

(a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b + c2b>2abc

(b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2 > 2abc, sumando

a2c + b2c + a2b + c2b + ab~ + ac2 >6abc sumando 3abc

abe + a2c + b2c + a2b + abe + c2b + abe + ab2 + ac2 > 9abc

bc(a + b + c+)+ab(a + b + c) + ac(a + b + c)>9abc

(a + b+<;)(bc + ab + ac) >9abc dividiendo entre abe

(a + b + c)(bc + ab + ac) ̂ / . w « . i i\ «^ --------- >9 (a + b+c)(a +b +c )>9abe

^ Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:a2 16b2 8a 32br ? + —— + 24 - n r+— b a b a

(a-2b)~ >0 =s> a2-4ab + 4b2 >0, elevando al cuadrado se tiene:

(a2 + 4b2 -4ab)¿ >0

(a2 + 4b2)2 -8ab(a2 + 4b2) + 16a2b2 >0 => (a2 +4b2 f + 16a2b2 £ 8ab(a2 + 4b2)

a4 +8a2b2 + 16b4 + 16aV ab(8a' + 32b*) a4+16b4.+ 24a2b2 ^ 8a2 + 32b2 a2b2 ̂ a2b2 ^ a2b2 “ ab

a2 16b2 8a 32b-Í- + — 2- + 24> — +---b a b a

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CAPITUI O I

(a - b)~ > 0 =í> a2 + b2 > 2ab => a2c + b2c > 2abc

(a-c)~ >0 => a2+c2>2ac => a2b+c2b>2abc

(b-c)">0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2 > 2abc, sumando

a2c + b2c + a2b + c2b + ab2 + ac2 > 6abc sumando 3abc

abe + a2c + b2c + a2b + abe + c2b + abe + ab2 + ac2 > 9abc

bc(a + b + c+)+ab(a + b + c) + ac(a + b + c)>9abc

(a + b+c)(bc + ab + ac)> 9abc dividiendo entre abe

(a + b+c)(bc + ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' + b " +c > 9

Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:a2 16b2 n . . 8a 32b7T + — r-+24> — +---b a b a

(a - 2b f >0 => a2 - 4ab + 4b2 £ 0 , elevando al cuadrado se tiene:

(a2 +4b2 -4ab)2 >0

(a2 + 4b2 )2 -8ab(a2 + 4b2 ) + 16a2b2 >0 => (a2 +4b2) + 16a2b2 > 8ab(a2 + 4b2)

a4 +8a2b2 +16b4 +16a2b2 ̂ab(8a2 + 32b2) _ a< + i6b4 + 24a2b2 ̂8a2 + 32b2 ¡ V " a2b2 ^ a2b2 ~ ab

a2 16b2 8a 32b— + - 1-+24>— +---b a~ b a

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O Si a2 + b2 = 1, Demostrar que:

-\Í2 <a + b<\¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x + y)'

(a - b) >0 => a2 + b2 £ 2ab => 1 +1 > 2ab + a2 + b2 => (a + b)‘ <2

-s¡2< a + b<\¡2

• 2 2 2

Si a + b = c, a > 0, b > 0, Demostrar que: a3 + b3 > c3

m m mAplicando la propiedad: (a + b)n <an+bn

2 2 2 2 c = a + b => c3 = (a + b)3 < a3 + b3

? i ? de donde c3<a3+b3

a b ̂ cSi a + b > c > 0, Demostrar —— +---->^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c

a + b> c => a + b + 2ab + abc> 0

a + 2ab + b + ac + 2abc + bc>abc + bc + ac+c

a + 2ab + b + c(a + 2ab + b)>bc(a+1) + c(a + 1)

(a + 2ab + b)(c + 1) c(a + 1)(b + l)(a + l)(b + l)(c + l)~ (a + 1)(b + 1)(c + l)

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a + 2ab + b c a + ab + ab + b c>--- => --- r->-(a + 1)(b + l) c + 1 (a + 1)(b + 1) c + 1

3x2 -5x-2 > 0 =>(3x + 1)(x-2)>0

O Si a, b, c > 0, Demostrar que: 3abc < a3 + b3 + c3

Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) > 9abc

a3 + b3 +c3 + (ab2 + a2b + ac2 + be2 + a2c + b2c) > 9abc

ab2 + a‘b+ac"1 + be2 + a2c + b2c = 6abc

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

a ! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3 + b3 + c3 >3abc

Si c > 0, d > 0, 2d * 3c. Demostrar que: — > 1 - — w 3c 4d

(2d - 3c)2 >0 =>4d" - 12dc+9c2 >0 => 4d2 + 9c2 > 12dc

4d2 + 9c2 12dc Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- >12dc 12c

d 3c d 3c— + — >1 => — >1---3c 4d 3c 4d

r /hSi a > 0, b > 0, a * b, demostrar que —ÍL + —¡= > 2

Vb Va

j222¡q¡223I3¡F

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CAPITULO I

...O )

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(Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b + b >0

u o r rz a + b o Va Va VbVb Va Vb ~a + b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= + —= > 2VaV b vavb Va Vb Vb Va

Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2 + c2a2 +a2b2 >abc(a + b+c)

J2¿¡¡22u222í!l2f

(be - ac)2 > 0 => b2c2 + a2c2 > 2abc2

(ca - ab)2 £ 0 => a2c* + a2b2 > 2a2bc

(bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2 >2ab2c sumando

2(b2c2 + a2c2 + a2b2)^2abc(a + b + c)

b2c2+a2c2 + a2b2 £abc(a + b+c)

^ || a + b = 2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4 + b4 >2

J S ü »(a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a + b)‘ =4 => a2 + b2 = 4-2ab

4-2ab>2ab => ab<1

a2 + b2 > 2ab =s> (a2 + b2 )2 £ 4a2 b2 => a4 + b4 > 4a2b2 - 2a2b2

a4 +b4 > 2a2b2 pero ab< 1 de donde a4 +b4 >2

Si a2 + b2 + c2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 1, demostrar que: ax + by + cz < 1

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