Sorgenti di Campo Magneticog p g

Un conduttore (filo) percorso da una corrente genera un campo magnetico !

Quale?Quale?

Prima legge elementare di Laplace:D t t tt i fi it i di filDato un tratto infinitesimo di filo

ds , percorso da una corrente i, il

campo dB prodotto in un punto P

distante r da ds vale:

1

u t : versore di ds

km = 10-7 T m /A ! (H/m) km = μ0 / 4π

μ0 = 4π km = 1.26 10-6 H/m

ur

Direzione e verso di B: prodotto vettoriale, regola

della mano destra

2

P i i l l i di id i i i fi i i i i i il dBPer un circuito qualunque, lo si divide in tratti infinitesimi e si integra il dB

Campo magnetico prodotto da una carica in motoCampo magnetico prodotto da una carica in moto

n dτ : numero di portatori in dτ. Divedendo dB per n dτ si ottiene il

campo prodotto da una singolo portatore

Disco di Rowland, disco carico in rotazione (1878)3

Campi magnetici prodotti da circuiti particolari

Filo rettilineo lungo 2a, percorso da una corrente i

P di ll’ di d l filPrendiamo un punto sull’asse mediano del filo,

a distanza R dal filo.

Un tratto infinitesimo di filo ds, di ascissa s, produce

un campo infinitesimoun campo infinitesimo

4

Notiamo che :

+

Campo entrante nel foglio!

Integrando da -a a a si ottiene il campo prodotto dal filo. (cos (π-θ1) = -cosθ1)

-cosθ1

(cosθ1 = a/r )2

5

Campo totale del filo, lungo 2 a:

B

Se facciamo tendere a all’infinito,

Questa è la Legge di Biot e Savart

6

Il campo magnetico prodotto da un filo

rettilineo indefinito è tangente a g

circonferenze che hanno come centro il

filo stesso. Il verso è dato dalla regolafilo stesso. Il verso è dato dalla regola

della mano destra e la sua intensità cala

con il raggio Vi li bil l li t di fcon il raggio. Visualizzabile con la limatura di ferro

7

Spira circolare

Campo magnetico prodotto da una spira circolare,

percorsa dalla corrente i in un punto P lungo l’assepercorsa dalla corrente i , in un punto P lungo l asse,

distante x dal centro della spira.

Prendiamo un elemento infinitesimo ds che genera

un campo infinitesimo dB ( ds ⊥ r ) •rθ

θx

θ

8

dato che :dato che :

al centro della spira x = 0al centro della spira, x 0

per x >> R

Se iπ R2 un = iΣ un lo indichiamo con m9

C f i il l i di di l l iConfrontiamo questo campo con il campo elettrico di un dipolo elettrico

B

hanno la stesa forma.

Allora chiamiamo m Momento di dipolo magnetico della spirap g p

Valgono formule analoghe a quelle che abbiamo visto per il Momento di

dipolo elettrico:dipolo elettrico:

Campo prodotto dal dipolo magnetico

10

Attenzione alla differenza fondamentale:

Le linee di campo di E non sono chiuse (E conservativo)

quelle di B sì (B solenoidale)

11

Solenoide rettilineoSolenoide rettilineo

Filo conduttore avvolto a elica cilindrica strettaFilo conduttore avvolto a elica cilindrica stretta

(piccolo passo)

Raggio R , lunghezza d, N spire:

n = N/d = numero di spire per unità di lunghezza ( lunghezza totale del filo

L = N 2 π R)

P di t tt i fi it i d di l idPrendiamo un tratto infinitesimo, dx, di solenoide,

contiene ndx spire. Il campo dB prodotto in un

punto P sull’asse x, di ascissa x0, è:

12

parallelo all’asse x

ma

13

Sommando su tutte le spire = integrando inSommando su tutte le spire = integrando in

dφ , da φ1 (prima spira) a φ2 (ultima spira)

(φ’2 = π - φ2)

Se si prende l’origine delle x nel centro del solenoide (OP = x), si ha

( cosφ1 = (d/2 +x)/((d/2 +x)2 +R2)½ )

14

B ha il massimo per x = 0, centro del solenoide

poi cala simmetricamentepoi cala simmetricamente.

Al centro delle spire più esterne ( x = ± d/2) si ha :

Se d >> R, in tutto il solenoide:

Formula “standard” per Bp

15

16

Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da correnteAzioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente

Prendiamo due fili rettilinei, paralleli abbastanza vicini

da poterli considerare indefiniti (L >> r ), percorsi dalle

correnti i1 e i2 .

Ogni tratto dl2 risente della forza dF12 dovuta al campo

magnetico B1 prodotto dalla corrente i1magnetico B1 prodotto dalla corrente i1

P i ità di l h l f lPer ogni unità di lunghezza la forza vale

attrattiva (> 0) se u1 e u2 sono paralleli, repulsiva se sono antiparalleli

17

La grandezza elettrica fondamentaleLa grandezza elettrica fondamentale

Coulomb: impossibile da realizzare praticamente

Ampere: più semplice, ma come definirlo senza passare per il Coulomb?

data F12

Definizione della Conferenza Internazionale dei Pesi e Misure, 1960:,

“L’intensità di corrente di 1 A è quella che circolando in due fili

ttili i ll li di t ti 1 dà l frettilinei paralleli distanti r = 1 m dà luogo a una forza

F = μo/2π = 2 10-7 N

per metro di ciascun conduttore”

In pratica così si fissa anche il valore di μo a 4π 10-7 H/m

18

p μo

La Legge di AmpereLa Legge di Ampere

Dato un filo rettilineo percorso da una corrente i (uscente dal foglio), il

campo B è sempre tangente alla circonferenza di raggio r

Prendiamo uno spostamento ds lungo la

circonferenza e consideriamo il prodotto scalare

Per un arco finito CD integriamo tra 0 e θ

19

L’integrale dipende solo da θ e non dal cammino specifico.

Se si va da D a C il risultato èSe si va da D a C il risultato è

Se si percorre un un circuito chiuso

20

Si possono avere due casi:Si possono avere due casi:

1) La linea chiusa contiene il filo percorso da corrente1) La linea chiusa contiene il filo percorso da corrente,

“concatena la corrente”

2) La linea chiusa non contiene il filo percorso da corrente,

non “concatena” alcuna corrente

21

Questo risultato vale per qualunque linea chiusa anche non piana eQuesto risultato vale per qualunque linea chiusa, anche non piana, e

anche per molti conduttori percorsi da correnti diverse.

Si enuncia, quindi, il Teorema di Ampere:

“La circuitazione del campo magnetico B lungo un percorso C è uguale La circuitazione del campo magnetico B lungo un percorso C è uguale

alla somma di tutte le correnti concatenate con C, moltiplicata per μ0 “

Se non ci sono correnti concatenate

N.B. B è prodotto da tutte le correnti presenti, invece i sono solo quelle

concatenate22

F l l d l T di AForma locale del Teorema di Ampere

Applichiamo il teo di Stokes alla circuitazione di BApplichiamo il teo. di Stokes alla circuitazione di B

Σ è una superficie qualsiasi che ha C come contorno.

Attraverso Σ passano le varie i concatenate con C

Quindi possiamo scrivere.Q p

j sarà diversa da zero solo dove il conduttore interseca Σ

23

usando le due relazioni si passa dausando le due relazioni si passa da

aΣ Σ

Dato che Σ è una superficie qualsiasi, i due integrandi devono essere uguali,

quindi

che è la forma locale del Teorema di Ampereche è la forma locale del Teorema di Ampere

∇ x B e j sono perpendicolari a B∇ x B e j sono perpendicolari a B

24

EsempiEsempi

1) Filo indefinito di raggio R percorso dalla

corrente i. Determinare B in funzione di r

B ha simmetria cilindrica tangente, quindi la

legge di Ampere diventa: (r ≥ R)

All’interno del filo (r < R), se j è uniforme = i / π R2,

la corrente concatenata a circonferenza di raggio

r è j π r2 , quindij , q

25

2) Solenoide rettilineo indefinito

Calcolare B

Calcoliamo la circuitazione di B lungo un circuito

rettangolare (ABCD) con il lato AB sull’asse del

cilindro .

Per simmetria B deve essere parallelo all’asse ePer simmetria B deve essere parallelo all asse e

uniforme. Supponiamo, pure, che B sia nullo

f ori dal solenoide Q indifuori dal solenoide. Quindi

Il risultato non cambia se AB non sta sull’asse ma è solo parallelo all’asse.

Quindi B è uniforme e uguale in tutto il solenoide (indefinfito).26

3) Solenoide toroidale ( toro = ciambella!)

N spire, rint e rest , corrente i.

Trovare B

Per simmetria le linee di campo di B sono

i f t i hcirconferenze concentriche.

solo se ri t ≈ r t ≈ r dsolo se rint ≈ rest ≈ rmed

27

P i tà ti h d ll t iProprietà magnetiche della materia

Come si comportano i materiali in presenza di un campo magnetico ?

Prendiamo un solenoide indefinito: B0 =

Definiamo il vettore H = B/μ0 = n i

Riempiano completamente il solenoide

con un materiale omogeneocon un materiale omogeneo

28

Misuriamo B all’interno del materiale: B risulta parallelo a B0 e

km (numero puro) si chiama permeabilità magnetica relativa (a quella

del vuoto) del materiale Alloradel vuoto) del materiale. Allora

definiamo permeabilità magnetica assoluta del materiale

h l t di i i diμ ha le stesse dimensioni di μ0

H (= n i) dipende dal circuito, μ descrive le proprietà magnetiche del mezzo

29

e sono valide per circuiti di qualunque formae sono valide per circuiti di qualunque forma

Allora se un circuito è immerso in un mezzo di permeabilità magnetica

relativa km allora la legge Ampere-Laplace diventa.

La legge di Ampere diventa

30

Chiamiamo suscettività magnetica:

= (B –B0)/B0

Definiamo un nuovo vettore: il vettore magnetizzazione

allora

l’i t ità d l ti l l id i ò il’intensità del campo magnetico nel solenoide si può scrivere

31

il d t i i ò d i d diil secondo termine si può vedere in due modi

μ0 (χmn ) i come se ci fossero altre χmn spire per unità di lunghezza

μ0 n (χm i) come se nelle n spire per unità di lunghezza circolasse

una extra corrente χm i

In effetti si può dire che sulla superficie esistono delle correnti di origine

atomica, prodotte dal campo B0 (vedi cariche di polarizzazione nei

dielettrici). Queste correnti di dicono Amperiane32

L i di id i i d d ll i lLe sostanze si dividono in tre categorie, a seconda della risposta al campo

magnetico esterno:

1) Sostanze Diamagnetiche

Caratterizzate da km < 1 χm < 0, B < B0

Le correnti amperiane circolano in verso opposto a quelle nel solenoide.

M è t H Eff tt lt i l ( 10 5)M è opposto a H. Effetto molto piccolo ( ≈ -10-5)

33

2) Sostanze Paramagnetiche) g

Caratterizzate da km > 1 χm > 0, B > B0

Le correnti amperiane circolano nello stesso verso di quelle nel solenoide.

M è concorde con H. Effetto piccolo ( ≈ 10-4)M è concorde con H. Effetto piccolo ( 10 )

χm dipende dalla temperatura secondo la I legge di Curie :

ρ è la densità e C è la Costante di Curie

34

3) Sostanze ferromagnetiche (FM)) g ( )

Sostanze FM: Fe, Co, Ni, qualche TR, loro leghe (metalli)Sostanze FM: Fe, Co, Ni, qualche TR, loro leghe (metalli)

In questi metalli km e χm non sono costanti ma dipendono fortemente

da H e dalla storia. km sta nel range 103 – 105 (>0) quindi B >>B0

(Correnti Amperiane concordi con i vera e molto intense)(Correnti Amperiane concordi con i vera e molto intense)

La relazione tra H e B (B(H)) non è

univoca e non può essere prevista a priori.

Va misurata.

35

Poi M (H) = B(H) /μ0 - H( ) ( ) μ0

Ciclo di Isteresi (simmetrico):( )

Msat , Mr , Hm , Hc

Mr = Br /μ0Mr Br /μ0

Il ciclo si “stabilizza” dopo vari cicli.Il ciclo si stabilizza dopo vari cicli.

Inizialmente materiale “vergine”

( ff dd t l t t i(raffreddato lentamente senza campi

magnetici)

Poi, al crescere di i e H si ha la “curva di prima magnetizzazione.

36

B / H k B / H / k 1 t tti f i i di Hμ = B / H , km = B /μoH = μ/μo , χm = km -1 sono tutti funzioni di H

seconda Legge di Curie: gg

TC temperatura di Curie.

Al di sotto di TC χ non è definita al di sopra il FM diventa

Ciclo di isteresi = Diagramma di stato

Al di sotto di TC χm non è definita, al di sopra il FM diventa

paramagnetico

Ciclo di isteresi = Diagramma di stato

dipende da natura e composizione del materiale.

Materiali magnetici “duri” e “ dolci”duri : memorie ; dolci: trasformatori

Lavoro per magnetizzare un volume unitario: dW = B dH

Area B(H) = energia dissipata per unità di volume

37

Meccanismo di Magnetizzazione e Correnti AmperianeMeccanismo di Magnetizzazione e Correnti Amperiane

N li i i d ibili i i i di i di di lNegli atomi esistono due possibili origini di un momenti di dipolo

magnetico (m.d.m.):

a) gli elettroni che ruotano attorno al nucleo corrispondono a

microscopiche spire con relativo m.d.m. (orbitale)

b) ogni elettrone possiede un suo m.d.m. intrinseco (spin)

In presenza di un campo magnetico gli elettroni modificano le orbite

In genere in un atomo tutti i momenti, orbitale e di spin, si compensano

In presenza di un campo magnetico gli elettroni modificano le orbite

quindi il loro momenti orbitali variano e la somma non è più nulla.

38

Il nuovo momento produce un campo che si oppone a quello che lo haIl nuovo momento produce un campo che si oppone a quello che lo ha

provocato con un m.d.m. atomico

m = α H = α B /μma = – αa H = – αa B /μo

B < Bo : Diamagnetismo! ( Cfr. Di(a)elettrici )o g ( ( ) )

Ma se i momenti orbitale e di spin non si compensano,

l’atomo ha già un suo momento che si orienta secondo il

campo esterno, rafforzandolo: B > Bo : Paramagnetismo

Però l’agitazione termica si oppone all’allineamento,

i di il d i h l fquindi il m.d.m. atomico ha la forma

39

Ferromagnetismog

Fenomeno di carattere quantistico. Grandissimi blocchi di atomi

ti i t tti t t lli ti D i i di W iparamagnetici tutti spontaneamente. allineati: Domini di Weiss.

Senza campo esterno i domini sono orientati a caso, ma con anche piccoli p p

campi quelli favoriti crescono e gli altri si riducono, con enorme aumento di

B e M, finchè tutto il materiale è un unico dominio.B e M, finchè tutto il materiale è un unico dominio.

Togliendo il campo B e M non tornano a zero e il materiale resta

magnetizzato.40

Il vettore magnetizzazione MIl vettore magnetizzazione M

Dato un volumetto τ che contiene N atomi/molecole, se sia applica , pp

Bo = μo H, τ acquista m = N <m>

D fi i il V tt M ti i MDefiniamo il Vettore Magnetizzazione M

M = m/τ = N/τ <m> = n <m>

n densità di atomi/molecole

Diamagnetici: M = - nαaH = χm H

Paramagnetiche: M = χm H

M è uniforme se è costante nel mezzo :

amorfi, a simmetria cubica, in B uniforme, ,

41

P di ili d M if ll l ll’Prendiamo un cilindro con M uniforme e parallelo all’asse

del cilindro.

Ora un disco di spessore infinitesimo dz. Dividiamolo in

prismetti di area dΣ e volume dτ = dΣ dz. Ognuno ha

momento magnetico

dm = M dτ = M dΣ dz uz.

Potremmo sostituirlo con una spira di area dΣ percorsa

da una corrente dida una corrente dim.

Quanto deve essere dim ? : M dz

42

Se prendiamo due prismetti adiacenti, le correnti sui lati di

contatto si annullano e restano solo le correnti sui lati

esterni. Continuando con tutti i prismetti del disco restano este . Co t ua do co tutt p s ett de d sco esta o

solo le correnti sulla superficie esterna.

Tutto il disco equivale a una spira alta dh percorsa dalla corrente dim = M dz

Integrando su tutto il cilindro, si ha che esso equivale a una fascia alta h

percorsa dalla corrente (correnti Amperiane)

im = M h per cui M = im / h = js,m

43

N.B. js m è una densità lineare di corrente, A/m, indica la corrente js,m , ,

per unità di altezza del cilindro!

se indichiamo con un il versore del raggio del

cilindro possiamo scrivere js m = M x unp js,m n

essendo js,m tangente al cilindro.

Se calcoliamo la circuitazione di M lungo il

percorso indicato in figura, dato che M è diverso

da zero solo nel cilindro

44

Dato che le linee di campo di B sono sempre chiuse (non esiste il mono-poloDato che le linee di campo di B sono sempre chiuse (non esiste il mono polo

magnetico !), il flusso di B attraverso una superficie chiuse è sempre nullo

e utilizzando il teorema delle divergenzae utilizzando il teorema delle divergenza

Queste sono le due forme della Legge di Gauss per il campo magnetico.

45

B è solenoidale.

Proprietà dei campi solenoidali: Se il flusso attraverso un sup. chiusa è nullo

il Flusso attraverso una superficie aperta dipende solo dalla linea di

“contorno” della superficie stessa e non dalla sua forme o estensione.co to o de a supe c e stessa e o da a sua o e o este s o e.

46

Differenze tra campo elettrico, E, e campo magnetico B

47

Equazioni generali della magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati

Legge di Ampere modificata per tener conto delle correnti Amperiane

(N B t è l t i i t d tt d M ll di d !)(N.B. questa non è la estensione introdotta da Maxwell, vedi dopo!)

Ricordando che

Legge di Ampere per H

Legge di Gauss per B

N.B. In Fisica: B: campo magnetico, H: campo magnetizzante

Elettrotecnica, ecc. : B: Induzione magnetica, H campo magnetico!48

Magnete toroidaleSolenoide toroidale riempito di materiale con permeabilità magnetica relativa km.

Calcolare H, B e M nel materiale.

Applichiamo la Legge di Ampere per H:

49