spinta delle terre sulle strutture di sostegno

7/25/2019 Spinta delle terre sulle strutture di sostegno

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S. Rampello, L. Callisto, L. Masini2

con buona approssimazione la soluzione del problema. In queste analisi si valutano dapprimai carichi o le condizioni geometriche corrispondenti allo sviluppo di un meccanismo dicollasso; successivamente, si esprime un giudizio sulla sicurezza dellopera attraverso unamisura della distanza dal meccanismo di collasso studiato. Questa distanza pu essere

quantificata in diversi modi: attraverso coefficienti che moltiplichino le azioni o che riducanola resistenza globale del sistema, o che intervengano direttamente sui parametri di resistenzadel terreno, o ancora che intervengano sulle propriet geometriche del sistema.

Le verifiche nei confronti degli stati limite ultimi di tipo strutturale richiedono invece unavalutazione attendibile delle massime sollecitazioni che si sviluppano nella strutturainteragente con il terreno. Questa valutazione richiede uno studio di interazione terreno struttura, secondo modalit anche fortemente semplificate, che consenta di giungere a unavalutazione realistica del comportamento dellopera; perci essa si differenzia dallo studio deimeccanismi di collasso di tipo geotecnico che studiano invece direttamente una condizionelimite, al fine di evitare che essa si verifichi.

Per studio delle condizioni di collasso di unopera di sostegno necessario determinare leazioni che il terreno scambia con lopera in corrispondenza di una completa mobilitazionedella propria resistenza. Perci, nel seguito sono illustrate alcune delle soluzioni disponibili

per la valutazione delle spinte nelle condizioni limite attive a passive, riferite sia allecondizioni statiche, sia a quelle in cui le azioni sismiche siano portate in conto secondo unapproccio pseudostatico. Si discute quindi dellutilizzo di queste soluzioni per le analisi dellasicurezza e per le analisi di interazione di una struttura di sostegno, mettendo in evidenza lediverse procedure da seguire in dipendenza dei differenti obiettivi delle analisi. Nella partefinale, si ritorna sulla valutazione delle azioni in condizioni sismiche, mostrando che ilmetodo pseudostatico, e quindi lo studio delle azioni scambiate con il terreno in condizionilimite, pu essere riguardato come uno strumento che consente una stima, ancorch indiretta

e di tipo convenzionale, della prestazione sismica dellopera.

2. CONDIZIONI LIMITE

2.1. Metodi di analis i

Le spinte agenti sulle strutture di sostegno nelle condizioni limite possono essere valutateapplicando i teoremi di estremo della teoria della plasticit perfetta, il metodo dellecaratteristiche e il metodo dellequilibrio limite.

I teoremi di estremo della teoria della plasticit perfetta sono il teorema dellestremo inferiore,o teorema statico, e il teorema dellestremo superiore, o teorema cinematico. Essi possonoessere dimostrati a partire da tre ipotesi fondamentali:

terreno assimilabile ad un mezzo rigido plastico perfetto, con superficie diplasticizzazione f(

) = 0 fissa nello spazio delle tensioni e deformazioni plasticheindefinite;

superficie di plasticizzazione convessa nello spazio delle tensioni;

superficie di plasticizzazione coincidente con il potenziale plastico (legge di flussoassociata). In queste condizioni, il vettore che rappresenta lincremento di deformazione

plastica ortogonale alla superficie (condizione di normalit) e langolo di dilatanza


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risulta pari allangolo di resistenza al taglio : = tan-1(-dnp/dp) = . Al finito, la

suddetta ipotesi implica una condizione di compatibilit cinematica secondo la quale ilvettore che rappresenta lincremento di spostamento (o vettore velocit) deve essereinclinato di un angolo rispetto alla superficie di scorrimento; questa condizione limita

le possibili forme delle superfici di scorrimento a tratti rettilinei o ad archi di spiralelogaritmica.

La prima ipotesi accettabile per terreni che non presentino un sensibile decadimento dellaresistenza con il procedere delle deformazioni (comportamento duttile). La seconda confermata da numerose evidenze sperimentali ed supportata da considerazioni teorichesulla stabilit del comportamento del materiale. La terza invece non sperimentalmenteverificata per mezzi attritivi (sabbie sciolte o addensate e argille in condizioni drenate) per iquali risulta < . Tuttavia, lapprossimazione introdotta conduce ad errori in generaleaccettabili, che si riducono al crescere del volume di terreno interessato dal meccanismo

plastico.

Il teorema dellestremo inferiore (teorema statico) stabilisce che, se una configurazione diforze esterne in equilibrio con una distribuzione di tensioni interne che non viola in nessun

punto il criterio di resistenza, il collasso non pu verificarsi e le forze esterne rappresentanoun limite inferiore del carico di collasso, o al pi coincidono con esso.

Il teorema dellestremo superiore (teorema cinematico) stabilisce che, se in un meccanismo dicollasso cinematicamente compatibile il lavoro compiuto dalle forze esterne eguaglialenergia dissipata dalle tensioni interne, si verifica certamente il collasso e i carichi esternirappresentano un limite superiore dei carichi di collasso, o coincidono con essi.

Quindi, nel teorema dellestremo inferiore si considerano le condizioni di equilibrio e lacondizione di plasticit, che devono essere soddisfatte in ogni punto, e si determina laconfigurazione dei carichi esterni in equilibrio con la distribuzione interna delle tensioni,

prescindendo da qualsiasi considerazione sul meccanismo di collasso. Invece, nel teoremadellestremo superiore si ipotizza un meccanismo di collasso cinematicamente compatibile esi ricava la configurazione dei carichi esterni da una eguaglianza dei lavori virtuali, senzaanalizzare le condizioni di equilibrio allinterno della massa di terreno. Una scelta opportunadei campi di tensione o dei campi di velocit permette di restringere lintervallo in cui ricadela soluzione esatta del problema.

Il metodo delle caratteristiche si basa sul presupposto che in una massa di terreno incondizioni di equilibrio limite devono essere soddisfatte le equazioni di equilibrio e il criteriodi resistenza, assimilato alla condizione di plasticit. Sostituendo la condizione di plasticit

nelle equazioni di equilibrio si ottiene un sistema di equazioni differenziali di equilibrioplastico, derivate per la prima volta da Ktter (1903) per il caso di stato piano dideformazione. Il sistema di equazioni individua due famiglie di curve, denominate curvecaratteristiche, che si intersecano formando un angolo pari a (/2 ), e che vengonoutilizzate come coordinate curvilinee per la risoluzione delle equazioni differenziali. Unasoluzione in forma chiusa con il metodo delle caratteristiche stata ottenuta da Prandtl (1921)

per la determinazione del carico limite di una fondazione superficiale posta su un terrenoprivo di peso; la soluzione si complica per notevolmente se si prende in considerazione ilpeso del terreno. Nel seguito si far riferimento alla soluzione di Sokolovskii (1965), propostaper la determinazione delle spinte su una parete di sostegno e basata su unapprossimazionealle differenze finite delle equazioni delle linee caratteristiche.


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Il metodo dellequilibrio limite globale certamente il pi diffuso tra i metodi per lanalisi deiproblemi di stabilit. Esso, ovviando allintroduzione di relazioni sforzi deformazioni, fariferimento su basi intuitive alle soluzioni di estremo superiore e consiste nellimporre lecondizioni di equilibrio limite ad un corpo rigido delimitato dalla parete di sostegno e da una

superficie di scorrimento di forma prefissata. Le spinte trasmesse al contatto parete terrenonelle condizioni limite vengono determinate ricercando la superficie di scorrimento critica cuicorrisponde il minimo valore del carico di collasso. Le soluzioni cos ottenute fornisconorisultati accettabili in dipendenza della forma assunta per la superficie di scorrimento. Dalmomento che nel metodo non definito lo stato tensionale, n allinterno n allesterno dellasuperficie considerata, non possibile provare che le equazioni di equilibrio ed il criterio diresistenza siano soddisfatti e pertanto che la soluzione costituisca un estremo inferiore delcarico di collasso. Infine, quantunque esso si fondi sulla medesima filosofia del teoremadellestremo superiore, a rigore la soluzione non costituisce un limite superiore del carico dicollasso perch alla superficie di scorrimento non associato alcun campo di velocit.

Alla luce di queste considerazioni il metodo dellequilibrio limite non pu essere consideratoun metodo rigoroso; tuttavia esso presenta un carattere generale e pu essere applicato aiproblemi di stabilit delle strutture di sostegno, delle fondazioni e dei pendii. Risulta inoltreestremamente flessibile e permette di ottenere soluzioni accettabili di problemi caratterizzatida geometrie complesse, con terreni stratificati e in presenza di pressioni interstiziali.Lesperienza ha inoltre mostrato che le soluzioni fornite dal metodo dellequilibrio limite nondifferiscono molto da quelle ottenute con metodi pi rigorosi se la forma delle superfici discorrimento scelta opportunamente.

Per lapplicazione dei metodi descritti alla determinazione della spinta delle terre trasmessa auna parete nelle condizioni limite si distingue tra spinta attiva e resistenza passiva. Siconsideri, ad esempio, un recipiente pieno di terreno granulare e dotato di una parete mobile.

Affinch la parete sia in equilibrio sotto lazione della spinta esercitata dal terreno incondizioni di riposo necessario applicare una forza S= S0. Riducendo il valore di tale forzala parete si allontaner dal terreno e lo stato tensionale nel terreno raggiunger le condizionilimite in corrispondenza di un decremento della forza pari a Sa. Analogamente, aumentando

progressivamente la forza S0la parete si sposter verso il terreno sino al raggiungimento dellecondizioni limite per un incremento di forza Rp (Fig. 1). Nel primo caso il terreno svolge unafunzione attiva sulla parete e lazione trasmessa in condizioni limite viene di conseguenzadenominata spinta attiva Sa (= S0 Sa); nel secondo invece il terreno subisce lazione della

parete e lazione trasmessa prende il nome di resistenza passivaRp(= S0+ Rp).

Figura 1: Condizioni di equilibrio limite attivo (a) e passivo (b).


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Il teorema dellestremo inferiore fornisce una limite inferiore rispetto alla soluzione esatta, equindi una stima per difetto di Sa e di Rp; si ottiene quindi una sovrastima della spintaattiva e una sottostima della resistenza passiva. Al contrario, il teorema dellestremo superiorefornisce una limite superiore rispetto alla soluzione esatta, e quindi una stima per eccesso di

Sae di Rp; si ha in questo caso una sottostima di Sae una sovrastima di Rp. Pertanto, lesoluzioni statiche forniscono valori limite delle azioni trasmesse sulla parete compresi tra Saed Rp, mentre le soluzioni cinematiche forniscono valori esterni a tale intervallo.Conseguentemente, con il teorema cinematico dellanalisi limite, e nei metodi dellequilibriolimite, ad esso riconducibili, deve ricercarsi il cinematismo di collasso critico che rendemassima la spinta attiva e minima la resistenza passiva.

2.2. Soluzioni disponibili

Nei paragrafi successivi sono richiamate alcune delle soluzioni disponibili per la valutazionedelle azioni trasmesse dal terreno alla parete nelle condizioni limite attiva e passiva.Specificamente, le soluzioni ottenute mediante il teorema statico dellanalisi limite, cheforniscono una stima cautelativa della spinta attiva e della resistenza passiva, sono confrontatecon quelle ottenute applicando il teorema cinematico dellanalisi limite o i metodidellequilibrio limite, che forniscono una stima non cautelativa di SaeRp. Per il caso di pianocampagna orizzontale, si considera anche la soluzione di Sokolovskii (1965), ottenuta con ilmetodo delle linee caratteristiche.

Il confronto effettuato considerando i coefficienti che forniscono la spinta attiva o laresistenza passiva agenti in direzione ortogonale alla parete, sia per le condizioni statiche, siain presenza di azioni sismiche. Le soluzioni sono riferite al caso elementare di terreno

omogeneo (= cost) e privo di coesione (c= 0), con pressioni interstiziali nulle (u= 0) e inassenza di sovraccarico al piano campagna (q= 0).

Per rendere pi agevole il confronto tra le diverse soluzioni di letteratura, le relazioni sonostate riscritte utilizzando gli stessi simboli per le diverse grandezze, sebbene questo implichidelle variazioni rispetto alla formulazione originaria degli Autori. In particolare, nel seguito siindica con langolo di attrito al contatto parete terreno, con i linclinazione del pianocampagna rispetto allorizzontale e con linclinazione della parete rispetto alla verticale. Laconvenzione sui segni di queste grandezze riassunta nella Figura 2. Nelle condizioni limiteattive, langolo di attrito positivo se le tensioni tangenziali trasmesse dal terreno alla

parete sono dirette verso il basso, congruentemente con un cinematismo in cui il terreno si

abbassa rispetto alla parete quando questa se ne allontana; nelle condizioni limite passive, positivo se le tensioni tangenziali trasmesse dal terreno alla parete sono dirette verso lalto,congruentemente con un cinematismo in cui il terreno si solleva rispetto alla parete quandoquesta viene spinta contro il terrapieno. In entrambi i casi, linclinazione idel piano campagnae quella della parete sono positive se producono un aumento del volume di terrenointeressato dal meccanismo di scorrimento plastico.

La Tabella 1 riassume le principali caratteristiche delle soluzioni discusse nel seguito per lecondizioni statiche.

La ricerca delle condizioni limite con un approccio di tipo statico stata affrontata per laprima volta da Rankine (1857) per un mezzo puramente attritivo (), ed estesa

successivamente da Bell (1915) al caso di terreni dotati di coesione e attrito (c, ).


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Figura 2: Notazioni di segno per langolo di attrito tra terreno e parete, linclinazione idel pianocampagna e quella del paramento, in condizioni di equilibrio limite attivo (a) e passivo(b).

Tabella 1. Soluzioni disponibili per gli stati limite in condizioni statiche.

Autori Sokolovskii(1965)

Rankine(1857)

Lancellotta(2002))

Mylonakis et al.(2007)

Coulomb(1773)

Muller Breslau(1906)

Caquot eKerisel(1948)

Chen(1975)

metodo lineecaratter.

appr. statico estr. inferioreappr. statico

equil. limiteappr. cinemat.

sup. piana

equil. limiteappr. cinemat.sup. curvilinea

estr. superioreappr. cinemat.sup. curvilinea

s 0 s 0 s s si 0 s s 0 s s s

s 0 0 s 0 s s s

La teoria di Rankine presenta notevoli analogie con le soluzioni derivanti dal teorema staticodellanalisi limite. In essa si assume che lo stato tensionale agente su una parete verticale siaquello esistente, in condizioni limite, sulla corrispondente giacitura verticale pensataappartenente a un semispazio indefinito. Questa ipotesi non consente di tenere contodellattrito al contatto parete terreno, essendo questo un fenomeno locale; le tensioni agentisulla giacitura verticale nelle condizioni limite assumono una distribuzione triangolare, conretta dazione parallela al piano campagna, assunto orizzontale o indefinitamente inclinato diun angolo isullorizzontale.

La scabrezza del contatto parete terreno produce uno stato tensionale non omogeneo nel

terreno che interagisce con la struttura di sostegno. Infatti, mentre a grande distanza non sirisente dellattrito tra parete e terreno e le direzioni principali di tensione sono fissate (ad es.:direzioni verticale e orizzontale per piano campagna orizzontale), in prossimit della parete la

presenza di tensioni tangenziali su giaciture verticali produce una rotazione delle direzioniprincipali. Avvicinandosi alla parete, si verifica quindi una progressiva rotazione delledirezioni principali di tensione, che pu essere descritta mediante la composizione di rotazioniinfinitesimali, ciascuna delle quali pu pensarsi prodotta da una discontinuit infinitesimadello stato tensionale tra due regioni contigue. Una volta assunta una distribuzione delletensioni congruente con questa intuizione fisica, e compatibile con lequilibrio e la legge di

plasticit, il teorema statico dellanalisi limite ne assicura la validit. La soluzione pu essereespressa fornendo la tensione efficace agente in direzione normale al contatto parete terreno

in funzione della tensione efficace valutata nella regione distante dalla parete (Lancellotta,


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2002; Mylonakis et al., 2007). Queste soluzioni forniscono una stima cautelativa delle azionitrasmesse alla parete nelle condizioni limite e possiedono anche il pregio di essere espresse informa chiusa.

In alternativa, le condizioni di stato limite attivo e passivo in presenza di una parete scabrapossono essere studiate utilizzando il teorema dellestremo superiore dellanalisi limite o imetodi dellequilibrio limite. In essi si segue un approccio di tipo cinematico e si ottiene unastima non cautelativa delle azioni trasmesse alla parete. Tra le soluzioni ottenute applicando ilteorema cinematico si considera nel seguito quella proposta da Chen (1975); in essa ilmeccanismo plastico delimitato da una superficie di scorrimento, cinematicamentecompatibile, formata da due tratti rettilinei raccordati da un arco di spirale logaritmica (vediFig. 3). I metodi dellequilibrio limite sono invece distinti in base alla forma assunta per lasuperficie di scorrimento. Essa piana nei metodi derivati dalla soluzione di Coulomb (1773),estesa da Mayniel (1808) al caso di parete scabra e da Muller Breslau (1906) al caso generaledi parete e piano campagna inclinati; invece curvilinea, e composta da un tratto rettilineo e

da un arco di spirale logaritmica, nella soluzione di Caquot e Kerisel (1948). In tutti i casiconsiderati, il meccanismo di collasso critico, che rende massima la spinta attiva e minima laresistenza passiva, viene ricercato variando gli angoli che individuano la superficie discorrimento. opportuno sottolineare che lipotesi di superficie di scorrimento pianaformulata nelle soluzioni di Coulomb, Mayniel e Muller Breslau non compatibile con la

presenza di una scabrezza al contatto terreno parete: in questo caso, avvicinandosi allaparete si verifica una rotazione della direzione locale delle giaciture di scorrimento (effettoduale a quello della rotazione delle direzioni principali di tensione nellapproccio statico) e diconseguenza la superficie di scorrimento non pu essere planare. Si pu mostrare chelassunzione di una superficie piana comporta un errore a sfavore di sicurezza nella stimadelle azioni sulla parete; questo errore modesto nelle condizioni limite attive, ma pu

risultare inaccettabilmente elevato nelle condizioni limite passive, in dipendenza dei valoriassunti da e .

Tutte le soluzioni di tipo cinematico sono espresse in termini di azioni risultanti sulla parete,in quanto il metodo non consente di valutare la distribuzione delle tensioni. Si assume ingenere che la distribuzione delle tensioni limite sia analoga a quella ottenuta dalle soluzioniche utilizzano il teorema statico; ad esempio, per le semplici condizioni considerate (= cost,c= 0, u= 0, q= 0) si assume che la risultante sia applicata a 1/3 dellaltezza della parete, ecio implicitamente che le tensioni agenti sulla parete abbiano una distribuzione lineare.

Le azioni sismiche possono essere portate in conto con il metodo pseudostatico, nel quale siassume che un fissato valore dellaccelerazione agisca uniformemente nel volume di terreno

esaminato. La Tabella 2 riassume le principali caratteristiche delle soluzioni pseudostatichediscusse nel seguito.

Nelle soluzioni in forma chiusa, ottenute applicando il teorema dellestremo inferioredellanalisi limite, il problema pseudostatico pu essere ricondotto a un problema staticoequivalente operando una rotazione degli assi di riferimento tale da far assumere al vettorerisultante delle azioni di volume la direzione verticale. Nelle soluzioni di seguito considerate(Lancellotta, 2007; Mylonakis et al., 2007), le tensioni limite normali alla parete si ottengono,come per le condizioni statiche, partendo da una distribuzione dello stato tensionale in

prossimit della parete che sia equilibrata e rispettosa del criterio di resistenza.

Un limite superiore della soluzione esatta invece fornito dalla soluzione di Chang (1981)

(descritta anche in Chen e Liu, 1990), ottenuta mediante il teorema dellestremo superiore


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Figura 3: Superficie di scorrimento assunta nella soluzione di Chang (1981) (Chen e Liu, 1990).

Tabella 2. Soluzioni disponibili per gli stati limite in condizioni pseudostatiche.

Autore Lancellotta(2007)

Mylonakis et al.(2007)

Mononobe Okabe

(1924) (1929)

Chang(1981)

metodo estr. inferioreappr. statico

estr. inferioreappr. statico

equil. limiteappr. cinemat.

sup. piana

estr. superioreappr. cinemat.sup. curvilinea

s s s si s s s s

0 si si s

dellanalisi limite, in cui si considera, in aggiunta alla forza peso, lazione della forza staticaequivalente al sisma che agisce sul volume di terreno delimitato dalla superficie di

scorrimento. Analogamente alla soluzione di Chen (1975), si assume anche in questo caso unasuperficie di scorrimento mistilinea, costituita da due tratti rettilinei e da un arco di spiralelogaritmica e, variando gli angoli ( e ) che individuano la superficie di scorrimento, siricerca il meccanismo critico che massimizza la spinta attiva o minimizza la resistenza passiva(Fig. 3).

Una stima non cautelativa pu infine essere ricavata con il metodo dellequilibrio limite,considerando la soluzione di Mononobe Okabe (Okabe, 1924; Mononobe e Matsuo, 1929)ottenuta estendendo al caso pseudostatico la soluzione di Coulomb, nellipotesi di superficiedi scorrimento piana. Valgono per questa soluzione gli stessi limiti di applicabilit, derivantidalla planarit delle superfici di scorrimento, se impiegata per valutare le spinte in presenza di

attrito parete terreno.

2.3. Stato limite attivo e passivo

Nel seguito si riassumono le espressioni che permettono una valutazione in forma chiusa delleazioni trasmesse alla parete nelle condizioni di equilibrio limite attivo e passivo; in esse, ilsegno superiore riferito alle condizioni limite attive e quello inferiore alle condizioni limite

passive. Successivamente si mostra il confronto tra le soluzioni discusse nel paragrafoprecedente.


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2.3.1. Condizioni statiche

La soluzione di Rankine (1857) per le tensioni efficaci limite agenti in direzione normale aduna giacitura verticale pu essere scritta nella forma:

( ) ziKizii

iii =

= coscos

coscoscos

coscoscoscos pa,22

22

pa,m

(1)

dove per ( )iz cos deve intendersi la tensione verticale efficace agente su una giacituraparallela al piano campagna, inclinato di un angolo i sullorizzontale. Nel caso di pianocampagna orizzontale, la (1) si riscrive nella forma:

zK = = =pa,v2vpa, 24tansen1 sen1

mm

(2)

Nelle equazioni (1) e (2), Ka e Kp sono i coefficienti di spinta attiva e di spinta passiva.Dallanalisi dei cerchi di Mohr nelle condizioni di equilibrio limite possibile mostrare che legiaciture di scorrimento sono in entrambi i casi inclinate di un angolo pari a (/4 + /2)rispetto alla direzione della tensione efficace principale minima 3. Per il caso di pianocampagna inclinato gli angoli compresi tra le superfici di scorrimento e la parete verticalesono pari a:

2224

2224

2

1

i

i

+

=

=

mm

m

(3)

con ( )= sensensen 1 i ; essi si riducono a ( )24 m nel caso di piano campagnaorizzontale.

Volendo portare in conto la scabrezza del contatto terreno parete, una stima cautelativa dellespinte si ottiene mediante lapplicazione del teorema statico dellanalisi limite (Lancellotta,2002; Mylonakis et al. 2007). La soluzione di Lancellotta (2002), formulata originariamente

per il caso di parete verticale scabra e piano campagna orizzontale, pu essere estesa al casodi piano campagna inclinato; in questo caso, le tensioni efficaci limite agenti in direzionenormale alla parete sono espresse nella forma:

( ) zKizeii

=

= coscos

sensencos

sensencoscos pa,

tan2

22

22

pa,m

m (4)

con


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ii

+

= mmsen

sensen

sen

sensen2 11 (5)

dove rappresenta la rotazione delle direzioni principali di tensione tra le regioni distante eprossima alla parete, e iz cos la tensione verticale efficace agente, nella regione distantedalla parete, su una giacitura parallela al piano campagna indefinitamente inclinato.

Per le condizioni pi generali di parete e piano campagna inclinati, le tensioni efficaci limitenormali alla parete possono essere ottenute dalla soluzione di Mylonakis et al. (2007):

( )( )

( )

( )

( ) ( ) zKziiei

izei

=

=

=

coscoscoscossen1

cossen1

cos

1

cos

coscossen1

cossen1

cos

1cos

pa,

tan2

1

2

2tan2

1

2pa,

m

m

mm

mm

(6)

dove iz 2cos la tensione efficace normale ad una giacitura parallela al piano campagnainclinato e

( )i

izz

cos

cos = (7)

rappresenta la relazione tra la profondit in direzione verticale e quella misurata lungo la

parete. La rotazione delle direzioni principali di tensione espressa da una relazione analogaalleq. (5) a meno del termine in che definisce linclinazione della parete:

+

=+= 2sen

sensen

sen

sensen22 1112 i

ii mmmm (8)

Per valutare la risultante delle spinte, lintegrazione delle tensioni efficaci limite deve essereeffettuata lungo lordinata z, cio lungo lo sviluppo della parete inclinata, e quindi deveessere estesa allaltezza H/cos ; va evidenziato che lespressione originariamente fornitadagli autori si riferisce alla risultante delle azioni agenti su una parete di altezza H; il termine

1/cos2

ottenuto dallintegrazione risulta perci incorporato nellespressione originale deicoefficienti di spinta.

Per il caso di parete verticale (= 0), le due soluzioni risultano equivalenti.

In luogo delle soluzioni fornite dallapplicazione del teorema statico dellanalisi limite, sipossono utilizzare quelle ottenute con i metodi dellequilibrio limite; in questo caso, le stimedelle azioni risultano in generale non cautelative e lentit dellerrore dipende dallacorrettezza della forma assunta la superficie di scorrimento. Nel seguito si richiama lasoluzione di Muller Breslau (1906), il cui uso tuttavia sconsigliato per le condizioni limite

passive; infatti, lipotesi di superficie di scorrimento piana adottata nel metodo pu condurread una significativa sovrastima della resistenza passiva per elevati valori di e . Le spinte

agenti normalmente alla parete nelle condizioni limite si scrivono nella forma:


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= cos2

1cos pa,

2pa, KHS (9)

con i coefficienti di spinta

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

pa,

coscos

sensen1coscos

cos

+

=

i

i

K

m

m (10)

Linclinazione critica del piano di scorrimento, rispetto allorizzontale, nelle condizioni diequilibrio limite vale:

( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( )

=

=

+++++=

m

m

m

b

ia

baabbaa

cottantan1tancottan1cottantantan 211cr pa,

(11)

I risultati di Sokolovskii (1965), derivando da una soluzione ottenuta per via numerica, nonsono esprimibili in forma chiusa ma vengono forniti direttamente dallautore. Analogamente,le soluzioni di Caquot e Kerisel (1948), ottenute in corrispondenza dei cinematismi pi critici,sono fornite dagli autori in forma di tabelle. Infine, Chen (1975) fornisce le espressioni dei

coefficienti di spinta in funzione dei due angoli ( e ) che definiscono il cinematismo(Fig. 3), ma la soluzione deve essere ricercata massimizzando (per le condizioni attive) ominimizzando (per le condizioni passive) i coefficienti di spinta in funzione delle variabili e.

Nella Figura 4 i valori di Kacos ottenuti dalle diverse soluzioni sono diagrammati infunzione dellangolo di resistenza al taglio , al variare del rapporto / tra la scabrezzadella parete e langolo di resistenza al taglio (Fig. 4.a), del rapporto i/tra linclinazione del

piano campagna e (Fig. 4.b), e dellinclinazione della parete (Fig. 4.c). Per valori positividellangolo di attrito al contatto parete terreno (tensioni tangenziali dirette verso il basso,Fig. 2) un aumento della scabrezza della parete produce una riduzione della spinta attiva,

mentre valori positivi dellinclinazione i del piano campagna e della parete, a cuicorrisponde un maggiore volume di terreno in condizioni di scorrimento plastico, produconoun incremento della spinta attiva.

Congruentemente con quanto esposto in precedenza, le soluzioni di tipo statico fornisconouna sovrastima della spinta attiva e si diagrammano al di sopra della soluzione di Sokolovskii(1965) (da considerarsi prossima a quella esatta), fornita per valori di i= 0, mentre quellericonducibili ad un approccio cinematico sottostimano la spinta attiva. Tuttavia, le differenzetra le diverse soluzioni sono modeste e sempre inferiori al 5 % anche per valori elevati dellascabrezza della parete e dellinclinazione del piano campagna. Nelle soluzioni cinematiche,ci giustificato dalla modesta curvatura della superficie di scorrimento critica, che puquindi essere assimilata ad una superficie piana senza introdurre significativi errori; in quellestatiche, congruentemente, la rotazione delle direzioni principali di tensione modesta.


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Figura 4: Confronto tra i valori di Kacos ottenuti in condizioni statiche da alcune soluzioni diletteratura.

Nella Figura 5 i valori di Kpcos ottenuti dalle diverse soluzioni per il caso di parete

verticale, di maggiore interesse applicativo, sono diagrammati in funzione dellangolo diresistenza al taglio , al variare del rapporto /, per il caso di piano campagna orizzontale(Fig. 5.a), e dellinclinazione idel piano campagna, per il caso di /= 0.5 (Fig. 5.b). Pervalori positivi dellangolo di attrito al contatto parete terreno (tensioni tangenziali diretteverso lalto, Fig. 2) e dellinclinazione del piano campagna (maggiore volume di terreno incondizioni di scorrimento plastico), un aumento di e di i producono un aumento dellaresistenza passiva.

Tutte le soluzioni coincidono per il caso di parete liscia. In presenza di una parete scabra, lesoluzioni di tipo cinematico forniscono una sovrastima della resistenza passiva e sidiagrammano al di sopra della soluzione di Sokolovskii (1965) (fornita per i= 0), ad

eccezione della soluzione di Caquot e Kerisel (1948) che risulta in buon accordo con essa;


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Figura 5: Confronto tra i valori di Kpcos ottenuti in condizioni statiche da alcune soluzioni diletteratura.

quelle riconducibili ad un approccio statico, invece, la sottostimano. Le differenze crescono alcrescere della scabrezza della parete e dellinclinazione del piano campagna rimanendo entrolimiti accettabili per le soluzioni statiche e per quelle di tipo cinematico in cui si ipotizza unmeccanismo plastico caratterizzato da una superficie di scorrimento curvilinea.Specificamente, per piano campagna orizzontale il rapporto tra i valori di Kp cos forniti per= 35 dalla soluzione di estremo superiore (Chen, 1975) e da quelle di estremo inferiore(Mylonakis et al., 2007; Lancellotta, 2002) risulta pari a circa 1.1 e a 1.3 per /pari a 0.5 e1, rispettivamente; esso cresce nel caso di piano campagna inclinato, risultando pari a circa1.4 per = 35 e /= 0.5. Al contrario, i valori Kp cos ottenuti con il metododellequilibrio limite nellipotesi di superficie di scorrimento piana (Muller e Breslau, 1906)risultano significativamente maggiori di quelli forniti dalle altre soluzioni, con differenzecrescenti e non accettabili per elevati valori dellangolo di attrito al contatto parete terreno edellangolo di resistenza al taglio; ci limita di fatto lapplicazione di questa soluzione a casicaratterizzati da modesti valori di /(< 0.5) e di (< 30) (Fig. 5.a b). Le differenze sonoattribuibili alla significativa curvatura delleffettiva superficie di scorrimento indotta nellecondizioni limite passive dallattrito al contatto parete terreno; in queste condizioni lipotesi

di superficie piana introduce errori significativi.

2.3.2. Effetto delle azioni sismiche

Le spinte su una parete di sostegno prodotte da un evento sismico sono in genere valutateutilizzando il metodo pseudostatico, nel quale si assume che un fissato valoredellaccelerazione agisca uniformemente nel volume di terreno esaminato. I criteri di sceltadel coefficiente sismico da adottare nelle analisi sono discusse nel 4.

Una stima cautelativa delle azioni trasmesse alla parete nelle condizioni limite pu ancoraessere espressa applicando il teorema dellestremo inferiore dellanalisi limite (Lancellotta,

2007; Mylonakis et al., 2007).


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In condizioni pseudostatiche, il terreno a tergo della parete soggetto allazione del pesodellunit di volume e delle forze di volume khe kv, che rappresentano le componentiorizzontale e verticale dellazione statica equivalente al sisma. La forza di volume risultante quindi inclinata rispetto alla verticale di un angolo

=

v

h1

1tan

k

k (12)

Nel seguito, valori positivi di kh( > 0) indicano una forza di inerzia rivolta verso la parete(accelerazione verso il terreno), che rende massima la spinta attiva; al contrario, valorinegativi di kh( < 0) sono riferiti ad una forza inerziale rivolta verso il terreno (accelerazioneverso la parete), che rende minima la resistenza passiva. Quindi, nel primo caso la forza divolume risultante diretta verso la parete, nel secondo invece diretta verso il terreno. Inentrambi i casi, il coefficiente sismico verticale assunto positivo se diretto verso lalto(accelerazione verso il basso).

Il problema pseudostatico pu essere ricondotto ad un problema statico equivalente operandouna rotazione del sistema di riferimento, in modo da far assumere alla forza di volumerisultante la direzione verticale. Nei casi rappresentati nelle Figure 6 e 7, la rotazione adesempio antioraria per le condizioni limite attive ed oraria per quelle limite passive. Conquesta trasformazione, ci si riconduce al problema della determinazione della spinta attiva odella resistenza passiva agenti su una parete scabra, inclinata sulla verticale di un angolo einteragente con un terreno delimitato da un piano campagna di inclinazione ( )+i , con

positivo o negativo in dipendenza delle condizioni considerate (attive o passive).

Nella soluzione di Lancellotta (2007) la tensione efficace limite passiva agente in direzionenormale alla parete viene espressa in funzione della tensione verticale efficace agente, nellaregione distante della parete, su una giacitura parallela al piano campagna appartenente ad un

pendio indefinito di inclinazione ( )+i . Essa pari a ( )+ ie cos , dove e il pesodellunit di volume del terreno nel dominio trasformato:

( ) ( )

=+=cos

11 v2h

2v kkke (13)

e la profondit nel dominio ruotato espressa in funzione della profondit znel dominio

non ruotato attraverso la relazione:

( )+=

i

iz

cos

cos (14)

Ne risulta che, nella regione distante dalla parete, la tensione verticale efficace agente su unagiacitura parallela al piano campagna di inclinazione ( )+i diviene:

( ) ( )

=+cos

cos1cos v

izkie (15)


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( )

+

+

= ii

e mm sen

sensen

sen

sensen2 11 (17)

dove e rappresenta la rotazione delle direzioni principali di tensione tra le due regioniestreme in condizioni pseudostatiche, e z rappresenta la tensione verticale efficacenominale, riferita a un piano orizzontale passante per la testa della parete.

Nella soluzione di Mylonakis et al. (2007), proposta per il caso generale di parete inclinata, letensioni efficaci limite agenti su una parete scabra sono espresse in funzione della tensionenormale efficace agente, nella regione distante dalla parete, su una giacitura parallela al pianocampagna appartenente ad un pendio indefinito di inclinazione ( )+i . Essa pari a

( )+ ie2cos , dove e il peso dellunit di volume del terreno nel dominio trasformato,

definito dalleq. (13), e la profondit nel dominio ruotato, espressa in funzione dellaprofonditzlungo la parete inclinata nel dominio non ruotato, :

( )( )+

=

i

iz

cos

cos (18)

Pertanto, nella regione distante dalla parete la tensione normale efficace su una giacituraparallela al piano campagna di inclinazione ( )+i diviene:

( ) ( ) ( )

( )+

=+ ii

zkie coscos

cos1cos v

2 (19)

Con le posizioni delleq. (19). le tensioni efficaci limite agenti in direzione normale ad unaparete inclinata, possono scriversi nella forma:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) zkK

zkii

ei

iei

E

e

e

e

=+

+

=+

+

=

vpa,

vtan2

*2

2tan2*

2pa,

1cos

1coscos

cos

cossen1

cossen1

cos

1cos

coscossen1

cossen1

cos

1cos

1

1

E

m

m

mm

mm

(20)

con

( )+

+

=+= 2sen

sensen

sen

sensen22 11*2 1 i

iie mmmm (21)

dovee rappresenta nuovamente la rotazione delle tensioni principali tra le due regioniestreme, prossima e distante dalla parete, ed espressa in forma analoga alleq. (17), a meno

del termine in che individua linclinazione della parete. bene sottolineare che, come gi


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commentato per le condizioni statiche, nel caso di parete inclinata lintegrazione delle tensionilungo lordinata z, riferita allo sviluppo della parete inclinata, deve essere estesa allaltezza

H/cos .

Anche in condizioni pseudostatiche, per il caso di parete verticale (= 0), le relazioni (16 17) e le (20 21) risultano equivalenti.

Le soluzioni ottenute applicando il teorema cinematico dellanalisi limite, o quelle fornite daimetodi dellequilibrio globale, inquadrabili nellambito dello stesso teorema, forniscono unastima non cautelativa delle spinte sulla parete. Tra le soluzioni che utilizzano il teoremacinematico dellanalisi limite, si considera nel seguito quella di Chang (1981) (descritta anchein Chen e Liu, 1990), in cui si assume una superficie di scorrimento mistilinea, costituita dadue tratti rettilinei e da un arco di spirale logaritmica. Altre soluzioni per le condizioni limite

passive sono state ottenute da Soubra (2000), mediante il teorema cinematico per superfici discorrimento mistilinee, da Morrison e Ebeling (1995) utilizzando il metodo dellequilibriolimite per superfici di scorrimento a forma di spirale logaritmica, da Kumar e Chitikela (2002)

e da Cheng (2003) con il metodo delle linee caratteristiche.Nelle applicazioni correnti si ricorre spesso al metodo di Mononobe Okabe (Okabe, 1924;Mononobe e Matsuo, 1929) che estende la soluzione di Coulomb alla presenza delle azionistatiche equivalenti al sisma. Analogamente a quanto discusso per le condizioni statiche, talemetodo non adatto al calcolo della resistenza passiva in condizioni sismiche, perch in

presenza di attrito al contatto parete terreno, lipotesi di superficie di scorrimento pianaassunta nel metodo non accettabile. Nel metodo, le azioni agenti in direzione normale alla

parete nelle condizioni limite vengono espresse nella forma:

( ) ( ) ( )EE pa,v2

pa, 12

1KkHS = (22)

in cui i coefficienti di spinta valgono:

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

pa,

coscos

sensen1coscoscos

cosE

++

+

=

i

i

K

m

m (23)

e linclinazione critica, rispetto allorizzontale, del piano di scorrimento :

( )( )

( ) ( )( )[ ]( ) ( )

=

=

++++++

+=

m

m

m

b

ia

ba

abbaa

cottantan1

tancottan1cottantantan

211

cr pa,

(24)

Perch nelleq. (23) il radicando sia reale, deve risultare ( ) 0sen im . Nellipotesi diterrapieno orizzontale ci implica il soddisfacimento della condizione ( )vh 1tan kk e,

conseguentemente, lesistenza di un valore limite del coefficiente sismico orizzontale


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Figura 8: Confronto tra i valori di KaEcos ottenuti per kv= 0 da quattro soluzioni di letteratura.

( ) = tan1 vh(lim) kk in corrispondenza del quale lequilibrio del sistema parete terreno

impossibile; per valori nulli di kv, tale valore limite diviene = tanh(lim)k .I valori del coefficiente di spinta attiva perpendicolare alla parete KaEcos ottenuti dallesoluzioni precedenti sono diagrammati nella Figura 8 per kv= 0, in funzione del coefficientesismico orizzontale kh, al variare dellangolo di resistenza al taglio , assumendo i= = 0 e/= 2/3 (Fig. 8.a), del rapporto i/ tra linclinazione del piano campagna e langolo diresistenza al taglio, per = 0 e /= 2/3 (Fig. 8.b) e dellinclinazione della parete, peri= 0, /= 2/3 e = 30 (Fig. 8.c).

Anche in presenza delle azioni pseudostatiche equivalenti al sisma, le soluzioni ottenute nellecondizioni limite attive utilizzando i teoremi di estremo dellanalisi limite e il metododellequilibrio limite sono molto prossime tra loro con differenze che crescono al crescere dikh, ma risultano comunque contenute e comprese entro il 610%.


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Figura 9: Influenza della scabrezza della parete e della componente verticale kv del coefficientesismico sul coefficiente di spinta attiva pseudostatica KaE

La Figura 9.a mostra che i valori del coefficiente KaEcos calcolati per kv= 0 con soluzionicautelative di estremo inferiore diminuiscono, come atteso, al crescere della scabrezza della

parete, ma con differenze contenute per valori di 0; la componente verticale kv delcoefficiente simico ha uninfluenza modesta sul termine (1 kv)KaEcos per valori delcoefficiente sismico orizzontale kh< 0.35 (Fig. 9.b).

Per le condizioni limite passive ed il caso di parete verticale e piano campagna orizzontale, laFigura 10.a b mostra il confronto tra i valori di KpEcos, cio del coefficiente che forniscela resistenza passiva in direzione ortogonale alla parete, calcolati utilizzando le soluzionisummenzionate. I risultati sono diagrammati in funzione del coefficiente sismico orizzontale,

per valori di compresi tra 20 e 30 e per due valori del rapporto / (2/3 e 1). Ledifferenze fra i valori assunti da KpEcos divengono sostanziali per = . La soluzioneesatta, che deve pensarsi compresa tra quella di Chang (1981) e quella di Lancellotta (2007), molto distante dalla soluzione che si otterrebbe utilizzando la soluzione di Mononobe Okabe, la quale risulta significativamente errata per eccesso. Il confronto con i valori ottenuti

per = 0 (identici per le tre soluzioni), mostrato in figura per = 20, mostra per che

lassunzione di parete liscia risulterebbe eccessivamente cautelativa comportando unanotevole riduzione della resistenza calcolata.

Nella Figura 11 i valori di KpEcossono diagrammati in funzione dellangolo di resistenza altaglio , al variare di kh per il caso di piano campagna orizzontale (Fig. 11.a) e di pianocampagna inclinato con i/= 0.5 (Fig. 11.b). La differenza tra la soluzione ottenuta con ilteorema cinematico dellanalisi limite (Chang, 1981) e quelle ottenute applicando il teoremastatico dellanalisi limite (Lancellotta, 2007; Mylonakis et al., 2007) crescono al cresceredellangolo di resistenza al taglio e dellinclinazione del piano campagna; esse fornisconocomunque valori significativamente minori di quelli calcolati con la soluzione di Mononobe Okabe, diagrammata per chiarezza in figura per la sola condizione statica (kh= 0).


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Figura 10: Confronto fra i valori di KpEcos ottenuti per kv= 0 da quattro soluzioni di letteratura.

Figura 11: Influenza del coefficiente sismico khsui valori di KpEcos per piano campagna orizzontale(i= 0) o inclinato (i 0).

Gli andamenti ottenuti spiegano perch, per la valutazione della resistenza passiva incondizioni pseudostatiche, molte linee guida suggeriscano luso di soluzioni dellequilibriolimite che prevedano superfici di scorrimento curvilinee (tipicamente archi di spiralelogaritmica), nonostante esse non forniscano una soluzione cautelativa, o prescrivano, comelEurocodice 8 5 (EN 1998 5, 2003), di assumere un valore nullo dellangolo di attrito fra

terreno e parete.


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Da quanto sopra emerge la convenienza dellutilizzo di soluzioni basate sul teorema staticodellanalisi limite, che forniscono una stima cautelativa della resistenza passiva ed hanno il

pregio di essere espresse in forma chiusa.

2.4. Effetto della coesione efficace e dei sovraccarichi

Alcune delle soluzioni discusse nei paragrafi precedenti consentono di portare in conto lapresenza di un termine coesivo nellespressione del criterio di resistenza. Ai fini pratici, non sicommette un grande errore se si porta in conto la coesione efficace c' attraverso una

riduzione, a2 Kc , della tensione efficace limite attiva ed un aumento, p2 Kc , di quella

limite passiva, dove i coefficienti di spinta Kae Kpsono calcolati con la teoria pi appropriataal caso in esame. Tipicamente, nella valutazione della spinta attiva su unopera di sostegno sitrascurano i valori negativi delle tensioni efficaci limite attive ache si verificano sino ad una

profondit critica ac 2 Kcz = perch si ritiene che non possono prodursi trazioni alcontatto parete terreno.

Per valori modesti di c si tende a volte a trascurare del tutto il contributo della coesioneefficace. Questa assunzione pu risultare a volte eccessivamente cautelativa per le verifiche disicurezza se si considera che il decremento di ae lincremento di pderivanti dalla presenzadel termine coesivo possono essere apprezzabili lungo porzioni considerevoli della parete.Appare invece importante una scelta attenta del valore della coesione efficace, e cio dellacaratterizzazione della resistenza del terreno per piccoli valori delle tensioni efficaci,corrispondenti a profondit modeste. A bassi livelli tensionali, infatti, linviluppo di resistenza

pu essere caratterizzato da una curvatura non trascurabile, anche per effetto dei processi di

alterazione e rigonfiamento della fascia superficiale dello strato argilloso in prossimit delpiano campagna. In linea di principio, sarebbe necessario disporre di osservazionisperimentali in corrispondenza di bassi livelli tensionali. Una scelta alternativa consistenellesaminare con attenzione i dati sperimentali disponibili, tipicamente ottenuti per livellimedi delle tensioni efficaci, e utilizzare un criterio di resistenza che interpoli i datisperimentali nellintervallo tensionale di interesse e che passi per lorigine degli assi del pianodi Mohr, cio sia associato a una coesione nulla.

Lincremento di spinta prodotto da un sovraccarico qa tergo della parete in genere valutatonellipotesi cautelativa di estensione indefinita, con distribuzione uniforme delle tensionilungo la parete; in queste ipotesi, i coefficienti di spinta riferiti a qpossono essere valutati

utilizzando ad esempio le soluzioni di Mylonakis et al. (2007) e Chang (1981), ottenuteapplicando i teoremi di estremo dellanalisi limite; per un sovraccarico di estensione limitataposto a diversa distanza dalla parete, si possono invece utilizzare alcune soluzioni ottenutecon il metodo dellequilibrio limite (es.: Motta, 1994; Caltabiano et al., 2000).

A volte, per il caso di sovraccarico di estensione limitata, le tensioni limite sulla paretevengono valutate come il prodotto tra il coefficiente di spinta e le tensioni verticali indotte dalsovraccarico calcolate con la teoria dellelasticit. Tuttavia, con questa procedura si utilizzanoin modo non del tutto congruente i risultati ottenuti per un mezzo elastico nella soluzione diun problema di equilibrio limite, risolto nellambito della teoria della plasticit perfetta.


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2.5. Effetto delle pressioni interstiziali

Le azioni trasmesse dal terreno alla parete nelle condizioni limite sono state sin qui espressein termini di tensioni efficaci nella semplice ipotesi di assenza di pressioni interstiziali (u= 0).

Nel caso generale in cui sia u0, le azioni sulla parete devono essere espresse in termini ditensioni totali sommando a quelle dello scheletro solido, in tensioni efficaci, le spintedellacqua interstiziale. La pressione dellacqua interstiziale da un lato riduce le tensioniefficaci nel terreno, ma dallaltro agisce direttamente sullopera, con un effetto netto diverso

per le condizioni limite attive e passive; nel primo caso, infatti, la variazione della tensionelimite concorde con quella della pressione interstiziale ( ( ) 01dd aa >= Ku ), mentre nelsecondo si ha una variazione della tensione limite passiva discorde dalla variazione di u( 01dd pp


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Figura 12: Regimi semplificati di filtrazione in prossimit di una paratia.

paratia presente un deposito di elevata permeabilit, che si trovi a un carico idraulico pari aquello iniziale.

In condizioni sismiche, necessario considerare le azioni inerziali che agiscono oltre chesullo scheletro solido anche sullacqua di porosit. Per valori di permeabilitk< 10-410-5m/s e per gli intervalli di frequenza tipici dellazione sismica, si pu ipotizzareche lacqua interstiziale e lo scheletro solido si muovano in sincrono e che quindi le azioniinerziali possano essere ricavate moltiplicando lintera massa di terreno saturo perlaccelerazione (Matsuo e Ohara, 1965). Mentre le azioni inerziali sono proporzionali allamassa complessiva di terreno, e perci alle tensioni totali, le resistenze dipendono dalletensioni efficaci. Per tener conto di questo aspetto, nella valutazione dei coefficienti di spintasi pu utilizzare un valore equivalente dellangolo definito dalleq. (12). In presenza di

pressioni interstiziali, nellipotesi di terreno saturo e di distribuzione idrostatica dellepressioni, lEurocodice 8 5 (EN 1998 5, 2003) suggerisce di calcolare i coefficienti dispinta utilizzando un angolo equivalente

= tantanw

(25)

dove e wsono i pesi dellunit di volume del terreno e dellacqua.

Per il caso pi generale di distribuzione non idrostatica delle pressioni interstiziali o disuperficie libera non coincidente con il piano campagna, si pu ricercare il valore di a

partire dallanalisi dello stato tensionale in un punto con un approccio di tipo statico.Specificamente, la determinazione delle tensioni normali limite agenti su una parete verticalein presenza di azioni inerziali pu essere studiato operando, come gi visto, una rotazione delsistema di riferimento pari a , ad esempio antioraria per le condizioni limite attive ed oraria

per quelle limite passive per le configurazioni mostrate nelle Figure 6 e 7, in modo da far


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assumere al vettore risultante del peso dellunit di volume ela direzione verticale. In questecondizioni, la tensione totale normale e quella tangente alla giacitura inclinata di , valgonoecos

2e esencos. Rappresentando lo stato tensionale di un punto appartenente allagiacitura considerata sul piano di Mohr, in termini di tensioni totali e in termini di tensioni

efficaci, Callisto e Aversa (2008) hanno proposto per unespressione di validit generale:

=

= tantantan

v

v

uz

z (26)

dove v e v sono le tensioni verticali litostatiche, totali ed efficaci, alla profonditconsiderata. In condizioni idrostatiche e con superficie libera della falda al piano campagna u= wze leq. (26) degenera nella (25). La relazione (26) implica che nel caso generale sidebbano assumere coefficienti di spinta variabili con la profondit anche in un terrenoomogeneo.

2.6. Impiego delle soluzioni: analis i della sicurezza

La verifica della sicurezza di unopera nei confronti di uno stato limite ultimo geotecnicosegue i metodi classici del calcolo a rottura. Si studia un meccanismo plastico di collassodefinito a priori sulla base dellintuizione fisica e si valutano le differenze esistenti, in terminidi forze agenti, di caratteristiche geometriche o di resistenza disponibile, tra il sistema reale equello ideale analizzato. Queste differenze, definite in maniera quantitativa, sono utilizzate

per esprimere un giudizio sulla sicurezza.

Se le azioni sul sistema derivano da forze esterne, valutate mediante unanalisi distinta, unamisura della sicurezza data dal moltiplicatore di collasso: la sicurezza esprimibileattraverso il rapporto tra le forze che determinano lattivazione del meccanismo e quelleeffettivamente agenti. Per esempio, secondo lattuale Normativa Tecnica Italiana (D.M.14.01.2008), questo uno dei modi per valutare la sicurezza di una struttura in calcestruzzoarmato ( 4.1.1.2). Questa stessa strada tradizionalmente seguita per la valutazione dellasicurezza delle fondazioni rispetto a un meccanismo originato dal raggiungimento dellaresistenza del terreno, e ve n traccia nelle versioni della normativa geotecnica precedenteallattuale (D.M. 11.03.1988).

Le azioni sulle opere di sostegno derivano invece direttamente dalla resistenza del terreno e di

conseguenza la definizione di un moltiplicatore plastico per le azioni non facilmentepercorribile: se ad esempio si assume che le azioni siano costituite dalla spinta nellecondizioni limite attive, utilizzando un moltiplicatore per queste azioni si perverrebbe a unanuova distribuzione delle azioni non pi corrispondente al raggiungimento della resistenza delterreno, contraddicendo cos implicitamente il meccanismo plastico assunto. Inoltre, in alcunicasi non appare immediato distinguere le tensioni applicate a unopera di sostegno in azioni eresistenze.

Nelle NTC/08 si segue una strada indicata nellEurocodice 7 (EN 1997 1, 2003)quantificando la sicurezza attraverso fattori riduttivi dei parametri di resistenza del terreno. Sitratta di un approccio definito factored strength nella letteratura tecnica, che presenta il

vantaggio di essere indipendente dal tipo di opera e quindi immediatamente applicabile anche


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per le opere di sostegno. Con questo metodo si verifica che, anche riducendo i parametri diresistenza, cio dividendo la tangente dellangolo di attrito e la coesione efficace per unfissato coefficiente (' e c'), il meccanismo plastico non si sia ancora attivato. Le NTC/08fissano questo coefficiente al valore di 1.25; poich esso si applica a quantit proporzionali

alla tensione tangenziale limite secondo il criterio di Mohr Coulomb, il reciproco di questocoefficiente pu essere riguardato come un grado di mobilitazione della resistenzadisponibile: utilizzare ' e c'= 1.25 nelle verifiche equivale a imporre che lopera mobilitinon pi dell80 % (1/1.25 = 0.8) della resistenza disponibile.

A titolo di esempio, si consideri lo schema di Figura 13, che rappresenta una paratia con unlivello di vincolo, immersa in un terreno stratificato, in presenza di pressioni interstiziali.

Le verifiche della paratia rispetto a un meccanismo di collasso che chiami in causa laresistenza del terreno si eseguono con lapproccio A1 combinazione 2 delle NTC/08,utilizzando coefficienti riduttivi dei valori caratteristici dei parametri di resistenza ' =c= 1.25 e amplificando il carico variabile con il coefficiente Q= 1.3. Il meccanismo plasticoconsiderato consiste in una rotazione della paratia intorno a un punto prossimo alla quota dellivello di vincolo. Allattivazione del meccanismo plastico il terreno trasmette alla paretetensioni normali limite associate a condizioni limite attive a monte e a condizioni limite

passive a valle. Ai fini della verifica, le tensioni efficaci nelle condizioni limite sono statecalcolate utilizzando la soluzione di Lancellotta (2002), assumendo una scabrezza relativa fra

parete e terreno pari ai 2/3 dellangolo di attrito. La distribuzione delle pressioni interstiziali valutata in maniera semplificata, come illustrato al 2.5, assumendo che in prossimit della

paratia si verifichino le perdite di carico associate a un moto di filtrazione stazionario monodimensionale.

Si studiano condizioni di lungo termine, nelle quali la resistenza espressa in tensioni

efficaci.

Figura 13. Esempio schematico di una paratia con un livello di vincolo.

SSabbia mediamenteaddensata= 19 kN/m3c' = 0 -' = 34

LALimo ariglloso= 18 kN/m3c' = 8 kPa - ' = 28


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La verifica si esprime simbolicamente mediante la disuguaglianzaEdRd, dove leffetto delleazioniEd il momento destabilizzante calcolato rispetto al livello di vincolo, mentre Rd ilcorrispondente momento resistente.

Utilizzando un coefficiente '= c= 1.25 e amplificando il carico variabile con il coefficienteQ= 1.3, per una profondit dinfissione di 4 m, cio una lunghezza complessiva della paratia

L= 8.5 m, si ottiene un rapporto Rd/Ed= 1.16. Una migliore valutazione della sicurezza siottiene ricercando iterativamente il fattore riduttivo dei parametri di resistenza checorrisponde alla mobilitazione del meccanismo di collasso, e quindi alla condizione Ed=Rd:

per il problema in esame di ottiene '= c= 1.39, cio pu assumersi che lopera mobiliticirca il 72 % (1/1.39 ) della resistenza disponibile, invece del limite massimo derivante dalle

prescrizioni di normativa, pari all80 % (1/1.25).

3. INTERAZIONE FRA IL TERRENO E LE OPERE DI SOSTEGNO

3.1. Mobil itazione delle spinte

Le soluzioni discusse nel capitolo precedente consentono di valutare le tensioni trasmesse dalterreno a unopera di sostegno in una condizione nella quale la resistenza del terreno siacompletamente mobilitata.

Se risulta mobilitata la resistenza dellintero volume di terreno che interagisce con lopera,allora si in presenza di un meccanismo di collasso (a meno che la struttura di sostegno nonsia vincolata in pi punti con elementi strutturali non influenzati dalla rottura del terreno): inquesto caso, bisogna controllare che la condizione studiata non si verifichi, e valutare la

distanza dal collasso mediante le procedure cui si accennato al 2.6.Nelle condizioni di esercizio dellopera, poich la condizione di collasso deve essere distante,solo alcune zone di terreno raggiungono le condizioni limite, mentre nelle rimanenti zone letensioni al contatto al contatto parete terreno non possono essere univocamente definiteattraverso i parametri di resistenza, ma risultano dallinterazione fra il terreno e lopera disostegno. Di conseguenza, la determinazione delle tensioni di contatto scambiate fra il terrenoe lopera risulta affetta da incertezze sostanzialmente maggiori di quelle riguardanti lecondizioni limite.

Per unillustrazione qualitativa di alcuni dei meccanismi che presiedono alle azionieffettivamente applicate alle opere di sostegno si pu far riferimento anzitutto ai risultati di un

classico esperimento, illustrato da Terzaghi (1934) e ripetuti in Figura 14. Un terrapieno diterreno a grana grossa sostenuto da una parete incernierata alla base, alla cui sommit applicata una forza orizzontale S; in una configurazione equilibrata, evidentemente la forza

proporzionale alla risultante delle spinte esercitate dal terreno sulla parete. Imprimendo allaparete uno spostamento , nel verso dellavvicinamento o dellallontanamento dalla parete, sipu osservare indirettamente, attraverso la misura di S, levoluzione della spinta in funzionedello spostamento della parete. Nella condizione iniziale, la forza pari a S0ed determinatadallo stato tensionale nelle condizioni di riposo. Allontanando la parete dallo scavo, si osservaun rapido decremento della forza verso il valore Sacorrispondente a condizioni limite attive,che viene quindi raggiunto per uno spostamento modesto della parete. Viceversa, spingendola parete contro il terreno la forza cresce progressivamente, raggiungendo solo per valori

elevati dello spostamento il valore Spche corrisponde a condizioni limite passive.


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S

S

S0

Sa

Sp

Figura 14. Mobilitazione della spinta agente su una parete ideale a sostegno di un terrapieno.

'vK0

'h

Ka

Kp

O

Figura 15. Percorsi tensionali seguiti dallelemento di terreno in Figura 14.

Queste osservazioni inducono a ritenere che anche nelle condizioni di esercizio, nelle zone incui lopera di sostegno tende ad allontanarsi dal terreno, questo si trovi nelle condizioni limiteattive, corrispondenti a una completa mobilitazione della resistenza: il caso per esempiodelle spinte utilizzate per la valutazione delle sollecitazioni nel paramento dei muri disostegno oppure delle sollecitazioni in paratie a sbalzo o con un livello di vincolo in testa.

La grande differenza osservata negli spostamenti necessari per mobilitare le due diversecondizioni limite pu essere motivata rappresentando i percorsi tensionali subiti, per effettodello spostamento , da un elemento di terreno situato nelle immediate adiacenze della parete(Figura 15). Questi percorsi sono immediatamente rappresentabili nel piano delle tensioniverticali 'v e orizzontali 'h, nellipotesi che queste siano tensioni principali e che quindi,nelle condizioni di esercizio, le tensioni tangenziali al contatto terreno parete sianotrascurabili; si fa inoltre riferimento a un caso in cui le pressioni interstiziali siano nulle e

quindi le tensioni totali ed efficaci siano coincidenti. Nelle condizioni iniziali lo statotensionale rappresentato dal punto O, che si trova su una retta la cui inclinazione rispettoalla verticale pari al coefficiente di spinta a riposo K0. In Figura 15 rappresentato anche ilcriterio di resistenza di Mohr Coulomb, per il caso di coesione nulla. Come accade perterreni normalmente consolidati, la retta che rappresenta lo stato tensionale nelle condizioni diriposo risulta prossima alle condizioni limite attive, mentre le condizioni limite passive sonomolto distanti. Inoltre, indipendentemente dal verso dello spostamento , le tensioni verticalirimangono costanti e quindi i percorsi tensionali associati a ciascun verso dello spostamentosono orizzontali. allora evidente che, misurata in direzione orizzontale, la distanza dellecondizioni a riposo dalle due condizioni limite risulta oltremodo diversa: un allontanamentodella paratia dal terreno produce una riduzione delle tensioni orizzontali e quindi unimmediato raggiungimento delle condizioni limite attive, mentre un avvicinamento della


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S,T

1

S01

Sa

TlimS02

S03

S04

2

34

a lim

S

T

Figura 16. Spinta agente su un muro di sostegno nelle condizioni di esercizio.

resistenza allo scorrimento, ma solo una parte della resistenza del terreno a monte del muro. bene sottolineare che, affinch la condizione (4) possa considerasi altrettanto distante dalloscorrimento delle altre condizioni (1, 2 e 3) necessario che la resistenza Tlimnon si degradicon lo spostamento ; in altri termini necessario far conto sulla duttilit del sistema. Si trattadi un concetto piuttosto generale: poich le varie componenti di resistenza si mobilitano ingenere per spostamenti diversi, unanalisi delle condizioni di collasso che assuma unaresistenza completamente mobilitata implica una sostanziale indipendenza delle resistenzedagli spostamenti e quindi lipotesi di comportamento meccanico duttile, che deve sempreessere attentamente verificata sulla base dei dati sperimentali disponibili.

La Figura 17 illustra un altro caso in cui la mobilitazione delle spinte pu risultare

qualitativamente diversa da quella derivante dagli schemi di Figura 14. Si tratta di uno scavosostenuto da una paratia, per il quale si esaminano i percorsi tensionali relativi a due elementiA e B, posti alla stessa quota ma su lati opposti dellopera di sostegno, nelle stesse ipotesiformulate per il caso di Figura 15. Se si ipotizzano come in precedenza condizioni di normalconsolidazione, il coefficiente di spinta a riposo K0risulta prossimo a Ka: lelemento A, pereffetto dello spostamento orizzontale della paratia, subisce una riduzione delle tensioniorizzontali a tensioni verticali pressoch invariate e il corrispondente percorso OA puraggiungere rapidamente le condizioni limite attive. A valle dello scavo invece le condizionisono del tutto diverse: le tensioni verticali, che nellesperimento di Terzaghi risultavanocostanti, questa volta subiscono una drastica riduzione per effetto della rimozione del terrenofino alla quota di fondo scavo. Se lelemento B molto prossimo al fondo scavo, al termine

del processo sar soggetto a una tensione verticale 'vfmolto bassa. Il corrispondente percorsotensionale in Figura 17 quindi principalmente rivolto verso il basso, e al fine della presentediscussione non si commette un grande errore nellassumere che esso sia verticale.

La distanza del punto O dalle condizioni limite passive, misurata in direzione verticale, molto minore di quella di Figura 15 misurata in direzione orizzontale. Ne segue che per una

paratia la mobilitazione della resistenza passiva necessita di spostamenti molto minori diquelli osservati nellesperimento di Figura 14, e anzi, se il punto B prossimo al fondo, essoraggiunger certamente le condizioni limite passive come effetto diretto della riduzione dellatensione verticale associata allo scavo.

Se invece si assumono condizioni iniziali di sovraconsolidazione, e quindi valori di K0 pi

elevati, come ad esempio K01in Figura 17, il punto iniziale (O1) si allontana dalle condizioni


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H

AB

'v

'h

Kp

K01

Ka

H

'vf

OA

B

C

O1

B1

A1

Figura 17. Percorsi tensionali seguiti da due elementi di terreno situati in prossimit di una paratia.

limite attive e si avvicina, secondo le direzioni rilevanti per il problema in esame, allecondizioni limite passive. In questo caso perci lecito attendersi spinte dal lato di montemaggiori di quelle attive (percorso O1 A1) e significativi spessori di terreno al di sotto delfondo scavo che gi nelle condizioni di esercizio si trovano in condizioni limite passive. Sitroveranno infatti in queste condizioni tutti gli elementi di terreno la cui tensione verticale afine scavo inferiore a quella del punto B1in figura.

La discussione sulle conseguenze dei percorsi tensionali di Figura 15 e di Figura 17 si basasullassunzione implicita che la rigidezza del terreno lungo i diversi percorsi tensionali siasempre la stessa e che quindi lentit delle deformazioni possa desumersi direttamente dallalunghezza dei percorsi tensionali. Naturalmente la realt diversa, sia perch lungo undeterminato percorso tensionale il terreno esibisce una forte non linearit, e quindi una

riduzione della rigidezza, sia perch in generale il comportamento meccanico del terreno pudipendere significativamente dalla direzione del percorso tensionale. La Figura 18 mostra i

percorsi tensionali seguiti in uno studio sperimentale nel quale si sono applicati a un terreno agrana fine ricostituito percorsi tensionali simili a quelli di Figura 17, a partire da stati inizialidiversi, caratterizzati da gradi di sovraconsolidazione OCRpari a 1, 3 e 6.6 (Amorosi et al.1999). Allaumentare del grado di sovraconsolidazione aumenta il coefficiente di spinta ariposo, che risulta rispettivamente pari a 0.6, 0.9 e 1.3. La Figura 19 mostra i risultatisperimentali, in termini di relazioni tra il deviatore delle tensioni q e la corrispondentedeformazione deviatorica s. Le curve con s> 0 rappresentano i percorsi tensionali di tipo A(compressione), mentre quelle con s< 0 i percorsi di tipo B (estensione). Si osserva che la

pendenza delle curve molto variabile in dipendenza sia dello stato iniziale, sia delladirezione del percorso tensionale (compressione o estensione). Inoltre, ciascuna curva denotaun andamento fortemente non lineare sin dalle prime variazioni dello sforzo deviatorico. Lalunghezza dei percorsi tensionali di Figura 18 quella che corrisponde al raggiungimento diuna deformazione deviatorica dello 0.1 %, valore rappresentativo del livello deformativo delterreno interagente con opere di sostegno nelle condizioni di esercizio. Si osserva che gli statitensionali corrispondenti a questo valore della deformazione, rappresentati in figura con unacroce, si trovano a distanze molto diverse dagli inviluppi di resistenza, a seconda dello statoiniziale e della direzione del percorso tensionale: se il terreno si trova in condizioni di normalconsolidazione, la tensione orizzontale in un elemento rappresentativo delle condizioni a tergodella paratia effettivamente prossima allo stato limite attivo, mentre lo stato tensionale in un

elemento rappresentativo delle condizioni di valle lontano dalle condizioni limite passive.


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0 40 80 120 160

2 'h(kPa)

0

40

80

120

'v(

kPa) K

a

Kp

OCR= 1 3 6.6s= 0.1 %

Figura 18. Percorsi tensionali seguiti su provini ricostituiti di argilla di Vallericca (Amorosi et al.

1999).

-4 -2 0 2 4

s (%)

-60

0

60

120

q(kPa)

AB

OCR= 1

3

6.6

OCR= 1

3

6.6

Figura 19. Relazioni tensioni deformazioni osservate nei percorsi tensionali di Figura 18 (Amorosi

et al. 1999)

Tabella 3. Deformazioni deviatoriche necessarie per la mobilitazione delle condizioni limite attiva epassive osservate lungo in percorsi tensionali di Figura 18.

OCR 1 3 6.6

s A(%) 0.5 1.3 2.2

s P(%) 5.6 6.8 3.2

s A/s P 0.1 0.2 0.7

Allaumentare del grado di sovraconsolidazione gli stati tensionali valutati per s= 0.1 %sono caratterizzati da una maggiore distanza del terreno di monte da condizioni limite attive(e perci da maggiori tensioni trasmesse allopera di sostegno) e da una minore distanza delterreno di valle dalle condizioni limite passive.


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La Tabella 3 riporta le deformazioni deviatoriche necessarie per ottenere una mobilitazionedel 90 % della resistenza disponibile. Si osserva che mentre per OCR= 1 le condizioni limiteattive si mobilitano per deformazioni pari a solo il 10 % di quelle necessarie per mobilitare lecondizioni limite passive, allaumentare di OCRle deformazioni necessarie per attivare le due

condizioni limite diventano confrontabili.

3.2. Condizioni di drenaggio

In terreni a grana fine, caratterizzati da permeabilit molto basse, si pu assumere che lacostruzione di unopera di sostegno si verifichi in condizioni non drenate: il fluidointerstiziale non pu fluire tra i pori e impedisce di fatto ogni deformazione volumetrica.Questa condizione di drenaggio impedito associata a variazioni delle pressioni interstizialiche a loro volta influenzano i valori delle tensioni efficaci e quindi il comportamentocomplessivo dellopera.

La realizzazione di uno scavo sostenuto da una paratia associata a percorsi tensionali totalianaloghi a quelli AO e AB di Figura 17, che comportano entrambi una riduzione dellatensione media. La Figura 20.a illustra schematicamente levoluzione temporale delle tensionitotali medie p, delle pressioni interstiziali ue delle corrispondenti tensioni efficaci medie p'.Per effetto dello scavo si produce una riduzione (p1p0) della tensione totale media, nel corsodella costruzione, assunta in Figura 20.a di durata trascurabile rispetto ai tempi diequalizzazione delle pressioni interstiziali. Schematicamente, pu ritenersi che una voltaraggiunta la profondit di fondo scavo, le tensioni totali si mantengano costanti.

Per effetto della variazione delle tensioni totali, in condizioni non drenate si produce unaproporzionale riduzione delle pressioni interstiziali (u1 u0). Questa variazione ha per un

carattere transitorio, poich nelle condizioni di lungo termine le pressioni interstiziali devonotornare nella configurazione stazionaria associate alle condizioni idrauliche al contorno(Figura 20.b), che per effetto dello scavo possono essere mutate: il valore ufa cui tendono le

pressioni interstiziali sar in genere diverso dal valore iniziale u0, ma comunque maggiore delvalore raggiunto in condizioni non drenate. Nel periodo successivo alla realizzazione delloscavo si verifica quindi un incremento delle pressioni interstiziali e di conseguenza una

progressiva riduzione delle tensioni efficaci medie (Figura 20.c). Questa riduzione delletensioni efficaci comporta in generale un decremento della resistenza disponibile e unincremento della deformabilit del terreno ( 2.5), e risulta quindi notevolmente svantaggiosa

per lopera. Con poche eccezioni, relative a scavi in terreni argillosi di consistenza moltobassa, le condizioni pi gravose sono quelle drenate di lungo termine.

Se invece di una paratia si considera un muro di sostegno, si trova ancora che le condizionipeggiori per lopera risultano quelle di lungo termine. Infatti, poich il muro di sostegno puessere realizzato solo dopo aver eseguito uno scavo, questo deve risultare stabile nellecondizioni di breve termine, e quindi deve essere sagomato con pendenza opportuna (Figura21.a). Una volta realizzato il muro, nelle condizioni iniziali questo soggetto soltanto allamodesta spinta prodotta dal terreno di riempimento (Figura 21.b). Solo con lequalizzazionedelle pressioni interstiziali allinterno del terreno in posto le spinte aumenteranno, risultandodipendenti dai valori di lungo termine delle pressioni interstiziali. Dalla discussione che

precede risulta evidente che in molti casi la spinta esercitata sulle opere di sostegno incondizioni non drenate risulta di scarsa utilit pratica, poich il dimensionamento dellopera

regolato dalle spinte in condizioni drenate.


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p0

p1

u0

u1

uf

p'0

p'f

p'1

t

t

t

(a)(a)

(b)

(c)

Figura 20. Andamento temporale della tensione totale media, della pressione interstiziale e della

tensione efficace media in seguito alla realizzazione di uno scavo.

(a) (b)

Figura 21. Fasi costruttive di un muro a sostegno di uno scavo in un terreno a grana fine.

Anche nelle condizioni sismiche, essendo la condizione di drenaggio impedito solotemporanea, le azione sismica pi severe si valutano nella configurazione finale dellopera e il

progetto risulta quindi dominato dallanalisi delle condizioni drenate (Callisto e Aversa,2008).

Vi per un caso in cui le condizioni non drenate risultano determinanti, cio quello in cui altrascorrere del tempo si modifica lo schema statico dellopera di sostegno, costruendoelementi aggiuntivi di vincolo per lopera. Questa condizione si verifica per esempio pereffetto della realizzazione di una platea di fondo dopo il completamento di uno scavo con pilivelli di vincolo. In questo caso, le condizioni pi gravose si verificano prima della

costruzione degli elementi strutturali aggiuntivi, e riguardano quindi condizioni non drenate osolo parzialmente drenate per i terreni.

Nonostante lanalisi delle condizioni non drenate venga di solito studiata rinunciando allavalutazione esplicita delle variazioni delle pressioni interstiziali indotte, ed esprimendo invecela resistenza in termini di tensioni totali attraverso la resistenza non drenata Cu, per lanalisidel comportamento di scavi profondi in condizioni non drenate questa strada non appareadeguata: invece necessario valutare esplicitamente le variazioni delle pressioni interstizialiindotte, ed esprimere la resistenza in termini di tensioni efficaci. Questo aspetto esuladallorizzonte di questa memoria, ma invece descritto per esteso da Callisto (2011).


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3.3. Analisi di interazione

Per effettuare le verifiche degli elementi strutturali interagenti con il terreno nei confrontidello stato limite ultimo, necessario determinare le tensioni di contatto effettivamentescambiate fra il terreno e la struttura. Si tratta cio di prevedere leffettivo comportamentodellopera la quale, dovendo risultare distante da meccanismi di collasso, non mobilitercompletamente la resistenza del terreno e quindi sar soggetta a tensioni in generale diverseda quelle associate a condizioni limite (cfr. 3.1).

In linea di principio, la determinazione delle azioni scambiate fra terreno e opera di sostegnonon pu prescindere dalla descrizione della rigidezza dei due sistemi: per esempio, la Figura16 discussa in precedenza mostra con chiarezza che la risultante delle azioni effettivamenteagenti sul muro deriva dallintero legame forza spostamento sia del terreno a monte, sia diquello in fondazione. La soluzione si ricava perci mediante delle analisi di interazione, nellequali la soluzione del problema fa ricorso sia alle equazioni di equilibrio, sia a quelle di

congruenza. Diviene cos necessario rappresentare il comportamento meccanico del terrenonon solo mediante i parametri di resistenza, ma anche mediante quantit che ne descrivano ladeformabilit.

In alcuni casi, possibile condurre analisi di interazione utilizzando metodi semplificati, chefanno uso delle sole equazioni di equilibrio e sostituiscono le equazioni di congruenza,secondo un approccio tipicamente semiempirico, con delle ipotesi aggiuntive sulla formadegli andamenti delle pressioni di contatto lungo la paratia. Si consideri per esempio loschema di paratia di Figura 13. Nellipotesi che i terreni siano normalmente consolidati e chequindi il coefficiente di spinta a riposo sia sufficientemente prossimo a quello di spinta attiva,lesame dei percorsi tensionali di Figura 17 induce a ritenere che gli spostamenti necessari per

la mobilitazione della resistenza del terreno di monte siano piccoli. Si pu perci ritenere,secondo un ragionamento puramente qualitativo, che gli spostamenti che la paratia subirnelle condizioni di esercizio siano sufficienti a mobilitare condizioni limite attive nel terrenodi monte. La distribuzione delle tensioni totali di contatto a valle dovr assicurare, insiemealla reazione del livello di vincolo, lequilibrio della paratia. Se si assume che la distribuzionedelle tensioni di contatto a valle sia lineare con valore nullo al fondo scavo (distribuzione A),essa dipende da un solo parametro. Si possono quindi utilizzare le sole due equazioni diequilibrio, alla rotazione e alla traslazione orizzontale, per determinare landamento delletensioni di contatto a valle e la componente orizzontale Fadel livello di vincolo. Si ottengonoin questo modo i risultati mostrati in Figura 22 con linea continua: la Figura 22.a rappresentala distribuzione delle tensioni di contatto h assunta mentre la Figura 22.b mostra il

diagramma dei momenti flettenti M nella paratia e il valore di Fa. Il massimo momentoflettente valeMmax= 77 kNm/m e la reazione del livello di vincolo Fa= 49 kN/m.

I percorsi tensionali di Figura 17 indicano per che a valle della paratia i punti prossimi alfondo scavo saranno prossimi a condizioni limite passive. Lanalisi pu quindi esseremodificata facendo partire il diagramma delle pressioni di contatto di valle dal valore limite

passivo a fondo scavo, che risulta non nullo in ragione della coesione efficace del terreno(distribuzione B). Si ottengono in questo caso le distribuzioni di h e M rappresentate inFigura 22 con linea tratteggiata: con questa ipotesi si ottiene una riduzione di quasi il 50 %del massimo momento flettente e di circa il 25 % di Fa. Come si vede, le sollecitazionimostrano una forte dipendenza dalla particolare distribuzione assunta per le tensioni di

contatto.


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-150 -100 -50 0 50 100 150

h(kPa)

8

6

4

2

0

z(m)

-80 -40 0 40 80

M(kNm/m)-0.01 -0.005 0 0.005

dx(m)

Fa(kN/m)

0 40 80

A

B

RS - K0nc

RS - K0oc

Figura 22. Risultati di analisi di interazione effettuate per la paratia di Figura 13 con metodi

semplificati e con il metodo della reazione di sottofondo.

Tabella 4. Propriet dei terreni assunte nelle analisi di interazione della paratia di Figura 13.

Terreno (kN/m3) c' (kPa) ' () /' Ka Kp K0 E(MPa)

S 19 0 34 0.67 0.235 6.062 0.44 33LA 18 8 28 0.67 0.304 4.085 0.53 18

Le analisi precedenti sono state ripetute utilizzando il metodo della reazione di sottofondo(programma Paratie Plus v.2010), nel quale il terreno a contatto con la paratia sostituito daun insieme di vincoli equivalenti caratterizzati da un legame fra tensione di contatto espostamento di tipo elastico perfettamente plastico. In questo caso, necessario descrivere ilcomportamento del terreno anche mediante la sua rigidezza. Per il caso in esame si sonoassunti i parametri riportati in Tabella 4, dove E rappresenta il modulo di Young per unmodello costitutivo di tipo elastico perfettamente plastico. Il programma di calcolo

utilizzato stabilisce unequivalenza tra E e la rigidezza adoperata per i vincoli equivalenti(Becci e Nova 1987, Callisto 2011). Occorre inoltre considerare le rigidezze degli elementistrutturali: per la paratia si ipotizzata una rigidezza flessionale EI= 1.5105 kNm2/m(equivalente a pali in calcestruzzo armato con diametro 0.5 m e spaziatura 0.6 m) e per illivello di vincolo una rigidezza assiale pari a 2105kN/m.

In Figura 22 i risultati delle analisi di interazione svolti con il metodo della reazione disottofondo (RS in figura), mostrati con simbolo vuoto, sono confrontati con quelli delleanalisi semplificate. Gli andamenti delle tensioni di contatto differiscono da quelle assuntenella distribuzione B solo in prossimit della testa e del piede della paratia, dove glispostamenti sono minori (Figura 22) e le corrispondenti sollecitazioni nella paratia risultanoinferiori di circa il 30 %. Se invece si assume che il terreno limoso si trovi in una condizionedi sovraconsolidazione, e si pone il corrispondente coefficiente di spinta a riposo K0= 1,


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-120 -80 -40 0 40 80 120

h(kPa)

8

6

4

2

0

z(m)

-80 -40 0 40 80

M(kNm/m)-0.02 -0.01 0

dx(m)

E(riferimento)E / 55 E

Figura 23. Effetto della rigidezza del terreno sui risultati delle analisi eseguite con il metodo dellareazione di sottofondo.

si ottengono i risultati rappresentati in Figura 22 con simbolo pieno: le tensioni di contatto amonte risultano maggiori di quelle associate a condizioni limite attive e per lequilibrio a vallesi mobilita una spinta maggiore. Ne risultano sollecitazioni maggiori, che tuttavia rimangono

ben al di sotto di quelle valutate con la distribuzione semplificata (A) e spostamenti che allaquota del fondo scavo risultano di circa il 50 % maggiori di quelli valutati in condizioni dinormal consolidazione. Come si vede, la distribuzione semplificata (A) risulta sempreampiamente cautelativa, nonostante lassunzione non sempre corretta di condizioni limiteattive a monte, principalmente per la forma attribuita ai diagrammi delle tensioni di contattodi valle.

In Figura 23 illustrato leffetto della rigidezza del terreno sui risultati dellanalisi diinterazione. Riducendo di cinque volte il modulo elastico, e quindi la rigidezza dei vincoliequivalenti che simulano il comportamento del terreno, si ottengono tensioni di contatto amonte ancora distanti dalle condizioni limite attive e un notevole incremento dellesollecitazioni e degli spostamenti. Questo fenomeno si verifica perch con rigidezze cos

basse gli spostamenti necessari per mobilitare le condizioni limite attive divengono, a parit dilunghezza del percorso tensionale (OA in Figura 17), significativamente maggiori.

Viceversa, incrementando di cinque volte la rigidezza del terreno si ottiene da un lato unaproporzionale riduzione degli spostamenti, ma dallaltro le sollecitazioni risultano pressochinvariate: dato che nellanalisi di riferimento le condizioni limite di monte sono gimobilitate, un aumen

spinta delle terre sulle strutture di sostegno

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