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¿Que son las ondas gravitacionales?Squeezed States

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Squeezed light and the detection ofGravitational Radiation

Sergio Lobo1

1Departamento de Fısica

Seminario de Optica Cuantica, 2017

Sergio Lobo Squeezed light and the detection of Gravitational Radiation


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1 ¿Que son las ondas gravitacionales?Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?

2 Squeezed StatesOscilador ArmonicoEstados de combinaciones linealesSqueezed StatesEn Ligo



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Segun la Relatividad General...¿Que efectos producen?

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Comenzamos con las ecuaciones de campo de Einstein

Rµν = −8πG(Tµν −1

2gµνT

λλ ) (1)

Hacemos uso de la aproximacion de campo debil, (Por que?)

gµν = ηµν + hµν (2)

a primer orden en h el tensor de Ricci es

Rµν =∂

∂xνΓλλµ −

∂

∂xλΓλµν +O(h2) (3)

y los coeficientes de la conexion

Γλµν =1

2ηλρ [hρν,µ + hρµ,ν − hµν,ρ] +O(h2) (4)



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Usando lo anterior, las ecuaciones de campo quedan de la siguientemanera:

�2hµν −∂2

∂xλ∂xµhλν −

∂2

∂xλ∂xνhλµ +

∂2

∂xµ∂xνhλλ = −16πGSµν (5)

Existe una libertad de invarianza gauge que se puede resolvermediante la imposicion de un sistema de coordenadas armonicos, esdecir,

gµνΓλµν = 0 → ∂

∂xµhµν =

1

2

∂

∂xνhµµ (6)

Dando como resultado

�2hµν = −16πGSµν (7)

y cuya solucion es

hµν(x, t) = 4G

∫d3x’

Sµν(x’, t− |x− x’|)|x− x’|

(8)



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Plane wave solution

La solucion a la ecuacion de onda homogenea

hµν(x) = eµν exp(ikλxλ) + e∗µν exp(−ikλxλ) (9)

De tal forma que para que cumpla la ecuacion de onda y la condicionde coordenadas armonicas debe cumplirse que

kµkµ = 0 (10)

kµeµν =

1

2kνe

µµ (11)

e es conocido como el tensor de polarizacion.



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’The proper separation between two freely falling particles willoscillate even if their coordinate separation remain constant’



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Oscilador ArmonicoEstados de combinaciones linealesSqueezed StatesEn Ligo

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Oscilador armonico

Comenzamos por definir los operadores de creacion y destruccion

a = (x+ ip)/√

2 a+ = (x− ip)/√

2 (12)

De tal forma que

a|n〉 =√n|n− 1〉 a+|n〉 =

√n+ 1|n+ 1〉 (13)

Escribiendo x y p en terminos de los operadores creacion ydestruccion encontramos que

〈x〉 = 〈p〉 = 0 (14)

〈x2〉 = 〈p2〉 = n+ 1/2 (15)

var(p) = var(x) = (n+ 1/2)2 (16)

Siendo el estado de vacio, n = 0, uno de mınima incertidumbre.



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Figure: Magnitud del estado vacıo vs posicion.

Estacionario, de mınima incertidumbre paquete de onda con anchoconstante.



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El numero de estado forma un conjunto ortonormal completo:

ψ(x, t) =

∞∑n=0

cn(t)|n〉 (17)

En donde los cn(t) son numeros complejos y el estado |n〉 contiene ladependencia de x. La evolucion temporal de los cn(t) esta gobernadapor la ecuacion de Schrodinger.

Hcn(t)|n〉 = (n+ 1/2)cn(t)|n〉 (18)

id

dtcn(t) =

(n+

1

2

)cn(t) (19)

cuya solucion escn(t) = cn(0)ei(n+1/2)t (20)



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Podemos calcular 〈x〉 como

〈x〉 =√

2Re(e−it〈ψ|a|ψ〉) (21)

Comparando esto con la representacion en fasores de una cantidadque oscila

〈x〉 = 2Re(Ae−it) (22)



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La definicion anterior deja de ser tan oscura cuando calculamos laprobabilidad de encontrar n cuantos en el oscilador (o equivalente,una energıa de n+ 1/2).

Pn = |cn|2 = e−|α|2

[(|α|2)n

n!

](24)

Es decir, Pn es la probabilidad de detectar n eventos independientesen un periodo dado de tiempo si 〈n〉 = ||2 es el numero medio deeventos por intervalo de tiempo. Ademas,

var(x) = var(p) = 1/2 (25)

i.e. Todos los estados coherentes son estados de producto mınimo convarianza igual la del estado de vacıo.



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Figure: Paquete de ondas oscilando en varios tiempos*



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Figure: Estado coherente con 5 cuantos en promedio



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Un estado se dice que esta ”squeezed” si sus varianzas oscilan y sevuelven mas pequenas que las del estado de vacıo. Si el valor mınimodel producto es 1/4, entonces el estado se llama:”minimun-uncertainty squeezed state”. Para obtenerlos, comenzamosdefiniendo:

b = µa+ νa+ (26)

b+ = µ ∗ a+ + ν ∗ a (27)

Un estado squeezed |β〉 es un estado propio de b

b|β〉 = β|β〉 (28)

Expresando |β〉 como una combinacion lineal de |n〉 e igualandocoeficientes, se encuentra una relacion de recursion para cn.



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Figure: Comparacion de valores*



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Figure: los paquetes de onda ”respiran”*



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Figure: Coeficientes en t= 0 (no-Poisson)*



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Figure: Varianzas vs tiempo*



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Irregularidad en la llegada de fotones al detector (shot noise)

Presion de Radiacion



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Figure: Esquema del Interferometro usado en LIGO



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Figure: Mejoramiento de Ligo



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Figure: Interferometro usado en LIGO



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The end


For Further Reading I

Henry, Richard W and Glotzer, Sharon CA squeezed-state primer, 1988.American Journal of Physics.


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