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WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK
PROF. DR. ROLF HÜPEN
FAKULTÄT FÜR
WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT
Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre
Vorlesungsprogramm 30.04.2013
Prof. Dr. Rolf Hüpen | Modul „Statistik I“ | Sommersemester 2013
Mittelwerte und Lagemaße I
1. Quantile von Häufigkeitsverteilungen
2. Anwendung und Berechnung der wichtigsten Mittelwerte
• Modus
• Median
• Arithmetisches Mittel
• Geometrisches Mittel
• Harmonisches Mittel
Literatur: Degen, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., München-Wien 2002, S. 37-43.
Mosler, Karl und Schmid, Friedrich: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl.,
Berlin-Heidelberg-New York 2009, S. 34-42.
von der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, S. 46-82.
Aufgaben: Semesterabschlussklausur SS 01, Aufgabe 1b).
Semesterabschlussklausur WS 03/04, Aufgabe 1.
Semesterabschlussklausur WS 04/05, Aufgaben 1a) bis c).
Semesterabschlussklausur WS 05/06, Aufgabe 1.
Semesterabschlussklausur WS 08/09, Aufgabe 5.
2
Mittelwerte und Lagemaße Übersicht
Kennzahlen für Datensätze
• Allgemeine Lageparameter: Quantile
• Mittelwerte
• Streuungsmaße
• Konzentrationsmaße
• Schiefe
• Wölbung
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
p-Quantil (allgemeiner Lageparameter)
Voraussetzung: Mindestens ordinal skalierte Merkmale
Vorgabe: 0 < 𝑝 < 1
Dann heißt die Kennzahl
𝒙 𝒑
p-Quantil, falls unterhalb von 𝑥 𝑝 sich höchstens 100 ∙ 𝑝% und oberhalb von 𝑥 𝑝
sich höchstens 100 ∙ 1 − 𝑝 % der Beobachtungswerte befinden.
Beispiel:
p=0,4 Das 0,4-Quantil ist derjenige Beobachtungswert 𝑥 0,4, für den gilt, dass (höchstens) 40%
der Beobachtungswerte kleiner und (höchstens) 60% der Beobachtungswerte größer
als 𝑥 0,4 sind.
Gewinnt man z.B. aus einer Erhebung des Monatseinkommens von Haushalten die Information
𝑥 0,4 = 2000 €, dann weiß man: 40% der Haushalte verdienen weniger als 2000 €, 60% der
Haushalte mehr als 2000 €.
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
Eigenschaften und Berechnung des p-Quantils
1. Das p-Quantil teilt die geordnete Urliste in genau zwei Teile.
2. Ist n ∙ p ganzzahlig, so gelten die Prozentsätze exakt.
3. Für die Datenlage A gilt:
𝑥 𝑝 = 𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 nicht ganzzahlig
1
2∙ 𝑥 𝑛𝑝 + 𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 ganzzahlig
Dabei bedeutet [α]: = größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich a ist.
[ ] heißt „Gauß-Klammer“
Beispiel: 𝑛 = 25 , 𝑝 = 0,1
𝑛 ∙ 𝑝 = 2,5 ⟶ nicht ganzzahlig
[𝑛 ∙ 𝑝 + 1] = [3,5] = 3
⟶ 𝑥 0,1 = 𝑥 3 = dritter Wert der geordneten Urliste
𝑛 = 25 , 𝑝 = 0,2
𝑛 ∙ 𝑝 = 5 ⟶ ganzzahlig
𝑛 ∙ 𝑝 = 5 = 5 ; [𝑛 ∙ 𝑝 + 1] = [6] = 6
⟶ 𝑥 0,2 =1
2⋅ 𝑥 5 + 𝑥 6 = Intervallmitte zwischen 5. und 6. Wert der geordneten Urliste
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
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Geordnete Urliste
Lfd. Nr. (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Lebensalte
r beim
Examen
x(i) 23 24 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 32 34
Zahlenbeispiel aus der Absolventenumfrage 2002
𝑥 𝑝 = 𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 nicht ganzzahlig
1
2∙ 𝑥 𝑛𝑝 +𝑥 𝑛𝑝+1 falls 𝑛𝑝 ganzzahlig
𝑛 = 39
𝑝 = 0,25 𝑛𝑝 = 9,75 𝑥 0,25 = 𝑥 10 = 26
𝑝 = 0,5 𝑛𝑝 = 19,5 𝑥 0,5 = 𝑥 20 = 27
𝑝 = 0,75 𝑛𝑝 = 29,25 𝑥 0,75 = 𝑥 30 = 29
𝑝 = 2 3 𝑛𝑝 = 26
𝑥 2 3 = 12∙ (𝑥 26 + 𝑥 27 ) =
12∙ 28 + 28 = 28
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
4. Für die Datenlage B gilt:
𝑥 𝑝 = 𝑥𝑖 für 𝐹𝑖−1 < 𝑝 < 𝐹𝑖
1
2∙ 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 für 𝑝 = 𝐹𝑖
, wobei 𝑖 = 1,… ,𝑚 und 𝐹0 = 0
Nr. Merkmals-
ausprägung
einfache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit
absolut relativ absolut relativ
i xi hi fi Hi Fi
1 23 1 0,0256 1 0,0256
2 24 1 0,0256 2 0,0513
3 25 6 0,1538 8 0,2051
4 26 10 0,2564 18 0,4615
5 27 4 0,1026 22 0,5641
6 28 5 0,1282 27 0,6923
7 29 4 0,1026 31 0,7949
8 30 4 0,1026 35 0,8974
9 31 2 0,0513 37 0,9487
10 32 1 0,0256 38 0,9744
11 33 0 0,0000 38 0,9744
12 34 1 0,0256 39 1
Summe 39 1
Kontrollfrage:
Wo liegt der Median 𝑥 0,5
𝐹4 = 0,4615 < 𝑝 = 0,5 < 𝐹5 = 0,5641
→ 𝑥 0,5 = 𝑥5 = 27
Antwort:
Bei einem Lebensalter von 27 Jahren.
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Zahlenbeispiel Absolventenumfrage 2002, Merkmal „Alter“:
7
Mittelwerte und Lagemaße Quantile
Empirische Verteilungsfunktion
0
0,25
0,5
0,75
1
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Lebensalter beim Examen
Ku
mu
lie
rte
re
lari
ve
Hä
ufi
gk
eit
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Graphische Ermittlung des p-Quantils bei Datenlage B:
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
5. Für die Datenlage C gilt:
p-Quantile können im allgemeinen nur näherungsweise bestimmt werden. Man greift
auf die approximierende empirische Verteilungsfunktion zurück und bestimmt 𝑥 𝑝 als
Lösung der Gleichung
𝐹 𝑥 𝑝 = 𝑝
Berechnung:
Schritt 1: Man bestimmt zunächst die Klasse 𝐺𝑖 mit 𝐹𝑖−1 ≤ 𝑝 < 𝐹𝑖, in die das
gesuchte Quantil hineinfällt. Diese Klasse hat die Grenzen [𝑎𝑖−1, 𝑎𝑖) und
die Breite ∆𝑖= 𝑎𝑖 − 𝑎𝑖−1. Somit gilt die Eingrenzung 𝑎𝑖−1 ≤ 𝑥 𝑝 < 𝑎𝑖 .
Schritt 2: Feinberechnung durch lineare Interpolation:
𝑥 𝑝 ≈ 𝑎𝑖−1 + 𝑝 − 𝐹𝑖−1𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1
⋅ 𝑎𝑖 − 𝑎𝑖−1 = 𝑎𝑖−1 + 𝑝 − 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖⋅ ∆𝑖
Bei Annahme der Gleichverteilung innerhalb der Klasse ist die Approximation exakt.
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
Zahlenbeispiel: Absolventenumfrage, Merkmal „Alter beim Examen“, 7 Klassen, identische Breite ∆ = 2
von bis unter Mitte Breite
i ai-1 ai xi Di hi fi Hi Fi
1 22 24 23 2 1 0,0256 1 0,0256
2 24 26 25 2 7 0,1795 8 0,2051
3 26 28 27 2 14 0,3590 22 0,5641
4 28 30 29 2 9 0,2308 31 0,7949
5 30 32 31 2 6 0,1538 37 0,9487
6 32 34 33 2 1 0,0256 38 0,9744
7 34 36 35 2 1 0,0256 39 1
Summe 39 1
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Berechnung des Medians (𝑝 = 0,5)
1. Schritt: In welche Klasse fällt der Median?
Da 0,2051 < 0,5 < 0,5641, befindet sich der Median in Klasse 3, also gilt:
26 < 𝑥 0,5 < 28
2. Schritt: Feinberechnung durch lineare Interpolation:
𝑥 0,5 = 26 + 2 ∙0,5 − 0,2051
0,5641 − 0,2051= 27,6 Jahre
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
Zahlenbeispiel: Absolventenumfrage, Merkmal „Alter beim Examen“, 7 Klassen, identische Breite ∆ = 2
von bis unter Mitte Breite
i ai-1 ai xi Di hi fi Hi Fi
1 22 24 23 2 1 0,0256 1 0,0256
2 24 26 25 2 7 0,1795 8 0,2051
3 26 28 27 2 14 0,3590 22 0,5641
4 28 30 29 2 9 0,2308 31 0,7949
5 30 32 31 2 6 0,1538 37 0,9487
6 32 34 33 2 1 0,0256 38 0,9744
7 34 36 35 2 1 0,0256 39 1
Summe 39 1
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Berechnung des 1. Quartils (𝑝 = 0,25)
1. Schritt: 0,2051 < 0,25 < 0,5641 → 𝑄1 befindet sich auch in Klasse 3, also gilt:
26 < 𝑥 0,25 < 28
2. Schritt: Feinberechnung durch lineare Interpolation:
𝑥 0,25 = 26 + 2 ∙0,25 − 0,2051
0,5641 − 0,2051= 26,3 Jahre
11
Mittelwerte und Lagemaße Quantile
Zahlenbeispiel: Absolventenumfrage, Merkmal „Alter beim Examen“, 7 Klassen, identische Breite ∆ = 2
von bis unter Mitte Breite
i ai-1 ai xi Di hi fi Hi Fi
1 22 24 23 2 1 0,0256 1 0,0256
2 24 26 25 2 7 0,1795 8 0,2051
3 26 28 27 2 14 0,3590 22 0,5641
4 28 30 29 2 9 0,2308 31 0,7949
5 30 32 31 2 6 0,1538 37 0,9487
6 32 34 33 2 1 0,0256 38 0,9744
7 34 36 35 2 1 0,0256 39 1
Summe 39 1
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Berechnung des 3. Quartils (𝑝 = 0,75)
1. Schritt: 0,5641 < 0,75 < 0,79491 → 𝑄3 befindet sich in Klasse 4, also gilt:
28 < 𝑥 0,75 < 30
2. Schritt: Feinberechnung durch lineare Interpolation:
𝑥 0,75 = 28 + 2 ∙0,75 − 0,5641
0,7949 − 0,5641= 29,6 Jahre
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Mittelwerte und Lagemaße Quantile
Graphische Ermittlung des p-Quantils bei Datenlage C mit Hilfe der approximierenden
empirischen Verteilungsfunktion:
Approximierende empirische Verteilungsfunktion
0
0,25
0,5
0,75
1
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
Lebensalter beim Examen
Ku
mu
lie
rte r
ela
tive
Hä
ufi
gk
eit
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𝐹 𝑥
13
Mittelwerte und Lagemaße Quantile
6. Spezialfälle
Quartile:
𝑝 = (0,25 0,5 0,75)
Die drei Quartile teilen die geordnete Urliste in vier gleiche Teile.
• 0,25 − Quantil = 𝑥 0,25 = 𝑄1 = unteres Quartil
• 0,5 − Quantil = 𝑥 0,5 = 𝑄2 = mittleres Quartil oder Median
• 0,75 − Quantil = 𝑥 0,75 = 𝑄3 = oberes Quartil
Dezile:
𝑝 = 0,1 0,2 ⋯ 0,8 0,9
Die neun Dezile teilen die geordnete Urliste in zehn gleiche Teile.
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Mittelwerte Überblick
Mittelwert = Kennzahl zur Beschreibung der zentralen Tendenz einer
statistischen Masse.
Ziel: Durch Angabe eines einzigen, typischen Wertes soll die statistische
Masse möglichst gut repräsentiert werden. Der Mittelwert soll das
Niveau, die allgemeine Größenordnung der Messwerte charakterisieren
und den Datensatz durch eine einzige Zahl zusammenfassen.
Von geringer praktischer Bedeutung sind das quadratische und das antiharmonische Mittel, die zusammen mit
den schon genannten rechnerischen Mittelwerten Spezialfälle der sogenannten Potenzmittel sind.
Die Berechnung der Mittelwerte hängt von der Datenlage ab.
Die wichtigsten Mittelwerte sind:
Modus
Median (Zentralwert)
Arithmetisches Mittel (AM)
Harmonisches Mittel (HM)
Geometrisches Mittel (GM)
lagetypische Mittelwerte
rechnerische Mittelwerte
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Mittelwerte Zahlenbeispiel
Stabdiagramm
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8
Merkmal x
Rela
tive H
äu
fig
keit
f
Häufigkeitstabelle
xi hi fi Hi Fi
1 1 0,05 1 0,05
2 2 0,1 3 0,15
3 3 0,15 6 0,3
4 3 0,15 9 0,45
5 5 0,25 14 0,7
6 3 0,15 17 0,85
7 2 0,1 19 0,95
8 1 0,05 20 1
Summe 20 1
Fiktives Zahlenbeispiel, quantitatives Merkmal x, 20 Beobachtungswerte:
5,6,4,2,8,3,7,5,5,3,6,4,2,3,4,6,5,7,5,1
Quelle für das Zahlenbeispiel: Abels, Heiner: Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik, 4. Aufl., Wiesbaden 1993, S. 209
Geordnete Urliste
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x(i) 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8
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Mittelwerte Zahlenbeispiel Datenlage A
Datenlage A: Bei der Datenlage A besteht der Datensatz aus einzelnen, nicht notwendigerweise
von einander verschiedenen Beobachtungswerten 𝑥1, … , 𝑥𝑛
Gegeben: Geordnete Urliste 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑥(𝑛)
Modus = häufigster Beobachtungswert
Median =
𝑥 𝑛+12
, 𝑛 ist ungerade
12∙ 𝑥 𝑛
2+ 𝑥 𝑛
2+1
, 𝑛 ist gerade
AM = 1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
HM = 𝑛 1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
GM = 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
= 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛1𝑛
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Modus = 5
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x(i) 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8
Median =1
2∙ 𝑥 10 + 𝑥 11 =
1
2∙ 5 + 5 = 5
AM = 1
20∙ 1 + 2 + 2 +⋯+ 7 + 8 =
91
20= 4,55
HM =20
11+12+12+⋯+
17+18
= 3,53
GM = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ⋯ ∙ 7 ∙ 820
= 182891520000020
= 4,10
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Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation Modus
Anwendung, Eigenschaften und Interpretation der Mittelwerte
Modus (Modalwert):
• häufigster oder dichtester Wert
• Realitätsnähe: der Modus ist immer ein beobachteter Wert
• Mit dem Modus verbindet man eine gewisse Vorstellung von „Normalität“ und
„Üblichkeit“
• Beispiele: „normaler“ Preis, „übliche“ Zeit
• Anwendung ab Nominalskalenniveau möglich, also immer.
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Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation Median
Median (Zentralwert):
• Halbierungseigenschaft: der Median ist der Merkmalswert, der die Daten in genau
zwei gleiche Teile teilt. 50% der Merkmalswerte sind kleiner oder gleich, 50% sind
größer oder gleich dem Median.
• Gibt die Mittenposition einer Verteilung an, spricht das Mittengefühl an.
• sehr robust gegenüber Ausreißern
• Beispiel: normaler Student, „politische Mitte“, „mittleres Einkommen“
• Minimaleigenschaft: Die Summe der absoluten Abweichungen des Medians von
den Beobachtungswerten ist minimal. Die Funktion
𝜑 𝑦 = 𝑥𝑖 − 𝑦
𝑛
𝑖=1
besitzt ein Minimum an der Stelle 𝑦 = 𝑥 0,5, also beim Median.
• Anwendung ab Ordinalskalenniveau möglich.
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Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation arithmetisches Mittel
Arithmetisches Mittel AM = 𝑥 =1
𝑛∙ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
• bekanntester Mittelwert
• „Durchschnittswert“, „rechnerischer Durchschnitt“
• AM kann Wert annehmen, der als Beobachtungswert nicht vorkommt.
• empfindlich gegenüber Ausreißern
• Ersatzwerteigenschaft: 𝑥𝑖 = 𝑛 ⋅ 𝐴𝑀
• Schwerpunkteigenschaft (Nulleigenschaft): 𝑥𝑖 − 𝐴𝑀 = 0
• Minimaleigenschaft: Die Funktion 𝜑 𝑦 = (𝑥𝑖 − 𝑦)2 besitzt ein Minimum an der Stelle
𝑦 = AM, d.h. AM minimiert die quadratischen Abweichungen.
• Linearität: 𝑦𝑖 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑖 ⟹ 𝐴𝑀 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝐴𝑀 𝑋
Eine lineare Transformation der Beobachtungswerte des Merkmals X führt zu derselben
linearen Transformation des AM.
• Anwendung ab Intervallskalenniveau möglich.
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Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation geometrisches Mittel
Geometrisches Mittel GM = 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
1𝑛
= 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑛
• Hauptanwendungsgebiet: Wachstumsfaktoren/Wachstumsraten. Beispiel
• „logarithmisches Mittel“:
ln 𝐺𝑀 =1
𝑛⋅ ln 𝑥𝑖 = 𝐴𝑀(ln 𝑋 )
𝑛
𝑖=1
Der Logarithmus des geometrischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der
logarithmierten Merkmalswerte.
• Beispiele: Mittlere Wachstumsrate, mittlere Inflationsrate, (Cobb-Douglas-Funktion)
• Anwendung ab Verhältnisskalenniveau möglich.
v. d. Lippe 1993, S. 61f.: Dipl.-Kfm. K aus E erhält im Jahre 1989 eine Gehaltserhöhung um 20%.
Wegen der schlechten Geschäftslage im Jahre 1990 muß er jedoch 1990 eine Gehaltssenkung
um 20% hinnehmen. Er verdient jetzt (richtiges ankreuzen): weniger als, mehr als,
genauso viel wie vor der Gehaltserhöhung.
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Mittelwerte Anwendung, Eigenschaften und Interpretation harmonisches Mittel
Harmonisches Mittel HM = 𝑛 1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
• weitgehend unbekannter Mittelwert, der in einigen Fällen jedoch angewendet werden muss,
weil jede andere Mittelwertbildung zu unsinnigen Ergebnissen führen würde.
• Beispiele: mittlere Geschwindigkeit, Durchschnittspreis bei konstanten Ausgaben, aber
verschiedenen Preisen („Ich tanke immer für 20 €“). Anwendung bei Verhältniszahlen, bei
denen der Zähler konstant und der Nenner variabel sind.
• Anwendung ab Verhältnisskalenniveau möglich.
v. d. Lippe 1993, S. 63: Ein Flugzeug legt für den Flug von A nach B und zurück insgesamt 4.800
km zurück. Aufgrund von Gegenwind kann das Flugzeug auf dem Hinweg nur eine
Geschwindigkeit von 600 km/h erreichen, auf dem Rückweg jedoch eine Geschwindigkeit von
800 km/h. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Flugzeug unterwegs?
Stud. rer. oec. Sebastian Sparsam hat im laufenden Monat zweimal für jeweils zwanzig Euro
getankt. Beim ersten Mal betrug der Benzinpreis 1,25 €/l, beim zweiten Mal 1,55 €/l. Zu welchem
durchschnittlichen Preis hat er getankt?
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