statistika - iii. mõned teoreetilised...

Statistika

Vitali Retšnoi

TõenäosusjaotusJuhuslik sündmus.Tõenäosus.ÜlesandedDiskreetsejuhusliku suurusejaotus

TuntuddiskreetsedjaotusedÜhtlane jaotusBinoomjaotusÜlesanded

Pidev juhusliksuurusPideva juhuslikusuuruse jaotusNormaaljaotusStandardnenormaaljaotusBinoomjaotuselähendaminenormaaljaotusegaÜlesandedPideva juhuslikusuuruse kvantiilidÜlesanded

StatistikaIII. Mõned teoreetilised tõenäosusjaotused.

Vitali Retšnoi

Tallinna Tehnikakõrgkool

Statistika

Vitali Retšnoi




Juhuslik sündmus. Tõenäosus.Igaüks meist on kasutanud selliseid väljendeid nagu tõenäosusega 99 protsenti matulen homme sulle külla, homme tõenäoliselt sajab vihma jne. Mida see tõenäosusikkagi tähendab.

Vaatleme katset, millel on lõplik hulk võrdvõimalikke tulemusi. Katsetnimetatakse juhuslikuks, kui tulemus ei ole katsetingimustega ühiselt määratud.Näiteks, mündivise, kaardi valik kaardipakist, tunnuse väärtuse mõõtminejuhuslikult valitud valimi objektil.

Sündmusi tähestatakse A,B,C , ...

DefinitsioonSoodsate võimaluste arv on nende võimalike tulemuste arv, mille korral meidhuvitav sündmus toimub.

DefinitsioonArvu

P(A) =soodsate võimaluste arvkõikide võimaluste arv

nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks.Seega P(A) on soodsate võimaluste arvu osakaal katsete seerias.

Statistika

Vitali Retšnoi




Juhuslik sündmus. Tõenäosus (jätk)

NäideVaatleme mündi viskamist. Kokku meil on kaks võimalust – kull või kiri. Olgusündmuseks A kulli pealelangemine. Seega soodsaid võimalusi on üks – tuleb kull.Siis

P(A) =12.

NäideVisatakse täringut. Kokku on 6 võimalust – tuleb kas 1,2,3,4,5 või 6 silma.Defineerime kaks sündmust: A – viskel tuleb 6 silma (soodsaid võimalusi on üks)ja B – viskel tuleb paarisarv silmi (soodsaid võimalusi on kolm). Leiame nendetõenäosuse:

P(A) =16

ja P(B) =36

=12.

Statistika

Vitali Retšnoi




Ülesanded

1. Valime huupi ühe kaardi 52-kaardilisest pakist. Milline on tõenäosus, etvalitud kaart on ärtu masti?

2. Õpperühmas on 20 inimest, neist 5 tütarlast ja 15 noormeest. Valitaksehuupi üks õppur. Leida tõenäosus, et valitu on a) tütarlaps, b) noormees.

3. Kui suur on tõenäosus, et teie õpperühma juhuslikult valitud üliõpilanea) on tütarlaps;b) on noormees;c) olete Teie;d) on siniste silmadega?

4. Visatakse korraga kahte münti. Kui suur on tõenäosus, et tuleba) mõlemal kull;b) ühel kiri, teisel kull;c) vähemalt ühel kiri?

Statistika

Vitali Retšnoi




BinoomkordajaTäisarvu

C kn =

n!

k!(n − k)!,

(loe: kombinatsioonide arv n elemendist k kaupa) nimetatakse binoomkordajaks.

Valemisn! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 2) · (n − 1) · n.

Näiteks,

0! = 1, 1! = 1,2! = 1 · 2 = 2,3! = 1 · 2 · 3 = 6,4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24,5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120, jne.

Näiteks 5 elemendist saab moodustada erinevaid 2-elemendilisi kombinatsiooneC 2

5 =5!

2! · 3!= 10. Kehtib C k

n = Cn−kn .

Statistika

Vitali Retšnoi




Diskreetse juhusliku suuruse jaotus

Juhuslik tunnus on tunnus, mille väärtused on määratud juhusliku katsetulemusena.

Juhuslikku suurust iseloomustabI tema väärtuste hulk jaI iga väärtuse esinemise tõenäosus.

Juhusliku suuruse X tõenäosusfunktsiooniks nimetatakse eeskirja, mis seabigale juhusliku suuruse X väärtusele xi vastavusse selle tõenäosuse P(xi ):

P(xi ) = P(X = xi ).

Tõenäosusfunktsioon tabelina:

Tunnus X x1 x2 x3 . . . xn

P(X = xi ) p1 p2 p3 . . . pn

Tõenäosusfunktsiooni põhiomadus:n∑

i=1

P(xi ) = 1.

Statistika

Vitali Retšnoi




NäidePerre ostetud autode arv

Autode arv X 0 1 2 3 4 Kokku:Peresid f 30 470 850 490 160 2000Osakaal p 0,015 0,235 0,425 0,245 0,08 1

Tõenäosus, et peres on täpselt 2 autot:

P(x = 2) = 0, 425.

Tõenaosus, et peres on kuni 2 autot:

P(0 ≤ x ≤ 2) = P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2) = 0, 015+0, 235+0, 425 = 0, 675.

Tõenäosus, et peres on rohkem kui 1 auto:

P(x > 1) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) = 0, 425 + 0, 245 + 0, 08 = 0, 75.

Statistika

Vitali Retšnoi




Diskreetse juhusliku suuruse arvkarakteristikud.

1. Keskväärtus: EX =n∑

i=1

xi · P(xi ) = x1 · p1 + x2 · p2 + . . .+ xn · pn.

2. Dispersioon:

DX = E (X − EX )2 =n∑

i=1

(xi − EX )2 · P(xi ) =

= (x1 − EX )2 · p1 + (x2 − EX )2 · p2 + . . .+ (xn − EX )2 · pn,

DX = E (X 2)− (EX )2.

3. Standardhälve: σ =√

DX .

Statistika

Vitali Retšnoi




NäideNäide Perre ostetud autode arv jätk. Leiame dispersiooni DX :

Autode arv X Osakaal P(x) x · P(x) x2 x2 · P(x)

0 0,015 0 0 01 0,235 0,235 1 0,2352 0,425 0,85 4 1,703 0,245 0,74 9 2,214 0,08 0,32 16 1,28

Kokku: 1 2,14 5,42

Dispersioon: D(X ) = E (X 2)− (EX )2 = 5, 42− (2, 14)2 = 0, 8404

Standardhälve: σ =√

DX = 0, 92.

Seega uuritud 200 pere põhjal saame öelda, et peres on keskmiselt 2,1 autot,standardhälbega 0,92 autot.

Statistika

Vitali Retšnoi




Ühtlane diskreetne jaotusDiskreetne ühtlane jaotus defineeritakse tõenäosusfunktsiooniga

P(X = k) =1n, kui k = 1, 2, . . . , n.

Juhusliku suuruse X võimalikud väärtused on i = 1, 2, . . . , n ja nede tõenäosusedon vastavalt

P(X = 1) = P(X = 2) = . . . = P(X = n) =1n.

Keskväärtus: EX =n + 12

.

Dispersioon: DX =n2 − 112

.

Standardhälve: σ =16(√

3(n2 − 1))

Lauset Tunnus X on ühtlase jaotusega tähistatakse lühidalt

X ∼ U(k).

Statistika

Vitali Retšnoi




Ühtlane diskreetne jaotus (jätk)

NäideVisatakse täringut. Juhuslikuks suuruseks X on simade arv täringul.

Silmade arv X 1 2 3 4 5 6

P(X = x)16

16

16

16

16

16

P(X ≤ x)16

26

36

46

56

1

Antud juhul n = 6 ning EX = 3, 5, DX ≈ 2, 917, σ ≈ 1, 708.Näiteks, tõenäosus, et täringul viskamisel tuleb kas 1,4 või 6 silma:

P(X = 1) + P(X = 4) + P(X = 6) =12.

Statistika

Vitali Retšnoi




Binoomjaotus

Olgu meil n sõltumatu katsete seeria ja igal katsel on kaks võimalust – edu võiebaedu.

Vaatame juhuslikku sundmust A, mille toimumise tõenäosus ühel katsel on p(0 ≤ p ≤ 1). Kordame katset n korda ning loendame A toimumised. Seega eduon sündmuse A toimumine ning ebaedu – sündmuse A mittetoimumine.

Olgu A toimunud k korda (0 ≤ k ≤ n).

Binoomjaotus määrab n katsete hulgas edukaks osutunud katsete arvu jaotus.

Juhuslikku suurust X , mille väärtuseks on sündmuse A toimumiste arv k ,nimetatakse binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks ja tähistatakse lühidalt

X ∼ B(n, p).

Statistika

Vitali Retšnoi




Binoomjaotus (jätk)Edukalt lõppenud katsete arv X 0 1 2 ... nOsakaal pi = P(X = xi ) p0 p1 p2 ... pn

Tabel: Binoomjaotusega juhusliku suuruse X jaotustabel

Juhusliku suuruse X väärtused on edukalt lõppenud katsete arv seerias. Väärtusek osakaal pk = P(X = k), (ehk tõenäosus, et sündmus toimub n katse korral kkorda) on määratud valemiga

pk = C kn pk(1− p)n−k ,

kus C kn =

n!

k!(n − k)!– binoomkordaja,

n – kõikide katsete arv,p – eduka katse tõenäosus üksikkatsel,1− p – ebaeduka katse tõenäosus üksikkatsel,k – edukate katsete arv katsete seerias,n − k – ebaedukate katsete arv katsete seerias.

Statistika

Vitali Retšnoi




Binoomjaotus (jätk)

NäideVisatakse münti kolm korda (n = 3). Katse eduks loeme kirja pealelangemist.Kirja pealelangemise osakaal (tõenäosus) üksikkatsel on 0, 5.

p0 = 1 · 0, 50 · 0, 53 = 0, 125,

p1 = 3 · 0, 51 · 0, 52 = 0, 375,

p2 = 3 · 0, 52 · 0, 51 = 0, 375,

p3 = 1 · 0, 53 · 0, 51 = 0, 125

ja kirjutame jaotustabeli välja

Tunnuse X 0 1 2 3Osakaal pi = P(X = xi ) 0, 125 0, 375 0, 375 0, 125

Statistika

Vitali Retšnoi




Binoomjaotus (jätk)

Binoomjaotusega juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Keskväärtus: EX = n · p.

Dispersioon: DX = np(1− p).

Standardhälve: σ =√

np(1− p).

Märkus. Peatükides Andmete esitamine ja Valimiga seotud arvkarakteristikudvaatlesime statistilise kogumi ehk valimi uurimist mingi arvtunnuse seisukohalt.Seal esinenud arvtunnus on aga sisuliselt juhuslik suurus, mis on määratudjaotustabeliga, kus iga väärtuse tõenäosuseks on tema suhteline sagedus ehkosakaal. Tunnuse jaotus saadi katsete ja vaatluste teel, st empiiriliselt, käesolevaspeatükis vaadeldud juhuslike suuruste jaotuse saime aga teoreetiliselt. Teoreetilisijaotusi võib vaadelda kui mudeleid teatud empiirilistele jaotustele.

Statistika

Vitali Retšnoi




Ülesanded

1. Eksamiküsimusi on viis. Tudeng teab neist kolme. Talle esitatakse kolmküsimust. Olgu X küsimuste arv, mida tudeng neist teab. Koostage suuruseX jaotustabel, jaotuspolügoon, leidke karakteristikud EX , DX ning σ.

2. Mündi visatakse 10 korda. Olgu X saadud kullide koguarv. Koostage tunnuseX jaotustabel, jaotuspolügoon, leidke karakteristikud EX , DX ning σ.

3. Märklaua suunas sooritatakse 3 (4,5,6) sõltumatu lasku. Igal lasul ontabamise tõenäosus 0, 7. Olgu X tabamuste koguarv. Koostage tunnuse Xjaotustabel, jaotuspolügoon, leidke karakteristikud EX , DX ,σ ningP(X ≤ 2).

4. Üliõpilane läheb eksamile, olles 20-st küsimustest selgeks õppinud 16. Talleesitatakse 3 (4,5,6) küsimust. Olgu X küsimuste arv, mida ta neist kolmestteab. Koostage tunnuse X jaotustabel, jaotuspolügoon, leidkekarakteristikud EX , DX , σ ning P(X ≤ 2).

Statistika

Vitali Retšnoi




Pidev juhuslik suurus

Olgu X pidev tunnus, mille väärtused on pidevad juhuslikud suurused, st temaväärtuseks võib olla etteantud lõigu [a; b] iga punkt.

NäideLiikugu linnaliini buss intervalliga 10 minutit. Linnakodanik võib peatusse minnajuhuslikul ajahetkel. Olgu juhuslikuks suuruseks ooteaja pikkus. See võib ollasuvaline ajavahemik 0 ja 10 minuti vahel.

Pideva tunnuse X jaotus tuleks esitada niisuguse valemi abil, mis kannab endaskõikvõimalike intervallide osakaale üheaegselt.

Statistika

Vitali Retšnoi




Pideva juhusliku suuruse jaotus

Tihedusfunktsioon y = f (x) on mittenegatiivne funktsioon, mis kannab kaasaskõikvõimalike intervallide osakaale.

Tihedusfunktsiooni y = f (x) omadus: intervalli kohale jääv tihedusfunktsioonialune pindala on võrdne selle intervalli osakaaluga üldkogumis.

Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon:

F (t) = P(X ≤ t) = P(−∞ ≤ X ≤ t).

Seega jaotusfunktsiooni väärtuseks kohal t on kõigi arvust t väiksemate väärtusteosakaal.

Näiteks, F (2) = P(X < 2) – intervalli (−∞, 2) kohale jääv tihedusfunktsioonif (x) alune pindala, st kõigi arvust 2 väiksemate väärtuste osakaal.

Jaotusfunktsioon F (t) kannab endaga kaasas intervallide kumulatiivseid osakaale.Argumendi t kasvades kasvab intervalli (−∞, t) osakaal.

Kogu tihedusfunktsiooni alla jääv pindala võrdub ühega.

Statistika

Vitali Retšnoi




Pideva juhusliku suuruse jaotus (jätk)Jaotusfunktsioon avaldub tihedusfunktsiooni integraalina

F (t) =

∫ t

−∞f (x)dx .

Tihedusfunktsiooni kasutamine tõenäosuste arvutamisel:

P(a < X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a) .

–intervalli (a; b] osakaal. Seega teades funktsiooni F (t) väärtusi intervalliotspunktides, saame leida antud intervalli osakaalu.

Näiteks, intervalli (2; 4] osakaal

P((2; 4]) = P(2 < X ≤ 4) = F (4)− F (2) =

= P(−∞ < X < 4)− P(−∞ < X < 2).

Kuna pideva juhusliku suuruse korral on ühe konkreetse punkti tõenäosus võrdubnulliga, siis kehtib

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b).

Statistika

Vitali Retšnoi




Tihedusfunktsiooni graafik

Statistika

Vitali Retšnoi




Joonis: Noormeeste pikkus on normaaljaotusega.

Statistika

Vitali Retšnoi




Joonis: Normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik.

Statistika

Vitali Retšnoi




Normaaljaotus (jätk)

Normaaljaotus kirjeldab järgmist pidevat tunnust:

Tunnusel on olemas teatav keskmine tase, mille lähedased väärtusedesinevad tihti, suuri kõrvalekaldeid keskmisest tasemest on harva.Mõlemasuunalised kõrvalekalded keskväärtusest on võrdvõimalikud.

Seega keskmisest tasemest läheduses asuvate intervallide osakaal on suur, kaugelasuvate intervallide osakaal aga väike.

Paljud nähtused maailmas alluvad normaaljaotusele, näiteks

inimeste pikkus, kaal,

eksamil saadud punktisumma,

mahla kogus liitrises pakis.

Statistika

Vitali Retšnoi





Normaaljaotuse tihedusfunktsioon määratakse valemiga

f (x) =1

σ√2π

e−(x−µ)2

2σ2 , (1)

kus µ = EX – jaotuse keskväärtus ja σ – jaotuse standardhälve(π = 3, 1415..., e = 2, 71828...).

Tihedusfunktsioon (1) omab punktis µ kõige suuremat väärtust. Parameeter σmäärab tunnuse väärtuste hajutatuse µ suhtes. Funktsiooni (1) nimetatakseGaussi1 kõveraks.

Normaaljaotus on sümmeetriline, tema sümmeetria keskpunktiks on keskväärtusµ. Parameeter σ maarab tunnuse väärtuste hajutatuse keskväärtuse suhtes.

Lauset tunnus X on normaaljaotusega parameetritega µ ja σ tähistatakse lühidalt

X ∼ N(µ, σ).

1C.F.Gauss (1777–1855), saksa matemaatik.

Statistika

Vitali Retšnoi





Normaaljaotuse korral kehtib kolme σ reegel:

68% väärtustest on keskmisest 1 standardhälbe kaugusel,

95% väärtustest on keskmisest 2 standardhälbe kaugusel,

99% väärtustest on keskmisest 3 standardhälbe kaugusel.

Statistika

Vitali Retšnoi




Standardne normaaljaotusNormaaljaotust nimetatakse standardseks normaaljaotuseks, kui üldisenormaaljaotuse tihedusfunktsioonis parameetrid µ = 0 ja σ = 1 ning tähistatakse

X ∼ N(0; 1).

Seega standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon määratud valemiga

f (x) =1√2π

e−x22 .

Olgu F (t) – normaaljaotuse jaotusfunktsioon ja Φ(t) – standardsenormaaljaotuse jaotusfunktsioon. Siis

F (t) = Φ

(t − µσ

).

Argumendi teisendus t → z =t − µσ

nimetatakse standardiseerivaksteisenduseks.

Seega intervalli (a; b) osakaalu jaotuse N(µ, σ) jaoks määratakse valemiga

P(a < X < b) = F (b)− F (a) = Φ

(b − µσ

)− Φ

(a − µσ

).

Statistika

Vitali Retšnoi



Pidev juhusliksuurusPideva juhuslikusuuruse jaotusNormaaljaotusStandardnenormaaljaotusBinoomjaotuselähendaminenormaaljaotusegaÜlesandedPideva juhuslikusuuruse kvantiilidÜlesandedJoonis: Üldise ja standardse normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik.

Statistika

Vitali Retšnoi




Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega

Olgu X ∼ B(n, p).

Kui keskväärtusµ = EX = n · p ≥ 5,

siis võib meid huvitavate intervallide osakaalude arvutamisel kasutadanormaaljaotus

N(np,√

np(1− p)),

ehk N(EX , σ), kus σ =√

np(1− p) on binoomjaotuse B(n, p) standardhälve.

Statistika

Vitali Retšnoi




Ülesanded1. On teada, et 5-aastaste poiste keskmiseks pikkuseks on 130 cm

standardhälbega 2 cm. Olgu tunnus X – poiste pikkus ja X ∼ N(130, 2).Koostada tunnuse X jaotustabeli, kasutades väärtusintervalle

(−∞, 127], (127; 129], (129; 131], (131; 133], (133;∞].

Millise osakaaluga tuleks valmistada ülikondi, mis on ettenähtud pikkustele124–128 cm, 128–132 cm, 132–136 cm.

2. Olgu Sinisilma Kuningriigis leibkonna keskmine võlg (krediitkaartid,autoliising jne) 17 989 raha, standardhälbega 3 750 raha. Leida nendeleibkonnade osakaal, mille võlg on vahemikus 13 000 kuni 20 000 raha.(Vastus: 0,6136 ehk 61,36%)

3. Olgu teatud aine test koosneb kümnest küsimustest, iga küsimusele onantud kaks vastusevarianti. Oletame, et testitegija valib vastusevariandidtäiesti juhuslikult. Seega õigete vastuste arv on binoomjaotusegaX ∼ B(10; 0, 5). Koostada binoomjaotusele B(10; 0, 5) vastav jaotustabel jalähendada seda jaotus mormaaljaotusega, kasutades värtusintervalle

[0; 1, 5), [1, 5; 3, 5), [3, 5; 6, 5), [6, 5; 8, 5), [8, 5; 10].

Statistika

Vitali Retšnoi




Pideva juhusliku suuruse kvantiilid

DefinitsioonNormaaljaotuse α-kavantiiliks nimetatakse arvu qα, millest väiksema väärtusesaamise tõenäosus (osakaal) on α, st

P(X < qα) = α ⇔ F (qα) = α.

Kvantiil leitakse võrrandi F (qα) = α lahendamisel. Seega qα = F−1(α) .

DefinitsioonNormaaljaotuse α-täiendkvantiiliks nimetatakse arvu qα, millest suurema võivõrdse väärtuse saamise tõenäosus (osakaal) on α, st

P(qα ≤ X ) = α ⇔ F (qα) = 1− P(X ≥ qα) = 1− α,

kuna P(−∞ < X <∞) = 1. Seega F (qα) = 1− α.

Kehtib seos: qα = q1−α.

Statistika

Vitali Retšnoi




Standardse normaaljaotuse kvantiilid

Olgu X ∼ N(0, 1) ja Φ(t) – standardse normaaljaotuse jaotusfunktsioon. Siisα-kvantiili ja α-täiendkvantiili tähistatakse vastavalt sümbolitega zα ja zα.

Seega Φ(zα) = α ja Φ(zα) = 1− α.Kui on vaja leida intervalli, milles standardse normaaljaotusega tunnus asubtõenäosusega 1− α, võib selle moodustada zα

2ja z α

2abil. Tõepoolest,

P(zα2< X < z α

2) = 1− α,

või täiendkvantiilide abil:

P(−z α2< X < z α

2) = 1− α,

kuna zα = −zα.

Kvantiil on võetud kasutusele selle jaoks, et eraldada piirkonnad, milles tunnus Xtavaliselt (st suure tõenäosusega) väärtusi ei omanda.

Statistika

Vitali Retšnoi




Kvantiilid (jätk)

Joonis: Standardse normaaljaotuse kvantiilid.

Statistika

Vitali Retšnoi




Kvantiilid (jätk)Tavaliselt kasutatakse väärtusi α = 0, 05 ja α = 0, 01. Siis 1− 0, 05 = 0, 95 ja1− 0, 01 = 0, 99, ehk tunnuse X väärtused asuvad teatud intervallis vastavalttõenäosusega 95% või 99%.

Näiteks, α = 0, 05 korral saame (kasutades Excel’is funktsiooniNORM.S.INV(...))

zα2

= z0,025 = −1, 96, z α2

= z0,025 = 1, 96

ja P(−1, 96 < X < 1, 96) = 0, 95. Seega tunnuse X väärtus asub vahemikus(−1, 96; 1, 96) tõenäosusega 95%.

Statistika

Vitali Retšnoi




Ülesanded

4. Olgu X ∼ N(0; 1). Kirjutada kvantiilide abil välja intervallid, millessesattumise tõenäosus on

a) 0, 9 b) 0, 95 c) 0, 8 d) 0, 99 e) 0, 1 f) 0, 05.

5. Olgu teada, et arvuti keskmine eluiga on 54 kuud, standardhälbega 8 kuud.Milline peaks olema tootva firma poolt pakutav garantiiaeg, mille jooksultöötamise lõpetanud arvuti vahetatakse uue vastu, kui firma ei tahavahetada ümber rohkem kui 1% müüdud arvutitest. Ülesande lahendamiselkasutada üldise ja standardse normaaljaotuse kvantiilid. (Vastus: 35 kuud)

statistika - iii. mõned teoreetilised...

Documents