staylor_polinomios1

5/16/2018 STaylor_polinomios1 - slidepdf.com

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1 /[email protected]

SERIE DE TAYLOR.

Su forma generalizada es:n

iiniiiiiii x xa x xa x xa x xaa x f )(..)()()()( 1

3

13

2

12

1

111

En donde a0, a1, a2, a3,… an son coeficientes de combinación1, (xi+1-xi), (xi+1-xi)

2, (xi+1-xi)3,…, (xi+1-xi)

n son las funciones linealmente independientes que

conforman una base del espacio vectorial de las funciones continuas.

Cualquier función está representada por este polinomio.

Representar una función con este polinomio es lo que se denomina desarrollo en serie deTaylor o expansión en serie de Taylor.

Para describir completamente este polinomio, evaluaremos los coeficientes de combinación ylos haremos mediante derivación sucesiva.

El polinomio de Taylor, que es la combinación lineal de la base 1, (x i+1-xi), (xi+1-xi)2, (xi+1-

xi)3,…, (xi+1-xi)n , es un generador de funciones continuas dentro de su espacio vectorial dedimensión infinita. Los valores de los coeficientes son los valores de la función y susderivadas, todas evaluadas en un punto base o punto de expansión xi, lo que implica

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto entérminos de la función y sus derivadas en otro punto.

El primer término de la serie es f(x i+1 )=f(x i ) y se le conoce como aproximación de orden cero. Donde xi es el punto baseSi la función no cambia da una estimación casi perfecta ≈ cte. Si la función cambia se requieren términos adicionales.

La aproximación de 1er orden se tiene sumando otro término al anterior.f(x i+1 ) f(x i ) + f ’ (x i )/1! (x i+1 - x i )

1

y = b + m x

término de 1er orden, es para tener una tendencia lineal

entonces se le agrega un término de segundo orden para obtener una curva y tener unamejor aproximación

1 2

1 1 1

'( ) "( )( ) ( ) ( ) ( )

1! 2!

i ii i i i i i

f x f x f x f x x x x x

y = b + m x + n x 2 como una ecuación polinomial.




xi=0 xi+1

f(x i+1 )=f(x i )

f(x i+1 ) f(x i ) + f ’ (x i )/1! (x i+1 - x i )1

h

(xi)

x

orden cero

1er. orden

2do orden

de igual manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansióncompleta de la serie de Taylor.

Entonces la Serie de Taylor queda de la siguiente manera: x x

n

x f x x

x f x x

x f x x

x f x f x f

n

ii

i

n

ii

i

ii

i

ii

i

ii )(!

)(..)(

!3

)(''')(

!2

)(")(

!1

)(')()(

1

3

1

2

1

1

11

se incluye el término residual para considerar todos los términos desde n+1 hasta el infinito.

1

1

1

!1

n

ii

n

x xn

f Rn

Donde n = indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden. = cualquier valor entre xi y xi+1 (puede usar la función random o función aleatoria encomputación), este valor da una estimación exacta del error, puede ser un valor promedioentre ellos o inclusive podemos usar el teorema del valor medio .

Se puede simplificar convenientemente la serie de Taylor definiendo un paso h= xi+1 - xi

1

)1(

321

1!1

!

)(..

!3

)('''

!2

)("

!1

)(')()(

nn

ni

n

iii

iih

n

f Rn Rnh

n

x f h

x f h

x f h

x f x f x f

Residuo para la expansión en serie de Taylor.

n=0f(xi+1)f(xi)

(3)

2 3

0

"( ) ( )'( ) ...

2! 3!

i ii

f x f x R f x h h h

Simplificando el residuo: Rof'(xi)hesto da una inexactitud

1

1

11)(

!2

)(")(

!1

)(')()( ii

i

i

i

iix x

x f xi x

x f x f x f

f(x)

xi

f(xi)

xi+1

Ro

Predicción exacta

Predicción de orden cero

h

x




Una alternativa es el teorema del valor medio: si una función f(x) y su primera derivada son continuas sobre el intervalo x i a x i+1, existe al menos 1 punto sobre la función que tiene una

pendiente dada por f'( ), que es paralela a la que une f(x i ) con f(x i+1 ).

Uso de serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento(3)

2 3

1

1

"( ) ( )( ) ( ) '( ) ...

2! 3!

( )

i ii i i n

i i

f x f x f x f x f x h h h R

h x x

Truncando la serie después del término con la 1ª deriv:f(x i+1 )=f(x i )+ f'(x i )(x i+1-x i )+R 1

la resolvemos 1 1

1 1

( ) ( )'( ) i i

i i i i

f x f x R f xi

x x x x

El error de truncamiento asociado con la aprox de la deriv:

1 1

1 1

1 1

( )( ) o ( )

2!i i i i

i i i i

R f R x x O x x

x x x x

este error de aproximación debe ser

proporcional al tamaño de paso

Ejemplo:

f(x)=x m

para m=1,2,3 y 4 sobre rango de x=1 a 2. Usar la serie de Taylor a 1er orden para aproximarla función para varios valores del exponente m y tamaño de paso h.

a 1er orden: f( xi+1 )=f(x i )+m 1m

i x

h

el residuo es(3) (4)

2 3 4

1

"( ) ( ) ( )...

2! 3! 4!

i i i f x f x f x R h h h

m=1, x=2f(2)=1+(1)=2 y R1=0

f(x)

xi xi+1

Ro

Pendiente=m= f'()

h

0 R

mh

x

n=1 2

1

"( )

2!

f R h

, =( f(xi)+f(xi+1))/2

Aprox a 1er orden Etrunc

f'( )=(f(x i+1 )-f(x i ))/( x i+1-x i )

o




m=2, f(2)=22=4 (el valor real)a 1er orden:f(2)=1+2(1)=3 y R1=2/3(1)2+0+0+...=1

m=3, f(2)=23=8 (el valor real)

a 1er orden:f(2)=1+3(1)2(1)=4 y R1=6/2(1)2+6/6(1)30+0+...=4

m=4, f(2)=24=16 (el valor real)a 1er orden:f(2)=1+4(1)3(1)=5 y R1=12/2(1)2+24/6(1)3+24/24(1)4+0+0+...=11

R1 se incrementa a medida que la función se hace no lineal.Para el último caso (m=4) R1 varía cuando se cambia el tamaño de paso h.f(x+h)=f(x)+4 3

i x h

si x=1, f(1)=1

f(1+h)=1+4h y R1=6h2

+4h3

+h4

la diferencia disminuye al reducir h, para valores pequeños de h el error es proporcional a h2.Conforme h es dividido a la mitad el error disminuye por un factor de 4

Comparación del valor exacto de f(x)=x 4 con la aprox de la Serie de Taylor a 1er orden.Ambos, la función y la aprox son evaluados en x+h, donde x=1

H Verdadero Aprox a 1er orden R1 1 16 5 110.5 5.0625 3 2.06250.25 2.441406 2 0.4414060.125 1.601807 1.5 0.101807

0.0625 1.274429 1.25 0.0244290.03125 1.130982 1.125 0.0059820.015625 1.063980 1.0625 0.001480

Podemos decir queEl Error por aprox de S.Taylor a 1er orden disminuye conforme m se acerca a 1 y hdisminuye intuitivamente.En caso contrario una opción alterna es reducir h o incluir términos adicionales de laexpansión de la S.Taylor.

Ejercicio:

La expansión en de Maclaurin para cos x es2 4 6 8

cos 1 ...2 4! 6! 8!

x x x x x Iniciando con el

primer término cosx=1, agréguese los términos uno a uno para estimar cos(π/4). Después deque agregue cada uno de los términos, calcule los errores porcentuales relativos exactos yaproximados. Use el excel o calculadora para determinar el valor exacto. Agregue términoshasta que el valor absoluto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error,considerando dos cifras significativas.




INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.

Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de

familia de funciones denominadas elementalesForma general: a0g0(x)+a1g1(x)+a2g2(x)+...+angn(x) donde ai, 0<i<n, son constantes pordeterminar y gi(x), 0≤i≤n funciones de una familia particular.

Los monomios en x(x0; x1, x2,...) sus combinaciones generan aproximaciones del tipopolinomial: a0+a1x+a2x

2+ a3x3+...+anxn

El grupo de funciones de Fourier: 1, sen x, cos x, sen 2x,..., al combinarse linealmente

generan aproximaciones del tipo a0+1

n

i

i

a

cos ix+ bi sen ix

El grupo de funciones exponenciales: 1, e x , e 2x , e 3x ,... pueden usarse del modo

siguiente:1

nix

i

i

a e

Éstos grupos son las aproximaciones polinomiales.

En el caso de datos experimentales, se tienen errores, entonces el método de mínimoscuadrados es aplicable.

Una vez que se tiene un polinomio de aproximación se usa para obtener puntos adicionales(interpolación ); también puede derivarse o integrarse para tener información adicional de lafunción tabular.

1er orden (lineal) 2do orden (cuadrática o) 3er orden (cúbica)Conectando 2 puntos parabólica, enlazando 3 puntos conectando 4 puntos




Interpolación lineal

Se tienen pocos datos (abarcan un amplio margen de estudio) y se desea calcular unvalor determinado no reportado

usando triángulos semejantes:

Reordenando para despejar f(x): ec.1

Pero f(x)=f 1(x) es un polinomio de interpolación de1er orden.

el término [ f(X 1 ) - f(X 0 ) ] / (X 1 – X 0 ) es una aproximación de diferencias divididas finitas a laprimera derivada.En general, entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será laaproximación.

(hacer un ejemplo de excel, llamarlo aprox_polinom.xls, luego programarlo en la misma hoja)

Interpolación cuadráticaEl error en el ejemplo anterior se debe a que se aproxima a una curva mediante una línearecta. Una estrategia que mejora la aproximación es introducir cierta curvatura en la líneaque conecta a los puntos. Si se dispone de tres puntos se puede llevar a cabo con unpolinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola ). Una maneraconveniente para este caso es:

ec.2

agrupando términos: ec.3en donde:

(el manejo matemático lo pueden ver en referencias bibliográficas)

El polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes.Para b 0 , con X = X 0 , se obtiene b 0 = f(X 0 )

f(x1)

f(x0)

f(x)

x1

x0

xx

f(x)




evaluando en X = X1:

se evalúa en X = X2 y se obtiene:

Al igual que en el caso de interpolaciónlineal, b 1 representa la pendiente de la línea que une los puntos X 0 y X 1.El último término, b 2 (X-X 0 )(X-X 1 ), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.

Una vez calculadas las b0, b1, b2, la usamos para encontrar los coeficientes de la ecuaciónpara poder conocer f(x).

Forma de interpolación polinomial por ecuaciones simultáneas lineales.Dados n+1 puntos como:

f0=a0+a1x0+a22

0 x + a3

3

0 x +...+ an 0

n x

f0=a0+a1x1+a22

1 x + a33

1 x +...+ an 1

n x

f0=a0+a2x2+a22

2 x + a3

3

2 x +...+ an 2

n x

fn=a0+a1xn+a22

n x + a3

3

n x +...+ an

n

n x

Este sistema se puede resolver por ecuaciones simultáneas por medio de un programacomputacional.

El polinomio de orden N que pasa por los puntos N+1 se puede escribir en una serie depotencias como: p(x)= a 0 +a 1x+a 2 x 2 +a 3 x 3

+…+an x n Donde a i son coeficientes, el ajuste de la serie de potencia a los N+1 datos da un sistema deecuaciones lineales (encontrados anteriormente)

Interpolación de Lagrange

Teorema (ver más adelante).En el método de Lagrange, se utiliza una ecuación que aunque se va alargando conformemás puntos se quieran unir, es siempre del mismo tamaño y de la misma forma por lo que

una de sus ventajas es que es más claro y fácil de hacer.

Primero se deben tener ya los puntos que se quieren interpolar:

Como se requiere encontrar una curva que pase por todos los datos, sebusca un polinomio que lo represente. Comenzando por el más simple unpolinomio de grado “0”, n=0, su ecuación será p(x)=y0, este será par un valorde x o un nodo.

x0 x1 x2 ... xn

f0 f1 f2 ... fn

x0 x1 x2 ... xn

f(x0) f(x1) f(x2) ... f(xn)<═>

.

.

.




Cuando n=1 o de primer grado, se sabe que una línea recta puede pasar por dos puntos, conuna función lineal se puede resolver

0 1 01

0 1 0 0

0 1 1 0 1 0

( )x x y y x x

p x y y y x x x x x x x x

b + m x = ŷ

La ecuación de Lagrange se comienza por el primer punto o sea x0 de referencia.

Donde g(x)=P(x), para un polinomio de 1er grado se puede escribir:ec.4

a0 y a1 son los coeficientes, y para encontrar el valor se hace x=x0 en la ecuación anterior

que al despejar a0 da:ec.5

Para hallar el valor de a1, se sustituye el valor de x=x1 en la ec.4 queda:ec.6

de modo que al juntar ec.5 y ec.6 en la ec.4 queda:ec.7

donde y

en forma compacta tenemos:ec.8

De igual manera, un polinomio de segundo grado (ecuación de una parábola) puedeescribirse:

ec.9

Los cálculos para encontrar a0, a1, a2 se encuentran sustituyendo x=c0, x=x1 y x=x2,respectivamente en la ecuación 9, para obtener:

)()()(0110

x xa x xa x p

0 0

0

0 1 0 1

( ) ( ) p x f xa

x x x x

1 1

1

1 0 1 0

( ) ( ) p x f xa

x x x x

0 1

1 1 0

0 1 1 0

( ) ( )( )

f x f x p x x x x x

x x x x

0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x L x f x L x f x

1

0

0 1

( )x x

L x x x

0

1

1 0

( )x x

L x x x

2 0 1 2 1 0 2 2 0( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 1)P x a x x x x a x x x x a x x x

0

0

0 1 0 2

1

1

1 0 1 2

2

2

2 0 2 1

( )

( )

( )

f xa

x x x x

f xa

x x x x

f xa

x x x x

1 2

0

0 1 0 2

0 2

1

1 0 1 2

0 1

2

2 0 2 1

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

x x x x L x

x x x x

x x x x L x

x x x x

x x x x L x

x x x x

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

p x a x x a x x

p x a x x




ec.10

Ahora para un polinomio de tercer grado desarrollado tenemosec.11

Por lo que la fórmula de interpolación de Lagrange de orden n queda como sigue:

Theorem ( Lagrange Polynomial ). Assume that and for

are distinct values. Then,

where is a polynomial that can be used to approximate ,

and we write . The Lagrange polynomial goes through the points , i.e.

for .

The remainder term has the form

,

for some value that lies in the interval. http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/LagrangePolyMod.html

Polinomio de Newton:En comparación con este método Lagrange tiene sus desventajas:- La cantidad de cálculos para una interpolación es grande- La interpolación para otro valor de x necesita la misma cantidad de cálculos adicionales- La evaluación del error no es fácil.

Newton hace frente a estas desventajas, ya que es un método predictor-corrector (haciadelante y hacia atrás)

1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2

3 0 1 2 3

0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP x f x f x f x f x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

1 2

0

0 1 0 2 0

0 2

1

1 0 2

0 1 1

0 1 1

( )( )...( )( ) ( )

( )( )...( )

( )( )...( )+

( )( )...( )

( )( )...( )+

( )( )...( )

n

n

n

n

i i n

n

n

n n n n

x x x x x x p x g x f

x x x x x x

x x x x x x f

x x x x x x

x x x x x x f

x x x x x x

0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x L x f x L x f x L x f x

http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html








ver clase_diferencias_divididas.ppt

Fórmula general de la interpolación de polinomios, con diferencias divididas

Todo lo anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los

n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan lospuntos en la evaluación de los coeficientes b 0 , b 1, ... , b n .Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X 0 , X 1, ... , X n .Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:

b0 = f (X0)b1 = f [X1, X0]

b2 = f [X2, X1, X0]

bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.Por ejemplo, la primera diferencia finita dividida se representa generalmente como:

La segunda diferencia finita dividida, que representa la diferencia de dos primeras diferenciasfinitas divididas, se expresa generalmente como:

Entonces, la n-ésima diferencia finita dividida es:

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes b0, b1, b2, ...bn, los cuales sesustituyen en la ecuación fn(x), para obtener el polinomio de interpolación:

fn(X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1)f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]

A esta se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton .




Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación estén igualmenteespaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en ordenascendente.

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cadadiferencia se indica entre los elementos que la producen:

i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera0 X0 f(X0) f[X1, X0] f[X2, X1, X0] f[X3, X2, X1, X0]1 X1 f(X1) f[X2, X1] f[X3, X2, X1]2 X2 f(X2) f[X3,X2]3 X3 f(X3)

Nótese que la estructura de la ecuación anterior es similar a la expresión de la serie de Taylor en el sentido de que los términos agregados secuencialmente consideran elcomportamiento de orden superior de la función representada. Estos términos son

diferencias finitas divididas , y por lo tanto, representan aproximaciones a las derivadas deorden superior.Como sucede con la serie de Taylor, si la función representativa es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante de n-ésimo orden bajado en n + 1 llevará a resultadosexactos.El error por truncamiento de la serie de Taylor es:

en donde es un punto cualquiera dentro del intervalo [Xi, Xi+1], puede usar la funciónrandom o función aleatoria en computación. Una relación análoga del error en un polinomiointerpolante de n-ésimo orden está dado por:

Para el uso de esta fórmula, la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Yusualmente este no es el caso.

Afortunadamente existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento previo de lafunción. Entonces se usa una diferencia finita dividida que aproxima la [n+1]-ésima derivada:Rn = f [X, Xn, Xn-1, ... , X1, X0][X-X0][X-X1]..[X-Xn]

en donde f[X, Xn, Xn-1, ... , X0] es la [n+1]-ésima diferencia dividida.




La última ecuación contiene la incognita f[X] , ésta no se puede resolver y obtener el error.Sin embargo, si se dispone de un dato adicional f[X n+1 ] , la ecuación da una aproximación delerror como:

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

EJEMPLO

Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación deNewton con diferencias divididas de tercer orden:

X f[X]

1 0.000 0000

4 1.386 2944

6 1.791 75955 1.609 4379

SOLUCIÓN:

El polinomio de tercer orden con n = 3, es.

Las primeras diferencias divididas del problema son:

Las segundas diferencias divididas son:




La tercera diferencia dividida es:

Los resultados para f[X1, X0], f[X2, X1, X0] y f[X3, X2, X1, X0] representan loscoeficientes b

1 , b

2y b

3Junto con b

0= f [X

0] = 0.0, la ecuación da:

f 3 [X] = 0 + 0.46209813 [X-1] - 0.0518731 [X-1][X-4] + 0.0078655415 [X-1][X-4][X-6]

Arreglando la tabla de diferencias

X f [X] f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ] 1.0 0.00000000 0.46209813 - 0.051873116 0.0078655415

4.0 1.3862944 0.20273255 - 0.020410950

6.0 1.7917595 0.18232160

5.0 1.6094379

Con la ecuación anterior se puede evaluar para X = 2

f 3 [2] = 0.62876869

lo que representa un error relativo porcentual del e% = 9.3%.

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::




Como hemos visto la interpolación polinomial se puede expresar en varias formasalternativas, como las series de potencias, la interpolación de Lagrange y la interpolación deNewton hacia atrás y hacia delante.

Lagrange es un método para determinar una interpolación sin resolver ec. Lineales .

Ver apuntes

Ejercicio, usando excel o lenguaje de programación.

Dados los datosx 1 2 2.5 3 4 5f(x) 1 5 7 8 2 1

a) calcule f(3.4) mediante polinomios de interpolación de Newton de orden 1 a 3. Escoja la

secuencia de puntos para su estimación con el fin de obtener la mejor exactitud posible.

b) utilice la ecuación Rn para estimar el error en cada predicción, (ver el ejemplo 18.4 delcapítulo 18, Chapra)

c) calcule f(3.4) encontrando el grado del polinomio usando diferencias divididas finitas haciaadelante.

d) calcule f(3.4) encontrando el grado del polinomio usando diferencias divididas finitas haciaatrás.

e) calcule f(3.4) encontrando el grado del polinomio usando diferencias divididas finitascentrales (con tendencia central).

ejercicio de repaso:

f) calcule f(3.4) mediante interpolación simple, interpolación cuadrática e interpolación cúbica,y calcule el error relativo para cada una de las interpolaciones

g) calcule f(3.4) utilice la interpolación de Lagrange de primer y segundo orden

h) compare las interpolaciones anteriores en una tabla e interprete sus resultados:

Tipo de interpolación f(3.4)

Bibliografía: Chapra, Nieves, Burden, Cheney Davis, P.J., "Interpolation and Approximation", Dover, New York (1975).Rivlin, T.J., "An Introduction to the Approximation of Functions", Dover, New York (1981).Stoer, J.; Bulirsch, R., "Introduction to Numerical Analysis", Springer-Verlag, New York (1980).




ECUACIONES NO LINEALESM bisección (ver html)

Error Absoluto

para n≥1 . Esto nos permite tener una idea de qué tan cerca estamos de la solución real,incluso podemos usar esto para estimar el número de iteraciones necesarias para alcanzaruna precisión dada.La implementación de este algoritmo con Excel es muy sencilla, como veremos.

bisección(a,b,n)

i=0

i<=n

a1=a

b1=b

m1=(a1+b1)/2

f(m1)<>0

f(m1)f(b1)<0

a2=m1

a2=a1

f(m1)f(a1)<0

b2=m1

b2=b1

Si

si

Si

No

Si

No

i=i+1

No

ciclo

while_do

m=m1

retornar

staylor_polinomios1

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