STEINER PROBLEM

Ilustrasi dari permasalahan Steiner sebagai berikut: Misalkan banyaknya murid disetiap desa A,B, dan C berturut turut adalah a, b, dan c. permasalahannya adalah dimanakah lokasi gedung sekolah akan dibangun, agar jumlah jarak yang akan ditempuh oleh murid-murid sependek mungkin? Secara matematis, digambarkan sebagai berikut : diberikan tiga titik A, B, dan C dalam satu bidang, bagaimana memilih titik P dalam bidang dimana a.PA + b.PB + c.PC minimum Teorema di bawah ini, mensyaratkan bagaimana memilih titik P Steiner, Teorema Steiner . Andaikan M suatu titik di dalam segitiga ABC, yang bersifat sin BMC sin CMA sin A MB = = a b c Misalkan pula bahwa P suatu titik didalam segitiga ABC, maka a.PA + b.PB + c.PC a.MA + b.MB + c.MC Dimana tanda kesamaan dipenuhi apabila P berimpit dengan M. Bukti : Gambarkan sesuai dengan skenario soal, selanjutnya buat melalui A, B, dan C berturut-turut segmen garis yang tegak lurus pada AM, BM, dan CM, maka diperoleh gambar sebagai berikut : E A F M B P C yang dikenal sebagai teorema

D Dari gambar, jelas bahwa sin D = sin BMC sin E = sin CMA sin F = sin A MB Dari hipotesa dan kaidah sinus diperoleh EF FD DE = = = k (k > 0) a b c

Selanjutnya[DEF ] = [DME ] + [EMF ] + [FMD ] = =1 2 k 2

(DE .MC + EF .MA + FD.MB ) (c.MC + a.MA + b.MB )[PEF ] + [PFD ] + [PDE ] = [DEF ]

Disamping itu,k 2

(a.PA + b.PB + c.PC ) = (EF .PA + FD.PB + PC .DE ) 1 2

Dengan demikian a.PA + b.PB + c.PC a.MA + b.MB + c.MC q.e.d

Tanda kesamaan dipenuhi jika dan hanya jika EF tegak lurus PA, FD tegak lurus PB, dan DE tegak lurus PC. Ketiga hal tersebut benar apabila P dan M berimpit.

STEINER-LEHMUSPerhatikan gambar berikut ini : A xx N M

B

L

C

Jika AL garis bagi sudut A, maka dapat dibuktikan bahwa A L2 = bc 1 Analog BM = ac 1 2

a b +

2 c 2 c

b a +

Teorema Steiner Lehmus menyatakan bahwa : jika dalam segitiga ABC, mempunyai dua garis bagi yang sama panjang, maka segitiga ABC adalah segitiga sama kaki. Bukti : Tanpa mengurangi keumuman, misalkan kedua garis bagi yang sama panjang tersebut adalah BM dan CN . Maka : 2 2 1 - b = ab 1 - c ac a + c a + b Dari persamaan di atas diperoleh : a (a + b + c ) a + b + c ) a 2 + bc + 2abc (b - c ) = 0 ( Dengan demikian b - c = 0 atau b = c , jadi segitiga ABC sama kaki.

(

)

Beberapa teorema di bawah ini, perlu dikaji dan disimpulkan. Theorem (The IMO Compendium) Given a triangle ABC, let ABR, ACQ and BCP be equilateral triangles constructed outwards. Then AP, BQ, CR intersect in one point, called Torricellis point. Theorem (Mathematical digest) Let ABC be triangle in which the largest angle is less than 1200 . on each side construct equilateral triangles ABP, BCQ, and CAR, pointing outwards. Then PC, QA and RB are concurrent. The point of concurrency, S is called the steiner point of the triangle ABC. Theorem (Inequalities, Radmila BM, Jose Antonio, GO Rogelio, VD) If ABC is a triangle with angles of less or equal to 1200, there is a unique point P such that A PB = BPC = CPA = 1200 . The point P is known as the Fermat point of triangle ABC.

Latihan Soal1. Tentukan lokasi titik P di dalam segitiga ABC, sedemikian rupa sehingga : BC CA A B + + PD PE PF adalah minimal, dimana PD, PE, PF berturut-turut proyeksi P pada BC, CA dan AB. Penyelesaian : Gambarkan sesuai dengan scenario soal. Nyatakan luas segitiga ABC dengan BC CA A B + + = S PD PE PF maka 2D = BC .PD + CA .PE + A B , PF = a .PD + b.PE + c .PF dan a b c 2D S = (a .PD + b.PE + c .PF ) + + PD PE PF Selanjutnya gunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz, maka diperoleh2D S (a + b + c )2

dan

Jadi S mencapai minimum : S min =

(a + b + c )2V

2

Nilai minimum dicapai untuk PD = PE = PF . Berarti lokasi dari titik P harus berimpit dengan pusat incircle dari segitiga ABC.

2.

Tentukan lokasi P didalam segitiga ABC, sedemikian rupa sehingga PD .PE .PF adalah maksimal, dimana PD, PE , PF berturut turut proyeksi P pada BC, CA, dan AB. Penyelesaian : Gambarkan sesuia dengan scenario soal.2[A B C ] = [B CP ] + [CA P ] + [A BP ] = a .PD + b.PE + c.PF 3 3 abc .PD .PE .PF

Atau

(

2 3

[A BC ]) abc.PD .PE .PF

3

8 [A B C ]3 27 abc Tanda sama dipenuhi untuk a.PD = b.PE = c.PF PD .PE .PF c.PF = b.PE [A BP ] = [CA P ] berarti titik P terletak pada garis median melalui A, yaitu mA . a.PD = b.PE [B CP ] = [CA P ] berarti titik P terletak pada garis median melalui C, yaitu mC . Dengan demikian P = m A m C = G , jadi P berimpit dengan G yaitu centroid. Nilai maksimum PD .PE .PF = 8 [A B C ]3 27 abc