stigbundinn eða samfelldur? · kenning piaget og aðrar kenningar sem á eftir koma hafa ekki...

Vitsmunaþroski barna

Stigbundinn eða samfelldur?

Svava Björk Hákonardóttir

Lokaverkefni til BS-gráðu

Sálfræðideild

Heilbrigðisvísindasvið

VITSMUNAÞROSKI BARNA: STIGBUNDINN EÐA SAMFELLDUR?

Vitsmunaþroski barna

Stigbundinn eða samfelldur?

Svava Björk Hákonardóttir

Lokaverkefni til BS-gráðu í sálfræði

Leiðbeinendur: Sigurður J. Grétarsson

og Steinunn Gestsdóttir

Sálfræðideild

Heilbrigðisvísindasvið Háskóla Íslands

Febrúar 2015


Ritgerð þessi er lokaverkefni til BS-gráðu í sálfræði og er óheimilt að afrita

ritgerðina á nokkurn hátt nema með leyfi rétthafa.

© Svava Björk Hákonardóttir 2014

Prentun: Háskólafjölritun

Reykjavík, Ísland 2014


3

Efnisyfirlit

Efnisyfirlit .............................................................................................................. 3

Útdráttur ................................................................................................................. 4

1. Vitsmunaþroski barna: Stigbundinn eða samfelldur? ........................................ 5

1.1 Tvær meginkenningar um vitsmunaþroska .................................................. 5

1.1.1 Kenning Jeans Piagets um stigbundinn vitsmunaþroska ...................... 6

1.1.2 Kenning Roberts S. Sieglers um vitsmunaþroska ................................. 7

1.2 Mælingar á vitsmunaþroska: Verkefni á jafnvægisvog ............................... 8

1.2.1 Svartími í rannsóknum á hugarstarfi barna ......................................... 12

1.3 Gildi hagnýtra kennsluaðferða ................................................................... 12

1.4 Rannsóknarmarkmið og tilgátur ................................................................ 13

2. Aðferð .............................................................................................................. 13

2.1 Þátttakendur ............................................................................................... 13

2.2 Mælitæki og aðstæður ................................................................................ 14

2.2.1 Forprófun ............................................................................................ 15

2.3 Rannsóknarsnið .......................................................................................... 15

2.4 Framkvæmd ............................................................................................... 15

3. Niðurstöður ...................................................................................................... 16

3.1 Hlutfall barna sem svöruðu mismunandi verkefnum á jafnvægisvog rétt . 17

3.2 Tengsl aldurs og reglunotkunar barna ....................................................... 18

3.3 Tengsl aldurs og svartíma barna ................................................................ 20

4. Umræða ............................................................................................................ 22

4.1 Vitsmunaþroski barna: Stigbundinn eða samfelldur? ................................ 22

4.2 Hefur aldur áhrif á reglunotkun barna? ...................................................... 22

4.3 Hvernig hefur aldur áhrif á svartíma barna? .............................................. 24

4.4 Styrkleikar og veikleikar rannsóknarinnar ................................................. 24

4.5 Næstu skref ................................................................................................ 26

4.6 Lokaorð ...................................................................................................... 26

Heimildir .............................................................................................................. 28

Viðauki 1 .............................................................................................................. 30

Viðauki 2 .............................................................................................................. 33


4

Útdráttur

Markmið þessarar rannsóknar var að athuga hvort vitsmunaþroski barna sé stigbundinn

eða samfelldur. Til þess voru tengsl aldurs og hlutfalls réttra svara, reglunotkunar og

svartíma 44 barna metin í verkefnum á jafnvægisvog (Balance Scale Task). Verkefni á

jafnvægisvog voru hönnuð af Inhelder og Piaget árið 1958 til að meta vitsmunaþroska.

Robert Siegler setti fram líkan um notkun reglna til þess að leysa verkefni á

jafnvægisvog árið 1976. Í þessari tilraun endurhannaði og einfaldaði rannsakandi

verkefnin að hluta. Niðurstöður þessarar rannsóknar studdu kenningu um almennan

samfelldan vitsmunaþroska. Hátt hlutfall barna á aldrinum 5 til 11 ára gat leyst

mismunandi vandamál á jafnvægisvog. Kenning um afmarkaðan vitsmunaþroska, sem er

stigbundinn, var líka studd. Reglunotkun er lítil fyrir sjö ára aldur en eykst samfellt eftir

sjö ára aldur. Einstaklingsmunur kom fram í niðurstöðum, sem kenning Piagets um

þroskastig gerir ekki ráð fyrir. Niðurstöður tilraunarinnar sýndu að aldur tengist hlutfalli

réttra svara, reglunotkun og svartíma barna en skýrir ekki nema þriðjung af frammistöðu

barnanna í reglunotkun og svartíma. Aðrir þættir virðast líka skipta máli.

Lykilorð: vitsmunaþroski, kenning um almennan þroska (domain general),

samfelldur þroski (developmental continuity), afmarkaður þroski (domain specific),

stigbundinn þroski (developmental discontinuity), verkefni á jafnvægisvog (Balance

Scale Task), svartími.


5

1. Vitsmunaþroski barna: Stigbundinn eða samfelldur?

Þroskasálfræðingar hafa lengi deilt um að hve miklu leyti má lýsa þroska sem

samfelldum eða stigbundnum. Kemur þroski fram með jöfnum hægfara breytingum, er

hann að mestu leyti samfelldur? Hin hliðin fjallar um að hvaða marki hægt sé að lýsa

þroska sem stigbundnum. Markast hann af kraftmiklum altækum þroskastökkum

(Lightfoot, Cole og Cole, 2013)? Er hægt að komast að því hvort þroski sé hægfara

samfellt ferli breytinga eða tímabil snöggra stigskiptinga, eða má lýsa þroska með

báðum aðferðunum? Er þroski almennur, á hann sér stað á ákveðnum tímabilum hjá

öllum börnum, eða er hann afmarkaður, gerist hann á mismunandi tímum og gagnvart

afmarkarðri kunnáttu hjá ólíkum börnum? Hvernig er vitsmunaþroski rannsakaður? Er

hægt að tileinka sér aðferðir til þess að efla vitsmunaþroska? Kemur einstaklingsmunur

fram þegar vitsmunaþroski er rannsakaður? Deilur um erfðir (nature) og aðbúð (nurture)

eru líka merkilegt umfjöllunarefni þroskasálfræðinga. Markast einstaklingur af erfðum

sínum eða hafa aðstæður hans, fjölskylda, samfélag og reynsla, áhrif á hvaða kunnáttu

og færni hann getur tileinkað sér (Lightfoot, Cole og Cole, 2013)? Þessar spurningar eru

grundvallarspurningar í nútíma þroskasálfræði og eru umfjöllunarefni þessarar

rannsóknar.

1.1 Tvær meginkenningar um vitsmunaþroska

Meginkenningum sem útskýra breytingar á vitsmunaþroska barna má skipta í tvo flokka.

Fyrst eru kenningar sem útskýra vitsmunaþroska á almennan hátt, kenningar um

almennan vitsmunaþroska eftir aldri barna (domain-general). Slíkar kenningar gera ráð

fyrir að vitsmunaþroski eigi sér stað á öllum sviðum hugarstarfs í einu og eru oftast

þrepa- eða stiga-kenningar.

Ýmis rök eru þó fyrir því að hæfileiki á tilteknu sviði geti þroskast fyrst en að

almenna getan komi síðar. Hinn flokkur meginkenninga um vitsmunaþroska snýr að

vitsmunaþroska á sérstökum sviðum, kenningar um afmarkaðan vitsmunaþroska

(domain-specific). Þær gera ráð fyrir að vitsmunaþroski eigi sér stað á mismunandi

tímum á misjöfnum sviðum hugarstarfs (Goswami, 2008). Samkvæmt slíkum

kenningum geta börn því orðið mjög fær eða sérstaklega öflug í þeim hlutum sem þau

sinna mjög mikið.


6

1.1.1 Kenning Jeans Piagets um stigbundinn vitsmunaþroska

Helsti kennismiður þroskasálfræðinnar, Jean Piaget, taldi þroskastig ákvarða öðru

fremur þau verkefni sem barn gæti leyst. Hann taldi að ekki væri hægt að hraða þroska

með ákveðnum aðgerðum. Kenning Piagets er um afmarkað efni, vitsmunaþroska barna,

og tilheyrir kenningum um stigbundinn vitsmunaþroska.

Kenning Piagets gerir ráð fyrir fjórum þroskastigum. Hann taldi að

vitsmunaþroski barna væri mismunandi á ákveðnum stigum, skynhreyfistigi (0-2 ára),

foraðgerðastigi (2-6 ára), stigi hlutbundinna aðgerða (7-12 ára) og stigi formlegra

aðgerða (12-19 ára). Rökrænar aðgerðir, þ.e. þroski þeirra, er grundvöllur kenningar og

kenningin er að formgerð hugsunar á hverju stigi hafi áhrif á allt sem börn hugsi á þeim

tíma. Líkön af stigbundnum þroska geri ráð fyrir þroskastigum sem ekki séu samfelld.

Kenning Piaget og aðrar kenningar sem á eftir koma hafa ekki veitt miklar upplýsingar

um það hvernig börn fara á milli þroskastiga. Kenningin veitir litla leiðsögn um uppeldi

eða kennslu (Piaget, 1964). Samkvæmt kenningu hans er þroski sjálfkvæmur.

Kenningasmiðir á borð við Vygotsky, Skinner og Bandura lögðu áherslu á

hlutverk náms í þroska barna. Þeir eru aðbúðarmegin í kenningarheiminum. Kenning

Levs S. Vygotskys gerir ráð fyrir að nám stuðli að þroska (Vygotsky, 1978). Þegar

vinsældir kenningar Piagets fóru vaxandi en áhugi á kenningum Vygotskys, Skinners og

Banduras dofnaði að sama skapi, varð afleiðingin sú að rannsóknir á námi dvínuðu

umtalsvert en rannsóknir á hugsun jukust. Þessi umpólun frá því að rannsaka hvernig

börn læra yfir í að rannsaka hvernig þau hugsa á mismunandi aldri endurspeglar þá

skoðun að þroski og nám séu aðskilin ferli (Siegler, 2005).

En er kenning Piagets um stigbundinn vitsmunaþroska rétt? Tilraunir til þess að

endurtaka rannsóknir Piagets sýndu að áreiðanleiki niðurstaðna hans er afar góður en

réttmæti túlkana hans er vafasamt. Kenning Piagets hefur takmarkanir. Öflugasta

gagnrýnin á kenningu Piagets var að frammistaða barna á sama stigi væri misjöfn.

Einnig kom í ljós einstaklingsmunur sem kenningin útskýrði ekki, samkvæmt kenningu

Piagets eru allir á sama aldri á sama stigi vitsmunaþroska. Ekkert rými er fyrir

breytileika sem sést oft í misjafnri frammistöðu barna. Piaget gat ekki útskýrt þann mun

á trúverðugan hátt. Rannsakendur fóru því að skoða vitsmunaþroska út frá kenningu um

afmarkaðan vitsmunaþroska en ekki aðeins samkvæmt almennri kenningu um

vitsmunaþroska (Miller, 2014).


7

Goswami (2008) telur að afleiðsluályktanir, þar sem komist er að niðurstöðu út

frá ákveðnum forsendum, tilheyri kenningum um almennan þroska. Það að nota afleiðslu

ályktanir tilheyri sviði afmarkaðs þroska. Börn þurfi nægjanlega þekkingu til þess að

nota afleiðslu getu sína á mismunandi sviðum (Goswami, 2008). Þekking skipti því

miklu máli þegar börn þurfi að nota getu sína.

Nýlegar rannsóknir á námi barna hafa, ólíkt þeim fyrri, lagt áherslu á það hvernig

börn tileinka sér þau hugtök og hæfni sem skipta þau máli (Siegler, 2000). Nú vita

sálfræðingar töluvert um hugsun barna á mismunandi aldri en lítið er vitað um hvernig

sú hugsun þróast (Siegler, 2005).

1.1.2 Kenning Roberts S. Sieglers um vitsmunaþroska

Kenning Roberts S. Sieglers tilheyrir kenningum um samfelldan vitsmunaþroska. Líkan

Sieglers um reglunotkun barna lýsir breytingum í hugsun sem hægum og jöfnum.

Samkvæmt því verður vitsmunaþroski þegar börn læra smám saman nýjar og flóknari

aðferðir. Breytileiki er til staðar sem kemur fram í einstaklingsmun. Kenning Sieglers

um vitsmunaþroska lýsir mjög sértæku hugarstarfi barna. Líkan hans snýst um

reglunotkun barna í verkefnum á jafnvægisvog. Þrátt fyrir að kenningin sé áhugaverð út

frá hugmyndum um vitsmunalegan breytileika þá er raunverulega verið að kanna mjög

afmarkaða tegund vitsmunaþroska, reglunotkun. Í afmörkuðum vitsmunaþroska þroskast

mismunandi þættir á mismunandi hraða. Líklega væri réttara að flokka kenningu hans

einnig út frá kenningum um afmarkaðan vitsmunaþroska og verður það gert í þessari

rannsókn.

Í rannsókn sinni á vitsmunaþroska barna prófaði Siegler reglunotkun 5, 8, 13 og

17 ára gamalla stúlkna úr einkaskólum í Pittsburg í Bandaríkjunum. Niðurstöður hans

sýndu að 80% barna notuðu einhverja reglu til þess að leysa verkefni á jafnvægisvog.

Úrlausnir hinna barnanna voru ekki flokkaðar með gögnum barnanna sem notuðu

einhverja reglu. Réttmæti niðurstaðna hans er því vafasamt en margt áhugavert kom

fram í niðurstöðum hans. Vitsmunalegar framfarir í prófun og á milli prófana fara eftir

því hvaða reglur barn notar oftast. Það sem þroskast eru reglur sem börn nota til þess að

leysa ýmsar þrautir (Siegler, 1994). Líkan Sieglers gerir ráð fyrir því að sá sem er óvanur

að fást við úrlausnarefni noti slaka reglu en með meiri reynslu geti hann orðið

sérfræðingur. Sérfræðingar hafa miklu fleiri aðferðir og ótal leiðir til þess að laga þær að

umhverfinu hverju sinni og leysa þannig þrautir. Líkan Sieglers skilar góðum


8

niðurstöðum um eðli náms. Með því er hægt að sýna fram á hvernig námsframvinda fer

fram, það er hvernig fólk verður sérfræðingar.

Í rannsóknum Sieglers hefur komið fram að vitsmunaþroski barna er háður meiri

breytileika en áður var talið. Þessi breytileiki sem sést á misjafnri frammistöðu ólíkra

barna er allsráðandi, gerist á mismunandi aldri barna og á öllum sviðum náms.

Einstaklingsmunurinn, eða breytileikinn, er augljós, ekki aðeins á taugasviðinu heldur

einnig á sviðum reglna, aðferða, kenninga og á öðrum sviðum rökhugsunar.

Breytileikinn er ekki aðeins til staðar á milli mismunandi einstaklinga, heldur einnig hjá

tiltekinni manneskju sem er að leysa sama vandamálið á mismunandi tímum og jafnvel í

frammistöðu einstaklings innan einstakrar prófunar. Breytileiki virðist ekki vera flökt í

gögnunum eða villusvörun barna heldur virðist hann leika lykilhlutverk í að koma af

stað vitsmunalegum breytingum (Siegler, 2007).

Nám á sér helst stað þegar ráðandi aðferðir barnsins virka ekki lengur, þegar

niðurstöður aðferða leiða til letjandi viðbragða og þegar barnið er beðið um að útskýra af

hverju aðferðin sem það notaði er röng. Breytingar endurspegla ekki aðeins að nýjar

reglur eða aðferðir séu notaðar heldur einnig að hinar gömlu eigi ekki lengur við

(Siegler, 2007). Niðurstöður rannsókna Sieglers sýna að breytingar gerast hægt nema

þegar ný gerð hugsunar reynist mun árangursríkari en sú fyrri. Uppgötvanir eiga sér stað

í kjölfar réttra og rangra svara. Snemmbúinn breytileiki tengist síðari tíma lærdómi og

nýr hugsunarháttur verður ekki til fyrir tilviljun (Siegler, 2000).

1.2 Mælingar á vitsmunaþroska: Verkefni á jafnvægisvog

Í daglegu lífi þarf fólk yfirleitt að taka ákvarðanir í flóknum aðstæðum þar sem fleiri en

eitt atriði hafa áhrif á niðurstöðuna. Ályktanir um orsakasamhengi taka því almennt til

margra atriða, eða vídda (Goswami, 2008). Ein þekktasta aðferðin til að rannsaka getu

barna til að samþætta upplýsingar um tvo áhrifaþætti, þyngd og fjarlægð, eru verkefni á

jafnvægisvog (Balance Scale Task) (sjá mynd 1) (Goswami, 2008). Á mynd 1 sést að

jafnvægisvog hefur tvo arma sem eru jafnlangir. Á örmum jafnvægisvogarinnar eru bitar

þar sem hægt er að hengja lóð á mismunandi hátt. Mismunandi verkefni á jafnvægisvog

mæla misjafnan skilning barna á ólíkum áhrifaþáttum eins og þyngd, fjarlægð og

jafnvægi.


9

Mynd 1. Jafnvægisvog með talnavísbendum sem notuð var í þessari rannsókn.

Piaget og Siegler notuðu báðir verkefni á jafnvægisvog til þess að meta

vitsmunaþroska barna, en Piaget, í samvinnu við Inhelder, hannaði verkefnin á

jafnvægisvog. Það sem aðgreinir verkefni á jafnvægisvog hjá Piaget og Siegler er að

Piaget lagði mat á hvort börn gætu áttað sig á þyngd og fjarlægð í verkefnum á

jafnvægisvog og hvort þau gætu samþættað upplýsingarnar til þess að leysa verkefnin.

Siegler fann upp á reglunotkun til að leysa verkefni á jafnvægisvog. Reglunotkun

Sieglers er afar ströng, ein mistök á röngum stað verða til þess að börn eiga ekki

möguleika á því að vera flokkuð eftir flóknari reglu, þrátt fyrir að standa sig vel á öðrum

verkefnum á jafnvægisvog. Siegler og Chen (1998) töldu að helsta ástæðan fyrir því að

verkefni á jafnvægisvog væri vinsæl leið til að mæla vitsmunaþroska barna sé hin

einfalda og stigveldisháða röð reglna sem börn á mismunandi aldri geta notað til þess að

leysa verkefni á jafnvægisvoginni.

Inhelder og Piaget töldu að til þess að útskýra breytinguna frá hlutbundnum

hugsunum barnsins að formlegum hugsunum unglingsins þyrfti að rannsaka rökhugsun

sem börn á stigi hlutbundinna aðgerða hefðu almennt ekki tileinkað sér. Í tilraunum

þeirra með jafnvægisvogina kom fram að börn væru ekki fær um að leysa verkefni sem

fæli í sér að samþætta upplýsingar um fleiri en einn áhrifaþátt fyrr en þau ná stigi

formlegra aðgerða (Inhelder og Piaget, 1958).

Siegler (1976) notaði verkefni á jafnvægisvog í rannsókn sinni á reglunotkun

barna. Jafnvægisvog býður upp á að prófa stærðfræðileg verkefni með því að hengja

ólíkar þyngdir á vogina í mismunandi fjarlægð frá miðju og biðja börn að meta hvor hlið

vogarinnar fer niður eða hvort vogin er í jafnvægi. Mælitækið tengist réttum hlutföllum


10

ásamt því að hægt er að nota það í prófunum á börnum á mjög víðu aldursbili. Auk þess

er hægt að styðjast við reglur Sieglers til þess að leysa verkefnin á jafnvægisvoginni (sjá

töflu 1). Í töflu 1 sjást reglur Sieglers og misjöfn hlutföll reglunotkunar barna í 6 ólíkum

verkefnum á jafnvægisvog. Rannsakendur sem gera tilraunir með verkefni á

jafnvægisvog hafa flokkað úrlausnir reglunotkunar barna samkvæmt þessari töflu

Sieglers síðan hann birti niðurstöður rannsóknar sinnar árið 1976. Þegar börn uppgötva

mismunandi reglur til þess að leysa verkefni verða vandamálin sem þau eiga að leysa á

jafnvægisvoginni auðveld úrlausnar en það að læra reglurnar getur verið flókið

viðfangsefni (Siegler, 1976).

Tafla 1. Aðgreining Sieglers á reglunotkun í ólíkum verkefnum á jafnvægisvog.

Reglur

Gerð

verkefnis I II III IV

Þroski

Jafnvægi 100% 100% 100% 100% Engin breyting - öll

börn sem nota reglu

geta leyst verkefnið.

Þyngd 100% 100% 100% 100% Engin breyting - öll

börn sem nota reglu

geta leyst verkefnið.

Fjarlægð 0% (ætti að

segja

„jafnvægi“)

100% 100% 100% Mikil aukning með

aldri.

Andstæðu-

þyngd

100% 100% 33% (óvissa í

svörun)

100% Minnkun með aldri.

Mögulegt að elstu

börn ráði við það.

Andstæðu-

fjarlægð

0% (ætti að

segja „hægri

niður“)

0% (ætti að

segja „hægri

niður“)

33% (óvissa í

svörun)

100% Aukning með aldri.

Andstæðu-

jafnvægi

0% (ætti að

segja „hægri

niður“)

0% (ætti að

segja „hægri

niður“)

33% (óvissa í

svörun)

100% Aukning með aldri.

Megintilgangur rannsókna Sieglers (1976) var að prófa notagildi fjögurra reglna

kerfis. Börn sem fylgja fyrstu reglu hugleiða aðeins einn áhrifaþátt í einu. Inhelder og

Piaget (1958) gerðu ráð fyrir að sá þáttur væri þyngd en í raun gæti hún allt eins verið

fjarlægð. Börn sem beita annarri reglu hugleiða bæði þyngd og fjarlægð þegar þyngd á

báðum hliðum er jöfn en ekki þegar þyngd á hægri og vinstri hlið er ójöfn. Börn sem

nota þriðju reglu gera sér alltaf grein fyrir því að athuga þarf bæði þyngd og fjarlægð en

þegar vísbendingar eru misvísandi þá hafa þau ekki reglu til þess að leysa andstæðurnar.

Þau giska oft eða koma sér á einhvern annan hátt í gegnum flóknari viðfangsefni á


11

jafnvægisvoginni. Óvissa er til staðar. Börn sem nota fjórðu reglu geta leyst öll

vandamálin á jafnvægisvoginni, þau nota margföldun (Siegler, 1976).

Í rannsókn Sieglers á jafnvægisvoginni voru sex mismunandi gerðir vandamála

lögð fyrir til þess að meta færni barns (sjá töflu 1). Af þessum verkefnum er hægt að

leysa þrjú án þess að grípa til stærðfræðilegra útreikninga; jafnvægi, þyngd og fjarlægð.

Andstæðuvandamálin þrjú, andstæðuþyngd, andstæðufjarlægð og andstæðujafnvægi, eru

þess eðlis að börn þurfa að reikna (Siegler, 1976).

Einkenni reglunotkunar í rannsókn Sieglers (1976) eru skyld, en þó ólík,

greiningu Inhelders og Piagets. Í rannsókn Inhelders og Piagets studdust þeir ekki við

reglunotkun. Niðurstöður þeirra sýndu að börn á foraðgerðastigi og á fyrstu árum stigs

hlutbundinna aðgerða gátu ekki áttað sig á neinum áhrifaþætti. Engar vísbendingar eru

um stig í rannsókn þeirra sem er sambærilegt notkun reglu tvö. Þrátt fyrir að efsta stig

þeirra, eða stig þrjú, leggi áherslu á að bera kennsl á rétt hlutföll í að skapa jafnvægi þá

mun sú uppgötvun ekki endilega leiða til skilnings á reglu fjögur. Hún er ekki til staðar í

greiningu þeirra (Siegler, 1976). Inhelder og Piaget (1958) gerðu ekki ráð fyrir að börn

gætu leyst verkefni á jafnvægisvog fyrr en þau yrðu unglingar.

Niðurstöður Sieglers frá 1976 sýndu að fimm ára gömul börn gátu leyst þyngdar-

vandamálið á jafnvægisvog sem er verkefni númer 2 af 6 verkefnum. Eldri börn gerðu

ráð fyrir að bæði þyngd og fjarlægð skiptu máli. Aðeins reynsla barnanna, fleiri prófanir,

virtist breyta þessu mynstri (Siegler, 1976). Meiri reynsla jók líklega færni barnanna sem

gerði þeim kleift að átta sig á fleiri áhrifaþáttum. Amsel og félagar (1996) prófuðu börn

á aldrinum 5 til 12 ára í verkefnum á jafnvægisvog. Niðurstöður þeirra voru að börn

áttuðu sig á mikilvægi þyngdar þegar þau eru fimm til sex ára. Meirihluti níu ára barna

áttaði sig einnig á því að fjarlægð væri mikilvægur áhrifaþáttur.

Rannsóknir á vandamálum með jafnvægisvog hafa gefið einhlítar niðurstöður.

Þær reglur sem hægt er að nota til þess að leysa vandamál á jafnvægisvoginni fylgja

stigveldi. Reglunotkun verður þroskaðri með aldrinum. Breytingar á vandamálum knýja

fram notkun nýrra reglna. Jákvæð viðbrögð hjálpa börnum að læra flóknari aðferðir en

þær sem þau læra þegar þau fá engin viðbrögð. Tiltekið barn notar eina reglu á

mismunandi vandamál innan einstakrar prófunar, en ekki endilega sömu regluna eftir þá

prófun. Þegar börn gera sér grein fyrir því að ákveðin breyta skiptir máli er nánast

ómögulegt fyrir þau að taka ekki eftir henni síðar (Siegler og Chen, 2002).


12

1.2.1 Svartími í rannsóknum á hugarstarfi barna

Mælingar á svartíma eða úrvinnsluhraða eru notaðar í rannsóknum til að mæla

hugarstarf. Hugarstarf gefur þroska til kynna. Þá hefur kerfisbundin aukning á

úrvinnsluhraða verið talin mikilvægur grundvallarþáttur í vitsmunaþroska barna (Duan

og félagar, 2009). Sýnt hefur verið fram á aldurstengdan mun í svörun barna í ýmsum

verkefnum. Almennt eru yngri börn lengur að leysa verkefni en eldri börn (Hale, 1990).

Rannsókn Kails og Ferrers (2007) sýndi að úrvinnsluhraði spáir fyrir um

frammistöðu á ýmsum verkefnum á sviði hugarstarfs. Hraðari úrvinnsla tengist aukinni

getu vinnsluminnis, aukinni aðleiðslugetu þar sem barn uppgötvar lögmál á grundvelli

athugana og meiri nákvæmni í að leysa stærðfræðileg orðaverkefni (Kail og Ferrer,

2007). Niðurstöður þeirra sýndu aldurstengda aukningu í úrvinnsluhraða.

Í rannsókn Frys og Hales (1996) var eðlisgreind, út frá úrvinnsluhraða og

vinnsluminni, metin í úrtaki 214 barna á aldrinum sjö til 19 ára. Eðlisgreind er geta fólks

til að takast á við ný og óvenjuleg vandamál og markast mjög af úrvinnsluhraða og

sveigjanleika. Barn með háa eðlisgreind lærir nýja hluti oftast hratt og örugglega. Há

fylgni er á milli eðlisgreindar og reynslugreindar en reynslugreind vísar til

samansafnaðrar þekkingar einstaklings, eins og orðaforða og aðferða sem hann notar.

Reynslugreind virðist aukast með aldrinum en eðlisgreind hrakar þegar fólk eldist

(Gleitman og félagar, 2007). Niðurstöður Frys og Hales sýndu að næstum því helmingur

aldurstengdrar aukningar í eðlisgreind varð vegna breytinga á úrvinnsluhraða og í

vinnsluminni. Meirihluti aukningar vinnsluminnis varð vegna breytinga á

úrvinnsluhraða. Einstaklingsmunur í úrvinnsluhraða hafði bein áhrif á

vinnsluminnisgetu, sem var ákvarðandi þáttur varðandi eðlisgreind.

Niðurstöður rannsóknar Frys og Hales (1996) sýndu einnig einstaklingamun á

vinnsluminnisgetu í því hvernig fólk leysir verkefni. Hægt sé að kenna fólki að leysa

verkefni á nýjan hátt. Líklegt sé því að sú geta aukist með aldri og reynslu.

1.3 Gildi hagnýtra kennsluaðferða

Ef ný og breytileg verkefni verða til þess að börn verða færari væri hagnýtt ef slíkur

breytileiki, nýjar aðferðir, kæmi fram þegar börn eru að leysa misjafnlega flókin

verkefni. Góð frammistaða í eitt skipti væri því ekki lengur aðalatriðið (Siegler, 1994).

Mikill munur hefur verið á frammistöðu bandarískra og asískra barna á


13

stærðfræðiprófunum. Niðurstöður rannsókna benda til þess að bandarísk börn hafi

dregist langt aftur úr asískum jafnöldrum sínum. Kennsluhefðir asískra kennara virðast

vera ástæðan fyrir góðri frammistöðu asískra barna. Asískir kennarar nota hagnýtar

kennsluaðferðir. Hver kennslustund hefst á hagnýtu vandamáli og fjallað er um lausnir á

því vandamáli. Asískir kennarar nýta rangar lausnir sem umræðuefni í tímum. Ýmsir

hagnýtir hlutir eru notaðir til að kenna stærðfræði, eins og klukkur, kúlur og reglustikur.

Börn læra vel á þessa hluti í tengslum við stærðfræði og nota alltaf sömu hlutina til að

fást við flóknari verkefni (Stigler og Stevenson, 1991). Verkefni á jafnvægisvog eru

líklega góð leið til þess að kenna börnum að skilja eðli stærðfræði á hagnýtan hátt í

samræmi við asískar kennsluhefðir.

1.4 Rannsóknarmarkmið og tilgátur

Þessi rannsókn á vitsmunaþroska barna inniheldur eina tilraun. Í tilrauninni er athugað

hvort vitsmunaþroski barna sé samfelldur eftir aldri eða hvort hann tengist þroskastigum,

í samræmi við rannsóknir Inhelders og Piagets. Athuguð eru tengsl aldurs og hlutfalls

réttra svara og reglunotkunar. Einnig er kannað hvort svartími barna í verkefnum á

jafnvægisvog tengist aldri þeirra. Svartími hefur ekki áður verið athugaður í tengslum

við verkefni á jafnvægisvog svo vitað sé. Ákveðið var að skoða hvort hægt væri að

kenna börnum á hagnýtan hátt að leysa verkefni á jafnvægisvog. Til þess þurfti að

einfalda verkefnin. Það var gert með því að fækka lóðum í sumum verkefnunum.

Talnavísbendi voru höfð á jafnvægisvoginni sem voru ekki á jafnvægisvogum Inhelders

og Piagets (1958) og Sieglers (1976).

Fjórar tilgátur voru settar fram í upphafi þessarar rannsóknar. Fyrsta tilgátan er

að almennur vitsmunaþroski barna sé ekki stigbundinn heldur samfelldur. Önnur tilgátan

er að tengsl séu á milli aldurs og reglunotkunar barna. Þriðja tilgátan er að tengsl séu á

milli aldurs og svartíma barna. Fjórða tilgátan er að svartími barna minnki eftir aldri

þeirra.

2. Aðferð

2.1 Þátttakendur

Þátttakendur voru 44 börn á aldrinum fimm ára til ellefu ára og voru valin með

hentugleikaúrtaki, 19 stúlkur og 25 drengir. Verkefni á jafnvægisvog voru forprófuð á


14

tíu af þessum börnum. Börnin voru prófuð í eitt skipti hvert á tímabilinu 10. til 19. mars

2014. Enginn fékk greiðslu fyrir þátttöku í rannsókninni.

2.2 Mælitæki og aðstæður

Jafnvægisvog var notuð sem mælitæki. Munurinn á henni og mælitæki Inhelders og

Piagets frá 1958 var að ekki voru notuð mismunandi þung lóð, heldur var hægt að hengja

fleiri en eina einingu á vogina á sama stað, eins og á mælitæki Sieglers (1976).

Munurinn á mælitækinu í þessari tilraun og mælitæki Sieglers og mælitæki Inhelders og

Piagets, var að á jafnvægisvoginni í þessari tilraun voru talnavísbendi sem voru ekki hjá

þeim. Talnavísbendi á jafnvægisvog eru frá 1 til 10 vinstra megin og frá 1 til 10 hægra

megin.

Fyrstu tvö verkefnin, jafnvægi og þyngd, voru einfölduð í þessari tilraun og eru

ólík verkefnunum í tilraun Sieglers. Lóðum var fækkað í verkefnum í þessari tilraun til

þess að sjá hvort það hefði jákvæð áhrif á reglunotkun barna. Einnig endurhannaði

rannsakandi síðasta verkefnið, andstæðujafnvægi, með færri lóðum. Rannsakandi

hannaði svarblað (sjá viðauka 1) fyrir úrlausnir barna í þessari tilraun.

Sex gerðir úrlausnarefna voru lögð fyrir barn til að meta rétt svör, reglunotkun og

svartíma þess. Barn þurfti að spá fyrir um jafnvægi í forspá 1 (eitt lóð á tvo vinstra

megin og eitt lóð á tvo hægra megin). Rétt svar var jafnvægi. Þyngd í forspá 2 (eitt lóð á

þrjá og eitt lóð á tvo vinstra megin og eitt lóð á tvo hægra megin). Rétt svar var vinstri

niður. Fjarlægð í forspá 3 (tvö lóð á tvo vinstra megin og tvö lóð á þrjá hægra megin).

Rétt svar var hægri niður. Í þremur síðustu verkefnunum voru andstæður metnar.

Andstæðuþyngd var metin í forspá 4 (tvö lóð á þrjá og tvö lóð á tvo vinstra megin og tvö

lóð á fjóra hægra megin). Rétt svar var vinstri niður. Andstæðufjarlægð var prófuð í

forspá 5 (þrjú lóð á þrjá vinstra megin, tvö lóð á einn og þrjú lóð á tvo hægra megin).

Rétt svar var vinstri niður. Andstæðujafnvægi í forspá 6 (eitt lóð á fjóra vinstra megin og

tvö lóð á tvo hægra megin). Rétt svar var jafnvægi.

Prófanir fóru fram á heimili þátttakenda, á Barnaspítala Hringsins og í leikskóla

og grunnskóla á Austurlandi. Foreldri var viðstatt prófun sem fór fram á heimili

þátttakanda og við prófun á Barnaspítalanum. Foreldrar og kennarar voru ekki viðstaddir

í þeim prófunum sem fóru fram í leikskólanum og grunnskólanum á Austurlandi.


15

2.2.1 Forprófun

Forprófun fór fram 3. – 6. mars 2014. Tíu börn á aldrinum 5 til 11 ára voru forprófuð.

Forprófunin fór fram á heimilum barnanna. Foreldrar barnanna, annað eða bæði, voru

viðstaddir. Forprófun leiddi í ljós að einfölduð útgáfa allra verkefnanna á jafnvægisvog

var orðin of einföld. Efri mörk héldu illa þannig að eldri börn áttu of auðvelt með að átta

sig á verkefninu. Ákveðið var að fjölga lóðum í verkefnunum fjarlægð, andstæðuþyngd

og andstæðufjarlægð í samræmi við verkefni Sieglers á jafnvægisvog. Verkefnið

andstæðujafnvægi var endurhannað af rannsakanda. Fyrstu tvö verkefnin héldust einföld

áfram, með færri lóðum, til þess að möguleikinn á því að kenna börnum á

jafnvægisvogina væri enn til staðar.

2.3 Rannsóknarsnið

Innanhópa- og millihópasnið voru notuð í tilrauninni. Frammistaða hvers þátttakanda í

ólíkum verkefnum á jafnvægisvog í einni prófun var metin. Frammistaða mismunandi

aldurshópa í verkefnum á jafnvægisvog var borin saman. Frumbreyta er aldur barna.

Fylgibreytur eru hlutfall réttra svara, reglunotkun og svartími.

2.4 Framkvæmd

Í prófun sat rannsakandi við hlið barns þannig að bæði barn og rannsakandi voru fyrir

framan jafnvægisvogina (sjá viðauka 1). Barnið fékk eftirfarandi leiðbeiningar: „Í dag

erum við að fara að leika okkur með þessa jafnvægisvog. Jafnvægisvogin er með þessum

gulu bitum sem eru allir í sömu fjarlægð hver frá öðrum og eru bæði framan og aftan á

jafnvægisvoginni (rannsakandi bendir á gulu bitana sem standa út á voginni). Gulu

bitarnir eru merktir með tölustöfum, frá einum til 10 vinstra megin og frá einum til 10

hægra megin. Þessi fjólubláu lóð sem hægt er að hengja á bitana á voginni eru öll jafn

þung.“ Rannsakandi hvatti barn til þess að halda á lóðunum svo það gæti fundið að þau

væru jafn þung og barni var leyft að skoða fjarlægð milli gulu bitanna á

jafnvægisvoginni.

Rannsakandi setti klemmur undir báðar hliðar á jafnvægisvog til þess að halda

henni í jafnvægi. Og sagði svo: „Ég hengi fjólubláu lóðin á gulu bitana á voginni á

mismunandi hátt og þú segir mér hvort að vinstri hliðin fer niður eða hvort að hægri

hliðin fer niður eða hvort að hliðarnar haldast í jafnvægi eða beinar eins og þær eru núna


16

þegar ég tek klemmurnar burt. Jafnvægisvogin hreyfist ekki á meðan að ég hengi lóðin á

hana.“

Þegar rannsakandi hafði hengt lóðin á jafnvægisvogina var barn spurt: „Hvað

gerist núna þegar ég tek klemmurnar burt?“ Þegar rannsakandi hafði spurt þessarar

spurningar var svartími mældur. Þegar barn hafði svarað voru klemmur fjarlægðar undan

báðum hliðum jafnvægisvogar þannig að barn sá hvort svar þess var rétt eða rangt. Í lok

tilraunarinnar var barn spurt: „Hvað finnst þér um þessi verkefni?“

3. Niðurstöður

Í rannsókninni tóku 44 börn þátt. Tíu börn voru forprófuð en þau gögn voru ekki notuð í

niðurstöðum. Við úrvinnslu gagna voru úrlausnir þriggja barna fjarlægðar (sjá viðauka

2). Eitt þeirra var átta ára gömul stúlka sem notaði enga reglu, öll svör hennar í

verkefnunum á jafnvægisvog voru röng, sem var mjög óvenjulegt. Meðalsvartími hennar

í verkefnunum var 8,9 sekúndur en næsthæsti meðalsvartími annars í þessum aldurshópi

var 6,03 sekúndur. Meðalsvartími hópsins án úrlausnar hennar voru 3,83 sekúndur,

meðalsvartími hennar var því mun hærri en hjá öðrum í hennar aldurshópi. Annar var

níu ára gamall drengur sem notaði enga reglu. Hann var með eitt rétt verkefni af sex,

sem var óvenjulegt, svartími hans var 7,4 sekúndur en næsthæsti meðalsvartími annars

þáttakanda í hans aldurshópi var 5,8 sekúndur. Meðalsvartími hópsins án úrlausnar þessa

drengs var 3,09 sekúndur. Loks var tíu ára gamall drengur með tvö rétt verkefni og

tvöfalt hærri meðalsvartíma en hinn í hans aldurshópi. Meðalsvartími hans var 7,97

sekúndur en meðalsvartími hins í hans aldurshópi var 3,41 sekúndur. Þessi drengur

notaði enga reglu. Unnið var úr gögnum 31 barns á 6 verkefnum á jafnvægisvog.

Svör eins átta ára drengs voru flokkuð á sérstakan hátt. Hann svaraði rétt á öllum

verkefnum á jafnvægisvog nema einu, fjarlægð. Þar svaraði hann „jafnvægi,“ á sama

hátt og börn sem nota reglu 1 gera. Ef hann hefði svarað því verkefni rétt þá hefði hann

verið sá eini sem notar reglu 4. Við úrvinnslu var ákveðið að flokka hann undir reglu 3.

Þeir sem nota reglu 3 svara ekki rétt á öllum síðustu verkefnunum, þeir ráða þó við

fjarlægðarverkefnið. Þrátt fyrir það virtist réttara að flokka drenginn undir reglu 3 en

undir reglu 1 eða reglu 4. Tilraunir Sieglers gera ráð fyrir að börn noti sömu regluna

innan prófunar en ekki endilega á milli prófana og þess vegna er líklegt að það hefði

verið auðvelt að flokka úrlausnir þessa drengs ef hann hefði verið prófaður aftur.


17

Í þessum niðurstöðum verða þrír þættir skoðaðir. Fyrst verður hlutfall barna sem

svöruðu mismunandi verkefnum á jafnvægisvog rétt skoðað út frá aldri þeirra. Næst

verða tengsl aldurs og reglunotkunar barnanna skoðuð út frá úrlausnum þeirra í

verkefnum á jafnvægisvog. Áður en hægt var að meta tengsl aldurs og reglunotkunar

voru úrlausnir barnanna flokkuð samkvæmt reglum Sieglers (sjá töflu 1) um úrlausn

verkefna á jafnvægisvog. Forsendur þeirrar flokkunar í þessari tilraun sjást í viðauka 2.

Að lokum verða tengsl aldurs og svartíma barnanna metin í verkefnum á jafnvægisvog.

3.1 Hlutfall barna sem svöruðu mismunandi verkefnum á jafnvægisvog rétt

Mynd 2. Hlutfall barna sem svöruðu mismunandi verkefnum á jafnvægisvog rétt

Á mynd 2 sést hlutfall barna sem svöruðu mismunandi verkefnum á

jafnvægisvog rétt. Hér er ekki verið að skoða reglunotkun heldur almenna færni við

lausn verkefnanna. Ekkert 5 ára barn leysir verkefnið jafnvægi rétt. Meirihluti þeirra

leysir verkefnin þyngd og andstæðuþyngd rétt. Helmingur þeirra leysir verkefnið

fjarlægð rétt. Öll 6 ára börn leysa verkefnið andstæðufjarlægð rétt, 80% þeirra leysa

verkefnin jafnvægi og fjarlægð. Meirihluti 7 ára barna leysa verkefnið þyngd og öll leysa

þau verkefnið andstæðuþyngd. Meirihluti 8 ára barna leysa verkefnin jafnvægi, þyngd

og andstæðuþyngd. Öll 9, 10 og 11 ára börn leysa verkefnin jafnvægi og þyngd. Öll 9 og

10 ára börn leysa verkefnið fjarlægð. Almenn færni við að leysa verkefnin virðist aukast

með aldri (sjá mynd 2) en er ekki aðeins bundin við aldur.

Hlutfall réttra úrlausna barna í mismunandi verkefnum, jafnvægisverkefni,

þyngdarverkefni og andstæðuþyngd, á jafnvægisvog eykst samfellt með aldri og er ekki

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

5 ára 6 ára 7 ára 8 ára 9 ára 10 ára 11 ára

Jafnvægi

Þyngd

Fjarlægð

A-Þyngd

A-Fjarl

A-Jafnv


18

stigbundið. Fjarlægðarverkefnið gengur vel hjá 5 og 6 ára börnum en ekki vel hjá 7 og 8

ára börnum. Eftir 9 ára aldur fer hlutfall barna sem leysir fjarlægðarverkefnið aldrei

undir 80%. Frammistaða barna á verkefninu andstæðuþyngd er yfirleitt góð og tengist

frammistöðu þeirra á þyngdarverkefninu. Síðustu tvö verkefnin, andstæðufjarlægð og

andstæðujafnvægi, hafa litla tengingu við aldur barna. Niðurstöðurnar benda til þess að

almennur vitsmunaþroski sé samfelldur.

3.2 Tengsl aldurs og reglunotkunar barna

Hlutfall reglunotkunar barna eftir aldri var skoðað og sést í töflu 2. Fjögur fimm ára börn

voru prófuð. Ekkert 5 ára gamalt barn notar reglu. Fimm 6 ára börn voru prófuð. Þrjú

þeirra nota enga reglu, fyrir utan tvo drengi, tvíbura sem notuðu reglu 3 í þeim

aldurshópi. Það kom einnig fram hjá tveimur drengjum sem notuðu reglu 4, einnig

tvíburar, í forprófun. Fjögur 7 ára gömul börn voru prófuð. Sjö ára börn nota yfirleitt

enga reglu en þar byrjar þó að sjást notkun reglu 1. Eitt 7 ára gamalt barn notar hana.

Fimm 8 ára gömul börn voru prófuð. Átta ára gömul börn nota reglur 1, 2 og 3 ásamt því

að eitt barn þar notar enga reglu. Sex 9 ára gömul börn voru prófuð. Níu ára gömul börn

nota reglu 2 og 3. Tíu ára gamalt barn notar reglu 2. Sex 11 ára gömul börn voru prófuð.

Þau nota reglur 0 og 3.


19

Tafla 2. Hlutfall barna sem nota mismunandi reglur eftir aldri.

Regla

0 1 2 3 Samtals

Aldur 5 Fjöldi 4 0 0 0 4

% Aldur 100,0 0,0 0,0 0,0 100,0

% Regla 33,3 0,0 0,0 0,0 12,9

% Alls 12,9 0,0 0,0 0,0 12,9

6 Fjöldi 3 0 0 2 5

% Aldur 60,0 0,0 0,0 40,0 100,0

% Regla 25,0 0,0 0,0 18,2 16,1

% Alls 9,7 0,0 0,0 6,5 16,1

7 Fjöldi 3 1 0 0 4

% Aldur 75,0 25,0 0,0 0,0 100,0

% Regla 25,0 33,3 0,0 0,0 12,9

% Alls 9,7 3,2 0,0 0,0 12,9

8 Fjöldi 1 2 1 1 5

% Aldur 20,0 40,0 20,0 20,0 100,0

% Regla 8,3 66,7 20,0 9,1 16,1

% Alls 3,2 6,5 3,2 3,2 16,1

9 Fjöldi 0 0 3 3 6

% Aldur 0,0 0,0 50,0 50,0 100,0

% Regla 0,0 0,0 60,0 27,3 19,4

% Alls 0,0 0,0 9,7 9,7 19,4

10 Fjöldi 0 0 1 0 1

% Aldur 0,0 0,0 100,0 0,0 100,0

% Regla 0,0 0,0 20,0 0,0 3,2

% Alls 0,0 0,0 3,2 0,0 3,2

11 Fjöldi 1 0 0 5 6

% Aldur 16,7 0,0 0,0 83,3 100,0

% Regla 8,3 0,0 0,0 45,5 19,4

% Alls 3,2 0,0 0,0 16,1 19,4

Samtals Fjöldi 12 3 5 11 31

% Aldur 38,7 9,7 16,1 35,5 100,0

% Regla 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

% Alls 38,7 9,7 16,1 35,5 100,0

Kí-kvaðratpróf var gert til að kanna tengsl aldurs og reglunotkunar. Þar var kí-

kvaðrat gildið 37,12 og p-gildið ˂ .005. Óhætt er því að hafna þeirri tilgátu að breyturnar

aldur og reglunotkun séu óháðar hvor annnarri. Aldur tengist reglunotkun.

Á mynd 3 sjást tengslin milli aldurs og reglunotkunar. Notkun flóknari reglna

eykst með aldri. Hér sést einnig að notkun reglu 3 hjá 6 ára börnum er afar óvenjuleg.

Mynstrið í reglunotkun barna virðist vera samfellt frá því þau ná 7 ára aldri. Fram að því

sýnir myndin stigskiptingu í reglunotkun barna að mestu leyti.


20

Mynd 3. Tengsl aldurs og reglunotkunar. Þátttakendur sem nota mismunandi reglur

Aðhvarfsgreining var gerð til þess að meta hversu sterkt samband er milli aldurs

og reglunotkunar barna. Niðurstöður hennar sýndu að R² var 0,390. Aldur skýrir því

39% af reglunotkun barna, F(1, 29) = 18.56, p ˂ .000. Tengsl aldurs og reglunotkun eru

marktæk.

3.3 Tengsl aldurs og svartíma barna

Tengsl aldurs og svartíma barna voru metin. Á mynd 4 sést að meðalsvartími minnkar

eftir aldri.

Mynd 4. Meðalsvartími barna eftir aldri (sek)

0

1

2

3

4

Reg

la

Aldur


21

Í töflu 3 sést að meiri breytileiki er á svartíma einstaklinga en meðaltölin sýna.

Staðalfrávik hjá 10 ára barni er ekki sýnt þar sem aðeins eitt 10 ára barn tók þátt í

tilrauninni.

Tafla 3. Lýsandi tölfræði fyrir fylgibreytuna svartími (sek)

Aldur Fjöldi

Lægsta

gildi

svartíma

Hæsta

gildi

svartíma

Meðaltal

svartíma

Staðalfrávik

svartíma

5 4 5,38 7,62 6,27 1,01

6 5 2,49 6,75 4,38 1,81

7 4 1,96 5,52 3,16 1,6

8 5 1,99 6,03 3,82 1,74

9 6 1,26 5,81 3,09 1,62

10 1 3,41 3,41 3,41

11 6 1,18 4,43 2,04 1,24

Á mynd 5 sést normalrit af dreifingu fylgibreytunnar svartíma. Breytan er með

lítil frávik frá normaldreifingu og gólfhrif virðast vera til staðar.

Mynd 5. Normalrit af dreifingu fylgibreytunnar svartíma

Aðhvarfsgreining var gerð til þess að meta samband aldurs og svartíma.

Niðurstöður hennar sýndu að R² var frekar lágt, 0,369. Aldur skýrir 37% af dreifingu

svartíma, aðrir þættir virðast líka skipta máli varðandi dreifingu hans. Niðurstöðurnar

sýndu að tengsl aldurs og svartíma voru marktæk, F(1, 29) = 16.99, p ˂ .000.

Önnur aðhvarfsgreining var gerð til að meta samband frumbreytanna aldurs og

svartíma og tengsl þeirra við fylgibreytuna reglu. Niðurstöður hennar voru að R² var

0,39. Aldur og svartími skýra saman 39% af reglunotkun. Niðurstöður þeirrar


22

aðhvarfsgreiningar sýndu að tengsl aldurs, svartíma og reglunotkunar voru marktæk,

F(2, 28) = 8.97, p ˂ .001.

4. Umræða

Fjórar tilgátur voru settar fram í upphafi þessarar rannsóknar. Fyrsta tilgáta er að

almennur vitsmunaþroski barna sé ekki stigbundinn heldur sé hann samfelldur. Önnur

tilgáta er að tengsl séu á milli aldurs og reglunotkunar barna. Þriðja tilgáta er að tengsl

séu á milli aldurs og svartíma barna. Fjórða tilgáta er að svartími barna minnki eftir aldri

þeirra.

4.1 Vitsmunaþroski barna: Stigbundinn eða samfelldur?

Þroskasálfræðingar hafa ekki verið sammála um hvort lýsa eigi þroska sem stigbundnum

eða hvort hann sé samfelldur. Niðurstöður tilrauna Inhelders og Piagets sýndu að börn á

foraðgerðastigi (2-6 ára) og fyrstu árum stigi hlutbundinna aðgerða (7-12 ára) gætu ekki

leyst verkefni á jafnvægisvog. Samkvæmt niðurstöðum þessarar rannsóknar gat

meirihluti 5 ára barna gat leyst verkefnið þyngd. Sú niðurstaða er í samræmi við

rannsóknir Sieglers (1976) og rannsóknir Amsels og félaga (1996). Niðurstöður þessarar

tilraunar sýna að 5, 6 og 7 ára börn gátu líka leyst verkefnið andstæðuþyngd. Flest 6 ára

gömul börn áttuðu sig á því að fjarlægð skipti máli. Almennt átta börn sig ekki á því að

bæði þyngd og fjarlægð skipta máli við lausn verkefna á jafnvægisvog fyrr en þau eru

orðin 9 ára gömul. Þessi niðurstaða þessarar tilraunar er í samræmi við rannsóknir

Amsels og félaga (1996). Börn gátu leyst verkefnið áður en þau ná stigi formlegra

aðgerða. Inhelder og Piaget (1958) töldu það ómögulegt. Niðurstöður þessarar

rannsóknar gefa til kynna að almennt sé vitsmunaþroski ekki stigbundinn.

Almennur vitsmunaþroski virðist vera hægfara samfellt ferli breytinga frekar en

tímabil snöggra stigskiptinga. Þessi rannsókn styður við tilgátu 1 um að almennur

vitsmunaþroski barna sé ekki stigbundinn heldur samfelldur.

4.2 Hefur aldur áhrif á reglunotkun barna?

Mikill munur var á reglunotkun barna á stigi hlutbundinna aðgerða. Börn á aldrinum 6 til

11 ára gátu tileinkað sér reglu eitt, tvö og þrjú. Tilraunir Inhelders og Piagets bentu til

þess að börn á þessum aldri væru ekki að fær um að átta sig á þyngd, fjarlægð eða


23

samþættingu þyngdar og fjarlægðar. Niðurstöður þessarar tilraunar sýna töluverðan mun

á reglunotkun barna. Breytileiki kom fram í frammistöðu barna. Einstaklingsmunur í

reglunotkun kom fram, sérstaklega í frammistöðu tveggja 6 ára drengja sem notuðu

reglu þrjú eins og eldri börn gerðu. Hann kom líka fram í frammistöðu tveggja 10 ára

drengja í forprófun, þeir notuðu reglu fjögur. Bæði þessi drengjapör, 6 og 10 ára, voru

tvíburar. Líklegt er að annað en kenningar um samfelldan þroska geti skýrt þann mun á

frammistöðu barnanna, þættir eins og greind og erfðir (nature).

Elstu börnin sem tóku þátt í tilrauninni gátu tileinkað sér reglu þrjú. Þau gerðu

sér oftast grein fyrir því að athuga þyrfti að bæði þyngd og fjarlægð. Líkleg skýring er að

eldri börn hafa meiri reynslu af því að nota margföldun í skóla og meiri almenna

þekkingu en yngri börnin, sem skilar sér í oft í færni. Í tilrauninni var athugað hvort hægt

væri að kenna börnum á hagnýtan hátt að leysa verkefni á jafnvægisvog. Til þess voru

verkefnin einfölduð í þessari tilraun og eru þau ólík fyrirlögn Sieglers. Það var gert með

því að fækka lóðum í tveimur fyrstu verkefnunum. Einnig voru höfð talnavísbendi á

jafnvægisvoginni sem voru ekki á jafnvægisvogum Inhelders og Piagets (1958) og

Sieglers (1976).

Um sjö ára aldur kom fram stigskipting í reglunotkun barna, sem styður kenningu

Piagets um þroskastig. Það sem er ólíkt í þessum niðurstöðum og niðurstöðum

rannsókna Piagets er samfelld aukning vitsmunaþroska eftir sjö ára aldur ásamt því að

stigskiptingin sem verður um sjö ára aldur er aðeins á afmörkuðu sviði vitsmunaþroska, í

reglunotkun barna. Ekki eru allir jafnir eftir sjö ára aldur eins og kenning hans um

þroskastig gerir ráð fyrir. Notkun flóknari reglna var í reglunotkun barnanna og meiri

breytileiki við lausn verkefnanna en Piaget gerði ráð fyrir að væri mögulegur.

Afmarkaður þroski, einstaklingsmunur og mögulega þáttur náms halda áfram að vera

vanmetnir þættir í kenningu hans samkvæmt niðurstöðum þessarar rannsóknar. Aldur

útskýrir ekki nema um 40% af reglunotkun barna. Aðrir þættir en aldur skipta

augljóslega máli í reglunotkun barna. Fylgni var milli aldurs og reglunotkunar í prófun

og áhrif aldurs á reglunotkun voru marktæk. Tilgáta 2 um tengsl aldurs og reglunotkunar

barna er þó studd í þessari rannsókn.

Talnavísbendin á jafnvægisvoginni virðast hafa haft áhrif á frammistöðu eldri

barnanna og hafa hjálpað þeim við að nota flóknari reglu. Þar að auki gæti einfaldari

fyrirlögn, færri lóð, hafa auðveldað þeim að skilja hvernig jafnvægisvogin virkar.


24

Líklegt er að verkefnin á jafnvægisvoginni séu hagnýt leið til þess að kenna börnum að

skilja eðli stærðfræði og að það ásamt öðrum þáttum hafi gagnast þessum börnum við að

leysa verkefnin. Mögulegt er að verkefnin séu hagnýt aðferð til þess að efla afmarkaðan

vitsmunaþroska. Börnin sem tóku þátt í tilrauninni voru mjög áhugasöm um verkefnin

og flest þeirra töldu þau vera skemmtileg. Eitt barn sagði að þau væru „flókin og

einföld.“

4.3 Hvernig hefur aldur áhrif á svartíma barna?

Tilgáta 3 er að aldur hafi áhrif á svartíma barna. Tilgáta 4 er að svartími barna minnki

eftir aldri þeirra. Mælingar á svartíma hafa mikið verið notaðar í rannsóknum á

vitsmunaþroska og hugarstarfi. Svartími hefur ekki verið athugaður áður í tengslum við

verkefni á jafnvægisvog svo vitað sé. Niðurstöður þessarar rannsóknar sýndu mikinn

einstaklingsmun í úrvinnsluhraða barna. Í þessari tilraun fór meðalsvartíminn eftir aldri,

börnin urðu almennt fljótari með aldrinum. Þessar niðurstöður styðja rannsóknir Kails og

Ferrers (2007) sem sýndu aldurstengda aukningu í úrvinnsluhraða. Þær styðja einnig

rannsókn Hales (1990) þar sem fram kom að yngri börn eru almennt lengur að leysa

verkefni en eldri börn.

Aldur útskýrir ekki nema þriðjung af úrvinnsluhraða. Hér kemur breytileiki fram

á mjög augljósan hátt. Einstaklingsmunur er mjög mikill. Þættir sem Fry og Hale (1996)

rannsökuðu auk úrvinnsluhraða, svo sem vinnsluminni og eðlisgreind, gætu skipt mjög

miklu máli á þessu sviði. Áhrif aldurs á svartíma voru marktæk í þessari tilraun. Tilgáta

3 um að aldur hafi áhrif á svartíma barna er studd í þessari rannsókn. Tilgáta 4 um að

svartími minnki eftir aldri barna er einnig studd.

4.4 Styrkleikar og veikleikar rannsóknarinnar

Nokkur áhugaverð atvik komu fram þegar tilraunin var lögð fyrir börnin. Eins og fyrr

segir stóðu fjórir tvíburadrengir sig mun betur en aðrir í sínum aldurshópi og voru þeir

einu tvíburarnir sem tóku þátt í tilrauninni. Barn með ofvirkni og athyglisbrest leysti

verkefni á jafnvægisvog jafn vel og aðrir á sínum aldri. Annað barn, sem hafði verið

greint les- og reikniblint, gat leyst verkefnin eins og aðrir í sínum aldurshópi. Þessi góða

frammistaða barnanna er líklega áhugavert innlegg í umræðuna um erfðir og aðbúð.

Einn drengur leysti verkefnin þannig að erfitt var að flokka úrlausn hans. Hann

leysti öll verkefnin rétt nema verkefnið fjarlægð sem hefði átt að vera honum augljóst út


25

frá talnavísbendunum. Sá drengur var flokkaður undir reglu 3 en hefði átt að vera

flokkaður undir reglu 4 ef hann hefði leyst öll verkefnin. Líkan Sieglers gerir ekki ráð

fyrir því að erfitt sé að flokka úrlausnir þátttakenda, það gerir ekki ráð fyrir frávikum. Í

tilraun Sieglers (1976) er sér dálkur fyrir óflokkanleg svör sem henta ekki flokkunarkerfi

hans og ekki er reynt að vinna úr svörum sem erfitt er að flokka hjá honum. Engar

augljósar skýringar eru á þessum atvikum í þessari tilraun. Líklegt er að þættir eins og

athygli tengist því að síðastnefndi drengurinn leysti ekki öll verkefnin rétt og ættu aðrar

rannsóknir á sviði vitsmunaþroska að skoða þann þátt betur.

Rannsóknin hefur nokkra styrkleika. Rannsakandi endurhannaði og einfaldaði

verkefni á jafnvægisvog, forprófaði þá útgáfu, leiðrétti svo og þyngdi aftur þau verkefni

sem reyndust of auðveld. Fyrstu tvö verkefnin héldust einföld og voru ekki leiðrétt af

ásettu ráði til þess að kenna börnum. Verkefnin á jafnvægisvog í þessari tilraun voru því

nýtt mælitæki að hluta sem hefur ekki verið notað áður. Verkefni á jafnvægisvog virðast

vera góð leið til að greina almennt mynstur vitsmunaþroska barna eftir aldri. Verkefni á

jafnvægisvog reyndust einnig ágæt í að greina að frammistöðu þeirra þátttakenda sem

sköruðu framúr jafnöldrum sínum í reglunotkun. Þau virðast því greina afmarkaðan

vitsmunaþroska og það sést vel á frammistöðu tvíburadrengjanna. Sú ákvörðun að bæta

við mælingu á svartíma við verkefni á jafnvægisvog skilaði árangri. Verkefni á

jafnvægisvog virðast ekki vera síðri en önnur verkefni á sviði vitsmunaþroska til að

greina svipuð svartímamynstur og hafa fengist út úr mælingum rannsakenda á þessu

sviði á heimsvísu. Verkefnin standa líklega líka undir þeim væntingum að vera hagnýtt

kennslutæki. Það sést á frammistöðu barns sem hafði verið greint reikniblint en leysti

verkefnin sem eru stærðfræðileg í eðli sínu jafnvel og aðrir á sínum aldri. Auk þess hélt

barn, sem hafði verið greint ofvirkt og með athyglisbrest, athyglinni við verkefnin að

mestu leyti. Það barn var með sambærilegar úrlausnir og aðrir í sínum aldurshópi.

Tilraunin takmarkast af nokkrum þáttum, sumir voru fyrirsjáanlegir en aðrir ekki.

Fjöldi þátttakanda er einn slíkur þáttur. Aðeins voru 44 börn prófuð í verkefnum á

jafnvægisvog í þessari rannsókn, tíu af þeim voru forprófuð. Því var úrtakið í þessari

rannsókn lítið, sem dregur úr skýringarmætti hennar og eykur hættu á skekkju. Úrlausnir

þriggja barna voru fjarlægðar (sjá viðauka 2) til þess að takmarka áhrif skekkju en ekki

til þess að koma í veg fyrir hana. Ákvörðun um að fjarlægja tilteknar úrlausnir er alltaf

umdeilanleg enda getur hún orðið til þess, sé gengið of langt, að rannsóknin staðfesti

nánast hvaða kenningu sem rannsakandi kýs. Í þessu tilviki varð hins vegar ekki undan


26

því vikist að fjarlægja umræddar úrlausnir. Þær voru, eins og sjá má af umfjöllun um

þær í upphafi niðurstöðukafla og í viðauka 2, í miklu ósamræmi við úrlausnir annarra

barna og gátu ekki talist eðlilegar. Augljóst var að þær úrlausnir sem voru fjarlægðar

hefðu skekkt niðurstöður rannsóknarinnar verulega og spillt niðurstöðu rannsóknar með

svo litlu úrtaki.

Auðvitað hafa ofangreindir takmarkandi þættir áhrif á réttmæti rannsóknarinnar.

Við rannsóknir á vitsmunaþroska er æskilegt að úrtakið sé stærra en hér var mögulegt að

safna saman. Aðeins eitt tíu ára gamalt barn tók þátt í tilrauninni sjálfri, fleiri tíu ára

gömul börn tóku þátt í forprófun mælitækisins. Betra hefði verið að forprófa færri börn á

þeim aldri og prófa þau frekar í tilrauninni sjálfri. Þar að auki hefði verið æskilegt að

forprófa endanlega fyrirlögn verkefnanna á jafnvægisvog betur, síðustu tvö verkefnin á

jafnvægisvoginni hefðu mátt koma betur út.

4.5 Næstu skref

Þrátt fyrir ýmsar takmarkanir vakna nýjar rannsóknarspurningar eftir þessa tilraun. Er

reglunotkun systkina sambærileg? Standa tvíburar sig betur en aðrir í þeirra aldurshópi í

verkefnum á sviði vitsmunaþroska og ef svo er, hvers vegna? Hver eru áhrif erfða og

aðbúðar á frammistöðu barna í verkefnum á sviði vitsmunaþroska? Mun endurskoðun

síðustu tveggja verkefnanna, andstæðufjarlægðar og andstæðujafnvægis, leiða til þess að

börn læri fyrr að nota flóknari reglur? Hvaða aðrir þættir en aldur skýra reglunotkun

barna í verkefnum á jafnvægisvog? Hvaða þættir aðrir en aldur skýra úrvinnsluhraða

barna? Munu börn standa sig betur eftir fleiri prófanir ef verkefnin breytast á milli

prófana? Hver er þáttur athygli á frammistöðu barna í verkefnum á sviði

vitsmunaþroska? Þessum spurningum verður vonandi svarað í öðrum rannsóknum.

4.6 Lokaorð

Þessi rannsókn sýnir að kenning um almennan samfelldan vitsmunaþroska er studd út frá

samfelldu mynstri sem kom fram þegar hlutfall 5 til 11 ára barna sem leystu mismunandi

verkefni á jafnvægisvog er skoðað. Kenning um afmarkaðan vitsmunaþroska, sem er

stigbundinn, er studd út frá mismuni sem verður á reglunotkun barna um sjö ára aldur.

Eftir sjö ára aldur virðist reglunotkun vera samfelld en það gæti verið vegna náms og

meiri þekkingar. Kenning um afmarkaðan vitsmunaþroska er studd út frá niðurstöðum

þessarar rannsóknar sem einstaklingsmunur, misjöfn frammistaða ólíkra þátttakenda á


27

sama aldri og mögulega þættir eins og fyrri þekking og nám gætu skýrt. Mikilvægt er að

fólk sem starfar með börnum á sviði heilbrigðis- og menntavísinda meti börn ekki aðeins

út frá meðaltali síns aldurs. Jafnaldrar eru ekki allir jafnir.


28

Heimildir

Amsel, E., Goodman, G., Savoie, D., & Clark, M. (1996). The Development of

Reasoning about Causal and Noncausal Influences on Levers. Child

Development, 67, 1624-1646.

Duan, X., Shi, J., & Zhou, D. (2009). Developmental Changes in Processing Speed:

Influence of Accelerated Education for Gifted Children. Gifted Child Quarterly,

54, 85-91. Doi: 10. 1177/0016986209355971

Fry, A. F., & Hale, S. (1996). Processing Speed, Working Memory, and Fluid

Intelligence: Evidence for a Developmental Cascade. Psychological Science, 7,

237-241.

Gleitman, H., Reisberg, D., & Gross, J. (2007). Psychology. New York: W. W. Norton

& Company.

Goswami, U. (2008). Cognitive Development: The Learning Brain. Hove and New

York: Psychology Press.

Hale, S. (1990). A Global Developmental Trend in Cognitive Processing Speed. Child

Development, 61, 653-663.

Inhelder, B., & Piaget, J. (1958). The Growth of Logical Thinking from Childhood to

Adolescence. New York: Basic Books.

Kail, R. V., & Ferrer. E. (2007). Processing Speed in Childhood and Adolescence:

Longitudinal Models for Examining Developmental Change. Child Development,

78, 1760-1770.

Lightfoot, C., Cole, M., & Cole, S. R. (2013). The Development of children. New York:

Worth Publishers.

Miller, P. H. (2014). Piaget´s Theory: Past, Present, and Future. In U. Goswami (Ed.),

The Wiley-Blackwell Handbook of Childhood Cognitive Development (2nd. ed,

pp. 649-672). Chichester: Wiley Blackwell.

Piaget, J. (1964). Development and Learning. In M. Gauvain & M. Cole (Eds.),

Readings on the development of children. (4th. ed, pp. 25-33). Madison Avenue,

NY: Worth Publishers. (Reprinted from Piaget Rediscovered, 7-20, by V.N.

Rockcastle, Ed., 1964 og 1972).


29

Siegler, R. S. (1976). Three Aspects of Cognitive Development. Cognitive Psychology,

8, 481-520.

Siegler, R. S. (1994). Cognitive Variability: A Key to Understanding Cognitive

Development. In M. Gauvain & M. Cole (Eds.), Readings on the development of

children. (4th. ed, pp. 207-212). Madison Avenue, NY: Worth Publishers.

(Reprinted from Current Directions in Psychological Science, 3, 1-5. Blackwell

Publishers)

Siegler, R. S. (2000). The Rebirth of Children´s Learning. Child development, 71, 26-35.

Siegler, R. S. (2005). Children´s Learning. American Psychologist, 60, 769-778.

Siegler, R. S. (2007). Cognitive Variability. Developmental Science, 10, 104-109.

Siegler, R. S. & Chen, Z. (1998). Developmental Differences in Rule Learning: A

Microgenetic Analysis. Cognitive Psychology, 36, 273-310.

Siegler, R. S. & Chen, Z. (2002). Development of Rules and Strategies: Balancing the

old and the new. Journal of Experimental Child Psychology, 81, 446-457.

Stigler, J. W. & Stevenson, H. W. (1991). How Asian Teachers Polish Each Lesson to

Perfection. In M. Gauvain & M. Cole (Eds.), Readings on the development of

children. (4th. ed, pp. 236-249). Madison Avenue, NY: Worth Publishers.

(Reprinted from American Educator, the quarterly journal of the American

Federation of Teachers, Spring 1991 issue)

Vygotsky, L.S. (1978). Interaction Between Learning and Development. In M. Gauvain

& M. Cole (Eds.), Readings on the development of children. (4th. ed, pp. 34-41).

Madison Avenue, NY: Worth Publishers. (Reprinted by the permission of the

publisher from Mind in Society: The development of higher psychological

processes by L. S. Vygotsky, edited by Michael Cole, Vera John-Steiner, Sylvia

Scribner, and Ellen Souberman, 71-91, Cambridge, MA: Harvard University

Press. Copyright 1978 by the President and Fellows of Harvard College.)


30

Viðauki 1

Svarblað

Kyn:_______________________________________________________________

Aldur:______________________________________________________________

Prófun

Tími dags:

Rannsakandi situr við hlið barns og bæði barn og rannsakandi eru fyrir framan jafnvægisvogina.

„Í dag erum við að fara að leika okkur með þessa jafnvægisvog. Jafnvægisvogin er

með þessum gulu bitum sem eru allir í sömu fjarlægð frá hvorum öðrum og eru

bæði framan og aftan á jafnvægisvoginni (benda á gulu bitana sem standa út á

voginni). Gulu bitarnir eru merktir með tölustöfum, frá einum til 10 vinstra megin og

frá einum til tíu hægra megin. Þessi fjólubláu lóð sem hægt er að hengja á bitana á

voginni eru öll jafn þung.“

Hvetja barn til þess að halda á fjólubláu einingunum svo að þau geti fundið að þær eru jafn þungar, og

leyfa barninu að skoða jafna fjarlægð milli gulu bitanna á jafnvægisvoginni.

Tilraun 1:

Setja klemmur undir báðar hliðar á jafnvægisvog.

„Ég hengi fjólubláu lóðin á gulu bitana á voginni á mismunandi hátt og þú segir

mér hvort vinstri hliðin fer niður eða hvort að hægri hliðin fer niður eða hvort að

hliðarnar haldist í jafnvægi eða beinar eins og þær eru núna, þegar ég tek

klemmurnar burt. Jafnvægisvogin hreyfist ekki á meðan að ég hengi lóðin á hana.“

Forspá 1: Jafnvægi

V

10

V

9

V

8

V

7

V

6

V

5

V

4

V

3

V

2

V

1

H

1

H

2

H

3

H

4

H

5

H

6

H

7

H

8

H

9

H

10

1 1

Spurning 1: Hvað gerist núna þegar ég tek klemmurnar burt?

Svar:_____________________________________________

Svartími:__________________________________________


31

Forspá 2: Þyngd

V

10

V

9

V

8

V

7

V

6

V

5

V

4

V

3

V

2

V

1

H

1

H

2

H

3

H

4

H

5

H

6

H

7

H

8

H

9

H

10

1 1 1


Svar:_____________________________________________

Svartími:__________________________________________

Forspá 3: Fjarlægð

V

10

V

9

V

8

V

7

V

6

V

5

V

4

V

3

V

2

V

1

H

1

H

2

H

3

H

4

H

5

H

6

H

7

H

8

H

9

H

10

2 2


Svar:_____________________________________________

Svartími:__________________________________________

Forspá 4: Andstæðuþyngd

V

10

V

9

V

8

V

7

V

6

V

5

V

4

V

3

V

2

V

1

H

1

H

2

H

3

H

4

H

5

H

6

H

7

H

8

H

9

H

10

2 2 2


Svar:_____________________________________________

Svartími:__________________________________________


32

Forspá 5: Andstæðufjarlægð

V

10

V

9

V

8

V

7

V

6

V

5

V

4

V

3

V

2

V

1

H

1

H

2

H

3

H

4

H

5

H

6

H

7

H

8

H

9

H

10

3 2 3


Svar:_____________________________________________

Svartími:__________________________________________

Forspá 6: Andstæðujafnvægi

V

10

V

9

V

8

V

7

V

6

V

5

V

4

V

3

V

2

V

1

H

1

H

2

H

3

H

4

H

5

H

6

H

7

H

8

H

9

H

10

1 2


Svar:_____________________________________________

Svartími:__________________________________________

Spurning 2: Hvað finnst þér um þessi verkefni?

Svar:_______________________________________________________________


33

Viðauki 2

Í töflunni hér að neðan sjást úrlausnir 34 barna í verkefnum á jafnvægisvog.

Úrlausnir þriggja barna eru yfirstrikaðar með gulu, gögn þeirra voru ekki tekin með í

útreikninga. Grænn litur sést á úrlausnum drengs sem erfitt var að flokka.

Jafnvægi VN HN VN VN J

Kyn Aldur Regla Jafnvægi Svartími Þyngd Svartími Fjarlægð Svartími And-þyngd Svartími And-fjarl Svartími And-jafnvægi Svartími

kk 5 ára 0 VN 15,55 J 7,23 HN 9,61 HN 4,48 VN 5,00 VN 3,86 7,62 33,30%

kk 5 ára 0 VN 14,73 VN 4,65 VN 6,16 VN 3,45 HN 2,55 HN 2,18 5,62 33,30%

kk 5 ára 0 VN 11,56 VN 5,75 J 11,80 VN 5,18 J 2,58 J 1,93 6,47 50%

kvk 5 ára 0 HN 17,56 VN 5,48 HN 1,93 VN 4,36 HN 1,51 HN 1,44 5,38 50%

0% 14,85 75% 5,78 50% 7,38 75% 4,37 25% 2,91 25% 2,35 6,27

kk 6 ára 3 J 5,68 VN 4,18 HN 2,08 VN 1,08 HN 0,71 VN 1,21 2,49 66,67%

kk 6 ára 3 J 4,16 VN 12,61 HN 15,08 VN 5,16 HN 2,33 VN 1,21 6,76 66,67%

kk 6 ára 0 J 3,73 HN 4,68 HN 5,26 VN 0,68 HN 1,03 HN 0,73 2,69 50%

kk 6 ára 0 VN 14,75 HN 4,48 VN 3,73 VN 0,81 HN 2,18 HN 1,55 4,58 16,70%

kvk 6 ára 0 J 15,96 J 4,86 HN 6,46 VN 2,95 HN 1,23 HN 0,95 5,40 50%

80% 8,86 40% 6,16 80% 6,52 100% 2,14 0% 1,50 0% 1,13 4,38

kk 7 ára 0 VN 6,65 VN 1,38 J 1,31 VN 0,96 HN 0,45 HN 1,06 1,97 33,30%

kk 7 ára 1 J 1,76 VN 7,20 J 1,43 VN 0,75 HN 1,48 HN 2,05 2,45 50%

kvk 7 ára 0 VN 6,51 VN 1,35 J 0,58 VN 1,81 HN 4,61 HN 1,63 2,75 33,30%

kvk 7 ára 0 HN 13,33 HN 5,43 J 2,56 VN 3,40 HN 4,33 HN 4,11 5,53 1,6

25% 7,06 75% 3,84 0% 1,47 100% 1,73 0% 2,72 0% 2,21 3,17 16,70%

kk 8 ára 3 J 10,36 VN 2,56 J 1,25 VN 1,15 VN 1,35 J 0,55 2,87 83,30%

kk 8 ára 1 J 5,23 VN 1,70 J 2,16 VN 0,85 HN 0,78 HN 1,25 2,00 50%

kvk 8 ára 1 J 18,03 VN 6,01 J 1,80 VN 2,01 HN 2,00 HN 6,33 6,03 50%

kvk 8 ára 0 VN 12,41 HN 8,85 J 1,31 HN 2,25 VN 6,46 VN 0,75 5,34 16,70%

kvk 8 ára 0 VN 10,03 HN 24,13 VN 12,13 HN 1,01 HN 1,81 HN 4,40 8,92 0,6

kvk 8 ára 2 J 3,58 VN 6,38 HN 3,40 VN 1,75 HN 1,16 HN 1,23 2,92 66,67%

80% 9,94 80% 8,27 20% 3,68 80% 1,50 40% 2,26 20% 2,42 3,83

kk 9 ára 2 J 10,08 VN 1,21 HN 1,41 VN 0,93 HN 1,30 HN 3,50 3,07 66,67%

kk 9 ára 0 J 14,18 HN 10,36 VN 8,20 HN 3,03 HN 1,73 HN 6,75 7,38 16,70%


kvk 9 ára 3 J 2,81 VN 1,21 HN 14,40 VN 0,68 HN 15,05 J 0,73 5,81 83,30%

kvk 9 ára 3 J 1,15 VN 0,73 HN 0,58 HN 1,20 HN 1,15 J 2,80 1,27 66,67%


kvk 9 ára 3 J 2,21 VN 2,73 HN 1,61 J 4,28 VN 11,16 HN 1,80 3,97 66,67%

100% 5,80 100% 2,94 100,00% 4,04 66,67% 1,95 16,70% 4,64 33,30% 2,86 3,09

kk 10 ára 2 J 5,23 VN 1,33 HN 1,23 VN 10,78 HN 0,48 HN 1,45 3,42 66,67%

kk 10 ára 0 VN 30,31 VN 6,05 J 1,16 VN 1,78 VN 5,73 VN 2,80 7,97 50%

100% 17,77 100% 3,69 100% 1,20 100% 6,28 0% 3,11 0% 2,13 3,42

kvk 11 ára 3 J 4,15 VN 0,41 HN 0,53 VN 0,40 HN 1,51 VN 0,63 1,27 66,67%




kk 11 ára 3 J 2,53 VN 1,80 HN 1,88 VN 0,85 VN 1,00 VN 1,68 1,62 66,67%

kk 11 ára 0 J 2,71 VN 0,91 J 1,06 HN 1,65 HN 1,10 J 0,81 1,37 50%

100% 4,15 100% 1,22 83,30% 1,36 83,30% 2,53 16,70% 1,97 16,70% 1,04 2,04

stigbundinn eða samfelldur? · kenning piaget og aðrar kenningar sem á eftir koma hafa ekki...

Documents