structura cursului - profs.info.uaic.rootto/referate/intro_npn.pdf · – p. 1/52. re¸tele petri...
TRANSCRIPT
![Page 1: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/1.jpg)
Structura cursului
Retele Petri pe niveluri
Aplicatii ale retelelor Petri pe niveluri în modelarea fluxurilorde lucru
– p. 1/52
![Page 2: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/2.jpg)
Retele Petri pe niveluri
punctele în locatii: puncte "atomice" sau puncte - retea
o retea de nivel înalt, numita retea sistem si o multime deretele obiect
în reteaua sistem punctele pot fi atât puncte atomice cât sipuncte-retea (retele obiect cu o anumita marcare)
punctele în retelele obiect pot fi doar puncte atomice
exista mecanisme de sincronizare între tranzitiile dinretelele obiect si cele din reteaua sistem
– p. 2/52
![Page 3: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/3.jpg)
Exemplu
Proces P care produce o piesa pentru care are nevoie de N
componente de acelasi tip
P instantiaza doua subprocese P1 si P2
P1 produce câte o componenta. Pentru producereacomponentei are nevoie de o resursa pe care i-o furnizeazaP2
Dupa ce termina de produs piesa, P dezactiveaza celedoua subprocese
– p. 3/52
![Page 4: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/4.jpg)
Exemplu
– p. 4/52
![Page 5: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/5.jpg)
Exemplu
– p. 5/52
![Page 6: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/6.jpg)
Notatii
V ar - multime de variabile. Daca v ∈ V ar, Type(v) estetipul variabilei v.
Con - multime de constante
A = V ar ∪ Con
Multimea expresiilor peste A: Expr(A) = AMS
Daca E ∈ Expr(A) este o expresie, V ar(E): multimeavariabilelor care apar în expresia E.
– p. 6/52
![Page 7: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/7.jpg)
Multimi de etichete
Lv - multimea etichetelor pentru sincronizare verticala.
Pentru orice l ∈ Lv, exista l ∈ Lv.
Daca l1, l2 ∈ Lv, l1 6= l2 atunci l1 6= l2.
l =def l.
Lh - multimea etichetelor pentru sincronizare orizontala
Lh ∩ Lv = ∅
– p. 7/52
![Page 8: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/8.jpg)
Definitie
Definitie 1 O retea Petri pe niveluri este un tuplu:
NPN = (A,L, SN, (EN1,m10), (EN2,m
20), . . . , (ENk,m
k0),Λ)
astfel încât :
1. A = V ar ∪ Con este multimea de variabile si constante
2. L = Lv ∪ Lh este o multime de etichete.
3. (EN1,m10), (EN2,m
20), . . ., (ENk,m
k0) sunt retele Petri
marcate, numite retele obiect.
– p. 8/52
![Page 9: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/9.jpg)
Definitie
4. SN = (N,U ,W,M0) este o retea Petri de nivel înalt, numitareteaua sistem a NPN , unde
N = (P, T, F ) este o retea Petri.U = (Tk, I) este un model, unde:
Tk = Tkatom ∪ Tknet, Tkatom este multimea punctelor atomice în SN siTknet = {(EN,m)|∃i = 1, . . . , k : EN = ENi, m - marcare in ENi}
multimea punctelor retea.Functia de interpretare I : Con → Tk .
W : F → Expr(A) astfel încât :nu exista c ∈ Con într-o expresie de pe un arc input cu I(c) ∈ Tknet;orice variabila are o singura aparitie într-o expresie de pe un arc input;Pentru doua expresii W (p1, t), W (p2, t),V ar(W (p1, t)) ∩ V ar(W (p2, t)) = ∅.
M0 : P → TkMS este marcarea initiala a retelei .
– p. 9/52
![Page 10: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/10.jpg)
Definitie
5. Λ este o functie partiala care asigneaza etichete din L
tranzitiilor din SN si din retelele obiect ENi (i ∈ {1, . . . , k}):daca t este o tranzitie etichetata din SN , atunciΛ(t) = l ∈ Lv
daca o tranzitie t dintr-o retea obiect ENi (i ∈ {1, . . . , k})este etichetata si Λ(t) = l ∈ Lh, atunci nu exista o altatranzitie t′ în ENi cu Λ(t′) = l.
– p. 10/52
![Page 11: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/11.jpg)
Definitie
Restrictii referitoare la expresiile de pe arce:
– p. 11/52
![Page 12: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemplu
Con = {C1, C2, 1}, V ar = {x, y}.
Lv = {p, p}, Lh = {r}
Tk = {(EN1,m)|m marcare EN1} ∪ {(EN2,m)|m marcare EN2} ∪ {•}
I(C1) = (EN1,m01), I(C2) = (EN2,m02), I(1) = •
– p. 12/52
![Page 13: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/13.jpg)
Notatii
NPN = (A,L, SN, (EN1,m10), (EN2,m
20), . . . , (ENk,m
k0),Λ)
Daca EN retea obiect, tipulEN = {(EN,m)|m marcare a lui EN}
Daca x ∈ V ar, Type(x) ∈ {EN1, EN2, . . . ENk}
Daca t este o tranzitie în SN ,V ar(t) = {V ar(W (p, t))|p ∈ •t} ∪ {V ar(W (t, p))|p ∈ t•}
O asignare este o functie b : V ar → Tknet cub(v) ∈ Type(v).Daca Type(v) = ENi, atunci b(v) = (ENi,m), m marcare aretelei obiect ENi.
Daca v ∈ V ar({W (p, t)|p ∈ •t} si b(v) = (ENi,m) ∈ Tknet,spunem ca reteaua obiect ENi este implicata în producerealui t cu asignarea b.
– p. 13/52
![Page 14: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/14.jpg)
Notatii
NPN = (A,L, SN, (EN1,m10), (EN2,m
20), . . . , (ENk,m
k0),Λ)
O asignare corespunzatoare unei tranzitii t in SN este oasignare b : V ar(t) → Tknet.
Daca E ∈ Expr(A) este o expresie si b o asignare, atunciE < b > este expresia E evaluata în asignarea b:
E < b > se obtine înlocuind fiecare x ∈ V ar(E) cu b(v)si fiecare constanta C cu I(C).E < b >∈ TkMS
O marcare a retelei NPN este o functie M care asociazafiecarei locatii din SN un multiset de elemente din Tk:M(p) ∈ TkMS .
– p. 14/52
![Page 15: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/15.jpg)
Comportamentul NPN
Definitie 2 Fie NPN o retea pe niveluri.
O tranzitie t din SN este posibila la marcarea M cuasignarea b ddaca:
∀p ∈ •t : W (p, t) < b >≤ M(p)
Producerea tranzitiei t cu asignarea b modifica marcarearetelei în M ′, unde:
∀p ∈ P : M ′(p) = M(p)−W (p, t) < b > +W (t, p) < b >
– p. 15/52
![Page 16: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemplu
t1 si b(x) = (EN1,m2), b(y) = (EN2,m)
W (P1, t1) < b >= 1′x < b >= 1′(EN1,m2) ≤ M(P1) =
1′(EN1,m1) + 1′(EN1,m2)
W (P2, t1) < b >= 2′1 ≤ M(P2) = 3′1
W (P3, t1) < b >= 1′y < b >= 1′(EN2,m) ≤ M(P3) = 1′(EN2,m)
– p. 16/52
![Page 17: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/17.jpg)
Exemplu
– p. 16/52
![Page 18: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/18.jpg)
Exemplu
– p. 17/52
![Page 19: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/19.jpg)
Exemplu
– p. 17/52
![Page 20: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/20.jpg)
Comportamentul NPN
Definitie 3 (Pas de transport) Fie NPN o retea Petri peniveluri, M o marcarea a sa si t o tranzitie neetichetata din SN
(i.e. Λ(t) nedefinit). Daca t este posibila la marcarea M cu oasignare b, atunci producerea lui t în reteaua sistem SN senumeste pas de transport în NPN si se noteaza M [t[b]〉M ′.
Un pas de transport nu afecteaza marcarile retelelor obiect,modifica doar marcarea retelei SN .
– p. 18/52
![Page 21: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/21.jpg)
Comportamentul NPN
Definitie 4 (Pas obiect-autonom) Fie M o marcare a NPN ,p ∈ P o locatie în SN . Fie (EN,m) un punct-retea din M(p). Fiet o tranzitie din EN posibila în m (conform cu regula deproducere a tranzitiilor din retele Petri clasice) astfel încâtm[t〉m′ si Λ(t) nu este definita. Atunci (; t) este un pasobiect-autonom posibil la marcarea M .
Marcarea rezultata prin producerea pasului, M ′, este obtinutadin M prin înlocuirea punctului-retea (EN,m) din p cupunctul-retea (EN,m′).
Se noteaza M [(; t)〉M ′.
– p. 19/52
![Page 22: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/22.jpg)
Exemplu
M1:
Y = (; v1) pas obiect-autonom în M1
– p. 20/52
![Page 23: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/23.jpg)
Exemplu
M2:
– p. 20/52
![Page 24: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/24.jpg)
Comportamentul NPN
Definitie 5 (Pas de sincronizare orizontal a) Fie M o marcarea NPN , p ∈ P o locatie în SN si α1, α2, . . . , αn ∈ M(p) puncteleretea din M(p). Fie t1, . . . ts toate tranzitiile din aceste retelecare au aceeasi eticheta l ∈ Lh: Λ(t1) = Λ(t2) = . . . = Λ(ts) = l,astfel încât fiecare tranzitie tj (j ∈ {1, . . . , s}) este posibila înpunctul-retea αkj
= (ENj ,mj) ({k1, . . . ks} ⊆ {1, . . . , n}) din careface parte, si mj [tj〉m
′j .
Producerea simultana a tranzitiilor t1, . . . , ts se numeste pasde sincronizare orizontala.
Marcarea rezultata, M ′, se obtine din M prin înlocuireafiecarui punct-retea αkj
= (ENj ,mj) din p cu un noupunct-retea α′
kj= (ENj ,m
′j),∀j ∈ {1, . . . , s}.
Se noteaza M [(t1, . . . , ts)〉M ′.
– p. 21/52
![Page 25: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplu
M2:
Y = (u1, v2) pas de sincronizare orizontala posibil în M2
– p. 22/52
![Page 26: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/26.jpg)
Exemplu
M3:
– p. 22/52
![Page 27: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/27.jpg)
Exemplu
M2:
¬M2[(u1, v2)〉
– p. 23/52
![Page 28: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/28.jpg)
Comportamentul NPN
Definitie 6 (Pas de sincronizare vertical a) Fie t o tranzitie dinSN , Λ(t) = l ∈ Lv, t posibil în M cu asignarea b si M [t[b]〉M ′.Fie α1, α2, . . . , αk ∈ Tknet toate punctele-retea implicate înproducerea lui t (α1 = (EN1,m1), . . . , αk = (ENk,mk))) cuproprietatea ca ∀ 1 ≤ i ≤ k, exista ti în ENi, astfel încâtΛ(ti) = l ∈ Lv si mi[ti〉m
′i.
Producerea simultana a tranzitiei t din SN si a tranzitiilort1, . . . , tk din punctele-retea α1, . . . , αk se numeste pas desincronizare verticala.
Marcarea rezultata este M ′:M ′(p) = (M(p)−W (p, t) < b >) +W ′(t, p) < b >, pentruorice p din SN , unde W ′(t, p) < b > este multisetul obtinutdin W (t, p) < b > prin înlocuirea punctului-reteaαi = (ENi,mi) cu α′
i = (ENi,m′i), pentru toti 1 ≤ i ≤ k.
Se noteaza M [(t[b]; t1, . . . , tk)〉M′.
– p. 24/52
![Page 29: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemplu
M3:
t2 si b(x) = (EN1,m1), b(y) = (EN2,m′′)
puncte retea implicate în producerea lui t2: (EN1,m1), (EN2,m′′)
Λ(t2) = b ∈ Labv, Λ(u2) = b ∈ Labv
M3[(t2[b];u2)〉
– p. 25/52
![Page 30: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemplu
M4:
– p. 25/52
![Page 31: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/31.jpg)
Exemplu
M3:Type(x) = EN1, Type(z) = EN1, Type(y) = EN2
Fie t2 si b(x) = (EN1,m1), b(z) = (EN1,m1), b(y) = (EN2,m′′)
puncte retea implicate în producerea lui t2: (EN1,m1), (EN1,m1), (EN2,m′′)
Λ(t2) = b ∈ Lv , Λ(u2) = b ∈ Labv
M3[(t2[b];u2, u2)〉
– p. 26/52
![Page 32: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/32.jpg)
Exemplu
M4:
– p. 26/52
![Page 33: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplu
M4:
Type(x) = EN1, Type(z) = EN1, Type(y) = EN2
Y = t2 si b(x) = (EN1,m1), b(z) = (EN1,m2), b(y) = (EN2,m′′)
puncte retea implicate în producerea lui t2: (EN1,m2), (EN1,m3), (EN2,m′′)
Λ(t2) = b ∈ Lv, Λ(u2) = b ∈ Labv
¬M3[(t2[b];u2, u2)〉
– p. 27/52
![Page 34: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 35: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/35.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 36: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/36.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 37: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/37.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 38: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/38.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 39: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 40: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/40.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 41: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 42: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplu
– p. 28/52
![Page 43: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/43.jpg)
Simularea retelelor cu resetare
Fie (N,R,m0) retea cu resetare
Pentru fiecare locatie p din reteaua cu resetare =⇒ o locatie P în SN , o variabilaxp si o retea obiect ENp
Pentru fiecare locatie care poate fi resetata, o constanta Ep (I(Ep) = (ENp, 0))
pentru fiecare tranzitie t, o tranzitie T în SN
daca t ∈ •p ∪ p• atunci (T, P ), (P, T ) ∈ FSN si WSN (P, T ) = WSN (T, P ) = xp.Daca t reseteaza p, WSN (T, P ) = Ep
Λ(T ) = l ∈ Labv si Λ(T ) este nedefinit ddaca t tranzitie izolata în N (i.e. doarreseteaza locatii)
– p. 29/52
![Page 44: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/44.jpg)
Simularea retelelor cu resetare
Fie (N,R,m0) retea cu resetare
M0(P ) = (EN,mp0), unde:
PEN = {p}
TEN = {t|t ∈ •p ∪ p•}
FEN = {(t, p)|(t, p) ∈ FN} ∪ {(p, t)|(p, t) ∈ FN}
Pentru orice f ∈ FEN , WEN (f) = WN (f)
mp0(p) = m0(p)
Λ(t) = l ∈ Labv (unde Λ(T ) = l)
– p. 29/52
![Page 45: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/45.jpg)
Simularea retelelor cu resetare
Fie (N,R,m0) retea cu resetare
Are loc: m[t〉Rm′ ddaca:
M [(T ; t(1), . . . , t(k))〉M′, daca t nu este tranzitie izolata (t(1), . . . , t(k) sunt
tranzitiile corespunzatoare lui t din retelele obiect corespunzatoare locatiilorincidente cu t) sau:
M [T 〉M ′, daca T este tranzitie neetichetata.
– p. 29/52
![Page 46: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/46.jpg)
Simularea retelelor cu resetare
– p. 30/52
![Page 47: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/47.jpg)
Simularea retelelor cu resetare
Retelele Petri pe niveluri simuleaza comportamentulretelelor Petri cu resetare
Problemele marginirii si accesibilitatii sunt nedecidabilepentru retele Petri cu resetare
Problemele marginirii si accesibilitatii sunt nedecidabilepentru retele Petri pe niveluri
– p. 31/52
![Page 48: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/48.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
Fluxuri de lucru interorganizationale:
WF1, . . . ,WFn fluxuri de lucru locale
WFi: actiuni locale, comunicare cu celelalte fluxuri de lucru:comunicare sincrona: actiuni din fluxuri de lucru diferitese produc simultancomunicare asincrona: ordine partiala pe actiuni dinfluxuri de lucru diferite, transmitere de mesaje între fluxride lucru
corectitudine (soundness)
– p. 32/52
![Page 49: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/49.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 33/52
![Page 50: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/50.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
Retea Petri pe niveluri:n obiecte reprezentând fluxurile de lucru locale + obiectcare descrie comunicarea asincronatranzitiile implicate în comunicare sunt etichetatetranzitiile din aceeasi multime de comunicare sincronaau o eticheta comuna
– p. 34/52
![Page 51: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/51.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 35/52
![Page 52: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/52.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
AC = {(t1, t2), (t2, t3), (t1, t4), (t4, t3), (t5, t4)}PAC = {ac1, ac2, ac3, ac4, ac5}TAC = {tc1, tc2, tc3, tc4, tc5}
– p. 36/52
![Page 53: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/53.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 37/52
![Page 54: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/54.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 55: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/55.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 56: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/56.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 57: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/57.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 58: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/58.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 59: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/59.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 60: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/60.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 61: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/61.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 62: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/62.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 63: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/63.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 64: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/64.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 65: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/65.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 66: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/66.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 67: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/67.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 68: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/68.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 69: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/69.jpg)
Aplicatii în modelarea fluxurilor de lucru
– p. 38/52
![Page 70: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/70.jpg)
Retele workflow extinse
Definitie 7 Fie WF = (P, T, F ) o WF-retea. Reteaua workflowextinsa este o retea WF ′ = (P, T ′, F ′), astfel încât :
T ′ = T ∪ {t′}
F ′ = F ∪ {(o, t′)}
– p. 39/52
![Page 71: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/71.jpg)
Retele workflow interorganizationale
Fie (WF ′1, i1), . . . , (WF ′
n, in) retele workflow extinse si T ◦
multimea tuturor tranzitiilor (T ◦ = ∪k∈{1,...,n}Tk).
Fie SC si AC multimi de comunicare sincrona respectivasincrona:
SC ⊆ P(T ◦)
AC ⊆ T ◦ × T ◦ este o relatie de ordine partiala astfel încâtdaca (t, t′) ∈ AC, t ∈ Ti, t
′ ∈ Tj , atunci i 6= j
– p. 40/52
![Page 72: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/72.jpg)
Retele workflow interorganizationaleO retea workflow interorganizationala este o retea Petri peniveluri:IWFN =(A,L, SN, (WF ′
1, i1), (WF ′2, i2), . . . , (WF ′
n, in), (AC, 0)Λ)astfel încât
1. A = V ar ∪ Con, Con = {1}, V ar = {x1, . . . , xn, xn+1}
2. Lv = {e, e}
3. (WF ′1, i1), (WF ′
2, i2), . . . , (WF ′n, in) sunt retele workflow
extinse
4. AC = (PAC , TAC , FAC) este o retea astfel încât :PAC = {pac|ac ∈ AC}.TAC = {tc|∃(t′, t) ∈ AC ∨ (t, t′) ∈ AC}.
FAC = {(pac, tc) ∈ PAC × T ◦|ac = (t′, t) ∈AC} ∪ {(tc, pac) ∈ T ◦ × PAC |ac = (t, t′) ∈ AC}
– p. 41/52
![Page 73: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/73.jpg)
Retele workflow interorganizationale
5. SN = (N,W,M0) este reteaua sistem a IWFN, astfel încât :N = (PN , TN , FN ):
PN = {I, p,O}, unde O este locatie astfel încâtO• = ∅ si I este locatie astfel încât •I = ∅.TN = {end}.FN = {(I, end), (p, end), (end,O)}.
W (I, end) = 1, W (p, end) = x1 + x2 + . . .+ xn+1,W (end,O) = 1.M0(I) = 1, M0(p) = ((WF ′
1, i1), . . . , (WF ′n, in), (AC, 0))
si M0(O) = 0.
– p. 42/52
![Page 74: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/74.jpg)
Retele workflow interorganizationale
6. Λ:∀x ∈ SC,∀t, t′ ∈ x,Λ(t) = Λ(t′) = l, l ∈ Lh.
daca t ∈ T ◦ astfel încât (t, t′) ∈ AC sau (t′, t) ∈ AC,atunci exista tc ∈ TAC : Λ(tc) = Λ(t) = l, l ∈ Lh.
Λ(t′i) = e,∀i ∈ {1, . . . n} si Λ(end) = e.
∀t, t′ ∈ Ti(i ∈ {1, . . . , n}) : Λ(t) 6= Λ(t′).
– p. 43/52
![Page 75: Structura cursului - profs.info.uaic.rootto/Referate/intro_NPN.pdf · – p. 1/52. Re¸tele Petri pe niveluri punctele în loca¸tii: puncte "atomice" sau puncte - re¸tea o re¸tea](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043012/5fab6a03a7b83068256cdf2d/html5/thumbnails/75.jpg)
Corectitudine
Marcare finala a unei retele IWFN : Mf = (0, 0, 1)
Definitie 8 O retea workflow interorganizationalaIWFN = (A,L, (WF ′
1, i1), . . . , (WF ′n, in), (AC, 0), SN,Λ) este
sound ddaca:
1. (WF ′j , ij) este retea workflow extinsa sound,
∀j ∈ {1, . . . , n}.
2. (∀M)((M0[∗〉M) =⇒ (M [∗〉Mf )).
– p. 44/52