SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS

Sucessões

Chama-se sucessão de números reais ou sucessão em IR a toda a aplicação f doconjunto IN dos números naturais em IR , IRIN:f →

( ) IRxnf n ∈=

Chamamos termos da sucessão aos elementos do contradomínio de f e chamamostermo geral da sucessão a ( )nfxn = .

Designamos a sucessão f por ( ) INnnx ∈ , mais simplesmente por ( )nx ou nx .

Para conhecer a sucessão basta encontrar um processo de exprimir o seu termogeral nx que gera a sucessão.

Exemplos:

• A função IRIN:f → definida por ( ) 21 =f , ( )2

32 =f , ( )

3

43 =f , ( )

4

54 =f ,... é

a sucessão de termo geral n

nxn

1+= .

• Existem casos em que para conhecer a sucessão é útil optar por um processo derecorrência, isto é, dar o primeiro termo da sucessão e uma regra que permitadeterminar um termo da sucessão a partir do termo anterior, por exemplo,

nxnx,x 21 11 == + . Neste caso os termos da sucessão são

222 25

24

23

121 22221 ===== x,x,x,x,x ,...

• Não se fique no entanto com a ideia que só se pode considerar definida umasucessão quando se conhece o termo geral ou quando ela se pode definir porrecorrência. Por exemplo a sucessão

K,x,x,x,x,x,x,x 1713117532 7654321 =======

não é susceptível de ser definida pornenhum dos processos anteriores . Para adefinir bastará dizer "a sucessão dos números primos" .

Subsucessões

Chama-se subsucessão de ( )nx a uma sucessão ( )ny constituída por uma infinidade

de termos de ( )nx , todos distintos e escolhidos de forma a respeitar a sua ordenação

inicial.

Por exemplo, a sucessão dos números pares 2, 4, 6, 8, 10,… e a sucessão dos

números impares, 1, 3, 5, 7, 9,… constituem subsucessões da sucessão dos números

naturais 1, 2, 3, 4, 5, …

Mas, de acordo com a definição adoptada, a sucessão constante 3, 3, 3, 3, … e a

sucessão 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, 9,… não são subsucessões da sucessão dos números

naturais, porque a ordenação inicial não é respeitada.

Sucessões limitadas

Seja ( )nx uma sucessão real e X o conjunto dos seus termos, { }INnxX n ∈= : .

A sucessão ( )nx é limitada se o conjunto X, é um conjunto limitado.

Assim, a sucessão ( )nx é limitada se e só se existem números reais ba e tais

que [ ]baX ,⊆ .

Se ( )nx é limitada, tomando { }baM ,max= tem-se que

[ ] [ ]MMXbaX ,, −⊆⇒⊆

sendo então INnMxn ∈∀≤ , .

Reciprocamente, se INnMxn ∈∀≤ , , tem-se que [ ]MMX ,−⊆ e a sucessão ( )nxé limitada.

Tem-se pois:

Uma sucessão real ( )nx é limitada se e só se existe um número real positivo M tal que

INnMxn ∈∀≤ , .

Exemplos:

• A sucessão de termo geral ( )nn

xn sin1

= é limitada porque o conjunto dos seus

termos está contido no intervalo ] [1,1− , sendo portanto limitado.

• A sucessão de termo geral n

yn1

= é limitada porque o conjunto dos seus termos

está contido no intervalo ] ]1,0 , sendo portanto limitado.

• A sucessão de termo geral ( )nnu 1−= é limitada porque o conjunto dos seus

termos se reduz a { }1,1− que é limitado.

• A sucessão de termo geral 12 += nvn não é limitada porque o conjunto dos seus

termos (conjunto dos números impares) não é majorado.

Sucessões convergentes

A sucessão real ( )nx converge para IRa∈ ou a é limite de ( )nx , e escreve-se

axax nn =→ limou , quando

δ<−⇒≥∈∃>δ∀ axpnINp n:,0 ou )(:,0 aVxpnINp n δ∈⇒≥∈∃>δ∀

Uma sucessão ( )nx diz-se convergente se existe IRa∈ tal que axn =lim .

Uma sucessão que converge para zero diz-se um infinitésimo.

Observações :

1) A ordem p depende óbviamente do número real δ tomado e é tanto maior quanto

menor éδ .

2) No complementar do intervalo ] [δ+δ− aa , existe apenas um número finito de

termos da sucessão.

3) Dizer que uma sucessão ( )nx converge para a é equivalente a dizer que a sucessão

de termo geral axn − é um infinitésimo.

Exemplos:

• A sucessão de termo geral n

xn1

= converge para zero. Com efeito, dado 0>δ ,

tomando INp∈ tal que δ

>1

p , tem-se que ] [δδ−∈ ,nx sempre que pn ≥ .

• A sucessão de termo geral 1

3

+=n

nyn converge para 3 porque

1

33

1

3

+=−

+ nn

n e,

sendo nn

3

1

3≤

+, tomando INp∈ tal que

δ>3

p , tem-se que ] [δδ−∈ ,nx sempre

que pn ≥ .

Propriedades das sucessões convergentes

1) O limite duma sucessão convergente não se altera se modificarmos um número

finito dos seus termos.

2) O limite duma sucessão constante é a própria constante.

3) O limite duma sucessão, quando existe, é único.

4) Toda a subsucessão duma sucessão convergente para a , converge também para a .

5) Sejam ( )nx e ( )ny duas sucessões tais que axn =lim e byn =lim , com a e b

números reais :

(i) Se ba < existe INp∈ tal que nn yxpn <⇒≥ .

A recíproca é falsa: Se n

nxn

1−= ,

n

nyn

1+= tem-se nn yx < e 1limlim == nn yx .

(ii) Se existe INp∈ tal que nn yx < a partir da ordem p, então ba < .

(iii) A sucessão de termo geral nn yx + converge para ba + .

Esta propriedade generaliza-se, por indução, a um número finito qualquer de

sucessões convergentes.

(iv) A sucessão de termo geral nn yx converge para ab . Esta propriedade

generaliza-se, por indução, a um número finito qualquer de sucessões convergentes.

(v) Se ( )ny tiver todos os termos diferentes de zero e se o seu limite b também fôr

diferente de zero, a sucessão de termo geral n

n

y

x é convergente para

b

a.

(vi) A sucessão de termo geral nx converge a .

6) Toda a sucessão convergente é limitada

7) Se nnn yxu = em que ( )nx é um infinitésimo e ( )ny é uma sucessão limitada,

então ( )nu é um infinitésimo.