cálculo ii sucessões de números reais –...

Cálculo IISucessões de números reais – revisões

Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica

António [email protected]

Departamento de Matemática

Universidade da Beira Interior

2012/2013

António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 1 / 74

Índice

1 Definição e exemplos

2 Sucessões limitadas

3 Sucessões monótonas

4 Sucessões convergentes

5 Operações com limites

6 Subsucessões

7 Infinitamente grandes

8 A sucessão de termo geral an

9 Exercícios


Índice






6 Subsucessões



9 Exercícios


1 – Definição e exemplos

Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural nfaz corresponder um e um só número real.

Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja,uma sucessão é uma função

u : N → R.

Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação

un em vez de u(n).



Aos valoresu1, u2, . . . , un, . . .

chamamos termos da sucessão e

ao valor u1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo

da sucessão;

ao valor u2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termo

da sucessão;

ao valor u3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo dasucessão;

etc

À expressão un chamamos termo geral da sucessão.



Escreveremos(u1, u2, . . . , un, . . .),

ou(un)n∈N,

ou simplesmente(un)

para indicar a sucessão u.

O conjuntou(N) = {un : n ∈ N}

designa-se por conjunto dos termos da sucessão (un)n∈N.



Exemplos de sucessões

a) Façamosun = 1 para todo o n ∈ N,

isto é,(1, 1, . . . , 1, . . .)

é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c ∈ R efazendo

vn = c para qualquer n ∈ N,

temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso

v(N) = {c} .



Exemplos de sucessões (continuação)

b) Consideremos a sucessão de termo geral un = (−1)n.

O primeiro termo desta sucessão é u1 = (−1)1 = −1.

O segundo termo desta sucessão é u2 = (−1)2 = 1.

O terceiro termo desta sucessão é u3 = (−1)3 = −1.

O quarto termo desta sucessão é u4 = (−1)4 = 1.

E assim sucessivamente.

Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 eque os termos de ordem ímpar são todos iguais a −1. Assim, a listaque se segue dá-nos todos os termos da sucessão

−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .

e o conjunto dos termos desta sucessão é

u(N) = {−1, 1} .




c) Seja u a sucessão definida por

un = n.

Entãou(N) = N.




d) Seja

un =1n

para todo o n ∈ N.

Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas:(

1,12

,13

,14

, . . . ,1n

, . . .

)

,

ou(

1n

)

n∈N

,

ou(

1n

)

.

Neste exemplo temos u(N) ={

1n

: n ∈ N

}

.



Observação

O exemplo a) mostra que(un)n∈N

eu(N)

são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem serconfundidas. Neste exemplo tem-se

(un) = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .),

enquanto queu(N) = {1} .

Algo de semelhante acontece no exemplo b).


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2 – Sucessões limitadas

Uma sucessão (un)n∈N diz-se limitada se existirem números reais a e btais que

a 6 un 6 b para todo o n ∈ N;

ou ainda, se existirem números reais a e b tais que

un ∈ [a, b] para todo o n ∈ N.

Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma[−c, c], para algum c ∈ R, uma sucessão (un) é limitada se existir umnúmero real c > 0 tal que

un ∈ [−c, c] para todo o n ∈ N,

o que é equivalente a existe c > 0 tal que

|un| 6 c para todo o n ∈ N.

As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas.António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 13 / 74


Exemplos

a) A sucessão de termo geral

un = 4 + (−1)n =

{

3 se n é ímpar;

5 se n é par;

é limitada pois

3 6 un 6 5 para qualquer número natural n.



Exemplos (continuação)

b) Consideremos a sucessão de termo geral

un =n + 2

n.

Comon + 2

n=

n

n+

2n

= 1 +2n

podemos concluir que

1 6 un 6 3 para cada número natural n.

Assim, esta sucessão é limitada.




c) A sucessão un = n2 não é limitada. De facto,

u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16; . . .

pelo que a sucessão não é limitada superiormente.

d) A sucessão de termo geral vn = −n também não é limitada pois

v1 = −1; v2 = −2; v3 = −3; . . .

ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente.


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3 – Sucessões monótonas

Uma sucessão (un)n∈N diz-se crescente se

un+1 > un para todo o n ∈ N

e diz-se decrescente se

un+1 6 un para todo o n ∈ N.

Equivalentemente, (un)n∈N é crescente se

un+1 − un > 0 para todo o n ∈ N

e é decrescente se

un+1 − un 6 0 para todo o n ∈ N.

Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente.



Exemplos de sucessões monótonas

a) Consideremos a sucessão de termo geral un =2n − 1

n + 1. Como

un+1 − un =2(n + 1) − 1

(n + 1) + 1−

2n − 1

n + 1

=2n + 1

n + 2−

2n − 1

n + 1

=(2n + 1)(n + 1) − (2n − 1)(n + 2)

(n + 1)(n + 2)

=2n

2 + 2n + n + 1 − (2n2 + 4n − n − 2)

(n + 1)(n + 2)

=2n

2 + 3n + 1 − 2n2

− 3n + 2

(n + 1)(n + 2)

=3

(n + 1)(n + 2)> 0

para qualquer número natural n, a sucessão é crescente.



Exemplos de sucessões monótonas (continuação)

b) Para a sucessão de termo geral un =2n + 1

n, temos

un+1 − un =2(n + 1) + 1

n + 1−

2n + 1

n

=2n + 3

n + 1−

2n + 1

n

=(2n + 3)n − (2n + 1)(n + 1)

n(n + 1)

=2n

2 + 3n − (2n2 + 2n + n + 1)

n(n + 1)

=2n

2 + 3n − 2n2

− 3n − 1

n(n + 1)

=−1

n(n + 1)6 0

para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente.


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4 – Sucessões convergentes

Dados uma sucessão (un)n∈N e um número real a, dizemos que (un)converge ou tende para a se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N talque

|un − a| < ε para todo o número natural n > N .

A condição|un − a| < ε

é equivalente às condições

−ε < un − a < ε, a − ε < un < a + ε e un ∈ ]a − ε, a + ε[.

Assim, uma sucessão (un) converge ou tende para um número real ase para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que

a − ε < un < a + ε para cada número natural n > N ;

ou se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que

un ∈ ]a − ε, a + ε[ para cada número natural n > N .



Geometricamente, uma sucessão un tende para a se dado ε > 0 todosos termos da sucessão estão na “faixa” limitada pela rectas y = a − ε ey = a + ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra essefacto.

1 2 3 4 N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4

a

a − ε

a + ε

b

b

b

b

b

b

b

bb

Interpretação geométrica do limite de uma sucessão



Qualquer uma das notações

limn→∞

un = a,

limn→∞un = a,

limn

un = a,

lim un = a,

un → a

é usada para exprimir o facto de que a sucessão (un) converge para a.

Uma sucessão (un)n∈N diz-se convergente se existe um número real atal que un → a.

As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes.



As sucessões constantes são convergentes. Se un = c para qualquernúmero natural n, temos |un − c|=0 para cada n ∈ N, pelo que, dadoε > 0, tomando N = 1 vem

|un − c| < ε para qualquer n > N .

Logo (un) converge para c.

A sucessão de termo geral un =1n

converge para zero. De facto, dado

ε > 0, basta escolher um número natural N tal que Nε > 1 e, porconseguinte, 1/N < ε. Assim, para n > N , temos

|un − 0| = 1/n < 1/N < ε,

o que prova que un → 0.



Unicidade do limite

Sejam (un) uma sucessão e a e b dois números reais. Se

un → a e un → b,

entãoa = b.


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5 – Operações com limites

Dadas duas sucessões u = (un)n∈Ne v = (vn)n∈N

de números reais,define-se a soma de u e v, e designa-se por u + v, a sucessão cujotermo de ordem n é un + vn, isto é,

(u + v)n = un + vn.

De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente deu e v (este último apenas na hipótese de se ter vn 6= 0 para todo on ∈ N):

(u − v)n = un − vn, (uv)n = unvn

e, na hipótese de vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(

u

v

)

n=

un

vn.



Assim, se u e v são as sucessões dadas por

(

1, 4, 9, . . . , n2, . . .)

e(

1,12

,13

, . . . ,1n

, . . .

)

,

respectivamente, então u + v é a sucessão dada por

(

1 + 1, 4 +12

, 9 +13

, . . . , n2 +1n

, . . .

)

=

(

2,92

,283

, . . . ,n3 + 1

n, . . .

)

e a diferença de u e v, u − v, é a sucessão

(

1 − 1, 4 − 12

, 9 − 13

, . . . , n2 − 1n

, . . .

)

=

(

0,72

,263

, . . . ,n3 − 1

n, . . .

)

.



Continuando a usar as sucessões u e v dadas por

(

1, 4, 9, . . . , n2, . . .)

e(

1,12

,13

, . . . ,1n

, . . .

)

,

o produto uv é a sucessão(

1.1, 4.12

, 9.13

, . . . , n2.1n

, . . .

)

= (1, 2, 3, . . . , n, . . .)

e o quocienteu

vé a sucessão

(

11

,4

1/2,

91/3

, . . . ,n2

1/n, . . .

)

=(

1, 8, 27, . . . , n3, . . .)

.



As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos.

O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é uminfinitésimo.

Exemplo

Para todo o x ∈ R, temos limn→∞

sen(nx)n

= 0. De facto,

sen(nx)n

=1n

sen(nx)

é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto,converge para zero.



Álgebra dos limites

Sejam (un) e (vn) sucessões tais que lim un = a e lim vn = b. Então

a) (un + vn)n∈N é convergente e

lim(un + vn) = lim un + lim vn = a + b;

b) (un − vn)n∈N é convergente e

lim(un − vn) = lim un − lim vn = a − b;

c) (un . vn)n∈N é convergente e

lim(un . vn) = lim un . lim vn = a . b;

d) se b 6= 0 e vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(

un

vn

)

n∈N

é convergente e

lim(

un

vn

)

=lim un

lim vn

=a

b.



Suponhamos queun → a

e que todos os termos un pertencem ao domínio de uma função f . Se fé contínua em a, então

f(un) → f(a).

Como consequência imediata temos a seguinte propriedade.

Seja (un) uma sucessão convergente para a ∈ R e p > 0. Então

a) se un → a, então (un)p → ap;

b) se un > 0 para todo o n ∈ N e un → a, então p√

un → p√

a.



Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos númerosnaturais. Se

limx→+∞

f(x) = a,

entãolim

n→+∞

f(n) = a.

Exemplo

Como

limx→+∞

(

1 +1x

)x

= e,

temos

limn→+∞

(

1 +1n

)n

= e .



Teorema da sucessão enquadrada

Sejam (un), (vn) e (wn) sucessões e suponha-se que existe uma ordemp ∈ N tal que

un 6 vn 6 wn para todo o número natural n > p.

Se un → a e wn → a, entãovn → a.



Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada

Vejamos que√

4 +1n2

→ 2.

Como

2 6

√

4 +1n2

6

√

4 + 41n

+(

1n

)2

=

√

(

2 +1n

)2

= 2 +1n

e2 +

1n

→ 2,

pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter√

4 +1n2

→ 2.



Toda a sucessão convergente é limitada.

Observação

O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral un = (−1)n élimitada, mas não é convergente.

Todas as sucessões ilimitadas são divergentes.

Exemplo

Já vimos que a sucessão de termo geral un = n2 não é limitada. Logonão é convergente.



As sucessões monótonas e limitadas são convergentes.


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6 Subsucessões



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6 – Subsucessões

Se (un) é uma sucessão e (nk) é uma sucessão de números naturaisestritamente crescente, isto é,

n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,

a sucessão(unk

) = (un1, un2

, . . . , unk, . . .)

diz-se uma subsucessão de (un).


6 – Subsucessões

As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para omesmo limite da sucessão.

Exemplo

A sucessão de termo geral

un = (−1)n

é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valoresdiferentes.


6 – Subsucessões

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes.


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7 – Infinitamente grandes

Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam,merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamentegrandes.

Diz-se que uma sucessão (un) tende para mais infinito ou que é uminfinitamente grande positivo, e escreve-se

un → +∞, ou lim un = +∞,

se para cada L > 0, existe N ∈ N tal que

un > L para qualquer natural n > N .



Se −un → +∞ diz-se que (un) tende para menos infinito ou que asucessão (un) é um infinitamente grande negativo e escreve-se

un → −∞, ou lim un = −∞.

Diz-se ainda que (un) tende para infinito ou que (un) é uminfinitamente grande se |un| → +∞ e escreve-se

un → ∞ ou lim un = ∞.



Exemplos

A sucessão de termo geralun = n

tende para mais infinito, a sucessão de termo geral

vn = −n

tende para menos infinito e a sucessão de termo geral

wn = (−1)nn

tende para infinito. A sucessão (wn) é um exemplo de um infinitamentegrande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem uminfinitamente grande negativo.



Observações

a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandesnegativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral

wn = (−1)nn

mostra que o contrário nem sempre se verifica.

b) Resulta imediatamente da definição que se un → +∞, então (un) élimitada inferiormente.

c) Da definição resulta imediatamente que se (un) e (vn) são duassucessões tais que

un 6 vn a partir de certa ordem e un → +∞,

entãovn → +∞.



Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.

a) Se un → +∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para +∞, então

(un + vn) → +∞.

b) Se un → −∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para −∞, então

(un + vn) → −∞.

c) Se un → ∞ e (vn) tende para a ∈ R, então

(un + vn) → ∞.



Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que seadoptem as convenções

(+∞) + a = +∞ = a + (+∞)

(−∞) + a = −∞ = a + (−∞)

∞ + a = ∞ = a + ∞(+∞) + (+∞) = +∞(−∞) + (−∞) = −∞

onde a é um número real qualquer.



Observação

Seun → +∞ e vn → −∞,

então nada se pode dizer sobre (un + vn) pois em alguns casos(un + vn) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemosnenhuma convenção para o símbolo

(+∞) + (−∞);

este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo desemelhante acontece com

∞ − ∞.



Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.

a) Se un → +∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então

un.vn → +∞.

b) Se un → +∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então

un.vn → −∞.

c) Se un → −∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então

un.vn → −∞.

d) Se un → −∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então

un.vn → +∞.

e) Se un → ∞ e (vn) tende para a ∈ R \ {0} ou tende para ∞, então

un.vn → ∞.



Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar aregra do limite do produto:

(+∞) × a = +∞ = a × (+∞) onde a ∈ R+

(−∞) × a = −∞ = a × (−∞) onde a ∈ R+

(+∞) × a = −∞ = a × (+∞) onde a ∈ R−

(−∞) × a = +∞ = a × (−∞) onde a ∈ R−

∞ × a = ∞ = a × ∞ onde a ∈ R \ {0}(+∞) × (+∞) = +∞ = (−∞) × (−∞)

(+∞) × (−∞) = −∞ = (−∞) × (+∞)

∞ × ∞ = ∞



Observação

Não se faz nenhuma convenção para os símbolos

0 × (+∞),

0 × (−∞)

e0 × ∞,

pois são símbolos de indeterminação.



Seja (un) uma sucessão de termos não nulos.

a) Se un → ∞, então1

un→ 0.

b) Se un → 0, então1

un→ ∞.

c) Se un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem, então

1un

→ +∞.

d) Se un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem, então

1un

→ −∞.



A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem asseguintes convenções

1∞ = 0

10

= ∞ 10+

= +∞ 10−

= −∞

onde 0+ significa que

un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem

e 0− significa que

un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem.



Observação

Os símbolos ∞∞

e00

são símbolos de indeterminação.


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8 – A sucessão de termo geral an

Dado a ∈ R, consideremos a sucessão de termo geral un = an.

Se a > 1, então temos an → +∞.

Quando a = 1, então un = 1n = 1 pelo que a sucessão tende para 1.

Se a < −1, então an → ∞.

Para a = −1 obtemos a sucessão (−1)n que já vimos anteriormente.Esta sucessão é divergente.

Se −1 < a < 1, então an → 0.



Assim,

lim an =

+∞ se a > 1

1 se a = 1

0 se −1 < a < 1

não existe se a = −1

∞ se a < −1



Exemplos

a) Calculemos lim (3n − 2n). Como lim 3n = +∞ e lim 2n = +∞,temos uma indeterminação do tipo

∞ − ∞.

No entanto, pondo em evidência 3n temos

lim (3n − 2n) = lim[

3n(

1 − 2n

3n

)]

= lim[

3n(

1 −(

23

)n)]

= +∞ × (1 − 0)

= +∞ × 1

= +∞




b) Calculemos lim2n + 5n+1

2n+1 + 5n. Temos uma indeterminação pois

lim2n + 5n+1

2n+1 + 5n=

+∞ + (+∞)+∞ + (+∞)

=+∞+∞ .

Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma

lim2n + 5n+1

2n+1 + 5n= lim

2n + 5n × 52n × 2 + 5n

= lim

2n

5n+

5n × 55n

2n × 25n

+5n

5n

= lim

(

25

)n

+ 5(

25

)n

× 2 + 1=

0 + 50 × 2 + 1

= 5


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9 Exercícios


9 – Exercícios

1) Calcule os dez primeiros termos das sucessões de termo geral

a) un =2 − 3n

2

b) un = (−1)n n

n + 1

c) un =2 + (−1)n n

n

d) un = (−2)n

e)

u1 = 1

un+1 = 1 +un

10

f) un =1

1.2+

12.22

+1

3.23+ ... +

1n.2n


9 – Exercícios

2) Determine o termo geral das sucessões sugeridas pelos primeirostermos a seguir listados

a) 8, 16, 24, 32, . . .

b) 2, −2, 2, −2, 2, −2, . . .

c) −2, 2, −2, 2, −2, 2, . . .

d) 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .

e) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .

f) 2, 5, 8, 11, 14, . . .

g) 4, 16, 64, 256, 1024, . . .


9 – Exercícios

3) Escreva os dez primeiros termos das sucessões definidas porrecorrência:

a)

{

u1 = 4

un+1 = 2un

b)

u1 = 1

un+1 = un +(

12

)n

c)

u1 = 1

u2 = 1

un+2 = un + un+1


9 – Exercícios

4) Defina, por recorrência, as sucessões sugeridas pelos primeirostermos listados a seguir

a) 1,12

,14

,18

,116

, . . .

b) −12

,14

, −18

,116

, . . .


9 – Exercícios

5) Mostre que são limitadas as sucessões:

a) an = 1 +1n

b) bn = 5

c) cn = (−1)n 1n

d) en =3n + 10

n

e) fn = 2 − 5n2

f) gn =1√

n2 + 3

g) hn = − 4n

n + 3h) dn =

1n

se n é par

−1 se n é ímpar


9 – Exercícios

6) Estude, quanto à monotonia, as sucessões cujos termos gerais são:

a) un = n2 − n b) un = 2n + (−1)n

c) un = (−1)nn d) un = (−1)n + (−1)n−1

e) un =1

2n − (−1)n f) un = 1 − n + 12n

g) un =n + 1n2 + 3

h) un =n2 + 33n + 2

i) un =

(

32

)n

n!j)

{

u1 = 1

un+1 = n(1 + un)

k)

{

u1 = 1

un+1 =√

25 + 3un

l) un =

2n − 15

se n 6 15

5 − 12n

se n > 15


9 – Exercícios

7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucessões de termo geral

a) an = 1 − n b) bn = n − 3 c) cn = −n + 1

d) dn =−3n + 2

2e) en =

1 − n

nf) an =

(

1 − n

n

)2

g) dn =(

n − 1−2n

)3

h) an =6 + (−1)n

7ni) an =

2n + 1

j) an =2n + 3

4nk) un =

2n2 + 1n2

l) vn =(

−12

− 1n + 1

)2

m) an =7n2

n3− 1

nn) an = (n + 1)2 + n3 o) an = −n2 − n3;

p) cn = n3 − n2 q) dn = n2 − n3 r) en = n3 + n2

s) an =

2 +3n

se n é par

2n2 + n

n2se n é ímpar

t) bn =

3√n

+ 1 se n é par

2 − 1√n

se n é ímpar


9 – Exercícios

8) Calcule

a) limn→+∞

2n

4n+1b) lim

n→+∞

6n

4n+1

c) limn→+∞

2n

1 + 5n+1 d) limn→+∞

3n+1 + 73n − 1

e) limn→+∞

2n + 34n + 8

f) limn→+∞

2n − 3n

6n

g) limn→+∞

(

2n+1 − 2n)

h) limn→+∞

[

1 −(

23

)n]

i) limn→+∞

[

1 −(

32

)n]


9 – Exercícios

9) Calcule

a) limn→+∞

(

1 +1n

)n−1

b) limn→+∞

(

1 +1

n + 3

)n

c) limn→+∞

(

1 +1n

)8n

d) limn→+∞

(

1 +1n

)n/2

e) limn→+∞

(

1 +1n

)

−3n

f) limn→+∞

(

1 +1

3n

)n

g) limn→+∞

(

1 − 12n

)n

h) limn→+∞

(

1 +4

3n

)n

i) limn→+∞

(

n − 1n + 2

)n

j) limn→+∞

(

n2 + 1n2 + 5

)n2

k) limn→+∞

(

5n − 25n + 3

)3n

l) limn→+∞

(

1 +12n

)2n+1


9 – Exercícios

10) Dê exemplos de sucessões (an) e (bn) tais que an → +∞, bn → +∞ e

a) (an − bn) → −∞ b) (an − bn) → +∞

c) (an − bn) → 0 d) (an − bn) → 3

e) (an − bn) não tem limite f)an

bn→ 0

g)an

bn→ +∞ h)

an

bn→ 5


9 – Exercícios

11) Das seguintes sucessões, indique as que são convergentes.

a)800n

+ (−1)n b) 800 +(−1)n

n

c) 800 + (−1)n × n d) n2[(−1)n + 1]

e) 3n + (−1)n f)3 + (−1)n

n2


9 – Exercícios

12) Calcule cada um dos seguintes limites:

a) limn→+∞

(−1)n

n2 + 1b) lim

n→+∞

√

n

n2 + 1

c) limn→+∞

(

1 +2n

)

−n−2

d) limn→+∞

3n + 2n

5n

e) limn→+∞

3 − n5

2 + n4f) lim

n→+∞

(

n + 33n + 1

)3

g) limn→+∞

√n2 + n + 3

n + 1h) lim

n→+∞

7−n

2−n

i) limn→+∞

3 + (−1)nn

n2j) lim

n→+∞

(

2n

8n + 1

)2n

k) limn→+∞

√

n3 + 1 −√

n2 + 2


cálculo ii sucessões de números reais –...

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