suma,resta,multiplicacion y division matematicas
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NORMALISTA:
FERNANDO EMMANUEL MARTÍNEZ MARTINEZ.
CATEDRÁTICO(A):
PROFA. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA.
MATERIA:
LOS NUMEROS Y SUS RELACIONES.
C l a s i f i c a c i ó n
Operaciones de composición o directas:
Suma
Multiplicación
Potenciación
Operaciones de descomposición o inversas:
Resta
División
Radicación
Logaritmación
Suma de conjuntos: “ sumar dos o mas conjuntos, que no tienen elementos
comunes, es reunir En un solo conjunto todos loselementos que integran los conjuntos dados y soloellos”.
Ejemplo: AB, CDE, EF = ABCDEF Suma de números naturales: “suma de varios números naturales es el numero
cardinal del conjunto suma de los conjuntos cuyosnúmeros cardinales son los números dados”.
Ejemplos: 2+4+3=9
Sumando unidad veamos el siguiente ejemplo: 1 silla + 1 silla + 1 silla = 3 sillas 1 pera + 1 pera + 1 pera = 3
peras
Sumando nulo. Modulo de adición. un ejemplo de ello es: n + 0= n
Ley de la uniformidad
Ley conmutativa
Ley asociativa
Ley disocositiva
Ley de uniformidad Esta puede enunciarse de tres modos que son equivalentes: 1)La suma de varios números dados tiene un valor único siempre es
igual. ejemplo: 3 monedas + 2 monedas = 5 monedas 3mangos + 2 mangos =5 mangos
2)Las sumas de los números respectivamente iguales son iguales.
Ejemplo: si en cada ala de un colegio cada asiento seta ocupado por un alumno de tal modo que ningún alumno queda sin asiento, tenemos que el numero de asientos es igual a la cantidad de alumnos.
3)Suma de iguales. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta una igualdad.
Ejemplo: a=b
c=d m=n
Resulta a + c + m = b + d + n
Si en la suma 2 libros+ libros+ 4 libros = 9 libros
Cambiando el orden de los conjuntos sumandos, el conjunto suma no varia, por que contiene el mismo número de elementos y así tenemos:
3 libros + 2 libros + 4 libros = 9 libros 4libros + 3libros + 2 libros = 9 libros
Por lo tanto podemos decir que: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 , etc.
La suma de varias números no se alterna
descomponiendo uno o varios en dos o
mas sumandos.
Esta ley es reciproca a la ley asociativa.
Ejemplo:
En la suma 10 3, puesto que 10 = 8 +
2, tendremos que:
10 + 3 = 8 + 2 + 3
Su uso como signos de agrupación:
Los paréntesis son signos de asociación oagrupación, pues se usan para asociar o agrupar losnúmeros indicados una operación. Cuando una operaciónse encierra en un paréntesis, ello indica que dichaoperación debe efectuarse primero, y en el resultado deella se verifica la otra operación indicada.
( ) llamados paréntesis ordinarios
{ } ¨ ¨ llaves
__ vinculo o barra.
[ ] ¨ ¨ corchetes
La suma de varios miembros no baria sustituyendo varios súmanos por su suma.
Si A tiene 5 años, B 6 años y C 8 años, sumando edades tenemos:
5 años+6años+8años=19años
Sera el mismo resultado si primeros sumamos las dos primeras edades y después la tercera lo cual seria de la siguiente manera:
(5 años + 6 año) + 8 años=19 años
11 años
Ley de monotonía: Sumando miembro a miembro desiguales del
mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido.
Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido.
Nota: si se suman desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.
*por la ley conmutativa
*por la ley asociativa
*por la prueba del 9
Alteraciones de los sumandos• Si un numero aumenta o disminuye un numero
cualquiera, la suma aumenta o disminuye el mismo
numero.
• Si un sumando aumenta un numero cualquiera y el otro
sumando disminuye el mismo numero, la suma no varia.
Objetivo:
Dada la suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos
(sustraendo), hallar el otro sumando
(resta, exceso o diferencia).
1)Sumando el sustraendo con la
diferencia, debiendo dar el minuendo.
2) Restando la diferencia del
minuendo, debiendo ser el sustraendo.
93,254
58,076
35, 178
58,076
35,178
93,254
15,200
13,896
1,304
15,200
1,304
13,896
Representar gráficamente la diferencia de
7 – 4.
Representación grafica.
Ley de uniformidad: La diferencia de dos
números tiene un valor único o siempre es igual.
11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número
que sumado con 3 da 11.
Restando miembro a miembro dos igualdades
resulta otra igualdad.
a=3
___5=b__
a-5=3-b
Ley de monotonía: consta de trespartes.
1) Si una desigualdad (minuendo) se restauna igualdad (sustraendo), siempre que laresta se pueda efectuar resulta unadesigualdad del mismo sentido que ladesigualdad minuendo.
8>5
____2=2____
8-2>5-2
6>3
2) Si una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo.
9=9
____5>3___
_
9-5<9-3
4<6
3) Si una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario, siempre que la resta sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo.
7>4
___2<3___
7-2>4-3
5>1
1) Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en el mismo número.
9-7=2
(9+3)-7=2 + 3
12-7= 5
2) Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número.
10-3=7
10-(3+5)= 7 – 5
10-8= 2
3) Si el minuendo y el sustraendo
aumenta o disminuyen a la vez un
mismo número, la diferencia no varía.
15-6=9
(15+2)-(6+2)=9
17-8=9
Se verán las operaciones indicadas de suma y resta primero desde un punto de vista practico y luego bajo un aspecto teórico.
operaciones indicadas de suma y resta en que no hay signo de agrupación
Estas operaciones se efectúan en el orden que se hallan Asi que diremos que :
5+4-3+2 = 5+4= 9; 9-3= 6; 6+2= 8
Operaciones en que hay signos de agrupación..
Las operaciones cerradas dentro de los paréntesis, hasta convertirlas en un solo numero y luego efectuar las operaciones que queden indicadas.
Se efectúan primero las operaciones encerradas entre los paréntesis.
(7-2) + (5+4) –(3-2) = 13
Teoría … Estudiaremos ahora el método de efectuar las
operaciones indicadas de suma y resta, fundado en las propiedades de la suma y la resta. Es necesario conocer este método porque si las cantidades están representadas por letras no podemos efectuar las operaciones encerradas en los paréntesis y por tanto no se puede aplicar el método explicado anteriormente.
Para sumar un numero con una suma indicada el numero con uno cualquiera de los sumandos de la suma.
Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que :
(2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14 En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la
suma (2+3+4) queda aumentada en unidades porque si un
sumando se aumenta en un numero cualquiera la suma queda aumentada en dicho numero.
Para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos que la forman .
Sea la operación (5+6) +(7+8), decimos que:
(5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26En efecto: al añadir la suma 7+8 al sumando
6 de la primera, esta suma queda aumentada en 7 +8 unidades por la misma razón del caso anterior.
Para sumar un numero con una diferencia indicada, se suma el numero con el minuendo y de esta suma se resta el sustraendo.
Sea la operación (7-5)+4, decimos que:
(7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6 En efecto: al sumar el numero 4 al minuendo, la
diferencia 7-5 queda aumentada en 4 porque hemos visto que si el minuendo se aumenta en un numero cualquiera, la diferencia que aumentada en ese numero.
Para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los minuendos y de esta suma se resta la suma de los sustraendos.
Sea la operación (8-5)+(6-4), decimos que:
(8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5
En efecto: al sumar el minuendo 8 el minuendo6, la diferencia (8-5) que da aumentada en 8 unidades, pero al restar el sustraendo
6 queda disminuida en 6 unidades, luego si la suma (4+5) aumenta 8 y disminuye 6 aumenta 2 que es la diferencia
8-6
Para restar de un numero una suma indicada, se restan del numero, uno a uno, todos los sumandos de la suma.
Sea la operación 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16
En efecto: si 25 se disminuye primero en 2, después en 3 y luego en 4, queda disminuido en 9 unidades que es la suma 2+3+4.
Para resta de una suma indicada y un numero, se resta el numero de cualquier sumando de la suma.
Sea la operación (4+5+6)-3, probar que: (4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12
en efecto: al restar el 3 de uno de los sumandos de la suma, esta queda disminuida en 3 unidades.
Para restar de un numero una diferencia indicada, se suma el sustraendo con el numero y de esta suma se resta el minuendo
Sea l a operación 50-(8-5), que decimos que : 50-(8-5)= (50+5)-8=47
En efecto: sabemos que si al minuendo y al sustraendo de una diferencia se sum a un mismo numero, la diferencia no varia. Añadiendo 5 al minuendo y al sustraendo de la diferencia 50-(8-5), tenemos.
50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8 por que si al 8 restamos 5 y le sumamos 5 queda 8
Para restar de una diferencia indicada un numero, se resta del minuendo la suma del sustraendo y el numero.
Sea la operación (15-7) -6, decimos que:
(15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2En efecto: al sumar 6 con el sustraendo 7, la
diferencia 15-7 queda disminuida en 6 unidades porque si al sustraendo se suma un numero cualquiera. La diferencia queda disminuida en este numero.
Para restar dos sumas indicadas se restan de la primera suma, uno a uno, todos los sumandos de la segunda suma.
Sea la operación (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4
En efecto: si de la suma (4+5) restamos primero 2 y después 3, esta suma queda disminuida en 5 unidades que es la suma 2+3.
Para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la primera con el sustraendo de la segunda y de esta suma se resta del sustraendo de la primera con el minuendo de la segunda.
Sea la operación (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5
En efecto: al sumar el sustraendo 3 con el minuendo 8 la diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda disminuida en 5 unidades; luego si (8-1) aumenta 3 disminuye 5, en definitiva disminuye 2, que es la diferencia 5-3
Para restar de una suma una diferencia indica, se suma el sustraendo con la suma indicada u de esta suma se resta el minuendo.
Sea la operación (8+4)-(3-2), probar que:
(8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11 En efecto: al sumar el sustraendo 2 con la suma
(8+4) esta suma queda aumentada en 2 unidades, pero al restar el minuendo 3 disminuye 3 unidades, luego si aumenta 2 disminuye 3 , disminuye 1 unidad que es la diferencia (3-2)
Sean los números 8y 5, decimos que : (8+5 )+(8-5)=2x8= 16 En efecto : sabemos que para sumar una
suma con una diferencia, se suma el
minuendo de la diferencia con uno de los
sumandos de la suma y de esta suma se
resta el sustraendo, luego :
(8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-
5=8+8= 2x8
Sean los números 8 y 5, decimos que: (8+5)+(8-5)= 2x5=10
En efecto: sabemos que para restar de una suma una diferencia se suma el sustraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo, luego :
(8+5)-(8-5)=8+5-5+8= 5+5+8-8= 5+5= 2x5
El complemento aritmético de un número es la
diferencia entre dicho número y una unidad de un
orden superior a su cifra de mayor a menor.
1) El complemento aritmético de 98
es 100-98 = 2
2) El complemento aritmético de 356
es 1000-356 = 644
3) El complemento aritmético de 1,250
es 10,000-1,250 = 8,750
4) El complemento aritmético de 14,200
es 100,000-14,200 = 85,800
REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
COMPLEMENTO DE UN NÚMERO
Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por laizquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10.si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta seescriben estos ceros.
EJEMPLOS:1) Hallar el complemento aritmético de 346.diremos: de 3 a 9 = 6; de 4 a 9 = 5; de 6 a 10 = 4,luego el complemento aritmético de 346 es 654.
2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900.diremos: de 5 a 9 = 4; de 7 a 9 = 2; de 8 a 9 = 1; de9 a 10 = 1,luego el complemento aritmético es 421,100
APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO
PARA EFECTUAR LA RESTA
Para efectuar la resta por medio del
complemento aritmético se suma el minuendo
con el complemento aritmético del
sustraendo, poniéndole a este delante una
unidad son signo menos, que se tendrá al
efectuar la suma.
1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del
complemento aritmético.
Es el complemento aritmético con una unidad
con signo menos adelante, y tendremos:
1, 034
+ 1, 385
0, 419
La diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se
puede comprobar efectuando la resta:
1, 034
- 615
0, 419
APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO
ARITMÉTICO PARA EFECTUAR VARIAS
SUMAS Y RESTAS COMBINADAS
Para efectuar sumas y restas combinadas
por medio del complemento aritmético se
suman todos los sumandos con los
complementos aritméticos de los
sustraendos , poniendo delante de cada
complemento una unidad con signo
menos, que se tomara en cuenta al efectuar
la suma.
1) Efectuar por los componentes 56 – 41 + 83 – 12.
_56Comp.. Aritmético de 41…
159
+ _83
Comp.. Aritmético de 12..
188
86
Es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.
El producto de dos números se indica con el signo
X o con punto colocado entre los factores, que es
el nombre que se le da al multiplicando y
multiplicador.
Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 ·
5
1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero.
2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al
multiplicando.
3) Si el multiplicador es >1, el producto es > el
multiplicando.
4) Si el multiplicador es < 1, el producto es < el
multiplicando.
Cuando el multiplicador es un numero
natural, la multiplicación es una suma
abreviada que consta de tantos
sumandos iguales al multiplicando
como unidades tenga el multiplicador
4x3= 4+4+4+4=12
Para multiplicar un entero por la unidad
seguida de ceros se añaden al entero
tantos ceros como ceros acompañen a la
unidad.
54 x 100 = 5400, por que el valor relativo de
cada cifra se ha hecho 100 veces mayor
Se multiplican los números como si no tuvieran
ceros y a la derecha de este producto se añaden
tantos ceros como haya en el multiplicando y
multiplicador.
4300 x 2500 = 107 500 000
En el producto hay siempre tantas cifras
como haya en el multiplicando y
multiplicador juntos o una menos.
Así, el producto
345 x 23 ha de
tener cuatro
cifras o cinco.
345 x 23 > 345 x 10, y como
este ultimo producto 345 x 10
= 3450 tiene cuatro cifras, el
producto 345 x 23, que es
mayor que el, no puede tener
menos de cuatro cifras.
7935
Representar gráficamente 3x2
2
3
Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento
que representa el 3 y cuya altura sea el segmento que
representa el 2. El rectángulo ABCD que consta de dos
filas horizontales de 3 cuadrados cada una es la
representación grafica del producto 3 x 2 = 6
A
BC
D
2
3
Para hallar el producto de mas de dos números como
2 x 3 x 4 x
5
1. Se halla el producto de dos de ellos.
2. Luego se multiplica este producto por el tercero.
3. Luego este segundo producto por el factor
siguiente y así hasta el ultimo factor.
Así, en este
caso, tendremos:
2 x 3 = 6
6 x 4 = 24
24 x 5 =
120
Pueden realizarse de tres modos:
1. Cambiando el
orden de los
factores, lo cual
debe darnos el
mismo producto.
2. Dividiendo el
producto entre
uno de los
factores, lo cual
debe darnos el
otro factor.
3. Por la
prueba del 9
Son 6:
Ley de uniformidad
Ley conmutativa
Ley asociativa
Ley disociativa
Ley monotonía
Ley distributiva
Enunciarse de tres modos:
1. El producto
de dos números
tiene un valor
único o siempre
igual.
2. Los
productos de
números
respectivament
e iguales son
iguales.
3. Productos de
dos igualdades.
Multiplicando
miembro a
miembro varias
igualdades resulta
otra igualdad.5 sillas x 2 = 10
sillas
5 días x 2 = 10
días
5 x 2 = 10
a = b
c = d
ac = bd
El orden de los factores no altera el
producto
1. Que se trate
de dos
factores
2. Que se trate de
mas de dos
factores
Vamos a demostrar
que 6 x 4 = 4 x 6.
6x 4 = 6 + 6+ 6+ 6+ 6= 24
4 x 6= 4+ 4+ 4+ 4+ 4 +4= 24
Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2
Se puede considerar
descompuesto en dos
factores: 5 . 4 y 3 . 2
El producto de varios números no varia
sustituyendo dos o mas factores por su
producto
2 x 3 x 4 x 5 = 120
(2 x 3) x 4 x 5 = 120
6
(2 x 3) x (4 x 5) = 120
6 20
En general:
abcd = (ab)cd = a(bcd)
El producto
de varios
números no
varia
descomponi
endo uno o
mas
factores en
dos o mas
factores
Sea el producto 8 x 5;
puesto que 8 = 4 x
2, tendremos:
8 x 5 = 4 x 2 x 5
Multiplicando miembro a miembro
desigualdades del mismo sentido e
igualdades, resulta una desigualdad del
mismo sentido que las dadas.
Siendo
8>3
4=4
8x4>3x4 resulta
32>12.
Para comenzar, deben efectuarse en este
orden: primero, los productos indicados
y luego las sumas o restas.
Ejemplo: efectuar, 5+3x4-2x7
Efectuamos primero los productos
3x4=12 y 2x=14 y tendremos:
5+3x4-2x7 =5+12-14= 3.
PRIMERO: Las operaciones encerradas en los paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas.
Ejemplo: (5+3)2+3(6-1). En la practica, se suele suprimir el signo x entre
un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis. A si pues, en este ejemplo, (5+3) 2 equivale a
(5+3) x 2 y 3(6-1) equivale a 3 x (6-1). Entonces efectuamos primero los
paréntesis, (5+3) = 8 y (6-1)= 5, y tendremos: (5+3) 2 + 3(6-1)= 8 x 2 + 3 x 5= 16 + 15= 31.
Para multiplicar una suma indicada por un numero se multiplica cada sumando por este numero y se suman los productos parciales.
Ejemplo: (5+4)2.Decimos que, (5+4)2= 5x2+4x2=10+8=18Entonces: (5+4)2 = (5+4) + (5+4) =
5+4+5+4= 5+5+4+4= (5+5) + (4+4) = 5x2+4x2.
Para multiplicar una resta indicada por un numero se multiplican el minuendo y el sustraendo por este numero y se restan los productos parciales.
Ejemplo: (8-5) 3. Asi que decimos: (8 – 5) 3 = 8 x 3 – 5 x 3 =24 – 15 = 9Entonces multiplicar (8 – 5) 3 equivale a tomar (8 –5) como sumando tres veces, o sea: (8 – 5) 3 = (8 – 5)+ (8 – 5) + (8 – 5)o también realizar lo siguiente: = (8+8+8) – (5+5+5)= 8 x 3 – 5 x 3.
Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene varios signos + o – es una suma algebraica. En esta suma algebraica, 7, 2, 9 y 3 son los términos de la suma. Los términos que van precedidos del signo + o que no llevan signo delante son positivos. Asi que en este caso, -2 y -3 son negativos.
En la suma algebraica a + b – c – d + e, los términos positivos son a,b y e, y los negativos, -c y –d.
Para multiplicar una suma por un numero se multiplica un termino de la suma por dicho numero, poniendo delante de cada producto parcial el signo + si el termino que se multiplica es positivo y el signo – si es negativo.
Ejemplo: (8 – 2 + 6 – 3) 5.Asi que decimos: (8-2+6-3)5 = 8 x 5 – 2 x 5 + 6 x 5 – 3 x 5 = 40 – 10 + 30 – 15 =45 En general: (a – b + c –d )n = an – bn + cn –
dn.
En la suma algebraica x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 los términos son los productos 2x5, 3x2 y 4x2. en cada uno de estos productos aparece el factor 2; 2 es un factor común.
Igualmente en la suma algebraica 9 x 3 –3 x 5 -3 x 2 +8 x 3 el 3 es un factor común; en la suma ab + bc – bd el factor común es b; en la suma 5 ay + 5ax – 5an el factor común es 5 a.
1) sabemos que por ley distributiva, que: (8+6)5=8x5+6x5. Invirtiendo los miembros de esta igualdad, tenemos:
8x5+6x5=5(8+6) Aquí vemos que en el primer miembro tenemos el factor
común 5 y en el segundo miembro aparece el factor común 5 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos escrito 8+6 que es lo que queda en el primer miembro dividiendo cada termino entre 5.
Hemos sacado el factor común 5. 2) sabemos, por la ley distributiva, que: (9-7)2=9x2 – 7x2.
invirtiendo tenemos: 9x2-7x2=2(9-7). En el primer miembro tenemos el factor común 2 y en el segundo miembro aparece el 2 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos puesto lo que queda en el primer miembro dividiendo cada termino entre el factor común 2. hemos sacado el factor común 2.
3) sacar el factor común en 9x8 +8x3-8. Asi que 9x8+8x3-8=8(9+3-1).
Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplican todos los términos de la primera por cada uno de los términos de la segunda y se suman los productos parciales.
Entonteces efectuamos (6+5)(3+2) y decimos que: (6+5)(3+2)=6x3+5x3+6x2+5x2 =18+15+12+10=55.
En efecto: el producto (6+5) (3+2) se compondrá de tres veces (6+5) mas dos veces (6+5), luego: (6+5)(3+2)=(6+5)3+(6+5)2 =6x3+5x3+6x2+5x2.
Para multiplicar una suma por una diferencia se suman los productos de cada termino de la suma por el minuendo y de esta suma se restan los productos de cada termino de la suma por el sustraendo.
Efectuar: (9+7)(5-4)=9x5+7x5-9x4-7x4 = 45+35-36-28=16.
En efecto: el producto (9+5)(5-4) se compondrá de cinco veces (9+7) menos cuatro veces (9+7),luego: (9+7)(5-4)=(9+5)-5(9+7)4 =(9x5+7x5)-(9x4+7x4)=9x5+7x5-9x4-7x4.
En general (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.
El producto de la suma de dos números
por su diferencia es igual a la diferencia de
los cuadrados de los nuemros .
Ejemplo: efectuar (6+5)(6-5)= 62 – 52 = 36-
25=9
En efecto: aplicando la regla explicada en
el numero anterior, tenemos: (6+5)(6-5)=
6x6 +5x6-6x5-5x5 = 6x6-5x5= 62 – 52 .
Para multiplicar dos diferencias indicadas se suma el producto de los minuendos con el producto de los sustraendos y de esta suma se restan los productos de cada minuendo por el otro sustraendo.
Efectuar: (7-4)(3-2). Decimos que: (7-4)(3-2)=7x3+4x2-7x2-4x3 = 21+8-14-12=3
En efecto: el producto (7-4)(3-2)= (7-4)3-(7-4)2
= (7x3-4x3)-(7x2-4x2)=(7x3+4x2)-(7x2+4x3) (126)=7x3+4x2-7x2-4x3 (125)
De acuerdo con las reglas aplicadas en los números anteriores, tenemos que:
(a+b)(c+d) = ab+bc+ad+bd (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd (a-c)(c-d) = ac-bc - ad+bd.Observando esto lo que hemos hecho es
multiplicar términos del primer paréntesis por cada termino del segundo paréntesis poniendo delante de cada producto el signo +cuando los factores que se multiplican tienen signos iguales (los dos + o los dos -) y el signo – cuando tienen signos distintos.
Para multiplicar dos sumas algebraicas se multiplica cada termino de la primera suma por cada termino de la segunda suma, poniendo delante de cada producto el signo + cuando los dos términos que se multiplican tienen signos iguales, y el signo – cuando tienen signos distintos.
Entonces daremos un ejemplo: Efectuar (8-6)(5+4) por la regla general. (8-6)(5+4)=8x5 – 6x5 +8x4 – 6x4 = 40 – 30 + 32 – 24 = 18 Hemos multiplicado 8 por 5 y como 8 y 5 tienen signos iguales (al no
llevar signo delante llevan +) delante del producto 8x5 va un + (que no se escribe por ser el primer termino, pero va sobreentendido). Después multiplicamos – 6 por 5 poniendo delante de este producto el signo – porque 6y5 tienen signos distintos ; luego 8 por 4, poniendo + delante del producto porque 8y4 tienen signos iguales y por ultimo -6 por 4 poniendo delante del producto – porque tienen signos distintos.
Para multiplicar un producto indicado por un numero se multiplica uno de los factores del producto por dicho numero.
Vamos a multiplicar el producto 4 x 5 por 6.
Decimos que basta multiplicar uno solo de los factores, bien el 4 o el 5, por el multiplicador 6.
Multiplicando el factor 5, tenemos: (4x5)6 = 4(5x6)=4(30)=120.
Para multiplicar dos productos indicados
se forma un solo producto con todos los
factores.
Vamos a multiplicar el producto 2x3 por el
producto 4x5x6. Decimos que:
(2x3)(4x5x6)=2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.
Entonces al multiplicar el factor 3 del
producto 2x3 queda multiplicado por el
producto 4x5x6, según el caso anterior.
INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓN
SU ODJETO DADO EL PRODUCTO DE 2
FACTORES (DIVIDIENDO) Y UNO DE
LOS FACTORES (DIVISOR), HALLAR EL
OTRO FACTOR (COCIENTE)
El signo de la division es o una rayita horizontal o inclinada colocada entre el dividendo y el divisor.
Asi la division de D (dividendo) entre d(divisor) y siendo c el cociente, se indica de los tres modos siguientes:
D÷d=c_ D_ =c
dD/d=c
Entonces podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro ( divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor de el dividendo.
ejemplo 20/4 es allar el número que multiplicado por 4 de 20
4x5=20Del propio modo: 8÷4 = 2 por que 2x4 =815 =53
TODO NÚMERO QUE DIVIDE A OTROS
VARIOS, DIVIDE A SU SUMA
SEA EL NÚMERO 5 , QUE DIVIDE AL
10, 15, 20=45, O SEA QUE 10+25+20 ES
M. 5
EN EFECTO: 10=5x2; 15= 5x3; 20= 5x4
Sacando el valor común 5 en el
segundo miembro de la ultima
igualdad, tenemos:
10+15+20= 5 (2+3+4)
o sea 10+15+20= 5x9
10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5
divide a la suma 10+5+20
Todo número que no divide a otro vario
divide a u suma, si la suma de los
residuos que resultan de dividir estos
entre el número que no los divide, es
divisible entre este número.