superficie de revolucion en autocad
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INFORME SOBRE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVATRANSCRIPT
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
SOLIDOS DE REVOLUCIÓN
1. MARCO TEORICO:
SUPERFICIE DE REVOLUCION
Superficie de revolución es la que genera una línea cualquiera, plana o de doble curvatura
al girar alrededor de un eje recto, llamado por ello eje de la superficie.
-Algunos ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea
recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un
volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia
entre el eje y la recta se denomina radio.
Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta
alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma
que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica
delimita al volumen denominado cono.
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un
semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado
esfera.
Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una
circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta
superficie se denomina toro.
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
2. APLICACIONES
Algunos ejercicios de creación realizados por los alumnos de la clase de Perspectiva de la Facultad de Bellas Artes. La inventiva de las escenas es libre, pero tienen el condicionante de los trazados geométricos de superficies de revolución, en el contexto perspectivo, a semejanza de las superficies y los métodos estudiados en clase.
Frente al rigor y la uniformidad que suponen los problemas geométricos de la perspectiva, se brinda al alumno de Bellas Artes la oportunidad de desarrollar su personal creatividad, comprobando la compatibilidad de la exigencia matemática con la libertad expresiva de su arte.
3. GENERACIÓN DE FAS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN:
Supongamos en montea (figura 1), una línea cualquiera representada per sus proyecciones
AH BH CH . . . AF BF CF . . . que gira alrededor de un eje vertical UF VF , generando así una superficie
de revolución. La línea cualquiera será en consecuencia generatriz de la superficie.
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Al girar esta línea, todos sus puntos describen círculos contenidos en planos horizontales
(ver rotaciones), cuyos radios serán respectivamente, las distancias de cada uno de ellos al eje; por
definición, las perpendiculares de éstos al eje.
Este movimiento
rotatorio queda
representado en montea en
proyección horizontal, por
el conjunto de círculos
que han descrito los
puntos, y que tienen como
centro común la
proyección integra del eje;
mientras en la vertical, el
movimiento se representa
por las rectas paralelas a
LT, proyecciones de los
planos horizontales,
paralelos entre sí, que
contienen a dichos
círculos, los que por esta
razón, se denominan
círculos paralelos de la
superficie.
Las anchuras
extremas que a uno y otro
lado del eje pueden tener
los puntos en su
movimiento circular y que,
como se ve en la montea,
corresponden a
proyectantes
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A1F
B1F
C1F
D1F
E1F
F1F
G1F
AF
CF
DF
EF
FF
GF VFG2F
F2F
E2F
D2F
C2F
B2F
B2F
H
BF
VF
UF
A1HB1H C1H
E1H
F1H
G1H
AH
BH
CH
DH
EH
FH
GH
UH VH
B2HB2HC2H
D2HE2H
F2H
G2H
F
A1F
B1F
C1F
D1F
E1F
F1F
G1F
AH
CH
DH
FH
G2F
F2F
E2F
D2F
C2F
B2F
A2F
H
BH
VF
UF
A1HB1H C1H
E1H
F1H
G1H
UH VH
B2HB2HC2H
D2HE2H
F2H
G2H
F
GHEH
AF
BF
CF
DF
EF
FF
GF
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
perpendiculares a LT, tangentes a los círculos de la proyección Fig. 1
horizontal en puntos
A1H B1H C1H . . . A2H
B2H C2H . . . ;
determinan en la vertical
dos líneas, A1F B1F C1F .
. . A2F B2F C2F . ., que
limitan la
figura en esa proyección
y que llamaremos
contorno aparente de la
superficie.
Si
observamos ahora la
proyección horizontal,
veremos que de todos
los círculos paralelos
hay uno de diámetro
máximo, el ecuador de
In superficie,
determinado por las
proyectantes tangentes
exteriores, al contorno
aparente de la
proyección vertical, en
los puritos F1F y F2F
hay otro de diámetro
mínimo,
correspondiente a las
tangentes interiores de
ese mismo contorno en
C1F C2F , que llamamos collar de la superficie. Estos dos círculos característicos constituyen el
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
contorno aparente Fig. 2 dc la
proyección horizontal.
En general, los contornos aparentes son
diferentes para cada proyección de una superficie dada,
y varían según la posición que ésta guarde respecto de
los planos de proyección.
Plano meridiano de una superficie de
revolución (figura 3), os todo aquel como VX, que la
corta pasando por su eje. La intersección del plano
meridiano con la superficie, so denomina línea
meridiana y esta determinada por los puntos A2H B2H
C2H . . . ,en
que este plano corta a los círculos paralelos
en la proyección horizontal; con sus correspondientes
proyecciones verticales A2F B2F C2F . . . Esta
meridiana es entonces una línea plana, que al girar
alrededor del eje genera la misma superficie que
venimos tratando por lo cual es también generatriz Fig. 3
de ella, considerándose como su generatriz característica.
Cuando el plano meridiano está en posición frontal VY, la línea meridiana tiene
proyección vertical en verdadera longitud y magnitud, A1F B1F C1F . . . A2F B2F C2F . . , llamándose
entonces meridiano principal.
En el caso que se presenta, la meridiana principal se confunde con el contorno aparente
por la especial posición de la superficie.
En términos de arquitectura, la meridiana principal de un elemento arquitectónico de
revolución, se llama galibo.
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ecuador
collar
ecuador
collar
e
cc
e
F
H
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Como idea
general debe aclararse
que una misma superficie
puede tener varios
ecuadores y varios
collares (figure 3), que
corresponderán
respectivamente dentro
del concepto matemático
dc máximos y mínimos,
a taritas tangentes
exteriores e interiores,
como puedan trazarse a
la meridiana principal.
La montea final
(figura 4) muestra todos
los elementos qua hemos
descrito en esta
superficie: el eje UF VF ;
una línea cualquiera, AF
BF CF . . . AH BH CH . . .
generatriz de la
superficie; una meridiana
cualquier A2F B2F C2F
. . . A2H B2H C2H . . ., y
la posición de la
meridiana principal, A1F
B1F C1F . . . A1H B1H
C1H . . ., los círculos
paralelos, cuyas
proyecciones horizontales son círculos Fig. 4
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A1F
B1F
C1F
D1F
E1F
F1F
G1F
AF
CF
DF
EF
FF
GF VFG2F
F2F
E2F
D2F
C2F
B2F
A2F
H
BF
VF
UF
A1HB1H C1H
E1H
F1H
G1H
AH
BH
CH
DH
EH
FH
GH
UH VH
A2HB2HC2H
D2HE2H
F2H
G2H
F
A3H
C3H
D3H
F3H
B3H
G3H
E3H
A3F
B3F
C3F
D3F
E3F
F3F
G3F
collar
ecuador
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
concéntricos en V, mientras sus
proyecciones verticales son líneas paralelas
a LT, destacándose entre ellos, el ecuador y
el collar.
La isométrica (figura 5) muestra
en al espacio esos elementos: meridiana
principal M; línea cualquiera dc la
superficie Q; los círculos paralelos,
entre los cuales se destacan con línea gruesa
el ecuador E y el collar C. Nótese que
mientras la meridiana principal está
contenida en un plano. La línea cualquiera
es de doble curvatura; sin embargo, los
puntos homólogos de esas dos líneas, tienen
el mismo radio puesto que se encuentran
sobre el mismo circulo paralelo, siendo
ambas a la vez, generatrices de la superficie. Fig. 5 .
Las proyecciones mencionadas se invierten, cuando el eje de revolución sea una recta de
punta.
La generación descrita depende de un punto de vista puramente geométrico, pues la
construcción mecánica de estas superficies, responde, por lo regular, a una generación helicoidal
según la cual, la superficie se genera por la sobreposición de una serie de hélices de paso mínimo e
infinitamente próximas.
Ejemplo de esta generación lo
proporciona el torneado de superficies; la
herramienta cortante, describe esas hélices sobre la
superficie que gira en el torno, alrededor de su eje
de revolución. Fig. 6
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C
MQ
E
polo
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Si en una superficie de
revolución (figura 6) se puede trazar una
recta tangente a la meridiana,
que sea perpendicular al eje, el
punto de tangencia obtenido se llama polo,
y las tangentes en ese mismo punto (figura
7) a todas las meridianas que pasan por él,
determinan un plano tangente a la
superficie en ese polo; para conocer ese
plano, sabemos ya que es suficiente trazar Fig. 7
solo dos de esas tangentes.
Cuando no- existe la posibilidad de esa
tangente perpendicular al eje (figura 8), cada meridiana
puede tener en su mismo plano una tangente en
cualquier punto de ella, que necesariamente corta al eje;
ahora bien, las tangentes en puntos homólogos de las
meridianas (figura 358), cortan al eje en un mismo
punto, generándose un cono tangente a la superficie,
cuyo vértice V, se encuentra en el eje y se denomina
vértice de la superficie.
Fig. 8
Fig. 9
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polo
vértice
vértice
C
A
B D
E
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
4. CARACTERÍSTICAS DE FAS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN:
Hemos visto ya que la forma más clara de
representar en montea una superficie dc revolución,
consiste en dar las proyecciones de su meridiana
principal, y las dc su ecuador y collar, estos últimos si lo
tiene. De acuerdo con esto vamos a estudiar las monteas
de superficies generadas por las curves geométricas más
conocidas.
a) Esfera: (figura 10). Superficie generada por
un círculo que gira alrededor de uno cualquiera de sus
diámetros, es el cuerpo de revolución por excelencia,
pues Su contorno es siempre el mismo en cualquier
proyección. Se ha llamado forma o cuerpo perfecto por
sus Fig. 10.1 propiedades
universales de simetría: polar, axial o planar en relación con
su centro, de las cuales Se derivan multitud de aplicaciones
geométricas y físicas.
Para determinar una esfera es necesario conocer su
centro O en el espacio y Su radio.
En montea. La meridiana principal que es un
círculo frontal, se proyecta en proyección horizontal en una
recta MH paralela a LT que pasa por el centro O, y tiene como longitud el diámetro de la esfera; en
tanto la vertical Fig. 10.2 es un círculo MF, con el centro y radio
dados. El ecuador, en cambio, es un círculo horizontal, por tanto, su proyección vertical EF es una
recta paralela a LT pasando por el centro, O es decir el diámetro horizontal de la meridiana, y la
horizontal, un círculo igual a ella.
b) Toro de revolución: (figura 11). Superficie generada por un círculo que gira sobre un
eje exterior a él, pero en el mismo plano. En montea. Su meridiana principal se proyecta en
proyección vertical como un círculo MF, o como dos círculos iguales y Simétricos respecto del eje,
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H
F
MH
EH
MF
EF
OH
OF
M
E
O
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
cuyos centros tienen igual altura. En proyección
horizontal, la meridiana principal se proyecta íntegra en la
recta MH paralela a LT, proyección del plano frontal
que la contiene.
Esta superficie tiene ecuador y collar, ambos en
el mismo plano horizontal; por lo que sus respectivas
proyecciones verticales EF y CF, Se proyectan en una
recta paralela a LT que pasa por los centros de la
meridiana; las proyecciones horizontales EH y CH , son
círculos concéntricos en el eje del toro, y con radios
correspondientes, respectivamente, a la amplitud Fig. 11.1 entre las
tangentes exteriores e interiores de la meridiana.
Por extensión se llama toro a toda superficie
que afecte una forma semejante a la descrita, aunque la meridiana
principal no sea circular.
c) Elipsoide de revolución o isósceles: Es toda
superficie generada por una elipse que gira sobre uno de sus ejes Fig. 11.2
principales; se presentan dos casos, según que se tome uno u
otro de estos ejes para la rotación. Cuando la elipse gira
sobre Su eje mayor tenemos el elipsoide peraltado (figura
12), en cuyo caso la meridiana principal, es una elipse que se
proyecta en verdadera forma y magnitud en proyección
vertical MF; mientras en la horizontal lo hace en la recta MH
paralela a LT, que tiene como longitud el eje menor. El
ecuador se representa en proyección vertical EF por el eje
menor de la elipse meridiana, y su proyección horizontal EH,
será por tanto un círculo cuyo diámetro es igual a ese eje.
Si la elipse gira sobre el eje menor, se genera el
elipsoide rebajado (figura 13). La meridiana principal será
en proyección vertical, una elipse MF, que en la horizontal Fig. 12.1
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MH CHEH
MFEF CF
HF
EF
MF
OF
MH
OH
EH
HF
M
MC
E
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
se proyecta en MH paralela a LT; en tanto el ecuador será en
proyección vertical EF, el eje mayor de esa elipse, teniendo
como proyección horizontal un círculo EH, cuyo diámetro es
ese mismo eje. Se pueden establecer entre la esfera y el
elipsoide, relaciones semejantes a las existentes entre
círculo y elipse.
d) Paraboloide de revolución (figura 14).
Superficie generada por una parábola que gira Sobre su eje.
En montea. La meridiana principal es una parábola, Fig. 12.2
MFMH; pero dado que dicha curva se extiende
infinitamente la superficie generada no tendrá jamás un
ecuador sino una serie de círculos paralelos hasta el
infinito.
e) Hiperboloide de revolución: Superficie
generada por una hipérbola que gira alrededor de uno de
sus ejes. Puesto que la hipérbola es una curva de dos
ramas, se presentan también dos casos,
Hiperboloide de revolución de un manto
(figura 15): Superficie generada por una hipérbola que
gira alrededor de su eje transversal.
En montea. La meridiana principal MFMH se representa Fig. 13.1
por las dos ramas de la hipérbola, iguales y simétricas
respecto al eje de revolución; el collar de la superficie CFCH ,
se establece entre los vértices de las dos ramas de la curva y
como éstas se extienden infinitamente la superficie jamás
llega a tener ecuador.
Hiperboloide de revolución de dos mantos (figura
16). Superficie generada por una hipérbola que gira alrededor
de su eje focal; de este modo cada una de las ramas Fig. 13.2
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M
E
O
EF
MF
OF
MH
OH
EH
HF
M
E
O
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
de la hipérliola, genera un casquete hiperbólico; la
superficie está constituida entonces por dos casquetes
iguales y simétricos que se denominan mantos.
En montea. La meridiana MFMH está
representada por las dos ramas de la hipérbola, pero por la
propiedad enunciada para las dos ramas de esta curva,
ninguno de los mantos tiene ecuador ni collar.
Respecto a las superficies de dos mantos, cabe
recordar que en arquitectura generalmente se emplea sólo
uno de ellos, aunque Se le denomine por el nombre de
toda la Superficie como Si Se tratara de los dos mantos.
f) superficies de revolución generada: por una
recta. Se presentan tres casos correspondientes a igual
número de Superficies:
1º La recta es paralela al eje de revolución.
La Superficie generada es el cilindro recto o Fig. 14.1
de revolución (figura 16), es decir un cilindro cuya sección recta es circular.
2º La recta corta al eje de revolución. La superficie
generada será el cono recto o de revolución (figura 17); cono cuyo
vértice es el punto de intersección de la recta con el eje, y que
tiene como directriz un círculo perpendicular al eje, con su centro
en él.
3º La recta no es coplanar con el eje. (No lo corta ni le
es paralelo.) La Superficie que ahora resulte, será un hiperboloide
de revolución de un manto.
Cabe advertir que en los dos primeros casos, la recta es Fig. 14.2
meridiana de la superficie; no así en el
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HF
PH
MH
MF
PF
M
P
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
tercero, que, como sabemos, tiene por
meridiana una hipérbola.
Estas tres superficies son de especial
interés, por participar simultáneamente de las
propiedades inherentes a sus varias formas de
generación.
. Fig. 15.1
Fig. 15.2
Fig. 16.2
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HF
MHP1H
P2H
CH
CF
MF
P1F
P2F
CF
M
P2
P1
C
P1
P2
M
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Fig. 16.1 Fig. 17.1
Fig. 17.2
NOVIEMBRE DE 2011 Página 14
HF
MH
P1H
P2H
MF
P1F
P2F
HF
MH
MF
M
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Fig. 18.2
Fig. 18.1
5. FORMULAS PARA CALCULAR EL AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCION
SUPERFICIE
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HF
MH
MF
VH
VF
M
V
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
cono
tronco cónico
cilindro
esferoide achatado
prolato esferoide
esfera
toro
zona
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