suppcours2010

CoursdeProbabilitesexperimenteparDidierPiauComplements,exercicesetsujetsdexamensDernièrerevisionsubstantielle:mars20102Tabledesmatières1 Presentation 51.1 En guise dintroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Questions à la noix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Measure for measureThe strange science of Francis Galton . . . . . . . . . . . . . . . 82 Complements 152.1 Sur le rayon de convergence des series entières aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Sur le maximum de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Une autre version de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Loi des grands nombres echangeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Encore de lechangeabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Sur quelques notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Sur la famille de fonctionst e|t|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Exercices 273.1 Fiche 1 : Outils probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Fiche 2 : Outils probabilistes, suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Fiche 3 : Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Fiche 4 : Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Archivesdexamens 454.1 Examen partiel davril 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Examen partiel davril 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Examen nal de juin 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Examen partiel davril 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5 Devoir à la maison de mars 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 Examen nal de juin 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7 Devoir à la maison davril 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54TABLEDESMATIÈRES 44.8 Examen partiel de mars 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.9 Examen nal de juin 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.10Examen partiel davril 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.11Corrige de lexamen partiel davril 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.12Examen nal de juin 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.13Supplement à lexamen de juin 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.14Examen partiel davril 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.15Examen nal de juin 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.16Session de septembre 1997. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.17Examen partiel de mars 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.18Corrige de lexamen partiel de mars 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.19Examen nal de mai 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.20Devoir à la maison de mars 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.21Examen partiel de mars 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.22Examen nal de mai 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.23Examen partiel de mars 2000 (extrait) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.24Examen nal de mai 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.25Supplements à lexamen de mai 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.26Examen de septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.27Controle continu davril 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.28Examen nal de juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Chapitre1Presentation1.1 EnguisedintroductionVoici une citation :Probability theory has a right and a left hand. On the right is the rigorous foundationalwork using the tools of measure theory. The left hand thinks probabilistically, reducesproblems to gambling situations, cointossing, motions of a physical particle. Leo Brei-man.Voici trois questions :1. Vous installez un singe devant une machine à ecrire. Le singe se met à taper sur les touches(( auhasard )). Reussira-t-il après un certain temps à ecrire cette page ?2. Vous jetez une punaise en lair. Une fois quelle est retombee, vous appelez le fait quelle reposesur la tete, la pointe en lair, et le fait quelle repose à la fois sur la pointe et sur la tete. Vousrepetez lexperience un grand nombre de fois. La proportion des va-t-elle se stabiliser vers une(( probabilite )) P() ?3. Vous etesperdudansLyon.Etes-vouss urderetrouverlaplaceBellecourenvouspromenantau hasard dans les rues pendant assez longtemps, sans sortir des limites administratives de laCourly ? Et si vous vous permettez den sortir ?En1933, Andrei NikolaevichKolmogorov(Andre iNikolaeviqKolmogorovpour les puristes)publielesGrundbegriederWahrscheinlichkeitsrechnung (ehoui, cecherAndrei neseprivaitpasdecrire en allemand de temps en temps, ni en francais dailleurs), o` u il fournit un cadre mathematiquenaturel commun à tous ces problèmes.Aujourdhui, les probabilites constituent un champ autonome et etendu de recherches, qui fecondeet est fecondepar denombreuxdomaines des mathematiques (commelanalyse, lageometrie, latheorie des nombres), de la physique (comme la mecanique stochastique) et de la biologie (comme lagenomique).Un des buts du cours sera dacquerir rapidement lagilite de la main gauche decrite par Leo Brei-man,sansnegligercelledelamaindroite.Unereferencesusantepourcettedernièreestuncoursdintegration de L3 ou bien simplement le premier chapitre du livre de Walter Rudin, Real and ComplexAnalysis.Lesresultatsclassiquesqui serontdemontres, loi duzeroun, loi desgrandsnombres, theorèmecentrallimite,permettrontdeconstaterquelareponseàlaquestion3est(( oui))(cestrassurant),mais quelle serait(( non )) si vous pouviez voler (ce qui lest moins).Presentation 61.2 ProgrammeNotionsetoutilsfondamentauxdelatheoriedesprobabilites1. Rappels et notations Classe monotone : denition. Theorème de la classe monotone. Corollaire :une probabilite est determinee par ses valeurs sur un-système.2. Exemples de probabilites classiques3. Fonctions de repartition et Radon-Nykodym4. Variablesaleatoires, loi, esperanceDenitions. ToutevariablealeatoireX-mesurablesecritcomme une fonction borelienne deX. Inegalite de Holder. Inegalite de Markov.5. Independance Denition de lindependance de classes ; application à lindependance devene-ments, detribus, devariablesaleatoires. Critèresurles-systèmes. Theorèmedescoalitions.Loi den variables aleatoires independantes, covariance, loi dune somme de variables aleatoiresindependantes.6. Loi du 01 et lemme de Borel-Cantelli7. Probabilites sur un espace produit Cas independant : tribu cylindrique et theorème. Cas generalsur RI: theorème de Kolmogorov.8. Convergence dune suite de variables aleatoires. Egorov ; convergence en proba (P). CvLpoucv p.s. implique cv P. Distance de la convergence en P. Cv P implique cv p.s. pour une sous-suite.Famille uniformement integrable. Vitali. Critères du.i.Loisdesgrandsnombres1. Rappels sur la convergence p.s. Caracterisations ; cv P implique cv p.s. pour une sous-suite.2. Convergence p.s. dune serie de v.a. independante Loi du 01. Equivalence de P. Levy entre cvP et cv p.s. Les trois series.3. Lois des grands nombres Cas borne dans L2. Inegalite de Kolmogorov. LGN avec condition deKolmogorov. LGN i.d. dansL1.4. Applications statistiques Moyenne empirique, variance empirique, medians, methodes de MonteCarlo, Glivenko-Cantelli, Kolmogorov-Smirnov, maximum de vraisemblance, statistiques dordreet de rang.5. Appendice : une LGN echangeable daprès L. PratelliProbabiliteconditionnelleetesperanceconditionnelle1. Probabilite conditionnelle Cas discret. Cas general. Version regulière. Un contrexemple. Jirina.Polonais implique standard.2. Esperance conditionnelle Denitions. Proprietes. E( [T) dansL2est une projection.3. Conditionnement : Denition. Le cas densitable.4. Cas Gaussien : inegalite de Gebelein.5. Files dattente. Processus de Poisson. Processus de vie et mort. Loi de LittleFonctionscaracteristiquesetconvergenceenloi1. Fonctions caracteristiques Proprietes generales : densite, moments. Cas Rnet application ànvariables aleatoires independantes.2. Convergenceenloi Cvfaible=cvetroite. Caracterisations. CasdeRetdesfonctionsderepartition. Helly.Presentation 73. Theorème de Levy. Lien entre cv P et cv en loi. TCL. Corollaire : de Moivre Laplace. Utilisationstatistique.4. Vecteurs gaussiens et TCL multidimensionnelAppendicesLoi du2etechantillonnage. Bochner. TCLdeLyapounov. TCLdeLindeberg-Feller. Berry-Esseen. TCL local. Introduction à la theorie des martingales.BibliographiesommairePourlecoursDacunha-Castelle et Duo, Probabilites et Statistiques, tome 1 : problèmes à temps xe, Masson1982.Breiman, Probability, Addison-Wesley, 1968.Chung, A course in probability theory, Academic Press 1974.Billingsley, Probability and measure, Wiley Series 1979.Metivier et Neveu, Probabilites, Cours de lEcole Polytechnique, 1980.PourlesexercicesCotrell, Duhamel et Genon-Cathalot, Exercices de Probabilites, Belin 1980.1.3 QuestionsàlanoixAnniversaires Combien de personnes doivent-elles aller à une soiree pour quil y ait au moins 50%de chances que deux dentre elles soient nees le meme jour de lannee ?Bororos On suppose quune femme enceinte a autant de chances de donner naissance à un garconquà une lle. On suppose que dans la (grande) tribu des Bororos, chaque famille continue à avoir desenfants jusquà avoir une lle, et quelle sarrete alors. Après mille generations, quelle est la proportionde Bororos males ?Hopital Dansuneville, il yadeuxhopitaux, ungrandetunpetit. Chaquejour, milleenfantsnaissent dans le grand, cent dans le petit. Chaque naissance donne une lle ou un garcon avec 50% dechances. Quel hopital a le plus de chances de vois natre exactement le meme nombre de gar cons quede lles un jour donne ?Pacistesetmilitaires VouspenetrezdansunevillepeupleedePpacistesetdeMmilitaires.Quand un paciste rencontre un paciste, rien ne se passe. Quand un paciste rencontre un militaire,le paciste est tue. Quand deux militaires se rencontrent, les deux meurent. Une rencontre impliquetoujours deuxpersonnes exactement et les personnes impliquees sont aleatoires. Quelles sont voschances de survie ?Pièces Comment transformer une pièce de monnaie biaisee en une pièce de monnaie non biaisee ?Ou: commentobtenirlequivalentduresultatdujetdunepiècedemonnaieequitableenlan cant,eventuellement plusieurs fois, une pièce non equitable ?Presentation 8Roulette russe Vous jouez à la roulette russe avec Boris. Le revolver comporte trois balles dans troiscompartiments successifsparmi les six que son barillet comporte. On lance une fois le barillet. Puischaque joueur pointe le revolver et tire une fois. Sil est toujours vivant, il passe alors le revolver à sonadversaire qui limite. Le jeu sarrete quand un des joueurs meurt. Preferez-vous etre le premier joueurou laisser Boris commencer ? Et si le revolver ne contenait que deux balles au debut des operations ?1.4 MeasureformeasureThestrangescienceofFrancisGaltonJim Holt, The New Yorker, Janvier 2005, disponible sur le web à ladresse :www.newyorker.com/printable/ ?critics/050124crbobooksIn the eighteen-eighties, residents of cities across Britain might have noticed an aged, bald, bewhis-keredgentlemansedulouslyeyingeverygirl hepassedonthestreetwhilemanipulatingsomethingin his pocket. What they were seeing was not lechery in action but science. Concealed in the manspocketwasadevicehecalledapricker,whichconsistedofaneedlemountedonathimbleandacross-shaped piece of paper. By pricking holes in dierent parts of the paper, he could surreptitiouslyrecord his rating of female passerbys appearance, on a scale ranging from attractive to repellent. Aftermany months of wielding his pricker and tallying the results, he drew a beauty map of the BritishIsles. London proved the epicenter of beauty, Aberdeen of its oppositeSuch research was entirely congenial to Francis Galton, a man who took as his motto Wheneveryoucan, count.Galtonwasoneof thegreatVictorianinnovators. Heexploredunknownregionsof Africa. He pioneered the elds of weather forecasting and ngerprinting. He discovered statisticalrules that revolutionized the methodology of science. Yet today he is most often remembered for anachievement that puts him in a decidedly sinister light : he was the father of eugenics, the science, orpseudoscience, of improving the human race by selective breeding.Anewbiography, ExtremeMeasures : TheDarkVisions andBright Ideas of Francis Galton,Bloomsbury, $ 24.95, casts the mans sinister aspect right in the title. The author, Martin Brookes, isa former evolutionary biologist who worked at University College Londons Galton Laboratory (which,before a sanitizing name change in 1965, was the Galton Laboratory of National Eugenics). Brookesis clearly impressed by the exuberance of Galtons curiosity and the range of his achievement. Still, hecannot help nding Galton a little dotty, a man gripped by an obsession with counting and measuringthat made him one of the Victorian eras chief exponents of the scientic folly. If Brookes is right,GaltonwasledastraynotmerelybyVictorianprejudicebutbyafailuretounderstandtheverystatistical ideas that he had conceived.Born in 1822 into a wealthy and distinguished Quaker familyhis maternal grandfather was Eras-mus Darwin, a revered physician and botanist who wrote poetry about the sex lives of plantsGaltonenjoyedapamperedupbringing.Asachild,herevelledinhisownprecocity:Iamfouryearsoldand can read any English book. I can say all the Latin Substantives and Adjectives and active verbsbesides52linesofLatinpoetry.Icancastupanysuminadditionandmultiplyby2,3,4,5,6,7,8, 10. I can also say the pence table. I read French a little and I know the Clock. When Galton wassixteen, hisfatherdecidedthatheshouldpursueamedical career, ashisgrandfatherhad. Hewassent to train in a hospital, but was put o by the screams of unanesthetized patients on the operatingtable.SeekingguidancefromhiscousinCharlesDarwin,whohadjustreturnedfromhisvoyageontheHMSBeagle,GaltonwasadvisedtoreadMathematicslikeahouseonre.SoheenrolledatCambridge, where, despite his invention of a gumption-reviver machine that dripped water on hishead, he promptly suered a breakdown from overwork.This patternof franticintellectual activityfollowedbynervous collapsecontinuedthroughoutPresentation 9Galtonslife. Hisneedtoearnaliving, though, endedwhenhewastwenty-two, withthedeathofhisfather.Nowinpossessionofahandsomeinheritance,hetookupalifeofsportinghedonism.In1845, he went on a hippo-shooting expedition down the Nile, then trekked by camel across the NubianDesert. He taught himself Arabic and apparently caught a venereal disease from a prostitutewhich,his biographer speculates, may account for a noticeable cooling in the young mans ardor for women.Theworldstill containedvastunchartedareas, andexploringthemseemedanaptvocationtothis rich Victorian bachelor. In 1850, Galton sailed to Southern Africa and ventured into parts of theinterior never before seen by a white man. Before setting out, he purchased a theatrical crown in DruryLane which he planned to place on the head of the greatest or most distant potentate I should meetwith. The story of his thousand-mile journey through the bush is grippingly told in this biography.Improvisingsurvival tacticsashewentalong, hecontendedwithsearingheat, scarcewater, tribalwarfare, marauding lions, shattered axles, dodgy guides, and native helpers whose conicting dietarysuperstitionsmadeitimpossibletosettleonacommonlyagreeablemealfromthecaravansmobilelarder of sheep and oxen. He became adept in the use of the sextant, at one point using it to measurefromafarthecurvesofanespeciallybuxomnativewomanVenusamongHottentots.Theclimaxof the journey was his encounter with King Nangoro, a tribal ruler locally reputed to be the fattestmanintheworld.NangorowasfascinatedbytheEnglishmanswhiteskinandstraighthair, andmoderately pleased when the tacky stage crown was placed on his head. But when the King dispatchedhis niece, smeared in butter and red ochre, to his guests tent to serve as a wife for the night, Galton,wearing his one clean suit of white linen, found the naked princess as capable of leaving a mark onanything she touched as a well-inked printers roller. . . so I had her ejected with scant ceremony.Galtons feats madehimfamous : onhis returntoEngland, thethirty-year-oldexplorer wascelebratedinthenewspapersandawardedagoldmedal bytheRoyal Geographical Society. Afterwriting a best-selling book on how to survive in the African bush, he decided that he had had enoughof the adventurers life. He married a rather plain woman from an intellectually illustrious family, withwhom he never succeeded in having children, and settled down in South Kensington to a life of scienticdilettantism. Histruemetier, hehadalwaysfelt, wasmeasurement. Inpursuitof it, heconductedelaborateexperimentsinthescienceoftea-making,derivingequationsforbrewingtheperfectcup.Eventually, his interest hit on something that was actually important : the weather. Meteorology couldbarely be called a science in those days ; the forecasting eorts of the British governments rst chiefweatherman met with such ridicule that he ended up slitting his throat. Taking the initiative, Galtonsolicited reports of conditions all over Europe and then created the prototype of the modern weathermap. He also discovered a weather pattern that he called the anti-cyclonebetter known today asthe high-pressure system.Galton might have puttered along for the rest of his life as a minor gentleman scientist had it notbeen for a dramatic event : the publication of Darwins On the Origin of Species, in 1859. Readinghiscousinsbook,Galtonwaslledwithasenseofclarityandpurpose.Onethinginitstruckhimwithspecialforce:toillustratehownaturalselectionshapedspecies,Darwincitedthebreedingofdomesticatedplantsandanimalsbyfarmerstoproducebetterstrains. Perhaps, Galtonconcluded,human evolution could be guided in the same way. But where Darwin had thought mainly about theevolution of physical features, like wings and eyes, Galton applied the same hereditary logic to mentalattributes,liketalentandvirtue.Ifatwentiethpartofthecostandpainswerespentinmeasuresfortheimprovementof thehumanracethatisspentontheimprovementsof thebreedof horsesand cattle, what a galaxy of genius might we not create ! he wrote in an 1864 magazine article, hisopening eugenics salvo. It was two decades later that he coined the word eugenics, from the Greekfor wellborn.Galtonalsooriginatedthephrasenatureversusnurture,whichstill reverberatesindebatestoday. (It was probably suggested by Shakespeares The Tempest, in which Prospero laments that hisPresentation 10slave Caliban is A devil, a born devil, on whose nature / Nurture can never stick.) At Cambridge,Galton had noticed that the top students had relatives who had also excelled there ; surely, he reasoned,such family success was not a matter of chance. His hunch was strengthened during his travels, whichgavehimavividsenseofwhathecalledthementalpeculiaritiesofdierentraces.Galtonmadeanhonesteorttojustifyhisbelief innatureovernurturewithhardevidence. Inhis1869bookHereditary Genius, he assembled long lists of eminent menjudges, poets, scientists, even oarsmenand wrestlersto show that excellence ran in families. To counter the objection that social advantagesratherthanbiologymightbebehindthis, heusedtheadoptedsonsof Popesasakindof controlgroup. His case elicited skeptical reviews, but it impressed Darwin. You have made a convert of anopponent in one sense, he wrote to Galton, for I have always maintained that, excepting fools, mendid not dier much in intellect, only in zeal and hard work. Yet Galtons labors had hardly begun.Ifhiseugenicutopiawastobeapracticalpossibility,heneededtoknowmoreabouthowheredityworked.Hisbeliefineugenicsthusledhimtotrytodiscoverthelawsofinheritance.Andthat,inturn, led him to statistics.Statistics at that time was a dreary welter of population numbers, trade gures, and the like. It wasdevoidof mathematical interestsaveforasingleconcept: thebell curve. Thebell curvewasrstobservedwheneighteenth-centuryastronomersnoticedthattherrorsintheirmeasurementsofthepositions of planets and other heavenly bodies tended to cluster symmetrically around the tru value.A graph of the errors had the shape of a bell. In the early nineteenth century, a Belgian astronomernamedAdolphQueteleobservedthatthislawoferroralsoappliedtomanyhumanphenomena.GatheringinformationonthechestsizesofmorethanvethousandScottishsoldiers,forexample,Queteletfoundthatthedatatracedabell-shapedcurvecenteredontheaveragechestsize, aboutforty inchesAsamatterofmathematics, thebell curveisguaranteedtoarisewheneversomevariable(likehuman height) is determined by lots of little causes (like genes, health, and diet) operating more orlessindependently. ForQuetelet, thebell curverepresentedaccidental deviationsfromanideal hecalledlhommemoyentheaverageman. WhenGaltonstumbleduponQueteletswork, however, heexultantlysawthebellcurveinanewlight:whatitdescribedwasnotaccidentstobeoverlookedbut dierences that revealed the variability on which evolution depended. His quest for the laws thatgoverned how these dierences were transmitted from one generation to the next led to what Brookesjustly calls two of Galtons greatest gifts to science : regression and correlation.AlthoughGaltonwasmoreinterestedintheinheritanceof mental abilities, heknewthattheywouldbehardtomeasure. Sohefocussedonphysical traits, likeheight. TheonlyruleofheredityknownatthetimewasthevagueLikebegetslike.Tall parentstendtohavetall children, whileshortparentstendtohaveshortchildren. Butindividual caseswereunpredictable. Hopingtondsome larger pattern, in 1884 Galton set up an anthropometric laboratory in London. Drawn by hisfame, thousands of people streamed in and submitted to measurement of their height, weight, reactiontime,pullingstrength,colorperception,andsoon.AmongthevisitorswasWilliamGladstone,thePrime Minister. Mr. Gladstone was amusingly insistent about the size of his head. . . but after all itwas not so very large in circumference, noted Galton, who took pride in his own massive bald dome.Afterobtainingheightdatafromtwohundredandvepairsof parentsandninehundredandtwenty-eight of their adult children, Galton plotted the points on a graph, with the parents heightsrepresented on one axis and the childrens on the other. He then pencilled a straight line though thecloud of points to capture the trend it represented. The slope of this line turned out to be two-thirds.Whatthismeantwasthatexceptionallytall(orshort)parentshadchildrenwho,onaverage,wereonly two-thirds as exceptional as they were. In other words, when it came to height children tendedto be less exceptional than their parents. The same, he had noticed years earlier, seemed to be truePresentation 11inthecaseof eminence: thechildrenof J.S. Bach, forexample, mayhavebeenmoremusicallydistinguishedthanaverage, but theywereless distinguishedthantheir father. Galtoncalledthisphenomenonregressiontowardmediocrity.Regressionanalysisfurnishedawayofpredictingonething (a childs height) from another (its parents) when the two things were fuzzily related. Galtonwent on to develop a measure of the strength of such fuzzy relationships, one that could be appliedeven when the things related were dierent in kindlike rainfall and crop yield. He called this moregeneral technique correlation.The result was a major conceptual breakthrough. Until then, science had pretty much been limitedto deterministic laws of cause and eectwhich are hard to nd in the biological world, where multiplecauses often blend together in a messy way. Thanks to Galton, statistical laws gained respectability inscience. His discovery of regression toward mediocrityor regression to the mean, as it is now calledhas resonated even more widely. Yet, as straightforward as it seems, the idea has been a snare evenforthesophisticated. Thecommonmisconceptionisthatitimpliesconvergenceovertime. If verytall parents tend to have somewhat shorter children, and very short parents tend to have somewhattaller children, doesnt that mean that eventually everyone should be the same height ? No, becauseregression works backward as well as forward in time : very tall children tend to have somewhat shorterparents, and very short children tend to have somewhat taller parents. The key to understanding thisseeming paradox is that regression to the mean arises when enduring factors (which might be calledskill)mixcausallywithtransientfactors(whichmightbecalledluck).Takethecaseofsports,where regression to the mean is often mistaken for choking or slumping. Major-league baseball playerswho managed to bat better than .300 last season did so through a combination of skill and luck. Someof them are truly great players who had a so-so year, but the majority are merely good players whohad a lucky year. There is no reason that the latter group should be equally lucky this year ; that iswhy around eighty per cent of them will see their batting average decline.Tomistakeregressionforareal forcethatcausestalentorqualitytodissipateovertime, assomany have, is to commit what has been called Galtons fallacy. In 1933, a Northwestern Universityprofessor namedHoraceSecrist producedabook-lengthexampleof thefallacyinTheTriumphof MediocrityinBusiness,inwhichhearguedthat, sincehighlyprotablermstendtobecomeless protable, andhighlyunprotableones tendtobecomeless unprotable, all rms will soonbemediocre. Afewdecadesago, theIsraeli AirForcecametotheconclusionthatblamemustbemoreeectivethanpraiseinmotivatingpilots, sincepoorlyperformingpilotswhowerecriticizedsubsequently made better landings, whereas high performers who were praised made worse ones. (Itis a sobering thought that we might generally tend to overrate censure and underrate praise becauseof theregressionfallacy.)Morerecently, aneditorialistfortheTimeserroneouslyarguedthattheregression eect alone would insure that racial dierences in I.Q. would disappear over time.DidGaltonhimself commit Galtonsfallacy ?Brookesinsiststhat hedid. Galtoncompletelymisreadhisresultsonregression,heargues, andwronglybelievedthathumanheightstendedtobecome more average with each generation. Even worse, Brookes claims, Galtons muddleheadednessabout regression led him to reject the Darwinian view of evolution, and to adopt a more extreme andunsavoryversionof eugenics. Supposeregressionreallydidactasasortof gravity, alwayspullingindividuals back toward the average. Then it would seem to follow that evolution could not take placethrough a gradual series of small changes, as Darwin envisaged. It would require large, discontinuouschanges that are somehow immune from regression to the mean. Such leaps, Galton thought, wouldresultintheappearanceof strikinglynovel organisms, orsportsof nature,thatwouldshifttheentire bell curve of ability. And if eugenics was to have any chance of success, it would have to workthe same way as evolution. In other words, these sports of nature would have to be enlisted to createa new breed. Only then could regression be overcome and progress be made.Intellingthisstory, Brookesmakeshissubjectouttobemoreconfusedthanheactuallywas.Presentation 12It tookGaltonnearlytwodecadestoworkout thesubtletiesof regression, anachievement that,accordingtoStephenM.Stigler,astatisticianattheUniversityofChicago,shouldrankwiththegreatest individual events inthehistoryof scienceat alevel withWilliamHarveys discoveryofthe circulation of blood and with Isaac Newtons of the separation of light. By 1889, when Galtonpublishedhismostinuentialbook,NaturalInheritance,hisgraspofitwasnearlycomplete.Heknew that regression had nothing special to do with life or heredity. He knew that it was independentof the passage of time. Regression to the mean held even between brothers, he observed ; exceptionallytallmentendtohavebrotherswhoaresomewhatlesstall.Infact,asGaltonwasabletoshowbya neat geometric argument, regression is a matter of pure mathematics, not an empirical force. Lestthere be any doubt, he disguised the case of hereditary height as a problem in mechanics and sent itto a mathematician at Cambridge, who, to Galtons delight, conrmed his nding.Evenashelaidthefoundationsforthestatistical studyof humanheredity, Galtoncontinuedtopursuemanyotherintellectual interests, someimportant, somemerelyeccentric. Heinventedapair of submarine spectacles that permitted him to read while submerged in his bath, and stirred upcontroversy by using statistics to investigate the ecacy of prayer. (Petitions to God, he concluded,were powerless to protect people from sickness.) Prompted by a near-approach of the planet Mars toEarth, he devised a celestial signalling system to permit communication with Martians. More usefully,he put the nascent practice of ngerprinting on a rigorous basis by classifying patterns and provingthat no two ngerprints were exactly the samea great step forward for Victorian police work.Galton remained restlessly active through the turn of the century. In 1900, eugenics received a bigboost in prestige when Gregor Mendels work on heredity in peas came to light. Suddenly, hereditarydeterminismwasthescienticfashion. AlthoughGaltonwasnowplaguedbydeafnessandasthma(which he treated by smoking hashish), he gave a major address on eugenics in 1904. What naturedoesblindly, slowly, andruthlessly, manmaydoprovidently, quickly, andkindly,hedeclared. Aninternational eugenics movement was springing up, and Galton was hailed as its hero. In 1909, he washonored with a knighthood. Two years later, at the age of eighty-eight, he died.Inhislongcareer,Galtondidntcomeclosetoprovingthecentralaxiomofeugenics:that,whenitcomestotalentandvirtue,naturedominatesnurture.Yetheneverdoubteditstruth,andmanyscientistscametosharehisconviction.Darwinhimself,inTheDescentofMan,wrote,Wenowknow, throughtheadmirablelaboursof Mr. Galton, thatgenius. . . tendstobeinherited.Giventhisaxiom,therearetwowaysofputtingeugenicsintopractice:positiveeugenics,whichmeansgetting superior people to bree more ; and negative eugenics, which means getting inferior ones tobreedless.Forthemostpart,GaltonwasapositiveeugenicistHestressedtheimportanceofearlymarriage and high fertility among the genetic elite, fantasizing about lavish state-funded weddings inWestminster Abbey with the Queen giving away the bride as an incentive. Always hostile to religion,he railed agains the Catholic Church for imposing celibacy on some of its most gifted representativesoverthecenturies. Hehopedthatspreadingtheinsightsof eugenicswouldmakethegiftedawareof their responsibility to procreate for the good of the human race. But Galton did not believe thateugenics could be entirely an aair of moral suasion. Worried by evidence that the poor in industrialBritain were breeding disproportionately, he urged that charity be redirected from them and towardthe desirables. To prevent the free propagation of the stock of those who are seriously aicted bylunacy, feeble-mindedness, habitual criminality, and pauperism, he urged stern compulsion, whichmight take the form of marriage restrictions or even sterilization.Galtons proposals were benign compared with those of famous contemporaries who rallied to hiscause. H.G. Wells, for instance, declared, It is in the sterilisation of failures, and not in the selectionof successes for breeding, that the possibility of an improvement of the human stock lies. AlthoughGalton was a conservative, his creed caught on with progressive gures like Harold Laski, John May-Presentation 13nard Keynes, George Bernard Shaw, and Sidney and Beatrice Webb. In the United States, New Yorkdisciples founded the Galton Society, which met regularly at the American Museum of Natural History,and popularizers helped the rest of the country become eugenics-minded. How long are we Americansto be so careful for the pedigree of our pigs and chickens and cattleand then leave the ancestryofour children to chance or to blind sentiment ? asked a placard at an exposition in Philadelphia. Fouryears before Galtons death, the Indiana legislature passed the rst state sterilization law, to preventthe procreation of conrmed criminals, idiots, imbeciles, and rapists. Most of the other states soonfollowed.Inall,thereweresomesixtythousandcourt-orderedsterilizationsofAmericanswhowerejudged to be eugenically unt.It was in Germany that eugenics took its most horric form. Galtons creed had aimed at the upliftof humanity as a whole ; although he shared the prejudices that were common in the Victorian era, theconcept of race did not play much of a role in his theorizing. German eugenics, by contrast, quicklymorphed into Rassenhygienerace hygiene. Under Hitler, nearly four hundred thousand people withputativelyhereditaryconditionslikefeeblemindedness, alcoholism, andschizophreniawereforciblysterilized. In time, many were simply murdered.The Nazi experiment provoked a revulsion against eugenics that eectively ended the movement.Geneticistsdismissedeugenicsasapseudoscience, bothforitsexaggerationoftheextenttowhichintelligence and personality were xed by heredity and for its navete about the complex and mysteriouswaysinwhichmanygenescouldinteracttodeterminehumantraits.In1966,theBritishgeneticistLionel Penrose observed that our knowledge of human genes and their action is still so slight that itis presumptuous and foolish to lay down positive principles for human breeding.Since then, science has learned much more about the human genome, and advances in biotechnologyhave granted us a say in the genetic makeup of our ospring. Prenatal testing, for example, can warnparentsthattheirunbornchildhasageneticconditionlikeDownsyndromeorTay-Sachsdisease,presenting them with the agonizing option of aborting it. The technique of embryo selection aordsstill greater control. Several embryos are created in vitro from the sperm and the eggs of the parents ;theseembryosaregeneticallytested, andtheonewiththebestcharacteristicsisimplantedinthemothers womb. Both of these techniques can be subsumed under negative eugenics, since the genesscreenedagainstarethoseassociatedwithdiseasesor, potentially, withotherconditionsthattheparents might regard as undesirable, such as low I.Q., obesity, same-sex preference, or baldnessThere is a more radical eugenic possibility on the horizon, one beyond anything Galton envisaged.It would involve shaping the heredity of our descendants by tinkering directly with the genetic materialin the cells from which they germinate. This technique, called germline therapy, has already beenused with several species of mammals, and its proponents argue that it is only a matter of time beforehuman beings can avail themselves of it. The usual justication for germline therapy is its potential foreliminating genetic disorders and diseases. Yet it also has the potential to be used for enhancement.If, for example, researchers identied genes linked with intelligence or athletic ability, germline therapycould give parents the option of souping up their children in these respects.Galtonian eugenics was wrong because it was based on faulty science and carried out by coercion.But Galtons goal, to breed the barbarism out of humanity, was not immoral. The new eugenics, bycontrast, is based on a relatively sound (if still largely incomplete) science, and is not coercive ; decisionsabout the genetic endowment of children would be left up to their parents. It is the goal of the neweugenics that is morally cloudy. If its technologies are used to shape the genetic endowment of childrenaccording to the desiresand nancial meansof their parents, the outcome could be a GenRich classof people who are smarter, healthier, and handsomer than the underclass of Naturals. The ideal ofindividual enhancement, rather than species uplift, is in stark contrast to the Galtonian vision.Presentation 14Theimprovementofourstockseemstomeoneofthehighestobjectsthatwecanreasonablyattempt, Galton declared in his 1904 address on the aims of eugenics. We are ignorant of the ultimatedestinies of humanity, but feel perfectly sure that it is as noble a work to raise its level. . . as it wouldbe disgraceful to abase it. Martin Brookes may be right to dismiss this as a blathering sermon, butit possesses a certain rectitude when set beside the new eugenicists talk of a posthuman future ofdesigner babies. Galton, at least, had the excuse of historical innocence.Chapitre2Complements2.1 SurlerayondeconvergencedesseriesentièresaleatoiresEnonceOnconsidèreunesuite(Xn)n0devariablesaleatoiresindependantesetdememeloi etonsepropose de calculer le rayon de convergence de la serie entière aleatoire

n0Xnzn.Solutiondeveloppee0) Rappelons que le rayon de convergence dune serie entière

n0anznest un nombre 0R+qui permet de caracteriser le comportement de cette serie entière comme suit. Dune part, si [z[ < R,la serie converge et son terme general converge (au moins) geometriquement vite vers 0, cest-à-direquilexisteuneconstanteniecetunreelpositif R, la serie diverge puisque la suite ([anzn[)n0 nest pas bornee.(Si [z[ = R, la situation est plus compliquee.) Enn, on dispose dune formule :1/R = limsupn[an[1/n.1) Dans le cas dune serie entière à coecients aleatoires, on voit que, pour tout k0, 1/R est aussila limite superieure de la suite ([Xn[1/n)nk. DoncR est mesurable par rapport à la tribu engendreepar (Xn)nkpour toutket, comme les variables aleatoiresXnsont independantes, la loi du zero-unmontre queR est presque s urement constant.2) Pour calculer la valeur deR, on introduit les evenementsAn(c) = [Xn[cn.Alors P(An(c)) = P([X1[cn) puisque les variables aleatoires Xn ont toutes la meme loi. Consideronsla serieS(c) =

nP([X1[cn). SiS(c) converge, la partie facile du lemme de Borel-Cantelli indiqueque, presque s urement, levenementAn(c) nest realise que pour un nombre ni dindicesn (puisquelimsup An(c) est de probabilite nulle et que cet ensemble correspond au fait que An(c) est realise pourComplements 16un nombre inni dindices n). Par contre, si S(c) diverge, la partie dicile du lemme de Borel-Cantelliest disponible puisque les evenementsAn(c) sont independants et elle indique que, presque s urement,levenementAn(c) est realise pour un nombre inni dindicesn.Dans le premier cas, presque s urement [Xn[ < cnpourn assez grand, donc limsup [Xn[1/n c etR1/c presque s urement. Dans le second cas, presque s urement [Xn[cnpour des indicesn aussigrands que lon veut, donc limsup [Xn[1/n c etR1/c presque s urement.3) Il reste à evaluerS(c). Or,S(c) =

n0P(log [X1[n log c).Si c>1,onvoitqueS(c)convergesietseulementsilog [X1[estintegrablelào` ulog [X1[ 0.Par consequent, si E(log+[X1[) est inni,S(c) diverge pour toutc > 1 doncR1/c pour toutc > 1doncR = 0.Parcontre,si E(log+[X1[)estni, S(c)convergepourtoutc> 1doncR1/cpourtoutc > 1 doncR1.Par ailleurs, pour toute loiX1(P) ,= 0, il existex > 0 tel que P([X1[x) est strictement positif.Donclaserie

nP([Xn[ x)divergeetlapartiediciledulemmedeBorel-Cantelli indiqueque,presque s urement, [Xn[x une innite de fois. Si [z[ = 1, on en deduit que [Xnzn[x une innitede fois, donc [Xnzn[ ne tend pas vers 0 doncR1 dans tous les cas o` uX1(P) ,= 0.4) Finalement, il y a trois cas : si X1 = 0 presque s urement, alors R = ; si log+[X1[ est integrable,alorsR = 1 ; enn, si log+[X1[ nest pas integrable, alorsR = 0.Pour xer les idees, considerons le cas o` u la loi de [X1[ admet une densite f par rapport à la mesurede Lebesgue. Alors, sil existea> 2 tel quef(x) c/(x(log x)a) quandx , alors log+[X1[ estintegrable. Par contre, sif(x)c/(x(log x)2) quandx , alors log+[X1[ nest pas integrable.5) Rappel On a utilise le fait suivant, demontre en TD et à connatre. Soit Yune variable aleatoirepositive. Alors, pour touty> 0,Yest integrable si et seulement si la serie

nP(Y ny) converge.2.2 SurlemaximumdevariablesaleatoiresEnonceSoit (Xn)n1 une suite de variables aleatoires independantes, positives, de meme loi, et integrables.On poseMn = max Xk ; 1kn. Montrer que E(Mn/n) 0 quandn .SolutionOn sait que, pour toute variable aleatoire positiveX,E(X) =_+0P(X> x) dx.Parailleurs, Mnxsi etseulementsi Xkxpourtout1knetlesvariablesaleatoires(Xk)1kn sont independantes et ont toutes la meme loi queX1, doncE(Mn/n) =_+0n(x) dx, n(x) = (1 P(X1x)n)/n.Complements 17Comme 0 n(x)1/n, n(x) 0 quandn , pour toutx0 xe. Il reste à verier que lasuite (n)n1 est dominee par une fonction integrable.Or, pour tout 0 a1 etn1, (1 an)/n1 a. (Première solution : le rapport des deuxtermes vaut (1 +a + +an1)/n et cette parenthèse comporten termes, qui sont tous entre 0 et 1,donc elle est inferieure à n. Ou bien : il sut de verier que naan n1. En derivant le membre degauche par rapport àa, on constate quil est maximum quanda = 1, cest-à-dire inferieur au membrede droite. Ou encore : montrer que la suite de fonctions (n)n1 est en fait decroissante.)En appliquant ce qui precède àa = P(X1x), on obtientn(x)1(x) pour toutx0 et toutn1. Il reste à verier que1est integrable. Or, par denition, lintegrale de1vaut E(X1), doncon a termine.Remarque: sans lhypothèse dindependance, on ne sait donc pas faire. La suite de lexercice :trouver un exemple dune suite (Xn)n1 de variables aleatoires dependantes positives, de meme loi, etintegrables telle que E(Mn/n) ne tend pas vers 0. Ou bien : montrer que lhypothèse dindependanceestinutilepourmontrerqueE(Mn/n)tendvers0(àpremièrevue, jenycroispas, maissait-onjamais. . .).SansindependanceEnonce : Soit (Xn)n1une suite de variables aleatoires positives, de meme loi et integrables. OnposeMn = max Xk ; 1kn. Montrer que E(Mn/n) 0 quandn .On sait que, pour toute variable aleatoire positiveX,E(X) =_+0P(Xx) dx.Par ailleurs, si Mn x, alorsXk x pour au moins un indice 1 k n, et les variables aleatoires(Xk)1kn ont toutes la meme loi queX1, doncP(Mnx) n

k=1P(Xkx) = nP(X1x).On deduit de ces deux remarques queE(Mn/n) =_+0n(x) dx, n(x) = P(Mnx)/n,avec, pour toutn1,0n(x)(x), (x) = P(X1x).Puisque 0n(x)1/n,n(x) 0 quandn , pour toutx0 xe. CommeX1 est integrable,est integrable donc le theorème de convergence dominee montre que lintegrale dentend vers 0.CQFD.Remarque: on na besoin daucune hypothèse dindependance.2.3 UneautreversiondelaloidesgrandsnombresVoici une version de la loi des grands nombres qui est plus forte que celle demontree en cours.Complements 18Theorème (LGN)Soit (Xn)n1une suite de variables aleatoires de meme loi, integrables et deuxà deux independantes. SoitSn := X1 + +Xn.AlorsSn/n converge vers E(X1) presque s urement et dansL1quandn tend vers linni.Remarque : lindependance des variables aleatoires deux à deux est une hypothèse plus faible queleur independance globale.Les etapes de la preuve sont les suivantes.(1) En decomposant chaque variable aleatoireXn en ses parties positive et negative, on voit quilsut de demontrer la convergence presque s ure pour des variables aleatoires positives.Pour deduire la convergenceL1de la convergence presque s ure, on dispose de deux options. Soitutiliser le fait que la famille (Xn)n1 est uniformement integrable puisque toutes les variables aleatoiresXnontlamemeloi integrable. LesvariablesaleatoiresSn/netantdesbarycentresdemembresdecettefamille, lafamille(Sn/n)n1estaussi uniformementintegrable, donclaconvergencepresques ure deSn/n entrane sa convergence au sensL1. Soit utiliser le lemme de Schee ci-dessous puisqueE(Sn/n) = E(X1).Lemme (Schee)Soit Xn et X des variables aleatoires integrables telles que la suite (Xn)n convergeversXpresques urementettellesqueE([Xn[)convergeversE([X[). Alorslasuite(Xn)nconvergeversXdansL1.(2)OnsupposedoncqueXn 0.OnvatronquerlesvariablesaleatoiresXnpourobteniruneconvergence rapide dune soussuite de (Sn/n)n puis utiliser la monotonie de la suite (Sn)n.Soita > 1 etan la partie entière dean. PosonsYn := Xn1([Xn[n), Tn :=n

k=1Yk, Zn = a1n(Tan E(Tan)).On dispose du lemme de troncature suivant, que nous avons utilise dans la preuve de la loi des grandsnombres classique et dont nous ne reproduisons pas la preuve ici.Lemme (Troncature)Soit (Xn)nune suite de variables aleatoires de meme loi integrable, et soitYnetTndenis ci-dessus.(a) E(Yn) et E(Tn/n) convergent vers E(X1).(b) Les series

nvar(Yn)/n2et

nE(Y2n)/n2convergent.(c) Levenement liminfXn = Yn est de probabilite 1.Onendeduitquelaserie

nE(Z2n)converge. Eneet, lindependancedesvariablesaleatoires(Yn)n deux à deux entrane queE(Z2n) = a2nan

k=1var(Yk)a2nan

k=1E(Y2k ),do` u par sommation,

nE(Z2n)

kE(Y2k )

n: anka2n c

kE(Y2k )/k2.Complements 19Ladernièresommeestnieparlapartie(b)dulemmedetroncature.Onendeduitque

nZ2nestpresque s urement nie donc queZn tend presque s urement vers 0.(3) La partie (a) du lemme de troncature montre quea1nE(Tan) tend vers E(X1). Donca1nTanconverge vers E(X1) presque s urement. On en deduit quea1nSanconverge vers E(X1) presque s ure-ment, car (San Tan)/an tend vers 0 presque s urement, daprès la partie (c) du lemme de troncature.(4)Ilresteàrepasserdelasuite(San/an)n1àlasuite(Sn/n)n1.Pourtoutn 1,soitk(n)lindicek tel queakn < ak+1. Alors,Sn/n(ak(n)/ak(n)+1) Sak(n)+1/ak(n)+1do` u limsup Sn/nlimsup(ak(n)/ak(n)+1)E(X1) = a E(X1). De meme,liminf Sn/nE(X1)/a.Le reela > 1 est arbitraire donc on a termine la preuve du theorème.On a utilise les resultats auxiliaires suivants dont la preuve est laissee en exercice au lecteur.Soit a > 1 et an la partie entière de an. Alors an+1/an tend vers a. De plus, il existe une constantec independante dek (mais dependant dea) telle que, pour toutk,

n: ank1/a2nc/k2.2.4 LoidesgrandsnombresechangeableDaprès Luca Pratelli, Seminaire XXIII, Lecture Notes 1372, 527530 (1989).Soit (Xn)n1 une suite echangeable de variables aleatoires et notonsSn =n

k=1Xk, Un = Sn/n.Rappelons quune famille est echangeable si sa loi est invariante sous leet de toute permutation desupport ni cest-à-dire si pourn1 ets permutation de 1, . . . , n quelconques, Xs= (Xs(k))knadmet la meme loi que (Xk)kn. Quelques proprietes : echangeable implique de meme loi ; i.i.d. implique echangeable ; si(Xn)nest echangeable, festborelienneetZestindependantede(Xn)n,alorslasuitedesYn = f(Xn, Z) est echangeable ; si (Xn)nest echangeable de carre integrable, E(Xn) = E(X1), var(Xn) = var(X1). De plus, ona par exemple E(XnXm) = E(X1X2) pour toutn ,= m.Theorème Soit (Xn)nune suite echangeable. Notons / la tribu asymptotique desXnet supposonsqueX1estintegrable.Alorslasuite(Un)nconvergepresques urementetdansL1versunevariablealeatoire U /mesurable. On peut caracteriser Ucomme suit : toute variable aleatoire Z /mesurableet bornee verieE(Z X1) = E(Z U).On verra plus tard queUest lesperance conditionnelle deX1 par rapport à /.Complements 20Corollaire Dans le cas i.i.d., la tribu / est triviale doncUest constante presque s urement etU=E(X1).DemonstrationLa preuve se fait en plusieurs etapes.1. Soitfune fonction borelienne bornee sur R et posonsYn = f(Xn), Tn =n

k=1Yk, Vn = Tn/n.On a alors E[Un Vn[E[X1 Y1[. (Inegalite triangulaire.)2. SupposonsqueX1estdecarreintegrableetnotonsa= E(X21)etb= E(X1X2).Alors,pourmn, on peut calculerE(UnUm) = (a + (n 1) b)/n = E(U2n),donc E((UmUn)2) = E(U2m) E(U2n), par consequent, la suite des E(U2n) est decroissante et lasuite (Un)n est de Cauchy dansL2.3. SupposonsX1 integrable. Alors, pour > 0, on a : P(maxmin[Un Ui[)E[Un Um[.Pour le demontrer, on pose= supi ;mi < n, [Un Ui[,et on evalue P(= i) en separant la partie o` uUi> Un et celle o` uUiUn. Il vient P(m)E(Un Um : A) +E(Um Un : A+),o` uA etA+ sont deux ensembles disjoints ; le tout est donc majore par E[Un Um[.4. Ondeduitdecequiprecèdequelasuite(Un)nestdeCauchydansL1:onseramèneaucasL2grace à 1 et on applique alors le 2. Par consequent, le 3 montre que la suite (Un)nconvergepresque s urement.5. Posonsalors U=limsup Un. Lavariablealeatoire Uestbien /mesurableet, si Zest /mesurable bornee, on a E(UnZ) = E(X1Z) pour toutn, do` u le resultat.Remarque La variable aleatoireUest la seule telle que E(U: A) = E(X1 : A) pour toutA /.2.5 EncoredelechangeabiliteRappelons quune permutation nie de Nest unebijections : N Ntelle ques(i) ,=i pourun nombre ni de valeurs dei. Soit (Xn)n1une suite de variables aleatoires à valeurs dans R. PourtoutA dans la tribu engendree par la suite (Xn)n1, il existe un borelienBde RNtel queA = ; (Xn())n1 B.AlorsAestdit echangeablesietseulementsi s1(B) =Bpourtoutepermutationnieso` u,pourtoutx := (xn)n1 dans RN, on notes(x) := (xs(n))n1.La collection des evenements echangeables est une tribu, notee cet appelee la tribu echangeable.Complements 21ExemplesPour construire des exemples, notonsSn := X1 + +Xn. Alors les evenementsAC := Sn C pour une innite den et limsup Sn/cn1sont echangeables. De plus, tout evenement asymptotique est echangeable. (Pour le montrer, on xe lapermutations et on ecrit la mesurabilite par rapport à (Xk)kn avec un indicen susamment grandpour que s(k) = k pour tout kn.) Lexemple de AC montre que la reciproque est fausse, cest-à-direque lon peut etre echangeable sans etre asymptotique.ResultatsLeresultatsuivantindiquequesi (Xn)n1estunesuiteindependante, latribuechangeableesttriviale (donc quelle concide avec la tribu asymptotique).Theorème (Loiduzero-undeHewitt-Savage)Si(Xn)n1estunesuiteindependanteetsi Aest echangeable, alors P(A) vaut 0 ou 1.Une application est le resultat suivant.Theorème (Loidesgrandsnombrespourdesmarchesauhasardreelles)Supposons que (Xn)n1est une suite i.i.d. et notonsSn := X1 + +Xn. Alors, soitSn = 0 presques urementpourtoutn1 ;soitSn +presques urementquandn ;soitSn presques urement quandn ; soitliminf Sn = et limsup Sn = + presque s urement. (2.1)On peut montrer que si (Xn)n1est une suite i.i.d. telle que E(Xn) = 0 et P(Xn = 0) ,= 1, alorson est dans le cas (2.1).PreuvedelaloidesgrandsnombresDaprèslaloiduzero-undeHewitt-Savage,limsup Snestmesurableparrapportà cdoncvautune constantec dans [, +], presque s urement.Pourn1, soitTn :=Sn+1 X1. Comme (Tn)n1et (Sn)n1suivent la meme loi, limsup Tn =limsup Sn=cpresques urement, doncc=c X1presques urement. Si cestni, il vientX1=0presques urement. Parconsequent, siP(X1=0) ,=1, cvaut+ou . Lememeraisonnementsapplique à liminf Sn. Il reste à eliminer le cas impossible liminf Sn = + et limsup Sn = pourobtenir la conclusion de la loi des grands nombres.Preuvedelaloiduzero-undeHewitt-SavageOn suit la preuve de la loi du zero-un de Kolmogorov, qui traite de la tribu asymptotique dunesuiteindependante. Plusprecisement, soit Adans c. Il existeunesuite(An)n1tellequeAnestmesurable par rapport à (Xk)1kn et P(AAn) 0 quandn (voir ci-dessous).Il existe des boreliensBetBn tels queAn := (Xk)1kn Bn, A := (Xn)n1 B.Complements 22Pour toutn1, soitsnla permutation qui echange les ensembles 1, . . . , n et n + 1, . . . , 2n, plusprecisementsn(i) :=n + i si 1 i n, sn(i) :=i n si n + 1 i2n etsn(i) :=i si i2n + 1.Alorss1n(A) = A carA est echangeable ets1n(An) = A

n avecA

n := (Xk)n+1k2n Bn.Comme la suite (Xk)k1 est i.i.d., les lois de (Xk)k1 et (Xsn(k))k1 concident doncP(AnA) = P(A

nA).CommeAn (An A

n) AnA

n (AnA) (A

nA), on voit que0P(An) P(An A

n)2 P(AnA) 0.Pour chaque n1 xe, An est mesurable par rapport à (Xk)1kn et A

n est mesurable par rapport à(Xk)n+1k2n, doncAnetA

nsont independants et P(A

n An) = P(An) P(A

n). Il reste à remarquerque P(A

n) = P(An) P(A) pour en deduire que P(A) P(A)2= 0, ce qui conclut la preuve.UnrappeldetheoriedelamesureOnautiliseenpassantlapproximationdeAparunesuite(An)n1tellequechaqueensembleAnestmesurableparrapportà(Xk)1kn.Cestuneconsequenceduresultatsuivant:soit /unealgèbre, (/) la tribu engendree, m une mesure sur (/) et A dans (/) un ensemble de mesure m(A)nie. Alors, pour touta positif, il existe un ensembleBdans / tel quem(AB) a. (Indication :considerer la classe des A dans (/) tels que cest vrai pour tout a positif.) On applique ceci à lalgèbrereunion des tribus engendrees par (Xk)1kn pour toutn1.2.6 SurquelquesnotionsdeconvergenceSoit (Xn)n1 etXdes variables aleatoires. Voici quatre proprietes.[PS]Xn Xpresque s urement.[Lp]Xn XdansLp.[UI] La famille ([Xn[p)n1 est uniformement integrable.[S erie] Pour touta > 0, la serie

n1P([Xn X[a) converge.Daprèslecours,si[PS]et[UI]sontvraies,alors[Lp]estvraie(onpasseparlaconvergenceenprobabilite), et si [S erie] est vraie, alors [PS] est vraie.Lobjet de cette note est de montrer que[Lp] entrane [UI] ; [PS] nentrane pas [S erie].Si [Lp] estvraie, soita>0. Onvamontrerquil existettel que, pourtoutn 1, xn(t) a,avecxn(t) = E([Xn X[p; [Xn X[ t).CommeXn XdansLp,ilexisteunentierNnitelqueE([Xn X[p) apourtout n N. Or, pourtout t, xn(t) E([Xn X[p)doncxn(t) apourtoutn Nettoutt. Parailleurslafamille([Xn X[p)nNestunepartieniedeL1doncelleest uniformement integrable. Ainsi, il existe t tel que xn(t) apour tout nN. Alors tconvient pour la suite entière, donc ([XnX[p)n1 est uniformement integrable. CommeXest dansLpdaprès la denition de la convergenceLp, on sait que [X[pest uniformement integrable. Comme[Xn[p 2p1([XnX[p+[X[p), ([Xn[p)n1 est uniformement integrable en tant que famille controleepar la somme de deux familles uniformement integrables.Complements 23Pour la deuxième assertion, voici un exemple. Soit Yune variable aleatoire positive quelconque etXn = Y/n. Alors [PS] est vraie avecX = 0 et le terme general de la serie de la condition [S erie] vautP([Xn[ a) = P(Yna), donc [S erie] est vraie si et seulement si Y est integrable. Toute variablealeatoireYnon integrable fournit donc un cas o` u [PS] est vraie et [S erie] est fausse.2.7 Surlafamilledefonctionst e[t[On note(t) := e|t|et on se propose de determiner pour quelles valeurs dela fonctionest une fonction caracteristique.Quelques remarques elementaires tout dabord. On veut que(0) = 1 donc> 0. De plus, 1est la fonction caracteristique de la loi de Cauchy reduite de densite 1/((1+x2)) et 2 est la fonctioncaracteristique de la loi gaussienne centree de variance 2, de densite ex2/4/(2).Une remarque moins elementaire à present. Si est une fonction caracteristique, le determinantK(t, s) ci-dessous doit etre positif ou nul pour toute valeur det ets, avecK(t, s) :=(0) (t) (t +s)(t) (0) (s)(t s) (s) (0).En supposant ques = xt pourx xe et en considerant la limitet 0, le developpement limite de lafonction exponentielle en 0 permet de montrer queK(t, xt) = [t[2k(x) +o([t[2) aveck(x) := 2x(1 +x)+ 2x+ 2(1 +x)x2(1 +x)21.Si > 2, k(x) = 2x2+o(x2) quand x 0 donc K(t, xt) prend des valeurs strictement negativeset nest pas une fonction generatrice.Il resteàtraiterlecas01, lasuite(an)n0estpositiveetdecroissanteet, pourtout n 0, 0 ana0=(1 +1/)/ donc la serie converge au moins pour [x[ < 1. En fait, la formule de Stirling montre quean tend vers 0 plus vite que toute serie geometrique donc la serie converge partout.Enn, on peut remarquer que, puisque la suite (an)n est decroissante, la serie qui denit f(x) estalternee pour [x[1, donc le resultat est bien positif sur ce domaine. Par ailleurs, meme pour = 1,cette formule donne bien la bonne densitef1(x) = 1/((1 +x2)).Enconclusion, t e|t|estunefonctioncaracteristiquesi etseulementsi 0 1 et dansce cas elle est centree. Elle est de carre integrable si et seulement si = 2, auquel cas il sagit de la loinormale centree de variance 2. Enn, si 1 < 2, on dispose de la densite de cette loi sous la formedune serie alternee qui converge partout plus vite que geometriquement.Remarque Resterait à montrer quef(x)0 pour [x[ > 1. Quelques tentatives en ce sens.Soit(cn)nunesuitei.i.d.devariablesaleatoiresdeloideCauchyreduiteet1 0etenposanty=tx,ilresteàmontrerlaconvergenceversuneconstantepositive et nie de_+01 cos(y1/)t2+y2dy,ce qui est bizarre.Complements 25Par ailleurs, pour toutx > 0,f(x) =1

n0(1)nxn, xn = (1)n_(n+1)/xn/xcos(tx) (t) dt.Sur lintervalle (n/x, (n+1)/x), les fonctions et t (1)ncos(tx) sont toutes deux decroissantes,doncxnest superieur au produit des integrales, soitxn0. Il surait de montrer quex2n x2n+1pour conclure.Complements 26Chapitre3Exercices3.1 Fiche1:Outilsprobabilistes1. Pour n0, Mn est un menteur. M0 emet un message (+ ou ) vers M1 et chaque Mn, n1,transmetlemessagerecudeMn1versMn+1:ilyapchances,0 p 1,queMntransmettelemessage recu intact et (1 p) chances quil le modie. Trouverpn, la probabilite queMntransmetteeectivement le message emis parM0 etp, la limite despn si elle existe.2. Nabuchodonosor et Cleopatre ont rendez-vous entre 5 et 7. Chacun a decide dattendre lautre,si besoinest, pendantunquartdheure. CalculerlaprobabilitequeNabuchodonosoretCleopatrereussissent leur rendez-vous.3. Pourn1 on munit lespace on des permutations de 1, . . . , n de la probabilite uniforme Pn.Pour on, on noteF() le nombre de points xes de.1) Exprimer Pn(F= k) à laide dep(i) = Pi(F= 0). En deduire une relation entre lesp(i) puis lavaleur dep(i) (series entières !).Trouver limnPn(F= k).2) Etablir la formule due à Poincare :P_n_k=1Ak_=n

k=1(1)k+1

I[1,n],|I|=kP_

iIAi_.Indications : P(A) = E(1A) et 1AB = 1A1B.Retrouver directement lesp(i) à partir de cette formule.4. Exhiber , ( T() tel que (() = T() et deux probabilites P et Q distinctes sur T() tellesque P(A) = Q(A) pour toutA dans (.5. Exhiber un espace de probabilite (, T, P) tel que Tne contient aucun singleton mais tel queTest en bijection avec T().6. PourA Netn1, on posedn(A) = n1[A [1, n][. Notons / lensemble des partiesA deN telles que la densited(A) = limndn(A) existe.ExhiberA etBdans / tels queA Bnest pas dans /. Donc / nest pas unsystème.Moralite: approcher une mesure uniforme sur N par la mesure uniforme sur [1, n] nest pasla seule solution employee par les theoriciens des nombres. Pours (1, +), soitms = (s)1

n1nsn.Exercices 28Outredes proprietes dindependancebienvenues (voir unexerciceplus bas), les mesures msontlavantage quems(A) d(A) quands 1+, pour toutA dans /. Le montrer.Montrer que la convergence dems(A) quands 1+nimplique pas queA appartient à /.7. Soit (An)n une suite de parties de N. Montrer que1(limsup An) = limsup 1An.8. Soit N: Nunefonction T/T(N) mesurableet Xn: Rdes fonctions T/B(R)mesurables. Montrer queY: R denie parY () = XN()(),est T/B(R) mesurable.9.(Atomes)OnditqueAdans TestunatomedePsiP(A) >0etsi toutepartieBdeAmesurable verie P(B) = 0 ou P(B) = P(A).On noteA B si et seulement si P(AB) = 0. La relation est une relation dequivalence, on noteA la classe deA.1) Montrer que la classe / = A ;A T,A atome est une classe au plus denombrable.2) Montrer que d(A, B) = P(AB) denit une distance d sur lensemble des classes dequivalencede la relation .3) Dans cette question (, T) = (R, B(R)) etA est un atome. Montrer quil existe un reel x telqueA = x.4) Dans cette question, P ne possède aucun atome. SoitA T, P(A)> 0 et 0 0 etA T, il existe un indicen et un evenementA

Tn tels que P(AA

).Variablesaleatoires13. SoitX: (, T) (

, T

) une variable aleatoire et(X) =X1(T

). Verier que(X) estbien la plus petite tribu (rendantXmesurable pour (et T

.Exercices 29Soit(X) = Xx ;x R. Montrer que(X) = X1((R)) et que(X) est unsystème quiengendre(X).14. SoitXn des variables aleatoires reelles.Montrer que infnXn, liminfnXn et limsupnXn sont des variables aleatoires à valeurs dans R.Montrer que limnXn existe et Xn est bornee sont dans T.15. (RepresentationdeSkorokhod) SoitF: R [0, 1] une fonction de repartition.1) On denitXsur = [0, 1] parX() = infx;F(x) > . Montrer queX() = supx;F(x).Montrer queXest B() mesurable et queXadmet pour fonction de repartitionFpar rapport à lamesure de Borel P.2)Soit Y () =infx;F(x). MontrerqueY () =supx;F(x) 1, on note(s) =

n1ns, Tlensemble des nombres premierset on se donne une variable aleatoireXà valeurs dans N de loi P(X = n) = ns/(s).1) On noteAn = n[X pour tout entiern. Montrer que lesAppourp Tsont independants eten deduire une preuve probabiliste de legalite1/(s) =

ppremier(1 1/ps).2) Montrer que la probabilite quaucun carre ne diviseXest 1/(2s).3) SoitYune variable aleatoire independante deXet de meme loi queX. On noteD le p.g.c.d.(aleatoire) deXetY . Montrer queD est une variable aleatoire et que sa loi est donnee parP(D = n) = n2s/(2s).On pourra introduire 0 = n[D et la probabilite P0() = P([0).19. (Records) Soit (Xn)nune suite de variables aleatoires i.i.d. de fonction de repartition com-muneFcontinue. SoitR1 = et pourn2,Rn = m < n, Xm< Xn. Ainsi,Rnest levenementun record est battu au temps n. Montrer que les Rn sont independants et que P(Rn) = 1/n. Conclu-sion ?20. (Tribuasymptotique)1)Soit Xndesvariablesaleatoires, Tn=(Xn), Tn=(Xk ;kn)et T=

nTnlatribuExercices 30asymptotique. Pour chacun des ensembles suivants, preciser sil appartient à T :A = Xn converge , B =_

nXn converge_,C =_n1n

k=1Xkconverge_,D =_limnn1n

k=1Xk = a_, E =_

nXn = b_.2) Supposons de plus que lesXnsont independantes et soitYune variable aleatoire Tmesurable.Montrer quil existea R tel que P(Y= a) = 1.21. 1) Soit a > 0. Montrer que X est integrable si et seulement si la serie

nP([X[an) converge.2) En deduire que si (Xn)nest une suite de variables aleatoires i.i.d. alors : siX1est integrable,Xn/n tend vers 0 presque s urement ; sinon,Xn/n nest pas bornee presque s urement.SuitesdeBernoulli22.(Symetrie, symetrie...)Soit(Xn)nunesuitedevariablesaleatoiresindependantesetdememe loi diuse et symetrique par rapport à lorigine. On poseSn =

nk=1Xk.1) Montrer que la loi deSn est diuse.2) Montrer sans calcul que P(S2> 0 [ S1> 0) = 3/4.23. (Retours en zero) Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires i.i.d. de Bernoulli de paramètrep de loib(p) :X1(P) = p1 + (1 p)1. On poseS0 = 0 etSn =

nk=1Xksin1. On rappelle queSn suit la loi binomialeB(n, p).1)Soitaunentier.Montrerque P(Sn=a)nestnonnulquesi n aestpairetpositifetquequandn tend vers linni, P(Sa+2n = a) est equivalent à(2p)a(4p(1 p))n/n.2) Sip ,= 1/2, montrer que P(n0, nn0,Sn ,= a) = 1.Peut-on conclure sip = 1/2 ?Desormais,p = 1/2. On poseT= infn1 ;Sn = 0 si cet ensemble nest pas vide etT= +sinon. On va montrerP(T< +) = 1 et E(T) = +.3)Soit (nlensembledescheminspossiblesentrelestemps0et n: c (nsi cestunefonctioncontinue sur [0, n], nulle en 0, ane sur chaque intervalle [k, k + 1] et telle quef(k + 1) f(k) = 1.Montrer quil existe une bijection gn de 1, +1nsur (n telle que la mesure gn((X1, . . . , Xn)(P)) soitla probabilite uniforme sur (n noteeUn.4) Soita1 etb deux entiers. PosonsFb = c (n ;c(n) = b,etFab= c Fb ; k1, c(k) = a.On suppose ba. Alors, Fb = Fab . On suppose b < a. Alors, faire un dessin pour demontrer le principede reexion suivant :Un(Fab ) = Un(F2ab).Exercices 31(On pourra remarquer que (2a b) est le symetrique deb par rapport àa.)5) On sinteresse à la quantiteAn = P(S1 ,= 0, . . . , S2n ,= 0). Deduire du 4 les egalites :An = 2 P(S1 = 1, S2< 0, S3< 0, . . . , S2n< 0).Puis,An = P(S1< 1, S2< 1, . . . , S2n< 1).Puis,An =n1

k=0U2n1(F2k(2n1) F12k(2n1)).6) Montrer que P(T= 2n) = an1 an pour toutn1 et en deduireP(T< +) = 1 et E(T) = +.Pour la suite, voir le livre dexercices de Cottrell, Duhamel et GenonCatalot.24. (Lemur) Soit (n)nune suite de variables aleatoires i.i.d. à valeurs complexes de loi p 1 +(1 p) i etSn =

nk=1k. On xe deux entiersa etb positifs et on noteMle murM= a + i k ; 0kb.1) Calculerm = P(n1,Sn M).2) En remarquant queSa+best sur la droite x + iy Z + iZ;x + y = a + b, obtenir une autreexpression dem. Les deux quantites sont-elles egales ?25.(Constructiondunesuitedevariablesaleatoiresi.i.d.)Onmunit 0, 1delatribuT(0, 1) et de la probabiliteb(p) donnee parb(p) = p 1 + (1 p) 0.Soit lensemble des applications = (n)n de N dans 0, 1 o` u on noten = (n). On identie à un produit inni de copies de 0, 1 et on appelle Tla tribu cylindrique sur et P la probabiliteproduit desb(p) ; P est donc determinee parP( , 1 = a1, . . . , n = an) = p|a| (1 p)n|a|,pourtoutn1ettoutnupleta = (ak)knformede0etde1etdelongueur [a[ = k ak.Ondenit enn des fonctionsn : 0, 1 parn() = n.A)1)Montrerquenestunevariablealeatoiredeloi b(p)pourtoutn 1. Montrerquelasuite(n)n est independante.2)SoitX: RdonneeparX= n1 2nn. MontrerqueXestunevariablealeatoireàvaleurs dans [0, 1].3) On suppose jusquà nouvel ordre quep = 1/2. Quelle est la loi deX ? Construire une variablealeatoire sur (, T, P) de loi uniforme sur un intervalle [a, b].4) SiIest une partie innie de N de la formeI= in ;n1, montrer queXIsuit la meme loiqueX:XI=

n12nin.5) Construire une suite (Xn)n de variables aleatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1].Exercices 32B) 6) Soit Q une mesure de probabilite sur (R, B(R)). Construire une variable aleatoire Ydenie sur et de loiY (P) = Q. On pourra chercherY (X)mesurable.7) Soit (Qn)n une suite de probabilites sur (R, B(R)). Construire une suite de variables aleatoires(Yn)n denies sur , independantes et de loisYn(P) = Qn.C) On revient au cas general 0 < p < 1 et on noteI = [0, 1[, 1sa tribu borelienne et la mesure deBorel sur (I, 1). Si x I, on note 0, x1x2x3. . . son developpement dyadique qui ne se termine pas pardes 1.8)Exhiber unebijectionbimesurableentre(I, 1) et (0, T0) pour unespace0delaforme0 = N, P(N) = 0, et pour la tribu T0 induite.9)Endeduirelexistencedunefamilledemesuresdeprobabilites(mp)p]0,1[sur I, etrangèresdeux à deux, diuses et telles que = m1/2.Onadmettrauneloi desgrandsnombrespourlejeudepileouface, cest-à-direquelasuiten1

knk converge P presque s urement vers p et on pourra construire mp sur (I, 1) de sorte que lasuite (n)nde variables aleatoires denies sur (I, 1) parn(x) = xnsuive, sousmp, la meme loi quela suite (n)n sousP.3.2 Fiche2:Outilsprobabilistes,suite(Lois)1. Donner la loi de X+Ysi X et Ysont deux variables aleatoires independantes de lois de PoissonT(a) et T(b).Donner laloi de X+Y si Xet Y sont deuxvariablesaleatoiresindependantesdememeloiexponentielle c(a).2. On suppose que le couple (X, Y ) admet pour loi 2 1D(x, y) d2(x, y) o` u2 designe la mesure deBorel sur R2etD le triangle de R2de sommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1).Donner la loi des variables aleatoiresX,Y ,X +Y ,X YetY/(1 X). Pour cette dernière, onpourra donner une solution sans calcul.Montrer que les variables aleatoiresXetY/(1 X) sont independantes.3. On suppose queXadmet une loi diuse et queYest independante deX. Montrer que P(X ,=Y ) = 1.4. Trouver deux variables aleatoiresXetYnon independantes telles queX2etY2sont indepen-dantes.5. Sur = 0, 12avec P uniforme, trouver trois evenements independants deux à deux mais nondans leur ensemble.6. On suppose que = 0, 1, . . . , n et que P(0) =p, P(k) = (1 p)/n pourk1. Trouverune valeur dep telle quedeux evenements quelconques distinctsde lensemble vide etde ne sontjamais independants.(Simulation)7. (Rejet)Onveutsimulerunevariablealeatoiredeloi dedensitef donneeparrapportàlamesure de Borel sur R. On suppose que lon sait simuler une variable aleatoire de loi de densite g avecfa g poura0 (et donc obligatoirementa1).Pour cela, on se donne une suite (Un)n de variables aleatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] et uneExercices 33suite (Yn)n de variables aleatoires i.i.d. de loi de densiteg. On poseT= infn1 ;f(Yn) > a Ung(Yn).1) Montrer queTest une variable aleatoire et queTest ni presque s urement.2) On poseX = YTsiTest ni,X = 0 sinon. Montrer queXest une variable aleatoire et que saloi admet pour densitef.3) Calculer E(T).8. (Loinormale)1)Soit Xet Y deuxvariablesaleatoiresi.i.d. deloi normalecentreereduite ^(0, 1). Onpose(X, Y ) = (Rcos , Rsin ) pourR0 et R/2Z. Determiner la loi du couple (R, ).2) SoitUetVdeux variables aleatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. Construire explicitement àpartir deUetVun couple de meme loi que (R, ).3) En deduire un procede de simulation dune loi normale ^(0, 1).(Integration)9. SoitXune variable aleatoire positive ou nulle et soitYla partie entière deX. Montrer queY=

n11(Xn),

n1P(Xn)E(X)1 +

n1P(Xn).Montrer que E(X) =_+0P(X> x) dx =_+0P(Xx) dx.10. (Dicile.) SoitXune variable aleatoire positiveou nulle telleque E(X) =a et E(X2) = 1.Alors, pour tout 0t1, on aP(Xt a)(1 t)2a2.11. SoitFune fonction de repartition eta un reel. Montrer que_+(F(x +a) F(x)) dx = a.12. SoitXune variable aleatoire positive etr > 1. Montrer que_+0E(X tr) dttr=rr 1 E(X1/r).13. Exhiber deux variables aleatoiresXetYde meme loi uniforme sur [0, 1], telles que E(XY ) =E(X) E(Y ) et telles queX,Yne sont pas independantes.14. (StoneWeierstrass par les polynomes de Bernstein) On veut montrer que si f: [0, 1] R est une fonction continue, on peut lapprocher uniformement par des polynomes.Pour cela, on introduit une suite (n)n de variables aleatoires independantes de loi de Bernoulli deparamètrep, donc P(n = 1) = p = 1 P(n = 0) et on poseSn =n

k=1ketTn = Sn/n.1) Montrer que E(f(Tn)) est un polynome enp, que lon noteraBn(f), et donner une expressiondeBn(f)(p).Exercices 342) Utiliser le fait que fest bornee et uniformement continue pour montrer que Bn(f)(p) tend versf(p) uniformement enp quandn tend vers linni.15.Soit(Xn)nunesuite devariablesaleatoirespositives dememeloiet integrables.SoitMn=max Xk ;kn. Utiliser lexercice 9 pour montrer que E(Mn/n) tend vers 0.16. (Voir lexercice 21.) Soit (Xn)nune suite de variables aleatoires independantes de meme loi.On considère levenementA = [Xn[n une innite de fois.Utiliser lexercice 9 pour montrer queX1 est integrable si et seulement si P(A) = 0.17. (Dyadiques) Soit = [0, 1], Tboreliens et P mesure de Borel. Montrer quil existe A TetB Tnegligeables tels que A+B.Une somme de nombres normaux est-elle un nombre normal ?(Convergences)18. Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires quelconque. Exhiber une suite de reels an non nulstelle queXn/an converge presque s urement vers 0.19. On munit [0, 1] de la tribu des boreliens et de la mesure de Lebesgue.1) SoitXn=n1]0,1/n[. Montrer queXn 0, preciser en quels sens, et montrer que E(Xn) = 1.DessinerX = supnXn. Preciser siXest integrable.2) SoitYn = 1]0,1/n[. On ordonne lexicographiquement lensemble des couples (q, p) NN telsque 1pq et on poseZn = 1](p1)/q,p/q] si (q, p) est lenième couple.Etudier les convergences en probabilite, presque s ure et au sensLrdes suites de terme generalYn, n2Yn, Zn,p Zn, enZn.20. Soitf: R R une fonction continue et (Xn)nune suite de variables aleatoires qui convergeenprobabiliteversX.Montrerquef(Xn)convergeenprobabiliteversf(X).Quesepasse-t-ilsi fnest pas continue ? Et avec la convergence presque s ure ?21. (Voir lexercice 16.) Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires i.i.d. On suppose que la suitedes moyennes n1n

k=1Xk converge presque s urement vers une variable aleatoire Y . Montrer que Yestpresque s urement constante et queX1 est integrable (on pourra utiliser lexercice 9).Utiliserlememeargumentpourmontrerquesi(Xn)nestunesuitedevariablesaleatoiresi.i.d.avec E[X1[ = +, alors limsup [Sn[/n = + presque s urement.22.Soit= n ;n 1unensembleni oudenombrableet P= npnnunemesuresurT().Montrer que la convergence en probabilite equivaut à la convergence presque s ure (et donc que laconvergence au sensLpimplique la convergence presque s ure).Montrer quune CNS pour que convergence presque s ure et convergence au sensLpsoient equiva-lentes est que le support de P soit ni.23. 1) Pour chaquen1, soitXn une variable aleatoire dont la loi verieP(Xnx) = (1 1/(x +n)) 1x0.On suppose que lesXnsont independantes. Montrer queXntend en probabilite vers 0 (facile) maisque la suite desSn/n ne converge pas en probabilite (dicile).Exercices 352) La topologie de la convergence en probabilite peut-elle etre denie par une norme ?3) La suiteXn converge-t-elle presque s urement ou au sensLp?24. Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires independantes de meme loi non presque s urementconstante. Montrer que la suite (Xn())n diverge presque s urement.25. Exhiber une suite (Xn)nde variables aleatoires telle que limsupnXnvaut +presques urement mais telle quil nexiste pas de soussuite ((n))n et densembleA Ttels que P(A) > 0 etque (X(n))n tend vers linni surA.26. Utiliser une suite de variables aleatoires convergeant en probabilite mais pas presque s urementpour montrer que la topologie de la convergence presque s ure nest pas metrisable.On pourra considerer lespace ([0, 1], B([0, 1]), Leb).27. (Uniformeintegrabilite)1)Si (Xn)nestuniformementintegrable, lasuite(Sn/n)nestuniformement integrable.Indication : quelle caracterisation de luniforme integrabilite utiliser ?2) Application à la loi des grands nombres ?28. SoitXn des variables aleatoires de Bernoulli independantes telles queP(Xn = 1) = 1 P(Xn = 0) = pn.Trouver une CNS portant sur la suite (pn)npour avoirXn 0 en probabilite. Meme question pouravoirXn 0 presque s urement.29.OnsedonnenvariablesaleatoiresindependantesXkdeloiexponentielletellesque P(Xk x) = eaxpourx0.1) On noteI = inf Xk ;kn. Calculer la loi deI.2) On poseNt = Card kn;Xkt . Donner la loi, lesperance et la variance deNt.Si les variables aleatoiresXkmodelisent les durees de vie aleatoires den individus nes au tempst = 0, le nombre de survivants au tempst vautNt.3.3 Fiche3:LoisdesgrandsnombresQuandunesuitedevariablesaleatoires(Xn)n1estdonnee, onnoteS0=0et, pour n1,Sn = X1 + +Xn.1.(Convergences)Soit(Xn)n1unesuitedevariablesaleatoiresi.i.d. deloi deCauchy ((a).Quelleestlaloi deSn/n?MontrerquelasuiteSn/nneconvergepasenprobabilite, ni dailleursaucune de ses soussuites.2. Si la suite (Xn)n est u.i., la suite (Sn/n)n est u.i. Indication : quelle caracterisation utiliser ?(Convergencedeseries)3. Illustrer par un exemple chacune des situations suivantes :(1) La serie Xn converge presque s urement et la serie [Xn[ diverge presque s urement.(2) La serie Xn converge presque s urement et les series E(Xn) et E(X2n) divergent.Exercices 36(3) La serie Xn diverge presque s urement et la serie E(X2n) converge.(4) La serie

Xn diverge presque s urement et la serie

E(X2n) converge et E(Xn) = 0 pour toutn.4. Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires i.i.d. de loi ,= 0 et soit (an)n une suite de reels.(1) On suppose quean ne tend pas vers 0. Montrer que anXn diverge presque s urement.(2)OnsupposequeXn 0etan 0pourtoutn,queantendvers0etqueXnestdecarreintegrable. Montrerque anXnconvergepresques urementsi etseulementsi anconverge. (Lesens direct utilise le theorème des trois series.)5. Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires independantes positives.(1) On suppose que 0Xnc pour toutn. Montrer que Xn converge presque s urement si etseulement si E(Xn) converge. (Le sens direct utilise le theorème des trois series.)(2) Montrer que Xnconverge presque s urement si et seulement si la serie E(Xn/(1 + Xn))converge.6.(Realisationdessuitesindependantes)Pourn1,ondenitrn: [0, 1[ 1, +1parrn(x) = sgn sin(2n x) o` u on pose par convention sgn(0) = 1.(1) Montrer que (rn)n est une suite de variables aleatoires independantes centrees et de meme loi(que lon calculera) dans lespace de probabilite ([0, 1[, B([0, 1[), dx).(2) Soit (n)nune suite de mesures de probabilite sur (R, B(R)). Deduire du (1) quil existe unesuitedevariablesaleatoires(Xn)nindependantes, deloisrespectivesn, etdeniessurlespacedeprobabilite ([0, 1[, B([0, 1[),dx).7.(Unjeupresqueequitable)Soit(Xn)nunesuitedevariablesaleatoiresindependantesdelois P(Xn = n21) = 1/n2= 1 P(Xn = 1). Montrer que lesXn sont centrees mais queSn/n tendp.s. vers 1.8. (Une application de la LGNL4) Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires independantesde loi de Poisson T(a) et soitf: R+ R une fonction continue et bornee.(1) Montrer queSn suit la loi de Poisson T(na).(2) Evaluer E_f_x +Snn__. En deduire quef(x +a) =limn+

k=0f_x +kn_ ena (na)kk!.(3)SoitunemesuredeprobabilitesurRintegrable, demoyennemetsoitnsapuissancenème de convolution. Montrer que, pour tout reela,limn_+f_a +xn_ dn(x) = f(a +m).9. Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires independantes de meme loi, positives et integrables,et soitf: R+ R telle que [f(x)[cx pour tout reel positifx. DeterminerlimnE_1Snn

k=1f(Xk)_.Exercices 3710.(Bernsteinsuite) Soitf: [0, 1] R une fonction continue. On noteBn(f) les polynomesde Bernstein associes àf, doncBn(f)(x) =n

k=0Ckn xk(1 x)nkf_kn_.(1) Fixonsx dans [0, 1]. Montrer quil existe une suite de variables aleatoires (n)n i.i.d. avecBn(f)(x) = E_f_1nn

k=1k__.Endeduire que Bn(f) converge uniformement vers f. (Onaredemontre le theorème de StoneWeierstrass.)(2)Supposonsque f est deplusholderiennedordre0 0 estLf() =_+0exf(x) dx.Soit (Xn)n une suite de variables aleatoires i.i.d. de loi exponentielle c(). Montrer queE[f(X1 + +Xn)] =(1)n1(n 1)!n(Lf)(n1)().En deduire que lon peut retrouverfà partir deLfgrace à la formulef(x) =limn(1)n1(n 1)!_nx_n(Lf)(n1)_nx_.Avertissement Cette methode de reconstruction defest peu precise en pratique.15. (Gauss endimensioninnie)(1)Soit XunvecteurdeRddontlescomposantessontindependantes deloi normale ^(0, 1) etsoitOune transformationorthogonalede Rd. MontrerqueOXsuit la meme loi que X. En deduire que X/|X| suit une loi uniforme sur la sphère unite Sd1deRd.(2) Soit (Zn)n1 une suite de variables aleatoires i.i.d. de loi normale ^(0, 1) et notonsRn = (Z21 + +Z2n)1/2.Montrer queRn/n tend presque s urement vers 1 quandn tend vers linni.(3)Endeduirequesi, pourchaquen1,lepointY(n)= (Y(n)k)1knestchoisiuniformementsur la sphère nSn1de Rn, alorsP(Y(n)1 x) (x) =_xey2/2dy,Exercices 39etP(Y(n)1 x1,Y(n)2 x2) (x1) (x2).Commenter.16.(Suitesechangeables)(1)Soit(Xk)1knunecollectiondenvariablesaleatoiresechan-geablesdecarreintegrable. Calculerlavariancede Snenfonctiondelavariancede X1etdelacovariance deX1 etX2.(2) Soit (Xk)k1 une suite innie de variables aleatoires echangeables de carre integrable. Montrerque la covariance deX1 etX2 est positive.(3) Montrer quil existen variables aleatoires echangeables (Yk)1knnon plongeables dans unefamille den + 1 variables aleatoires echangeables. On pourra introduire des variables aleatoires inde-pendantes de meme loiXket poserYk = Xk Sn/n.(4) Soit (Xk)1kn des variables aleatoires echangeables integrables. Montrer queE[Sn/n[E[Sn1/(n 1)[ .(5) Soit S lensemble des permutations de N de support ni et (Xn)n1 une suite de variablesaleatoires. On note / la tribu asymptotique et cla tribu des echangeables. DoncA appartient à csiet seulement siA est mesurable par rapport à (Xn)n1 et P(s(A)A) = 0 pour touts dansS.Montrer que / cet donner un exemple pour lequel / , = c.17. (Loi du logarithme itere pour des variables aleatoires gaussiennes) Soit (Xn)n1 unesuite de variables aleatoires i.i.d. de loi normale ^(0, 1). On noteh(t) = 2t log log t pourt3. Onveut montrer quelimsupnSnh(n)= 1 presque s urement.(1) Montrer que pour tout reelt, E(et Sn) = ent2/2.(2)SoitSn= max0, S1, . . . , Sn.AdapterlapreuvedelinegalitedeKolmogorovàlafonctions estpour montrer que, pour tousc0 ett0,P(Snc)ectE(etSn).En deduire la majoration suivante :P(Snc)ec2/(2n).(3) Soita > 1 un reel xe et, pour toutn susamment grand,bn = a h(an1). Utiliser le lemmede Borel-Cantelli, partie facile, pour montrer que presque s urement, à partir dun certain rangn,Sanbn.En deduire que limsup Sn/h(n)a, presque s urement.En deduire enn que limsup Sn/h(n)1, presque s urement.(4) Soitr2 un entier et 0 < < 1 un reel. Estimer la probabilite de levenementAn = Srn+1 Srn(1 ) h(rn+1rn)Exercices 40à laide de la fonction(x) =_+x(y) dy avec (y) = exp(y2/2)/2.(5) Pourx > 0, montrer la double inegalite suivante :(x)/x(x)(x)/(x + 1/x).On pourra calculer les derivees de(y) et de(y)/y.(6) Appliquer le lemme de Borel-Cantelli, partie dicile, pour montrer que presque s urement, uneinnite des evenements An est realisee. Combiner lestimation ainsi obtenue avec la conclusion du (3)pour en deduire que, presque s urement,limsupnSrn+1/h(rn+1)(1 )_1 1/r 2_1/r.Conclure.18. (Sommes aleatoires)Soit N1unevariablealeatoireentièreet(Xn)n1unesuitedevariables aleatoires. On noteSN: N()

k=1Xk().(1) Rappeler pourquoiSNest une variable aleatoire.(2) On suppose que lesXnsont i.i.d. et integrables. Soit (Nk)kune suite de variables aleatoiresentières telle queNkconverge presque s urement vers linni.Montrer queSNk/Nktend presque s urement vers E(X1).(3) On suppose que lesXn sont i.i.d. et de carre integrable et queNest independante de la suite(Xn)n et de carre integrable.Calculer E(SN) et var(SN) en fonction de E(X1), E(N), var(X1) et var(N).(4) On rappelle que la fonction generatriceXdune variable aleatoireXpositive vautX(s) =E(sX) pours dans [0, 1].CalculerSNen fonction deX1etN.Application : un poisson pond un nombre aleatoireTdufs de loi de Poisson T(a). Chacun desufs survit jusquà lage adulte avec une probabilitep.Donnerlaloi dunombreSdufsayantsurvecujusquàlageadulte. Donnerlaloi ducouple(S, T S). En deduire la loi de T S et le fait que les variables aleatoires S et T S sont independantes.3.4 Fiche4:Convergenceenloi1 Pour tout reelt, on note(t) = (1 [t[)+.(1) Montrer que est la fonction caracteristique dune loi absolument continue par rapport à la mesurede Lebesgue.(2) Developper en serie de Fourier. En deduire quil existe egalement une loi discrète dont la fonctioncaracteristique concide avec sur [1, 1].Exercices 412 Donner une preuve ou un contrexemple de chacune des assertions suivantes.(1) SiXn converge en loi versX, alorsXn converge versXpresque s urement.(2) Si Xn converge en loi vers X, alors levenement Xn X est de probabilite strictement positive.(3) Si Xnconverge en loi versX, alors levenement(( il existe une suite extraite (nk)ktelle queXnkconverge versX)) est de probabilite strictement positive.(4) Si Xnconverge en loi versXet si Ynconverge en loi versY , alorsXn + Ynconverge en loi versX +Y .(5) Si Xn converge en loi vers Xet si Yn converge en loi vers une constante y, alors (Xn, Yn) convergeen loi vers (X, y).(6) SiXnconverge en loi versX, siYnconverge en loi vers une constanteyet siZnconverge en loivers une constantez, alorsZnXn +Yn converge en loi versz X +y.(7) SiXetYsuivent la meme loi et siG est mesurable, alorsG(X) etG(Y ) suivent la meme loi.(8)Si X, Y etZsontdeniessurlememeespacedeprobabiliteetsi XetY suiventlamemeloi,alorsZ XetZ Ysuivent la meme loi.3 (1) SoitXune variable aleatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Pour toutn1, soitXn = [nX]/n.Montrer quil existe un borelien B tel que P(X B) = 0 et pourtant P(n1, Xn B) = 1. Montrerpar contre queX Bpresque s urement.(2)Montrerquesi XnconvergeenloiversX,alorsilexisteunesuite(Yn)ndevariablesaleatoirestelle que, pour toutn,Yn suit la loi deXn et telle queYn Xpresque s urement.(3) Soit Fun ferme. Utiliser la question precedente pour montrer que si, pour tout n, Xn Fpresques urement et siXn converge en loi versX, alorsX Fpresque s urement.4 Pour tout nombre reela0, soitxn(a) :=[an]

k=0nkk! .(1)Utiliserlaloi desgrandsnombrespourmontrerque, quandn , xn(a) ensi a 1.(2) Utiliser le theorème de la limite centrale pour trouver un equivalent simple de xn(1) quand n .5 On suppose queXnconverge en loi versXet que la suite (Xn)nest uniformement integrable.Montrer queXest integrable et que E(Xn) tend vers E(X) quandn .6 Soit (n)n une suite de variables aleatoires à valeurs entières telle que n/n converge en probabilitevers une constantenon nulle. Soit (Xn)nune suite de variables aleatoires qui converge en loi versX.(1) On suppose que la suite (n)n est independante de la suite (Xn)n. Montrer que la suite (Xn)nconverge en loi versX.(2) Le but de cette question est de montrer que, sans lhypothèse dindependance des suites (n)net (Xn)n, le resultat de la question (1) est faux.Pour un contrexemple, soit (Yn)n1une suite i.i.d. de loi uniforme sur 0, 1. NotonsZn =Y1 + +Yn,Xn = 0 siZn est pair etXn = 1 siZn est impair. Montrer que pour toutn1, la loi deXnest uniforme sur 0, 1. En deduire queXn converge en loi et preciser la limite de sa loi.OnnotenlenèmeindicektelqueXk=0.Plusprecisement,onpose0=0puis,pourtoutn0,n+1 = infkn + 1,Xk = 0.Calculer la loidu temps1. Montrer que la suite (n+1 n)n0est i.i.d. de loi. En deduire queExercices 42n/n 2 presque s urement quand n . Montrer que la suite (Xn) converge en loi vers une limite et conclure en remarquant que ,= .7 Une roulette comporte 18 numeros noirs, 18 numeros rouges, et 1 numero vert sur lequel on nepeutpasmiser. Onmisesurnoirousurrouge, doncleschancesdegainsontdep=18/37etleschances de perte de 1 p = 19/37. Si on mise 1 Euro à chaque fois, donner une estimation basee surle theorème central limite du nombre de foisnTpendant lequel on doit jouer pour avoir au moins 50% de chances davoir perduT= 1000 Euros.8 (1) SoitXune variable aleatoire. Montrer que sa fonction caracteristique est continue.(2) SoientXetYdeux variables aleatoires independantes et de meme loi telles queX +Ysuit la loideX. Trouver la loi deX.(3) SoientXetYdeux variables aleatoires independantes et de meme loi telles queX Ysuit la loideX. Trouver la loi deX.(4) Soient Xet Ydeux variables aleatoires independantes et de meme loi telles que (X +Y )/2 suit laloi deX. Trouver la loi deX.(5) Soient X et Ydeux variables aleatoires independantes et de meme loi. On suppose que (X+Y )/2suit la loi deX. Trouver la loi deX. On supposera que cette loi est de carre integrable.(6) Soita un nombre reel tel quea2,= 1/2 et soientXetYdeux variables aleatoires independanteset de meme loi de carre integrable. On suppose quea (X +Y ) suit la loi deX. Trouver la loi deX.9 (1) SoitUune variable aleatoire de loi uniforme sur [1, 1]. Calculer sa fonction caracteristiqueU.(2)Montrerquilnexistepasdeuxvariablesaleatoiresindependantesetdememeloi XetY tellesque la loi deX Yest uniforme sur [1, 1].(3)SoitXunevariablealeatoiredeloi uniformesur[0, 1] etY =1 X. Calculerlaloi deY . Endeduire quil existe deux variables aleatoires de meme loi X et Ytelles que la loi de XYest uniformesur [1, 1].10 (1) SoitVetWdeux variables aleatoires à valeurs dans 1, 0, 1 telles que (V, W) suit la loiuniforme sur (0, 1), (1, 0). Montrer que Vet Wsuivent la meme loi puis calculer la loi de V +Wet la loi deV W. On precisera siVetWsont independantes ou non.(2) Soit (Zn)n1 une suite de variables aleatoires i.i.d. de loi12(1+1). On pose S =

n1Zn2n . Calculerla loi deS.(3) Deduiredes questions (1)et (2)quilexiste deuxvariables aleatoiresde memeloi XetY tellesque la loi deX +Yet la loi deX Ysont toutes deux uniformes sur [1, 1].(4) Revenant à la question (1), trouver la loi de (V, W). En deduire nalement que (X, Y ) suit une loiuniforme sur un sous-ensemble mesurable et borne du plan que lon decrira.11 On veut montrer quil nexiste pas de variables aleatoires independantes et de meme loiXetYtelles que la loi deX +Yest uniforme sur [1, 1].(1)SoitTlafonctioncaracteristiquedunevariablealeatoireT. UtiliserdescopiesindependantesT1,T2 etT3 deTpour montrer que, pour tous nombres reelss ett, le determinantKT(t, s) doit etreun reel positif, avecKT(t, s) =(0) (t) (t +s)(t) (0) (s)(t s) (s) (0).Exercices 43(2) Montrer queKT(t, s) = 1 [T(t)[2[T(s)[2[T(t +s)[2+ 2 Re(T(t) T(s) T(t +s)).(3)OnsupposeàpresentqueXetY sontdeuxvariablesaleatoiresindependantesetdememeloitelles que la loi deX + Yest uniforme sur [1, 1]. Calculer [X(/2)[ etX(), puisKX(/2, /2),et conclure.12Soit(Xn)nunesuitei.i.d.devariablesaleatoiresdecarreintegrabletellesque E(Xn) = 0etE(X2n) = 1. On noteSn =n

k=1Xk, Cn =n

k=1X2k, Yn =SnCn, Zn = nSnCn.(1)Montrerque, presques urement, Cn>0àpartirduncertainrang, etdoncqueYnetZnsontpresque s urement bien denies à partir dun certain rang.(2)Etudier la convergence en loi des suites (Yn)n et (Zn)n quandn .(3)Etudier la convergence en loi de la suite (Yn, Zn)n quandn .(4) Calculer la limite de P(Sn0) quandn .(5)OnposeTn=eSn1Sn 0. Montrerque E(Tn)1/ntendvers1quandn . Onpourraconsiderer les evenements 0Sncn pour toutc positif.13 Pour touta > 0, on se donne une variable aleatoireXa de loi de Poisson de paramètrea et onposeYa = (Xa a)/a.(1) Montrer queYa converge en loi quanda et preciser la limite.(2) Pourt0, on noteG(a, t) =[t]

k=0eaakk!. Calculer la limite deG(a, at) quanda , pour touttxe. En deduire la limite deG(at, as) quanda , pour touss ett xes.(3) Montrer que la famille (Ya)a>0 est uniformement integrable.(4) Pourn1 entier, calculer E((Yn)).(5) Deduire de tout ceci la formule de Stirling, cest-à-dire le fait que quandn ,n! 2n(n/e)n.Exercices 44Chapitre4Archivesdexamens4.1 Examenpartieldavril1992Exercice 1 Soit (Xn)n1 une suite de variables aleatoires independantes de Cauchy de paramètre a :on rappelle que la loi de X1 admet la densite (a/)dx/(a2+x2) par rapport à la mesure de Lebesgue.On noteSn =n

1Xk.1) Montrer que siSn/n converge en probabilite vers une variable aleatoireS, celle-ci est presques urement constante.2)Montrerquelaloi deSn/nestabsolumentcontinueparrapportàlamesuredeLebesgue.Calculer la transformee de Fourier de la densite de la loi deX1. En deduire la loi deSn/n.3) Montrer queSn/n ne converge pas en probabilite.Exercice2 Soit (Xn)n1une suite de variables aleatoires ind

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