1. Odrediti:

a) Y parametre kola sa dva para krajeva (označenog isprekidanom linijom)

b) Ulaznu admitansu kola sa slike.

0.5

2 I2I1

3I2 2V1 V2 4 Ig(t)

+

Vul(t)

v

V1

2

Rešenje:

a)

1 11 12 1

2 21 22 2

I y y U

I y y U

1 11 1 12 2I y U y U

2 21 1 22 2I y U y U

Ekvivalentno kolo za 2 0U :

0.5

I2I1

3I2 2V1

2

V1 V2=0

I1-3I2

2

1 2 21

1

2 2 0 1I

U I yV

1

1 1 2 1 1 11

1

1 30.5( 3 ) 1

2 2

IU I I I U y

U

Ekvivalentno kolo za 1 0U :

I2I1

3I2

2

V1=0 V2

2

2 2 22

2

12 0

2

IV I y

U

1

2 1 2 1 12

2

2 33

3 2

II I U I y

U

~

31

2

11

2

y

b)

2 2

2 1 2 1

1 21 1 2

1 1 1

4

16 2 0

3

362 1ul

U I

I U I U

U UI U I

Y SU U U

2. Primjenom Laplasove transformacije odrediti napon na kondezatoru.

1µF2k 4+2h(t)

[mA] Uc(t)

Rešenje:

(0 ) 8cu V

Za t>0 primjenom Laplasove transformacije i metoda potencijala čvorova dobijamo:

[A]

1µF2k 6/s

[mA]68 10

3 6 3 6

500

6( ) (0.5 10 10 ) 10 8 10

12 4( )

500

( ) 12 ( ) 4 ( )

c

c

t

c

u s ss

u ss s

u t h t e h t

3. Odrediti:

a) Y parametre označenog kola sa dva para krajeva

b) Ulaznu admitansu kola sa slike.

2S

1S1F1F 1F

2F

V1 V2

I1 I2

1S

2

+

Vul(t)1F

Rešenje:

a) 1 11 12 1

2 21 22 2

I y y U

I y y U

1 11 1 12 2I y U y U

2 21 1 22 2I y U y U

Ekvivalentno kolo za 2 0V :

V1(jω )

I1(jω )

jω [S] 2+2jω [S]

I2(jω )

1

11

1

2 2

1 21

1

( )2 3

( )

( ) ( )( ) 2 2

2 2 ( )

I jy j

V j

I j I jV j y j

j V j

Ekvivalentno kolo za 1 0V :

2S

1Sjω [S] V2(jω )

I2(jω )

2jω [S]

I1(jω )

2

22

2

1

12

2

( )3 3

( )

( )2 2

( )

I jy j

V j

I jy j

V j

b)

1 11 1 12 2

1 1

2 2

2 21 1 22 2

21 1

2

22

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (1 )

( ) (1 ) ( ) ( )

( )( )

(1 )

ul

I y V j y V jY

V j V j

I j V j j

V j j y V j y V j

y V jV j

j y

Uvršavanjem poslednjeg izraza u polaznu jednačinu dobijamo:

1 11 1 12 2 12 21

11

1 1 22

( ) ( ) ( )3 4

( ) ( ) ( 1 )ul

I y V j y V j y yY y j

V j V j y j

Kada uzmemo u obzir i otpornost naponskog generatora, ukupna admitasa kola je:

3 4*

7 8ul

jY

j

4. Odrediti funkciju prenosa ( )

( )( )

o

g

U sW s

U s kola sa slike.

-

1

1F1

1

+

Ug(t) 1F

12

Uo(t)

Rešenje:

Jednačine metod potencijala čvorova:

Čvor 1: 2 1(1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )o gs V s V s U s U s

Čvor 2: 1 2(1 ) ( ) ( ) ( ) 0os V s V s sU s

Kako je 1( ) 0V s , dobija se:

2 ( ) ( )oV s sU s

( ) 1( )

( ) (3 ) 1

o

g

U sW s

U s s s

5. Odrediti y parametre kola sa slike. Pod kojim uslovom je dato kolo simetrično?

R

RU2U1

I1 I2

n:1

2U

Rešenje:

R

R U2U1

I1 I2

U 2

I 2

In:1

2U

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

1

2 1

2

1

2 1

2

2 2 2 2 1 2

2

2 1 2 21 22

1'

'

1'

'

' '

U z I z I

U z I z I

Un U U

U n

II nI

I n

I I I I I I nI I

U RI

U nRI RI z nR z R

2 2 2

1

1 2 1 1 2

2 2

1 1 2

2 2

11 12

' ' 0

( )

(2 ) ( )

2 ( )

U RI RI U

URnI RI RnI nRI RI

n

U n R n R I n R R I

z n R n R z R R

Na osnovu z parametara lako se izvode y parametri kola:

2

~

1 1

1 2

nRn Ry

nR R

Uslov simetričnosti je:

11 22

2

1 2

1

2

y y

Rn R

n

6. Odrediti y parametre mreže sa dva para krajeva. Poznato je: R=1/3Ω a C=3/8F.

R

R R

R R

CC

C

C

I1 I2

U1U2

Rešenje:

Rastavićemo mrežu na dvije podmreže A i B, a zatim odrediti y parametre za svaku od njih.

Podmreža A je data na slici ispod.

C

C

I1A I2A

U1 U2

Primjenom drugog Kirhohovog zakona jednostavno dobijamo y parametre kola A:

~

/ 2 / 2 3 /16 3 /16

/ 2 / 2 3 /16 3 /16A

j C j C j jy

j C j C j j

Podmrežu B čini ostatak kola:

R

R R

R R

CC

I1B I2B

U1U2

Y parametre kola B dobijamo u dva koraka. U prvom koraku napon U2 postavljamo na 0, i

računamo parametre y11 i y21. U drugom koraku pretpostavljamo da je napon U1 jednak 0, i

računamo parametre y12 i y22.

Pri uslovu da je U2=0, kolo se može uprostiti na sledeći način:

8R/3C

I1B

U1

Stoga, dobijamo:

( ) 1

11

1

3 3 9

8 8 8

B BI jy j C

U R

Imajuću u vidu polaznu šemu kola za U2=0:

R

R R

R R

C

I1B

I2B

U1

Primjenom Kirhohovih zakona dobijamo i y21 parametar:

2 1

( )

2 11 1 1

( ) 2

21

1

1

3 8

1 3

3 8 8

3

8

B B

B

B

B B

I Ij RC

I y U Uj RC

Iy

U

Pri uslovu da je U1=0, dobijamo:

( ) 1

12

2

( ) 2

22

2

3

8

3 9

8 8

B B

B B

Iy

U

I jy

U

Zadato kolo dobijeno je paralelnom vezom kola A i B, pa je konačno rešenje:

~ ~ ~

9 9 3 3

16 8 16 8

3 3 9 9

16 8 16 8

A B

j j

y y yj j

7. Odrediti a parametre kola sa dva para krajeva, a zatim odrediti otpornost R pri kojoj je mreža

recipročna.

1/3HR 1

1

1F4

0.5RI2 U2U1

I2I1

Rešenje:

Predstavićemo mrežu u formi dvije kaskadno vezane podmreže (A i B) i naći a parametre za

svaku od njih nezavisno.

Prva podmreža (A):

R 1

1 U1

I1 I2A

U2A

Primjenom Kirhohovih zakona dobija se:

1 2 2

1 2 2

( )

~

2

(1 ) (1 2 )

1 1 2

1 2

A A

A A

A

I U I

U R U R I

R Ra

Druga podmreža (B):

1/3H1F

4

0.5RI2 U2

I2I1B

U1B

1 2 2 2

1 2 2 2 1

1 2 2

( )

~

0.5 (1 0.5 )

14 0

3

1(4 (1 ))

3 2

11 4 (1 )

3 2

0 12

B

B B

B

B

I I RI R I

jU U I I I

j

j RU U I

j

j R

ja

R

Konačno rešenje:

( ) ( )

~ ~ ~

11 (1 ) (4 (1 ) ) (1 2 )(1 )

3 2 2

11 6 (1 )

3 2

A B

j R RR R R

ja a a

j RR

j

Uslov recipročnosti je ~

det 1a . Iz ovog uslova dabija se da je R=0.

8. Odrediti napon na kondenzatoru nakon otvaranja prekidača rešavajući kolo u s-domenu.

Pretpostaviti da je kolo prije otvaranja prekidača bilo u stacionarnom stanju. Poznato je:

E=12V, R=10 , C=2F, L=1H, b=2.

E

C L1

+-

uC

buC

t=0

RR

R

Rešenje:

Početni uslovi za t<0:

3(0 )

5

(0 ) 6

l

c

i A

u V

Ekvivalentno kolo za t>0:

sL1

+-

Uc(s)

bUc(s)

R

R

6/s

1/sC

3L1/5

AB

1

( ) ( )

( )1 1 1 1 3( ) ( ) ( )

5

1 1( ) ( ) ( ) 6

B c

c

A c

c A

V s U s

bU sV s U s

R R sL R R s

sC U s V s CR R

Rešavanjem sistema jednačina dobija se:

2

-2.475t -2.475t

24 119.4( )

4 19.8 1

( ) 6e cosh (2.424t)+6e sinh (2.424t)

c

c

sU s

s s

u t

9. Za mrežu sa dva para krajeva koja je prikazana na slici odrediti:

a) „z“ parametre;

b) vrijednost koeficijenta m tako da je parametar z12 konstanta (ne zavisi od s).

2H1F

mUx

U2

I2

2

1/3F

4 1H

I1

U1

Ux

Rešenje:

a)

Posmatraćemo kolo kao rednu vezu dva kola: A i B.

Šema kola A:

2H1F

mU2A

I2

2

I1

U2AU1A

Rešavanjem kola u s-domenu dobijamo sledeće jednačine:

2 2 1 2 2

2 1 2

1 2 1 2 1

1 1 2

( )

~

12( ) 0

2 2 1

1

2( ) 2 0

2 2( 2 2 ) ( 2)1

2 22 2 2

1

2 2 1

1

A A

A

A A

A

A

U mU I I Is

sU I I

m s sm

U mU I I sI

m ms mU I s I

m s sm

m ms ms

m s smz

s

m s sm

Šema kola B:

U2B1/3F

4 1H

U1B

I2I1

1 2 1 1 21

2 1 22

1 2 2 1 22

( )

~

3 3 3 3( )

34 ( ) 0

3 3 3 34 ( 4)

3 3

3 34

B

B

B

B

U I I sI s I Is s s s

U I I Is

U I I I I Is s s s

ss s

z

s s

Parametri redne veze:

( ) ( )

~ ~ ~

2 3 2 32 3 2

1

2 3 2 1 34

1

A B

m ms ms

m s s sm sz z z

s

m s s sm s

b)

12

2 3 2 12 2 (3 )

1 1

ms m m mz

s sm s m s m

Pri uslovu 3 01

m

m

, parameter ne zavisi od s.

Iz jednakosti slijedi: 3

2m

10. Odrediti „z“ parametre kola sa dva para krajeva sa slike. Poznato je R=2CF i LH

C C

L

R

R

Rešenje:

Zadato kolo posmatraćemo kao rednu vezu dva kola A i B koja će biti nezavisno analizirana.

Šema kola A:

R

R

U1A U2A

I2I1

“z” parametri kola A su:

( )

~

3

3 12 2

3 1 3

2 2

A

R R

zR R

Šema kola B:

C C

L

U2BU1B

I2I1

“z” parametri kola B su:

( )

~

1 1

1 1

B

sL sL s ssC s

z

sL sL s ssC s

Zadato kolo se može konstruisati rednom vezom kola A i B, pa su njegovi “z” parametri:

( ) ( )

~ ~ ~

13 1

11 3

A B

s ss

z z z

s ss

11. Odrediti napon na kondenzatoru nakon komutacije prekidača. Parametri kola su: E=12V,

R=10/3, L=10H i C=0.1F.

L E

C

(1)(2)

3R6R

R

R

Rešenje:

Pretpostavimo da je prekidač u položaju (1) i da se kolo nalazi u stacionarnom stanju:

12V

(1)

10 20

10/3

10/3

Uc(0-)

iL(0-)

Pod ovim uslovima određujemo napon na kondezatoru i struju kroz kalem:

(0 ) 11

(0 ) 0.2

c

L

u V

i A

Sada analiziramo scenario kada je prekidač u položaju (2) i primjenjujemo Laplasovu

transformaciju:

12/s

10/s

10 20

10/3

10/3

10s

2

11/s

Uc

Kolo je moguće dodatno uprostiti:

12/s

10/s

10

10/3

10s

2

11/s

Uc

I1(s)

Io(s)-I1(s)Io(s)

Primjenom II Kirhohovog zakona dolazimo do sledećih jednačina:

1

1 1

1010 ( ) 10 ( ) 2 ( ( ) ( )) 0

3

12 10 11 10( ) ( ( ) ( )) 0

3

o o o

o

I s sI s I s I s

I s I s I ss s s

Rešavanjem sistema dobijamo:

1 2

1 2

3.41 0.58

5 4( )

10( 4 2)

11 10 11 5 4 13 1.35 0.64( ) ( )

3.41 0.58( 4 2)

( ) 13 ( ) 1.35 ( ) 0.64 ( )

c

t t

c

sI s

s s

sU s I s

s s s s s ss s s

u t h t e h t e h t

12. Za kolo na slici poznat je napon 54 3tu t e h t .

a) Odrediti udio ukupne energije koji se disipira na otporniku R1 koji otpada na opseg učestanosti

3 3 3 rad/s.

b) Odrediti funkciju prenosa definisanu kao / gH s U s U s , ako su parametri kola: R=9, L=2H,

C=2/7F, R1=2, R2=5.

R1

L

ug(t) R2

+ u -

C

R

Rešenje:

a)

5 15 5( 3)

153

15

2

( ) 4 ( 3) 4 ( 3)

4( )

5

4( )

25

t t

j

u t e h t e e h t

eU j e

j

eU j

Ukupnu disipiranu energiju računamo primjenom Parsevalove teoreme:

302

01 1

1 16( )

10uk

eE U j d

R R

Energija koja se disipira na otporniku R1 a otpada na opseg učestanosti 3 3 3 rad/s:

3023 3

31 1

1 16 3 3 3( ) (arctan arctan )

5 5 5o

eE U j d

R R

Procentualno, udio ove energije je:

%

3 3 3arctan arctan

5 5

/ 2

b)

1 2

1 2

( )

1 2

2

1

2

1 2

2

( )( )

( )

1( )

7

1 2 1( )

7

72 1( ) ( ) ( )7 4 20 16

9 22 1

2( ) ( ) ( )

4 20 16

2( )

4 20 16

g

C II R R

c g g

c g

U sH s

U s

R RsCZ

sR R

sC

sU s U s U ss s

ss

RU s U s U s

R R s s

H ss s

13. Ako je kolo bilo bez početnih uslova za t<0:

a) Odrediti funkciju prenosa kola ako je ulazna veličina napon generatora, a izlazna veličina napon u.

b) Za tako određenu funkciju prenosa odrediti odziv kola na pobudu u vidu pravougaonog

impulsa 3gu t h t h t .

c) Ako je za t<0 kolo bilo u stacionarnom stanju, a napon generatora dat izrazom

33 2 t

gu t h t e h t , nacrtati odgovarajuću šemu kola u s domenu i odrediti struju

kroz kondenzator.

1/2F

1H

ug(t) 1

+u-

Rešenje:

a)

2

2

21

2

2 21

2

22( ) ( ) ( )2 2 2

2

2( )

2 2

C II R

g g

sZs

s

sU s U s U ss s

ss

H ss s

b)

3

3 3

2 2 2 2

3

2 2 2 2

( 3)

1 1( )

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) ( )

( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1

( ) ( ) cos sin ( 3) cos( 3)

s

g

s s

g

s

t t t

U s es s

s sU s H s U s e e

s s s ss s s s s s s s

s sU s e

s ss s s s

u t h t e t e t h t e t

( 3) sin( 3)te t

c) Ako pretpostavimo da se za t<0 kolo nalazilo u stacionarom stanju, očigledno je da su

početni uslovi kola:

(0 )(0 ) 3

(0 ) (0 ) 3

g

l

c g

ui A

R

u u V

Laplasova šema kola za t>0:

Ug(s)

s 3V

2/s1

3/s

Ic(s)

2 2 2

2

6 22 3 1 2 7( )

( 3)( 3)( 2 2) 2 2 ( 2 2)

3( )

(2 7)( ) 1.5

2 2( 3) 2( 2 2)

c

c

c

s s sU s

ss s s s s s s

U ss s ssI s

s s s

s

Preko inverzne Laplasove transformacije dobijamo izraz za struju u vremenskom domenu:

3( ) 1.5 ( ) 1.5 cos 3.5 sint t t

ci t e h t e t e t

14. Za kolo sa slike odrediti napone na oba kondenzatora ako je kolo prije t=0 bilo u stacionarnom

stanju.

12V

4

4

6V

4

t=0

0.05F

0.05Fuc1 uc2

Rešenje:

Analizom kola za t<0 dolazi se do sledećih početnih uslova:

1 2(0 ) (0 ) 12c cu u V

Ekvivalentna šema kola u s-domenu za t>0 (prilagođena primjeni metoda potencijala

čvorova):

12/s

4

4

6/s

4

20/s

Uc1(s)Uc2(s)

12/s12/s

20/s

A B

C

1

10 10 10

1

6( )

1 1 1 3 3( ) ( ) ( )20 4 4 4 5

10 3 3 3( ) ( )

20 2 5

10 3 9( ) ( )

20 5 2

12 90( ) ( )

10 ( 10)

( ) 12 ( ) 9(1 ) ( ) 9 ( ) 3 ( )

B

A B

A

A

c A

t t t

c

V ss

sV s V s

s

sV s

s s

sV s

s

U s V ss s s

u t e h t e h t h t e h t

2

5

2

12

1( ) ( ) ( )

204 20 20

5 3 3( ) ( )

20 10 5

6( )

5

6 6( ) ( ) ( )

5

( ) 6 ( ) 6 ( )

C B

C

C

c B C

t

c

s s sV s V s

s

sV s

V ss

U s V s V ss s

u t h t e h t

15. Za kolo sa slike poznato je: R1=2, R=10 , L1=1H, L2=2H, C=1/2F, m=0.5. Odrediti:

a) z parametre kola.

b) funkciju prenosa H(s)=I2(s)/I1(s) ako se kolo zatvori otpornikom R=1 a potom i step odziv kola.

L1

L2 C

mU2

U2

I2I1

R1

R

Rešenje:

Kolo se u s-domenu može predstaviti na sledeći način:

2s 2/s

0.5U2

U2

I2I1 Z(L1 II R1)

10

a)

1 1

2

2L II R

sZ

s

Pri uslovu I1=0 određujemo parametre z12 i z22:

2 22 2

22

222

2

2 22 2 21 2

112

2

210 0.5 (2 ) 0

20.5 (10 2 )

420 4

0.5 10 0.5 10

220 2

U I U s Is

U s Is

Uz s

I s

U U I z I I

Uz s

I s

Pri uslovu I2=0 određujemo parametre z11 i z21:

11 2

12 2

221

1

11 111

1

2

2

0.5 10

20

2 22 40( 20)

2 2

sU I U

s

U U I

Uz

I

Us sU I z

s I s

b)

22

21 1 22 2 2 22 2 21 12

2 21

2

1 22

1

20( )

1 4 21 4

U I

U z I z I I z I z I

I z sH s

I z s s

c)

2 1 2

5.05 0.198

2

( ) 20( )

4 21 4)

( ) (1.03 1.03 ) ( )t

H sI H s I

s s s

i t e e h t

16. U kolo na slici poznat je napon generatora ( ) ( ) ( 2)t

gu t e h t h t . Odrediti napon na kondezatoru

primjenom konvolucionog integrala ako je poznato da je (0 ) 0cu V .

Uc(t)

+

5

3 1/15FUg(t)

Rešenje:

Funkciju prenosa kola naći ćemo rešavanjem kola u s-domenu.

Uočimo da se kolo može ekvivalentirati rednom vezom otpornika od 5Ω i impedanse:

3

153

15

15 53

II C

sZs

s

Prekom naponskog razdjelnika određujemo napon na kondezatoru:

3

3

3( ) ( ) ( )

3 8

( ) 3( )

( ) 8

II C

c g g

II C

c

g

ZU s U s U s

Z s

U sH s

U s s

Inverznom Laplasovom transformacijom funkcije prenosa dobijamo impulsni odziv sistema:

8( ) 3 ( )tg t e h t

Napon na kondezatoru (u vremenskom domenu) nalazimo kao konvoluciju impulsnog

odziva i pobude sistema: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c g gu t g t u t g t u d

.

8( ) 3 ( )tg t e h t

t t2

( ) ( ) ( 2)t

gu t e h t h t

Primjenom grafičke metode možemo uočiti 3 intervala u kojima konvuluciona funkcija

mijenja oblik:

I interval: 0t

( ) 0cu t

II intereval: 0 2t

8( ) 8

0

3( ) 3 ( )

7

tt t t

cu t e e d e e

III interval: 2t

2

8( ) 14 8

0

3( ) 3 8 ( 1)

7

t t

cu t e e d e e

17. Grafičkim metodom odrediti konvoluciju funkcije f(t) i funkcije g(t)=h(t+4).

f(t)

-14 5

2

t-2

1

1

Rešenje:

Za određivanje konvolucije koristimo sledeći integral:

( ) ( ) ( )y t f g t d

Kako funkcija ( )g t ima oblik:

4+t

( )g t

1

uočavamo da se konvoluciona fukcija mijenja u sledećim intervalima:

Interval I: 4 2 6t t

( ) 0y t

Interval II: 2 4 1 6 5t t

4

2( ) 2 2 12

t

y t d t

Interval III: 1 4 1 5 3t t

21 4

2 1( ) 2 4 9.5

2

t ty t d d t

Interval IV: 1 4 4 3 0t t

1 1 4

2 1 1( ) 2 5

t

y t d d d t

Interval V: 4 4 5 0 1t t

21 1 4 4

2 1 1 4( ) 2 (5 ) 5

2

t ty t d d d d t

Interval VI: 4 5 1t t

1 1 4 5

2 1 1 4( ) 2 (5 ) 5.5y t d d d d

18. Grafičkim metodom odrediti konvoluciju funkcije f(t) i funkcije g(t)=h(t+2).

f(t)

-13 5

2

t-2 1

Rešenje:

Za određivanje konvolucije koristimo sledeći integral:

( ) ( ) ( )y t f g t d

Kako funkcija ( )g t ima oblik:

2+t

( )g t

1

uočavamo da se konvoluciona fukcija mijenja u sledećim intervalima:

Interval I: 2 2 4t t

( ) 0y t

Interval II: 2 2 1 4 1t t

2

2

2( ) ( 1) 3 4

2

t ty t d t

Interval III: 1 2 3 1 1t t

1 2

2 1( ) ( 1) 2 2 3.5

t

y t d d t

Interval IV: 3 2 5 1 3t t

2

1 3 2

2 1 3( ) ( 1) 2 (5 ) 3 3

2

t ty t d d d t

Interval V: 2 5 3t t

1 3 5

2 1 3( ) ( 1) 2 (5 ) 7.5y t d d d