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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS1000004 CALCULO DIFERENCIAL

TALLER No. 1

1. Represente graficamente cada una de las siguientes relaciones y determine su dominio ysu rango. ¿Cuales de estas relaciones son funciones?

(a) |x| = −y.

(b) x2 = y, para (x, y) ∈ [−2, 3]× [0, 7].

2. Las siguientes igualdades definen relaciones. Para cada una de ellas, ¿cuantas y cualesfunciones se pueden encontrar despejando y? Dibuje las graficas de las funciones encon-tradas.

(a) x2 + y2 = 4.

(b) 3x + y = −1.

(c) (x− 3)2 + (y + 2)2 = 3.

3. Suponga que y es una funcion de x. Determine si cada una de las siguientes afirmacioneses verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

(a) Para cada valor de x, y puede tomar varios valores.

(b) Para cada valor de y, x puede tomar varios valores.

(c) Cuando x crece y tambien crece.

4. Encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones.

(a) f(x) =

√9− x

x− 3, (b) f(x) =

√6 + x− x2,

(c) f(x) =1

bxc, (d) f(x) =

x

|x|.

5. Sean f(x) = 4x2 y g(x) =x2

x + 1. Si a y h representan numeros reales positivos, halle:

(a) f(4) + g(2), (b) f(a) + g(a), (c) f

(1

a

)− 1

f(a),

(d)g(a + h)− g(a)

h, (e) g(

√a)−

√g(a), (f) g(f(a).

6. Un acuario debe tener 50 cm de altura y 200 cm3 de volumen. Si x e y denotan el largoy el ancho de la base,

(a) Exprese y como funcion de x.

(b) Exprese la cantidad de vidrio necesaria para hacer el acuario, como funcion de x.

7. La escala de Richter fue desarrollada en 1935 por Charles Richter para medir la magnitudM de un terremoto. Esta dada por

M =2

3log

(E

E0

),

donde E es la energıa liberada por el terremoto medida en Joules y E0 es la energıaliberada por un terremoto de leve intensidad, la cual se toma como E0 = 104.40 Joules.El terremoto mas intenso registrado en Colombia ocurrio en 1906 y libero una energıa de1.99 × 1017 Joules. ¿Cual fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuestacon una cifra decimal.

8. La salinidad de los oceanos se refiere a la cantidad de material disuelto que se encuentraen una muestra de agua marina. La salinidad S se puede calcular a partir de la cantidadC de cloro en agua de mar con la ecuacion S = 0.03 + 1.805C, donde S y C se miden porpeso en partes por millar. Calcular C, si S es 0.35.

9. La relacion entre las lecturas de las temperaturas en grados Fahrenheit (F ) y en gradosCelsius (C) esta dada por F = 9

5C + 32.

(a) Encuentre la temperatura a la cual la lectura es la misma en ambas escalas.

(b) ¿A que temperatura la lectura en grados Fahrenheit es el doble que la lectura engrados Celsius?

10. Cuando trazamos la grafica de una funcion f en el plano cartesiano, lo que estamoshaciendo es ubicando parejas ordenadas de la forma (x, f(x)). Justifique la veracidad delas siguientes afirmaciones.

(a) Las parejas ordenadas (2, 5), (3,−5) y (2, 7) pertenecen a la grafica de algunafuncion.

(b) La grafica de cualquier funcion esta formada por parejas del tipo (x, y), donde siem-pre x 6= y.

(c) Para (x, y), un punto en la grafica de alguna funcion, se cumple que para cada valory existe una unica preimagen x.

11. En cada caso dar ejemplos de relaciones que no sean funciones y de funciones que cumplanlas siguientes condiciones dadas:

(a) Las parejas (2, 2), (3, 3) y (4, 4) esten en su grafica.

(b) La grafica sea simetrica con respecto al eje y pero no al eje x.

12. Determine si f es par, impar, o ninguna de las dos.

(a) f(x) = 3√

2x3 + 3x.

(b) f(x) = 5√

4x4 + 4x2 + 5.

13. Utilizando la grafica de la funcion g(x) =1

xy desplazamientos, ampliaciones o reflexiones,

encuentre la grafica de las siguientes funciones:

(a) f(x) =1

x+ 1, (b) f(x) =

1

x + 1, (c) f(x) = −1

x,

(d) f(x) =4

x, (e) f(x) =

1

4x, (f) f(x) = −2

x.

14. En cada caso halle f + g, f − g, fg yf

g.

(a) f(x) =1

x + 3, g(x) =

x

x− 2.

(b) f(x) = |x3 − 8|, g(x) = |x− 2|.

(c) f(x) =

−x− 2 si x < −1

−1 si − 1 ≤ x ≤ 1

x− 2 si x > 1

, g(x) =

{x2 + 1 si − 2 ≤ x ≤ 2

5 en otros casos.

15. En cada caso defina una funcion que tenga las caracterısticas dadas y dibuje su grafica.

(a) Es creciente en el intervalo [0, 1] y decreciente en el intervalo [2, 3].

(b) Es un funcion polinomica cuya grafica corta el eje x en dos puntos distintos y pasapor el punto (0, 2).

(c) Es una funcion racional y su dominio es el conjunto R de los numeros reales.

(d) Su dominio es el conjunto R de los numeros reales y su rango es el conjunto de losenteros negativos.

16. En cada caso halle f ◦ g y g ◦ f y los dominios de las funciones compuestas.

(a) f(x) =√x− 3, g(x) = x4 − x2 + 3.

(b) f(x) = x + 1, g(x) = x2 + x.

(c) f(x) =

2x− 2 si x ≤ −1

x2 − 2 si − 1 < x < 1

2x− 2 si x ≥ 1

, g(x) =

−5 si x < −5

x si − 5 ≤ x ≤ 5

5 si x > 5

.

17. Sea g(x) = 4x2 − 12x. Halle f tal que (f ◦ g)(x) = |2x− 3|.

18. En cada caso, exprese h como la compuesta de dos funciones (existe mas de una respuesta).

(a) h(x) =2

x2 + 1.

(b) h(x) = |3− 2x2|.

19. Demuestre que f y g son funciones inversas una de la otra.

(a) f(x) =√

2x− 4, x ≥ 2 y g(x) = 12(x2 + 4), x ≥ 0.

(b) f(x) =1

1 + xy g(x) =

1− x

x.

20. Si f es una funcion definida de un conjunto A en un conjunto B y C ⊆ A, se define f |Ccomo la restriccion de f en C, es decir, una nueva funcion que tiene dominio C. Dadas lassiguientes funciones definida de los numeros reales en los reales, encuentre f |C inyectiva,y dibuje las graficas de f y f |C .

(a) f(x) = x + 2, (b) f(x) =1

x2para x 6= 0, (c) f(x) = |x|.

21. Un pez grande se come al chico. En un lago, un pez grande se alimenta de uno mediano,y el numero de peces grandes es funcion del numero x de peces medianos, f(x). El pezmediano se alimenta de un pez pequeno y el numero de peces medianos es una funciondel numero w de peces pequenos, g(w). Si f(x) =

√3x + 1000 y g(w) =

√2w + 3000,

(a) Exprese el numero de peces grandes en terminos del numero de peces pequenos.

(b) Halle el numero de peces grandes existentes cuando en el lago hay 12 millones depeces pequenos.

22. En la teorıa de relatividad, la masa de una partıcula con velocidad v es

m = f(v) =m0√

1− v2/c2,

donde m0 es la masa en reposo de la partıcula y c es la velocidad de la luz en el vacıo.Encuentre la funcion inversa de f y explique su significado.

23. En cada uno de los siguientes casos, la curva tiene como dominio el conjunto R. Tracela curva dando valores al parametro t y obtenga una ecuacion en x e y eliminando elparametro.

(a) x = −2t2 + 1; y = 3t2 + 3.

(b) x = t + 1; y =√t− 1, t ≥ 1.

(c) x = t + 1; y =2

2− t, t 6= 2.

(d) x =8

t2 + 4; y =

4t

t2 + 4.

24. Halle en cada caso la ecuacion de la recta que satisface la condicion dada.

(a) Pasa por los puntos (−1,−2) y (4, 3).

(b) Es paralela a la recta x + 2y = 6 y pasa por (1,−6).

(c) Pasa por el punto (−1,−2) y es perpendicular a la recta 2x + 5y + 8 = 0.

25. Un avion vuela a una velocidad de 350 mi/h, a una altitud de una milla y pasa directa-mente sobre una estacion de radar en el instante t = 0.

(a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avion ha volado como funcion det.

(b) Exprese la distancia s entre el avion y la estacion de radar como funcion de d.

(c) Aplique la composicion para expresar s como funcion de t.

26. Si g(x) = 2x + 1 y h(x) = 4x2 + 4x + 7, encuentre una funcion f tal que f ◦ g = h.

27. Suponga que g es una funcion impar y sea h = f ◦ g. ¿h siempre es una funcion impar?¿Que pasa si f es impar?

28. Las curvas con ecuaciones

y =|x|√c− x2

se llaman curvas de nariz de bala. Grafique algunas para ver el porque de este nombre.¿Que sucede al crecer c?



TALLER No. 2

1. En cada uno de los siguientes casos, considere una circunferencia de radio 1 y centro en(0,0). Partiendo del punto (1,0) dibuje un arco que tiene la longitud dirigida dada. ¿Enque caudrante termina?

(a) 74π

(b) 43π

(c) 1

(d) −4.5

2. Sea x la longitud de arco trazado como se describe en el ejercicio anterior. En cada casohalle x en el intervalo [0, 2π] si las coordenadas dadas corresponden al punto final del arco

(a) (√22,√22

).

(b) (−12,√32

).

(c) (−√32, 12).

3. Para cada uno de los arcos del ejercicio 1, basandose en el trazo, sin usar calculadorani tabla, deduzca en cual de los siguientes intervalos se hallan los valores del seno y delcoseno:[−1, −

√3

2

],[−√3

2,−√22

),[−√22,−1

2

),[−1

2, 0),[0, 1

2

),[12,√22

),[√

22,√32

),[√

32, 1].

4. Usando calculadora, verifique, las respuestas del ejercicio anterior.

5. La distancia entre dos puntos A y B situados sobre la tierra, se mide sobre una circunfe-rencia que pasa por ellos y tiene su centro C en el centro del planeta (el radio es, entonces,la distancia de C a la superficie). Si el diametro de la tierra es aproximadamente de 8.000millas (unos 12.800 km), calcule la distancia aproximada entra A y B cuando el anguloACB mide:

(a) 30o

(b) 75o

(c) 1o

6. Con respecto al ejercicio anterior, se define una milla nautica como la distancia entre Ay B cuando el angulo ACB mide un minuto. Si un grado tiene 60 minutos, determineaproximadamente el numero de kilometros que tiene una milla nautica.

7. Determine la longitud del lado de un polıgono regular inscrito en una circunferencia deradio 1 si el polıgono es:

(a) un cuadrado.

(b) un hexagono.

(c) un decagono.

8. Un tramo de una carretera tiene una inclinacion de 1.5 grados. Si el punto inicial y elpunto final se encuentran respectivamente a 200 y 220 mts, sobre el nivel del mar, cuales la longitud del tramo?

9. Una funcion f es periodica si existe un numero real positivo p tal que para cualquier xdel dominio de f se tiene que x+ p pertenece tambien al dominio de f y f(x+ p) = f(x).Al mas pequeno de estos numeros p se le llama periodo de f . Las funciones seno ycoseno son periodicas y su periodo es 2π. Las funciones de la forma sin ax y cos ax dondea ∈ R tambien lo son. Ası, por ejemplo f(x) = cos 3x es periodica pues f(x) = cos 3x =cos(3x + 2π) = cos(3(x + 2

3π)) = f(x + 2

3π). El periodo es 2

3π. En general, si y = sin ax

o y = cos ax, a 6= 0 el perıodo es 2πa

.

De otra parte, si b es una constante diferente de cero, las graficas de y = b sinx y y =b cosx, cortan el eje x en los puntos donde lo cortan las graficas de y = sin x y y = cos xrespectıvamente. Si b > 0, el maximo valor que toman y = b sinx y y = b cosx es b y lotoman cuando sinx = 1 y cuando cosx = 1, respectivamente. Si b < 0, el maximo valorque toman y = b sinx y y = b cosx es −b y lo toman cuando sinx = −1 o cosx = −1,respectivamente. Ası, ese valor maximo es |b|. Esta constante se llama amplitud de lagrafica.

Finalmente, como para a 6= 0 tenemos que sin(ax + b) = sin a(x + ba) y cos(ax + b) =

cos a(x + ba), las graficas de y = cos(ax + b) y y = sin(ax + b) son respectıvamente las

graficas de y = cos ax y y = sin ax trasladadas hacia la derecha si − ba

es positivo y haciala iquierda si − b

aes negativo. En los dos casos la grafica esta trasladada −| b

a| unidades.

El numero − ba

se llama corrimiento o fase.

Verifique que cada una de las siguiente funciones es periodica. Halle se perıodo, amplitudy corrimiento de fase, trace su grafica.

(a) sin 8πx.

(b) 4 cos 13x.

(c) 4− sin(3x− 2)π.

10. Un cuerpo suspendido de un resorte esta vibrando verticalmente y f(t) denota la distanciadirigida del cuerpo a su posicion central (el origen) transcurridos t segundos, con sentidopositivo hacia arriba. Si f(t) = 2 sin 3t,

(a) Determine el perıodo de f .

(b) Dibuje la grafica de f y compuebela en la calculadora graficadora.

(c) Utilice la grafica hecha en esta para estimar la posicion del cuerpo en los 0 s, 1 s,2 s y 6 s.

(d) Verifique la estimacion calculando f(0), f(1), f(2) y f(6).

11. Un generador de corriente alterna genera una corriente dada por I = 30 sin 120t donde tes el tiempo en segundos. ¿Cual es la amplitud A y el perıodo p de esta funcion ? ¿Cuales la frecuencia de la corrıente?; es decir ¿cuantos ciclos (periodos ) se completaran en unsegundo?

12. En cada caso halle los valores de sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, a partir de los datos

(a) sinx = −1913

y 32π < x < 2π

(b) cos x = −37

y −π < x < 12π

(c) tan x = 34

y sec x < 0

(d) cotx = − 815

y csc x < 0

13. El segmento de recta que va de un punto de observacion O a un punto observado P sedenomina la visual de P . El angulo que tiene vertice en O y esta formado por una rectahorizontal que pasa por O y la visual de P , se denomina angulo de elevacion o angulode depresion de P , segun P se encuentre por arriba o por debajo del punto O. Unamontana tiene 450m de altura con respecto a un rıo cercano y el angulo de depresion deun punto P situado en la ribera mas proxima es 45◦ y el angulo de depresion de un puntoQ directamente opuesto en el otro lado del rıo es de 30◦. Si los puntos P y Q y la basede la montana estan en la misma lınea horizontal, determine cuanto mide de ancho el rıoentre esos puntos

14. Sobre una colina inclinada con respecto a la horizontal en angulo de 15◦ se halla unatorre vertical. En el punto P que esta a 60m del pie de la torre colina abajo, el angulode elevacion de la parte superior de la torre es de 45◦. Determine la altura de la torre.

15. En navegacion el rumbo de un barco es el angulo formado por un lınea recta norte-surque pasa por el punto de partida y por la lınea recta que coincide con la direccion de lanave. El angulo se mide de 0◦ a 90◦ y se expresa mencionando si esta va hacia el norte(N) o hacia el sur (S) y si va hacia el este (E) o hacia el oeste (O). Un barco tiene rumboN30◦E desde un puerto a otro situado a 200km de distancia pero una corriente lo desvıade su ruta y se encuentra en un punto P que esta a N45◦E y a 130km del puerto departida. Determine de manera aproximada la distancia del barco al puerto de llegada y ladireccion se debe tomar el barco para corregir su ruta, suponiendo que no hay corrientes.

16. Pruebe las siguientes identidades trigonometricas

(a) tan x cscx cosx = 1

(b) cos2 x−sin2 xsinx cosx

= cscx

(c) 1+cosx1−cosx = sin2 x

(1−cosx)2

(d) tan2 x− sin2 x = tan2 x sin2 x

(e) sinx1−cos2 x = cscx

(f) sin2 x+4 sinx+3cos2 x

= 3+sinx1−sinx

(g) sin4 x− cos4 x = 1− 2 cos2 x

(h) cotx+cot ycotx cot y−1 = tanx tan y

1−tanx tan y

17. Para cada una de las siguientes igualdades, determine en que cuadrante es una identidad.

(a)√

1− sin2 x = − cosx

(b)√

1− cos2 x = | sinx|(c) sinx√

1−sin2 x= − tanx

18. Pruebe las identidades trigonometricas

(a) cos (π + x) = − cos x

(b) tan (2π − x) = − tan x

(c) tan x+ cot xcot x− tan x

= sec 2x

(d) 1+ sin 2x+ cos 2x1+ sin 2x− cos 2x

= cot x.

19. En cada caso determine todos los valores de x que son soluciones de la ecuacion dada :

(a) sin x = −√22

(b) cos x = 1sec x

(c) 2 cos 2x−√

3 = 0

(d) sin(x+ π

4

)= 1

2

(e) tan2 x+ tan x = 0

(f) 2 cos 3x sin 2x - sin 2x = 0

(g) 2 sin3 x+ sin2 x− 2 sin x− 1 = 0.

Sobre la circunferencia de radio 1 trace dos angulos θ y φ y el angulo θ + φ. Traceademas los puntos A(1, 0), B(cos θ, − sin θ), C(cos φ, sin φ) y

D (cos(θ + φ), sin(θ + φ)) .

Note que las longitudes de los segmentos de recta BC y AD son iguales pues sub-tienden el mimo angulo θ + φ. Deduzca que cos (θ + φ) =cos θ cos φ−sen θ senφ.

20. Sabiendo que sinx = −35

y x esta en el cuarto cuadrante, cos y = −1213

y y esta en eltercer cuadrante, sin determinar x ni y, halle sin(x+ y), cos(x+ y), sin(x− y), cos(x− y).

21. Trace las grafica de las siguientes funciones:

(a) y = sin−1 x

(b) y = 4 cos−1 x

(c) y = 1− tan−1 x

22. Halle el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones:

(a) sin −1( cos 14π)

(b) tan−1( cot 56π)

(c) tan(cos−1 3

5+ sin−1

(− 7

25

))(d) cos

(tan−1 4

3− sin−1(− 5

13))

23. Pruebe las siguientes identidades:

(a) sin−1 x = tan−1 x√1−x2

(b) 2 cos−1 x = cos(2x2 − 1), 0 ≤ x ≤ 1

(c) arctan x + arctan 1x

= π2, x > 0

24. Un cuadro que tiene 2m de altura esta colgado de tal manera que su borde inferior sehalla a 0.75m del piso. Una persona cuyos ojos estan a 1.75m del piso, contempla elcuadro a una distancia x medida en metros.

(a) Si la persona se para a x pies de distancia de la pared y θ es el angulo visual demuestre

que

θ = tan−1(

2x

x2 − 1

)(b) A que distancia debe situarse la persona para que el angulo θ sea de 45◦?

25. En cada caso determine si la afirmacion es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

(a) Ninguna funcion periodica es inyectiva.

(b) 1+ cot2 xsec2 x

= cot2 x para todos los valores de x en los cuales las dos funciones estandefinidas.

(c) tan2 x+ tanx = 2 tan3 x , para todos los valores x en los cuales tan x esta definida.

(d) sin (x+ y) = sin x+ sin y. , para todos los valores x e y

26. Encuentre el dominio y la imagen de la funcion g(x) = ln(4− x2).

27. Si una poblacion de bacterias comenzo con 100 y se duplica cada tres horas, la cantidadde ejemplares despues de t horas es n = f(t) = 100(2)t/3.

(a) Encuentre la inversa de esta funcion y explique su significado.

(b) ¿Cuando habra 50.000 ejemplares?

28. Resuelva cada ecuacion para x.

(a) ln(2x− 1) = 3

(b) e3x−4 = 2

(c) ln(ln(x)) = 1

(d) 2x−5 = 3



TALLER No. 3

1. Trace la grafica de la funcion

g(x) =

2− x si x < −1

x si − 1 ≤ x ≤ 1

4 si x = 1

4− x si x > 1

De acuerdo con la grafica de g(x) determine el valor de cada uno de los siguientes lımites,si existe

a) lımx→−1−

g(x) b) lımx→−1+

g(x) c) lımx→−1−1

g(x)

2. Construya la grafica de una funcion f , definida a trozos, que tenga las siguientes carac-terısticas

a) dominio [−4, 0) ∪ (0, 4]

b) lımx→0 f(x) existe y es −2

c) lımx→1− f(x) existe y es −1

d) f(1) = 1

e) lımx→2− f(x) existe y es 1

f) lımx→2+ f(x) existe y es 2

g) f(2) = 1

3. Sea h(x) =x2 − 2x− 3

x2 − 4x+ 3.

a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de h(x) en los puntos x =2·9, 2·99, 2·999, . . . . Estime lımx→3 h(x). ¿Que estimacion obtiene conx = 3·1, 3·01, 3·001, . . . ?

b) Use una calculadora grafica o un computador para trazar h(x) cerca de x = 3. Estimelos valores de y en la grafica, cuando x tiende a 3.

c) Simplifique h(x) y calcule lımx→3 h(x) usando las reglas de los lımites.

4. Sea g(x) =x2 − 2

x−√

2

a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de g(x) en los puntos x =1·4, 1·41, 1·414, . . . . Estime lımx→

√2 g(x).

b) Use una calculadora grafica o un computador para trazar g(x) cerca de x =√

2. Estimelos valores de y en la grafica, cuando x tiende a

√2.

c) Simplifique g(x) y calcule lımx→√2 g(x) usando las reglas de los lımites.

5. Sea f(x) =x2 − 1

|x| − 1

a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de f(x) en los valores de x quese acercan a −1 por izquierda y por derecha. Luego estime lımx→−1 f(x)

b) Use una calculadora grafica o un computador para trazar f(x) cerca de x = −1. Estimelos valores de y en la grafica, cuando x tiende a −1.

c) Simplifique f(x) y use las reglas para calcular lımx→−1 f(x).

6. Sea g(θ) =sin(θ)

θ.

a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de g(θ) en los valores de θ que seacercan a 0 por izquierda y por derecha. Luego estime lımθ→0 g(θ)

b) Use una calculadora grafica o un computador para trazar g(θ) cerca de θ = 0. Estimelos valores de y en la grafica, cuando θ tiende a 0.

7. Sea h(t) =1− cos(t)

t2.

a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de h(t) en los valores de t que seacercan a 0 por izquierda y por derecha. Luego estime lımt→0 h(t)

b) Use una calculadora grafica o un computador para trazar h(t) cerca de t = 0.

8. En los siguientes casos calcule lımx→a f(x) y, si ese lımite es L, halle los valores de x paralos cuales |f(x)− L| es menor que ε.

a) f(x) = 3x2 − 7x+ 2, a = 1, ε = 0 · 02

b) f(x) =3x2 − 8x− 3

x− 3, a = 1/2, ε = 0 · 001

c) f(x) =√

19− x, a = 10, ε = 1

d) f(x) = x2, a =√

3, ε = 0 · 1e) f(x) = mx, m > 0, a = 2, ε = 0 · 03

9. Suponga que lımx→c f(x) = 5 y lımx→c g(x) = −2. Halle

a) lımx→c f(x)g(x)

b) lımx→c 2f(x)g(x)

c) lımx→c(f(x) + 3g(x))

d) lımx→cf(x)

f(x)− g(x)

10. Usando las reglas para calcular lımites, halle, si existe, cada uno de los siguientes:

a) lımx→−2

x3 − 3x2 + 4x b) lımx→−4

(x+ 3)1999 c) lımh→0

3√3h+ 1 + 1

d) lımx→2

x+ 3

x+ 6

e) lımx→1

1

1− x− 2

x2 − 1f) lım

x→4

4x− x2

2−√x

g) lımh→0

(2 + h)3 − 8

hh) lım

u→1

u4 − 1

u3 − 1

i) lımt→0

1

t√

1 + t− 1

tj) lım

h→0

(3 + h)−1 − 3−1

hk) lım

x→2

x−√

3x− 2

x2 − 4l) lım

x→2

1x− 1

2

x− 2

11. Calcule cada uno de los siguientes lımites, si existe

a) lımx→−4

|x+ 4| b) lımx→−4

|x+ 4|x+ 4

c) lımx→1·5

2x2 − 3x

|2x− 3|d) lım

x→−2+[x] e) lım

x→−2−[x] f) lım

x→−2·4[x]

g) lımx→8+

√x− 8 + [x+ 1] h) lım

x→0−

1

x− 1

|x|i) lım

x→0−

1

|x|− 1

x

12. Si lımx→4f(x)− 5

x− 2= 1, halle lımx→ 4 f(x).

13. Con un ejemplo muestre que puede existir lımx→ a (f(x) + g(x)) aunque no existan lımx→ a f(x),ni lımx→ a g(x).

14. Con un ejemplo muestre que puede existir lımx→ a (f(x)g(x)) aunque no existan lımx→ a f(x),ni lımx→ a g(x).

15. Puede mostrarse que las desigualdades 1 − x2

6<

x sinx

2− 2 cosx< 1 son validas para todos

los valores de x cercanos a cero.

a) ¿Que nos dice esto acerca de

lımx→0

x sinx

2− 2 cosx?

b) Use calculadora graficadora o computador para dibujar en el mismo plano las graficas

de las funciones f(x) = 1 − x2

6y g(x) = 1 para −2 ≤ x ≤ 2. ¿Que puede decirse de

las graficas cuando x tiende a 0?

16. Para cada una de las siguientes funciones, existe exactamente un punto a donde loslımites de f(x) por la derecha y por la izquierda no existen. Determine a y describa elcomportamiento de f(x) para x cerca de a.

a) f(x) =2x− 5

5− xb) f(x) =

1− x2

x+ 2c) f(x) =

x+ 1

x2 + 6x+ 9d) f(x) =

x− 2

4− x2

17. A partir de la grafica de f(x), halle los valores de x en los cuales f(x) es discontinua, paracada uno de esos numeros determine si f(x) es continua por la derecha, o por la izquierdao si no se presenta ninguno de estos casos.

a) f(x) =x− 1

x3 − 1si x 6= 1, y f(1) = 1/3.

b) f(x) =x− 1√x− 1

si x 6= 1, y f(1) = 2.

c) f(x) =x3 − 1

|x− 1|si x 6= 1, y f(1) = 3.

18. Suponga que f(x) es una funcion continua en todo R. Deduzca que las siguientes funcionesson continuas

a) f(|x|), b) |f(x)|, c)√|f(x)|, d) (f(x))2, e)

1

(f(x))2 + 1.



TALLER No. 4

1. Determinedy

dxpara:

a) y = x sinx+ tanx b) y =sinx

xc) y = x2 secx+ tanx d) y =

√x cscx

e) y =sinx

1− cosxf) y = x sinx cosx g) y =

x2 cotx

cscx

2. ¿Para que valores de x la grafica de f(x) = 4x+ 2 cosx tiene tangente horizontal?

3. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a y = tanx en (π/4, 1).

4. Sea f(x) =

x3 − xx2 + x

si x < 0

0 si x = 0

1− x si x > 0

. Determine los puntos en los cuales la funcion es

discontinua y los puntos en los cuales no es diferenciable. Trace la grafica de la funcion.

5. Deduzca la formula general para la n−esima derivada de cada una de las siguientesfunciones:

a) f(x) =1

x

b) f(x) =√x

6. Sea f(x) = x3 + 3x+ 1

a) Halle f(1), f ′(1), f ′′(1) y f ′′′(1)

b) Defina a0 = f(1), a1 = f ′(1), a2 = f ′′(1), a3 = f ′′′(1) y g(x) = a0 + a1(x − 1) +a2(x− 1)2 + a3(x− 1)3. Compare f(x) y g(x). ¿Que puede decir de la funcion f dadaoriginalmente?

7. En cada caso halle la derivada de la funcion

a) f(x) =

(x+ 1

x− 1

)2

b) f(x) = (x− 3)3(x+ 2)4 c) f(x) = (7− x3)2/3

d) f(x) =

√3√x+ 4√x e) f(x) = x

√x2 +

√x2 + 1 cosx f) f(x) =

2(x+ 1)√x2 + 1

g) f(x) =1 + sin x

xh) f(x) =

1

x2 − 1+√

tanx i) f(x) = sin(x3) + cot(2x)

j) f(x) = 2x√

1 + x k) f(x) = 4(x2 − 1) l) f(x) =√

sin3(x2)

m) f(x) = (x+ 1) sin(x− 1) n) f(x) =1 + sin(cos x)

cos(sin 3x)o) f(x) = csc2((x2 + 1)3)

8. Si y = |u(x)|, donde u(x) es una funcion diferenciable de x, se tiene que

d

dx(|u(x)|) =

u(x)

|u(x)|du

dx

donde u(x) 6= 0. Derive f(x) = |4− x2|.

9. Halledy

dxen cada uno de los siguientes casos

a) y = sec(sinx)

b) y =1√

sin2 x+ sin3 3x

10. Si y = f(u) y u = g(x). Demuestre que

d2y

dx2=dy

du

d2u

dx2+d2y

du2

(du

dx

)2

.

11. Sean f(x) = x3 y g(x) = (x+ 1)−2, calcule:

a) y =d2

dx2(f ◦ g)(x)

b) y =d2

dx2(g ◦ f)(x)

12. Calcule la segunda derivada de s con respecto a t en cada uno de los siguientes casos:

a) s =t

t2 + 1

b) s =(t2 − 7t)(5− 2t3 + t4)

t3

13. En cada caso x y y denotan funciones de t. Halledy

dt

a) y =3√x2, cuando x = 8, sabiendo que

dx

dt= 3

b) xy = 9, cuando x = 2, sabiendo quedx

dt= −6

c) y = 7x3 − 2x, cuando x = 7, sabiendo quedx

dt=

1

2

d)x2

4+y2

9= 1, cuando x = 1, y =

√3

2, sabiendo que

dx

dt= 3

14. En cada caso halle y′:

a) x2y + xy2 + x2 + y2 = 0

b) x3 + xy + y2 = 4− xc) x5 + 4xy3 − 3y5 = 2

d) (x+ y)3 + (x− y)3 = x4 + y4

e) 40x2 − 36xy + 25y2 − 8√

13y = 0

15. En cada caso calcule y′ y y′′

a) x+ xy + 4 = 2 b) x3 − 4xy2 + 2xy + 1 = 0 c) x3/2 + y3/2 = 1

d) x2 − xy + y2 = 3 e) x3y + xy3 = 2

16. Halledy

dxderivando implıcitamente

a) y = sin(xy) b) y = sec(xy) c) cos x = x(1 + cotx)

d) (sin π + cos πy)2 = 2 e) x = sec1

yf) y = tan(cosxy)

17. Halledy

dxpor derivacion implıcita y calcule la derivada en el punto indicado

a) y2 =x2 − 4

x2 + 4, (2, 0) b) tan(x+ y) = x, (0, 0)

c) x sin 2y = 1, (2,π

12) d) (x+ y)3 = x3 + y3, (−1, 1)

18. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva (x2 + y2)2 = 4x2 en el punto (1, 1).

19. Muestre que las curvas 2x2 + y2 = 3 y x = y2 se cortan en angulo recto.

20. Pruebe que las graficas de x3 = 3(y − 1) y x(3y − 29) = 3 son ortogonales.

21. Halle los puntos en donde la tangente a la curva x3 + 3xy + 2y2 + 4y = 1 es horizontal overtical.

22. Determine la ecuacion de la recta tangente a la grafica de x2 + 4y2 = 4 en el punto

(√

2,−1√

2).

23. Encuentre la derivada de:

a) f(x) =

(sin−1(x3)

cot−1(2x)

)b) f(x) =

(sec−1(3x2)

sin2(√x)

)3/2

c) f(x) =

((cot−1(x2))3/2

(sin−1(x1/3))3

)1/4

24. Demuestre que

cos−11√

1 + x2= sin−1

x√1 + x2

+ cos−1 1

(Observe que las funciones cos−1 1√1+x2 y sin−1 x√

1+x2 tienen la misma derivada, por lo

cual su diferencia es una constante)



TALLER No. 5

1. El volumen de un globo esferico esta disminuyendo a razon de 20 cm3/min. Con que rapi-dez disminuye el radio del globo cuando el volumen es 1m3?

2. Una pista atletica tiene forma circular (centro en un punto C) y su radio es de 50mts.Un atleta corre por el borde de la pista y un juez lo va a cronometrar desde un punto departida A. Si el atleta esta en un punto B, ¿con que velocidad crece el area del trianguloABC, cuando el angulo central es de π/4?

3. Se coloca una bola en un plano inclinado, de angulos de inclinacion θ, y comienza a rodar.La distancia (en mts) recorrida por la bola en t segundos es s(t) = 4,9(sin θ)t2.

a) Determine la velocidad de la bola.

b) ¿Que valor de θ produce la maxima velocidad en un instante concreto?

4. Halle los valores extremos de las funciones:

a) f(x) =3x

9− x2en (−3, 2)

b) f(x) = |x− 5|+ 1 en (0, 8]

5. En cada caso halle los intervalos donde la funcion es creciente

a) f(x) = (x− 2)2(x− 1) b) f(x) = x2/3(x− 5) c) f(x) = 5− |x− 5|

d) f(x) =x2 − 3x− 4

x− 2e) f(x) = x+

1

xf) f(x) = sin x cosx

g) f(x) =x

2+ cosx h) f(x) = sin2 x+ sinx i) f(x) =

cosx

1 + sin2 x

6. En cada caso halle los extremos locales y los puntos de inflexion

a) f(x) = x(x− 4)3 b) f(x) = sec(x− π/4), 0 < x < 4π

c) f(x) = x√x+ 1 d) f(x) = 2 sinx+ sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π

7. Explique por que la funcion polinomial cubica f(x) = ax3 + bx2 + cx+d con a 6= 0, puedetener dos, uno o ningun punto crıtico en R. De ejemplos que ilustren los casos.

8. Determine las constantes a y b para que la funcion f(x) = x3 + ax2 + bx+ c tenga:

a) Maximo relativo en x = −1 y mınimo relativo en x = 3.

b) Mınimo relativo en x = 4 y punto de inflexion en x = 1.

9. Sea f(x) = (x− 2)n

a) En la calculadora represente f para n = 1, 2, 3, 4. Use esas graficas para formular unaconjetura sobre la relacion entre n y los puntos de inflexion de la grafica de f .

b) Verifique la conjetura en el apartado a).

10. S denota las ventas semanales de un producto. ¿Que se puede decir de S ′ y de S ′′ en lassiguientes circunstancias?

a) El ritmo de ventas crece.

b) Las ventas crecen a menor ritmo.

c) El ritmo de cambio de las ventas es constante.

d) Las ventas se mantienen estables.

e) Las ventas bajan, pero a menor ritmo.

f) Las ventas han tocado fondo y empiezan a crecer.

11. ¿Para que valores de los numeros a y b

f(x) = axebx2

alcanza el maximo f(2) = 1?

12. Estudiar la concavidad y los puntos de inflexion de:

a) y = xex b) y = e−x

c) y = a e−b2x2

d) y =lnx

x

13. Demostrar que f(x) = lnx

x2 + ctiene un maximo en x = 1.

14. Demuestre que | sin b− sin a| ≤ |b− a|, para todo a, b ∈ R.

15. Hallar los maximos y los mınimos absolutos de la funcion dada, en el intervalo indicado:

a) f(x) = 2x3 − x2 + 2;x ∈ [−2, 1] b) f(x) = cos x− x;x ∈ [π/2, 2π]

c) f(x) =x

x+ 1;x ∈ [−1/2, 1] d) f(x) = x+

1

x;x ∈ [−1/2, 2]

16. Halle las dimensiones del cono circular recto de maximo volumen que puede inscribirseen una esfera de radio dado.

17. Encuentre las dimensiones del mayor rectangulo que se puede inscribir en un trianguloequilatero de lado a, de manera que dos de sus vertices esten en un mismo lado deltriangulo.

18. Encuentre el rectangulo de area maxima que tiene dos vertices sobre el eje de X y losotros dos en la parte de la parabola y = 6− x2 que esta en el semiplano superior.

19. Dos fabricas A y B que se encuentran a 4 millas una de la otra, emiten humo con partıcu-las que contaminan el aire de la region. Suponga que el numero de partıculas provenientesde cada fabrica es directamente proporcional a la cantidad de humo e inversamente pro-porcional al cubo de la distancia desde la fabrica. ¿Que punto entre A yB tendra la menorcontaminacion si la fabrica A emite el doble de humo que la fabrica B?

20. Demuestre que la distancia mınima de un punto (x1, y1) a la grafica de una funcionderivable f(x) se alcanza a lo largo de una recta normal a la grafica, es decir, sobre unaperpendicular a la tangente.

21. Halle el punto de la grafica de f(x) = 2x2 + 3, que esta mas cercano al punto (5,−1).

22. En cada caso determinar los intervalos donde la funcion es creciente y donde es decreciente.Hallar los maximos y mınimos relativos de la funcion. Dibujar su grafica.

a) f(x) = x4 + x3 − 3x2 + 1 b) f(x) = 4x− 6x2/3

c) f(x) =x3 + 1

x2d) f(x) = x2/3 − x1/3

e) f(x) = 2 sinx+ sin 2x f) f(x) = x− sinx

23. En cada caso determinar los intervalos donde la funcion es concava hacia arriba y losintervalos donde es concava hacia abajo. Hallar los puntos de inflexion y dibujar la grafica.

a) f(x) = x4 − 8x3 b) f(x) = x2/3(1− x)

c) f(x) =x3

x2 + 12d) f(x) = 3

√x+ 2

24. En cada caso estudiar completamente la funcion definida por:

a) f(x) = x4 +4

3x3 − 4x2 − 4

3b) f(x) = 2x2 − 1

x2

c) f(x) =4x

x2 + 4d) f(x) =

8

x√x2 − 4

e) f(x) = 8x1/3 + x4/3 f) f(x) = x2√

5 + x

g) f(x) = 5x2/3 − x5/3 h) f(x) = x1/3(x+ 2)−2/3

i) f(x) = cos x− cos2 x j) f(x) = 2|x| − x2

25. Esbozar la grafica de una funcion continua f tal que:

a) f(2) = f(4) = 0 b) f ′(x) < 0 si x < 3

c) f ′(x) > 0 si x > 3 d) f ′′(x) < 0 para todo x

26. Decidir en cada caso si es aplicable el teorema del valor medio. En los casos afirmativoshallar los valores posibles de c.

a) f(x) = x2 + 3x− 1; [−3, 1] b) f(x) =x+ 3

x− 3; [−1, 4]

c) f(x) = x2/3; [0, 2] d) f(x) = x3 − x2 − x+ 1; [−1, 2]

27. Sea f(x) una funcion derivable en un intervalo I. Demostrar que entre ceros distintossucesivos de f ′(x) puede existir a los mas un cero de f(x).

28. Determinar a, b, c y d de tal forma que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un maximorelativo en (0, 3) y un punto de inflexion en (1,−1).

29. La ecuacion E =T

(x2 + a2)3/2da la intensidad de un campo electrico en el eje de un

anillo uniformemente cargado, donde T es la carga total del anillo y a su radio. ¿Paraque valores de x es maxima E?

30. Hallar los extremos, intersecciones con los ejes y asıntotas y trace la grafica de cada unade las siguientes funciones:

a) f(x) =x

x2 − 4b) f(x) =

4

x2c) f(x) =

x3√x2 − 4

31. Una escalera de 25 pies de longitud esta apoyada sobre una pared. Su base desliza por elsuelo a razon de 2 pies/seg.

a) ¿A que ritmo esta bajando su extremo superior por la pared cuando la base dista deella 7, 15 y 24 pies?

b) Halle el ritmo al que cambia el area del triangulo formado por la escalera, el suelo yla pared, cuando la base esta a 7 pies del muro.

c) Calcule el ritmo de cambio del angulo entre la escalera y la pared cuando la base esta a7 pies del muro.

d) Calcule la aceleracion del extremo superior de la escalera cuando su base esta a 7 piesdel muro.

32. Una cubeta con 10 galones de agua comienza a gotear en el instante t = 0; el volumen Vde agua en la cubeta t segundos mas tarde esta dada por

V (t) = 10

(1− t

100

)2

hasta que la cubeta se vacıa en el instante t = 100

a) ¿A que razon sale el agua de la cubeta despues de un minuto?.

b) ¿En que instante son iguales la razon de cambio instantanea de V y la razon de cambiopromedio de V de t = 0 a t = 100?.

33. Una persona de 1,8 mts camina hacia un edificio a razon de 1,5 mts/seg. Si hay unalampara sobre el suelo a 15 mts del edificio, con que rapidez se acorta la sombra de lapersona cuando se encuentra a 9 mts del edificio?

34. Una mujer en un muelle tira de un bote a una velocidad de 15 mts/min usando una sogaamarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4.8 mts por arribadel nivel del agua. ¿Con que rapidez se aproxima el bote al muelle cuando la cantidad decuerda suelta de de 6mts?

35. De un embudo conico invertido sale agua a razon de 1 cm3/seg, si el radio de la base esde 4.5 cm y la altura es de 9 cm. Calcule la velocidad a la que cambia la profundidad delagua cuando esta es de 8 cm.

36. Halle los puntos extremos y los puntos de inflexion, si los hay, de las siguientes funciones:

a) f(x) =ex − e−x

2b) f(x) = xe−x

37. Ley de Boyle. Esta ley establece que si la temperatura de un gas permanece constante,su presion es inversamente proporcional a su volumen. Use la derivada para mostrar queel ritmo de cambio de la presion es inversamente proporcional al cuadrado del volumen.

38. La sombra de un edificio de 80 pies sobre el suelo es de 100 pies. Si el angulo que formael sol con el suelo disminuye a razon de 15◦ por hora. ¿A que razon aumenta la longitudde la sombra?

39. Si un objeto cae desde una altura de h mts, t segundos despues de iniciar la caida harecorrido una distancia de

s(t) = −4,9t2 + h

A un obrero se le cae una llave inglesa desde una altura de 50 mts y grita: cuidadoahı abajo. ¿Cuanto tiempo debera permanecer apartada de la trayectoria de la llave unapersona en el suelo?, ¿a que velocidad la llave tocara el suelo?

40. Un tanque tiene forma de un cilindro con extremos hemisfericos. Si la parte cilındricatiene 10 mts de largo, y tiene un radio de 1 mts. ¿Cuanta pintura se necesita para pintarla parte exterior del tanque con un espesor de 1 milımetro?

taller e scald if

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