UNIVERSIDAD DE AMERICA FACULTAD DE INGENIERAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERA DE PETROLEOS TALLER DE YACIMIENTOS 2

Grupo 3 Marzo 13 de 2013

NOMBRES DANIEL ARAMBURO VÉLEZ DANIEL RODRIGUEZ MURILLO

COD. 5101405 5101423

1. Exponga cual es el modelo matemático, las suposiciones inherentes y metodología de cálculo

volumétrico de los siguientes métodos: a. Kriging b. Distancia Inversa c. Triangulación

2. Mediante un ejercicio planteado por el grupo de trabajo, indique como se hace una regresión

lineal por métodos normales y como se puede hacer con el programa EXCEL. Explique en que consiste el R2 y compare los resultados.

3. Explique que aporte ofrece el método de Hurst & Van Everdingen.

4. Exponga los casos que Havlena y Odeh contemplaron en su análisis de balance de materia.

DESARROLLO

1. a. El Kriging es un método de interpolación que utiliza la programación dinámica para

escoger los pesos de interpolación para obtener la mejor estimación lineal “insesgada” del valor de la variable en un punto cualquiera.

Modelo Matemático: El modelo se basa en “La teoría de las variables regionalizadas”, según la cual la variación espacial de una variable cualquiera puede ser obtenida por la adición de tres componentes mayores: la componente estructural, expresada con un valor medio constante o con una tendencia constante; una componente aleatoria espacialmente correlacionada; y un ruido aleatorio o error residual presumidos constantes en toda la zona de muestreo. Dónde: X: es la posición. Z: es el valor de la variable regionalizada. m(x): es una función determinista que describe la componente estructural de Z en la posición x.

’(x): es el término que denota los residuos de m(x)

: es un ruido residual, gausiano, espacialmente independiente

Z(x) = m(x) + ’(x) + ’’

El término m(x) el caso más simple (cuando no existe deriva en los datos) es igual al valor medio de la zona de muestreo, en este caso, la diferencia media entre dos

posiciones cualquiera x y x+h separadas por una distancia h (Σ Z(x) - Z(x+h), será

igual a cero. Asumiendo que la varianza de las diferencias depende solamente de la distancia h, entre las posiciones: Donde

(h): es una función conocida bajo el nombre de semi-varianza (la mitad de la varianza). De tal modo que esta se puede calcular mediante:

Dónde: n: es el número de pares de puntos separados por la distancia h (también llamada el corrimiento o “lag”). Con este cálculo se obtienen los datos para la construcción de un gráfico de g(h) contra h (llamado semivariograma experimental) que es utilizado para establecer los pesos que se darán a cada punto de referencias usado en la valoración al momento de la interpolación. La comparación de semivariogramas obtenidos en diferentes direcciones revelara la anisotropía del fenómeno, en el caso de presentarse isotropía, g(h) será únicamente función de el corrimiento h. Se debe determinar cuál modelo de variograma se ajusta mejor a los datos experimentales (semivariograma experimental), a partir de ese gráfico se estima el modelo de variograma que mejor se aproxima a la curva obtenida (lineal, gausiano, exponencial, esférico, etc.)

ΣZ(x) - Z(x+h)2= 2(h)

Figura No. 1. Graficas de modelos de semivariogramas más altamente utilizados. Tomado de: Pan Y. Application of least

squares and kriging in multivariable optimizations of field development scheduling and well placement design.

Departament of Petroleum Engineering of Stanford University. (1995). Página 19.

Para determinar el valor de una propiedad en cualquier punto se requiere del cálculo de la suma ponderada de los puntos de muestreo cercanos al sitio a evaluar.

En el Krigeage, la suma de los pesos wi debe ser igual a 1. Los pesos son calculados a partir de un conjunto de n +1 de ecuaciones lineales simultáneas, donde n es el número de puntos utilizados para la estimación en un sitio cualquiera. En forma matricial, las ecuaciones de los pesos son:

Dónde: Los términos en la matriz C: son los valores de las covarianzas espaciales entre los puntos de la muestra. Los términos en d: son también de las covarianzas espaciales, pero entre los puntos de la muestra y el punto a estimar.

El término es el multiplicador de Lagrange, un parámetro flexible utilizado para asegurarse que la suma de los pesos sea igual a 1. Despejando los pesos de la forma matricial obtenemos:

Para cada nodo que se desee estimar al momento de la creación de la grilla, las matrices de las covarianzas C y d deben ser y la ecuación anterior resuelta para obtener los pesos. Para estimar la covarianza entre cada pareja de puntos conocidos y de aquellos con el nodo de grilla a interpolar, debe de referirse siempre al variograma, que describe la estructura regional de la varianza. Suposiciones inherentes:

El kriging atribuirá pesos débiles a las muestras alejadas y pesos mayores a muestras cercanas al punto que se desea interpolar.

En principio no es necesario introducir una hipótesis estacionaria y las ecuaciones tienen un alcance general, (en la práctica es necesario comenzar por

estimar la covarianza o el variograma a partir de los datos experimentales, y es ahí donde la hipótesis en cuestión encuentra su importancia).

La hipótesis intrínseca, para cualquier vector h, la diferencia media entre dos

posiciones cualquiera x y x+h separadas por una distancia h, será igual a cero.

El sistema del Kriging tiene en cuenta: 1) Las distancias entre el punto estimado y los puntos de muestreo. 2) Las distancias entre los puntos de muestreo. 3) La estructura de la variable a través del variograma.

b. El método de la distancia inversa realiza la interpolación del punto problema asignando

pesos a los datos del entorno en función inversa de la distancia que los separa. Método de cálculo: Al igual que el Kriging, para determinar el valor de una propiedad en cualquier punto se requiere del cálculo de la suma ponderada de los puntos de muestreo cercanos al sitio a evaluar. Sin embargo, en este método la sumatoria de los pesos puede ser diferente de 1, por lo que:

Donde dij: es distancia euclidiana entre cada dato y el punto problema, equivalente a h en Kriging. β: es un exponente de ponderación, este parámetro controla la forma en la que el peso disminuye con la distancia.

Figura No. 1. Ejemplo de las curvas generadas para varios valores de β donde pueden observarse los patrones de

cambio de peso (ordenadas) en función de las distancias (unidades arbitrarias, abscisas) . Tomado de: UKWN. Capítulo

3. Interpolación . Universidad Politécnica de Cartagena. Disponible en:

http://repositorio.bib.upct.es/dspace/bitstream/10317/146/15/12_Interpolacion.pdf.

El correcto tratamiento de las formas cóncavas y convexas depende estrechamente de la distribución de los puntos originales y la presencia de datos auxiliares se hace muy conveniente. Suposiciones inherentes:

El comportamiento de una variable se aleja de la de la muestra conforme la distancia al punto de toma de la muestra aumenta.

c. El método de triangulación requiere primero la creación de una red triangular, una vez

que los triángulos de Delaunay han sido construidos, se describe la superficie interior

del triángulo por una función lineal derivada de las altitudes de cada uno de los puntos

de muestreo que constituyen los vértices del triángulo.

Método de cálculo: El cálculo de la propiedad en cualquier punto dentro del triángulo

formado por cualquier trio de puntos de muestreo (vértice), se hace mediante:

Donde a, b, c son coeficientes a determinar mientras que x, y son las coordenadas

cartesianas de abscisa y de ordenada.

Se genera un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a partir de reemplazar los

valores de Z*, X y Y para cada uno de los vértices del triángulo, a partir de este sistema

se hallan los valores a, b y c generando una ecuación general la cual se utiliza para el

cálculo de la variable en cualquier punto dentro del triángulo.

Ejemplo: Tomado de: Arce. R. Interpolación Espacial. Universidad de Costa Rica. Escuela de Geografía (2001). Páginas 6,7.

Remplazando los valores de Z*, X y Y para cada uno de los vértices del triángulo

1275 =a+ 513101.54b + 210683.22c (1) 1280 = a + 513128.82b + 210681.96c (2) 1285 = a + 513118.66b + 210667.96c (3)

Reordenando (1), se obtiene:

Remplazando este valor a en la ecuación (2), se obtiene:

Remplazando estos valores de a y b en la ecuación (3), se obtiene:

Remplazando

Entonces

Para el punto en la figura (x=513120, y=210675)

Suposiciones inherentes:

El punto que se desea interpolar debe estar por dentro de la nube de datos, este sería el único de estos métodos que no sería adecuado para extrapolar por fuera de la nube de datos.

La interpolación por triangulación es incapaz de “predecir” la existencia de cimas

o depresiones locales salvo aquellas descritas explícitamente en los datos

medido

2. Anexos, hoja de Excel e imágenes. Se usaron datos de presión versus la profundidad

obtenida de un registro de temperatura real en un pozo. Los datos que se utilizaron fueron a partir de 7000 pies y hacia abajo, pues al tratarse de un gradiente estático solo a partir de la profundidad en la que se encuentre fluido los datos se comportarán de manera lineal. El gradiente de presiones hallado (0,36 psi/ft) corresponde a aceite.

a = 1275 - 513101.54b - 210683.22c (1)

b = [(5 + 1.26c) / 27.28]

c = -0.4742591871

a = 18389.37021

b = 0.1613795243

Z* = 18389.37021 + 0.1613795243 x -0.4742591871 y

Z* = 18389.37021 + 0.1613795243 (513120) + (-0.4742591871) (210675)

Z* = 1281.877476

3. El método de Hurst & van everdingen es un modelo matemático que permite calcular el influjo de agua en forma de un parámetro adimensional denominado influjo de agua a dimensional WeD; Este método se basa en la solución de la ecuación de difusividad. Van Everdingen-Hurst asumieron que el acuífero estaba caracterizado por:

Espesor uniforme

Permeabilidad constante

Porosidad constante

Compresibilidad de roca y agua constante Existe una caída de presión en el contacto agua-petróleo debido a la producción de fluidos en un yacimiento asociado a un acuífero, El agua se expande y la caída de presión se propaga dentro del acuífero hacia el borde exterior, Debido a que las caídas de presión ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas caídas de presión. Aplica el principio de superposición que indica que las soluciones son aditivas. Para usar superposición, la curva se aproxima a una serie de pequeños incrementos de presión de modo que los pasos de tiempo sean pequeños para aproximar la curva con una recta. Los cambios de presión de un intervalo al otro se calculan con el valor promedio del comienzo y el fin de los intervalos de presión.

Van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuación de influjo para un sistema yacimiento-acuífero aplicando la transformada de Laplace a la ecuación de difusividad que describe el flujo bajo condiciones transientes, transformando la ecuación a la forma adimensional, la importancia de variables sin dimensiones es que simplifican la ecuación de la difusividad y su solución combinando los parámetros del reservorio (tales como permeabilidad, porosidad, etc.) y de tal modo reducen el número total de incógnitas.

Van Everdingen y Hurst (1949) propusieron una solución analítica a la ecuación antedicha asumiendo: • Sistema perfectamente radial del depósito. • El pozo que produce está en el centro y produce en un índice constante de la producción de Q. • Presión uniforme pi a través del depósito antes de la producción. • Flujo nulo a través del radio externo re. Basándonos en estas tres características:

Existe flujo radial de agua a través del acuífero

La caída de presión es constante a través del acuífero durante todo el tiempo

Las propiedades del acuífero son constantes y uniformes La ecuación es la siguiente:

Donde: α = 0 - 1. Representa la extensión a la cual el acuífero rodea el yacimiento We = Cantidad de agua intruida en cm3 h = Espesor del estrato en cm ce = Compresibilidad efectiva del acuífero, 1/atm. ryto = Radio del yacimiento de petróleo o gas, cm ΔP = Caída de presión constante a través del acuífero, atm QtD = Función acumulativa de entrada de agua tD = Tiempo adimensional En unidades de campo:

Para concluir, el modelo de Hurst & Van Everdingen permite calcular datos importantes de un

yacimiento que pueden variar las condiciones de mismo, como lo es el influjo de agua (We), lo

hacen por medio de ciertas suposiciones como que el acuífero activo está caracterizado por

varios factores influyentes, al variar la presión del yacimiento, la intrusión de agua también varía

afectando así las demás propiedades del yacimiento.

4. Para poder mencionar los aportes hechos por Havlena y Odeh primero se tiene que mencionar

la ecuación general de Balance de materiales, la cual supone una serie de factores incluyendo la

inyección del gas y de agua al yacimiento y demás factores influyentes en esta.

La ecuación base para los aportes de Havlena y Odeh es la siguiente:

[ ( ) ] ( )

( ) ( ) [ ] [

]

Donde:

N = Aceite original en el yacimiento (STB)

Gp =Gas acumulado producido (scf)

Np =Aceite acumulado producido (STB)

Rsi =Solubilidad del gas a presión inicial (scf/STB)

m = Relación de gas capa de gas/ volumen de aceite-zona de aceite bbl/bbl

Bgi = Factor volumétrico del gas a presión inicial (bbl/scf)

Bginj =Factor volumétrico del gas teniendo en cuenta la inyección del mismo (bbl/scf)

Cw= Compresibilidad del agua (1/PSI)

Cf= Compresibilidad de la formación (1/PSI)

We= Intrusión de agua (bbl)

Wp= Agua acumulada producida (bbl)

Para tener una idea más detallada de la EBM, es necesario considerar el significado físico de los

siguientes grupos de términos que la componen:

Np [Bo+ (Rp-Rs) Bg] = Representa la acumulación de aceite y gas producido en el

reservorio.

[We-Wp*Bw] = Representa el influjo de agua neta que es retenida en el reservorio.

[Ginj*Bginj+Winj*Bw] = Este término representa el mantenimiento de la presión de

inyección de fluido acumulado en el yacimiento.

[m*Boi(Bg/Bgi-1)] = Representa la expansión neta de la capa de gas que ocurre con la

producción de Np. Que es expresada en (bbl/STB).

Fundamentalmente existen tres incógnitas en la ecuación general de balance de materiales:

1. El petróleo original en sitio N.

2. El flujo de agua acumulado We

3. El tamaño original de la capa de gas en comparación con el tamaño de la zona de aceite

m.

Para determinar estas tres incógnitas de la EBM, Havlena y Odeh en el año 1963, expresaron

esta ecuación de la siguiente forma:

[ ]

Para esta ecuación los términos F, Eo, Eg y Ef,w son definidos por las siguientes relaciones:

F representa la salida de fluido subterránea y está dada por:

[ ( ) ]

Para la condición expuesta anteriormente de la salida de fluido subterránea, en la cual se

consideran dos fases en el yacimiento, el Bo de la ecuación anterior puede ser

reemplazado por un Bt. Luego:

[ ( ) ]

Eo describe la expansión del aceite y de su gas disuelto originalmente y se expresa en

términos del factor de volumen de aceite como formación:

( ) ( )

Eg describe la expansión de la capa de gas y es definida por la expresión:

[(

) ]

Ef,w representa la expansión del agua inicial en el yacimiento y su reducción en el volumen

del poro, la cual está dada por:

( ) [

]

Havlena y Odeh examinaron varios casos de diferentes tipos de yacimientos con la

ecuación descrita por ellos mismos y señalaron que la relación se puede variar en la forma

de una línea recta. Por ejemplo, en el caso de un depósito que no tiene ninguna capa de

gas inicial (es decir, m = 0) o agua de entrada (es decir, We = 0), y la formación

insignificante y compresibilidades de agua (es decir, Cf y Cw = 0); su ecuación se reduce a:

F=N*Eo

Esta expresión sugiere que una gráfica de F (Salida del fluido subterránea) en función de

Eo(expansión del aceite y su gas disuelto) daría como resultado una línea recta a

interceptar a N=0.

El método de solución de línea recta requiere el trazado de un grupo de variables en

comparación con otro grupo de variables, con la selección del grupo variable en función del

mecanismo de producción en las que el yacimiento está produciendo. El aspecto más

importante de este método de solución es que se atribuye importancia la secuencia de los

puntos trazados, la dirección en la que se trazan los puntos y a la forma de la gráfica

resultante. La importancia de la aproximación de línea recta es que la secuencia de

trazado es importante y si los datos representados se desvían de la línea recta, hay alguna

razón para ello. Esta observación significativa proporciona al ingeniero información valiosa

que se puede usar en la determinación de las siguientes incógnitas:

Aceite inicial en el yacimiento N

Tamaño de la capa de gas m

Influjo de agua We

Mecanismo de empuje

Las aplicaciones de este método para resolver problemas de la ingeniería de yacimientos,

pueden darse para seis casos en específico:

1. Caso 1: Determinación de N en yacimientos subsaturados.

2. Caso 2: Determinación de N en yacimientos saturados.

3. Caso 3: Determinación de N y m en yacimientos con capa de gas como mecanismo de

empuje.

4. Caso 4: Determinación de N y We en yacimientos con acuífero activo como mecanismo

de empuje.

5. Caso 5: Determinación de N, m y We en yacimientos con diferentes tipos de empuje.

6. Caso 6: Determinación de la presión promedio del yacimiento.

En conclusión los aportes de Havlena y Odeh son bastante importantes para la ingeniería de

yacimientos, en especial para el área del balance de materiales, ya que este método

encuentra la similitud entre la EBM y la ecuación de una línea recta, con el fin de interpretar el

comportamiento de las variables establecidas; lo hace por medio de una agrupación de

términos los cuales deben tener cierta similitud entre ellos, para poder obtener una línea recta

a partir de la EBM.

BIBLIOGRAFIA

Arce. R. Interpolación Espacial. Universidad de Costa Rica. Escuela de Geografía (2001). Páginas 6-15.

Pan Y. Application of least squares and kriging in multivariable optimizations of field development scheduling and well placement design. Departament of Petroleum Engineering of Stanford University. (1995). Páginas 17-57.

Matheron G. Traducción Alfaro M. La teoría de las variables regionalizadas y sus

aplicaciones. Los Cuadernos del Centro de Morfología Matemática de

Fontainebleau. Centro de Geoestadística de la escuela de Paris. (1970). Páginas

99-112.

UKWN. Capítulo 3. Interpolación. Universidad Politécnica de Cartagena. Disponible en: http://repositorio.bib.upct.es/dspace/bitstream/10317/146/15/12_Interpolacion.pdf

Tarek Ahmed. Tercera Edición. Reservoir Engineering Handbook. (2006). Capítulo 11. Oil Recovery Mechanisms and the material Balance Ecuation. Páginas 773-774.

Freddy Humberto Escobar. Fundamentos de ingeniería de yacimientos. Capítulo 5.5.10.2. Páginas 167- 170.

http://yacimientos-de-petroleo.lacomunidadpetrolera.com/2008/02/modelos-matematicos-de-influjo-de-agua.html